                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
                                     MATHÉMATIQUES
                                       Compétences travaillées en mathématiques




                                                                               Chercher

                              Chercher est peut-être la première des compétences à laquelle on pense lorsqu’on tente de
                              décrire l’activité mathématique. Elle en constitue sans doute la part la plus exaltante pour
                              celles et ceux qui aiment les mathématiques. Mais aussi la part la plus difficile pour d’autres.
                              Il faut reconnaitre qu’il s’agit de l’une des compétences qui se laissent le moins facilement
                              circonscrire. Amener les élèves à savoir quoi chercher et comment chercher est donc un
                              objectif ambitieux, mais nécessaire au développement de toutes les autres compétences au
                              cycle 4.

                              Deux activités pour un même terme
                              La compétence « Chercher » recouvre dans le travail quotidien de l’élève comme du
                              mathématicien deux activités qu’il convient de distinguer. On peut illustrer cette dualité, qui
                              tient simplement à la polysémie du verbe chercher, par les deux consignes suivantes, toutes
                              deux relatives à une série de représentations d’angles :




                              • Première consigne : « Chercher quels sont les angles droits »
                              • Deuxième consigne : « Chercher comment classer les angles »

                              Il s’agit de deux activités mettant en œuvre une recherche, mais alors que dans le premier cas,
                              l’élève met en œuvre des processus éprouvés, repère et utilise les attitudes expertes qui lui
                              auront explicitement été indiquées comme telles, dans l’autre, il s’agit de donner un sens à la
                              question, voire de définir la question.

                              Le préambule du programme de mathématiques du cycle 4 illustre bien le premier sens de la
                              compétence « Chercher » dans la mesure où il précise qu’on attend de l’élève qu’il sache
                              « extraire d’un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à
                              ses connaissances ».


Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques




                              Au cycle 4, on laisse à l’élève plus d’autonomie. Les situations proposées nécessitent en effet
                              une part plus importante d’initiative : compléter un tableau, voire construire un tableau qui
                              n’est pas présent, effectuer des calculs qui ne sont pas explicitement demandés.

                              Quant au deuxième sens, il est également présent dans le volet « Compétences travaillées »
                              du programme: il s’agit d’« émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-
                              exemples », mais aussi de « tester, essayer plusieurs pistes de résolution ».

                              Dans ce second sens, il est cependant moins évident de décrire de quoi il s’agit et ce qu’on
                              attend véritablement de l’élève. Il ne s’agit pas, en tout cas, de deviner une question fermée
                              que l’enseignant aurait en tête et il convient d’explorer plus avant ce qui constitue cette part
                              essentielle de la compétence « Chercher ».

                              Que se passe-t-il lorsque l’on cherche ?
                              Chercher peut être vu en première analyse comme une activité transitoire pour l’élève, un
                              échafaudage que l’on oublie une fois le bâtiment achevé. Pour aboutir au résultat d’un calcul,
                              pour établir un raisonnement, pour construire une modélisation, on sait qu’il a fallu une phase
                              de recherche, mais qui ne laisse pas de trace sur le résultat final : on recopie au propre et on
                              note la synthèse dans le cahier.

                              Cette phase de recherche et de tâtonnement (« je cherche… », dit l’élève en cachant son cahier)
                              est pourtant essentielle en mathématiques et la réussite de tous les élèves passe par le fait
                              d’expliciter au mieux ce qui s’y joue.

                              On peut dégager au moins deux grands axes dans cette réflexion sur l’activité de recherche.

                              La dimension temporelle est essentielle : il faut du temps, et c’est dans le temps que
                              les choses vont se transformer. Ne pas donner immédiatement l’idée, ou une amorce de
                              solution, mais laisser un temps d’indétermination où puissent s’élaborer des représentations
                              personnelles et variées.

                              La place de l’erreur constitue également un élément capital : si transformation il y a, c’est
                              qu’à un moment, les choses n’étaient pas justes. Comme le dit le mathématicien Alexandre
                              Grothendieck1 : « Craindre l’erreur et craindre la vérité est une seule et même chose. Celui qui
                              craint de se tromper est impuissant à découvrir. C’est quand nous craignons de nous tromper que
                              l’erreur qui est en nous se fait immuable comme un roc. »

                              Cette peur dont parle le mathématicien (peur de se tromper, peur de ne pas bien faire, de ne
                              pas savoir quoi faire) une phrase aussi anodine que « Voilà, maintenant, vous pouvez chercher »
                              peut la déclencher chez les élèves : chercher quoi, chercher comment, chercher jusqu’où ? Si
                              cette phrase est prononcée, il faut donc qu’elle ait été précédée d’expériences plus balisées.
                              Il faut également laisser un temps suffisant pour prendre le risque d’essayer, de se tromper,
                              d’identifier son erreur, mais un temps explicitement limité pour ne pas tomber dans une
                              activité sans limite et sans consistance. Il faut enfin donner aux élèves les outils permettant de
                              dépasser la peur de se tromper.




                              1. Récoltes et Semailles : Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien, Université Paris 6, Grothendieck
                              Circle, 1986, Première partie, § 5.2.
Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016            2
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques




                              Un chemin qui laisse des traces
                              Ces outils peuvent être définis comme ce qui reste lorsque la recherche est terminée, en
                              dehors du résultat lui-même. Ils peuvent être pour une part identifiés par les élèves, par le
                              biais d’un carnet de recherche ou de phrases notées sur le cahier : « j’ai essayé avec trois et
                              quatre », « j’ai fait des figures et j’ai mesuré ». Mais ils doivent aussi être explicitement isolés et
                              identifiés par l’enseignant : « vous avez essayé plusieurs choses très intéressantes… », « en fait,
                              ce que tu as fait, c’est ce qu’on appelle… », « lorsque l’on rencontre un problème de ce type, on fait
                              souvent plusieurs figures… »

                              Cette manière d’associer des problèmes et des méthodes permet ensuite de construire des
                              situations références : « et si tu essayais les mêmes idées que pour le problème de la somme
                              de trois nombres ? ». Les élèves peuvent ainsi peu à peu donner de l’épaisseur à l’activité de
                              recherche : chercher, c’est tester avec des nombres, c’est émettre des hypothèses, c’est
                              parfois proposer une question. Le passage à la démonstration, qui constitue un des objectifs
                              du cycle 4, ne peut être réussi pour les élèves les plus fragiles que s’ils en perçoivent les
                              moyens et les buts au travers de situations diverses et explicitement désignées comme
                              représentatives de l’activité de recherche.

                              On notera à ce stade qu’au travers de l’apparition du thème E, « Algorithmique et
                              programmation », ces questions trouvent un cadre nouveau et particulièrement propice. Tout
                              d’abord, les outils de la recherche y sont explicitement désignés comme des objets de savoir
                              à part entière : « décomposer un problème en sous-problèmes », « reconnaitre des schémas »,
                              outils et méthodes qui seront évidemment réinvestis avec profit dans d’autres champs du
                              programme.

                              Ce thème offre également un cadre rassurant aux élèves quant à la place de l’erreur, qui fait
                              en effet partie intégrante de la démarche de programmation : « Écrire, mettre au point (tester,
                              corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné ». De plus, la validation
                              n’y est pas celle de l’enseignant, mais celle, plus neutre, de l’exécution du programme qui
                              marche ou ne marche pas.

                              Une activité extraordinaire ?
                              La mention du carnet de recherche amène naturellement à évoquer la pratique des problèmes
                              ouverts, et plus largement des défis, dans la classe, mais aussi en dehors de la classe sous
                              la forme de clubs, ateliers, concours (MATh.en.JEANS, stages MathC2+, etc.). L’apport de tels
                              dispositifs est indéniable, dans leur dimension collective et collaborative, comme dans leur
                              aspect ludique. Mais ce serait une erreur de réduire la compétence « Chercher » à une activité
                              extraordinaire, rare et sans effet sur l’ordinaire de la classe constitué quant à lui de questions
                              fermées et balisées. Il importe de repenser les activités les plus quotidiennes, les plus
                              simples, sous l’angle de ce qu’elles peuvent apporter, même modestement, à l’élaboration de
                              la compétence « Chercher ».

                              Cela peut être à l’occasion d’une activité de calcul mental, sous forme de petits défis : trouver
                              l’opération et non pas le résultat, trouver le résultat le plus grand possible, ou travailler sur la
                              multiplication, comme sur cet exemple2 :




                              2. Exemple issu de Le calcul mental au collège, sous la direction de Bernard Anselmo et Hélène Zuchetta, 2013.
Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016       3
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques




                              Nombre de départ →                        ×5
                              				                                      ↓
                              				                                      ×3
                              				                                      ↓
                              Nombre d’arrivée ←                        ×2

                              Une série de nombres de départ étant donnés, la consigne est de calculer le plus vite possible,
                              ce qui peut constituer une première approche de certaines propriétés du produit, avant de les
                              institutionnaliser peu à peu.

                              L’arithmétique est un terreau particulièrement riche pour entretenir au quotidien la
                              compétence « Chercher ». La familiarité des élèves avec les nombres entiers leur permet en
                              effet de s’engager plus facilement dans une démarche d’essais et hypothèses. L’élaboration
                              d’une conjecture utilisant le langage symbolique peut constituer alors l’un des buts de la
                              phase de recherche3.

                              En algèbre, un travail sur les variables didactiques peut souvent permettre de transformer
                              une question fermée en une activité mettant en œuvre une véritable recherche. Ainsi, lors
                              d’un travail sur l’utilisation du calcul algébrique pour montrer que deux programmes de
                              calcul donnent le même résultat, on peut remplacer la consigne « Montrer que les programmes
                              suivants aboutissent tous les deux au même résultat » par la consigne « Voici deux programmes de
                              calcul, que peut-on en dire ? ». L’élève est ainsi amené à expérimenter, à déterminer peu à peu
                              une question, ainsi que les moyens d’y répondre.

                              En géométrie, les problèmes de construction forment
                              un grand répertoire d’activités de recherche où la
                              découverte progressive des configurations et des
                              transformations outille peu à peu l’élève. L’utilisation
                              d’un même support peut par ailleurs amener des
                              questions qui mettent en jeu une recherche autour des
                              transformations, en variant les niveaux de difficulté.

                               Considérons par exemple le pavage ci-contre
                              (Mozaïque de l’Alhambra)

                              • Comment ce pavage est-il construit ? »
                              • Cette figure étant donnée, comment peut-on
                              construire le pavage ? »
                              • Quelles transformations reconnait-on ? »
                              • Comment peut-on construire le pavage à partir de la
                              figure la plus simple possible ? »
                              • Peut-on construire le même pavage, avec des motifs
                              différents ? »
                              									                                                                          Source : FreeImages.com /Eric Weijers


                              Conclusion
                              Remettre du doute, remettre du jeu pour conserver ce plaisir de l’activité mathématique
                              quotidienne que connaissent les enfants au cycle 3, tout en poursuivant le développement des
                              autres compétences, tels sont les enjeux de l’attention portée au cycle 4 au développement de
                              la compétence « Chercher ».


                              3. Et ce même si la démonstration de la conjecture n’est pas à la portée des élèves.
Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016         4
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques




                              Bibliographie
                              • ASTOLFI,J.-F.(1997). L’erreur, un outil pour enseigner. Paris : ESF.
                              • PERRIN D. (2007), En mathématiques, que cherche-t-on ? comment cherche-t-on ?
                              conférence donnée au collège de Boussy Saint-Antoine.
                              • Ressources d’accompagnement des programmes de mathématiques de 2008 :
                                --Géométrie au collège
                                --Raisonnement et démonstration
                              • ANSELMO B. & ZUCHETTA H.(dir.) (2013). Le calcul mental au collège. Paris : SCEREN.
                              • MANTE M.& ARSAC B.(2007). Les pratiques du problème ouvert. Paris : SCEREN.
                              • BAUDART F.(2011). Monde de l’oral et monde de l’écrit en mathématiques, Le Français
                              aujourd’hui174,107-118 .
                              • Document préparatoire à la 16° étude de la CIEM4 : Challenging Mathematics in and beyond
                              the Classroom (le document est en français).




                              4. Commission internationale de l’enseignement mathématique.
Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   5
