                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
                                     MATHÉMATIQUES
                                       Nombres et calculs




                                                       Le calcul aux cycles 2 et 3
                              Introduction
                              Aux cycles 2 et 3, les calculs sont menés sous différentes formes (calcul mental, calcul en
                              ligne, calcul posé, calcul instrumenté) souvent utilisées en interaction et complémentaires
                              les unes des autres. Le temps consacré à l’apprentissage de chacune de ces formes doit
                              permettre d’atteindre les attendus de fin de cycles dans le champ « nombres et calcul ».
                              Si la pratique des différentes formes de calcul est menée dans le cadre de la résolution de
                              problèmes, les connaissances visées, en termes de capacités techniques et de procédures,
                              ne peuvent s’acquérir, notamment pour le calcul mental et le calcul en ligne, qu’en y
                              consacrant des temps spécifiques quotidiens, comprenant des explicitations orales précises
                              et d’institutionnalisations écrites notées dans les cahiers des élèves.

                              Calcul mental
                              Le calcul mental est une modalité de calcul sans recours à l’écrit si ce n’est, éventuellement,
                              pour l’énoncé proposé par l’enseignant et la réponse fournie par l’élève. Il n’est pas exclu non
                              plus que la correction, elle, soit écrite pour être discutée de façon collective.

                              Calcul en ligne
                              Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Il se distingue à la fois :
                              • du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire
                                 des étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire ;
                              • du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme, c’est-
                                 à-dire d’une succession d’étapes utilisées tout le temps dans le même ordre et de la même
                                 manière indépendamment des nombres en jeu.
                              L’énoncé est donné par le professeur à l’oral ou à l’écrit ; le résultat est donné par l’élève à l’écrit.
                              Le calcul en ligne est travaillé, d’une part en complément du calcul mental, pour faciliter
                              l’apprentissage des démarches et la mémorisation des propriétés des nombres et des
                              opérations, et d’autre part pour permettre d’effectuer, sans recours à un algorithme de calcul
                              posé, des calculs trop complexes pour être intégralement traités mentalement. Par exemple :
                              58 + 17 = 58 + 20 – 3 = 78 – 3 = 75, ou 12 × 62 = 620 + 124 = 744.

                              Calcul posé
                              Le calcul posé est une modalité de calcul écrit consistant à l’application d’un algorithme
                              opératoire (par exemple celui de la multiplication entre nombres décimaux).

                              Calcul instrumenté
                              Le calcul instrumenté est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils,
                              ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur, etc.).



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                              Objectifs
                              Les cadres d’utilisation et objectifs des différentes modalités de calcul sont spécifiques.

                              Calcul mental et calcul en ligne
                              Le calcul mental et le calcul en ligne sont pratiqués pour :
                              • construire puis travailler la compréhension de la notion de nombre et des propriétés de
                                 notre numération décimale de position ;
                              • développer la connaissance des nombres ;
                              • travailler le sens des opérations ;
                              • découvrir et utiliser les propriétés des opérations ;
                              • développer des habiletés calculatoires ;
                              • construire progressivement des faits numériques et des procédures élémentaires qui seront
                                 utiles pour mener des calculs posés et permettront de traiter des calculs (mentaux ou en
                                 ligne) plus complexes ;
                              • développer des compétences dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple au
                                 niveau du choix des opérations.
                              Via le calcul mental et le calcul en ligne, on apprend aussi à déterminer un ordre de grandeur
                              et à pratiquer le calcul approché. Cette capacité est particulièrement utile pour contrôler un
                              résultat et développer l’esprit critique.
                              Calcul posé
                              Le calcul posé permet de disposer d’une méthode de calcul sécurisante, car elle permet de
                              garantir l’obtention d’un résultat.
                              Le calcul posé donne l’occasion de réinvestir les faits numériques (tables d’addition et de
                              multiplication en particulier) et les connaissances sur la numération.
                              Le calcul posé permet l’étude du fonctionnement d’algorithmes complexes à partir de leur
                              mise en pratique.


                              Calcul instrumenté
                              Lors de la résolution d’un problème pouvant donner lieu à des calculs complexes, l’utilisation
                              d’une calculatrice permet de libérer l’esprit et de centrer la réflexion sur l’élaboration d’une
                              démarche de résolution.
                              Dans les situations de calculs répétitifs (tests, essais, ajustements), les instruments
                              technologiques (calculatrice, tableur, logiciels) se révèlent pertinents. L’utilisation de ces outils
                              nécessite un apprentissage spécifique qui doit se faire de manière progressive.
                              Dans le cadre du développement de l’esprit critique, l’élève apprend à utiliser la calculatrice
                              pour vérifier les résultats obtenus à l’issue d’un calcul mental, en ligne ou posé.

                              Progressivité des apprentissages
                              Les compétences en calcul se développent progressivement tout au long des quatre cycles de
                              l’école et du collège.
                              • Au cycle 1, les premiers travaux pour établir des collections de cardinaux donnés, pour
                                 compter, pour comparer des collections, pour établir le cardinal de deux collections réunies,
                                 ou le cardinal d’une collection à laquelle on a enlevé des objets, etc., sont nécessaires pour
                                 la construction de la notion de nombre, et sont aussi les premiers apprentissages du calcul.
                              • Au cycle 2, le calcul mental et le calcul en ligne opèrent dans des contextes numériques qui
                                 se complexifient progressivement en jouant sur différentes variables : taille des nombres,
                                 variété des décompositions, relations entre les nombres, etc. ; progressivement, une plus
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  CYCLES    3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                              Les signes opératoires +, -, × sont utilisés.
                              En calcul posé, on découvre les algorithmes de calcul de l’addition, la soustraction et la
                              multiplication, lorsque le calcul mental et le calcul en ligne ont montré leurs limites en termes
                              d’efficacité.
                              • Au cycle 3, en calcul mental et en ligne, la complexification des contextes numériques se
                                 poursuit. Parmi les variables, interviennent désormais en plus de celles citées précédem-
                                 ment, la nature des nombres (nombres entiers, nombres décimaux) et leurs différentes
                                 écritures (fraction décimale, décompositions, écriture à virgule).
                              En calcul posé, les algorithmes des quatre opérations sont travaillés avec des nombres entiers
                              et décimaux. Pour la division, le diviseur ne peut être qu’un entier.
                              Les fonctions de base de la calculatrice (utilisation des quatre opérations) sont introduites
                              pour obtenir ou vérifier un résultat.
                              • Au cycle 4, le calcul mental et le calcul posé portent sur les différents types de nombres
                                 étudiés : nombres décimaux relatifs, nombres rationnels. L’étude du calcul numérique est
                                 étendue progressivement au calcul littéral.
                              Le calcul littéral s’appuie, entre autres, sur les compétences développées dans le cadre du
                              calcul en ligne aux cycles précédents, en mêlant des calculs effectués mentalement et un
                              support écrit soulageant la mémoire de travail.
                              La calculatrice est utilisée pour effectuer des calculs complexes ; des fonctions plus évoluées
                              de cet outil sont introduites (puissance, fraction, inverse, trigonométrie, racine carrée). Le
                              tableur devient progressivement un outil d’investigation, de traitement et de représentation.

                              Stratégies d’enseignement
                              La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps d’apprentissage et
                              d’entrainement est plus importante que celle accordée au calcul posé.
                              Les différentes formes de calcul sont travaillées dans le cadre de la résolution de problème,
                              mais aussi pour elles-mêmes dans des temps spécifiques d’apprentissage, d’entrainement et
                              d’évaluation.
                              Calcul mental et calcul en ligne
                              Des activités d’apprentissage ou d’entrainement sont proposées quotidiennement en
                              diversifiant les modalités. Un énoncé donné à l’écrit (en vidéoprojection ou sur feuille) plutôt
                              qu’à l’oral allège la mobilisation de la mémoire de travail. Chaque séance d’entrainement
                              permet à l’élève de s’autoévaluer et à l’enseignant d’effectuer une prise d’information, de
                              façon globale, sur les acquis et les points nécessitant un travail d’explicitation complémentaire
                              ou de nouveaux entrainements.
                              L’évaluation des acquis des élèves est réalisée régulièrement, mais non systématiquement et
                              l’évaluation d’une connaissance (d’une procédure particulière, d’un fait numérique, etc.) est
                              toujours précédée de temps d’apprentissage, d’institutionnalisation et d’entraînement.
                              Une programmation des apprentissages est nécessaire sur chacun des cycles. Au sein de
                              celle-ci, le calcul mental et le calcul en ligne sont travaillés conjointement.
                              Une large place est donnée à la différenciation :
                              • des situations différentes, adaptées aux différents profils d’élèves, peuvent vivre simultanément ;
                              • un élève fragile entrera plus aisément dans la pratique du calcul mental si la possibilité lui
                                 est donnée d’écrire des étapes ou des résultats intermédiaires ;
                              • le calcul en ligne permet aussi aux élèves performants en calcul mental d’effectuer des
                                 calculs plus complexes sans les poser.

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  CYCLES    3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                              Lors des activités d’apprentissage et d’entrainement, des temps de mise en commun sont
                              régulièrement organisés ; ils permettent d’amener les élèves à expliciter oralement leurs
                              démarches, qu’elles soient correctes ou erronées, abouties ou non, en s’appuyant sur leurs
                              écrits éventuels. La validation est dévolue à la classe, à l’issue d’un débat. L’utilisation d’un
                              visualiseur est propice à ces mises en commun.
                              Un temps de synthèse permet ensuite l’élaboration collaborative et progressive d’une trace
                              écrite ; évolutive sur la durée du cycle, elle sera conservée dans un document de type « recueil
                              d’écrits de savoir ».
                              Les connaissances développées dans le cadre du calcul mental et du calcul en ligne
                              (particularités des nombres, propriétés des opérations, procédures numériques de base, etc.)
                              servent de point d’appui pour en construire de nouvelles.
                              Chaque élève mémorise ou automatise ces savoirs qui s’enrichissent petit à petit et donnent
                              davantage d’efficacité aux démarches de calcul qu’il met en œuvre.

                              Calcul posé
                              Pour chaque opération, le calcul posé n’est introduit qu’en aval d’activités proposées en calcul
                              mental ou en ligne. Cet apprentissage doit être mené en relation étroite avec la poursuite du
                              travail mené en calcul mental et en ligne.
                              L’entrainement au calcul posé est prévu dans la durée, de façon filée plutôt que massée.
                              Pour faire progresser les élèves en calcul posé, il est important de développer chez chacun
                              d’eux, une attitude réflexive face à l’origine de ses erreurs. Des activités d’analyse de
                              productions erronées ou non abouties sont pour cela efficaces (l’utilisation d’un visualiseur est
                              adaptée).
                              Le choix des algorithmes de calcul posé travaillés tout au long de la scolarité d’un élève doit
                              être cohérent, par exemple :
                              Où positionne-t-on les retenues pour les additions et les multiplications ?
                              Quel algorithme choisit-on pour la soustraction ? (« par cassage », « par compléments »,
                              « par ajouts simultanés », etc.). Ceci ne signifie pas que la trace écrite ne peut pas évoluer,
                              ainsi pour la division les soustractions peuvent ne plus apparaître et être effectuées
                              mentalement quand le diviseur est simple et que l’élève est en mesure de gérer ces
                              soustractions mentalement.

                              Calcul instrumenté
                              Le matériel est présenté et son utilisation est explicitée. Il est ensuite mis à disposition des
                              élèves pour être utilisé en fonction des besoins. Pour être efficace, son utilisation doit être
                              régulière.

                              Analyse de l’activité mathématique des élèves : place des compétences
                              travaillées
                              Au-delà de la compétence « calculer », les activités liées au calcul permettent de développer
                              l’ensemble des compétences travaillées en mathématiques, déclinées dans les programmes.
                              • Chercher : dans les situations proposées en calcul mental et en calcul en ligne, l’élève s’en-
                                 gage dans une démarche ; il questionne la situation en mobilisant des connaissances, des
                                 outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées ; il est amené à tester plusieurs
                                 pistes, à comparer leur efficacité et à s’engager dans l’une d’elles. Par exemple : 254+9 peut
                                 s’obtenir soit en effectuant 254+6+3, ou 254+10-1, ou encore 255+8 ; faire des choix, pouvoir
                                 faire des essais et éventuellement faire des erreurs est une façon de chercher.
                              • Modéliser : lorsqu’il utilise les mathématiques pour résoudre des problèmes concrets,
                                 l’élève modélise. En effet, reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations
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  CYCLES    3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                                 additives, multiplicatives, de partage, de groupements ou de proportionnalité relève de la
                                 modélisation.
                                 Pour la résolution des problèmes proposés en calcul en ligne comme en calcul mental, le
                                  choix de l’opération effectué par l’élève peut être explicité ou pas (écrire l’opération n’est pas
                                  nécessaire).
                              • Représenter : l’élève mobilise la compétence « représenter » lorsqu’il choisit une écriture
                                 d’un nombre entier ou décimal adaptée au traitement d’un calcul (décompositions additives,
                                 multiplicatives, en unités de numération, écriture fractionnaire, etc.) ou lorsqu’il passe d’une
                                 écriture à une autre suivant les besoins qui apparaissent pour effectuer le calcul. Utiliser
                                 une représentation pour traiter un calcul (dessin, schéma, arbre de calcul, diagramme, gra-
                                 phique, écritures avec parenthèses…) relève aussi de cette même compétence.
                              • Raisonner : l’élève mobilise la compétence « raisonner » lorsqu’il choisit une démarche
                                 pour mettre en œuvre un calcul, compare un ordre de grandeur calculé et un résultat, vérifie
                                 ses résultats, met en cohérence le résultat d’un calcul et le contexte du problème concret,
                                 ou encore lorsqu’il organise des données numériques multiples ou combine plusieurs
                                 étapes de calcul.
                              • Calculer : cette compétence est mobilisée dans le calcul mental, en ligne, et posé; elle peut
                                 aussi l'être dans le calcul instrumenté lorsque une organisation réfléchie des calculs est
                                 nécessaire, pour produire ou pour vérifier un résultat.
                                 Lorsqu’il fait des choix pour organiser un calcul et anticipe sur l’effet de ces choix, l’élève
                                  exerce l’intelligence du calcul qui relève aussi de la compétence « calculer ».
                              • Communiquer : dans les activités correspondant aux différentes formes de calcul, l’élève
                                 mobilise la compétence « communiquer » lorsqu’il utilise à l’oral ou à l’écrit, le langage
                                 naturel ou des écritures symboliques (utilisation des chiffres pour écrire des nombres, utili-
                                 sation des symboles +, –, ×, ÷, =, etc., utilisation de l’écriture décimale ou fractionnaire, etc.)
                                 pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements et présenter des calculs.
                                 Utiliser l’oral pour expliciter sa démarche est fondamental en calcul mental ; en calcul en
                                 ligne, l’élève peut s’appuyer sur son écrit pour présenter sa stratégie.

                              Exemples de situations d’apprentissage
                              (à venir)

                              Ressources complémentaires
                              • SCEREN (2010), Le nombre au cycle 2, partie 1, Dialectique entre sens et techniques,
                                 l’exemple du calcul mental, p. 11 à 22
                              • SCEREN (2010), Le nombre au cycle 3, partie 3, Calcul et conceptualisation, p. 31 à 50




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