Exemples pour la mise en œuvre
des programmes

                                 6e



     Mathématiques

Exemples de réussite




                           2025
Exemples pour la mise en œuvre du programme de mathématiques
                             en 6e
                                             Exemples de réussite

      Sommaire

Nombres, calcul et résolution de problèmes                                              1
  •    Les nombres entiers et décimaux                                                   1
  •    Les fractions                                                                    5
  •    Algèbre                                                                          8

Grandeurs et mesures                                                                    9
  •    Les longueurs                                                                    9
  •    Les aires                                                                       10
  •    Les volumes                                                                     10
  •    Le repérage dans le temps et les durées                                         10

Espace et géométrie                                                                    11
  •    Étude de configurations planes                                                   11
  •    La vision dans l’espace                                                         16

Organisation et gestion de données et probabilités                                     16
  •    Organisation et gestion de données                                              16
  •    Les probabilités                                                                17

La proportionnalité                                                                    18
Initiation à la pensée informatique                                                    19



Nombres, calcul et résolution de problèmes

Les nombres entiers et décimaux

Objectifs d’apprentissage                Exemples de réussite
• Connaitre et utiliser la valeur des  L’élève consolide sa connaissance de la valeur des chiffres dans
  chiffres selon leur rang dans        l’écriture d’un nombre entier ou décimal. Par exemple, dans le
  l’écriture d’un nombre.              nombre 1,27, il identifie le chiffre des centièmes qu’il distingue du
• Connaitre les liens entre les unités nombre de centièmes contenus dans ce nombre.
 de numération unité, dizaine,
 centaine, millier, dixième,
 centième, millième.
• Connaitre des grands nombres           Les principes de la numération décimale de position sont étendus à
 entiers.                                la classe des milliards.
                                         La manipulation de milliards, de dizaines de milliards et de centaines
                                         de milliards peut avoir pour cadre les domaines « Organisation et
                                         gestion de données » et « Grandeurs et mesures ».


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• Reconnaitre un nombre décimal.     Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous forme
• Connaitre la définition d’un       d’une fraction dont le numérateur est un nombre entier et dont le
 pourcentage                         dénominateur est égal à 1, 10, 100, 1 000, etc.
• Associer et utiliser différentes   L’élève sait qu’un nombre entier est un nombre décimal.
                                                                                                                 20       2
 écritures d’un nombre décimal :     Par exemple, il remarque que 2 = 2,0 et que 2 =                                  =       .
                                                                                                                 10       1
 écriture à virgule, fraction,                                                                                                a
                                     Par définition, si a est un entier naturel, a % est égal à                                     . On se limite
 nombre mixte, pourcentage.                                                                                                   100
                                     à l’utilisation de pourcentages compris entre 0 % et 100 %, qui
                                     servent à exprimer des proportions et des probabilités.
                                     L’élève sait qu’un même nombre admet plusieurs écritures.
                                     Dans le cadre d’une fraction supérieure à 1, il utilise l’écriture sous
                                     forme de nombre mixte, somme d’un nombre entier et d’une
                                     fraction inférieure à 1.
                                     Par exemple, il sait que :
                                                    25                1                 35              7
                                      ►   25 % =          = 0,25 =        ; 35 % =           = 0,35 =        ;
                                                    100               4              100                20
                                          6         1         1       1         1     12
                                      ►       =6×       =5×       +       =1+       =        = 1,2.
                                          5         5         5       5         5       10
                                     L’élève est sensibilisé au choix d’une ou de plusieurs écritures
                                     adaptées à une situation donnée, que ce soit dans le cadre d’une
                                     opération à effectuer ou d’un problème à résoudre.
• Placer sur une demi-droite         La graduation de la demi-droite est adaptée aux nombres proposés.
 graduée un point dont l’abscisse
 est un nombre décimal.
• Repérer un nombre décimal sur
 une demi-droite graduée.
• Comparer deux nombres              Les signes d’inégalités larges ⩽ et ⩾ sont introduits à cette occasion.
 décimaux.                           L’élève justifie les procédures utilisées pour comparer ou ranger des
• Ordonner une liste de nombres      nombres décimaux en s’appuyant sur la signification de leur écriture
 décimaux.                           décimale ou sur le placement des points associés sur une demi-
                                     droite graduée.
• Donner la valeur arrondie à        En lien avec la division décimale posée l’élève comprend par
                                                    1
 l’unité, au dixième, ou au          exemple, que n’est pas un nombre décimal et que 0,33 en est la
                                                          3
 centième d’un nombre décimal.       valeur arrondie au centième.
• Déterminer ou connaitre la valeur Il sait aussi que 𝜋 n’est pas un nombre décimal, et que 3,14 en est la
 arrondie de certains nombres        valeur arrondie au centième.
 non décimaux.
                                     L’élève justifie les procédures utilisées pour encadrer ou intercaler
• Encadrer un nombre décimal par des nombres décimaux en s’appuyant sur la signification de leur
 deux nombres décimaux,              écriture décimale ou sur le placement des points associés sur une
 intercaler un nombre décimal        demi-droite graduée.
 entre deux nombres décimaux.
• Additionner et soustraire des      L’élève entretient les connaissances qu’il a acquises au cours moyen
 nombres décimaux.                   et les mobilise dans le cadre de la résolution de problèmes.
                                     Il identifie les opérations à effectuer. Tant qu’il en éprouve le besoin,
                                     il s’appuie sur des représentations, comme par exemple les schémas
                                     en barre.
                                     L’élève effectue des additions et des soustractions en les posant par
                                     écrit ou mentalement, selon les nombres en jeu.
                                     Il estime a priori le résultat de l’opération, et le contrôle a posteriori.
• Multiplier un nombre entier ou un L’élève sait que multiplier un nombre par 0,1 revient à en prendre le
 nombre décimal par 0,1, par 0,01, dixième, en lien avec les fractions et les conversions d’unités de
 et par 0,001.                     mesure.


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• Connaitre le lien avec la division   L’élève constate que, lorsqu’on multiplie un nombre décimal par 0,1,
 par 10, 100 et par 1 000.             le résultat obtenu est dix fois plus petit que le nombre initial. Il est
                                       ainsi sensibilisé au fait que « multiplier » ne signifie pas toujours
                                       « rendre plus grand ».
                                       L’élève mémorise les résultats suivants :
                                        ►   10 × 0,1 = 100 × 0,01 = 1 000 × 0,001 = 1 ;
                                        ►   0,1 × 10 = 0,01 × 100 = 0,001 × 1 000 = 1 ;
                                        ►   10 × 0,01 = 0,01 × 10 = 100 × 0,001 = 0,1 ;
                                        ►   0,001 × 10 = 10 × 0,001 = 0,01;
                                        ►   0,1 × 0,1 = 0,01 ; 0,1 × 0,01 = 0,001 ; 0,01 × 0,1 = 0,001.
                                       L’élève comprend et mémorise le lien entre la division par 10, 100, ou
                                       1 000 et la multiplication par 0,1, par 0,01, par 0,001. Il verbalise que
                                       « multiplier par 0,1 c’est diviser par 10 ; que multiplier par 0,01 c’est
                                       diviser par 100 ; que multiplier par 0,001 c’est diviser par 1 000 ».
• Comprendre le sens de la             Le sens à attribuer à la multiplication de deux nombres décimaux
 multiplication de deux nombres        sort du cadre de l’itération d’une addition. Il s’appuie, dans un
 décimaux.                             premier temps, sur l’aire d’un rectangle et les conversions d’unité.
• Calculer le produit de deux          Par exemple, la multiplication de 3,7 par 2,9, est illustrée par le calcul
 nombres décimaux.                     de l’aire d’un rectangle de 3,7 dm de longueur et 2,9 dm de largeur.
• Contrôler les résultats à l’aide L’élève convertit ces dimensions en centimètre. Le produit des deux
  d’ordres de grandeur.            entiers 37 et 29, qui est la mesure de l’aire en cm² est ensuite
• Résoudre des problèmes mettant convertie en dm et fournit le résultat de la multiplication de 3,7
                                                      2


  en jeu des multiplications entre par 2,9.
  des nombres décimaux.            L’élève contrôle systématiquement le résultat obtenu à l’aide d’un
                                   ordre de grandeur. Ainsi, il sait a priori que le produit 3,7 × 2,9 est
                                   proche de 4 × 3 = 12 (ou qu’il est de l’ordre de 10), ce qu’il vérifie a
                                   posteriori. La référence à l’aire du rectangle permet de justifier que
                                   3,7 × 2,9 = 2,9 × 3,7. La propriété de commutativité est généralisée au
                                   produit de tous les décimaux. Pour automatiser la connaissance de
                                   cette procédure l’élève calcule tout autant des produits du type
                                   8,2 × 0,01 que du type 0,01 × 8,2.
                                       Une fois que ce sens de la multiplication, qui sort du cadre d’une
                                       addition itérée, est compris par l’élève, celui-ci effectue des
                                       multiplications qui peuvent mobiliser les propriétés d’associativité et
                                       de commutativité. Sans en citer le nom, le professeur les explicite
                                       comme, par exemple pour les calculs suivants :
                                        ► 0,4 × 3 = (0,1 × 4) × 3 = 0,1 × (4 × 3) = 0,1 × 12 = 1,2

                                        ► 0,4 × 0,3 = (0,1 × 4) × (0,1 × 3) = 0,1 × 4 × 0,1 × 3 =
                                          0,1 × 0,1 × 4 × 3 = (0,1 × 0,1) × (3 × 4) = 0,01 × 12 = 0,12
                                       Il est essentiel que l’automatisation du positionnement de la virgule
                                       dans le résultat d’une multiplication soit précédée par ce type de
                                       décompositions.
                                       Lors de la résolution d’un problème dont l’objectif est de travailler le
                                       sens de la multiplication et non pas sa technique, ou dans le cas de
                                       calculs chronophages, l’élève peut, selon ses besoins, disposer d’une
                                       calculatrice.
• Diviser un nombre décimal par un L’algorithme de la division posée, étudié au cours moyen, avec un
  nombre entier non nul inférieur à dividende décimal et un diviseur inférieur à 10, est entretenu. Il était
  10.                               limité au cas où on s’arrête au plus tard au centième avec un reste
• Résoudre des problèmes mettant nul, comme, par exemple, pour effectuer 9 855 ÷ 6 ; 7 854 ÷ 8 ou
  en jeu des divisions décimales.   986,3 ÷ 5.



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                                      En 6e, on élargit ce cadre avec l’objectif de faire comprendre à l’élève
                                      deux aspects essentiels liés aux fractions :
                                       ►   lorsque l’algorithme de la division décimale de a par b s’arrête, la
                                                    a
                                           fraction est un nombre décimal, par exemple, la division posée
                                                    b
                                                                                                 9 855
                                           9 855 ÷ 6 dont le résultat est 1 642,5. La fraction           est donc un
                                                                                                  6
                                           nombre décimal ;
                                       ►   l’algorithme de certaines divisions posées ne s’arrête jamais, par
                                           exemple pour 10 ÷ 3 ou 73 ÷ 6. L’élève comprend que ce résultat
                                                                            10 73
                                           est lié au fait que les fractions et ne sont pas des nombres
                                                                            3    6
                                           décimaux.
                                      Le sens de la division comme opération inverse de la multiplication,
                                      vu sur les nombres entiers au cours élémentaire, est étendu aux
                                      décimaux non entiers. Ainsi, l’élève sait que, pour tout nombre
                                      décimal a, et tout nombre entier b non nul : (a ÷ b) × b = a et
                                      (a × b) ÷ b = a.
                                      L’élève identifie les situations relevant d’une division : le calcul d’une
                                      part ou celui du nombre de parts.
                                      Par exemple :
                                       ►   il sait quelle opération poser et il effectue le calcul permettant de
                                           déterminer, s’il verse 1,5 L de jus d’orange dans 8 verres de façon
                                           équitable, combien de centilitres contiendra chaque verre ;
                                       ►   il sait quelle opération poser et il effectue le calcul permettant de
                                           déterminer combien de verres de 20 cL sont contenus dans une
                                           bouteille de 1,5 L de jus d’orange. Il interprète le résultat (7 verres
                                           et demi) dans le contexte de l’exercice.
                                      Concernant la technique, l’élève a éventuellement recours à la
                                      calculatrice dans le cadre de la résolution d’un problème mettant en
                                      jeu un diviseur qui est un nombre entier ayant au moins deux
                                      chiffres. Par exemple, il peut utiliser une calculatrice pour résoudre
                                      l’exercice suivant : Léa a payé 57,40 € pour 35 L d’essence. Quel est le
                                      prix d’un litre d’essence ?
                                      En revanche, il sait résoudre sans calculatrice l’exercice suivant : Léo
                                      a acheté un coupon de tissu dont le prix est 3 € le mètre. Il a payé
                                      15,60 €. Quelle est la longueur du coupon acheté ?
• Effectuer la division euclidienne   Au cours moyen, l’élève a appris à effectuer, en la posant, la division
 d’un nombre entier par un            euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier inférieur à 10.
 nombre entier inférieur à 100.      En 6e, le cadre est élargi, à la division euclidienne par un nombre
• Résoudre des problèmes mettant entier inférieur à 100. Lors des différentes étapes de l’algorithme, la
  en jeu des divisions euclidiennes. verbalisation d’expressions du type « combien de fois peut-on
                                     mettre b dans a ? » ou encore « combien de fois a contient-il b ? »
                                     permet de conforter le sens « quotition » de la division. Lorsque
                                     l’opération est effectuée, l’élève désigne le dividende, le diviseur, le
                                     quotient et le reste.
                                      L’élève reconnait, par exemple, que les problèmes suivants relèvent
                                      d’une division euclidienne. Ainsi, il détermine :
                                       ►   le nombre de verres de 20 cL contenus dans une bouteille de
                                           1,25 L de jus d’orange ;
                                       ►   le nombre de bouquets de 18 roses qu’un fleuriste peut faire à
                                           partir de 295 roses ;
                                       ►   le nombre de bus de 45 places nécessaires pour transporter
                                           jusqu’aux bâtiments de l’aéroport les 536 passagers d’un avion.


                                                          4
                                      Il sait interpréter les résultats obtenus et peut insérer les unités dans
                                      la présentation de ses calculs.
                                      Par exemple, il peut écrire 295 roses = 16 × 18 roses + 7 roses.
                                      L’élève fait le lien entre division euclidienne et conversion d’unités de
                                      durée (par exemple, transformation de minutes en heures et
                                      minutes).
                                      Il sait utiliser une division euclidienne pour écrire une fraction sous la
                                      forme d’un nombre mixte.



Les fractions

Le sens quotient d’une fraction

Objectifs d’apprentissage             Exemples de réussite
                                                                                  a
• Relier une fraction au résultat     L’élève constate que la fraction                est égale au résultat, de la division de
                                                                                  b
 exact de la division de son          l’entier a par l’entier b non nul dans des cas particuliers :
 numérateur par son                    ►   lorsque a est un multiple de b ;
 dénominateur.
                                       ►   lorsque a ÷ b est un nombre décimal non entier. Par exemple, il sait
                                                3
                                           que = 0,75 et constate que 3 ÷ 4 = 0,75 en posant la division
                                               4
                                                                                                             3
                                           décimale de 3 par 4. Il interprète alors la fraction comme le quart
                                                                                                             4
                                           de 3.
                                      L’élève apprend que, pour tout entier a et tout entier b non nul, la
                                               a
                                      fraction est le résultat exact de la division de a par b.
                                                   b
                                                                                                         a
                                      Le cas particulier b = 1 est explicité. L’élève sait que               = a ÷ 1 = a.
                                                                                                         1
                                                                       a
• Comprendre et connaitre la          L’élève constate que b ×             = a dans des cas particuliers :
                                                                       b
 définition du quotient d’un entier    ►   lorsque a est un multiple de b ;
 a par un entier b non nul.                            a
                                       ►   lorsque         est un nombre décimal non entier.
                                                       b
• Compléter des égalités à trou                    a
                                      L’égalité        = a ÷ b et le fait que la multiplication est l’opération inverse
 multiplicatives.                                  b
                                      de la division permettent d’institutionnaliser le résultat et de le
                                      verbaliser sous la forme « Le quotient de a par b est le nombre qui,
                                      multiplié par b, donne a ».
                                      La commutativité du produit d’un entier par une fraction, justifiée par
                                      son interprétation comme aire d’un rectangle, permet d’écrire
                                          a   a
                                      b × = × b = a.
                                           b   b
                                      L’élève utilise la notion de quotient et la propriété de commutativité
                                      pour compléter des égalités à trou des types : b × … = a ; … × b = a, où a
                                      est un entier et b un entier non nul.
                                      Il importe de proposer aux élèves des égalités à trou leur permettant
                                      de comprendre que, dans certains cas, l’écriture fractionnaire est la
                                      seule manière de représenter le nombre manquant.
                                                                             a
• Placer une fraction sur une demi-   L’élève sait placer la fraction
                                                                             b
                                                                                 sur une demi-droite dont la graduation
 droite graduée dans des cas          est adaptée.
 simples.                             Par exemple, il détermine l’abscisse inconnue sachant que les
• Graduer un segment de longueur      graduations sont régulièrement espacées.
 donnée.




                                                               5
                                       Selon la graduation souhaitée, l’élève sait effectuer des pliages d’une
                                       bande de papier (en 2, 4 ou 8) ou utiliser un guide-âne pour graduer un
                                       segment de longueur donnée. Il écrit la valeur de chaque graduation
                                       sous forme fractionnaire.
                         a
• Savoir que la fraction b peut        L’élève connait quelques fractions qui représentent des nombres non
 représenter un nombre entier, un      décimaux.
 nombre décimal non entier ou un En lien avec le domaine « Géométrie », il admet que le nombre 𝜋 ne
 nombre non décimal.              peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.


La fraction comme opérateur multiplicatif

Objectifs d’apprentissage              Exemples de réussite
• Utiliser une multiplication pour     En début d’apprentissage, l’élève verbalise des calculs du type :
                                       2
 appliquer une fraction à un               de 60, c’est 2 cinquièmes de 60, c’est-à-dire 2 fois un cinquième de
                                       5
 nombre entier.                                                    60                          2                    60
                                       60, c’est-à-dire 2 fois             ; ainsi :                   × 60 = 2 ×        = 2 × 12 = 24.
                                                                       5                       5                    5
                                                 5
                                       Ou : de 3, c’est 5 quarts de 3, c’est-à-dire 5 fois un quart de 3, c’est-à-
                                                 4
                                                     3             3           3×5             15
                                       dire 5 fois , soit 5 ×          =                   =           .
                                                     4             4               4               4
                                       Le professeur peut, selon des besoins des élèves, faire apparaitre sur
                                                                                                     b
                                       des exemples du type précédent que pour a, b, c (non nul), « de a »
                                                                                                                                                       c
                                                     b                     b                                         b×a                   a
                                       est égal à        × a et à a ×          qui est aussi égal à                          et à b ×          .
                                                     c                     c                                             c                 c
                                       Le résultat est institutionnalisé sous la forme : « Pour calculer une
                                       fraction d’un nombre entier, on multiplie la fraction par le nombre ».
                                       L’élève est fortement encouragé, avant d’effectuer la multiplication, à
                                                             a
                                       simplifier la fraction , notamment quand c’est un nombre entier,
                                                                   c
                                                                                   2
                                       comme pour le calcul de de 60.
                                                                                   5



Comparer des fractions

Objectifs d’apprentissage              Exemples de réussite
                                                                                                                     7             14
• Établir des égalités de fractions.   L’élève sait, par exemple, justifier pourquoi est égal
                                                                                                                     3                6
                                                                                                                                          , en s’appuyant
                                       sur une représentation de chacune de ces fractions ou en comparant
                                       leur placement sur deux demi-droites graduées, l’une en tiers et l’autre
                                       en sixièmes de la même unité.
                                       Le résultat est institutionnalisé sous la forme « Le nombre représenté
                                       par une fraction ne change pas quand on multiplie ou quand on divise
                                       le numérateur et le dénominateur de celle-ci par un même nombre
                                       non nul ».
                                       L’élève sait, par exemple, répondre à la question suivante, en justifiant
                                       sa réponse :
                                                                  4 35 15 70                       21
                                       « Parmi les fractions ,                 ,       ,       ,        , quelles sont celles qui sont égales
                                                                  7 20 18 40                       28
                                             7
                                           à ? ».
                                             4
                                                                                                                         2   …    4        28
                                       L’élève sait compléter des égalités du type : = ou                                             =            .
                                                                                                                         3   9    7        …
                                       L’automatisation des tables de multiplication est mobilisée à cette
                                       occasion.
• Comparer et encadrer des             L’élève sait comparer deux fractions de même dénominateur.
 fractions.                            L’élève sait comparer deux fractions de même numérateur.



                                                              6
• Ordonner une liste de nombres      Il sait comparer une fraction à 1 de manière automatique et utilise ce
                                                                                                       7   10
 écrits sous forme de fractions ou   moyen pour comparer certaines fractions comme, par exemple, et .
                                                                                                                          8         9
 de nombres mixtes.                                                                  1                        5      6
                                     Il compare certaines fractions à                    comme, par exemple        et .
                                                                                     2                        12     11
                                     L’élève sait encadrer une fraction par deux entiers consécutifs,
                                     notamment à l’aide de son écriture sous forme de nombre mixte.
                                     Il sait, par exemple, ordonner dans l’ordre croissant une liste de
                                                             5 7  99      1
                                     nombres comme : 1, , ,          ,1+ .
                                                                       3   6   100        3



Effectuer des opérations sur les fractions

Objectifs d’apprentissage            Exemples de réussite
• Additionner et soustraire des      L’élève sait additionner et soustraire des fractions de même
 fractions.                          dénominateur ou de dénominateurs multiples l’un de l’autre.
• Multiplier une fraction par un     Il sait additionner et soustraire des fractions de dénominateurs
 nombre entier.                      quelconques dans des cas simples. Par exemple, il sait calculer :
                                     5       2       7    3
                                         +       ;       - .
                                     4       3       2    5
                                     L’élève sait calculer le produit d’une fraction par un nombre entier, et
                                     connait sa propriété de commutativité.
• Résoudre des problèmes mettant Par exemple, l’élève sait résoudre le problème suivant :
 en jeu des fractions.               « Mia a découpé son gâteau d’anniversaire en parts de différentes
• Inventer des problèmes mettant     tailles. Leïla choisit une part égale au quart du gâteau et Léo choisit une
 en jeu des fractions.               part égale au sixième du gâteau. Quelle fraction du gâteau reste-t-il
                                     pour les autres invités ? »
                                     Par exemple, l’élève invente un problème dont la résolution nécessite
                                                 2   3
                                     le calcul de +     suivi de la soustraction de son choix.
                                                              5   10



Pourcentages

Objectifs d’apprentissage            Exemples de réussite
• Comprendre le sens d’un            L’élève s’appuie sur la verbalisation pour comprendre le sens d’un
 pourcentage.                        pourcentage, en lien avec la proportionnalité.
• Calculer une proportion (rapport   Par exemple, il sait que, si un aliment contient 42 % de glucides, alors
 entre une partie et le tout) et   « pour 100 g » de cet aliment, il y a 42 g de glucides. Il en déduit que
 l’exprimer sous forme de          200 g de cet aliment contiennent 84 g de glucides et que 50 g de cet
 pourcentage dans des cas simples. aliment en contiennent 21 g.
• Appliquer un pourcentage à une     L’élève sait calculer une proportion et l’exprimer sous forme de
 grandeur ou à un nombre.            pourcentage dans le cas où le dénominateur est un diviseur ou un
                                     multiple de 100.
                                     Il sait, par exemple, calculer le pourcentage de boules blanches dans
                                     un sac contenant 2 boules blanches et 8 boules noires et l’exprimer en
                                     pourcentage.
                                     Il sait, par exemple, exprimer en pourcentage la proportion d’élèves
                                     demi-pensionnaires dans un collège de 400 élèves dont 120 sont demi-
                                     pensionnaires.
                                     L’élève sait qu’une proportion est toujours inférieure ou égale à 1.
                                                                                                                          a
                                     a % ayant été défini comme une nouvelle écriture de la fraction                            ,
                                                                                                                          100
                                     l’application d’un pourcentage à un nombre est un cas particulier de
                                     l’application d’une fraction à un nombre.


                                                                   7
                                       Ainsi, l’élève sait que, pour déterminer a % d’un nombre entier 𝑐, on
                                                 a
                                       calcule      × c.
                                                 100
                                       Les élèves qui en ont besoin peuvent utiliser, en début d’apprentissage,
                                       une échelle de pourcentage pour calculer un pourcentage simple d’une
                                       grandeur.
                                       Par exemple, pour calculer 20 % de 60 € :




Algèbre

Résoudre des problèmes mettant en jeu des nombres inconnus

Objectifs d’apprentissage              Exemples de réussite
• Utiliser des modèles pré-            En utilisant un schéma en barres pour traduire les relations entre les
 algébriques pour résoudre des         nombres inconnus, l’élève résout des problèmes comme, par exemple,
 problèmes algébriques.                le suivant :
                                        ►   Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime
                                            totale de 320€ sera répartie entre les trois premiers coureurs. Le
                                            premier touchera la prime d’or, le deuxième la prime d’argent et le
                                            troisième la prime de bronze. La prime d’or s’élève à 70€ de plus que
                                            la prime d’argent et la prime de bronze à 80€ de moins que la prime
                                            d’argent. Quelle est la prime de chacun des trois premiers coureurs ?
                                       L’élève résout des problèmes comme dans l’exemple suivant :
                                        ►   En utilisant les prix indiqués ci-dessous, déterminer le prix d’une
                                            pastèque et celui d’un ananas.




• Identifier la structure d’un motif   L’élève résout des problèmes comme, par exemple, le suivant :
 évolutif en repérant une              On fabrique des petites maisons avec des allumettes, comme indiqué
 régularité et en identifiant une      sur le dessin ci-dessous :
 structure.




                                         Étape 1                Étape 2                  Étape 3

                                       Combien faut-il d’allumettes pour réaliser :
                                        ►   1 maison ?
                                        ►   4 maisons ?
                                        ►   25 maisons ?




                                                           8
                                    L’élève identifie une relation entre le nombre de maisons et le nombre
                                    d’allumettes, par exemple en organisant ses calculs dans un tableau :
                                         Nombre de maisons          Nombre d’allumettes
                                         1                          6
                                         2                          11 = 6 + 1 × 5
                                         3                          16 = 6 + 2 × 5
                                         4                          16 = 6 + 3 × 5
                                         …
                                         25                              6 + 24 × 5 = 126




Grandeurs et mesures

Les longueurs

Objectifs d’apprentissage           Exemples de réussite
• Savoir que le périmètre du disque L’élève admet que, pour tous les disques, le rapport entre leur
  est proportionnel à son diamètre. périmètre et leur diamètre est un nombre constant noté π.
• Connaitre la formule du           Le professeur indique que le nombre π n’est pas un nombre décimal, et
  périmètre d’un disque.            qu’il ne peut pas, non plus, s’écrire sous forme de fraction.
• Calculer le périmètre d’un disque. L’élève procède à des mesures expérimentales pour déterminer des
                                    valeurs décimales approchées du nombre π. Il sait que 3,14 en est
                                    l’arrondi au centième.
                                    Après plusieurs calculs en situation au cours desquels il verbalise en
                                    langage naturel « le périmètre d’un disque est égal au produit du
                                    nombre 𝜋 par son diamètre », l’élève écrit et apprend les formules
                                    P = π × D ; P = 2 × π × R, où D est le diamètre du disque, R son rayon et
                                    P son périmètre.
                                    Dans les formules, l’élève substitue à la lettre D ou à la lettre R une
                                    longueur pour calculer le périmètre d’un disque donné.
• Calculer des périmètres de        L’élève calcule le périmètre de figures dont le contour contient des
 figures composées.                 cercles ou des portions de cercles comme, par exemple :
• Résoudre des problèmes
 impliquant des longueurs.




                                    Par exemple, l’élève détermine si la piste représentée ci-dessous par la
                                    bande orange sera homologuée, sachant qu’un tour complet intérieur
                                    doit mesurer au moins 400 m et ne pas dépasser 402,3 m.




                                                      9
Les aires

Objectifs d’apprentissage              Exemples de réussite
• Effectuer des conversions d’aire.    L’élève sait que 1 mm² est l’aire d’un carré de 1 mm de côté et que
                                       1 km² est l’aire d’un carré de 1 km de côté.
                                       L’élève convertit en m2 (respectivement en dm2) une aire donnée en
                                       dm2 (respectivement en cm2) et inversement.
                                       Par exemple, l’élève convertit 3,7 m2 en dm2 en s’appuyant sur l’égalité
                                       1 m2 = 100 dm2. Il convertit 370 cm2 en dm2, en verbalisant que la
                                       mesure en dm2 est 100 fois plus petite que la mesure en cm2, ou que
                                       1 cm2 est le centième de 1 dm2. Le recours à un tableau de conversion
                                       est déconseillé à ce stade de l’apprentissage.
                                       Les autres conversions d’aire ne figurent pas au programme.
• Connaitre la formule de l’aire       L’élève verbalise la formule de l’aire d’un carré sous la forme « l’aire d’un
 d’un carré ou d’un rectangle.         carré est égal au produit de son côté par son côté ».
• Calculer l’aire d’un carré ou d’un   Il l’écrit sous la forme « aire = côté × côté » avant de la formaliser sous la
 rectangle.                            forme littérale A = c × c.
                                       Il adopte une démarche similaire pour l’aire du rectangle.
                                       Le calcul numérique de l’aire d’un rectangle est exploité pour illustrer la
                                       commutativité de la multiplication entre deux nombres décimaux et
                                       entre un nombre entier et une fraction.
                                       En lien avec l’initiation à la pensée algébrique, l’élève utilise les formules
                                       du périmètre et de l’aire d’un rectangle dans lesquelles il substitue des
                                       valeurs numériques aux deux lettres. Cependant, le passage à la formule
                                       ne doit pas se faire prématurément


Les volumes

Objectifs d’apprentissage              Exemples de réussite
• Connaitre l’unité centimètre         L’élève apprend que le centimètre cube est une unité de volume notée
 cube.                                 cm3 et que 1 cm3 est le volume d’un cube d’arête 1 cm.

• Comparer des volumes.                L’élève compare le volume de deux solides constitués d’assemblages de
• Déterminer un volume.                cubes identiques.
                                       L’élève détermine le volume d’un assemblage de cubes d’arête 1 cm.


Le repérage dans le temps et les durées

Objectifs d’apprentissage              Exemples de réussite
• Effectuer des calculs sur des        Les instants et les durées sont exprimés en jours, heures, minutes et
 horaires et des durées.               secondes.
                                       L’élève détermine un instant initial, un instant final ou une durée, sur
                                       des exemples de la vie courante.
                                       Par exemple, il sait calculer l’heure de fin d’une séance de cinéma qui
                                       commence à 17 h 40 et qui dure 110 minutes ; il sait calculer la durée
                                       hebdomadaire de ses cours et l’exprimer en heures et minutes.
• Résoudre des problèmes               Par exemple, l’élève résout un problème du type :
 impliquant des horaires, des          D’après les informations ci-dessous :
 durées.                                ►   quel est le numéro du prochain bus ?


                                                         10
                                      ►   dans combien de temps arrivera-t-il ?
                                      ►   un ami te prévient qu’il te rejoindra dans 12 minutes. Pourrez-vous
                                          prendre ensemble le bus 303 ?




• Convertir des durées.             L’élève sait répondre à des questions du type : « Combien font 609 h en
                                    semaines, jours et heures ? » ; « Combien font 34 990 s en heures,
                                    minutes et secondes ? » ; « Est-il plus long d’emprunter de l’argent à la
                                    banque sur 76 mois ou sur 5 ans ? ».
                                    L’élève sait que :
                                                    1                              1
                                      ►   0,5 h =       h = 30 min ; 0,25 h =           h = 15 min ;
                                                    2                              4
                                                        3                          1
                                      ►   0,75 h =          h = 45 min ; 0,1 h =        h = 6 min.
                                                        4                          10
                                    L’élève connait les écritures sexagésimale et décimale d’une durée.
                                    Dans le cadre de la résolution de problèmes, il passe de l’une à l’autre.


Espace et géométrie

Étude de configurations planes

Distances

Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
• Connaitre et utiliser la      La distance entre deux points A et B est définie comme la longueur du
 définition de la distance      segment [AB]. Elle est notée AB. L’élève admet que le plus court chemin
 entre deux points.             pour aller de A à B est le segment [AB]. Il en déduit que, pour tout point C,
• Connaitre et utiliser la      AC + CB ⩾ AB, l’égalité étant réalisée pour tous les points appartenant au
 définition du milieu d’un      segment [AB], et uniquement pour eux.
 segment.                       L’élève reporte une distance, compare deux distances à l’aide d’un compas
                                ou d’une mesure effectuée avec une règle graduée.
                                L’élève connait la définition du milieu d’un segment et s’appuie sur elle pour
                                le construire selon les outils dont il dispose : par pliage, en utilisant un guide-
                                âne, une règle graduée ou un compas et une règle non graduée.


Cercles et disques

Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
• Connaitre les définitions d’un Le cercle est défini comme l’ensemble des points équidistants d’un point
 cercle, d’un disque, d’un      appelé centre.
 rayon, d’un diamètre, d’une    Le disque est défini comme l’ensemble des points situés à une distance
 corde.                         inférieure ou égale à un point donné appelé centre.
                                L’élève distingue un cercle d’un disque.
                                Le mot « rayon » désigne indifféremment un segment joignant un point du
                                cercle à son centre et la longueur de ce segment.
                                Le mot « diamètre » désigne indifféremment un segment joignant deux
                                points du cercle et passant par son centre et la longueur de ce segment.

                                                               11
                                  Une corde d’un cercle est définie comme un segment reliant deux de ses
                                  points.
                                  L’élève sait que le diamètre est le double du rayon et qu’il est supérieur ou
                                  égal à la longueur de toutes les cordes.
• Comprendre la définition        L’élève sait interpréter géométriquement des égalités et des inégalités de
 d’un cercle et celle d’un        distances à un point.
 disque sous la forme             Il sait que :
 d’ensembles de points.            ►   si un point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2 cm, alors
                                       OA = 2 cm et, si OB = 2 cm, alors le point B appartient au cercle de centre
                                       O et de rayon 2 cm.
                                   ►   si un point D n’appartient pas au cercle de centre O et de rayon 2 cm,
                                       alors OD ≠ 2 cm et, si OE ≠ 2 cm, alors le point E n’appartient pas au
                                       cercle de centre O et de rayon 2 cm.
                                  Il admet alors que le cercle de centre O et de rayon 2 cm est l’ensemble des
                                  points situés à 2 cm de O.
                                  L’élève constate que :
                                   ►   si OF ⩽ 2 cm, alors le point F appartient au disque de centre O et de
                                       rayon 2 cm ;
                                   ►   si OG > 2 cm, alors le point G n’appartient pas au disque de centre O et
                                       de rayon 2 cm.
                                  Il admet alors que le disque de centre O et de rayon 2 cm est l’ensemble des
                                  points dont la distance à O est inférieure ou égale à 2 cm.
• Résoudre des problèmes      Par exemple, l’élève reproduit le schéma ci-dessous à l’échelle (1 cm sur le
 mettant en jeu des distances dessin représente 1 m dans la réalité) et détermine, en la hachurant, la zone
 à un point.                  de l’enclos dans laquelle peut brouter une chèvre attachée à une corde de 8
                              mètres de long fixée au point P.




Médiatrice d’un segment

Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
• Connaitre la définition de la   La médiatrice d’un segment est définie comme la droite perpendiculaire au
 médiatrice d’un segment.         segment passant par son milieu.
• Comprendre et utiliser la       L’élève observe, puis admet, que la médiatrice d’un segment est un axe de
 propriété caractéristique de     symétrie de ce segment. Il construit la médiatrice d’un segment par pliage.
 la médiatrice d’un segment.      Il observe alors que, si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il
                                  est équidistant de ses extrémités.
                                  L’élève observe également que, si un point n’est pas sur la médiatrice d’un
                                  segment, alors il est plus proche de l’une des extrémités que de l’autre.
                                  Il admet que, si un point est à égale distance des extrémités d’un segment,
                                  alors il appartient à la médiatrice de ce segment.




                                                         12
                                  L’élève connait la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
                                  qu’il verbalise sous la forme : « la médiatrice d’un segment est l’ensemble
                                  des points équidistants des extrémités de ce segment ».
                                  Il l’utilise pour justifier la construction de la médiatrice à l’aide d’un compas
                                  et d’une règle non graduée.
• Résoudre des problèmes en       Par exemple, l’élève place le milieu d’une corde d’un cercle de centre connu
 s’appuyant sur la propriété      en utilisant une équerre et justifie son raisonnement.
 caractéristique de la            Par exemple, l’élève détermine le centre inconnu d’un cercle et justifie sa
 médiatrice.                      construction en verbalisant le raisonnement sous-jacent.


Angles

Objectifs d’apprentissage         Commentaires et exemples de réussite
• Connaitre et utiliser les       Deux demi-droites de même origine définissent deux secteurs angulaires,
 angles ainsi que le lexique et   qu’on assimile à des angles : un angle saillant et un angle rentrant, ou deux
 les notations qui s’y            angles plats. Hormis l’angle plein et l’angle plat, le programme se limite aux
 rapportent : angle droit,        angles saillants.
 angle plat, angle plein, angle   La notion mathématique d’angle peut être illustrée par l’ouverture d’un
 nul, angle aigu, angle obtus,    éventail, le déplacement de l’aiguille d’une horloge par rapport à une
 angles opposés par le            position fixe ou l’ouverture d’un compas.
 sommet, angles adjacents,        L’élève verbalise et utilise la notation adaptée pour désigner chacun des
 angles supplémentaires.          objets suivants : sommet, côté, demi-droites qui délimitent un angle.
                                  Pour noter les angles, selon les situations, il utilise les notations : ABC
                                                                                                          ̂, Â , xOy
                                                                                                                  ̂.
                                  L’élève compare des angles par superposition, avec un calque ou en utilisant
                                  un gabarit. En particulier, il sait déterminer si deux angles sont égaux. Il sait
                                  reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.
                                  L’élève sait que deux droites sécantes se coupent en formant quatre angles
                                  saillants qui constituent deux paires d’angles opposés par le sommet. À
                                  l’aide d’un gabarit ou d’un rapporteur, il constate que deux angles opposés
                                  par le sommet sont de même mesure. Il admet et connait cette propriété.
                                  L’élève sait que, si deux droites sécantes se coupent en formant quatre
                                  angles égaux, alors les angles obtenus sont des angles droits.
                                  Par exemple, il fabrique un angle droit à l’aide d’une feuille de papier pliée
                                  en quatre. Il illustre les liens entre angle droit, angle plat et angle plein, à
                                  l’aide de cette feuille de papier.
                                  L’élève connait la définition des angles adjacents et celle des angles
                                  supplémentaires.
• Mesurer un angle.               L’élève connait les mesures en degrés de l’angle droit et de l’angle plat. Il en
• Construire un angle de          déduit que l’angle plein mesure 360° et comprend que l’angle nul mesure 0°.
 mesure donnée.                   Par pliage et superposition, l’élève partage l’angle plat en deux, en trois, en
                                  quatre ou en six angles deux à deux adjacents et égaux et associe une
                                  mesure aux angles obtenus.
                                  Il connait les mesures des angles de l’équerre qu’il utilise.
                                  Un angle mesurant 1° peut être obtenu à partir du partage de l’angle plat en
                                  180 angles deux à deux adjacents et égaux.
                                  L’élève utilise un rapporteur pour mesurer un angle en degré, pour comparer
                                  deux angles, pour construire un angle de mesure donnée en degré.
                                  En lien avec les déplacements, il relie quart de tour à angle droit, demi-tour
                                  à angle plat, tour complet à angle plein, et connait les mesures en degrés de
                                  chacun de ces angles.


                                                         13
Bissectrice d’un angle saillant

Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
• Connaitre la définition de la   La bissectrice d’un angle saillant est définie comme la droite qui partage cet
 bissectrice d’un angle           angle en deux angles adjacents égaux.
 saillant.                        L’élève observe, puis admet, que la bissectrice d’un angle est l’axe de
• Utiliser la définition de la    symétrie de cet angle.
 bissectrice d’un angle pour      L’élève construit la bissectrice d’un angle par pliage, puis à l’aide d’un
 effectuer des constructions      rapporteur.
 et résoudre des problèmes.       Par exemple, l’élève élabore un programme de construction permettant à
                                  un camarade de reproduire la figure suivante représentant une tête
                                  d’oiseau.




Triangles

Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
• Construire des triangles.       L’élève dessine à main levée un triangle en faisant figurer le codage
• Connaitre et utiliser les       correspondant aux données de l’énoncé.
 propriétés angulaires des         L’élève construit un triangle connaissant :
 triangles particuliers : triangle ► les longueurs des trois côtés, lorsque la construction est possible ;
 rectangle, triangle isocèle,       ► les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés ;
 triangle équilatéral.
                                    ► la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents.

                                  L’élève connait et utilise les codes pour les angles droits et pour les égalités
                                  d’angles.
                                  Il connait la définition et la caractérisation sous la forme d’égalité d’angles
                                  d’un triangle isocèle et d’un triangle équilatéral.
• Connaitre la valeur de la       L’élève s’appuie sur l’accolement de triangles identiques pour constater que
 somme des mesures des            la somme des angles d’un triangle est un angle plat avant d’admettre ce
 angles d’un triangle.            résultat.
• L’utiliser pour calculer des    L’élève démontre que, dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure
 angles, effectuer des            60° et il connait ce résultat.
 constructions et résoudre        L’élève sait calculer la mesure des trois angles d’un triangle isocèle à partir
 des problèmes.                   de l’une d’elles.
                                  Par exemple, l’élève construit un triangle ABC isocèle en A, sachant que
                                  AB = 4 cm et BAC
                                               ̂ =30°.
                                  Par exemple, à l’aide d’instruments géométriques, l’élève reproduit la figure
                                  à main levée ci-dessous et détermine, en le justifiant, si les points E, F et I
                                  sont alignés.




                                                        14
• Savoir que les médiatrices   L’élève comprend pourquoi les trois médiatrices d’un triangle sont
 d’un triangle sont            concourantes et il est capable de restituer les arguments de la preuve de ce
 concourantes.                 résultat.
• Connaitre et construire le   Il en déduit l’existence du cercle circonscrit à un triangle et sait le
 cercle circonscrit à un       construire.
 triangle.


Symétrie axiale

Objectifs d’apprentissage      Exemples de réussite
• Connaitre la définition du   Le passage au papier uni nécessite de donner la définition du symétrique
 symétrique d’un point par     d’un point par symétrie axiale.
 rapport à une droite.         Étant donnés une droite (d) et un point M n’appartenant pas à (d), l’élève
• Connaitre et utiliser les    sait que le symétrique de M par rapport à (d) est le point M’ tel que (d) est la
 propriétés de la symétrie     médiatrice du segment [MM’].
 axiale pour effectuer des     Il sait également que, si le point M appartient à (d), alors il est son propre
 constructions.                symétrique.
                               L’élève sait que si M’ est le symétrique de M, alors M est le symétrique de M’.
                               L’élève constate par pliage la conservation des distances par une symétrie
                               axiale, avant d’admettre et d’utiliser cette propriété.
                               Il constate sur des figures la conservation des angles par une symétrie axiale,
                               avant d’admettre et d’utiliser cette propriété.
                               L’élève sait que le symétrique d’un point est un point, que le symétrique
                               d’une droite (respectivement d’une demi-droite) est une droite
                               (respectivement une demi-droite), que le symétrique d’un segment est un
                               segment de même longueur, que le symétrique d’un angle est un angle de
                               même mesure, que le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
                               L’élève construit le symétrique d’un point ou d’une figure simple en utilisant
                               des instruments et un support imposés (équerre et règle graduée ; équerre
                               et compas ; compas seul ; papier quadrillé ; papier pointé ou papier uni).
                               Pour tracer, par exemple, l’image de la figure suivante, l’élève est capable de
                               dire que, la symétrie axiale conservant les longueurs et les mesures des
                               angles, il suffit de placer les symétriques des points A et B puis d’utiliser le
                               quadrillage pour terminer sa construction.




                               Sur papier uni, l’élève construit, par exemple, les figures symétriques par
                               rapport à la droite (AB) du polygone CDEFG, du triangle HIJ et du cercle de
                               centre K.




                                                     15
La vision dans l’espace

Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
• Voir dans l’espace des        L’élève interprète différentes représentations planes d’un assemblage de
 assemblages de cubes.          cubes : dessin à main levée, perspective cavalière, patron.
                                À partir de la manipulation d’un assemblage de cubes
                                ou d’une représentation comme la figure ci-contre,
                                l’élève trace à main levée ou sur du papier quadrillé les
                                différentes vues de cet assemblage : vue de dessus, vue
                                de face, vue de gauche, vue de droite.

                                Inversement, quatre vues d’un assemblage de cubes lui étant fournies
                                comme, par exemple, celles ci-dessous, l’élève choisit parmi les
                                représentations de plusieurs assemblages, celle qui correspond à ces vues.
                                                   Vue de face               Vue de dessus




                                                  Vue de gauche              Vue de droite




                                Par exemple, l’élève résout des problèmes de dénombrement comme la
                                recherche du nombre de cubes dans l’empilement ci-dessous.




Organisation et gestion de données et probabilités

Organisation et gestion de données

Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
• Planifier une enquête et      L’élève mène seul, en binôme, ou à l’intérieur d’un groupe plus large, une
 recueillir des données.        enquête statistique portant sur la répartition d’un caractère dans une
• Réaliser des mesures et les   population. Pour cela, il définit la population à étudier, élabore un
 consigner dans un tableau.     questionnaire et recueille les données, qu’il met éventuellement en
                                commun avec ses camarades avant de les compiler dans un tableau.
                                L’élève réalise des mesures destinées à étudier l’évolution d’une grandeur en
                                fonction d’une autre. Il consigne les résultats dans un tableau, puis les
                                représente dans un repère par un ensemble de points. Il adapte le choix de
                                l’origine et d’une graduation de chacun des axes aux mesures.




                                                     16
• Construire un tableau simple Par exemple, l’élève construit un tableau en colonnes pour organiser les
 pour présenter des données        informations contenues dans le texte suivant, en précisant le titre de
 (observations, caractères).       chaque colonne.
                                   « Des élèves ont relevé des températures et des taux d’hygrométrie dans la
                                   cour du collège à différentes heures d’une journée. À 8 h, il faisait 12 °C et il
                                   y avait 75 % d’humidité dans l’air ; à 10 h, la température était de 18 °C et le
                                   taux d’hygrométrie de 61 % ; à 12 h, la température était de 24 °C et le taux
                                   d’hygrométrie de 43 %, et enfin à 16 h, la température était de 22 °C et le
                                   taux d’hygrométrie de 42 %. »
• Faire un choix en filtrant les   Le tableau suivant est extrait d’un site de covoiturage :
 données d’un tableau selon
 un critère.




                                   L’élève compare les meilleurs choix pour aller de Paris aux Sables d’Olonne
                                   selon le critère retenu.


Les probabilités

Objectifs d’apprentissage          Exemples de réussite.
• Savoir que la probabilité d’un L’élève sait positionner un évènement sur une échelle de probabilité
 évènement est un nombre           graduée de 0 à 1 en interprétant la situation. Par exemple :
 compris entre 0 et 1.              ►   obtenir un 7 en lançant un dé à six faces numérotées de 1 à 6 ;
                                    ►   obtenir un nombre entier compris entre 1 et 6 inclus en lançant un dé à
                                        six faces ;
                                    ►   obtenir pile en lançant une pièce équilibrée ;
                                    ►   ne pas obtenir la bonne combinaison au loto ;
                                    ►   obtenir 10 fois de suite la valeur 1 en lançant un dé à six faces.




                                   L’élève sait que la probabilité d’un évènement impossible vaut 0 et que celle
                                   d’un évènement certain vaut 1.
                                   Il fait le lien entre l’expression « une chance sur quatre » employée au cours
                                                                1
                                   moyen et la probabilité (qui peut se lire 1 sur 4).
                                                                4

• Calculer des probabilités        L’élève sait qu’une probabilité peut s’exprimer sous la forme d’une fraction,
 dans des situations simples       d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
 d’équiprobabilité.                Par exemple, il calcule la probabilité d’obtenir une boule noire en piochant
                                   au hasard, sans regarder, une boule dans une urne contenant 3 boules
                                   noires et 7 boules blanches.
                                   L’élève colorie chacune des billes du sac ci-contre, soit en
                                   rouge, soit en bleu, de façon à ce que la probabilité
                                   d’obtenir une bille bleue lorsqu’on tire au hasard, sans
                                                                           1
                                   regarder, une bille du sac, soit égale à ou à 25 % ou à 0,25.
                                                                             4


                                                           17
• Comparer des résultats d’une L’élève répète une même expérience aléatoire plusieurs fois, dans des
 expérience aléatoire répétée conditions similaires, et calcule des proportions.
 à une probabilité calculée.  Par exemple, chaque élève de la classe lance 20 fois de suite deux pièces de
                              monnaie et note à chaque lancer le résultat obtenu (qui peut être deux fois
                              FACE, une fois PILE et une fois FACE ou deux fois PILE). Tous les résultats
                              obtenus sont mis en commun afin de calculer la proportion d’apparition de
                              « deux fois PILE » parmi l’ensemble de tous les résultats obtenus. Cette
                              proportion est comparée à la probabilité d’obtenir « deux fois PILE » vue au
                              cours moyen.



La proportionnalité

Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
• Connaitre la définition de la  L’élève sait que deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les
  proportionnalité entre deux mesures de l’une par un même nombre (non nul), on obtient les mesures de
  grandeurs et la mettre en lien l’autre.
  avec des expressions de la vie Il sait que des locutions du type « prix au kilo » ou « nombre de feuilles
  courante.                      imprimées par minute » traduisent la proportionnalité des grandeurs
• Identifier si une situation    évoquées.
  relève du « modèle » de la     L’élève est sensibilisé au « modèle » de la proportionnalité.
  proportionnalité.              Par exemple, des questions comme les suivantes donnent lieu à un débat au
                                  sein de la classe.
                                   ►   Un paquet de gâteaux coute habituellement 1,20 €. Lors d’une
                                       promotion, un magasin propose la vente de ces gâteaux par lots de 4
                                       paquets. Peut-on prévoir le prix du lot ?
                                   ►   Si on connait le nombre de véhicules ayant franchi un péage entre 7 h du
                                       matin et 7 h 15, peut-on prévoir le nombre de véhicules qui le franchiront
                                       entre 7 h et 7 h 30 ? Et entre 12 h et 12 h 30 ?
                                   ►   La hauteur classique des marches d’un escalier varie entre 17 cm et
                                       19 cm. Peut-on estimer de quelle hauteur on s’élève si on gravit 5
                                       marches ?
• Résoudre un problème de         L’élève sait que, dans une situation relevant du modèle de proportionnalité,
 proportionnalité en              une seule paire de données suffit pour obtenir toutes les autres.
 choisissant une procédure        Par exemple, il sait résoudre le problème suivant : « Un cultivateur vend des
 adaptée : propriété de           pommes de terre au poids. Léo paie 5 € pour un sac de 2,5 kg. Quel prix doit
 linéarité pour la                payer Lilou pour deux sacs de 5 kg ? De quelle masse de pommes de terre
 multiplication ou l’addition,    dispose Paul qui a payé 15 € ? »
 retour à l’unité.                L’élève sait appliquer ensuite la propriété de linéarité additive pour calculer,
                                  par exemple, le prix de 12,5 kg de pommes de terre.
                                  L’élève mobilise les relations entre les nombres entiers et les procédures de
                                  calcul mental apprises au cours moyen pour résoudre mentalement des
                                  problèmes du type :
                                  « Si 10 objets identiques coutent 22 €, combien coutent 15 de ces objets ? ».
                                  Il mobilise ses connaissances sur les nombres décimaux pour résoudre un
                                  problème du type : « Si des pommes sont vendues au poids et que 5 kg
                                  coutent 10,50 €, quel est le prix de 3,5 kg ? ».
                                  De nombreuses méthodes sont possibles pour résoudre ce problème :
                                  retour à l’unité, relations multiplicatives (passage de 5 à 35, puis de 35 à 3,5),
                                  passage par le prix de 500 g ou de 2,5 kg, etc. Elles sont présentées et
                                  discutées en classe.


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• Représenter une situation de Par exemple, dans le problème ci-dessus concernant le prix des pommes de
 proportionnalité à l’aide d’un terre, l’élève représente les données de l’énoncé et de la consigne dans le
 tableau ou de notations        tableau :
 symboliques.                    Masse de pommes de terre (en kg) 2,5           10       12,5     ?
                                   Prix (en €)                                 5         ?           ?   15

                                  Il peut aussi utiliser des flèches :
                                   ►   2,5 kg → 5 € ;
                                   ►   10 kg → ? € ;
                                   ►   12,5 kg → ? € ;
                                   ►   ? kg → 15 €
                                  L’élève verbalise la signification du tableau ou de la notation symbolique :
                                  par exemple « Le prix de 2,5 kg de pommes de terre est 5 €. »
• S’initier à la résolution de    L’élève verbalise la signification d’une échelle graphique.
 problèmes d’échelles.            Par exemple, pour l’échelle graphique ci-dessous, où le segment mesure
                                  1 cm, la verbalisation peut se faire sous la forme « 1 cm sur le plan
                                  correspond à 10 m dans la réalité » ou « on a 10 m dans la réalité par
                                  centimètre sur le plan ».



                                  L’élève sait utiliser une échelle graphique pour déterminer des longueurs
                                  réelles à partir de mesures réalisées sur une carte, sur un plan ou sur une
                                  image (par exemple celle d’une cellule en sciences de la vie et de la Terre).
                                  Différents modèles d’échelles graphiques peuvent être présentés, par
                                  exemple :




Initiation à la pensée informatique

Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
• Identifier une instruction ou   L’élève manipule et identifie des instructions selon le contexte choisi :
 une séquence d’instructions.     déplacements élémentaires, opérations mathématiques, etc.
• Produire et exécuter une        Par exemple :
 séquence d’instructions.          ►   l’élève retrouve parmi plusieurs séquences d’instructions qui lui sont
                                       fournies, celle qui permet de dessiner un carré.
                                   ►   L’élève dispose de cartes figurant les opérations mathématiques
                                       « ajouter 1 », « multiplier par 2 », « multiplier par 3 » :
                                       Il les ordonne pour réaliser un programme de calcul, par exemple
                                       « Multiplier un nombre par 2.
                                       « Ajouter 1 au résultat.
                                       « Multiplier par 3 le nouveau résultat. »
                                       Il exécute ce programme de calcul à partir d’un nombre donné en entrée
                                       et obtient un nombre en sortie.




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                                 ►   L’élève interprète le schéma suivant dans lequel les flèches rouges
                                     représentent le parcours d’un bus. Il dispose de deux cartes
                                     d’instructions « Aller » et « Tourner dans la direction » ainsi que de cartes
                                     de lieu et de direction « à la bibliothèque », « à la mairie », « au stade »,
                                     etc., « Est », « Ouest », etc.
                                     Il les ordonne pour retranscrire le parcours du bus en une séquence
                                     d’instructions.




                                 ►   À partir du trajet représenté en jaune sur la grille de nombres ci-dessous,
                                     l’élève produit une séquence d’instructions permettant de se déplacer
                                     selon le trajet imposé et de calculer la somme des nombres inscrits sur
                                     les cases par lesquelles il passe.




• Répéter à la main une         Par exemple :
 séquence d’instructions pour    ►   l’élève identifie et répète une séquence d’instructions pour obtenir une
 accomplir une tâche                 construction géométrique simple, comme celle d’un carré.
 imposée.                        ►   L’élève identifie que l’instruction « multiplier par 2 » permet de passer
                                     d’un terme au suivant dans la suite évolutive de nombres : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ;
                                     etc.
                                     Il comprend que, pour obtenir le onzième terme de cette suite, il faut
                                     répéter 10 fois l’instruction « multiplier par 2 ».
• Programmer la construction    À la suite de la résolution, de manière débranchée c’est-à-dire sans outil
 d’un chemin simple.            numérique, des exercices ci-dessus, l’élève écrit et exécute un programme
                                permettant de dessiner le chemin du bus ou celui du robot.




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