                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation   Cycles 2                          3 4
                                     Mathématiques
                                       Compétences travaillées en mathématiques




                                                                        Représenter

                               Donner à voir les objets mathématiques
                               « Représenter », c’est donner à voir, ou au moins rendre perceptible à la vue et à l’esprit.
                               Cette définition relativement simple recouvre cependant des réalités bien distinctes.
                               « Représenter » des objets, des visages ou en tout cas des formes ou des solides est un
                               premier niveau de représentation commun entre autres aux mathématiques, à la géographie,
                               aux sciences et aux arts. Mais on peut aussi « Représenter » des relations entre les objets,
                               que ce soit par un croquis de géographie, un codage en géométrie ou un schéma en électricité.
                               Et il arrive enfin qu’on doive « représenter » des entités abstraites, qui n’ont pas d’autre mode
                               d’existence que cette représentation : des nombres décimaux, des fractions, des fonctions,
                               en un mot des objets mathématiques. Leur point commun est de ne pas être accessible par
                               la vue, l’ouïe ou quelque autre sens : on ne peut pas montrer dans le monde extérieur une
                               fonction, pas plus qu’on ne peut en fait montrer un cube, ou un cercle. Pour autant, l’existence
                               de ces objets ne fait de doute pour aucun utilisateur des mathématiques, même occasionnel.
                               Ces objets ne sont pas accessibles en eux-mêmes, seulement par leurs représentations,
                               qui sont comme des chemins vers un objet auquel on ne pourrait pas avoir directement
                               accès. Ces représentations diverses peuvent alors appartenir à différents registres : registre
                               graphique, registre du langage naturel (« un parallélépipède à 6 faces »), registre numérique,
                               registre de l’écriture symbolique, etc.
                               Le développement de la compétence « Représenter » au cycle 4 doit à la fois permettre à
                               l’élève de progresser dans la vision du réel et dans l’appréhension des objets mathématiques
                               abstraits. Comprendre ce qu’est un triangle, ce qu’est une fonction, ce qu’est une fraction,
                               c’est savoir « représenter » ces objets, c’est-à-dire trouver un registre de représentation
                               adéquat, mais aussi savoir varier les représentations et les registres de représentation.
                               Un élève capable de convoquer dans un exercice mettant en jeu une fonction un graphique,
                               un tableau de nombres, une écriture symbolique, est en train de s’approprier la notion
                               de fonction. Dans cet exercice, on voit que la représentation est aussi pensée de manière
                               dynamique, dans sa capacité à engendrer d’autres représentations, à l’intérieur d’un même
                               registre ou dans un autre registre.


                                    « Mais surtout, l’activité mathématique de recherche et de preuve consiste à transformer des
                                    représentations […], données dans le contexte d’un problème posé, en d’autres représenta-
                                    tions sémiotiques. Et, de ce point de vue, une représentation […] n’est intéressante que dans la
                                    mesure où elle peut se transformer en une autre représentation, et non pas en fonction de l’objet
                                    qu’elle représente ».1



                              1. Idées directrices pour analyser les problèmes de compréhension dans l’apprentissage des mathématiques –
Retrouvez Éduscol sur         Raymond Duval - 2011.




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                               Si on poursuit l’analyse, on peut remarquer que les différentes représentations de la fonction
                               traitée dans cet exercice ne la concernent pas en tant qu’objet spécifique (la fonction f de
                               l’exercice), mais s’appliquent à une catégorie plus vaste à laquelle elle est rattachée (ici la
                               catégorie des fonctions)2.
                               Par ailleurs, si pour cerner un objet mathématique, il est nécessaire de varier les registres,
                               pour résoudre un problème, il est souvent pertinent de se placer dans un domaine
                               mathématique qui n’est pas nécessairement celui de l’énoncé : on parlera alors de
                               changement de cadre. Ainsi, le problème du maximum de l’aire d’un triangle isocèle de
                               côté 6, posé dans le cadre géométrique à partir d’une figure, pourra être traité dans ce cadre
                               géométrique (en considérant un cercle bien choisi), ou dans un cadre fonctionnel, lui-même
                               pouvant être associé à un registre numérique (des valeurs approchées de l’aire étant obtenues
                               à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou d’un tableur) ou plus tard, au lycée au registre
                               des écritures symboliques.




                               Le signe et la pensée
                               Le premier des modes de représentation, avant même la figure est le signe : lettre,
                               symbole, chiffre, cette mise en forme des idées mathématiques est aussi essentielle aux
                               mathématiques que les pièces du jeu le sont aux échecs. Mais ces formes, ces lettres qui
                               constituent la langue des idées ont elles-mêmes une forme, parfois un sens comme le
                               rappelle le logicien Frege3 :


                                    « En offrant au regard le signe d’une représentation, elle-même appelée à la conscience par une
                                    perception, on crée un foyer stable autour duquel s’assemblent d’autres représentations. Parmi
                                    celles-ci, on en pourra de nouveau choisir une et offrir au regard son signe. Ainsi pénétrons-
                                    nous pas à pas dans le monde intérieur des représentations, et y évoluons nous à notre gré,
                                    usant du sensible nous-mêmes pour nous libérer de sa contrainte ».


                               Le philosophe pointe ici la force et le risque du signe : il est utile par les images qu’il convoque
                               et les actions qu’il permet, mais il peut engendrer aussi de fausses images : le nombre a qui


                              2. Parmi les grandes catégories d’objets mathématiques utilisés au cycle 4, on peut citer les nombres rationnels, les
                              fonctions, les figures géométriques du plan ou de l’espace, les symboles littéraux. Ces grandes catégories sont reliées
                              aux classes de problèmes qu’elles permettent de résoudre (proportionnalité, dépendance d’une grandeur en fonction
                              d’une autre, modélisation géométrique, résolution d’équations, etc.).

Retrouvez Éduscol sur         3. Que la science justifie un recours à l’idéographie, 1882, in Ecrits logiques et philosophiques, trad. C. Imbert, Seuil, 1971.




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                              ne peut être que positif, le nombre n qui ne peut être qu’entier, la bande numérique où un
                              nombre est toujours plus petit que celui qui est à sa droite. Une représentation peut posséder
                              pour l’élève une logique qui diffère de celle que l’enseignant lui associe. Que l’on pense à ce
                              dialogue imaginaire de L. Wittgenstein4 :
                                               « Il me suffit simplement de regarder la figure pour voir que 2+2=4 »




                                          « Alors il me suffit simplement de regarder la figure pour voir que 2+2+2=4 »




                              Un autre problème apparait ici, plus large que celui de la nécessaire variation des
                              représentations, c’est la question de la bonne compréhension de la représentation par l’élève :
                              comment savoir que l’élève a bien compris l’usage de la représentation, par exemple qu’il
                              distingue bien les objets visés par les deux représentations 1,4 et ¼. Une réponse possible
                              consiste à faire verbaliser par l’élève sa perception de la représentation, en passant donc
                              dans le registre du langage naturel : la verbalisation peut alors se faire sous la forme :
                              « 1,4 représente une unité et quatre dixièmes, ou quatorze dixièmes ; on peut également la
                              représenter par 1+ 4/10, ou 14/10 ; ¼ représente le quart de l’unité ». La stabilisation de la
                              compréhension de l’objet mathématique sous-jacent passe par l’utilisation de ses différentes
                              représentations dans des contextes différents, pour résoudre des problèmes variés, et le
                              passage d’un registre de représentation à un autre en précisant l’intérêt de chacun dans la
                              situation proposée (représenter le nombre 1,4 sur une droite graduée, partager un segment
                              en quatre, poser l’équation à trou … x 4 = 1).

                              Changements de registre : l’apport des outils numériques
                              L’usage des outils numériques facilite la mise en œuvre concrète des changements de registre
                              de représentation, que ce soit grâce aux tableurs ou aux logiciels de géométrie dynamique :
                              définir une fonction par une formule déclenche aussitôt le tracé des graphiques, ou l’apparition
                              d’un tableau de valeurs. À l’inverse, un tableau de valeurs permet de placer des points, de
                              proposer une interpolation, une ou plusieurs formules.


                              4. Remarques sur les fondements des mathématiques, Paris, Gallimard, coll. Bibliothèque de philosophie.
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                              Ce changement de registre se trouve d’autant facilité qu’il s’effectue immédiatement et sans
                              effort. Mais cette simultanéité ne doit pas conduire à penser que la conversion est limpide pour
                              les élèves. Si les outils numériques permettent d’automatiser des processus mentaux, ceux-ci
                              doivent avoir été auparavant compris et d’une certaine manière éprouvés par les élèves (par le
                              calcul mental ou posé, par le dessin à l’aide d’instruments de géométrie, etc.).

                              Nombres
                              Les nombres constituent un des points les plus délicats et les moins immédiatement visibles
                              de l’application des changements de registre. C’est au cycle 4 que ce qui était représenté
                              par des parts de gâteau, un point sur la demi-droite graduée, le résultat d’une opération de
                              division doit pouvoir pour l’élève renvoyer à un même objet : un nombre. Cette possibilité de
                              changement de registre doit être mise en œuvre régulièrement car elle ne revêt pas la même
                              facilité selon qu’il s’agit de 2, de 0,5, de 3/4, de 2/3, de 5/3 (la représentation des parts de
                              gâteau peut être un obstacle à la conception d’une fraction supérieure à 1). La compréhension
                              d’un nombre décimal, plus tard d’un nombre rationnel positif ou négatif ne peut s’envisager
                              sans changement de registre, d’autant que tous les registres ne seront pas aussi pertinents
                              pour un élève : envisager 2/3 comme représentation de deux parts d’un tout partagé en trois
                              est une chose naturelle pour l’élève depuis le cycle 3, mais le cycle 4 va fournir de nouveaux
                              outils permettant de le voir comme un point de la droite graduée. Des calculs de rapports et
                              de proportions, la résolution de l’opération à trou 2 x … = 3, puis celle de l’équation 2x = 3, le
                              théorème de Thalès viendront progressivement conforter cette réalité. Les activités de calcul
                              mental, les activités de calcul dans un contexte géométrique ou dans un contexte arithmétique
                              constituent autant d’occasions de rappeler et de consolider la variété de ces représentations
                              du nombre. Comprendre que la notion de nombre rationnel étend celle de nombre décimal,
                              qui elle-même étend celle de nombre entier fait partie des objectifs du cycle 4. Les écritures
                              et les représentations des nombres doivent être revues et mises en jeu tout au long du cycle.

                              Organisation et gestion de données et fonction
                              La représentation joue dans l’organisation et la gestion de données un rôle particulier.
                              Il s’agit de représenter des séries de nombres, objets abstraits pour lesquels toutes les
                              représentations sont mathématiquement équivalentes. Mais du fait que ces séries de
                              nombres ont un lien fort avec le monde réel, ces représentations ne sont pas du tout
                              équivalentes dans l’effet qu’elles produisent. Le choix d’une représentation (diagramme
                              en barres ou camembert), comme celui d’une échelle peuvent majorer un minorer un
                              phénomène, exagérer ou minorer un écart, éclairer une décision ou tromper un lecteur.
                              Le nécessaire travail sur les registres prend ici un relief particulier, en ce qu’il rencontre la
                              formation du citoyen et accompagne le développement de l’esprit critique. Dans cet esprit,
                              tout travail engagé sur des données réelles, notamment dans le cadre d’un EPI, permet de
                              mettre en lumière les enjeux des choix de représentation. La notion de fonction, qui nait
                              véritablement pour les élèves au cycle 4, continuera à se mettre en place au lycée et même
                              au-delà. Les fonctions font en effet partie de ces objets mathématiques que les élèves vont
                              être amenés à manier pendant longtemps sans en avoir une définition formelle rigoureuse.
                              Le changement de registre de représentations est donc ici nécessaire pour cerner l’objet
                              fonction. On ne peut pas dire ce qu’est une fonction, mais on peut dire, grâce à cette formule,
                              j’ai défini une fonction, que je pourrais aussi définir par une courbe.




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                              Représenter en géométrie
                              La compétence « Représenter » reste bien entendu centrale dans l’étude de la géométrie.
                              Le thème « Espace et géométrie » propose sous le titre Représenter l’espace une série
                              de contenus dont la maitrise permet à l’élève de collège de continuer à progresser dans
                              la compréhension des objets qu’il a sous les yeux, au travers de la perspective, mais aussi
                              d’objets qu’il ne peut embrasser du regard : c’est tout l’enjeu de la représentation de la Terre,
                              du repérage sur la sphère, dans l’espace ou dans le plan. La circulation entre les différents
                              registres (maquettes, vues de dessus et de profil, croquis, patrons, modélisations 3D issues
                              de logiciels de géométrie, objets conçus à l’aide d’une imprimante 3D) doit être travaillée tout
                              au long du cycle.
                              La représentation en géométrie ne se cantonne pas à ce lien avec le réel, mais accompagne
                              la maitrise de l’abstraction et les débuts de la démonstration au travers des figures et de
                              leurs codages, et des transformations. On retrouve cet « Art de raisonner juste sur des figures
                              fausses » pour reprendre la formule de Descartes. Un triangle isocèle peut être représenté
                              par une figure représentant un triangle isocèle ou un triangle quelconque bien codé, par
                              l’expression Soit ABC un triangle isocèle. Cette possibilité peut être source de difficulté pour
                              des élèves à qui parallèlement on demande de travailler sur la vérité et la justesse des
                              représentations au travers de représentations en perspectives ou à l’échelle. La notion de
                              schéma constitue pour les élèves un pas important à bien marquer, où on s’attache à montrer
                              que la force du schéma réside dans sa capacité à condenser les éléments nécessaires à la
                              démonstration.

                              Bibliographie
                              • Idées directrices pour analyser les problèmes de compréhension dans l’apprentissage des
                                 mathématiques - DUVAL R. (2011).
                              • Rationnels et proportionnalité, complexité et enseignement au début du collège - ADJIAGE
                                 R. (2007). Revue Petit x 74 IREM Grenoble
                              • Le rôle d’un processus de visualisation géométrique complémentaire du registre numérique
                                 - BARRERA R. (2011). Revue Petit x 85 IREM Grenoble
                              • Représentation des fractions et des nombres décimaux chez les élèves de CM2 et du collège
                                 - PERRIN-GLORIAN (1986). Revue Petit x 10 IREM Grenoble




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