Les guides
fondamentaux
pour enseigner


La résolution
de problèmes
mathématiques
au collège
Cet ouvrage a été coordonné par le service de l’instruction
publique et de l’action pédagogique et le service
de l’accompagnement des politiques éducatives
de la direction générale de l’enseignement scolaire
du ministère de l’Éducation nationale, de la Jeunesse
et des Sports.

Cet ouvrage synthétise des contributions de chercheurs
et chercheuses, d’inspecteurs et d’inspectrices,
d’enseignantes et d’enseignants. Ce document a fait
l’objet d’une relecture critique de plusieurs membres
du Conseil scientifique de l’éducation nationale.
Sommaire


    6    AVANT-PROPOS

    		  INTRODUCTION
    11	Résoudre des problèmes au collège :
        pourquoi et comment ?
    13	Prendre en compte la contrainte exercée
        par les conceptions intuitives
    15	Favoriser le transfert
    17	Mobiliser les quatre piliers de l’apprentissage
    18	Considérer la modélisation comme une stratégie
        dans la résolution de problèmes
    20	Contribuer à la formation d’un esprit citoyen
    21  Développer les compétences du xxie siècle

    		  CHAPITRES

I   23	Données et statistiques
    24	Entrée historique
    26	Point sur la recherche
    27  Problème 1. Nos amis les bêtes
    30  Problème 2. L’allure de la courbe
    33  Problème 3. Vers des mobilités douces
    36  Problème 4. Changement climatique : infox ?
    39  Problème 5. Comparaison de séries statistiques
    43  Problème 6. Moyennes glissantes
    46	Mathématiques. Les pourcentages
        au cœur de la citoyenneté
    50	Mathématiques. Liens entre statistiques
        et probabilités
II    55	Nombres et problèmes arithmétiques
      56	Entrée historique
      58  Point sur la recherche
      61  Mathématiques. Les ratios et leur utilisation
      62	Didactique. Le modèle en barres
      63  Problème 1. Se partager des macarons
      65  Didactique. Le rôle du matériel de manipulation
      66	Problème 2. Les angles du triangle
          sont dans un ratio
      68  Problème 3. Des fractions et des proportions
      71  Problème 4. L’affaire est dans le sac
      73  Problème 5. Plusieurs inconnues dans le jeu
      76  Problème 6. Ça texte beaucoup !


III   79	Problèmes algébriques
      80   Entrée historique
      84	Point sur la recherche
      86   Problème 1. Un pattern de jetons
      88   Problème 2. Un calcul surprenant
      91   Problème 3. Une course cycliste
      92	 Problème 4. Dessine-moi une expression
           algébrique
      94   Problème 5. La devinette
      96   Problème 6. Ranger les côtés
      99   Problème 7. Les nombres manquants
      101	Didactique. Les variables en algèbre
      102	Didactique. Du matériel de manipulation
           pour introduire la lettre
IV   105	Patterns. Des problèmes pour travailler
          les pensées algorithmique et algébrique
     106	Entrée historique
     107	Algorithmes et motifs/patterns dans
          des pratiques ethnomathématiques
     110 Point sur la recherche
     111	Mathématiques. Définition d’un pattern
     112	Focus | Une séquence d’enseignement
          autour d’un pattern
     116 Problème 1. Des énoncés pour des rituels
     119 Problème 2. Des petits carrés
     121 Problème 3. Le flocon de Koch
     123	Problème 4. Des carrés et une spirale
     126 Problème 5. Tel père, tel fils


V    129	Géométrie
     130 Entrée historique
     132	Point sur la recherche
     133	Didactique. Les outils numériques en géométrie
     136 Problème 1. On me voit ! On ne me voit plus !
     139 Problème 2. Figure trompeuse
     142	Focus | Une séquence d’enseignement
          autour des triangles et des aires
     146	Problème 3. Le triangle mystère
          (raisonner pour construire)
     150	Problème 4. Le grand défi
          (construire pour raisonner)
     153	Didactique. Raisonner pour construire
          et construire pour raisonner
VI    157	Grandeurs
      158 Entrée historique
      160 Point sur la recherche
      161	Mathématiques. Notions de grandeurs,
           mesures et unités
      162 Problème 1. Le Curvica
      164 Problème 2. Des robinets qui coulent
      167	Problème 3. Coût carbone
      170	Problème 4. Excès de vitesse ou pas ?
      172	Problème 5. Comparer des formes


VII   177	Quelles démarches pour enseigner
           la résolution de problèmes ?
      178 Contexte
      179 Point sur la recherche
      184 Faire de l’explicitation un levier
      186 Disposer de procédures automatisées
      188	Installer des temps dédiés à la résolution
           de « classes de problèmes »
      190	Focus | Une étude de cas en classe
           de 3e autour des problèmes
           se modélisant par une équation

      201   BIBLIOGRAPHIE ET OUTILS DE RÉFÉRENCE
Avant-propos
7 — Avant-propos

Les études internationales (Pisa, Timss) et nationales montrent une baisse inquiétante
du niveau de nos élèves dans le domaine des mathématiques, mais aussi une faible
performance dans le champ interdisciplinaire. Timss (niveaux CM1 et 4e) révèle
que les élèves français sont sous-performants dans les domaines « nombre »
et plus encore dans le domaine « présentation de données » alors que ce sont deux
domaines travaillés depuis l’école primaire. D’une manière générale, la résolution
de problèmes, qui est pourtant au cœur de l’enseignement des mathématiques, est
un point de faiblesse de nos élèves – situation analysée dans de nombreux rapports
depuis plusieurs décennies1 .

Les études Timss dégagent trois échelles indépendantes : connaître ; appliquer ;
raisonner. Dans le domaine « connaître », les élèves français ne se distinguent pas
du score moyen global des autres pays, mais marquent le pas dans les domaines
« appliquer » et « raisonner ».

L’étude Pisa (élèves de 15 ans) dégage quant à elle des étapes dans le raisonnement
mathématique : formuler, employer, interpréter et évaluer, qui sont dans la continuité
des études Timss. Là encore, les élèves français peinent à mettre en œuvre leurs
connaissances et compétences acquises dans des situations concrètes2 .

Le présent guide propose un certain nombre d’exercices typiques des évaluations
internationales (Timss niveau 4e et Pisa) et dégage, à travers des exemples concrets,
des pistes d’enseignement qui pourront remédier aux principales difficultés des
élèves mises en exergue dans ces évaluations.

Par ailleurs, en comparant les évaluations internationales de CM1 et de 4e, on peut
s’apercevoir que nombre de problèmes sont apparentés entre les deux niveaux
(statistiques, gestion des données, problèmes arithmétiques mettant en jeu
la maîtrise du calcul, des décimaux et des fractions, problèmes de partage,
problèmes de géométrie, etc.) et nécessitent une maîtrise des outils numériques ou
une aisance calculatoire. Ces évaluations indiquent aussi que des points résistants
d’enseignement sont l­argement identifiés dès les classes de CM. Les enseignants
des c
    ­ ollèges et des écoles ont donc tout intérêt à proposer dans leurs classes
des exercices appartenant aux banques de problèmes libérés par l’IEA3 (International
Association for the Evaluation of Educational Achievement) et issus des évaluations
Timss CM1 ou 4 e. Ces exercices sont d’excellents supports pour la formation
entre pairs, que ce soit dans les laboratoires de mathématiques quand ils existent,
ou au sein des équipes des établissements et des professeurs de la circonscription
de proximité.




1—     Voir le rapport Villani-Torossian : 21 mesures pour l’enseignement
des mathématiques : https://www.education.gouv.fr/21-mesures-
pour-l-enseignement-des-mathematiques-3242
2 — Quatre sujets sont particulièrement ciblés dans l’évaluation
du Pisa 2022. Ils ne sont pas nouveaux par rapport aux catégories
de contenus mathématiques, mais méritent une attention plus grande
des équipes enseignantes de 3e et 2de : phénomènes de croissance
(variations et relations), approximation géométrique (espace et formes),
simulations informatiques (quantité), prise de décisions conditionnelles
(incertitude et données).
3 — https://www.iea.nl/fr/intro
8 — Avant-propos

Ce guide s’adresse donc aux professeurs de l’enseignement secondaire, mais aussi
aux professeurs de l’école primaire et à leurs formateurs. Il aborde l’enseignement
de la résolution de problèmes au collège dans les six premiers chapitres consacrés à
des exemples mathématiques qui intègrent les six concepts clés du programme Pisa4
et développe dans le chapitre 7 quelques démarches didactiques plus théoriques
qui permettront aux enseignants de prendre du recul sur leurs pratiques.

Ce guide s’appuie sur des analyses mathématiques, épistémologiques et didactiques,
mais aussi sur les résultats de la recherche sur l’enseignement des mathématiques
et dans le domaine de la psychologie des apprentissages.

Les six premiers chapitres proposent donc à la fois des entrées historiques, des
points de vue de chercheurs, des rappels de mathématiques, des encarts didactiques,
parfois des focus, mais surtout des exercices qui ont été analysés systématiquement
sous le même angle : pourquoi proposer ce genre de problèmes en classe, quels en
sont les ressorts de continuité ou de progressivité, mais surtout quelles stratégies
d’enseignement mettre en place concrètement ? Les analyses faites n’ont pas la
prétention d’être exhaustives et les professeurs – dans le cadre des formations
entre pairs – pourront avantageusement les compléter.

Les propositions d’exercices ont été sélectionnées afin de répondre à plusieurs
objectifs :
— mettre en valeur le continuum didactique qu’il convient de promouvoir entre
    l’école primaire (particulièrement les classes de cours moyen) et les classes de
    collège, tant au sein des contenus mathématiques que dans l’organisation des
    formations à destination des professeurs ;
— dégager le chemin didactique qui amène, en prolongement de la résolution
    de p ­ roblèmes arithmétiques à l’école primaire, à l’émergence de la variable
    algébrique au collège ;
— encourager le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » à travers des
    ­problèmes de nature arithmétique ou faisant intervenir les grandeurs ;
— donner à la modélisation un rôle essentiel pour permettre à l’élève de ­s’engager,
     d’essayer, de se forger des représentations mentales qui lui permettront
     ­d’avancer dans la résolution de problèmes ;
— étayer les élèves de stratégies efficaces ;
— renforcer les liens entre les mathématiques et les compétences en esprit critique
      dans une perspective d’éducation citoyenne.

Ce guide complète les ressources institutionnelles déjà à disposition des professeurs,
à savoir le programme de mathématiques, les documents ressources, les repères
annuels de progression des cycles 3 et 4, les attendus de fin de cycle, les guides CP
et CM sur le même sujet.




4 — Comprendre la quantité, les systèmes de numération et leurs
propriétés algébriques ; comprendre le potentiel de l’abstraction
et de la représentation symbolique ; reconnaître les structures
mathématiques et leurs régularités ; reconnaître les relations
fonctionnelles entre quantités ; recourir à la modélisation mathématique
pour percevoir le monde réel ; voir la variation comme fondement
de la statistique.
    9 — Avant-propos


Plan du guide

    L’introduction de ce guide aborde d’un point de vue généraliste la question de la
    résolution de problèmes en mettant en perspective, d’une part, les leviers d’appren-
    tissage et d’autre part, des objectifs plus lointains, comme la formation des citoyens
    et le développement des compétences du xxie siècle.

    Le chapitre 1 aborde des problèmes autour des données et statistiques qui mettent en
    jeu des capacités comme la lecture de graphiques, l’extraction de données, l’utilisation
    d’indicateurs statistiques pertinents (moyenne glissante) pour outiller les élèves
    et leur permettre de devenir des citoyens capables de comprendre et d’analyser
    les nombres qui les entourent.

    Le chapitre 2 traite des problèmes mobilisant des notions autour des nombres telles
    que les ratios, les probabilités, les pourcentages ou les fractions que l’on retrouve
    souvent dans les évaluations internationales. La modélisation y tient une place
    ­particulière et permet de prendre en compte les discontinuités bien identifiées (statut
     de la lettre, sens du signe égal, etc.).

    Le chapitre 3 aborde des problèmes qui mettent en avant le passage de l’arithmétique
    à l’algèbre, point de rupture didactique pour l’élève. Être en capacité de généraliser
    des expressions, reconnaître des structures, modéliser une situation par une
    expression algébrique ou une équation pour résoudre un problème sont des
    capacités attendues en fin de collège, mais qui se préparent dès l’école primaire.

    Le chapitre 4 traite des patterns, un sujet peu présent dans les classes en France
    (bien que présent sous le vocable « suites organisées » à l’école primaire), alors que
    les patterns sont le socle de nombreuses évaluations dans le monde anglo-saxon.
    Rattachés à tort aux jeux de logique, ils sont en lien avec l’enseignement de l’algo-
    rithmique et développent les pensées algorithmique et algébrique chez les élèves.

    Le chapitre 5 aborde des problèmes de géométrie dans ses rapports aux instruments
    (numériques, tracés) pour construire le raisonnement et aller vers la démonstration.
    Les problèmes de ce chapitre illustrent aussi des situations où ce qui est visible n’est
    pas suffisant pour raisonner juste ; il faut donc aussi imaginer et abstraire.

    Le chapitre 6 traite des problèmes en lien avec les grandeurs, sujet clairement
    ­identifié dans les programmes de l’école et du collège. Les problèmes de ce chapitre
     visent à travailler, d’une part, les grandeurs indépendamment de leurs mesures
     et d’autre part, les grandeurs quotients dans le contexte linéaire ou non linéaire.

    Le chapitre 7 a une vocation transversale. Son objectif est de donner aux enseignants
    un certain nombre de pistes destinées à mettre en œuvre des stratégies d’ensei-
    gnement favorisant les transferts d’apprentissage par la résolution de problèmes.

    Le guide se termine par une bibliographie.
Introduction
        11 — Introduction

Un problème se caractérise par un état initial
– la « situation-problème » –, un objectif à atteindre
– la « solution » –, et des moyens à disposition pour
atteindre cet objectif – des règles mathématiquement
valides dont découlent des stratégies de résolution.
La notion de problème suppose également celle
d’obstacle : à la différence d’une activité automatisée
ou des exercices d’entraînement, une personne face
à un problème ne perçoit pas immédiatement de chemin
de résolution. Il en résulte qu’un problème pour un élève
et à un niveau scolaire donné ne reste pas
nécessairement un problème (au sens des didacticiens)
pour un autre élève ou à un autre niveau scolaire5.




Résoudre des problèmes
au collège : pourquoi et comment ?

        Les mathématiques émergent historiquement à travers les problèmes eux-mêmes
        et il est essentiel, d’un point de vue didactique, de ne pas séparer l’un de l’autre, car
        l’activité de résolution de problèmes va bien au-delà d’une perspective applicative
        destinée à s’assurer que l’élève mobilise à bon escient une notion ou des stratégies
        étudiées durant la phase de cours. Elle participe pleinement à la construction même
        des notions et de leur ancrage : il serait vain, par exemple, de vouloir comprendre
        la notion de fonction sans vivre à travers les problèmes la puissance de cette notion
        elle-même. Ces apprentissages mathématiques bénéficient alors de l’engagement
        actif dans la tâche que la résolution de problèmes favorise. Ils bénéficient aussi
        des démarches réflexives autour des erreurs, ainsi que des retours d’informations
        reçus lors de tentatives de trouver la solution. L’engagement actif et le retour sur
        les erreurs sont deux piliers de l’apprentissage6 .




        5—     Alan H. Schoenfeld, Mathematical Problem Solving,
        Academic Press Inc, 1985.
        6 — Stanislas Dehaene, Apprendre ! Les talents du cerveau,
        le défi des machines, Odile Jacob, Paris, 2018.
12 — Introduction

Les temps de résolution de problèmes n’ont pas à être réservés à des moments
particulièrement avancés d’un cours. Au contraire, la résolution de problèmes peut
intervenir à tout moment, y compris dès les étapes introductives, sans attendre
une maîtrise complète des notions du chapitre. Un problème peut être tout à fait
adapté pour introduire de nouvelles notions. La résolution de problèmes donne
du sens, permet d’apprendre et de vérifier ce qu’on a appris. L’engagement actif
auquel elle incite peut aller de pair avec des temps d’explicitation de l’enseignant
lors de moments d’institutionnalisation ou de mises en commun pour les élèves.
Ainsi, cette activité se prête à l’articulation d’une recherche de solutions par les
élèves avec des étayages de l’enseignant, comprenant des moments d’explicitation.
Cette phase p ­ arfois négligée est indispensable pour les apprentissages des
stratégies transférables, des propriétés pertinentes ainsi que pour la consolidation
des connaissances : il est important de savoir ce que l’on apprend à travers les
problèmes et de disposer d’une trace écrite exploitable par les élèves. Cela suppose
que la résolution de problèmes et la construction de stratégies débutent en classe
et non pas dans des situations où l’élève serait mis en situation inédite dans un
cadre isolé. Pour les devoirs de réflexion en autonomie, cela indique aussi qu’il faut
penser à la mise en place de points d’étapes avec les élèves : un devoir de réflexion
est donc accompagné.

Plus généralement, l’accompagnement par l’enseignant est essentiel pour soutenir
la compréhension des élèves, d’autant plus que l’interprétation d’un problème
exerce une influence prépondérante dans sa résolution. En effet, qu’il soit verbal (les
problèmes dits « à énoncé ») ou privilégiant d’autres modes de représentation (par
exemple des tableaux, des schémas, des diagrammes), un problème fait l’objet d’une
interprétation par le biais de concepts mobilisés par l’élève. Ces concepts sur lesquels
l’élève s’appuie peuvent être des concepts mathématiques (par exemple une situation
du champ multiplicatif), des concepts abordés par d’autres disciplines scolaires (par
exemple la couche d’ozone) ou encore des concepts de la vie quotidienne (par exemple
une situation d’achat) 7. L­ ’interprétation construite par l’élève va contraindre les
stratégies de résolution qu’il est susceptible de mettre en œuvre, car seules seront
accessibles les stratégies concordantes avec ses interprétations.

Or les interprétations construites par les élèves peuvent être en décalage avec
la perspective adoptée par le concepteur du problème. De tels décalages sont
fréquents, car un élève, en apprentissage, ne dispose pas toujours de conceptions
suffisamment élaborées des notions mathématiques impliquées dans le problème à
résoudre. La notion « d’angle mort de l’expertise8 » traduit l’idée qu’il peut être difficile
pour un enseignant, expert de son domaine, de percevoir les difficultés des élèves,
car cela demande une difficile décentration.




7 — Emmanuel Sander, Jean-Francois Richard, Les Apprentissages
numériques, in Raphaëlle Miljkovitch, Françoise Morange-Majoux,
Emmanuel Sander (dir.), Psychologie du développement, p. 252-258,
Elsevier-Masson, Paris, 2017.
8 — Mitchell Nathan, Anthony J. Petrosino, “Expert Blind Spot among
Preservice Teachers”, American Educational Research Journal, 40 (4),
p. 905-928, 2003. Retrieved July 21, 2021, from http://www.jstor.org/
stable/3699412
    13 — Introduction

    Les interprétations reflètent des catégorisations des situations-problèmes qui ont
    une pertinence dans la vie quotidienne, mais qui ne recouvrent que partiellement
    celles des notions mathématiques concernées. Par exemple, l’énoncé : « Combien de
    verres de 0,25 L puis-je remplir avec une carafe de 2 L ? » peut se catégoriser sur le
    plan des connaissances de la vie quotidienne comme un problème de multiplication
    lacunaire, ce qui amène l’élève à rechercher le nombre d’itérations nécessaires
    pour aboutir à la quantité totale (« par combien dois-je multiplier 0,25 pour trouver
    2 ? »), alors que l’enseignant a conçu un problème de division. Ces décalages
    d’interprétation sont parfois compatibles avec l’atteinte de la solution, parfois
    conduisent à des erreurs. Par exemple, le même élève qui trouverait la réponse
    8 par tâtonnement au problème précédent échouerait dès lors que la valeur de
    la contenance du verre serait non plus de 0,25, mais de 0,23. Il y a donc un fort
    enjeu à accompagner les élèves dans la construction d’interprétations qui soient
    en concordance avec les notions ­mathématiques travaillées sous peine de les
    voir en difficulté dès lors que des changements sur le plan mathématique rendent
    inefficaces les stratégies disponibles, comme dans cet exemple.




Prendre en compte la contrainte
exercée par les conceptions
intuitives

    L’interprétation d’un problème est contrainte par les conceptions intuitives attachées
    aux notions mathématiques impliquées dans ce problème. Depuis les années 1980,
    de nombreux travaux ont en effet montré que les notions enseignées sont l’objet de
    conceptions reposant sur des connaissances familières, issues de la vie quotidienne
    et qui orientent la manière dont un élève se représente initialement une notion.

    Il peut s’agir par exemple de l’idée que le signe égal sépare un processus du
    ­résultat de ce processus, qu’un ensemble est une collection de plusieurs objets, que
     soustraire, c’est chercher le résultat d’un retrait, qu’additionner, c’est chercher le
     ­résultat d’un ajout, que multiplier, c’est réaliser une addition répétée, que diviser,
      c’est rechercher la taille de la part dans un scénario de partage équitable ou encore
      qu’un nombre décimal est composé de deux nombres entiers séparés par une virgule,
      qu’une fraction est un rapport d’une partie sur une totalité9. De telles conceptions
      intuitives ont un champ de validité, c’est-à-dire un ensemble de situations pour
      ­lesquelles la référence à la conception intuitive conduit à la même conclusion que la
       référence à la notion scolaire. À l’intérieur de ce champ de validité, les problèmes vont
       être en général plutôt facilement résolus par les élèves, car la concordance entre la
       conception intuitive et la notion scolaire permet d’aboutir à la solution recherchée.

    9 — Douglas Hofstadter, Emmanuel Sander, L’Analogie - Cœur
    de la pensée, chap. 7, « Les analogies naïves », Odile Jacob, Paris, 2013.
14 — Introduction

En revanche, hors du champ de validité de la conception intuitive, la difficulté de
résolution va être accrue. Ainsi le fait que la conception intuitive de la multiplication
soit l’addition répétée permet de comprendre pourquoi un problème comme « Si un
litre d’essence coûte 1,27 euro, combien coûte 0,21 litre ? » est difficile à résoudre
pour une majorité de collégiens, qui ont même tendance à poser une division, alors
que la multiplication est systématiquement identifiée par les mêmes élèves lorsque
0,21 est remplacé par une valeur entière, par exemple lorsque le problème devient
« Si un litre d’essence coûte 1,27 euro, combien coûtent 3 litres ?10 ». Concernant
la division, il a été montré que le problème « Avec 25 roses, combien de bouquets
de 5 roses puis-je faire ? » est réussi par presque tous les élèves de collège, alors
que la réussite chute pour un énoncé tel que « Je partage 5 kg de cookies entre
15 amis, combien chacun recevra-t-il ?11 » (la majorité des élèves effectuent 15/5,
cas stéréotypé du partage de 15 objets entre 5 individus). Il convient dans la
même perspective de distinguer l’usage du terme scolaire par l’élève (par exemple
« diviser », « fraction » ou « nombre décimal ») de sa conception personnelle de la notion
(par exemple, respectivement, « partager équitablement », « rapport d’une partie sur
une totalité », « deux nombres entiers séparés par un signe »).

En effet, les conceptions intuitives restent influentes y compris après enseignement.
L’enseignement a prise sur elles, mais elles ne peuvent pas pour autant être purement
éradiquées, si bien qu’il reste utile de prendre en compte leur influence, y compris
bien après qu’elles ont été abordées en cours, car les situations qui se situent hors
du domaine de validité de la conception peuvent conduire les élèves à des difficultés
majeures. La conception intuitive de la division comme la recherche de la taille de
la part persiste, y compris après enseignement, à faire obstacle à la possibilité
d’imaginer une telle situation12 . Par exemple, concevoir un énoncé de problème dans
lequel une division « rend plus grand », au sens où le résultat est plus élevé que la
valeur initiale, est un exercice difficile y compris pour de nombreux adultes. Ainsi
des problèmes de quotition, pourtant aussi concrets que, par exemple, « Dans 1,5
mètre de tissu, combien peut-on découper de bandes de 0,14 mètre ? », sont rarement
imaginés.




10 — Alan Bell, Malcolm Swann, Glenda Taylor, “Choice of Operation
in Verbal Problems with Decimal Numbers”, Educational Studies
in Mathematics, 12, p. 399-420, 1981.
11 — Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Sainati Nello, Maria Sciolis
Marino, “The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems
in Multiplication and Division”, Journal for Research in Mathematics
Education, 16, p. 3-17, 1985.
12 — Jacques Lautrey, Sylvianne Rémi-Giraud, Emmanuel Sander,
Andree Tiberghien, Les Connaissances naïves, Armand Colin, Paris,
2008.
    15 — Introduction

    Il est donc nécessaire de travailler également, durant le cours, des situations de
    résolution de problèmes hors du champ de validité de la conception intuitive dans la
    mesure où celle-ci est limitante dans de nombreuses situations. Il pourra s’agir par
    exemple de soustraire pour trouver combien on a gagné, d’additionner pour trouver
    combien on avait au début, de multiplier ou de diviser par une valeur inférieure à 1,
    ­d’introduire une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, etc.
     Cela implique de travailler au dépassement des limites imposées par la conception
     intuitive et ­d’accompagner la construction d’une conception plus large et concordante
     avec la notion mathématique. La modélisation (voir p. 18) de situations se situant,
     pour certaines, dans le champ de validité de la conception intuitive et hors de celle-ci,
     pour d’autres, est une manière de favoriser cet apprentissage.




Favoriser le transfert

    Bien que l’on s’accorde généralement à considérer qu’un objectif majeur de
    l’enseignement est de décontextualiser des compétences, il est établi par ailleurs
    que le transfert entre problèmes qui reposent sur la même structure mathématique
    mais dont l’habillage varie est souvent pauvre 13 . Autrement dit, rien ne garantit
    que la stratégie mise en œuvre par un élève pour résoudre un problème dans un
    contexte donné se transfère à un autre contexte pourtant identique sur le plan de
    la structure mathématique. Or il est attendu de l’élève qu’il élabore une conception
    des notions étudiées qui ne le rende pas totalement dépendant d’une invitation
    de l’enseignant (« inspirez-vous de ce qu’on a fait avant la récréation ») ou de traits
    de surface partagés (« ah, c’est un problème de mélange ! »). Sinon, son autonomie
    serait extrêmement réduite et les échecs nombreux.

    Un obstacle majeur au transfert tient à la relation entre la représentation du
    ­problème travaillé en cours et celle du problème à résoudre. Les élèves retiennent
     des problèmes résolus les propriétés qui leur ont servi à les interpréter, et ces
     mêmes propriétés sont ensuite des indices de récupération lors de la résolution d’un
     nouveau problème. Ainsi, les indices sur lesquels se fondent les élèves pour encoder
     un problème peuvent être très différents de ceux de l’expert ou de l’enseignant.
     Par encodage de la situation, on entend les propriétés perçues comme structurantes
     et pertinentes du point de vue de la personne qui résout et selon lesquelles elle va
     structurer sa représentation du problème. Un tel encodage contraint les stratégies
     de résolution envisageables et les possibilités de transfert.




    13 — Miriam Bassok, Ling-Ling Wu, Karen L. Olseth, “Judging a Book by
    its Cover: Interpretative Effects of Content on Problem Solving Transfer”,
    Memory & Cognition, 23, p. 354-367, 1995.
16 — Introduction

En effet, les encodages se font souvent selon des dimensions non pertinentes sur
le plan mathématique, ce qui n’est pas surprenant, étant donné que lorsque les notions
concernées sont peu acquises, d’autres indices, plus saillants mais moins pertinents
sur le plan mathématique, peuvent venir se substituer. Ainsi, il a été montré que des
élèves de collège à qui l’on demande de regrouper ensemble les problèmes mathé-
matiquement reliés ont tendance à privilégier des aspects thématiques (par exemple,
mettre ensemble des problèmes d’achat) plutôt que les principes de résolution
(par exemple, un calcul de moyenne pondérée). Les critères de regroupement sont
directement fonction de la performance scolaire : les élèves les plus performants
s’appuient sur les principes de solution, alors que les moins performants privilégient
des indices superficiels, non pertinents sur le plan mathématique14 .

Des travaux orientés spécifiquement sur le transfert d’apprentissage ont montré
une tendance à réussir en priorité des problèmes présentant des traits de surface
partagés avec un problème travaillé en classe et des échecs massifs lorsque le
nouveau problème cesse de partager ces indices de surface avec le problème initial
(par exemple, la stratégie de résolution d’un problème de calcul de concentration
de solutions chimiques sera transférée avec succès vers un autre problème de
mélange, mais rarement à un énoncé avec un habillage éloigné, tel que des calculs
de rendement de comptes bancaires)15 . La raison de ce phénomène est que là où
l’enseignant perçoit la structure mathématique du problème, l’élève s’appuie sur
d’autres indices, parfois peu pertinents, pour évoquer une situation déjà rencontrée,
ce qui le conduit à ne pas évoquer la stratégie appropriée lorsqu’il rencontre un
­problème éloigné sur le plan des indices de surface qui pourtant partage la structure
 de solution d’un ­problème déjà travaillé en classe.

Un enjeu essentiel est donc que les élèves n’encodent pas les énoncés ­travaillés
en classe selon les seuls traits superficiels, ce qui les mettrait en échec dès
lors qu’un nouveau problème cesserait de partager l’habillage du problème
d’entraînement, mais qu’ils soient en mesure de repérer des propriétés qui sont
pertinentes sur le plan mathématique : c’est dans ce cadre que le professeur
joue un rôle essentiel. Une manière d’améliorer la qualité de l’encodage est
d’amener les élèves à résoudre des problèmes qui partagent le même principe
mathématique mais sont dissociés sur le plan des traits superficiels. Cela laisse
la possibilité d’évaluer si les élèves qui ont travaillé un principe dans un certain
contexte ont suffisamment saisi les dimensions pertinentes pour mettre en
œuvre les mêmes principes mathématiques dans des contextes superficiellement
différents 16 . Par exemple, un énoncé tel que « Je paie 3 € pour 7 kg de tomates.




14 — Edward A. Silver, “Recall of Mathematical Problem Information:
Solving Related Problems”, Journal of Research in Mathematical
Education, 12, p. 54-64, 1981.
15 — Stephen K. Reed, “A Structure Mapping Model for Word Problems”,
Journal of Experimental Psychology: Learning Memory and Cognition,
13, p. 124-139, 1987.
16 — Emmanuel Sander, « La résolution de problèmes arithmétiques
à énoncés verbaux », Anae (approche neuropsychologique
des apprentissages chez l’enfant), 156, 611-619, 2018.
    17 — Introduction

    Quel est le prix de 5 kg de tomates ? » conduit à un encodage de la situation concordant
    avec la procédure de règle de trois dans la mesure où l’on va rechercher succes-

                                                      ( )
    sivement le prix d’un kilogramme de tomates 3 € puis multiplier par la quantité
                                                      7
    recherchée (x 5). Un tel problème sera souvent bien résolu par les élèves, mais il
    sera intéressant de travailler également un énoncé tel que « 3 ­pastèques pèsent
    7 kg. Combien faut-il acheter de pastèques pour totaliser un poids de 5 kg ? », qui
    est susceptible de poser des difficultés dans la mesure où l’on est tenté de chercher

    en premier lieu le poids moyen d’une pastèque ( 7 kg), alors que c’est la quantité de
                                                    3
    pastèque par kilogramme qui est la donnée pertinente.

    Dans cette perspective, il a régulièrement été introduit dans les chapitres du guide,
    en sus des énoncés dont la résolution est développée, un ou plusieurs autres qui sont
    de même nature sur le plan des principes mathématiques en jeu et de la démarche
    de résolution, mais éloignés sur le plan des traits superficiels.




Mobiliser les quatre piliers
de l’apprentissage

    Les activités de résolution de problèmes offrent la possibilité de mobiliser et de
    bénéficier des quatre piliers de l’apprentissage que sont l’attention, l’engagement
    actif, le retour sur l’erreur et la consolidation17. L’attention est évidemment néces-
    saire, et, comme cela a été souligné au début de cette introduction, l’engagement
    actif est favorisé par les activités de résolution de problèmes. L’élève est en effet mis
    en position de recherche active de la solution, est amené à s’interroger, à remettre
    en cause ses interprétations premières, à approfondir ses premières analyses,
    à partager ses réflexions lors de moments de mises en commun.

    Le retour sur l’erreur est également essentiel en résolution de problèmes. En rendant
    possible la prise de conscience du décalage entre les propres attentes de l’élève et
    les conséquences de ses actions, cela favorise une remise en cause et une évolution
    de ses conceptions ou de ses stratégies pour se retrouver plus en phase avec le
    retour de l’environnement. Il s’agit d’un retour d’expérience qui permet à l’élève de
    chercher à sortir de l’impasse dans laquelle il est susceptible de se trouver si son
    interprétation du problème est inappropriée ou s’il échoue à mobiliser une stratégie
    pertinente. Ce retour sur l’erreur peut être soutenu par des phases d’explicitation
    de l’enseignant relatives aux caractéristiques mathématiquement pertinentes de
    la situation. On rappelle dans cette introduction l’utilité d’activités régulières avec
    retour systématique sur le produit de cette activité et l’intérêt que les activités soient



    17 — Stanislas Dehaene, op. cit., p. 11.
    18 — Introduction

    distribuées de manière régulière. Un temps « aggloméré » peut être utile, notamment
    pour les élèves les plus fragiles, au moment où une nouvelle connaissance s’installe,
    mais elle sera toujours suivie de retours fréquents.

    Le travail de consolidation n’est pas moins crucial en résolution de problèmes que dans
    d’autres activités mathématiques. En effet, il s’agit progressivement de se décharger
    d’aspects coûteux cognitivement de l’activité afin de libérer des ressources et d’être
    en mesure de centrer sa recherche sur les aspects plus conceptuels et plus propres
    au problème à résoudre. Les automatismes facilitent la résolution de problèmes, qui
    elle-même donne du sens aux notions. Ainsi, il s’agit de favoriser, par la pratique de la
    résolution de problèmes, le développement d’une reconnaissance de plus en plus directe
    des types de problèmes rencontrés et des stratégies efficientes pour les résoudre. Les
    élèves apprennent de cette manière à articuler des automatismes avec la résolution de
    problèmes. Ces automatismes peuvent se manifester sur différents plans, qu’il s’agisse
    d’aspects calculatoires, qui peuvent avoir été travaillés aussi durant les phases de
    cours, ou d’activités de modélisation (voir le paragraphe ci-dessous) pour lesquelles le
    codage des situations deviendra de moins en moins coûteux. Lors de la fréquentation
    des différents types de problèmes dans des contextes variés, l’écrit institutionnalisé
    (ce qu’il faut retenir, comprendre, apprendre) constitue un corpus de connaissances et
    de procédures automatisées, immédiatement disponibles en mémoire, contribuant au
    développement de l’autonomie des élèves en résolution de problèmes.




Considérer la modélisation
comme une stratégie dans
la résolution de problèmes

    La modélisation constitue un enjeu et un soutien majeur aux apprentissages mathé-
    matiques et doit se construire de manière cohérente entre l’école primaire et le
    collège pour créer le continuum didactique utile aux apprentissages. Elle consiste
    à représenter en faisant apparaître les relations mathématiques entre les données
    d’un problème ; c’est en quelque sorte une représentation dans laquelle on peut faire
    du calcul et mener des raisonnements. Il s’agit d’une activité de codage du problème
    partagée au sein du collectif de la classe, qui favorise la prise de conscience des rela-
    tions mathématiques qui lient les données – un des six concepts clés développés pour
    Pisa18. La modélisation conduit donc l’élève à inscrire l’énoncé dans le format du modèle,
    ce qui peut aider à rendre accessibles les stratégies de résolution associées aux dif-
    férents cas de figure possibles à l’intérieur du modèle. Un modèle n’a pas vocation à
    représenter une situation dans sa diversité et sa complexité, mais à circonscrire les
    éléments pris en considération dans le problème à certaines caractéristiques perti-
    nentes sur le plan mathématique, sur lesquelles prend appui le processus de résolution.

    18 — Voir plus loin le paragraphe sur les compétences du xxie siècle, p. 21.
19 — Introduction

Qu’il s’agisse de s’appuyer sur la modélisation en barres, sur les nombres rectangles19
ou sur d’autres modélisations, l’enjeu pour l’élève est d’aller au-delà de l’interprétation
première de la situation présentée, qui peut s’avérer inappropriée, pour élaborer une
stratégie opportune de résolution, et de la coder selon un formalisme plus pertinent
sur le plan mathématique. Par exemple, la conception intuitive de la multiplication
comme une addition répétée rend difficile de saisir la propriété de commutativité, car
il n’y a rien d’intuitif à ce que « a fois le nombre b soit égal à b fois le nombre a » ; en
revanche, une modélisation par un nombre rectangle met en avant la commutativité
dans la mesure où l’aire du rectangle demeure inchangée quel que soit le statut de a
et de b dans l’énoncé. L’importance de travailler la modélisation découle de la difficulté
de passer du registre des représentations à celui du calcul20. Il s’agit donc pour les
élèves de représenter la situation dans un format qui mette en avant les propriétés
mathématiquement pertinentes et dont peut découler une résolution.

Pour l’enseignant, placer l’emphase sur la modélisation dans les activités de résolution
de problèmes permet de s’assurer que les élèves sont en mesure d’adopter un codage
pertinent de la situation sur le plan mathématique et de s’engager dans la résolution.
Cela permet également de faciliter le transfert d’apprentissage dans la mesure où une
modélisation commune de deux énoncés qui diffèrent par leur habillage rend explicite
la structure mathématique partagée et les similitudes des stratégies de résolution.
La modélisation élaborée par un élève face à un problème qui lui est présenté rend
possible de repérer si les difficultés rencontrées relèvent de la modélisation pro-
prement dite ou davantage de l’élaboration des stratégies de résolution sur lesquelles
la modélisation s’appuie. Si la modélisation est pertinente, les difficultés sont de l’ordre
de la mise en œuvre de la procédure de résolution ; elles peuvent par exemple relever
de difficultés calculatoires. En revanche, une modélisation inadéquate est indicatrice
de difficultés de codage de la situation et appelle un travail de mise en lien de l’inter-
prétation première de l’élève avec le modèle. La modélisation réalisée par l’élève peut
avoir également une visée diagnostique pour l’enseignant ; elle est en effet informative
d’éventuelles incompréhensions qui ont conduit cet élève à des choix représenta-
tionnels en décalage par rapport aux modélisations mathématiquement pertinentes.

Le recours à une représentation n’a pas vocation à perdurer. Cela rejoint la
problématique récurrente du désétayage : certaines représentations finissent
par devenir optionnelles lorsque les apprentissages sont suffisamment ancrés.
Il s’agit en effet d’installer des représentations en cohérence avec les propriétés
mathématiques que l’enseignant souhaite voir émerger dans les situations travaillées,
afin d’améliorer la compréhension des notions traitées et rendre disponibles des
stratégies de résolution adéquates. Lorsque la consolidation des apprentissages
est suffisante, le recours au modèle peut alors cesser.

Dans ce guide, la modélisation dans la résolution des problèmes est considérée
comme une stratégie d’enseignement.




19 — Produits de deux entiers strictement plus grands que 1
(nombres composés).
20 — Raymond Duval, « Registres de représentation sémiotique
et fonctionnement cognitif de la pensée », 1993 : https://publimath.univ-
irem.fr/numerisation/ST/IST93004/IST93004.pdf
    20 — Introduction


Contribuer à la formation
d’un esprit citoyen

    La résolution de problèmes dans des contextes de la vie quotidienne offre
    l’occasion de montrer l’utilité pratique des mathématiques. Elle contribue aussi
    au développement de l’esprit critique des élèves dans une perspective d’éducation
    citoyenne : « L’enseignement mathématique permet justement aux élèves d’acquérir
    les compétences nécessaires pour interpréter correctement les données,
    les représentations graphiques ou les affirmations sur les risques qui abondent
    dans les médias. En cela, il nourrit leur esprit critique en leur fournissant des outils
    pour évaluer de manière fiable les informations proposées sous forme quantitative
    ou visuelle21 . »

    Il s’agit notamment pour les élèves d’aboutir à une approche mieux informée en
    contrant certains biais cognitifs qui conduisent, du fait d’interprétations inadéquates
    de données statistiques, à des jugements et des prises de décision erronés relatifs
    à des phénomènes sociétaux. Par exemple, le biais de ratio se traduit par une prise
    en compte, dans une fraction, non pas du seul rapport entre deux nombres, mais
    de la grandeur même des nombres au numérateur et/ou au dénominateur. Le biais
    de ratio conduit par exemple à estimer à tort que 38/112 est plus grand que 5/12,
    sous l’influence du fait que 38 et 112 sont tous deux de grands nombres par rapport
    à 5 et à 12. Il donne également l’impression erronée qu’un événement qui se produit
    5 fois par semaine est plus rare qu’un événement qui se produit 200 fois par année.

    Les problèmes travaillés dans ce guide, relatifs aux fractions, à la proportionnalité
    et aux ratios, contribuent à contrer ce biais par une meilleure compréhension
    des fractions.

    Un autre biais influençant l’interprétation des statistiques est la négligence du
    taux de base. Ce biais conduit à ignorer les conséquences du fait que différents
    échantillons sont inégalement répartis dans une population. Par exemple, saisir que
    ­l’affirmation « 40 % des personnes infectées sont vaccinées » est compatible avec une
     grande efficacité d’un vaccin, demande d’aller à l’encontre de ce biais de négligence
     du taux de base. En effet, si on imagine par défaut une population dans laquelle il y a
     autant de personnes vaccinées que non vaccinées, l’avantage d’être vacciné paraît
     faible (40 % contre 60 %).




    21 — Éduquer à l’esprit critique – Bases théoriques et indications
    pratiques pour l’enseignement et la formation. Publication du Conseil
    scientifique de l’éducation nationale : https://www.reseau-canope.
    fr/fileadmin/user_upload/Projets/conseil_scientifique_education_
    nationale/Ressources_pedagogiques/VDEF_Eduquer_a_lesprit_
    critique_CSEN.pdf
    21 — Introduction

    Le schéma ci-dessous illustre le fait que le raisonnement précédent est fallacieux
    lorsque les personnes vaccinées et non vaccinées sont réparties de manière bien
    plus inégale, par exemple dans une population à l’intérieur de laquelle 80 % des indi-
    vidus sont vaccinés.

       vaccinés                   Ce graphique permet de voir que 8 individus sur les 80
       non vaccinés               vaccinés sont infectés, soit 10 % des vaccinés, contre 12
       infectés                   individus sur 20 non vaccinés soit 60 % des non vaccinés.
                                  Des calculs directs de rapports de proportions permettent
                                  aux élèves d’aller au-delà de la conclusion hâtive, car dans
                                  ce cas de figure les chances d’être infectés sont 6 fois
                                  plus importantes si l’on n’est pas vacciné que si on l’est

                                  ( 60
                                    40 % 20 % )
                                       % x 80 % . Et si 95 % de cette population était vaccinée,

                                  l’affirmation « 40 % des personnes infectées sont vaccinées »,
                                  qui semble pourtant toujours aussi inquiétante, se traduirait
                                  en fait par le constat qu’il y a cette fois près de 30 fois plus
                                  de risque pour une personne d’être infectée si elle est non

                                                                     (           )
                             vaccinée que si elle est vaccinée 60 % x 95 % 22 . Il peut aussi
                                                               40 % 5 %
                             être intéressant de travailler avec les élèves l’affirmation
                             que dans une population intégralement vaccinée, 100 % des
    infectés sont vaccinés, ce qui est compatible avec tout niveau d’efficacité du vaccin.

    Dans les différents chapitres de ce guide, a été soulignée la diversité des contextes
    où les mathématiques contribuent au développement de l’esprit critique et à la
    formation d’un esprit citoyen.




Développer les compétences
du xxie siècle               23




    Les six compétences mathématiques que l’on retrouve dans les programmes français
    de l’école primaire au lycée (chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner
    et communiquer) sont travaillées à travers la résolution de problèmes avec l’objectif
    de développer des compétences transversales pérennes et transférables au-delà des
    mathématiques (par exemple, savoir utiliser l’information, communiquer c ­ lairement
    et de manière synthétique).



    22 — C’est la notion de l’odd-ratio largement utilisée dans les études
    de biais.
    23 — « Le futur de l’éducation et des compétences », Projet Éducation
    2030 de l’OCDE : https://www.oecd.org/education/OECD-Education-
    2030-Position-Paper_francais.pdf
22 — Introduction

Le développement des compétences langagières (présenter, argumenter, démontrer)
est essentiel pour le citoyen : à travers la résolution de problèmes, l’élève construit son
parcours de l’oralité tout au long de sa scolarité. La qualité de l’expression orale au sein
de la classe – la verbalisation dans un premier temps, le débat mathématique dans un
second temps – doit donc être un point de vigilance de la part des enseignants, pour
contribuer, à travers les mathématiques, à l’acquisition de ces compétences par tous.

Les piliers de l’apprentissage (l’attention, l’engagement actif, le retour sur l’erreur, la
consolidation), lorsqu’ils sont repérés par l’élève et l’enseignant, contribuent aussi aux
compétences du xxie siècle, comme la prise d’initiative et la persévérance. Par exemple,
la simple activité d’ordonner une liste raisonnablement longue de données (pour
repérer une médiane), peut paraître sans intérêt voire décourageante si on ne dispose
pas d’un logiciel ou que les données ne sont pas numérisées. Cependant, cette activité
met en évidence, au-delà de la nécessaire persévérance, la nécessité de construire
des stratégies efficaces qui renvoient à des activités algorithmiques comme le tri
rapide, ou savoir disposer ses données en sous-catégories plus facilement traitables
renvoyant au second principe de la Méthode de Descartes24 . Enfin, la créativité et le
raisonnement critique, quant à eux, sont au cœur de l’activité même mathématique
et sont particulièrement illustrés dans la résolution de problèmes.

De plus, le cadre Pisa 25 place « la capacité de raisonner logiquement, de présenter
des arguments de manière honnête et convaincante comme une compétence majeure
dans le monde d’aujourd’hui ». La contribution des mathématiques y est essentielle,
car « les élèves apprennent que si leur raisonnement et leurs hypothèses sont
­corrects, ils peuvent arriver à des résultats dont ils seront assurés de l’exactitude
 dans un vaste éventail de contextes de la vie de tous les jours ». Cette démarche
 contribue bien évidemment à la citoyenneté en construction, mais plus encore
 à l’autonomie à travers le raisonnement, car les conclusions du raisonnement
 mathématique sont « impartiales et n’ont nullement besoin d’être validées par une
 autorité externe ».

Aux côtés des compétences mathématiques, le programme Pisa précise six concepts
clés qui structurent le raisonnement mathématique en lien avec ces compétences
du xxie siècle, qui résonnent à travers les contenus des programmes du collège
et la résolution de problèmes26 .

Les chapitres de ce guide prennent en compte ces concepts clés.




24 — « Diviser chacune des difficultés que j’examinerai, en autant
de parcelles qu’il se pourrait et qu’il serait requis pour les mieux
résoudre », second principe de la Méthode.
25 — https://pisa2022-maths.oecd.org/fr/
26 — Comprendre la quantité, les systèmes de numération et leurs
propriétés algébriques ; comprendre le potentiel de l’abstraction
et de la représentation symbolique ; reconnaître les structures
mathématiques et leurs régularités ; reconnaître les relations
fonctionnelles entre quantités ; recourir à la modélisation mathématique
pour percevoir le monde réel ; voir la variation comme fondement
de la statistique.
                  I
Données
et statistiques
         24 — Données et statistiques

Les problèmes de ce chapitre visent à outiller les élèves afin
d’en faire des citoyens capables de comprendre et analyser
les données qu’ils rencontrent et l’utilisation qui en est faite
dans les médias. La résolution de problèmes et la
mobilisation des six compétences mathématiques sont
incontournables dans ce thème, qui ne saurait se résumer
au calcul d’indicateurs et à la représentation de données.
Par ailleurs, l’utilisation d’un tableur permet de traiter
des données réelles et nombreuses qui donnent tout leur
sens à ces études, tout en sensibilisant les élèves à l’utilité
des statistiques dans la vie courante et dans de nombreux
domaines (écologie, consommation, etc.).




Entrée historique


         Commerce, argent et démographie27

         On situe vers le xiiie ou le xive siècle le développement de l’assurance maritime.
         Les navires au long cours transportaient alors des cargaisons de plus en plus
         importantes et précieuses, tout en étant soumis à des risques non négligeables
         de naufrage ou de piratage. Diverses formules d’assurance ont alors vu le jour
         pour limiter les pertes, ce qui demandait de dresser les listes des navires perdus
         et des navires arrivés à bon port pour évaluer correctement les risques à partager
         entre plusieurs partenaires. D’autres exemples de recueil de données existent depuis
         l’Antiquité, notamment des recensements de personnes et de biens par des États
         dans le but de déterminer le montant des impôts.

         Cependant, c’est à John Graunt (1620-1674)28, un riche mercier londonien, que l’on
         attribue le premier traité de démographie mathématique, c’est-à-dire le premier
         travail dans lequel on effectue des calculs sur des données brutes pour en tirer de
         l’information.




         27 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
         Tournès, Éric Vandendriessche.
         28 — John Graunt, Natural and Political Observations [...] made upon
         the Bills of Mortality, Roycroft, London, 1662.
25 — Données et statistiques

À partir des bulletins de mortalité qui avaient été dressés à Londres pour recenser
les morts de la peste et des registres paroissiaux répertoriant les naissances,
mariages et décès, Graunt a effectué les premières études statistiques sur
la proportion de morts dus à la peste ou à d’autres causes, le nombre moyen
d’enfants par ménage, le rapport du nombre de garçons et du nombre de filles à la
naissance, ou encore l’évaluation de la population de Londres et de sa croissance
en l’absence de recensement.

Un autre personnage important dans l’histoire de la statistique est William Playfair
(1759-1823) 29, ingénieur et économiste écossais, qui a eu l’idée de représenter les
données numériques par des grandeurs géométriques qui leur sont proportionnelles,
afin de les rendre plus facilement perceptibles. Dans ses ouvrages, on trouve les
premières apparitions connues d’un diagramme en bâtons (voir figure 1) et d’un
diagramme circulaire (voir figure 2).




                                                                            Figure 1. Diagramme
                                                                            en bâtons de William
                                                                            Playfair représentant
                                                                            les exportations
                                                                            et importations de l’Écosse
                                                                            vis-à-vis des autres pays.




Figure 2. Diagramme circulaire de William Playfair traduisant
les surfaces relatives des États des États-Unis.


29 — William Playfair, The Commercial and Political Atlas, Burton,
London, 1786 ; The Statistical Breviary, Bensley, London, 1801, trad. fr.
par Francois-Denis Donnant, Éléments de statistique, Batilliot et Genets,
Paris, an XI (1802).
    26 — Données et statistiques


Point sur la recherche                                       30




    Au quotidien, les élèves sont entourés de multiples données issues de divers médias
    ou des différentes disciplines enseignées. Il apparaît nécessaire que l’enseignement
    de la statistique « contribue à former l’enfant en tant que futur citoyen à la littératie
    numérique31 ».

    Que les élèves soient confrontés à une démarche statistique dans son ensemble
    est important afin qu’ils s’interrogent sur la nature des données à recueillir dès
    la conception de l’enquête, à leur dépouillement, à leur traitement (choix des outils
    numériques, d’organisation et de représentation des données) ; c’est un levier pour
    l’enseignement. Choisir des indicateurs, interpréter des données développent un
    regard critique. L’enquête peut s’appuyer sur des grandeurs et ainsi interroger
    la nature du protocole et l’incertitude de la mesure. C’est l’occasion d’observer
    la variabilité des données, étape indispensable selon Yves Chevallard et Floriane
    Wozniak : « La vision statistique conduit à regarder les objets du monde naturel ou
    social, non comme le siège de grandeurs fixes, mais de grandeurs variables32 . »

    Nos résultats de recherche portent sur le travail de l’enseignant sur la simulation d’ex-
    périences aléatoires33. La simulation, qui fournit des données, relie les probabilités et
    la statistique via l’approche fréquentiste des probabilités. Si des expériences aléatoires
    peuvent être réalisées à la main, les simulations ont une importance croissante grâce
    aux logiciels disponibles. En séance de lesson study adaptée34 , nous avons proposé
    le « jeu du lièvre et de la tortue » à des enseignants 35 : une course se passe entre
    un lièvre et une tortue sur un parcours à six cases. On lance un dé, s’il tombe sur six,
    le lièvre a gagné, sinon, la tortue avance d’une case. Qui a le plus de chance de gagner ?




    30 — Contribution de Blandine Masselin.
    31 — Carmen Batanero, Jeanne Fine, Jean-Pierre Raoult,
    « Le curriculum statistique dans le secondaire : comparaisons
    internationales », Statistique et Enseignement, 4(1), p. 1-4, 2013.
    32 — Yves Chevallard, Floriane Wozniak, « Enseigner la statistique :
    un problème de la profession », in Actes du 14e colloque de la Corfem
    [commission inter-Irem de recherche sur la formation des enseignants
    de mathématiques du second degré], Antony Val de Bièvre, site de l’IUFM
    de Versailles, 21-22 Juin 2007.
    33 — Blandine Masselin, Étude du travail de l’enseignant autour
    de la simulation en classe de troisième et seconde : métamorphose
    d’un problème au fil d’une formation en probabilité, thèse de doctorat,
    université Paris-Diderot, 2019 : http://www.theses.fr/240200012
    34 — Blandine Masselin, Charlotte Derouet, « Sur la mise en évidence
    des effets d’une formation courte sur les pratiques d’enseignants
    autour de la simulation en probabilité en classe de troisième », in Maha
    Abboud, « Mathématiques en scènes, des ponts entre les disciplines »,
    198-207, 2019, université de Cergy-Pontoise, France, octobre 2018.
    35 — Cahier de lesson study accessible sur le site de l’institut
    de recherche sur l’enseignement des mathématiques (Irem) de Rouen :
    https://irem.univ-rouen.fr/cahiers-de-ls
    27 — Données et statistiques

    Cette situation peut donner lieu à des simulations (langage de programmation,
    tableur). Nos travaux36 ont révélé l’importance d’identifier les modèles probabilistes
    sous-jacents lors de la simulation ainsi que l’impact de logiciels utilisés.




Problème 1. Nos amis les bêtes
     Nombre d’élèves

          35


          30


          25


          20


          15


          10


           5
                                                                                    Nombre
           0                                                                        d’animaux
                      0                 1                2         3            4

       Doc. Les animaux de compagnie des élèves de 6 .
                                                    e




    Énoncé

    On a demandé aux élèves des trois classes de 6e du collège Anatole France ­combien
    d’animaux de compagnie vivaient avec eux. On a représenté les ­résultats dans le
    diagramme suivant.

    QUESTIONS. NIVEAU CYCLE 3
    Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
    a. 21 élèves ont un seul animal de compagnie.
    b. Il y a 75 élèves en 6e au collège Anatole France.
    c. Les élèves qui ont deux animaux de compagnie sont trois fois plus nombreux
    que les élèves qui ont trois animaux de compagnie.
    d. 70 élèves ont moins de trois animaux de compagnie.
    e. Plus de la moitié des élèves ont au moins un animal de compagnie.

    36 — Blandine Masselin, « Dynamique du travail mathématique en
    classe entre un enseignant et des groupes d’élèves sur la simulation
    en probabilité : une étude de cas », Annales de didactique et de sciences
    cognitives, 25, p. 49-88, 2020.
28 — Données et statistiques

QUESTIONS. NIVEAU CYCLE 4 (ENVISAGEABLES DÈS LA CLASSE DE 5e)
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
a. 32 élèves n’ont aucun animal de compagnie.
b. La plupart des élèves ont plusieurs animaux de compagnie.
c. Plus de 75 % des élèves ont au moins un animal de compagnie.
d. Les élèves ont un animal de compagnie en moyenne.
e. Parmi les élèves qui ont au moins un animal de compagnie, la moitié en ont plusieurs.



Mots-clés

Maîtrise de la langue, lecture graphique, interprétation de données et usage
­d’indicateurs statistiques avec prise d’initiative, chercher, raisonner, communiquer.



Pourquoi ce problème ?

Ce n’est pas un simple problème de lecture de données. Il présente un double enjeu :
un premier centré sur la compréhension de l’affirmation proposée et un second sur
la sélection des données utiles à la réponse.

On peut dégager trois temps dans cet exercice :


   Compréhension                     Traitement                  Communication
    de la formulation            Mise en lien du sens              Argumentation
      de la phrase                   de la phrase
                                    et du contenu
                                   du diagramme



Le travail sur le langage spécifique utilisé en mathématiques, au cœur de ce pro-
blème, est central dans l’argumentation (orale ou écrite). Il est attendu des élèves
une explicitation de leur raisonnement. Un débat argumentatif peut être instauré
au sein de la classe.

La première question permet de vérifier la bonne compréhension de la lecture du
graphique (cette question peut éventuellement être remplacée par une indication
de lecture du graphique, du type « on peut lire que 21 élèves ont un seul animal de
compagnie »).
29 — Données et statistiques


Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

L’exploitation de données numériques présentées sous diverses formes (tableaux
ou graphiques) apparaît très tôt dans la scolarité. Dès la classe de CE2, on enseigne
aux élèves à prélever des informations sur des représentations graphiques et à
les exploiter. Par exemple, il peut être demandé aux élèves de fin de cycle 2 de lire,
sur une courbe donnant les températures en fonction des jours de la semaine,
la température la plus haute, la plus basse, l’écart maximal de température, le jour
pour lequel la température est la plus chaude, etc. Ce travail mené en fin de cycle 2
permet d’installer les bases de la lecture graphique qui sera poursuivie jusqu’à la
fin du cycle 4 sur des représentations graphiques de plus en plus complexes.

Ce problème peut être proposé du cycle 3 au cycle 4. Il peut être décliné en modifiant
les affirmations, le type de diagramme proposé ou le contexte, qui doit malgré tout
rester proche de l’environnement des élèves afin de ne pas ajouter une difficulté
supplémentaire.

En cycle 3, on insistera davantage sur le vocabulaire : moitié, quart, triple, deux fois
moins que, deux fois plus, etc. On pourra aussi débuter un travail sur les pourcen-
tages simples (25 %, 50 %, 10 %) en faisant le lien entre fraction et pourcentage37.

En cycle 4, le lien pourra être fait entre vocabulaire et indicateurs statistiques
(la plupart de, etc.) et aussi avec les pourcentages (augmentation, diminution, etc.).



Stratégies d’enseignement

Ce problème peut être présenté à divers moments de la séance et sous plusieurs
modalités (seul, en binôme ou en groupe afin de favoriser le débat et la communication).

Au cycle 3, un tel problème pourra présenter des difficultés de lecture graphique.
Tout d’abord, il s’agira d’identifier les grandeurs en jeu sur les axes, mais aussi de
mettre en relation ces deux axes pour la lecture des données sur les barres. Ensuite,
les élèves devront relier le texte avec le graphique et sélectionner les informations
utiles à la réponse. Enfin, la compréhension de certaines formulations (par exemple :
« trois fois plus ») peut être délicate et nécessite une attention particulière. Au-delà de
ces formulations, la compréhension de la phrase dans sa globalité est nécessaire.
La reformulation est une étape primordiale pour les élèves en difficulté face à ce
problème. Pour lever les doutes, le professeur pourra préciser que l’épaisseur des
barres n’a pas d’importance.




37 — Voir le paragraphe intitulé : « Mathématiques. Les pourcentages
au cœur de la citoyenneté », p. 46.
    30 — Données et statistiques

    Avant de rédiger leurs réponses, les élèves devront au préalable mener un raison-
    nement et comprendre ce que signifie justifier une affirmation dans un tel problème.
    Les ­justifications attendues pourront facilement être différenciées : justification orale,
    non rédigée (écrit intermédiaire) ou complètement rédigée. En cycle 3, la justification
    orale sera une manière efficace de lever la barrière de l’écrit qui pourrait décou-
    rager des élèves en difficulté à s’engager dans la tâche proposée. Petit à petit, il sera
    important de les amener à structurer leur réponse et à ordonner leurs arguments
    pour ensuite faire le lien vers l’écrit. Les premiers écrits pourront être maladroits
    et peu structurés, et il sera alors important de garder une trace écrite de plusieurs
    justifications construites avec l’ensemble de la classe, qui constitueront un ensemble
    de modèles sur lesquels les élèves pourront prendre exemple. Progressivement, on
    encouragera les élèves à rédiger leur réponse. Il pourrait être demandé, dans un
    premier temps, de justifier une seule des réponses à l’écrit, chaque élève choisissant
    celle qui lui semble la plus accessible. La compétence « communiquer » est au cœur
    de ce travail de justification. Le vocabulaire précis permettra à chacun de se faire
    comprendre et de comprendre l’autre.

    Dans les questions de niveau cycle 4, un enjeu porte sur le lien à construire entre
    l’utilisation de formulations courantes plus complexes comme « la plupart », « au moins
    un », « aucun », qu’il convient de traduire en langage mathématique. Dans l’affir-
    mation c., il faudra non seulement comprendre la phrase, mais aussi mener à bien
    des calculs liés au pourcentage. Enfin, l’affirmation e., plus complexe, montre toujours
    l’importance des reformulations pour comprendre les affirmations. Il pourra être
    utile de proposer des exemples plus simples pour les élèves en difficulté.




Problème 2.
L’allure de la courbe


    Énoncé

    Que pourrait représenter ce graphique à propos d’une salle de classe ?
    Le décrire avec le plus de précision possible. Justifier et compléter le graphique.

       Degrés
       Celsius




                                                                                    Heures
31 — Données et statistiques


Mots-clés

Gestion de données, lecture et interprétation graphique, grandeurs, chercher,
raisonner, communiquer.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème peut être proposé dès la classe de 6e. Le contexte choisi est très
familier aux élèves. Pour résoudre cet exercice, les élèves devront utiliser leurs
connaissances de leur environnement (la salle se réchauffe à cause du chauffage,
du soleil, de la présence des élèves, etc.).

Contrairement aux exercices habituels, le graphique proposé dans ce problème ne
donne aucune information chiffrée. Le premier objectif est alors de faire formuler
aux élèves ce dont il est question en nommant les grandeurs en jeu et en les reliant.
Le second est de leur faire analyser une évolution, en distinguant des phases que l’on
compare entre elles pour affiner l’analyse. Il s’agit donc d’une lecture graphique globale.

Les compétences « chercher » (prélever les informations utiles, observer), « raisonner »
(pour justifier ses affirmations) et « communiquer » (pour expliquer son raisonnement
en utilisant un vocabulaire adapté) sont mises en œuvre dans cette résolution
de problèmes.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Les différents niveaux de précision possibles dans l’analyse et le vocabulaire
employé (grandeurs nommées, expression « en fonction de », « évolution », « crois-
sante », « constante », etc.) permettent une différenciation, mais ces éléments sont
tous travaillés dès le cycle 3. Au cycle 4, ce type de travail est primordial pour l’étude
graphique des fonctions. Il fournit en effet des images mentales fortes de ce qu’est la
représentation graphique de deux grandeurs qui sont liées et qui évoluent. On pourra
rapprocher ce type de travail des problèmes où l’on demande aux élèves de choisir
le graphique le plus adapté pour représenter une situation décrite préalablement
dans un texte parmi les quelques-uns que l’on propose.



Stratégies d’enseignement

La production attendue est un texte court et rédigé, qui décrit les variations de la
courbe et le lien existant entre les deux grandeurs présentes.
32 — Données et statistiques

L’objectif principal de cet exercice, qui doit être explicité avec les élèves, est de relier
les deux grandeurs et de décrire ce lien. Le professeur veille à bien expliciter ses
attentes en matière de texte écrit et de vocabulaire employé : des mots-clés pour-
raient être donnés soit sous forme de coup de pouce, soit lors d’une première phase
de mise en commun, après un temps de recherche pour aider à la rédaction du texte,
soit avant le début de la rédaction du texte, après une discussion avec la classe.

Souvent déstabilisés dans un premier temps, les élèves sont amenés à observer la
représentation graphique dans son ensemble. Le professeur peut inciter chacun
à interpréter ce qu’il observe, à préciser son vocabulaire, mais aussi, lorsque les
groupes sont assez à l’aise, à affiner ses observations et à développer davantage
son argumentation.

Aux élèves qui ne démarrent pas l’activité, le professeur pourra demander une des-
cription de ce qu’ils voient sur le graphique (les deux axes, les grandeurs nommées
sur ces axes et enfin la courbe). Il est important d’accepter dans un premier temps
des formulations du type « la courbe monte » ou « la courbe stagne ». Un travail en
binôme permet de travailler ces formulations orales entre pairs avant la phase de
rédaction. Puis les éléments fixes des repères peuvent être mis en avant : l’origine,
les axes perpendiculaires, l’orientation des axes, le nom des grandeurs qui y sont
représentées. Cependant, il manque l’unité de graduation sur chacun des axes. Il sera
intéressant de mener un dialogue avec eux pour établir l’utilité de la graduation dans
un tel exercice.

Une fois les textes rédigés, un retour sur la lecture de la représentation graphique et
l’interprétation que l’on peut en faire est nécessaire. On pourrait par exemple attendre
un texte du type : « Ce graphique représente l’évolution de la température en degré
Celsius en fonction des heures au cours d’une journée dans une salle de classe.
— On remarque que la température augmente en début de journée (à cause
     du chauffage et de la présence des élèves) ;
— puis la température ne varie plus pendant une certaine durée ;
— enfin la température diminue en fin de journée (à cause de la baisse de la
     ­température extérieure et des élèves qui quittent la salle). »

Une dernière étape pourrait être de donner un ordre de grandeur des valeurs
à inscrire sur les axes. Dans quelle plage horaire peut-on imaginer s’intéresser
à la température d’une salle de classe ? Les élèves (particulièrement ceux de
6e) ont besoin de confronter leurs connaissances sur leur environnement et la
réalité. Cela permettra d’apporter de la cohérence à la représentation graphique.
La description pourrait être reprise avec des valeurs numériques décidées avec
l’ensemble de la classe (en lien avec l’enseignant de physique par exemple). La notion
de graduation pourra aussi être revue.
    33 — Données et statistiques


Problème 3.
Vers des mobilités douces


    Énoncé

    Dans un collège, 112 élèves viennent en voiture, autant viennent à vélo, 56 viennent
    en bus et 280 viennent à pied.
    a. Un seul de ces diagrammes circulaires représente le mode de déplacement des
    élèves de ce collège. Lequel ?




              Voiture                                      Voiture


                                                      Bus
             Bus              À pied                                   À pied

                                                       Vélo
                   Vélo




                     Diagramme 1                              Diagramme 2




               Voiture                                     Voiture


                               À pied                Bus               À pied
             Bus

                                                            Vélo
                     Vélo




                     Diagramme 3                              Diagramme 4
34 — Données et statistiques

b. Compléter le tableau ci-dessous, puis choisir les nombres appropriés pour graduer
le diagramme en bâtons qui représente ces données.


Mobilités non douces (bus ou voiture)                  168

Mobilités douces (à pied ou à vélo)                     …



    Mode de
déplacement


  Mobilités
non douces




  Mobilités
   douces


                                                                  Nombre
              …   …     …      …     …      …      …      …
                                                                  d’élèves


Mots-clés

Gestion de données, représentation de données, unité, diagramme circulaire,
diagramme en bâtons.



Pourquoi ce problème ?

Il permet de travailler spécifiquement la proportionnalité entre les données et les
angles des secteurs circulaires. En s’interrogeant ensuite sur la notion d’échelle d’un
diagramme en bâtons, on poursuit ce travail sur la proportionnalité en abordant ce type
de graphique avec une approche moins classique que la simple lecture de données.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Dès le début du cycle 3, les élèves lisent, interprètent et exploitent des données pré-
levées dans des tableaux ou sur des représentations graphiques. Ils construisent
aussi des représentations graphiques (diagrammes en bâtons, circulaires ou
semi-circulaires, graphiques cartésiens) ou des tableaux (en deux ou plusieurs
colonnes, à double entrée). La construction de diagrammes circulaires est un
attendu de fin d’année de 6e, une fois que la mesure des angles a été mise en place.
35 — Données et statistiques

Il est également attendu que les élèves organisent des données réelles, issues de
la vie quotidienne ou d’autres enseignements (sciences et technologie, histoire et
géographie, éducation physique et sportive, etc.) en vue de les traiter.

Les diagrammes circulaires et les diagrammes en bâtons sont régulièrement ren-
contrés tout au long du collège et sont largement présents dans les évaluations
internationales.



Stratégies d’enseignement

Ce type de problème peut être utilisé à l’oral en question flash pour des cas simples,
mais aussi à l’écrit pour approfondir l’argumentation, le calcul, la rédaction.

Pour choisir le diagramme correspondant à l’énoncé, plusieurs méthodes sont à la
portée des élèves : ils peuvent faire des calculs de proportionnalité (pour déterminer
les angles correspondant aux effectifs) ou procéder par élimination en utilisant les
liens entre les effectifs et donc entre leurs proportions. Le plus souvent, les élèves
envisagent les catégories dans l’ordre dans lequel elles sont énoncées. Dans un
premier temps, ils constateront qu’il y a autant de personnes qui viennent en voiture
et à vélo, ce qui les amène à comprendre que la part représentant la catégorie « vélo »
doit être aussi grande que celle qui représente la part « voiture ». Elles peuvent être
comparées sur les diagrammes en utilisant un gabarit ou un rapporteur. Mais on
constate que tous les diagrammes conviennent de ce point de vue. Ce sont donc
les catégories « à pied » et « bus » qui seront déterminantes. Le raisonnement sera
facilité par le calcul de l’effectif total, qui est 560. En effet, on comprend alors que la
catégorie « à pied » en représente la moitié (on élimine les représentations B et C).
Il restera à déterminer la représentation de la catégorie « bus ». Ici encore, plusieurs
stratégies sont possibles : soit revenir à un calcul de proportionnalité en remarquant
que la catégorie « bus » représente un dixième de l’effectif total (ou encore 10 %), soit
remarquer que cette catégorie a un effectif égal à la moitié de l’effectif de la catégorie
« voiture » ou « vélo ». La deuxième stratégie s’avère efficace et rapide. L’enseignant
pourra ainsi montrer l’intérêt de maîtriser des faits numériques.

Selon la progression ou pour différencier, il peut être opportun de choisir, pour
les effectifs, des nombres plus simples, comme par exemple des multiples de 25

                                                                             (
(25 ; 50 ; 100 ; 125). De même, leurs proportions peuvent être modifiées 1 ; 1 ; 1 ou
                                                                         3 6 2        )
être exprimées en pourcentages (5 % ; 20 % ; 25 % ; 50 %). On peut également utiliser
moins de catégories. À l’inverse, des nombres plus difficiles, comme des multiples

de 8 (24 ; 32 ; 64 et 40) ou encore des proportions comme 1 ; 2 ; 5 ; 1 , peuvent être
                                                           3 9 12 6
proposés aux élèves les plus à l’aise. Les expressions utilisées dans l’énoncé pour
qualifier les rapports entre les effectifs peuvent être différentes pour enrichir
le vocabulaire. Par exemple, le collège compte 360 élèves, dont 24 viennent à vélo,
le double en voiture, le triple à pied et le reste en bus.
    36 — Données et statistiques


Problème 4.
Changement climatique : infox ?


    Énoncé

    En janvier 2019, alors que le nord des États-Unis était touché par une vague de froid
    glacial avec des températures ressenties descendant jusqu’à –50 °C à certains
    endroits, le président américain Donald Trump a tweeté le message suivant :
    « Dans le magnifique Midwest, les températures ressenties atteignent –51 °C, le plus
    froid jamais enregistré. Dans les prochains jours, on s’attend à ce qu’il fasse encore
    plus froid. [...] Que diable se passe-t-il avec le réchauffement climatique ? S’il te plaît,
    reviens vite, on a besoin de toi38 . »
    À partir des documents suivants, commenter ce tweet en prenant appui sur des
    indicateurs statistiques et/ou un graphique approprié.


         –43,3° C                  –45° C                 –44,4° C                   –43° C     –45,6° C
         –48,9° C                –43,3° C                  –45° C                    –44,4° C

    Doc 1. Températures relevées dans quelques villes du Midwest américain en janvier 2019.




       La météo permet de prévoir, à un moment donné, les conditions de l’atmosphère
       telles que la température, l’ensoleillement, la vitesse du vent, les précipitations
       ou encore la couverture nuageuse.
       Le climat décrit les conditions atmosphériques moyennes sur une longue période
       de temps (généralement 30 ans).
       D’après le site de l’Institut national des sciences de l’Univers du CNRS39.


    Doc 2. Différence entre météo et climat.




    38 — https://www.cnews.fr/monde/2019-12-08/lannee-2019-de-
    donald-trump-resumee-en-10-tweets-906635
    39 — https://www.insu.cnrs.fr/fr/difference-meteo-climat
37 — Données et statistiques




Source : Noaa, National centers for environmental information, National oceanic and atmospheric administration40.

Doc 3. Écart de température (moyenne annuelle) par rapport aux températures moyennes relevées durant le xxe siècle.




Mots-clés

Statistiques, moyenne, médiane, étendue, étude de l’allure de la courbe, exploitation
des données sur un tableur, notion d’échelle, lectures graphiques, chercher,
raisonner, communiquer.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème a un double objectif. Le premier est mathématique : il s’agit de lire
et d’interpréter un graphique, de croiser des données, mais aussi de construire
une argumentation à partir d’indicateurs statistiques pertinents. Il pourra
être intéressant d’utiliser un tableur pour appuyer ses conclusions sur un
graphique bien choisi. Le second objectif est axé sur la formation du citoyen et le
développement de l’esprit critique des élèves vis-à-vis des informations rencontrées
sur les réseaux sociaux.


40 — https://www.ncdc.noaa.gov/cag/global/time-series/globe/
land_ocean/12/1/1880-2021
38 — Données et statistiques


Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Le problème peut être donné à tous les niveaux du cycle 4, par exemple en appro-
fondissement lors de l’exploitation des indicateurs statistiques et la construction
de l’argumentation.



Stratégies d’enseignement

Ce problème est un problème complexe dans lequel plusieurs documents ou
informations sont fournis et des sources variées sont indiquées. Il faut prévoir un
temps de lecture suffisant afin de prendre en compte tous les documents. On ne doit
pas négliger le document source de l’exercice : le tweet du président Donald Trump.

Il est attendu des élèves qu’ils commentent ce tweet : le professeur devra expliciter
ce qu’ils doivent produire et questionner le terme « commenter ». Il s’agira ici de
produire un texte qui argumente l’avis formulé par l’élève sur le tweet et qui s’appuie
sur un ou plusieurs des documents.

Les élèves peuvent résoudre ce problème à prise d’initiative en groupes, en
enrichissant leur lecture des documents et en confrontant leurs points de vue. Il est
possible de partager le temps en deux phases : un temps de lecture, de recherche
et de rédaction, puis un temps de présentation, d’échange et d’argumentation.
Le professeur circule et questionne les groupes où les arguments seraient trop
légers. Il incite à consulter tous les documents et à utiliser les indicateurs ou à
réaliser un graphique.

Les élèves ne devront pas se contenter d’une analyse superficielle des documents
même si c’est une première étape de leur travail. Par exemple, certains diront que
la courbe du document 3 a tendance à augmenter et passe du bleu au rouge, donc
le « réchauffement climatique » est réel. Le professeur peut valider cette première
étape d’analyse et d’argumentation, mais il incite aussi à exploiter le document plus
en profondeur, en utilisant des indicateurs, par exemple, et à le mettre en lien avec
les autres.

Il est possible de demander aux élèves d’ajouter des légendes sur les axes, en
précisant que ce graphique est issu d’un site Internet et n’a pas été modifié.
   39 — Données et statistiques

   On attend des élèves qu’ils comprennent que même s’il y a bien eu une vague de
   froid glacial dans le Midwest américain, cela ne remet pas en cause le changement
   ­climatique, comme le sous-entendait le tweet où le président américain confondait
    les notions de météo et de climat (différence entre une mesure isolée et une tendance
    moyenne sur des séries longues). Certains élèves peuvent mettre en avant le
    changement climatique en exploitant le document 1 et en prenant une position favorable
    au tweet de Donald Trump. Mais cela sous-entend qu’ils ne prendront pas en compte
    les documents 2 et 3. D’autres élèves exploiteront le document 3 et pourraient vouloir
    étudier l’évolution des températures sur les 30 dernières années afin d’en exploiter la
    moyenne, la médiane et l’étendue (voire les moyennes glissantes41) à l’aide d’un tableur.

   Un temps de relevé de données est à consacrer sur le document 3. La lecture
   ­graphique des valeurs est délicate et peu aisée. Ces relevés peuvent être distribués
    dans les groupes et il serait bon de s’assurer que tous prennent la même échelle,
    1 cm pour 0,2 °C. Afin de faciliter le travail, mais aussi pour optimiser les relevés,
    les élèves peuvent se répartir le travail en déterminant chacun un nombre défini de
    valeurs. L’utilisation d’un tableur semble ici appropriée.

   Une mise en commun en classe permet de travailler les compétences « communiquer
   à l’oral » ainsi que « raisonner » en développant son argumentation et en essayant
   de convaincre autrui. Cette mise en commun incite les élèves à réfléchir sur des
   enjeux de société actuels et importants pour l’avenir, ce qui enrichit leur formation
   en tant que citoyen.




Problème 5. Comparaison
de séries statistiques


   Énoncé

   On a représenté dans le tableau (page suivante) les meilleurs temps, arrondis
   en secondes, sur 50 mètres des vingt élèves nageurs de quatre classes d’un lycée.
   Comparer les résultats de ces classes, en rédigeant un texte qui s’appuiera sur
   des calculs et éventuellement des représentations graphiques42.




   41 — Voir le problème 6, « Moyennes glissantes », p. 43.
   42 — Le fichier tableur des données est disponible en téléchargement.
40 — Données et statistiques


                                Classe            Classe               Classe
 Classe Dauphins
                               Poséidon           Nautic             Neptuniens
         29                      29                 28                    36
         30                      29                 28                    40
         30                      29                 29                    42
         30                      33                 29                    35
         31                      35                 29                    35
         34                      35                 29                    40
         34                      37                 31                    35
         39                      37                 33                    42
         39                      37                 37                    46
         40                      37                 37                    40
         40                      38                 38                    39
         42                      38                 39                    37
         43                      38                 43                    35
         43                      41                 45                    36
         43                      44                 45                    36
         43                      45                 47                    35
         44                      45                 47                    39
         47                      49                 54                    45
         48                      50                 54                    46
         51                      54                 58                    41




Mots-clés

Gestion de données, moyenne, médiane, étendue, interpréter, représenter, modéliser,
communiquer.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème vise à faire analyser des séries de données, utiliser et interpréter des
indicateurs statistiques variés. Il s’approche d’un travail de prise de décision néces-
sitant une hiérarchisation des indicateurs utilisés comme critères de comparaison.

Les compétences « chercher », « modéliser » et éventuellement « représenter » sont
mises en œuvre, mais le travail ne portera ses fruits que si les compétences
« raisonner » et « communiquer » le sont aussi.
41 — Données et statistiques


Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Les indicateurs statistiques apparaissent et sont répartis sur les trois années
du cycle 4. Chaque nouvel indicateur doit permettre une meilleure analyse de la
série statistique.

Ce problème nécessite des prises d’initiatives de la part des élèves. Ils doivent
maîtriser au minimum la moyenne d’une série, mais s’il est proposé en début de
séquence au niveau 3e, les élèves sont amenés à réactiver la notion de médiane,
indicateur moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Plus ou moins
guidés par leur professeur, ils pourront ensuite être amenés à comparer les valeurs
extrêmes et donc à découvrir la notion d’étendue. Ces différents indicateurs se
côtoient dans un exercice relativement facile où l’on peut dégager leurs différences
et leurs intérêts respectifs.



Stratégies d’enseignement

Ce problème peut être effectué en groupes, ce qui permettra une répartition des
tâches, la vérification des calculs, le partage des idées de méthode et l’élaboration
d’une argumentation solide. La calculatrice ou le tableur sont indispensables.
Le professeur veillera à faire comprendre aux élèves que comparer veut d’abord
dire établir les ressemblances et les dissemblances, avant de chercher à établir
des critères de valeurs.

Les groupes s’engagent facilement dans une démarche en commençant par des
observations. La première est le constat que les valeurs de toutes les séries sont
rangées dans l’ordre croissant sauf pour la dernière série (cela sera une incitation
à ranger les valeurs de cette série). Les élèves appuient souvent leurs comparaisons
sur les valeurs extrêmes. Le professeur les amènera à rédiger ces premiers
éléments, puis à constater par eux-mêmes qu’ils permettent difficilement de décider
quelle classe a les meilleurs résultats, par exemple. La troisième série a la valeur
minimale la plus petite mais la valeur maximale la plus grande de toutes les séries,
alors que la quatrième série a une valeur minimale bien supérieure à celle des autres
séries et une valeur maximale bien inférieure.
42 — Données et statistiques

Le premier indicateur de calcul statistique rencontré par les élèves dans leur
scolarité est la moyenne. Elle est donc très vite calculée par les élèves pour toutes
les séries. Mais ils découvrent qu’elles ont toutes une moyenne de 39 secondes, ce
qui ne permet pas de différencier les résultats des quatre classes. Si le professeur
veut orienter vers des indicateurs enseignés, il évoquera la médiane ou simplement
le fait que les trois premières séries n’ont pas été rangées dans l’ordre croissant
par hasard et qu’un autre indicateur déjà rencontré en classe peut être déterminé.
La première série a la plus grande médiane : le professeur veillera à ce que les élèves
ne se contentent pas de le constater mais rédigent ce que cela signifie. Cependant, les
séries de la classe Poséidon et de la classe Nautic ont la même médiane (plus petite),
ce qui ne permet pas de conclure.

Les élèves doivent donc aller plus loin dans leur investigation. Pour cela, on peut
considérer différentes stratégies :
— l’étendue d’une série a déjà été enseignée, et les élèves doivent la réinvestir ;
— l’étendue n’a jamais été enseignée, mais le professeur laisse les élèves libres
    de déterminer un nouveau critère. Cette stratégie demande plus de temps
    mais amène des éléments très intéressants. Il arrive que des groupes utilisent
    l’étendue sans savoir la nommer, mais ils peuvent aussi créer des critères moins
    « scolaires » qui permettent de différencier les différentes séries, par exemple,
    le nombre de nageurs qui ont plus de la moyenne, ou le nombre de nageurs qui
    ont un temps inférieur à 30 secondes, ou un temps d’au moins 41 secondes, etc.

Au-delà de ce nouvel indicateur, les élèves proposent assez souvent des critères
proches des quartiles ou des déciles. Cela pourra être accompagné par le professeur
dans le cadre d’une différenciation, avec des groupes qui seront assez efficaces
pour explorer aussi cet aspect dans le temps imparti.

Quelle que soit la stratégie choisie, le professeur insistera sur le développement de
la compétence « communiquer ». S’il est souvent difficile pour les élèves, même au
sein d’un groupe qui permet le partage des tâches, de rédiger des textes présentant
les critères puis les comparaisons entre séries numériques, il peut leur être plus
facile de les expliquer oralement (tout en gardant l’objectif de contribuer à améliorer
le vocabulaire et la construction de leurs phrases). Les arguments sont aussi parfois
plus simples à exposer s’ils s’appuient sur des graphiques pertinents. Ceux-ci
peuvent avoir des formes variées : comparaison des séries dans un même graphique
pour montrer leurs répartitions, pour comparer les critères moins « scolaires »
évoqués ci-dessus, ou comparaison des graphiques de chaque série où l’on indique
la moyenne et/ou la médiane.
    43 — Données et statistiques


Problème 6. Moyennes glissantes


    Énoncé

    Un capteur relève la concentration d’ozone de l’air toutes les heures à Ville-la-Nouvelle.

    1. Le tableau (voir p. suivante) présente ces mesures sur deux jours consécutifs de
    juillet 202143.
       a. À l’aide d’un tableur, construire la courbe qui représente la concentration d’ozone
       dans l’air en fonction du temps pour ces deux jours.
       b. Déterminer la concentration moyenne pour chacune des journées et comparer
       ces moyennes. Que pourrait-on en conclure ?
       c. Un journaliste affirme : « La concentration d’ozone dans l’atmosphère baisse
       beaucoup à la fin du deuxième jour, c’est donc bon signe : la ville a réussi à a
                                                                                      ­ méliorer
       sa qualité de l’air ! » A-t-il raison ? Argumenter.

    2. L’ozone a des effets néfastes sur la santé. Selon l’Organisation mondiale pour la
    santé (OMS), ses effets sont considérés comme acceptables lorsque la concentration
    est inférieure à 100 µg/m3 en moyenne sur 8 heures consécutives 44 .
       a. Combien de ces moyennes (appelées moyennes glissantes ou mobiles) peut-on
       calculer sur ces deux journées ?
       b. À l’aide du tableur, calculer toutes ces moyennes. L’une de ces journées est-elle
       une journée à risque selon l’OMS ? Justifier.




    43 — Le fichier tableur des données est disponible en téléchargement.
    44 — L’unité µg désigne le microgramme, soit 10-6 gramme.
44 — Données et statistiques


           Heure                               Ozone en μg/m3

                                      Jour 1                     Jour 2
             0h                         60                         60
             1h                         58                         53
             2h                         57                         49
             3h                         66                         44
             4h                         65                         37
             5h                         67                         48
             6h                         69                         50
             7h                         70                         54
             8h                         72                         58
             9h                         85                         68
            10 h                       110                         94
            11 h                       119                        120
            12 h                       120                        130
            13 h                       102                        139
            14 h                        82                        121
            15 h                        93                        102
            16 h                        85                         95
            17 h                        81                         78
            18 h                        89                         64
            19 h                        84                         60
            20 h                        79                         57
            21 h                        73                         52
            22 h                        69                         42
            23 h                        65                         40




Mots-clés

Statistiques, gestion de données, moyenne, moyenne glissante, tableur, comparaison,
représentation graphique, représenter, raisonner, communiquer.
45 — Données et statistiques


Pourquoi ce problème ?

Ce problème est un problème atypique qui permet de découvrir la notion de moyenne
glissante (ou moyenne mobile), souvent utilisée pour étudier des séries de données
dont l’évolution est irrégulière, dans des domaines comme la santé (évolution d’une
épidémie), la finance (cours de la bourse), le commerce, la climatologie, etc. Il ne s’agit
pas d’en faire un objet d’étude au collège, mais de proposer aux élèves de rencontrer
cette notion et son intérêt pour l’interprétation que l’on peut en faire.

Ce problème permet également de montrer que les statistiques constituent un
pan des mathématiques qui s’intéresse à des faits réels et en constante évolution,
utile dans de nombreux domaines. Basé sur la méthode de surveillance réelle de
la concentration en ozone de l’air, il donne l’occasion d’aborder l’importance de la
qualité de l’air pour la santé ainsi que l’impact de ce gaz sur l’environnement.

L’utilisation du tableur est ici incontournable, à la fois pour représenter les données
par un graphique pertinent (les tests et modifications sont possibles rapidement)
et pour effectuer des calculs nombreux et répétitifs.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Cet exercice peut être proposé en fin de cycle 4 (4e ou 3e). Il demande peu de prérequis,
si ce n’est le calcul de moyenne et l’utilisation d’un tableur, mais les élèves devront
également analyser les résultats trouvés et argumenter cette analyse.



Stratégies d’enseignement

L’utilisation du tableur est indispensable et la mise à disposition du fichier contenant
les données permet de gagner un temps précieux.

En binôme, les élèves pourront confronter leurs idées (notamment sur le choix de
la représentation graphique) et mettre en avant leurs arguments. En circulant d’un
groupe à l’autre, le professeur s’assurera qu’ils n’ont pas choisi un graphique sans
raison et que la notion de moyenne glissante est comprise.

Les questions 1. a., 1. b. et 2. b. permettent de travailler des éléments techniques clas-
siques : création de la représentation graphique et calculs de moyennes simples avec
sélection des plages de données utiles. Ils sont suivis par les interprétations de ces repré-
sentations et calculs. Dans la partie 1, on peut facilement comparer les deux moyennes
des concentrations par jour qui seront reprises dans le bilan en fin d’exercice : elles ne
permettent pas de conclure si la quantité d’ozone est acceptable ou non. On reste prudent
quant à l’interprétation de la baisse des valeurs en fin de deuxième jour puisqu’on n’a
pas d’indication sur la suite (jour 3), et le professeur insistera sur le regard critique que
l’on se doit d’avoir vis-à-vis des données et conclusions hâtives parfois rencontrées.
   46 — Données et statistiques

   Pour traiter la deuxième partie de l’énoncé, les données des deux jours seront
   présentées en une seule colonne dans un tableur. Dans la question 2. a., on cherche à
   déterminer le nombre de moyennes glissantes que l’on peut calculer avec seulement
   48 valeurs consécutives. On ne peut alors calculer que 41 de ces moyennes.
   On veillera à ce qu’elles soient affichées avec au moins une décimale afin de ne pas
   fausser le résultat de la question suivante.

   Pour aider les élèves à répondre à la question 2. b., le professeur pourra suggérer
   une mise en couleur des différents types de valeurs : celles qui sont acceptables
   (moyennes sur 8 heures consécutives inférieures à 100 µg/m3) ou celles qui ne le sont
   pas (supérieures à 100 µg/m3). L’expression de la justification de la dernière question
   est importante et sera mise en regard avec la réponse apportée à la question 1. b.
   Le texte produit par les élèves nécessitera une correction du professeur afin de leur
   permettre d’étoffer leurs argumentations. Là encore, le professeur fera apparaître
   clairement que le choix d’un critère est important et que son respect est primordial
   lorsque l’on doit interpréter, voire prendre des décisions. En effet, dans les villes, la
   création d’ozone dans l’air est due entre autres à une réaction photochimique des
   gaz d’échappement des véhicules en cas de chaleur. En cas de dépassement de la
   quantité d’ozone dans l’air, certains arrêtés municipaux conduisent à limiter le trafic
   routier par discrimination des véhicules.

   Au fur et à mesure de l’avancée dans la tâche, le professeur orchestrera la mise en
   commun des productions en montrant les différentes représentations graphiques,
   en faisant comparer les résultats des calculs de moyennes, en créant des débats
   pour montrer l’importance de parvenir à convaincre et faire affûter les arguments,
   par exemple lors de temps de régulation en cours de résolution du problème. En fin
   de travail, il fera reprendre oralement par la classe l’évolution du raisonnement tout
   au long de l’exercice.




Mathématiques. Les pourcentages
au cœur de la citoyenneté

   La notion de pourcentage est au carrefour des thèmes des nombres et calculs, de
   la proportionnalité et de la gestion de données. Il est fondamental que les élèves
   la maîtrisent pour comprendre le monde qui les entoure et exercer leur citoyenneté.
   Les pourcentages sont très présents dans la vie courante, notamment dans
   le commerce, la presse, mais aussi dans les domaines scientifiques et techniques.
47 — Données et statistiques


Pourcentages : de quoi parle-t-on ?

Rappelons tout d’abord qu’un pourcentage est un nombre (et non un opérateur),
égal à une fraction de dénominateur 100. Il permet de représenter une proportion,
et par suite une fréquence, et peut donc se déterminer comme le quotient de la valeur
d’une partie par la valeur de la totalité. Ce quotient sera ensuite écrit comme une
fraction de dénominateur 100, en utilisant une valeur approchée le cas échéant.

Par exemple, si parmi 2 500 skieurs, 1 800 ont acheté un forfait de remonte-

pente d’une journée, leur proportion sera : 1 800 = 72 . Ce dernier nombre se lira
                                              2 500 100
« 72 ­centièmes » ou « 72 sur 100 », ou encore « 72 ». On a ainsi l’égalité 72 = 72 %.
                                                100                        100
On retiendra donc que la notation sous forme d’un pourcentage résulte de la
détermination du nombre de centièmes et en aucun cas d’une multiplication de
la ­proportion par 100.

On veillera notamment à ne pas entretenir de mauvaises représentations, par
exemple lorsque des fréquences en pourcentages sont attendues dans un exercice.
Plutôt que demander des « fréquences » et des « fréquences en pourcentages » en
sous-entendant à tort qu’il s’agirait de deux objets mathématiques différents, il sera
préférable de demander d’exprimer des fréquences sous forme décimale et sous
forme de pourcentage, renvoyant ainsi aux diverses représentations des nombres.

En classe, faire le lien entre la proportionnalité et les pourcentages permettra
d’en faire comprendre le sens. Mais le fait qu’un pourcentage soit un nombre est
fondamental pour exécuter des calculs rapides, souvent bien plus efficacement que
des passages par des tableaux de proportionnalité. Ce sera encore plus vrai à partir
de la classe de 3e pour traiter des situations d’évolution et pour faire le lien entre
taux d’évolution et coefficient multiplicateur.



Éléments de progressivité

C’est au cycle 3 et au début du cycle 4 qu’on s’assure que l’usage des pourcentages
en tant que représentation des proportions est maîtrisé. Les pourcentages facilitent
la représentation mentale d’une situation de rapport entre deux valeurs en tant que
données relatives (c’est-à-dire en tant que proportion et non par comparaison de
données brutes) pour un total ramené à 100. Ce nombre permet d’évaluer rapidement
une proportion donnée, et notamment de comprendre si la partie considérée est
importante ou non, en comparaison des autres et au regard du contexte. La résolution
de problèmes permet cette familiarisation avec le rapport à 100. Par exemple, on
pourra proposer le problème suivant : « On a interrogé deux classes de 4e. En 4e A,
20 élèves sur 27 ont un smartphone alors qu’en 4e B, la proportion d’élèves ayant un
smartphone est de 26 sur 28. Exprimer sous forme de pourcentage les proportions
d’élèves ayant un smartphone dans les deux classes. »
48 — Données et statistiques

En 6e, on continuera un travail entamé en CM2 en faisant appliquer des pourcentages
simples, 10 %, 25 %, 50 %, 75 %, dans des problèmes relevant de la proportionnalité.
Les élèves devront alors les mettre en relation avec des faits numériques connus, des
fractions simples de quantité et avec les mots « dixième », « quart », « moitié », « trois
quarts ». Par exemple, ils devront comprendre que, puisque 20 est le cinquième de
100, prendre 20 % de 55 € revient à prendre le cinquième de 55 €, donc à diviser
55 € par 5 (item largement échoué dans les évaluations). La part des exercices
d’apprentissage des automatismes, notamment dans des cas contextualisés très
simples, sera d’abord très importante. Les registres seront plus variés en fin d’année
(lien avec la géographie, l’EPS, les sciences et technologies, les prix, etc.), où les
pourcentages seront rencontrés dans des problèmes plus complexes.

C’est à partir de la classe de 5e que l’on attend que l’élève sache relier fraction,
proportion et pourcentage, où ce dernier est traité comme cas particulier de repré-
sentation dans le cas général. En exercice, le pourcentage sera alors appliqué en se
ramenant à une multiplication par une fraction sur 100. Par exemple, prendre 30 %

d’une quantité, c’est prendre 30 centièmes de cette quantité, donc multiplier par 30
                                                                                 100
(que l’on peut décomposer en multiplier par 30 et diviser par 100). Le professeur
pourra systématiquement prononcer ou faire prononcer « trente centièmes » pour

une écriture « 30 ». Là encore, les exercices de calcul mental et les questions flash
              100
avec des contextes simples seront nombreux afin que les automatismes libèrent la
mémoire et la réflexion lors de la résolution de problèmes complexes.

Tout au long du cycle 4, les liens entre l’écriture décimale, les écritures fractionnaires
et l’écriture en pourcentage seront entretenus dans des exercices de calcul mental
et mis en œuvre lors de résolution de problèmes. Le professeur fait souvent le lien
entre la formulation mathématique et le langage naturel pour maintenir à l’esprit
le sens de la proportion ramenée à 100 : par exemple, lorsque 28 % des personnes
d’une assemblée ont moins de 14 ans, cela veut dire que si l’assemblée comportait
100 personnes, 28 d’entre elles auraient moins de 14 ans. L’assemblée ne comporte
peut-être pas 100 personnes, mais la proportion reste la même.

Les pourcentages seront également utilisés pour représenter des probabilités,
et en fin de cycle seront établis les liens entre pourcentage d’évolution et coefficient
multiplicateur.
49 — Données et statistiques


Schématisation des pourcentages :
un exemple d’utilisation de la représentation
en barres

La schématisation peut être une aide importante pour les élèves. Elle peut prendre la
forme d’un diagramme circulaire, qui peut être donné par le professeur pour gagner
du temps lorsque l’objectif de la séance n’est pas la construction d’un tel diagramme,
mais aussi d’une barre partagée, ce qui sera exécuté plus rapidement. L’exemple
ci-après permet de montrer comment utiliser la schématisation en barres décrite
dans le chapitre 2 de ce guide.

On considère par exemple le problème suivant : « On a lancé 40 fois un dé équilibré
à six faces et on a réussi à obtenir 8 fois le 6. Quelle est la fréquence d’apparition du
6 exprimée en pourcentage ? »

Voici un schéma en barres qui pourrait être produit au tableau pour représenter la
situation :

                               40 (nombre total de lancers)
    4        4       4          4       4         4      4        4       4        4



    8 (nombre
 de « 6 » obtenus)


On peut ensuite faire évoluer ce schéma en inversant verticalement l’ordre des
barres pour qu’il corresponde mieux à la lecture du « 8 sur 40 », du « 2 sur 10 », puis
du « 20 sur 100 », puisqu’il s’agit visuellement du même schéma (on garde ainsi un
ancrage mémoriel fort).

    1        1       1          1       1         1      1        1       1        1
                                            10


   10       10       10        10      10         10    10       10       10       10
                                            100


La fréquence est la proportion : 8 = 2 = 20 = 20 %. Il serait fastidieux de montrer
                                40 10 100
un exemple de schéma contenant une grande barre du total et un partage en 100

petites barres égales, même si ce serait encore utile pour certains élèves. Le pro-
fesseur fera donc évoluer dans les énoncés de ses problèmes les nombres employés :
ils permettront d’abord, et à plusieurs reprises, un schéma en barres assez simple,
puis on s’affranchira du schéma dans des cas de nombres plus complexes (23 %
par exemple).
    50 — Données et statistiques


Mathématiques.
Liens entre statistiques
et probabilités

    Dans les attendus de fin d’année de 3e, il est précisé que « l’élève fait le lien entre
    stabilisation des fréquences et probabilités ». La simulation d’expériences aléatoires
    à l’aide d’un tableur ou du logiciel Scratch permet de générer un grand nombre de
    répétitions de cette expérience. La fréquence d’apparition des issues lors de ces
    simulations permet d’estimer la probabilité de chaque issue et de confronter cette
    estimation au modèle probabiliste lorsque cela est possible. En effet, la probabilité
    d’un événement est égale à la limite de la fréquence de réalisation de cet événement
    lorsque le nombre de répétitions d’une même expérience tend vers l’infini (loi forte
    des grands nombres, convergence presque sûre). Il ne s’agit pas d’enseigner cette
    définition au collège, mais de montrer aux élèves qu’un très grand nombre de répé-
    titions d’une expérience aléatoire permet d’observer certaines régularités en dépit
    du caractère aléatoire de l’expérience.

    L’observation de la stabilisation des fréquences peut se faire en plusieurs étapes,
    mais doit être suffisamment visuelle pour des collégiens et se baser sur des exemples
    simples. On propose ci-dessous un exemple, se basant sur le lancer d’un dé équi-
    libré et structuré, en quatre étapes (il est possible de ne faire que deux des trois
    premières étapes en classe).



                        EXEMPLE SE BASANT SUR UN LANCER DE DÉ


    ÉTAPE 1. SIMULATION EN CLASSE
    Une fois travaillées les notions de hasard et de probabilité, notamment à travers des
    exercices où l’on qualifie de plus ou moins probables des événements, on pourra
    aborder la différence entre les statistiques, quand on reproduit réellement une
    expérience, et les probabilités, quand on quantifie le hasard de façon abstraite.
    Dans l’exemple du lancer d’un dé classique, non pipé, le modèle d’équiprobabilité
    des tirages des six faces s’impose naturellement. Le professeur pourra ensuite
    faire réaliser les lancers des dés par ses élèves, en les prévoyant en assez grand
    nombre. Le protocole expérimental (comment et où lancer le dé) pourra être établi
    avec eux. Le recueil des résultats de tous les élèves amènera à calculer les effectifs
    puis les fréquences d’apparition de chacune des faces, pour constater leurs diffé-
    rences avec les probabilités et les expliquer.
51 — Données et statistiques

ÉTAPE 2. UTILISATION D’UN TABLEUR
Les élèves pourront ensuite utiliser un tableur pour simuler le lancer d’un dé à
6 faces et le répéter en étirant la formule sur plusieurs lignes et plusieurs colonnes.
On constate que ce logiciel permet d’obtenir rapidement un grand nombre de lancers,
de calculer automatiquement les fréquences d’apparition de chacun des nombres
puis de visualiser leur évolution grâce à un graphique. En revanche, le tableur ne
permet pas aux élèves de simuler aisément un très grand nombre de lancers.

ÉTAPE 3. EFFICACITÉ DE SCRATCH
La programmation avec Scratch permet, avec un script simple, de simuler en
quelques minutes plusieurs millions de lancers, voire davantage. On voit alors les
fréquences se stabiliser en temps réel, peu à peu, décimale après décimale.
Dans le cas du lancer d’un dé non pipé, comme on connaît les probabilités d’appa-
rition des faces, les élèves peuvent constater que les fréquences s’en approchent
de plus en plus.




Figure 3. Exemple d’un programme réalisable sur Scratch.




Idéalement, les élèves réalisent eux-mêmes le programme45 puis expérimentent.
Mais l’étape de la programmation n’est pas indispensable et le professeur peut
aussi, s’il le souhaite, montrer un script préparé à l’avance et en détailler le fonc-
tionnement avec les élèves.

45 — Le fichier Scratch est disponible en téléchargement. Le lien
pour créer un script sur Scratch en ligne est : https://scratch.mit.
edu/projects/editor/. Il est possible de télécharger gratuitement
le logiciel Scratch sur https://scratch.mit.edu/download/ afin de
créer et sauvegarder des scripts sans connexion Internet.
52 — Données et statistiques

ÉTAPE 4. MISE EN ÉVIDENCE DU LIEN ENTRE PROBABILITÉS
ET FRÉQUENCES
On peut comparer les résultats obtenus aux étapes précédentes à l’aide de tableaux.

Tableau des probabilités :

                Face       Face       Face       Face       Face      Face
   Issue                                                                        Somme
                 n° 1       n° 2       n° 3       n° 4       n° 5      n° 6
                  1            1        1          1          1         1
Probabilité                                                                        1
                  6            6        6          6          6         6


Tableau des fréquences :

On a reporté ci-dessous les résultats d’une simulation réalisée avec le logiciel
Scratch sur 21 154 516 lancers (en environ 8 minutes).

               Face       Face        Face       Face        Face       Face
  Issue                                                                          Somme
                n° 1       n° 2        n° 3       n° 4        n° 5       n° 6

Fréquence 0,166 66 0,166 554 0,166 781 0,166 638 0,166 793 0,166 574                 1



Il est intéressant de montrer que ces deux tableaux se ressemblent aussi bien par
leur forme que par leur contenu. Les différences de valeurs dans le tableau de
fréquences pourront amener un débat intéressant en classe. Si les premières fluc-
tuations sont importantes et se stabilisent assez rapidement, on pourra également
remarquer que, même après plusieurs millions de tirages, les fréquences ne sont
stabilisées qu’au millième près.

Dans des situations où les probabilités sont difficiles, voire impossibles à déterminer,
comme par exemple pour le lancer d’une punaise, il sera intéressant de montrer qu’il
est possible d’estimer la probabilité d’un événement par la réalisation de l’expérience
aléatoire un grand nombre de fois et le calcul de fréquences. Dans le même esprit,
on peut également déterminer, par l’estimation de probabilités, la composition d’une
bouteille opaque qui contient des billes blanches et des billes noires (10 billes au total
par exemple), et dont on ne peut voir qu’une seule de ces billes lorsqu’on retourne la
bouteille, celle-ci pouvant être retournée autant de fois qu’on le souhaite.
      54 — Données et statistiques


En résumé

 	S’inspirant de situations réelles, les problèmes
   de ce chapitre ancrent les mathématiques dans la vie
   quotidienne de l’élève, donnant ainsi du sens au traitement
   des données. Ils offrent un cadre particulièrement
   adapté aux ponts avec les autres disciplines et aux
   réflexions sociétales comme le développement durable.

 	Ce travail autour des problèmes de gestion de données
   répond à un objectif de formation fort : comprendre
   des graphiques variés, en particulier issus des médias,
   apprendre à analyser des données, à les hiérarchiser
   et à prendre des décisions, éveiller l’esprit critique
   des élèves. Ce travail s’inscrit également dans le cadre
   de l’éducation aux médias et à l’information.


 	Le tableur constitue un outil incontournable, qui permet
   de manipuler des données et d’avoir accès au traitement
   de données massives.
                    II
Nombres et problèmes
arithmétiques
        56 — Nombres et problèmes arithmétiques

Les nombres occupent une place déterminante au sein
des programmes de l’école primaire au lycée.
Les documents publiés sur Éduscol46, notamment
la ressource d’accompagnement « Du numérique
au littéral »47 s’attachent à dégager la place du champ
numérique et de l’algèbre dans la résolution de problèmes.
Les problèmes de ce chapitre proposent des situations
variées, mobilisant des notions telles que les ratios,
les probabilités, les pourcentages ou les fractions que
l’on retrouve souvent dans les évaluations internationales.
La modélisation y tient une place particulière et permet
de prendre en compte les discontinuités bien identifiées
(statut de la lettre, sens du signe égal, etc.).




Entrée historique


        Nombres, calculs et problèmes récréatifs48

        Les problèmes récréatifs sont énoncés simplement, dans un langage courant, ce
        qui leur permet d’être compris par le plus grand nombre. Ils sont très anciens et
        répandus dans de nombreuses traditions mathématiques, jusque dans les manuels
        d’arithmétique de la Troisième République avec leurs problèmes de baignoires, de
        robinets ou de trains qui se croisent. De nombreux exemples pourraient être énoncés
        avec certaines tablettes paléo-babyloniennes, l’Anthologie palatine (depuis l’Antiquité
        grecque), des énoncés sanskrits ou d’autres extraits issus des mathématiques
        chinoises ou des pays d’Islam.




        46 — Documents-ressources autour des nombres : https://eduscol.
        education.fr/280/mathematiques-cycle-4
        47 — https://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/3/
        du_numerique_au_litteral_109173.pdf
        48 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
        Tournès, Éric Vandendriessche.
57 — Nombres et problèmes arithmétiques

Ces problèmes récréatifs sont particulièrement présents au Moyen Âge latin,
dès l’époque carolingienne, notamment avec Alcuin d’York (mort en 804) et ses
­P ropositiones ad acuendos juvenes (Problèmes pour aiguiser des jeunes).
 Ces ­c ollections de problèmes demandent plusieurs types de raisonnements
 ­logico-mathématiques. Les méthodes de résolution, souvent multiples, sont la
  vraie raison d’être de ces problèmes, leur essence, bien plus que leurs énoncés.
  Aussi, contrairement à des problèmes usuels, leurs conditions sont souvent sau-
  grenues, voire insensées ou absurdes.

Léonard de Pise ou Fibonacci (mort après 1241) énonce, dans son Liber Abaci (Livre
de calculs), plusieurs dizaines de ces problèmes. Ainsi, il donne à voir différentes
méthodes de résolution, qu’elles soient arithmétiques – comme les méthodes par
simple fausse position ou double – ou algébriques avec la mise en équation. C’est une
occasion inévitable pour travailler sur les nombres entiers et les relations qu’ils
peuvent entretenir entre eux (comme avec les nombres de Fibonacci, par exemple
issus du problème des lapins. Voir figure 4 ci-dessous), les fractions ou encore les
radicaux. Intéressons-nous à un exemple : « Un lion mange un mouton en 4 heures,
un léopard en 5 heures et un ours en 6 heures. On demande en combien d’heures ils
auront dévoré un mouton si on leur en jette un entre eux. » Fibonacci met ici en œuvre
                                          la méthode de simple fausse position,
                                          reposant sur la proportionnalité. Il débute
                                          sa résolution en prenant 60 heures comme
                                          réponse a priori (c’est la fausse position,
                                          judicieusement choisie) : 37 moutons
                                          seraient alors dévorés. Il est alors facile de
                                          déterminer le temps nécessaire aux lion,
                                          léopard et ours pour manger un mouton :

                                                            1 + 23 h (et c’est bien ainsi que le résultat
                                                                37
                                                            est exprimé !). Un autre exemple : « Un lion
                                                            est dans un puits dont la profondeur est de

                                                            50 palmes. Il monte quotidiennement de 1
                                                                                                      7
                                                            d’une palme, et descend de 1 . On demande
                                                                                          9
                                                            en combien de jours il sortira du puits. »
                                                            Faut-il alors privilégier une solution
                                                            théorique ou réelle (c’est-à-dire qu’une
                                                            fois que le lion est sorti du puits, il n’y
Figure 4. Folio du Liber Abaci montrant les premiers        entre pas à nouveau malgré la descente
nombres de Fibonacci – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377 – dans un tableau marginal (Florence,
                                                            théoriquement p ­ révue) ? Fibonacci penche
cod. Magliabechiano, 2616, fol.124r).                       pour la théorique sans discussion.
    58 — Nombres et problèmes arithmétiques


Point sur la recherche                                      49




    La transition de la pensée additive à la pensée multiplicative, qui se développe
    en classe de CM, est un obstacle majeur à l’apprentissage des mathématiques au
    collège. En effet, la multiplication est une opération arithmétique difficile impliquant
    dans l’esprit et la pensée de l’apprenant tout un processus cognitif. La pensée multi-
    plicative induit, d’une part, un traitement mental adaptatif impliquant une multitude de
    concepts, de stratégies et de représentations issus d’un large éventail de problèmes
    mathématiques. Elle est liée, d’autre part, à un ensemble de contextes issu du monde
    réel au moyen d’un répertoire d’approches très flexibles adossées à des méthodes
    de plus en plus sophistiquées. Contrairement à la pensée additive qui nécessite un
    temps relativement court pour se développer, maîtriser le raisonnement multiplicatif
    peut prendre de nombreuses années50.

    Susan J. Lamon 51 considère le raisonnement mettant en jeu la proportionnalité
    – un sujet central des mathématiques au collège, fondé sur la pensée multiplicative –
    comme l’un « des plus difficiles à enseigner, des plus complexes mathématiquement, des
    plus exigeants sur le plan cognitif, des plus essentiels à la compréhension et la réussite
    dans les mathématiques et sciences approfondies » (p. 629). Pourtant, il existe peu de
    recherches sur la compréhension qu’ont les enseignants de la proportionnalité52 .

    Le raisonnement mettant en jeu la proportionnalité est conceptuellement difficile,
    même pour les enseignants, en partie parce qu’ils ont recours aux algorithmes,
    comme la multiplication croisée pour obtenir les bonnes réponses, plutôt que
    de se pencher davantage sur la nature multiplicative même des relations de
    proportionnalité53 . Ceci nous ramène au rôle important que joue le raisonnement
    multiplicatif tant dans l’apprentissage que dans l’enseignement.



    49 — Contribution de Monica Neagoy.
    50 — Gérard Vergnaud, “Multiplicative Structures”, in James Hiebert,
    Merlyn J. Behr (eds.), Number Concepts and Operations in the Middle
    Grades, p. 141-161, Hillsdale, NJ: Erlbaum and Reston, VA: National
    Council of Teachers of Mathematics, 1988 ; Peter Arnold Sullivan,
    Douglas McLean Clarke, Jill Cheeseman, Joanne Mulligan, “Moving
    beyond Physical Models in Multiplicative Reasoning”, in Marja van den
    Heuvel-Panhuizen (ed.), Proceedings of the 25th Conference of the
    International Group for the Psychology of Mathematics Education,
    Utrecht, Freudenthal Institute, 2001.
    51 — Susan J. Lamon, “Rational Numbers and Proportional Reasoning:
    Toward a Theoretical Framework”, in Franck K. Lester (ed.), Second
    Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, p. 629-
    668, Charlotte, NC: Information Age Publishing, 2007.
    52 — Joanne Lobato, Chandra H. Orrill, Bridget Druken, Erik Jacobson,
    “Middle School Teachers’ Knowledge of Proportional Reasoning
    for Teaching”, in Joanne Lobato (chair), Extending, Expanding, and
    Applying the Construct of Mathematical Knowledge for Teaching,
    symposium conducted at the annual meeting of the American
    Educational Research Association, New Orleans, LA, 2011.
    53 — Modestina Modestou, Athanasios Gagatsis, “Cognitive
    and Metacognitive Aspects of Proportional Reasoning”, Mathematical
    Teaching and Learning, 12(1), p. 36-53, 2010.
59 — Nombres et problèmes arithmétiques

C’est au début des années 1980 que Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Sainati Nello
et Maria Sciolis Marino54 , renouant avec l’intérêt pour la multiplication et la division
en tant que domaine complexe de la recherche en didactique des mathématiques,
conjecturent que toute opération arithmétique fondamentale est liée à « un modèle
implicite, inconscient et primitivement intuitif ». Plus précisément, ils conjecturent
que la multiplication est liée au modèle intuitif primitif de l’addition répétée tandis que
la division est liée soit au partitionnement (partage équitable) soit à la soustraction
répétée. D’autres recherches complétant ce point de vue ont examiné comment ces
modèles intuitifs primitifs conduisent à l’hypothèse que la multiplication rend plus
grand et que la division rend plus petit ; une idée fausse, mais assez répandue chez les
élèves au collège, lors du passage des nombres naturels aux nombres rationnels55.

Durant cette même décennie, les recherches de deux autres groupes ont ouvert
la voie à une deuxième vague de résultats fondamentaux sur le raisonnement
multiplicatif.

Gérard Vergnaud56 introduit la notion de champ conceptuel comme « un ensemble de
problèmes et de situations dont le traitement implique des concepts, procédures et
représentations de plusieurs types en étroite connexion » (p. 127). À titre d’exemple,
il décrit les grands volets du champ conceptuel multiplicatif en y intégrant la multi-
plication, la division, les fractions, les ratios (rapports), les nombres rationnels, les
fonctions linéaires et n-linéaires, l’analyse dimensionnelle et les espaces vectoriels.

Le deuxième groupe, composé de Merlyn Behr, Richard Lesh, Thomas Post et
Edward Silver, a publié les résultats d’un vaste projet de recherche financé par la
NSF (­National Science Foundaton) intitulé « The Rational Number Project ». Ils ont
proposé une synthèse du domaine en identifiant six « sous-constructions » pour
les nombres rationnels : comparaison de parties au tout, décimaux, ratio, quotient,
opérateur et mesure de quantités continues ou discrètes.

Ces travaux fondateurs ont pour thème commun qu’il ne suffit plus d’analyser le
développement cognitif de ces idées de manière isolée, mais plutôt de les reconnaître
comme entrelacées dans un champ de concepts connexes, dont l’acquisition n’est ni
linéaire, ni par petits bouts et qui se produit au cours d’une longue période : « comme
avec une toile d’araignée, le contact avec un fil se répercute dans tout l’espace 57 ».




54 — Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Sainati Nello, Maria Sciolis
Marino, “The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems in
Multiplication and Division”, Journal for Research in Mathematics
Education, 16(1), p. 3-17, 1985.
55 — Clifton Luke, “The Repeated Addition Model of Multiplication
and Children’s Performance on Mathematical World Problems”, Journal
of Mathematical Behavior, 7, p. 217-226, 1988.
56 — Gérard Vergnaud, op. cit., p. 58.
57 — Guershon Harel, Jere Confrey (eds.), The Development
of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics,
State University of New York Press, 1994.
60 — Nombres et problèmes arithmétiques

Une grande partie des recherches qui ont suivi ont porté sur les schémas d’action et
les opérations mentales qui sous-tendent la réflexion et le travail des enfants face aux
structures multiplicatives. Certaines études se sont penchées plus précisément sur
la puissance des représentations. Par exemple, plusieurs chercheurs ont plaidé la
puissance des images matricielles (quadrillages, tableaux) pour aider les apprenants
à développer un raisonnement multiplicatif et à le distinguer du raisonnement
additif58 . La nature bidimensionnelle de l’image matricielle reflète, spatialement, la
structure à deux variables des situations multiplicatives ; contrairement à la droite
numérique unidimensionnelle qui reflète la structure à une variable des situations
additives. Les représentations matricielles concrétisent également la commutativité
de la multiplication et encouragent une vision des situations multiplicatives impliquant
des groupes composites : par exemple, décrire un tableau comme quatre groupes de
cinq ou cinq groupes de quatre encourage les élèves à traiter « un groupe de cinq »
ou « un groupe de quatre » comme des unités à part entière 59.

Bon nombre de recherches confirment que le passage de la pensée additive à la
pensée multiplicative est loin d’être anodin et constitue une clé pour comprendre
en profondeur les structures multiplicatives et les travailler de manière flexible tout
au long du secondaire voire au-delà. Ne pas aller au-delà des idées de base de la
multiplication (telles que « groupes égaux de ») et de la division (telles que « combien
de fois x va-t-il dans y ? »), garantit quasiment l’échec ultérieur dans le développement
d’une compréhension approfondie des fractions, décimaux, pourcentages, ratios
voire pour l’appréhension de l’algèbre. Les chercheurs insistent pour, d’une part,
donner plus de temps aux élèves afin qu’ils appréhendent les complexités sous-
jacentes à la multiplication et, d’autre part, pour que les enseignants prennent plus de
temps pour mieux comprendre ce qui rend la multiplication difficile pour les élèves60.

Une grande leçon issue de la recherche est d’aider les élèves à comprendre la
manière dont ils pensent face à des situations-problèmes, à explorer ce que ces
problèmes signifient, à discuter de la façon dont ces problèmes peuvent être
représentés ou modélisés. La résolution de problèmes, comme ceux qui suivent,
fait découvrir aux élèves comment mobiliser ce qu’ils savent et comment déterminer
quelle stratégie fonctionne mieux que les autres et pourquoi.




58 — Patrick Barmby, Tony Harries, Steve Higgins, Jennifer Suggate,
“The Array Representation and Primary Children’s Understanding
and Reasoning in Multiplication”, Educational Studies in Mathematics,
70(3), p. 217-241, 2009.
59 — Catherine Twomey Fosnot, Maarten Dolk, Young Mathematicians
at Work: Constructing Multiplication and Division, Heinemann,
Portsmouth, NH, 2001.
60 — Dianne Siemon, Margarita Breed, Jo Virgona, in Judy Mousley,
Leicha Bragg, Coral Campbell (eds.), Mathematics – Celebrating
Achievement, Proceedings of the 42nd Conference of the Mathematical
Association of Victoria, Melbourne: MAV, 2008.
    61 — Nombres et problèmes arithmétiques


Mathématiques.
Les ratios et leur utilisation

    Les ratios sont très présents dans le monde anglo-saxon, notamment dans l’énoncé
    des résultats sportifs, ou dans les sciences sociales. Leur introduction en France
    est récente.

    Par exemple, dans cette urne, il y a 15 boules bleues pour 6 boules rouges. Les boules
    bleues par rapport aux boules rouges sont dans le ratio de « 15:6 » (dire : « dans le
    ratio de 15 pour 6 ») ou de manière équivalente « 5:2 ». On écrit aussi : « Le ratio boules
    bleues pour boules rouges est 5 pour 2 ».




    Définition et propriétés

    Dans un ensemble d’éléments, le ratio exprime les proportions relatives de certains
    sous-ensembles d’éléments qui le constituent, indépendamment de leurs unités.
    Il permet d’indiquer la constitution d’un ensemble à un coefficient multiplicatif près.

    La connaissance de l’effectif total et du ratio permet de retrouver les effectifs
    des parties et leurs proportions et inversement. Par exemple, si un ensemble de
    60 éléments est constitué de billes bleues, rouges, vertes et jaunes dans le ratio

    4:3:7:1, alors la proportion des billes bleues est de 4 (15 = 4 + 3 + 7 + 1), donc il y a
                                                         15
    16 billes bleues.

    L’ordre est important pour les ratios : ils sont énoncés dans l’ordre dans lequel les
    éléments sont aussi énoncés dans le texte. Le ratio traduit « la proportionnalité de
    deux suites de nombres » (programme du cycle 4).

    Point de vigilance : il est nécessaire de distinguer proportion relative (5 pour 2)

    et proportion dans un ensemble ( 2 pour les boules rouges).
                                     7
    62 — Nombres et problèmes arithmétiques


Didactique. Le modèle en barres

    Le modèle en barres est un outil de modélisation qui met en évidence les relations
    arithmétiques entre les données de l’énoncé et la grandeur « longueur ». Son éla­
    boration par l’élève se déroule pendant la phase heuristique de recherche. Différents
    modèles sont possibles (1 barre, 2 barres) en fonction des situations. Le modèle
    double barre, utile dans les situations de comparaison ou d’équations, favorise des
    représentations mentales permettant de comprendre et de visualiser le sens du
    signe « = ». Il symétrise le statut des variables en jeu ; sa structure, analogue à la
    structure algébrique du problème, permet d’envisager des stratégies de calculs.



    Modèle additif

                                        Valeur totale
                 Valeur 1                                    Valeur 2


    Les rectangles doivent être remplis par les valeurs connues ou le mot « inconnu ».
    La longueur de la barre rectangle n’est pas forcément proportionnelle au nombre
    qu’elle contient. On représente le plus petit nombre par une barre plus courte (si on
    dispose de l’information).



    Modèle multiplicatif

    Cette représentation s’appuie sur la définition de la multiplication par un entier n,
    nx = x + x + … + x (n fois).

                                        Valeur totale
      Valeur   Valeur   Valeur   Valeur   Valeur   Valeur   Valeur
     cherchée cherchée cherchée cherchée cherchée cherchée cherchée




                                 Nombre (ici 7) de parts égales


    Les rectangles sont remplis comme pour le modèle additif. Les parts sont égales :
    les rectangles sont de même longueur.
    63 — Nombres et problèmes arithmétiques


Problème 1. Se partager
des macarons


    Énoncé

    a. Comment partager 48 macarons entre Simon et Mandy dans le ratio 5:11 ?
    b. Ahmed, Simon et Mandy se partagent des macarons dans le ratio 4:3:2. Simon
    en a 9, combien en ont Ahmed et Mandy ?
    c. Simon et Mandy ont réalisé un certain nombre de macarons dans le ratio 5:8.
    Sachant que Mandy, plus expérimentée, a fait 66 macarons de plus que Simon,
    combien Mandy en a préparé ?



    Mots-clés

    Ratios, proportionnalité, répartition, partage, unité, fractions, introduction de la
    notion de variable.



    Pourquoi ce problème ?

    Les problèmes de ratios sont des problèmes qui se prêtent à la mise en place
    du ­triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire ». Ils sont l’occasion de mettre en vie
    des problèmes de partages (équitables ou non).

    Ce problème montre l’intérêt de raisonner sur « une unité », notamment dans un
    contexte de comparaisons relatives de grandeurs commensurables, pour traiter
    de manière arithmétique des problèmes qui auraient nécessité l’introduction de
    plusieurs inconnues et un travail plus algébrique.



    Ressorts de continuité ou éléments
    de progressivité

    Même si les ratios ont un lien avec la proportionnalité, les proportions et les
    fractions, ils permettent de les aborder différemment et d’en construire le sens en
    les fréquentant dans différents contextes. Réciproquement, les notions de partages,
    proportions et fractions trouvent une contextualisation intéressante dans la
    présentation en ratios qui mobilisent des entiers.
64 — Nombres et problèmes arithmétiques


Stratégies d’enseignement

Les trois questions de cet énoncé peuvent être traitées de différentes façons :
­utilisation des fractions, pré-algèbre61 , etc.

Les cubes emboîtables, très présents dans le premier degré, sont un matériel
pertinent pour travailler et permettre une modélisation de la situation qui met
en relation deux grandeurs. L’utilisation de la modélisation dans les problèmes
arithmétiques prépare l’introduction de la variable (brique, unité, inconnue) sans
avoir recours à la mise en équation.

Une modélisation de la première question conduit au modèle multiplicatif dans le
modèle en barres, c’est-à-dire partager 48 en 16 parts.

                                                 48




            Simon                                             Mandy


Dans la question c., la superposition des briques correspondant aux nombres de
parts de chacun permet, par comparaison, d’exhiber la différence en tant que variable
sur laquelle s’appuie le raisonnement. Le professeur pourra utilement guider les
élèves dans la modélisation de cette différence.

                                                        66 macarons valent 3
                                                        « briques unité ».
                                       66


                                   Différence




61 — Pré-algèbre : ce terme désigne une étape intermédiaire
(ou une écriture symbolique) entre l’arithmétique et l’algèbre (opérations
à trous, exemples génériques, « 3 stylos + 2 cahiers = 8,5 euros »).
    65 — Nombres et problèmes arithmétiques


Didactique. Le rôle du matériel
de manipulation

    Le matériel de manipulation permet de comprendre les liens entre les données de
    l’énoncé et de mettre en évidence de quelle manière les élèves recherchent la « brique
    unité ». Il favorise le travail portant sur le passage du langage naturel au calcul.

    Voici un problème de comparaison équivalent : « Un fils et son père ont leurs tailles
    dans le ratio 5:8. Sachant que le père mesure 66 cm de plus que son fils, quelle est
    la taille du père ? »

                                               Voici le propos d’un élève de 6e en train de résoudre
                                               le problème : « Pour le père, on prend 8 blocs de “on
                                               ne sait pas encore combien” et pour le fils, 5 blocs.
                                               Sachant que 3 blocs mesurent 66 cm, en divisant
    Figure 5. Utilisation d’un matériel
    de numération pour résoudre le problème.   par 3, un bloc mesure 22 cm. »



    Pour aller plus loin

    Pour l’énoncé suivant, il est nécessaire d’avoir acquis une certaine agilité du modèle
    en barres : « Abel et Sarah ont leurs économies dans le ratio 7:6. Ils reçoivent tous
    deux 28 € et ont maintenant leurs économies dans le ratio 25:22. Quelles étaient
    leurs économies au départ ? » La brique de base va évoluer lors de la résolution.

    Au départ, l’écart est de 1 « brique unité » car le ratio est 7:6, ce qui amène à la
    modélisation suivante :




    Après l’ajout de 28 €, les économies d’Abel et Sarah sont dans le ratio 25:22. L’écart est
    cependant conservé en termes de valeurs et il est maintenant de 3 « briques unité »,
    car 25 – 22 = 3, ce qui indique qu’il faut partager la précédente « brique unité » en 3.




    Le ratio 7:6 devient le ratio 21:18, qui lui est équivalent.




          28 €
    66 — Nombres et problèmes arithmétiques

    Pour arriver au ratio 25:22, il faut que la partie ajoutée corresponde donc à 4
    « briques unité » (21 + 4 = 25 et 18 + 4 = 22).




         28 €

    On en déduit que la « brique unité » vaut 7 €, ce qui permet de répondre au pro-
    blème posé.




Problème 2. Les angles du triangle
sont dans un ratio


    Énoncé

    a. Dans quel ratio sont les trois angles d’un triangle équilatéral ?
    b. Quelle est la nature d’un triangle dont les angles sont dans le ratio 1:2:3 ?
    c. Existe-t-il un triangle isocèle dont les angles sont dans le ratio 2:2:7 ?



    Mots-clés

    Ratio, proportion, recherche de la « brique unité », somme des angles d’un triangle.



    Pourquoi ce problème

    En dépit du contexte, ce problème n’est pas un problème de géométrie. Il permet
    d’aborder la notion de ratio avec 3 nombres dans un contexte géométrique.
    Il nécessite un changement de cadre : en effet, l’énoncé amène l’élève à sortir de
    l’arithmétique pour interroger les connaissances de géométrie : la somme des angles
    d’un triangle et les relations entre la mesure des angles et la nature des triangles.

    La question a. a pour objectif l’entrée dans le problème par l’élève. La question
    est élémentaire et réactive les propriétés angulaires du triangle équilatéral.
    Les questions b. et c., progressives, ont pour enjeu de faire réfléchir l’élève par
    un questionnement plus ouvert sur la compréhension des ratios proposés tout en
    mobilisant ses connaissances sur les triangles particuliers.
67 — Nombres et problèmes arithmétiques


Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

En 5e, ce problème constitue un premier pas vers la géométrie déductive. Il prend
appui sur une propriété démontrée (la somme des angles d’un triangle) et sur
les connaissances des triangles particuliers. La justification des résultats aux
différentes questions contribue à entrer dans la notion de preuve en mathématiques.
En classes de 4e et 3e, l’enjeu de cet exercice est de consolider les connaissances
des élèves sur les triangles particuliers en lien avec la manipulation de ratios.



Stratégies d’enseignement

Ce problème peut être posé en question flash, puisqu’il réactive une connaissance
de base (la somme des angles d’un triangle).

Les tentatives de dessins, à main levée, par les élèves sont naturelles et doivent
être encouragées. Cependant, elles ne constituent pas toujours une aide efficace
ou pertinente ; les essais/ajustements sur les angles peuvent aboutir rapidement
(question b.) ou être infructueux selon les ratios (question c.).

Pour les élèves en début de 5e : pour la question b. (idem pour la question c.), lorsque
les élèves ont été familiarisés, notamment dans les classes primaires, à l’utilisation du
matériel de manipulation tel que les cubes emboîtables et les réglettes © ­Cuisenaire, ils
visualisent la répartition et en déduiront la valeur de l’unité en invoquant la valeur du tout.

                                Dans le cadre de la différenciation pédagogique, on peut
                                adapter les ratios dans la question c. (par exemple 1:1:4
Figure 6. La somme des angles
est composée de 6 parts, donc   ou 2:2:6).
6 parts = 180°.
                         La pratique courante, dans le monde anglo-saxon, d’une
recherche d’une affirmation fausse dans les QCM mérite d’être développée.

Par exemple : « The angles of a triangle are in the ratio 1:1:2.
Which of the following sentence(s) is (are) false?
a. It is a right-angled triangle.
b. It is an isosceles triangle.
c. It is a scalene triangle.
d. It is an equilateral triangle. »

TRANSFERT62
« Comment partager un segment de 50 cm dans le ratio de 1:3:4 ? »




62 — Voir l’introduction et le chapitre 7.
    68 — Nombres et problèmes arithmétiques


Problème 3. Des fractions
et des proportions


    Énoncés

    1. La collecte : 20 € ont été collectés par 3 élèves lors de la vente de gâteaux. Jim en
    a collecté le quart, Paul 3 huitièmes et Jane le reste. Sachant qu’une part de gâteau
    coûtait 50 centimes, combien de parts de gâteaux ont-ils vendues chacun ?
    2. Football : Pour se maintenir dans son groupe, une équipe ne peut pas perdre plus
    de 20 % de tous les matchs joués. À ce jour, une équipe de football a gagné 8 matchs,
    concédé 8 matchs nuls et perdu 10 matchs. Cette équipe ne pourra alors se maintenir
    dans son groupe que si elle ne perd plus aucun match jusqu’à la fin de la saison.
    Combien lui reste-t-il de matchs à jouer au minimum ?
    3. Économies : Je dépense 4 septièmes de mes économies pour acheter un manteau
    et le tiers du reste pour une paire de chaussettes. J’ai maintenant 9,52 €. Combien
    avais-je d’économies au départ ?
    4. Devinette : Je pense à un nombre, je le double, j’ajoute 2 septièmes du nombre de
    départ et j’obtiens 376. Quel était le nombre de départ ?
    5. Le Grand Duc : Le Grand Duc de York a conduit ses hommes au sommet de la mon-
    tagne. À 14 heures, ils avaient parcouru 1 tiers du chemin. À 14 h 50, ils en avaient
    parcouru 75 %. À quelle heure ont-ils commencé leur marche ?



    Mots-clés

    Modélisation en barres, fractions, proportions, pourcentages, date et durée.



    Pourquoi ces problèmes ?

    Plusieurs domaines sont convoqués ici : nombres et calculs, grandeurs et mesures.
    Les repères de progressivité indiquent que « les élèves [en 5e] sont conduits à com-
    parer des nombres rationnels, à en utiliser différentes représentations et à passer de
    l’une à l’autre », tandis qu’en 4e, « les notions d’inconnue et de solution d’une équation
    sont abordées […] pour aborder la mise en équation d’un problème et la résolution
    algébrique d’une équation du premier degré ».
69 — Nombres et problèmes arithmétiques

Ces problèmes réinvestissent des faits numériques : décompositions et différentes
représentations d’un même nombre. Les énoncés sont courts, mais portent sur
des concepts numériques variés que les élèves peinent à appréhender (décimaux,
pourcentages, fractions). Le choix des valeurs rendant les procédures par essais/
ajustements peu efficaces, cela induit le recours à la modélisation (par exemple,
le modèle en barres), appuyé éventuellement par la manipulation.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ces problèmes (avec des données plus simples) sont abordés dès le début du cycle 3
et portent un objectif de continuité tant pour les élèves que dans le cadre de la liaison
de cycle.

Étayés par le matériel de manipulation, ils peuvent être traités dès la 6e. Le choix des
variables didactiques (ici les valeurs numériques) permet de les faire évoluer tout
au long du collège.

Ces problèmes s’intègrent dans une stratégie plus globale de travail autour des
représentations des nombres. À l’école, les élèves sont entraînés à décomposer des
nombres (avec des activités comme la fleur des nombres, le journal du nombre, etc.).
Ces activités méritent d’être prolongées pour mettre en évidence les liens entre
fractions, pourcentages et proportions, par exemple :
2 = 2 x 1 = 2 cinquièmes = 0,4 = 40 = 40 % = 40 centièmes.
5       5                       100



Stratégies d’enseignement

Ces problèmes permettent d’envisager des procédures diverses en fonction de
l’appropriation des notions mathématiques selon les élèves. En effet, le recours à la
manipulation est facilitateur pour comprendre le besoin de réduire deux fractions au
même dénominateur ou encore de comprendre ce qu’est la division par un nombre
rationnel non nul.

La modélisation permet ici de différencier les compétences « représenter »,
« modéliser » et « calculer », et de réaliser une évaluation plus fine des difficultés des
élèves en mettant en évidence les réussites (évaluation positive).

Une modélisation possible pour le problème « Économies » :

                                    Mes économies




                                                                          9,52 €
70 — Nombres et problèmes arithmétiques

Si on souhaite se concentrer uniquement sur la modélisation, il est possible de ne
pas donner de valeurs numériques dans les questions63 ; cela permet de rester sur
le modèle et les concepts de fractions/proportions/pourcentages.

Pour le problème « Devinette », l’analyse de l’énoncé invite à prendre 7 unités pour
modéliser le nombre de départ. D’où le modèle ci-dessous qui conduit à un schéma
de 16 (= 7 + 7 + 2) « briques unité » valant 376. Cette approche permet de montrer

aux élèves que « diviser par 16 revient à diviser par 16 et multiplier par 7 donc
                              7
multiplier par 7 ». La méthode algébrique usuelle conduit à l’équation 2x + 2 x = 376
               16                                                           7
            16
ou encore x = 376 qui mobilise les fractions.
             7

                                                      376
  u       u       u      u       u      u         u   u   u     u    u     u     u    u     u    u

                                                                                              2/7
                                                                                          du nombre
              Nombre de départ                                Nombre de départ             de départ




                                                                         Cette entrée par la pré-­
                                                                         algèbre peut être mise en
                                                                         parallèle avec l’écriture
                                                                         algébrique, permettant
                                                                         une transition plus douce
                                                                         et basée sur la structure
                                                                         de l’unité. Dans le premier
                                                                         exemple ci-contre, l’aug-
                                                                         mentation de 2 tiers du
 Figure 7. Une variante possible de l’exercice.
                                                                         nombre de départ suggère
                                                                         le choix de prendre 3 briques
                                                                         pour le nombre de départ.
                                                                         Dans le second exemple
                                                                         (figure 8), la diminution de
                                                                         25 %, soit le quart, indique
                                                                         de prendre 4 briques pour
                                                                         le nombre de départ.



Figure 8. Une autre variante.




63 — L’énoncé serait alors : « Je dépense 4 septièmes de mes
économies pour acheter un manteau et le tiers du reste pour une paire
de chaussette. J’ai maintenant 9,52 €. Modéliser la situation. »
    71 — Nombres et problèmes arithmétiques

    L’implicite de l’énoncé « Le Grand Duc » oblige le professeur et les élèves à faire une
    hypothèse importante : la marche s’effectue à vitesse constante.

    Une modélisation permet, sans calcul de fractions, de prendre conscience que
    5 « briques unité » valent 50 minutes. La difficulté est de placer, sur un même dessin,
    le tiers et les 3 quarts, ce qui suppose de l’avoir fait à l’école primaire en manipulant
    12 cubes emboîtables. La marche du Grand Duc a donc commencé à 13 h 20.




                                   14 h                                    14 h 50

    Cette modélisation évite la conceptualisation de l’inconnue (heure de départ, durée,
    chemin) qui présente une difficulté.




Problème 4. L’affaire est dans le sac                                                            64




    Énoncé

    Dans les sacs suivants, il y a déjà des billes noires et des billes blanches.
    Est-il possible d’ajouter un certain nombre (de ton choix) de billes rouges, de façon
    à satisfaire les indications données en dessous de chaque sac ?




          Sac 1 : la probabilité d’extraire                  Sac 2 : la probabilité d’extraire
              une bille rouge est 5 .                            une bille rouge est 2 .
                                    12                                                 5




         Sac 3 : la probabilité d’extraire                   Sac 4 : la probabilité d’extraire
        une bille blanche ou rouge est 3 .                       une bille rouge est 3 .
                                         4                                             5


    64 — Brochures de l’Irem de Rouen sur l’enseignement des probabilités,
    Probabilités - Statistiques, cinq scenarios (3e/2de), Blandine Masselin,
    Fabrice Mondragon, 2015, université de Rouen. Extrait modifié, p. 104-105.
72 — Nombres et problèmes arithmétiques


Mots-clés

Probabilités, fractions, proportions, ratios.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème permet un renforcement du concept d’équiprobabilité avec un travail
dans les domaines numérique et littéral (pour le sac 4).

Les situations de tirages dans des sacs ou des urnes permettent aux élèves
­d’appréhender le hasard en lien avec le vocabulaire des probabilités (expérience
 aléatoire, issue, événement, probabilité) introduit au début du cycle 4. Les situations
 rencontrées en classe de 5e sont l’occasion de placer un événement sur une échelle
 de probabilités et de déterminer des probabilités dans des situations très simples
 d’équiprobabilité. Les ratios permettent de modéliser et de comprendre la situation
 (ici, la composition des sacs).



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème, de milieu de cycle 4, convoque plusieurs domaines (probabilités,
nombres et calculs). Outre le fait de mobiliser les nombres rationnels et l’algèbre,
il fait travailler les probabilités dans des « situations simples qui ne relèvent pas
nécessairement du modèle équiprobable ».



Stratégies d’enseignement

Ce problème permet d’envisager des procédures diverses en fonction de l’appro­
priation des notions mathématiques selon les élèves. Pour les trois premiers sacs,
la manipulation ou une démarche essai/ajustement permet de résoudre le problème.
Pour le sac n° 4, la manipulation, le recours à l’algèbre ou aux ratios permettent
de montrer l’impossibilité d’une composition du sac répondant à la question posée.

CAS DU SAC 2
Il est intéressant de raisonner sur la constitution d’un sac pour lequel il y a une

probabilité de 2 de tirer une bille rouge. Dans cette situation, le ratio billes rouges
                5
pour billes des autres couleurs (blanches ou noires) est 2:3. Avant de considérer
des ratios équivalents (4:6 par exemple), le professeur peut amener les élèves à
s’interroger sur la signification du nombre 3 dans le ratio, dans le cas où le sac
serait réduit à 5 billes.
    73 — Nombres et problèmes arithmétiques

    CAS DU SAC 4
    Le raisonnement sur le ratio billes rouges pour billes d’une autre couleur conduit à
    chercher un ratio de la forme a:7 équivalent à 3:2, avec a correspondant au nombre
    de billes rouges ajoutées dans le sac. La discussion invite l’élève à interroger une
    solution potentielle et à la confronter au contexte du problème, démarche à engager
    pour aiguiser le sens critique.

    POUR ALLER PLUS LOIN (CAS DU SAC 4)
    Les enjeux de l’énoncé suivant portent sur l’absence de représentation initiale et la
    présence de deux inconnues : « Un sac contient des billes blanches et noires dans
    le ratio 5:2. En ajoutant des billes rouges, la probabilité maintenant de tirer une bille

    rouge est de 3 . Combien de billes de chaque couleur y a-t-il maintenant au minimum
                  5
    dans le sac ? »




Problème 5. Plusieurs inconnues
dans le jeu


    Énoncés

    1. Pour le championnat de rugby, une équipe reçoit 3 points par victoire, 1 point par
    match nul. Après 25 matchs, une équipe a marqué 55 points. Combien de matchs
    ont-ils pu perdre ?
       a. aucun
       b. 5
       c. 3
       d. 2

    2. Un groupe d’amis a dépensé 390 € au restaurant. Certains (le groupe A) ont
    dépensé 30 € chacun et les autres (le groupe B) ont dépensé 20 €. Combien pouvait-il
    y avoir de personnes dans les groupes A et B ?



    Mots-clés

    Pourcentages, proportions, fractions, algèbre, système d’équations du premier
    degré, équations diophantiennes, variables, inconnues, critères de divisibilité, modé-
    liser, chercher, calculer, raisonner.
74 — Nombres et problèmes arithmétiques


Pourquoi ce problème ?

La première question contribue à la prise d’initiative de l’élève. L’énoncé est court,
mais chaque donnée est importante et il y a un implicite sur le nombre de points en
cas de match perdu.

L’énoncé met en œuvre trois inconnues et deux équations (que l’on peut aussi
résoudre grâce aux propriétés de divisibilité des entiers) et induit à ce niveau une
stratégie rarement utilisée dans les QCM consistant à essayer chacune des valeurs
proposées pour ramener ce problème à une équation avec une seule inconnue.

La seconde question se ramène à l’équation diophantienne 30a + 20b = 390 où a
représente le nombre de personnes du groupe A et b le nombre de personnes du
groupe B. Au collège, une stratégie basée sur les critères de divisibilité peut éven-
tuellement permettre de trouver toutes les solutions possibles.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Pour la première question, en 5e, l’introduction d’une expression littérale est possible,
la lettre65 employée ayant le statut de variable. L’usage du tableur (comme ci-dessous),
de la calculatrice ou d’un algorithme permettra de déterminer la valeur recherchée.
Les démarches envisageables par les élèves sont le principe d’itération ou d’essai/
                                   erreur, la manipulation d’expressions algébriques
                                   voire la modélisation.

                                     En fin de cycle 4 et en 2de, l’introduction d’équations
                                     sera attendue, ce qui permet le passage de la
                                     variable à l’inconnue. L’utilisation des propriétés de
                                     divisibilité dans l’équation dio­phantienne 3a + b = 55
                                     est un attendu du lycée.

                                     Pour la seconde question, en fin de cycle 4 et en
                                     2de , après simplification de l’équation obtenue,
                                     les critères de divisibilité et la notion de nombres
                                     premiers entre eux permettent d’aller plus vite dans
                                     la résolution de ce problème.

                                     En terminale (option mathématiques expertes),
Figure 9. L’usage du tableur, pour   ce problème consiste à résoudre une équation
déterminer la valeur recherchée.
                                     diophantienne avec discussion sur les couples
                                     solutions à retenir.




65 — La lettre rencontrée dans la scolarité d’un élève peut être
une abréviation, une unité de mesure, le nom d’un point en géométrie,
une indéterminée, une inconnue, une variable ou un paramètre.
75 — Nombres et problèmes arithmétiques


Stratégies d’enseignement

Le professeur peut inciter les élèves à essayer les différentes valeurs proposées
pour le nombre de matchs perdus (0, 5, 3 ou 2) pour amener les élèves à penser que
le nombre de matchs nuls ou gagnés est alors 25, 20, 22 ou 23.

L’utilisation d’un tableur (ci-dessous, le cas où l’équipe a perdu 5 matchs), permet
d’identifier une variable de travail et d’explorer toutes les possibilités, ce qui constitue
une preuve (par disjonction de cas).

Pour la modélisation algébrique dans le cas présent, en notant x le nombre de matchs
gagnés, le nombre de matchs nuls vaut alors 20 – x. Le nombre de points marqués
est 3x + (20 – x) = 2 x + 20. Cette expression algébrique vaut 55, ce qui permet de
conclure x = 17,5.

Le retour au problème posé – qui constitue le cœur de la démarche de modélisation
(partir du réel, modéliser, revenir au réel) – permet d’écarter cette solution trouvée,
car 17,5 n’est pas un nombre entier.

Pour la seconde question, en fin de cycle 3 et début de cycle 4, on peut demander
aux élèves de tester des couples solutions. Ces calculs élémentaires permettent de
réinvestir les priorités opératoires, la manipulation d’une expression littérale où
apparaissent deux variables. Il est possible également de fixer une variable (par
exemple le nombre de personnes dans le groupe A) et de déterminer alors lorsque
cela est possible, l’autre variable (qui prend alors le statut d’inconnue). Les critères
de divisibilité peuvent être mobilisés pour répondre à des questions du type : « Est-il
possible qu’il y ait 6 personnes dans le groupe A ? »

Tout comme pour la première question, l’usage du tableur permet de déterminer
l’ensemble des couples solutions recherchés.
    76 — Nombres et problèmes arithmétiques


Problème 6. Ça texte beaucoup !


    Énoncé

    Lors d’un concours de rapidité d’envoi de SMS, quatre élèves sont en compétition.
    — Le premier peut en envoyer 3 pendant que le deuxième en envoie 2.
    — Le deuxième peut en envoyer 5 pendant que le troisième en envoie 6.
    — Le troisième peut en envoyer 7 pendant que le quatrième en envoie 8.
    Pendant la durée du concours, le deuxième a envoyé 70 SMS.
    Quel est le vainqueur du concours ?



    Mots-clés

    Défi mathématique, fraction et comparaison, ratio, grandeur sans dimension.



    Pourquoi ce problème ?

    Ce problème, qui permet de fréquenter des grandeurs sans dimension, met en jeu
    plus de deux protagonistes. Cette situation s’apparente à un problème avec prise
    d’initiative et permet à l’élève de mobiliser en particulier les compétences « chercher »,
    « calculer ».

    Le problème permet d’avoir recours à différentes stratégies et de réinvestir la notion
    de ratio, performante ici, pour trouver une relation en termes de proportions entre
    les participants.



    Stratégies d’enseignement

    Même si le bon sens invite l’élève à comparer le premier et le quatrième scripteur,
    la comparaison entre le deuxième et le troisième est nécessaire au raisonnement.

    EN EXPLORANT LA PROPORTIONNALITÉ ET EN PROCÉDANT PAR ÉTAPE


      Premier      Deuxième         Deuxième      Troisième        Troisième    Quatrième

          3             2                5             6                7             8
         105           70               70            84               84            96
77 — Nombres et problèmes arithmétiques

EN UTILISANT LES RATIOS ÉQUIVALENTS


      Premier              Deuxième       Troisième   Quatrième

          3                     2
        3x5                   2x5           2x6
      3x5x7                 2x5x7         2x6x7        2x6x8
        105                    70            84          96
      78 — Nombres et problèmes arithmétiques


En résumé

 	Les problèmes de ce chapitre proposent des énoncés
   numériques variés qui peuvent permettre des
   changements de cadre. Ils mobilisent de nombreuses
   notions mathématiques (fractions, proportionnalité, ratios,
   géométrie, pourcentages, équations). Ils présentent aux
   élèves des mathématiques concrètes, propices à la mise
   en œuvre d’une démarche expérimentale.


 	Le travail proposé met en avant des outils (de manipulation,
   numériques, de modélisation) facilitant l’entrée des élèves
   dans la résolution de problèmes et permettant d’aborder
   des problèmes qui leur sont jusqu’ici résistants.

 	Les élèves sont amenés à se créer des représentations
   mentales des nombres qui facilitent la compréhension
   et la résolution des problèmes. Ils apprennent également
   à mettre en œuvre une démarche scientifique allant
   des représentations à l’abstraction.
              III
Problèmes
algébriques
        80 — Problèmes algébriques

Le passage de l’arithmétique à l’algèbre constitue un point
de rupture didactique pour l’élève qui doit être en capacité
de généraliser des expressions, reconnaître des structures,
modéliser une situation par une expression algébrique
ou une équation pour résoudre un problème. Les problèmes
de ce chapitre permettent de créer des représentations
mentales aidant à une meilleure compréhension de ces
concepts et pour lesquels l’utilisation du matériel
contribue à la mise en œuvre du triptyque « manipuler,
verbaliser, abstraire ». Les ressources d’accompagnement66
relatives au calcul littéral, parues sur Éduscol,
constituent des références pour ce chapitre.




Entrée historique


        Créer, explorer, prouver ou apprendre
        des mathématiques avec des séries
        de problèmes67

        Les mathématiques anciennes se présentent souvent sous la forme de séries de
        problèmes68 . Ces successions de problèmes sont parfois de simples compilations
        d’exemples provenant de diverses sources, et, dans ce cas, ne présentent pas de
        cohérence particulière. Mais le plus souvent, elles sont pensées pour permettre au
        lecteur de comprendre, mettre en œuvre et contrôler des procédures mathé­matiques.
        Les séries de problèmes peuvent aussi avoir un but heuristique d’exploration, ou
        permettre une classification des méthodes mathématiques, ou bien avoir un rôle
        didactique69. Dans certains cas, une série de problèmes peut constituer une véritable
        théorie mathématique. On peut citer plusieurs exemples célèbres. Un des premiers

        66 — https://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/3/
        du_numerique_au_litteral_109173.pdf ; https://cache.media.eduscol.
        education.fr/file/Calcul_litteral/35/8/RA16_C4_MATH_nombres_
        calcul_calcul_litteral_doc_maitre_548358.pdf
        67 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
        Tournès, Éric Vandendriessche.
        68 — Alain Bernard, « Les séries de problèmes, un genre au carrefour
        des cultures », éd. 2015, vol. 22, SHS Web of Conferences, EDP Sciences,
        Les Ulis : http://dx.doi.org/10.1051/shsconf/20152200001
        69 — Voir la thèse de Charlotte de Varent qui porte sur ce dernier rôle.
81 — Problèmes algébriques

traités d’algèbre en arabe, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison
de Al-Kwârizmî, propose une série de problèmes qui permettent l’exposition de la
théorie générale de la résolution des équations quadratiques. Le Liber Abaci de
Fibonacci contient des séries de problèmes permettant d’explorer diverses méthodes
algébriques ou arithmétiques, en particulier la méthode de fausse position.

En Mésopotamie, les textes mathématiques étaient inscrits en écriture cunéiforme
sur des tablettes d’argile70. Ces textes mathématiques, qui, pour la plupart, ont été
écrits il y environ quatre mille ans, se présentent le plus souvent sous la forme de
séries de problèmes plus ou moins longues (on connaît des cas de séries comprenant
plusieurs centaines de problèmes !). Par exemple, la tablette conservée à l’université
Yale sous le numéro YBC 4663 (figure 10) contient une série de problèmes résolus
qui était probablement destinée à la formation mathématique des futurs érudits.

Cette tablette, ainsi que d’autres similaires, exposent de façon progressive et sys-
tématique les méthodes de résolution des problèmes linéaires et quadratiques au
travers d’une situation concrète, ici, le coût du creusement d’un canal, présentée
sous différents angles71 .




Figure 10. Tablette contenant     Figure 11. Transcription d’une tablette
une série de problèmes résolus.   concernant le partage du trapèze
Université Yale, New Haven72.     en sous-trapèzes de même aire. Musée
                                  de l’Hermitage, Saint-Pétersbourg.




70 — Christine Proust, « Mathématiques en Mésopotamie », Images des
Mathématiques, 2014 : http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-en-
Mesopotamie.html
71 — Christine Proust, “How did Mathematics Masters Work Four
Thousand Years Ago? Curricula and Progressions in Mesopotamia”,
in The ‘Resources’ Approach to Mathematics Education, edited by Luc
Trouche, Gislaine Gueudet, Birgit Pepin, in Advances in Mathematics
Education, p. 61-88, Springer, Berlin, 2019.
72 — Photo : C. Proust, crédit : Yale Babylonian Collection.
82 — Problèmes algébriques

On connaît plusieurs tablettes qui contiennent des séries de problèmes posés sous
la forme de figures géométriques. Par exemple, la figure 11 (voir p. 81) 73 montre la
transcription d’une tablette conservée au Musée de l’Hermitage à Saint-Pétersbourg
sous le numéro ERM 15189 ; elle concerne le partage de trapèzes en sous-trapèzes
de même aire. Un autre exemple similaire concerne le partage de triangles en sous-
triangles et trapèzes de même aire74 .

Bien que d’apparence géométrique, ces deux séries de problèmes relèvent plutôt
de la théorie des nombres : la série des triangles fait appel à la recherche de triplets
pythagoriciens (a² + b² = c²) ; la série des trapèzes fait appel à celle de triplets dits
« babyloniens » (a² – b² = c²)75.

        Largeur supérieure               La tablette des trapèzes conservée au Musée de
                                         l’Hermitage propose une série de variantes autour
                                         d’un problème classique des mathématiques
                                         cunéiformes que l’on pourrait formuler ainsi :
          Transversale                   un trapèze a pour bases 17 et 7 (« largeur
                                         supérieure » et « largeur inférieure » selon la
                                         terminologie du texte cunéiforme). Une ligne
                                         transversale est tracée parallèlement aux deux
    Largeur inférieure                   bases de façon à diviser le trapèze initial en
                                         deux petits trapèzes de même aire. Quelle est la
                                         transversale ?



L’algèbre pour résoudre des problèmes76

Le traité d’algèbre considéré comme étant le plus ancien qui nous soit parvenu est
celui d’Al-Khwârizmî, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, dont le
titre arabe est à l’origine du mot « algèbre ». Mais si on considère que l’algèbre est plus
largement l’art de résoudre des équations, que ce soit par des méthodes de calcul sur
des inconnues comme celles qu’on trouve dans les traités en langue arabe, ou par
des procédés algorithmiques ou géométriques, cette branche des mathématiques
est aussi ancienne que les mathématiques elles-mêmes et remonte à la très haute
Antiquité. L’algèbre est ainsi constitutive des mathématiques qui furent élaborées
non seulement en pays d’Islam et plus tard en Europe, mais aussi en Chine, en Inde,
au Proche-Orient ancien ou en Grèce dans les périodes antiques et médiévales.




73 — Transcription par l’historien russe A. A. Vaiman (1961,
Shumero-vavivonskaya matematika III-I tysyacheletiya do
n.e., « Les mathématiques suméro-akkadiennes du troisième
au premier millénaire avant notre ère »).
74 — Voir la photo sur le site https://cdli.ucla.edu/P254721
75 — Christine Proust, Problèmes de partage : des cadastres
à l’arithmétique, CultureMath (ENS Ulm), 2012 : http://culturemath.ens.fr/
76 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
Tournès, Éric Vandendriessche.
83 — Problèmes algébriques

La résolution des équations linéaires et quadratiques est au cœur des mathématiques
qui furent écrites sur des tablettes d’argile en Mésopotamie (sud de l’Irak actuel) et
en Elam (ouest de l’Iran actuel) à l’époque paléo-babylonienne (début du deuxième
millénaire avant l’ère commune). Il est du reste possible que la tradition mathématique
créée à l’époque paléo-babylonienne se soit perpétuée dans la région de Bagdad jusqu’à
l’époque d’Al-Khwârizmî, et que ce dernier en ait été un lointain héritier.

Résoudre des équations linéaires et quadratiques était un des buts de la formation
mathématique avancée dans les écoles de scribes, notamment celles du sud de la
Mésopotamie, qui nous ont laissé des dizaines de tablettes d’argile contenant les
traces d’exercices de résolution de petits problèmes linéaires.

Voici ci-dessous la transcription d’une tablette d’écolier (figure 12). On y voit les traces
d’un algorithme consistant en une suite de multiplications et de divisions. Les facteurs
sont écrits dans la colonne de gauche, les produits et quotients dans la colonne de droite ;
ainsi le produit de 5 et 2 est 10 ; ce résultat multiplié par 3 est 30 ; ce résultat divisé par
10 est 377 ; ce résultat multiplié par 2 est 6. Le but de ce calcul est de déterminer le coût
du creusement d’un canal connaissant ses dimensions (5, 2 et 3), le volume extrait chaque
jour par chaque ouvrier (10) et le salaire journalier des ouvriers (2). On trouve le même
problème, avec des données légèrement différentes, dans d’autres tablettes, par exemple
YBC 4663 déjà citée dans la notice historique précédente.

                                                      La partie la plus célèbre des mathématiques
                                                      de Mésopotamie est celle qui porte sur la réso-
         5                                            lution des équations quadratiques. L’historien
                        10                            des mathématiques Jens Høyrup a montré
         2                                            qu’en Mésopotamie, les méthodes de réso-
                        30                            lution étaient basées sur des mani­pulations
         3                                            géo­métriques telles que des découpages et
         10 6
                                                      des recollements de rectangles. La tablette
                        3
                                                      conservée au British Museum sous le numéro
         2
                                                      BM 13901 contient une collection de problèmes
                        6
                                                      quadratiques qui constituent un véritable
                                                      « manuel du second degré », pour reprendre
Figure 12. Transcription d’une tablette : un exercice l’expression du philosophe des mathématiques
d’écolier provenant de la ville d’Ur, en Mésopotamie  Maurice Caveing. Les méthodes de résolution
du sud (numéro de publication UET 6, 233).
                                                      consistaient à se ramener à quelques pro-
blèmes de base, essentiellement par des procédés d’agrandissement/réduction des
longueurs, des surfaces ou des volumes, parfois selon une seule direction linéaire,
ou même planaire pour les problèmes en trois dimensions, ce qui revient en langage
moderne à un procédé de changement de variable. Un des problèmes de base qui
servait à la résolution de toute une classe de problèmes, est en substance le suivant :
trouver les dimensions d’un rectangle connaissant sa surface et son périmètre.
Ces problèmes de base et certaines de leurs versions sophistiquées ont circulé en
pays d’Islam et en Europe latine, inspirant de nouvelles méthodes algébriques et de
nouveaux développements tels que la théorie des polynômes.

77 — À côté du 10, il est inscrit un 6 parce que dans la culture scribale
savante, diviser par 10, c’est multiplier par 6. En effet, l’inverse de 10 est
6/60, c’est-à-dire 0;6 en système sexagésimal positionnel, qui s’écrit 6
dans la notation flottante des scribes.
    84 — Problèmes algébriques


Point sur la recherche                                          78




    Depuis plusieurs dizaines d’années, les recherches en didactique de l’algèbre sont
    nombreuses et ont conduit à délimiter les types de problèmes et les objets qui sont
    propres à l’algèbre élémentaire à enseigner au collège, ses spécificités du point de
    vue de l’activité mathématique qu’elle engendre, et ses relations avec l’arithmétique.

    Gérard Vergnaud, Anibal Cortès et Pierre Favre-Artigue 79 ont montré que le
    passage entre arithmétique et algèbre dans le traitement des problèmes était
    difficile pour les élèves : ils spécifient une double rupture d’ordre épistémologique,
    l’importance de travailler dans la durée et de proposer des problèmes qui motivent
    ce passage. Si Carolyn Kieran80 note des continuités entre l’arithmétique et l’algèbre
    (portant notamment sur les problèmes et les symboles employés), elle pointe aussi
    des ruptures potentielles tant du point de vue de la construction de la rationalité
    mathématique attendue pour résoudre différents types de problèmes, que du point
    de vue de la fonction d’adaptabilité dans l’interprétation des notions (égalité, lettres,
    expressions) selon les usages visés.

    En effet, pour structurer l’enseignement de l’algèbre, au cours du cycle 4, on peut
    distinguer deux dimensions, outil et objet81 , non indépendantes et partiellement
    ­hiérarchisées, qui vont engendrer différents types d’activités mathématiques82 qui sont
     aussi précisés dans les programmes actuels et les documents d’accompagnement.

    Dans sa dimension outil, l’algèbre est mobilisée :
    — comme outil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique notamment
       pour résoudre des problèmes dits « de pattern » ou des programmes de calcul83,
       la lettre ayant le statut de variable ;



    78 — Contributions de Brigitte Grugeon-Allys, Julia Pilet et Sylvie Coppé.
    79 — Gérard Vergnaud, Anibal Cortès, Pierre Favre-Artigue,
    « Introduction de l’algèbre auprès de débutants faibles. Problèmes
    épistémologiques et didactiques », in Gérard Vergnaud, Guy Brousseau,
    Michel Hulin (dir.), Didactique et acquisition des connaissances
    scientifiques, Actes du colloque de Sèvres, p. 259-288, Éditions
    La pensée sauvage, Grenoble, 1987.
    80 — Carolyn Kieran, “Learning and Teaching Algebra at the middle
    School through College Levels: Building Meaning for Symbols
    and their Manipulation”, in Frank K. Lester (ed.), Second Handbook
    of Research on Mathematics Teaching and Learning, p. 707‑762,
    Greenwich, CT: Information Age Publishing, 2007.
    81 — Régine Douady, « Jeux de cadres et dialectique outil/objet »,
    Recherches en didactique des mathématiques, 7(2), p. 5-32, 1986.
    82 — Brigitte Grugeon-Allys, Julia Pilet, Françoise Chenevotot-
    Quentin, Élisabeth Delozanne, « Diagnostic et parcours différenciés
    d’enseignement en algèbre élémentaire », in Lalina Coulange,
    Jean‑Philippe Drouhard, Jean-Luc Dorier, Aline Robert (dir.),
    Enseignement de l’algèbre élémentaire : Bilan et perspectives,
    p. 137‑162, Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 2012.
    83 — Christophe Alves, Sylvie Coppé, Vincent Duval, Alexandra
    Goislard, Hélène Kuhman, Sylvie Martin Dametto, Sophie Roubin,
    Utilisation des programmes de calcul pour introduire l’algèbre
    au collège, Repères Irem, 92, p. 9-30, 2013.
85 — Problèmes algébriques

— comme outil de résolution via la modélisation pour résoudre sous forme
  d’équations des problèmes « arithmétiques » formulés en langue naturelle,
  la lettre ayant le statut d’inconnue et, au-delà, pour résoudre sous forme de
  relations fonctionnelles entre données et variables des problèmes intra ou extra
  mathématiques ;
— comme outil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel84.

Dans sa dimension objet, l’algèbre est un ensemble structuré d’objets – les expressions
algébriques, les formules, les équations, les inéquations – avec des propriétés
spécifiques, des représentations sémiotiques associées à différents registres85 et
des modes de traitement. Le registre des écritures algébriques est en articulation
avec d’autres registres sémiotiques (registre des écritures numériques, registre des
représentations graphiques, registre des figures géométriques, registre de la langue
naturelle). Le traitement formel des objets met en jeu leur double aspect syntaxique
et sémantique, ce qui donne une juste place aux aspects technique et théorique du
traitement algébrique. Sur ce dernier aspect, certaines recherches ont montré qu’il
était important de redonner une place centrale à la distributivité de la multiplication
sur l’addition comme élément de justification des calculs86 alors qu’elle est souvent
remplacée par des arguments de bon sens qui ne permettent pas un contrôle efficace
des calculs fondé sur l’équivalence des expressions et favorisent des erreurs
classiques et résistantes comme celle, bien connue, de concaténation « 3x + 5 = 8x »87.
Enfin, dans la détermination et le traitement des expressions algébriques, il est
nécessaire de distinguer l’aspect procédural (2x + 1 peut être vu comme un programme
de calcul qui multiplie par 2 et ensuite ajoute 1), mais également l’aspect structural
(comme l’expression algébrique qui désigne un nombre impair, somme du double d’un
entier et de 1)88.




84 — Yves Chevallard, « Le passage de l’arithmétique à l’algèbre
dans l’enseignement des mathématiques au collège, première partie.
L’évolution de la transposition didactique », Petit x, 5, p. 51‑94, 1985 ;
« Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement
des mathématiques au collège, deuxième partie. Perspectives
curriculaires : la notion de modélisation », Petit x, 19, p. 43‑75, 1989 ;
« Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement
des mathématiques au collège, troisième partie. Voies d’attaque
et problèmes didactiques », Petit x, 23, p. 5-38, 1990.
85 — Raymond Duval, « Quel cognitif retenir en didactique
des mathématiques ? », Recherches en didactique des mathématiques, vol
16(3), p. 349-382, Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 1995.
86 — Teresa Assude, Sylvie Coppé, André Pressiat, « Tendances
de l’enseignement de l’algèbre élémentaire au collège : atomisation
et réduction », in Lalina Coulange, Jean-Philippe Drouhard, Jean‑Luc Dorier,
Aline Robert (dir.), « Enseignement de l’algèbre élémentaire : bilan
et perspectives », p. 41-62, Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 2012.
87 — Lesley Booth, « Erreurs et incompréhensions en algèbre
élémentaire », Petit x, n° 5, p. 5-17, 1985 ; Dina Tirosh, Ruhama Even,
Naomi Robinson, “Simplifying Algebraic Expressions: Teacher
Awareness and Teaching Approaches”, Educational Studies
in Mathematics, 35, p. 51‐64, 1998.
88 — Anna Sfard, “On the Dual Nature of Mathematics Conceptions:
Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the same
Coin”, Educational Studies in Mathematics, 22, p. 1‐36, 1991.
    86 — Problèmes algébriques

    Les recherches actuelles89 tendent à proposer d’entrer dans la pensée algébrique
    plus tôt dans la scolarité (sans introduire les lettres) notamment avec des activités
    de généralisation ou un travail sur l’équivalence des expressions numériques et
    l’égalité vue comme une relation d’équivalence (courant de l’Early Algebra) 90.




Problème 1. Un pattern de jetons                                      91




    Énoncé

    Avec des jetons identiques, je construis
    des motifs 92 selon le modèle évolutif
    ci-contre.

    a. En expliquant votre règle, calculer le
    nombre de jetons des motifs aux rangs
    4, 5 puis 10.
    b. Calculer le nombre de jetons du motif
    au rang 100.
    c. Trouver un moyen de calculer le
    nombre de jetons du motif à n’importe
    quel rang.

    89 — Un ouvrage de référence reste la référence, N.D.L.R. Romulo Lins,
    Teresa Rojano, Alan Bell, Rosamund Sutherland, Approaches to Algebra,
    in Rosamund Sutherland, Teresa Rojano, Alan Bell, Romulo Lins (eds),
    Perspectives on School Algebra. Mathematics Education Library, vol 22,
    Springer, Dordrecht, 2001. Le développement des ordinateurs ne fut pas
    sans impact sur le développement de la pensée algébrique. Un nombre
    important de recherches sur les Computer Algebra Systems (CAS) ont été
    faites tant aux États-Unis (James T. Fey) qu’en Europe (Michèle Artigue
    en France). Ces travaux ont eu un grand impact à la fois sur ce que devait
    être l’enseignement de l’algèbre dans le secondaire que sa didactique.
    90 — Luis Radford, “Algebraic Thinking from a Cultural Semiotic
    Perspective”, Research in Mathematics Education, 12, p. 1‐19, 2010;
    “The Progressive Development of Early Embodied Algebraic Thinking”,
    Mathematics Education Research Group of Australasia, 26, p. 257‐277,
    2014; Carolyn Kieran, Teaching and Learning Algebraic Thinking with 5-
    to 12- Year-Olds: The Global Evolution of an Emerging Field of Research
    and Practice, Springer, New York, 2018. Notons aussi les travaux
    importants de David Carraher ou James Kaput (USA), Romulo Lins
    (Brazil), Toshiakira Fujii (Japan) ou Lesley Lee (Canada), N.D.L.R.
    91 — Voir les définitions du chapitre 4. Pattern : anglicisme signifiant
    « motif » (structure), « modèle à reproduire ». C’est une suite d’objets dont
    tous les éléments sont reliés les uns aux autres par une règle spécifique.
    92 — Motif de base (« core » en anglais) : chaîne d’éléments la plus courte
    qui se répète dans le pattern répétitif ou qui évolue dans le pattern évolutif.
87 — Problèmes algébriques


Mots-clés

Langage naturel, pattern, pensée algébrique, généralisation, structure.



Pourquoi ce problème ?

Dans ce problème, les élèves sont amenés à chercher, identifier une structure (ici
l’écriture générale d’un nombre impair) en repérant une régularité et en argumentant.

Ce genre de problème de généralisation introduit naturellement l’algèbre et invite
au recours à la lettre.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce genre de problèmes peut être proposé dès le cycle 3. Il peut se gérer sans le
recours à la lettre, en exprimant la régularité en langage naturel : « on ajoute deux
jetons à chaque rang ».

L’expression sous forme littérale de nombre de jetons au rang n conduit à l’expression
2n – 1 (et de manière équivalente 2n + 1) pour un nombre impair.



Stratégies d’enseignement

Tous les élèves ne parviendront pas à l’écriture littérale, cependant, ils sauront
verbaliser une règle en langage naturel (« on ajoute 2 à chaque étape »). Les élèves
devront argumenter pour convaincre leurs camarades de la cohérence de la règle
qu’ils proposent en lien avec les premières étapes du pattern.

Les premiers rangs peuvent être dessinés ou construits avec du matériel, les élèves
peuvent alors dénombrer les jetons. Le choix d’un rang éloigné pour lequel le matériel
ne serait pas suffisant pousse à la généralisation.

                                               L’utilisation de jetons de couleurs
                                               ­différentes permet de différencier
                                                l’invariant (le motif de base, en rouge
                                                sur la figure ci-contre) et les variables
                                                (les ajouts) et de mettre en valeur les
                                                aspects structuraux et procéduraux.




Figure 13. Aspect structural.
    88 — Problèmes algébriques

                                                   On pourra aussi poser les questions sui-
                                                   vantes : « Existe-t-il un rang où le motif
                                                   contient 258 jetons ? Et un rang où le motif
                                                   contient 321 jetons ? » Cette question fait
                                                   le lien entre généralisation et équations.



    Figure 14. Aspect procédural.



    TRANSFERT
    La réorganisation des jetons fait apparaître la suite des cardinaux des motifs
    successifs « 1 ; 3 ; 5 ; … ». Les nombres introduits correspondent à la liste des nombres
    impairs (positifs). La structure des motifs amène à la construction de l’expression
    algébrique.




Problème 2. Un calcul surprenant


    Énoncé

    Sans calculatrice
    a. Calculer 1 x 3 – 22.
    b. Calculer 2 x 4 – 32.
    c. Calculer 3 x 5 – 42.
    d. Conjecturer le résultat de 317 x 319 – 3182.
    e. Proposer une expression sur ce même modèle mettant en jeu trois autres nombres
    entiers.
    f. QCM : Le professeur généralise ces calculs en proposant l’expression
    (n – 1) (n + 1) – n2 mettant en jeu les trois nombres (n – 1), (n + 1) et n. Que représente n ?
    — le plus petit des nombres ?
    — le nombre du milieu ?
    — le plus grand des nombres ?
89 — Problèmes algébriques


Mots-clés

Développement, généralisation, traduction de propriétés générales, identifier la
structure d’une expression littérale, reconnaître des invariants, identités remar-
quables, produire une expression littérale.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème, qui prend appui sur le champ numérique, vise à préparer les élèves
aux exercices de démonstration d’une propriété générale qui seront proposés dans
la suite de la scolarité.

Il s’agit d’entraîner les élèves à identifier des structures, reconnaître des relations
entre les nombres, des invariants sur des expressions numériques et les nommer
avant de chercher à généraliser. Le travail qui porte sur la structure (régularité)
d’une expression est préparatoire au calcul littéral et à la compétence « modéliser ».
L’objectif de formation poursuivi ici se rapproche de celui développé dans le c
                                                                              ­ hapitre 4
sur les patterns.

Ce problème permet également d’initier les élèves à la production d’expressions
littérales en appréhendant le sens de ces expressions. Il est aussi une initiation à
énoncer des conjectures.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce type de problème peut être proposé assez tôt dans le cycle 4 (en 5e) puisqu’il
mobilise essentiellement des expressions numériques. Il vient en anticipation du cha-
pitre relatif au calcul littéral. En prolongement, dès la 4e, la démonstration du résultat
sera proposée. En 3e, il peut donner lieu à recourir aux identités remarquables.



Stratégies d’enseignement

La verbalisation est à encourager avant le passage à l’utilisation de la lettre.
Dans ­certains cas, comme dans ce problème, la difficulté à verbaliser permet de
motiver le recours à la lettre. Il est par exemple plus facile de dire n(n + 2) que de
dire « le ­produit d’un entier par l’entier consécutif de son consécutif ».

Laisser à l’élève l’initiative du choix de la variable conduit à différentes expressions
littérales qui seront l’objet des prolongements.
90 — Problèmes algébriques

                     DES RITUELS POUR ALLER JUSQU’À LA LETTRE

Les élèves doivent prendre l’habitude d’analyser la nature d’un calcul avant de
­l’effectuer. Pour cela, il convient de les entraîner très régulièrement, par des ques-
 tions flash tout au long du cycle, à cette reconnaissance de relations entre les
 nombres, de structures communes à plusieurs calculs93.

QUESTION 1
a. Comparer le résultat de 1 + 2 + 3 avec celui de 3 x 4.
                                                     2
b. Comparer le résultat de 1 + 2 + 3 + 4 avec celui de 4 x 5.
                                                          2
c. Comparer le résultat de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 avec celui de 5 x 6.
                                                              2
d. Conjecturer au moins trois autres égalités du même modèle.

QUESTION 2
a. Comparer le résultat de 1 + 2 + 22 avec celui de 23 – 1.
b. Comparer le résultat de 1 + 2 + 22 + 23 avec celui de 24 – 1.
c. Comparer le résultat de 1 + 2 + 22 + 23 + 24 avec celui de 25 – 1.
d. Conjecturer au moins trois autres égalités du même modèle.

QUESTION 3
a. Trouver l’intrus :
8x9      24 x 32      11 x 12   63 x 64     58 x 59
b. Proposer un autre exemple de calcul relevant de la même famille.
c. Observer l’image suivante. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B2
pour obtenir par recopie vers le bas le second facteur ?




93 — Voir https://pisa2022-maths.oecd.org/fr/, et les six concepts clés
qui structurent et soutiennent le raisonnement.
91 — Problèmes algébriques


Problème 3. Une course
cycliste

Énoncé

Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime totale de 320 €
sera répartie entre les trois premiers coureurs. Le premier touchera la prime or, le
second, la prime argent et le troisième la prime bronze. La prime or s’élève à 70 € de
plus que la prime argent et la prime bronze s’élève à 80 € de moins que la prime argent.
Déterminer la prime de chacun des trois premiers coureurs94.



Mots-clés

Rechercher la « brique unité », décomposer un problème en sous-problèmes, équa-
tions du type ax + b = c, modéliser, calculer.



Pourquoi ce problème ?

On propose ici d’illustrer comment la modélisation (ici le modèle en barres) permet
d’initier les élèves à la structure algébrique et de favoriser une représentation
mentale du sens du signe égal grâce aux égalités de longueur des barres.

Le problème permet de traduire des relations entre deux grandeurs et de travailler
le passage du langage naturel à des calculs (congruence entre grandeur prix et
grandeur longueur). Il s’agira de ne pas sous-estimer la difficulté que cela peut
représenter pour certains élèves.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Dès la 6e (voire CM2), ce problème peut être proposé même si plusieurs inconnues
sont en jeu, si on s’engage dans une démarche de modélisation.

Au cycle 4, il est le support pour introduire la lettre x pour la prime argent ou encore
pour la prime bronze.




94 — D’après un brevet blanc, collège Django Reinhardt, Toulon.
    92 — Problèmes algébriques


    Stratégies d’enseignement

    Le recours au modèle en barres suppose de rechercher une « brique unité ». Selon
    le choix de celle-ci (l’inconnue), les équations obtenues seront différentes. Il est
    intéressant de montrer aux élèves qu’on obtient la même solution au problème, quel
    que soit le choix de l’inconnue.



         « Brique unité » : prime argent            « Brique unité » : prime bronze


       Premier          argent          70       Premier    bronze       80       70
     Deuxième           argent                  Deuxième    bronze       80

     Troisième    bronze         80             Troisième   bronze



       argent     argent     argent     70                       320
                  320                  80        bronze bronze bronze         230
      (en ajoutant une brique de 80)


    Au cycle 4, le passage du registre de représentation graphique (modèle
    en barres) au registre des équations amène aux équations suivantes :


         Si x représente le prix argent :          Si x représente le prix bronze :
            (x + 70) + x + (x – 80) = 320           x + (x + 80) + (x + 150) = 320
                x + x + x + 70 = 400                        3x + 230 = 320




Problème 4. Dessine-moi
une expression algébrique


    Énoncé

    a. Représenter géométriquement l’expression a2 + 2(a + 1) où a désigne un nombre
    positif.
    b. Montrer que, quelle que soit la valeur du nombre a positif, les quatre expressions
    suivantes sont égales :
    a2 + 2(a + 1)            (a + 2)2 – 2(a + 1)     a(a + 2) + 2          a2 + 2a + 2
93 — Problèmes algébriques


Mots-clés

Développement, généralisation, identités remarquables, transformer une expression
littérale, aire de rectangles.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème convoque l’aspect structural d’une expression. Le choix est de travailler
le calcul littéral à partir de représentations géométriques. Cette approche favorise la
construction ou le réinvestissement des représentations mentales de la distributivité
et du produit. L’approche géométrique proposée ici présente l’avantage de réduire
les erreurs types a(a + 2) = a2 + 2.

Ce genre de problèmes, que l’on retrouve fréquemment dans les évaluations inter-
nationales, permet également de travailler le sens d’une identité.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Dès la 5e, ce problème permet aux élèves de se créer des représentations mentales
des opérations. La fréquentation régulière de ce type de représentation, éven­
tuellement en questions flash, contribue à la mémorisation de faits algébriques
(développements, factorisations), dans l’esprit de ce qui est fait à l’école dans le
champ numérique (nombres rectangles).

À partir de la 4e, il peut se traiter par calcul et donner l’occasion de mobiliser la dis-
tributivité (et les identités remarquables).



Stratégies d’enseignement

Pour la question a., en fonction du niveau de classe ou dans le cadre d’une diffé­
renciation, il est possible de proposer une figure à compléter, comme ci-dessous.




                                  a



                     a


            Figure 15. Figure donnée.                Figure 16. Exemple de figure attendue.
    94 — Problèmes algébriques

    Pour la question b., le sens de chaque expression littérale se construit à l’aide de
    représentations d’aires de rectangles (nombres rectangles, représentation de la
    multiplication). Il est intéressant de confier aux élèves la responsabilité de produire
    en autonomie certaines représentations.

    Des considérations géométriques permettent ensuite de prouver l’égalité entre
    toutes les expressions. Certains élèves auront du mal à se détacher de l’idée que
    les représentations sont réalisées pour une valeur particulière de a. Il importe donc
    d’expliciter que la valeur de a est arbitraire et que le raisonnement est valable quelle
    que soit la valeur positive de a (sens de l’identité).

    Ici, encore, le recours au matériel de manipulation reste pertinent, dans le cadre
    d’une différenciation ou pour la construction de représentations mentales.




                   a2 + 2(a + 1)                                (a + 2)2 – 2(a + 1)

                                   1                                                  1




               1                                            1

                   a(a + 2) + 2                                    a2 + 2a + 2




Problème 5. La devinette


    Énoncé

    Léa et Ali ont choisi un nombre (entier positif). Léa le multiplie par 5 et ajoute 35.
    Ali le multiplie par 2 et ajoute 146. Ils trouvent le même nombre à la fin.
    Quel nombre ont-ils choisi ?
95 — Problèmes algébriques


Mots-clés

Équations du premier degré, modéliser, calculer.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème permet de rentrer dans l’algèbre en proposant une situation qui ne
conduit pas à une équation du premier degré du type ax + b = d pour laquelle il est
possible de remonter les calculs par des opérations réciproques en utilisant l’arith-
métique. Les problèmes qui mènent à des équations du type ax + b = cx + d montrent
la nécessité d’avoir recours aux propriétés des égalités.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Faire vivre en parallèle la modélisation par les grandeurs et l’écriture algébrique qui
lui correspond (dans les deux sens) permet une meilleure appréhension du calcul
algébrique. Ici, le parallèle entre les manipulations sur le modèle en barres et leur
traduction algébrique donne du sens aux propriétés mobilisées à chaque étape de
la résolution.


  x      x         x       x    x         35            5x + 35 = 2x + 146

  x      x                     146                 5x + 35 – 2x = 2x + 146 – 2x




   x          x        x             35                3x + 35 = 111 + 35
             111                     35           3x + 35 – 35 = 111 + 35 – 35



   x          x        x                                     3x = 111
             111                                              x = 37
    96 — Problèmes algébriques

                  DES RITUELS POUR ALLER JUSQU’À LA DÉMONSTRATION


    QUESTION 1
    Je pense à un nombre, je lui ajoute 3. Je multiplie le tout par 2, puis je soustrais
    2 fois le nombre de départ.
    a. Faire quelques essais. Que constate-t-on ?
    b. Est-ce vrai pour n’importe quel nombre ? Si oui, le prouver.

    QUESTION 2 (mise en équation)
    a. Anton dit que le nombre 45 est la somme de 3 entiers consécutifs. Trouver ces
    nombres.
    b. Jean dit que 61 est aussi la somme de 3 entiers consécutifs. Trouver ces nombres.

    QUESTION 3 (équivalence de programmes de calcul)
    Voici 3 programmes de calcul.
    — Je pense à un nombre, j’ajoute 6. Je multiplie le tout par 5.
    — Je pense à un nombre, je le multiplie par 5. J’ajoute 30.
    — Je pense à un nombre, je le multiplie par 5. J’ajoute 6.
    a. Sans faire d’essais, indiquer si certains de ces trois programmes de calcul
    donnent en sortie un résultat identique.
    b. Faire quelques essais pour vérifier.
    c. Prouver sa conjecture.




Problème 6. Ranger les côtés


    Énoncé                                                   B
                                                                      2x + 5

                                                                                     C
                                                        x
    Le périmètre de ce quadrilatère est de
    117 cm.
    Ranger par ordre croissant les longueurs        A
    de ses côtés.
                                                                                   x + 15

                                                            4x + 7
    Mots-clés

    Ordre de grandeur, décimaux, ­résolution                                   D
    d’équations, domaine de validité, ­raisonner,
    modéliser, calculer.
97 — Problèmes algébriques


Pourquoi ce problème ?

Les élèves français ne sont pas à l’aise avec ce type de problèmes dans les éva­
luations internationales.

Le support visuel conduit à un hiatus didactique entre représenter et modéliser :
la figure n’est certainement pas à l’échelle et même incorrecte, ce qui peut troubler
l’élève qui voudrait reporter/mesurer « x » dans « x + 15 » ou « 2x + 5 » et déterminer
la valeur de « x ».

La notion de périmètre est ici réinvestie et pourrait conduire à déplier le bord pour
le ramener à une modélisation en barres95 :

                                              117

    x        x           x    5      x        15        x        x   x      x      7


                                              117

   x        x        x       x        x        x        x        x       27

Ce problème offre la possibilité de raisonner sur les longueurs (les mesures des
longueurs) sans calculer au préalable la valeur de x. En effet, le travail de l’élève
peut être engagé facilement – suite à la première observation que x représente un
nombre positif ; la longueur [AB] est donc la plus petite.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce genre d’énoncé peut être proposé dès la 5e et même en 6e (sur des triangles) en
adaptant les variables, par exemple : « La longueur de [BC] est le double de la longueur
de [AB], celle de [CA] vaut la longueur de [AB] augmentée de 5 cm. »



Stratégies d’enseignement

On peut faire vivre ce genre de problèmes tout le long du cycle 4 en jouant sur le
nombre de côtés et la complexité des expressions algébriques utilisées.

En fonction des choix, on pourra montrer qu’il est moins coûteux, dans certains cas,
de recourir à l’algèbre.



95 — L’utilisation de réglettes © Cuisenaire est appropriée
pour montrer par la manipulation que l’on obtient l’expression
algébrique du périmètre : 8x + 27.
98 — Problèmes algébriques


                      Notions et
      Stratégies                                  Pertinence et commentaires
                    outils mobilisés
                    Calculs               Démarche expérimentale qui permet
                    numériques            de conjecturer le domaine de validité de x.
                                          On peut mettre en évidence, par exemple,
Procédure
                    Recours               que x doit être supérieur à 10.
essais/
                    au tableur            Le recours au tableur conduit à un travail
ajustements
                                          sur l’aspect procédural des expressions
                    Comparaison           algébriques. Il permet d’affiner
                    de nombres            l’encadrement de la valeur de x.
                   Mise
                   en équation
                   et résolution          Le recours à cette stratégie conduit
                   d’une équation         à un calcul algébrique qui nécessite
Le calcul littéral du type                une bonne compréhension de la notion
(expression        ax + b = c             de périmètre.
algébrique                                Point de vigilance : l’obtention de la valeur
du périmètre)                             de x n’est qu’une étape dans la résolution
                   Substitution
                                          du problème, ce qui peut représenter
                                          un obstacle pour certains élèves.
                    Comparaison
                    de nombres
                                          On travaille ici l’aspect structural de chaque
                    Comparaisons          expression et la nature du nombre x.
                    raisonnées
                                          Certaines comparaisons sont aisées :
Raisonnement                              x < x + 15
à partir des        Transitivité
expressions         de la relation        La comparaison de 4x + 7 avec 2x + 5 conduit
algébriques         d’ordre               à mettre en avant la décomposition :
en jeu                                    4x + 7 = (2x + 5) + (2x + 2)
                    Calcul                Les décompositions 2x + 5 = x + x + 5
                    numérique             et x + 15 = x + 10 + 5 permettent de comparer
                                          ces longueurs dès que x > 10.




Variante96

Dans l’énoncé qui suit, l’évocation du périmètre – grandeur géométrique travaillée
dans différentes situations – et son utilisation ramènent le problème à une expression
de degré 1 en fonction de la variable a.

              2a              a+2              a. Calculer le périmètre de ce dessin
                        1,5                    (un poisson) pour les valeurs de a sui-
                                               vantes, l’unité choisie étant le centimètre.
   a                                 3
                                                                 1        1
                                         a+1   a = 2 a = 3 a = 2 a = 10 a = 8 a = 10
1,5
                                               b. Trouver une méthode qui permet d’aller
                                               le plus vite possible pour faire tous ces
         2a                   3a
                                               calculs.

96 — http://pegame.ens-lyon.fr/activite.php?rubrique=1&id_
theme=54&code_niveau=N07&id_activite=19 ; http://pegame.ens-lyon.fr/
    99 — Problèmes algébriques


Problème 7. Les nombres
manquants


    Énoncé                                                     +2
                                                                                    x3


    Trouver les nombres qui manquent97 dans les bulles.



    Mots-clés                                                 x7
                                                                                  – 9


    Équation, priorités opératoires, choix de l’inconnue,
    ­égalité, développement.



    Pourquoi ce problème ?

    Même si l’énoncé est simple en apparence, il porte un implicite fort (il faut retrouver
    le même nombre après un cycle complet). D’autre part, une procédure par essais/
    ajustements s’avère peu efficace, car le nombre recherché est un décimal et il n’y a
    pas de stratégie de réajustement claire pour les élèves.

    Ce problème motive donc l’introduction de l’inconnue sous forme littérale, car le
    suivi des opérations est trop complexe. En fonction du choix effectué pour la bulle
    de départ, les priorités opératoires nécessitent le recours à plus ou moins de
    parenthèses.




    97 — D’après Repère Irem (Guichard).
100 — Problèmes algébriques

Il offre l’occasion de questionner le sens et la symétrie du signe égal et de conduire
du calcul littéral. Il permet de travailler l’aspect procédural98 d’une expression
puisqu’il s’agit de produire une expression qui traduit l’enchaînement des opérations.

Plusieurs choix sont possibles pour l’inconnue de départ, ce qui conduit à différentes
mises en équation, mais menant à la même solution ; ce point est important en réso-
lution de problèmes où des modélisations (ici des mises en équations) différentes
peuvent être menées, mais qui aboutissent en général aux mêmes conclusions99.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème peut être proposé en 4e. Il permet de réinvestir plusieurs notions :
la mise en équation, le respect des priorités opératoires, le développement, le calcul
avec des fractions, etc.

Le nombre de bulles est une variable didactique sur laquelle il est possible d’agir pour
proposer ce problème de la 5e à la 3e (certains d’entre eux n’auront pas de solution).



Stratégies d’enseignement

On peut commencer par faire exécuter l’algorithme par les élèves avec des nombres
bien choisis afin qu’ils comprennent la nature du problème. En effet, imaginer
qu’après avoir effectué les quatre opérations successives, on retrouve le nombre
du départ n’est pas naturel pour eux, puisque c’est un implicite du codage utilisé.
Cela permet de travailler le sens du signe égal et fait un pont avec l’algorithmique
et les programmes de calcul.

Substituer une lettre au nombre de départ est une démarche complexe en résolution
de problèmes et se construit dans la durée, et surtout par nécessité à travers des
problèmes idoines.




98 — Une même expression peut être considérée de deux points de vue :
– soit elle exprime un programme de calcul : elle indique une suite
d’opérations qu’il faut effectuer afin d’obtenir le nombre que renvoie
le programme de calcul quand on donne des valeurs numériques
aux lettres qui y figurent ; on évoque alors le caractère « procédural »
de l’expression ;
– soit elle est considérée comme un objet dont on peut décrire la forme
et avec lequel on va pouvoir faire de nouveaux calculs (réduction,
factorisation, développement, substitution dans une autre
expression, etc.) ; on évoque alors le caractère « structural »
de l’expression.
99 — Pour les problèmes plus complexes, des modélisations différentes
peuvent aboutirent à des solutions différentes.
    101 — Problèmes algébriques

    Le matériel mis à disposition des élèves constitue une variable didactique : on pourra,
    par exemple, prévoir des reproductions du schéma de l’énoncé de manière à
    permettre aux élèves d’écrire dans les bulles les résultats intermédiaires qu’ils
    pourront réduire à chaque étape de manière à obtenir une équation plus simple qui
    ne mobilise pas de parenthèses imbriquées.

    En fonction des opérateurs proposés, on pourra jouer sur la nature des nombres :
    en remplaçant la multiplication par 7 par une multiplication par 6, on obtient des
    solutions rationnelles non décimales.

    On pourra aussi imaginer des prolongements de ce problème en proposant de faire
    deux fois (ou plus) le cycle avant de retrouver le même nombre de départ.




Didactique. Les variables
en algèbre

    La notion de variable en algèbre est proche de la notion de variable déclarée en
    programmation qui revient à réserver un « espace » dans la mémoire de l’ordinateur
    en lui donnant un nom et en lui affectant des valeurs qui peuvent évoluer au cours
    du programme. Le modèle en barres est un exemple concret permettant une
    représentation mentale de ce concept, avec l’utilisation de briques qui, comme les
    variables, peuvent porter une étiquette et contenir une donnée.

    Les logiciels de géométrie dynamique sont des outils pour créer des représentations
    mentales de la lettre qui dépassent le statut d’inconnue (par exemple, faire varier
    une aire en fonction d’une longueur).

    L’utilisation d’un tableur est une autre occasion de donner du sens à la notion de
    variable parce que dans l’édition d’une formule, ce sont les adresses des cellules
    qui sont prises en compte et non leurs contenus du moment.

    Le travail de pré-algèbre, qui peut être mené grâce à l’utilisation de matériel adapté
    (cubes emboîtables, réglettes © Cuisenaire) ou la modélisation en barres, assure
    dès le primaire une rencontre précoce avec le concept de l’objet (l’unité, la lettre)
    comme variable et comme inconnue. Cette démarche permet de développer la
    pensée algébrique attendue à partir du cycle 4 où la notion de variable est travaillée
    à travers les fonctions.
    102 — Problèmes algébriques


Didactique. Du matériel
de manipulation pour introduire
la lettre

    L’introduction du matériel de manipulation (réglettes © Cuisenaire, cubes emboî-
    tables, etc.) favorise la verbalisation entre élèves et conduit à l’introduction de la pré-­
    algèbre100 via la modélisation. Les allers-retours entre l’énoncé, l’usage du matériel
    et le modèle permettent de vérifier la pertinence des stratégies mises en œuvre par
    les élèves tout en développant leur autonomie.




    Figures 17 et 18. Exemples de matériel de manipulation : cubes emboîtables et réglettes © Cuisenaire.



    L’introduction de la pré-algèbre permet de construire des représentations mentales
    associées aux écritures algébriques et d’éviter les erreurs du type « x + 3 = 3x »
    ou encore « x + x = x2 », les représentations, à l’aide du matériel, de x + 3 et de 3x
    ou de x + x et x2 se distinguant nettement :




    100 — Pré-algèbre : ce terme désigne une étape intermédiaire (ou une
    écriture symbolique) entre l’arithmétique et l’algèbre (opérations
    à trous, exemples génériques, « 3 stylos + 2 cahiers = 8,5 euros »).
      104 — Problèmes algébriques


En résumé

 	Les problèmes de ce chapitre invitent à travailler la pré-
   algèbre. Le modèle en barres est un outil efficace pour
   appréhender la notion de variable, le sens du signe égal,
   la technique opératoire et les propriétés des égalités.
   Il permet de travailler sur des équations (ou des systèmes
   d’équations) et de les résoudre sans les formaliser.

 	Pour faciliter la compréhension des expressions littérales,
   les élèves sont entraînés à identifier des structures,
   à repérer des invariants.


 	Les élèves travaillent également les changements
    de registre, en appréhendant des expressions littérales
    à l’aide des nombres rectangles, se construisant ainsi
    des représentations mentales géométriques.

 	Un enjeu de formation essentiel est de mettre en avant
   la force du calcul littéral pour la généralisation et pour
   la modélisation d’un problème, justifiant ainsi l’introduction
   de la lettre (variable ou inconnue).
                  IV
Patterns.
Des problèmes
pour travailler
les pensées
algorithmique
et algébrique
        106 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

En France, les patterns sont surtout synonymes de jeux
de logique et ils sont peu présents dans les programmes,
bien qu’apparaissant à l’école primaire sous le vocable
« suites organisées ». La mise en œuvre des problèmes
de ce chapitre illustre la manière dont les patterns
développent les pensées algorithmique et algébrique.
La stratégie de résolution de problèmes, fondée sur
l’observation, le questionnement ou l’expérimentation,
consiste à chercher des invariants, des régularités,
des relations entre les motifs. Une fois la structure
du pattern comprise, il faut expliquer, décrire la règle
en langage naturel ou mathématique. Ces problèmes
favorisent le développement des compétences « chercher »,
« représenter » et « raisonner » autour de problèmes
atypiques, dans la continuité du cycle 3.




Entrée historique                                     101




        Dans les classes de cycle 1, les élèves organisent des suites d’objets en fonction
        de critères102 . Au collège, on trouve quelques activités d’introduction de la lettre
        en algèbre utilisant des patterns figuratifs, comme les situations du carré bordé
        ou des triangles en allumettes pour faire produire des formules.

        Les patterns sont pourtant classiques dans de nombreux curriculums étrangers
        depuis que le National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), association d’en-
        seignants de mathématiques en Amérique du Nord, a proposé, en 2000, d’intégrer
        un nouveau domaine de contenu, Patterns, Functions and Algebra, valable de la
        maternelle à la 12e année.

        Plusieurs pays ont intégré dans leurs curriculums dès les premières années
        de l’école primaire l’utilisation des patterns pour développer la pensée algébrique :
        les États-Unis, les provinces anglophones du Canada, l’Australie, le Brésil, etc.


        101 — Contribution de Sophie Roubin.
        102 — Extrait des programmes de 2015 de l’école maternelle à propos
        des formes, grandeurs et suites organisées : « dès la petite section, les
        enfants sont invités à organiser des suites d’objets en fonction de critères
        de formes et de couleurs ; les premiers algorithmes qui leur sont proposés
        sont constitués d’alternances simples. Dans les années suivantes,
        progressivement, ils sont amenés à reconnaître un rythme dans une suite
        organisée et à continuer cette suite, à inventer des “rythmes” de plus en
        plus compliqués, à compléter des manques dans une suite organisée ».
    107 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

    Depuis 2013, il existe un Observatoire international de la pensée algébrique103 qui
    rassemble des chercheurs intéressés par son développement dès l’école primaire104 .




Algorithmes et motifs/
patterns dans des pratiques
ethnomathématiques                                              105




    L’ethnomathématique désigne aujourd’hui un champ de recherche consacré à l’étude
    des pratiques et des savoirs mathématiques impliqués dans diverses activités, menées
    en dehors des institutions académiques ou scolaires, dans des sociétés non occiden-
    tales notamment. Il s’agit donc d’élargir notre point de vue sur les mathématiques en
    y incluant l’ensemble des activités pour lesquelles on peut mettre en évidence une
    dimension mathématique. Dans ce cadre, certains ethnomathématiciens étudient les
    aspects mathématiques d’activités techniques (ou artistiques) pratiquées dans des
    sociétés autochtones où prédomine souvent l’oralité. À titre d’exemple, les pratiques
    d’entrelacement de fils (vannerie, tressage de nattes ou de paniers, jeu de ficelle, par
    exemple) ou de tracés de ligne continue contrainte par une grille composée de lignes
    ou de points (sona des Chokwe de l’Angola, dessin sur le sable de Vanuatu dans le
    Pacifique sud, kōlam du Tamil Nadu en Inde, par exemple) peuvent être appréhendées
    comme de véritables activités à caractère algorithmique et géométrique.

                                                             Ces diverses activités impliquent la
                                                             mise en œuvre d’opérations spatiales,
                                                             organisées en séquences ordonnées
                                                             assimilables à des algorithmes.
                                                             Ces derniers sont dits « géométriques »
                                                             dans le sens où leur exécution a pour
                                                             finalité la réalisation d’une « figure »
    © Éric Vandendriessche
                                                             composée de différents motifs de base.


    103 — https://www.oipa.education/pour-en-savoir-voir-plus
    104 — Hassane Squalli, Izabella Oliveira, Alain Bronner, Mirène Larguier,
    Le Développement de la pensée algébrique à l’école primaire et au début
    du secondaire. Recherches et perspectives curriculaires, Québec,
    2020. Livres en ligne du Centre de recherche et d’intervention sur
    la réussite scolaire (Crires) : https://lel.crires.ulaval.ca/sites/lel/files/
    le_developpement_de_la_pensee_algebrique_a_lecole_primaire_
    et_au_debut_du_secondaire.pdf ; Le Développement de la pensée
    algébrique avant l’introduction du langage algébrique conventionnel,
    vol. 1, sous la direction de Hassane Squalli et Alain Bronner. Volume 20,
    numéro 3, 2017 : https://www.erudit.org/fr/revues/ncre/2017-v20-
    n3-ncre04255/
    105 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
    Tournès, Éric Vandendriessche.
108 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

                                             Ces algorithmes géométriques, sous-tendus
                                             par quelques règles opératoires, ont été les
                                             outils de travail qui ont permis aux praticiens
                                             (dessinateurs, vanniers, tisserands, etc.)
                                             de mener des investigations dans des
                                             configurations spatiales parfois d’une grande
                                             complexité.
© Éric Vandendriessche
                                         Ces investigations impliquent par ailleurs
l’usage de certains concepts mathématiques : les « transformations » de procédures
ou de figures finales, les « itérations » de séquences d’opérations ou de motifs, ainsi
que les « symétries » de figures, sont des concepts omniprésents dans ces diverses
pratiques (ethno)mathématiques.



                                             Exemples

                                             1. Dessin sur le sable dénommé nimbingge
                                             (une variété d’igname – voir l’image ci-contre)
                                             de l’île de Malekula (Vanuatu, Pacifique sud)
                                             analysé par la mathématicienne américaine
                                             Marcia Ascher (1935-2013) comme le résultat
                                             de l’itération d’un même motif106 .
© Éric Vandendriessche




a.                                                    b.




 c.                                                  d.
© Alban Da Silva.


106 — Marcia Ascher, Mathématiques d’ailleurs. Nombres, formes
et jeux dans les sociétés traditionnelles, 1998, traduction de l’anglais
(États-Unis) et postface de Karine Chemla et Serge Pahaut (traduit
et publié avec le concours du Centre national des lettres), p. 281,
Le Seuil, Paris, 1998 (éd. orig. : Ethnomathematics, A Multicultural
View of Mathematical Ideas. Pacific Grove, California, Brooks
and Cole Publishing Compagny).
109 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

2. La pratique communément appelée « jeu de ficelle » consiste à exécuter, avec les
doigts, une succession de « gestes simples » assimilables à des « opérations
élémentaires » (voir les images ci-dessous), engendrant l’obtention d’une figure à
partir d’une boucle de fil. Tout jeu de ficelle peut ainsi être analysé comme une
procédure (ou algorithme) composée d’une succession ordonnée d’opérations
élémentaires.




© Éric Vandendriessche


Le concept de « transformation » est omniprésent dans la pratique du jeu de ficelle.
Ci-dessous, transformation de la figure « salibu » (miroir) des îles Trobriand
(­Papouasie-Nouvelle-Guinée) en une figure à quatre « losanges » 107.




© Éric Vandendriessche




107 — https://www.ethnographiques.org/IMG/html/pw16-mwaya-
tomdawaya.html
    110 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Point sur la recherche                                        108




    Traditionnellement, l’algèbre n’est pas enseignée avant le niveau secondaire (cycle 4
    en France). Cependant, dans les années 1990, l’idée de développer la pensée
    algébrique109 dès l’école primaire émerge et donne lieu au courant de recherche
    étiqueté Early Algebra110 ou pré-algèbre. Cette perspective amène à définir la pensée
    algébrique autrement que par le recours au symbolisme algébrique. La pensée
    algébrique, selon Luis Radford111 , est caractérisée par :
    — l’indéterminée, c’est-à-dire que le problème met en jeu des quantités ou nombres
        non connus ;
    — la dénotation, qui consiste à désigner cette indéterminée de différentes manières
        possibles (langage naturel, geste, etc.) ;
    — l’analyticité, qui suppose de pouvoir traiter les quantités indéterminées comme
        si elles étaient connues.

    Les activités de généralisation basées sur des patterns, qui visent à faire identifier
    et exprimer des régularités, sont particulièrement adaptées au développement
    de la pensée algébrique. Comme le précisent Joëlle Vlassis, Isabelle Demonty et
    Hassane Squalli112 , « ces activités répondent aux critères d’une pensée algébrique
    dans la mesure où leur objectif consiste à formuler un moyen général au départ
    d’une indéterminée, en l’occurrence d’une variable. Ces activités invitent à exprimer
    les généralités produites et leurs justifications dans un langage tout d’abord non
    conventionnel et qui tend à devenir de plus en plus conventionnel au fil des nécessités
    de l’activité » (p. 135). Cette expression de généralité permet d’anticiper, de prédire
    ce qui se passe pour chaque élément, quel que soit son rang dans le pattern,
    même éloigné et non atteignable directement. C’est précisément cette anticipation
    qui différencie le mode de pensée algébrique du mode de pensée algorithmique.
    Cette dernière, aussi appelée pensée informatique ou computationnelle, est définie
    par Margarida Romero (2016) 113 comme « un ensemble de stratégies de pensée
    cognitive et métacognitive liées à la modélisation de connaissances et de processus,
    à l’abstraction, à l’algorithmique et à l’identification, la décomposition et l’organisation
    de structures complexes et de suites logiques ». La première étape dans la résolution


    108 — Contribution de Jana Trgalova.
    109 — Volume 22, numéro 1, 2020, Le Développement de la pensée
    algébrique avant l’introduction du langage algébrique conventionnel,
    vol. 2, sous la direction de Hassane Squalli et Alain Bronner : https://
    www.erudit.org/fr/revues/ncre/2020-v22-n1-ncre05349/
    110 — Carolyn Kieran, JeongSuk Pang, Deborah Schifter, Swee Fong
    Ng, Early Algebra. Research into its Nature, its Learning, its Teaching,
    ICME‑13, Topical Surveys, Springer, 2016.
    111 — Luis Radford, “The Progressive Development of Early Embodied
    Algebraic Thinking”, Mathematics Education Research Journal, 26,
    p. 257-277, 2014.
    112 — Joëlle Vlassis , Isabelle Demonty, Hassane Squalli, « Développer
    la pensée algébrique à travers une activité de généralisation basée sur
    des motifs (patterns) figuratifs », Nouveaux Cahiers de la recherche en
    éducation, 20(3), p. 131-155, 2017.
    113 — https://margaridaromero.me/2016/05/05/la-pensee-
    informatique/
    111 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

    d’un problème basé sur un pattern consiste à identifier et à décrire la structure
    du pattern de manière à pouvoir le prolonger au-delà des éléments présents dans
    l’énoncé. Le mode de pensée algorithmique est ainsi mis en jeu.




Mathématiques. Définition
d’un pattern

    Le pattern est un anglicisme signifiant « motif », « règle de structure », « modèle à
    reproduire ». C’est une suite d’objets appelés éléments, reliés les uns aux autres
    par une règle spécifique. Il existe deux types de patterns utilisés en résolution de
    problèmes :
    — les patterns répétitifs (repeating patterns) ;
    — les patterns évolutifs (increasing/growing patterns) en passant d’un rang
        à un autre.

    Le motif de base (« core » en anglais) correspond à la chaîne d’éléments la plus courte
    qui se répète dans le pattern répétitif ou qui évolue dans le pattern évolutif.



    Exemple

    Sur le pattern suivant, si on regarde les figures (triangles et carrés) sur les cubes,
    sans prendre en compte leur couleur, on reconnaît un pattern répétitif dont le motif
    de base est :

    Si, en revanche, on regarde la couleur des cubes, sans prendre en compte les figures,
    on reconnaît un pattern évolutif dont le motif de base est le même, mais qui évolue
    au niveau du nombre de cubes roses.
                                                        Éléments du pattern


     Motif de base




    Figure 19. Pattern répétitif et pattern évolutif.
112 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Focus | Une séquence
d’enseignement autour
d’un pattern


Énoncé

Avec des petits carrés tous identiques, on construit un pattern selon le modèle évo-
lutif ci-dessous :




          Rang 1                    Rang 2                            Rang 3


a. Dessiner l’élément du rang suivant et expliquer la règle.
b. Déterminer le nombre de petits carrés des éléments du rang 5, du rang 10,
du rang 17.
c. Déterminer le nombre de petits carrés de l’élément du rang 100.
d. Trouver un moyen de calculer rapidement le nombre de petits carrés d’un ­élément
à n’importe quel rang.
e. Existe-t-il un élément qui contient 532 petits carrés ? Un élément qui contient
813 petits carrés ?



Mots-clés

Patterns figuratif et évolutif, chercher, exprimer une règle, relation de récurrence,
généraliser, raisonner, pensée algébrique.
113 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Pourquoi ce problème ?

Les élèves sont amenés à étudier les liens constitutifs entre les étapes d’un pattern
figuratif (c’est-à-dire représenté par une figure) pour d’une part comprendre
et décrire la structure (ce qui contribue au développement de la pensée
algorithmique) et d’autre part arriver à prédire, à généraliser le motif à une étape
éloignée (ce qui développe le mode de pensée algébrique) ; le passage du langage
naturel au langage mathématique pour « décrire, comprendre et prévoir cette
évolution du phénomène » contribue ainsi à la compétence « modéliser ».

Dans ce focus sont développées toutes les phases du questionnement usuel dans
ce type de problèmes :
— dessiner le rang suivant et chercher une relation, comprendre la construction
    du motif (seul ou en groupe) et la verbaliser (en classe) ;
— faire calculer le nombre d’éléments en étape proche ;
— calculer le nombre d’éléments en étape lointaine (rang 100) ;
— trouver un moyen de calculer les éléments constitutifs du pattern à n’importe
    quel rang.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème peut être donné dans toutes les classes du collège et dès le cycle 3.
Selon l’âge des élèves et en tenant compte de leurs difficultés, l’attendu se
­formalise ; il s’agit de passer de l’expression en langage naturel, en début de cycle 3,
 à ­l’expression littérale en fin de cycle 4.



Stratégies d’enseignement

Lors des premières rencontres, il importe de définir et d’institutionnaliser le voca-
bulaire : patterns répétitifs et patterns évolutifs.

Les élèves sont encouragés à étudier la structure du pattern et à exprimer la règle
qui permet de les construire. Il importe de ménager des temps de mise en commun
où les élèves seront amenés à verbaliser leurs stratégies.

ÉTAPE 1. DESSINER L’ÉLÉMENT SUIVANT ET EXPLIQUER LA RÈGLE
DE CONSTRUCTION
Cette première phase de questionnement engage l’élève dans l’action. Il s’agit pour
l’enseignant de vérifier que les élèves se sont bien représenté le problème et ont
compris la construction du pattern. Une description de la construction de l’élément
de rang 4 est attendue, elle peut être donnée sous forme d’indices sur le dessin,
de phrases utilisant des termes spatiaux (en haut, en bas, etc.).
114 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

Selon le niveau des élèves, l’enseignant choisira de simplement circuler – pour véri-
fier la bonne compréhension du problème – ou de faire une rapide mise en commun,
mais en restant vigilant, à ce stade, à ne pas exprimer ou faire exprimer la relation
en fonction du rang (ici une relation de récurrence).




Figure 20. Production d’élève.



ÉTAPE 2. FAIRE CALCULER LE NOMBRE D’ÉLÉMENTS EN ÉTAPE PROCHE
Les éléments étudiés sont de rangs proches, ce qui laisse la possibilité aux élèves
de dessiner et de dénombrer sur le dessin. L’augmentation du rang a pour but
d’amener les élèves vers une procédure de calcul. Si ce n’est pas le cas, les mises
en commun et les partages de procédures devraient encourager les élèves à faire
des calculs.

Imaginer reconnaître une situation de proportionnalité est une erreur fréquente à
cette étape.




Figure 21 et 22. Productions d’un élève. L’élève réussit l’étape 4 et l’étape 10,
mais pour l’étape 17, il utilise la linéarité.



Pour aider à la résolution, l’utilisation d’un tableau pour organiser les données
permet de passer du registre figuratif au registre numérique. Avoir recours à
cette représentation ordonnée est une stratégie de résolution à favoriser chez les
élèves, facilitant l’observation des régularités.

 Rang de l’élément                              1                2                  3        4    …

 Nombre de petits carrés                        5                9              13           17
                                                       +4              +4               +4
115 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

ÉTAPE 3. CALCULER LE NOMBRE D’ÉLÉMENTS EN ÉTAPE LOINTAINE (RANG 100)
L’augmentation du rang est telle qu’il n’est plus possible de dessiner. Le nombre 100
est également choisi en lien avec le nombre 10 pour invalider l’hypothèse de
proportionnalité ; c’est souvent à cette étape que les élèves sont tentés par une
procédure linéaire, comme l’élève ci-dessous qui n’avait pourtant pas utilisé la
proportionnalité jusqu’alors.



Figure 23. Production d’un élève qui utilise une procédure linéaire.



L’utilisation du tableur est une stratégie de résolution efficace dans les problèmes
utilisant les patterns. Manipulé souvent par l’enseignant au cycle 3 et début de
cycle 4 (pour accompagner la découverte de son fonctionnement avec lignes,
colonnes, cellules et formules simples), il est attendu en cycle 4 une aisance
suffisante pour motiver les élèves dans la recherche d’une formule.

En étirant la formule, il est possible de trouver le nombre de petits carrés au rang
souhaité, sans avoir recours à une expression littérale ou l’utilisation du code
(Scratch par exemple).

Pour des rangs plus éloignés, une formule pourra être insérée dans une autre
colonne pour permettre la comparaison avec les nombres obtenus dans la colonne B.




ÉTAPE 4. TROUVER UN MOYEN DE CALCULER LES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS
DU PATTERN À N’IMPORTE QUEL RANG

Il s’agit dans cette phase de généralisation d’être capable de s’éloigner de la relation
de récurrence afin de trouver une relation directe (« closed formula ») qui permettra
d’obtenir le nombre de petits carrés au rang n sans utiliser de rang intermédiaire.
C’est une phase d’abstraction qui incite à utiliser la lettre n comme variable.

L’enseignant demandera aux élèves d’expliciter leur procédure. Au cycle 3, la géné-
ralisation du processus peut s’exprimer en langue naturelle, puis à partir du cycle 4,
l’introduction d’expressions algébriques par les élèves et le questionnement de leur
équivalence par le professeur, sont des attendus.




Figures 24 et 25. Traces écrites d’élèves de fin de cycle 3 (6e).
    116 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Problème 1. Des énoncés
pour des rituels


    Énoncés

    Rituel 1. Voici le début d’un pattern.
    Dessiner les trois éléments suivants en expliquant la règle utilisée.




    Rituel 2. Voici le début d’un pattern.
    Inventer d’autres patterns qui suivent la même règle.




    Rituel 3. Avec des petits carrés tous identiques, je construis des motifs selon le modèle
    évolutif ci-dessous.
    En expliquant, calculer le nombre de petits carrés nécessaires pour construire
    le 10e motif.




    Rituel 4. Voici une liste de nombres.
    Si l’on poursuit la liste avec la même règle, les nombres 62 et 693 sont-ils des élé-
    ments de cette liste ?


       2         5        8        11        14       17        …
117 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

Rituel 5. Voici un pattern.
Quelle est la couleur du 23e cube ?




Mots-clés

Patterns figuratif et évolutif, chercher, exprimer une règle, relation de récurrence,
raisonner, pensée algébrique, pensée algorithmique, créativité.



Pourquoi ce problème ?

Ces rituels permettent d’exposer régulièrement les élèves à différents types de
patterns et de régularités et aux professeurs de travailler certaines phases du
questionnement indiquées dans le focus.

Il s’agit de chercher, dans les premiers rituels, différentes régularités permettant
de générer les éléments suivants d’un pattern et d’apprendre à les verbaliser.
Cette tâche encourage les élèves à être créatifs lorsqu’ils décrivent les règles
possibles, à développer leurs pensées algorithmique (reconnaissance de la structure)
et algébrique (anticipation, généralisation).

Dans un second temps, les rituels s’enrichissent des étapes permettant de calculer ou
de déterminer les éléments en étapes proche ou lointaine, puis à n’importe quel rang.



Stratégies d’enseignement

Ce type de problèmes peut être vu comme un défi mathématique. Le matériel de
manipulation peut aider à la compréhension de la structure, à faire des essais, à
vérifier une anticipation.
118 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

Ces énoncés sont à utiliser en rituels espacés114 , mettant en jeu patterns évolutifs,
répétitifs, sous forme figurative ou de nombres115 . Il est conseillé d’être attentif à
alterner les types de patterns lors de l’utilisation dans les classes, pour varier les
régularités et éviter que les élèves utilisent toujours la même stratégie. Cependant, un
même pattern peut être aussi décliné de façon progressive et constituer le fil rouge
dans la programmation des rituels sur une période donnée (une question par séance).

L’objectif du premier rituel est de développer la pensée algorithmique. Les élèves
doivent comprendre la structure du pattern, c’est-à-dire expliquer une règle qui décrit
comment le pattern évolue, et la verbaliser ; expliciter les régularités possibles pour
des problèmes de généralisation développe l’oralité et l’argumentation. Cette tâche
les encourage à être créatifs en décrivant les règles possibles, et développe leurs
pensées algorithmiques (reconnaissance de la structure).




Figure 26. Pattern répétitif.                         Figure 27. Pattern évolutif.



Le changement de registre est travaillé à travers le rituel 2. Le professeur pourra
expliciter ce qui est attendu lorsque l’élève est confronté à ce genre de problèmes
pour la première fois. Ici, tout pattern répétitif a un motif de base formé de quatre
éléments. Les trois premiers sont différents et le quatrième est le même que le
deuxième ; par exemple 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1 ou               . L’élève pourra
choisir une suite de nombres, des notes de musique, des pas de danse, etc., avec la
possibilité d’y ajouter un challenge type « battle » pour motiver la classe et la créativité.

Le rituel 3 aborde la pensée algébrique et entraîne les élèves à visualiser la
structure d’un nombre carré parfait en lui associant la disposition géométrique
correspondante. La confrontation de différents patterns, comme ci-dessous, permet
d’expliquer des égalités algébriques116.

                                       +5
                      +3                          Pour passer de l’étape n à l’étape n + 1,
                                                  on ajoute 2n + 1 carrés.

Étape 1        Étape 2          Étape 3
                                 3x3

                  2x2

                                                  L’étape n contient n2 carrés.


               Étape 2          Étape 3
114 — La « mise en Train » (Train : travail de recherche ou
d’approfondissement avec prise d’initiatives) : https://www.apmep.fr/
IMG/pdf/05-Train-C.pdf
115 — Une bibliothèque de motifs : http://www.visualpatterns.org/, et
pour créer des patterns : http://www.dudamath.com
116 — L’étape n + 1 contient (n + 1)2 carrés, donc (n + 1)2 = n2 + 2n + 1.
    119 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

    La liste de nombres du rituel 4 définit un pattern évolutif numérique (il est important
    d’alterner les patterns figuratif et numérique).

    Un nombre est dans cette liste si et seulement si il est la somme de 2 et d’un multiple
    de 3. Lorsqu’on lui ajoute 1 (ou enlève 2), alors il est dans la table de 3. Ce pattern de
    nombres fait travailler les critères de divisibilité et donne du sens au reste dans la
    division euclidienne.

    Le rituel 5 reprend le pattern du rituel 2. Cette reprise impose à l’élève de bien lire
    l’énoncé pour repérer les indices sur la structure et la question associée. La question
    posée permet de travailler division euclidienne et division quotition. La résolution
    experte convoque la division euclidienne et amène à voir le reste comme la couleur
    du cube dans le motif de base (les élèves pourront remarquer que le cube est rouge
    pour les places paires)117.




Problème 2. Des petits carrés


    Énoncé

    Avec des petits carrés tous identiques, on construit un pattern selon le modèle
    évolutif ci-dessous.
    Trouver un moyen de calculer le nombre de petits carrés d’un élément à n’importe
    quel rang.




           Rang 1               Rang 2                       Rang 3



    Mots-clés

    Patterns figuratif et évolutif, exprimer une règle, relation de récurrence, généraliser,
    chercher, raisonner.


    117 — Variante : « On a construit un collier de cent perles selon ce
    modèle. Combien a-t-on enfilé de perles bleues ? »
120 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Pourquoi ce problème ?

Dans ce pattern figuratif, la reconnaissance des régularités et son explicitation est
d’un niveau d’expertise plus élevé, car la relation n’est pas linéaire. La généralisation
et le recours à la lettre ne seront attendus qu’en milieu de cycle 4.

Ce problème donne lieu à un travail sur le calcul littéral afin de justifier l’équivalence
des expressions proposées par les élèves.



Stratégies d’enseignement


   Stratégies                            Régularités                        Commentaires

 Dénombrer          Les nombres à ajouter, pour passer d’un rang     Avec un tableur,
 les petits         au suivant, sont les entiers impairs plus grands par exemple,
 carrés à           que 5.                                           obtenir
 chaque étape.                                                       le nombre
                        Rang de                                      de petits carrés
                                   1       2       3      4     …
                      l’élément                                      pour un rang
                                                                     donné.
                        Nombre
                                   5       10     17     26
                     de carrés

                                          +5    +7      +9

 Repérer                                                                    Prouver
 une structure                                                              l’égalité entre
 faisant                                                                    les différentes
 intervenir un                                                              expressions
 arrangement                                                                algébriques
 en grand                                                                   rendra
 carré ou                                                                   nécessaire
 en rectangle.                                                              l’utilisation
                                                                            de propriétés
                          a2 + 2(a + 1)            (a + 2)2 – 2(a + 1)
                                                                            de calcul
                                                                            littéral pour
                          1               1                            1               1
                                                                            transformer
                                                                            les expressions
                                                                            (factorisation et
                                                                            développement).


      1               1                           1                1

                          a(a + 2) + 2                 a2 + 2a + 2
    121 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Problème 3. Le flocon de Koch


    Énoncé

    Le flocon de Koch est une courbe fractale118 dont les premières étapes sont illustrées
    ci-dessous à partir d’un triangle équilatéral.




      Rang 0 : un triangle        Rang 1 : tous les segments        Rang 2 : tous les segments
         équilatéral.               bleus sont de la même             bleus sont de la même
                                            longeur.                          longeur.


    a. Combien de segments bleus composent chacune de ces figures aux rangs 0, 1, 2 ?
    b. Combien y a-t-il de segments bleus sur la figure de rang 3 ?
    c. Déterminer, en expliquant votre méthode de calcul, le nombre de segments bleus
    qui composent la figure de rang 5, puis celle de rang 20.
    d. Trouver une façon de calculer le nombre de segments à n’importe quel rang.
    e. Expliquer une règle de construction pour passer d’une figure d’un rang quelconque
    au suivant.



    Mots-clés

    Fractale, pattern, algorithmique, algèbre.




    118 — Pour aller plus loin : les patterns peuvent également intervenir
    dans des domaines variés comme le jeu vidéo ou les films d’animation.
    Un exemple, les arbres : https://mathcurve.com/fractals/arbre/arbre.
    shtml
122 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Pourquoi ce problème ?

Une figure fractale119 – figure qui présente à toutes les échelles une structure iden-
tique – peut être rapprochée d’un pattern évolutif. Un travail sur d’autres fractales,
avec un questionnement analogue, peut constituer un dossier « Mathématiques
et arts » pour l’oral du diplôme national du brevet.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème peut être traité dès la 4e, en lien avec la notion de puissances. En 3e,
les dernières questions permettent de mettre en évidence une expression littérale.
Ce problème, se modélisant par une suite géométrique, peut être utilisé dans le cadre
d’une liaison collège-lycée.



Stratégies d’enseignement

Le recours à un logiciel de programmation pour visualiser les figures des premiers
rangs peut être une aide à la reconnaissance des régularités et à la mise en évidence
d’une structure de boucle120.

Un temps long d’investigation sur les deux premières questions est nécessaire à
une bonne compréhension de la procédure et permet d’entrer dans la résolution
des questions suivantes.

Pour les rangs proches, la progression étant géométrique, le nombre de segments
calculé au rang 3 est souvent correct. Au-delà, les itérations multiples peuvent créer
des erreurs, comme en témoigne cette retranscription de trace écrite d’un élève de 3e.




Figure 28. Trace écrite d’un élève de 3e.



Cette erreur est à rapprocher du constat que la multiplication itérée est peu tra-
vaillée, contrairement à l’addition itérée, ce qui rend les situations numériques
purement multiplicatives plus difficiles.

119 — Notion travaillée dans l’option mathématiques expertes en terminale.
120 — Transfert (voir l’introduction de ce guide) : à partir d’une autre
figure (segment, carré, etc.), on peut faire appliquer la même règle.
    123 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Problème 4. Des carrés
et une spirale


    Énoncé

    On considère les scripts Scratch ci-dessous121 .
    1. Associer chacun des scripts A, B et C ci-dessous à l’une des représentations 1, 2,
    3 et 4 (voir p. suivante).

    Scripts :




    Bloc d’initialisation                           Script A




    Script B                                        Script C

    121 — Les fichiers Scratch sont disponibles en téléchargement.
124 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

Représentations :
     B
                                                         B
V    R                                          V
                                                             R
    O
                                                     O



    Représentation 1                        Représentation 2

                                                     B
     B
                                               V             R
V    R
    O                                                O
    Représentation 3                        Représentation 4

2. Dans cette question, on s’intéresse au pattern dont le début correspond à
la représentation 3, et plus particulièrement à la couleur des segments, dont
l’enchaînement est bleu, rose, orange, vert.
   a. Quelle est la couleur du 10e segment ?
   b. Quelle est la couleur du 20e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
   s’en assurer ?
   c. Quelle est la couleur du 125e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
   s’en assurer ?
   d. Trouver une méthode pour déterminer la couleur de n’importe quel segment de
   ce pattern.

3. On s’intéresse, dans cette question, plus particulièrement au script A et à la
longueur des segments en pixels (px).
   a. Quelle est la longueur du 10e segment ?
   b. Quelle est la longueur du 20e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
   s’en assurer ?
   c. Quelle est la longueur du 125e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
   s’en assurer ?
   d. Trouver un moyen de calculer le nombre d’éléments constitutifs du pattern
   à n’importe quel rang.



Mots-clés

Pattern, programmation par blocs.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème d’algorithmique amène à découvrir la structure et le motif d’un pattern
répétitif (question 2) puis d’un pattern évolutif (question 3).
125 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

Les patterns conduisent à utiliser des blocs d’instruction identiques. Leurs repré­
sentations facilitent la compréhension de l’effet de l’ordre dans lequel ces instructions
s’enchaînent.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème peut être proposé dès la classe de 5e pour travailler l’algorithmique
et la programmation (variables, boucles imbriquées, blocs utilisateurs) ainsi que la
construction d’expressions littérales, en fin du cycle 4.



Stratégies d’enseignement

Les élèves travaillent la première question en tant qu’activité débranchée. Après un
débat en classe, une validation des différentes réponses peut alors se faire via la
construction et l’exécution des scripts sur un logiciel de programmation par blocs.
La bonne compréhension des scripts est nécessaire pour accéder correctement aux
questions suivantes.

Pour les rangs proches, les élèves peuvent aussi recourir à une stratégie d’essais/
ajustements à l’aide d’un logiciel pour se rendre compte de la difficulté du « comptage ».
Dans ce cas, une solution à transmettre aux élèves est l’utilisation d’un compteur.

Pour les rangs lointains, l’expérimentation par le logiciel atteint une limite : la figure
sort de la fenêtre graphique, ce qui pousse à anticiper et généraliser.

Dans le cas où on étudie le pattern répétitif, l’anticipation sur la couleur d’un segment
met en œuvre la division quotition et donne du sens au reste de la division euclidienne.
Chaque segment prend alternativement une des quatre couleurs : bleu (reste 1) ;
rose (reste 2) ; orange (reste 3) ; vert (reste 0). La couleur du 125e segment est bleu,
car 125 = 4 x 31 + 1.



Pour aller plus loin

On peut ajouter une question au problème : « On souhaite faire parcourir au lutin au
moins 5 000 px. Combien faut-il de segments au minimum et quelle est la longueur
du dernier segment ? »

Cette question est l’occasion de découvrir la boucle « répéter jusqu’à ce que » avant
le lycée par l’utilisation de tests, d’un tableur ou par la programmation.
    126 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


Problème 5. Tel père, tel fils                                               122




    Énoncé

                                       C’est l’histoire d’un petit rectangle de dimensions
                                       2 mm x 3 mm.
                                       Chaque jour, il s’agrandit pour devenir un rectangle
                                       plus grand : sa nouvelle largeur est égale à son
                                       ancienne longueur ; sa nouvelle longueur est égale à
                                       la somme de ses deux anciennes dimensions.
                                       Au bout de combien de jours son aire dépasse-t-elle
                                       1,5 m2 ?




    Mots-clés

    Patterns figuratif et évolutif, relation de récurrence, problème atypique, prendre
    des initiatives, expé­rimenter, chercher, représenter, raisonner.



    Pourquoi ce problème ?

    D’un point de vue mathématique, ce problème permet aux élèves de rencontrer un
    pattern évolutif non conventionnel, de valider ou d’invalider un modèle et de donner
    du sens à la nécessité de convertir des unités de mesure (sous-multiples du m²), d’in-
    troduire le modèle d’agrandissement mathématique.

    Ces problèmes atypiques permettent la mise en œuvre de différentes stratégies
    mathématiques pour l’élève ; il peut :
    — soit être persévérant dans sa recherche lorsqu’il calcule les quatorze aires ;
    — soit faire preuve d’initiative en utilisant un tableur (avec ou sans la fonctionnalité
       test) ou en programmant ;
    — soit être original s’il a la capacité de produire une idée peu fréquente. Cela a été
       le cas pour des élèves qui ont exprimé une relation entre les grandeurs en jeu.




    122 — Problème issu de la compétition Mathématiques sans frontières,
    académie de Strasbourg, niveaux 3e, 2de, décembre 2011 : http://maths-
    msf.site.ac-strasbourg.fr/spip/spip.php?article628
127 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique

Ce type de pattern utilisé par des artistes123 peut s’intégrer dans le parcours PEAC124
et encourager ainsi les élèves à créer leur propre pattern artistique.




Figure 29. Traces écrites d’élèves de 4e.




Ressorts de continuité
ou éléments de progressivité

Il peut être envisagé dès la fin du cycle 3, à tous les niveaux du cycle 4 ainsi qu’en
classe de 2de, ce qui en fait un candidat intéressant pour les liaisons interdegrés
et peut faire l’objet d’une lesson study et/ou de temps d’observations croisées.



Stratégies d’enseignement

Pour mettre en œuvre de la différenciation, durant les phases de recherche ou de
dévolution, l’enseignant sera amené à « aider » les élèves qui ne parviennent pas
à débuter leur recherche, qui ne respectent pas les consignes de l’énoncé, qui se
découragent ou qui font des erreurs de conversions ou de calculs. Il pourra réguler
cette recherche en favorisant les échanges, en proposant des aides qui engagent
l’élève dans une réflexion (« son aire a-t-elle dépassé 1,5 m² le deuxième jour ? »).

L’objectif est que chaque élève puisse progresser dans ses stratégies de recherche
et de représentation ainsi que dans son questionnement tout en permettant sa
progression grâce à l’explicitation des stratégies, leur mise en commun et leur
­hiérarchisation progressive débouchant sur une trace écrite claire.




123 — Voir Norman Dilworth ou Ellsworth Kelly.
124 — Le parcours d’éducation artistique et culturelle : https://www.
education.gouv.fr/le-parcours-d-education-artistique-et-culturelle-
peac-4283
      128 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique


En résumé

 	Un pattern est un motif, une règle de structure.
   Les problèmes de ce chapitre proposent d’étudier
   des patterns répétitif ou évolutif. Le travail sur les patterns
   permet de développer à la fois les pensées algorithmique
   (comment trouver un élément du pattern à partir
   des précédents ?) et algébrique (comment trouver l’élément
   de rang n du pattern ?). On commence ainsi à installer
   une représentation mentale de la récurrence, préparant
   le travail sur les suites au lycée. La recherche d’un élément
   lointain du pattern motive l’introduction du calcul littéral.


 	L’étude des patterns fournit également des situations
   privilégiées pour développer les compétences orales
   (explicitation de la règle) et pour travailler le passage
   du langage naturel à un langage mathématique plus formel,
   et enfin pour illustrer des situations d’interdisciplinarité,
   notamment dans le domaine artistique.


 	Les patterns amènent à exprimer en langage naturel
   de premiers algorithmes.
            V
Géométrie
         130 — Géométrie

Au cycle 3, les élèves commencent à dépasser l’approche
perceptive, descriptive et instrumentée des figures planes
pour passer à la géométrie du raisonnement. Tout au long
du cycle 4, les élèves sont très progressivement amenés
à formaliser leurs raisonnements jusqu’à percevoir
la notion de démonstration. Les outils numériques
constituent un appui précieux à l’expérimentation
et l’élaboration des raisonnements. Les problèmes de
ce chapitre illustrent des situations où ce qui est visible
n’est pas suffisant pour raisonner juste ; il faut donc aussi
imaginer et abstraire. Ces problèmes montrent également
comment la construction étaye le raisonnement,
et comment le raisonnement est parfois un préalable
à la construction d’une figure.




Entrée historique                                 125




         Problèmes de division des figures

         Nous savons qu’Euclide d’Alexandrie a rédigé un Livre sur la division des figures dont
         nous avons une version arabe due au mathématicien persan al-Sijzi (xe s. ap. J.-C.).
         Il s’agit de couper une figure ou de la partager selon des contraintes géométriques
         fixées a priori sur les grandeurs (longueurs et aires) ou sur les figures à obtenir
         après découpage (figure 30, ci-contre).

         Ces problèmes sont présents, avec d’autres formes de résolution, dans les mathé-
         matiques paléo-babyloniennes (voir l’entrée historique du chapitre 3 , p. 80). Ils sont
         encore traités par divers auteurs comme Héron d’Alexandrie dans ses Metrica, ou en
         pays d’Islam et peuvent correspondre aussi à des demandes juridiques et cultuelles
         de répartitions d’héritages, ou encore socio-culturelles liées à la décoration de
         monuments (figure 31). L’Europe continue cette longue tradition de problèmes avec,
         par exemple, Fibonacci et sa Practica geometriae (1220), ou encore, plus tard, Simon
         Stevin et ses Problèmes géométriques (1583) ou le jésuite Clavius avec sa Géométrie
         pratique (1604).




         125 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
         Tournès, Éric Vandendriessche.
131 — Géométrie




Figure 30. Extraits du De Superficierum Divisionibus Liber (Livre sur la division des figures) de Muhammad
al-Baghdâdî (version latine, version arabe perdue). Proposition 1 : « Diviser selon un rapport donné un triangle par
une droite menée d’un angle du triangle. » Proposition 11 : « Diviser selon un rapport donné un quadrilatère à côtés
parallèles par une droite parallèle à l’un de ses côtés parallèles. »




Figure 31. Diagramme du manuscrit persan Aya               Figure 32. Diagramme réalisé par un élève de 6e
Sofia 2753 (Istanbul) montrant le découpage                reproduisant la construction d’Abu l-Wafa.
exact du mathématicien Abu l-Wafa pour former
un seul carré à partir de trois carrés.

                                                                      Figure 33. « Si on te dit, tu as un quadrilatère
                                                                      de longueur 20 bāb [unité de mesure orientale]
                            Tiers                                     et de largeur 10 bāb, divise-le entre trois
                                                                      personnes : la moitié pour l’un d’eux, le tiers
                                                                      pour un autre et le quart pour un autre
                                                                      de sorte qu’il y ait, en son centre, une route
                                                                      de largeur 2 bāb à laquelle aboutissent,
               Moitié                                Quart            par la longueur, les entrées des trois quote-
                                                                      parts, l’une par le devant, l’autre par la droite
                                                                      et l’autre par la gauche, de sorte que la quote-
                                                                      part du propriétaire du tiers soit à l’avant,
                                                                      selon cette figure. »




Chez Euclide, les problèmes sont purement géométriques ; ils sont résolus à l’aide
des propositions des Éléments (notamment le livre V sur les rapports de grandeurs).
Lorsque l’algèbre va commencer à s’imposer comme art pour résoudre des
problèmes, certains auteurs comme al-Karajî (mort vers 1029) vont proposer
des résolutions algébriques aux partages de figures, faisant ainsi un lien entre
grandeurs géométriques et nombres (figure 33).
    132 — Géométrie


Point sur la recherche                                      126




    Lieu d’éducation associé (LÉA), réseau
    de circonscriptions de l’académie de Lille127

    Mes recherches visent à questionner les conditions de diffusion, dans l’ensei­
    gnement ordinaire, d’une approche de la géométrie 128 qui a été développée au
    début des années 2000 dans le Nord-Pas-de-Calais et qui se caractérise par des
    hypothèses relatives à la possibilité de penser une certaine continuité tout au long
    de la scolarité obligatoire, d’éviter autant que possible la rupture pointée par de
    nombreuses recherches entre la géométrie de l’école primaire et celle du collège129.
    Responsable scientifique d’un LÉA (lieu d’éducation associé à l’Institut français de
    l’éducation - IFÉ) regroupant chercheurs, inspecteurs, conseillers pédagogiques,
    maîtres-formateurs et enseignants, j’ai travaillé à l’élaboration d’une ressource
    en ligne pour l’enseignement de la géométrie du CE2 à la 6e130 et d’un parcours
    M@gistère. La résolution de problèmes occupe une place importante dans la
    démarche développée puisqu’il s’agit de proposer aux élèves des situations de
    restauration de figures, c’est-à-dire des activités de reproduction respectant cer-
    taines conditions particulières (une figure modèle est donnée – en vraie grandeur
    ou non – ainsi qu’éventuellement une partie de la figure à obtenir – amorce ; des
    instruments variés permettant de reporter certaines informations de dimension 2
    de la figure initiale sont mis à disposition des élèves). Les résultats obtenus, suite
    aux observations menées dans les classes de six circonscriptions, confirment
    l’intérêt de proposer aux élèves ces situations de restauration de figures les
    amenant à passer d’une appréhension naturelle et perceptive à une appréhension
    opératoire des figures. Ces résultats mettent aussi au jour certaines conditions
    d’appropriation par les enseignants de ces situations 131 .



    126 — Contribution de Christine Mangiante.
    127 — http://ife.ens-lyon.fr/lea/le-reseau/anciens-lea/reseau-de-
    circonscriptions-de-l2019academie-de-lille
    128 — Ont participé au développement de cette approche :
    Jean‑Robert Delplace, Raymond Duval, Claire Godeuil, Marc Godin,
    Bachir Keskessa, Régis Leclercq, Christine Mangiante-Orsola,
    Anne-Céline Mathé, Marie-Jeanne Perrin et Odile Verbaere.
    129 — Christine Mangiante-Orsola, Marie-Jeanne Perrin-Glorian,
    Ingénierie didactique de développement en géométrie au cycle 3
    dans le cadre du LÉA Valenciennes-Denain, 2017, séminaire national
    de didactique des mathématiques, Arras, 22-23 janvier 2016 : https://
    ardm.eu/wp-content/uploads/2017/02/pre_actes_seminaire_
    ARDM_janvier_2016.pdf
    130 — https://lea-geometrie.etab.ac-lille.fr/
    131 — Christine Mangiante-Orsola, Marie-Jeanne Perrin-Glorian,
    Heidi Strømskag, “Theory of Didactical Situations as a Tool to
    Understand and Develop Mathematics Teaching Practices”, in Annales
    de didactiques et de sciences cognitives, Irem de Strasbourg, 2018.
    133 — Géométrie


Didactique. Les outils numériques
en géométrie

    Les outils numériques – logiciels de géométrie dynamique et de programmation – sont
    étroitement liés à la résolution de problèmes, non seulement car ils sont efficaces
    pour réaliser des constructions géométriques précises et complexes, mais aussi et
    surtout parce qu’ils permettent d’enrichir la démarche d’investigation, les capacités
    d’analyse et d’observation, ainsi que la pratique du raisonnement inductif, notamment
    grâce aux figures « dynamiques », c’est-à-dire qui contiennent des objets variables.
    En cycle 3 et en début de cycle 4, les activités avec logiciel de géométrie dynamique
    seront surtout centrées sur des constructions simples qui utilisent les définitions ou
    propriétés des figures usuelles, en amenant les élèves à comprendre par exemple
    qu’une figure n’est bien construite que lorsqu’elle ne se déforme pas lorsqu’on
    déplace ses sommets.

    Ces outils sont notamment précieux pour observer rapidement un grand nombre
    de configurations, ainsi que pour étudier les effets des transformations du plan sur
    les figures, notamment pour les translations, les rotations et les homothéties dont
    les définitions ponctuelles ne sont pas données au collège, et de mettre en évidence
    les invariants liés à ces transformations.

    De façon générale, l’utilisation d’outils numériques doit amener une plus-value par
    rapport à l’usage du papier-crayon. L’objectif n’est pas de rendre les élèves experts
    sur un logiciel de programmation ou de géométrie dynamique, mais bien que ces
    outils soient des supports pertinents au raisonnement mathématique.

    L’utilisation régulière en classe des outils numériques permettra de travailler les
    six compétences mathématiques. Plusieurs modalités sont possibles : soit une
    utilisation faite par les élèves en salle informatique, soit une utilisation montrée par
    le professeur grâce à l’ordinateur de la classe sur des fichiers préparés en amont
    qui permettent (sur un temps assez court) de présenter les fonctionnalités du logiciel.



    Les outils numériques et les transformations

    Comme l’indiquent les repères annuels de progression pour le cycle 4, les élèves sont
    amenés à transformer, à l’aide d’outils numériques, une figure. Ils doivent également
    identifier ces mêmes transformations dans des frises, des pavages et des rosaces.
    Un logiciel de programmation permet notamment d’appliquer des transformations
    et d’en identifier ses caractéristiques.

    Exemple : à l’aide du script et de la capture de la scène ci-après132 (p. 134), identifier
    la transformation appliquée à la première étoile et en donner les caractéristiques.




    132 — Captures issues du site https://scratch.mit.edu/
134 — Géométrie




                                                   La capture de la scène permet
                                                   d’identifier la transformation uti-
                                                   lisée, mais au-delà, l’exécution du
                                                   script permet aux élèves de voir
                                                   la transformation (translation) en
                                                   action. Certains éléments du script
                                                   permettent de calculer la longueur
                                                   du déplacement grâce au repère de
                                                   la scène de Scratch : on se déplace
                                                   de 100 pas (ou pixels) vers la droite
et on descend de 50 pas, et on peut faire apparaître un triangle rectangle pour utiliser
le théorème de Pythagore.

Un logiciel de géométrie dynamique permet également de décrire plus facilement les
effets des transformations dans des frises, des pavages et des rosaces.

Exemple : reproduire la frise suivante dans un logiciel de géométrie dynamique.

                                                    La frise est donnée sous forme
                                                    d’image par le professeur dans
                                                    un fichier de logiciel de géométrie
                                                    dynamique. Ses éléments n’en
                                                    seront alors pas déformables par
                                                    l’élève qui pourra construire par-
dessus. Le professeur pourra apporter des aides pour que tous les élèves se lancent
dans la construction. Il pourra les pousser à choisir un élément géométrique de
départ le plus petit possible afin d’utiliser le plus de transformations différentes
possible. Dans tous les cas, le logiciel de géométrie apporte une souplesse et
une instantanéité qui permettent de faire des essais, de corriger ses erreurs
et d’améliorer rapidement son analyse. De plus, les outils de transformation du
logiciel imposent d’en donner les caractéristiques complètes et précises.



Les outils numériques et le raisonnement

Les outils numériques se prêtent à la mise en œuvre de la compétence « raisonner »
et en développent facilement certains aspects. Ils permettent tout d’abord
d’analyser et d’exploiter ses erreurs. Dans l’exemple précédent de la frise, les
élèves font des essais et analysent leurs erreurs afin de proposer de nouveaux
essais jusqu’à trouver les transformations utilisées.
135 — Géométrie

Par ailleurs, grâce à un logiciel de géométrie dynamique, on peut agir sur une figure
construite tout en conservant ses propriétés. Par exemple, on peut demander
aux élèves de construire un rectangle dont les dimensions peuvent varier, puis de
déplacer ses sommets pour émettre une conjecture sur ses diagonales. Ce logiciel
permet ainsi de découvrir les propriétés caractéristiques des quadrilatères par
raisonnement inductif, sans pour autant chercher à faire un catalogue exhaustif
de toutes leurs propriétés.

Les outils numériques favorisent également le développement du raisonnement
inductif. Ils permettent de faire une hypothèse et sont un appui pour la confirmer.
S’ils n’ont pas valeur de démonstration, ils peuvent en revanche constituer un
support très efficace pour raisonner. Par exemple, ils permettent d’observer sur un
très grand nombre de triangles que la somme de ses angles est égale à 180°, mais
pour le prouver, il faut passer par un raisonnement déductif en lien avec les angles
alternes internes ou les symétriques des angles par rapport aux milieux des côtés,
de préférence sur support papier.



Les outils numériques et les autres
compétences

Les outils numériques permettent de développer les autres compétences
mathématiques.

La compétence « chercher » est l’une des compétences les plus exploitées à l’aide
des outils numériques. En effet, ceux-ci permettent de :
— tester : par exemple, chercher l’emplacement d’un point pour que deux aires
    soient égales ;
— décomposer un problème en sous-problèmes : par exemple, trouver le
    motif élémentaire dans une frise, ce qui nécessite de décomposer toutes les
    transformations appliquées afin de réaliser soi-même la figure. On notera ici la
    nécessité de raisonner avant de construire ;
— émettre une conjecture : par exemple, construire les médiatrices d’un triangle pour
    conjecturer que, quel que soit le triangle, celles-ci sont concourantes en un point.

Un logiciel de géométrie dynamique permet également de travailler la compétence
« représenter ». Des problèmes de lieux peuvent être proposés afin d’observer des
faits remarquables. Il favorise aussi les changements de cadres : passer du langage
informatique au langage mathématique et inversement. Par exemple, à partir d’un
programme, l’élève est amené à comprendre et identifier les caractéristiques d’une
transformation. Dans l’exemple précédent de l’étoile, on passe d’un cadre numérique
à un cadre géométrique en identifiant les déplacements dans le programme pour
déterminer la longueur du déplacement de la translation.

Enfin, à partir d’une situation réelle, les élèves peuvent faire appel aux outils numé-
riques afin d’en identifier un modèle mathématique. Dans ce cas, la compétence
« modéliser » sera mobilisée.
    136 — Géométrie


Problème 1. On me voit !
On ne me voit plus !


    Énoncés

    1. On me voit bien !
    Ma petite sœur empile des cubes les
    uns sur les autres, tous de même forme.
    Voici sa construction.
    Combien a-t-elle empilé de cubes ?




    2. On me voit un peu moins !
    Martin veut construire la même jar­
    dinière que sur la photo133 ci-contre.
    De combien de briques aura-t-il besoin ?




    3. On ne me voit plus !
    L’entreprise Sucromania fabrique du sucre en morceaux. Elle souhaite conditionner
    ses morceaux dans un emballage parallélépipédique de 280 mm de long, 140 mm de
    large et 70 mm de hauteur.
    Sachant qu’un sucre a la forme d’un pavé droit de 14 mm de long, 14 mm de large et
    10 mm de hauteur, combien de sucres peut-elle mettre au maximum afin d’optimiser
    son emballage ?




    133 — Photo : http://www.terrealdeco.com/realisation/jardiniere-en-
    brique-pleine-jasmin/
137 — Géométrie


Mots-clés

Vision dans l’espace, représenter, raisonner.



Pourquoi ce problème ?

En géométrie dans l’espace, les évaluations internationales montrent que les élèves
rencontrent des difficultés à penser ce qui n’est pas visible. Ces problèmes ont pour
objectif de travailler la vision dans l’espace qui pose des soucis à de nombreux
élèves, tout en ancrant les mathématiques dans un contexte réaliste. Ils permettent
également de manipuler des solides puis d’en faire une représentation.

Ce travail se réalise en trois temps :
— d’abord sur des cubes bien visibles : même si une partie d’entre eux ne se voient
    pas, le fait que l’énoncé précise qu’ils sont empilés rend facile la compréhension
    de la figure ;
— ensuite sur un solide dont une partie est cachée ;
— enfin sur une situation sans support visuel.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Un élève sait dès le primaire représenter des cubes et pavés droits. Au niveau 6e,
on attend de l’élève qu’il dénombre sur la première figure les cubes visibles et non
visibles, puis qu’il se construise une représentation de l’objet auquel il n’accède que
partiellement sur la deuxième figure. Enfin dans la dernière situation, on attend qu’il
se représente lui-même les objets mathématiques.



Stratégies d’enseignement

On pourra encourager la manipulation quel que soit le type d’exercice, le niveau de
difficulté, ou le niveau envisagé.
138 — Géométrie

Pour la première question (énoncé 1), la manipulation peut s’avérer particulièrement
efficace, sachant qu’une construction partielle du solide peut suffire (on peut par
exemple se contenter de construire les 3 étages supérieurs à l’aide de petits cubes).
En construisant les premiers étages, les élèves doivent comprendre que les cubes
qui ne se voient pas existent bien pour permettre aux autres cubes de tenir sur les
niveaux supérieurs par gravité. Ils doivent comprendre que les cubes ne sont ni
aimantés, ni reliés entre eux. Ce que l’on ne voit pas est en réalité rempli de petits
cubes qui composent la structure même du solide. Pour cette même question, on
peut envisager de faire varier la complexité de la figure proposée dans le cadre d’un
travail différencié, en proposant par exemple les figures suivantes (dans cet ordre).




On peut également proposer des questions différentes. Par exemple, pour la série
de figures ci-dessus, il est possible de demander combien il manque de cubes pour
compléter le pavé. On peut également, en prolongement, proposer de représenter
différentes vues, voire d’enlever ou d’ajouter un ou plusieurs cubes pour que deux
vues deviennent identiques (en veillant cependant à conserver une longueur raison-
nable pour l’ensemble du problème).

Concernant la question 2, il sera utile de se mettre d’accord sur la modélisation de
la jardinière avant d’élaborer une stratégie de résolution. On pourra par exemple
convenir que la jardinière est composée de quatre murs perpendiculaires (le mur
du fond est peu visible mais présent) et qu’elle n’a pas de fond (la présence d’un fond
complexifie singulièrement la situation, elle peut éventuellement être envisagée
dans le cadre d’un travail différencié). Pour aider les élèves qui n’accèdent pas à la
modélisation, il est intéressant d’avoir des buchettes de bois en forme de pavés droits
pour construire la jardinière. Elles peuvent permettre de visualiser ce qu’on ne voit
pas ou de comprendre comment sont reliés les « coins » de la jardinière, ou encore
de comprendre la disposition en quinconce des briquettes.

La question 3 comporte un saut non négligeable en termes mathématiques
(représentation et justification). Cette justification de l’optimisation peut faire appel
au volume, qui permet de déterminer le nombre maximal de sucres que peut contenir
le carton, puis à une des configurations possibles qui montre que ce maximum est
atteint. Dans le cadre d’un travail différencié, on pourra éventuellement envisager
de faire varier les dimensions du carton pour qu’il ne soit pas entièrement rempli,
la justification de l’obtention d’une configuration optimale devenant alors nettement
plus ardue. Afin d’aider les élèves, il est utile d’avoir une boîte de sucres, par exemple
pour permettre aux élèves de comprendre comment il est possible de ranger les
sucres dans le contenant.
    139 — Géométrie


Problème 2. Figure trompeuse


    Énoncé                                                              B
                                                                                         C
    Ce problème peut être proposé dans une
                                                   A
    classe de 5e.
    Le professeur montre la figure ci-contre,
    qu’il a réalisée sur une grande feuille,
    en expliquant « naïvement » qu’il a voulu
    construire les trois médiatrices des côtés
    d’un triangle ABC et qu’il a obtenu un petit
    triangle JKL qui lui paraît étrange.

    À chaque élève, il propose trois autres
    triangles ABC et leur demande pour
                                                                            K
    laquelle de ces trois configurations on
                                                                       J
    obtiendra le triangle JKL le plus petit.
                                                                            L


    Mots-clés

    Géométrie plane, construire, précision,
    médiatrice d’un segment (définition
    et propriété caractéristique).



    Pourquoi ce problème ?

    Ce problème peut servir d’activité de découverte de la propriété de concours
    des médiatrices des côtés d’un triangle, mais il a un autre objectif, plus général,
    dans la formation des élèves à la géométrie du raisonnement. En provoquant un
    « choc didactique », il amène les élèves à comprendre et retenir qu’il ne faut pas
    faire confiance à une figure dessinée « à la main », et ainsi à percevoir la différence
    entre la géométrie dessinée (ou des instruments) et la géométrie abstraite (ou du
    raisonnement). On pourra même expliquer que les objets mathématiques, même
    géométriques, sont des modèles « impalpables » et que l’on doit savoir raisonner
    juste sur une figure fausse (en général effectuée à main levée). De plus, il peut être
    intéressant, pour apprendre aux élèves à porter un regard critique sur leur propre
    travail, de vérifier une construction qu’ils effectuent.
140 — Géométrie

Ce problème est largement inspiré d’une situation décrite par Guy Brousseau 134
et analysée par Catherine Houdement et Jean-Philippe Rouquès135.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Les premiers raisonnements simples et sans formalisme de CM2 sont enrichis en
fin de cycle 3 en s’appuyant sur les propriétés des droites parallèles et perpen­
diculaires, celles des côtés, des diagonales et des angles des figures usuelles
(triangles et quadrilatères particuliers). Ces raisonnements permettent d’effectuer
des constructions ou de découvrir de nouvelles propriétés des figures. Même si
certains objets mathématiques ne sont pas mathématiquement définis (comme les
droites), les définitions des figures usuelles se font plus précises. Par exemple, un
rectangle est défini comme un quadrilatère qui a trois angles droits alors que les
leçons d’école primaire le décrivent plus longuement, sans distinguer définition et
propriétés.

Au cycle 4, le travail sur les codages est consolidé par des tâches régulières d’inter-
prétation et de réalisation de figures avec les instruments à partir de figures codées.
Peu à peu, les raisonnements menés sur des figures tracées en vraie grandeur
laissent place à des raisonnements élaborés à partir de figures à main levée.

La posture de doute, la démarche indispensable de recherche de la preuve et la
constatation qu’une figure en vraie grandeur doit être très précise sont parti­
culièrement importantes dès le début du cycle 4. Par la suite, il faudra rappeler cette
situation-problème lorsque les élèves feront une erreur de construction et surtout
lorsque l’on attendra une preuve.



Stratégies d’enseignement

Il faut bien garder à l’esprit qu’un professeur qui appuie sa démarche sur une figure
fausse doit indiquer très clairement, après la résolution du problème, que la figure pro-
posée initialement était fausse car mal construite (notamment lors de la trace écrite).




134 — Guy Brousseau, « Les propriétés didactiques de la géométrie
élémentaire », Séminaire de didactique des mathématiques, Crète,
Rethymon, 2000 : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00515110/fr/
135 — Catherine Houdement, Jean-Philippe Rouquès, « Deux géométries
en jeu dans la géométrie plane : une qu’on appellera “dessinée”
et une qu’on appellera “abstraite” », 2016 : https://hal.archives-
ouvertes.fr/hal-03214099v2/document
141 — Géométrie

Lors de la résolution, le professeur propose des triangles assez grands, de formes
variées, ayant un angle obtus ou non – il peut aussi laisser les élèves construire
leurs propres triangles. Plus les élèves s’appliquent, plus le triangle JKL est petit,
jusqu’à n’être plus visible. C’est ce que le professeur doit parvenir à faire constater :
il pourra projeter au tableau (par exemple grâce à un visualiseur) un grand nombre
de constructions en interrogeant leurs auteurs sur le soin apporté. Il pourra aussi
reconnaître que lui-même ne s’est pas beaucoup appliqué pour construire la figure
montrée avec la consigne. La classe peut alors établir la conjecture que les points
J, K et L sont confondus. Elle peut être appuyée par la construction, avec un logiciel
de géométrie dynamique, sur l’ordinateur du professeur dont l’écran est projeté, ou
faite par les élèves. Il est particulièrement important d’en apporter la preuve pour
que les élèves comprennent la différence entre voir et démontrer, mais aussi pour
qu’ils soient persuadés que c’est un seul point qu’il faut obtenir et non un triangle.

La démonstration que les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes (puis
que leur point de concours est le centre d’un cercle, qui est circonscrit au triangle)
peut être dirigée par le professeur, étape par étape, sans attendre de formalisme
particulier de la part des élèves en début de cycle 4.

Une variante de la consigne, plus ouverte et plus proche de la situation présentée par
Guy Brousseau, peut être : « Construire un triangle ABC qui aura le triangle JKL le plus
grand possible. » Elle nécessite plus de temps de travail, mais permet l’élaboration
d’une démarche d’investigation par les élèves et ainsi davantage de constructions,
avec, le plus souvent, une recherche de précision dans les tracés.
142 — Géométrie


Focus | Une séquence
d’enseignement autour
des triangles et des aires


Énoncé

PARTIE I                                                 C              M                   B
a. À l’aide d’un logiciel de géométrie dyna-                     9,19
                                                                                9,19
mique, tracer un triangle ABC. Placer le
milieu M du segment [BC] et afficher les aires
des triangles ABM et ACM.
b. Déplacer les points A, B et C. Que peut-on
conjecturer ?
                                                                                A
c. Démontrer la conjecture énoncée.

PARTIE II
                                                                            C
Soit ABC un triangle. Les points E, F et D sont
les milieux respectifs des côtés [AB], [BC]                                 H   F
et [AC].                                                     D
On admet que les droites (AF), (BD) et (CE) sont                        G
                                                                                    I   B
concourantes en un point qu’on nomme G.
Les points H, I et J sont les milieux respectifs                 J
                                                         A                  E
des côtés [CG], [BG] et [AG].
Montrer que l’aire de l’hexagone FIEJDH
obtenu est égale à la moitié de l’aire du
triangle ABC.



Mots-clés

Conjecture, démonstration, GeoGebra136, triangles, aires, hexagone, raisonner,
chercher, communiquer.




136 — GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique.
143 — Géométrie


Pourquoi ce problème ?

Ce problème permet de conjecturer puis de démontrer une propriété générale pour
ensuite l’appliquer à un exemple. Il permet d’initier les élèves à la démonstration
en utilisant les propriétés des figures usuelles (ici, principalement le triangle), et le
raisonnement occupe une place centrale.

Les prérequis sont peu nombreux (hauteurs et aire d’un triangle). Une résolution
dès la classe de 5e peut être envisagée. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dyna-
mique permet de multiplier les essais et d’émettre une conjecture.

Dans ce problème, on retrouve les trois étapes fondatrices du raisonnement
mathématique :

      Conjecturer                     Démontrer                       Appliquer


La conjecture va être émise après l’observation et l’analyse des figures produites
avec le logiciel de géométrie. La démonstration va permettre de rendre universelle
cette propriété.

La troisième étape permet de mener un raisonnement en s’appuyant sur la pro-
priété démontrée.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Le passage de la géométrie des tracés à la géométrie théorique est un objectif
central du cycle 4. Cette géométrie théorique repose sur les raisonnements et la
démonstration. Ce problème permet de proposer plusieurs démonstrations (par-
ties I et II) s’appuyant sur très peu de prérequis.



Stratégies d’enseignement

Ce problème gagne à être proposé en groupe ou en binôme afin de multiplier les
points de vue – l’apprentissage entre pairs étant un élément d’efficacité.

PARTIE I
L’objectif de cette partie est de démontrer la propriété : « Une médiane d’un triangle
partage ce triangle en deux triangles de même aire. » La notion de médiane d’un
triangle n’est plus présente dans les textes officiels, cependant ce problème peut
être fait sans utiliser le mot « médiane », la propriété étant alors énoncée de la façon
suivante : « Si, dans un triangle ABC, on nomme M le milieu du côté [BC], alors la
droite (AM) partage le triangle ABC en deux triangles de même aire. »
144 — Géométrie

La mise en œuvre de cette partie peut nécessiter une explication préalable de
vocabulaire, notamment le terme de conjecture. Les élèves vont assez vite trouver
que, quelles que soient les longueurs et la forme du triangle, les aires sont égales.
Cependant, la formulation de la conjecture risque d’être maladroite dans un premier
temps. Il est important de laisser vivre ces formulations intermédiaires afin de
centrer le débat sur la propriété obtenue et sur le raisonnement pour la démontrer.
Un temps de mise en commun sera nécessaire pour formuler correctement et
rigoureusement la conjecture établie par l’ensemble de la classe.

En début de cycle 4, la démonstration sera certainement confuse et peu argu­
mentée. Le professeur veillera à faire évoluer les démonstrations de chaque groupe
sans imposer une trame, mais en aidant à organiser les idées de tous. La précision
du vocabulaire utilisé est primordiale, les notations géométriques prennent ici tout
leur sens.

Enfin, il serait intéressant de présenter plusieurs démonstrations (à l’aide d’un
visualiseur par exemple) et de tirer les points positifs et négatifs de chacune.
Avec l’aide de la classe, une démonstration regroupant tous les critères dégagés
précédemment pourra être rédigée et utilisée comme modèle pour les élèves. Il est
important qu’une trace écrite validée par l’enseignant et la classe soit laissée dans
le cahier.

Remarques :
— la démonstration de la conjecture (question b) peut être guidée ou non : on peut
   introduire un point H tel que H soit le pied de la hauteur issue de A ;
— il semble incontournable de rappeler la formule de l’aire d’un triangle en amont
   de la résolution du problème ;
— les triangles AMC et AMB ne sont pas égaux (sauf cas particuliers), mais ils ont
   la même aire, ce qui permet de rappeler que deux figures de même aire ne sont
   pas forcément superposables ;
— la verbalisation de la conjecture obtenue est primordiale. Il faudra s’accorder
   sur la formulation de la propriété trouvée avant d’essayer de prouver quoi que
   ce soit ;
— on retrouve ici le triptyque manipuler (avec GeoGebra) – verbaliser (avec le
   groupe et l’enseignant) – abstraire (démontrer et être convaincu que cette
   propriété est toujours vraie) ;
— il n’y a pas de longueurs données, et il est important de ne pas en donner
   pour pouvoir mener un raisonnement général et ainsi favoriser la phase
   d’abstraction sans rester « accroché » à un cas particulier.

PARTIE II

L’application de la propriété (démontrée dans la partie I) à un cas plus complexe
permet de valider son utilité auprès des élèves. Les prolongements proposés
peuvent constituer une réactivation du raisonnement mis en œuvre précédemment.

Le schéma de démonstration est plus simple dans cette partie que dans la partie
précédente puisqu’il suit une trame classique :
145 — Géométrie


       On vérifie
    les hypothèses                   On applique
                                                                     On conclut.
 (toutes les conditions             la propriété.
     sont remplies).



Cependant, même s’il est important de remarquer ce cheminement, il ne saurait
être question de le rédiger en suivant une trame imposée du type « je sais que, or,
donc ». Les élèves pourront cependant être encouragés à utiliser le « donc » plu-
tôt que le « car » (par exemple, « ce quadrilatère a quatre angles droits donc c’est
un rectangle » plutôt que « ce quadrilatère est un rectangle car il a quatre angles
droits »), ce qui deviendra indispensable lors de la rédaction de raisonnements
déductifs complexes.

Remarques :
— point de vigilance : les médianes sont concourantes en G ; on pourra utiliser
   GeoGebra pour le faire constater aux élèves et l’admettre ;
— la difficulté principale réside dans la décomposition de la figure. L’élève doit
   observer que cette figure est un assemblage de six triangles (ayant G comme
   sommet commun) et appliquer six fois la propriété vue en partie I ;
— observation de la figure : le point G est le point d’intersection des diagonales [DI],
   [EH] et [FJ] ;
— on pourra donner une figure déjà faite ou bien une figure à main levée puis
   demander aux élèves de la faire en vraie grandeur ; ou bien ne pas du tout la
   donner et la faire tracer aux élèves.



Pour aller plus loin

Soit ABC un triangle. On place un point G à l’inté-
rieur du triangle ABC.                                                                 B
                                                      A          E
La droite (AG) coupe le côté [BC] en F, la droite                             I
                                                             J
(BG) coupe le côté [AC] en D et la droite (CG)                       G
coupe le côté [AB] en E.
                                                             D
Les points H, I et J sont les milieux respectifs                         H
des côtés [CG], [BG] et [AG].                                                 F
Montrer que l’aire de l’hexagone FIEJDH obtenu
est égale à la moitié de l’aire du triangle ABC.                         C

Remarques :
— le point G est placé à l’intérieur du triangle : il sera intéressant de déplacer le
   point G et de constater que l’hexagone change de forme, mais qu’il a toujours la
   même aire ;
— la figure est moins « régulière » que celle obtenue à la partie II du précédent énoncé ;
— on enlève la contrainte des médianes concourantes en G ;
— les scénarios envisagés à la partie II peuvent être envisagés ici ;
— les droites utilisées ne sont pas remarquables.
    146 — Géométrie


Problème 3. Le triangle mystère
(raisonner pour construire)


    Énoncé

    Construire le plus précisément possible un triangle qui comporte un angle de 60°
    et un autre de 80° et dont le périmètre est égal à 15 cm137.




                                  60°
       80°



    Mots-clés

    Géométrie plane, construction, triangles semblables, représenter, raisonner.



    Pourquoi ce problème ?

    Au premier abord, ce problème peut sembler simple puisqu’il s’agit de construire un
    triangle, tâche familière pour des collégiens. Mais cette construction nécessite de faire
    au préalable un raisonnement assez atypique. Pour le résoudre, il faudra s’appuyer
    sur deux triangles semblables : le premier qui va respecter les mesures d’angles
    données, que l’on va tracer avec les outils de géométrie et sur lequel on effectuera des
    mesures de longueur, et le second qui répondra aux critères demandés (périmètre
    compris), que l’on ne peut qu’imaginer, et éventuellement représenter à main levée,
    au départ. Il s’agit non seulement de saisir la proportionnalité existante entre les
    longueurs des côtés qui se correspondent, mais également la proportionnalité entre
    les périmètres des deux triangles.

    Ce problème permet d’utiliser les triangles semblables dans un autre contexte que
    le calcul d’angle ou d’une longueur de segment à segment correspondant.


    137 — Problème issu de la compétition Mathématiques sans frontières
    3e-2de, académie de Strasbourg, décembre 1997, « Dessine-moi
    un triangle » : http://maths-msf.site.ac-strasbourg.fr/spip/spip.
    php?article573
147 — Géométrie

Ce problème sera notamment difficile à résoudre si l’on commence par procéder en
tâtonnant à partir des mesures des côtés. Pourtant, beaucoup d’élèves s’interrogent
d’abord sur la mesure du premier côté à tracer, puis choisissent comme mesures
des côtés en centimètres un triplet de nombres dont la somme est égale à 15 et sont
alors amenés à ajuster ces mesures en surveillant l’évolution des angles, en pure
perte. Même les petits raisonnements qui mènent à constater que le triangle n’est
ni isocèle ni rectangle, qu’aucun de ses angles n’est obtus et que la longueur de son
plus grand côté est strictement inférieure à 7,5 cm ne permettent pas de progresser.

En revanche, en construisant un triangle tenant compte seulement des deux pre-
mières contraintes données dans l’énoncé, c’est-à-dire les mesures des deux angles,
on peut ensuite facilement construire un autre triangle semblable à celui-ci (donc
avec les mêmes angles), mais de périmètre 15 cm, avec un raisonnement sur les
triangles semblables et un calcul de proportionnalité sur les longueurs des côtés.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Se résolvant grâce à un raisonnement basé sur les triangles semblables, ce pro-
blème trouve sa place en classe de 3e, plutôt en fin de séquence sur ce sujet, car
il est assez difficile.

Dès la classe de 6e, des problèmes de construction nécessitant des raisonnements
et s’appuyant sur la définition du cercle, la distance entre deux points et les relations
entre des droites en particulier, sont proposés. Ils ont pour objectifs de former à
représenter une figure par un dessin à main levée et codée, à acquérir le langage
géométrique en rendant compte, le plus souvent oralement, de petits raisonnements.
Ces raisonnements s’enrichissent au cycle 4 avec de nouvelles propriétés des
quadrilatères et les théorèmes enseignés.

Au lycée, la recherche des valeurs exactes des longueurs peut invoquer la loi des sinus.
148 — Géométrie


Stratégies d’enseignement

Aucun mot de l’énoncé ne présente de difficulté particulière (même s’il faut toujours
s’assurer que les élèves ne confondent pas périmètre et aire). Pour résoudre ce
problème, on commence par fixer arbitrairement (mais raisonnablement) la mesure
d’un premier côté et on trace un triangle dont deux angles mesurent 60° et 80°.
On recommence cette étape en calculant le périmètre des triangles obtenus en
essayant de les faire évoluer vers un périmètre de 15 cm. Cela peut être indiqué à
des élèves qui ne démarrent pas ou s’égarent trop longtemps dans une stratégie dont
on leur montre qu’elle n’aboutira pas. Après un petit temps de recherche individuelle,
on peut proposer à des binômes d’élèves de comparer leurs premières construc-
tions. En constatant que les triangles ont la même allure si on tourne (ou même si
on retourne) les feuilles, il s’agit de réussir à faire émerger la notion de triangles
semblables à partir de deux angles égaux deux à deux puis d’inciter à revenir à la
définition ou à la propriété caractéristique sur les côtés dont les longueurs sont
proportionnelles. Ayant à leur disposition plusieurs exemples de triangles, il reste à
choisir celui dont le périmètre permettra le calcul de proportionnalité le plus simple
avant de construire le triangle demandé.

La mise en commun des résultats des élèves peut s’avérer délicate si le professeur
n’explicite pas assez tôt le statut des mesures utilisées. Il est indispensable d’utiliser
les mesures des deux côtés du triangle obtenu après construction des deux angles.
Or ces mesures sont nécessairement très imparfaites, ce qui entraînera des diffé-
rences, éventuellement assez nettes dans les résultats. Les élèves obtiendront des
triangles assez proches, mais pas rigoureusement identiques. Il faudra bien, malgré
tout, choisir des mesures pour développer le raisonnement et le professeur veillera
à bien mettre en avant la démarche et à aider à prendre du recul sur les résultats.

Le raisonnement à faire ensuite permet de comprendre que, puisque les triangles
qui répondent aux premières contraintes de l’énoncé sont semblables, alors le
triangle recherché est celui qui a, en outre, un périmètre précis. On incite alors les
élèves à revenir à la définition ou à la propriété caractéristique sur les côtés dont
les longueurs sont proportionnelles. Ils sont encouragés à relire leur leçon en com-
parant les énoncés de ses propriétés avec les éléments connus dans l’exercice, puis
incités à utiliser les mesures des deux autres côtés de leurs triangles. À cette étape,
on peut leur proposer d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique (par groupes ou
seulement avec l’ordinateur du professeur dont l’écran est projeté pour la classe)
qui donnera des mesures un peu plus fiables, même si elles ne seront pas parfaites,
grâce à une construction plus précise. Il est utile que le professeur explique que la
démarche de cet exercice est particulière car elle associe mesures empiriques et
raisonnement déductif.
149 — Géométrie

Ayant à leur disposition plusieurs exemples de triangles, ils peuvent calculer leur
périmètre et, en ajustant peu à peu la mesure du premier côté choisi ou en comparant
les résultats obtenus dans la classe, constater que le triangle cherché a un premier
côté (celui qui est adjacent aux angles de 60° et 80°) dont la longueur est comprise
entre 3,5 cm et 4 cm. En effet, voici ce que l’on obtient en utilisant le logiciel GeoGebra :

                        C




                              CB = 5,39
 AC = 6,13




        60°                 80°
A                                 B
               BA = 4

Pour utiliser la notion de proportionnalité des côtés des triangles semblables, il leur
reste à en choisir un pour effectuer le calcul de proportionnalité. Par exemple, on
pourra leur demander de produire un tableau de proportionnalité qui reprend la
mesure d’un côté et le périmètre d’un triangle déjà construit et de l’utiliser pour
calculer la valeur approchée de la mesure du premier côté dans le triangle cherché.


                                             Périmètre       Périmètre
    Longueur     Longueur         Longueur
                                             du triangle     du triangle     19,4     15
    AB en cm     AC en cm         BC en cm
                                               en cm         en cm

       3            4,6               4,04     11,64         Longueur
                                                                              5        ?
      3,5           5,36              4,76     13,62         AB en cm

       4            6,13              5,39     15,52

       5            7,66              6,74      19,4


Il convient d’être vigilant sur le fait que cette démarche s’oppose à ce que l’on
attend souvent des élèves en géométrie, à savoir une démarche qui repose sur un
raisonnement et non sur la mesure sur une figure. Les démarches expérimentales
qui font appel à des mesures sur une figure ont toute leur place dans la résolution
de problèmes (par exemple lorsque l’élève construit une représentation à l’échelle
d’une situation réelle et mesure sur sa figure), mais, pour éviter les confusions,
on veillera à bien expliciter les différentes démarches et à sensibiliser les élèves
à leurs différences, et ce tout au long du collège.
    150 — Géométrie


Problème 4. Le grand défi
(construire pour raisonner)


    Énoncé

    Chacune des figures suivantes est constituée de deux points A et B. Chacune d’elles
    doit être complétée par un point J qui respecte les conditions suivantes :
    — I, C et D sont trois points tels que I est le milieu des segments [AC] et [BD] ;
    — E est le point tel que A est le milieu du segment [DE] ;
    — J est le milieu du segment [CE].
    Soyez le premier groupe à placer très précisément le point J sur toutes les figures
    pour remporter le défi. Vous devrez ensuite être capables de convaincre les autres
    groupes que toutes vos figures sont correctes !




                 A                                                B

                           B
                                                      A




       A




                                      B




    Mots-clés

    Géométrie plane, construction, parallélogramme, conjecture, géométrie dynamique,
    représenter, raisonner.
151 — Géométrie


Pourquoi ce problème ?

Ce problème nécessite dès le début de sa résolution une prise d’initiative originale
de la part de l’élève. En effet, la construction va reposer sur un point C (ou un point
D) qui n’est pas donné et pour lequel on n’a aucune indication. L’élève doit donc faire
preuve d’imagination et, en quelque sorte, de confiance en lui pour placer ce point
où il le souhaite et continuer la construction qui s’avère ensuite assez facile.

L’observation de plusieurs figures précises (faites à la main et/ou avec un logiciel de
géométrie dynamique) amène un raisonnement inductif. Les multiples représentations
obtenues par le groupe, la classe ou grâce à un logiciel semblent très variées de
prime abord puisque les points A, B et même C sont placés sans aucune contrainte.
Mais leur comparaison amène à constater que les positions des premiers points
n’ont pas d’influence sur la position du point J cherché : il est toujours le milieu du
segment [AB]. On passe donc de cas particuliers à un cas général. L’étonnement qui
résulte de ce premier raisonnement est une stimulation pour nombre d’élèves, car
cela ne se réduit pas, pour eux, à une vérification d’un résultat annoncé.

Un autre moyen de motiver les élèves est la présentation de la consigne sous forme
de défi : cela donne une dimension ludique, avec un enjeu de vitesse et de précision
d’exécution entre les groupes où chacun a à cœur de s’investir.

Ce problème contient aussi un élément intéressant pour la gestion de l’activité par
le professeur lui-même : le point J cherché étant le milieu du segment [AB] donné
initialement, le professeur peut vérifier d’un seul coup d’œil la construction de chaque
élève. Il pourra d’ailleurs expliquer aux élèves que cette figure a une propriété qui
lui permet de le faire, sans pour autant dévoiler ce qu’elle est pendant la phase de
recherche. Cet aspect intrigue facilement les élèves qui, là encore, peuvent être
stimulés.

Enfin, comme d’autres problèmes de géométrie classique, la construction demandée
est complexe sans être difficile à exécuter, et les élèves y apprennent à coder au fur
et à mesure, à prouver ce qui est établi par un raisonnement inductif puis, dans la
phase de raisonnement déductif, à décomposer la figure en sous-figures, extraites
les unes après les autres, mais dans l’ordre de la construction.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème pourra être proposé à partir de la classe de 5e, lorsque les propriétés
du parallélogramme sont connues. Il fait travailler la compétence « représenter »,
mais aussi plusieurs aspects de la compétence « raisonner » : le raisonnement inductif
basé sur l’observation de plusieurs constructions complètes et le raisonnement
déductif à plusieurs étapes qui devra être davantage accompagné par le professeur
en début de cycle. La communication de la preuve, bien organisée à l’écrit, n’est qu’un
attendu de fin de cycle 4.
152 — Géométrie


Stratégies d’enseignement

La consigne s’adresse à des groupes d’élèves, car un travail individuel serait long et
assez fastidieux, ce qui ferait courir le risque de les désintéresser de la situation étudiée.

Les figures données à chaque groupe permettent une différenciation : les figures
avec quadrillage sont plus faciles à exécuter et à vérifier entre élèves. La dernière
figure proposée est importante d’un point de vue didactique, car la construction pas
à pas oblige à sortir du cadre ; pour placer le point J, il sera nécessaire de conjec-
turer sa position. Cela rend le raisonnement nécessaire : les élèves ne peuvent pas
se contenter d’exécuter une construction.

Une ou deux autres figures peuvent être ajoutées pour assurer un bon raisonnement
inductif avec des constructions sur papier, mais elles peuvent être remplacées avan-
tageusement par une deuxième partie de construction avec un logiciel de géométrie
dynamique. Aucun fichier préparé par le professeur n’est utile : les points A et B de
départ sont quelconques.

Si chaque étape de la construction ne comporte aucune difficulté technique parti-
culière après l’étude des parallélogrammes en classe de 5e, la première requiert
une prise d’initiative : le point C (ou le point D) peut être placé où l’on veut sans que
cela change la position du point J. Cela va souvent déstabiliser les élèves qui ne
connaissent initialement pas le résultat et il sera nécessaire de différencier l’aide
apportée. Le professeur doit donc les inciter à se lancer dans la démarche sans
plus d’indication, en les rassurant, ou même proposer explicitement de placer le
point C où ils veulent.

La conjecture sera plus facile à établir dans certains groupes que dans d’autres.
Pour faire un temps de régulation, il est nécessaire d’attendre que tous les élèves
aient chacun une figure bien réalisée. Si la construction avec un logiciel de géométrie
dynamique vient ensuite, il est important de rappeler qu’elle ne permettra que de
consolider la conjecture, pas de la prouver.

L’étonnement devant la conjecture, mieux que les petites imperfections dues aux
erreurs de tracé sur certaines figures, amène la nécessité de la preuve : comment
est-ce possible que le point J soit toujours le milieu de [AB] ? En début de 5e, le pro-
fesseur pourra aider à déterminer les étapes de démonstration, en guidant plus
ou moins les groupes selon leurs besoins. Il sera souvent amené à rappeler aux
élèves de bien coder la figure au fur et à mesure et à leur demander d’extraire des
parties de figure, car il n’est pas naturel pour eux de faire abstraction de certains
éléments, de redessiner à main levée une partie de la figure. La dernière étape de
démonstration nécessite l’utilisation de la propriété suivante dans le quadrilatère
AEBC : « Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur,
alors c’est un parallélogramme. » Si cette propriété n’a pas été donnée dans le cours,
le professeur pourra la donner à l’occasion de ce problème.
    153 — Géométrie


Didactique. Raisonner
pour construire et construire
pour raisonner

    Les problèmes de constructions occupent une place privilégiée dans le programme
    de cycle 4. L’objectif n’est cependant pas de rendre les élèves experts en construction
    avec les instruments ou avec un logiciel de géométrie dynamique, mais plutôt de leur
    apprendre à observer, analyser, modéliser et représenter des figures complexes
    afin de les faire raisonner. Le lien entre construction et raisonnement est à double
    sens et peut être développé via différents types de problèmes.



    Raisonner pour construire

    Il s’agit de problèmes dans lesquels un raisonnement est un préalable nécessaire
    à la construction d’une figure. Les compétences « chercher » et « représenter »
    y sont particulièrement développées, et le raisonnement est l’objectif principal.
    La construction en vraie grandeur peut y être secondaire et ne représenter qu’une
    application finale, l’aboutissement d’un raisonnement. Ainsi, ces problèmes doivent
    inciter à tracer des figures à main levée et à les coder, les codages étant des tra-
    ductions des propriétés données dans le texte de l’énoncé. La figure à main levée
    et codée permet d’analyser les liens entre les différents éléments ou d’éviter des
    représentations erronées.

    Ces problèmes peuvent être très simples ou beaucoup plus complexes. Envisageons
    par exemple le problème suivant : « Construire un rectangle EFGH tel que EF = 6 cm et
    EG = 8 cm. » Sans schéma codé, beaucoup d’élèves se font une mauvaise idée de ce
    qui est demandé et produisent un rectangle ayant pour dimensions 6 et 8 cm, alors
    que c’est la diagonale qui mesure 8 cm. De plus, la construction nécessite de faire
    appel à des propriétés, ce qui permet de montrer leur utilité sans les réduire à un
    catalogue de connaissances. L’objectif premier est bien de raisonner, puis d’aboutir
    à une construction.

    Dans ce type de problème, on peut souvent différencier assez facilement la commu-
    nication du raisonnement, et ce dès la classe de 6e. Certains élèves donneront leur
    raisonnement plutôt à l’oral de manière maladroite, quand d’autres le feront à l’écrit
    et plus rigoureusement, mais tous feront une figure.

    Les élèves seront souvent décontenancés par certains sujets qui ne donnent pas
    toutes les informations pour réaliser immédiatement la figure demandée. Ils suivront
    alors leur intuition et feront des essais dont certains pourront ne pas aboutir (cela
    pourra notamment être le cas du problème « Le triangle mystère », présenté p. 146),
    mais ces problèmes permettront souvent de développer les capacités d’analyse et
    de prise d’initiative des élèves.
154 — Géométrie


Construire pour raisonner

À l’inverse, de nombreux problèmes nécessitent la réalisation d’une figure pour
pouvoir élaborer un raisonnement. Les compétences « chercher », « modéliser » et
« représenter » y sont les plus travaillées. La figure peut parfois amener à produire
un raisonnement inductif (voir problème « Le grand défi », p. 150). Ces problèmes
peuvent faire appel à une modélisation ou être purement mathématiques.

Les problèmes de modélisation, vécus ou issus d’une photo ou d’une vidéo, néces-
sitent le passage d’une situation réelle à un modèle mathématique (par exemple une
figure géométrique), ce qui peut être un véritable obstacle pour les élèves. S’ils ne
maîtrisent pas cette compétence, ils ne peuvent pas accéder au raisonnement. Il est
donc essentiel de former les élèves à modéliser puis à représenter le modèle choisi,
notamment pour les rendre plus autonomes dans l’utilisation d’outils mathématiques
au-delà du strict champ mathématique.

L’exemple suivant138 est présenté de façon à ce que l’élève ait besoin de s’imaginer
la situation, de comprendre dans quel plan se placer pour effectuer ensuite la
modélisation sous forme d’une figure géométrique plane, comportant toutes les
informations nécessaires à la mise en œuvre du raisonnement déductif menant à
la réponse :

                                              « Lors d’une intervention, les pompiers
                                              doivent atteindre une fenêtre située à
                                              18 mètres au-dessus du sol en utilisant
                                              une échelle télescopique qui pivote
                                              autour de son pied. Le pied de l’échelle
                                              est situé sur le camion à 1,5 mètre
                                              du sol et à 10 mètres de l’immeuble,
                                              en face de la fenêtre à atteindre.
                                              Une fois l’échelle positionnée, quel
                                              angle fera-t-elle avec l’horizontale et
                                              quelle longueur aura-t-elle ? »

Par ailleurs, certains problèmes purement mathématiques réclament un véritable
travail de construction avant la phase de raisonnement. C’est notamment le cas des
problèmes qui nécessitent d’énoncer une conjecture, par exemple en s’appuyant
sur un raisonnement inductif à partir de l’observation de plusieurs figures (ou d’une
figure dynamique). Dans ces problèmes, la construction d’une figure peut aider à la
compréhension de la situation, mais peut aussi servir à décomposer un problème
en sous-problèmes (voir par exemple le problème « Le grand défi », p. 150).




138 — Photo : Pixabay
      156 — Géométrie


En résumé

 	Le passage de la géométrie perceptive à la géométrie
   du raisonnement est délicat et doit être accompagné
   de situations-problèmes qui illustrent la force
   du raisonnement.

 	En géométrie, les élèves peuvent rencontrer deux types
    de difficultés liées à la perception : penser ce qui n’est pas
    visible (en particulier en géométrie dans l’espace), et penser
    juste même lorsque le visible induit en erreur (figures
    à main levée erronées en géométrie plane par exemple).


 	Les logiciels de géométrie dynamique sont un appui
   essentiel et permettent la mise en œuvre d’une démarche
   scientifique : après le test sur de nombreux cas, les élèves
   conjecturent, puis peuvent s’engager dans la preuve.

 	En géométrie, construction et raisonnement sont étroitement
    liés. La construction est un point d’appui à l’élaboration
    du raisonnement, et parallèlement, la réalisation de certaines
    constructions nécessite un raisonnement préalable.
            VI
Grandeurs
        158 — Grandeurs

Depuis 2002, la partie sur les grandeurs et mesures
est clairement identifiée dans les programmes de l’école
et du collège139. Le document d’accompagnement140
de 2008 – outil toujours pertinent pour la formation
des enseignants – et le nouveau document ressource141
insistent sur la place de ce thème dans la résolution
de problèmes. Les problèmes de ce chapitre visent
à travailler d’une part les grandeurs indépendamment
de leurs mesures, et d’autre part les grandeurs
quotients dans le contexte linéaire ou non linéaire.




Entrée historique

        Au xviiie siècle, les systèmes de mesure (longueurs, poids, capacités, monnaies, temps)
        sont complexes. De plus, ils varient d’un pays à l’autre, d’une région à l’autre, d’une
        ville à l’autre, d’une corporation à l’autre. Cela entraîne des calculs compliqués dans
        la vie quotidienne, des erreurs fréquentes et de multiples possibilités de fraude. Pour
        remédier à cette situation, la Convention nationale, par son décret du 1er août 1793,
        institue un nouveau système général des poids et mesures reposant notamment sur
        la division décimale de toutes les unités de grandeur.

        Pour faciliter la transition, on constitue des tables numériques de conversion,
        mais celles-ci se révélant d’un usage difficile pour la population, on essaie aussi de
        recourir à des tables graphiques. C’est ainsi qu’après diverses tentatives, Louis-
        Ézéchiel Pouchet (1748-1809), un manufacturier de coton de Rouen, propose en
        1797 un tableau graphique universel pour toutes les multiplications et divisions
        nécessitées par les problèmes de conversion (voir figure 34, ci-contre). Cet abaque
        est formé d’un réseau d’hyperboles d’équations xy = z pour les valeurs entières de
        z de 1 à 100. Une relation ab = c entre trois nombres est représentée par le point
        de concours de trois lignes : la droite d’équation x = a, la droite d’équation y = b et
        l’hyperbole d’équation xy = c. Deux des nombres a, b, c étant donnés, on peut ainsi
        déterminer le troisième par simple lecture.




        139 — https://www.education.gouv.fr/bo/BoAnnexes/2004/
        hs4/maths_sixieme.pdf ; https://www.education.gouv.fr/bo/
        BoAnnexes/2005/hs5/annexe2_1.pdf
        140 — https://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/16/9/
        doc_acc_clg_grandeurs_109169.pdf
        141 — https://cache.media.eduscol.education.fr/file/
        Mathematiques/16/8/RA16_C3_MATH_grand_mesur_N.D_609168.pdf
159 — Grandeurs

Voici un exemple de problème donné par Pouchet : « À 25 carlins la canne de Naples,
combien le mètre ? » Sachant qu’une canne vaut 1,965 mètre et qu’un carlin vaut 0,44
franc, le résultat cherché est 25 x 0,44 ÷ 1,965 franc par mètre. Pouchet décrit ainsi
le calcul graphique à effectuer (figure 34) : « À l’intersection du multiplicande 25 &
du multiplicateur 0,44, prenez le produit 11 & à l’intersection du dividende 11 avec
le diviseur 1,965, prenez le quotient 5,6, qui est la réponse à la demande. »

À la suite de Pouchet, des tables graphiques de calcul ont été utilisées dans de nom-
breux domaines jusque dans les années 1970, où elles ont été en grande partie
supplantées par les calculatrices électroniques et les ordinateurs.




Figure 34. Tableau graphique universel proposé par Louis-Ézéchiel Pouchet. Calcul de 25 x 0,44 ÷ 1,965 sur cet
abaque : en multipliant 25 par 0,44, on arrive sur l’hyperbole cotée 11, puis, en divisant 11 par 1,965, on obtient 5,6.
L’approximation est suffisante pour les besoins courants. Noter qu’à chaque étape, le placement de la virgule se fait
par une estimation mentale de l’ordre de grandeur : il s’agit donc d’un calcul en virgule flottante.
    160 — Grandeurs


Point sur la recherche                                                   142




    Les élèves sont facilement convaincus qu’on obtient des douzièmes en pliant en douze
    parts égales une feuille A4. Plusieurs pliages sont cependant possibles, qui donnent
    des « douzièmes » de formes différentes (voir figures 35 et 36). S’agit-il du même
    douzième ? « Puisque 12 douzièmes c’est 1, c’est le même douzième » constitue une
    justification courante, d’ordre algébrique, qui repose sur « puisque 12a = 1 et 12b = 1,
    alors a = b ». Est-ce aussi élémentaire qu’il n’y paraît ?




    Figures 35 et 36. Deux pliages en 12 parts égales qui forment des rectangles trapus ou allongés.


    Les nombres sont enseignés et donc pensés par les élèves comme mesures de
    grandeurs et les pliages en « douzièmes » mettent en jeu la grandeur aire. Considérant
    les pliages des figures ci-dessus, pour trancher sur l’identité des douzièmes, une
    justification, d’ordre pragmatique, consiste à tester la recomposition d’un rectangle
    trapu, par découpages et recollements, en un rectangle allongé. Dans une classe,
    la conclusion sera affirmative ou négative selon l’habileté les élèves. L’enseignant
    peut forcer la conclusion en affirmant qu’en théorie, la recomposition est possible.
    Il peut aussi engager les élèves dans une justification complémentaire. Une étape
    préliminaire est nécessaire : si le pliage est idéal, tous les rectangles trapus sont
    identiques, de même pour les rectangles allongés. Imaginons alors que les aires
    des rectangles trapus et allongés soient différentes. Deux aires étant toujours
    comparables (1), supposons, par exemple, que l’aire d’un rectangle allongé est
    plus grande. L’aire du petit peut alors être complétée pour former la grande (2).
    Une expérience de pensée permet d’affirmer que la juxtaposition de 12 rectangles
    trapus reconstitue la feuille et que celle des 12 rectangles allongés est plus grande,
    ce qui est impossible. Ce raisonnement élémentaire – mais par l’absurde – établit la
    régularité de la multiplication d’une grandeur par entier et assure qu’il s’agit bien du
    même douzième. Il est généralisable à la multiplication par un rationnel et est aussi
    valable pour la grandeur nombre.

    Cet exemple illustre que les grandeurs et leurs propriétés (ici, notamment 1 et 2)
    fournissent des opportunités pour l’apprentissage du raisonnement, apportent
    des justifications de natures variées utiles pour l’apprentissage des propriétés
    des nombres et des opérations, et suggère que leur absence pourrait induire des
    failles logiques dans cet enseignement, questions explorées par la recherche en
    didactique143 .


    142 — Contribution de Christine Chambris.
    143 — Cf. références bibliographiques du chapitre 6. Voir p. 212.
    161 — Grandeurs


Mathématiques. Notions
de grandeurs , mesures et unités 144




    Grandeur (divisible)

    Les grandeurs physiques ou mathématiques dépendent des objets d’étude qui peuvent
    porter plusieurs espèces de grandeurs (masse, longueur, durée, prix). Une grandeur
    met en relation des objets différents au sens des « relations d’équivalence » (tous
    les objets de même masse portent la même grandeur). Les grandeurs (d’une même
    espèce, par exemple, la masse) vérifient une relation d’ordre total (on peut comparer
    des masses), possèdent une addition (on peut additionner des masses) et par itération
    une multiplication par un entier (une masse trois fois plus lourde qu’une autre), une
    soustraction (si une masse est plus petite qu’une autre, on peut trouver une masse
    différente), et généralement la division par un entier non nul (on parle alors de grandeur
    divisible). Certaines notions discrètes (habitant, voyageur, véhicule) sont traitées
    comme des grandeurs (discrètes) et en pratique comme des grandeurs (divisibles)
    dès que les cardinaux sont grands (le tiers d’une population de 3 500 habitants).



    Mesure

    Mesurer une grandeur, c’est chercher combien de fois elle contient une grandeur
    de même espèce, appelée unité. Cette mesure dépend donc de l’unité, contrairement
    à la grandeur qui est intrinsèque. Le résultat de la mesure est donc un nombre.
    La mesure permet de comparer deux grandeurs (divisibles) de même nature en
    ramenant la comparaison à celle de deux nombres.



    « Grandeur repérable »

    Certaines grandeurs physiques ne sont pas mesurables, car l’échelle numérique
    associée, pour les caractériser, dépend du choix d’une origine (comme la température
    thermométrique Celsius, la date calendaire). Dans ce cas, ces grandeurs sont dites
    repérables, et on devrait dire au quotidien « repérer une température » plutôt que
    « mesurer une température ». Point de vigilance : passer de 10 °C à 20 °C, ce n’est
    pas doubler la température, car dans l’échelle Fahrenheit on passe de 50 °F à 68 °F
    qui n’est pas un doublement.

    144 — Le document d’accompagnement d’octobre 2007 définit
    de manière claire et précise la notion de grandeur : http://cache.
    media.education.gouv.fr/file/Programmes/16/9/doc_acc_clg_
    grandeurs_109169.pdf
    162 — Grandeurs


    Grandeurs et dimension

    La dimension caractérise la nature de la grandeur et définit les unités utilisables.
    On peut ramener la dimension de grandeurs physiques à une combinaison parmi
    les sept grandeurs fondamentales (masse, longueur, durée145 , etc.). Ainsi, l’aire est
    une grandeur produit, tandis que l’angle est une grandeur sans dimension.




Problème 1. Le Curvica

    Curvica est un puzzle pédagogique de 24 pièces inventé par Jean Fromentin en 1982
    et publié par l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement
    public (Apmep)146. Les pièces, toutes différentes, sont constituées de 4 côtés bombés,
    rectilignes ou creusés à partir d’un même carré.




                                                                                           147
    Figure 37. Les 24 pièces de ce puzzle Curvica forment un rectangle de 4 pièces sur 6      .




    Énoncé

    On s’intéresse uniquement aux pièces A, B, C, D, E et F.
    a. Classer ces 6 pièces du plus petit au plus grand périmètre.
    b. Classer ces 6 pièces de la plus petite à la plus grande aire. Que remarque-t-on ?
    c. Quelles sont les deux pièces qui ont la même aire et le même périmètre ?
    d. Trouver deux pièces qui ont le même périmètre, mais des aires différentes.

    145 — Source : https://ics.utc.fr/PS90/chapitre1/co/definition-
    grandeur
    146 — https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Curvica_Touss_From_-2.pdf
    ou https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Defis_curvica.pdf
    147 — Ces images sont issues du site de l’Institut de recherche sur
    l’enseignement des mathématiques de La Réunion : https://irem.univ-
    reunion.fr/spip.php?article802
163 — Grandeurs


Mots-clés

Distinction aire/périmètre, chercher, raisonner.



Pourquoi ce problème ?

Ce problème a pour enjeu, d’une part, de distinguer aire et périmètre et d’autre
part, de ne pas utiliser la mesure pour comparer les différentes grandeurs. Il sera
­l’occasion de montrer aux élèves que des figures de même périmètre peuvent avoir
 des aires différentes (et réciproquement).



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Ce problème peut être traité dès le début du cycle 3 et se prolonger en fin de cycle 4
ou en classe de 2de.

Au cycle 3, on pourra effectuer les comparaisons sans mesure par superposition
des aires, et pour les périmètres utiliser le principe du plus court chemin (en géo-
métrie euclidienne le chemin le plus court entre deux points est le segment reliant
ces deux points).

En fin de cycle 4 et en 2de, le travail pourra s’orienter vers l’expression des périmètres
et des aires. Il est envisageable de s’affranchir de calculs numériques en posant,
par exemple, p la longueur de cet arc de cercle et a l’aire de la portion de disque
ainsi générée. Ainsi, il sera possible d’exprimer, en fonction de p, le périmètre, et en
fonction de a, l’aire de chacune des 24 pièces et de comparer ces périmètres et ces
aires. La propriété d’additivité de l’aire prend ici tout son sens.



Stratégies d’enseignement

En fin de cycle 3, il convient de mettre à disposition les pièces afin de permettre aux
élèves de manipuler et ainsi de comparer aires et périmètres. Il est possible, dans
le cadre de la différenciation, de varier l’énoncé en modifiant le choix des pièces au
départ et en modulant le questionnement.
    164 — Grandeurs


    Énoncé alternatif

    On s’intéresse uniquement aux pièces E, I, K, Q et S.
    a. Classer ces 6 pièces du plus petit au plus grand périmètre.
    b. Classer ces 6 pièces de la plus petite à la plus grande aire. Que remarque-t-on ?
    c. Quelles sont les deux pièces qui ont la même aire et le même périmètre ?
    d. Trouver deux pièces qui ont le même périmètre, mais des aires différentes.



    Pour aller plus loin

    La comparaison, en général, pour un périmètre donné L, des aires et des surfaces
    possibles A n’a guère de sens puisqu’il s’agit de grandeurs différentes. Un débat
    dans la classe devrait conduire à comparer plutôt l’aire A à L2, le carré du périmètre.
    En manipulant une ficelle fermée de longueur donnée, les élèves arrivent facilement
    à constater que l’aire A est dominée par l’aire du disque, que l’on peut exprimer par
    L2 , ce qui nous amène à l’inégalité isopérimétrique : 4πA ≤ L2.
    4π

    TRANSFERT
    Le Curvica triangulaire (construction des pièces non plus sur la base d’un carré,
    mais d’un triangle équilatéral).




Problème 2. Des robinets
qui coulent


    Énoncé

    On dispose de deux robinets. Le premier est capable de remplir un réservoir d’eau
    de 24 L en 1 minute, le second peut remplir ce même réservoir en 2 minutes.
    En ouvrant les deux robinets au même moment, combien de temps faudrait-il pour
    remplir un jacuzzi avec 1 080 L d’eau ?
    a. 15 min
    b. 67,5 min
    c. 135 min
    d. 30 min
165 — Grandeurs


Mots-clés

Notion de débit, 1 dm3 = 1 L, contenance, durée, proportionnalité, ratio.



Pourquoi ce problème ?

Les problèmes de robinet ont laissé quelques mauvais souvenirs dans l’enseignement
et ont souvent été décriés. Comme rappelé dans l’entrée historique du chapitre 2,
ces problèmes relèvent de la proportionnalité et de la méthode de la fausse position
comme dans l’exemple traité par Fibonacci : « Un lion mange un mouton en 4 heures,
un léopard en 5 heures et un ours en 6 heures. On demande en combien d’heures
ils auront dévoré un mouton si on leur en jette un entre eux. »

Plus généralement, selon la grandeur de référence prise (temps, volume, débit) ou
la notion en appui pour les calculs (proportionnalité directe, fraction, ratio, etc.), les
démarches de modélisation, en lien avec la proportionnalité, présentent une variété
d’approches montrant qu’il existe plusieurs façons de résoudre des problèmes mathé-
matiques. Ainsi, les mathématiques contribuent à la pluralité des approches, au débat
contradictoire, mais reposant sur le raisonnement, et à l’argumentation partagée.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Les élèves peuvent rencontrer des difficultés à se représenter correctement la
situation, notamment pour faire le lien entre débits, volume d’eau et temps. Le fait
que le deuxième robinet mette « deux fois plus de temps » peut être confondu avec
« deux fois plus de volume », car fonctionnant deux fois plus longtemps.

Au milieu du cycle 4, après un travail sur les grandeurs quotients, ce problème peut
être proposé pour mobiliser la notion de débit en parallèle avec la notion de vitesse
rencontrée dès le cycle 3148 .



Stratégies d’enseignement

Différentes démarches (on en présente trois ici) sont envisageables, mais elles
mettent toutes en jeu un raisonnement autour d’une unité permettant un rai­
sonnement qui s’appuie sur la proportionnalité. L’utilisation d’une modélisation
permet aux élèves d’entrer plus facilement dans le problème en se représentant de
manière concrète la situation.

148 — « […] l’élève utilise la proportionnalité pour résoudre
des problèmes simples mettant en jeu des échelles, des pourcentages,
des déplacements à vitesse constante », extrait de programme.
166 — Grandeurs

L’énoncé présente une difficulté pour comparer les débits des deux robinets.
Ce point n’est pas anodin et résulte d’une analyse précise de l’énoncé par l’élève qui
doit se poser la question : « Que se passe-t-il en une minute [l’unité de temps du rai­
sonnement], si je sais ce qui se passe en deux minutes ? » ou, de manière équivalente,
« Que se passe-t-il en deux minutes ? »

DÉMARCHE 1
On raisonne autour de l’unité de temps.

Par minute, R1 (le premier robinet) remplit 24 L et R2 remplit 12 L : à eux deux, ils rem-
plissent 36 L en une minute. Il faut 30 (= 1 080 ÷ 36) minutes pour remplir le jacuzzi.

Dans d’autres pays comme en Allemagne, le symbole est dédié à la corres­
pondance entre deux grandeurs ; on écrirait en Allemagne 1 min 36 L.

DÉMARCHE 2
On raisonne sur les volumes.

En un temps donné, le robinet R1 délivre un volume deux fois plus important que le
robinet R2, ce qui explique que, pendant le temps total, R1 remplit les deux « unités
de volume » tandis que R2 ne remplit qu’une « unité de volume ». La modélisation en
barres, ou un raisonnement élémentaire, indique qu’il y a donc 3 volumes à
considérer. Par conséquent, R1 remplit les deux tiers du volume total du jacuzzi
tandis que R2 en remplit un tiers. On en déduit que R1 remplit 720 L, tandis que R2
remplit 360 L.

                                         1 080 L
             R1                            R1                            R2

                           720 L                                        360 L


Or 720 ÷ 24 = 30 ; il faut 30 minutes pour remplir le réservoir.

DÉMARCHE 3
On raisonne en appui sur le débit de l’un des robinets, comme dans la méthode de
la fausse position.

Supposons que R2 fonctionne seul pour remplir 1 080 L. Si on note D le
débit de R2, V le volume rempli par R2 pendant la durée T, on a par definition
    V 24 L                         V    1 080 L
D = T = 2 min = 12 L/min. D’où T = D = 12 L/min = 90 min, le temps qu’il faudrait si

R2 fonctionnait seul. Or, le volume rempli par R1 et R2 ensemble est égal à 3 fois le

volume rempli par R2. On en déduit que le temps nécessaire pour remplir le jacuzzi
est égal à 90 min ÷ 3 = 30 min.
    167 — Grandeurs

    ANALYSE DES RÉPONSES ET CHOIX DES DISTRACTEURS
    a. L’élève considère qu’en une minute on verse 24 L + 2 × 24 L = 72 L, alors
    1 080 ÷ 72 = 15.
    b. L’élève ajoute les volumes obtenus en une minute pour l’un et en deux minutes pour
    l’autre (ajoute les durées plutôt que de considérer que les robinets fonctionnent en
    même temps). Il obtient 1 080 ÷ 48 = 22,5 puis 22,53 x 3 = 67,5.
    c. Tout se passe comme si chaque robinet remplit seul la piscine ; puis ajout des deux
              1 080 1 080
    durées : 24 + 12 = 135.

    d. C’est la bonne réponse.




Problème 3. Coût carbone


    Énoncé

    Une famille composée de 4 personnes envisage de faire le trajet Lille - Marseille et
    souhaite limiter au maximum l’empreinte carbone de leur voyage (voir le tableau
    ci-dessous). Cette famille hésite entre le train, l’avion, le bus ou utiliser leur voiture
    familiale qui est un véhicule hybride. On sait que :
    — la distance Lille - Marseille par routes et autoroutes est de 990 km ;
    — la distance Lille - Marseille en avion est de 834 km ;
    — la distance Lille - Marseille en train est de 965 km.
    Quel mode de transport va privilégier cette famille éco-responsable ?


             Mode de transport                          Coût carbone


            Avion                                25 gCO2e/km par passager

          Voiture hybride
                                                 86 gCO2e pour 1 km
     transportant 4 personnes

          Bus transportant
                                                 65 kgCO2e pour 100 km
     50 passagers

              Train grande vitesse               13 gCO2e/km par passager

    Doc. Coût carbone (gCO2e : gramme de CO2 émis).
168 — Grandeurs


Mots-clés

Grandeurs composées, proportionnalité, prise d’initiative, développement durable
et formation du citoyen.



Pourquoi ce problème ?

Le problème s’attache à travailler les grandeurs produits ainsi que les grandeurs
quotients. Son originalité réside dans l’utilisation de grandeurs, que l’on voit rarement
en collège, mais davantage dans des sujets au baccalauréat ou dans les évaluations
internationales où les questions environnementales sont souvent interrogées.

Par ailleurs, le questionnement sur le calcul du coût carbone émis dans les divers
scénarios de transport ouvre, au sein de la classe, un débat scientifique dans un
cadre pluridisciplinaire sur les paramètres complexes qu’il convient de prendre en
compte pour une telle estimation des données inscrites dans le tableau (consom-
mation énergétique, amortissement du matériel, usure de l’infrastructure, taux de
remplissage pour le transport en commun, etc.).



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Cette situation s’apparente à un problème avec prise d’initiative et permet à l’élève de
mobiliser en particulier les compétences « chercher », « calculer » et « communiquer ».

Les méthodes que l’élève peut mettre en œuvre sont plurielles et nécessitent une
vigilance particulière dans le traitement des informations concernant l’unité, pour
pouvoir mener des raisonnements comparatifs. La précipitation est ici à éviter,
comme le signalait déjà Descartes dans sa première règle de la Méthode149, tandis
que la troisième règle suggère de commencer à raisonner sur les objets les plus
simples150. L’élève pourra par exemple raisonner par passager à l’échelle de la famille.




149 — « Le premier [principe] était de ne recevoir jamais aucune chose pour
vraie que je ne la connusse évidemment être telle : c’est-à-dire d’éviter
soigneusement la précipitation et la prévention ; et de ne comprendre rien
de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si
distinctement à mon esprit que je n’eusse aucune occasion de la mettre en
doute », Discours de la méthode, Descartes, 1637.
150 — « Le troisième [principe] de conduire avec ordre mes pensées, en
commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître,
pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu’à la connaissance
des plus composés ; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se
précèdent point naturellement les uns les autres », ibid.
169 — Grandeurs

En classe de 5e, le problème est essentiellement centré sur la proportionnalité et
on veillera à un accompagnement de l’élève quant à sa compréhension des unités
utilisées et la manipulation de ces dernières. À ce titre, il conviendra que l’enseignant
explicite correctement chacune des unités employées ; par exemple pour 60 km/h,
dire « 60 kilomètres par heure » et non pas « 60 kilomètres-heure ».

En milieu de cycle 4, l’enjeu porte sur la compréhension des grandeurs et de leurs
unités respectives ; le professeur laissera une autonomie plus importante à l’élève
dans la résolution de ce problème, notamment pour le traitement des informations
concernant le transport en bus (quel coût est imputable à la famille ?).

Il convient toutefois d’avoir travaillé de manière suffisamment approfondie la pro-
portionnalité pour ne pas entraver la priorité de ce problème sur les différentes
grandeurs mises en jeu.



Stratégies d’enseignement

Ce genre d’exercice se prête facilement au travail de groupe. Les différents coups
de pouce qui peuvent être donnés relèvent essentiellement de la compréhension
des unités.

Le tableau peut être décliné de plusieurs manières afin de mettre en œuvre la diffé-
renciation au sein de la classe. Par exemple, pour faciliter la manipulation des unités,
on peut proposer à certains élèves le tableau simplifié suivant (ce qui n’exclut pas
un accompagnement renforcé pour les élèves les plus fragiles avec l’énoncé initial) :


       Mode de transport                     Coût carbone


      Avion                        25 gCO2e/km par passager

     Voiture hybride
                                   86 gCO2e/km
transportant 4 personnes

      Bus                          13 gCO2e/km par passager

       Train grande vitesse        13 gCO2e/km par passager
    170 — Grandeurs


Problème 4. Excès de vitesse
ou pas ?


    Énoncé

    Un automobiliste, au volant d’une voiture de sport, a effectué le trajet Lille-Caen
    d’une distance de 400 km, uniquement en empruntant les autoroutes A1 et A29.
    Au péage de Dozulé, à l’entrée de Caen, les gendarmes arrêtent l’automobiliste et le
    verbalise pour vitesse excessive en lui rappelant que la vitesse maximale autorisée
    sur une autoroute est de 130 km/h. À l’appui de son ticket de péage (document 3),
    il conteste en précisant qu’il a parcouru 400 km et qu’il est parti de Lille à 12 h 30.
    Qui a raison ?



     400     Distance parcourue
             en km


     350




     300




     250




     200




     150




     100




       50



                                                                          Temps écoulé en h
        0        0,5      1       1,5      2       2,5       3      3,5        4       4,5



    Doc. 1
171 — Grandeurs



                                                          Société des autoroutes
                                                               normandes
                                                           REÇU À CONSERVER

                                                   Sortie : DOZULÉ
                                                   TARIF H.T.     3,08 €
                                                   T.V.A. 20 %    0,62 €
                                                   TARIF T.T.C.   3,70 €

                                                   Paiement : CARTE BANCAIRE

                                                   Date : 26/03/2021        16 h 32


Doc. 2
      151                                        Doc. 3




Mots-clés

Grandeurs composées, proportionnalité, prise d’initiative, formation du citoyen,
vitesse moyenne, lectures graphiques, chercher, calculer, raisonner, communiquer.



Pourquoi ce problème ?

Cette situation s’apparente à un problème avec prise d’initiative et permet à l’élève de
mobiliser de multiples compétences. Il faut être en capacité d’extraire et d’analyser
de l’information utile à partir de documents complexes : une compétence majeure
travaillée depuis l’école primaire et dans toutes les disciplines.



Ressorts de continuité
ou éléments de progressivité

Le problème s’attache à travailler les grandeurs quotients. Il convient d’avoir abordé
de manière suffisamment approfondie la notion de vitesse moyenne, et d’avoir une
maîtrise des lectures graphiques.

Le courbe utilisée dans le document 1 est une fonction affine par morceaux construite
à partir d’un parcours réel dont on a modifié la vitesse sur des segments auto­
routiers : il permettra aux élèves de calculer les vitesses instantanées soit par calcul
exact, soit par estimation.




151 — Cette capture d’image est issue du site Mappy.com
    172 — Grandeurs

    Les différents coups de pouce qui peuvent être donnés relèvent essentiellement
    de la bonne interprétation de la courbe et des choix des intervalles de temps pour
    estimer les vitesses moyennes (glissantes). Des gabarits illustrant les vitesses
    excessives pourront être utiles pour repérer les pentes correspondantes (compte
    tenu des marges d’erreurs et de la précision du tracé, on peut tracer des segments
    représentant des vitesses de 150 km/h ou 160 km/h).




Problème 5. Comparer des formes


    Énoncé

    On considère la forme géométrique ci-dessous dont on cherche à mesurer l’aire en
    fonction des aires de 4 unités différentes (un disque, un carré, un triangle équilatéral
    et une forme quelconque).
    Estimer dans chacun des cas la mesure de l’aire.




    Mots-clés

    Aire, mesure, calculer, chercher, raisonner.
173 — Grandeurs


Pourquoi ce problème ?

Les problèmes d’estimation sont fréquents dans les évaluations internationales et
constituent un point d’appui dans les continuums d’enseignement de l’école primaire
à l’enseignement supérieur. Pour l’élève, sans données numériques disponibles, les
enjeux sont de différents ordres : mise en place de stratégies efficaces, prise d’ini-
tiative, essai-erreur, etc. Pour l’enseignant, c’est l’occasion de revenir sur la notion
même de grandeur et de mesure dans un contexte non normé. Or dans la vie cou-
rante, les comparaisons de grandeurs ne sont pas aisées et dépendent largement
des modélisations sous-jacentes.

Cet exercice renvoie, d’une part, aux fondements de la notion de grandeurs divisibles,
et d’autre part, à des stratégies d’encadrement déjà présentes chez Archimède
(méthode d’exhaustion-compression) et annonçant le calcul intégral.



Ressorts de continuité ou éléments
de progressivité

Dès l’école primaire, les élèves sont amenés à estimer l’aire d’une surface par une
unité, soit dans le cadre des loisirs (recouvrir une forme à l’aide de gommettes), soit
dans un cadre plus structuré lorsque l’on dispose d’un quadrillage, par exemple.

Dans un premier temps, on peut faire travailler les élèves sur l’exemple ci-dessous,
où l’on souhaite estimer l’aire d’une partie du Mont-Saint-Michel en s’aidant d’un
plan quadrillé152 . On peut aussi, dans le cadre de la différenciation, proposer un
quadrillage équilatéral.




152 — Source : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:MtStMichel-
PlanNiveau02-Promenoir.png
174 — Grandeurs


Stratégies d’enseignement

La mesure d’une aire réinterroge les stratégies de comptage qui mettent en jeu
soit des variables d’échelle (compter dans un premier temps des grands carrés,
par exemple, avant de compter des petits carrés), soit l’introduction de formes
connues (de grands rectangles dont on connaît l’aire, en utilisant le produit longueur
fois largeur). La bonne gestion des données et leur disposition ordonnée sont
indispensables pour permettre un comptage final aisé et correct, comme le précise
le troisième principe de la Méthode de Descartes (voir la note de bas de page 150
du problème 3, p. 168).

Cependant, la mesure de l’aire renvoie à l’existence d’une unité dans laquelle il sera
aisé de raisonner.

Une question qui peut être débattue en amont est la désignation ou construction de
cette unité. Si une unité de longueur est proposée (par exemple, une échelle), alors
il conviendra de construire l’unité de surface correspondante, puis d’aller vers la
construction du quadrillage idoine (adapté en fonction de la précision souhaitée).
On peut aussi, à des fins de manipulation – notamment en début de cycle –, procéder
au découpage de l’unité de référence du nombre de fois nécessaire pour assurer
réellement le recouvrement de la surface.

Lorsque les unités sont imposées, un débat avec les élèves conduira à différencier
au moins deux cas :
— 1er cas : on peut construire un pavage (par exemple, un quadrillage carré, hexa-
   gonal, triangulaire), à partir de l’unité proposée, qui nous ramène à la situation
   classique de comptage. Cela permet aux élèves de rentrer rapidement dans le
   problème et ainsi de donner un encadrement de l’aire de la surface ;
— 2e cas : l’unité n’est pas adaptée pour construire un pavage. Dans ce cas, on peut
   construire une unité auxiliaire (par exemple, un carré) qui nous permettra de
   mesurer l’aire de l’objet. En fonction des situations, on pourra mesurer précisément
   l’aire de l’unité avec l’unité auxiliaire (par exemple, disque par rapport au carré), ou
   on essaiera de l’approximer via des estimations par excès et par défaut.



Pour aller plus loin

En dessinant sur la carte un polygone convexe à coordonnées entières, on
peut approcher la surface de manière satisfaisante et introduire la formule
                 b
de Pick (S = i + 2 – 1, avec i le nombre de points intérieurs, b le nombre de points
du bord).
       176 — Grandeurs


En résumé

 	Les grandeurs doivent être travaillées régulièrement
    au cours du cursus de l’élève avant d’introduire les unités.
    Une fois les unités introduites, le travail de l’élève se centre
    sur la notion de proportionnalité, la prise d’initiative,
    le développement de l’esprit critique.


 	Les situations proposées, ancrées dans le réel, sont aussi
    l’occasion d’évoquer des sujets relatifs aux questions
    de société.


 	Les périmètres et les aires, d’abord rencontrés séparément,
    sont ensuite travaillés simultanément, en particulier
    pour déconstruire des représentations erronées du type
    « si le périmètre augmente, l’aire augmente ».

 	Les problèmes proposés doivent également permettre
   de donner du sens aux grandeurs produits (mètre carré)
   et aux grandeurs quotients (gramme par kilomètre
   par passager).
                    VII
Quelles démarches
pour enseigner
la résolution
de problèmes ?
        178 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Ce chapitre a une vocation transversale. Son objectif
est de donner aux enseignants un certain nombre
de pistes destinées à mettre en œuvre des activités
de résolution de problèmes. Il s’agit de créer les contextes
les plus favorables aux apprentissages. Pour cela,
il semble nécessaire que les élèves soient dans
une démarche active de recherche de solutions et que
l’enseignant favorise de diverses manières des processus
de prise de conscience des caractéristiques pertinentes.
Les élèves pourront s’appuyer sur celles-ci lorsqu’ils
rencontreront de nouvelles situations.




Contexte

        La résolution de problèmes n’est pas uniquement applicative, car elle contribue au
        développement des notions mathématiques elles-mêmes.

        Le programme de cycle 4153 précise que la maîtrise par les élèves des notions mathé-
        matiques (savoirs et savoir-faire) mobilisées dans un problème ne saurait suffire
        pour leur permettre de résoudre, en autonomie, ce problème. En effet, il existe une
        distinction bien établie entre connaissances déclaratives et possibilité de mise en
        œuvre de ces connaissances en contexte. La seule maîtrise d’une définition est par
        exemple bien insuffisante pour garantir sa mobilisation à bon escient. Il faut donc que
        l’élève soit en mesure d’identifier des contextes favorables à cette mise en œuvre et
        que les situations-problèmes qu’il rencontre lui évoquent les notions mathématiques
        appropriées et les stratégies adéquates à déployer pour y faire face.




        153 — « Une place importante doit être accordée à la résolution de
        problèmes. Pour être en capacité de résoudre des problèmes, il faut
        à la fois prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y
        engager sans s’égarer, en procédant par analogie, en rattachant une
        situation particulière à une classe plus générale de problèmes, en
        identifiant une configuration géométrique ou la forme d’un nombre
        ou d’une expression algébrique adaptée. Ceci suppose de disposer
        d’automatismes (corpus de connaissances et de procédures
        automatisées immédiatement disponibles en mémoire) », préambule du
        programme de cycle 4, extrait.
    179 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

    La seule confrontation des élèves à la résolution de problèmes, même régulière, en
    classe ou hors de la classe ne saurait suffire non plus à garantir leur réussite. Comme
    le précise Sylvie Cèbe dans un cadre pourtant bien différent, celui de la lecture,
    mais qui vaut tout autant pour les apprentissages mathématiques 154 , un temps
    d’apprentissage pris en charge par l’enseignant est nécessaire : « Il y a très souvent
    des exercices dont on postule qu’à force d’en faire, ils [les élèves] vont extraire les
    procédures [...]. Ce dont on s’est aperçu, c’est que c’est vrai pour le littéral (pour
    restituer des connaissances littérales), mais dès lors qu’il y a de l’inférentiel, alors
    tous les élèves n’arrivent pas à extraire la procédure qui permet de le faire […]. On
    les [les élèves] laisse tâtonner, explorer, découvrir les meilleures manières de faire,
    sans, parfois, leur expliquer comment on fait pour bien faire. »

    Les propositions de ce chapitre constituent des pistes de mise en œuvre visant
    à permettre aux élèves de gagner en autonomie dans la démarche de résolution
    de problèmes. Elles reposent sur l’idée qu’en travaillant sur la mobilisation et la
    reconnaissance des structures et des procédures, les enseignants favorisent le
    développement chez les élèves d’une capacité à résoudre un problème lorsque toute
    autonomie leur est laissée, ainsi qu’une aptitude à identifier des classes de problèmes,
    à transférer des procédures à d’autres situations relevant de la même typologie.




Point sur la recherche


    Favoriser le transfert d’apprentissage
    en résolution de problèmes155

    La suggestion d’utiliser une situation déjà travaillée en classe peut accroître consi-
    dérablement la performance des élèves. En effet, les facteurs d’accès aux connais-
    sances sont des facteurs au moins aussi importants de la réussite du transfert
    d’apprentissage que la possession des connaissances elles-mêmes : lorsque l’élève
    ne fait pas le lien entre une situation connue et une situation nouvelle, il ne peut uti-
    liser ses connaissances de la situation connue.




    154 — http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/education-
    prioritaire/ressources/theme-1-perspectives-pedagogiques-et-
    educatives/realiser-un-enseignement-plus-explicite/enseigner-
    explicitement-pour-quoi-qui-quand-quoi-comment
    155 — Contribution d’Emmanuel Sander.
180 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Des travaux montrent que des similitudes superficielles telles que le thème général
de l’histoire ou les rôles des personnages favorisent l’évocation d’une situation pré-
cédente, pour donner lieu à un transfert positif, et conduire à la résolution, lorsque
les problèmes partagent effectivement la même structure mathématique, et négatif,
en appliquant une stratégie inappropriée, dans le cas contraire. Dans une étude de
Laura R. Novick 156 , les élèves étudient les solutions à un problème partageant des
traits superficiels (il s’agit de répartir des objets en un certain nombre de lignes et
de colonnes), mais relevant d’une autre classe de problèmes que le problème cible,
ainsi qu’à un problème n’ayant pas de traits superficiels en commun, mais étant de
la même classe de problèmes que le problème cible. Les élèves font majoritairement
un transfert négatif, c’est-à-dire qu’ils mettent en œuvre en priorité la stratégie
de résolution étudiée pour le problème ayant des similitudes superficielles avec le
problème cible, bien que le principe de solution diffère.

Concernant la mise en œuvre de stratégies de résolution d’un problème déjà tra-
vaillé en classe, différentes dimensions du contexte limitent la réussite du transfert.
Prenons l’exemple d’une série de problèmes posés par Stephen Reed 157 : pour
chaque thème, il y a un problème source que les élèves apprennent à résoudre et
deux problèmes de transfert.

PROBLÈME SOURCE
Une infirmière mélange une solution de 6 % d’acide borique avec une solution de
12 % d’acide borique.
Combien lui faut-il de chaque solution pour avoir 4,5 litres de mélange à 8 % ?

PROBLÈME 1 DE TRANSFERT ISOMORPHE (ÉPICIER)
Un épicier mélange des cacahuètes valant 6,50 euros le kilo et des amandes valant
21 euros le kilo.
Combien de kilos de chaque sont nécessaires pour avoir 30 kilos d’un mélange qui
vaut 15,30 euros le kilo ?

PROBLÈME 2 DE TRANSFERT ISOMORPHE (INTÉRÊTS)
M. Roberts reçoit 7 % d’intérêts comme revenu de ses actions et 11 % d’intérêts de
ses bons du Trésor.
Combien a-t-il sur chaque compte sachant qu’il a au total 8 000 euros et qu’il a eu
en moyenne 8 % d’intérêts ?




156 — Laura R. Novick, “Analogical Transfer, Problem Similarity,
and Expertise”, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory,
and Cognition, 14(3), 510, 1988.
157 — Stephen K. Reed, “A Structure Mapping Model for Word Problems”,
Journal of Experimental Psychology: Learning Memory and Cognition,
13, 124-139, 1987.
181 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Les résultats du transfert sont faibles, de l’ordre d’un tiers de réussite, tant pour
l’isomorphe épicier que pour l’isomorphe intérêts. Cela peut s’expliquer par le fait que
dans le problème initial, le problème de mélanges entre acides, une fois le mélange
réalisé, il n’y a plus qu’une substance, celle qui résulte du mélange, et les composants
du mélange sont perdus. L’objet auquel s’applique la concentration moyenne est
le résultat du mélange. Ce n’est pas le cas des deux autres énoncés. Par exemple,
pour le problème d’intérêt moyen entre deux comptes, les deux comptes continuent
d’exister, et l’objet auquel s’applique l’intérêt moyen est l’ensemble des deux comptes
constituant le capital de la personne. Comme le problème appris a été codé comme
un problème de mélange avec dissolution des composants, la solution du problème
appris n’est pas reconnue pertinente pour résoudre les deux autres problèmes.

En règle générale, on peut considérer que la raison majeure des faibles perfor-
mances de transfert tient à la représentation que les élèves se sont construite
du problème étudié en classe et à leur représentation du problème à résoudre.
Des études ont montré que la catégorisation du problème, c’est-à-dire le choix des
propriétés qui font apparaître des ressemblances et des différences par rapport à
d’autres problèmes, et les dimensions sur lesquelles se fondent les élèves, ne sont
souvent pas celles qui sont pertinentes sur le plan mathématique158. Un enjeu crucial
est donc que le codage que l’élève a réalisé de la situation-problème soit pertinent sur
le plan mathématique et ne tienne pas principalement à des traits superficiels de la
situation. En effet, dans le cas contraire, l’élève ne sera pas en mesure de transférer
à une nouvelle situation la stratégie travaillée en classe, car il ne reconnaîtra pas la
possibilité de la mettre en œuvre, comme dans cet exemple précédent où ce qui est
travaillé dans le cas d’un mélange de solution chimique n’est réinvesti que par un tiers
des élèves dans le contexte de mélange de fruits secs ou de calcul de taux d’intérêt.

Une activité explicite de comparaison entre problèmes peut favoriser le traitement
en profondeur des deux situations et l’extraction de caractéristiques communes
pertinentes sur le plan mathématique159. Dans les recherches qui s’inscrivent dans ce
paradigme, il est demandé à l’élève de comparer des situations ou des stratégies afin
d’identifier les similitudes ou dissemblances entre elles et ainsi acquérir un codage
commun et utiliser une stratégie efficace. Il a été montré que plus l’élève est guidé
durant le processus de comparaison, plus il sera attentif aux relations partagées
entre les situations. Ainsi, il est bénéfique de demander explicitement aux élèves
une comparaison des cas pendant la phase d’enseignement, car les comparaisons
utiles sont faciles à manquer, même lorsqu’elles peuvent conduire à un meilleur
apprentissage et transfert160. Les études ont aussi mis en évidence une efficacité
plus grande lorsque les situations comparées sont présentées simultanément plutôt
que séquentiellement.


158 — Hippolyte Gros, Jean-Pierre Thibaut, Emmanuel Sander, “What
We Count Dictates How We Count: A Tale of Two Encodings”, Cognition
(online first), 2021: https://doi.org/10.1016/j.cognition.2021.104665
159 — Bethany Rittle-Johnson, Jon R. Star, “The Power of Comparison
in Learning and Instruction: Learning Outcomes Supported by Different
Types of Comparisons”, in Psychology of Learning and Motivation,
vol. 55, p. 199-225, Academic Press, 2011.
160 — Lindsey E. Richland, Ian M. McDonough, “Learning by Analogy:
Discriminating between Potential Analogs”, Contemporary Educational
Psychology, 35, p. 28-43, 2010.
182 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Autrement dit, il y a un bénéfice à reprendre à nouveau le problème d’apprentissage
et à le remettre côte à côte avec le nouvel énoncé 161 . Des travaux ont étudié
l’impact de la distance sémantique dans les tâches de transfert et ont montré que
l’augmentation de la distance sémantique entre deux situations analogues favorisait
la perception des similarités structurelles. Cela indique que moins les situations ont
de traits superficiels en commun, plus la perception des propriétés mathématiques
pertinentes sera favorisée162 .

Un enjeu fort est donc de rendre perceptibles les similitudes et les différences entre
énoncés relevant d’une même classe de problèmes. Une telle activité de comparaison
entre problèmes favorise la prise de conscience chez l’élève des caractéristiques
structurelles du problème par opposition à ses caractéristiques superficielles, ce
qui est crucial dans la perspective du transfert d’apprentissage à de nouveaux
problèmes. Cette forme d’approche s’est avérée un mode particulièrement efficace
pour que les élèves réussissent à situer ce en quoi deux énoncés partagent une
structure mathématique commune au-delà d’habillages différents. Elle permet
également de montrer en quoi des énoncés, qui ont en commun un certain habillage,
peuvent incarner des structures mathématiques différentes et comment une
procédure de résolution applicable pour l’un des énoncés cesse de l’être pour
l’autre. Cette démarche est exemplifiée à travers les études de cas présentées dans
la suite de ce chapitre.



Des situations et des dispositifs de recherche
de problèmes en classe163

Les programmes de ces vingt dernières années, tout comme les évaluations inter-
nationales, renforcent la dimension « résolution de problèmes » dans l’enseignement,
à tous les niveaux de la scolarité. Ce champ est considéré comme difficile par les
enseignants. La recherche en didactique des mathématiques a défini et exploré
différents types de problèmes et de situations qui ont diffusé plus ou moins dans
l’enseignement et qui ont été étudiés régulièrement dans les Irem : situations-pro-
blèmes, problèmes ouverts, problèmes longs, situations ou ateliers de recherche,
activités de recherche et de preuve entre pairs, activités d’étude et de recherche,
parcours d’étude et de recherche, etc.

La plupart de ces problèmes et situations nécessitent certes un temps long en
classe, mais favorisent à la fois l’acquisition de connaissances et le développement
des compétences transversales de l’activité mathématique (chercher, modéliser,
représenter, raisonner, communiquer) chez les élèves.


161 — Bethany Rittle-Johnson, Jon R. Star, “Does Comparing
Solution Methods Facilitate Conceptual and Procedural Knowledge?
An Experimental Study on Learning to Solve Equations”, Journal
of Educational Psychology, 99(3), p. 561-574, 2007.
162 — Michael Vendetti, Bryan J. Matlen, Lindsey Engle Richland,
Silvia Bunge, “Analogical Reasoning in the Classroom: Insights from
Cognitive Science”, Mind, Brain, and Education, 9(2), p. 100-106, 2015.
163 — Contributions de Cécile Ouvrier-Buffet et Marie-Line Gardes.
183 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Les situations-problèmes sont conçues dans le cadre de la théorie des situations
didactiques164 . L’objectif est l’acquisition d’une connaissance nouvelle : il y a des obs-
tacles à l’acquisition de cette connaissance, ou celle-ci est plus appropriée que celles
dont disposent les élèves pour résoudre le problème, ou encore les connaissances
des élèves sont insuffisantes pour résoudre immédiatement le problème. En tra-
vaillant sur des situations-problèmes, les élèves peuvent facilement s’approprier
la situation (imaginer ce qu’est une solution, s’engager dans la résolution, etc.), ont
les moyens de valider leurs productions mais aussi de construire (une partie de) la
connaissance nouvelle165.

Les problèmes ouverts permettent de développer des compétences transversales
chez les élèves, les concepts mathématiques en jeu peuvent être de complexité
variable. L’énoncé d’un problème ouvert est court, n’induit ni la méthode ni la solution.
Il est facile pour les élèves de prendre possession du problème et de s’engager dans
des essais, conjectures, projets de résolution, contre-exemples166 .

Les situations de recherche pour la classe (Sirc) sont des situations issues de la
recherche mathématique actuelle. Cette proximité avec des questions encore par-
tiellement non résolues est déterminante pour le rapport que les élèves vont avoir
avec la situation. Le problème initial est facile d’accès. Il se situe, pour l’élève, hors
des mathématiques formalisées. De plus, la question est facilement identifiable.
Des stratégies initiales existent. Mais les connaissances requises ne sont pas sco-
laires, c’est-à-dire qu’elles ne sont pas notionnelles. Ainsi, il n’y a pas d’obstacles
constitués par des contenus notionnels. Il n’y a pas de « fin de la situation », il n’y a que
des critères de fin locaux. Une question résolue renvoie à une nouvelle question167.




164 — Guy Brousseau, Théorie des situations didactiques,
Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 1998.
165 — Guy Brousseau, op. cit. ; Régine Douady, « Jeux de
cadres et dialectique outil-objet », Recherches en didactique
des mathématiques, 7(2), p. 5-31, 1986.
166 — Gilbert Arsac, Michel Mante, Les Pratiques du problème ouvert,
Sceren-CRDP, académie de Lyon, France, 2007 ; Fabrice Vandebrouck,
Dominique Baroux-Raymond, Géraldine Bonal, Charlotte Derouet,
Ruis Dos Santos, Francoise Hérault, Cécile Prouteau, Gaëlle Temam,
Autour des problèmes ouverts en classe de mathématiques, Irem
de Paris, 2015 : https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/PS/
IPS15002/IPS15002.pdf
167 — Denise Grenier, Roland Bacher, Hervé Barbe, Emmanuel
Beffara, Yvan Bicaïs, Grégoire Charlot, Monique Decauwert, Martin
Deraux, Tarkan Gezer, Jean-Baptiste Meilhan, Frédéric Mouton,
Situations de recherche pour la classe, pour le collège et le lycée…
et au-delà, Irem de Grenoble, 2017 : https://irem.univ-grenoble-alpes.
fr/recherche-action/themes/raisonnement-logique-situations-
de-recherche-pour-la-classe/situations-de-recherche-pour-la-
classe-498450.kjsp?RH=413148517470877
    184 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

    Les situations didactiques de recherche de problèmes (SDRP) sont des situations
    didactiques qui visent l’acquisition de connaissances notionnelles et le développement
    de compétences transversales via la résolution d’un problème mathématique. Le pro-
    blème est souvent issu de la recherche, il est robuste et se trouve dans un domaine
    conceptuel familier des élèves. Il comporte une forte dimension expérimentale,
    c’est-à-dire qu’il permet aux élèves de s’engager dans une démarche de type expé­
    rimental par des allers et retours entre la manipulation des objets mathématiques en
    jeu (tangibles ou non) et l’élaboration de nouveaux objets et éléments théoriques168 .

    Notons que le rôle de l’enseignant dans ces dispositifs est très important. Il adopte
    une posture d’observateur, de médiateur et d’animateur du travail des élèves. Ainsi,
    il va s’assurer de l’engagement de tous les élèves, les relancer et les aider si besoin,
    en veillant toutefois à ne pas fermer le problème ou (in)valider leurs propositions.
    Il est également important de les encourager et de favoriser l’autocritique de leurs
    propositions. Pendant le débat, il doit dynamiser, orienter et cadrer les échanges,
    sans trop les influencer. En effet, on cherche à ce que les conjectures, preuves et
    résultats soient produits et formulés par les élèves. Enfin, dans le temps de synthèse,
    l’enseignant est de nouveau acteur et meneur. C’est lui qui (re)met en évidence les
    savoirs et les compétences développés pendant la recherche du problème. Il fait
    alors des choix d’institutionnalisation en fonction de ses objectifs d’apprentissage
    et de sa progression.




Faire de l’explicitation un levier

    Dans la suite de ce chapitre, le choix a été fait de présenter une stratégie d’ap­
    prentissage fondée sur l’explicitation ; d’autres stratégies pourraient compléter ces
    propositions. Cette démarche est bien à différencier d’un enseignement magistral
    (ex cathedra) et doit se comprendre comme intégrée à l’activité de cette même
    résolution de problème. Elle est également destinée à potentialiser les bénéfices de
    l’engagement des élèves dans une démarche de recherche de solution propice à
    faire évoluer favorablement leurs conceptions.

    Cette approche de l’explicitation requiert un changement de pratique relativement
    minime par rapport aux usages courants. Une explicitation des notions et compé-
    tences mathématiques mobilisées, des procédures suivies, etc., peut en effet per-
    mettre au professeur de mettre en évidence dans un premier temps les invariants,
    les structures communes à une classe de problèmes, des méthodes transférables
    à d’autres situations, et ainsi de permettre à l’élève de mieux structurer sa pensée
    et gagner en autonomie.



    168 — Marie-Line Gardes, « Démarches d’investigation et recherche
    de problèmes », in Gilles Aldon, Le Rallye mathématique, un jeu très
    sérieux !, p. 73-96, Canopé Éditions, 2018 ; http://dreamaths.univ-lyon1.fr
 185 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


 Qu’est-il utile d’expliciter ?

 Au-delà des étapes nécessaires pour résoudre un problème particulier, au-delà des
 questions qu’on se pose, des stratégies utilisées lors de cette résolution, il convient
 d’expliciter les compétences mobilisées transposables à d’autres situations ainsi que
 le cadre que l’élève pourra réinvestir. L’élève doit avoir conscience des compétences
 qu’il mobilise. Patrick Rayou 169 indique : « La pédagogie explicite ne va pas de soi et
 conduit à s’interroger sur ce qui est explicitable, ce qui est explicité dans les pratiques
 et ce qu’il faudrait expliciter pour une plus grande efficience des apprentissages.
 D’une manière générale, les enseignants savent plutôt bien expliciter :
 — l’objet de savoir en fin de séance ; c’est l’institutionnalisation (qui ne rencontre
      pas toujours les attentes des élèves des milieux populaires) ;
 — les supports de l’étude, c’est-à-dire le sens de la consigne.

 Le constat qui est fait, c’est que même lorsque les enseignants tiennent explicitement
 ces deux bouts, ce qui semble manquer, c’est l’explicitation de la forme scolaire, ce
 que signifie “apprendre à l’école”. »



 Quand faut-il expliciter ?

  Jacques Bernardin170 pointe quatre moments propices dans la séance et/ou dans
  la séquence pour expliciter et faire expliciter :
« — Les cinq premières minutes de cours, pour la présentation des enjeux de l’activité
      et l’appropriation commune de la consigne (éclaircir le but).
  — Au cours de la tâche, quand cela s’avère nécessaire, suspendre l’activité [d’un
      élève ou d’un groupe] pour faire expliciter les procédures amorcées et, si besoin
      réorienter la tâche pour faire évoluer l’activité de l’élève. Dévoilement et inven-
      taire critique des moyens mis en œuvre qui peuvent aussi se faire au terme de
      la réalisation.
  — Le temps d’institutionnalisation. C’est le passage du réussir au comprendre, trop
      souvent éludé (ou pris en main de manière unilatérale par l’enseignant), pour
      dégager le noyau dur de l’activité et en faire un objet de savoir générique que les
      élèves pourront transférer dans une situation de même nature.
  — La transition, le tissage entre une séance et la suivante qui permet parfois de faire
      saisir à certains ce qui ne l’avait pas été lors de l’institutionnalisation. »




 169 — http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/education-
 prioritaire/ressources/theme-1-perspectives-pedagogiques-et-
 educatives/realiser-un-enseignement-plus-explicite/enseigner-
 explicitement-pour-quoi-qui-quand-quoi-comment
 170 — Ibid.
    186 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


Disposer de procédures
automatisées

    Une première modalité présentée ici conduit, tout au long de l’année, à développer
    des réflexes intellectuels chez les élèves et à les inciter à développer une posture
    réflexive. Il s’agit de les outiller pour leur permettre de s’engager dans une résolution
    de problèmes quel que soit le type de problème (problème pour chercher, problème
    basique ou atypique, etc.).

    Pour rendre les élèves capables de résoudre des problèmes en autonomie, il est
    nécessaire de développer certains automatismes. En complément d’un travail sur
    le développement de savoirs et savoir-faire, certaines questions flash peuvent
    permettre d’entraîner les élèves à développer les six compétences mathématiques.

    Par exemple, les questions flash proposées ci-dessous visent à entraîner les élèves
    du collège à développer trois des six compétences mathématiques.



             EXEMPLE DE QUESTION FLASH : ENTRAÎNER LES ÉLÈVES À DÉVELOPPER

                                  LA COMPÉTENCE « MODÉLISER »


    Pour résoudre un problème, les élèves ont à reconnaître un modèle mathématique
    et à raisonner dans le cadre de ce modèle.

    Dans les trois situations suivantes, malgré un habillage commun, des structures
    mathématiques différentes sont à mobiliser : respectivement le théorème de Tha-
    lès, le théorème de Pythagore et des relations trigonométriques. On ne cherchera
    pas à résoudre les exercices, mais à identifier les théorèmes à mobiliser grâce aux
    données présentes sur les figures.

    ÉNONCÉ
    Dans chaque situation suivante, indiquer le théorème ou la définition à utiliser pour
    calculer la longueur AB.

     A                                 A                           A

                    K                            K                        53°     K
    6,3 cm




                                      7,2 cm




                         6
                                                                   6 cm




                             cm
                3,6 cm




      C            J              B     C        J             B    C             J           B
                                                 9,6 cm

               Situation 1                     Situation 2                      Situation 3
187 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

      EXEMPLE DE QUESTION FLASH : ENTRAÎNER LES ÉLÈVES À DÉVELOPPER

                             LA COMPÉTENCE « CALCULER »

Une aisance en calcul permet de décharger l’élève de processus cognitifs couteux.
Ici, l’élève ne doit pas calculer mais identifier les règles qui permettent de déterminer
le signe des expressions proposées (cas 1 et 2) ou de transformer les équations.

ÉNONCÉS
1. Soit y un nombre négatif différent de 0.
Indiquer la règle à utiliser pour déterminer le signe de chacune de ces expressions.

A=yxy               B=y+y+y                  C = (+7) x y             D = y3

E = y10             F = –3 x y               G = –3 + y

2. [On rappelle la règle] Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Dans chacun des cas suivants, y est un nombre négatif différent de 0.
Indiquer si on peut appliquer cette règle pour connaître le signe de l’expression.
Expliquer.

A = y x (– 7)       B = –4 – y               C = y2                   D = –y x (+4)

3. Voici une égalité : 3x – 7 = 5x + 2.
Comment transformer cette égalité pour obtenir chacune des égalités suivantes ?

3x = 5x + 9         –7 = 2x + 2              3x – 9 = 5x              5x + 2 = 3x – 7



      EXEMPLE DE QUESTION FLASH : ENTRAÎNER LES ÉLÈVES À DÉVELOPPER

                          LA COMPÉTENCE « REPRÉSENTER »


Les expressions algébriques sont souvent associées à des processus ­calculatoires,
alors qu’elles peuvent aussi générer des représentations géométriques qui
donnent du sens aux expressions. Souvent travaillées dans le cadre de l’addition,
ces représentations le sont plus rarement dans le cadre de la multiplication.
Dans l’exemple ci-après, tiré d’une évaluation Timss, les nombres 3 et 4 représentent
des grandeurs et il faut interpréter 3x comme 3 multiplié par x.
    188 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

    ÉNONCÉ
    Quelle situation représente l’expression 3x + 4x ?

    a. La longueur de ce segment :                      c. L’aire de cette figure :
                                                               3               4
              x             7
                                                    x



    b. La longueur de ce segment :                      d. L’aire de cette figure :
                                                                x              x
          3             4           x
                                                        7




Installer des temps dédiés
à la résolution de « classes
de problèmes »

    On propose, comme seconde modalité, une mise en œuvre pour apprendre à
    résoudre une « classe de problèmes classiques » 171 ou pour apprendre une
    stratégie de résolution classique (par exemple, décomposer un problème en sous-
    problèmes). Il s’agit d’un apprentissage groupé sur quelques séances qui pourra
    être répété à chaque rencontre d’une nouvelle classe de problèmes, tout au long
    du cursus de l’élève.

    Beaucoup d’enseignants sont démunis face aux difficultés éprouvées par certains
    élèves qui peinent à s’engager dans la tâche lorsqu’il s’agit de résoudre un problème,
    et sont découragés par l’impression que les élèves ne retirent pas suffisamment de
    bénéfice de ces séances de résolution de problèmes.




    171 — Problèmes se ramenant à des équations du premier degré,
    problèmes mettant en jeu la divisibilité, problèmes de proportionnalité,
    problèmes arithmétiques mettant en jeu des fractions et décimaux,
    problèmes modélisés par des fonctions, problèmes abordant des
    questions relatives au hasard, problèmes de géométrie.
189 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

La confrontation des élèves à la résolution de problèmes est évidemment nécessaire
et doit être régulière, en classe ou hors de la classe, mais elle ne saurait effectivement
suffire à garantir leur réussite. Il convient d’installer des temps d’apprentissage
centrés sur la résolution des différentes classes de problèmes inventoriées dans les
programmes. Ce choix n’implique pas en général de dénommer auprès des élèves
les classifications concernées, qui relèvent souvent d’approches didactiques et per-
mettent de s’assurer qu’une notion a été travaillée dans la diversité de ses contextes
(par exemple, la classification de Vergnaud pour les cycles 2 et 3). En revanche,
lorsque la classification concerne des notions mathématiques, elle est utile à formuler
auprès des élèves (par exemple, les problèmes de proportionnalité).

Il convient de consacrer à cet enseignement un temps d’apprentissage suffisamment
long, sur quelques séances consécutives, de manière à montrer aux élèves qu’ils
comprennent, qu’ils sont en capacité de reproduire, qu’ils progressent.

Ce temps d’enseignement de la résolution de problèmes doit être clairement identifié
comme tel par l’enseignant et annoncé aux élèves. Il vise à rendre explicite avec les
élèves les ressemblances et les différences entre plusieurs situations afin d’iden-
tifier avec eux les dimensions pertinentes sur le plan mathématique. Pour cela,
il s’agit d’associer les élèves, lors d’une résolution de problèmes, à la verbalisation
de chacune des étapes, des questions qui se posent, en explicitant à voix haute le
raisonnement suivi, ainsi que les stratégies qu’on utilise. Les opérations mentales
effectuées sont rendues explicites par l’enseignant et/ou par les élèves à l’occasion
d’échanges avec la classe. Régulièrement, l’enseignant s’assure de la compréhension
des élèves en les faisant reformuler.

Au-delà du dire, les élèves doivent pouvoir garder une trace écrite de cette expli­
citation. Ils pourront ainsi se référer à quelques problèmes ayant valeur de modèle
à l’occasion de nouvelles résolutions. Sur ce point, on pourra s’appuyer sur ce qui
est inscrit dans le préambule des programmes de cycle 4172 .

Le focus suivant détaille une séquence de mise en œuvre en classe d’un tel appren-
tissage, dans le cadre d’une résolution de problème relevant de la classe « problèmes
se modélisant par une équation ».




172 — « Une trace écrite récapitulant de façon organisée les
connaissances, les procédures et les stratégies mises en œuvre. L’élève
pourra ainsi se référer à quelques exercices ayant valeur de modèle.
Leur consultation régulière (notamment au moment de la recherche de
problèmes, sous la conduite du professeur ou en autonomie) favorise à
la fois la mise en mémoire et le développement de compétences. »
190 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


Focus | Une étude de cas
en classe de 3e autour
des problèmes se modélisant
par une équation

Cette séquence prévoit trois phases de longueurs différentes : un temps d’appren-
tissage, une évaluation formative, une remédiation. Le travail conduit en séances
1 à 3 vise à rendre l’élève en mesure d’identifier les dimensions pertinentes sur
le plan mathématique pour les situations relevant de cette famille de problèmes.
Dans un second temps (séance 4), la résolution d’un problème partageant la même
structure mathématique est confiée aux élèves en pleine autonomie. Enfin, en cas
de besoin, une cinquième séance a fonction de remédiation. Les énoncés présentés
dans ce focus sont donnés à titre d’exemples pour illustrer ces trois phases.

L’enjeu de cette séquence est donc de permettre aux élèves de reconnaître une
situation et de la rattacher à une classe plus générale de problèmes, d’être en capa-
cité de prendre des initiatives dans des situations similaires et de résoudre des
problèmes relevant de la même classe sans indications du professeur ou d’un pair,
sans questions intermédiaires ni aides. Il s’agit d’outiller l’élève pour qu’il dispose
d’un codage des énoncés qui concorde avec leur structure mathématique.

Le scénario de classe proposé repose sur une explicitation des compétences et des
connaissances mobilisées, des procédures transposables à d’autres situations,
des invariants entre plusieurs problèmes, et donc pas uniquement des étapes de
résolution du problème en cours.

Cette proposition de séquence est pleinement modulable en fonction des besoins des
élèves, de leur degré d’autonomie, une différenciation pouvant être à prévoir. Elle a
également vocation à pouvoir être transposée à d’autres classes de problèmes.



Séance n° 1. Durée estimée : 45 min

Un premier problème est proposé. L’enseignant met en œuvre une phase d’explicitation
des dimensions pertinentes sur le plan mathématique à relever dans ce problème.

PROBLÈME 1

Le point C appartient au segment [AB].
La longueur du segment [AB] vaut 4 cm.
Le carré ACMN et le triangle équilatéral BDC sont dessinés du même côté du
­segment [AB].
 Où placer le point C pour que le périmètre du carré soit égal à celui du triangle ?
191 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

                             D

N                 M




A                C                         B
                     4 cm


Étape 1 : recherche individuelle (environ 5 min). Il s’agit, pour l’élève, de disposer
d’un temps suffisant pour l’appropriation et la réflexion et, pour le professeur, de
disposer d’un temps suffisant pour prendre des informations sur les productions
des élèves : recenser les élèves qui ne démarrent pas ou se trouvent en impasse, les
stratégies de résolution mises en œuvre par certains, etc.

Ce temps de recherche individuelle conduit en général les élèves à exprimer leur
incapacité à calculer les périmètres, ne connaissant pas certaines longueurs. Les
étapes 2 et 3 sont prévues ensuite pour prendre en charge collectivement la réso-
lution du problème.

Étape 2 : première mise en commun. L’objectif est d’amener les élèves, en suscitant
des prises de parole pour impliquer le plus grand nombre, à introduire une incon-
nue et à identifier les étapes du travail. On ne cherchera pas à les résoudre, à ce
stade. Le recours à un logiciel de géométrie dynamique est susceptible de faciliter
la compréhension du problème.

Interroger en premier les élèves qui n’ont pas démarré et rebondir sur leurs
difficultés :
— faire expliquer où est le problème ;
— comment y répondre (stratégies envisagées par certains) ?

À ce stade, il s’agit de faire comprendre aux élèves que trouver la position du point C
demandée revient à trouver une longueur : AC ou CB, ce qui n’est pas immédiat pour
les élèves. Il doit émerger la nécessité de choisir une inconnue pour remplacer une
donnée manquante puis de calculer les deux périmètres et de traduire la contrainte
du problème. Ces étapes de résolution seront inscrites au tableau : s’assurer
qu’elles sont comprises par tous les élèves.

Point de vigilance : l’objectif n’est pas de dire à l’élève ce qu’il doit faire, mais com-
ment y arriver. Il convient de ne pas devancer sa réflexion, par exemple, il serait
contre-productif d’évoquer à ce stade la notion d’équation alors que l’élève ne l’a
pas encore mise en place.

Étape 3. On poursuit la résolution du problème, soit en relançant une phase de tra-
vail individuel, soit en la relançant sur un mode collectif.
192 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Étape 4 : deuxième mise en commun. Cette synthèse poursuit deux objectifs :
— Terminer la résolution du problème. Les élèves n’ont pas forcément choisi la
   même inconnue. Les deux solutions seront proposées. Mettre en évidence le fait
   que le choix de l’inconnue, qu’il s’agisse de AC ou de CB, n’influe pas sur le résultat.
— Expliciter les compétences et connaissances mobilisées dans ce problème de
   façon à ce que les élèves les identifient, pour guider leur démarche lors d’une
   prochaine résolution d’un problème du même type. Ces éléments seront notés
   pour que les élèves en conservent une trace écrite. On nommera les notions et
   savoir-faire mobilisés : les formules du périmètre, le recours à des expressions
   littérales, la reconnaissance d’une équation du premier degré comme traduc-
   tion de la contrainte, la résolution de l’équation, et on fera le lien avec les com-
   pétences mathématiques :
      • représenter : représenter une longueur par une inconnue ;
      • modéliser : recours à une inconnue pour désigner une donnée manquante ;
         recours au calcul littéral ; modélisation de la situation par une équation.
         Il s’agit de faire comprendre aux élèves qu’on a recours au cadre algébrique
         pour résoudre un problème géométrique ;
      • raisonner : mise en évidence des différentes étapes (la position de C peut être
         indiquée par la longueur AC par exemple, calculs des périmètres, traduction
         de l’égalité des périmètres) ;
      • calculer : on est amené à résoudre une équation. On explicite les étapes de
         résolution de l’équation du premier degré ;
      • communiquer : la communication concerne l’ensemble de ce qui est au
         tableau, elle prend autant la forme de phrases que de calculs, de schémas, etc. :
         tout ce qui se comprend de sa trace. On précisera aux élèves l’objectif de la
         communication : être compris. Les étapes de raisonnement doivent apparaître
         autant que la réponse au problème initial. Elle peut prendre la forme
         présentée sur la photo ci-dessous. Ces éléments viendront compléter la trace
         écrite de résolution.




Figure 38. Un exemple de trace écrite au tableau exposant les étapes du raisonnement.
193 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Étape 5 : travail d’entraînement à faire hors la classe pour la prochaine séance.
Le problème donné est similaire à celui travaillé en classe afin d’ancrer la méthode
de résolution chez les élèves, de leur permettre de prendre confiance en eux.
On ­l’indiquera aux élèves. Pour l’enseignant, ce sera l’occasion de mesurer l’efficacité
du travail de la séance 1. Sur le plan du codage des propriétés mathématiquement
pertinentes de la situation, ce sera l’occasion de mettre en évidence que le fait que
les figures soient d’un même côté ou d’un côté et de l’autre du segment est sans inci-
dence sur la stratégie qui peut mener à la solution.

PROBLÈME À RÉSOUDRE POUR LE COURS SUIVANT
Le point C appartient au segment [AB].
La longueur du segment [AB] vaut 6 cm.
Le carré CBEF et le triangle équilatéral ADC sont dessinés de part et d’autre
du ­segment [AB].
Où placer le point C pour que le périmètre du carré soit égal à celui du triangle ?
                        F             E



                 6 cm


A                           C         B




            D




Séance n° 2. Durée estimée : 1 h

Cette seconde séance commence par une phase de correction du travail donné lors
de la dernière séance. Puis une question flash est posée aux élèves, pour les prépa-
rer au problème du jour.

Ce second problème, de la même classe que le premier, est traité collectivement.
L’objectif est de poursuivre la phase d’apprentissage pour les élèves ayant besoin
d’un temps plus long d’appropriation. En fin de séance, il s’agira de montrer aux
élèves les invariants aux trois problèmes déjà rencontrés dans la séquence, et
d’identifier les notions qui diffèrent.

QUESTION FLASH
L’objectif de cette question est de permettre aux élèves de comprendre que E est un
point mobile et que le résultat de la comparaison des aires varie en fonction de la
position de E, l’aire la plus grande pouvant être selon les cas celle du carré ou celle
du rectangle.
194 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

ABCD est un rectangle. E est un point du segment [AD] et B un point du segment [AG].
AEFG est un carré.
Comparer l’aire du rectangle ABCD et celle du carré AEFG.
                                                   G                          F

                                              15
     G                  F                                                              C
                                                   B
15
                                              25
     B                                  C
 5

     A             E                    D          A                          E        D
             20                25                             40                  25

                       Cas 1                                          Cas 2



Cette question s’avère utile pour réactiver les formules de calculs d’aire et pour
entraîner les élèves à reconnaître le carré et le rectangle concernés en dépit des
segments distracteurs.

Le recours à un logiciel de géométrie dynamique permet de compléter ce travail
préparatoire. Les élèves observent notamment que l’aire du carré peut être supé-
rieure ou inférieure à celle du rectangle et suggèrent même parfois la question de
l’égalité proposée dans le problème suivant.

PROBLÈME 2 (TRANSFERT DANS UN CONTEXTE SÉMANTIQUEMENT PROCHE)
ABCD est un rectangle.
E est un point du segment [AD], B est un point du segment [AG].
AEFG est un carré.
ED = 25 et BG = 15.
Déterminer les dimensions du carré AEFG et du rectangle ABCD afin qu’ils aient
la même aire.

     G                          F

15

                                                       C
     B



     A                          E                      D
                                         25


Étape 1 : recherche individuelle (environ 5 min). Cette phase permet d’observer si
les élèves s’investissent plus facilement que lors de la première séance, s’ils y font
référence. Le professeur recense les élèves qui ont progressé depuis la première
séance, et ceux qui sont en impasse. Si les élèves parviennent tous à résoudre le
problème, on passera directement à l’étape 3.
195 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

Étape 2 : première mise en commun. L’objectif reste celui de mettre en évidence les
étapes du travail :
— interroger à nouveau en premier les élèves qui n’ont pas démarré, et rebondir
    sur leurs difficultés en les questionnant, en prenant appui sur les stratégies
    mises en œuvre par d’autres et sur le travail conduit en séance 1 (quelles sont
    les données qui manquent ? Comment peut-on s’y prendre pour compenser
    l’absence de la donnée de telle longueur ?). Là encore, on fera émerger la néces-
    sité de choisir une inconnue pour désigner une longueur manquante (plusieurs
    choix possibles pour cette inconnue), de calculer les aires en fonction de cette
    inconnue, de traduire la contrainte imposée par le problème, en l’occurrence
    l’égalité des aires. Les étapes de résolution seront inscrites au tableau ;
— relancer la recherche individuelle ;
— recenser les élèves qui éprouvent encore des difficultés.

Étape 3 : synthèse. Deux objectifs sont poursuivis ici.
— Résoudre le problème. Mettre en évidence le fait que le choix de l’inconnue n’in-
   flue pas sur le résultat.
— Expliciter les connaissances et compétences mobilisées dans ce problème en
   insistant sur les points communs avec le problème 1, malgré un contexte qui est
   différent : recours à une lettre pour désigner une inconnue, calculs d’aires en
   fonction de l’inconnue, traduction de la situation faisant apparaître une équa-
   tion. Nommer cette classe de problèmes : problèmes se modélisant par une
   équation. Il s’agit également d’expliciter ce qui diffère : obtention d’une équa-
   tion du second degré pouvant se ramener au premier degré. On nommera les
   calculs mis en œuvre : développement, identités remarquables, et on nommera,
   à côté de la trace écrite de résolution, les compétences :
     • modéliser : choix de l’inconnue, du calcul littéral qui conduit à une mise en
        équation ;
     • raisonner. Élaboration des étapes du travail : expression de chaque lon-
        gueur en fonction de x puis calcul des aires en fonction de x et traduction
        de la contrainte ;
     • calculer : résolution d’une équation se ramenant au premier degré173.
        Les calculs littéraux sont plus complexes que ceux du problème 1, mais
        aboutissent à une résolution de même nature (même classe de problèmes) ;
     • communiquer.




Figure 39. Un exemple de trace écrite au tableau exposant les étapes du raisonnement.

173 — On peut aussi se ramener directement à une équation du premier
degré, si on a compris qu’il faut et qu’il suffit que les deux rectangles
légèrement bleutés (BGFH et EDCH) aient la même aire.
196 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


Séance n° 3. Durée estimée : 40 min

On poursuit la phase d’appropriation à partir de deux autres problèmes du même
type afin de s’assurer que le transfert est bien mis en œuvre dans des contextes
plus éloignés que ceux des problèmes initiaux. La séance peut aussi nécessiter
une différenciation en fonction du degré d’autonomie déjà construit par les élèves.
­L’enseignant questionne les élèves, leur donne des indices et diminue graduellement
 l’aide apportée. La correction collective permet de s’assurer de la compréhension
 de tous.

PROBLÈME 3

Voici trois carrés.
Quelles doivent être les longueurs des côtés des carrés vert et blanc pour que l’aire
du carré blanc soit égale à la somme des aires des carrés bleu et vert ?


                                                3 cm




7 cm




La séance commence là encore par une phase de recherche individuelle : appro-
priation du problème, engagement dans la tâche pour les élèves, prise d’infor­
mations par le professeur.

Les élèves travaillent en autonomie. L’enseignant s’assure de la compréhension
des élèves.

Il pourra être utile de regrouper les élèves ayant éprouvé des difficultés lors de la
résolution du problème 2 pour simplifier la gestion de classe, par exemple, dans un
îlot en fond de classe.

La correction est organisée lorsque les élèves ont terminé, ou si plusieurs d’entre
eux sont bloqués.

On mettra en évidence les invariants avec les problèmes déjà résolus. Cette séance
est, comme les précédentes, complétée d’une explicitation des connaissances et
compétences mobilisées :
— raisonner. Durant les différentes étapes du travail : recours à l’inconnue,
    expressions des aires des carrés, traduction de la contrainte imposée par
    l’énoncé ;
— modéliser. Travail dans un cadre algébrique : expression littérale des aires,
    mise en équation ;
— calculer : résolution d’une équation se ramenant à une équation du premier degré.
197 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?

À l’issue de ces trois séances, on pourra faire observer aux élèves que la structure
des trois problèmes est la même, mais qu’en fonction des choix effectués, une dif-
férence peut apparaître dans le traitement de telle ou telle étape. En particulier, les
calculs algébriques à mener peuvent être plus ou moins complexes.

PROBLÈME 4
Si tous les élèves inscrits étaient venus, la sortie en autocar aurait coûté 25 € par
personne. Mais il y a eu 3 absents et chaque participant a dû payer un supplément
de 1,50 €.
Combien y avait-il d’inscrits ?



On fera remarquer aux élèves que les procédures mises en œuvre dans les pro-
blèmes précédents sont transférables à ce problème : le nombre d’élèves présents
est une donnée manquante. On peut donc avoir recours à une inconnue pour la
représenter (deux choix d’inconnue possibles). Les étapes du raisonnement sont
ensuite dégagées : nécessité d’exprimer le nombre d’élèves inscrits en fonction de
cette inconnue, de calculer le prix payé par les élèves présents puis de traduire
l’égalité des coûts, que les élèves soient tous présents ou non. On reconnaît alors
une équation du premier degré qu’il convient de résoudre.

La modélisation de la situation est la suivante : l’aire du grand rectangle vert repré-
sente le coût initial (l’unité « élève » étant sans dimension, la grandeur produit asso-
ciée au rectangle est bien exprimée en euros). L’aire du rectangle jaune vertical
représente la perte due à l’absence des 3 élèves. Le rectangle orange représente le
coût supplémentaire supporté par les élèves participants. Les rectangles jaune et
orange doivent être de même « aire ». Ce qui permet de conclure que x = 50, et donc
qu’il y avait 53 élèves inscrits au départ.

                          x

1,5 €




                                                         25 €




                  Élèves présents                3



L’objectif du problème 4 est de créer les meilleures conditions de transfert, y
compris pour des problèmes superficiellement éloignés des problèmes d’appren-
tissage. Il s’agira de travailler avec les élèves à un codage du problème 4 qui soit
compatible avec les stratégies de résolution élaborées lors de la résolution des
problèmes précédents. En soi, le problème est difficile, mais utile, et il est possible
de s’appuyer sur les démarches expliquées dans les points sur la recherche pour
conduire à une bonne compréhension de la part de l’élève qui permette de mettre en
œuvre les stratégies travaillées dans une classe diversifiée de problèmes.
198 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


Séance n° 4. Durée estimée : 30 min

À l’issue de ces séances d’enseignement, un problème de la même classe est pro-
posé aux élèves, en autonomie, pour une évaluation formative.

Il s’agit pour l’élève de réinvestir seul le travail collectif précédent. À ce stade,
l’enseignant n’intervient pas durant la résolution afin d’évaluer les acquisitions des
élèves et leur degré d’autonomie. Toutefois, pour préparer les élèves au problème
du jour, une question flash est introduite, et corrigée, avant de passer à la résolution
du problème proprement dite.

QUESTION FLASH
L’objectif de cette question est de réactiver le calcul de l’aire d’un triangle rec-
tangle, afin d’éviter des difficultés de résolution liées à la non-disponibilité de cette
connaissance.

Parmi les formules suivantes, lesquelles permettent de calculer l’aire du triangle
ABC ?

     A                                B

                                                                        AB
                                                   a. 15 AB           d. 2 x 30
30
                                                        45 x 30            30 x AB
                     45                            b.      2          e.      2
                                                        30 x AB
                                                   c.      2
     C


PROBLÈME CIBLE
Le trapèze ABCD ci-dessous est un trapèze rectangle tel que AB = 60 cm, AD = 100 cm
et DC = 80 cm.
S est un point du segment [AD].
Où placer le point S pour que les aires des triangles ABS et DSC soient égales ?

A                         B




S




D                                     C
199 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


Séance n° 5

Si des élèves éprouvent encore des difficultés, un travail de remédiation pourra s’en-
gager sur les séances suivantes. Pour ces élèves, la poursuite de l’apprentissage
pourra se faire également lors de séances différenciées ou d’aide personnalisée.

Par exemple, on pourra donner aux élèves des problèmes à résoudre en autonomie
pendant que l’enseignant travaillera, avec les élèves en difficulté, le problème « piste
verte », dans un îlot « coup de pouce ». Il s’agira de reprendre en petit groupe les
étapes précédentes.

PROBLÈME : PISTE VERTE
ABCD est un rectangle tel que AB = 100 cm et BC = 60 cm.
E est un point du segment [AB] et F est un point du segment [AD] tel que AE = FD.
Où placer les points E et F pour que les aires des triangles FCD et EBC soient égales ?

A               E                                        B




F




D                                                         C


AUTRE PROBLÈME POSSIBLE : PISTE NOIRE

ABCD est un rectangle tel que AB = 10 cm et BC = 6 cm.
E est le point du segment [AB] tel que AE = 4 cm.
F est un point du segment [AD].
Où placer le point F pour que l’aire du triangle FEC soit égale à 28 cm² ?

A                E                                       B




F




D                                                         C
      200 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?


En résumé

 	La résolution de problèmes n’est pas uniquement applicative,
   elle contribue au développement des notions mathématiques
   elles-mêmes. Certaines stratégies d’enseignement
   permettent de soutenir la réussite des élèves en résolution
   de problèmes.


 	Il importe que l’enseignant favorise de diverses manières
   des processus de prise de conscience des caractéristiques
   mathématiquement pertinentes d’un problème. En particulier,
   des activités de comparaison de problèmes, destinées
   à rendre perceptibles les similitudes et les différences
   entre énoncés appartenant à une même classe de problèmes,
   s’avèrent un mode particulièrement efficace pour permettre
   aux élèves de résoudre d’autres problèmes relevant
   de la même structure mathématique.

 	Deux stratégies d’enseignement pour la résolution
   de problèmes peuvent concourir à ces objectifs. La première
   met l’accent sur la reconnaissance de compétences
   qui sont mobilisées en résolution de problèmes. La seconde
   repose sur une démarche d’explicitation visant à favoriser
   le transfert d’apprentissage dans le cadre d’une classe
   de problèmes.
Bibliographie
et outils de référence
202 — Bibliographie et outils de référence

INTRODUCTION


— Bassok Miriam, Wu Ling-                    — Hofstadter Douglas, Sander
  Ling, Olseth Karen L.,                       Emmanuel, L’Analogie -
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  1995.
                                               Tiberghien Andrée,
— Bell Alan, Swann Malcolm,                    Les Connaissances naïves,
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  with Decimal Numbers”,
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                                             — Reed Stephen K., “A Structure
— Éduquer à l’esprit critique                 Mapping Model for Word
  – Bases théoriques                           Problems”, Journal
  et indications pratiques                     of Experimental Psychology:
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  du Conseil scientifique
                                             — Sander Emmanuel,
  de l’éducation nationale.
                                               Richard Jean-François,
  Îhttps://www.reseau-
                                               Les Apprentissages
  canope.fr/fileadmin/
                                               numériques, in Miljkovitch
  user_upload/Projets/
                                               Raphaëlle, Morange-Majoux
  conseil_scientifique_
                                               Françoise, Sander Emmanuel
  education_nationale/
                                               (dir.), Psychologie du
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                                             — Sander Emmanuel,
— Fischbein Efraim, Deri
                                               « La résolution de problèmes
  Maria, Sainati Nello Maria,
                                               arithmétiques à énoncés
  Sciolis Marino Maria,
                                               verbaux », Anae (approche
  “The Role of Implicit Models
                                               neuropsychologique
  in Solving Verbal Problems
                                               des apprentissages
  in Multiplication and Division”,
                                               chez l’enfant), 156, 611-619,
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  p. 3-17, 1985.
203 — Bibliographie et outils de référence

— Schoenfeld Alan H.,                        — Silver Edward A., “Recall
  Mathematical Problem                         of Mathematical Problem
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  1985.                                        Related Problems”, Journal
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                                               Education, 12, p. 54-64, 1981.



CHAPITRE 1


— Batanero Carmen, Fine                      — Masselin Blandine, Derouet
  Jeanne, Raoult Jean‑Pierre,                  Charlotte, « Sur la mise
  « Le curriculum statistique                  en évidence des effets
  dans le secondaire :                         d’une formation courte sur les
  comparaisons                                 pratiques d’enseignants autour
  internationales », Statistique               de la simulation en probabilité
  et Enseignement, 4(1), p. 1-4,               en classe de troisième », in
  2013.                                        Abboud Maha, « Mathématiques
                                               en scènes, des ponts entre
— Chevallard Yves, Wozniak
                                               les disciplines », 198‑207, 2019,
  Floriane, « Enseigner
                                               université de Cergy-Pontoise,
  la statistique : un problème
                                               France, octobre 2018.
  de la profession », in Actes
  du 14e colloque de la Corfem               — Masselin Blandine,
  [commission inter-Irem                       « Dynamique du travail
  de recherche sur la                          mathématique en classe
  formation des enseignants                    entre un enseignant et des
  de mathématiques du second                   groupes d’élèves sur la
  degré], Antony Val de Bièvre,                simulation en probabilité :
  site de l’IUFM de Versailles,                une étude de cas », Annales
  21-22 Juin 2007.                             de didactique et de sciences
                                               cognitives, 25, p. 49-88, 2020.
— Masselin Blandine, Étude
  du travail de l’enseignant                 — Masselin Blandine,
  autour de la simulation                      Ingénieries de formation
  en classe de troisième                       en mathématiques de l’école
  et seconde : métamorphose                    au lycée – Des réalisations
  d’un problème au fil d’une                   inspirées des Lesson Studies,
  formation en probabilité,                    Presses universitaires
  thèse de doctorat, université                de Rouen et du Havre, 2020.
  Paris-Diderot, 2019.                         Îhttp://purh.univ-rouen.fr/
  Îhttp://www.theses.                          node/1309
  fr/240200012
                                             — Samueli Jean-Jacques,
                                               Boudenot Jean-Claude,
                                               Une histoire des probabilités
                                               des origines à 1900, Ellipses,
                                               Paris, 2009.
204 — Bibliographie et outils de référence

CHAPITRE 2


— Barmby Patrick, Harries                    — Lamon Susan J., “Rational
  Tony, Higgins Steve, Suggate                 Numbers and Proportional
  Jennifer, “The Array                         Reasoning: Toward a
  Representation and Primary                   Theoretical Framework”, in
  Children’s Understanding                     Lester Franck K. (ed.), Second
  and Reasoning                                Handbook of Research
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  Studies in Mathematics,                      and Learning, p. 629-668,
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— Behr Merlyn, Lesh Richard,
  Post Thomas, Silver Edward A.              — Lobato Joanne, Orrill
  “Rational Number Concepts“,                  Chandra H., Druken Bridget,
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  1983.                                        Expanding, and Applying the
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— Fischbein Efraim, Deri
                                               Knowledge for Teaching,
  Maria, Sainati Nello Maria,
                                               symposium conducted
  Sciolis Marino Maria,
                                               at the annual meeting
  “The Role of Implicit Models
                                               of the American Educational
  in Solving Verbal Problems
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  in Multiplication and Division”,
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  in Mathematics Education,                  — Luke Clifton, “The
  16(1), p. 3-17, 1985.                        Repeated Addition Model
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— Fosnot Catherine Twomey,
                                               Children’s Performance
  Dolk Maarten, Young
                                               on Mathematical World
  Mathematicians at Work:
                                               Problems”, Journal
  Constructing Multiplication
                                               of Mathematical Behavior,
  and Division, Heinemann,
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                                             — Masselin Blandine,
— Harel Guershon, Confrey
                                               Mondragon Fabrice,
  Jere (eds.), The Development
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  of Multiplicative Reasoning in
                                               cinq scénarios (3e/2de), Irem,
  the Learning of Mathematics,
                                               université de Rouen Haute-
  State University of New York
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  Press, 1994.
205 — Bibliographie et outils de référence

— Modestou Modestina,                        — Siemon Dianne, Breed
  Gagatsis Athanasios,                         Margarita, Virgona Jo,
  “Cognitive and Metacognitive                 in Mousley Judy, Bragg
  Aspects of Proportional                      Leicha, Campbell Coral (eds.),
  Reasoning”, Mathematical                     Mathematics – Celebrating
  Teaching and Learning, 12(1),                Achievement, Proceedings
  p. 36-53, 2010.                              of the 42nd Conference of the
                                               Mathematical Association
— Moyon Marc, « Récréations
                                               of Victoria, Melbourne: MAV,
  mathématiques et
                                               2008.
  algorithmique dans
  le Liber Abaci de Fibonacci                — Sullivan Peter Arnold, McLean
  (xiiie siècle) », in Chevalarias             Clarke Douglas, Cheeseman
  Nathalie, Gandit Michèle,                    Jill, Mulligan Joanne, “Moving
  Morales Marcel,                              beyond Physical Models
  Tournès Dominique (éd.),                     in Multiplicative Reasoning”,
  Mathématiques récréatives –                  in van den Heuvel-Panhuizen
  Éclairages historiques                       Marja (ed.), Proceedings
  et épistémologiques, UGA                     of the 25th Conference
  Éditions, EDP Sciences,                      of the International
  Grenoble, 2019.                              Group for the Psychology
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— Moyon Marc, Fibonacci –
                                               Utrecht, Freudenthal
  Extraits du livre de calcul
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  (Liber Abaci), ACL,
  Les éditions du Kangourou,                 — Vergnaud Gérard,
  Paris, 2016.                                 “Multiplicative Structures”,
                                               in Hiebert James, Behr
— Sesiano Jacques,
                                               Merlyn J. (eds.), Number
  Récréations mathématiques
                                               Concepts and Operations
  au Moyen Âge,
                                               in the Middle Grades,
  Presses polytechniques
                                               p. 141-161, Hillsdale, NJ:
  et universitaires romandes,
                                               Erlbaum and Reston, VA:
  Lausanne, 2014.
                                               National Council of Teachers
— Sesiano Jacques,                             of Mathematics, 1988.
  « La poursuite du lièvre
  par un chien ».
  Îhttps://images.math.cnrs.
  fr/La-poursuite-du-lievre-
  par-un-chien
206 — Bibliographie et outils de référence

CHAPITRE 3


— Alves Christophe, Coppé                    — Chemla Karine, Guo Shuchun,
  Sylvie, Duval Vincent, Goislard              Les Neuf Chapitres.
  Alexandra, Kuhman Hélène,                    Le Classique mathématique
  Martin Dametto Sylvie,                       de la Chine ancienne et ses
  Roubin Sophie, Utilisation                   commentaires, Dunod, Paris,
  des programmes de calcul                     2004.
  pour introduire l’algèbre
                                             — Chevallard Yves, « Le passage
  au collège, Repères Irem, 92,
                                               de l’arithmétique à l’algèbre
  p. 9-30, 2013.
                                               dans l’enseignement
— Assude Teresa, Coppé Sylvie,                 des mathématiques
  Pressiat André, « Tendances                  au collège, première partie.
  de l’enseignement de l’algèbre               L’évolution de la transposition
  élémentaire au collège :                     didactique », Petit x, 5,
  atomisation et réduction »,                  p. 51‑94, 1985.
  in Coulange Lalina, Drouhard
                                             — Chevallard Yves, « Le passage
  Jean-Philippe, Dorier Jean-
                                               de l’arithmétique à l’algèbre
  Luc, Robert Aline (dir.),
                                               dans l’enseignement
  « Enseignement de l’algèbre
                                               des mathématiques
  élémentaire : bilan et
                                               au collège, deuxième partie.
  perspectives », p. 41-62,
                                               Perspectives curriculaires :
  Éditions La pensée sauvage,
                                               la notion de modélisation »,
  Grenoble, 2012.
                                               Petit x, 19, p. 43-75, 1989.
— Booth Lesley, « Erreurs
                                             — Chevallard Yves, « Le passage
  et incompréhensions
                                               de l’arithmétique à l’algèbre
  en algèbre élémentaire »,
                                               dans l’enseignement des
  Petit x, n° 5, p. 5-17, 1985.
                                               mathématiques au collège,
— Bernard Alain, « Les séries                  troisième partie. Voies
  de problèmes, un genre                       d’attaque et problèmes
  au carrefour des cultures »,                 didactiques », Petit x, 23,
  éd. 2015, vol. 22, SHS                       p. 5-38, 1990.
  Web of Conferences,
                                             — Djebbar Ahmed, L’Algèbre
  EDP Sciences, Les Ulis.
                                               arabe, genèse d’un art,
  Îhttp://dx.doi.org/10.1051/
                                               Vuibert Adapt, Paris, 2005.
  shsconf/20152200001
                                             — Douady Régine, « Jeux
— Caveing Maurice, Essai
                                               de cadres et dialectique
  sur le savoir mathématique
                                               outil/objet », Recherches
  dans la Mésopotamie
                                               en didactique
  et l’Égypte anciennes,
                                               des mathématiques, 7(2),
  Presses universitaires
                                               p. 5-32, 1986.
  de Lille, 1994.
207 — Bibliographie et outils de référence

— Duval Raymond,                             — Kieran Carolyn, “Learning
  « Quel cognitif                              and Teaching Algebra
  retenir en didactique                        at the middle School through
  des mathématiques ? »,                       College Levels: Building
  Recherches en didactique                     Meaning for Symbols
  des mathématiques,                           and their Manipulation”,
  vol 16(3), p. 349-382, Éditions              in Frank K. Lester (ed.),
  La pensée sauvage, Grenoble,                 Second Handbook
  1995.                                        of Research on Mathematics
                                               Teaching and Learning,
— Fibonacci Leonardo, Liber
                                               p. 707-762, Greenwich, CT:
  Abaci, Enrico Gisuto (éd.),
                                               Information Age Publishing,
  Firenze, Leo S. Olschki, 2020.
                                               2007.
— Grugeon-Allys Brigitte,
                                             — Kieran Carolyn,
  Pilet Julia, Chenevotot-
                                               Teaching and Learning
  Quentin Françoise,
                                               Algebraic Thinking with
  Delozanne Élisabeth,
                                               5- to 12- Year‑Olds:
  « Diagnostic et parcours
                                               The Global Evolution
  différenciés d’enseignement
                                               of an Emerging Field
  en algèbre élémentaire »,
                                               of Research and Practice,
  in Coulange Lalina,
                                               Springer, New York, 2018.
  Drouhard Jean-Philippe,
  Dorier Jean-Luc, Robert                    — Moyon Marc, « Comprendre
  Aline (dir.), Enseignement                   les géométries de la mesure
  de l’algèbre élémentaire :                   par les “séries de problèmes”.
  Bilan et perspectives,                       L’exemple des pays d’Islam
  p. 137‑162, Éditions                         et de l’Occident latin
  La pensée sauvage,                           du ixe au xive siècle », SHS
  Grenoble, 2012.                              Web of Conferences, vol. 22,
                                               n° 7, p. 13, 2015.
— H∅yrup Jens, L’Algèbre
  au temps de Babylone –                     — Moyon Marc, Fibonacci –
  Quand les mathématiques                      Extraits du livre de calcul
  s’écrivaient sur de l’argile,                (Liber Abaci), ACL,
  Vuibert, Paris, 2010.                        Les éditions du Kangourou,
                                               Paris, 2016.
— Irem de Grenoble,
  Les Mathématiques                          — Moyon Marc, La géométrie
  en Mésopotamie –                             de la mesure dans
  Niveaux 6e et 5e, 2015.                      les traductions arabo-
                                               latines médiévales, Brepols,
— Keller Agathe, Expounding
                                               Turnhout, 2017.
  the Mathematical Seed:
  A Translation of Bhaskara I
  on the Mathematical Chapter
  of the Aryabhatiya (2 vol.),
  Birkhauser, Basel, Boston,
  Berlin, 2006.
208 — Bibliographie et outils de référence

— Proust Christine, Problèmes                — Radford Luis, “The
  de partage : des cadastres                   Progressive Development
  à l’arithmétique, CultureMath                of Early Embodied Algebraic
  (ENS Ulm), 2012.                             Thinking”, Mathematics
  Îhttp://culturemath.ens.fr/                  Education Research Group
                                               of Australasia, 26,
— Proust Christine,
                                               p. 257-277, 2014.
  « Mathématiques en
  Mésopotamie », Images                      — Sfard Anna, “On the Dual
  des Mathématiques, 2014.                     Nature of Mathematics
  Îhttp://images.math.cnrs.                    Conceptions: Reflections
  fr/Mathematiques-en-                         on Processes and Objects
  Mesopotamie.html                             as Different Sides of the Same
                                               Coin”, Educational Studies
— Proust Christine, « Trouver
                                               in Mathematics, 22, p. 1-36,
  toutes les diagonales.
                                               1991.
  Plimpton 322 : à la recherche
  des rectangles sexagésimaux,               — Tirosh Dina, Even Ruhama,
  une version mésopotamienne                   Robinson Naomi, “Simplifying
  de la recherche des “triplets                Algebraic Expressions: Teacher
  pythagoriciens” », Images                    Awareness and Teaching
  des Mathématiques, 2015.                     Approaches”, Educational
  Îhttp://images.math.cnrs.                    Studies in Mathematics, 35,
  fr/Trouver-toutes-les-                       p. 51-64, 1998.
  diagonales.html
                                             — Varent (de) Charlotte,
— Proust Christine, “How did                   Pluralité des concepts
  Mathematics Masters Work                     liés aux unités de mesure.
  Four Thousand Years Ago?                     Liens entre histoire des
  Curricula and Progressions                   sciences et didactique, le cas
  in Mesopotamia”, in The                      de l’aire du carré dans une
  ‘Resources’ Approach                         sélection de textes anciens,
  to Mathematics Education,                    PhD doctorat, histoire
  edited by Trouche Luc,                       et philosophie des sciences,
  Gueudet Gislaine, Pepin                      université Paris-Diderot,
  Birgit, in Advances                          2018.
  in Mathematics Education,
                                             — Vergnaud Gérard, Cortès
  p. 61-88, Springer, Berlin,
                                               Anibal, Favre-Artigue Pierre,
  2019.
                                               « Introduction de l’algèbre
— Rashed Roshdi, Al-Khwârizmî,                 auprès de débutants faibles.
  Le Commencement de                           Problèmes épistémologiques
  l’algèbre, Blanchard, Paris,                 et didactiques », in Vergnaud
  2007.                                        Gérard, Brousseau
                                               Guy, Hulin Michel (éds.),
                                               Didactique et acquisition des
                                               connaissances scientifiques,
                                               Actes du colloque de Sèvres,
                                               p. 259-288, Éditions La pensée
                                               sauvage, Grenoble, 1987.
209 — Bibliographie et outils de référence

CHAPITRE 4


— Alturkmani Mohammad                        — Gerdes Paulus, Une tradition
  Dames, Roubin Sophie,                        géométrique en Afrique.
  Piolti‑Lamorthe Claire,                      Les dessins sur le sable,
  Trouche Luc et al,                           tome 1, L’Harmattan, Paris,
  Penser les ressources                        1995.
  de l’enseignement
                                             — Gerdes Paulus, Le Cercle
  des mathématiques dans
                                               et le Carré – Créativité
  un temps de transitions
                                               géométrique, artistique
  2017-2019, programme
                                               et symbolique de vannières
  de l’Institut Carnot
                                               et vanniers d’Afrique,
  de l’éducation : rapport
                                               d’Amérique, d’Asie
  scientifique des composantes
                                               et d’Océanie, L’Harmattan,
  PR 03 et PAE 21, IFÉ-ENS
                                               Paris, 2000.
  Lyon, 2019.
  Îhttps://halshs.                           — Kieran Carolyn, Pang
  archives-ouvertes.fr/                        JeongSuk, Schifter Deborah,
  halshs-02103459                              Fong Ng Swee, Early Algebra.
                                               Research into its Nature, its
— Ascher Marcia,
                                               Learning, its Teaching, ICME-
  Mathématiques d’ailleurs.
                                               13, Topical Surveys, Springer,
  Nombres, formes et jeux dans
                                               2016.
  les sociétés traditionnelles,
  1998, traduction de l’anglais              — Martin-Dametto Sylvie,
  (États-Unis) et postface de                  Piolti Lamorthe Claire,
  Karine Chemla et Serge                       Roubin Sophie, Train :
  Pahaut (traduit et publié                    travail de recherche
  avec le concours du Centre                   ou d’approfondissement
  national des lettres), p. 281,               avec prise d’initiative, Bulletin
  Le Seuil, Paris, 1998 (éd.                   de l’Apmep, 502, p. 11‑22,
  orig. : Ethnomathematics,                    2013.
  A Multicultural View of                      Îhttps://www.apmep.fr/
  Mathematical Ideas. Pacific                  IMG/pdf/05-Train-C.pdf
  Grove, California, Brooks and
                                             — Radford Luis, “The
  Cole Publishing Compagny).
                                               Progressive Development
— Ascher Marcia, Mathematics                   of Early Embodied Algebraic
  Elsewhere: An Exploration                    Thinking”, Mathematics
  of Ideas Across Cultures,                    Education Research Journal,
  Princeton University Press,                  26, p. 257-277, 2014.
  Princeton, 2002.

— Chemillier Marc, Les
  Mathématiques naturelles,
  Odile Jacob, Paris, 2007.
210 — Bibliographie et outils de référence

— Squalli Hassane, Bronner                   — Vandendriessche Éric,
  Alain, Le Développement                      Petit Céline, « Des ethnologues
  de la pensée algébrique                      au pays des mathématiques »,
  avant l’introduction                         Pour la Science, p. 72-78,
  du langage algébrique                        août 2020.
  conventionnel, vol. 1.
                                             — Vandendriessche Éric,
  Volume 20, numéro 3, 2017.
                                               « Les jeux de ficelle »,
  Îhttps://www.erudit.org/fr/
                                               hors‑série « Mathématiques
  revues/ncre/2017-v20-n3-
                                               exotiques », Pour la science,
  ncre04255/
                                               avril 2005.
— Squalli Hassane, Bronner
                                             — Vandendriessche Éric,
  Alain, Le Développement de
                                               « Ethnomathématique
  la pensée algébrique avant
                                               des jeux de ficelle
  l’introduction du langage
                                               trobriandais », 2015,
  algébrique conventionnel,
                                               n° 29, décembre 2014.
  vol. 2. Volume 22, numéro 1,
                                               Îhttps://www.
  2020.
                                               ethnographiques.org/
  Îhttps://www.erudit.org/fr/
                                               ethnomathematique-des-
  revues/ncre/2020-v22-n1-
                                               jeux-de-ficelle-trobriandais
  ncre05349/
                                             — Vlassis Joëlle, Demonty
— Squalli Hassane, Oliveira
                                               Isabelle, Squalli Hassane,
  Izabella, Bronner Alain,
                                               « Développer la pensée
  Larguier Mirène, Le
                                               algébrique à travers
  Développement de la pensée
                                               une activité de généralisation
  algébrique à l’école primaire
                                               basée sur des motifs
  et au début du secondaire.
                                               (patterns) figuratifs »,
  Recherches et perspectives
                                               Nouveaux Cahiers de
  curriculaires, Québec, 2020.
                                               la recherche en éducation,
  Livres en ligne du Centre de
                                               20(3), p. 131-155, 2017.
  recherche et d’intervention
  sur la réussite scolaire                   — Wing Jeannette, « La pensée
  (Crires).                                    informatique », 2009.
  Îhttps://lel.crires.                         Îhttps://interstices.info/la-
  ulaval.ca/sites/lel/files/                   pensee-informatique/
  le_developpement_de_
                                             — Wolper Pierre, « La pensée
  la_pensee_algebrique_a_
                                               algorithmique », podcast
  lecole_primaire_et_au_
                                               Daily Science, 2015.
  debut_du_secondaire.pdf
                                               Îhttps://dailyscience.
— Trgalova Jana, Alturkmani                    be/18/04/2016/la-pensee-
  Mohammad Dames, Roubin                       algorithmique/
  Sophie, Toward a common
  view of algebraic thinking
  through design of resources
  by primary and secondary
  teachers, ICME14, Shanghai,
  12th - 19th July, 2020.
211 — Bibliographie et outils de référence

CHAPITRE 5


— Brousseau Guy,                             — Moyon Marc, “Practical
  « Les propriétés didactiques                 Geometries in Islamic
  de la géométrie élémentaire »,               Countries: the Example
  Séminaire de didactique                      of the Division of Plane
  des mathématiques,                           Figures”, in Kronfellener
  Crète, Rethymon, 2000.                       Manfred, Barbin Évelyne,
  Îhttps://hal.archives-                       Tzanakis Costa (éd.),
  ouvertes.fr/hal-00515110/fr/                 History and Epistemology
                                               in Mathematics Education.
— Houdement Catherine,
                                               Proceedings of the
  Rouquès Jean-Philippe,
                                               6th European Summer
  « Deux géométries en jeu
                                               University (Vienne, 19-
  dans la géométrie plane :
                                               23 juillet 2010), Verlag
  une qu’on appellera
                                               Holzhausen GmbH, Vienne,
  “dessinée” et une qu’on
                                               2011.
  appellera “abstraite”, 2016.
  Îhttps://hal.archives-                     — Moyon Marc, « Diviser
  ouvertes.fr/hal-                             un triangle au Moyen Âge :
  03214099v2/document                          l’exemple des géométries
                                               pratiques latines »,
— Mangiante-Orsola Christine,
                                               in Barbin Evelyne (éd.),
  Perrin-Glorian Marie-Jeanne,
                                               Les Mathématiques
  Strømskag Heidi, “Theory
                                               éclairées par l’histoire
  of Didactical Situations
                                               – Des arpenteurs aux
  as a Tool to Understand
                                               ingénieurs, Vuibert Adapt,
  and Develop Mathematics
                                               Paris, 2012.
  Teaching Practices”,
  in Annales de didactiques                  — Moyon Marc, « Diviser
  et de sciences cognitives,                   en multipliant les approches...
  Irem de Strasbourg, 2018.                    Quand les mathématiques
                                               remontent aux sources »,
— Mangiante-Orsola Christine,
                                               Repères-Irem, vol. 93,
  Perrin-Glorian Marie-Jeanne,
                                               p. 47‑77, 2013.
  Ingénierie didactique de
  développement en géométrie                 — Moyon Marc, La géométrie
  au cycle 3 dans le cadre                     de la mesure dans
  du LÉA Valenciennes-                         les traductions arabo-
  Denain, 2017, séminaire                      latines médiévales, Brepols,
  national de didactique                       Turnhout, 2017.
  des mathématiques, Arras,
                                             — Proust Christine, Problèmes
  22-23 janvier 2016.
                                               de partage : des cadastres
  Îhttps://ardm.eu/wp-
                                               à l’arithmétique, CultureMath
  content/uploads/2017/02/
                                               (ENS Ulm), 2012.
  pre_actes_seminaire_
                                               Îhttp://culturemath.ens.fr/
  ARDM_janvier_2016.pdf
212 — Bibliographie et outils de référence

CHAPITRE 6


— Chambris Christine, Coulange               — Dougherty Barbara,
  Lalina, Rinaldi Anne-Marie,                  Venenciano Linda, “Measure
  Train Grégory, « Unités                      up for Understanding:
  (relatives) pour les nombres                 Reflect and Discuss”,
  et le calcul à l’école. Vers un              Teaching Children
  état des lieux – Potentialités »,            Mathematics, 13(9),
  in Chaachoua Hamid,                          452‑456, 2007.
  Bessot Annie et al. (éds.),
                                             — De Ligt Frédéric, « 1793,
  Perspectives en didactique
                                               la révolution du temps »,
  des mathématiques : point
                                               in Moyon Marc, Tournès
  de vue de l’élève, questions
                                               Dominique (éds.), Passerelles.
  curriculaires, grandeurs
                                               Enseigner les mathématiques
  et mesures, vol. 2, Éditions
                                               par leur histoire au cycle 3,
  La pensée sauvage, Grenoble.
                                               p. 148-171, Arpeme,
— Chambris Christine,                          Bouc‑Bel-Air, 2018.
  Visnovska Jana, “On History
                                             — Pouchet Louis-Ézéchiel,
  of Units in French Elementary
                                               Métrologie terrestre, ou
  School Arithmetic:
                                               Tables des nouveaux poids,
  The Case of Proportionality”,
                                               mesures et monnoies
  Historia Mathematica.
                                               de France, Guilbert
— Cortina Jose Luis, Visnovska                 et Herment, Rouen, an V
  Jana, Zuniga Claudia,                        (1797).
  “Unit Fractions in the Context
                                             — Tournès Dominique,
  of Proportionality: Supporting
                                               « Des instruments oubliés :
  Students’ Reasoning
                                               les tables métrologiques
  about the Inverse Order
                                               du xviiie siècle », in Barbin
  Relationship”, Mathematics
                                               Évelyne, Bénard Dominique,
  Education Research Journal,
                                               Moussard Guillaume (éds.),
  26(1), p. 79-99, 2014.
                                               Les Mathématiques et le réel.
— Davydov V. V., “The                          Expériences, instruments,
  Psychological Characteristics                investigations, p. 157-172,
  of the ‘Prenumerical’                        Presses universitaires
  Period of Mathematics                        de Rennes, 2018.
  Instruction”, Soviet Studies
                                             — Tournès Dominique, «Calculer
  in the Psychology of Learning
                                               avec des hyperboles
  and Teaching Mathematics,
                                               et des paraboles »,
  7, 109-206, 1975.
                                               in Barbin Évelyne (éd.),
                                               Des Mathématiques éclairées
                                               par l’histoire. Des arpenteurs
                                               aux ingénieurs, p. 131-148,
                                               Vuibert, Paris, 2012.
213 — Bibliographie et outils de référence

CHAPITRE 7


— Gilbert Arsac, Mante Michel,               — Grenier Denise, Bacher
  Les Pratiques du problème                    Roland, Barbe Hervé,
  ouvert, Sceren-CRDP,                         Beffara Emmanuel,
  académie de Lyon, France,                    Bicaïs Yvan, Charlot Grégoire,
  2007.                                        Decauwert Monique,
                                               Deraux Martin, Gezer Tarkan,
— Bonafé Freddy, Chevalier
                                               Meilhan Jean‑Baptiste,
  Arlette, Combes Marie-Claire,
                                               Mouton Frédéric, Situations
  Deville Alain, Dray Liliane,
                                               de recherche pour la classe,
  Robert Jean-Pierre, Sauter
                                               pour le collège et le lycée…
  Mireille, « Les narrations de
                                               et au-delà, Irem de Grenoble,
  recherche, de l’école primaire
                                               2017.
  au lycée », Irem et Apmep,
                                               Îhttps://irem.univ-grenoble-
  Montpellier, 2002.
                                               alpes.fr/recherche-action/
— Brousseau Guy, Théorie                       themes/raisonnement-
  des situations didactiques,                  logique-situations-de-
  Éditions La pensée sauvage,                  recherche-pour-la-classe/
  Grenoble, 1998.                              situations-de-recherche-
                                               pour-la-classe-498450.
— Douady Régine, « Jeux
                                               kjsp?RH=413148517470877
  de cadres et dialectique
  outil‑objet », Recherches                  — Gros Hippolyte, Thibaut
  en didactique des                            Jean‑Pierre, Sander
  mathématiques, 7(2),                         Emmanuel, “What We Count
  p. 5-31, 1986.                               Dictates How We Count:
                                               A Tale of Two Encodings”,
— Gardes Marie-Line,
                                               Cognition (online first), 2021.
  « Démarches d’investigation
                                               Îhttps://doi.org/10.1016/j.
  et recherche de problèmes »,
                                               cognition.2021.104665
  in Aldon Gilles, Le Rallye
  mathématique, un jeu très                  — Groupe Resco, « La résolution
  sérieux !, p. 73‑96, Canopé                  collaborative de problèmes
  Éditions, 2018.                              comme modalité de la
                                               démarche d’investigation »,
                                               Repères Irem, 96, p. 73-96,
                                               2014.
                                               Îhttps://publimath.univ-
                                               irem.fr/numerisation/WR/
                                               IWR14015/IWR14015.pdf
214 — Bibliographie et outils de référence

— Novick Laura R., “Analogical               — Rittle-Johnson Bethany,
  Transfer, Problem Similarity,                Star Jon R., “The Power
  and Expertise”, Journal                      of Comparison in Learning
  of Experimental Psychology:                  and Instruction: Learning
  Learning, Memory,                            Outcomes Supported
  and Cognition, 14(3), 510,                   by Different Types of
  1988.                                        Comparisons”, in Psychology
                                               of Learning and Motivation,
— Reed Stephen K.,
                                               vol. 55, p. 199-225, Academic
  “A Structure Mapping
                                               Press, 2011.
  Model for Word Problems”,
  Journal of Experimental                    — Vandebrouck Fabrice,
  Psychology: Learning                         Baroux-Raymond Dominique,
  Memory and Cognition, 13,                    Bonal Géraldine, Derouet
  p. 124‑139, 1987.                            Charlotte, Dos Santos Ruis,
                                               Hérault Françoise, Prouteau
— Richard Jean-François,
                                               Cécile, Temam Gaëlle, Autour
  Sander Emmanuel,
                                               des problèmes ouverts
  « Activités d’interprétation
                                               en classe de mathématiques,
  et de recherche de solution
                                               Irem de Paris, 2015.
  dans la résolution
                                               Îhttps://publimath.univ-
  de problèmes », in Foulin
                                               irem.fr/numerisation/PS/
  Jean-Noël, Ponce Corinne
                                               IPS15002/IPS15002.pdf
  (éds.), Les Apprentissages
  scolaires fondamentaux,                    — Vendetti Michael, Matlen
  p. 91-102, éditions du CRDP,                 Bryan J., Engle Richland
  Bordeaux, 2000.                              Lindsey, Bunge Silvia,
                                               “Analogical Reasoning
— Richland Lindsey E.,
                                               in the Classroom: Insights
  McDonough Ian M., “Learning
                                               from Cognitive Science”,
  by Analogy: Discriminating
                                               Mind, Brain, and Education,
  between Potential Analogs”,
                                               9(2), p. 100‑106, 2015.
  Contemporary Educational
  Psychology, 35, p. 28-43,
  2010.

— Rittle-Johnson Bethany,
  Star Jon R., “Does Comparing
  Solution Methods Facilitate
  Conceptual and Procedural
  Knowledge? An Experimental
  Study on Learning to Solve
  Equations”, Journal of
  Educational Psychology,
  99(3), p. 561-574, 2007.
                         Conception graphique et suivi éditorial
                         Délégation à la communication

                         Exécution graphique
                         Opixido

                         Suivi de fabrication
Décembre 2021            Service de l’action administrative et des moyens

ISBN 978-2-11-162849-6   Impression
ISSN 2647-4786           DEJA LINK
