Exemples de mise en œuvre pour l’enseignement de la résolution

        de problèmes de la maternelle au CM2 dans le cadre des

 nouveaux programmes de mathématiques : recommandations




 Ces recommandations sont formulées à partir :
    -    des textes officiels :

               •   Programme de mathématiques de cycle 2, Bulletin officiel n° 41 du 31 octobre 2024

               •   Programme de mathématiques de cycle 3, Bulletin officiel n° 16 du 17 avril 2025

    -    des ressources nationales d’accompagnement des programmes :

               •   Exemples pour la mise en œuvre des programmes, CM1, Mathématiques, Exemples de
                   réussite, 2025, éduscol

               •   Exemples pour la mise en œuvre des programmes, CM2, Mathématiques, Exemples de
                   réussite, 2025, éduscol
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École maternelle (cycle 1)

On appelle problème une situation aboutissant à une question dont la réponse, apportée sous forme de
solution, nécessite un traitement mathématique. La notion de problème suppose également la présence d’un
obstacle : la réponse à un problème n’est pas immédiate. Elle nécessite la mise en place d’une stratégie. Il en
résulte qu’un problème à un niveau scolaire n’en est plus un à un niveau scolaire plus élevé. À l’école
maternelle, les problèmes proposés sont tous des problèmes de nature arithmétique dont la résolution ne
comporte qu’une seule étape.
Les élèves prennent plaisir à résoudre ces problèmes, véritables défis à relever, donnant lieu à des mises en
scène et à des manipulations. Pour résoudre un problème, les élèves sont amenés à chercher, à faire des
essais, à formuler une réponse et à vérifier qu’elle convient, à recommencer si ce n’est pas le cas et toujours
à verbaliser les procédures mises à l’œuvre. La résolution de problèmes induit le développement informel du
sens des opérations, même s’il n’est pas fait appel aux symboles qui les représentent.
À l’école maternelle, les problèmes relèvent de différentes catégories : problèmes de réunion, d’ajout et de
retrait (encore connus sous le nom générique de problèmes de parties-tout), de recherche d’écarts
(comparaison), de groupements ou de partage, de déplacement.
La résolution de différents problèmes amène les élèves à utiliser une même procédure opératoire dans des
contextes différents. Si des analogies entre problèmes peuvent être signalées, en revanche, le rattachement
de chaque problème à une catégorie particulière n’a pas à être présenté aux élèves.
Les problèmes arithmétiques ne présentent pas tous le même niveau de difficulté : ainsi, les problèmes de
réunion sont plus accessibles que ceux de groupement ou de partage. Au sein d’une même catégorie, les
problèmes n’ont pas tous le même niveau d’accessibilité. Ainsi, dans la catégorie des problèmes de réunion,
les plus accessibles portent sur la recherche de la quantité totale d’une collection quand on connait celle de
chacune de ses parties. Pour les problèmes d’ajout et de retrait, la recherche de la quantité finale d’une
collection après un ajout est plus accessible qu’après un retrait. Enfin, ces problèmes peuvent être proposés
dès que les élèves sont capables de déterminer les quantités impliquées dans le problème.
Le niveau de difficulté d’un problème dépend aussi de la possibilité d’utiliser ou non du matériel pour en
réaliser l’action. Au cours des trois années de maternelle, le type de matériel et sa mise à disposition sont
amenés à évoluer. Auprès des élèves de moins de quatre ans, l’enseignant commence par utiliser lui-même
du matériel figuratif et à mettre en scène la situation. Il laisse ensuite les élèves faire de même afin qu’ils
s’approprient l’énoncé. Les objets figuratifs sont progressivement remplacés par des objets symboliques
permettant une première entrée dans l’abstraction. En fin d’école maternelle, les élèves sont incités à ne
plus recourir à la manipulation et au dénombrement de collections effectives, mais à des représentations sur
papier et à des processus mentaux comme le comptage, le surcomptage ou le décomptage, ou l’utilisation
des compositions et des décompositions des nombres.
L’enseignant veille à proposer des situations adaptées à l’âge et au développement cognitif des élèves.
Dès la première année de maternelle, la résolution de problème s’effectue lors de temps courts
d’enseignement consacrés à cette activité, mais aussi à chaque moment où la situation s’y prête (par exemple
lors d’activités physiques). À partir du milieu de la scolarité en maternelle, on propose aux élèves des séances
fréquentes et régulières dédiées à la résolution de problèmes.
Points de vigilance
   — L’enseignant veille à proposer des problèmes dont certains termes de l’énoncé ne sont pas «
         concordants » avec l’opération à effectuer, afin de ne pas encourager des automatismes erronés en
         lieu et place de la réflexion. Ainsi, à partir de 5 ans, les élèves sont confrontés à des problèmes de
         comparaison comportant la locution « de plus » alors que l’opération à effectuer est une
         soustraction.
   — L’enseignant habitue les élèves à vérifier la justesse des solutions qu’ils proposent, notamment par
         la manipulation.




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À aborder avant 4 ans

 Objectifs d’apprentissage          Exemples de réussite
                                     Manifester sa compréhension du problème en réalisant l’action décrite par l’énoncé
  Recherche du tout ou d’une
                                      avec du matériel figuratif.
    partie dans un problème de
    parties-tout.                    Percevoir visuellement la solution quand les quantités mises en jeu sont petites.
                                     Utiliser ses doigts pour compter, surcompter ou décompter.
                                    Par exemple, si une valise contient deux peluches et que l’enseignant en ajoute une devant
                                    l’élève et ferme la valise, l’élève est capable de répondre à la question : « Combien y a-t-il
                                    de peluches dans la valise maintenant ? »
                                    Par exemple, si dans une boite opaque contenant quatre crayons, l’enseignant en retire
                                    deux devant l’élève et ferme la boite, l’élève est capable de répondre à la demande «
                                    J’avais quatre crayons dans la boite. J’en ai retiré deux. Combien y a-t-il de crayons dans la
                                    boite maintenant ? ».


À partir de 4 ans ou dès que les apprentissages précédents ont pu être observés

 Objectifs d’apprentissage          Exemples de réussite
                                     Utiliser des objets figuratifs, puis symboliques, pour réaliser l’action correspondant au
  Rechercher le tout ou une
                                      problème.
   partie dans un problème de
                                     Dénombrer une collection par énumération.
   parties-tout.
                                     Utiliser ses doigts pour compter.
  Trouver une position finale à
   partir d’une position initiale    Utiliser ses doigts pour surcompter.
   et d’un déplacement sur une       Faire appel aux premières compositions et décompositions des nombres.
   piste du type du jeu de l’oie     Répartir des objets en les distribuant un à un dans un problème de partage.
   ou sur la bande numérique.      Rechercher le tout ou une partie dans un problème de parties-tout
  Rechercher le tout dans un       Par exemple, si l’enseignant place une collection d’objets sur une table, l’élève est capable
   problème de groupements.        de la dénombrer. Il peut noter cette quantité sous différentes formes pour la mémoriser
  Rechercher la valeur d’une       avant de fermer les yeux pendant que l’enseignant dissimule sous un chapeau une partie
   part dans un problème de         de la collection. Il est ensuite capable de trouver la quantité dissimulée sous le chapeau.
   partage équitable.              Ou encore, si l’enseignant déclare « Lilou avait cinq kiwis et elle en a mangé deux, combien
                                    de kiwis lui reste-t-il ? », l’élève est capable de verbaliser la réponse sous une forme du
                                    type : « Si Lilou avait cinq kiwis et qu’elle en a mangé deux, pour trouver combien de kiwis
                                    il lui reste, je recule de deux à partir de cinq : quatre ; trois. Il lui reste trois kiwis ». Ou
                                    encore sous une forme du type : « Comme je sais que cinq, c’est deux et trois, il lui reste
                                    trois kiwis ».
                                    Trouver une position finale à partir d’une position initiale et d’un déplacement
                                    Par exemple, l’élève est capable de préciser la case d’arrivée à partir d’une case de départ
                                    et du résultat d’un lancer de dé sur un jeu de plateau du type du jeu de l’oie avec des
                                    contraintes qui imposent de reculer. Le dé peut être à constellations ou chiffré.
                                    Rechercher le tout dans un problème de groupements
                                    Par exemple, si l’enseignant positionne devant l’élève trois boites opaques contenant
                                    chacune deux crayons et qu’il montre successivement le contenu de chacune de ces boites,
                                    l’élève est capable de trouver le nombre total de crayons.
                                    Rechercher la valeur d’une part dans un problème de partage
                                    Par exemple, si l’enseignant déclare « J’ai six gâteaux àpartager équitablement entre deux
                                    poupées et chacune doit recevoir le plus grand nombre possible de gâteaux », l’élève est
                                    capable de trouver le nombre de gâteaux que va recevoir chaque poupée. Du matériel est
                                    éventuellement mis à disposition de l’élève pour lui permettre de mettre en scène la
                                    situation avant de répondre à la question.




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À partir de 5 ans ou dès que les apprentissages précédents ont pu être observés

 Objectifs d’apprentissage          Exemples de réussite
                                     Utiliser des procédures de calcul (comptage, décomptage, surcomptage) pour résoudre
  Déterminer le tout ou une
                                      un problème parties-tout. Ainsi, pour calculer la quantité d’objets issue de la réunion
   partie dans un problème de
                                      d’une collection de trois à une collection de cinq objets, l’élève « met le plus grand
   parties-tout (d’abord deux
                                      nombre dans sa tête » (ici cinq) et surcompte de l’autre nombre (ici trois) en levant les
   parties, puis éventuellement
                                      doigts : « six, sept, huit ».
   trois).
                                     Mobiliser la connaissance des compositions-décompositions des nombres.
  Déterminer la quantité
                                     Distribuer des objets un à un ou deux à deux pour résoudre un problème de partage.
   d’objets ayant été ajoutée
   ou retirée à une collection à     Agir par essais et réajustements pour résoudre un problème de partage.
   partir de ses quantités           Utiliser une représentation sur papier du problème à résoudre.
   initiale et finale.              Déterminer le tout ou une partie dans un problème de parties-tout (d’abord deux parties,
  Déterminer la position finale    puis éventuellement trois)
   (respectivement initiale) à      Par exemple, si l’enseignant met successivement devant l’élève trois cubes rouges, un cube
   partir de la position initiale   bleu et deux cubes verts dans une boite opaque, l’élève est capable de déterminer le
   (respectivement finale) et       nombre total de cubes dans la boite.
   d’un déplacement sur une         Ou encore, si sept oiseaux sont perchés sur une branche et que trois d’entre eux
   piste du type du jeu de l’oie    s’envolent, l’élève est capable de déterminer le nombre d’oiseaux qu’il reste. Dans un
   ou sur la bande numérique.       premier temps l’enseignant modélise la situation à l’aide de matériel symbolique : un fil et
  Déterminer le cardinal d’une     des pinces à linge. Dans un second temps il fournit à l’élève une représentation symbolique
   collection à partir de celui     sur papier. L’élève est alors capable de :
   d’une autre collection et de
                                     barrer trois des symboles représentant les oiseaux envolés et compter ceux qui restent
   l’écart entre les deux.
                                      ;
  Déterminer le tout dans un
                                     décompter de trois à partir de sept ;
   problème de groupement
   d’objets.                         utiliser la décomposition de sept en quatre et trois.
  Déterminer la valeur d’une       Déterminer la quantité d’objets ayant été ajoutée ou retirée à une collection à partir de
   part dans un problème de         ses quantités initiale et finale
   partage équitable (avec          Par exemple, si lors de la recréation huit élèves veulent un vélo alors que seulement deux
   éventuellement un reste).        vélos sont sortis, l’élève est capable de préciser le nombre de vélos qu’il faut sortir pour
                                    que chacun ait un vélo.
                                    Déterminer le cardinal d’une collection à partir de celui d’une autre et de l’écart entre les
                                    deux
                                    Par exemple, l’élève est capable de résoudre le problème suivant, dont l’énoncé est en
                                    concordance avec l’opération à effectuer : « Pierre a cinq billes. Julie a trois billes de plus
                                    que Pierre. Combien Julie a-t-elle de billes ? » Il est également capable de résoudre le
                                    problème suivant, dont l’énoncé est en discordance avec l’opération à effectuer : « Pierre a
                                    cinq billes. Il a trois billes de moins
                                    que Julie. Combien Julie a-t-elle de billes ? »
                                    Déterminer le tout dans un problème de groupements
                                    Par exemple, si quatre assiettes sont placées sur une table et qu’une grande collection de
                                    gâteaux (symbolisés par des jetons) est placée sur une autre table éloignée, l’élève est
                                    capable d’aller chercher en un seul voyage la quantité exacte de gâteaux pour qu’il y ait
                                    deux gâteaux dans chaque assiette.
                                    Problèmes de partage en parts égales avec éventuellement un reste
                                    Par exemple, si deux poupées sont positionnées devant une table et que l’enseignant
                                    déclare « Je veux partager dix gâteaux entre mes deux poupées pour que chacune reçoive
                                    le même nombre de gâteaux », l’élève, qui dispose de dix jetons symbolisant les gâteaux,
                                    est capable de déterminer combien de gâteaux va recevoir chaque poupée.
                                    Ou encore, l’élève, qui dispose de dix images, est capable de demander le nombre
                                    d’enveloppes nécessaires pour ranger deux images par enveloppe.




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Cours préparatoire

L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à
résoudre des problèmes de manière autonome.
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma suivant. Il constitue
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution sur laquelle un élève est en
difficulté :




La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème par l’élève lui-même,
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à
effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes
qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que
l’opération à effectuer est une soustraction.
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui
vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu.
Au CP, la phase « Calculer » peut se limiter à réunir deux collections ou à identifier la quantité à retirer d’une
collection, puis à dénombrer les éléments restants, sans effectuer réellement de calculs.
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement. La phase d’institutionnalisation
permet d’expliciter les connaissances en jeu suite à la résolution d’un problème par les élèves (construction
d’affichages, traces écrites sur les notions importantes).
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CP,
à savoir les nombres entiers jusqu’à cent.
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures répertoriées
dans le programme. Cela n’exclut pas que des problèmes relevant d’autres structures puissent être
également être proposés tout au long de l’année.




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Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
 Résoudre des problèmes        L’élève sait résoudre des problèmes de parties-tout en une étape en mettant en œuvre des
  additifs en une étape du      démarches qui évoluent au fil de l’année. Tant que des procédures de calcul ne sont pas
  type parties-tout.            disponibles, il peut prendre appui sur des manipulations d’objets tangibles (cubes et barres
                                de dix cubes, pièces de monnaie et billets fictifs) symbolisant ce qui est en jeu dans
                                l’énoncé, ou sur des représentations schématiques.
                                Par exemple, pour le problème « Anna avait 43 cerises. Elle en a mangé 18. Combien Anna
                                a-t-elle de cerises maintenant ? », l’élève sait représenter les 43 cerises par quatre barres
                                de dix cubes et trois cubes isolés, puis simuler le retrait de 18 cerises en « cassant » une
                                barre de dix cubes en dix cubes unités afin d’entourer dix-huit cubes pour obtenir le
                                résultat cherché, 25 cerises, en dénombrant sur les cubes qui n’ont pas été entourés.




                                L’élève traite les problèmes de transformation (ajout, retrait), tels que le problème ci-
                                dessus, comme des problèmes de parties-tout.
                                L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
                                 Léa a 53 euros dans son portemonnaie. Elle achète un livre à 7 euros. Combien lui
                                  reste-t-il ?
                                 Il y avait 36 oiseaux dans l’arbre. Il n’en reste plus que 21. Combien d’oiseaux se sont
                                  envolés ?
                                 Dans la boite, il y avait des bonbons. J’en ai mangé 6 et il en reste encore 21. Combien y
                                  avait-il de bonbons dans la boite avant que j’en mange ?
                                 Dans un train comportant trois wagons, il y a 25 passagers dans le premier wagon, 32
                                  passagers dans le deuxième wagon et 18 dans le troisième wagon. Combien y a-t-il de
                                  passagers au total dans ce train ?
 Résoudre des problèmes        L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
  additifs en deux étapes        Il y avait 29 enfants dans un bus. Au premier arrêt, 12 enfants sont descendus. Au
  (champ numérique inférieur      deuxième arrêt, 7 enfants sont montés. Combien y a-t-il d’enfants dans le bus
  ou égal à 30).                  maintenant ?
                                 Sur le présentoir de la bibliothèque de la classe, il y a 24 livres, dont 7 albums et 6
                                  bandes dessinées, le reste étant constitué de livres documentaires. Combien y a-t-il de
                                  livres documentaires ?
 Résoudre des problèmes        L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la valeur d’un
  multiplicatifs en une étape   tout composé de plusieurs parties de même valeur, en s’appuyant si besoin sur des
  (champ numérique inférieur    manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant chacun des éléments ou sur
  ou égal à 30).                des représentations symboliques des objets en jeu (croix, ronds). L’élève peut aussi utiliser
                                des additions itérées.
                                Par exemple, pour le problème « Paul apporte 3 paquets de biscuits. Il y a 7 biscuits dans
                                chaque paquet. Combien y a-t-il de biscuits en tout ? », l’élève peut représenter les biscuits
                                de chacun des trois paquets par des croix et dénombrer ensuite l’ensemble des croix, par
                                comptage de un en un ou en regroupant par dix les éléments de la collection.




                                L’élève sait résoudre des problèmes consistant, dans un partage équitable, à chercher le
                                nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la quantité de chaque part, en
                                s’appuyant si besoin sur des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant
                                les éléments à partager ou sur des représentations symboliques des objets à partager.
                                L’élève représente la totalité des éléments (croix, ronds) et entoure des groupes de ces

                                                      5
symboles de cardinal égal à la valeur d’une part.
Par exemple, pour le problème « Il y a 24 élèves dans la classe. Pour participer à des
rencontres sportives, le professeur constitue des équipes de 4 élèves. Combien y aura-t-il
d’équipes ? », l’élève peut représenter les vingt-quatre élèves par vingt-quatre croix et
faire ensuite des groupements de quatre croix pour symboliser les équipes.




L’élève sait résoudre des problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part dans un
partage équitable, en s’appuyant, si besoin, sur des manipulations d’objets tangibles
(jetons ou cubes) symbolisant des éléments qu’il distribue un à un, équitablement, dans
chacune des parts. Par exemple, pour le problème « 3 enfants se partagent 18 images.
Tous les enfants doivent avoir le même nombre d’images. Combien d’images aura chaque
enfant ? », l’élève sait répartir dix-huit images ou dix-huit jetons qui lui sont fournis en trois
paquets de six images ou jetons, en les distribuant un à un.




                       6
Cours élémentaire première année

L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à
résoudre des problèmes de manière autonome.
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution d’un problème sur laquelle un
élève est en difficulté :




La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à
effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes
qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que
l’opération à effectuer est une soustraction.
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui
vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu.
Au CE1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
au moment où est proposé le problème : manipulation de matériel multibase, schéma représentant du
matériel multibase, calcul mental ou opération posée.
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement.
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE1,
à savoir les nombres entiers jusqu’à mille.
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont
répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être
proposés tout au long de l’année.




                                                      7
Objectifs d’apprentissage           Exemples de réussite
   Résoudre des problèmes          L’élève sait s’appuyer, si cela lui est utile, sur un schéma en barre pour
    additifs en une étape de type   modéliser ensuite le problème par une addition ou une soustraction.
    parties-tout.                   Par exemple, pour le problème « Dans mes deux coffres, j’ai 227 billes. J’en ai
                                    113 dans mon coffre vert. Combien en ai-je dans mon coffre rouge ? », il sait
                                    construire et utiliser un schéma comme le suivant.




                                    Pour résoudre un problème de transformation (ajout, retrait), l’élève sait
                                    s’appuyer, si cela lui est utile, sur un schéma en barre. Par exemple, pour le
                                    problème « Dans ma boite, il y avait des images. J’en ai distribué 56 et il m’en
                                    reste encore 217. Combien y avait-il d’images dans ma boite avant que j’en
                                    distribue ? », il sait construire et utiliser un schéma en barre comme le suivant.




                                    L’élève peut aussi choisir de construire un schéma avec un déplacement sur un
                                    axe :




                                    L’élève comprend que, sur le schéma précédent, l’axe n’est pas chronologique :
                                    on va vers la droite quand les quantités augmentent et vers la gauche quand les
                                    quantités diminuent, quel que soit l’ordre des évènements.
                                    L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
                                     Un album peut contenir 350 photos. Lucie a 287 photos et Léo en a 72.
                                      L’album peut-il contenir toutes les photos de Lucie et Léo ?
                                     Lucie a acheté un pain à 1,20 €, un croissant à 90 centimes et un gâteau à 12
                                      €. Combien Lucie a-t-elle dépensé ?
   Résoudre des problèmes          L’élève sait résoudre des problèmes additifs de comparaison lorsque deux des
    additifs de comparaison en      trois éléments suivants sont donnés et que le troisième est recherché : la valeur
    une étape.                      de chacune des deux parties comparées et l’écart entre les deux parties. Il sait
                                    produire, si nécessaire pour soutenir la modélisation, un schéma avec deux
                                    barres.
                                    Par exemple, pour le problème « Léo a 188 billes. Lucie en a 75 de plus que Léo.
                                    Combien Lucie a-t-elle de billes ? », l’élève sait produire et utiliser un schéma
                                    comme le suivant :




                                    L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
                                     Dans l’école, il y a 111 garçons et 257 filles. Combien de filles y a-t-il de plus
                                      que de garçons ?
                                     Elsa a 15,30 € dans sa tirelire. Elle a 6 € de plus que ce que son frère Noé a
                                      dans sa tirelire. Quelle somme d’argent Noé a-t-il dans sa tirelire ?




                                                          8
 Résoudre des problèmes         L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
  additifs en deux étapes.        Dans la bibliothèque de classe, il y a 83 livres. Le professeur en apporte 18
                                   de plus. Les élèves en empruntent 27. Combien y a-t-il de livres dans la
                                   bibliothèque de classe ?
                                  À la boulangerie, monsieur Milack achète une baguette à 1,15 € et un pain
                                   aux raisins à 95 centimes. Il donne un billet de 5 €. Combien le vendeur va-t-
                                   il lui rendre ?
                                 Pour les problèmes en deux étapes l’élève peut réaliser un schéma pour chaque
                                 étape.
                                 Par exemple, pour le problème « À la pâtisserie, madame Martin achète une
                                 tarte à 17 € et un gâteau à 26 €. Elle donne un billet de 50 € à la vendeuse.
                                 Combien la vendeuse va-t-elle rendre ? », pour la première étape, l’élève peut
                                 faire le schéma ci-dessous :




                                 Pour la seconde étape, il peut faire un deuxième schéma comme le suivant :




 Résoudre des problèmes         L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la
  multiplicatifs en une étape.   valeur du tout, en s’appuyant, selon la période de l’année et selon les nombres
                                 en jeu, sur :
                                  des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant chacun
                                   des éléments ;
                                  des représentations symboliques (croix, ronds) des objets en jeu ;
                                  des schémas en barre, par exemple, pour le problème « Paul apporte huit
                                   paquets de biscuits. Il y a sept biscuits dans chaque paquet. Combien y-a- t-il
                                   de biscuits en tout ? », l’élève peut effectuer le schéma suivant :




                                  sa maîtrise du calcul mental, par exemple pour résoudre un problème
                                   comme le suivant : « Un client achète 10 paquets de 25 gâteaux. Combien a-
                                   t-il acheté de gâteaux ? ».
                                 L’élève sait résoudre des problèmes consistant, dans un partage équitable, à
                                 chercher le nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la
                                 quantité contenue dans chaque part, en s’appuyant, selon la période de
                                 l’année et selon les nombres en jeu, sur :
                                  des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant les
                                   éléments à partager. L’élève répartit les objets entre des groupes ayant tous
                                   pour cardinal la valeur donnée d’une part. Il lui reste à dénombrer les
                                   groupes formés ;
                                  des représentations symboliques des objets à partager. L’élève représente
                                   la totalité des symboles (croix, ronds), organise la collection en groupes et
                                   dénombre les groupes ainsi formés ;
                                  des schémas en barre, par exemple, pour le problème « Il y a 60 élèves en
                                   CE1 dans l’école. Pour participer à un rallye mathématique, la directrice
                                   constitue des équipes de 5 élèves. Combien y-aura-t-il d’équipes ? », l’élève
                                   peut effectuer le schéma suivant :

                                                      9
                                   sa maitrise du calcul mental.
                                  L’élève sait, par exemple, résoudre des problèmes comme les suivants :
                                   Je veux ranger mes 189 photos dans un album. Je peux ranger 10 photos par
                                    page. Combien de pages me faut-il pour ranger toutes mes photos ?
                                   Un fermier a 75 œufs à vendre au marché. Il les vend par boites de 6 œufs.
                                    Combien de boites va-t-il pouvoir vendre ?
                                  L’élève sait résoudre des problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part
                                  dans le cadre d’un partage équitable, en s’appuyant, selon la période de l’année
                                  et selon les nombres en jeu, sur :
                                   des manipulations d’objets tangibles (jetons, cubes) symbolisant chacun des
                                    éléments qu’il distribue un à un, équitablement, dans chacune des parts ;
                                   des représentations symboliques des objets en jeu, en représentant un à un
                                    les objets mentionnés (croix, ronds), en les plaçant successivement dans
                                    chacune des parts, jusqu’à l’obtention du nombre total d’éléments à
                                    distribuer. Par exemple, pour le problème « Trois enfants se partagent 18
                                    images. Chaque enfant doit avoir le même nombre d’images. Combien
                                    d’images aura chaque enfant ? », l’élève sait inscrire 18 croix en les
                                    distribuant successivement à chacun des enfants ;




                                   sa maîtrise du calcul mental.
                                  L’élève sait, par exemple, résoudre des problèmes comme les suivants :
                                   Dans l’école, il y a 200 élèves. Les professeurs veulent constituer 40 équipes
                                    comportant toutes le même nombre d’élèves. Combien y aura-t-il d’élèves
                                    par équipe ?
                                   Enzo veut partager 9,60 euros avec ses deux sœurs de façon à ce que
                                    chacun des trois enfants dispose du même montant. Combien doit-il donner
                                    à chacune de ses sœurs ?
   Résoudre des problèmes        L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
    mixtes en deux étapes (une     Abi achète sept litres d’huile à deux euros le litre. Elle donne vingt euros au
    étape additive et une étape     vendeur. Combien le vendeur va-t-il lui rendre ?
    multiplicative).               Un cahier coute quatre euros et un protège-cahier deux euros. Jérôme doit
                                    acheter vingt cahiers et autant de protège-cahiers. Quel sera le montant de
                                    la facture ?




                                                      10
Cours élémentaire deuxième année

L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à
résoudre des problèmes de manière autonome.
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution sur laquelle un élève est en
difficulté :




La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à
effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes
qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que
l’opération à effectuer est une soustraction.
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui
vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu.
Au CE2, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement.
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE2,
à savoir les nombres entiers jusqu’à 10 000. Le champ numérique dépend cependant fortement de la
structure mathématique du problème : plus cette structure est complexe, plus le champ numérique est
réduit. Les problèmes à la structure la plus complexe (nombre d’étapes supérieur à deux, problèmes
atypiques) portent sur un champ numérique inférieur à 100.
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont
répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être
proposés tout au long de l’année.




                                                      11
Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
 Résoudre des problèmes         Dans la continuité de ce qui a été mené en CE1, l’élève résout des problèmes
  additifs en une étape de       additifs en une étape en s’appuyant, si nécessaire, sur des schémas en barre ou
  types     parties-tout et      des schémas avec un déplacement sur un axe pour les problèmes de
  comparaison.                   transformation.
                                 Les élèves résolvent notamment :
                                  des problèmes en une étape avec des nombres entiers supérieurs à 1 000 ;
                                  des problèmes impliquant des prix écrits sous forme de nombres à virgule ;
                                  des problèmes avec des additions ou des soustractions de fractions ayant le
                                   même dénominateur.
 Résoudre des problèmes         L’élève continue de résoudre des problèmes comme ceux rencontrés au CE1,
  additifs en deux étapes.       mais le champ numérique sur lequel ils portent est plus étendu.
                                 L’élève rencontre des problèmes de comparaison qui se traitent en deux étapes.
                                 Il s’agit de problèmes impliquant la valeur du tout et nécessitant donc une étape
                                 supplémentaire, comme : « Léo a 188 billes. Lucie en a 75 de plus que Léo.
                                 Combien les deux enfants ont-ils de billes en tout ? ». L’élève sait produire un
                                 schéma comme le suivant :




                                 L’élève calcule d’abord le nombre de billes de Lucie, puis le nombre total de
                                 billes.

 Résoudre des problèmes         L’élève continue de résoudre des problèmes comme ceux rencontrés au CE1.
  multiplicatifs en une étape.   Au CE2, seuls les élèves rencontrant des difficultés continuent de manipuler du
                                 matériel tangible, mais la plupart des élèves continuent d’utiliser, si cela les aide,
                                 des schémas pour soutenir la modélisation mathématique.
                                 Le développement des compétences en calcul, en particulier pour la
                                 multiplication, conduit à étendre le champ numérique sur lequel portent les
                                 problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la valeur du tout.
                                 En revanche, les problèmes consistant, dans un partage équitable, à chercher le
                                 nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la quantité
                                 contenue dans chaque part, continuent de porter sur un champ numérique
                                 réduit.
                                 Pour les problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part dans le cadre
                                 d’un partage équitable, l’élève peut s’appuyer sur un schéma en barre pour
                                 faciliter la modélisation mathématique du problème ainsi que sur sa
                                 connaissance des tables de multiplication.
                                 Pour résoudre le problème « La maitresse de CE2 a acheté six dictionnaires pour
                                 la classe. Elle a payé 72 €. Quel est le prix d’un dictionnaire ? », l’élève peut
                                 réaliser le schéma suivant :




 Résoudre des problèmes         L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions
  mixtes en deux ou trois        et des multiplications, comme le suivant : « Dans un restaurant, il y a 4 tables de
  étapes.                        6 personnes et 7 tables de 4 personnes. Combien ce restaurant peut-il recevoir
                                 de clients ? »
 Résoudre des problèmes de      L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les
  comparaison multiplicative     distingue des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les
  en une étape.                  problèmes de comparaison additive.
                                 L’élève sait résoudre des problèmes comme le suivant : « Une trottinette coute

                                                        12
                                quatre fois plus cher qu’un casque. Le casque coute 32 €. Combien coute la
                                trottinette ? »
 Résoudre des problèmes        L’élève sait produire un tableau pour
  mettant en jeu des produits   déterminer le nombre de couples possibles
  cartésiens.                   dans le cas d’un produit cartésien de deux
                                ensembles. Par exemple, pour le problème
                                « Une poupée est livrée avec trois
                                pantalons et sept teeshirts. De combien de
                                façons est-il possible d’habiller la poupée
                                ? », l’élève peut produire un tableau faisant
                                apparaitre les vingt-et-une solutions.
                                L’élève sait produire un arbre pour déterminer le
                                nombre de solutions possibles lors d’un produit
                                cartésien impliquant plus de deux ensembles. Par
                                exemple, pour le problème « Pour se déguiser, un
                                clown dispose de deux chapeaux (un rouge et un
                                bleu), de trois teeshirts (un violet, un noir et un
                                jaune) et de deux pantalons (un gris et un vert).
                                Combien de costumes complets différents avec un
                                chapeau, un teeshirt et un pantalon, le clown
                                peut-il faire ? », l’élève peut produire un arbre
                                faisant apparaitre les douze solutions.




                                                      13
Cours moyen première année

La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer
l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur
lesquelles un élève est en difficulté :




La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance
d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont
l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant
le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel
tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin
d’identifier le modèle mathématique en jeu.
Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur
d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.
Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM1, à savoir les
nombres entiers jusqu’à 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend
cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ
numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et de permettre aux élèves de se concentrer
sur la structure du problème.
Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont
répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également
être proposés tout au long de l’année.



                                                      14
Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
 Résoudre des problèmes        Dans la continuité de ce qui a été mené au cycle 2, l’élève résout des problèmes
  additifs en une étape des     additifs en une étape en s’appuyant, si nécessaire, sur des schémas en barre ou
  types « parties-tout » et     des schémas avec un déplacement sur un axe pour les problèmes de
  « comparaison ».              transformation.
                                L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des nombres décimaux.
                                L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des fractions, lorsque les
                                opérations à effectuer font partie des attendus du CM1. Par exemple, il sait
                                résoudre les problèmes suivants :
                                                                                        37
                                 Anaël a construit une bande de papier mesurant             cm et Léna a construit
                                                                                        10
                                                                      3
                                    une bande papier mesurant 4 +         cm. Quelle est la bande la plus longue ?
                                                                     10
                                  Quel est l’écart de longueur entre les deux bandes de papier ?
                                 Ethan a acheté des pommes et des poires. Il a acheté 3,4 kg de pommes. Il a
                                  acheté 6 kg de fruits en tout. Quelle masse de poires a-t-il achetée ?
                                 Alix mesure 1,61 m. Elle mesure 13 cm de plus que Bruno. Quelle est la taille
                                  de Bruno ?
 Résoudre des problèmes        L’élève continue de résoudre des problèmes additifs en plusieurs étapes, comme
  additifs en deux ou trois     ceux rencontrés au cycle 2, mais le champ numérique sur lequel ils portent est
  étapes.                       plus étendu (grands entiers et nombres décimaux), par exemple, le problème
                                suivant :
                                 Agathe a parcouru 17 km en 1 h 30 min Elle a parcouru 8,4 km pendant la
                                  première demi-heure, puis 3,8 km pendant la deuxième demi-heure. Quelle
                                  distance a parcourue Agathe pendant la dernière demi-heure ?
                                L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui
                                se traitent en deux étapes. Il s’agit de problèmes impliquant la valeur des deux
                                quantités ou grandeurs réunies ainsi que leur écart et nécessitant donc une
                                étape supplémentaire, par exemple : « Léo a 25,60 €. Lucie a 7,55 € de plus que
                                Léo. Combien d’euros les deux enfants ont-ils en tout ? ». L’élève peut s’appuyer
                                sur un schéma en barres comme le suivant pour s’aider lors de la modélisation
                                du problème :




 Résoudre des problèmes        L’élève continue de résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux
  multiplicatifs  de  type      rencontrés au cycle 2, mais dont le champ numérique est plus étendu.
  « parties-tout » en une       Pour résoudre le problème « La maitresse de CM1 a acheté six dictionnaires
  étape.                        pour la classe. Chaque dictionnaire coute 17,85 €. Quel montant a-t-elle dû
                                payer pour les six dictionnaires ? », l’élève peut réaliser le schéma suivant :




                                Pour les problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part ou le nombre de
                                parts dans le cadre d’un partage équitable, l’élève sait s’appuyer sur un schéma
                                pour faciliter la modélisation mathématique du problème ainsi que sur sa
                                connaissance des tables de multiplication.
 Résoudre des problèmes de     L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les
  comparaison multiplicative.   distingue des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les
                                problèmes de comparaison additive.
                                L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative se traitant en
                                une étape.
                                L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant
                                deux étapes comme : « Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette


                                                      15
                              coute quatre fois plus cher que le casque. Le casque coute 32 €. Combien doit
                              payer Axel ? »
                              L’élève peut s’appuyer sur un schéma en barre comme le suivant pour s’aider
                              lors de la modélisation du problème :




 Résoudre des problèmes      L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions,
  mixtes en deux ou trois     des multiplications et des divisions comme, par exemple, le suivant : Izmir
  étapes.                     achète trois pains aux raisins pesant chacun 210 grammes et deux bouteilles
                              d’eau pesant 1,6 kilogramme chacune. Quelle est la masse
                              totale des achats d’Izmir ?
 Résoudre des problèmes de   L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre
  dénombrement.               d’éléments d’un ensemble et qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une
                              des quatre opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer
                              selon une organisation permettant à la fois de les compter tous, une et une
                              seule fois, sans oubli ni redondance.
                              Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, à un arbre ou à une liste organisée
                              pour résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants :
                               Félicien veut habiller son ours en peluche avec un teeshirt et un pantalon. Il
                                dispose de six teeshirts différents et de trois pantalons différents. De
                                combien de façons différentes Félicien peut-il habiller son ours ?
                               Coumba lance deux dés classiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
                                Elle ajoute les deux nombres. Donne la liste de tous les résultats qu’elle peut
                                obtenir.
                               Karnish veut fabriquer un jeu de dominos. Dans son jeu, chaque domino doit
                                être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 4 et il ne peut
                                pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de
                                dominos que peut contenir ce jeu ?
                                  Attention ! Le domino          est le même que le domino            .

 Résoudre des problèmes      L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale
  d’optimisation.             parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes, comme les problèmes
                              suivants.
                               Ilyes veut réaliser des bracelets. Pour un bracelet, il lui faut un fil de longueur
                                12 cm, cinq perles blanches, six perles vertes et trois perles rouges.
                                Il dispose de :
                                 -    10 fils de longueur 12 cm ;
                                 -    48 perles blanches ;
                                 -    47 perles vertes ;
                                 -    25 perles rouges.
                                 Quel est le nombre maximal de bracelets qu’il peut réaliser ?




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Cours moyen deuxième année

La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer
l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le
modèle de la résolution de problèmes en quatre phases, synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur
lesquelles un élève est en difficulté :




La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance
d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont
l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant
le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel
tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin
d’identifier le modèle mathématique en jeu.
Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur
d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.
Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM2, à savoir les
nombres entiers jusqu’à 999 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend
cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ
numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et permettre aux élèves de se concentrer
sur la structure du problème.
Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont
répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également
être proposés tout au long de l’année.



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Objectifs d’apprentissage   Exemples de réussite
 Résoudre des problèmes    Dans la continuité de ce qui a été mené au CM1, l’élève résout des problèmes
  additifs en une ou        additifs (parties-tout) en une ou plusieurs étapes en s’appuyant, si nécessaire, sur
  plusieurs étapes.         des schémas en barre ou des schémas avec un déplacement sur un axe.
                             « Qassim a acheté un reblochon à 9 €, une tranche de Beaufort à 13,85 € et un
                              camembert. Il a donné un billet de 50 € au fromager qui lui a rendu 21,45 €.
                              Quel est le prix du camembert ? ».




                                D’autres schémas sont possibles comme par exemple :




                                ou encore un schéma par étape :




                             Côme est allé faire des courses ce matin. Il est d’abord passé devant la banque
                              où il a retiré 40 € au distributeur automatique. Il est ensuite passé à la boucherie
                              où il a acheté un rôti coutant 17,80 €. Quand il rentré chez lui, il a constaté qu’il
                              lui restait 31,40 €. Quelle somme d’argent Côme avait-il sur lui en sortant ce
                              matin ?
                              L’axe peut être chronologique, c’est-à-dire qu’on se déplace vers la droite au fur
                              et à mesure des actions :




                                ou numérique, c’est-à-dire qu’on va vers la droite quand la somme d’argent que
                                Côme a sur lui augmente, et vers la gauche quand elle diminue :




                                                                                                5
                             Yseult partage une pizza avec son frère et sa sœur. Elle donne         de la pizza à sa
                                                                                                12
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                               grande sœur et de la pizza à son petit frère. Quelle fraction de la pizza Yseult a-
                                                4
                               t-elle gardée pour elle ?




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                             L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui se
                             traitent en deux étapes. Il peut, par exemple, s’agir de problèmes impliquant la
                             valeur de la réunion des deux quantités ou grandeurs réunies et nécessitant donc
                             une étape supplémentaire, comme :
                              Léo et Lucie ont 43,40 € à eux deux. Lucie a 7,80 € de plus que Léo. Combien
                               chaque enfant a-t-il d’euros ?




 Résoudre des problèmes     L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux rencontrés au
  multiplicatifs de type     CM1, mais dont le champ numérique est plus étendu. Les problèmes mettant en jeu
 « parties-tout » en une    des divisions concernent, dans un partage équitable, la recherche de la valeur d’une
  étape.                     part, mais aussi celle de la recherche du nombre de parts lorsque la valeur d’une
                             part est un nombre entier inférieur ou égal à 10.
                             L’élève sait, pour faciliter la modélisation mathématique du problème, s’appuyer sur
                             un schéma.
                              Pour trouver la valeur d’une part dans un problème comme le suivant : « La
                               maitresse de CM2 a acheté six dictionnaires pour la classe. Elle a payé 73,20 €.
                               Quel est le prix d’un dictionnaire ? », l’élève peut, par exemple, réaliser le
                               schéma suivant :




                              Pour trouver le nombre de parts dans un problème comme le suivant : « Lors
                               d’une fête de village, monsieur Dupin vend des sandwichs. Chaque sandwich est
                               vendu avec une boisson pour un montant total de 7 €. À la fin de la journée, la
                               recette de monsieur Dupin est de 2 611 €. Combien de sandwichs monsieur
                               Dupin a-t-il vendus ? », l’élève peut, par exemple, réaliser le schéma suivant :




 Résoudre des problèmes     L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions, des
  mixtes en plusieurs        multiplications et des divisions, comme le suivant : Romy achète trois pains aux
  étapes.                    raisins à 1,35 euros l’un et sept chaussons aux pommes. Elle donne un billet de 20 €
                             au boulanger qui lui rend 7,90 €. Quel est le prix d’un chausson aux pommes ?
 Résoudre des problèmes     L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les distingue
  de           comparaison   des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les problèmes de
  multiplicative.            comparaison additive.
                             L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant
                             plusieurs étapes, comme le suivant : « Axel achète une trottinette et un casque. La
                             trottinette coute quatre fois plus cher que le casque. Axel paie 161,25 €. Combien
                             coute la trottinette ?




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 Résoudre des problèmes      L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments
  de dénombrement.            d’un ensemble et qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une des quatre
                              opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer selon une
                              organisation permettant de les compter tous, une et une seule fois, sans oubli ni
                              redondance.
                              Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, un arbre ou une liste organisée pour
                              résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants :
                                 Telma a lancé une pièce de monnaie trois fois de suite. Elle a obtenu les
                                  résultats suivants :
                                                  1er lancer      2e lancer          3e lancer
                                                       Face         Face                 Pile
                                  Trouve tous les résultats qu’elle aurait pu obtenir.
                                 Arthur veut fabriquer un jeu de dominos. Dans ce jeu chaque domino doit être
                                  composé de deux nombres de points compris entre 0 et 6 et il ne peut pas y
                                  avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de dominos que
                                  peut contenir ce jeu ?
                                  Attention : le domino          est le même que le domino           .

 Résoudre des problèmes      L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale
  d’optimisation.             parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes, comme les problèmes
                              suivants.
                               Madame Lidon souhaite réaliser des étagères. Pour une étagère, il lui faut une
                                planche de deux mètres, deux équerres et neuf vis.
                                  Elle dispose de :
                                    - 6 planches de cinq mètres ;
                                    - 40 équerres ;
                                    - 120 vis.
                                  Quel est le nombre maximal d’étagères que peut fabriquer madame Lidon ?
                               Azmar veut fabriquer des torchons avec un reste de tissu et un reste de ruban.
                                  Il veut fabriquer des torchons rectangulaires de 80 cm de longueur et 50 cm de
                                  largeur autour desquels il souhaite coudre du ruban.




                                  Le reste de tissu dont dispose Azmar est un rectangle qui mesure 3 m de
                                  longueur et 2,40 m de largeur et il a 50 m de ruban.
                                  Quel est le nombre maximum de torchons que peut fabriquer Azmar ?
 Résoudre des problèmes      L’élève sait résoudre un problème consistant à rechercher toutes les solutions
  préparant à l’utilisation   vérifiant certaines conditions parmi un ensemble de cas possibles. Il sait organiser sa
  d’algorithmes.              recherche de façon à assurer l’exhaustivité de sa réponse.
                              L’élève sait par exemple résoudre des problèmes comme les suivants.
                               Trouver toutes les dimensions possibles pour les rectangles ayant des côtés
                                mesurant un nombre entier de centimètres et ayant une aire égale à 60 cm².
                               Alice a 100 œufs qu’elle veut ranger dans des boites. Elle a vingt boites de 6
                                œufs et vingt boites de 10 œufs. Elle veut que tous les œufs soient dans des
                                boites et que toutes les boites soient pleines. Quelles sont toutes les solutions
                                possibles ?
                               Il y a 30 élèves dans une classe de CM2. Le maitre veut faire des groupes
                                comportant tous le même nombre d’élèves. Il souhaite qu’il y ait un nombre
                                impair d’élèves dans chaque groupe. Quelles sont toutes les solutions
                                possibles ?



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