Programme de mathématiques pour le cycle 3
Sommaire
Principes
  Objectifs majeurs
  Organisation du travail des élèves
  La résolution de problèmes
  La mémorisation, la construction d’automatismes et l’acquisition de stratégies de résolution
  La place et le rôle de l’oral
  Les écrits en mathématiques
  L’évaluation des progrès et des acquis des élèves
  Les compétences psychosociales
  L’égalité entre tous les élèves, et particulièrement entre les filles et les garçons
  L’initiation à la pensée algébrique et à la pensée informatique
  Organisation du programme
Nombres, calcul et résolution de problèmes
Cours moyen première année
  Les nombres entiers
  Les fractions
  Les nombres décimaux
  Le calcul mental
  Les quatre opérations
  La résolution de problèmes
  Algèbre
Cours moyen deuxième année
  Les nombres entiers
  Les fractions
  Les nombres décimaux
  Le calcul mental
  Les quatre opérations
  La résolution de problèmes
  Algèbre
Sixième
   Les nombres entiers et décimaux
   Les fractions
   Algèbre
Grandeurs et mesures
Cours moyen première année
  Les longueurs
  Les masses
  Les contenances
  Les aires
  Les angles
  Le repérage dans le temps et les durées
Cours moyen deuxième année
  Les aires
  Les angles
  Le repérage dans le temps et les durées
Sixième
   Les longueurs
   Les aires
   Les volumes
   Le repérage dans le temps et les durées
Espace et géométrie
Cours moyen première année
  La géométrie plane
  Les solides
  Le repérage dans l’espace
Cours moyen deuxième année
  La géométrie plane
  Les solides
  Déplacements dans l’espace
Sixième
   Étude de configurations planes
   La vision dans l’espace
Organisation et gestion de données et probabilités
Cours moyen première année
  Organisation et gestion de données
  Les probabilités
Cours moyen deuxième année
  Organisation et gestion de données
  Les probabilités
Sixième
   Organisation et gestion de données
   Les probabilités
La proportionnalité
Cours moyen première année
Cours moyen deuxième année
Sixième
Initiation à la pensée informatique
Cours moyen première année
Cours moyen deuxième année
Sixième



Principes
Objectifs majeurs

Le programme d’enseignement des mathématiques au cycle 3 fixe des objectifs de différentes natures :
  — la poursuite et le renforcement des apprentissages mathématiques des élèves de l’école et du collège ;
  — l’acquisition de savoirs et de savoir-faire indispensables à la réussite au cycle 4 en mathématiques et dans les autres
       disciplines scolaires ;
  — le développement et le renforcement de compétences d’analyse, de raisonnement, de logique, d’argumentation qui
       constituent le fondement de la formation scientifique et qui contribuent au développement de l’esprit critique nécessaire
       à l’exercice éclairé de la citoyenneté ;
  — le développement de compétences permettant à chaque élève de gagner en autonomie et de renforcer son estime de soi ;
  — la lutte contre les déterminismes sociaux qui freinent la réussite scolaire ;
  — la prévention et la réduction des inégalités entre filles et garçons.
Par ailleurs, l’enseignement des mathématiques au cycle 3 s’inscrit dans une démarche éducative plus large en sensibilisant les
élèves aux défis environnementaux du 21e siècle, notamment le changement climatique, la perte de la biodiversité et
l’épuisement des ressources naturelles.

Organisation du travail des élèves

Pour atteindre ces objectifs, il est fondamental de proposer aux élèves des activités variées. Leur diversité concerne :
 — les contextes liés à la vie quotidienne ou à d’autres disciplines, mais aussi internes aux mathématiques ;
 — les types de tâches qui peuvent être des entrainements à la mémorisation ou à l’automatisation, des exercices
      d’application pour stabiliser et consolider les connaissances, des évaluations à visée formative, des résolutions de
      problèmes favorisant la recherche, des débats collectifs autour d’une solution proposée ;
 — les modalités d’organisation du travail qui peut être effectué individuellement, en binômes ou en groupes plus larges, à
      l’écrit et à l’oral.

La résolution de problèmes

Au cycle 3, la résolution de problèmes occupe une place centrale dans l’apprentissage des mathématiques, quel que soit le
domaine du programme.
Elle contribue à donner du sens aux notions étudiées en les inscrivant dans des situations concrètes, qu’elles soient issues
d’autres disciplines ou intra-mathématiques. Elle joue un rôle majeur dans le développement de compétences mathématiques
(chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner, communiquer) et constitue le critère principal pour évaluer la maîtrise des
concepts enseignés et pour en garantir l’appropriation du sens.
La mémorisation, la construction d’automatismes et l’acquisition de stratégies de résolution

Pour être en capacité de résoudre des problèmes, l’élève doit pouvoir mobiliser des automatismes, c’est-à-dire d’un corpus de
connaissances, de procédures et de stratégies diverses immédiatement disponibles. La maîtrise de ces automatismes allège la
mémoire de travail de l’élève lors de la résolution de problèmes, lui permettant de se consacrer pleinement à des tâches
cognitives de niveau supérieur comme la prise d’initiatives, la créativité ou le raisonnement. La construction d’automatismes et
de stratégies de résolution est particulièrement valorisante car elle produit souvent des progrès rapides, ce qui engage les élèves
dans un cercle vertueux et renforce leur confiance en leur capacité à réussir.

Au cours moyen, les automatismes concernent principalement les faits numériques et les procédures de calcul que tout élève est
tenu de maîtriser. Ils sont notamment explicités dans la rubrique « Calcul mental » du programme où ils sont accompagnés
d’indicateurs précis de leur maîtrise. En effet, tout comme « savoir lire » ne signifie pas la même chose en CE1 et en CM2
concernant le nombre de mots lus en une minute, « Connaître les tables de multiplication » ne correspond pas aux mêmes
attentes en CE1 et en CM2 sur le nombre de résultats que les élèves sont capables de restituer en une minute.

En 6e, les automatismes couvrent l’ensemble des domaines du programme, mais portent uniquement sur des connaissances, des
procédures et des stratégies déjà étudiées au cours moyen.

Afin de favoriser un apprentissage solide des habiletés en calcul, qu’il soit mental ou posé, les élèves du cycle 3 n’utilisent pas de
calculatrice au quotidien. Au cours moyen, ils ne disposent pas de calculatrice personnelle. Cependant, à l’école comme au
collège, l’enseignant peut en mettre à disposition lorsqu’il juge leur usage pertinent, soit pour aborder une tâche spécifique, soit
pour répondre aux besoins de certains élèves. Par exemple, la calculatrice peut être utilisée pour résoudre des problèmes dont
les données numériques dépassent le cadre des calculs mentaux ou posés fixé par le programme.

La place et le rôle de l’oral

La verbalisation est un maillon essentiel dans l’acquisition des notions mathématiques : elle éclaire souvent le sens et aide à la
mémorisation. Offrant à l’élève la possibilité de développer sa pensée, puis de la structurer, elle contribue également à la
compréhension, à la réflexion et au raisonnement. Au même titre que la représentation, qui est une mise en images, la
verbalisation est une mise en mots qui facilite l’accès à l’abstraction.
Les séances de mathématiques fournissent de nombreuses opportunités de renforcer l’expression orale des élèves et leur
capacité d’argumentation.

La présentation d’une réponse, d’une stratégie ou encore d’une solution d’un problème permet d’entraîner l’élève à s’exprimer
face à un public et à produire un discours structuré et clair. Plutôt que de recopier au tableau sa solution, l’élève est encouragé à
la décrire et à la commenter, éventuellement avec l’appui d’un outil comme le visualiseur.

La confrontation de solutions variées d’un même problème incite les élèves à argumenter, à comparer des méthodes ou à
critiquer de manière constructive les démarches retenues. Ces activités contribuent à développer des compétences d’expression
orale, tout en favorisant la structuration et la clarté du discours.

Les écrits en mathématiques

En mathématiques, au cycle 3, les élèves sont amenés à produire plusieurs types d’écrits, chacun ayant une fonction spécifique.

 —    Les écrits intermédiaires rédigés lors des temps de recherche permettent à l’élève de poser les premiers éléments
      nécessaires à l’analyse d’un énoncé, de structurer sa pensée lors de la résolution d’un problème ou de noter des résultats
      intermédiaires pour soulager sa mémoire de travail lors d’un calcul mental. Ces écrits ne sont pas destinés à être évalués,
      mais ils offrent à l’enseignant une précieuse opportunité de repérer et de comprendre les difficultés rencontrées par un
      élève et, ainsi, de l’aider à les surmonter. Ils peuvent être notés sur une ardoise, sur un cahier de recherche ou encore dans
      le cahier d’exercices.

 —    Les travaux écrits sous la forme de résolution d’exercices d’application, d’entraînement ou de problèmes sont essentiels.
      Leur trace est consignée dans un cahier ou un classeur. L’enseignant encourage l’élève à renseigner ce cahier ou ce classeur
      avec soin, tout en autorisant les essais et les erreurs inhérents aux apprentissages mathématiques. La validation régulière de
      ces écrits par l’enseignant, lorsqu’il circule dans les rangs ou qu’il relève les cahiers, permet de maintenir un haut niveau
      d’exigence, tant sur la précision des réponses que sur la présentation.

 —    L’institutionnalisation des notions étudiées en classe est consignée sous forme de traces écrites dans le cahier ou le
      classeur de l’élève : définitions et propriétés, vocabulaire spécifique, procédures de calcul à mémoriser, exercice résolu
      pouvant servir de modèle, etc. Ces traces servent de référence pour l’élève, notamment quand il rencontre des difficultés
      lors de la résolution d’un exercice ou d’un problème.

L’évaluation des progrès et des acquis des élèves

L’évaluation joue un rôle clé dans la régulation des apprentissages, tant pour l’enseignant que pour l’élève. Elle revêt différentes
modalités dont l’observation mais conserve toujours une visée formative. Elle permet à l’élève de prendre conscience de ses
réussites et de ses progrès, d’identifier et de comprendre ses erreurs, et de consolider ainsi ses acquis.

L’élève doit être informé des critères de réussite, qui s’appuient sur ce qui a été travaillé en classe.

Cela lui permet de s’engager dans une démarche active et positive face à l’évaluation.
Un retour sur les réussites et les erreurs suite à l’évaluation permet à l’enseignant de proposer des remédiations adaptées aux
difficultés rencontrées.

Les compétences psychosociales

L’enseignement des mathématiques au cycle 3 contribue au développement de compétences psychosociales

La mémorisation de faits numériques ou de formules, l’automatisation de procédures de calcul mental ou posé et la lecture
immédiate de graphiques développent et renforcent des aptitudes transférables à d’autres domaines.

Au-delà du rôle majeur qu’elle joue dans le développement de compétences et savoirs mathématiques, la résolution de
problèmes renforce l’aptitude des élèves à s’appuyer sur des savoirs, à analyser des données pour prendre des initiatives, pour
élaborer des stratégies et pour faire des choix réfléchis.

La résolution de problèmes est l’occasion pour l’élève de mobiliser ses connaissances et d’en acquérir de nouvelles. L’élève se
confronte à l’inconnu, éprouve le plaisir de chercher, perçoit ce qu’il peut apprendre de ses erreurs et développe confiance et
curiosité.

Pour amener chaque élève à progresser et à réussir en mathématiques, il importe de lui donner l’occasion de s’exprimer, à l’écrit
comme à l’oral, sans crainte de l’erreur ou du jugement porté par autrui, que ce soit l’un de ses pairs ou les professeurs. Les
professeurs veillent à encourager chaque élève, à lui montrer ses réussites, à valoriser ses progrès et à le féliciter de ses efforts.

Des modalités diverses (recherche en binômes ou en groupes plus larges, entraide entre élèves, exposé d’une réponse ou d’une
solution, débat autour de celle-ci, etc.) favorisent et renforcent l’engagement de chaque élève, sa persévérance comme la
capacité à écouter le point de vue d’autrui et la capacité à exprimer et argumenter le sien. Les professeurs instaurent dans leur
classe un climat bienveillant favorable à l’écoute, à l’attention et au respect de toutes et tous.

L’égalité entre tous les élèves, et particulièrement entre les filles et les garçons

Les professeurs veillent à instaurer les conditions permettant à chaque élève de comprendre que les compétences en
mathématiques ne sont ni innées ni liées à un genre ou à une situation sociale, mais qu’elles se construisent progressivement par
le travail scolaire et la régularité des apprentissages.

Cette démarche suppose une attention particulière des professeurs à plusieurs éléments :

 —    au choix des situations proposées, afin qu’elles soient accessibles et stimulantes pour tous les élèves ;
 —    au regard porté sur chacun d’eux, en valorisant la mise en œuvre de stratégies de recherche et les progrès de manière
      équitable ;
 —    à la répartition des tâches et des responsabilités confiées à chacun ;
 —    à la sollicitation équilibrée des filles et des garçons à l’oral ;
 —    aux retours oraux et écrits qu’il fournit aux élèves, en insistant sur leurs réussites et en leur proposant des pistes
      d’amélioration ;
 —    aux occasions offertes à chaque élève de s’exprimer individuellement ou d’interagir au sein d’un groupe.

Afin de modifier les représentations sociales et d’encourager une identification positive, il est essentiel de veiller à proposer des
situations évitant la reproduction, même implicite de stéréotypes de genres, et de mettre en avant le travail et les réalisations de
mathématiciennes et de femmes scientifiques. En effet, la projection sur un « modèle » participe, dès le plus jeune âge, à modifier
les représentations sociales et celles liées aux genres.

L’initiation à la pensée algébrique et à la pensée informatique

Jusqu’au CE2, les problèmes mathématiques proposés sont essentiellement de nature arithmétique, dans le sens où ils mettent
en jeu des nombres ou des grandeurs. Dans les raisonnements que l’élève met en œuvre pour les résoudre, il progresse du connu
vers l’inconnu. À partir du cycle 3, l’introduction de la pensée algébrique marque un changement de paradigme : il s’agit de
raisonner sur des nombres inconnus, qui seront représentés au cycle 4 par des lettres. Le passage progressif de l’arithmétique à
l’algèbre nécessite du temps et une approche adaptée. Pour accompagner cette transition, le programme du cycle 3 introduit
quelques modèles pré-algébriques (schémas en barre, balances, motifs évolutifs). Ces outils permettent de manipuler des
nombres inconnus représentés par des symboles ou par des mots, facilitant l’accès à ce nouveau mode de raisonnement.

La locution « pensée informatique » englobe une attitude intellectuelle et un ensemble de compétences essentielles pour
comprendre les enjeux contemporains tels que l’intelligence artificielle. Au cycle 3, les élèves découvrent ce mode de pensée à
travers des activités en lien avec les mathématiques, pouvant être réalisées avec ou sans machine. Ces activités permettent de
développer des compétences dans les domaines de l’algorithmique, de la logique ou encore de la résolution de problèmes
complexes, tout en sensibilisant les élèves aux enjeux du numérique. Un lien peut être établi avec le cadre de référence des
compétences numériques.

Organisation du programme

Les apprentissages figurant dans le programme recouvrent des domaines variés des mathématiques : nombres et calculs, algèbre,
organisation et gestion des données, probabilités, géométrie, grandeurs et mesures, proportionnalité. L’initiation à la pensée
informatique est intégrée à certains de ces domaines au cours moyen, tandis qu’elle constitue un domaine spécifique en 6e.

Le programme est organisé selon ces domaines, avec quelques variantes de présentation entre le cours moyen et la 6e. Ainsi, le
programme de 6e est scindé en deux rubriques : « Automatismes » et « Connaissances et capacités attendues ». Certains
domaines incluent également une rubrique « Mises en perspective historiques ou culturelles » pour enrichir les enseignements et
contribuer à la culture générale des élèves. Ces éléments permettent aux enseignants de donner du sens aux apprentissages,
d’éveiller la curiosité des élèves et d’inscrire les notions mathématiques dans une dimension historique et culturelle.

Des exemples de réussite pour éclairer les objectifs d’apprentissage sont mis à disposition des professeurs, à titre indicatif, sur le
site pédagogique du ministère :
 —    classe de CM1 ;
 —    classe de CM2 ;
 —    classe de 6e.


Nombres, calcul et résolution de problèmes
Au cycle 3, l'objectif est de poursuivre la compréhension de notre système de numération et de mobiliser ses propriétés lors de calculs.
L’apprentissage des techniques opératoires et la compréhension des nombres se développent alors conjointement. En effet,
l’enseignement des procédures utilisées pour effectuer des opérations ou des calculs dans toutes leurs modalités fournit des occasions
aux élèves de faire évoluer leur compréhension du nombre. Il s’agit d’amener l’élève à adopter la procédure la plus efficace en fonction
de ses connaissances ainsi que des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. De même, si la maîtrise des techniques
opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés
de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes. Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent
d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles.


Cours moyen première année
Les nombres entiers

Au CM1, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la
numération, étudiés depuis le CP, se renforce et s’étend avec l’introduction de deux nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée :
ceux des dizaines de milliers et des centaines de milliers. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM1
concernent les nombres s’écrivant avec au plus six chiffres. Toutefois, afin de renforcer les connaissances sur la numération
relevant du cycle 2 et de privilégier en début d’année l’approfondissement de l’étude des fractions et des nombres décimaux, on
se limite, pendant les deux premières périodes de l’année, aux nombres entiers s’écrivant avec au plus quatre chiffres. Les
nombres écrits avec cinq ou six chiffres ne sont abordés qu’à partir de la période 3 ou du début de la période 4.

Les élèves utilisent, comme au cours des années précédentes, des représentations du matériel multibase lors des travaux menés
sur les nombres. Les élèves qui en ont besoin peuvent être invités à manipuler des objets tangibles, comme des cubes de mille
unités, des plaques de cent unités, des barres de dix unités, des cubes unités.

La notion de multiple, introduite au cycle 2, est réactivée. Seuls les critères de divisibilité par 2, par 5 et par 10 figurent au
programme. Dans les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions
ou des multiplications.

Objectifs d’apprentissage
Comparer et dénombrer des collections en les organisant
Construire des collections de cardinal donné
Connaître et utiliser les relations entre les unités de numération
Connaître la suite écrite et la suite orale des nombres jusqu’à 999 999
Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre
Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre
Comprendre et savoir utiliser les expressions « égal à », « supérieur à », « inférieur à », « compris entre … et … »
Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et >
Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant
Savoir placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée
Savoir reconnaître les multiples de 2, de 5 et de 10 à partir de leur écriture chiffrée
Savoir déterminer si un nombre entier donné est un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10
Savoir déterminer si un nombre entier inférieur ou égal à 10 est un diviseur d’un nombre entier donné

Les fractions

Au CM1 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis au cycle 2 sur les fractions en étendant leur étude aux
fractions supérieures à 1.

Les fractions sont utilisées avec différents sens :
 — comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout en
      parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ;
 — dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs lorsque les nombres entiers ne sont pas
      suffisants ;
 —    le travail sur la mesure de longueurs à l’aide de fractions permet d’introduire le repérage de points sur une demi-droite
      graduée par des fractions, et contribue ainsi à donner aux fractions le statut de nombres, qui s’intercalent entre les
      nombres entiers déjà connus ;
 —    au CM1, les fractions acquièrent également le statut d’opérateur multiplicatif pour le cas particulier des fractions unitaires ;
      les élèves apprennent à calculer des fractions de quantités ou de grandeurs comme un tiers de 12 billes ou un quart de
      100 mètres.

Dans la continuité du cycle 2, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année
scolaire.

Les fractions rencontrées au CM1 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 20, hormis les fractions décimales qui peuvent
avoir un dénominateur égal à 100.

Objectifs d’apprentissage
Savoir interpréter, représenter, écrire et lire des fractions
Savoir écrire une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1
Savoir écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction
Savoir encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs
Savoir placer une fraction ou la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée
Savoir repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction ou par la somme d’un nombre entier et d’une fraction
Comparer des fractions
Additionner et soustraire des fractions
Déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur

Les nombres décimaux

Les nombres décimaux, abordés au cycle 2 par leurs écritures à virgule dans le cas particulier de la monnaie, sont réintroduits de
manière plus générale au CM1 sous la forme de fractions décimales. L’écriture à virgule est réintroduite dans un second temps,
comme un codage conventionnel de la décomposition canonique d’un nombre écrit sous la forme d’une somme de fractions
                                                                                                                           7    8
décimales : ainsi l’écriture décimale 35,78 est présentée comme un codage destiné à simplifier l’écriture du nombre 35 + + .
                                                                                                                               10    100

Cette section du programme entretient des liens forts avec :
 — la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ;
 — les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que
     doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ;
 — la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens.

Au CM1, les nombres décimaux rencontrés ne vont pas au-delà des centièmes et s’écrivent donc avec au plus deux chiffres après
la virgule.

Des nombres décimaux exprimés avec une écriture à virgule sont rencontrés dès la période 1 dans le cadre de problèmes sur la
monnaie prolongeant le travail mené au cycle 2. L’étude plus générale des nombres décimaux, introduits sous la forme de
fractions décimales puis exprimés avec une écriture à virgule, est menée dès la période 2 du CM1.

Objectifs d’apprentissage
Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions décimales
Connaître et utiliser les relations entre unités simples, dixièmes et centièmes
Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction
décimale
Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1
Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et de fractions décimales ayant un numérateur
inférieur à 10
Comparer, encadrer, intercaler des fractions décimales en utilisant les symboles =, < et >
Ordonner des fractions décimales dans l’ordre croissant ou décroissant
Passer d’une écriture sous forme d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales à une écriture à virgule et
réciproquement
Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux (écriture à virgule)
Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par
un nombre décimal
Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal
Comparer, encadrer, intercaler, ordonner, par ordre croissant ou décroissant, des nombres décimaux donnés par leur écriture à
virgule en utilisant les symboles =, < et >
Le calcul mental

L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages :
   — mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;
   — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant notamment sur la
       position des chiffres dans les nombres ;
   — maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.

Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en mémoire, ce qui peut être
difficile pour certains élèves. Ceux-ci sont alors encouragés, au début des apprentissages, à noter par écrit ces résultats
intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin.

Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se
renforce tout au long de l’année scolaire.

Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur automatisation.

Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées ou
simplement rencontrées et présentées.

L’entraînement à une restitution rapide des résultats dans un climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la
mémorisation et l’automatisation des procédures.

Mémoriser des faits numériques

Objectifs d’apprentissage
Connaître des faits numériques usuels relatifs aux nombres entiers
Connaître quelques relations entre des fractions usuelles
Connaître l’écriture décimale de fractions usuelles

Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement

Objectifs d’apprentissage
Ajouter ou soustraire un nombre entier inférieur à 10, d’unités, de dizaines, de centaines, de dixièmes ou de centièmes à un
nombre décimal, lorsqu’il n’y a pas de retenue
Multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1 000
Multiplier un nombre décimal par 10
Diviser un nombre décimal par 10

Apprendre des procédures de calcul mental

Objectifs d’apprentissage
Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, 38 ou 39, à un nombre
Multiplier un nombre entier inférieur à 10 par un nombre entier de dizaines ou de centaines
Multiplier un nombre entier par 4 ou par 8
Multiplier un nombre entier par 5
Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples

Les quatre opérations

Les quatre opérations sont mobilisées au CM1 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations.
Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres,
aux grandeurs et au calcul mental.

Des additions, des soustractions et des multiplications posées sont régulièrement utilisées dès le début de l’année, quand les
nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à chaque fois que celui-ci est
envisageable.

La commutativité de la multiplication est à nouveau explicitée lorsqu’elle est mobilisée.

Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent être distribuées par
l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile.

Objectifs d’apprentissage
Estimer le résultat d’une opération
Savoir effectuer un calcul contenant des parenthèses
Poser en colonnes et effectuer des additions et des soustractions de nombres décimaux
Poser et effectuer des multiplications de deux nombres entiers
Poser et effectuer des multiplications d’un nombre décimal par un nombre entier inférieur à 10
Poser et effectuer des divisions euclidiennes avec un diviseur à un chiffre
La résolution de problèmes

La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à
résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de résolution de problèmes en quatre
phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les
éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté :




La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi
finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation
de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves
n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement
des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés
comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.

La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché.
Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à
utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu.

Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est
proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.

La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en
communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter
une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de
jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est
supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m
pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.

Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM1, à savoir les nombres entiers
jusqu’à 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure
mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge
cognitive et de permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème.

Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires,
à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise.

Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le
programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.

Objectifs d’apprentissage
Résoudre des problèmes additifs en une étape des types « parties-tout » et « comparaison »
Résoudre des problèmes additifs en deux ou trois étapes
Résoudre des problèmes multiplicatifs de type « parties-tout » en une étape
Résoudre des problèmes de comparaison multiplicative
Résoudre des problèmes mixtes en deux ou trois étapes
Résoudre des problèmes de dénombrement
Résoudre des problèmes d’optimisation

Algèbre

L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à
résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres
par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi
amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de
symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée.

Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par des symboles dans deux cas de figure. D’une part
dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut écrire                                  pour traduire que
2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 euros. D’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et
représente différentes valeurs que le nombre peut prendre ; par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la
livraison est 5 € alors, quel que soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le
nombre de tee-shirts achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des
schémas en barre dans le cadre de la résolution de problèmes.

Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son
résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion
d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 – … = 6 × 8 ».

Objectifs d’apprentissage
Trouver le nombre manquant dans une égalité à trous
Déterminer la valeur d’un nombre inconnu en utilisant un symbole ou une lettre pour le représenter
Résoudre des problèmes algébriques
Exécuter un programme de calcul
Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive


Cours moyen deuxième année
Les nombres entiers

Au CM2, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la
numération se renforce et s’étend avec l’introduction de trois nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée : ceux des millions, des
dizaines de millions et des centaines de millions. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM2 concernent les
nombres s’écrivant avec au plus neuf chiffres. Toutefois, afin de privilégier en début d’année le travail sur les fractions et les
nombres décimaux, les nombres entiers rencontrés pendant les deux premières périodes de l’année seront ceux qui ont été
étudiés au CM1 et qui s’écrivent avec au plus six chiffres.

La connaissance des notions de diviseur et de multiple est renforcée en vue de leur utilisation lors de travaux sur les fractions
(comparaison de fractions, additions et soustractions). Seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. Dans
les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des
multiplications.

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser les relations entre les unités de numération
Connaître la suite écrite et la suite orale des nombres jusqu’à 999 999 999
Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre
Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre
Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et >
Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant
Placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée
Déterminer si un nombre entier inférieur ou égal à 10 est un diviseur d’un nombre entier donné ou si un nombre entier donné est
un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10
Déterminer des diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 100
Déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 30
Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30
Déterminer des multiples communs à deux nombres entiers inférieurs à 15

Les fractions

Au CM2 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis les années précédentes.

Les fractions sont utilisées avec différents sens :
     — comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout
         en parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ;
     — dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs, lorsque les nombres entiers ne sont
         pas suffisants ;
     — comme au CM1, le repérage de points sur une demi-droite graduée par des fractions contribue à donner aux fractions le
         statut de nombres qui s’intercalent entre les nombres entiers déjà connus ;
    —    les fractions ont également le statut d’opérateur multiplicatif : au CM2, les élèves apprennent à calculer des fractions de
         quantités ou de grandeurs comme deux tiers de 12 € ou trois quarts de 100 mètres.

Dans la continuité du CM1, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année scolaire.

Les fractions rencontrées au CM2 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 60, hormis les fractions décimales qui peuvent
avoir un dénominateur égal à 100 ou à 1 000.

Objectifs d’apprentissage
Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions
Écrire une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1
Écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction
Encadrer une fraction entre deux nombres entiers consécutifs
Placer une fraction ou la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée
Repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction ou par la somme d’un nombre entier et d’une fraction
Comparer des fractions
Additionner et soustraire des fractions
Calculer le produit d’un entier et d’une fraction
Déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur

Les nombres décimaux

Au CM1, l’écriture à virgule a été présentée comme un codage conventionnel de la décomposition d’un nombre sous forme
d’une somme de fractions décimales : l’écriture décimale 35,78 a été introduite comme un codage destiné à simplifier l’écriture
                 7     8
du nombre 35 + +         . L’étude des nombres décimaux y est limitée aux dixièmes et aux centièmes.
                   10   100

Au CM2, des nombres décimaux sont rencontrés dès la période 1 dans la continuité du travail mené au CM1 aussi bien par des
écritures fractionnaires que des écritures à virgule. L’étude des nombres décimaux s’étend aux millièmes.

Cette section du programme entretient des liens forts avec :
    — la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ;
    — les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que
        doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ;
    — la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens.

Objectifs d’apprentissage
Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions décimales
Connaître et utiliser les relations entre unités simples, dixièmes, centièmes et millièmes
Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction
décimale
Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1
Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et de fractions décimales ayant un numérateur
inférieur à 10
Comparer, encadrer, intercaler des fractions décimales en utilisant les symboles =, < et >
Ordonner des fractions décimales dans l’ordre croissant ou décroissant
Passer d’une écriture sous forme d’une fraction décimale ou de la somme de fractions décimales à une écriture à virgule et
réciproquement
Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux (écriture à virgule)
Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par
un nombre en écriture à virgule
Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal
Comparer, encadrer, intercaler, ordonner par ordre croissant ou décroissant des nombres décimaux donnés par leur écriture à
virgule en utilisant les symboles =, < et >

Le calcul mental

L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages :
    — mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;
    — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant notamment sur la
         position des chiffres dans les nombres ;
    — maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.

Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se
renforce tout au long de l’année scolaire.
Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 et au CM1 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur
automatisation.

Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. L’entraînement à une restitution rapide des résultats,
dans climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la mémorisation et l’automatisation des procédures.

Il est par ailleurs préférable que cet entraînement soit détaché de toute pression évaluative.

Mémoriser des faits numériques

Objectifs d’apprentissage
Connaître des faits numériques usuels avec des entiers
Connaître la moitié des nombres impairs jusqu’à 15
Connaître quelques relations entre des fractions usuelles
Connaître l’écriture décimale de fractions usuelles

Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement

Objectifs d’apprentissage
Ajouter ou soustraire un nombre entier à un nombre décimal lorsqu’il n’y a pas de retenue
Ajouter un nombre entier à un nombre décimal lorsqu’il y a une retenue
Multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000
Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000

Apprendre des procédures de calcul mental

Objectifs d’apprentissage
Ajouter deux nombres décimaux inférieurs à 10, s’écrivant avec au plus un chiffre après la virgule
Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, …, 98 ou 99 à un nombre
Multiplier un nombre entier, inférieur à 10, de dizaines, de centaines ou de milliers par un nombre entier, inférieur à 10, de
dizaines, de centaines ou de milliers
Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples
Calculer le double d’un nombre décimal dans des cas simples
Calculer la moitié d’un nombre décimal dans des cas simples
Diviser un nombre entier par 4 ou par 8
Multiplier un nombre décimal par 5
Multiplier un nombre décimal par 50

Les quatre opérations

Les quatre opérations sont mobilisées au CM2 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations.
Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres,
aux grandeurs et au calcul mental.

Des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions euclidiennes posées sont régulièrement utilisées dès le
début de l’année, quand les nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à
chaque fois que celui-ci est envisageable.

Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent cependant être distribuées par
l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile.

Objectifs d’apprentissage
Estimer le résultat d’une opération
Savoir réaliser un calcul contenant une ou deux paires de parenthèses
Poser et effectuer la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier
Poser et effectuer des divisions décimales avec un dividende entier et un diviseur à un chiffre
Poser et effectuer des divisions décimales avec un dividende décimal et un diviseur à un chiffre

La résolution de problèmes

La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à
résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de la résolution de problèmes en
quatre phases, synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les
éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté :
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi
finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation
de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves
n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement
des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés
comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.

La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché.
Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à
utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu.

Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est
proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.

La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en
communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter
une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de
jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est
supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m
pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.

Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM2, à savoir les nombres entiers
jusqu’à 999 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure
mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge
cognitive et permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème.

Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires,
à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise.

Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le
programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.

Objectifs d’apprentissage
Résoudre des problèmes additifs en une ou plusieurs étapes
Résoudre des problèmes multiplicatifs de type « parties-tout » en une étape
Résoudre des problèmes mixtes en plusieurs étapes
Résoudre des problèmes de comparaison multiplicative
Résoudre des problèmes de dénombrement
Résoudre des problèmes d’optimisation
Résoudre des problèmes préparant à l’utilisation d’algorithmes

Algèbre

L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à
résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres
par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi
amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de
symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée.
Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par un symbole dans deux cas de figure :
    —     d’une part, dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut utiliser la représentation
                                     pour traduire que 2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 euros ;
    —     d’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et représente différentes valeurs que le
          nombre peut prendre. Par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la livraison est 5 €, alors quel que
               soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le nombre de tee-shirts
               achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des schémas en
               barre dans le cadre de la résolution de problèmes.

Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son
résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion
d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 – … = 6 × 8 ».

Objectifs d’apprentissage
Trouver le nombre manquant dans une égalité à trous
Résoudre des problèmes algébriques
Exécuter ou produire un programme de calcul
Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive
Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive


Sixième
Les nombres entiers et décimaux

En classe de 6e, l'étude des nombres et des opérations vise le double objectif d’élargir la compréhension de ces concepts et de
développer des compétences en résolution de problèmes. Pour cela, les professeurs adoptent ainsi les stratégies pédagogiques
qu’ils jugent les plus adaptées pour favoriser les progrès et la réussite des élèves.

À l’école élémentaire, l’élève a étudié les principes de la numération décimale de position et les a appliqués aux nombres entiers
jusqu’aux centaines de millions. En classe de 6e, le milliard est introduit, en lien avec les champs « Organisation et gestion de
données » et « Grandeurs et mesures », où des activités peuvent mobiliser de très grands nombres, par exemple dans le cadre de
la démographie ou de distances dans l’Univers.

En classe de 6e, l’élève consolide sa compréhension des nombres décimaux et utilise leurs différentes écritures apprises au cours
moyen. À celles-ci vient s’ajouter l’écriture sous forme de pourcentage.

Par le biais d’activités rituelles de calcul et la verbalisation de procédures, l’élève mémorise des connaissances et des procédures
en vue de leur automatisation.

Le sens des opérations étudiées au cours moyen s’élargit avec l’introduction de la multiplication de deux nombres décimaux.
Cette notion requiert de dépasser la conception de la multiplication comme une addition itérée. La compréhension du nouveau
sens ainsi attribué à la multiplication gagne, dans un premier temps, à prendre appui sur le calcul de l’aire d’un rectangle et de
conversions d’unités. Dans un deuxième temps, l’élève apprend à décomposer les nombres pour se ramener au produit de deux
nombres entiers et à appliquer les propriétés de commutativité et d’associativité de la multiplication. Même si leur nom n’est pas
mentionné par le professeur, celui-ci doit les expliciter au début de l’apprentissage, et au-delà si nécessaire. Dans un troisième
temps, l’élève automatise le positionnement de la virgule dans le résultat de la multiplication. Le recours systématique à un ordre
de grandeur lui permet de contrôler le résultat.

Les différents sens de la division (division partition pour calculer la valeur d’une part et division quotition pour calculer le nombre
de parts égales) sont mobilisés dans le cadre de la résolution de problèmes, en complément avec le travail de la technique de la
division posée (division euclidienne et division décimale), dans des cas simples précisés dans le programme. Lors de la résolution
d’un problème mettant en jeu des nombres dépassant ce cadre, l’élève peut utiliser une calculatrice.

Automatismes
                                                                                                                                                                             1          1        1
L’élève restitue de manière automatique les résultats suivants, relatifs aux relations entre                                                                                       ;         ;        et 1 :
                                                                                                                                                                           1 000       100       10
     10       100       1 000       1        10        100          1         10                   1                 1         1              1
1=        =         =           ;        =         =           ;         =           ; 1 = 10 ×         = 100 ×            ;        = 10 ×         .
     10       100       1 000       10       100       1 000       100       1 000                 10               100        10            100
                                                                                                                                                       1               1                         1
L’élève restitue de manière automatique les équivalences d’écriture suivantes :                                                                             = 0,1 ;          = 0,01 ;                 = 0,001.
                                                                                                                                                       10             100                    1 000

L’élève passe de manière automatique d’une écriture sous forme de fraction décimale ou de somme de fractions décimales à
une écriture décimale, et inversement.
                                                                             4 107         107            1         7
Par exemple, il sait que les écritures                                               ;4+           ;4+         +           ; 4,107, représentent le même nombre.
                                                                             1 000         1 000          10       1 000

L’élève applique de manière automatique la procédure de multiplication d’un nombre décimal par 1, par 10, par 100 ou par 1 000,
en lien avec la numération.

Il applique de manière automatique la procédure de division d’un nombre décimal par 1, par 10, par 100 ou par 1 000.

Jusqu’à l’automatisation de ces connaissances et de ces procédures, et selon les besoins des élèves, la manipulation d’un outil du
type « glisse-nombres » peut compléter la verbalisation en termes d’unités de numération.
Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser la valeur des chiffres selon leur rang dans l’écriture d’un nombre
Connaître les liens entre les unités de numération unité, dizaine, centaine, millier, dixième, centième, millième
Connaître des grands nombres entiers
Reconnaître un nombre décimal
Connaître la définition d’un pourcentage
Associer et utiliser différentes écritures d’un nombre décimal : écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage
Placer sur une demi-droite graduée un point dont l’abscisse est un nombre décimal
Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
Comparer deux nombres décimaux
Ordonner une liste de nombres décimaux
Donner la valeur arrondie à l’unité, au dixième ou au centième, d’un nombre décimal
Déterminer ou connaître la valeur arrondie de certains nombres non décimaux
Encadrer un nombre décimal par deux nombres décimaux, intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux
Additionner et soustraire des nombres décimaux
Multiplier un nombre entier ou un nombre décimal par 0,1, par 0,01, et par 0,001
Connaître le lien avec la division par 10, 100 et par 1 000
Comprendre le sens de la multiplication de deux nombres décimaux
Calculer le produit de deux nombres décimaux
Contrôler les résultats à l’aide d’ordres de grandeur
Résoudre des problèmes mettant en jeu des multiplications entre des nombres décimaux
Diviser un nombre décimal par un nombre entier non nul inférieur à 10
Résoudre des problèmes mettant en jeu des divisions décimales
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier inférieur à 100
Résoudre des problèmes mettant en jeu des divisions euclidiennes

Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles

Des activités fondées sur l’histoire des mathématiques permettent à l’élève de renforcer sa culture générale et de prendre du
recul sur ses connaissances des nombres entiers ou décimaux.

Par exemple :
     — la découverte d’écritures des nombres à partir de lettres ou de dessins : numérations acrophoniques grecque, romaine,
        hiéroglyphique égyptienne ;
     — la découverte d’algorithmes opératoires, développés dans plusieurs traditions mathématiques, comme la multiplication
        par jalousies ou en tableau ;
     — la manipulation d’abaques à jetons ou de bouliers pour remobiliser le principe de la numération et la notion de « base
        de numération » ;
     — la découverte de la numération sexagésimale paléo-babylonienne, qui repose sur les mêmes principes mathématiques
        que le système utilisé pour exprimer des durées en heures, minutes et secondes. Le passage de ce système de
        numération au système décimal (et vice versa) est un autre contexte que celui des durées pour travailler la division
        euclidienne ;
     — la découverte de l’écriture des nombres décimaux utilisée par Simon Stevin de Bruges pour illustrer le lien entre
        numération décimale et fractions décimales.

Les fractions

Tout au long de la classe de 6e, l'étude des fractions s'intègre à la résolution de problèmes, permettant ainsi de concrétiser le
sens de quotient attribué à cette notion.

L’étude des fractions à l’école élémentaire, débutant dès le CE1, s’est appuyée sur des manipulations et des représentations
variées pour familiariser l’élève avec plusieurs des sens qui sont attribués à une fraction. Le premier sens, communément appelé
« partie d’un tout », consiste à prendre un « tout » de référence (une pizza fictive, une bande de papier, un morceau de ficelle,
etc.), à le partager en parts égales et à prendre un certain nombre de ces parts. Si cette conception est intuitive pour les élèves,
elle présente des difficultés lorsqu’il s’agit d’aborder des fractions supérieures à 1.
                                                        1
Au CM1, les élèves ont appris que la fraction unitaire est considérée comme une nouvelle unité de mesure.
                                                        4
                      7                                 1       1       1       1       1       1     1
Une fraction comme , est définie comme la somme             +       +       +       +       +       + , ce qui nécessite de considérer sept quarts alors que
                      4                                 4       4       4       4       4       4     4
l’unité de référence n’en contient que quatre. Si une bande de papier est graduée en quarts, toute fraction, inférieure ou
                                                                                                     3
supérieure à 1, correspond alors à un certain nombre de graduations : 3 graduations pour la fraction et 7 graduations pour la
                                                                                                                               4
          7
fraction . Cette conception « mesure » de la fraction permet également de mieux appréhender le produit d’un entier par une
          4
                              1
fraction comme 7 ×                .
                              4

En classe de 6e, la fraction acquiert un nouveau sens : celui de quotient. L’objectif est de faire comprendre aux élèves qu’une
                        3
fraction, par exemple , ne représente pas seulement 3 quarts d’une unité de référence, mais aussi le quart de 3, considéré
                                  4
comme « tout » à diviser en 4 parts égales. Ce sens de quotient, qui fait explicitement le lien avec la division, est introduit par des
manipulations comme le partage d’une bande de papier ou d’un morceau de ficelle. Si ces manipulations sont simples pour des
partages en 2, 3, 4, voire 6 ou 8 parties égales d’une bande de longueur 3 cm, elles deviennent plus complexes pour des divisions
                                                                 3 3 3
en 5, 7 ou 11 parts pour illustrer le sens quotient des fractions , , . Les élèves peuvent alors utiliser un réseau de droites
                                                                                        5   7   11
parallèles équidistantes, communément appelé « guide-âne ».

Ces manipulations et le lien avec la division permettent à l’élève de comprendre la définition du quotient d’un entier a par un
                                                  a
entier b non nul et le nouveau sens de la fraction . Cette définition est mobilisée dans la résolution d’égalités à trous, qui
                                                                      b
préfigurent celle de l’équation a × x = b, ouvrant ainsi la voie à la pensée algébrique.
                                                                                  1                                                         1
Les élèves, déjà familiarisés à l’écriture multiplicative 7 ×                         , comprennent qu’elle représente le même nombre que       × 7, en
                                                                                  4                                                         4
                                                                                                             1
référence à l’aire d’un rectangle dont les mesures, dans une unité donnée, sont 7 et . Par ailleurs, une multiplication du type
                                                                                                             4
1
    × 7 sert à exprimer le quart de 7, introduisant une autre conception de la fraction, celle d’opérateur multiplicatif. Cet autre
4
sens a déjà été abordé au cours moyen où la fraction opérait sur une quantité.

En classe de 6e, la fraction opère également sur un nombre, notamment quand elle est exprimée sous forme de pourcentage.
Parallèlement à l’approfondissement et à l’extension du sens attribué à une fraction, les techniques opératoires sont entretenues
et, comme déjà mentionné, s’élargissent avec la multiplication entre une fraction et un entier. Dans la continuité du cours
moyen, les élèves comparent des fractions, notamment en termes d’égalité.

Pour favoriser ces apprentissages, l’explicitation des procédures par le professeur et leur verbalisation par les élèves, l’utilisation
de représentations variées et la mise à disposition de matériel de manipulation pour les élèves qui en ont besoin sont
indispensables.

Automatismes

L’élève sait reconnaître une fraction sur des représentations variées, par exemple :




                                                  1   1   3                                                                                     1   1
L’élève connaît des relations entre , , et 1, et complète de manière automatique des « égalités à trous » du type : + = … ;
                                               4      2   4                                                                                     2   2
1    1            1   1       1           1   3       1       1   1       3   1
    + = …;1– =…; + =…;1– =…; +                            =…; – =…; – =….
4    4            4   2       4           2   4       4       2   4       4   4

L’élève sait passer de manière automatique d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale, et inversement, dans les cas
          1         1      3        3       4     5
suivants : = 0,25 ; = 0,5 ; = 0,75 ; = 1,5 ; = 2 ; = 2,5.
              4           2           4           2           2       2

Les notions de diviseur et de multiple et les tables de multiplication sont réactivées en vue de leur utilisation dans le calcul sur les
fractions (simplification, addition et soustraction).
                              2               3
L’élève sait calculer de 12 œufs, de 10 m.
                              3               4

Connaissances et capacités attendues

Le sens quotient d’une fraction

Objectifs d’apprentissage
Relier une fraction au résultat exact de la division de son numérateur par son dénominateur
Comprendre et connaître la définition du quotient d’un entier a par un entier b non nul
Compléter des égalités à trous multiplicatives
Placer une fraction sur une demi-droite graduée dans des cas simples
Graduer un segment de longueur donnée
                                  a
Savoir que la fraction peut représenter un nombre entier, un nombre décimal non entier ou un nombre non décimal
                                  b

La fraction comme opérateur multiplicatif

En 6e, l’objectif est de faire opérer une fraction, non seulement sur une quantité ou sur une grandeur comme au cours moyen,
mais également sur un nombre entier, ce qui constitue un niveau d’abstraction plus élevé.

Objectifs d’apprentissage
Utiliser une multiplication pour appliquer une fraction à un nombre entier
Comparer des fractions

Objectifs d’apprentissage
Établir des égalités de fractions
Comparer et encadrer des fractions
Ordonner une liste de nombres écrits sous forme de fractions ou de nombres mixtes
Effectuer des opérations sur les fractions

Objectifs d’apprentissage
Additionner et soustraire des fractions
Multiplier une fraction par un nombre entier
Résoudre des problèmes mettant en jeu des fractions
Inventer des problèmes mettant en jeu des fractions
Pourcentages

Objectifs d’apprentissage
Comprendre le sens d’un pourcentage
Calculer une proportion (rapport entre une partie et le tout) et l’exprimer sous forme de pourcentage dans des cas simples
Appliquer un pourcentage à une grandeur ou à un nombre

Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles

L’élève découvre les contextes historiques (impôt, héritage, cadastre) qui ont conduit à la notion de fraction ainsi que leurs
différentes écritures avant l’utilisation de la barre de fraction.

Il comprend pourquoi une fraction a été appelée nombre rompu, nombre cassé ou encore nombre coupé.

Algèbre

En classe de 6e, la pensée algébrique est une approche qui pose les bases d’un raisonnement à la fois logique et abstrait, et
permet aux élèves de commencer à s’éloigner des calculs numériques pour explorer des concepts plus généraux. Cette
introduction reste ancrée dans des situations concrètes et visuelles, afin de rendre ces idées accessibles et progressives.

La pensée algébrique est une manière de réfléchir et de résoudre des problèmes mathématiques en utilisant des outils et des
concepts qui ne nécessitent pas toujours la connaissance exacte des nombres. Elle consiste à raisonner sur les relations entre des
quantités plutôt que sur les valeurs elles-mêmes.

Pour faciliter cette transition, les élèves utilisent des représentations visuelles et des outils qui rendent les concepts abstraits plus
concrets, tels que les motifs évolutifs et les schémas en barre. Progressivement, les élèves passent d’un raisonnement purement
concret à un raisonnement symbolique. Dans un premier temps, les quantités inconnues sont exprimées à l’aide de mots, de
dessins ou éventuellement de lettres. Ce n’est qu’au cycle 4 que les lettres seront introduites de manière formelle. Ce passage à
l’abstraction doit se faire avec soin, car il n’est pas un objectif prioritaire en 6e. La pensée algébrique ne se limite pas à un
domaine spécifique : elle irrigue l’ensemble du programme de mathématiques. Elle est mobilisée dans des situations variées.

Résoudre des problèmes mettant en jeu des nombres inconnus

Objectifs d’apprentissage
Utiliser des modèles pré-algébriques pour résoudre des problèmes algébriques
Identifier la structure d’un motif évolutif en repérant une régularité et en identifiant une structure


Grandeurs et mesures
Cours moyen première année
Le travail sur les grandeurs et les mesures est mené dans la continuité de ce qui a été fait au cycle 2.

Les longueurs, les masses et les contenances permettent de nourrir le travail mené sur les fractions et les nombres décimaux. Ces
nombres permettent en effet de mesurer des grandeurs quand les entiers ne suffisent plus.

Les connaissances et les savoir-faire sur les mesures de longueur, de masse et de contenance sont réinvestis dans le cadre de
l’enseignement de la résolution de problèmes, notamment de ceux qui relèvent de la proportionnalité. L’estimation de
longueurs, de masses et de contenances contribue à développer un regard critique sur les résultats obtenus lors de la résolution
de problèmes pour valider la vraisemblance des résultats trouvés.

Les connaissances et les savoir-faire sur les longueurs sont également mobilisés en géométrie plane lors de constructions.

Un tableau peut être utilisé pour présenter les différentes unités multiples et sous-multiples du mètre, du gramme ou du litre et
leurs relations, par exemple, les unités de masse allant du milligramme à la tonne. Cependant, au cours moyen, les élèves
n’utilisent pas de tableaux pour effectuer des conversions ; ils s’appuient sur les relations connues entre les unités en jeu, comme
par exemple : « 3,5 mètres est égal à 350 centimètres, car 1 mètre est égal à 100 centimètres. ». Les tâches de conversion
contribuent ainsi à renforcer la compréhension et la maîtrise de la numération décimale.

L’aire est introduite au CM1, en suivant la même progressivité que pour les autres grandeurs au cycle 2 : les élèves abordent cette
notion en comparant des surfaces selon leur aire sans utiliser de mesures, puis ils apprennent à déterminer des aires en utilisant
une unité et un quadrillage.

Il n’est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres ou d’aires de figures planes au CM1, l’enseignement privilégiant
l’acquisition de leur sens et la détermination de mesures s’appuyant sur des pavages. Cependant, les élèves peuvent établir eux-
mêmes des règles de calcul et les utiliser, comme par exemple le fait que le périmètre d’un carré est le quadruple de la longueur
de l’un de ses côtés.

Au cycle 2, les élèves ont commencé à évoquer les angles dans le cadre de travaux sur les polygones en parlant d’angle droit. Au
CM1, le travail sur la grandeur « angle » se généralise en comparant des angles. Au cours moyen, les élèves ne travaillent qu’avec
des angles saillants.

Le travail sur le repérage dans le temps et sur les durées s’appuie sur ce qui a été mené au cycle 2 et vise une parfaite
compréhension des unités que sont les heures et les minutes et des relations qui les lient. Des problèmes en une ou plusieurs
étapes, utilisant des ressources variées, sont proposés régulièrement pour renforcer l’aptitude à effectuer des calculs avec les
unités « heure » et « minute ».

Les longueurs

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser les unités de longueur du millimètre au kilomètre et les symboles associés
Connaître les relations entre les unités de longueur
Choisir une unité adaptée pour exprimer une longueur
Comparer des longueurs
Disposer de quelques longueurs de référence
Estimer la longueur d’un objet ou d’une distance
Savoir ce qu’est le périmètre d’une figure plane
Déterminer le périmètre d’un polygone en utilisant une règle graduée
Résoudre des problèmes mettant en jeu les longueurs des côtés d’un polygone et son périmètre

Les masses

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser les unités de masse du milligramme au kilogramme et la tonne, et les symboles associés
Connaître les relations entre les unités de masse
Choisir une unité adaptée pour exprimer une masse
Comparer des masses
Disposer de quelques masses de référence
Estimer la masse d’un objet

Les contenances

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser les unités de contenance du millilitre à l’hectolitre et les symboles associés
Connaître les relations entre les unités de contenance
Choisir une unité adaptée pour exprimer une contenance
Comparer des contenances

Les aires

Objectifs d’apprentissage
Comparer les aires de différentes figures planes
Déterminer des aires
Connaître et utiliser les centimètres carrés pour exprimer des aires

Les angles

Objectifs d’apprentissage
Utiliser le lexique spécifique associé aux angles
Comprendre et utiliser les notations des angles
Comparer des angles
Le repérage dans le temps et les durées

Objectifs d’apprentissage
Lire l’heure sur une horloge à aiguilles
Positionner les aiguilles d’une horloge correspondant à une heure donnée en heure et minute
Comparer et mesurer des durées écoulées entre deux instants affichés sur une horloge (instants et durées sont exprimés en
heure et minute)
Résoudre des problèmes à une ou deux étapes impliquant des durées


Cours moyen deuxième année
Au CM2, les connaissances des grandeurs rencontrées précédemment se renforcent progressivement. Cela s’opère
principalement dans le cadre de la résolution de problèmes, mais également grâce à des exercices plus courts, qui peuvent être
effectués à l’oral. Le travail mené contribue à donner du sens aux unités de mesure rencontrées, notamment à travers des
estimations de mesures pour des objets manipulés, mais aussi pour des éléments non manipulables (distance entre deux villes,
durée d’un film, volume d’eau d’une piscine, etc.).

Le travail sur la proportionnalité est aussi une occasion de renforcer les connaissances des élèves sur les grandeurs et leurs
mesures.

Un tableau peut être utilisé pour présenter les différentes unités multiples et sous-multiples du mètre, du gramme ou du litre et
leurs relations. Par exemple, les unités de masse allant du milligramme à la tonne. Cependant, au cours moyen, les élèves
n’utilisent pas de tableaux pour effectuer des conversions ; ils s’appuient sur les relations connues entre les unités en jeu, comme
par exemple : « 3,5 mètres est égal à 350 centimètres car 1 mètre est égal à 100 centimètres. ». Les tâches de conversion
contribuent ainsi à renforcer la compréhension et la maîtrise de la numération décimale.

Il n’est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres de figures planes au CM2, l’enseignement privilégiant
l’acquisition du sens. Cependant, les élèves peuvent établir eux-mêmes des règles de calcul et les utiliser, comme par exemple le
fait que le périmètre d’un carré est le quadruple de la longueur de l’un de ses côtés.

Le travail sur les angles, amorcé au CM1, se poursuit au CM2. L’unité degré est introduite à partir de la mesure de l’angle droit.
L’utilisation d’un instrument de mesure des angles (rapporteur) ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège. Au cours
moyen, les élèves ne travaillent qu’avec des angles saillants.

Au CM2, la compréhension du système sexagésimal (base soixante) utilisé pour les unités de durée s’étend avec l’introduction
des secondes. Les unités de durée sont régulièrement utilisées dans divers cadres (EPS, travail sur la fluence en lecture ou en
calcul, sciences, etc.). Des problèmes en une ou plusieurs étapes, utilisant des ressources variées, sont proposés régulièrement
pour renforcer l’aptitude à effectuer des calculs avec les unités heure, minute et seconde.

Les aires

Objectifs d’apprentissage
Comparer les aires de différentes figures planes
Déterminer des aires
Connaître et utiliser les unités centimètre carré, décimètre carré et mètre carré pour exprimer des aires
Convertir des aires entre différentes unités
Déterminer l’aire d’un carré ou d’un rectangle

Les angles

Objectifs d’apprentissage
Utiliser le lexique spécifique associé aux angles
Comprendre et utiliser les notations des angles
Comparer des angles
Construire un angle égal à la somme de deux angles donnés ou un angle multiple d’un angle donné
Construire par pliage la moitié d’un angle donné
Savoir qu’un angle droit mesure 90°

Le repérage dans le temps et les durées

Objectifs d’apprentissage
Lire l’heure sur une horloge à aiguilles
Positionner les aiguilles d’une horloge correspondant à une heure donnée en heure, minute et seconde
Comparer et mesurer des durées écoulées entre deux instants affichés sur une horloge (instants et durées sont exprimés en
heure, minute et seconde)
Résoudre des problèmes à une ou plusieurs étapes impliquant des durées
Sixième
En classe de 6e, l’élève renforce ses connaissances du cours moyen sur les grandeurs et les mesures à travers l’automatisation de
certains résultats et la résolution de problèmes. Ce domaine permet d’établir des liens avec les notions figurant dans les champs
« Géométrie », « Nombres et calculs » et « Proportionnalité ».

L’élève apprend à calculer le périmètre d’un disque (également désigné comme périmètre d’un cercle par abus de langage qui
sera toléré pour l’élève) et à effectuer des conversions d’unités d’aire. Les formules du périmètre d’un carré, d’un rectangle, d’un
disque et celles de l’aire d’un carré ou d’un rectangle s’installent progressivement. Ces formules constituent une première
sensibilisation au calcul littéral. L’élève substitue une valeur numérique à une lettre pour calculer, en situation, un périmètre ou
une aire.

Il découvre l’unité de volume cm3. En lien avec les problèmes de dénombrement d’assemblages de cubes, il détermine des
volumes.

Le travail sur les mesures d’angle est intégré au champ « Géométrie », dans lequel on traite simultanément l’objet géométrique
« angle » et la mesure de la grandeur « angle ».

Concernant les durées, les élèves résolvent des problèmes mobilisant des conversions entre le système décimal et le système
sexagésimal, consolidant leurs compétences en gestion des unités de temps.

Les longueurs

Automatismes

L’élève connaît les significations des préfixes allant du kilo- au milli-, ainsi que les relations entre le mètre, ses multiples et ses
sous-multiples, et fait le lien avec les unités de numération du système décimal.

L’élève connaît les relations entre deux unités successives du système décimal, par exemple : 1 dm = 10 cm et
        1
1 cm = dm = 0,1 dm.
       10

L’élève sait convertir en mètre une longueur donnée dans une autre unité, multiple ou sous-multiple du mètre. Inversement,
l’élève sait convertir dans une unité donnée une longueur exprimée en mètre.

L’élève sait utiliser le compas comme outil de report de longueurs.

Il sait que le périmètre d’une figure plane est la longueur de son contour. L’élève sait calculer le périmètre d’un carré et d’un
rectangle.

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Savoir que le périmètre du disque est proportionnel à son diamètre
Connaître la formule du périmètre d’un disque
Calculer le périmètre d’un disque
Calculer des périmètres de figures composées
Résoudre des problèmes impliquant des longueurs

Les aires

Automatismes

L’élève sait comparer des aires sans avoir recours à la mesure, par superposition ou par découpage et recollement de surfaces.

L’élève sait que 1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté, que 1 m² est l’aire d’un carré de 1 m de côté, que 1 dm² est l’aire d’un
carré de 1 dm de côté.

Dans des cas simples, l’élève sait déterminer l’aire d’une surface en s’appuyant sur un quadrillage composé de carreaux dont les
côtés mesurent 1 cm.

L’élève sait que : 1 m2 = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 10 × 10 dm2 = 100 dm2 ;
1 dm2 = 1 dm × 1 dm = 10 cm × 10 cm = 10 × 10 cm2 = 100 cm2.
                                                                                         1
L’élève mémorise que 1 cm² est égal à un centième de 1 dm², qu’il écrit 1 cm² =              dm2 ou 1 cm2 = 0,01 dm2.
                                                                                     100
                                                                                     1
L’élève mémorise que 1 dm² est égal à un centième de 1 m², qu’il écrit 1 dm² =               m2 ou 1 dm² = 0,01 m2.
                                                                                    100

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Effectuer des conversions d’aire
Connaître la formule de l’aire d’un carré ou d’un rectangle
Calculer l’aire d’un carré ou d’un rectangle
Les volumes

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Connaître l’unité centimètre cube
Comparer des volumes
Déterminer un volume

Le repérage dans le temps et les durées

Automatismes

    —    L’élève lit l’heure sur un cadran à aiguilles ou sur un affichage digital (heures, minutes et secondes).
    —    L’élève place les aiguilles pour qu’une horloge indique une heure donnée.
    —    L’élève connaît les unités de mesure de durées jour, heure, minute et seconde et les relations qui les lient.
    —    L’élève sait combien de jours il y a dans une année (bissextile ou non), combien d’années il y a dans un siècle, et dans un
         millénaire.
    —    L’élève sait qu’une demi-heure c’est 30 minutes, qu’un quart d’heure c’est 15 minutes, que trois quarts d’heure c’est
         45 minutes.

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Effectuer des calculs sur des horaires et des durées
Résoudre des problèmes impliquant des horaires et des durées
Convertir des durées

Mises en perspective historiques et culturelles

L’élève découvre l’histoire et le fonctionnement de différents types de calendriers : solaires, lunaires ou luni-solaires. Il comprend
le lien entre les calendriers julien et grégorien et les différentes approximations de la valeur de l’année tropique.

Selon ses intérêts et ses besoins, l’élève peut également s’interroger sur les moyens de partager le temps, découvrir les
clepsydres (horloges à eau) ou d’autres instruments historiques et interculturels (grecs, arabes, chinois).


Espace et géométrie
Cours moyen première année
La géométrie plane

Dans la continuité des apprentissages du cycle 2, l’acquisition des connaissances sur les figures de référence et sur les relations
géométriques se poursuit lors de descriptions, de constructions et de résolutions de problèmes.

Il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage précis utilisant le vocabulaire géométrique
approprié et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Ce vocabulaire prend son sens grâce aux
constructions et aux problèmes proposés.

Si l’enseignant utilise de manière rigoureuse les notations usuelles avec des parenthèses pour la droite (AB), des crochets pour le
segment [AB], une parenthèse et un crochet pour la demi-droite [AB), et aucune parenthèse pour la longueur AB, aucune
connaissance de ces conventions n’est exigible pour les élèves : les consignes explicitent donc systématiquement les symboles
utilisés. Par exemple, il ne sera pas demandé aux élèves de « tracer [AB] », mais de « tracer le segment [AB] ».

Objectifs d’apprentissage
Utiliser le vocabulaire géométrique approprié dans le contexte d’apprentissage des notions correspondantes
Utiliser les outils géométriques usuels : règle, règle graduée, équerre et compas
Connaître les codes usuels utilisés en géométrie
Décrire et reconnaître un cercle et un disque comme un ensemble de points caractérisés par leur distance à un point donné
Reconnaître et utiliser la notion de perpendicularité
Reconnaître et utiliser la notion de parallélisme
Reconnaître et nommer les figures suivantes en faisant référence à leur définition : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle,
triangle équilatéral, quadrilatère, carré, rectangle et losange
Connaître les propriétés de parallélisme des côtés opposés, des égalités de longueurs et d’angles pour les figures usuelles :
triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, carré, rectangle et losange.
Reproduire ou construire un carré, un rectangle, un triangle, un triangle rectangle ou un cercle ou des assemblages de ces figures
sur tout support (papier quadrillé, pointé ou uni), avec une règle graduée, une équerre ou un compas.
Construire une figure géométrique composée de segments, de droites, de polygones usuels et de cercles.
Reconnaître si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie
Compléter une figure pour la rendre symétrique par rapport à une droite donnée, horizontale ou verticale
Construire, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite horizontale ou verticale

Les solides

Les connaissances et les savoir-faire attendus se construisent à partir de résolutions de problèmes associées à une verbalisation
mobilisant le vocabulaire géométrique : il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage précis
utilisant le vocabulaire géométrique approprié et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Les
élèves doivent pouvoir justifier la nature géométrique d’un polyèdre en ayant recours aux propriétés géométriques de ses faces.

Au CM1, la liste des solides connus des élèves s’enrichit avec l’introduction du prisme droit. La connaissance des solides continue
à se développer lors d’activités de construction, de description et de classements d’objets. Les élèves travaillent avec des solides
en trois dimensions, mais aussi avec leurs représentations en perspective. Ils comprennent que certaines faces, certaines arêtes
et certains sommets ne sont pas visibles dans de telles représentations et que les arêtes non visibles sont éventuellement tracées
en pointillés. S’ils ne construisent pas eux-mêmes de telles représentations, ils savent néanmoins identifier un solide à partir
d’une représentation en perspective.

Dans ce programme, le terme « pavé » est utilisé pour désigner le parallélépipède rectangle. En classe, les termes « pavé droit »
ou « pavé » peuvent être utilisés indifféremment.

Objectifs d’apprentissage
Nommer un cube, une boule, un pavé, un cône, une pyramide, un cylindre et un prisme droit
Décrire un cube, un pavé, une pyramide et un prisme droit en faisant référence à des propriétés et en utilisant le vocabulaire
approprié
Connaître le nombre et la nature des faces d’un cube ou d’un pavé
Connaître la nature des faces d’une pyramide
Connaître la nature des faces d’un prisme droit
Construire un cube, un pavé, une pyramide ou un prisme droit
Reconnaître un patron d’un cube
Construire un patron d’un cube

Le repérage dans l’espace

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser le vocabulaire lié aux déplacements
Comprendre, utiliser et produire une suite d’instructions qui décrivent un déplacement en utilisant un vocabulaire spatial précis
Résoudre des problèmes portant sur des assemblages de cubes


Cours moyen deuxième année
La géométrie plane

L’acquisition des connaissances sur les figures de référence et sur les relations géométriques se poursuit lors de descriptions, de
constructions et de résolutions de problèmes.

Il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage adéquat utilisant un vocabulaire géométrique
précis et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Ce vocabulaire prend son sens grâce aux
constructions et aux problèmes proposés.

Si l’enseignant utilise de manière rigoureuse les notations usuelles avec des parenthèses pour la droite (AB), des crochets pour le
segment [AB], une parenthèse et un crochet pour la demi-droite [AB) et aucune parenthèse pour la longueur AB, aucune
connaissance de ces conventions n’est exigible pour les élèves : les consignes expliciteront donc systématiquement les symboles
utilisés. Par exemple, il ne sera pas demandé aux élèves de « tracer [AB] », mais de « tracer le segment [AB] ».

Objectifs d’apprentissage
Utiliser le vocabulaire géométrique approprié dans le contexte d’apprentissage des notions correspondantes
Utiliser les outils géométriques usuels : règle, règle graduée, équerre et compas
Connaître les notations et les codes usuels utilisés en géométrie
Reconnaître et utiliser la notion de perpendicularité
Reconnaître et utiliser la notion de parallélisme
Décrire et reconnaître un cercle et un disque comme un ensemble de points caractérisés par leur distance à un point donné
Reconnaître et nommer les figures suivantes en s’appuyant sur leur définition : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle,
triangle équilatéral, quadrilatère, carré, rectangle, losange, trapèze, trapèze rectangle, pentagone et hexagone
Connaître les propriétés de parallélisme des côtés opposés, des égalités de longueurs et d’angles pour les figures usuelles :
triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, carré, rectangle, losange, trapèze et trapèze rectangle
Reproduire ou construire un carré, un rectangle, un triangle, un triangle rectangle ou un cercle ou des assemblages de ces figures
sur tout support (papier quadrillé, pointé ou uni), avec une règle graduée, une équerre ou un compas.
Construire une figure géométrique composée de segments, de droites, de polygones usuels et de cercles
Élaborer un programme de construction
Construire, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite verticale, horizontale ou une
diagonale du quadrillage

Les solides

Les connaissances et les savoir-faire attendus se construisent à partir de résolutions de problèmes associées à une verbalisation
mobilisant le vocabulaire géométrique : il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage précis
utilisant le vocabulaire géométrique approprié et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Les
élèves doivent pouvoir justifier la nature géométrique d’un polyèdre en ayant recours aux propriétés géométriques de ses faces.

Au CM2, les élèves travaillent avec des solides en trois dimensions, mais aussi avec des représentations en perspective. La
connaissance des solides continue à se développer à travers des activités de construction, de description et de classements
d’objets. Ils comprennent que certaines faces, certaines arêtes et certains sommets ne sont pas visibles dans de telles
représentations et que les arêtes non visibles sont éventuellement tracées en pointillés. S’ils ne construisent pas eux-mêmes de
telles représentations, ils savent néanmoins identifier un solide à partir d’une représentation en perspective.

Dans ce programme, le terme « pavé » est utilisé pour désigner le parallélépipède rectangle. En classe, les termes « pavé droit »
ou « pavé » peuvent être utilisés indifféremment.

Objectifs d’apprentissage
Nommer un cube, une boule, un pavé, un cône, une pyramide, un cylindre ou un prisme droit
Décrire un cube, un pavé, une pyramide ou un prisme droit en faisant référence à des propriétés et en utilisant le vocabulaire
approprié
Reconnaître un patron d’un cube
Construire un patron d’un cube
Reconnaître un patron d’un pavé

Déplacements dans l’espace

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser le vocabulaire lié aux déplacements
Comprendre, utiliser et produire une suite d’instructions qui décrivent un déplacement en utilisant un vocabulaire spatial précis
Résoudre des problèmes portant sur des assemblages de cubes


Sixième
Étude de configurations planes

Au cours moyen, l’élève a acquis des connaissances sur les figures géométriques de référence et sur les positions relatives de
droites lors de descriptions, de constructions et de la résolution de problèmes. Le vocabulaire géométrique et certaines
notations ont été introduits progressivement.

En classe de 6e, les travaux géométriques de reproduction, de description et de construction se poursuivent. L’éventail des
définitions, qui s’élargit à de nouveaux objets, permet de dégager leur caractère abstrait et universel.

Les observations et les constructions s’appuient sur des définitions et des propriétés. Le professeur peut utiliser un logiciel de
géométrie dynamique pour la visualisation de certaines constructions. Cependant, le maniement par l’élève des instruments
traditionnels de la géométrie, accompagné de la verbalisation de ses démarches, sont des facteurs essentiels pour que les
constructions dépassent le statut de simples activités pour déboucher sur de véritables apprentissages et faciliter le passage à
l’abstraction.

Au-delà de ces activités de construction, la présentation par le professeur et la mise en place progressive par l’élève lui-même de
preuves favorisent le développement du raisonnement logique et de la pensée déductive. L’élève accède ainsi à ces facultés
essentielles dans de nombreuses autres disciplines scolaires, facultés qui seront également un atout majeur dans sa future vie
personnelle et professionnelle.

La feuille de papier n’est pas le seul support aux activités géométriques : les objets de la vie courante, mais aussi l’environnement
ordinaire de l’élève (la salle de classe ou la cour de récréation), s’y prêtent également. Les deux principaux sujets d’étude sont les
distances et les angles, qui sont abordés à travers la manipulation, l’observation, les constructions, l’initiation au raisonnement et
la mise en place de preuves. La construction d’une preuve repose sur l’élaboration et la structuration de la pensée et de la parole
individuelle, orale ou écrite, mais également sur la confrontation de ses propres idées à celles d’autrui, dans des situations de
débat ou d’entraide. Les compétences mathématiques et langagières sont ainsi développées conjointement.
Automatismes

    —       L’élève connaît le lexique et le codage des objets de base de la géométrie plane : angle droit, égalité de longueurs,
            égalité d’angles.
    —       Il reconnaît un carré, un rectangle, un triangle.
    —       Il reconnaît si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie.
    —       Il sait coder des angles droits et des longueurs égales.

Connaissances et capacités attendues

Distances

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser la définition de la distance entre deux points
Connaître et utiliser la définition du milieu d’un segment
Cercles et disques

Objectifs d’apprentissage
Connaître les définitions d’un cercle, d’un disque, d’un rayon, d’un diamètre, d’une corde
Comprendre la définition d’un cercle et celle d’un disque sous la forme d’ensembles de points
Résoudre des problèmes mettant en jeu des distances à un point
Médiatrice d’un segment

Objectifs d’apprentissage
Connaître la définition de la médiatrice d’un segment
Comprendre et utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
Résoudre des problèmes en s’appuyant sur la propriété caractéristique de la médiatrice
Angles

Objectifs d’apprentissage
Connaître et utiliser les angles ainsi que le lexique et les notations qui s’y rapportent : angle droit, angle plat, angle plein, angle
nul, angle aigu, angle obtus, angles opposés par le sommet, angles adjacents, angles supplémentaires
Mesurer un angle
Construire un angle de mesure donnée
Bissectrice d’un angle saillant

Objectifs d’apprentissage
Connaître la définition de la bissectrice d’un angle saillant
Utiliser la définition de la bissectrice d’un angle pour effectuer des constructions et résoudre des problèmes
Triangles

Le triangle se prête à un travail portant conjointement sur les distances et sur les angles. Le positionnement d’un triangle sur la
feuille doit être varié. À l’aide du compas, l’élève remarque que la donnée de trois longueurs ne permet pas toujours de
construire un triangle.

Objectifs d’apprentissage
Construire des triangles
Connaître et utiliser les propriétés angulaires des triangles particuliers : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral
Connaître la valeur de la somme des mesures des angles d’un triangle
L’utiliser pour calculer des angles, effectuer des constructions et résoudre des problèmes
Savoir que les médiatrices d’un triangle sont concourantes
Connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle
Symétrie axiale

Le travail de construction réalisé au cours moyen se poursuit. Différents supports peuvent être utilisés : papier quadrillé, papier
pointé, auxquels on ajoute le papier uni.

Objectifs d’apprentissage
Connaître la définition du symétrique d’un point par rapport à une droite
Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie axiale pour effectuer des constructions

La vision dans l’espace

En classe de 6e, la connaissance des solides étudiés au cours moyen est entretenue sous la forme d’automatismes. En
prolongement des apprentissages déjà installés, la vision dans l’espace est consolidée à travers des activités de différentes
natures portant sur des assemblages de cubes : passage, dans les deux sens, entre l’objet à trois dimensions et ses diverses
représentations à deux dimensions, dénombrements.

Automatismes

L’élève identifie dans un ensemble de solides lesquels sont des pyramides, des boules, des cubes, des cylindres, des pavés, des
cônes ou des prismes droits.

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Voir dans l’espace des assemblages de cubes


Organisation et gestion de données et probabilités
Cours moyen première année
Organisation et gestion de données

Au CM1, les caractères statistiques étudiés peuvent être aussi bien qualitatifs comme un moyen de transport, une couleur ou un
sport pratiqué, que quantitatifs comme le nombre de frères et sœurs, l’âge exprimé en années entières, la hauteur d’une plante
ou la masse d’un animal.

Les élèves résolvent des problèmes dont les données peuvent être prélevées dans des tableaux, dans des diagrammes en barres
ou sur des courbes.

Cette partie du programme fournit l’occasion de confronter les élèves à des données réelles relatives à des sujets d’actualité,
comme le changement climatique, la pollution ou la perte de biodiversité.

Les connaissances et les compétences acquises sont renforcées lors de travaux réalisés dans les autres disciplines : EPS, histoire
et géographie, sciences et technologie, etc. Ceci permet la confrontation à divers types de données et à des représentations
graphiques variées.

Objectifs d’apprentissage
Recueillir des données et produire un tableau, un diagramme en barres ou un ensemble de points dans un repère pour les
présenter
Lire et interpréter les données d’un tableau à simple ou double entrée, d’un diagramme en barres ou d’une courbe
Résoudre des problèmes en une ou plusieurs étapes en utilisant les données d’un tableau à simple ou double entrée, d’un
diagramme en barres ou d’une courbe

Les probabilités

Au CM1, les élèves bénéficient d’une première familiarisation avec des expériences aléatoires. Un des objectifs de cet
enseignement est de comprendre qu’il existe des évènements dont la réalisation est certaine, d’autres dont la réalisation est
impossible, et d’autres encore dont on ne peut pas affirmer a priori s’ils se réaliseront ou pas.

Un autre objectif porte sur la comparaison de probabilités d’évènements. Certains évènements, comme « obtenir pile » en
lançant une pièce de monnaie, « obtenir un nombre pair » en lançant un dé ou « obtenir une carte rouge » en tirant une carte au
hasard dans un jeu de 32 cartes ont une chance sur deux de se réaliser, ce qui signifie que la probabilité qu’ils se réalisent est la
même que celle qu’ils ne se réalisent pas. D’autres évènements, comme « obtenir un 2 » en lançant un dé, ont plus de chances de
ne pas se réaliser que de se réaliser. Les élèves apprennent à estimer les probabilités d’évènements sur une échelle allant de
« impossible » à « certain », en distinguant les évènements « peu probables » qui ont moins d’une chance sur deux de se réaliser,
des évènements « probables » qui ont plus d’une chance sur deux de se réaliser.

Un autre objectif de l’enseignement des probabilités au CM1 est de familiariser les élèves avec quelques modèles classiques
d’expériences aléatoires (jet d’une pièce de monnaie, lancer de dé, tirages dans une urne, tirage d’une carte dans un jeu de 52
cartes, etc.).

Dans des cas simples, les élèves apprennent à recenser toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Ils découvrent ainsi
en particulier que, selon les cas, toutes les issues peuvent avoir, ou non, la même chance de se réaliser. Ils se familiarisent ainsi
avec la notion d’équiprobabilité.

Objectifs d’apprentissage
Identifier des expériences aléatoires
Identifier toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire simple
Comprendre et utiliser le vocabulaire approprié : « impossible », « possible », « certain », « probable », « peu probable », « une
chance sur deux »
Comparer des issues d’expériences aléatoires ou des évènements selon leur probabilité de réalisation
Comprendre que ce n’est pas parce qu’il y a deux issues possibles que chacune a une chance sur deux de se réaliser
Reconnaître des situations d’équiprobabilité
Cours moyen deuxième année
Organisation et gestion de données

Au CM2 comme au CM1, les caractères statistiques étudiés peuvent être aussi bien qualitatifs comme, un moyen de transport,
une couleur ou un sport pratiqué, que quantitatifs comme, par exemple, le nombre de frères et sœurs, l’âge exprimé en années
entières, la hauteur d’une plante ou la masse d’un animal.

Les élèves résolvent des problèmes dont les données peuvent être prélevées dans un texte, dans des tableaux, dans des
diagrammes en barres, dans des diagrammes circulaires ou sur des courbes.

Cette partie du programme est l’occasion de confronter les élèves à des données réelles relatives à des sujets d’actualité, comme
le changement climatique, la pollution ou la perte de biodiversité.

Les connaissances et les compétences acquises sont renforcées lors de travaux réalisés dans les autres disciplines : EPS, histoire
et géographie, sciences et technologie, etc. Ceci permet la confrontation à divers types de données et à des représentations
graphiques variées.

Objectifs d’apprentissage
Recueillir des données et produire un tableau, un diagramme en barres ou un ensemble de points dans un repère pour présenter
des données recueillies
Lire et interpréter les données d’un tableau, d’un diagramme en barres, d’un diagramme circulaire ou d’une courbe
Résoudre des problèmes en une ou deux étapes en utilisant les données d’un tableau, d’un diagramme en barres, d’un
diagramme circulaire ou d’une courbe

Les probabilités

Au CM2, les élèves renforcent les apprentissages du CM1.

Dans des situations où les issues d’une expérience aléatoire sont équiprobables, les élèves apprennent à identifier et à
dénombrer les issues correspondant à un évènement. Ces dénombrements leur permettent de quantifier les probabilités
d’évènements, sous la forme de « a chances sur b », où a est le nombre d’issues réalisant l’évènement dont on cherche la
probabilité et b le nombre total d’issues de l’expérience aléatoire.

La perception de la notion d’indépendance est initiée en reproduisant une même expérience aléatoire, par exemple celle d’un
lancer de dé, et en faisant prendre conscience aux élèves que le dé « ne se souvient pas » du résultat sorti lors du lancer
précédent. Dans le cas d’une expérience constituée de plusieurs épreuves indépendantes, les élèves apprennent à utiliser un
tableau à double entrée ou un arbre pour recenser, d’une part, toutes les issues possibles et, d’autre part, celles qui réalisent
l’évènement dont on recherche la probabilité.

Au CM2, le travail sur les probabilités est amorcé au plus tard en période 2.

Objectifs d’apprentissage
Identifier toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire simple
Identifier toutes les issues réalisant un évènement dans une expérience aléatoire simple
Dans une situation d’équiprobabilité, lors d’une expérience aléatoire simple, exprimer la probabilité d’un évènement sous la
forme « a chances sur b »
Comparer des probabilités dans des cas simples
Comprendre la notion d’indépendance lors de la répétition de la même expérience aléatoire
Dans des situations d’équiprobabilité, recenser toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire en deux étapes dans un
tableau ou dans un arbre afin de déterminer des probabilités


Sixième
Organisation et gestion de données

À l’école élémentaire, les élèves ont recueilli des données et ont construit des tableaux à simple ou double entrée, des
diagrammes en barres ou des courbes pour les présenter. Inversement, ils ont lu et interprété des informations contenues dans
un tableau à double entrée, un diagramme en barres, un diagramme circulaire et d’une courbe. Ils ont résolu des problèmes en
une ou deux étapes mobilisant ces différents types de représentation.

En classe de 6e, l’élève consolide ces notions, en menant lui-même les différentes phases d’une enquête statistique, ce qui le
conduit à prendre des initiatives et à organiser son travail. Il est confronté à des données objectives relatives à des sujets
d’actualité comme le changement climatique, la pollution ou la perte de biodiversité. L’interprétation de ces données sollicite
son esprit critique et sa capacité d’argumentation. L’enseignement de cette partie du programme contribue à l’acquisition de
connaissances et de méthodes essentielles dans d’autres disciplines telles que, par exemple, la géographie, les sciences ou
l’éducation physique et sportive.
Automatismes

L’élève sait lire un tableau, un diagramme en barres, un diagramme circulaire ou une courbe dans des cas adaptés à une lecture
immédiate.

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Planifier une enquête et recueillir des données
Réaliser des mesures et les consigner dans un tableau
Construire un tableau simple pour présenter des données (observations, caractères)
Faire un choix en filtrant les données d’un tableau selon un critère

Les probabilités

Au CM2, dans le cadre d’une situation d’équiprobabilité, les élèves ont appris à dénombrer l’ensemble des issues possibles d’une
expérience aléatoire, ainsi qu’à identifier et à compter celles qui correspondent à un évènement. Ces dénombrements leur ont
permis de quantifier les probabilités d’évènements, sous la forme de « a chances sur b », où a est le nombre d’issues
correspondant à l’évènement et b le nombre total d’issues possibles de l’expérience aléatoire.

Ils ont également travaillé sur la répétition d’une même expérience aléatoire, comme par exemple celle du lancer d’une pièce de
monnaie, et sur la notion d’indépendance. Ils ont pris conscience que le dé « ne se souvient pas » du résultat du lancer
précédent. Dans le cadre d’une expérience constituée de deux épreuves indépendantes, les élèves ont appris à utiliser des
tableaux à double entrée ou des arbres pour recenser toutes les issues possibles et celles qui réalisent l’évènement dont on
cherche la probabilité.

En classe de 6e, un objectif majeur est de passer de la traduction d’une probabilité en termes de chances (a chances sur b) à son
                                            a
expression par le nombre égal au quotient (pouvant être lu « a sur b »), qui peut s’exprimer comme une fraction, un nombre
                                              b
décimal ou un pourcentage.

L’approche fréquentiste des probabilités est également introduite. Cela permet d’interpréter certains résultats abordés au cours
moyen.

Il n’est pas attendu que l’élève utilise le vocabulaire spécifique aux probabilités (expérience, issue, univers, évènement) de
manière autonome, mais le professeur peut l’employer.

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Savoir que la probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1
Calculer des probabilités dans des situations simples d’équiprobabilité
Comparer des résultats d’une expérience aléatoire répétée à une probabilité calculée


La proportionnalité
Cours moyen première année
Le travail sur la proportionnalité conduit au CM1 s’inscrit dans la continuité du travail sur la résolution de problèmes
multiplicatifs mené au cycle 2. En effet, les élèves ont déjà résolu des exemples simples de problèmes relevant de la
proportionnalité comme « Des tee-shirts coûtent 13 € chacun. Quel est le prix de 6 tee-shirts ? ».

Au CM1, la notion de proportionnalité entre deux grandeurs est explicitement introduite dans le cadre de la résolution de
problèmes : les élèves apprennent à identifier des situations relevant de la proportionnalité et à mettre en œuvre dans ce cadre
des raisonnements fondés sur la propriété de la linéarité pour la multiplication. Par exemple, pour le problème « 4 pains aux
raisins coûtent 7 €. Quel est le prix de 12 pains aux raisins ? », les élèves comprennent qu’il est inutile de déterminer le prix
unitaire pour répondre à la question posée.

Afin d’éviter le risque de développement d’automatismes ne s’appuyant pas sur le sens, les élèves n’utilisent pas de tableaux de
proportionnalité au cours moyen. La résolution de problèmes de proportionnalité s’appuie uniquement sur des raisonnements
formulés en langage naturel, à l’oral comme à l’écrit : « Si j’achète 3 fois plus de pains aux raisins, alors je vais payer 3 fois plus. »,
« Si je prends 4 fois moins de feuilles de papier, alors l’épaisseur de la pile de feuilles sera 4 fois plus petite. », etc.

Au cours moyen, les problèmes posés le sont tous dans le cadre des grandeurs et ne portent pas sur des suites de nombres hors
contexte.

Objectifs d’apprentissage
Identifier une situation de proportionnalité
Savoir résoudre un problème de proportionnalité
Cours moyen deuxième année
Le travail sur la proportionnalité conduit au CM2 s’inscrit dans la continuité du travail mené au CM1 : les savoir-faire développés
se consolident et s’enrichissent à travers la résolution de problèmes nécessitant plusieurs étapes.

Afin d’éviter le risque de développement d’automatismes ne s’appuyant pas sur le sens, les élèves n’utilisent pas de tableaux de
proportionnalité au cours moyen. La résolution de problèmes de proportionnalité s’appuie uniquement sur des raisonnements
formulés en langage naturel, à l’oral comme à l’écrit : « Si j’achète 3 fois plus de pains aux raisins, alors je vais payer 3 fois plus. », « Si je
prends 4 fois moins de feuilles de papier, alors l’épaisseur de la pile de feuilles sera 4 fois plus petite. », etc.

Les problèmes posés le sont tous dans le cadre des grandeurs et ne portent pas sur des suites de nombres hors contexte. Seuls
des raisonnements fondés sur les propriétés de linéarité pour la multiplication et pour l’addition sont attendus ; ni l’utilisation du
coefficient de proportionnalité, ni le recours au « produit en croix » ne sont enseignés au cours moyen.

Objectifs d’apprentissage
Identifier une situation de proportionnalité
Savoir résoudre un problème de proportionnalité

Sixième
Au cours moyen, la proportionnalité était exclusivement abordée dans le cadre des grandeurs et elle était identifiée par l’effet
sur la seconde grandeur de la multiplication de la première par un nombre donné. L’élève a ainsi appris à identifier des situations
de proportionnalité et à utiliser des raisonnements fondés sur la propriété de linéarité pour la multiplication ou pour l’addition.

En classe de 6e, la proportionnalité continue d’être étudiée exclusivement dans le cadre des grandeurs, et, ne concerne pas les
suites de nombres. La définition de la proportionnalité entre deux grandeurs est formalisée et reliée à l’utilisation d’expression
du type « prix au kilo ». Celles-ci anticipent la notion de grandeur quotient qui sera étudiée au cycle 4. L’élève est sensibilisé au
« modèle » de la proportionnalité. Il résout des problèmes qui en relèvent en utilisant la procédure la mieux adaptée aux
nombres mis en jeu : linéarité multiplicative ou additive, retour à l’unité. Comme au cours moyen, il est encouragé à laisser
apparaître à l’intérieur des calculs les unités des grandeurs manipulées.

Plusieurs outils permettent de représenter une situation de proportionnalité : tableau, flèches, parenthèses (qui anticipent la
notation fonctionnelle). Lorsqu’il s’agit d’un tableau, le nom de chaque grandeur, accompagné de son unité, y figure
explicitement. La recherche de données manquantes dans un tableau s’appuie sur le sens de la proportionnalité : l’élève
verbalise les relations entre les mesures d’une grandeur (2 fois plus, 3 fois moins, etc.) ou s’appuie sur la constance d’une
grandeur telle que « prix au kilo » ou « nombre de battements du cœur par minute » relevant du langage courant. Dans cette
optique de compréhension du sens de la proportionnalité, notion essentielle dans la vie quotidienne et dans de nombreuses
autres disciplines, la technique du « produit en croix » n’est pas enseignée.

Automatismes

    —    L’élève sait repérer des relations multiplicatives simples entre des nombres (double, quadruple, moitié, tiers, quart).
    —    Il associe de manière automatique les expressions du type : « 4 fois plus grand, 4 fois plus petit, 5 fois plus, 5 fois moins »
         à une multiplication ou à une division.

Connaissances et capacités attendues

Objectifs d’apprentissage
Connaître la définition de la proportionnalité entre deux grandeurs et la mettre en lien avec des expressions de la vie courante
Identifier si une situation relève du « modèle » de la proportionnalité
Résoudre un problème de proportionnalité en choisissant une procédure adaptée : propriété de linéarité pour la multiplication
ou l’addition, retour à l’unité
Représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau ou de notations symboliques
S’initier à la résolution de problèmes d’échelles

Initiation à la pensée informatique
Le mode de pensée informatique est une approche universelle permettant de résoudre des problèmes complexes en exploitant
des processus de calcul, qu’ils soient réalisés par des humains ou par des machines. En s’initiant à la pensée informatique, l’élève
développe des connaissances et des capacités qui sont transposables à d’autres disciplines et qui le préparent aux défis du
monde contemporain.

Au cycle 2, dans la continuité du cycle 1, l’élève a déjà développé des raisonnements qui relèvent de la pensée informatique. Dès
le CP, l’élève a appris à réaliser un déplacement dans l’espace à partir d’un codage ou à coder de tels déplacements, notamment
pour programmer un robot se déplaçant sur un quadrillage ou un personnage se déplaçant dans un quadrillage sur un écran de
tablette ou d’ordinateur. L’apprentissage des algorithmes des opérations posées tout au long du cycle 2 contribue également à
l’initiation à la pensée informatique. À partir du CE1, l’élève a aussi appris à poursuivre des suites évolutives comme « 1, 2, 4, 7, 11,
16, etc. » ou « 1, 2, 4, 8, 16, etc. ».
Ces premiers apprentissages qui contribuent au développement de la pensée informatique se poursuivent au cours moyen :
algorithmes des opérations posées, programmes de constructions géométriques, programmes de calcul, suites évolutives. Ces
éléments, abordés dans les autres domaines de ce programme, sont résumés dans les paragraphes ci-après.

Cours moyen première année
Au CM1, l’élève continue d’utiliser et de produire des codages de déplacements en élargissant les environnements dans lesquels
ces déplacements ont lieu (quartier, ville, etc.). La programmation de robot est également toujours envisagée lorsque l’école en
est équipée.

Dans le cadre de l’initiation à la pensée algébrique, l’élève continue de travailler sur des suites évolutives qui s’appuient sur des
algorithmes plus en plus complexes comme « 80 ; 85 ; 83 ; 88 ; 86 ; 91 ; 89 ; 94 ; 92, etc. » ou « 1 ; 2 ; 6 ; 7 ; 11 ; 12 ; 16 ; etc. » et il peut
utiliser des logiciels de programmation par blocs ou un tableur pour déterminer des termes éloignés. Il exécute également des
programmes de calcul comme le suivant :
      — choisir un nombre entier ;
      — ajouter 2 au nombre choisi ;
      — multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4 ;
      — écrire le nombre obtenu.

Ces programmes peuvent aussi être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un
tableur en faisant apparaître les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus.

La réalisation de figures géométriques s’appuyant sur des programmes de construction comme « Trace un rectangle ABCD tel
que AB = 5 cm et BC = 3 cm. Trace le cercle de centre A qui passe par le milieu du côté [AB]. » contribue également au
développement de la pensée informatique.

Cours moyen deuxième année
Les activités menées au CM1 qui contribuent au développement de la pensée informatique se poursuivent au CM2 en se
complexifiant.

L’élève continue d’utiliser et de produire des codages de déplacements en élargissant les environnements dans lesquels ces
déplacements ont lieu (quartier, ville, etc.) et en augmentant le nombre d’instructions des programmes utilisés ou produits. La
programmation de robots est également toujours envisagée lorsque l’école en est équipée.

Dans le cadre de l’initiation à la pensée algébrique, l’élève continue de travailler sur des suites évolutives de nombres ou de
motifs qui s’appuient sur des algorithmes de plus en plus complexes comme « 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc. » ou
                                                                                           
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                               étape 1            étape 2             étape 3             étape 4

et il peut utiliser des logiciels de programmation par blocs ou un tableur pour déterminer des termes éloignés. Il exécute
également des programmes de calcul ayant jusqu’à trois instructions comme le suivant :
      — choisir un nombre entier ;
      — ajouter 2 au nombre choisi ;
      — multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4 ;
      — retirer 3 au nombre obtenu à l’étape précédente ;
      — écrire le nombre obtenu.

Ces programmes peuvent aussi être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un
tableur en faisant apparaître les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus.

La réalisation de figures géométriques s’appuyant sur des programmes de construction contribue également au développement
de la pensée informatique. Au CM2, l’élève apprend à produire des programmes de construction dans des cas simples.

Sixième
En plus de la consolidation des raisonnements précédents, le programme de 6e permet l’initiation progressive à la compréhension
de notions plus spécifiques de l’informatique : instructions, séquences d’instructions, entrées, sorties, répétitions. Les activités
proposées peuvent être réalisées avec ou sans machine (robot ou logiciel de programmation graphique par blocs comme Scratch).
L’utilisation d’un tableur peut également être envisagée pour l’étude des suites évolutives de nombres.

Objectifs d’apprentissage
Identifier une instruction ou une séquence d’instructions
Produire et exécuter une séquence d’instructions
Répéter à la main une séquence d’instructions pour accomplir une tâche imposée
Programmer la construction d’un chemin simple
