                 Espace et géométrie au cycle 3
   Cette ressource ne concerne pas les compétences « Se repérer, décrire ou exécuter des
   déplacements, sur un plan ou sur une carte. », « Accomplir, décrire, coder des déplacements dans
   des espaces familiers. » et « Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur
   un écran. » du domaine Espace et géométrie du programme de mathématiques du cycle 3, qui sont
   traitées dans une ressource dédiée : Initiation à la programmation aux cycles 2 et 3.




Objectifs
Les objectifs de l’enseignement du thème « Espace et géométrie » pendant la scolarité obligatoire sont
multiples. Parmi eux, on peut citer :
       Acquérir des connaissances et compétences utiles pour la vie quotidienne :
        - un vocabulaire permettant de nommer les différentes formes géométriques usuelles en deux
           ou trois dimensions qui permettent de modéliser certains objets qui nous entourent ; cette
           modélisation permet ensuite de calculer des grandeurs (périmètre d’un terrain que l’on doit
           entourer d’une clôture, aire d’un mur que l’on doit tapisser, volume d’une pièce dont on doit
           assurer l’aération, etc.) ;
        - comprendre certaines représentations de l’espace (cartes, plans, dessins en perspective) et
           pouvoir s’en servir ou en construire ;
        - des connaissances en programmation, en anticipant des déplacements dans le plan ou
           l’espace, qui préparent les élèves à l’introduction d’algorithmes en informatique.
       Acquérir des connaissances et des automatismes pour la suite de la scolarité :
        - au cycle 4 et au lycée, la géométrie fournit de nouveaux outils performants (la trigonométrie,
           le théorème de Pythagore, les vecteurs, les équations ou systèmes d’équations, etc.) pour
           résoudre certains problèmes, mais une bonne compréhension et une bonne utilisation de ces
           notions nécessitent une réelle connaissance des configurations étudiées à l’école élémentaire
           et au collège ;
        - l’initiation à la programmation de déplacements menée aux cycles 2 et 3 dans le cadre du
           thème « Espace et géométrie » se poursuit au cycle 4 dans le cadre d’un nouveau thème
           « Algorithmique et programmation » qui sert de base non seulement à l’enseignement,
           obligatoire pour tous, d’algorithmique au sein des programmes de mathématiques du lycée
           d’enseignement général et technologique, mais aussi d’enseignements optionnels comme
           l’enseignement d’exploration « Informatique et création numérique » proposé en seconde.
       Acquérir des connaissances utiles en milieu professionnel :
        - des connaissances géométriques sont bien évidemment essentielles pour tous les métiers du
           bâtiment (maçon, architecte, peintre, etc.) et plus largement tous les métiers impliquant la
           construction d’objets en trois dimensions (dessinateur industriel, menuisier, cuisiniste, etc.) ;
          -  par ailleurs, les travaux menés dans le cadre de l’initiation à la programmation de
             déplacements, menés aux cycles 2 et 3, sont une première étape pour acquérir les notions
             informatiques de base, aujourd’hui nécessaires à l’exercice de toute activité professionnelle.
         Renforcer les aptitudes à raisonner et à argumenter dans toutes les disciplines :
          - La géométrie euclidienne est, depuis des siècles, un outil de formation sans égal pour
                                                                                                    1
             s’exercer à la logique et au raisonnement. Elle se fonde, en effet, sur cinq axiomes d’où
             découlent des théorèmes et propriétés qui serviront eux-mêmes à en construire de nouveaux. ;
             chaque élément de l’édifice peut ainsi être démontré.
          - Dès le cycle 2, les élèves raisonnent et argumentent en utilisant les définitions et propriétés
             connues pour établir, par exemple, la nature d’une figure plane qui leur est présentée. Ainsi,
             un élève de CE2 ou CM1 peut établir qu’un quadrilatère est un rectangle en s’appuyant sur la
             définition (Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits) et en utilisant une
             équerre pour vérifier que les quatre angles du quadrilatère sont droits. Il peut ensuite établir
             qu’il ne s’agit pas d’un carré en s’appuyant sur une propriété (Un carré a ses quatre côtés de
             la même longueur) et, en utilisant une règle graduée, qu’un côté mesure 3 cm et 8 mm alors
             qu’un autre côté mesure 4 cm et 1 mm.



Liens avec les domaines du socle
Le vocabulaire lié aux objets et aux relations géométriques relève d’un langage spécifique à utiliser en
situation : point, droite, demi-droite, segment, solide, face, arête, sommet, polyèdre, cube, pavé droit,
pyramide, prisme, boule, cône, polygone, côté, angle, carré, rectangle, losange, parallélogramme, cercle,
rayon, diamètre, milieu, médiatrice, hauteur, droites parallèles, droites perpendiculaires, etc. Les notations
de droites, demi-droites, segments, longueurs, angles, etc., les notations représentant le parallélisme(//)
ou la perpendicularité (⊥), l’utilisation du symbole « égale », comme par exemple ABC ̂ = 32° ou AB = CD,
sont des éléments constitutifs d’un langage spécifique que les élèves doivent progressivement maîtriser.
Les différents codages de figures sont d’autres éléments du langage mathématique intégré au domaine 1
du socle. Ce vocabulaire et ces notations sont introduits au fur et à mesure de leur usage et non au
départ d’un apprentissage. (Domaine 1)
La géométrie, à travers les travaux de construction ou les problèmes de recherche, favorise l'implication
dans le travail commun, l'entraide et la coopération. Pour effectuer des constructions ou pour argumenter,
les élèves doivent anticiper, planifier des tâches, gérer les étapes. Ils savent qu'un même mot peut avoir
des sens différents ; ils font, par exemple, la différence entre « un rayon du cercle » qui désigne un
segment et « le rayon du cercle » qui désigne une longueur et d’autres sens du mot « rayon » utilisés
dans les autres disciplines ou dans d’autres contextes. Pour acquérir des connaissances et des
compétences, les élèves mémorisent progressivement des définitions et propriétés, apprennent à
mobiliser les ressources à leur disposition (affichages, cahiers de savoirs et de savoir-faire, manuels,
logiciels, etc.), à manipuler, à raisonner, à échanger et argumenter avec leurs pairs et à respecter les
consignes. (Domaine 2)
Débattre et argumenter avec ses pairs pour fournir une preuve développent la capacité à écouter les
autres, à respecter leurs points de vue tout en défendant le sien, à acquérir des règles communes au sein

1
   La géométrie euclidienne dans le plan repose sur cinq axiomes (aussi appelés postulats) :
. 1. Par deux points distincts, il passe une et une seule droite.
  2. Tout segment peut être prolongé indéfiniment en une droite.
  3. Pour tout segment, il existe un cercle dont le centre est une des extrémités du segment et dont le rayon est la longueur du
    segment.
  4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
  5. Étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une unique droite passant par ce point et parallèle à la
    première droite.
de la classe. Les élèves apprennent ainsi à justifier leurs choix et à confronter leur raisonnement à ceux
des autres et éventuellement à remettre en cause leurs premières conclusions. (Domaine 3)
Le travail mené en géométrie au cycle 3 contribue à donner aux élèves les fondements de la culture
mathématique. La géométrie participe notamment au développement de la rigueur intellectuelle, de
l'habileté manuelle, de l'aptitude à démontrer et à argumenter. (Domaine 4)
La modélisation en géométrie, l’utilisation et la construction de représentations de solides (perspective,
patrons), l’utilisation et la production de plans, de cartes ou de maquettes, éventuellement à l’échelle, sont
de multiples façons de représenter le monde. (Domaine 5)



Repères de progressivité
Si certains éléments géométriques sont rencontrés tout au long de la scolarité, la façon dont ils sont
définis ou identifiés va varier d’année en année. L’argumentation attendue pour justifier qu’un polygone
donné est bien un rectangle évolue tout au long des quatre premiers cycles. Au cycle 1, la
reconnaissance est globale, les rectangles sont « plus ou moins allongés » et bien distincts des carrés. Si
la situation est la même en début de cycle 2, elle évolue quand les élèves apprennent qu’un rectangle a
quatre sommets, quatre côtés et quatre angles droits, cela leur permet d’acquérir progressivement des
éléments pour justifier qu’un polygone donné est ou non un rectangle en s’appuyant sur des faits qu’ils
peuvent eux-mêmes vérifier avec leurs outils en fin de cycle 2 (gabarit d’angle droit, règle graduée,
équerre). Ces mêmes faits et outils permettent alors aux élèves de construire eux-mêmes des rectangles.
Au cycle 3, ces faits se structurent davantage au niveau de la définition ou des propriétés qui permettent
aux élèves d’affirmer qu’un polygone donné est ou n’est pas un rectangle. Au cours de la dernière année
du cycle, les élèves se détachent progressivement des mesures effectuées directement sur les figures,
l’équerre n’est plus utilisée pour prouver qu’un angle est droit et la règle graduée ne permet plus de
justifier que deux segments donnés ne sont pas de même longueur2. Les énoncés disponibles, qui
continuent de s’enrichir tout au long du cycle 3, concernent également les diagonales du rectangle à partir
de la classe de sixième. Au cycle 4, les élèves prouvent qu’un polygone est un rectangle en utilisant à la
fois les connaissances acquises précédemment et de nouveaux outils comme le théorème de Pythagore
qui leur permet de déterminer des longueurs ou d’affirmer qu’un angle donné est droit. Ces changements
de registres tout au long de la scolarité nécessitent d’être explicités pour justifier qu’une preuve
acceptable à un moment donné ou dans un certain contexte ne le sera plus ultérieurement ou dans un
autre contexte.
La géométrie n’est pas un champ fermé se développant indépendamment des autres enseignements tout
au long de la scolarité. Au contraire, de cycle en cycle, elle contribue à développer des compétences
utiles pour d’autres domaines des mathématiques et les autres disciplines et réciproquement elle s’appuie
sur des connaissances, savoir-faire et compétences développés dans les différents champs
disciplinaires.
           Au cycle 1, la place du langage est primordiale, les élèves découvrent un vocabulaire spécifique,
            précis, servant à désigner des solides (cube, pyramide, cylindre ou boule). Ils classent des objets
            selon des caractéristiques liées à leur forme. Les faces des solides rencontrés leur permettent de
            nommer quelques figures planes (carré, rectangle, triangle, disque) qu’ils apprennent ensuite à
            reproduire. Pour se repérer dans l’espace les élèves apprennent à utiliser des marqueurs


2
    Pour aller plus loin sur ce changement de statut de la figure dans la construction des preuves, le lecteur pourra se reporter à
l’annexe du document ressources du cycle 4 sur la géométrie plane : Deux géométries en jeu dans la géométrie plane : une qu'on
appellera « dessinée » et une qu'on appellera « abstraite », par Catherine Houdement et Jean-Philippe Rouquès.
    spatiaux (devant, derrière, droite, gauche, dessus, dessous…) dans des récits, descriptions ou
    explications. Ils apprennent ainsi à restituer leurs déplacements et à en effectuer à partir de
    consignes orales. Ils utilisent ou produisent diverses représentations de l’espace à trois
    dimensions (photos, maquettes, dessins, plans…).
   Au cycle 2, les élèves renforcent à la fois leurs connaissances spatiales comme l’orientation et le
    repérage dans l’espace et leurs connaissances géométriques sur les solides et sur les figures
    planes. Le travail sur les solides est mené exclusivement avec des objets en trois dimensions en
    début de cycle, le vocabulaire sommet, arête et face est travaillé avec des polyèdres ; les
    premières représentations planes de solides (photos ou dessins en perspective, patrons) sont
    introduites en travaillant en parallèle avec les solides et leurs représentations. Apprendre à se
    repérer et se déplacer dans l’espace se fait en lien étroit avec le travail mené dans Questionner le
    monde et en Éducation physique et sportive ; les compétences à développer pour ces repérages
    et ces déplacements s’appuient sur le travail mené à l’école maternelle et permettent aux élèves
    de coder et décoder pour pouvoir représenter et effectuer des déplacements dans des espaces
    familiers ou sur un quadrillage. Les connaissances géométriques contribuent à la construction des
    concepts fondamentaux d’alignement, de distance, d’égalité de longueurs, de parallélisme, de
    perpendicularité, de symétrie. Les figures planes, qui sont reconnues de façon globale en début
    de cycle sont progressivement décomposées en éléments simples : des points (sommets, centre,
    point d’intersection de deux droites), des segments (côtés, rayons, diamètres) et des angles droits
    permettant de les décrire, de les construire avec précision et d’établir, lors des temps
    d’institutionnalisation, des énoncés pour les définir ou rendre compte de certaines de leurs
    propriétés.
   Au cycle 3, le travail mené au cycle 2 pour accomplir, décrire, coder des déplacements ou pour
    programmer des déplacements de robots ou de personnages sur un écran se poursuit en se
    complexifiant. Des logiciels comme Scratch peuvent être introduits dès le début du cycle. De
    même, pour les travaux sur les figures simples le vocabulaire s’enrichit (triangle isocèle, triangle
    équilatéral, losange, parallélogramme, diagonale, médiatrice, etc.) permettant de nommer
    davantage d’objets géométriques, de décrire les figures avec plus de précision et de produire des
    raisonnements argumentés pour établir la nature d’une figure donnée. L’utilisation fréquente des
    outils de construction permet de renforcer la compréhension des propriétés étudiées
    (perpendicularité, égalité de longueurs, parallélisme, milieu, symétrie, égalité d’angles, etc.). En
    lien avec le domaine « Grandeurs et mesures », la notion d’angle est abordée en début de cycle,
    la comparaison d’angles avec l’angle droit (angles obtus ou aigus) permet de discuter la nature de
    certaines figures (triangles rectangles, rectangles, carrés) ; en dernière année de cycle, le
    rapporteur et une unité pour mesurer les angles (le degré) sont introduits, ils permettent la
    construction de nouvelles figures. Le travail sur la symétrie axiale se poursuit, les élèves
    apprennent à construire les symétriques par rapport à une droite de figures de plus en plus
    complexes. Pour les solides, les élèves apprennent à construire eux-mêmes des patrons de
    cubes, qu’ils ont manipulés au cycle 2, puis des patrons de pavés droits. Ils travaillent avec des
    patrons de prismes droits ou de pyramides, qu’ils savent associer aux solides ou aux
    représentations de solides qu’ils permettent de construire. Les élèves apprennent à interpréter et
    à reproduire des représentations en perspective de solides de plus en plus complexes et à
    construire eux-mêmes de telles représentations dans des cas très simples.
   Au cycle 4, les élèves continuent à raisonner, argumenter et discuter sur les propriétés et la
    nature de figures simples ; les informations qu’ils peuvent utiliser sont soit fournies par l’énoncé
    (éventuellement une figure codée), soit déduites de propriétés connues (si deux droites sont
    parallèles alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, propriétés de
    figures planes, angles alternes-internes, etc.) ou de calculs basés éventuellement sur des
    théorèmes connus (somme des mesures des angles d’un triangle, théorème de Pythagore,
    théorème de Thalès, etc.). Le travail dans l’espace se poursuit en continuant à travailler la vision
    dans l’espace avec des vues en perspectives, en coupe, du dessus, etc. ou avec des patrons ou
        des maquettes. Le repérage dans l’espace se complexifie en travaillant le repérage dans un
        parallélépipède rectangle et sur une sphère, en faisant le lien avec la Terre (longitude et latitude).
        Le travail mené sur la programmation de déplacements aux cycles précédents se poursuit dans
        un thème indépendant du thème « Espace et géométrie » appelé Algorithme et programmation au
        sein duquel les élèves sont appelés à écrire, mettre au point et exécuter des programmes simples
        en explorant d’autres champs que celui de la géométrie.



Stratégies d’enseignement

Différents types de tâches en géométrie
Afin de faire émerger et d’enrichir les concepts géométriques, le programme invite à proposer différents
types de tâches aux élèves :
       Reconnaître : identifier, de manière perceptive, en utilisant des instruments ou en utilisant des
        définitions et des propriétés, une figure géométrique plane ou un solide. Exemple : reconnaître
        qu’un quadrilatère est un rectangle ou reconnaître un rectangle parmi un ensemble de figures
        géométriques.
       Nommer : utiliser à bon escient le vocabulaire géométrique pour désigner une figure géométrique
        plane ou un solide ou certains de ses éléments. Exemple : nommer différents éléments d’un
        disque : rayon, diamètre, centre.
       Vérifier : s’assurer, en recourant à des instruments ou à des propriétés, que des objets
        géométriques vérifient certaines propriétés (points alignés, droites perpendiculaires, etc.), ou
        s’assurer de la nature d’une figure géométrique ou d’un solide.
       Décrire : élaborer un message en utilisant le vocabulaire géométrique approprié et en s’appuyant
        sur les caractéristiques d’une figure géométrique pour en permettre sa représentation ou son
        identification. Exemple : jeu du portrait.
       Reproduire : construire une figure géométrique à partir d’un modèle fourni avec les mêmes
        dimensions ou en respectant une certaine échelle. Exemple : reproduire une figure complexe en
        la décomposant en plusieurs figures simples.
       Représenter : reconnaître ou utiliser les premiers éléments de codage d’une figure géométrique
        plane ou de représentation plane d’un solide (perspective, patron).
       Construire : réaliser une figure géométrique plane ou un solide à partir d’un programme de
        construction, un texte descriptif, une figure à main levée, etc.

La pratique de ces tâches tout au long du cycle conduit à prévoir une progressivité de période en période
et éventuellement des éléments de différenciation dépendant des besoins des élèves reposant sur des
choix et des évolutions concernant :
       le support de construction des figures (papier pointé, quadrillé ou uni, logiciel de géométrie ou de
        programmation, etc.) ;
       la nature des figures, des éléments qui la composent ;
       les éléments directement visibles (analyse « immédiate ») ou non tracés (« à trouver ») pour
        reproduire (alignement, prolongement, milieu, angles droits, parallèles, etc.) ;
       les contraintes pour la reproduction (support, tracé à main levée avec des codages ou tracé avec
        des instruments, présence ou non d’une amorce à compléter, instruments autorisés, à la même
        échelle ou non, etc.) ;
       le support de prise d’information (figure à reproduire à l’identique, dessin à main levée avec des
        codages, programme de construction, description, etc.).
Les outils de construction
L’utilisation des outils de construction est un enjeu majeur de l’enseignement de la géométrie au cycle 3.
Des travaux de reproduction ou de construction doivent être proposés lors de chaque période de chaque
année du cycle. La manipulation physique des outils contribue à la compréhension et l’assimilation des
différentes propriétés géométriques (alignement, perpendicularité, parallélisme, etc.) et à la connaissance
et reconnaissance des figures simples usuelles (triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle
équilatéral, quadrilatère, etc.).
Les constructions géométriques ont un rôle essentiel dans les apprentissages. Elles permettent de
réinvestir les définitions et les propriétés qui ont été institutionnalisées. Ces constructions peuvent
s’effectuer à partir d’un texte ou d’une figure codée. Le choix des instruments peut être laissé ou non à
l’initiative des élèves.
Construire des figures contribue à développer les compétences travaillées en mathématiques, par
exemple :
       Chercher, en s’interrogeant sur la manière de
        décomposer une figure complexe en figures simples
        pour pouvoir la reproduire.


       Modéliser le sol de la classe par un rectangle ou un
        autre polygone pour le dessiner à une certaine échelle.


       Représenter un pavé droit par un dessin en
        perspective cavalière ou un dessin à main levée pour
        mettre en place une stratégie de construction.


       Raisonner pour pouvoir construire une figure en
        utilisant une définition ou des propriétés connues.

                                                                       Tracer un triangle ABC ayant un
       Calculer pour disposer des données nécessaires pour            périmètre de 17 cm tel que
        effectuer une construction.                                              3
                                                                       AB = 5 + cm et AC = 6 + cm.
                                                                                                   5
                                                                                10                10



       Communiquer en rédigeant un programme de
        construction ou en utilisant des codes sur une figure
        dessinée à main levée.


Les temps consacrés à la construction de figures doivent être suffisamment longs pour permettre à tous
les élèves d’effectuer eux-mêmes les constructions attendues.
Si l’aide entre élèves peut être particulièrement utile et doit être encouragée lors des temps
d’apprentissage, il est néanmoins nécessaire de s’assurer qu’elle ne consiste pas à « faire à la place
de », mais qu’elle permet bien à l’élève aidé d’apprendre à chercher, à raisonner, à modéliser, à
représenter et à communiquer pour réaliser la construction demandée. L’accompagnement de
l’enseignant est ici essentiel pour garantir un apprentissage, tant pour l’élève aidé que pour l’élève aidant
(apprendre à guider, à aider…).
Ces temps de construction sont propices à un travail différencié, les besoins d’accompagnement et les
temps nécessaires pour réaliser les figures pouvant être très variables selon les élèves. Il est nécessaire
lors de ces séances de construction d’expliciter aux élèves l’attendu pour tous, de s’assurer que les
élèves les moins rapides ont bien atteint cet attendu et que les plus performants ont pu être maintenus en
réelle activité mathématique leur permettant d’aller plus loin, d’acquérir de nouvelles connaissances ou
compétences, sur l’ensemble de la séance.


L’institutionnalisation en géométrie
Comme pour les autres domaines des mathématiques, les élèves ont besoin d’écrits auxquels se référer
(affichages et cahiers personnels d’élèves). Les énoncés contenus dans ces écrits doivent être connus,
appris et mémorisés à plus ou moins court terme. Ils sont indispensables au développement
d’automatismes et à la résolution de problèmes. Les cahiers d’élèves peuvent être utilisés plusieurs
années.
Les « écrits de savoir », l’institutionnalisation, ne sont pas un préalable au travail mené en géométrie,
mais une étape qui arrive après de nombreux travaux de construction et d’écrits intermédiaires produits
par les élèves. Ces « écrits de savoir » ne sont pas une fin en soi. Au contraire, les élèves doivent être
incités à les utiliser régulièrement dans les travaux de construction et de recherche menés en classe.
Afin de permettre aux élèves de s’appuyer sur les propriétés des figures, l’enseignant veille lors des
temps d’institutionnalisation ou lors de la conception d’affichages à ce que les figures ne soient pas
systématiquement placées dans des configurations que l’on qualifie habituellement de « prototypiques » :
le rectangle ou le carré « posés » sur un côté, le losange « posé » sur un sommet, le segment dont on
trace la médiatrice tracé horizontalement, etc. En effet, ces configurations conduisent ensuite à des
conceptions erronées et à des réponses fausses, comme dans les deux exemples ci-dessous :




                                                                                        B

                                                                A

                    C’est un losange
                                                          La médiatrice du segment [AB]
Les énoncés mathématiques : définitions, propriétés et propriétés caractéristiques
Pour amener les élèves à reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter et construire des figures
simples, il est nécessaire de les doter d’un certain nombre de définitions, propriétés et propriétés
caractéristiques. Il ne s’agit pas au stade du cycle 3 de faire un cours théorique sur les polygones usuels,
mais de donner des éléments explicites aux élèves pour leur permettre de répondre aux questions
concernant les polygones. L’une des difficultés du travail sur les figures repose sur le fait que
l’argumentation attendue pour répondre à la question « Est-ce que cette figure est un rectangle ? » va
varier chaque année ou presque du cycle 1 à la fin du cycle 3.
Trois types d’énoncés sont rencontrés progressivement au cycle 3 : des définitions, des propriétés et des
propriétés caractéristiques. Ces différents types d’énoncés sont notés dans les cahiers lors des phases
d’institutionnalisation et les élèves s’y réfèrent autant que nécessaire pour répondre aux questions qui
leur sont posées.
     Une définition est une affirmation qui consiste à donner un nom à un objet vérifiant certaines
      propriétés ; elle se formule généralement en employant le verbe être. La définition d’un objet
      géométrique fait référence à des objets ou des relations déjà connus.
      La façon de définir une figure plane n’est pas nécessairement unique et va varier tout au long des
      premières années d’enseignement. Il est néanmoins souhaitable de garder une certaine
      cohérence sur la façon de définir une figure donnée tout au long du cycle.
      Les définitions permettent d’affirmer qu’une figure donnée est bien d’une certaine nature, par
      exemple de pouvoir affirmer qu’un polygone donné est bien un rectangle.
      Ci-dessous sont proposées plusieurs traces écrites pour les élèves du début du cycle 2 à la fin du
      cycle 3 pour « définir » ce qu’est un rectangle :

    En début de cycle 2

                                   Un rectangle

    En milieu de cycle 2



                                   Un rectangle

    En fin de cycle 2 et en début de cycle 3

    On appelle rectangle un quadrilatère qui a
    quatre angles droits.

    En milieu de cycle 3

    Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre
    angles droits.
    Un quadrilatère qui a quatre angles droits est
    un rectangle.
    En dernière année de cycle 3

    Définition : Un rectangle est un quadrilatère
    ayant 4 angles droits.

      Le verbe être est généralement utilisé pour les définitions, mais il a un sens particulier dans les
      définitions mathématiques qui n’est pas celui de l’usage quotidien ou des autres disciplines.
      Quand on dit « Un lapin est un mammifère. », cela signifie que tous les lapins sont des
      mammifères et implique une relation d’inclusion entre l’ensemble des lapins et l’ensemble des
      mammifères, l’inclusion est stricte : certains mammifères ne sont pas des lapins. En revanche,
      quand on définit le rectangle en écrivant « Définition : Un rectangle est un quadrilatère ayant
      quatre angles droits. », cela signifie non seulement que tous les rectangles sont des quadrilatères
      ayant quatre angles droits mais aussi que tous les quadrilatères ayant quatre angles droits sont
            des rectangles. On note que pour l’avant-dernière institutionnalisation ci-dessus l’enseignant a fait
            le choix d’écrire la définition dans l’autre sens également pour expliciter davantage cette
            réciprocité.
           Une propriété d’un certain type de figures planes précise des éléments vérifiés par l’ensemble
            des figures de ce type, mais ces éléments peuvent aussi être vérifiés par des figures d’un autre
            type. Par exemple, « Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur » signifie que tous les
            rectangles ont leurs côtés opposés de même longueur. Un parallélogramme qui n’est pas un
            rectangle vérifie aussi cette propriété, qui ne permet donc pas de caractériser un rectangle. Il
            s’agit là d’une condition nécessaire (mais pas suffisante)
            pour être un rectangle. Le verbe avoir est généralement
            utilisé pour énoncer les propriétés.
           Les propriétés ne permettent pas de dire qu’une figure
            donnée est d’un certain type, mais elles peuvent permettre
            de dire qu’elle n’est pas d’un certain type. Par exemple,
            nous pouvons affirmer que le quadrilatère ABCD dessiné
            à main levée ci-contre n’est pas un rectangle car « Un
                                                                     3
            rectangle a ses côtés opposés de même longueur. »…
           Au cours du cycle 3 les élèves pourront, par exemple, rencontrer les propriétés suivantes lors de
            leurs travaux sur le rectangle :




           Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur.
                    AB = DC et AD = BC




           Un rectangle a ses côtés opposés parallèles.
             (AB)//(DC) et (AD)//(BC)


           Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
                    AO = OC et BO = OD




3
    Il s’agit ici de ce que les mathématiciens ou logiciens qualifient de « raisonnement par contraposée ». Si l’on a l’implication « Si
    A alors B », alors on peut en déduire sa contraposée : « Si non B alors non A ». Par exemple, l’affirmation « Si il pleut alors il y a
    des nuages » est vraie et on peut en déduire que « Si il n’y a pas de nuages alors il ne pleut pas ». La contraposée « Si non B
    alors non A » ne doit pas être confondue avec la réciproque « Si B alors A » qui contrairement à la contraposée n’est pas
    nécessairement vraie, pour notre exemple nous voyons bien que la réciproque « Si il y a des nuages alors il pleut » est fausse…
    Tout ceci est bien entendu hors programme.
        Un rectangle a ses diagonales de même longueur.
                               AC = BD


        Une propriété caractéristique permet d’établir la nature d’une figure à l’aide d’éléments autres
         que ceux de sa définition. Une propriété caractéristique peut être formulée au cycle 3 sous la
         forme « Si…, alors… », par exemple : « Si un quadrilatère a ses diagonales qui sont de même
         longueur et qui se coupent en leur milieu, alors c’est un rectangle ». Ce type d’énoncé est
         rencontré en dernière année de cycle 3. Cette formulation « Si…, alors… » pourra être mise en
         lien avec les instructions conditionnelles lors de l’initiation à la programmation.

Le document Les polygones, en annexe, propose un certain nombre de définitions, propriétés et
propriétés caractéristiques pouvant être rencontrées au cycle 3 dans le cadre de l’étude des polygones
usuels.

Le cas particulier du disque
Au cycle 1, l’élève a appris à reconnaître et à nommer les disques ou les cercles sans faire la différence
entre les deux. Au cycle 2, l’élève a construit des cercles de façon libre au départ puis avec des
contraintes sur le centre, un point du cercle ou le rayon du cercle. Il a, à cette occasion, appris à utiliser
en situation le mot centre et le mot rayon utilisé principalement dans le sens de longueur, mais également
pour désigner des segments. En fin de cycle 2, les élèves commencent à différencier la surface appelée
disque de son contour appelé cercle. Si au cycle 2 l’enseignant veille à ne pas utiliser un mot pour un
autre tout en restant très tolérant sur l’expression des élèves, au cycle 3 l’enseignant va plus loin et
commence à exiger progressivement des élèves qu’ils fassent également la distinction entre les deux.
Au cycle 3, les temps de recherche et d’institutionnalisation sur le disque ou le cercle sont propices à un
travail croisé avec l’apprentissage du français. Deux exemples :
        pour mener des travaux sur la polysémie, le mot rayon est particulièrement riche, il a non
         seulement de nombreux sens dans la langue française, mais même en mathématiques il a deux
         sens différents, il peut à la fois désigner un segment (segment d’extrémités un point du cercle et
         le centre du cercle) et une longueur (distance entre un point du cercle et le centre du cercle), le
         mot centre est également polysémique ;
        pour mener des travaux sur les déterminants, on dit « le centre du cercle » et non pas « un centre
         du cercle », on dit « un rayon du cercle » pour désigner un segment d’extrémités un point du
         cercle et le centre du cercle, et « le rayon du cercle » désigne la longueur de ce segment, mais
         « le rayon [OA] » désigne un segment particulier…

Le vocabulaire pouvant être rencontré par les élèves dans le cadre de travaux sur le cercle tout au long
du cycle 3 est rappelé dans le document Le disque et le cercle en annexe.

Les angles
Le travail sur les angles est mené en lien avec les compétences à développer dans le cadre du champ
Grandeurs et mesures. À l’école élémentaire, le travail ne porte que sur la grandeur « angle », sans
référence aux mesures. Les élèves sont amenés à comparer des angles, notamment par rapport à l’angle
droit (angle aigu ou angle obtus), à l’aide d’une équerre ou d’un gabarit. Ils sont également amenés à
construire des angles superposables en utilisant des gabarits, notamment dans le cadre de reproduction
de figure de même grandeur ou à l’échelle. Au collège, l’unité de mesure « degré » est introduite, elle
permet de faciliter la reproduction d’angles ou de figures géométriques à l’aide du rapporteur. Le
vocabulaire utilisé peut éventuellement s’élargir en fonction des besoins, mais ne doit pas faire l’objet d’un
apprentissage spécifique. Le vocabulaire pouvant être rencontré est rappelé dans le document Les angles
en annexe.


Les notations en géométrie
À l’école élémentaire, lorsque des lettres sont utilisées pour désigner des points, des droites ou des
angles, le professeur veille à toujours préciser explicitement l’objet dont il parle : « le point A », « le
segment [AB] », « le triangle ABC », « la droite d », « l’angle â », etc. Aucune maîtrise n’est attendue des
élèves pour ce qui est des codages (par exemple, l’usage des crochets pour un segment) avant la
dernière année du cycle. L’enseignant qui, lui, utilisera toujours la notation correcte au tableau, jugera de
la pertinence ou non de corriger sur les productions des élèves d’éventuelles notations non conformes.
Les nouvelles notations sont introduites au fur et à mesure de leur utilité, et non au départ d’un
apprentissage.
Pour mémoire :
           (AB) désigne la droite passant par A et B ;
           [AB) désigne la demi-droite d’origine A passant par B, la notation (BA] n’est pas conforme aux
            usages ;
           [AB] désigne le segment d’extrémités A et B ;
           AB désigne la longueur du segment [AB], on écrit, par exemple, AB = 3,4 cm, mais on ne peut
            pas écrire une égalité de longueur en utilisant la notation [AB] ;
           ABC, sans parenthèses, désigne le triangle de sommets les points A, B et C ;
           une lettre comme d, sans parenthèses, en minuscule, peut être utilisée pour désigner une droite,
            comme dans « le point A appartient à la droite d » ;
            ̂ , avec un « chapeau », est utilisé pour désigner l’angle (saillant) de sommet B délimité par les
            ABC
            demi-droites [BA) et [BC) ;
           ⏜ désigne un arc de cercle d’extrémités les points A et B, il y en a deux, on peut dire « l’arc AB
            AB                                                                                              ⏜
            passant par C ».

                                                                                                 4
Les symboles ∈ et ∉ mettent en relation un point et un ensemble de points .

     EXEMPLE DE REPRESENTATION                                         UTILISATION DES SYMBOLES ∈ ET ∉

                                                       Le point C appartient à la droite (AB) se note : C ∈ (AB).

                                                       Le point D n’appartient pas à la droite (AB) se note : D ∉ (AB).

                                                       Le point E appartient au segment [AB] se note : E ∈ [AB].

                                                       Le point C n’appartient pas au segment [AB] se note : C ∉ [AB].




4
    Entre deux ensembles de points on ne parle pas d’appartenance mais d’inclusion, ainsi on ne peut pas dire « le segment [AB]
    appartient à la droite (AB) » ni écrire « [AB] ∈ (AB) », pas plus qu’on ne peut écrire « [CD] ∉ (AB) », la façon correcte de dire les
    choses en mathématiques serait : « le segment [AB] est inclus dans la droite (AB) » ce qui s’écrit « [AB] ⊂ (AB) », mais ceci n’est ni
    au programme du cycle 3 ni même au programme du cycle 4.
Le codage des figures géométriques
Le codage pour les angles droits et les segments de même longueur est introduit dès la première année
du cycle 3, en habituant les élèves à coder les figures qu’ils construisent ou qui leur sont fournies.
Ils seront ensuite invités à identifier la nature de figures dessinées à main levée
mais codées, comme les figures ci-contre. De tels travaux peuvent être menés
dès la deuxième année du cycle 3, en parallèle d’exercices pour lesquels les
figures fournies sont en vraie grandeur et les outils comme l’équerre ou la règle
graduée sont utilisées pour identifier la nature des figures. Ce changement de
registre doit être explicité autant que nécessaire. L’usage de figures construites
à main levée peut être particulièrement approprié lors de temps de « questions
flash » proposées en vidéoprojection. Les temps de mise en commun sont
l’occasion de travailler l’expression orale en invitant les élèves à présenter de
façon claire et ordonnée leurs justifications.
Ce type de travail se poursuit en se complexifiant en dernière année du cycle,
notamment en utilisant les propriétés rencontrées sur les diagonales de
quadrilatères.
Au collège, les élèves rencontrent également un nouveau type de codage
permettant d’indiquer que deux angles ont la même mesure.


La symétrie axiale
Au cycle 2, les élèves ont travaillé sur les axes de symétrie. Ils ont cherché des axes de symétrie de
figures qui leur étaient fournies ou ils ont complété des figures pour qu’une droite donnée soit un axe de
symétrie de la figure complétée. Le pliage de la feuille ou l’utilisation de papier calque pouvaient leur
permettre de mener à bien la tâche qui leur était assignée.
Au cycle 3, la symétrie axiale est progressivement introduite en lien avec la notion d’axe de symétrie, les
consignes vont évoluer progressivement de « compléter la figure pour que la droite soit un axe de
symétrie » à « dessiner le symétrique de la figure par rapport à l’axe ».
Le pliage de la feuille ou l’utilisation de papier calque n’est alors plus utilisé a priori mais seulement pour
valider une réponse ou corriger d’éventuelles erreurs.
Dès la dernière année du cycle 2, l’utilisation de logiciels en ligne permettant :
            de placer des axes de symétrie, comme le site Mathenpoche,
            de compléter des figures pour qu’une droite soit axe de symétrie, comme le site Matoumatheux
             ou le site Mathenpoche,

est particulièrement pertinente, car ces logiciels permettent aux élèves de corriger leurs éventuelles
erreurs eux-mêmes et immédiatement tout en les obligeant à visualiser intérieurement l’effet de la
symétrie, le pliage du support n’étant plus possible.




          Reconnaître des axes de symétrie sur le site mathenpoche       Compléter une figure pour qu'une droite soit un axe de symétrie sur le site
                                                                                                      mathenpoche




Compléter une figure pour qu'une droite soit un axe de symétrie sur le
                        site matoumatheux


En début de cycle 3, le travail est mené uniquement sur papier pointé ou quadrillé avec un axe vertical ou
horizontal dans un premier temps puis avec des axes en diagonale.
Afin d’éviter de laisser s’installer des conceptions erronées, l’enseignant doit s’assurer de ne pas faire
construire le symétrique d’une figure qui possède un axe de symétrie parallèle à la droite par rapport à
laquelle le symétrique de la figure doit être tracé. En effet de telles figures ne permettraient pas de repérer
les erreurs d’élèves qui effectueraient des translations et non des symétries.
      ÉLEVE QUI EFFECTUE UNE TRANSLATION                               ÉLEVE QUI EFFECTUE BIEN UNE SYMÉTRIE
         AU LIEU D’UNE SYMÉTRIE AXIALE                                                AXIALE




                  Erreur indétectable




                        Erreur visible



De même, ne pas placer l’axe systématiquement au milieu de la
feuille peut permettre de repérer des élèves qui n’ont pas
compris que la transformation est à mener par rapport à l’axe et
non par rapport aux bords de la feuille.


En milieu de cycle 3, l’enseignant veillera à proposer une grande variété de situations, en faisant varier :
                                       5
           le type de quadrillage ;
           l’orientation de l’axe ;
           la position de la figure par rapport à l’axe ;
           des figures de plus en plus complexes.




5
    Il est possible de créer des feuilles de papier avec des quadrillages carrés, triangulaires, hexagonaux, en losanges ou de papier
    pointé avec des points alignés ou alternés sur des sites comme http://incompetech.com/.
Puis apparaitront les premières constructions du symétrique d’une figure sur papier uni en utilisant
l’équerre et la règle graduée dans des cas très simples (quelques points, segments ou triangles). Le
pliage pourra être utilisé pour valider les constructions.
En dernière année de cycle 3, les élèves continuent de construire des symétriques de figures par rapport
à une droite sur papier quadrillé ou pointé. Ils continuent aussi de construire des symétriques de figures
par rapport à une droite sur papier uni, les figures se complexifient et l’utilisation de la règle graduée pour
placer le point image à la même distance de l’axe que le point initial peut être remplacée par l’utilisation
du compas. La construction de symétriques au compas seulement, sans équerre, pourra être proposée à
certains élèves, après l’introduction de la médiatrice, lors de travaux différenciés.


L’espace et les solides
Le travail sur l’espace et les solides au cycle 3 s’articule autour de deux grands axes :
           la maîtrise d’un vocabulaire spécifique pour nommer, décrire et reconnaître quelques solides
            usuels ;
           la reconnaissance, l’utilisation et la construction de représentations de l’espace sous forme
            de plan, de vues sous différents angles, de photographies, de patrons, etc.

Le travail sur les solides rencontrés au cycle 2 (boule, cylindre, cône, cube, pavé droit, pyramide) se
poursuit au cycle 3 en s’enrichissant. Comme au cycle 2, les élèves continuent à manipuler des objets en
trois dimensions qu’ils nomment, trient et classent en utilisant le vocabulaire qu’ils ont appris (noms des
solides, faces, arêtes, sommets). Les élèves rencontrent de nouveaux solides : des prismes droits et des
pyramides régulières.
                       SOLIDE                                EXEMPLES DE REPRÉSENTATIONS EN PERSPECTIVE

    Un prisme droit est un polyèdre ayant deux
    faces parallèles et superposables appelées
    bases et dont les autres faces sont des
    rectangles.




    Une pyramide régulière est un polyèdre
    dont une face, appelée base, est un
    polygone régulier*, et dont les autres faces
                                 6
    sont des triangles isocèles.
    *Polygone convexe ayant tous ses côtés
    de même longueur et inscriptible dans un
    cercle.




6
    Étant donnée la complexité d’une définition rigoureuse pour la « pyramide régulière », l’enseignant pourra simplement parler de
    « pyramide » que l’on reconnaitra à sa base, qui est un polygone, son sommet et ses faces latérales qui sont des triangles, en
    veillant à ne présenter aux élèves que des pyramides régulières ou des représentations de pyramides régulières, mais sans
    chercher à différencier celles-ci des pyramides non régulières.
La progressivité des apprentissages s’organise autour des différentes descriptions, reproductions,
représentations et constructions. Le document Les solides, en annexe, rappelle quelques éléments sur
les solides que les élèves doivent reconnaître en fin de cycle 3 et présente des tâches pouvant être
proposées pour les différents solides mentionnés dans les programmes.
Les dessins en perspectives peuvent dans un premier temps être faits sur papier pointé, les exercices
variés permettent de dessiner des cubes, des pavés droits ou des assemblages de cubes ou pavés droits,
en variant les points de vue.
Ci-après, quelques exemples d’activités de représentation de volumes sur papier pointé proposées par
l’IREM de Paris Nord dans le l’ouvrage numérique La troisième dimension, voir et concevoir dans
l’espace.




Les travaux sur la reconnaissance de patrons (dire à quel solide correspond un patron donné, dire si un
patron permet de construire ou non tel ou tel solide, etc.) doivent être menés dans un premier temps avec
des patrons que les élèves pourront plier pour former (ou non) les solides. Afin de leur permettre de
développer progressivement les arguments permettant de valider ou non un patron (argument sur le
nombre de faces, sur la position relative des faces, sur la forme des faces, sur la longueur d’arêtes devant
être assemblées, etc.).
Des travaux de constructions de solides sont proposés à partir de patrons construits ou complétés par les
élèves dans le cas de cubes ou de pavés droits, ou fournis par l’enseignant dans le cas de prismes ou de
pyramides. Des modèles de patrons de tels solides sont disponibles dans divers ouvrages ou sur des
sites internet, comme par exemple le site http://www.korthalsaltes.com/. Ces travaux de construction de
solides à partir de patrons doivent permettre de développer l’aptitude à reconnaître le solide
correspondant à un patron donné ou à accepter ou rejeter le fait qu’un patron fourni permette de
construire un solide donné.
En fin de cycle 3, les élèves peuvent être invités à traiter des problèmes liant leurs connaissances sur les
volumes (grandeurs et mesures) et les solides (Espace et géométrie), par exemple : « Construire le
                                                   3
patron d’un pavé droit ayant un volume de 72 cm ».
Au cycle 3, les élèves continuent également à travailler avec des représentations de l’espace et d’objets
en trois dimensions. Ils sont à la fois confrontés à des représentations en perspective linéaire
(photographies, tableaux, etc.), où les droites parallèles (dans l’espace en trois dimensions) se coupent
en un point appelé point de fuite comme sur la photographie ci-dessous et à des représentations en
perspective cavalière où les droites parallèles ne se coupent pas comme sur le solide ci-dessous.




Aucun cours théorique n’est mené sur ces différents types de représentation en perspective, ni sur leurs
propriétés, l’enseignant s’assure seulement que les élèves travaillent au cours du cycle 3 avec ces
différentes représentations et réussissent à faire le lien entre les objets réels, en trois dimensions, et leurs
différentes représentations en deux dimensions.


Les outils numériques en géométrie
Au cycle 2 comme au cycle 3, faire le lien entre l’espace en trois dimensions dans lequel nous vivons et
ses représentations en deux dimensions (dessin, photographies, etc.) peut être difficile pour les élèves.
L’utilisation de logiciels de géométrie dans l’espace, présentés en vidéoprojection, peut permettre de
faciliter la compréhension de ces représentations en permettant de faire tourner un objet grâce à un
logiciel de géométrie dynamique en trois dimensions ou de se déplacer dans un environnement filmé (la
classe par exemple), en effectuant des arrêts sur image, permettant de lier l’objet ou la scène à une
représentation en deux dimensions.
Lors des temps de construction, l’outil numérique peut s’avérer particulièrement utile pour diffuser, en
boucle, une vidéo de la construction à effectuer à laquelle les élèves pourront se référer s’ils rencontrent
des difficultés (construction d’un losange en CM1, construction d’une droite parallèle à une autre droite et
                                                                                                   7
passant par un point donné en CM2, construction d’un angle d’une mesure donnée en sixième ).
L’utilisation de logiciels en ligne peut être intéressante dans le cadre de travaux sur la symétrie axiale
pour éviter aux élèves d’avoir recours systématiquement au pliage (voir le paragraphe ci-dessus consacré
à la symétrie axiale).




7
    Voir par exemple l’annexe Plus près de l’angle de la ressource Les mathématiques par le jeu, mise en ligne sur la page éduscol
    des ressources d'accompagnement du programme de mathématiques du cycle 4.
L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique au cycle 3, par l’enseignant face à la classe en
vidéoprojection ou par les élèves eux-mêmes, doit permettre de familiariser les élèves à un outil qu’ils
utiliseront au cycle 4 dans le cadre de la résolution de problèmes notamment pour émettre des
conjectures. Cet outil peut permettre de faire travailler les élèves sur les propriétés des figures
géométriques planes, en utilisant l’aspect dynamique du logiciel, la déformation d’une figure fera que
certaines propriétés seront ou non conservées (voir par exemple le document Les quadrilatères en
annexe).
Néanmoins, si l’utilisation de logiciel de géométrie dynamique peut présenter des avantages, voire être
nécessaire pour certains élèves (cas de dyspraxies lourdes, handicap), la manipulation physique des
outils de construction est essentielle et ne doit pas être négligée, elle est au cœur des apprentissages en
géométrie au cycle 3.



Exemples de situations d’apprentissage
La géométrie flash : La géométrie flash (ou géométrie mentale) est le pendant géométrique de ce qui est
proposé sur les nombres et le calcul pendant les temps de calcul mental.
Les solides : Ce document permet de rappeler quelques éléments sur les solides que les élèves doivent
reconnaître en fin de cycle 3 et présente des tâches pouvant être proposées pour les différents solides
mentionnés dans les programmes pour « Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter et
construire quelques solides ».
Les quadrilatères : Cette annexe présente une activité à mener avec le logiciel Geogebra et permettant de
renforcer la connaissance des définitions et propriétés des quadrilatères usuels. L’aspect dynamique du
logiciel est ici utilisé pour déformer des figures conservant certaines propriétés. L’activité est déclinée en 4
versions (avec 2, 4, 6 ou 8 quadrilatères).
Les programmes de construction : Au cycle 2, les élèves ont rencontré leurs premiers programmes de
construction à la fois pour construire des figures en suivant un programme mais aussi en écrivant un
programme pour construire une figure donnée. Au cycle 3, le travail sur les programmes de construction
se poursuit avec des constructions plus complexes.
Activités sur le cube : Quatre activités avec des cubes pouvant être menées avec les élèves de cycle 3.



Annexes
Les polygones : Ce document rappelle des éléments de vocabulaire, des définitions, des propriétés et des
propriétés caractéristiques pouvant être rencontrées au cycle 3 dans le cadre de l’étude des polygones
usuels.
Le disque et le cercle : Ce document, à l’usage des enseignants, rappelle le vocabulaire pouvant être
rencontré par les élèves dans le cadre de travaux sur le cercle tout au long du cycle 3.
Les angles : Ce document, à l’usage des enseignants, rappelle le vocabulaire pouvant être rencontré par
les élèves dans le cadre de travaux sur les angles au cours du cycle 3.
