                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
                                     MATHÉMATIQUES
                                       Nombres et calculs



                                                                            Puissances
                               Objectifs
                               La notion de puissance n’intervient pas au cycle 3. Il revient donc au cycle 4 d’introduire cette
                               cinquième opération. L’objectif est d’abord, à partir de situations numériques qui la motivent,
                               d’amener la notation exponentielle comme un raccourci d’écriture, puis de familiariser l’élève
                               à sa compréhension et à son usage. L’élève peut découvrir les opérations sur les puissances
                               au gré des calculs, à partir des écritures développées qui en donnent une image mentale. Ces
                               propriétés peuvent être mises en évidence par le professeur, sur des exemples génériques,
                               mais leur formalisation n’est pas un attendu de fin de cycle. Exemple : pour le calcul de 38 × 32,
                               il convient d’installer l’image mentale des facteurs (huit facteurs 3 d’une part, deux de l’autre)
                               pour visualiser le résultat sous forme de dix facteurs 3. L’apprentissage sur les puissances
                               se construit sur le sens, à partir de situations issues des mathématiques ou des domaines
                               scientifiques et technologiques. La calculatrice et le tableur, ainsi que les algorithmes de
                               calcul, enrichissent la compréhension tout en facilitant les calculs. Les activités mentales,
                               fréquentes et régulières, permettent à l’élève de construire des automatismes.

                               Liens avec les domaines du socle
                               La notation d’une multiplication itérée sous forme de puissance permet d’effectuer de manière
                               efficace certains calculs en utilisant un langage mathématique adapté (domaine 1). Il en est de
                               même de la notation scientifique.
                               Par ailleurs, les puissances constituent un outil de modélisation permettant de résoudre
                               des problèmes qui relèvent notamment des systèmes naturels et des systèmes techniques
                               (domaine 4). Les puissances de dix fournissent une interprétation commode des ordres de
                               grandeur.
                               Progressivité des apprentissages
                               Le cas des puissances de dix d’exposant entier naturel, prenant appui sur l’écriture décimale
                               déjà envisagée au cycle 3, fait l’objet d’une étude en soi dès la classe de 4e, en liaison avec les
                               problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs d’une puissance de dix
                               sont introduits avec progressivité, en fin de 4e ou en début de 3e. La définition des exposants
                               1 et 0, ainsi que celle des exposants négatifs, sont amenées avec précaution, par exemple en
                               examinant pour le nombre 10n (n ≥ 2) l’effet sur l’exposant de divisions successives par 10.
                               Pour une base quelconque, les exposants positifs sont envisagés en classe de 4e ou de 3e,
                               en fonction de la progression retenue. La notation an peut être introduite avec les exposants
                               2 et 3 comme un raccourci d’écriture exprimant par exemple l’aire d’un carré ou le volume
                               d’un cube ; pour n entier relatif quelconque, on peut l’amener si elle prend sens à travers une
                               situation donnée, mais sa maîtrise n’est pas un objectif du collège.




Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                              Stratégies d’enseignement
                              Du cas particulier des puissances de dix au cas général
                              Le programme du cycle 4 autorise soit d’initier un travail spécifique sur les puissances de dix,
                              et de le prolonger aux puissances de base quelconque, soit d’adopter la démarche inverse,
                              qui consiste à passer du cas général au cas particulier. La première démarche est toutefois
                              recommandée, car elle respecte davantage la possibilité d’instaurer une progression de cycle
                              différenciée. Avec cette démarche la notation an, pour un nombre a quelconque et n entier
                              naturel, peut être amenée soit en fin de 4e soit en 3e. D’autre part, il est important que l’élève
                              soit familiarisé au plus tôt avec les puissances de dix afin d’être mieux préparé à leur usage
                              dans les sciences appliquées et la technologie.

                              Introduire les puissances de dix
                              La notation 10… n’est à aucun moment mentionnée dans le programme du cycle 3. Il est
                              cependant possible que des élèves l’aient côtoyée avant le cycle 4, avec l’idée reçue selon
                              laquelle l’exposant, qu’il soit positif ou négatif, est lié au nombre de zéros dans l’écriture
                              décimale. Cette conception peut s’avérer utile dans la manipulation des puissances de dix en
                              écriture décimale, mais elle présente deux inconvénients :
                              • l’un est d’ordre mathématique, car le nombre « dix puissance n » doit être défini de façon
                                 intrinsèque, c’est-à-dire sans référence à une base d’écriture ;
                              • l’autre est didactique, car le fait de définir une puissance de dix en fonction du nombre de
                                 zéros peut occasionner un obstacle important dans la compréhension des puissances d’un
                                 autre nombre.
                              Il est donc préférable de définir une puissance de dix d’exposant supérieur ou égal à deux
                              à partir du produit itéré, quitte à remarquer par la suite le lien avec le nombre de zéros de
                              l’écriture décimale.

                              Construire l’apprentissage sur le sens des notions
                              L’apprentissage sur les puissances doit profitablement se fonder sur des situations qui la
                              motivent. Celui des puissances de dix peut prendre appui sur des grands nombres issus de
                              domaines scientifiques ou technologiques tels que l’astronomie, les sciences physiques,
                              l’informatique, le traitement de l’information, pour ce qui est des exposants positifs.
                              Les sciences de l’atome, la microbiologie, les sciences chimiques, les nanotechnologies
                              fournissent des situations propices à côtoyer les exposants négatifs. Le thème « Organisation
                              et transformations de la matière » du programme de physique-chimie se prête bien à une
                              articulation avec les mathématiques. L’apprentissage des puissances de base quelconque peut
                              être motivé par des situations mathématiques mettant en œuvre un produit itéré, comme le
                              comptage de situations répétitives, ou l’observation de situations fractales dans la nature, les
                              arts visuels, etc. Ces situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en
                              permanence à travers des problèmes porteurs de sens.

                              Notation scientifique, ordre de grandeur
                              • Tout nombre décimal non nul peut se noter sous la forme A × 10n, où A est un nombre déci-
                                 mal vérifiant 1 ≤ A < 10 et n est un entier relatif. Cette écriture est la notation scientifique du
                                 décimal, qu’il convient d’introduire sur des exemples numériques. Elle peut être rattachée à
                                 ses nombreuses utilisations en physique-chimie, dans le domaine du calcul de grandeurs et
                                 celui des conversions d’unités.
                              • L’élève doit apprendre à utiliser la syntaxe de sa calculatrice relativement à la notation
                                 scientifique, pour la lecture et pour l’écriture.
                              • La notion d’ordre de grandeur peut être rattachée à la valeur de l’exposant n dans la nota-
Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   2
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                                 tion scientifique. S’agissant de certaines grandeurs, cette notion donne l’occasion d’établir
                                 un lien avec les préfixes des unités multiples mentionnées dans le programme (kilo = 103,
                                 méga, giga, ou milli, micro, nano), ou peut-être d’autres (téra, pico …) s’ils interviennent
                                 dans une situation donnée.

                              Introduction des exposants 0 et 1, des puissances négatives
                              La définition des exposants 0 et 1, de même que celle des exposants négatifs, demandent
                              certaines précautions car il ne s’agit plus de produits itérés. Pour en faire accepter les
                              définitions, une possibilité consiste à faire observer sur un exemple numérique le fait que,
                              pour une puissance d’exposant positif, une division par la base revient à diminuer l’exposant
                              d’une unité :

                                NOMBRE                                  ÉCRITURE DÉVELOPPÉE                    EXPOSANT
                                104                                    10×10×10×10                             4
                        ÷10
                                103                                    10×10×10                                3
                        ÷10
                                102                                    10×10                                   2


                              En s’affranchissant de l’écriture développée, il est acceptable – et même intéressant – de
                              poursuivre la décrémentation de l’exposant par des divisions successives. Cela permet de
                              définir successivement :

                                                                                                                             ; etc.


                              Le développement précédent est un exemple générique au sens suivant : le procédé conduit
                              avec le nombre 10 serait analogue en substituant au nombre 10 une base a quelconque (a ≠ 0).
                              On pourra établir le lien entre la notation des puissances et les unités utilisées en physique-
                              chimie ou dans le thème grandeurs et mesures, telles que vitesse, volume, concentration,
                              masse volumique, débit, etc. : m.s-1, m3, kg.m-3, l.s-1, etc.

                              Utilisation des outils numériques et de l’algorithmique
                              Les calculatrices et logiciels ont une syntaxe permettant le calcul des puissances. L’élève doit
                              dans un premier temps se familiariser avec celle-ci. Un algorithme itératif de calcul peut être
                              intéressant à mettre en œuvre :
                              • avec un tableur, pour dresser la liste de puissances successives d’un même nombre ;
                              • avec le logiciel Scratch, qui ne possède pas la touche d’exposant.
                              Par ailleurs, certaines situations font intervenir des multiplications itérées et, de ce fait,
                              se prêtent bien à une activité algorithmique.
                              Exemple : la croissance d’une population de bactéries (voir dans les exemples de tâche
                              intermédiaire).

                              Différenciation
                              Sur le thème des puissances, la différenciation peut s’exercer à travers plusieurs pistes.
                              Elle relève d’abord de l’écriture exponentielle, qui peut demeurer au stade numérique pour
                              les élèves n’ayant pas la maturité suffisante pour comprendre une définition littérale. Cela
                              n’empêche pas de leur proposer des situations qui se modélisent par des itérations de
                              multiplications. La différenciation peut également s’exercer dans la formalisation de certaines
                              propriétés calculatoires, telle que 34 × 35 = 34+5, qu’il n’est pas interdit de souligner dès lors
                              que l’élève a lui-même remarqué ces propriétés à partir d’une pratique visuelle des produits
                              développés, et sans pour autant que ces propriétés soient exigibles.

Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   3
  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                              Exemples de situations d’apprentissage
                              Classes de problèmes
                              • problèmes de nature scientifique et technologique ;
                              • calculs d’ordres de grandeur ;
                              • infiniment grand et infiniment petit ;
                              • multiples et sous-multiples de grandeurs usuelles ;
                              • situations multiplicatives simples de dénombrement ;
                              • situations fractales en géométrie.

                              Exemples d’activités
                              • Exemples de questions flash
                              • Exemples de tâches intermédiaires :
                                --Curiosités numériques
                                --Nombres de Mersenne et nombres parfaits
                                --Croissance d’une population de bactéries
                                --Multiples de l’octet
                                --Dilution en homéopathie
                              • Exemples d’activités avec prise d’initiative :
                                --Tous cousins
                                --L’arbre fractal

                              Interdisciplinarité
                              La notion de puissance se prête bien à des activités interdisciplinaires et trouve toute sa place
                              dans le cadre des EPI (enseignements pratiques interdisciplinaire). Par exemple :
                              • Dans la thématique « Corps, santé, bien-être et sécurité » : les unités CH en homéopathie ;
                              • Dans la thématique « Culture et création artistiques » : les fractales ;
                              • Dans la thématique « Information, communication et citoyenneté » : le stockage de données
                                 numériques sur un support (disque dur, clé USB, …), la transmission d’information ;
                              • Dans la thématique « Sciences, technologie et société » : l’infiniment grand et l’infiniment
                                 petit, la rapidité des processeurs ;
                              • Dans l’enseignement « Monde économique et professionnel » : la modélisation plane pour
                                 traiter certains problèmes liés au monde économique et professionnel.
                              Ressources complémentaires
                              La ressource proposée ci-après constitue un complément et un approfondissement utiles pour
                              aborder la notion de puissance avec les élèves :
                              • Laure Guérin, La démarche d’investigation à travers un parcours d’étude et de recherche,
                                 exemple des puissances en classe de 4e, IREM de Clermont-Ferrand.




Retrouvez Éduscol sur




   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   4
