     Fractions et nombres décimaux au cycle 3

       Pour que les élèves comprennent pleinement les données numériques exprimées avec des
       fractions ou sous forme décimale, et puissent mobiliser ces nombres dans la résolution de
       problèmes, leur première approche de ces notions est essentielle. Elle doit d’abord s’appuyer sur
       des activités dans lesquelles le nombre entier montre ses limites ; les activités de calcul,
       décrochées ou en situation, viennent ensuite appuyer cette construction qui se fait sur toute la
       durée du cycle 3.




Introduction

Fractions
Lorsqu’on coupe une unité en un nombre entier de parts égales et qu’on prend un nombre entier de
ces parts, éventuellement supérieur au nombre de parts contenues dans cette unité, on obtient une
fraction.
                2
La fraction         (lire « deux tiers »), rend compte d’un partage de l’unité en trois parts égales puis de la
                3
prise de deux de ces parts.
Lorsque le partage de l’unité se fait en un petit nombre de parts (2, 3, 4, ...), et que l’on prend un petit
                                                                  1   2 5   3
nombre de telles parts, on parle de fraction simple :                 , ,       , etc.
                                                                      3 4 10
Lorsque le partage de l’unité se fait en un nombre de parts égal à une puissance de 10 (comme 10,
                                                                                         3       547   3
100, 1000, …), la fraction obtenue est appelée fraction décimale :                           ,     ,       , etc.2
                                                                                         10 100 1000




1
    La notion de fraction « simple » n’est pas définie de façon précise en mathématiques.
2                                                                                        7
    On rappelle que 1 est également une puissance de 10. En effet, 1 = 100. La fraction est donc également une fraction
                                                                                       1
    décimale.
Exemples de fractions simples
      AVEC DES MOTS                                   AVEC DES SCHÉMAS                             FRACTION

 Trois cinquièmes               L’unité est la longueur d’un segment.

 On partage l’unité en cinq
 parts égales et on prend
 trois parts. On obtient une                                               Une unité partagée en
                                                                                                      3
 quantité égale à trois                                                    cinq parts égales          5
 cinquièmes de l’unité. Cette
 quantité est plus petite que
 l’unité.

 Quatre tiers                   L’unité est la longueur d’une bande (ou son aire).

 On partage l’unité en
                                                             Une unité
 trois parts égales et on
                                                             Une unité partagée en
 prend quatre parts : on
                                                             trois parts égales
                                                                                                      4
 obtient une quantité
                                                                                                      3
 égale à quatre tiers de                  Un tiers d’unité
 l’unité. Cette quantité
 est plus grande que                                              Quatre tiers d’unité
 l’unité.

 Deux tiers                     L’unité est l’aire d’un disque.

 On partage l’unité en
 trois parts égales et on
 prend deux parts : on                                                                                2
 obtient une quantité
 égale à deux tiers de                                                                                3
 l’unité. Cette quantité                            Une unité        Un tiers          Deux
                                Une unité
 est plus petite que                               partagée en       d’unité           tiers
 l’unité.                                           trois parts                       d’unité
                                                      égales

Exemples de fractions décimales
      AVEC DES MOTS                                   AVEC DES SCHÉMAS                             FRACTION

                                L’unité est la longueur (ou l’aire) de la bande rectangulaire.




                                 Une unité

     Sept dixièmes est une                                                                            7
        fraction décimale.       Une unité partagée en dix parts égales                              10

                                 Un dixième d’unité


                                 Sept dixièmes d’unité
         AVEC DES MOTS                                           AVEC DES SCHÉMAS                                       FRACTION

                                          L’unité est l’aire d’un carré.




                                                             Une unité




    Trois-cent-dix-huit centièmes                            Une unité partagée en cent parts                               318
     est une fraction décimale.                              égales centième d’unité                                        100

                                                            Un centième d’unité




                                                      Trois-cent-dix-huit centièmes d’unité



Nombres décimaux
Au cycle 1, les nombres entiers sont liés aux objets qu’ils ont servi à dénombrer, puis ils s’en
détachent progressivement pour prendre pleinement leur statut de nombres, indépendants des
collections. De la même façon, les fractions sont tout d’abord liées aux partages physiques dont elles
rendent compte, avant de s’en détacher progressivement à travers des comparaisons, des
rangements, des repérages sur une demi-droite graduée, des calculs, pour prendre pleinement leur
statut de nombres. Les nombres que l’on peut écrire sous la forme d’une fraction sont appelés les
                     3                                             𝑎
nombres rationnels . En dernière année de cycle 3, la fraction , où a est un nombre entier et b est
                                                                                    𝑏
                                                                                                             4
un nombre entier non nul, est définie comme le nombre qui, multiplié par b, donne a .
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
Très progressivement, sur la durée du cycle 3, l’élève apprend ainsi que le nombre décimal qui s’écrit
318
    et se dit trois-cent-dix-huit centièmes est aussi trois unités et dix-huit centièmes ou encore trois
100
unités et un dixième et huit centièmes puis s’écrit en respectant le principe de la numération décimale
de position : 3,18. Dans l’écriture à virgule des nombres décimaux, la virgule permet de repérer le
chiffre des unités.




3
    L’expression « nombre rationnel » n’est pas au programme du cycle 3. Les élèves s’intéresseront aux nombres rationnels
    dans toute leur généralité au cycle 4.
4
    Si le numérateur ou le dénominateur ne sont pas des nombres entiers on ne parle plus de fraction, mais d’écriture
    fractionnaire ; ainsi, 2,5/10 n’est pas une fraction, mais est une écriture fractionnaire du nombre « 25 centièmes ».
Quelles sont les relations entre les différents types de
nombres5 ?
Il existe différents types ou familles de nombres ; les mathématiciens parlent d’ensembles de
nombres. L’ensemble de tous les nombres que l’on peut placer sur une droite graduée s’appelle
l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble des nombres réels se partage en deux sous-ensembles disjoints :
           l’ensemble des nombres rationnels, composé de tous les nombres qui peuvent s’écrire
                                                                    1           17                                      2
            comme une fraction. Par exemple, 2, 3,18,                   et           sont des nombres rationnels (2 =        et
                                                                    3        111                                        1
                     318
            3,18 =         ).
                     100
           l’ensemble des nombres irrationnels, composé de tous les nombres qui ne peuvent pas
            s’écrire comme une fraction. Par exemple, 𝜋 et √2 sont des nombres irrationnels.

Un nombre réel est donc soit un nombre rationnel soit un nombre irrationnel.
On peut schématiser la situation de la façon suivante :

                                                                                          Nombres réels



                                Nombres rationnels                                Nombres irrationnels
                                               1           17
                            2   – 3,18                −                     𝜋        −𝜋      √2      −√3
                                               3          111



Les écritures décimales des nombres rationnels sont soit finies (limitées) (comme 2 ; 2,0 ; 2,00 ;
3,18 ou 3,180), soit illimitées et périodiques, c’est-à-dire avec une suite des mêmes chiffres qui se
                                                                                              1
répète à l’infini (comme 0,3333…, avec des « 3 » à l’infini, qui est égal à                       , ou 0,153153153…, avec
                                                                                              3
                                                          17
« 153 » qui se répète à l’infini, qui est égal à               ).
                                                        111
Les écritures décimales des nombres irrationnels sont illimitées et non périodiques, comme 𝜋 qui
peut s’écrire 3,14159265358979323846…, mais les points de suspension signifient ici seulement que
le développement continue à l’infini ; il n’y a pas de suite de chiffres qui se répètent à l’infini.
Au cycle 3, les élèves ne rencontrent que des nombres rationnels, à l’exception du nombre irrationnel
𝜋 utilisé en dernière année de cycle pour calculer la longueur d’un cercle ou l’aire d’un disque. Les
                                                                6
nombres rationnels, qui au cycle 3 restent des nombres positifs , sont classés dans différents
ensembles emboités :
           l’ensemble des nombres entiers : 0, 1, 3 ou 1524 sont des nombres entiers, nulle nécessité
            de virgule ou de trait de fraction pour les écrire, même si on peut aussi les écrire avec des
                                                                        3
            virgules (3,00) ou avec des barres de fraction (                 );
                                                                        1




5
    Ce paragraphe ne contient pas des éléments à enseigner, mais des connaissances pour l’enseignant.
6
    À l’exception éventuellement de quelques nombres négatifs, rencontrés dans le cas de relevés de températures, mais ces
    nombres ne font pas l’objet d’un travail particulier.
           l’ensemble des nombres décimaux : cet ensemble comprend tous les nombres qui peuvent
            s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Ainsi 3,
                                    3        30                                                                                    318
            qui peut s’écrire           ou        , est un nombre décimal ; de même, 3,18 qui peut s’écrire                              est
                                    1        10                                                                                    100
            également un nombre décimal. Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux.
           l’ensemble des nombres rationnels : cet ensemble comprend tous les nombres qui peuvent
            s’écrire sous forme d’une fraction. Les nombres décimaux peuvent s’écrire sous la forme
            d’une fraction décimale ce sont donc des nombres rationnels. Il existe aussi des nombres qui
            peuvent s’écrire sous forme de fraction mais qui ne sont pas des nombres décimaux, comme
            1        17
                ou        .
            3        111

On peut schématiser la situation de la façon suivante :


                                                                                            Nombres entiers
                                                       36
                                        3,18                         3
                                                       12
                                                                                            Nombres décimaux
                                                  19                     5
                                                 100                     4                           Nombres rationnels
                                                                                2
                                             2                   5             11
                                             3                   7

                                                                                                             1        17
Les nombres non décimaux (rationnels ou non rationnels), comme𝜋, √2,                                             ou        , admettent une
                                                                                                             3        111
unique écriture décimale ; elle est illimitée.
Les nombres décimaux admettent :
           une infinité d’écritures décimales finies obtenues en ajoutant des 0 après la dernière décimale
            non nulle (2,0 ; 2,00 ; etc. 3,180 ; 3,1800 ; etc.) ;
           une écriture décimale illimitée avec des 0 à l’infini (2,000… ou 3,18000…) et pour les nombres
            décimaux non nuls une seconde écriture décimale illimitée avec des 9 à l’infini (2 = 1,999… et
                                7
            3,18 = 3,17999…) .



Lien avec les domaines du socle
Utiliser les principes du système décimal de numération et les différentes écritures d’un nombre
décimal pour effectuer des calculs, utiliser une droite graduée et modéliser des situations contribuent
au développement des langages pour penser et communiquer (domaine 1).
De plus, l’élève, en s’engageant dans une démarche de résolution de problème nécessitant
l’utilisation de fractions et/ou de nombres décimaux, en mettant à l'essai plusieurs solutions, en
mobilisant les connaissances nécessaires, en analysant et en exploitant les erreurs, développe des
méthodes et des outils pour apprendre (domaine 2). L’engagement dans un travail collectif lui permet
de développer, dans des situations concrètes, son aptitude à coopérer, à vivre ensemble et à faire
preuve de responsabilité (domaine 3).



7
    Ces égalités peuvent être établies en posant, par exemple, x = 3,17999…
    On a alors 10x = 31,7999… et 9x = 10x – x = 31,7999… – 3,17999… = 28,62, d’où x = 28,62 ÷ 9 = 3,18.
    On a donc bien 3,17999… = 3,18.
    On peut aussi utiliser le théorème de convergence des séries géométriques :
                               9                            1    𝑛           0,009
    3,17999 … = 3,17 + ∑+∞
                        𝑛=3         = 3,17 + ∑+∞
                                              𝑛=3 9 ( ) = 3,17 +                1    = 3,17 + 0,01 = 3,18.
                              10𝑛                           10               1−10
La pratique du calcul (mental et en ligne, posé, exact et approché), l’estimation d’ordres de grandeurs
avec des nombres décimaux contribuent à l’étude des systèmes naturels et des systèmes techniques
(domaine 4).



Progressivité des apprentissages
Le sens des nombres ne se limite pas à des connaissances académiques sur les nombres ; il se
construit et se manifeste dans la compréhension et l’usage combiné de propriétés, de relations, de
désignations et par la pratique d’opérations dans lesquelles un nombre intervient comme acteur ou
comme résultat. Compter, calculer, résoudre des problèmes, mesurer sont ainsi à la fois des mises en
application et des contributions à la construction de la « notion de nombre ».
La construction des différents types de nombres (ici : entiers, décimaux, rationnels) s’effectue
progressivement du cycle 1 au cycle 4. La compréhension des concepts qui les sous-tendent est
complexe, et nécessite du temps.
Les nombres décimaux se construisent en continuité et en rupture par rapport aux nombres entiers.
       Au cycle 2, le système de numération que nous utilisons pour écrire en chiffres les nombres
        entiers se construit progressivement. Ce système, qualifié de système décimal de position, est
        fondé sur :
        - le principe de position : 2 n’a pas la même valeur dans les nombres 233 et 323 ; sa
            valeur dépend de sa position dans l’écriture du nombre ;
        - le principe du rapport de dix entre les différentes unités : la valeur d'un chiffre est dix
            fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus
            grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite, ainsi dans 233, le 2
            vaut 200, alors que dans 323, il vaut 20.

        La compréhension et l’appropriation de ce système de position se travaillent à l’aide de
        décompositions et recompositions, en s’appuyant notamment sur la manipulation (plaques,
        barres, petits cubes « unités »), le dessin, la verbalisation, en privilégiant l’oral avant l’écrit.
        Par exemple, 235 c’est « 2 centaines, 3 dizaines et 5 unités » ou « 235 unités » ou « 23
        dizaines et 5 unités » ou « 2 centaines et 35 unités ». Ces différentes écritures nécessitent de
        concevoir une centaine non seulement comme cent unités, mais aussi comme 10 dizaines
        d’unités. Ces conversions d’écritures en différentes unités de numération sont à associer aux
        conversions d’unités de mesures de longueur, de masse ou de contenance.
        Il est particulièrement important d’installer le principe de position et le principe du rapport de
        dix entre des unités de numération consécutives avec les nombres entiers au cycle 2 et au
        cycle 3, car l’écriture à virgule des nombres décimaux résulte de leur prolongement. En effet,
        dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal, la valeur d’un chiffre dépend de sa position
        dans l’écriture du nombre, et il y a un rapport de dix entre deux unités consécutives.
       Au cycle 3, on fait évoluer le statut du nombre pour exprimer des quantités et des mesures
        de grandeurs qui ne sont plus égales à un nombre entier d’unités. L’étude des fractions, initiée
        dès le début du cycle, se poursuit en différents temps sur plusieurs mois. Les formulations
        orales (du type « trois quarts » ou « vingt-sept dixièmes ») sont privilégiées dans un premier
                                               3    27
        temps ; les écritures symboliques ( ou ) apparaissent ensuite très progressivement, avant
                                              4     10
        que l’écriture d’un nombre décimal sous la forme d’une écriture à virgule n’intervienne.
        L’introduction de l’écriture à virgule, en première année du cycle, ne remplace pas les
        écritures utilisant des fractions décimales, ces deux types d’écritures coexistent tout au long
        du cycle, pour renforcer la compréhension du codage que constitue l’écriture à virgule d’un
        nombre décimal. Ces travaux sont l’occasion de nouvelles manipulations où cette fois, si une
        plaque représente l’unité, une barre représentera un dixième et un petit carré ou cube un
        centième, comme dans le tableau de l’introduction pour trois-cent-dix-huit centièmes.
       Une fois introduites, les différentes formulations et écritures cohabitent ; l’introduction de
        l’écriture à virgule n’entraine pas la disparition des fractions décimales ; au contraire
        l’utilisation des fractions décimales contribue à donner du sens aux calculs effectués avec les
        écritures à virgule. Le calcul en ligne permet de faire travailler la variété des écritures et des
        décompositions d’un nombre. Par exemple : 3,4 + 12,8 c’est « 3 unités et 12 unités plus 4
        dixièmes et 8 dixièmes… » ou « 34 dixièmes plus 128 dixièmes… ».
                                                   𝑎
        En dernière année de cycle 3, la fraction où a est un nombre entier et b est un nombre entier
                                                    𝑏
        non nul est définie comme étant le nombre qui multiplié par b donne a ; il s’agit du quotient de
        a par b. En poursuivant le travail sur les différentes représentations d’un même nombre, on
                                                                                            1        6
        amène les élèves à distinguer un nombre de l’une de ses écritures (par exemple, , 0,25,
                                                                                            4        24
        sont plusieurs représentations du même nombre). Les nouveaux nombres rencontrés au cycle 3
        sont utilisés pour résoudre des problèmes.

       Au cycle 4, on manipule les nombres rationnels en amenant progressivement les élèves à
        comparer, ajouter, soustraire, multiplier et diviser des fractions. On continue à utiliser les
        nombres décimaux lors de la résolution de problèmes, même si on rencontre principalement
        des problèmes nécessitant des calculs avec des nombres rationnels non nécessairement
        décimaux.



Stratégies d’enseignement : des fractions simples aux
nombres décimaux
À l’entrée au cycle 3, les élèves ont déjà rencontré des écritures à virgule à travers l’usage social,
dans le contexte des grandeurs (prix, taille, masse, etc.). Les formulations utilisées à l’oral dans la vie
courante pour les exprimer, comme « trois euros vingt-cinq » pour 3,25 €, ou « trois mètres vingt-
cinq » pour 3,25 m laissent entendre que ces nombres sont conçus comme la juxtaposition de deux
entiers plutôt que comme un nombre décimal. En effet, on dit « trois euros vingt-cinq » ou « trois
mètres vingt-cinq » tout comme on dit « trois heures vingt-cinq », montrant bien qu’il s’agit là d’une
juxtaposition des euros et des centimes d’euros, ou des mètres et des centimètres, comme sont
juxtaposées les heures et les minutes. Démarrer l’apprentissage des nombres décimaux en
s’appuyant sur cet usage ne favorise de ce fait sans doute pas leur compréhension et risque au
contraire d’encourager les élèves à concevoir l’écriture à virgule d’un nombre comme étant composée
de deux nombres entiers, juxtaposés et séparés par une virgule.
Les ruptures et continuités énoncées dans le paragraphe précédent expliquent le choix indiqué dans
les programmes, de construire les décimaux à partir des fractions décimales, dès le début du cycle 3.
Cette construction est un processus progressif qui nécessite du temps et s’organise de façon
graduelle selon les étapes déclinées ci-dessous ; il est essentiel que les nouveaux éléments introduits
soient explicitement mis en lien avec les éléments préexistants, et que ces derniers continuent de
vivre en articulation avec les nouvelles notions.
Pour chacune de ces étapes, le recours à l’oral est privilégié et les écritures symboliques utilisant le
trait de fraction et la virgule ne sont introduites qu’une fois le sens construit et non a priori ; le
repérage sur une demi-droite graduée est une forme de représentation qui participe à la
compréhension des différentes notions travaillées.


Découverte des fractions, en commençant par des fractions simples
La notion d’unité est abordée dès le cycle 1, lors de la construction du nombre, dès que l’élève
dénombre des collections. Au cours du cycle 2, le nombre acquiert un statut indépendant des objets
des collections qui leur ont donné naissance. Très progressivement se construit l’unité, 1, qui
correspond à n’importe lequel de ces objets de référence. Cette unité fait office d’étalon pour compter,
mesurer, comparer, etc., sans faire référence à un objet singulier.
Les fractions simples
Les fractions simples sont introduites en début de cycle 3, comme outils pour traiter des problèmes
que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre et pour lesquels un fractionnement de l’unité
répond à un besoin. Par exemple, un morceau de ficelle est donné aux élèves, la longueur du
morceau de ficelle est choisie comme unité. Avec ce morceau de ficelle, il s’agit de mesurer différents
objets de la salle de classe (la longueur d’une table, la hauteur d’une porte, les dimensions de l’écran
de l’ordinateur…). Les élèves se rendent compte qu’un nombre entier d’unités ne suffit pas à exprimer
ces longueurs : ils peuvent proposer des formulations telles que « 2 unités plus la moitié d’une unité »
(en pliant en deux la ficelle), ou bien « entre le quart et la moitié de l’unité ». On voit ici que cette
première rencontre avec les fractions ne se fait pas sous la forme de 5 demi-unités, mais la longueur
est exprimée sous la forme d’un nombre entier d’unités et d’une fraction de l’unité.
Lors de l’introduction de la fraction, le concept d’unité n’est pas nécessairement encore stabilisé. Il est
donc important de continuer à matérialiser une unité que l’élève puisse manipuler, se représenter et
répliquer : un segment, une bande, un rectangle, un disque, etc. Dans le cas où un partage de bandes
                                                                 8
ou de segments en 3, 5 ou 6… est à effectuer, un guide-âne peut être utilisé ; il permet d’obtenir
immédiatement des fractions de dénominateur 3, 5, 6… Varier les supports utilisés pour travailler les
fractions contribue ainsi à asseoir la compréhension de la notion abstraite d’unité.
Afin de ne pas induire l’idée qu’une fraction est nécessairement inférieure à 1 et préparer la
décomposition des fractions décimales menant à l’écriture à virgule, il est souhaitable de côtoyer dès
                                                                   5               1
le début du cycle 3 des fractions supérieures à 1. Le lien entre       unités et 2 + unités mentionné
                                                                   2               2
précédemment, doit donc être établi et travaillé régulièrement ; la demi-droite graduée permet d’être
confronté régulièrement à ces différentes écritures de nombres.
Lorsqu’on fractionne l’unité, on définit implicitement une nouvelle « unité de comptage » des quantités.
On définit une fraction en prenant un certain nombre de fois cette « unité de comptage ». Par
exemple, pour prendre quatre tiers de l’unité, on partage l’unité en trois tiers : le tiers devient la
nouvelle « unité de comptage ». Quatre tiers est donc défini par « quatre fois un tiers » ou « un tiers +
un tiers + un tiers + un tiers » (on revient au sens de la multiplication, construite comme une itération
d’additions) donc « une unité + un tiers ». Parmi les différentes décompositions de quatre tiers, « une
unité + un tiers » est particulièrement adaptée pour encadrer quatre tiers entre deux entiers
consécutifs.

L’écriture fractionnaire
Le passage du mot à son écriture fractionnaire est une rupture, il doit être géré de manière très
graduelle. Jusque-là, pour un élève, un nombre s’écrit avec des chiffres en utilisant le système de
numération positionnelle, de gauche à droite. L’écriture d’un nombre sous forme d’une fraction est une
nouvelle convention d’écriture dans laquelle les nombres de part et d’autre du trait de fraction ont une
signification qu’il convient d’expliciter.
Le « nombre du dessous » appelé dénominateur (étymologiquement « celui qui nomme ») détermine
le nombre de parts en lequel on partage l’unité. C’est celui qui permet de définir la nouvelle unité de
comptage. Le « nombre du dessus » appelé numérateur (étymologiquement « celui qui compte »)
détermine le nombre d’unités de comptage que l’on considère.
                                      4
L’écriture symbolique, par exemple    , nécessite un effort d’interprétation pour être pensée « 4 fois un
                                      3
tiers » et lue « quatre tiers », le nombre du dessus se lit directement 4 alors que le nombre du
dessous ne se lit pas 3 mais s’interprète « tiers ». La lecture « quatre sur trois » n’a à ce stade pas de
sens et est potentiellement source d’erreurs ; elle prendra sens en dernière année de cycle et
deviendra plus tard la seule formulation possible lorsqu’il s’agira de quotients d’expressions littérales


8
    Voir l’annexe sur le guide-âne.
                3𝑥 2
(exemple :      ). La verbalisation « quatre tiers » joue donc un rôle essentiel dans la construction du
           4𝑥+1
concept de fraction, elle doit être préalable à l’introduction de la notation symbolique et vivre tout au
long du cycle 3.

Les fractions simples comme opérateurs
Déterminer des fractions d’une quantité ou d’une mesure donnée permet de renforcer le sens des
fractions pour rendre compte d’un partage. Les séances de calcul mental permettent de faire vivre le
travail sur les fractions tout au long des trois années du cycle. On peut par exemple demander aux
élèves d’exprimer sans utiliser de fraction ce que sont « deux tiers de douze œufs » : un tiers de
douze œufs c’est quatre œufs, donc deux tiers de douze œufs c’est huit œufs, ou encore « trois
quarts de cent euros », « trois cinquièmes de cinquante mètres », « sept quarts d’heure », « vingt-
quatre dixièmes de mètre », etc.

Repérage sur une demi-droite-graduée
Les nombres exprimés sous forme de fractions simples, permettent aussi de repérer un point sur une
demi-droite graduée. Pour cela, on partage l’unité en parts égales correspondant au dénominateur de
la fraction que l’on cherche à placer sur la droite graduée, on peut effectuer cela par pliage ou en
utilisant un guide-âne. On reporte ensuite la fraction autant de fois que nécessaire. L’écriture d’une
fraction comme somme d’un entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1 est particulièrement utile
pour placer une fraction sur une droite graduée et donne du sens au travail mené pour passer d’une
écriture à l’autre.
                                                                                                               4
Le point repéré par 3 est celui qui est situé à trois unités de l’origine ; le point repéré par                    est celui qui
                                                                                                               3
               4                                                                             4         1
est situé à        d’unité de l’origine, que l’on peut repérer en utilisant l’égalité            =1+ .
               3                                                                             3         3




De la fraction simple à la fraction décimale
Le travail sur les fractions simples conduit à rencontrer des fractions ayant un dénominateur égal à 10.
Il prépare l’introduction des fractions décimales, définies comme des fractions particulières
correspondant à un partage de l’unité en 10, 100, 1 000, etc. À ce stade, la fraction décimale rend
compte d’un partage, elle n’est pas conçue par les élèves comme un quotient.

Liens entre les différentes unités de numération, manipulation de diverses écritures de
nombres décimaux utilisant les fractions décimales, décompositions diverses
                                                                 9
Le fait que 10 centièmes est égal à 1 dixième doit être explicité , par exemple de la manière
suivante.
Partageons chaque dixième en 10 parts égales. En prenant 10 dixièmes, on obtient donc cent de ces
parts. Or, 10 dixièmes sont égaux à une unité. Les cent parts égales valent donc aussi une unité. Une
seule de ces parts est donc égale à un centième de l’unité.

9
    La propriété « lorsqu’on divise ou lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre, on
    obtient une fraction égale » n’est pas encore disponible pour valider ce passage.
Comme 10 parts égales valaient un dixième, et que chaque part vaut un centième, alors 10 de ces
parts, donc dix centièmes, valent un dixième. Un tel raisonnement n’est envisageable au cycle 3 que
par des manipulations avec du matériel (plaques, barres, cubes, carrés, etc.) ou encore avec une
demi-droite graduée ayant une unité suffisamment longue pour être partagée en 100 parts d’égale
longueur.
La manipulation de matériel, où un grand carré divisé en 100 petits carrés représente une unité, est
indispensable pour faciliter la compréhension de cette égalité en considérant une des dix lignes du
grand carré, correspondant donc à un dixième d’unité, ligne composée de 10 petits carrés,
correspondant donc aussi à dix centièmes d’unités.
Il y a donc plusieurs façons de voir le centième : l’unité partagée en 100, le dixième partagé en dix,
etc. Il est important de travailler à plusieurs reprises avec les élèves les relations entre les différentes
unités de numérations, et pas seulement la relation par rapport à l’unité.
Le travail sur les relations entre les différentes unités de numération permet de faire le lien entre
différentes écriture d’un même nombre décimal :
                 6157 6100 57         57    6100 50   7        50   7         5   7
                     =    +    = 61 +     =     +   +   = 61 +    +    = 61 +   +
                 100   100 100        100   100 100 100        100 100        10 100

Parmi ces différentes écritures, deux seront particulièrement mises en avant :
       L’écriture comme somme d’un entier et d’une fraction décimale comprise entre 0 et 1 :
                                                                57
                                                         61 +      .
                                                                100
        Cette écriture correspond à la décomposition du nombre décimal en la somme de sa partie
        entière (ici 61) et de sa partie décimale (ici 57 centièmes).
        Cette décomposition s’avérera efficace pour conduire des calculs mentaux ou en ligne,
        comparer des nombres, produire des encadrements, repérer un point sur un droite graduée,
        etc. Il est important que le professeur et l’élève puissent garder la trace de cette construction
        pour pouvoir y faire référence tout au long du cycle (trace écrite dans les cahiers, affichage en
        classe, etc.).

       L’écriture comme somme d’un entier et de fractions décimales de dénominateurs tous
        différents et de numérateurs inférieurs à 10 :
                                                       5   7
                                                61 +     +    .
                                                       10 100

        Cette écriture prépare l’introduction de l’écriture à virgule des nombres décimaux.

Comparaisons de nombres décimaux et demi-droite graduée
En réinvestissant le travail mené sur les fractions simples, et en s’appuyant sur la manipulation ou le
placement sur une demi-droite graduée, on travaille des relations telles que « 10 dixièmes = 1 unité »,
« 1 dixième est dix fois plus petit qu’une unité », « 20 dixièmes = 10 dixièmes + 10 dixièmes = 1 unité
+ 1 unité = 2 unités », « 13 dixièmes = 10 dixièmes + 3 dixièmes = 1 unité + 3 dixièmes » ou « 500
centièmes, c’est 5 fois 100 centièmes, donc 5 unités »
Sur une demi-droite, le partage de l’unité en 10 ou en 100 permet de donner du sens aux mots
dixième et centième.


 0                                                      1                                                     2                                    3




                                                                                                                          10        1
Placer des fractions décimales sur une droite graduée permet de travailler les égalités                                         =        ;
                                                                                                                          100       10
100       10          100
      =        = 1,         = 10 unités, etc. en décomposant des écritures fractionnaires :
100       10          10
                                                237   200   30     7        3     7
                                                100
                                                    = 100 + 100 + 100 = 2 + 10 + 100.
Ces travaux ne sont pas à concevoir comme des exercices procéduraux dans lesquels l’élève peut
réussir par mimétisme, mais comme des situations permettant de travailler la flexibilité entre les
différentes écritures, en développant la compétence « Représenter ».
Des activités mentales régulières, du type « Donne une autre écriture de 60 dixièmes », « Combien y
a-t-il d’unités dans 70 dixièmes ? », « Quel est le nombre d’unités dans 4 dizaines et 40 dixièmes ? »,
                                          328
« Y a-t-il un nombre entier compris entre     et 43 dixièmes ? », « Combien y a-t-il de dixièmes dans 3
                                                                 100
                                                    536
unités et 5 dixièmes », « Encadre       entre deux nombres entiers qui se suivent » contribuent à
                                    100
travailler l’aspect décimal de la numération.
                                                                                                                                569          216
En revanche, un élève peut réussir par mimétisme un exercice procédural du type « Écrire       et
                                                                                           100    100
sous la forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1 comme dans
                   328      28
l’exemple suivant      =3+     » sans que cet exercice lui permette de construire le sens des
                   100     100
écritures manipulées.
Les exercices de comparaison de nombres donnés sous des formes différentes favorisent le passage
                                          7                             512
d’une écriture à une autre : « Compare 3 + et 35 dixièmes » ; « Compare     et 5 unités 12
                                          10                            100
dixièmes », etc.

Calculs avec des fractions décimales
Il est important de conduire un travail de longue durée sur des calculs mobilisant des fractions
décimales. Ce travail permet de renforcer la compréhension du lien entre les unités, les dixièmes et
les centièmes. Il permet également de donner du sens aux procédures qui seront utilisées
ultérieurement pour effectuer des calculs avec des nombres décimaux écrits sous forme de nombres à
virgule.
                                                                      8                    9
Par exemple : « Calcule la somme de 3 +                                   et 12 +              ».
                                                                     10                   10

Voici diverses procédures d’élèves pour la réalisation de cette tâche :
          En calcul en ligne :
                   8          9 17
           - 3 + + 12 + = 15 +
                        10            10                10
                        8              9       30       8       120       9         167
           -      3+         + 12 +        =        +       +         +       =
                        10            10       10       10      10        10        10
                        8              9                 17                10       7                  7             7
           -      3+         + 12 +        = 15 +             = 15 +            +         = 15 + 1 +        = 16 +
                        10            10                10                10        10                 10            10
           À l’oral :
               « 3 unités 8 dixièmes plus 12 unités 9 dixièmes » égale « 15 unités 17 dixièmes » égale
                « 15 unités 10 dixièmes plus 7 dixièmes » égale « 15 unités et 1 unité 7 dixièmes » égale
                « 16 unités 7 dixièmes »
               « 3 unités 8 dixièmes plus 12 unités 9 dixièmes » égale « 4 unités plus 12 unités 7
                dixièmes » égale « 16 unités 7 dixièmes »
               « 3 unités 8 dixièmes plus 12 unités 9 dixièmes » égale « 38 dixièmes plus 129
                dixièmes » égale « 167 dixièmes »

Avant d’introduire l’écriture à virgule, il est nécessaire de faire travailler les élèves sur des situations
variées mobilisant des fractions décimales, en veillant à ne pas se limiter à des exercices répétitifs
uniquement techniques convoquant la reproduction plutôt que la compréhension.


Introduction de l’écriture à virgule
L’écriture à virgule est une convention qui permet d’écrire les nombres décimaux en prolongeant le
système décimal de position utilisé pour écrire les nombres entiers :
           la virgule sert à repérer le chiffre des unités, elle est placée immédiatement à droite de celui-
            ci ;
           le chiffre qui est immédiatement à droite de l’unité a une valeur dix fois plus petite que celle de
            l’unité : c’est donc le chiffre des dixièmes ; le chiffre qui vient immédiatement à droite du
            chiffre des dixièmes a une valeur dix fois plus petite que le chiffre des dixièmes, c’est donc le
            chiffre des centièmes car 10 centièmes = 1 dixième, etc.
24 dixièmes c'est 20 dixièmes et 4 dixièmes donc 2 unités et 4 dixièmes que l'on va, par convention,
écrire 2,4.
358       300   50       8         5   8      358
   =     +     +     = 3 + + . Ainsi,     est égal à 3 unités, 5 dixièmes et 8 centièmes, soit, par
100  100   100   100      10 100      100
convention 3,58.
La bonne compréhension de la notation à virgule sera travaillée tout au long du cycle, notamment
avec des nombres dont l’écriture contient des zéros, nécessitant de bien comprendre ce que
représente chaque chiffre dans l’écriture à virgule. Par exemple, les élèves peuvent être invités à
donner l’écriture à virgule de nombres décimaux comme : 3 unités et 5 centièmes ; 6 dizaines et 5
                  5     7
centièmes ; 8 +      ;    ; 5 dixièmes ; etc.
                     100     100

Il convient d’être vigilant dans la construction simultanée du sens (compréhension de l’aspect
positionnel et décimal de notre numération) et de la technique lors des travaux dédiés aux
changements d’écriture d’un même nombre : un élève pourrait donner l’illusion de maitriser les
transformations d’écritures alors qu’il n’agit que par mimétisme, notamment s’il utilise un tableau de
numération.
Par exemple, un élève pourrait réussir un exercice procédural du type « Décompose comme dans
                              5    8
l’exemple suivant : 3,58 = 3 + +       les nombres 7,59 et 6,17 » sans avoir compris la numération
                              10  100
décimale de position.
En revanche une tâche plus ouverte du type « Donne différentes écritures de 12,8 » ou « Donne
                          128
différentes écritures de      », laisse davantage d’initiatives aux élèves et offre la possibilité de
                          10
recueillir un grand nombre de réponses différentes, y compris incorrectes, ce qui permet de travailler
les liens entre les diverses écritures et de concevoir les erreurs comme des étapes nécessaires à la
bonne appropriation de la notion de nombre décimal.
                                                                                                           358
L’oral est un terrain privilégié pour travailler l’égalité entre différentes écritures. Ainsi, l’égalité         =
                                                                                                           100
300   50     8
   +      +     s’énoncera naturellement « 358 centièmes, c’est 300 centièmes auxquels on ajoute 50
100   100   100
centièmes, puis 8 centièmes ».
Le travail de décomposition déjà réalisé avec les entiers doit être poursuivi avec les nombres
décimaux et leur écriture à virgule.
Exemples : 43,6 c’est « 4 dizaines, 3 unités et 6 dixièmes » ou « 43 unités et 6 dixièmes » ou « 436
dixièmes » ou « 4 360 centièmes », etc.
L’utilisation régulière de la demi-droite graduée, avec d’éventuels zooms successifs, permet de
travailler l’intercalation entre deux décimaux et de déterminer la position d’un nombre sur la demi-
droite graduée avec de plus en plus de précision. Cela contribuera également à aider les élèves à ne
pas voir un nombre décimal comme deux entiers séparés par une virgule, mais bien comme un
nombre à part entière. Les élèves peuvent placer des nombres décimaux sur une demi-droite
graduée, mais aussi lire des nombres placés sur une demi-droite graduée, comme dans l’exercice ci-
dessous où l’élève doit lire 339,16 grâce aux zooms successifs.


« Écrire le nombre qui convient dans le rectangle. »

                                   300                                     400




Le passage d’une écriture sous forme de fraction décimale à une écriture à virgule nécessite du temps
pour que la signification en soit maîtrisée. L'usage de l'oral est primordial et doit être sans cesse repris
à l'école comme au collège : 2,4 se lira « deux et quatre dixièmes » plutôt que systématiquement « 2
virgule 4 » ; cette dernière formulation contribue en effet à ce que l’élève conçoive le nombre décimal
comme la juxtaposition de deux entiers et son emploi trop souvent exclusif génère de nombreuses
erreurs dans les diverses utilisations (comparaison, opérations) des écritures à virgule. Il est de ce fait
absolument nécessaire, sur toute la durée du cycle 3, de varier les formulations et de faire vivre
différentes manières de désigner les nombres décimaux, cette flexibilité à passer d’une formulation à
l’autre, ou d’une représentation à l’autre, est essentielle pour accéder à la compréhension des
nombres décimaux.
Comparer, ranger, encadrer et intercaler des nombres décimaux
Des activités pour comparer, ranger et encadrer des nombres décimaux ou encore intercaler un
nombre décimal entre deux nombres décimaux ont déjà été menées avec des nombres décimaux
écrits en utilisant des fractions décimales. Les élèves doivent apprendre à mener ces mêmes activités
avec des nombres décimaux écrits avec des virgules. Comparer des nombres comme 31,7 et 31,28
se heurte aux règles établies au cycle 2 sur les nombres entiers (puisque 7<28, il pourrait sembler
naturel que 31,7<31,28) et nécessite, dans un premier temps, de revenir au sens du codage de
l’écriture à virgule en s’appuyant sur les travaux menés avec les fractions décimales. Ces activités de
comparaison vont donc contribuer à retravailler les aspects positionnel et décimal de la numération
écrite chiffrée des nombres décimaux.
Le choix des nombres dans les activités proposées doit s’appuyer sur les difficultés des élèves et les
obstacles repérés par la recherche pour s’assurer qu’ils sont bien surmontés par tous. Un certain
nombre de ces obstacles sont rappelés dans le point 7 de cette partie du document.


Par exemple, pour comparer deux nombres décimaux ayant la même partie entière, plusieurs
conceptions erronées sont assez fréquentes :
       Conception 1 : « Comme pour les entiers, le nombre le plus long est le plus grand », qui
        conduit à écrire que 17,3<17,12.
       Conception 2 : « Les nombres décimaux sont deux entiers séparés par une virgule ; si le
        nombre avant la virgule est le même, je compare les nombres après la virgule », qui conduit à
        écrire que 17,3<17,12 car 3<12 et que 17,2<17,07 car 2<7.
       Conception 3 : « Les nombres décimaux sont deux entiers séparés par une virgule ; si le
        nombre avant la virgule est le même, je compare les nombres après la virgule, sauf s’il y a un
        zéro juste après la virgule, car le zéro rend le nombre plus petit », qui conduit à écrire que
        17,3<17,12 car 3<12, tout en donnant la bonne réponse pour 17,07<17,2.
       Conception 4 : « Les dixièmes sont plus grands que les centièmes », qui conduit à penser que
        5 dixièmes est plus grand que 72 centièmes et donc 17,72<17,5.

Pour repérer ces conceptions erronées, il sera nécessaire de faire verbaliser l’élève, de lui faire
expliciter précisément comment il procède pour comparer deux nombres donnés. À l’écrit, il sera
nécessaire de poser suffisamment de questions, mais surtout des questions construites
spécifiquement pour déceler les conceptions erronées que l’on cherche à repérer. Les temps de
recherche individuelle en classe doivent permettre à l’enseignant, en circulant dans les rangs,
d’assurer ce repérage, d’analyser précisément les raisons de ces erreurs et d’apporter à l’élève
concerné les compléments appropriés.
Les comparaisons et les changements d’écriture de nombres décimaux doivent conduire à des
réussites parfaitement stabilisées. De nombreuses réussites pouvant être le résultat de conception
erronées (« 3,4<3,62 car 4<62 », « 3,4<3,62 car 3,62 est plus long », etc.), la moindre erreur pourra
être révélatrice d’une mauvaise conception importante et nécessitera donc une investigation
approfondie de l’enseignant pour qu’il puisse apporter l’aide appropriée.
Calculer avec des nombres décimaux
Le calcul sur les nombres décimaux ne se limite pas au calcul posé ; le calcul mental et le calcul en
ligne menés en classe portent fréquemment sur les nombres décimaux, les mises en commun de
procédures de calcul mental ou en ligne sont l’occasion de fréquents allers-retours entre les
différentes écritures d’un même nombre décimal.
Les calculs effectués s’appuient sur le sens des écritures sous forme de fractions décimales ou
d’écritures à virgule et contribuent dans le même temps à comprendre l’intérêt de passer de l’une à
l’autre ainsi que la signification de ces écritures.
Les documents ressources Le calcul aux cycles 2 et 3 et Le calcul en ligne au cycle 3 fournissent un
certain nombre de pistes de travail concernant le calcul avec des nombres décimaux.


La fraction pour exprimer un quotient
Cette partie concerne la dernière année du cycle 3. Le guide-âne est utilisé ici comme simple outil, la
justification de son fonctionnement relève de la fin du cycle 4.
La recherche du nombre qui, multiplié par 5, donne 13 unités (autrement dit la solution de la
multiplication à trou 5 × … = 13) aboutit à la recherche du résultat de la division 13 ÷ 5. En calcul en
ligne, l’élève a appris que « 13 divisé par 5 », c’est « 10 divisé par 5 plus 3 divisé par 5 », donc « 2
unités + 3 divisé par 5 ». « 3 divisé par 5 », c’est aussi « 30 dixièmes divisé par 5 », c’est-à-dire « 6
dixièmes ». On obtient ainsi que « 13 divisé par 5 est égal à 2 unités et 6 dixièmes, c’est-à-dire 2,6 ».
Le nombre qui, multiplié par 5, donne 13 s’appelle le quotient de 13 par 5, et ce quotient est 2,6.
             13
L’écriture , dans la conception partage travaillée au cours moyen, représente « 13 cinquièmes de
            5
l’unité ». Or, un cinquième de l’unité, c’est l’unité partagée en 5 ; une unité est égale à dix dixièmes,
                                                                 10
un cinquième de l’unité est donc égal à 2 dixièmes de l’unité ; on montre ainsi que « 13 cinquièmes
de l’unité » est égal à 13 fois 2 dixièmes de l’unité, soit 26 dixièmes, ou 2,6. Ce raisonnement permet
                                 13
de valider le fait que l’écriture , sera aussi utilisée pour noter le quotient de 13 par 5 ; on parlera
                                     5
                                                            13
cette fois de la conception quotient de la fraction              .
                                                            5

Ces différentes explicitations doivent s’appuyer sur des supports visuels : expressions en jeu, figures,
manipulations d’objets, etc.
Au cycle 4, on privilégiera la division et la conception de la fraction en tant que quotient.
La recherche du nombre qui, multiplié par 3, donne 7 (autrement dit la solution de la multiplication à
trou 3 × ... = 7) aboutit au fait qu’aucun nombre décimal ne peut convenir : on peut seulement
approcher la solution en divisant 7 par 3.
         7
            est le nombre par lequel il faut multiplier 3 pour obtenir 7, ce n’est pas un nombre décimal.
         3
         7
          est le quotient de 7 par 3 : il n'est pas conçu ici comme « sept tiers de l'unité », mais comme
         3
         « le tiers de sept ».




10
   La propriété « lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre, on obtient une
 fraction égale » n’est pas encore disponible pour valider ce passage.
Comme précédemment, il faut concilier ces deux approches : sept tiers c'est 1 partagé en 3 pris 7 fois
ou encore 7 fois le tiers de 1 (fraction partage), et c'est la même chose que 7 partagé en 3, ou encore
le tiers de 7 (fraction quotient).
Le guide-âne (réseau de droites parallèles) permet de montrer l’égalité des longueurs d’un segment
qui mesure sept tiers de l’unité et d’un segment mesurant le tiers de sept unités :



                                                         Sept tiers de l’unité




À l’aide d’un réseau de droites parallèles, on partage un segment d’une unité de longueur en trois
parties égales. Sur la droite portant ce segment, on trace un segment dont la longueur correspond à
sept fois le tiers de l’unité.
On trace ensuite un segment de longueur 7 unités.




À l’aide d’un réseau de droites parallèles, on partage ce segment en trois parts égales ; chaque part
mesure donc le tiers de sept unités. On constate alors, en comparant par juxtaposition les longueurs
des deux segments obtenus, que « sept tiers de l’unité » correspond au « tiers de sept unités ».




              Le tiers de
              sept unités




Les validations explicitées ci-dessus pour concilier les deux conceptions de la fraction (partage et
quotient) ne peuvent être menées et comprises en autonomie par les élèves. Il est important que le
professeur explicite ce passage, de façon à ce que les élèves comprennent que les deux conceptions
de la fraction représentent en réalité le même nombre.
Dans la suite des apprentissages, les différentes conceptions de la fraction cohabitent. On fait le lien
avec la division à quotient décimal et on met en place les procédures de comparaison et de calcul,
très progressivement au cours du cycle 4. On approche les fractions par des nombres décimaux, en
distinguant la valeur exacte, l’arrondi et des valeurs approchées. Dans certaines situations concrètes,
les décimaux permettent d'approcher ou d'encadrer des fractions avec la précision voulue.


Erreurs et obstacles fréquents
La familiarité que les élèves ont acquise à travers l’usage social des écritures à virgule des nombres
décimaux ne garantit pas qu’ils en maitrisent le sens. Le fait d’appréhender 32,50 € comme 32 € et 50
centimes induit une représentation du nombre décimal comme juxtaposition de deux entiers et n’est
pas entendu comme une partition de l’unité.
Cette juxtaposition génère des obstacles, comme le traitement indépendant de la partie entière du
nombre formé par les chiffres écrits à droite de la virgule lors des opérations, comme 1,7 + 3,12 =
4,19 au lieu de 4,82. Par ailleurs, cet usage courant privilégie une seule des écritures possibles du
nombre. La même remarque peut être faite avec le système métrique : si des liens sont à établir,
                                                         3
comme par exemple 3 cm = 3 centièmes de mètre =             m = 0,03 m, une introduction de l’écriture à
                                                        100
virgule s’appuyant uniquement sur les unités de longueurs risque de contribuer à développer des
conceptions erronées des écritures à virgule des nombres décimaux chez les élèves.
L’enseignant doit avoir conscience des ruptures qui existent entre les nombres entiers et les
nombres décimaux ; en effet, certaines connaissances, valides pour les nombres entiers, ne le sont
plus pour les nombres décimaux :
       les nombres décimaux s’étendent au-delà des nombres entiers qui servent à dénombrer des
        collections d’objets ;
       l’unité devient une entité que l’on peut partager ;
       on ne peut pas parler du successeur d’un nombre décimal, par exemple : quel nombre
        viendrait après 7,3 ? ;
       lorsqu’on compare deux nombres décimaux, celui dont l’écriture à virgule s’écrit avec le plus
        de chiffres n’est pas nécessairement le plus grand ;
       entre deux nombres décimaux on peut intercaler une infinité d’autres nombres décimaux ;
       la multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal ne peut plus être conçue comme
        une addition itérée ;
       lorsqu’on multiplie un nombre par un nombre décimal on n’obtient pas toujours un nombre
        plus grand que le nombre de départ (4 x 0,7 = 2,8 et 2,8 est inférieur à 4)…

Ces ruptures constituent des points de vigilance à expliciter et à travailler, et sont souvent sources
d’obstacles pour les élèves. Il est ainsi nécessaire, comme le montre le tableau ci-dessous, que les
apprentissages liés aux nombres entiers au cycle 2 soient pensés pour ne pas générer d’obstacles
lorsqu’on introduira les nombres décimaux au cycle 3.
Voir des exemples d'erreurs observées en annexe.
Exemples de situations d’apprentissage

Les trois annexes ci-dessous proposent différentes situations qui ont été mises en œuvre dans des
classes du cycle 3. Si certaines situations sont clairement destinées aux élèves en dernières années
de cycle 3, aucune n’est « réservée » aux élèves de première ou deuxième année de cycle 3. En
effet, les fractions simples et les fractions décimales sont rencontrées tout au long du cycle et
l’introduction de l’écriture à virgule pour les nombres décimaux n’entraîne pas la disparition des
écritures impliquant des fractions décimales. De plus, des retours peuvent être régulièrement
nécessaires pour la classe toute entière ou pour quelques élèves rencontrant des difficultés avec ces
nouveaux outils.
           annexe 1 : Découverte des fractions, en commençant par les fractions simples ;
           annexe 2 : De la fraction simple à la fraction décimale ;
           annexe 3 : Introduction de l’écriture à virgule.

Le document suivant propose un outil pouvant être utile tout au long du cycle 3, voire avant, pour
éviter que les élèves construisent des automatismes erronés, éloignés du sens, pour les
multiplications ou divisions d’un nombre, entier ou décimal, par 10, 100 ou 1000.
           annexe 4 : La glissière à nombres.

La dernière annexe concerne plus particulièrement la dernière année du cycle 3, où l’utilisation d’un
guide-âne peut se montrer utile pour diviser un segment en un nombre de parties qui n’est pas une
puissance de 2.
           annexe 5 : Le guide-âne.
