Cycle 4   Mathématiques


          REPÈRES
          ANNUELS
          de progression




                           © Stéphanie Lacombe - MENJ
                                                                Nombres décimaux relatifs
                                    e
                                5                                                           4e                                              3e
Le travail mené au cycle 3 sur l’enchaînement des opérations, les Le produit et le quotient de décimaux relatifs Le travail est consolidé notamment lors des
comparaisons et le repérage sur une droite graduée de nombres sont abordés.                                      résolutions de problèmes.
décimaux positifs est poursuivi. Les nombres relatifs (d’abord
entiers, puis décimaux) sont construits pour rendre possibles
toutes les soustractions. La notion d’opposé est introduite,
l’addition et la soustraction sont étendues aux nombres
décimaux (positifs ou négatifs). Il est possible de mettre en
évidence que soustraire un nombre revient à additionner son
opposé, en s’appuyant sur des exemples à valeur générique du
type : 3,1 - (-2) = 3,1 + 0 - (-2) = 3,1 + 2 + (-2) - (-2), donc
3,1 - (-2) = 3,1 + 2 + 0 = 3,1 + 2 = 5,1
                                                              Fractions, nombres rationnels
La conception d’une fraction en tant que nombre, déjà abordée       Un nombre rationnel est défini comme               La notion de fraction irréductible est
en sixième, est consolidée. Les élèves sont amenés à                quotient d’un entier relatif par un entier relatif abordée, en lien avec celles de multiple et de
reconnaître et à produire des fractions égales (sans privilégier de non nul, ce qui renvoie à la notion de             diviseur qui sont travaillées tout au long du
méthode en particulier), à comparer, additionner et soustraire      fraction.                                          cycle.
des fractions dont les dénominateurs sont égaux ou multiples        Le quotient de deux nombres décimaux peut
l’un de l’autre.                                                    ne pas être un nombre décimal.
                                                                     La notion d’inverse est introduite, les
                                                                     opérations entre fractions sont étendues à la
                                                                     multiplication et la division. Les élèves sont
                                                                     conduits à comparer des nombres
                                                                     rationnels, à en utiliser différentes
                                                                     représentations et à passer de l’une à l’autre.
                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                  (suite)
                                                         Fractions, nombres rationnels (suite)
Au moins une des propriétés suivantes est démontrée, à partir         Une ou plusieurs démonstrations de calculs
de la définition d’un quotient :                                      fractionnaires sont présentées. Le recours au
    ab b                                                              calcul littéral vient compléter pour tout ou
 •                                                                   partie des élèves l’utilisation d’exemples
    ac c
                                                                      à valeurs génériques.
     b ab
 • a 
     c    c
    a b ab
 •  
    c c       c
    a b ab
 •  
    c c     c
Il est possible, à ce niveau, de se limiter à des exemples à valeur
générique. Cependant, le professeur veille à spécifier que la
vérification d’une propriété, même sur plusieurs exemples, n’en
constitue pas une démonstration.
Exemple de calcul fractionnaire permettant de démontrer que
 2 10
   
 3 15
                               2
On commence par calculer  15 :
                               3
 2        2
    15   3  5 .
3         3
                                                              2
La définition du quotient permet de simplifier par 3, puisque
                                                              3
est le nombre qui, multiplié par 3, donne 2.
       2
Donc  15  2  5  10 .
       3
                                         2 10             2
Par définition du quotient, il vient donc      , puisque
                                         3 15             3
multiplié par 15 donne 10.
                      > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                 (suite)
                                                                        Racine carrée
                                                       La racine carrée est introduite, en lien avec des        La racine carrée est utilisée dans le cadre de la
                                                       situations géométriques (théorème de Pythagore,          résolution de problèmes.
                                                       agrandissement des aires) et à l’appui de la             Aucune connaissance n’est attendue sur les
                                                       connaissance des carrés parfaits de 1 à 144 et de        propriétés algébriques des racines carrées.
                                                       l’utilisation de la calculatrice.
                                                                          Puissances
                                                       Les puissances de 10 sont d’abord introduites avec       Les puissances de base quelconque d’exposants
                                                       des exposants positifs, puis négatifs, afin de définir   négatifs sont introduites et utilisées pour simplifier
                                                       les préfixes de nano à giga et la notation               des quotients.
                                                       scientifique. Celle-ci est utilisée pour comparer des    La connaissance des formules générales sur les
                                                       nombres et déterminer des ordres de grandeurs, en        produits ou quotients de puissances n’est pas un
                                                       lien d’autres disciplines. Les puissances de base        attendu du programme : la mise en œuvre des calculs
                                                       quelconque d’exposants positifs sont introduites         sur les puissances découle de leur définition.
                                                       pour simplifier l’écriture de produits.
                                                       La connaissance des formules générales sur les
                                                       produits ou quotients de puissances de 10 n’est pas un
                                                       attendu du programme : la mise en œuvre des calculs
                                                       sur les puissances découle de leur définition.
                                                             Divisibilité, nombres premiers
Tout au long du cycle, les élèves sont amenés à modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité et les nombres premiers.
Le travail sur les multiples et les diviseurs, déjà    Les élèves déterminent la liste des nombres              La notion de fraction irréductible est introduite.
abordé au cycle 3, est poursuivi. Il est enrichi par   premiers inférieurs ou égaux à 100 et l’utilisent        L’utilisation d’un tableur, d’un logiciel de
l’introduction de la notion de nombre premier. Les     pour décomposer des nombres en facteurs                  programmation ou d’une calculatrice permet
élèves se familiarisent avec la liste des nombres      premiers, reconnaître et produire des fractions          d’étendre la procédure de décomposition en facteurs
premiers inférieurs ou égaux à 30. Ceux-ci sont        égales, simplifier des fractions.                        premiers.
utilisés pour la décomposition en produit de
facteurs premiers. Cette décomposition est utilisée
pour reconnaître et produire des fractions égales.
                      > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                 (suite)
                                                                         Calcul littéral
Expressions littérales
Les expressions littérales sont introduites à travers Le travail sur les formules est poursuivi,              Le travail sur les expressions littérales est
des formules mettant en jeu des grandeurs ou          parallèlement à la présentation de la notion            consolidé avec des transformations d’expressions,
traduisant des programmes de calcul. L’usage de la d’identité (égalité vraie pour toute valeur des            des programmes de calcul, des mises en équations,
lettre permet d’exprimer un résultat général (par     indéterminées).                                         des fonctions…
exemple qu’un entier naturel est pair ou impair) ou La notion de solution d’une équation est formalisée.
de démontrer une propriété générale (par exemple
que la somme de trois entiers consécutifs est un
multiple de 3). Les notations du calcul littéral (par
exemple 2a pour a × 2 ou 2 × a, ab pour a × b) sont
progressivement utilisées, en lien avec les
propriétés de la multiplication.
Les élèves substituent une valeur numérique à une
lettre pour calculer la valeur d’une expression
littérale.
Distributivité
Tôt dans l’année, sans attendre la maîtrise des        La structure d’une expression littérale (somme ou      La double distributivité est abordée.
opérations sur des nombres relatifs, la propriété de   produit) est étudiée. La propriété de distributivité   Le lien est fait avec la simple distributivité. Il est
distributivité simple est utilisée pour réduire une    simple est formalisée et est utilisée pour             possible de démontrer l’identité
expression littérale de la forme ax + bx, où a et b    développer un produit, factoriser une somme,           (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd en posant
sont des nombres décimaux.                             réduire une expression littérale.                      k = a + b et en utilisant la simple distributivité.
Le lien est fait avec des procédures de calcul
numérique déjà rencontrées au cycle 3 (calculs du
type 12 × 50 ; 37 × 99 ; 3 × 23 + 7 × 23).
                        > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                 (suite)
Équations
                                                                                                                                                           2      2
Les élèves sont amenés à tester si une égalité où     Les notions d’inconnue et de solution d’une               La factorisation d’une expression du type a - b
figure une lettre est vraie lorsqu’on lui attribue uneéquation sont abordées. Elles permettent d’aborder        permet de résoudre des équations produits se
valeur numérique.                                     la mise en équation d’un problème et la résolution        ramenant au premier degré (notamment des
                                                                                                                                    2
Les élèves testent des égalités par essais erreurs, à algébrique d’une équation du premier degré.               équations du type x = a en lien avec la racine
la main ou à l’aide d’une calculatrice ou d’un        Les équations sont travaillées tout au long de l’année    carrée).
tableur, des valeurs numériques dans des              par un choix progressif des coefficients de l’équation.   Aucune virtuosité calculatoire n’est attendue dans
expressions littérales, ce qui constitue une                                                                    les développements et les factorisations.
première approche de la notion de solution d’une
équation, sans formalisation à ce stade.
                        > Repères annuels de progression pour le cycle 4




                                                                            Statistiques
Le traitement de données statistiques se prête à         Un nouvel indicateur de position est introduit : la   Un indicateur de dispersion est introduit : l’étendue.
des calculs d’effectifs, de fréquences et de             médiane.                                              Le travail sur les représentations graphiques, le
moyennes. Selon les situations, la représentation        Le travail sur les représentations graphiques, le     calcul, en particulier celui des effectifs et des
de données statistiques sous forme de tableaux, de       calcul, en particulier celui des effectifs et des     fréquences, et l’interprétation des indicateurs de
diagrammes ou de graphiques est réalisée à la            fréquences, et l’interprétation des indicateurs de    position est consolidé.
main ou à l’aide d’un tableur-grapheur. Les calculs      position est poursuivi.                               Un nouveau type de diagramme est introduit : les
et les représentations donnent lieu à des
                                                                                                               histogrammes pour des classes de même
interprétations.
                                                                                                               amplitude.
                                                                            Probabilités
Les élèves appréhendent le hasard à travers des          Les calculs de probabilités concernent des            Le constat de la stabilisation des fréquences
expériences concrètes : pile ou face, dé, roue de        situations simples, mais ne relevant pas              s’appuie sur la simulation d’expériences aléatoires
loterie, urne…                                           nécessairement du modèle équiprobable. Le lien        à une épreuve à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel
Le vocabulaire relatif aux probabilités (expérience      est fait entre les probabilités de deux événements    de programmation. Les calculs de probabilités, à
aléatoire, issue, événement, probabilité) est utilisé.   contraires.                                           partir de dénombrements, s’appliquent à des
Le placement d’un événement sur une échelle de                                                                 contextes simples faisant prioritairement intervenir
probabilités et la détermination de probabilités                                                               une seule épreuve. Dans des cas très simples, il est
dans des situations très simples d’équiprobabilité                                                             cependant possible d’introduire des expériences à
contribuent à une familiarisation avec la                                                                      deux épreuves. Les dénombrements s’appuient
modélisation mathématique du hasard.                                                                           alors uniquement sur des tableaux à double entrée,
                                                                                                               la notion d’arbre ne figurant pas au programme.
Pour exprimer une probabilité, on accepte des
formulations du type « 2 chances sur 5 ».                                                                      Les élèves simulent une expérience aléatoire à
                                                                                                               l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de
                                                                                                               programmation.
                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                                           (suite)
                                                                     Proportionnalité
Les élèves sont confrontés à des situations           Le calcul d’une quatrième proportionnelle est          Le lien est fait entre taux d’évolution et coefficient
relevant ou non de la proportionnalité. Des           systématisé et les points de vue se diversifient       multiplicateur, ainsi qu’entre la proportionnalité et
procédures variées (linéarité, passage par l’unité,   avec l’utilisation de représentations graphiques, du   les fonctions linéaires. Le champ des problèmes de
coefficient de proportionnalité), déjà étudiées au    calcul littéral et de problèmes de géométrie           géométrie relevant de la proportionnalité est élargi
cycle 3, permettent de résoudre des problèmes         relevant de la proportionnalité (configuration de      (homothéties, triangles semblables, configurations
relevant de la proportionnalité.                      Thalès dans le cas des triangles emboîtés,             de Thalès).
                                                      agrandissement et réduction).
                                                                         Fonctions
La dépendance de deux grandeurs est traduite par      La dépendance de deux grandeurs est traduite par Les notions de variable, de fonction, d’antécédent,
un tableau de valeurs ou une formule.                 un tableau de valeurs, une formule, un graphique.  d’image sont formalisées et les notations
                                                      Les représentations graphiques permettent de       fonctionnelles sont utilisées. Un travail est mené
                                                      déterminer des images et des antécédents, qui sont sur le passage d’un mode de représentation d’une
                                                      interprétés en fonction du contexte.               fonction (graphique, symbolique, tableau de
                                                                                                         valeurs) à un autre. Les fonctions affines et
                                                      La notation et le vocabulaire fonctionnels ne sont linéaires sont présentées par leurs expressions
                                                                           e
                                                      pas formalisés en 4 .                              algébriques et leurs représentations graphiques.
                                                                                                         Les fonctions sont utilisées pour modéliser des
                                                                                                         phénomènes continus et résoudre des problèmes.
                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4




                                                        Calculs sur des grandeurs mesurables
La connaissance des formules donnant les aires du       Le lexique des formules s’étend au volume des             La formule donnant le volume d’une boule est
rectangle, du triangle et du disque, ainsi que le       pyramides et du cône. Le lien est fait entre le           utilisée.
volume du pavé droit est entretenue à travers la        volume d’une pyramide (respectivement d’un cône)          Le travail sur les grandeurs mesurables et les
résolution de problèmes. Elle est enrichie par celles   et celui du prisme droit (respectivement du               unités est poursuivi.
de l’aire du parallélogramme, du volume du prisme       cylindre) construit sur sa base et ayant même
                                                                                                                  Il est possible de réinvestir le calcul avec les
et du cylindre. La correspondance entre unités de       hauteur. Des grandeurs produits (par exemple
                                                                                                                  puissances de 10 pour les conversions d’unités.
volume et de contenance est faite. Les calculs          trafic, énergie) et des grandeurs quotients (par                                              2
portent aussi sur des durées et des horaires, en        exemple vitesse, débit, concentration, masse              Par exemple, à partir de : 1 m = 10 cm, il vient
                                                                                                                      3         3      2     3    6    3
prenant appui sur des contextes issus d’autres          volumique) sont introduites à travers la résolution       1 m = (1 m) = (10 cm) = 10 cm
                                                                                                                                               -1
disciplines ou de la vie quotidienne.                   de problèmes. Les conversions d’unités sont               ou, à partir de : 1 dm = 10 m, il vient
                                                                                                                        3      -1    3    -3    3
                                                        travaillées.                                              1 dm = (10 m) = 10 m .
Les élèves sont sensibilisés au contrôle de la
cohérence des résultats du point de vue des unités. Les élèves sont sensibilisés au contrôle de la
                                                    cohérence des résultats du point de vue des unités
                                                    des grandeurs composées.
                                         Effet des transformations sur des grandeurs géométriques
Les élèves connaissent et utilisent l’effet des         Les élèves connaissent et utilisent l’effet d’un          Les élèves connaissent et utilisent l’effet des
symétries axiale et centrale sur les longueurs, les     agrandissement ou d’une réduction sur les                 transformations au programme (symétries,
aires, les angles.                                      longueurs, les aires et les volumes. Ils le travaillent   translations, rotations, homothéties) sur les
                                                        en lien avec la proportionnalité.                         longueurs, les angles, les aires et les volumes.
                                                                                                                  Le lien est fait entre la proportionnalité et certaines
                                                                                                                  configurations ou transformations géométriques
                                                                                                                  (triangles semblables, homothéties).
                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4




                                                                     Représenter l’espace
Le repérage se fait sur une droite graduée ou dans le      Le repérage se fait dans un pavé droit (abscisse, Le repérage s’étend à la sphère (latitude, longitude).
plan muni d’un repère orthogonal.                          ordonnée, altitude). Les élèves produisent et     Un logiciel de géométrie est utilisé pour visualiser
Dans la continuité de ce qui a été travaillé au cycle 3,   mettent en relation une représentation en         des solides et leurs sections planes. Les élèves
la reconnaissance de solides (pavé droit, cube,            perspective cavalière et un patron d’une pyramide produisent et mettent en relation différentes
cylindre, pyramide, cône, boule) s’effectue à partir       ou d’un cône.                                     représentations des solides étudiés (patrons,
d’un objet réel, d’une image, d’une représentation en                                                        représentation en perspective cavalière, vues de
perspective cavalière ou sur un logiciel de géométrie                                                        face, de dessus, en coupe).
dynamique.
Les élèves construisent et mettent en relation une
représentation en perspective cavalière et un patron
d’un pavé droit ou d’un cylindre.
                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                   (suite)
                                                                       Géométrie plane
Figures et configurations
La caractérisation angulaire du parallélisme (angles        Les cas d’égalité des triangles sont présentés et    Une définition et une caractérisation des triangles
alternes-internes et angles correspondants) est             utilisés pour résoudre des problèmes. Le lien est    semblables sont données. Le théorème de Thalès
énoncée. La valeur de la somme des angles d’un              fait avec la construction d’un triangle de mesures   et sa réciproque dans la configuration du papillon
triangle peut être démontrée et est utilisée. L’inégalité données (trois longueurs, une longueur et deux         sont énoncés et utilisés (démonstration possible,
triangulaire est énoncée. Le lien est fait entre            angles, deux longueurs et un angle). Le théorème     utilisant une symétrie centrale pour se ramener à la
l’inégalité triangulaire et la construction d’un triangle à de Thalès et sa réciproque dans la configuration     configuration étudiée en quatrième). Les lignes
partir de la donnée de trois longueurs. Des                 des triangles emboîtés sont énoncés et utilisés,     trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) dans le
constructions de triangles à partir de la mesure d’une ainsi que le théorème de Pythagore (plusieurs             triangle rectangle sont utilisées pour calculer des
longueur et de deux angles ou d’un angle et de deux         démonstrations possibles) et sa réciproque. La       longueurs ou des angles.
longueurs sont proposées.                                   définition du cosinus d’un angle d’un triangle       Deux triangles semblables peuvent être définis par
Le parallélogramme est défini à partir de l’une de ses rectangle découle, grâce au théorème de Thalès,           la proportionnalité des mesures de leurs côtés. Une
propriétés : parallélisme des couples de côtés              de l’indépendance du rapport des longueurs le        caractérisation angulaire de cette définition peut
opposés ou intersection des diagonales. L’autre             définissant.                                         être donnée et démontrée à partir d’un cas d’égalité
propriété est démontrée et devient une propriété          Une progressivité dans l’apprentissage de la           des triangles et d’une caractérisation angulaire du
caractéristique. Il est alors montré que les côtés        recherche de preuve est aménagée, de manière à        parallélisme.
opposés d’un parallélogramme sont deux à deux de          encourager les élèves dans l’exercice de la
même longueur grâce aux propriétés de la symétrie.        démonstration. Aucun formalisme excessif n’est
Les propriétés relatives aux côtés et aux diagonales      exigé dans la rédaction.
d’un parallélogramme sont mises en œuvre pour
effectuer des constructions et mener des
raisonnements.
Les élèves consolident le travail sur les codages de
figures : interprétation d’une figure codée ou
réalisation d’un codage.
Les élèves découvrent de nouvelles droites
remarquables du triangle : les hauteurs. Ils
poursuivent le travail engagé au cycle 3 sur la
médiatrice dans le cadre de résolution de problèmes.
Ils peuvent par exemple être amenés à démontrer que
les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4


                                                                                                    (suite)
Transformations
Les élèves transforment (à la main ou à l’aide d’un          Les élèves sont amenés à transformer (à la main Les élèves transforment (à la main ou à l’aide d’un
logiciel) une figure par symétrie centrale. Cela permet ou à l’aide d’un logiciel) une figure par translation. logiciel) une figure par rotation et par homothétie
de découvrir les propriétés de la symétrie centrale          Ils identifient des translations dans des frises ou (de rapport positif ou négatif). Le lien est fait entre
(conservation de l’alignement, du parallélisme, des          des pavages ; le lien est alors fait entre           angle et rotation, entre le théorème de Thalès et les
longueurs, des angles) qui sont ensuite admises et           translation et parallélogramme.                      homothéties.
utilisées. Le lien est fait entre la symétrie centrale et le La définition ponctuelle d’une translation ne figure Les élèves identifient des transformations dans des
parallélogramme. Les élèves identifient des symétries pas au programme. Toutefois, par commodité, la frises, des pavages, des rosaces.
axiales ou centrales dans des frises, des pavages, des translation transformant le point A en le point B
                                                                                                                  Les définitions ponctuelles d’une translation, d’une
rosaces.                                                     pourra être nommée « translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
                                                                                                            𝐴𝐵 », rotation et d’une homothétie ne figurent pas au
                                                             mais aucune connaissance n’est attendue sur          programme.
                                                             l’objet « vecteur ».                                 Pour faire le lien entre les transformations et les
                                                                                                                 configurations du programme, il est possible
                                                                                                                 d’identifier (à la main ou à l’aide d’un logiciel de
                                                                                                                 géométrie) l’effet, sur un triangle donné, de
                                                                                                                 l’enchaînement d’une translation, d’une rotation et
                                                                                                                 d’une homothétie, voire d’une symétrie axiale et
                                                                                                                 réciproquement, pour deux triangles semblables
                                                                                                                 donnés, chercher des transformations transformant
                                                                                                                 l’un en l’autre.
                      > Repères annuels de progression pour le cycle 4




                                                Écrire, mettre au point, exécuter un programme
Les repères qui suivent indiquent une progressivité dans le niveau de complexité des activités relevant de ce thème. Certains élèves sont capables de réaliser
des activités de troisième niveau dès le début du cycle.
                    1er niveau                                            2e niveau                                              3e niveau
À un premier niveau, les élèves mettent en ordre       À un deuxième niveau, les connaissances et les      À un troisième niveau, l’utilisation simultanée de
et/ou complètent des blocs Scratch fournis par le      compétences en algorithmique et en                  boucles « répéter … fois », et « répéter jusqu’à … » et
professeur pour construire un programme simple.        programmation s’élargissent par :                   d’instructions conditionnelles permet de réaliser
L’utilisation progressive des instructions              - l’écriture d’une séquence d’instructions         des figures, des calculs et des déplacements plus
conditionnelles et/ou de la boucle « répéter … fois »)    (condition « si … alors » et boucle              complexes. L’écriture de plusieurs scripts
permet d’écrire des scripts de déplacement, de            « répéter … fois ») ;                            fonctionnant en parallèle permet de gérer les
construction géométrique ou de programme de             - l’écriture de programmes déclenchés par des      interactions et de créer des jeux.
calcul.                                                   événements extérieurs ;                          La décomposition d’un problème en sous-
                                                        - l’intégration d’une variable dans un programme   problèmes et la traduction d’un sous-problème par
                                                          de déplacement, de construction géométrique,     la création d’un bloc-utilisateur contribuent au
                                                          de calcul ou de simulation d’une expérience      développement des compétences visées.
                                                          aléatoire.
