   Utiliser les nombres pour comparer,
   calculer et résoudre des problèmes:
          les nombres décimaux
Exemples de questions flash : calculs sur les
   décimaux, conversions entre système
     décimal et système sexagésimal

   ATTENDUS DE FIN DE CYCLE ; CONNAISSANCES ET COMPÉTENCES ASSOCIÉES
   En développant le calcul mental sur des nombres décimaux et en se prêtant au contrôle
   de la vraisemblance des résultats, cette situation d’apprentissage participe à la construction
   de l’attendu de fin de cycle « utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre
   des problèmes ».

   COMPÉTENCES TRAVAILLÉES
   Calculer, représenter.




Énoncé
  Q1             Calculer           Q4            Convertir          Q7               Exprimer

                 0,3 × 0,2                     0,2 h en minutes                  36 minutes en heure

  Q2             Calculer           Q5            Convertir          Q8               Exprimer

                 1,1 × 0,4                     0,5 h en minutes                  20 minutes en heure

  Q3             Calculer           Q6            Convertir          Q9               Exprimer

                1,2 × 0,06                    0,25 h en minutes                  1h 45 min en heure




Pistes pédagogiques
C’est l’analyse et le traitement des erreurs qui donneront du sens aux automatismes visés.


Questions Q1 à Q3
Des élèves peuvent proposer 0,6 comme réponse à la question Q1, en appliquant un algorithme lié
à l’addition. On renverra ces élèves au calcul 0,3 × 2 dont le résultat est 0,6 car « deux fois trois
dixièmes est égal à six dixièmes ».
Comme 0,2 est dix fois plus petit que 2, le produit 0,3 × 0,2 est dix fois plus petit que 0,3 × 2, il est
donc égal à 0,06.
Une autre approche peut être mise en avant. Elle consiste à raisonner à partir du produit des entiers :
3 × 2 = 6. Comme 0,3 est dix fois plus petit que 3 et 0,2 dix fois plus petit que 6, le produit 0,3 × 0,2
est cent fois plus petit que 6.
L’entretien de telles démarches se fera sur la durée, avec un calcul de ce type par séance comme par
exemple Q2 et Q3.


Questions Q4 à Q9
Les rencontres avec le système sexagésimal permettent aux élèves d’appréhender un autre système
de numération et de s’interroger sur les liens entre les deux systèmes. Le passage de l’écriture
décimale à l’écriture sexagésimale des durées gagne à être travaillé dans la durée, pour une meilleure
appropriation. Ces calculs pourront ensuite être réinvestis dans divers problèmes.

Convertir des durées inférieures à 1h
En réponse à la question Q4, des élèves peuvent proposer 2 min ou 20 min, considérant que 0,2 h =
                                                                      1               1
0,20 h = 20 minutes. Après avoir fait remarquer que 20 minutes, c’est d’heure et que n’est pas égal
                                                                      3               3
à 0,2, on s’intéresse au sens du nombre 0,2 : c’est deux dixièmes et deux dixièmes d’heure, c’est 12
min. Une autre procédure pourra être mise en évidence, en lien avec la proportionnalité : 1 h = 60
min ; 2 h = 120 min ; 0,2 h = 120 min ÷ 10 ou 0,2 × 60 min.
                                                                      1                   1
Les questions suivantes permettent de revoir le lien entre 0,5 et , et entre 0,25 et .
                                                                      2                   4

0,5 h, c’est une demi-heure, c’est donc aussi 30 minutes. De nombreux élèves, en début
d’apprentissage, pensent que 0,25 h = 25 min. Le lien entre les écritures décimale et fractionnaire
de 0,25 permet de mettre en évidence que 0,25 h c’est un quart d’heure, donc 15 min.
On pourra entretenir régulièrement ces types de raisonnements, en ajoutant progressivement des
conversions de durées supérieures à 1h telles que 2,1 h = ….h ….min ou 1,75 h = ….h ….min.

Passer du système sexagésimal au système décimal
Beaucoup d’élèves pensent qu’il n’est pas possible d’exprimer 36 minutes en heure. Deux procédures
peuvent être envisagées. La première est liée à la division : pour passer des heures aux minutes, on
multiplie par 60, donc pour passer des minutes aux heures, on divise par 60.
                                                                 1                        36
La deuxième est liée aux fractions, une minute étant égale à          d'heure, 36 min =        h = 0,6 h.
                                                                 60                       60

Certains élèves peuvent proposer 0,3 h comme expression de 20 minutes en heure. Le travail
précédent permet de leur faire comprendre que la réponse est erronée, puisque 0,3 h étant la moitié
de 0,6h, c’est 18 min. La procédure liée aux fractions ou à la langue naturelle (20 c’est le tiers de 60)
permet de conclure.
On pourra poursuivre régulièrement ce travail en demandant de convertir en heure 15 min, 1h 45 min,
3h 12 min, etc.
