Les guides
fondamentaux
pour enseigner


La résolution
de problèmes
mathématiques
au cours
moyen
Cet ouvrage a été coordonné par le service de l’instruction
publique et de l’action pédagogique et le service
de l’accompagnement des politiques éducatives
de la direction générale de l’enseignement scolaire
du ministère de l’Éducation nationale, de la Jeunesse
et des Sports. Il a été rédigé, relu et coordonné avec
le concours de l’Inspection générale de l’éducation,
du sport et de la recherche.

Ce document a fait l’objet d’une relecture critique
de plusieurs membres du Conseil scientifique
de l’éducation nationale.
Questions fréquentes
sur l’enseignement
de la résolution
de problèmes
La résolution de problèmes est une tâche particulièrement
complexe pour les élèves. L’enseignement de la résolution
de problèmes demeure une activité difficile pour beaucoup
de professeurs, comme en témoignent les quelques
questions recueillies ci-dessous. Ce guide fondé sur l’état
de la recherche apporte des réponses à ces questions,
comme l’indiquent les renvois proposés dans cette rubrique.




           Quels problèmes les élèves de cours moyen
           doivent-ils savoir résoudre ?
           Il n’est bien évidemment pas possible d’établir une liste exhaustive
           des problèmes que les élèves de cours moyen doivent savoir résoudre.
           Cependant, ce guide propose, au chapitre 1 (voir p. 16), une classification
           en trois catégories principales qui doit permettre d’aider les professeurs
           à structurer l’enseignement de la résolution de problèmes dans leur classe :
           — les problèmes en une étape ;
           — les problèmes en plusieurs étapes ;
           — les problèmes atypiques.
Que faire quand un élève n’arrive pas à résoudre
un problème ?
Quand un élève donne une résolution erronée, la première action du professeur doit
être d’analyser la production de l’élève pour repérer la ou les difficultés rencontrées.
Cette analyse peut s’appuyer sur le modèle de résolution en quatre phases (comprendre,
modéliser, calculer, répondre) proposé au chapitre 2 (voir p. 42). Un exemple d’une telle
analyse est développé dans un focus (voir p. 56). Il est généralement difficile de distinguer
si les difficultés relèvent de la phase « comprendre » ou de la phase « modéliser » à partir
des seules traces écrites ; un échange avec l’élève est alors nécessaire. Des exemples de
tels échanges sont aussi proposés dans le focus mentionné précédemment. Une fois cette
analyse menée, des coups de pouce appropriés peuvent être fournis. Il est important que
ceux-ci ne dénaturent pas l’objectif principal de la séance. Le chapitre 3 (voir p. 65) fournit
trois curseurs sur lesquels il est possible d’agir en fonction de l’objectif visé :
— la structure du problème ;
— le texte du problème ;
— le champ numérique.
Le paragraphe « Différencier pour permettre à tous les élèves de progresser » du chapitre
4 (voir p. 98) présente un exemple concret d’action sur ces trois curseurs.



Doit-on apprendre                                     Doit-on avoir des leçons
aux élèves à faire                                    sur la résolution
des schémas ?                                         de problèmes dans
À quel moment doit-on                                 le cahier de référence
introduire les schémas                                (cahier de leçons)
en barres ?                                           de mathématiques ?
La réponse à la première question est                 Oui. Les temps d’institutionnalisation
évidemment positive. La compétence                    en classe permettent de faire le point
« représenter » fait partie des compétences           sur ce qui a été appris au cours de
que les élèves doivent développer à l’école           la séance, mais aussi pendant la
élémentaire. Les schémas sont souvent                 séquence. Ce savoir devient alors un
indispensables aux élèves pour pouvoir                savoir de référence qui pourra être
modéliser correctement les problèmes qui              réutilisé ultérieurement. La partie
leur sont soumis. Quatre types de schémas             « S’appuyer sur l’institutionnalisation »
(schémas en barres, déplacements                      du chapitre 4 (voir p. 100) donne un
sur une droite, tableaux, arbres) sont                exemple concret d’une trace écrite
présentés en détail dans une partie dédiée            dans un cahier d’élève de cours moyen,
du chapitre 4 (voir p. 107). Les schémas en           produite dans le cadre d’un temps
barres sont traditionnellement introduits             d’institutionnalisation, et de l’utilisation
progressivement à partir du CE1. Ce qui               de cette trace écrite pour résoudre de
est particulièrement important pour                   nouveaux problèmes.
les schémas en barres comme pour les
autres outils de représentation, c’est
de conserver une certaine cohérence
d’utilisation d’année en année, tout au
long de la scolarité obligatoire, afin de
permettre aux élèves de garder les
mêmes repères et de devenir de plus en
plus efficaces en résolution de problèmes.
Sommaire

		INTRODUCTION

      6	Pourquoi enseigner la résolution
          de problèmes ?
      7	La résolution de problèmes, une activité
          à fort enjeu dans le monde
      8	Les élèves français en difficulté
          en résolution de problèmes
      10	La place de la résolution de problèmes
      10	Les compétences clés à développer
      11	L’objectif de ce guide
      12  Plan du guide

		CHAPITRES


I     15	Quels problèmes apprendre
          à résoudre au cours moyen ?
      16	Une catégorisation en trois types de problèmes
      19	Les problèmes en une étape
      29  Les problèmes en plusieurs étapes
      31  Les problèmes atypiques


II    41	Qu’est-ce que résoudre un problème ?
      42	Quatre phases fondamentales pour la résolution
          de problèmes : comprendre, modéliser,
          calculer et répondre
      56	Focus | Analyser les erreurs des élèves
          pour adapter l’aide à leur apporter


III   65	Identifier les obstacles à la résolution
          de problèmes pour les élèves
      66  La structure mathématique du problème
      68	Le texte de l’énoncé du problème
      78  Le champ numérique
IV     83	Comment délivrer un enseignement structuré
            de la résolution de problèmes ?
       84	Fixer collectivement des objectifs sur le champ
            de la résolution de problèmes
       86	Construire une progression partagée
       87	 Focus | Un exemple d’évaluation commune
            proposée en fin de période 3 en CM1
       89	Points de vigilance et propositions
            pour construire une séquence en résolution
            de problèmes
       107	Enseigner explicitement des méthodes
            de représentation efficaces pour modéliser
       126	Focus | Exemples de résolution de problèmes
            de cours moyen avec des fractions en utilisant
            des schémas en barres


V      131	De l’école au collège : la résolution de problèmes
            dans le cadre de la liaison CM2‑6e
       132	La résolution de problèmes au cœur
            de l’enseignement des mathématiques au collège
            comme à l’école élémentaire
       133	Exemples de problèmes pouvant avoir été
            résolus au cours moyen
       134	Exemples d’utilisation au collège
            des représentations schématiques
            introduites au cours moyen

BIBLIOGRAPHIE ET OUTILS DE RÉFÉRENCE

       142   Ouvrages
       142   Articles
       147   Rapports, contributions et conférences
Pourquoi enseigner
la résolution
de problèmes ?
         7 — Introduction


Les éducateurs, les gouvernements, les employeurs
et les chercheurs mettent systématiquement en avant
la résolution de problèmes lorsqu’ils évoquent
les compétences du xxie siècle1. En effet, dans le contexte
sociétal actuel, les citoyens ont de plus en plus besoin
de compétences d’analyse et de raisonnement
pour la résolution de situations et de tâches complexes.
La résolution de problèmes mathématiques à l’école
primaire et au collège a pour objectif de contribuer
au développement de ces compétences. Elle permet
également aux élèves de consolider leurs connaissances
mathématiques, de développer des compétences
mathématiques (chercher, modéliser, représenter,
raisonner, calculer, communiquer2), d’être actifs
et de renforcer leur confiance en eux. Savoir résoudre
des problèmes est une finalité de l’enseignement
des mathématiques à l’école élémentaire, mais aussi
le vecteur principal d’acquisition des connaissances
et des compétences visées.




La résolution de problèmes,
une activité à fort enjeu
dans le monde

        Pour beaucoup de chercheurs, « la résolution de problèmes demeure l’activité dans
        laquelle les élèves rencontrent le plus de difficultés »3 et c’est un champ pour lequel les
        professeurs des écoles peinent à construire un enseignement répondant aux besoins



        1—       Cynthia Luna Scott, « Les apprentissages de demain 2 :
        quel type d’apprentissage pour le xxie siècle ? », Recherche
        et prospective en éducation : réflexions thématiques, n° 14, 2015.
        2 — BOENJS n° 31 du 30 juillet 2020 (https://eduscol.education.
        fr/87/j-enseigne-au-cycle-3).
        3 — Pierre Barrouillet et Valérie Camos, « Savoirs, savoir-faire
        arithmétiques et leurs déficiences », dans Michèle Kail et Michel Fayol
        (dir.), Les Sciences cognitives et l’école. La question des apprentissages,
        PUF, 2003.
            8 — Introduction

            des élèves. Comme de nombreux travaux de recherche, l’enquête Pisa4 , pilotée par
            l’OCDE, a permis de confirmer que les difficultés des élèves ne peuvent s’expliquer
            par le seul niveau des connaissances et compétences mathématiques pour résoudre
            un problème, en effet, « de nombreux autres facteurs interviennent comme la connais-
            sance en jeu, la familiarité avec le contexte du problème, la lisibilité de l’énoncé, etc.5 ».


« Surmonter les défis […] suppose une évolution des pratiques d’enseignement         Michèle Artigue,
permettant leur mise en cohérence avec les ambitions affichées. Les études           Les Défis
des pratiques enseignantes menées dans le cadre de recherches didactiques            de l’enseignement
et de formations, tout comme les enquêtes menées par les institutions                des mathématiques
internationales, montrent en effet que ce n’est pour l’instant généralement          dans l’éducation
pas le cas. L’enseignement des mathématiques dans la scolarité de base               de base, Unesco,
est trop souvent encore un enseignement peu stimulant […].                           Paris, 2011.
Les recherches et expérimentations montrant que d’autres alternatives
sont possibles, productives en termes d’apprentissage et donnant aux
élèves une autre vision des mathématiques et de leur capacité à saisir
la signification de cette science, se sont pourtant accumulées au fil des
années […]. Elles mettent l’accent sur la place à accorder à la résolution
de problèmes dans l’enseignement des mathématiques, que ces problèmes
soient utilisés pour motiver et préparer l’introduction de nouvelles notions,
ou qu’ils permettent de les travailler et les exploiter après qu’elles aient été
introduites. L’apprentissage y est perçu comme une opération progressive
de prise de sens au fil de la rencontre de situations problématiques
soigneusement choisies et organisées […]. »




Les élèves français en difficulté
en résolution de problèmes

            Si les difficultés des élèves en résolution de problèmes sont une préoccupation
            pour les pays du monde entier, les enquêtes nationales et internationales mettent
            régulièrement en lumière que la situation est inquiétante pour les élèves de France.
            Ceci transparaît notamment dans le traitement du problème ci-après qui a été
            proposé en 2015, dans le cadre de l’évaluation Timss6 , aux élèves de fin de CM1.

            4 — Pisa : Programme international pour le suivi des acquis des élèves
            (https://www.oecd.org/pisa-fr/).
            5 — Éric Roditi, Franck Salles, « Nouvelles analyses de l’enquête
            Pisa 2012 en mathématiques : un autre regard sur les résultats »,
            dans « Évaluation des acquis : principes, méthodologie, résultats »,
            Éducation et Formations, n° 86-87, ministères chargés de l’éducation
            nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche,
            Direction de l’évaluation et de la prospective, 2015.
            6 — Timss : Trends in International Mathematics and Science
            Study ; enquête internationale mesurant les acquis des élèves de CM1
            en mathématiques et en sciences.
            9 — Introduction

                « Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zed.
                Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
                Julien a 4 zeds.
                Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ?
                A. 1,06 zed     B. 1,16 zed     C. 5,06 zeds   D. 5,16 zeds »

            Pour ce problème, les élèves français ont obtenu le plus faible taux de réussite des
            pays de l’Union européenne participants, avec un score de 42 %, alors que le tiers
            des autres pays de l’Union européenne a obtenu des scores de réussite moyens entre
            62 et 70 %, et que Singapour a même atteint un taux de réussite de 79 %7. Au-delà
            du cas particulier de ce problème et du taux de réussite observé en France, des
            difficultés des élèves en résolution de problèmes sont observées depuis plusieurs
            années dans la plupart des pays de l’OCDE.


« Ces faibles performances ont conduit de nombreux chercheurs                            Vanessa Hanin
à examiner, de façon approfondie, les stratégies adoptées par les élèves                 et Catherine Van
en résolution de problèmes. Ces derniers ont, notamment, mis à jour                      Nieuwenhoven,
l’usage, par les élèves, de démarches de résolution superficielles telles que            « Évaluation
la non prise en compte des connaissances du monde réel dans la résolution                d’un dispositif
et une résolution reposant sur la recherche d’indices sémantiques.                       pédagogique visant
Or, ces démarches s’avèrent inefficaces pour résoudre de véritables                      le développement de
problèmes au sens où l’individu ne connaît pas d’emblée la démarche                      stratégies cognitives
à adopter pour solutionner le problème. À cet effet, les chercheurs                      et métacognitives
qui se sont penchés sur cette problématique préconisent un changement                    en résolution
au niveau des pratiques d’enseignement et d’apprentissage de la résolution               de problèmes
de problèmes. Plus précisément, ces derniers s’accordent sur la nécessité                en première
de reconceptualiser les activités de résolution de problèmes comme                       secondaire », Évaluer.
des exercices de modélisation, de proposer des recueils de problèmes variés,             Journal international
d’adopter une méthodologie ouverte, autrement dit, de favoriser la diversité             de recherche
des démarches et des stratégies de résolution et d’introduire de nouvelles               en éducation
normes socio-mathématiques, plus appropriées. »                                          et formation, Vol. 2,
                                                                                         n° 1, p. 53-88, 2016.



            Ainsi, au-delà de la performance obtenue se pose la question des indices sur lesquels
            un élève s’est appuyé pour aboutir au résultat. En effet, « la recherche d’indices
            sémantiques » évoquée ci-dessus mène à des réussites lorsque ces indices encou-
            ragent la modélisation attendue. Toutefois, ces réussites s’apparentent à des faux
            positifs dès lors qu’il y a échec de l’élève en l’absence de ces indices. Les cas les plus
            évidents sont les choix d’opération influencés par des mots clés comme « de plus »
            induisant une addition ou « perdre » une soustraction. Ce phénomène est toutefois
            bien plus large encore, car il concerne aussi les relations entre les entités présentes
            dans les énoncés, comme des fleurs et des vases par exemple, qui induisent a priori
            une relation multiplicative8 .


            7 — Les résultats de l’enquête Timss sont consultables sur le site
            de l’IEA (International Association for the Evaluation of Educational
            Achievement, https://timssandpirls.bc.edu).
            8 — Miriam Bassok, “Semantic Alignments in Mathematical Word
            Problems”, in Dedre Gentner, Keith J. Holyoak et Boicho N. Kokinov (Eds.),
            The Analogical Mind: Perspectives from Cognitive Science, Cambridge,
            MA, MIT Press, 2001.
    10 — Introduction


La place de la résolution
de problèmes

    Aujourd’hui, il y a un consensus sur la place centrale que doit occuper la résolution
    de problèmes dans l’enseignement des mathématiques à l’école primaire comme
    au collège et dont le programme de mathématiques du cycle 3 se fait le relais :
    « la résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des
    connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également
    le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens9 ».

    Ce que l’on entend par « problèmes » peut être relativement large ; ce guide restera
    centré sur la résolution des problèmes verbaux à données numériques. Il s’agit
    de problèmes proposés sous forme d’un texte, éventuellement accompagné d’une
    illustration, contenant des données numériques qu’il faut mettre en relation et avec
    lesquelles il faut faire des opérations mathématiques pour obtenir ce qui permet
    de donner la ou les réponses à une question posée.




Les compétences clés à développer

    L’aptitude des élèves à résoudre de tels problèmes va dépendre principalement de
    trois facteurs :

    — les connaissances mathématiques des élèves10 : ils doivent en effet identifier les
      nombres en jeu dans l’énoncé et leur nature (entiers, fractions, décimaux), quelle
      que soit leur écriture (en lettres, en chiffres, avec ou sans virgule, sous forme frac-
      tionnaire), connaître le sens des opérations qu’ils vont devoir mobiliser, maîtriser
      des moyens d’effectuer les calculs nécessaires, mentalement ou par écrit, etc. ;
    — la mémoire de problèmes similaires préalablement résolus11 : les enfants comme
      les adultes s’appuient largement sur leur mémoire pour résoudre des problèmes.
      L’évocation en mémoire de problèmes pouvant aider à la résolution d’un nouveau
      problème relève du transfert d’apprentissage, qui dépend de facteurs nombreux
      et complexes12. Certains problèmes deviennent si familiers que leur traitement


    9 — Programme consolidé du cycle 3, BOENJS n° 31 du 30 juillet 2020
    (https://eduscol.education.fr/87/j-enseigne-au-cycle-3).
    10 — Tous égaux face aux équations ? Rendre les mathématiques
    accessibles à tous, Pisa, Éditions OCDE, Paris, 2016.
    11 — Marsha C. Lovett, “Problem Solving”, in Hal Pashler, Douglas
    Medin (eds.), Stevens’ Handbook of Experimental Psychology: Memory
    and Cognitive Processes, John Wiley & Sons Inc, New York, 2002.
    12 — Susan Barnett, Stephen Ceci, « When and Where Do We Apply
    What We Learn? A Taxonomy for Far Transfer », Psychological bulletin,
    n° 128, 2002.
    11 — Introduction

      est quasi automatisé, alors que pour d’autres le traitement peut faire appel à une
      combinaison complexe de méthodes utilisées dans divers problèmes, avec une
      adaptation à la situation du problème. Dans les deux cas, cela pose la question
      de l’accès en mémoire à des situations pertinentes par rapport à la résolution
      du problème en cours. En effet, des travaux sur le transfert d’apprentissage ont
      montré que la manière dont l’élève va se représenter le problème résolu condi-
      tionnera la possibilité que ce problème soit évoqué à bon escient pour soutenir
      une résolution future13 ;
    — des compétences et des aptitudes diverses, comme la confiance qu’ont les élèves
      en leur capacité à traiter les problèmes qui leur sont soumis, l’engagement dont
      ils font preuve pour chercher à résoudre le problème, la capacité à lire et com-
      prendre le problème qu’ils doivent traiter, l’aptitude à collaborer avec d’autres
      élèves pour effectuer une résolution de problèmes à plusieurs, l’aptitude à orga-
      niser et structurer leur travail, etc. On note dans le cadre de ces compétences
      transverses l’importance des quatre piliers de l’apprentissage14 que sont l’atten-
      tion, l’engagement actif, le retour sur les erreurs et la consolidation, sur lesquels
      s’appuie la résolution de problèmes et qu’elle contribue à développer. Ce sont ces
      aptitudes coordonnées avec leurs connaissances mathématiques et la mémoire
      de problèmes résolus qui leur permettront d’aborder sereinement, et de résoudre,
      des problèmes qui ne ressemblent pas à ceux qu’ils ont traités précédemment.




L’objectif de ce guide

    L’objectif de ce guide est de fournir des éléments aux formateurs et aux professeurs
    pour développer un enseignement permettant d’améliorer les compétences des
    élèves de cours moyen en résolution de problèmes. Pour cela, ce guide :

    — rappelle des éléments issus de la recherche permettant de nourrir la réflexion
      pour construire un enseignement de la résolution de problèmes plus efficace ;
    — donne de nombreux exemples de problèmes (plus de 200) que les élèves de cours
      moyen doivent apprendre à résoudre, ainsi que des stratégies et procédures
      qu’ils doivent acquérir pour y parvenir ;
    — propose des exemples concrets de mise en œuvre de séquences et de séances
      d’enseignement permettant de renforcer les compétences des élèves en réso-
      lution de problèmes.




    13 — Laura Novick, “Analogical Transfer, Problem Similarity,
    and Expertise”, Journal of Experimental Psychology. Learning,
    Memory, and Cognition, n° 14, 1988.
    14 — Stanislas Dehaene, Apprendre ! Les talents du cerveau,
    le défi des machines, Odile Jacob, 2018.
    12 — Introduction


Plan du guide

    La pratique de la résolution de problèmes des élèves de cours moyen se limite trop
    souvent au traitement de problèmes en une étape. Ceux-ci ne permettent pas de
    proposer une variété de situations et donc de stratégies de résolution suffisantes.

    De plus, ils peuvent instiller, dans l’esprit des élèves, l’idée que « résoudre un problème,
    c’est trouver la bonne opération » et entraîner des résolutions ne s’appuyant plus
    sur le sens, mais sur des stratégies préjudiciables telles que l’appui sur des mots
    inducteurs ou sur des relations entre les entités présentes dans l’énoncé mais
    en déphasage avec la structure mathématique, ou même sur un choix aléatoire,
    laissant supposer que la réussite dans ce domaine d’apprentissage est avant tout
    une question de chance.

    Le chapitre 1 propose une classification des problèmes, s’appuyant notamment sur
    des travaux de Catherine Houdement, qui distingue les problèmes en une étape des
    autres problèmes. Ces derniers, qualifiés ici de problèmes en plusieurs étapes et
    de problèmes atypiques, sont, en complément des précédents, essentiels pour la
    formation des élèves afin de s’assurer du bon développement de leurs compétences
    en résolution de problèmes.

    Le chapitre 2 propose une décomposition du processus de résolution de problèmes
    en quatre phases s’appuyant sur des travaux de Lieven Verschaffel et Erik de Corte.
    La connaissance de ces quatre phases est essentielle pour analyser les réponses
    des élèves lors des séances de résolution de problèmes. Elle permet d’aller au-delà
    d’un constat binaire de réussite ou de non-réussite, afin de pouvoir apporter l’aide
    appropriée à chacun des élèves qui n’a pas résolu correctement un problème donné,
    en identifiant le plus précisément possible la nature des difficultés rencontrées.

    L’analyse a priori d’un problème doit permettre au professeur d’établir s’il est
    ­pertinent de le proposer à tous les élèves de sa classe ou seulement à certains
     d’entre eux. Cette analyse repose sur une connaissance fine de tout ce qui peut faire
     obstacle au traitement du problème par les élèves. Ces quarante dernières années,
     de nombreux travaux de recherche ont apporté des éclairages sur ces obstacles.

    Le chapitre 3 identifie les principaux éléments qui peuvent constituer une difficulté
    pour les élèves lors de la résolution de problèmes. La connaissance de ces éléments
    n’a pas pour objectif d’épurer les énoncés de tout ce qui rend un problème difficile à
    traiter pour les élèves, mais au contraire de les y confronter, au moment opportun,
    pour qu’ils puissent développer les connaissances, les savoir-faire et les aptitudes
    leur permettant de franchir ces obstacles.
13 — Introduction

En s’appuyant sur les trois premiers chapitres, le chapitre 4 donne des pistes et
des outils concrets pour construire un enseignement permettant de développer et
de renforcer les compétences des élèves en résolution de problèmes. Il présente
à la fois des lignes directrices générales pour la construction de séquences et des
exemples simples et concrets de séances d’enseignement ou de temps particuliers
au sein de ces séances d’enseignement. Enfin, ce chapitre recense différents modes
de représentation des données d’un énoncé (schémas en barres, déplacements
sur une droite, tableaux, arbres) destinés à aider les élèves lors de la résolution
de problèmes.

Le chapitre 5 est centré sur la liaison école-collège. Il permet de compléter les
exemples de problèmes des chapitres précédents pouvant être proposés aux élèves
de cours moyen. Il permet également de montrer comment les apprentissages de
cours moyen, en particulier en ce qui concerne les représentations, peuvent être
réinvestis dans la suite de la scolarité, lors de la résolution de problèmes rencontrés
au collège. Ce chapitre est destiné à nourrir les échanges dans le cadre de travaux
autour de la liaison CM2-6e.

Ces chapitres peuvent se lire de façon indépendante. Les trois premiers sont
plutôt centrés sur la didactique, le quatrième sur la pédagogie et le dernier sur
la liaison école-collège. Un formateur pourra privilégier une lecture fine des
trois premiers chapitres avant d’aborder la lecture du chapitre 4, alors qu’un
professeur pourra choisir de commencer directement par la lecture du chapitre 4
puis lire ultérieurement, en fonction de ses besoins d’éclairage, les trois premiers
chapitres. Le chapitre 5 peut, quant à lui, être abordé indépendamment lors de
travaux interdegrés.
                       I
Quels problèmes
apprendre à résoudre
au cours moyen ?
         16 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


Au cours moyen, les élèves renforcent leur familiarité
avec les problèmes en une ou plusieurs étapes traités
au cycle 2, en se confrontant à des problèmes structurellement
très proches, mais dont la difficulté s’accroit. Ces problèmes
mettent désormais en jeu les nouveaux nombres étudiés
à ce niveau de la scolarité : « grands nombres », nombres
décimaux, fractions ; les contextes des énoncés se diversifient,
en intégrant progressivement des éléments moins familiers
pour les élèves.
La structure des problèmes proposés va également
se complexifier, avec la rencontre de problèmes constitués
d’étapes plus nombreuses qu’au cours élémentaire,
ou de problèmes nécessitant le déploiement de stratégies
particulières.




Une catégorisation en trois types
de problèmes

         Ces quarante dernières années, de nombreuses classifications des problèmes
         verbaux à données numériques ont été proposées par des chercheurs. Ce qui les
         différencie est la focale qui est mise sur telles ou telles caractéristiques et qui justifie
         tantôt de regrouper ensemble certains énoncés et tantôt de les distinguer comme
         relevant de deux catégories différentes.

         Élaborer une telle classification est un travail complexe, tant le champ des problèmes
         mathématiques est vaste et riche. Quand on se réfère à une classification existante,
         il est en général aisé d’identifier des problèmes « exceptions » qui n’entrent dans
         aucune catégorie, ou que l’on peut faire entrer dans plusieurs. Ceci n’a cependant
         pas d’importance pour une exploitation d’une classification pour l’enseignement, car
         chercher à classer des problèmes n’est pas un objectif du travail à mener en classe
         avec les élèves. Une classification de problèmes est en revanche un outil à disposition
         des professeurs pour cerner et organiser la diversité des problèmes que les élèves
         doivent rencontrer à un certain niveau de la scolarité et qu’ils doivent apprendre à
         résoudre à ce niveau de la scolarité. L’objectif de ce chapitre est de définir le périmètre
         des problèmes devant être proposés au cours moyen et donc d’aider les professeurs
         à structurer l’enseignement de la résolution de problèmes dans leur classe, en leur
         proposant un inventaire organisé de catégories de problèmes à traiter sur les deux
         années du cours moyen. La tâche des élèves doit être de résoudre des problèmes
17 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

et non de les classer ; les élèves n’auront donc pas besoin d’apprendre ou d’entendre
qu’un problème appartient à l’une ou l’autre des catégories mentionnées dans ce
chapitre pour le résoudre, mais ils devront apprendre à faire des liens et repérer
des analogies leur permettant de mobiliser des stratégies de résolution rencontrées
précédemment.

Une classification des problèmes en trois catégories principales, fortement ins-
pirée des travaux de Catherine Houdement15 , est proposée dans ce guide. Elle doit
permettre d’aider les professeurs à structurer l’enseignement de la résolution de
problèmes dans leur classe. Les trois catégories principales sont les suivantes :

— les problèmes en une étape : il s’agit des problèmes qui vont se traiter en effectuant
  une unique opération. On peut distinguer parmi ceux-ci, d’une part, les problèmes
  additifs qui nécessitent une addition ou une soustraction et, d’autre part, les pro-
  blèmes multiplicatifs qui se traitent en effectuant une multiplication ou une division ;
— les problèmes en plusieurs étapes : il s’agit de problèmes qui vont se traiter
  comme une succession de problèmes en une étape, chacune déterminant des
  éléments intermédiaires qui vont permettre d’aboutir à la solution recherchée ;
— les problèmes atypiques : il s’agit des problèmes verbaux à données numériques
  dont la résolution est possible au cours moyen et qui ne rentrent pas dans les caté-
  gories des problèmes en une ou plusieurs étapes mentionnées précé­demment.
  Le fait de les qualifier d’atypiques ne signifie pas qu’il n’y a pas de stratégies
  à faire acquérir pour pouvoir les résoudre. Bien au contraire, des sous-caté­gories
  clairement identifiées permettront d’enseigner des méthodes de résolution que
  les élèves doivent connaître.

Il existe une catégorie de problèmes particuliers, mentionnée explicitement dans le
programme de cycle 3 : les problèmes de proportionnalité. Ils sont considérés dans
ce guide comme des problèmes multiplicatifs en une étape, comme cela est le cas
habituellement dans les articles de recherche16 , dans la mesure où leur traitement
nécessite généralement une unique multiplication entre un rapport et une grandeur.

Exemple :
   « Un marcheur parcourt 2 km en 20 minutes.
   Combien de temps ce marcheur mettra-t-il pour parcourir 6 km en continuant
   à marcher à la même vitesse ? »

Pour ce problème de proportionnalité, la procédure la plus efficace consiste à
multiplier la durée de 20 minutes par 3 ; 3 étant le rapport qui permet de passer de
2 km à 6 km, rapport qui est évident pour un élève de cours moyen, 6 km étant le
triple de 2 km.

Cependant, en pratique, au cours moyen, les élèves ont souvent besoin d’effectuer
deux étapes de calcul, comme l’illustre l’exemple suivant :

    « Dans une recette pour 4 personnes, il faut 75 g de beurre. Pour un banquet,
    un restaurateur doit préparer ce plat pour 92 personnes.
    Quelle masse de beurre sera nécessaire pour préparer ce plat pour le banquet ? »

15 — Catherine Houdement, « Résolution de problèmes arithmétiques
à l’école », Grand N, n° 100, Irem de Grenoble, 2017.
16 — Jean-Pierre Levain, « La résolution de problèmes multiplicatifs
à la fin du cycle primaire », Educational Studies in Mathematics, n° 23, 1992.
18 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Pour résoudre ce problème, il suffit de connaître le rapport permettant de passer de
4 personnes à 92 personnes. Pour déterminer ce rapport, les élèves de cours moyen
effectuent généralement la division 92 ÷ 417, en cherchant la moitié de la moitié de
92 ou en posant l’opération. Une fois établi que 92 ÷ 4 = 23, et donc qu’il y a 23 fois
plus de personnes au banquet que de personnes prévues pour la recette, les élèves
effectuent une seconde étape consistant à multiplier 75 g par 23.

On note par ailleurs que les problèmes en une étape nécessitant une multiplication
comme celui ci-dessous sont bien souvent des cas particuliers de problèmes de
proportionnalité, pour lesquels la valeur pour une unité est donnée, et la valeur du
rapport évoqué ci-dessus est évidente :

     « Une boîte de six œufs coûte 2,30 €. Combien vont coûter 5 boîtes d’œufs ? »

Dans ce guide, les problèmes de proportionnalité sont traités comme une catégorie
à part et assez peu abordés, des documents ressources spécifiques sur le sujet
étant disponibles sur le site Éduscol18 .

Les parties qui suivent proposent, à l’intérieur de chacune des trois catégories
retenues, une classification plus détaillée des types de problèmes que les élèves
doivent apprendre à résoudre au cours moyen. Cette organisation est résumée
dans le graphique ci-dessous. Elle doit permettre d’aider les professeurs à struc-
turer l’enseignement de la résolution de problèmes dans leur classe.


  Les problèmes en une étape
                                                     Multiplicatifs                    Comparaison
                  Additifs                      Plusieurs
                                                               Valeur                Produit cartésien
                                                éléments
               Parties-tout                                   du tout ?
                                               identiques                        Produit ?     Un facteur ?
       Parties-     Transformation               Nombre         Valeur
         tout                                   de parts ?   d’une part ?
                                                                                   Produit de grandeurs

              Comparaison                          Proportionnalité              Produit ?     Un facteur ?




  Les problèmes en plusieurs étapes
               Additifs                           Multiplicatifs                             Mixtes




   Les problèmes atypiques

               Les problèmes algébriques                           Les problèmes préparant à l’utilisation
                                                                              d’algorithmes

           Les problèmes de dénombrement                               Les problèmes d’optimisation



Figure 1. Une classification des problèmes que les élèves doivent apprendre à résoudre au cours moyen.




17 — Dans ce guide, l’obélus « ÷ » sera utilisé comme symbole pour
la division, afin de distinguer ce symbole de celui utilisé pour les ratios « : »
dans les paragraphes sur la liaison avec le collège.
18 — https://eduscol.education.fr/251/mathematiques-cycle-3
    19 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


Les problèmes en une étape

    Les problèmes en une étape sont les problèmes verbaux à données numériques qui se
    traitent en effectuant une des quatre opérations (addition, soustraction, multi­plication
    ou division). La modélisation d’un de ces problèmes consiste donc à reconnaître qu’il
    peut être résolu grâce à une unique opération, en l’identifiant correctement. Une fois
    le calcul effectué, le résultat doit être réinjecté dans la situation, après une éventuelle
    interprétation, pour pouvoir conduire à la réponse au problème.

    Les quatre problèmes ci-dessous, proposés par Catherine Houdement19, sont des
    exemples de problèmes en une étape.

    — Problème 1 : « Un massif de fleurs est formé de 60 tulipes rouges et de 15 tulipes noires.
      Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
    — Problème 2 : « Un massif est formé de 60 rangées, toutes de 15 tulipes.
      Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
    — Problème 3 : « Un massif de 60 fleurs est composé de tulipes et de 15 jonquilles.
      Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
    — Problème 4 : « 60 tulipes sont disposées en 15 massifs tous identiques.
      Combien y a-t-il de tulipes dans un massif ? »

    Ces problèmes parlent tous de massifs de fleurs et de tulipes et contiennent, tous,
    les nombres 60 et 15. Cependant la modélisation conduit, pour chacun d’eux,
    à la mobilisation d’une opération différente. Un adulte modélise, de façon quasi-
    automatisée, ces types de problèmes en s’appuyant sur sa compréhension de la
    situation, sur ses connaissances mathématiques et sur sa mémoire de modèles
    de problèmes déjà résolus. Au cours moyen, ces automatisations sont encore en
    cours de construction et ont besoin d’être travaillées en faisant des liens explicites
    avec les problèmes déjà résolus, en s’appuyant notamment sur des schémas qui
    permettent de mettre en évidence des similitudes structurales entre les problèmes.
    Comme l’illustrent ces situations, les liens entre les entités présentes dans l’énoncé
    (tulipes, jonquilles, fleurs, massifs, rangées) ne sont pas sans effet sur la difficulté
    à résoudre le problème ; ils peuvent, selon les cas, faciliter ou non l’évocation de
    l’opération mathématique qu’il faut faire pour résoudre le problème. Des travaux
    de psychologie expérimentale faisant appel à des « techniques d’amorçage » ont
    ainsi montré que la paire (orange, pomme) amorce une addition contrairement à
    la paire (orange, panier) 20. Le chapitre 3 revient en détail sur ces indices présents
    dans les énoncés et leur prise en compte pour l’enseignement de la résolution
    de problèmes.




    19 — Ibid, p. 17, note 15.
    20 — Miriam Bassok, Samuel Pedigo, An Oskarsson, “Priming Addition
    Facts With Semantic Relations”, Journal of Experimental Psychology.
    Learning, Memory, and Cognition, n° 34, 2008.
20 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Les problèmes en une étape ont fait l’objet de nombreuses études à partir des années
1980, notamment pour établir des classifications21 . Ces classifications ne sont pas
destinées aux élèves et ne doivent pas être enseignées ; un tel enseignement pourrait
nuire à la construction d’un sens suffisamment général pour chaque opération et
pour les liens entre ces opérations. Leur fonction principale est de permettre aux
professeurs de s’assurer qu’ils confrontent effectivement les élèves à l’ensemble
des situations possibles, sans se limiter à quelques situations prototypiques, et de
pouvoir anticiper la difficulté des problèmes proposés aux élèves. Elles permettent
également de s’appuyer sur des problèmes résolus antérieurement par les élèves
pour faciliter la résolution de nouveaux problèmes plus difficiles, en travaillant les
points communs qui peuvent être repérés entre ces différentes classes de problèmes,
et ainsi faciliter le transfert d’apprentissage.

On considère généralement deux catégories de problèmes en une étape :

— les problèmes additifs, pour lesquels il va falloir additionner ou soustraire deux
  nombres, ou plus22, de l’énoncé ;
— les problèmes multiplicatifs, pour lesquels il va falloir multiplier ou diviser deux
  nombres de l’énoncé.

Il est préférable de se limiter à ces deux catégories sans chercher à distinguer les
problèmes selon l’opération en jeu ; on évitera, par exemple, de parler de problèmes
d’addition ou de problèmes de soustraction. En effet, les élèves en réussite sont
ceux qui peuvent passer aisément d’une opération à l’autre à l’intérieur de ces deux
grandes catégories. Ainsi, pour un problème les conduisant au calcul 65 – 58, les
élèves en réussite n’effectuent pas forcément la soustraction, mais recherchent
plutôt le complément dans une addition à trou 58 + ? = 65, et inversement pour
une addition à trou comme 5 + ? = 102, ils effectuent plutôt la soustraction 102 – 5.
L’utilisation flexible de l’une ou l’autre opération en fonction des nombres en jeu est
un indicateur d’une bonne connaissance des opérations. Par exemple, la faculté
de passer indifféremment d’une addition à trou à une soustraction et vice-versa
est une marque de la compréhension du fait que l’addition et la soustraction sont
deux opérations réciproques l’une de l’autre. Cette flexibilité peut être d’autant
plus intéressante à travailler avec des énoncés qui orientent vers tel ou tel calcul.
Pour reprendre le contexte précédent, un énoncé tel que « Il y a 65 tulipes. 58 sont
cueillies. Combien reste-t-il de tulipes ? » oriente plus vers une soustraction que
l’énoncé « Il y a 65 tulipes. Après la cueillette, il en reste 58. Combien de tulipes




21 — Mary Riley, James Greeno, Joan Heller, “Development of
Children’s Problem Solving Ability in Arithmetic”, in Herbert P. Ginsburg,
The Development of Mathematical Thinking, Academic Press, New York, 1983.
Gérard Vergnaud, “A Classification of Cognitive Tasks and Operations
of Thought Involved in Addition and Subtration Problems”, dans Thomas
P. Carpenter, James M. Moser, Thomas A. Romberg (eds.), Addition
and Subtraction: A Cognitive Perspective, Hillsdale: Erlbaum, 1982.
22 — On peut ajouter plus de deux nombres dans les problèmes à une
étape (« Lou a 6 billes rouges, 8 billes vertes et 13 billes bleues. Combien
Lou a-t-elle de billes ? »).
21 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

ont été cueillies ? », qui lui oriente vers une addition ou une soustraction à trou. Il y a
un enjeu fort d’apprentissage à ce que les élèves puissent être flexibles dans le choix
de leur stratégie de calcul23.

Les problèmes en une étape sont en quelque sorte les briques élémentaires formant la
plupart des problèmes verbaux que vont devoir résoudre les élèves de cours moyen.



Les problèmes additifs

Les problèmes additifs en une étape ont fait l’objet d’une classification assez précise
dès le début des années 1980 par Riley et al. 24 . Chacun des cas de cette classification
est accompagné des taux de réussite d’élèves d’écoles primaires américaines, de
l’équivalent de la grande section (5 ans) au CE2 (8 ans). Une traduction en français
d’une partie de cette classification est fournie dans le tableau ci-après25.


                     TYPES DE PROBLÈMES                                   TAUX DE RÉUSSITE
PROBLÈMES DE CHANGEMENT                                                  Mat. CP   CE1 CE2
                   X avait 3 billes. Puis Y lui a donné 5 billes.
Changement 1                                                      0,87 1,00 1,00 1,00
                   Combien de billes a maintenant X ?
                   X avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Y.
Changement 2                                                       1,00 1,00 1,00 1,00
                   Combien de billes a maintenant X ?
             X avait 3 billes. Y lui en a donné.
Changement 3 X a maintenant 8 billes.                                    0,61 0,56 1,00 1,00
             Combien de billes Y a-t-il donné à X ?
             X avait 8 billes. Il en a donné à Y.
Changement 4 Maintenant X a 3 billes.                                    0,91 0,78 1,00 1,00
             Combien a-t-il donné de billes à Y ?
             X avait des billes. Y lui en a donné
             5 de plus.
Changement 5                                                             0,09 0,28 0,80 0,95
             Maintenant X a 8 billes.
             Combien X avait-il de billes ?
             X avait des billes. Il en a donné 5 à Y.
Changement 6 Maintenant X a 3 billes.                                    0,22 0,39 0,70 0,80
             Combien avait-il de billes ?




23 — Lieven Verschaffel, Koen Luwel, Joke Torbeyns, Wim Dooren,
“Conceptualizing, Investigating, and Enhancing Adaptive Expertise
in Elementary Mathematics Education”, European Journal of Psychology
of Education, n° 24, 2009.
24 — Ibid, p. 20, note 21.
25 — Michel Fayol, Catherine Thevenot, Michel Dévidal, « La résolution
de problèmes », dans Marie-Pascale Noël, La Dyscalculie : trouble
du développement numérique de l’enfant, Solal, 2005.
22 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


                            TYPES DE PROBLÈMES                   TAUX DE RÉUSSITE
 PROBLÈMES DE COMBINAISON
              X a 3 billes. Y a 5 billes.
  Combinaison
              Combien X et Y ont-ils de billes                 1,00 1,00 1,00 1,00
      1
              ensemble ?
  Combinaison X et Y ont ensemble 8 billes. X a 3 billes.
                                                               0,22 0,39 0,70 1,00
      2       Combien Y a-t-il de billes ?
 PROBLÈMES DE COMPARAISON
  Comparaison X a 8 billes. Y a 5 billes.
                                                               0,17 0,28 0,85 1,00
      1       Combien X a-t-il de billes de plus que Y ?
  Comparaison X a 8 billes. Y a 5 billes.
                                                          0,04 0,22 0,75 1,00
      2       Combien Y a-t-il de billes de moins que X ?
  Comparaison X a 3 billes. Y a 5 billes de plus que X.
                                                               0,13 0,17 0,80 1,00
      3       Combien Y a-t-il de billes ?
  Comparaison X a 8 billes. Y a 5 billes de moins que X.
                                                               0,17 0,28 0,90 0,95
      4       Combien Y a-t-il de billes ?
  Comparaison X a 8 billes. Il a 5 billes de plus que Y.
                                                               0,17 0,11 0,65 0,75
      5       Combien Y a-t-il de billes ?
  Comparaison X a 3 billes. Il a 5 billes de moins que Y.
                                                               0,00 0,06 0,35 0,75
      6       Combien Y a-t-il de billes ?

Figure 2. Classification de Riley et al.


Les classifications produites au début des années 1980 ont ainsi permis de mettre
en lumière que l’opération en jeu n’était pas la seule difficulté des problèmes arith-
métiques. La résolution du problème « Paul avait 3 billes. Puis Pierre lui a donné
5 billes. Combien de billes a Paul maintenant ? » (du type « changement 1 » dans le
tableau ci-dessus) ne pose généralement pas de difficultés aux élèves de première
année d’école élémentaire, tandis que le problème « Paul avait des billes. Il en a donné
5 à Pierre. Maintenant, Paul a 3 billes. Combien Paul avait-il de billes ? » (du type
« changement 6 » dans le tableau ci-dessus) pose encore des difficultés aux élèves
en troisième année d’école élémentaire, alors que pour les deux problèmes la même
opération 5 + 3 est attendue.

Au-delà du type de problème issu de cette classification, de nombreux autres ­facteurs
peuvent également être sources de difficultés pour les élèves. Le chapitre 3 permet
d’explorer un certain nombre d’entre eux.

Dans la suite de ce guide, deux sous-catégories seront considérées pour les pro-
blèmes additifs :

— D’une part, les problèmes de parties-tout : ce sont des problèmes où deux parties
  distinctes (parfois plus) forment ensemble un tout. Il est à noter que les parties
  peuvent être statiques (billes rouges/billes bleues) ou dynamiques dans le cadre
  d’une transformation (billes gagnées ou perdues/billes restantes).
23 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

    Exemples :

      – « Une pastèque et un ananas pèsent ensemble 3,350 kg. La pastèque pèse
        2,850 kg.
        Quelle est la masse de l’ananas ? »
      – « Une bouteille contient 0,5 L d’eau. On ajoute un quart de litre d’eau dans
        la bouteille.
        Quel volume d’eau la bouteille contient-elle maintenant ? »

    Ce regroupement entre les problèmes de combinaison statique et de trans­
    formation dynamique en une seule catégorie ne va pas de soi. Il suppose en
    effet qu’un état initial et une évolution temporelle puissent être assimilés à des
    parties d’un ensemble et qu’un état final puisse être assimilé à une totalité.
    Cette possibilité a l’intérêt de conduire à ce que les énoncés qui relèvent des
    catégories de problèmes de combinaison et de changement puissent se prêter
    à une représentation commune. Elle peut paraître relativement simple pour
    certains élèves, mais peut avoir besoin d’être travaillée avec d’autres. Ainsi, bien
    que pouvant être résolu par une simple addition, le problème « Léa avait des billes.
    Elle perd 4 billes à la récréation. Il lui reste 3 billes. Combien Léa avait-elle de
    billes au début de la récréation ? » n’est réussi que tardivement à l’école primaire,
    comme l’indique le tableau précédent, car sachant ce qui a été perdu et ce qu’il
    reste, cela n’a rien d’évident de « remonter le temps » pour trouver la quantité
    d’origine par une addition. Cela ne va pas nécessairement de soi de concevoir
    la quantité initiale comme un tout ayant pour parties ce qui a été perdu et ce qui
    reste. En revanche, l’énoncé « Léa avait des billes bleues et des billes rouges.
    Elle perd ses 4 billes rouges à la récréation. Il lui reste ses 3 billes bleues. C
                                                                                     ­ ombien
    Léa avait-elle de billes au début de la récréation ? » induit une partition en deux
    sous-ensembles qui aide à percevoir la quantité de départ comme somme de billes
    perdues (rouges) et restantes (bleues). La présence des couleurs rend saillant
    un codage alternatif d’union de deux parties pour trouver un tout, et cet énoncé
    est bien mieux réussi que le précédent26.

— D’autre part, les problèmes de comparaison, au sein desquels deux entités sont
  mises en relation, sont comparées.

    Exemple : « Une bouteille contient 0,75 L d’eau. Un verre contient un demi-litre
    d’eau de moins que la bouteille. Quel volume d’eau le verre contient-il ? »

Afin d’unifier au maximum la représentation des problèmes additifs, certains cher-
cheurs proposent de représenter les problèmes de comparaison selon un format
parties-tout27 ; ce choix ne sera pas retenu dans la suite de ce guide, car il implique
un niveau d’abstraction élevé afin de considérer l’écart comme une partie virtuelle.
Un format distinct de schématisation où les grandeurs comparées sont représentées
par deux ensembles distincts sera utilisé, comme cela est développé au chapitre 4.



26 — Emmanuel Sander, Jean-François Richard, « Les apprentissages
numériques », dans Raphaële Miljkovitch, Françoise Morange-Majoux,
Emmanuel Sander (dir.), Psychologie du développement, Elsevier-Masson,
Paris, 2017.
27 — Catherine Sophian, The Origins of Mathematical Knowledge
in Childhood, Routledge, New York, 2007.
24 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


Les problèmes multiplicatifs

Les problèmes multiplicatifs en une étape ont fait l’objet de moins de recherches que
les problèmes additifs. Il apparaît néanmoins que le type de problème, la nature des
grandeurs en jeu (quantités, longueurs, prix, masses, etc.), les ensembles auxquels
appartiennent les nombres en jeu dans l’énoncé (entiers, décimaux, fractions),
les liens qu’entretiennent entre eux ces nombres, ainsi que l’opération attendue
(multiplication ou division) ont un impact sur la réussite des élèves28 .

Les compétences en calcul des élèves ont évidemment aussi une influence sur
­l’aisance avec laquelle les problèmes multiplicatifs seront résolus. Voici pour mémoire
 les attendus institutionnels concernant le calcul posé29 :

                       Multiplication                                    Division
        Multiplication d’un nombre entier à
Cycle 2 deux ou trois chiffres par un nombre
        entier à un ou deux chiffres.
           Multiplication de deux nombres             Division euclidienne de deux
CM1
           entiers.                                   nombres entiers.
                                              Division décimale de deux nombres
           Multiplication d’un nombre décimal entiers.
CM2
           par un nombre entier.              Division d’un nombre décimal
                                              par un nombre entier.
           Multiplication de deux nombres
6e
           décimaux.

D’autres modes de calcul et en particulier le calcul mental ou en ligne, avec un
éventuel appui sur des faits numériques mémorisés ou la manipulation de matériel
de numération ou l’utilisation de dessins, schémas ou tableaux peuvent permettre
de résoudre des problèmes multiplicatifs en une étape, au cours moyen comme au
cycle 2, avant que les algorithmes de calcul posé n’aient été introduits.

LES PROBLÈMES DANS LESQUELS UNE MÊME GRANDEUR (QUANTITÉ,
LONGUEUR, MASSE, ETC.) APPARAÎT UN CERTAIN NOMBRE DE FOIS
Au cycle 3 comme au cycle 2, la plupart des problèmes multiplicatifs correspondent
à des situations mettant en jeu une même grandeur un certain nombre de fois.
Ces problèmes mettent généralement en jeu trois données numériques, dont deux
sont connues :

— le nombre de parts, le nombre de fois où la grandeur apparaît ;
— la valeur d’une part, la mesure de la grandeur qui apparaît (quantité, longueur,
  masse, volume, etc.) et qui est répétée ;
— la valeur totale, la valeur de la grandeur au total, en prenant en compte le nombre
  de fois où la grandeur apparaît.

28 — Ibid, p. 17, note 16.
29 — Attendus de fin d’année et repères annuels de progression pour
les cycles 2 et 3, https://eduscol.education.fr/137/attendus-de-fin-d-
annee-et-reperes-annuels-de-progression-du-cp-la-3e
25 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Ces trois données sont liées par la relation :
           le nombre de parts x la valeur d’une part = la valeur totale.
Le problème consiste à trouver un des trois nombres à partir des deux autres. Si on
cherche la valeur totale, il faut faire une multiplication. Si on cherche le nombre
de parts ou la valeur d’une part, il faut effectuer une division.



                   TROIS EXEMPLES DE PROBLÈMES MULTIPLICATIFS

Voici trois exemples de problèmes pour lesquels il faut effectuer une multiplication :

— « Arthur a acheté 6 bouteilles d’huile de 0,75 L.
  Quel volume d’huile a-t-il acheté ? »
— « En configuration football, le Stade de France a une capacité de 80 698 places.
  Quelle sera la recette maximale d’un match pour lequel toutes les places sont
  vendues à 17 € ? »
— « En vitesse de croisière, l’Airbus A330 vole à 860 km/h.
  Quelle distance parcourt-il à cette vitesse en trois heures et demi ? »

Dans ces problèmes, les éléments en jeu sont les suivants :


                  Nombre de parts         Valeur d’une part           Valeur totale
                                                                 Volume d’huile
               Nombre de bouteilles : Volume d’huile dans
Arthur                                                           au total dans les
               6                      une bouteille : 0,75 L
                                                                 6 bouteilles : 4,5 L
          Nombre de places                                     Recette totale si les
Stade
          dans le Stade                Prix d’une place : 17 € 80 698 places sont
de France
          de France : 80 698                                   vendues : 1 371 866 €
                                                             Distance parcourue
               Nombre d’heures         Distance parcourue
A330                                                         en 3,5 heures :
               de vol : 3,5            en une heure : 860 km
                                                             3 010 km


Au cycle 2, les élèves peuvent souvent trouver le résultat d’un problème relevant
de la multiplication en effectuant une ou plusieurs additions. Les professeurs
sont alors amenés à augmenter la valeur des nombres en jeu afin d’encourager
l’utilisation de la multiplication. La même action, c’est-à-dire de ne pas se restreindre
à des scénarios pour lesquels la résolution par quelques additions mène à la
solution, est à encourager au cours moyen ; elle est facilitée par l’augmentation du
champ numérique maîtrisé par les élèves et la généralisation de l’algorithme de
multiplication posée à l’ensemble des entiers au début du CM1.

Il est à noter que ces problèmes sont fréquemment des problèmes de proportionnalité
pour lesquels la valeur pour une unité est donnée. Par exemple, pour le problème
d’Arthur ci-dessus, le volume d’huile dans 1 bouteille est donné. Il convient de faire
percevoir la présence de cette relation de proportionnalité30, au cours élémentaire
comme au cours moyen, en verbalisant cette relation : « Dans 1 bouteille, il y a
0,75 litre d’huile, donc si j’achète 6 fois plus de bouteilles, j’aurai 6 fois plus d’huile



30 — Ibid, p. 17, note 16.
26 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

donc 6 x 0,75 litres. » Cette vision d’un scalaire31, correspondant au rapport entre le
nombre de bouteilles achetées et 1 bouteille, multiplié par le volume d’une bouteille,
est sans doute une façon assez simple pour lier les grandeurs en jeu dans le
problème : 6 x 0,75 litre = 4,5 litres.

Les problèmes proposés ci-dessus peuvent être modifiés, en changeant ce qui doit
être trouvé :

— On peut ainsi faire chercher la valeur d’une part : « Arthur a acheté 6 bouteilles
  identiques d’huile d’olive. Il a ainsi acheté 4,5 L d’huile d’olive. Quelle est la
  contenance d’une bouteille d’huile d’olive ? »
— On peut également inviter les élèves à trouver le nombre de parts : « Arthur a
  acheté des bouteilles identiques d’huile d’olive. Chaque bouteille contient 0,75 L
  d’huile d’olive et il a acheté 4,5 L d’huile d’olive en tout. Quel est le nombre de
  bouteilles d’huile d’olive achetées par Arthur ? »

Il est important de travailler à la fois des problèmes de recherche de la valeur d’une
part et des problèmes de recherche du nombre de parts, les seconds étant en général
plus difficiles à résoudre que les premiers, car non conformes à la conception intuitive
de la division, qui oriente vers la recherche de la valeur de la part dans un scénario de
partage32. Le lien fort entre les trois problèmes sur les bouteilles montre bien l’intérêt
qu’il y a à travailler conjointement le sens de la multiplication et le sens de la division.


LES PROBLÈMES METTANT EN JEU UNE COMPARAISON MULTIPLICATIVE
Une deuxième catégorie de problèmes multiplicatifs est rencontrée par les élèves
de cours moyen. Il s’agit des problèmes de comparaison multiplicative.

Exemple :
   « Un terrain rectangulaire a une largeur de 78,7 m et une longueur 4 fois plus
   longue que la largeur.
   Quelle est la longueur de ce terrain ? »

Les problèmes de comparaison conduisent parfois à des divisions, ce qui peut être
source de difficultés pour les élèves qui s’appuient sur le mot clé « fois plus » comme
induisant une multiplication. C’est le cas pour les trois problèmes ci-dessous :

— « Un terrain rectangulaire a une longueur de 78,7 m et une largeur 4 fois plus
  courte que la longueur.
  Quelle est la largeur de ce terrain ? »

— « Avant travaux, il y avait 550 places assises dans les tribunes du stade. Il y en
  a maintenant 1 650. Pierre dit qu’il y a maintenant 2 fois plus de places assises.
  A-t-il raison ? »
— « Une grande bouteille contient 5 fois plus de parfum qu’un flacon. La grande
  bouteille contient 0,75 L de parfum.
  Quel volume de parfum contient le flacon ? »



31 — Nombre sans unité.
32 — Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Nello, Maria Marino, “The Role
of Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and Division”,
Journal for Research in Mathematics Education, n° 16, 1985.
  27 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

 De manière analogue, « fois moins » pourra conduire à une division ou une multi­
 plication selon les cas.

 LES PROBLÈMES METTANT EN JEU UN PRODUIT CARTÉSIEN
 Le produit cartésien de deux ensembles est l’ensemble de tous les couples dont la
 première composante appartient au premier ensemble et la seconde au second
 ensemble. Par exemple : « Une poupée est livrée avec 4 pantalons et 12 tee-shirts.
 De combien de façons est-il possible d’habiller la poupée ? »

 L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples constitués d’un pantalon et d’un
 tee-shirt, c’est-à-dire l’ensemble des tenues complètes que l’on peut constituer.
 On peut représenter l’ensemble de ces solutions en construisant un arbre ou un
 tableau. Par exemple, le tableau ci-dessous donne toutes les tenues possibles pour
 la poupée et permet de les énumérer.
                                           12 tee-shirts
4 pantalons




 Ce problème peut être résolu en dénombrant les éléments du tableau, mais il peut
 aussi être résolu plus directement, sans passer par une énumération des différentes
 tenues. Ce problème est en effet un problème multiplicatif à une étape : la réponse
 au problème est apportée par la multiplication 12 x 4. Cependant, modéliser ce pro-
 blème par une multiplication ne va pas de soi tant que la multiplication est simplement
 associée aux situations où une même quantité est répétée plusieurs fois : ici, l’énoncé
 ne fait pas apparaître de répétitions. Le tableau ci-dessus permet néanmoins de
 faire le lien avec le sens « addition itérée » de la multiplication : par exemple, on peut
 considérer que pour chacun des 12 tee-shirts, on peut choisir un des 4 pantalons,
 ce qui donne 12 x 4 tenues possibles. De plus, de la même manière, on peut consi-
 dérer que pour chacun des 4 pantalons, on peut choisir un des 12 tee-shirts, ce qui
 donne 4 x 12 tenues possibles. Ces deux façons de choisir répondent bien au même
 problème ; on a donc 4 x 12 = 12 x 4.

 Cet exemple illustre le fait que les problèmes impliquant des produits cartésiens
 sont généralement difficiles à résoudre pour les élèves, car ils sont en décalage
 avec la conception intuitive de la multiplication comme addition itérée33. Ils facilitent
 cependant la compréhension de la propriété de commutativité de la multiplication.


 33 — Ibid, p. 26, note 32.
28 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Le problème suivant, dans lequel une collection d’objets est organisée selon un
quadrillage régulier, relève de la même catégorie de problèmes.

    « Le salon est rectangulaire, son carrelage est composé de carreaux carrés
    tous de la même taille. Il y a 27 carreaux dans le sens de la largeur et 42 dans
    le sens de la longueur.
    Combien y a-t-il de carreaux sur le sol du salon ? »

Chaque carreau du carrelage peut être identifié de façon unique par sa position
dans le sens de la largeur (ligne) et sa position dans le sens de la longueur (colonne).

Réciproquement, la connaissance du tout et d’une des valeurs du produit cartésien
permet de proposer des problèmes dans lesquels une division ou une multiplication
à trou doit être menée.

— « Le salon est rectangulaire, son carrelage est composé de carreaux carrés tous
  de la même taille. Il y a 1 134 carreaux en tout dans la pièce. Il y a 27 ­carreaux
  dans le sens de la largeur.
  Combien y a-t-il de carreaux dans le sens de la longueur ? »
— « Une poupée est livrée avec 13 pantalons différents et des tee-shirts tous différents.
  Léo a trouvé que 91 tenues différentes sont possibles pour habiller la poupée.
  Combien de tee-shirts y a-t-il ? »

LES PROBLÈMES METTANT EN JEU UN PRODUIT DE DEUX GRANDEURS
Le produit cartésien précédent peut être généralisé au produit de deux grandeurs,
comme dans l’exemple ci-dessous :

    « Un terrain rectangulaire a une longueur de 38,7 m et une largeur de 15 m.
    Quelle est l’aire de ce terrain ? »

Des problèmes impliquant des vitesses peuvent entrer dans cette catégorie, même
s’ils sont le plus souvent traités comme des problèmes de proportionnalité.

    « Un train roule à la vitesse constante de 258 km/h.
    Quelle distance va-t-il parcourir en un quart d’heure ? »

Au collège, ces problèmes seront plus fréquents avec la rencontre de grandeurs
quotients et de grandeurs produits (m/s, wattheure, kg/m3, etc.). De façon analogue
aux cas précédents, la recherche d’un des facteurs du produit conduit à effectuer
une division.

    « L’aire d’un rectangle est 259 cm². Sa largeur est 14 cm.
    Quelle est la longueur de ce rectangle ? »
    29 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


Les problèmes en plusieurs étapes

    Les problèmes en plusieurs étapes sont les problèmes verbaux à données numé-
    riques nécessitant plusieurs calculs successifs (chaque calcul correspondant à une
    étape) pour obtenir le résultat cherché. Il n’y a pas de véritable tâtonnement pour
    ces problèmes, au sens d’essais, même si des choix peuvent être opérés, notamment
    sur le chemin à suivre pour obtenir le résultat. Il est nécessaire de bien comprendre
    les relations entre les données de l’énoncé et ce qui est recherché, afin de construire
    un modèle mathématique de la situation et d’organiser les différents calculs à mener.
    Il faut ensuite réaliser les calculs retenus et interpréter le résultat.

    Les problèmes en plusieurs étapes sont un objectif majeur de l’enseignement
    de la résolution de problèmes verbaux à données numériques au cours moyen.
    Ils ­permettent de mieux s’assurer d’une compréhension satisfaisante par les élèves
    du sens des quatre opérations rencontrées à l’école élémentaire. En évitant
    de réduire la résolution de problèmes au fait de « trouver LA bonne opération »,
    ils renforcent la centration des élèves sur la compréhension de l’énoncé et la
    modélisation du problème. La multiplicité des réponses possibles limite fortement
    la possibilité de choisir une opération au hasard et permet ainsi de renforcer la
    garantie de la maîtrise suffisante des connaissances et compétences requises
    lorsqu’un élève a trouvé la bonne réponse.

    La difficulté des problèmes en plusieurs étapes n’est pas la simple somme des
    difficultés des sous-problèmes en une étape qui les composent. En effet, à cette
    somme s’ajoute la difficulté de la mise en relation de ces différents sous-problèmes
    élémentaires.

    L’exercice issu de l’évaluation Timss 2015 proposé dans l’introduction est un pro-
    blème en deux étapes.

        « Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zed.
        Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
        Julien a 4 zeds.
        Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? »

    Une première étape peut consister à calculer le coût total des deux bouteilles
    (1,87 zed + 3,29 zeds) et la seconde étape conduit à calculer la différence entre
    la somme trouvée et 4 zeds. Ce problème peut être qualifié de problème additif
    en plusieurs étapes, car toutes les étapes consistent en des additions ou des
    soustractions.

    Voici quelques exemples supplémentaires de problèmes en plusieurs étapes pouvant
    être rencontrés au cours moyen :

    — « Lydia achète 5 billets de cinéma à 7,30 €. Elle donne un billet de 50 € à l’employé
      de caisse.
      Combien celui-ci va-t-il lui rendre ? »
30 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Pour ce problème en deux étapes, on peut commencer par calculer le prix à payer
en effectuant une multiplication ou une addition puis, dans un deuxième temps,
soustraire le résultat trouvé à 50 €.

— « Hugo vient d’acheter un paquet d’un kilogramme de farine. Il utilise 1 du paquet
                                                                         4
  pour faire un gâteau et  1 du paquet pour faire une sauce Béchamel.
                          10
  Quelle masse de farine reste-t-il dans le paquet ? »

On peut considérer que ce problème est en quatre étapes, puisqu’il peut se résoudre
en cherchant la masse de farine utilisée pour le gâteau et la masse de farine utilisée
pour la sauce Béchamel, puis la masse totale utilisée avant de calculer la masse
restante dans le paquet (on peut aussi soustraire successivement les deux masses
de farine utilisée au kilogramme initial).

— « Un supermarché a commandé une palette de barquettes de fraises. La palette
  est constituée de douze étages de cageots et il y a 5 cageots sur chaque étage.
  Dans chaque cageot, il y a 12 barquettes de 400 g de fraises.
  Quelle masse de fraises y a-t-il sur la palette ? »

Ce problème est un problème multiplicatif en trois étapes, qui peuvent dépendre des
choix faits lors de la modélisation. Il n’y a que des multiplications à réaliser.

Pour résoudre des problèmes en une étape, les élèves s’appuient généralement sur
des problèmes similaires résolus précédemment. Ils développent ainsi des habi-
letés à traiter ces problèmes avec rapidité et efficacité. Les problèmes en plusieurs
étapes, étant donné leur variété, obligent les élèves à élaborer leur propre stratégie
conduisant à renforcer leurs habiletés de résolution de problèmes qui s’appuient
notamment sur les connaissances développées en résolvant des problèmes en une
étape : comprendre l’énoncé, chercher pour modéliser (faire des analogies, faire un
schéma, faire des essais, expérimenter, essayer en remplaçant certaines valeurs
numériques par d’autres plus simples, etc.), calculer et répondre. De façon symé-
trique, la résolution de problèmes en plusieurs étapes va permettre de renforcer
les habiletés de résolution de problèmes en une étape.

Les problèmes en plusieurs étapes permettent aussi au professeur de mieux
évaluer les compétences développées par les élèves, en limitant les faux positifs,
c’est-à-dire les bonnes réponses obtenues par hasard ou encore en s’appuyant
sur autre chose que la compréhension de la situation : utilisation de l’opération
travaillée spécifiquement pendant la semaine ; opération choisie parce qu’elle est
la mieux maîtrisée ; opération choisie en fonction d’un mot particulier de l’énoncé
comme « plus », « moins » ou « fois » ; opération choisie en fonction des entités présentes
dans le texte comme une division pour un énoncé mettant en scène des tables et des
chaises, etc. En résumé, les problèmes en plusieurs étapes, de par leur diversité,
limitent les résolutions s’appuyant principalement sur des indices non pertinents.
    31 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


Les problèmes atypiques

    Par définition, la catégorie des problèmes atypiques est la plus difficile à circons-
    crire. Elle comprend l’ensemble des problèmes verbaux à données numériques que
    doivent pouvoir traiter les élèves de cours moyen, et qui ne rentrent pas dans les
    catégories des problèmes en une ou plusieurs étapes mentionnées précédemment.

    Cette catégorie de problèmes est la moins centrale au cours moyen. Elle est lon-
    guement développée dans ce paragraphe, car relativement complexe à circonscrire
    et à maîtriser. Cependant, la longueur de ce paragraphe ne doit être pas interprétée
    abusivement : le cœur de l’activité de résolution de problèmes au cours moyen est
    l’apprentissage de la résolution de problèmes en plusieurs étapes.

    Il est bien évidemment impossible d’envisager tous les problèmes relevant de cette
    catégorie pouvant être proposés en classe de cours moyen, et a fortiori d’en pro-
    poser une classification exhaustive.

    Outre les notions mathématiques en jeu, la résolution des problèmes atypiques
    doit permettre aux élèves de développer des compétences transversales, comme
    l’autonomie, la prise de décisions, la créativité, etc., qui leur seront utiles pour la
    suite de la scolarité et dans leur vie quotidienne. Elle doit aussi permettre aux élèves
    de rencontrer un certain nombre de stratégies et de types de raisonnements qu’ils
    pourront transposer, en les adaptant autant que nécessaire, dans la résolution
    d’autres problèmes atypiques.

    S’il n’est pas possible de faire une classification exhaustive des problèmes atypiques
    que peuvent rencontrer des élèves de cours moyen, il existe néanmoins des familles
    de situations classiques que les élèves doivent avoir rencontrées. La rencontre de
    ces différentes familles ne doit pas être le fruit du hasard mais doit, au contraire,
    être parfaitement organisée de façon à ce que les élèves puissent faire le lien entre
    un problème à résoudre et un problème proche déjà traité précédemment, afin de
    s’inspirer de la méthode de résolution utilisée pour résoudre le nouveau problème
    qui leur est présenté. Pour que les élèves soient en mesure de mettre en œuvre,
    lors de la résolution de nouveaux problèmes, des stratégies déjà éprouvées avec
    succès lors de la résolution de problèmes antérieurement travaillés, il est crucial
    de mettre l’accent sur des indices pertinents susceptibles de guider la mémorisation
    puis l’évocation de ces problèmes.

    Quatre familles de problèmes atypiques pour lesquelles les élèves doivent avoir
    bénéficié d’un enseignement leur permettant d’acquérir des stratégies et des outils
    pour les résoudre sont considérées dans ce qui suit :

    —   les problèmes algébriques ;
    —   les problèmes de dénombrement ;
    —   les problèmes préparant à l’utilisation d’algorithmes ;
    —   les problèmes d’optimisation.
32 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Ces familles sont organisées de la plus fréquemment rencontrée à la plus rarement
rencontrée au cours moyen. D’autres types de problèmes atypiques peuvent
bien évidemment être proposés en classe afin que les élèves fassent preuve de
créativité en mobilisant leurs connaissances pour construire des procédures
de résolutions originales.



Les problèmes algébriques

Dans les exemples suivants, un problème mathématique de cours moyen sera
considéré comme étant algébrique s’il peut être traité au cycle 4 par l’écriture et
la résolution d’une ou de plusieurs équations du premier degré.

Exemple 1 : « Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes. Il y a
trois fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 7 billes vertes de moins
que de billes bleues. Combien y a-t-il de billes rouges ? »

Au cycle 4, ce problème peut être traité en désignant par v le nombre de billes vertes.
On en déduit qu’il y a 3v billes rouges et (v + 7) billes bleues et on obtient l’équation
à résoudre :
                           v + 3v + (v + 7) = 162

Différentes stratégies de résolution devant être mobilisables par des élèves de cours
moyen seront présentées ci-après.

Exemple 2 : « Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. Pour faire chercher
le nombre de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la ferme ? »

En classe de seconde ce problème pourra être traité en écrivant un système de
deux équations à deux inconnues. Au cycle 4, les collégiens utiliseront une unique
inconnue, par exemple p le nombre de poules ; le nombre de lapins se déduit alors
du nombre de têtes, il est de 40 – p. Le nombre de pattes permet alors d’écrire une
équation qui conduit à trouver la valeur de p et d’en déduire la solution du problème :

                          2 x p + 4 x (40 – p) = 114

Au cours moyen, ce type de problèmes peut être résolu de différentes façons, qui
seront appliquées dans la suite aux deux exemples précédents. Les principales sont :

— Par essais et ajustements : l’élève choisit une valeur pour le nombre ou l’un des
  nombres cherchés, puis l’injecte dans le problème pour voir si cette valeur convient ;
  si ce n’est pas le cas, il fait une autre hypothèse en ajustant avec un nombre plus
  ou moins grand en fonction du résultat obtenu, jusqu’à ce qu’une valeur convienne.
— Par un traitement pré-algébrique : l’élève produit ce qui s’apparente à une ou
  plusieurs équations qu’il manipule ensuite (combinaisons, substitutions) pour isoler
  une inconnue et en déterminer la valeur ; la représentation dite « en barres » est
  particulièrement adaptée à la résolution des problèmes algébriques à une inconnue.
— Par un raisonnement s’appuyant sur les résultats obtenus à partir d’une
  hypothèse : ce type de traitement peut, notamment, être utilisé pour traiter les
  problèmes algébriques avec deux inconnues et deux équations.
     33 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

      EXEMPLES DE RÉSOLUTIONS DES DEUX PROBLÈMES ALGÉBRIQUES PRÉCÉDENTS

             POUR CHACUNE DES TROIS STRATÉGIES DE RÉSOLUTION ENVISAGÉES


                Dans un paquet de billes            Dans une ferme, il y a des lapins
                rouges, vertes ou bleues,           et des poules. Pour faire chercher
                il y a 162 billes. Il y a           le nombre de poules et de lapins
                trois fois plus de billes           à son frère, Cindy lui dit
                rouges que de billes vertes         qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
                et 7 billes vertes de moins         Combien y a-t-il de poules et combien
                que de billes bleues.               y a-t-il de lapins dans la ferme ?
                Combien y a-t-il de billes
                rouges ?
                On suppose qu’il y a 10 billes      Comme il y a 40 têtes,
                vertes.                             il y a 40 animaux.
                3 x 10 billes = 30 billes           On peut commencer par supposer
                10 billes + 7 billes = 17 billes    que la moitié sont des lapins.
                Il y aurait alors 30 billes         40 – 20 = 20
                rouges et 17 billes bleues.
                                                    S’il y a 20 lapins, alors il y a 20 poules.
Par essais     10 billes + 30 billes + 17 billes    20 x 4 pattes + 20 x 2 pattes =
et ajustements = 57 billes                          120 pattes
               Il y aurait au total 57 billes,      Le nombre de pattes est alors de 120.
               ce qui n’est pas suffisant.          Cela fait trop de pattes ; 20 lapins,
                                                    c’est donc trop de lapins.
                On recommence avec
                un nombre plus grand                On recommence en supposant
                de billes vertes : on suppose       qu’il y a 15 lapins, etc.
                qu’il y a 20 billes vertes, etc.

                 Billes vertes                     Un rectangle foncé représente
                                                   le nombre de lapins et un rectangle
                Billes rouges                  162 clair le nombre de poules.
                                                                  40
                Billes bleues        7

                                                     Têtes lapins poules
                162 – 7 = 155
                Les 5 rectangles violet foncé                                114
                identiques correspondent
                                                    Pattes lapins lapins lapins lapins poules poules
                donc à 155 billes.
Par un
traitement                                                                      40 x 2 = 80
                155 ÷ 5 = 31
pré-
                Chaque rectangle violet             Les 4 rectangles sur la droite
algébrique
                correspond donc à 31 billes.        représentent deux fois le nombre
                Il y a donc 31 billes vertes.       de lapins plus deux fois le nombre
                                                    de poules, soit 2 x 40.
                3 x 31 = 93
                Il y a 93 billes rouges.            114 – 80 = 34
                                                    34 ÷ 2 = 17
                                                    Il y a 17 lapins.

                                                    40 – 17 = 23
                                                    Il y a 23 poules.
     34 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


                Dans un paquet de billes            Dans une ferme, il y a des lapins
                rouges, vertes ou bleues,           et des poules. Pour faire chercher
                il y a 162 billes. Il y a           le nombre de poules et de lapins
                trois fois plus de billes           à son frère, Cindy lui dit
                rouges que de billes vertes         qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
                et 7 billes vertes de moins         Combien y a-t-il de poules et combien
                que de billes bleues.               y a-t-il de lapins dans la ferme ?
                Combien y a-t-il de billes
                rouges ?
                On suppose qu’il y a 10 billes      Comme il y a 40 têtes, il y a
                vertes.                             40 animaux, on peut commencer
                Il y a alors 3 x 10 = 30 billes     par supposer que la moitié sont
                rouges et 10 + 7 = 17 billes        des lapins.
                bleues.                             S’il y a 20 lapins, alors il y a
                                                    40 – 20 = 20 poules.
             10 + 30 + 17 = 57
             162 – 57 = 105 ; il manque             Le nombre de pattes est alors
Par un       donc 105 billes pour atteindre         20 x 4 pattes + 20 x 2 pattes
raisonnement 162 billes.                            = 120 pattes.
déductif                                            120 pattes – 114 pattes = 6 pattes
s’appuyant   À chaque fois que j’ajoute             Cela fait 6 pattes en trop.
sur une      1 bille verte, j’ajoute 3 billes
hypothèse    rouges et 1 bille bleue.               En remplaçant un lapin par
             Cela fait donc 5 billes en plus.       une poule, cela fait deux pattes
             105 ÷ 5 = 21                           en moins. Il faut donc remplacer
                                                    3 lapins par 3 poules.
                Il faut ajouter 21 billes vertes    Il y a 17 lapins et 23 poules.
                et il y en aura alors 10 + 21
                = 31.
                Il y a alors 3 x 31 = 93 billes
                rouges.




     Les problèmes de dénombrement

     On considère ici des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments
     d’un ensemble qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une des quatre
     opérations, et qui, dans le second degré, pourront être résolus en mobilisant de
     nouvelles notions mathématiques (combinaisons, arrangements, etc.). Pour résoudre
     ces problèmes à l’école élémentaire, il va falloir trouver un moyen d’organiser les
     éléments de l’ensemble que l’on cherche à dénombrer pour obtenir la certitude d’avoir
     effectivement trouvé l’ensemble des solutions sans avoir compté plusieurs fois la
     même et sans en avoir oublié. Autrement dit, il s’agit de s’organiser pour énumérer
     sans répétition toutes les solutions d’un problème. Les arbres ou les tableaux se
     montrent particulièrement efficaces pour traiter ce type de problèmes.

     Exemple 1 : « Combien peux-tu écrire de nombres à deux chiffres en utilisant
     uniquement les chiffres 2, 3, 4 et 5 ? Le même chiffre ne peut être utilisé qu’une fois. »
35 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Un tableau permet de faire apparaître l’exhaustivité des 12 réponses trouvées :


                        2e chiffre        2             3             4    5
 1er chiffre
                 2                         -           23             24   25
                 3                        32            -             34   35
                 4                        42           43             -    45
                 5                        52           53             54   -



Exemple 2 : « Pour se déguiser, un clown
dispose de :
– 2 chapeaux (un rouge, un bleu) ;
– 3 tee-shirts (un violet, un noir, un orange) ;
– 2 pantalons (un gris, un vert).
Combien de costumes différents complets,
avec un chapeau, une veste et un pantalon,
le clown peut-il faire ?34 »

Pour ce problème de produit cartésien de
trois ensembles, l’utilisation d’un tableau
proposé dans le cas d’un produit cartésien
de deux ensembles n’est plus possible du fait
des trois entrées. Un arbre est sans doute le
moyen le plus efficace pour s’assurer de l’ex-
haustivité des 12 costumes complets trouvés.



Les problèmes préparant
à l’utilisation d’algorithmes

Ces problèmes consistent à rechercher des solutions vérifiant certaines conditions
parmi un ensemble de cas possibles. Il faut ainsi balayer tous les cas possibles
et tester, pour chacun de ces cas, s’il vérifie ou non les conditions attendues.
Un raisonnement en amont ou en parallèle des calculs peut parfois permettre de
restreindre les cas à tester. De tels problèmes pourront se traiter dans le second
degré en écrivant un programme permettant de balayer tous les cas possibles et de
tester, pour chacun d’eux, s’il vérifie ou non les conditions attendues.

Au cours moyen, on peut, par exemple, proposer le problème suivant :

    « Un rectangle a ses côtés qui ont pour longueur des nombres entiers de
    ­centimètres. Son aire est de 100 cm². Trouve toutes les dimensions possibles
     pour ce rectangle. »


34 — Problème librement inspiré de https://edu1d.ac-toulouse.fr/
politique-educative-31/ien31-toulouse-sud/files/2019/05/solutions_-
pb_chercher_%C3%A9nonc%C3%A9s-cycle-2-et-3.pdf
36 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

On cherche donc les couples de nombres entiers strictement positifs dont le produit
est 100. L’élève peut commencer par choisir une largeur de 1 cm et chercher s’il existe
une longueur qui convient, puis continuer avec une largeur de 2 cm, puis 3 cm, etc.
L’algorithme s’arrête au plus tard pour une largeur de 100 cm. L’élève peut s’arrêter
à 10 cm avec un argument sur la largeur inférieure à la longueur, ou sur le fait que
le produit de deux nombres supérieurs à 10 est plus grand que 100 et donc que le
travail mené avec les nombres de 1 à 10 permet de s’assurer de disposer de tous
les cas possibles.

Le nombre de cas possibles peut nécessiter un raisonnement en amont pour trouver
l’ensemble des solutions sans tester tous les cas possibles individuellement.

Exemple :
   « La somme des chiffres de l’année 2022 est 6.
   Trouve toutes les années entre l’an 2000 et l’an 3000 qui ont une somme de leurs
   chiffres égale à 6. »

Au cours moyen, un arbre permet de déterminer l’ensemble des solutions assez faci-
lement en établissant qu’aucun des trois derniers chiffres ne peut être supérieur à 4.

  Chiffres                  Chiffres                    Chiffres              Chiffres
 des milliers             des centaines               des dizaines           des unités
                                  4                         0                    0
                                                            1                    0
                                  3
                                                            0                    1
                                                            2                    0
                                  2                         1                    1
                                                            0                    2
                                                            3                    0
       2                                                    2                    1
                                  1
                                                            1                    2
                                                            0                    3
                                                            4                    0
                                                            3                    1
                                  0                         2                    2
                                                            1                    3
                                                            0                    4


Au collège, il est possible, avec Scratch par exemple, d’écrire un programme balayant
tous les nombres entre 2 000 et 3 000 et testant pour chacun d’eux si la somme de
ses chiffres est ou non égale à 6, comme celui ci-après35. L’intérêt est alors de pouvoir
résoudre rapidement des problèmes similaires, mais pour l­esquels le nombre
de solutions plus grand rend une recherche à la main fastidieuse ; par exemple,
en changeant la valeur de la somme cible, on peut trouver rapidement toutes
les années pour lesquelles la somme des chiffres est égale à 20.


35 — Un éditeur Scratch en ligne : https://scratch.mit.edu/projects/
editor/
37 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?




Dans certains cas, seules quelques solutions peuvent être demandées, sans que
l’objectif soit de rechercher l’exhaustivité. Par exemple : « Un enseignant veut faire des
groupes avec les 30 élèves de sa classe. Chaque groupe doit avoir le même nombre
d’élèves et chaque groupe doit avoir un nombre impair d’élèves. Donne deux façons
différentes que l’enseignant peut utiliser pour constituer les groupes.
Première façon
— Nombre de groupes :
— Nombre d’élèves dans chaque groupe :
Deuxième façon
— Nombre de groupes :
— Nombre d’élèves dans chaque groupe :36 »




36 — Ce problème est issu de l’évaluation internationale Timss 2019
proposée par l’IEA (International Association for the Evaluation of
Educational Achievement), https://timssandpirls.bc.edu/
38 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


Les problèmes d’optimisation

Les problèmes d’optimisation consistent à trouver la meilleure solution possible tout
en respectant un certain nombre de contraintes. On peut citer l’exemple classique
consistant à chercher les dimensions que doit avoir une boîte de conserve cylindrique
de contenance 1 L, permettant d’utiliser le moins de métal possible, c’est-à-dire dont
la surface extérieure est la plus petite possible. Ce problème est bien évidemment
irrésoluble en l’état par des élèves de cours moyen, cependant on peut, par exemple,
faire comparer les aires des surfaces extérieures de quelques emballages alimen-
taires ayant tous la même contenance et la forme d’un pavé droit.

De manière plus générale, au cours moyen, les problèmes d’optimisation consisteront
à trouver la meilleure solution possible parmi un ensemble fini de solutions, comme
dans le problème suivant : « Parmi les rectangles qui ont leurs côtés mesurant un
nombre entier de centimètres et dont le périmètre est 20 cm, détermine celui qui a
la plus grande aire. »

Au cours moyen, les problèmes d’optimisation peuvent également consister à trouver
la meilleure solution respectant plusieurs contraintes comme dans les problèmes
suivants :

— « Célia a 12 longueurs de fil, 40 perles rondes et 48 perles plates. Elle utilise
  1 longueur de fil, 10 perles rondes et 8 perles plates pour fabriquer 1 bracelet.
  Si Célia fabrique des bracelets tous identiques, combien peut-elle en fabriquer ?37 »
— « Lors d’une expédition en Amazonie, 21 voyageurs avec 45 caisses de matériel
  doivent utiliser une pirogue pour se rendre au point de départ de leur expé­
  dition. Le conducteur de la pirogue leur annonce qu’il ne peut transporter que
  5 voyageurs à la fois, car il n’a que 5 gilets de sauvetage en plus du sien. Pour des
  raisons de place dans la pirogue, il ne peut transporter que 7 caisses de matériel
  à la fois, quel que soit le nombre de personnes transportées.
  Combien faut-il prévoir de voyages en pirogue pour transporter l’intégralité des
  voyageurs et de leur équipement ? »

Pour chacun de ces deux problèmes, il faut effectuer un calcul de nombre de parts
pour chacune des données à prendre en compte. Pour le premier problème, c’est la
valeur minimale qui doit être retenue (Célia a des fils pour fabriquer 12 bracelets,
des perles rondes pour fabriquer 4 bracelets et des perles plates pour fabriquer
6 bracelets ; elle ne peut donc fabriquer que 4 bracelets). Pour le second problème,
c’est la valeur maximale qu’il faut retenir (pour transporter les voyageurs, il faut
prévoir 5 voyages et pour transporter le matériel, il faut prévoir 7 voyages ; il faudra
donc prévoir 7 voyages).




37 — Ce problème est issu de l’évaluation internationale Timss 2015
proposée par l’IEA (International Association for the Evaluation of
Educational Achievement), https://timssandpirls.bc.edu/
    40 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?


En résumé

   Pour résoudre des problèmes, les enfants comme
    les adultes s’appuient en priorité sur leur mémoire
    de problèmes résolus. L’enseignement de la résolution
    de problèmes a donc pour objectif d’engager les élèves
    dans la résolution d’une grande diversité de problèmes
    et de leur donner les moyens de repérer, parmi les problèmes
    résolus antérieurement, ceux susceptibles de les aider
    dans la résolution de nouveaux problèmes.


   Classer les problèmes n’est pas un objectif d’enseignement
    et n’est pas une tâche dévolue aux élèves. Une classification
    des problèmes permet au professeur de structurer
    son enseignement, afin de s’assurer que les problèmes
    traités couvrent l’ensemble du spectre des problèmes
    devant pouvoir être résolus par des élèves de cours moyen.


   Au cours moyen, le traitement de certains problèmes
    est quasi automatisé. Pour d’autres problèmes,
    en particulier une bonne partie des problèmes en plusieurs
    étapes et les problèmes atypiques, le traitement peut faire
    appel à une combinaison de stratégies utilisées dans divers
    problèmes avec une adaptation à la situation précise
    du problème.
                    II
Qu’est-ce que
résoudre un problème ?
            42 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


Ce chapitre a pour objectif de fournir un cadre permettant
de décomposer, en plusieurs phases, la résolution
de problèmes verbaux à données numériques. L’objectif
de cette décomposition en phases est de permettre d’analyser
finement les productions, orales ou écrites, de résolution
de problèmes des élèves, afin de pouvoir accompagner
le plus précisément possible leurs apprentissages
en intervenant spécifiquement, et de façon appropriée,
sur les points qui posent des difficultés à chacun d’entre eux.




Quatre phases fondamentales
pour la résolution de problèmes :
comprendre, modéliser, calculer
et répondre

            George Pólya, mathématicien américain d’origine hongroise et suisse, a été un des
            premiers à formaliser, dès 1945, une structure en plusieurs étapes du processus
            de résolution de problèmes : comprendre le problème, concevoir un plan, mettre
            le plan à exécution et examiner la solution obtenue38 . De nombreuses recherches
            menées depuis ont conduit à affiner le processus de résolution de problèmes.


« L’application des mathématiques pour résoudre des problèmes situés               Lieven ­Verschaffel,
dans le monde réel, également appelée modélisation mathématique,                   Erik De Corte,
peut être conçue comme un processus complexe comprenant plusieurs                  « La ­modélisation et la
étapes : la compréhension de la situation décrite ; la construction d’un           résolution des ­problèmes
modèle mathématique qui décrit l’essence de ces éléments et les relations          ­d’application : de
significatives impliquées dans la situation ; l’application du modèle               l’analyse à ­l’utilisation
mathématique pour identifier ce qui en découle ; l’interprétation du résultat       efficace », dans
des calculs afin de parvenir à une solution de la situation pratique qui a donné    ­Marcel Crahay, Lieven
lieu au modèle mathématique ; l’évaluation du résultat interprété en relation        ­Verschaffel, Erik De Corte,
à la situation d’origine ; et la communication des résultats interprétés. »           Jacques ­Grégoire
                                                                                      (dir.), ­Enseignement
                                                                                      et ­apprentissage
                                                                                      des mathématiques.
                                                                                      Que disent les ­recherches
                                                                                      ­psychopédagogiques ?,
                                                                                       De Boeck, Bruxelles, 2008.


            38 — George Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod,
            Paris, 1965.
43 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Un modèle fréquemment cité dans les recherches actuelles est celui de Lieven
­Verschaffel et Erik De Corte39 reproduit ci-dessous.

                                  Connaissance                           Les buts de
                                  du phénomène                           modélisation




         Phénomène           Compréhension               Type               Modélisation             Modèle
         à investiguer                               de situation                                 mathématique




                                                                                                        Analyse mathématique
                                                            Évaluation
                                Possibilié
                                de retour                                   Ressources
                               dans le cycle




          Résultats          Compréhension
                             Communication            Résultats             Modélisation
                                                                           Interprétation          Dérivation
        communiqués                                  interprétés                                   du modèle




                                                                            Comparaison
                                Exigences                                     avec des
                                de la tâche                                   modèles
                                                                             alternatifs


Figure 3. Vision élaborée du processus de résolution selon Lieven Verschaffel et Erik De Corte.



Ce modèle permet d’appréhender la complexité de la tâche des élèves pour
résoudre les problèmes qui leur sont proposés ainsi que celle des professeurs
pour analyser les difficultés rencontrées par les élèves et leurs éventuelles erreurs
lors de ces résolutions.

Dans un souci de simplification, un modèle en quatre phases, fortement inspiré du
modèle de Lieven Verschaffel et Erik De Corte, est retenu dans ce guide pour analyser
les productions des élèves lors de la résolution de problèmes verbaux à données
numériques : comprendre, modéliser, calculer, répondre.




39 — Lieven Verschaffel, Erik De Corte, « La modélisation et la résolution
des problèmes d’application : de l’analyse à l’utilisation efficace »,
in Marcel Crahay, Lieven Verschaffel, Erik De Corte, Jacques Grégoire
(dir.), Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que disent
les recherches psychopédagogiques ?, De Boeck, Bruxelles, 2008.
44 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


                                                Problème
                                                  verbal
                                                 e
                                               dr
                                           pren
                                          m
                                        Co

                          Situation             Modéliser             Modèle
                          comprise                                 mathématique

                           Régulation




                                                                            Calculer
                        Réponse                 Répondre              Résultat
                      communiquée                                    des calculs



                        Monde réel                       Domaine des mathématiques
Figure 4. Modèle en quatre phases retenu pour la résolution de problèmes.



Ce modèle est présenté en quatre phases successives, mais il est clair qu’au cours
de chacune des phases, des régulations sont mises en œuvre et peuvent conduire
à revenir sur les phases précédentes pour confirmer ou infirmer ce qui a été mené
antérieurement : « Je n’arrive pas à trouver les calculs qu’il va falloir effectuer.
Ai-je vraiment bien compris ce problème et ce qui est demandé ? » ; « Les calculs me
conduisent à un résultat irréaliste. Ai-je bien compris le problème ? Ne me suis-je
pas trompé dans le choix de mon opération ou dans mes calculs ? » ; « Ma conclusion
n’a pas de sens, car le résultat trouvé est beaucoup trop grand. Ne me suis-je pas
trompé dans mes calculs ? » ; etc. Cette présentation linéaire ne doit donc pas conduire
à négliger les allers-retours entre chaque phase.



Comprendre

Un problème est en premier lieu une histoire qu’il va falloir comprendre ; mais cette
histoire se distingue des histoires que peuvent rencontrer les élèves dans d’autres
contextes, sur deux points en particulier :

— La compréhension doit être fine. Si une compréhension globale et approximative
  peut être suffisante dans d’autres cadres, en résolution de problèmes une telle
  compréhension risque de ne pas être suffisante pour apporter une réponse
  correcte au problème.

     Par exemple, en lisant les phrases « Ambre en a 3 de plus que Nour » ou « Ambre
     en a 3 fois plus que Nour » dans un problème, il ne suffit pas de comprendre
     qu’Ambre a plus de ce dont on parle que Nour, mais il faut comprendre préci-
     sément le sens des expressions « de plus que » ou « fois plus que » qui change
     drastiquement la nature de la relation entre les deux cardinaux. Dans d’autres
     cadres, non scolaires notamment, avoir compris qu’Ambre en a plus que Nour
     pourra en revanche s’avérer suffisant.
            45 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

            — Il y a une question. Cette question est essentielle et il faut également la com-
              prendre pour déterminer une nouvelle information numérique généralement
              précisée par cette question. Qu’est-ce que l’on cherche ? Quelle est la nature de
              ce que l’on cherche ?
              Par exemple, pour le problème suivant rencontré dans le premier chapitre :
              « Arthur a acheté des bouteilles identiques d’huile d’olive. Chaque bouteille
              contient 0,75 L d’huile d’olive et il a acheté 4,5 L d’huile d’olive en tout. Quel est le
              nombre de bouteilles d’huile d’olive achetées par Arthur ? », ce que l’on cherche
              est le nombre de bouteilles achetées par Arthur ; le résultat sera le cardinal d’un
              ensemble, il s’agira d’un nombre entier.

            Les processus en jeu dans la compréhension de textes étudiés en français inter-
            viennent également pour la compréhension d’un problème en mathématiques.


« La compréhension des idées et de leur cohérence n’est jamais la simple            La Compréhension
addition de la signification des mots composant le texte, ni de celle               au cours moyen,
des phrases successives. Elle suppose […] de comprendre comment                     collection « Les guides
les idées sont liées et se répondent d’une phrase à l’autre (cohérence              fondamentaux pour
locale) et comment les thèmes et sous-thèmes, les idées essentielles,               enseigner », ­ministère
s’organisent logiquement (cohérence globale).                                       de l’Éducation nationale,
                                                                                    de la Jeunesse
– La cohérence (ou cohésion) locale renvoie aux relations qu’entretiennent
                                                                                    et des Sports, 2022.
les informations énoncées d’une phrase à l’autre. Cette cohésion permet
de percevoir la continuité et la progression du/des thème(s) abordé(s).
La fonction référentielle des déterminants, des pronoms, et plus
généralement des substituts du nom assure la continuité de l’enchaînement
des énoncés, tandis que les connecteurs et les signes de ponctuation
marquent la progression thématique. Ces marques de cohésion sont
des instructions qui indiquent au lecteur les relations à établir entre
les énoncés. Elles facilitent donc la compréhension, à condition que
leur fonctionnement et leur signification soient maîtrisés.
– La cohérence globale concerne la compréhension de l’organisation du texte
dans son ensemble : les thèmes et sous-thèmes développés, leur organisation
logique, leur relation aux conditions de l’énonciation ainsi qu’aux connaissances
du lecteur.

Cette élaboration sollicite dans un temps bref, et souvent simultanément,
des connaissances et des mécanismes cognitifs nombreux et de natures
différentes. »



            Exemple : « Lise et Simon ont ramassé 72 coquillages sur la plage. Simon en a 12 de
            moins que sa sœur dans son seau. Combien de coquillages Lise a-t-elle ramassés ? »

            La cohérence locale permet de faire des liens fins entre les phrases. Elle permet
            de comprendre que le 12 de la deuxième phrase fait référence à des coquillages,
            bien que le mot n’apparaisse pas dans la phrase, les coquillages étant mentionnés
            à travers le pronom « en ». Le lecteur comprend aussi que la sœur mentionnée n’est
            autre que Lise. Il comprend aussi que Lise a ramassé plus de coquillages que son
            frère Simon et qu’elle en a exactement 12 de plus que lui.
46 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

La cohérence globale permet de visualiser une scène se déroulant à la plage. Ceux qui
ne vivent pas en bord de mer pourront y voir des vacances estivales, d’autres se
représenteront une activité de pêche dominicale ou un moment de détente. S’il est
probable que la plupart des lecteurs y voient l’histoire de deux enfants, rien ne le
dit : Lise et Simon peuvent être adultes, par exemple un frère et une sœur retraités.
Selon leur vécu, les lecteurs peuvent imaginer une séance de pêche aux coques ou
aux bigorneaux, ou simplement le ramassage de coquilles vides sur la plage, avec
deux enfants munis chacun d’un petit seau en plastique. Mais, indépendamment de
cette diversité d’interprétations, ce qui compte pour la résolution du problème est
de comprendre que l’on s’intéresse au cardinal de deux collections, l’une associée
à Simon et l’autre à sa sœur Lise.

Les textes des énoncés de problèmes en mathématiques sont relativement courts.
On peut donc penser que le manque de fluidité de lecture n’est pas un fort obstacle
pour les élèves de cours moyen qui ont acquis le niveau attendu en fin de cycle 240,
voire également pour ceux qui ont un niveau de fluidité de lecture légèrement inférieur
à ce niveau attendu. Mais il le sera sans doute pour les élèves n’ayant pas atteint le
niveau attendu en lecture en fin de CE141 . Dans ce cas, une ou plusieurs lectures
à voix haute de l’énoncé peuvent leur être faites, par le professeur ou par un élève
voisin. L’objectif est que l’élève concerné puisse se consacrer pleinement à la réso-
lution de problèmes, en étant le moins entravé possible par ses difficultés en lecture.

Les capacités d’inférence sont ainsi essentielles pour la bonne compréhension des
problèmes, notamment parce que l’utilisation de pronoms est fréquente, même dans
des énoncés très courts.

    « Camille avait 4,35 €. Son frère lui a donné 2,80 €. Combien d’argent a-t-elle
    maintenant ? »

Il faut comprendre ici que le « elle » de la question fait référence à Camille qui est
donc une fille et que le « lui » de la deuxième phrase fait également référence à cette
même Camille.

Les capacités d’inférence sont aussi essentielles pour comprendre les énoncés de
problèmes mathématiques en présence de catégories englobantes :

— « J’ai acheté 6,4 kg de pommes et 3,8 kg de poires. Quelle est la masse de fruits
  achetés ? »
— « Gabin a réalisé un bouquet de fleurs. Un quart sont des roses, un tiers sont des
  œillets et les 10 autres fleurs sont des marguerites. Combien y a-t-il de fleurs
  dans le bouquet de Gabin ? »

Il faut ici comprendre que le mot « fruits » fait référence aux pommes et aux poires
et que le mot « fleurs » fait référence aux roses, aux œillets et aux marguerites.




40 — 90 mots correctement lus par minute.
41 — 70 mots correctement lus par minute.
47 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Cette compréhension est nécessaire pour la résolution de ces problèmes. Elle est
en particulier indispensable pour reconnaître une structure composée d’un tout et
de parties, puis la possibilité d’une addition pour calculer la valeur du tout à partir
de celle des parties, ou d’une soustraction pour calculer la valeur d’une partie en
connaissant celle du tout et des autres parties. Ces inférences liées aux structures
mathématiques vont avoir un rôle tout particulier sur les modélisations envisageables
par les élèves 42 .

« Impliquées à tous les niveaux de traitement du texte, l’auto-évaluation et la régulation
jouent un rôle particulier dans la saisie de la cohérence globale. Elles contribuent
à construire une représentation unifiée de l’ensemble des informations énoncées,
en rendant compréhensible au lecteur leur organisation. Elles lui permettent de
repérer et se représenter logiquement, au fur et à mesure de la lecture, comment
s’organisent »43 les données du problème. L’auto-évaluation permet de détecter
un éventuel défaut de compréhension et la régulation est destinée à surmonter la
difficulté décelée.

L’auto-évaluation et la régulation doivent permettre aux élèves de s’assurer que le
problème fait sens pour eux lors de cette phase de compréhension. De nombreux
chercheurs considèrent que les élèves ignorent trop souvent le monde réel lors de
la résolution de problèmes 44 . Il est donc utile de leur proposer, de temps en temps,
des problèmes nécessitant un ancrage fort dans le monde réel. Cela les conduira
à prendre un certain recul sur les données numériques en jeu, comme dans le
problème suivant :

    « Maëlys a acheté 4 planches de 2,5 mètres de long chacune. Combien de planches
    de 1 mètre de long peut-elle scier à partir de ces planches ? »

La simple reconnaissance d’un problème multiplicatif sans s’appuyer sur la situation
dont il est question, qui exclut d’accoler entre elles des planches de 0,5 mètre de long,
peut conduire certains élèves à calculer 4 x 2,5 m45.

On peut aussi leur proposer des problèmes de recherche du nombre de parts pour
lesquels le quotient n’est pas la réponse, car le reste non nul doit être pris en compte,
comme pour le problème suivant :

    « Pour une course d’orientation, les 245 élèves de l’école et leurs 38 accom­
    pagnateurs doivent être transportés par car. Un car peut transporter
    46 ­passagers. Combien de cars la directrice doit-elle réserver pour pouvoir
    transporter tous les élèves et tous les accompagnateurs ? »




42 — Hippolyte Gros, Jean-Pierre Thibaut, Emmanuel Sander,
“Semantic Congruence in Arithmetic: A New Conceptual Model for Word
Problem Solving”, Educational Psychologist, n° 55, 2020.
43 — La Compréhension au cours moyen, collection « Les guides
fondamentaux pour enseigner », ministère de l’Éducation nationale,
de la Jeunesse et des Sports, 2022.
44 — Brian Greer, “The Mathematical Modeling Perspective on Wor(l)d
Problems”, The Journal of Mathematical Behavior, n° 12, 1993.
45 — Lieven Verschaffel, Erik De Corte, Sabien Lasure, “Realistic
Considerations in Mathematical Modeling of School Arithmetic
Word Problems”, Learning and Instruction, Vol. 4, 1994.
48 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


Modéliser

La modélisation est le « processus par lequel l’individu convertit les données des
situations réelles en problème mathématique »46 . Dans le cadre de la résolution
des problèmes verbaux à données numériques à l’école élémentaire, la phase
« modéliser » aboutit à déterminer, en s’appuyant sur d’éventuelles représentations
(dessins, schémas, tableaux, arbres, etc.), quelles opérations devront être effectuées
dans la phase suivante pour répondre à la question posée. Cette phase, tributaire
de la compréhension, est centrale lors de la résolution de problèmes.

Pour un élève de cours moyen, la phase « modéliser », pour résoudre l’exercice
issu de Timss proposé dans l’introduction, « Une bouteille de jus de pomme coûte
1,87 zed. Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds. Julien a 4 zeds. Combien
de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? », conduit à
établir, à partir de la situation, c’est-à-dire l’histoire d’un garçon qui veut acheter
deux bouteilles de jus de fruit mais qui n’a pas assez d’argent, que le prix des deux
bouteilles peut être déterminé par l’addition 1,87 zed + 3,79 zeds, et que la somme
d’argent supplémentaire dont Julien a besoin, vue comme un écart ou comme un
reste après un retrait selon la représentation de la situation que se fait l’élève, peut
être calculée en soustrayant 4 zeds à la somme obtenue. Cette modélisation n’est
pas simple pour certains élèves, comme en atteste en particulier le faible taux de
réussite des élèves français à cet exercice.

De façon générale, quatre des « six compétences majeures de l’activité mathé­
matique » 47 mises en exergue dans les programmes des cycles 2, 3 et 4 sont
mobilisées lors du passage de la situation comprise à partir de l’énoncé au modèle
mathématique retenu pour résoudre le problème. Cette mobilisation peut être
observée en s’appuyant sur l’exemple précédemment proposé.

— La compétence « chercher » s’appuie en premier lieu sur la confiance qu’ont les
  élèves en leur aptitude à trouver la solution. Cette assurance se renforce par
  une pratique fréquente de la résolution de problèmes avec des propositions de
  problèmes adaptés aux compétences que les élèves ont développées, mais aussi
  par des retours positifs du professeur lors des recherches menées en résolution
  de problèmes.
— La compétence « représenter » peut soutenir l’activité de modélisation de l’élève.
  Elle permet de faire le lien entre le texte du problème et ses caractéristiques
  mathématiques. En effet, un schéma permet de rendre visibles les relations entre
  les grandeurs présentes dans l’énoncé et leur relation avec ce qui est cherché.




46 — Marcel Crahay, Lieven Verschaffel, Erik De Corte, Jacques
Grégoire, Enseignement et apprentissage des mathématiques
(Introduction), De Boeck Supérieur, Bruxelles, 2008.
47 — chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner
et communiquer.
49 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

    Voici, par exemple, un schéma en barres correspondant à la situation de
    comparaison proposée :

           Jus de pomme                                   Jus d’orange
              1,87 zed                                     3,29 zeds


                         Argent de Julien                              Ce qu’il manque
                             4 zeds                                            ?



    Des recherches récentes48 ont montré que la construction de représentations
    schématiques s’avère être un dispositif efficace à proposer aux élèves, y compris
    pour des formes de problèmes jamais rencontrées. Ces recherches ont également
    mis en avant cette efficacité pour les élèves rencontrant des difficultés en mathé-
    matiques. Cette construction favorise l’accès aux mathématiques par l’analyse
    de la structure mathématique sous-jacente et prépare au passage à l’algèbre.

    La compétence « représenter » ne se développe pas de façon spontanée chez les
    élèves : il ne suffit pas d’inviter chaque élève à effectuer le dessin ou le schéma
    « qui lui convient ». Elle se développe au contraire par un enseignement construit
    et structuré sur plusieurs années visant à faire acquérir aux élèves des outils
    pour construire des représentations efficaces et porteuses de sens facilitant la
    modélisation.

— La compétence « raisonner » est fortement mobilisée dans cette phase
  de modélisation, comme dans chacune des quatre phases de la résolution de
  problèmes présentées dans ce chapitre, pour analyser la situation en utilisant
  ses connaissances afin d’établir un modèle mathématique adapté. Des inférences
  doivent en effet être réalisées à partir des éléments fournis par l’énoncé
  du problème et parfois des hypothèses émises en amont de ces inférences.
  Les raisonnements menés doivent conduire à un travail, guidé par l’enseignant
  dans un premier temps, sur la structuration de la langue en mobilisant des
  connecteurs comme « donc » ou « parce que ».




48 — Annick Fagnant, Joëlle Vlassis, “Schematic Representations
in Arithmetical Problem Solving: Analysis of Their Impact on Grade 4
Students”, Educational Studies in Mathematics, n° 84, 2013.
Annie Savard, Elena Polotskaia, « Gérer l’accès aux mathématiques
dans la résolution de problèmes textuels : une exploration du côté
de l’enseignement primaire », Éducation et francophonie, 2014.
Elena Polotskaia, “How the Relational Paradigm Can Transform
the Teaching and Learning of Mathematics: Experiment in Quebec”,
International Journal for Mathematics Teaching and Learning,
Vol. 18, n° 2, 2017.
Berinderjeet Kaur, “The Why, What and How of the ’Model’ Method:
A Tool for Representing and Visualising Relationships When Solving
Whole Number Arithmetic Word Problems”, ZDM – Mathematics
Education, n° 51, Springer, 2018.
50 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

— La compétence « modéliser » n’est pas l’aboutissement de cette deuxième phase,
  mais en est au cœur. La compétence « représenter » qui peut se manifester
  par la réalisation d’un dessin ou d’un schéma ne précède pas la compétence
  « modéliser ». Pour notre exemple, avant même de pouvoir commencer à faire le
  schéma, l’élève doit reconnaître qu’il s’agit d’une situation de comparaison avec
  d’un côté ce qui est dépensé et de l’autre l’argent possédé par Julien. Ce premier
  constat permet à l’élève de se lancer dans la construction d’un schéma avec deux
  barres mises en parallèle. L’élève doit ensuite percevoir que cette comparaison
  est additive, avec d’une part les dépenses, conçues comme la réunion de deux
  parties formant un tout, et d’autre part l’argent possédé, pour pouvoir compléter
  le schéma. Une fois celui-ci réalisé, l’élève dispose d’un support qui rend visibles
  les relations entre les données de l’énoncé ; ce schéma est alors une aide pour
  dégager des étapes possibles de résolution du problème et les traduire sous
  forme d’opérations : calcul d’un tout par une addition (1,87 zed + 3,29 zeds), puis
  calcul d’un écart par une soustraction (en soustrayant 4 zeds à la somme trouvée).

On comprend bien ici que c’est l’interaction permanente entre les différentes
« compétences majeures » qui permet d’aboutir au modèle mathématique recherché.



Calculer

La phase « calculer » est sans doute la plus simple à définir : il s’agit de la réa­
lisation, par les élèves, des calculs correspondant à la suite d’opérations découlant
de la modélisation. Si l’on revient au problème précédent des jus de fruits,
l’élève doit pouvoir trouver que 1,87 zed + 3,29 zeds est égal à 5,16 zeds et que
5,16 zeds – 4 zeds est égal 1,16 zed.

Cette phase peut s’avérer relativement simple, pour les élèves comme pour le
professeur qui doit accompagner leur travail, sous réserve que les contenus
relatifs aux attendus du programme de cycle 3 « utiliser et représenter les grands
nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux » et « calculer avec
des nombres entiers et des nombres décimaux » soient suffisamment maîtrisés.
Les élèves doivent, en effet, identifier les nombres en jeu dans l’énoncé quelle que soit
leur écriture (en lettres, décimale avec ou sans virgule, sous forme fractionnaire) et
disposer des connaissances et compétences techniques pour effectuer les calculs
attendus. Ces calculs peuvent être réalisés soit mentalement, soit en ligne, soit en
posant les opérations.

La résolution de problèmes va contribuer à renforcer la bonne maîtrise des tech-
niques de calculs attendues des élèves (calcul mental ou calcul posé).
51 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


Répondre

Pour cette dernière phase, les élèves doivent considérer les calculs effectués et
­interpréter le ou les résultats trouvés dans le contexte du problème. Ils doivent ensuite
 communiquer la réponse de façon compréhensible par tous. Cette interprétation et
 cette communication doivent être menées tout en effectuant une régulation par
 rapport à la situation telle que comprise initialement, pour s’assurer, d’une part, que la
 réponse apportée répond bien à la question posée et, d’autre part, que cette réponse
 est cohérente avec le contexte du problème, en particulier du point de vue de l’ordre
 de grandeur du résultat et du réalisme de la solution à laquelle la résolution aboutit.

Des critères extra-mathématiques doivent parfois être utilisés pour vérifier la cohé-
rence : par exemple un résultat donnant un nombre de passagers dans une voiture
supérieur à six, doit interroger les élèves. Des critères mathématiques permettent
également de vérifier cette cohérence : par exemple, un nombre total de passagers
répartis dans des voitures ayant chacune trois passagers doit être un multiple de
trois et doit donc avoir la somme de ses chiffres elle-même multiple de trois. À cette
occasion, on vérifiera si les connaissances extra-mathématiques, souvent acquises
dans la vie sociale, ou mathématiques, souvent acquises en classe, sont tout à la
fois présentes chez les élèves et mobilisées à bon escient, car faire le lien entre
les résultats obtenus par l’application d’un algorithme plus ou moins automatisé,
tel que le calcul d’une multiplication, et la compatibilité du résultat obtenu avec la
situation décrite dans l’énoncé est souvent une difficulté. Le problème « Maëlys a
acheté 4 planches de 2,5 mètres de long chacune. Combien de planches de 1 mètre
de long peut-elle scier à partir de ces planches ? » illustre cet enjeu, car il s’agit de
réinjecter le résultat obtenu par multiplication, de faire un constat d’incompatibilité
avec les contraintes de l’énoncé et d’envisager une nouvelle stratégie de résolution.

Lors de l’enseignement de la résolution de problèmes à l’école élémentaire, cette
phase « répondre » est souvent réduite à la demande d’écriture d’une phrase res-
pectant les canons usuels (une phrase complète, qui commence par une majuscule et
qui finit par un point, comprenant le nombre solution associé à son unité). La réflexion
sur la cohérence de la réponse est régulièrement négligée, alors qu’il s’agit d’une
phase essentielle pour s’assurer que l’élève répond bien à la question posée et pour
détecter d’éventuelles erreurs. Ceci peut être observé dans les réponses proposées
par les élèves au problème suivant :

    « Dans une ferme où l’on produit des œufs de poule, il y a ce matin 1 551 œufs
    qui vont devoir être mis dans des boîtes de 6 œufs. Combien faudra-t-il de boîtes
    pour pouvoir ranger tous les œufs ? »

Les élèves de cours moyen doivent comprendre assez facilement qu’il s’agit de
constituer des boîtes pleines d’œufs pour trouver le nombre de boîtes nécessaires.
Cette représentation de boîtes que l’on remplit peut d’ailleurs conduire certains
élèves à modéliser le problème par une suite de soustractions successives, la sous-
traction leur étant plus familière que la division et la division étant plus attachée
52 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

à la recherche de la valeur d’une part qu’à celle du nombre de parts 49. Une telle
­modélisation traduit bien la situation décrite dans l’énoncé et pourrait mener au
 résultat avec des nombres d’œufs plus petits, mais les nombres en jeu ont été
 choisis pour rendre le calcul quasi-impossible avec cette modélisation soustractive,
 conduisant ainsi les élèves à avoir recours à une modélisation par une division : il faut
 faire des « groupes » ou des « parts » de 6 œufs et chercher le nombre de groupes
 ou de parts. La modélisation aboutit ainsi à la recherche du quotient de la division
 de 1 551 par 6.

Un nombre de boîtes étant un entier, l’opération attendue est une division euclidienne.
Cependant, le reste de la division euclidienne étant non nul, certains élèves peuvent
poursuivre l’opération et effectuer une division décimale.

Voici quatre extraits de productions d’élèves :


          Élève 1                     Élève 2                      Élève 3                       Élève 4

          1 551               1 551            6           1 551            6            1 551        6
                          –                            –                             –
      x       6               12               2 585       12               258,5        12           258

          9 306                   35                           35                            35
                              –                            –                             –
                                  30                           30                            30

 Il faut 9 306 boîtes.                51                           51                            51
                                  –                            –                             –
                                      48                           48                            48
                                          30                           30                         3
                                      –                            –
                                          30                           30

                                          0                            0
                         Il faut 2 585 boîtes. La réponse                           Il faut 258 boîtes.
                                               est 258,5.


Lors de la phase « répondre », les élèves doivent interpréter le résultat trouvé dans
le contexte de la situation des boîtes d’œufs, en procédant à une régulation qui leur
permet d’avoir un regard critique sur leur traitement des phases antérieures. Il s’agit
à chaque fois de s’assurer de la compatibilité du résultat obtenu avec la situation
telle que comprise.

— L’élève 1 n’a vraisemblablement pas mené cette régulation qui aurait dû le
  conduire à rejeter un nombre de boîtes supérieur au nombre d’œufs. Ce regard
  critique sur le résultat aurait ainsi pu le conduire à remettre en question le modèle
  erroné retenu, à savoir une multiplication.
— L’élève 2 aurait dû rejeter la réponse trouvée pour la même raison, ce qui aurait
  pu le conduire à investiguer de nouveau les phases antérieures, par exemple en
  contrôlant son calcul en estimant un ordre de grandeur de 2 585 x 6, et repérer
  l’oubli de la virgule dans le quotient de la division posée.


49 — Sarah Squire, Peter Bryant, “From Sharing to Dividing: Young
Children’s Understanding of Division”, Developmental Science,
n° 5, 2002.
53 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

— L’élève 3 n’a vraisemblablement pas mené la régulation par rapport à la situation
  initiale qui consiste à se demander si le résultat trouvé répond bien à la question
  posée dans le problème. Un nombre de boîtes d’œufs doit en effet ­nécessairement
  être un entier. On voit ici l’importance de la prise en compte de la situation ­initiale
  dans la formulation de la phrase réponse : une formulation neutre comme
  « La réponse est » ne favorise pas la régulation attendue.
— Pour l’élève 4, la régulation manquante est plus fine. En effet, le résultat proposé
  est tout à fait vraisemblable. Mais si l’élève s’interroge plus en profondeur pour
  savoir si la solution proposée répond effectivement à la question posée, il doit se
  demander si les 258 boîtes permettent bien de ranger TOUS les œufs… Lors de
  cette régulation, l’élève aurait dû prendre en compte le quotient et le reste obtenus
  à l’issue de la division, et ne pas s’arrêter à la seule interprétation du quotient.

Cette régulation, qui s’inscrit dans le processus d’interprétation des calculs et de
communication de la réponse, doit permettre de repérer d’éventuelles erreurs
de modélisation ou de calculs, en faisant apparaître de possibles incohérences,
notamment en termes d’ordre de grandeur.

Pour renforcer le travail sur cette dernière phase, certains problèmes en « Combien ? »
peuvent être remplacés par des problèmes en « Est-ce que ? », pour lesquels la
réponse attendue n’est pas une valeur numérique, mais une analyse à partir
de la valeur numérique trouvée. On peut ainsi remplacer le premier problème
ci-dessous, par le problème alternatif proposé ensuite.

— « Monsieur Martin pèse 78,5 kg, Rose pèse 57,5 kg et Antonin pèse 42,5 kg.
  Combien pèsent-ils à eux trois ? »
— « Monsieur Martin pèse 78,5 kg, Rose pèse 57,5 kg et Antonin pèse 42,5 kg.
  Est-ce qu’ils peuvent monter ensemble dans un ascenseur acceptant une charge
  maximale de 180 kg ? »



         UN EXEMPLE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME EN QUATRE PHASES

    « Marius revient du marché. Il a acheté 750 g de fraises, un demi-kilogramme
    d’abricots et a oublié la masse des kiwis achetés. Le contenu de son panier
    pèse 1,650 kg.
    Quelle est la masse des kiwis ? »

PHASE 1 : COMPRENDRE
Dans cet énoncé, lors de cette première phase, les élèves doivent comprendre
que cette histoire est celle d’un homme nommé Marius qui a fait des achats au
marché, qu’il a mis dans un panier. Les élèves doivent comprendre que, dans le
panier, il y a des fraises, des abricots et des kiwis, qui n’ont pas été oubliés, mais
dont Marius a oublié la masse. Ils doivent également comprendre qu’il n’y a rien
d’autre dans le panier, ce qui est implicite et nullement précisé. Ils doivent aussi
savoir que les masses s’additionnent pour former la masse du contenu du panier.
Cette compréhension de la situation se prête à un codage parties-tout dans lequel
le tout est composé de trois parties. Les élèves doivent pouvoir aussi interpréter
« un demi-­kilogramme » comme 0,5 kg ou comme 500 g.
54 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Enfin, ils doivent comprendre que ce que l’on cherche est la masse des kiwis, un des
trois éléments du panier, qui sera donnée sous la forme d’un nombre de grammes
ou de kilogrammes.

PHASE 2 : MODÉLISER
Le modèle parties-tout sous-jacent est assez classique pour des élèves de cours
moyen, mais le fait que les données numériques soient dans des unités différentes
ajoute une difficulté susceptible de perturber la modélisation. Le recours à un schéma
sera certainement facilitateur pour beaucoup d’élèves. Si lors de la première phase,
l’élève a repéré la présence de trois fruits regroupés dans un panier, alors, lors de
la phase de modélisation, il peut penser à un problème de type parties-tout avec trois
parties, ce qui lui permet de se lancer dans la réalisation du schéma correspondant,
à savoir un rectangle séparé en trois, ou trois rectangles juxtaposés.


              Fraises                   Abricots                  Kiwis



Schéma qu’il peut assez facilement compléter ensuite avec les données qui lui sont
fournies :

              Fraises                   Abricots                  Kiwis
               750 g                     1/2 kg                     ?



                                        1,650 kg


Cette représentation lui permet d’affiner sa modélisation et de planifier la réso-
lution du problème en le décomposant : l’élève comprend en effet qu’il s’agit d’un
problème dans lequel il faut trouver une des trois parties d’un tout. Il peut donc,
dans un premier temps, additionner la masse des fraises et la masse des abricots
et, dans un second temps, soustraire cette somme à la masse totale de fruits dans
le panier. Cette modélisation n’est pas unique, l’élève pourrait aussi choisir de sous-
traire successivement la masse de fraises et la masse d’abricots à la masse totale.

PHASE 3 : CALCULER
L’exécution des calculs nécessite d’avoir des masses exprimées dans la même
unité et l’élève peut donc convertir l’ensemble des données en grammes ou en
kilogrammes.

              Fraises                   Abricots                  Kiwis
               750 g                     0,5 kg                     ?




                                   1,650 kg = 1 650 g
55 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Les opérations sont ensuite réalisables en ligne ou en posant les calculs.
750 g + 0,5 kg = 750 g + 500 g = 1 250 g
1 650 g – 1 250 g = 400 g

PHASE 4 : RÉPONDRE
Pour la dernière étape, une régulation a lieu pour faire le lien avec la situation
comprise : on a bien trouvé une masse, c’est la masse des kiwis. De plus, 400 g c’est
un peu moins qu’un demi-kilogramme, il semble plausible d’acheter un peu moins
d’un demi-kilogramme de kiwis, cela ne semble ni trop petit ni trop grand pour être
acceptable ; une réponse de 4 g (clairement inférieure à la masse d’un kiwi) ou
de 2 kg (supérieure à la masse des fruits dans le panier) devraient, au contraire,
déclencher une nouvelle régulation.
L’élève peut alors communiquer la réponse de façon claire : « La masse de kiwis
dans le panier est de 400 g. »
56 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


Focus | Analyser les erreurs
des élèves pour adapter
l’aide à leur apporter

L’intérêt principal de la décomposition en quatre phases proposée dans ce chapitre
est de fournir aux professeurs un outil pour structurer l’analyse des productions
d’élèves en résolution de problèmes afin d’accompagner les apprentissages.

Situation : Dans une classe de CM2 (période 2), un professeur a préparé quatre
problèmes à résoudre pour les élèves. Les problèmes sont découpés individuellement
sur des petites feuilles déposées sur le bureau, de façon à ne pas décourager les
élèves par un travail qui leur semblerait trop lourd et éviter qu’ils ne dispersent leur
attention entre les différents problèmes. Les élèves qui ont terminé un problème
viennent spontanément chercher le suivant sur le bureau. Ce fonctionnement est
habituel au sein de la classe. Les élèves sont invités à travailler individuellement.
L’objectif premier de cette séance est de faire travailler les élèves sur les opé­
rations posées de nombres décimaux : addition et soustraction étudiées au CM1
et multiplication qui vient d’être introduite50.

Le premier de ces problèmes est le suivant :

    « Un électricien dispose d’un rouleau de fil électrique de 50 m. Il découpe trois
    ­morceaux de fil de ce rouleau de 12,70 m chacun.
     Quelle longueur de fil électrique reste-t-il dans le rouleau ? »

Le professeur circule dans les rangs, crayon à la main pour valider les réussites.
Les traces écrites de six élèves ont été reproduites ci-dessous :


                   Élève 1                                         Élève 2
                                                                    50 m

     2
  12,70                                          12,70 m 12,70 m 12,70 m          ?m
+ 12,70                 510,100
+ 12,70               – 3181,10                      2
                                                  12,70
  38,10                 1 1 ,90                 + 12,70                 50
                                                + 12,70               – 38,10
La longueur du fil dans le rouleau
                                                  38,10                 12,10
est 11,90 m.
                                                Il reste 12,10 m de fil électrique.




50 — Une vidéo d’une séance similaire proposée en cycle 2 est
disponible sur le site https://pedagogie-nord.ac-lille.fr/formations/
plan-maths/cycle2/ sous l’appellation « Une séance de numération dans
une classe de CP » (https://pedagogie-nord.ac-lille.fr/formations/plan-
maths/cycle2/docs/num-calcul/c2-num-calc-seance-cp.zip).
57 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


                    Élève 3                                   Élève 4


 12,70 m                    ?m

                     50 m


   510,100
 – 1121,70
   3 7 ,30 m

                    Élève 5                                   Élève 6
                                                  2
   50,00                                       12,70                 510,100
 + 12,70                                     x     3               – 3181,10
   62,70 m                                     38,10                 1 1 90

 Ça fait 62,70 m.                            Il lui reste 1 190 m de fil électrique.



Un rapide regard sur les productions écrites permet au professeur de catégoriser
les réponses des élèves (R : réussi, PR : partiellement réussi, NR : non réussi, NT :
non traité) :


                Compréhension
                                             Calculs                    Réponse
                et modélisation
 Élève 1     R                        R                        R
             L’élève a effectué
             les opérations
             attendues.
 Élève 2     R                        PR                       PR
             L’élève a effectué       L’addition               La réponse
             les opérations           des trois nombres        est erronée mais
             attendues                décimaux est juste,      correspond à ce
             en s’appuyant sur        la soustraction est      qui a été trouvé par
             un schéma pertinent.     erronée, il manque       calcul. Il a manqué
                                      une étape dans           une régulation qui
                                      la réalisation           aurait par exemple
                                      de l’algorithme          pu consister à rejeter
                                      consistant à écrire      la réponse avec
                                      les deux nombres         l’argument suivant :
                                      à soustraire avec        « 50 – 38 = 12, donc
                                      autant de chiffres       50 – 38,10 doit être
                                      après la virgule.        inférieur à 12… ».
58 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


                 Compréhension
                                             Calculs                 Réponse
                 et modélisation
 Élève 3    PR                      R                         NT
            Le schéma laisse        L’élève montre qu’il      On ne peut pas savoir
            penser que l’élève      sait soustraire deux      ici si l’élève n’a pas
            n’a compris             nombres décimaux          encore eu le temps
            la situation que        en posant l’opération.    de répondre, ou s’il
            partiellement :                                   a oublié de répondre.
            un seul morceau
            est retiré au lieu
            de trois. Ce schéma,
            d’ordinaire associé
            à une situation
            de comparaison,
            n’est pas celui attendu
            (voir chapitre 4)
            mais il aurait pu
            permettre d’aboutir.
 Élève 4    NT                        NT                      NT
 Élève 5    NR                        PR                      NR
            L’élève a additionné      L’opération effectuée   La réponse proposée
            les deux longueurs        est correcte,           n’a pas été régulée
            présentes                 mais les compétences    par rapport à
            dans l’énoncé.            démontrées              la situation initiale :
                                      dans le cadre des       il n’y a pas de
                                      opérations posées       questionnement
                                      sont d’un niveau        sur la cohérence
                                      inférieur à celui       entre le résultat
                                      attendu : addition      (il reste plus de 62 m
                                      avec retenues           de fil) et l’histoire
                                      et soustraction.        racontée dans
                                                              l’énoncé (la longueur
                                                              de fil initiale est
                                                              de 50 m).
 Élève 6    R                      PR                         NR
            L’élève a effectué les La multiplication          La réponse proposée
            opérations attendues. est correctement            n’a pas été régulée :
                                   posée et effectuée,        pas de cohérence
                                   la soustraction            entre le résultat
                                   est correctement           et les données
                                   traitée, si ce n’est       de l’énoncé.
                                   l’oubli de la virgule.


Exemples d’actions du professeur qui circule dans les rangs, d’élève en élève :

Élève 1 : Le professeur félicite l’élève, valide par écrit la réponse proposée
et demande à l’élève de résoudre les problèmes suivants.

L’objectif de cette validation écrite est, en plus d’un signe d’encouragement pour
l’élève qui développe ainsi un sentiment de compétence qui l’aide à avancer,
un moyen pour le professeur de repérer ce qui a été validé, afin de ne pas avoir à
relire ce qui a déjà été validé lors d’un deuxième tour de classe et ainsi de repérer
l’avancée des travaux de l’élève.
59 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Élève 2 : Le professeur félicite l’élève pour son travail, il valide par écrit le schéma
et l’addition. Il invite l’élève 1 et l’élève 2 à confronter leurs deux soustractions et
à comprendre pourquoi la réponse de l’élève 2 est erronée, de manière à pouvoir
l’expliquer en fin de séance à toute la classe.

L’objectif du professeur, en invitant les deux élèves à travailler ensemble, est de
consacrer un minimum de temps à cet élève 2, qui est manifestement en réussite
sur les phases de compréhension et de modélisation, pour avoir plus de temps
pour les élèves nécessitant davantage d’accompagnement. Le professeur a prévu
de revenir sur ce point délicat pour plusieurs élèves lors du temps de correction
en fin de séance.

Élève 3 : Le schéma correspond à une situation de comparaison, ce qui n’est pas le cas
ici, sauf à considérer que l’on compare un rouleau neuf de 50 m au rouleau que l’on
est en train de découper, ce qui peut être considéré comme acceptable. Mais l’élève
n’a pris en compte qu’un morceau au lieu des trois attendus. Un échange s’engage :

— Est-ce que tu peux m’expliquer ce qui se passe dans ce problème ? Quelle est
  l’histoire ?
— Ben, c’est un électricien, il a découpé un fil.
— Qu’est-ce qu’il a découpé exactement ?
— Il a découpé un fil électrique de 12,70 mètres.
— Quelle est la phrase du problème qui te permet de dire cela ? Tu peux me la lire ?

L’élève 3 lit la phrase « Il découpe trois morceaux de fil de ce rouleau de 12,70 mètres
chacun. »

—   Ah ! Je me suis trompé.
—   Pourquoi t’es-tu trompé ?
—   En fait, il en découpe trois et moi je n’en ai enlevé qu’un.
—   Très bien. Alors je te laisse corriger sur ton cahier.

Le professeur n’écrit rien sur le cahier de l’élève, les traces écrites qu’il laisse
n’étant destinées qu’à valider les réussites dans un souci de motivation et d’encou-
ragement, et pour bien montrer que l’on est en train d’apprendre, qu’il est normal
de se tromper et qu’on a le droit de se reprendre.

La place des erreurs dans la construction des connaissances est ici essentielle,
à condition qu’elles soient analysées et que l’élève, en raisonnant, puisse en tirer
de nouvelles connaissances et ainsi réajuster la suite de son travail.

Élève 4 : Le professeur interroge l’élève :

— Alors qu’est-ce qui ne va pas ? Est-ce que tu peux m’expliquer ce qui se passe
  dans ce problème ? Que raconte cette histoire ?
— Je ne comprends pas.
— Tu attends un tout petit peu, je finis de regarder les cahiers de tes camarades
  et on regarde cela ensemble.
60 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Le professeur prend note des difficultés de l’élève dans la phase de compréhension
de l’énoncé. Le travail à mener est conséquent et se situe sur le plan même de la
construction d’une représentation de la situation suffisamment élaborée pour se
prêter ensuite à une modélisation. Il décide de le mener en commun pour tous les
élèves de la classe concernés en les regroupant afin de traiter cette difficulté de façon
ciblée tandis que les autres élèves poursuivent la résolution d’autres problèmes.

Élève 5 : Le professeur interroge l’élève :

— Est-ce que tu peux m’expliquer ce qui se passe dans ce problème ? Quelle est
  l’histoire ?
— Ben, c’est un monsieur qui découpe du fil électrique.
— D’accord et qu’est-ce qu’on cherche dans ce problème ? Qu’est-ce qu’on
  cherche à savoir ?
— Je ne sais pas.
— Quels sont les calculs que tu as faits ?
— J’ai fait une addition.
— D’accord. Pourquoi as-tu fait une addition ?
— Je ne sais pas.
— Et bien, tu attends quelques minutes, je finis de regarder les cahiers de tes
  camarades et on regarde cela ensemble.

Le professeur prend note des difficultés de l’élève dans la phase de compréhension
et de modélisation du problème. Une difficulté possible ici se situe sur le plan de la
représentation de la situation. L’élève se focalise sur des aspects thématiques et n’a
pas pris en compte les dimensions pertinentes sur le plan mathématique, à savoir
l’itération d’un découpage de trois morceaux de fil d’une même longueur, extraits
d’un rouleau dont la longueur est connue également. Cet élève fera partie du sous-
groupe accompagné spécifiquement.

Élève 6 : Le professeur interroge l’élève :

—   Est-ce que tu peux me dire ce qu’on cherche dans ce problème ?
—   On veut savoir le fil qui reste.
—   « Le fil qui reste ». Mais, ce qu’il reste de fil où exactement ?
—   Dans le rouleau.
—   Le rouleau. Il mesure combien au départ ce rouleau ?
—   50 mètres.
—   Et il reste combien de mètres à la fin ?
—   Ah je me suis trompé. Ça fait trop.
—   Où est-ce que tu t’es trompé ?
—   Je sais pas.
—   Ta multiplication est juste. Les trois morceaux mesurent bien 38,10 mètres
    en tout.

Le professeur valide avec son stylo la multiplication.

— Ah, je sais, j’ai oublié la virgule.
— Je te laisse corriger et je reviens te voir tout à l’heure.

La démarche est explicite. L’élève est en réussite et la validation est faite oralement.
61 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Le professeur termine son tour de classe rapidement, puis prend en charge, à part,
les six élèves de la classe (dont les élèves 4 et 5) pour lesquels la compréhension
de la situation ne permet pas de modélisation.

Un temps de remédiation de près de 10 minutes est consacré à ces six élèves,
immédiatement après le premier tour de classe, afin de leur permettre de disposer
d’un temps suffisant pour résoudre le problème à l’issue de ce travail de remédiation.
Le reste de la classe continue de résoudre les différents problèmes proposés.
L’objectif du professeur est de travailler sur la compréhension du problème
et de commencer à mettre en avant des éléments supports de modélisation.
Le professeur doit apprendre aux élèves à distinguer « Je n’ai pas compris »,
« Je n’ai pas d’idées » et « Je ne sais pas répondre à la question ». Dans un premier
temps, le travail ne porte que sur la compréhension de l’énoncé ; ceci demande une
vigilance du professeur pour s’assurer que certains élèves ne dévoilent pas trop
d’informations sur la résolution du problème en répondant aux questions qui leur
sont posées.

Le professeur commence par faire lire à voix haute l’énoncé du problème par un élève.

— Tout le monde a bien entendu. On le réécoute une deuxième fois.

Un autre élève le lit à voix haute.

—   Alors de quoi parle ce problème ?
—   Ça parle d’un électricien.
—   C’est quoi un électricien ?
—   C’est un monsieur qui fait de l’électricité ?
—   Pas tout à fait. Est-ce que quelqu’un peut préciser ?
—   Mon tonton, il est électricien.
—   Oui et alors, il fait quoi ?
—   Je ne sais pas.
—   Électricien, déjà c’est un métier, et une personne qui est électricien, ou
    électricienne si c’est une femme, c’est une personne qui va s’occuper de
    l’installation électrique d’une maison ou d’un appartement, c’est-à-dire de tous
    les fils à l’intérieur des murs qui amènent l’électricité dans les prises. Alors, que
    fait l’électricien dans notre problème ?
—   Il découpe un fil.
—   Oui, il découpe un fil. Il le découpe dans quoi ce fil ?
—   Dans un rouleau.
—   Et que sait-on sur ce rouleau ?
—   C’est un rouleau de fil électrique de 50 mètres.
—   Très bien. Regardez ! Je vous ai apporté une ficelle enroulée, on va dire que c’est
    notre rouleau de 50 mètres.
62 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Le professeur présente aux élèves une petite pelote de ficelle d’environ un mètre
de long.

—   Que fait l’électricien avec ce fil ?
—   Il le découpe.
—   Qu’est-ce qu’il découpe précisément ? Relisez l’énoncé du problème.
—   Trois morceaux de fil de 12,70 mètres chacun.
—   Très bien. On va dire que ça, ça mesure 12,70 mètres.

Le professeur présente une baguette en bois d’une dizaine de centimètres.

— Est-ce que vous pouvez faire avec notre rouleau [le professeur montre la ficelle],
  ce que fait l’électricien avec son rouleau de fil ?

Une discussion s’engage entre élèves, deux élèves découpent trois morceaux
de ficelle de la longueur de la baguette.

— Très bien. Maintenant, est-ce que vous pouvez me dire ce que l’on cherche dans
  notre problème ?
— Ce qui reste dans le rouleau.
— Oui et à quoi cela correspond-il pour notre ficelle ?

Un élève montre le reste de ficelle.

— Oui. Très bien. Ça c’est ce qui nous reste dans notre rouleau. Quelle était
  la longueur du rouleau au début, avant qu’on découpe du fil ?
— 50 mètres.
— Et qu’est-ce qu’on a fait ?
— On a découpé.
— Oui, mais qu’est-ce qu’on a découpé très précisément ?
— Trois morceaux de 12,70 mètres.
— Alors quels calculs faut-il faire ?
— Une soustraction.
— On fait 50 moins 12,70.
— On a enlevé qu’une fois 12,70 mètres ?
— Non, trois fois.
— Et alors ?
— Il faut enlever trois fois 12,70 mètres.
— Oui, en effet, il va falloir soustraire 3 fois 12,70 mètres. Bon on s’arrête là.
  Vous allez retourner à vos places. Vous allez faire un schéma qui raconte
  l’histoire, qui raconte ce que fait l’électricien comme on l’a vu à l’instant. Puis
  après, vous allez faire les calculs. Allez, c’est parti.

Le professeur a fait le choix de ne pas agir sur les nombres en jeu, notamment en
remplaçant la longueur des morceaux découpés par un entier, car son objectif
premier au sein de la séance est de travailler sur le calcul posé avec des nombres
décimaux. Il retourne ensuite faire un nouveau tour de classe complet pour
voir le travail de chacun des autres élèves pendant que les six élèves suivis
spécifiquement se lancent dans une nouvelle tentative de résolution.
63 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?

La séance se poursuit ensuite avec la résolution des problèmes suivants, chaque
élève allant à son rythme. Le professeur a le temps de repasser une troisième fois
consulter le travail de chacun avant d’interrompre le travail de la classe pour un
temps de correction et de mise en commun permettant de revenir très brièvement
sur la technique apprise précédemment pour la soustraction posée de deux
nombres décimaux, avec l’exemple de la soustraction posée 50 – 38,10 du premier
problème, qui a été validé pour tous les élèves dans le cahier, avant de corriger en
détail le deuxième problème. Les suivants ne sont corrigés que dans les cahiers des
élèves qui ont pu les traiter.
        64 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?


En résumé

La résolution d’un problème peut être vue comme un processus
en quatre phases, qui ne se succèdent pas de manière stricte,
mais qui sont en interaction permanente.


       Comprendre : l’élève doit comprendre le texte du problème,
        c’est-à-dire comprendre l’histoire que raconte le problème.
        À cela s’ajoute une compréhension spécifique aux problèmes
        mathématiques : comprendre la question, identifier
        précisément ce qui est cherché.


       Modéliser : l’élève doit traduire la situation comprise,
        l’histoire qui se situe dans le monde réel, dans un format
        pertinent sur le plan mathématique, par exemple un tout
        composé de parties, permettant de déduire des opérations
        mathématiques à effectuer pour répondre à la question posée.


       Calculer : l’élève doit effectuer les calculs identifiés à l’étape
        précédente. Ces calculs peuvent être effectués mentalement,
        en ligne ou en posant les opérations.


       Répondre : l’élève doit interpréter les résultats des
        opérations mathématiques dans le contexte du problème,
        en effectuant une régulation par rapport à la situation
        initialement comprise. Cette étape nécessite de mobiliser
        des compétences en communication pour produire
        une réponse intelligible par tous.
                       III
Identifier les obstacles
à la résolution
de problèmes
pour les élèves
        66 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves


Ces dernières décennies, de nombreux travaux
de recherche ont porté sur ce qui fait obstacle
à la réussite des élèves lors de la résolution de problèmes.
Ces éléments sont multiples et il est indispensable
qu’ils soient connus du professeur.
L’objectif n’est pas d’épurer les problèmes de tout ce qui
peut être source de difficultés pour les élèves, mais de les
identifier et de les contrôler. Ceci doit permettre de
s’assurer que les problèmes à résoudre sont accessibles
aux élèves à qui ils sont proposés, tout en les aidant à
développer de nouvelles compétences en les confrontant
progressivement à de nouveaux obstacles. Cela donne
également le moyen de saisir pourquoi un énoncé
est plus difficile qu’un autre. Une connaissance fine
de ce qui pose des difficultés aux élèves permet aussi,
en cas de difficultés rencontrées lors de la résolution
de problèmes, de fournir les coups de pouce utiles
à chacun, sans dénaturer les tâches dévolues aux élèves.




La structure mathématique
du problème

        L’ensemble des structures de problèmes pouvant être proposées aux élèves de
        cours moyen est large ; il n’est pas possible d’être exhaustif sur ce point, même si
        le chapitre 1 a permis de circonscrire les caractéristiques des problèmes devant
        être proposés à ce stade de la scolarité : problèmes en une étape, problèmes en
        plusieurs étapes et problèmes atypiques, chacune de ces catégories étant elle-même
        subdivisée en sous-catégories. De façon générale, les problèmes atypiques sont
        plus difficiles à traiter pour les élèves que les problèmes à étapes, car ils leur sont
        moins familiers, mais les exceptions sont nombreuses.
67 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Ainsi le problème atypique ci-dessous, relevant de la catégorie des problèmes
algébriques, est particulièrement difficile à traiter pour les élèves de cours moyen
s’ils n’ont pas bénéficié d’un enseignement spécifique pour acquérir les outils et les
compétences utiles pour sa résolution (ces outils seront présentés au chapitre 4).

    « Agathe et Ben ont dépensé 65 €. Agathe et Chloé ont dépensé 185 €. Chloé a
    dépensé trois fois plus que Ben. Combien Agathe a-t-elle dépensé ?51 »

Pour les problèmes à étapes, généralement, plus les étapes sont nombreuses plus
la difficulté est importante. Ainsi, le problème en deux étapes ci-dessous pose assez
naturellement plus de difficultés que le problème en une étape proposé ensuite :

— « Alice achète trois livres coûtant 5,70 € chacun. Elle donne 20 € à la libraire.
  Combien la libraire va-t-elle lui rendre ? »
— « Alice achète un livre coûtant 5,70 €. Elle donne 20 € à la libraire. Combien la
  libraire va-t-elle lui rendre ? »

Un problème comme celui présenté ci-dessous, portant sur un champ numérique
élémentaire, relevant du CP, et à l’énoncé relativement simple, peut être source de
difficultés pour les élèves de cours moyen, car il nécessite de traiter plusieurs étapes :

    « Un jardinier achète 9 rosiers à 4 € pièce et 3 sapins à 17 € pièce. Quel est le
    montant de sa dépense ? »

Pour ce problème en trois étapes, les calculs sont a priori accessibles à des élèves
de CP par des additions itérées. Il relève cependant plus du cours élémentaire, car
la multiplication permet de traiter efficacement les deux premières étapes. Il a été
proposé en janvier 2011 dans le cadre d’une évaluation nationale de CM2 ; un tiers
des élèves n’a pas réussi à le résoudre et plus de la moitié (52 %) des élèves de RAR52 .

Le nombre d’étapes n’est toutefois pas le seul facteur de difficulté. En effet, des
problèmes à une seule étape sont de difficulté différente en fonction de ce qui est
connu et de ce qui est cherché. Ceci a été précisément illustré par les travaux de
Riley mentionnés au chapitre 153 , qui montrent bien l’inégale difficulté des problèmes
additifs en une étape pour les élèves de cycle 2. Il est généralement plus facile, pour
les élèves, de trouver un tout en connaissant les différentes parties que de retrouver
une partie en connaissant le tout et l’autre partie.

Exemples :

— Problème de recherche du tout :
  « J’ai acheté 6,4 kg de pommes et 3,8 kg de poires.
  Quelle est la masse de fruits achetés ? »

— Problème de recherche d’une partie :
  « J’ai acheté 6,4 kg de fruits. Il y a des pommes et 3,8 kg de poires.
  Quelle est la masse de pommes achetées ? »

51 — Berinderjeet Kaur, “The Why, What and How of the ’Model’
Method: A Tool for Representing and Visualising Relationships When
Solving Whole Number Arithmetic Word Problems”, ZDM – Mathematics
Education, n° 51, Springer, 2018.
52 — Réseau ambition réussite (à peu près équivalent aux écoles
en REP+ aujourd’hui).
53 — Voir p. 21.
    68 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

    Il est également plus facile pour les élèves de trouver un état final qu’un état initial
    dans un problème où une grandeur évolue, et ceci, indépendamment de l’opération
    en jeu (addition ou soustraction).

    Exemples :

    — Problème de recherche d’un état final :
      « Maya avait 17,5 L d’essence dans sa moto. Elle en a consommé 13,7 L.
      Quel volume d’essence y a-t-il maintenant dans la moto de Maya ? »

    — Problème de recherche d’un état initial :
      « Maya vient de rajouter 13,7 L d’essence dans sa moto pour faire le plein. Il y a
      maintenant 17,5 L d’essence dans le réservoir.
      Quel volume d’essence y avait-il dans la moto avant que Maya ne fasse le plein ? »




Le texte de l’énoncé du problème

    Comme pour un texte proposé en français, en sciences ou dans toute autre discipline,
    la compréhension d’un énoncé de problème peut représenter un obstacle. L’élève
    peut ainsi avoir des difficultés à saisir, à partir du texte de l’énoncé, ce qu’est la
    situation, c’est-à-dire ce qui se passe dans l’histoire que raconte cet énoncé et ce
    qui est demandé. Plusieurs éléments du texte de l’énoncé peuvent ainsi constituer
    des obstacles à cette bonne compréhension :

    — le degré de familiarité de l’élève avec l’environnement du problème : familiarité
      avec le contexte, familiarité avec le lexique lié à ce contexte, etc. ;
    — la longueur et la forme de l’énoncé : les textes peuvent devenir plus longs au cours
      moyen et les informations à prélever plus nombreuses ;
    — la présence d’illustrations qui généralement ne facilitent pas la tâche des élèves ;
    — le lexique spécifique aux mathématiques ;
    — des mots-clés de l’énoncé concordants ou non avec la modélisation : présence
      de mots comme « plus », « perdre », « fois », « partager » qui incitent fortement à
      effectuer une opération en particulier ;
    — un scénario, évoqué par l’énoncé, facilitant ou non la perception des relations
      mathématiques en jeu : relations entre les entités présentes dans l’énoncé,
      relations décrites au sein de l’énoncé ou à construire par l’élève, etc. ;
    — l’inscription ou non dans le champ de validité de la conception intuitive des
      opérations : par exemple des problèmes de gains pour lesquels il faut effectuer
      une soustraction ne sont pas inscrits dans ce champ de validité ;
    — la présence de données inutiles.
69 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves


Le degré de familiarité de l’élève avec
l’environnement du problème

Une première source de difficulté est l’absence de familiarité de l’élève avec
l’environnement dans lequel se situe l’action du problème et, en particulier, avec
le lexique utilisé dans l’énoncé. Il s’agit aussi d’une difficulté pour le professeur :
un univers qui peut lui sembler familier, car s’appuyant sur son vécu personnel, peut
ne pas l’être du tout pour certains élèves.

La compréhension du problème sera généralement plus aisée si l’univers de
référence sur lequel porte le problème est familier des élèves. Ainsi le problème
ci-dessous, portant sur le football, sera certainement plus accessible aux élèves
français que le problème équivalent, issu de l’univers du curling, proposé ensuite.

— « Le capitaine frappe la balle juste avant la ligne de milieu de terrain. Le ballon
  s’immobilise 45,5 m plus loin dans les pieds de l’avant-centre, situé à 2,5 m du
  point de penalty, celui-ci tire en direction du but, le ballon s’immobilise alors dans
  les bras du gardien après avoir parcouru 8,3 m.
  Quelle distance totale a parcouru le ballon ? »
— « Le skip lâche le marteau juste avant la ligne de hog. La pierre d’ailsite heurte une
  pierre adverse 26,9 m plus loin, puis poursuit sa route en direction de la maison,
  la pierre s’immobilise à 0,8 m du champagne, après avoir parcouru 3,4 m.
  Quelle distance totale a parcouru la pierre ? »

Il pourra souvent être intéressant de créer des problèmes directement en lien avec
les activités des élèves et les événements vécus par la classe : activités pratiquées
dans le cadre de l’EPS, sorties organisées, activités menées en sciences, etc.

L’absence de connaissance des entités dont il est question dans l’énoncé du problème
peut rendre impossible la régulation nécessaire lors de la quatrième phase de la
résolution du problème (répondre).

    « Aujourd’hui, j’ai trouvé 35 bigorneaux. Ensemble, ils pèsent 480 g. En supposant
    qu’ils ont tous la même masse, trouve combien pèse un bigorneau. »

Un élève effectuant le calcul : 480 g x 35 = 16 800 g = 16,8 kg ne sera nullement alerté
par l’absurdité de la masse trouvée, s’il n’a aucune idée de ce qu’est un bigorneau.



La longueur et la forme de l’énoncé

Au cycle 2, les élèves sont assez rarement exposés à des problèmes dont l’énoncé
s’étale sur plus de trois lignes, ce qui fait qu’au cours moyen, un énoncé plus long,
par exemple avec plus de quatre données numériques, peut se révéler difficile
à traiter pour certains élèves.
70 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

    « Un spectacle musical avec cinq artistes est proposé au directeur d’une école.
    Il faut payer les artistes 50 euros chacun. Il faut aussi payer leur déplacement,
    soit 200 euros au total. Il n’y a pas d’autres frais. L’association de parents d’élèves
    donne une aide de 110 euros et la mairie accorde une autre aide de 240 euros.
    Si les 50 élèves de cette école assistent au spectacle, quelle participation
    ­financière doit être demandée à chaque élève pour payer la dépense restante ? »

Il est important de confronter les élèves dès le début du cours moyen à des énoncés
de problèmes de plus de deux ou trois lignes sans complexité particulière au-delà
de la longueur, afin de leur apprendre à ne pas être déstabilisés par de tels énoncés
et à structurer les données pour pouvoir répondre à la question posée.

D’autres éléments peuvent être de nature à faciliter ou, au contraire, à rendre plus
complexe la compréhension du problème. Par exemple, la position de la question
en début d’énoncé peut être facilitatrice pour certains élèves54 , en les invitant dès
la première lecture à se concentrer sur un objectif précis. Les problèmes dont les
données sont organisées dans l’ordre où elles sont utiles sont aussi généralement
plus aisés à résoudre.



La présence ou non d’illustrations

Les illustrations sont souvent vues comme un moyen d’aider les élèves à mieux
comprendre les énoncés qui leur sont soumis. Différentes études montrent que
cela n’est pas toujours le cas : les illustrations peuvent parfois distraire les élèves,
plus que les soutenir dans la résolution du problème. Par ailleurs, des illustrations
contenant une partie des informations nécessaires pour résoudre le problème,
comme dans l’énoncé ci-dessous, nécessitent des allers-retours entre le texte et
la ou les illustrations qui augmentent la difficulté à résoudre le problème.

Exemple :
   « Jacques et Henri, âgés de 17 et 20 ans, plantent leur tente pour deux semaines
   dans le camping des Trois Chênes. Combien paieront-ils ? »

                               CAMPING DES TROIS CHÊNES
                                      Tarif par semaine
Adulte                                                                54 €
Enfant (jusqu’à 10 ans)                                               21 €
Emplacement pour une caravane                                         40 €
Emplacement pour une toile de tente                                   22 €
Animaux autorisés                                                     gratuit




54 — Michel Devidal, Michel Fayol, Pierre Barrouillet, « Stratégies
de lecture et résolution de problèmes arithmétiques », L’Année
psychologique, Vol. 97, n° 1, PUF, 1997.
71 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Pour ce problème, le contexte du camping peut bien évidemment être un obstacle
pour certains élèves, mais une difficulté supplémentaire est liée à la nécessité de
faire le lien entre l’énoncé, qui est pourtant très court, et l’illustration contenant les
tarifs. En effet, il faut s’appuyer simultanément sur les deux sources d’information
pour établir le prix à payer : deux tarifs « adulte » (Jacques est mineur, mais le tarif
« enfant » est pour les enfants jusqu’à 10 ans, il est donc considéré comme « adulte »
contrairement à ce que le langage courant indique habituellement), une tente
(qualifiée de « toile de tente » dans le tableau), deux semaines (à lier avec « Tarif par
semaine »). Comme pour le problème précédent, les mathématiques sous-jacentes
relèvent du CE1 ; ce problème pose néanmoins encore des difficultés à certains
élèves de CM2, avec un taux de réussite de 49 % lors des évaluations nationales de
janvier 2011 (30 % en RAR55).

Dans une étude réalisée aux Pays-Bas avec des élèves en cinquième année d’école
primaire (équivalent du CM2), des chercheurs 56 ont proposé des problèmes très
simples, en une étape, accompagnés ou non d’une illustration :

— des problèmes bruts, sans illustration ;
— des problèmes accompagnés d’une illustration décorative, qui n’apporte pas
  d’information utile ;
— des problèmes accompagnés d’une illustration qualifiée d’aidante, car elle
  illustrerait les informations données dans le problème ;
— des problèmes accompagnés d’une illustration qualifiée d’essentielle, car une
  partie des informations nécessaires pour résoudre le problème sont présentes
  uniquement dans l’illustration.

Les figures ci-dessous présentent quatre de ces problèmes utilisés dans cette
recherche.

            Brut                        Inutile                        Aidante           Essentielle
 Il y avait                    Il y avait                    Il y avait               Il y avait
 18 personnes                  18 personnes                  18 personnes             18 personnes
 dans le bus.                  dans le bus.                  dans le bus.             dans le bus.
 4 personnes sont              4 personnes sont              4 personnes sont         Des personnes sont
 sorties. Combien              sorties. Combien              sorties. Combien         sorties. Combien
 de personnes                  de personnes                  de personnes             de personnes
 sont dans le bus              sont dans le bus              sont dans le bus         sont dans le bus
 maintenant ?                  maintenant ?                  maintenant ?             maintenant ?
                                                                  18              ?     18
                                                                                         18        ??      18
                                                                 18              ?     18         ?




 Réponse =                     Réponse =                     Réponse =                Réponse =

Figure 5. L’impact des illustrations sur la résolution de problèmes.


55 — Réseau ambition réussite (à peu près équivalent aux écoles
en REP+ aujourd’hui).
56 — Inez Berends, Ernest C. D. M. Van Lieshout, “The Effect of
Illustrations in Arithmetic Problem-solving: Effects of Increased
Cognitive Load”, Learning and Instruction, n° 19, 2009.
72 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Les chercheurs se sont intéressés aux effets de ces représentations sur la réussite
à ces problèmes en distinguant deux groupes d’élèves : ceux forts en calcul et ceux
faibles en calcul.

Ils ont mis en avant une absence d’impact de la présence de l’illustration inutile tant
pour les élèves forts que pour les élèves faibles en calcul. Ils ont également mis en
avant un effet négatif de l’illustration essentielle qui conduit à une chute des réussites
tant pour les élèves forts que pour les élèves faibles. Le fait de devoir confronter
l’énoncé du problème à l’illustration engendre vraisemblablement une surcharge
cognitive pour les élèves, ce qui réduit leur réussite. Il faut également comprendre
que les quatre personnages dessinés sont inclus dans les « 18 » indiqués sur le bus,
ce qui peut être aussi considéré comme ambigu.

Dans le cas de l’illustration qualifiée d’aidante, les chercheurs n’ont pas constaté
d’effet sur la réussite des élèves forts, mais ils ont constaté un effet négatif sur celle
des élèves faibles en calcul. Ce résultat contre-intuitif laisse penser que, pour les
élèves les plus fragiles, une illustration reprenant les informations de l’énoncé n’agit
pas comme un élément facilitateur, mais au contraire, ajoute de la complexité en
augmentant la charge cognitive, en multipliant les sources d’information.

Il semble donc raisonnable de ne pas chercher à illustrer à tout prix les problèmes
proposés aux élèves et, lors des choix de manuels, de privilégier ceux ne multipliant
pas les illustrations inutiles, aidantes ou même essentielles.



La présence d’éléments superflus

Beaucoup de travaux ont été menés en France dans les années 1990 sur l’influence
qu’a la présence de données inutiles dans les énoncés de problèmes pour la réussite
des élèves à les résoudre. Denis Butlen et Monique Charles-Pézard57 proposent, par
exemple, la liste de problèmes ci-dessous dans lesquels les francs ont été remplacés
par des euros.

— « Une famille de 3 personnes séjourne pendant 6 jours à la résidence “des 3 îles” ;
  le tarif journalier de la pension est de 45 € par personne.
  Calcule le montant de la dépense. »
— « Marie fête son anniversaire le 22 septembre : elle a 11 ans. Elle dit à sa maman :
  “J’ai exactement 32 ans de moins que toi !”
  Quel est l’âge de Maman ? »
— « Jean part de Paris, il doit passer par Melun et être à Fontainebleau à 10 heures ;
  la distance Paris-Fontainebleau est de 65 km et il y a 15 km de Melun
  à Fontainebleau.
  Quelle est la distance entre Paris et Melun ? »
— « Pour Noël, Jean, qui dispose de 84 €, a décidé d’offrir le même livre à ses 4 amis ;
  il paye 74 €.
  Quel est le prix d’un livre ? »


57 — Denis Butlen, Monique Charles-Pézard, « Conceptualisation
en mathématiques et élèves en difficulté. Le calcul mental entre sens
et technique », Grand N, n° 79, 2007.
73 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

— « Un rallye cycliste comporte 105 km ; le départ est à 7 heures le matin ; les relais
  sont distants de 5 km ; chaque participant doit pointer au départ, à chaque relais,
  et à l’arrivée.
  Combien de fois doit-il pointer ? »
— « Un restaurant propose un menu du jour à 18 € ; il y a 4 choix possibles pour
  l’entrée, 3 choix possibles pour le plat principal et 2 choix possibles pour le dessert.
  Combien de menus différents (entrée-plat-dessert) peut-on constituer ? »

Cette présence de données inutiles a un effet négatif sur la réussite du traitement
de ces problèmes par les élèves. D’une part, ces données supplémentaires aug-
mentent la charge cognitive des élèves lors de la résolution, rendant plus difficiles
la compréhension et la modélisation du problème. D’autre part, les élèves qui ne
s’inscrivent pas dans une démarche de compréhension du problème, mais prennent
simplement les données de l’énoncé et s’en servent pour effectuer un calcul choisi
plus ou moins aléatoirement, sont mis en échec, alors qu’ils auraient pu obtenir un
résultat correct avec leur démarche erronée sans la présence de données inutiles.

Proposer des problèmes avec des données inutiles est donc particulièrement
intéressant pour repérer des difficultés d’élèves qui risqueraient de ne pas être
décelées lors du traitement d’un problème en une étape avec deux données
numériques. Cependant, il n’est sans doute pas souhaitable d’en faire une tâche
technique, qui consisterait à repérer les données inutiles et les données utiles
dans des énoncés de problèmes. En résolution de problèmes, la tâche dévolue aux
élèves est et doit rester celle de résoudre des problèmes. Lors des temps de mise
en commun, il est cependant intéressant de mettre la focale sur la présence de ces
données numériques, écrites en chiffres ou en lettres, qui ne sont pas utiles pour
répondre à la question posée.



Le lexique et, en particulier, le lexique
spécifique aux mathématiques

Ce point est en lien direct avec le paragraphe sur la familiarité de l’élève avec
l’environnement du problème ; un environnement peu familier à un élève risque de
conduire à la confrontation d’un lexique méconnu. Les difficultés liées au lexique
nécessitent une grande vigilance du professeur lors du choix des problèmes.
Un temps de résolution de problèmes ne doit pas être vu comme une opportunité
de faire acquérir de nouveaux mots aux élèves. Certaines séances de résolution de
problèmes commencent parfois par de longues explications sur le texte de l’énoncé
et le lexique qu’il contient. Cette pratique est généralement à éviter, car elle éloigne
les élèves de l’objectif visé par les séances de résolution de problèmes. Elle est
particulièrement ennuyeuse pour les élèves qui ont souvent perdu toute motivation
à résoudre le problème lorsque les longues explications cessent. La résolution de
problèmes peut néanmoins être une occasion de réinvestir des mots nouveaux, appris
récemment, et qu’il est utile de faire rencontrer régulièrement aux élèves pour qu’ils
se les approprient.
74 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Une fois le problème résolu, le professeur peut revenir sur des points de lexique
qui posaient souci sans que cela n’ait été anticipé. Par exemple, pour le problème de
Gabin vu dans la partie « Comprendre » du chapitre 2 (« Gabin a réalisé un bouquet
de fleurs. Un quart sont des roses, un tiers sont des œillets et les 10 autres fleurs
sont des marguerites. Combien y a-t-il de fleurs dans le bouquet de Gabin ? »), il peut
montrer, grâce aux outils numériques présents dans la classe, des photos d’œillets ou
de marguerites à des élèves qui ne connaissent pas ces fleurs. Ces éclairages doivent
être accompagnés d’explications destinées à montrer que l’on pouvait résoudre le
problème sans connaître ces fleurs, simplement en devinant qu’il s’agissait de fleurs
puisque l’énoncé parlait de la constitution d’un bouquet de différentes fleurs. ­L’objectif
est à nouveau de faire des inférences et ainsi d’outiller les élèves pour qu’ils puissent
traiter un problème qui leur est proposé malgré d’éventuelles carences lexicales,
en faisant des hypothèses qu’ils vérifieront ensuite.

Si les séances de résolution de problèmes ne doivent, a priori, pas avoir pour objectif
de faire connaître de nouveaux mots, cela n’est pas vrai pour le lexique ou la langue
spécifiques aux mathématiques qu’il va falloir faire découvrir, revoir et faire maîtriser
aux élèves, dans le cadre de la résolution de problèmes. Par exemple, les expressions
suivantes doivent faire l’objet d’une attention particulière :

—   il en a 5 de plus ;
—   il en veut au moins 6 ;
—   il en a 3 fois plus ;
—   il est inférieur à ;
—   il est supérieur ou égal à ;
—   il en a le triple ;
—   il en donne le quart ;
—   il en a autant ;
—   la longueur du rectangle est le double de sa largeur…

Le maniement de ces expressions relationnelles peut être aussi l’occasion de
travailler certains principes mathématiques. Par exemple, si « Léa a 5 billes de plus
que Sarah », alors « Sarah a 5 billes de moins que Léa » ; si « Léa a 5 fois plus de billes
que Sarah », alors « Sarah a 5 fois moins de billes que Léa ».



Les mots clés de l’énoncé (plus, moins, fois, etc.)
concordant ou non avec la modélisation

Lors des classifications des problèmes en une étape dans les années 1980,
les chercheurs ont mis en évidence une meilleure réussite lorsque l’opération
attendue correspond, d’un point de vue sémantique, au lexique présent dans l’énoncé.

— Problème 1 : « Paul a 3 billes. Pierre a 5 billes de plus que Paul.
  Combien Pierre a-t-il de billes ? »
— Problème 2 : « Paul a 3 billes. Paul a 5 billes de moins que Pierre.
  Combien Pierre a-t-il de billes ? »
75 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Ainsi, pour les deux problèmes précédents pour lesquels il faut calculer la même
somme 3 + 5, Mary Riley et al.58 ont obtenu une réussite de 100 % pour le premier
exercice et de seulement 75 % pour le second avec des élèves en troisième année
d’école élémentaire.

Le second exercice conduit en effet de nombreux élèves à effectuer la soustraction
5 – 3. Les processus conduisant à ce choix sont sans doute divers, avec des niveaux
de compréhension variés ; pour certains élèves, cette réponse erronée révèle sans
doute une difficulté à inhiber le réflexe conduisant à faire une soustraction en lisant
le mot « moins » présent dans l’énoncé.

Ces éléments sont importants pour les problèmes soumis aux élèves lors des
temps de formation, mais aussi et surtout en évaluation. Pour les trois problèmes
ci-dessous, un mot de l’énoncé (« plus », « différence », « moins ») correspond au
lexique de l’addition, pour le premier problème, et de la soustraction, pour les deux
suivants. Une centration sur ces mots, indépendamment de toute autre chose, conduit
à effectuer l’opération attendue. Un élève peut donc modéliser correctement le
problème, en s’appuyant uniquement sur ce mot clé, sans avoir compris la situation
et sans avoir réfléchi au modèle mathématique sous-jacent.

— « Au marché, un ananas coûte 1,89 €. Une pastèque coûte 1,66 € de plus qu’un ananas.
  Quel est le prix d’une pastèque ? »
— « Au marché, un ananas coûte 1,89 € et une pastèque coûte 3,55 €.
  Quelle est la différence de prix entre une pastèque et un ananas ? »
— « Au marché, une pastèque coûte 3,55 €. Un ananas coûte 1,66 € de moins
  qu’une pastèque.
  Quel est le prix d’un ananas ? »

Ces trois problèmes peuvent donc, dans certains cas, conduire à penser que des
élèves savent résoudre correctement des problèmes de comparaison additive, alors
que leur raisonnement est erroné. On peut alors parler de faux positif, comme on
le ferait dans le cas d’un test médical. Si ce type de problèmes n’est pas à bannir,
il faut cependant rester vigilant afin de ne pas risquer de valider des compétences
qui ne sont pas acquises. Cela pose, de façon générale, la question de la manière
dont les termes de l’énoncé influencent le choix de la stratégie de résolution de
l’élève59. Le professeur peut ainsi, en évaluation, privilégier des problèmes évitant
ces concordances, comme les problèmes ci-après :

— « Au marché, un ananas coûte 1,89 €. Un ananas coûte 1,66 € de moins
  qu’une pastèque.
  Quel est le prix d’une pastèque ? »
— « Au marché, un ananas coûte 1,89 € et une pastèque coûte 3,55 €.
  Combien une pastèque coûte-t-elle de plus qu’un ananas ? »
— « Au marché, une pastèque coûte 3,55 €. Une pastèque coûte 1,66 € de plus
  qu’un ananas.
  Quel est le prix d’un ananas ? »

58 — Voir chapitre 1.
59 — Gabriella Daroczy, Detmar Meurers, Juergen Heller, Magdalena
Wolska, Hans-Christoph Nuerk, “The Interaction of Linguistic And
Arithmetic Factors Affects Adult Performance on Arithmetic Word
Problems”, Cognitive Processing, n° 21, 2020.
76 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves


L’inscription ou non dans le champ de validité
de la conception intuitive des opérations

Depuis les années 1980, il est bien établi par la recherche que chaque notion
mathématique est d’abord comprise par les élèves à travers des éléments de la vie
quotidienne. Ainsi, la conception intuitive de l’addition est la recherche du résultat
d’un gain ou d’un ajout, celle de la soustraction est la recherche du reste dans
une situation de perte ou de retrait, celle de la multiplication est la répétition d’une
suite d’additions du même nombre et celle de la division est la recherche de la taille
de la part dans le contexte d’un partage équitable 60. Ces conceptions intuitives
sont utiles dans la mesure où elles permettent aux élèves de s’appuyer sur leurs
connaissances préalables pour donner du sens à une notion, de mettre à profit
leurs expériences passées pour faciliter leurs apprentissages. Mais elles vont aussi
constituer un ­obstacle quand elles ne coïncideront pas avec la notion mathématique61 ,
par exemple, quand un problème mettant en jeu une perte nécessite de mobiliser une
addition et non pas une soustraction, comme pour le problème ci-dessous.

    « Alice a un trou dans sa poche. Elle a perdu 3,40 € pendant la randonnée. Il lui
    reste 13,80 €. Combien d’argent avait Alice au début de la randonnée ? »

Un autre exemple est celui d’une multiplication avec un multiplicateur inférieur
à 1, pour laquelle le produit sera donc inférieur au multiplicande, ce qui heurte la
conception intuitive d’une multiplication qui est la répétition d’une suite d’additions du
même nombre et qui dans ce cas donne donc un produit supérieur au multiplicande.

    « Arsène achète 0,250 kg de Beaufort à 22 € le kilogramme. Combien d’euros
    va payer Arsène pour son morceau de Beaufort ? »

Le tableau ci-après donne d’autres exemples de problèmes coïncidant ou non avec
la conception intuitive des opérations.




60 — Jacques Lautrey, Sylviane Rémi-Giraud, Emmanuel Sander, Andrée
Tiberghien, Les Connaissances naïves, Armand Colin, Paris, 2008.
61 — George Lakoff, Rafael Núñez, Where Mathematics Comes From:
How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, Basic Books,
New York, 2001.
77 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves


         Problèmes coïncidant                      Problèmes non inscrits dans le champ
       avec la conception intuitive                 de validité de la conception intuitive
              de l’opération                                    de l’opération
« Léa avait 18,45 €. Sa maman lui a               « La maman de Léa lui a donné 5 €.
donné 5 €.                                        Léa a maintenant 18,45 €.
Combien d’argent a Léa maintenant ? »             Combien d’argent avait Léa avant
                                                  de recevoir les 5 € de sa maman ? »
« 108 coureurs prennent le départ                 « 108 coureurs prennent le départ
d’une course. Il y a 85 abandons                  d’une course. Il y a beaucoup
pendant la course.                                d’abandons. 85 coureurs seulement
Combien de coureurs ont terminé                   terminent la course.
la course ? »                                     Combien de coureurs ont abandonné ? »
« Quel est le prix de 4 litres d’essence  « Quel est le prix de 0,27 litre d’essence
si un litre d’essence coûte 1,22 euro ? » si un litre d’essence coûte 1,22 euro ? »62
« Sept enfants se partagent                       « Des enfants se sont partagé
équitablement 91 billes.                          équitablement 91 billes. Chaque enfant
Combien de billes va recevoir                     a reçu 7 billes.
chaque enfant ? »                                 Combien y a-t-il d’enfants ? »

Il est important de prendre en compte, dans les activités de résolution de problèmes,
si la situation s’inscrit ou non dans le champ de validité de la conception intuitive
de l’opération en jeu dans le problème. En effet, les réussites ne s’interprètent pas
de la même façon selon que la conception intuitive de l’opération facilite ou non le
ou les choix calculatoires pertinents. Il y a évidemment un enjeu fort à s’assurer
que les situations travaillées en classe vont fréquemment au-delà des contextes où
la conception intuitive est facilitante.



Un scénario, évoqué par l’énoncé, facilitant
ou non la perception des relations
mathématiques en jeu

De manière générale, il n’y a pas de neutralité entre les contenus des énoncés et les
structures mathématiques sous-jacentes, dans la mesure où les relations qu’entre-
tiennent les éléments d’un énoncé peuvent inciter à effectuer certaines opérations
mathématiques. Par exemple, des billes de différentes couleurs, des pommes et des
poires, ou encore des voitures et des camions relèvent de scénarios de collections
existant en parallèle et pouvant être regroupées dans des collections englobantes
comme les billes ou les fruits ou encore les véhicules, ce qui évoque une addition ou
une soustraction. En revanche, des fleurs et des vases, des œufs et des boîtes, des
billes et des sacs ou des pommes et des paniers relèvent de scénarios de répartition
de contenus dans des contenants, ce qui évoque une multiplication ou une division.




62 — Ce problème relève a priori du niveau sixième ; il nécessite
un changement d’unité pour que l’opération à effectuer soit accessible
à un élève de cours moyen.
   78 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

   Lorsque les opérations évoquées par les éléments en jeu ne sont pas celles qui
   mènent à la solution, cela conduira à une difficulté accrue de la résolution des
   problèmes63 . Par exemple, un problème avec un nombre de vases et de fleurs pour
   lequel il faut effectuer une soustraction et non pas une division.

             Scénarios facilitateurs                         Scénarios non facilitateurs
    « Léo a 21 billes rouges et 7 billes bleues. « Léo a 21 roses et 7 vases.
    Combien Léo a-t-il de billes rouges          Combien Léo a-t-il de roses de plus que
    de plus que de billes bleues ? »             de vases ? »
    « Lucie a 13 vases. Elle met 7 roses             « Lucie a 7 billes rouges. Elle reçoit
    dans chaque vase.                                13 billes bleues en échange de chaque
    Combien de roses y aura-t-il dans                bille rouge.
    l’ensemble des vases ? »                         Combien de billes bleues aura-t-elle
                                                     à la fin des échanges ? »


   Dans le cadre de l’enseignement de la résolution de problèmes, il est essentiel
   d’envisager des cas de figure où les scénarios ne sont pas facilitateurs afin de
   s’assurer que les élèves ont acquis une autonomie suffisante pour résoudre les
   problèmes y compris en l’absence de ces soutiens sémantiques.




Le champ numérique

   Les nombres en jeu dans un problème peuvent être source de difficulté pour les élèves.
   La difficulté va être liée à la nature ou l’écriture des nombres (fractions, écriture à
   virgule d’un nombre décimal), au nombre de chiffres que comporte l’écriture de ces
   nombres ou encore au fait que ces nombres sont des mesures données dans des
   unités différentes. Dans les problèmes multiplicatifs, les rapports qu’entretiennent
   entre eux les nombres peuvent également être ou non source de difficulté.

   La complexité engendrée par les nombres en jeu et leurs relations peut apparaître :

   — lors des phases de compréhension et de modélisation du problème en créant une
     surcharge cognitive qui laisse alors moins de disponibilité pour appréhender les
     autres difficultés du problème ;
   — lors de la phase de calcul en nécessitant d’éventuels changements d’écriture
     des nombres (passage d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale par
     exemple) ou d’éventuels changements d’unités des grandeurs et des stratégies
     de calcul parfois mal maîtrisées à ce stade de la scolarité.




   63 — Miriam Bassok, Valerie Chase, Shirley Martin, “Adding Apples
   and Oranges: Alignment of Semantic and Formal Knowledge”, Cognitive
   Psychology, n° 35, 1998.
79 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Au cours moyen, un problème avec des nombres entiers inférieurs à 20 pourra
souvent être traité mentalement, alors que le même problème avec des nombres
nouvellement rencontrés nécessitera un traitement à l’écrit. Il est à noter que la
surcharge cognitive que représente le maniement de ces nouveaux nombres peut
conduire à la nécessité de produire un schéma pour modéliser le problème alors
que la modélisation de ce même problème ne nécessite pas de schéma avec des
nombres avec lesquels l’élève est plus à l’aise.

Le problème ci-dessous, qui peut être traité par un élève de CP, pourra être traité
mentalement, sans difficulté, par un élève de cours moyen.

    « Tiago a acheté 10 kg de fruits. Il a acheté 2 kg d’oranges, 3 kg de bananes et
    des pommes. Quelle masse de pommes a-t-il achetée ? »

A contrario, le problème ci-après, identique au précédent aux valeurs numériques
près, nécessitera sans doute un traitement à l’écrit, généralement avec un schéma
pour représenter la situation et écrire les différentes masses sous une forme
homogène avant de se lancer dans des calculs.

    « Tiago a acheté 2,5 kg de fruits. Il a acheté 870 g d’oranges, un quart de kilo-
    gramme de bananes et des pommes. Quelle masse de pommes a-t-il achetée ? »

                Orange                      Banane                           Pomme
                 870 g                    1 kg = 250 g                         ?g
                                          4




                                        2,5 kg = 2 500 g


Dans ce problème, la difficulté est augmentée par le fait que les masses sont données
dans des unités différentes (gramme et kilogramme) et par le fait que les mesures de
ces masses sont fournies avec des nombres avec des écritures différentes (entier,
fraction, écriture à virgule d’un nombre décimal).

Dans d’autres problèmes, ce sont les calculs qui doivent être effectués qui peuvent
engendrer des difficultés, car les techniques opératoires sont apprises depuis peu
de temps.

    « J’achète 24 tickets d’entrée à un parc de loisirs. Le prix total est de 300 €. Quel est
    le prix d’un ticket ? »

Ce problème de recherche de la valeur d’une part est très simple du point de vue
de sa structure et de la forme de l’énoncé. Un simple changement des données
permet d’obtenir un problème qui serait massivement réussi par des élèves de
cours élémentaire.

    « J’achète 4 tickets d’entrée à un parc de loisirs. Le prix total est de 40 €. Quel est
    le prix d’un ticket ? »
80 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

Le problème avec 24 tickets nécessite, lui, de calculer le quotient 300 ÷ 24, opération
difficile à traiter mentalement au cours moyen, et qui peut donc conduire à poser une
division décimale. Une recherche par essais et ajustements du nombre qui, multiplié par
24, donne 300 est également possible. L’algorithme de la division décimale est introduit
au CM2 et peut donc être encore mal maîtrisé. Lors d’une évaluation nationale des
élèves de CM2 de janvier 2011, le taux de réussite à cet exercice était de 26 % seulement.

Dans d’autres cas, les calculs auxquels conduit une première modélisation peuvent ne
pas être accessibles aux élèves. Il est alors nécessaire de développer des stratégies
de calcul spécifiques ou de repenser la modélisation.

    « Un pack de six bouteilles de lait entier biologique coûte 7,38 €. Quel est le prix
    d’une bouteille de ce pack ? »

Pour ce problème qui s’adresse à des élèves de CM2, l’opération qui permet de
résoudre directement le problème est la division décimale 7,38 ÷ 6. Cette opération
est difficile à effectuer sans poser l’opération. La division décimale posée est une
opération nouvelle au CM2 et reste difficile pour certains élèves. En travaillant avec
des centimes, la division peut être ramenée à une division euclidienne, qui reste
elle aussi difficile pour certains élèves mais qui est sans doute plus accessible car
introduite dès le CM1.

— « Pour son anniversaire, Lyna a acheté 3 litres de jus de fruits. Les verres de
  Lyna contiennent 0,2 litre.
  Combien de verres de jus de fruits Lyna pourra-t-elle servir ? »
— « Un mètre d’un certain tissu coûte 5,40 €. Hugo souhaite acheter 2,5 mètres de
  ce tissu.
  Combien devra payer Hugo pour cet achat ? »

Pour ces deux problèmes, une première modélisation peut conduire aux calculs
suivants : 3 ÷ 0,2 et 5,40 x 2,5. Les opérations posées correspondant à ces deux
calculs ne sont pas accessibles à des élèves de cours moyen. Les calculs nécessitent
donc une réflexion supplémentaire pour pouvoir trouver respectivement le quotient
et le produit cherchés. Plusieurs stratégies peuvent être déployées, en voici
quelques exemples :

— Un changement d’unité de mesure pour le premier problème
Les élèves peuvent choisir de travailler avec des centilitres (ou des millilitres).
3 L = 3 x 1 L = 3 x 100 cL = 300 cL et 0,2 L = 0,2 x 1 L = 0,2 x 100 cL = 20 cL. On cherche
donc combien de verres de 20 cL on peut remplir avec 300 cL de jus de fruits.
300 cL ÷ 20 cL = 15. Avec 3 L de jus de fruits, Lyna peut donc servir 15 verres.

— Une utilisation de la proportionnalité pour le premier problème
5 x 0,2 = 5 x 2 dixièmes = 10 dixièmes = 1. D’où 5 x 0,2 L = 1 L.
5 verres contiennent 1 L. Avec 1 L, Lyna peut donc servir 5 verres.
3 L, c’est 3 fois plus que 1 L ; avec 3 L on remplit donc 3 fois plus de verres qu’avec 1 L.
3 x 5 verres = 15 verres ; avec 3 L, Lyna peut donc servir 15 verres.
81 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

— Une utilisation de la proportionnalité pour le second problème
Un mètre de tissu coûte 5,40 €, donc deux mètres de tissu coûtent deux fois plus,
c’est-à-dire 2 x 5,40 € = 10,80 €.
Un mètre de tissu coûte 5,40 €, donc un demi-mètre de tissu coûte la moitié de 5,40 €,
c’est-à-dire 5,40 € ÷ 2 = 2,70 €.
2,5 m = 2 m + 0,5 m ; 2,5 mètres de tissu coûtent donc le prix de 2 mètres de tissu
plus le prix d’un demi-mètre de tissu, c’est-à-dire 10,80 € + 2,70 € = 13,50 €.
    82 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves


En résumé

   Trois sources principales de difficultés sont à retenir :

   — la structure du problème. Les problèmes en une étape
     sont d’une difficulté très hétérogène (voir chapitre 1).
     Les problèmes en plusieurs étapes, qui sont l’objectif
     principal de l’enseignement de la résolution de problèmes
     au cours moyen, sont en général plus difficiles que ceux en
     une étape. Les problèmes atypiques sont les moins connus
     des élèves et généralement les plus difficiles à résoudre ;
   — le texte de l’énoncé du problème. Un énoncé de quelques
     lignes, éventuellement accompagné d’une illustration,
     peut poser de multiples difficultés de compréhension
     liées au contexte de l’énoncé, au lexique utilisé,
     aux représentations que se font les élèves en lisant
     l’énoncé, etc. ;

   — les nombres en jeu. Au cours moyen, les élèves
     rencontrent de nouveaux nombres (grands nombres,
     fractions, nombres décimaux) avec lesquels ils
     apprennent à calculer. Leur présence et des écritures
     de natures différentes dans les problèmes peuvent être
     sources de difficultés pour de nombreux élèves.


   Pour construire des séquences et des séances d’enseignement
    de la résolution de problèmes, le professeur prend en compte
    ces trois sources de difficultés pour organiser :

   — la progressivité des apprentissages des élèves ;

   — la différenciation des tâches proposées ;

   — l’accompagnement des élèves en difficulté.
                   IV
Comment délivrer
un enseignement
structuré
de la résolution
de problèmes ?
        84 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


Construire un enseignement de la résolution de problèmes
est complexe, car il faut mener de front des actions dans
deux directions qui peuvent sembler difficiles à concilier :
— faire acquérir aux élèves des stratégies efficaces
  de résolution de problèmes, adaptées à des formes
  de problèmes bien identifiées rencontrées au cours
  moyen, et des quasi-automatismes permettant
  de mobiliser aisément et à bon escient ces stratégies
  en s’appuyant sur la mémoire des problèmes résolus
  précédemment ;
— apprendre aux élèves à ne pas être déstabilisés
  par des problèmes nouveaux, non rencontrés
  précédemment, et développer chez eux des habilités
  en résolution de problèmes : il s’agit de leur permettre
  d’aborder ces problèmes nouveaux en ayant confiance
  en leur aptitude à les résoudre, en inhibant certains
  réflexes inadaptés qui les conduiraient à une réponse
  erronée et en apprenant à tirer parti de l’ensemble
  des problèmes résolus antérieurement.




Fixer collectivement des objectifs
sur le champ de la résolution
de problèmes

        Travailler en cohérence en équipe au sein d’une école est essentiel pour accompagner
        efficacement les apprentissages relatifs à la résolution de problèmes. Les professeurs
        de cours moyen d’une école doivent non seulement travailler collectivement pour
        permettre à l’ensemble des élèves de l’école d’atteindre des objectifs clairement
85 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

définis, mais ils doivent également travailler en cohérence avec leurs collègues
de cycle 2 ayant les élèves en amont, et avec les professeurs de mathématiques qui
accueilleront les élèves en sixième. Ces échanges doivent permettre :

— de prendre en compte ce qui a été fait précédemment et donc de s’appuyer sur
  ce qui a été appris au cycle 2 ;
— d’avoir une vision claire de ce qui est attendu ultérieurement pour mieux préparer
  les élèves à la classe de sixième et informer les professeurs de collège du travail
  mené à l’école élémentaire.

Ces échanges peuvent être l’occasion de mieux harmoniser les outils utilisés et les
stratégies enseignées tout au long de la scolarité et donc de rendre l’enseignement
plus efficace en permettant aux professeurs de s’appuyer sur ce qui a été fait
l’année précédente. Dans le cadre de la liaison école-collège, les échanges peuvent
être menés avec l’ensemble des collèges de chaque secteur, en harmonisant ce qui
peut l’être (outils, stratégies, objectifs, etc.) dans les différentes écoles partenaires
afin de permettre aux professeurs de collège de s’appuyer fortement, à l’entrée en
sixième, sur ce qui a été appris à l’école depuis la maternelle.

Ces échanges peuvent s’appuyer sur les différents chapitres de ce guide qui
­fournissent une liste non exhaustive de points sur lesquels une équipe peut se
 mettre d’accord.

— Quels problèmes ? Savoir quels types de problèmes (voir chapitre 1) ont été
  résolus et même avoir des exemples très précis de problèmes résolus l’année
  précédente par les élèves peut permettre de s’appuyer sur ceux-ci dès le début
  de l’année scolaire, pour éviter de proposer trop de problèmes d’un niveau
  équivalent, voire inférieur, à ce qui a été vu l’année précédente, ou encore des
  problèmes beaucoup plus difficiles pour lesquels les élèves n’ont pas encore
  développé d’habiletés suffisantes. Cela peut aussi permettre de partir de ces
  problèmes pour en proposer d’un peu plus difficiles, en s’appuyant sur les
  différents facteurs pouvant générer des difficultés mis en avant dans le chapitre
  3. Il faut différencier clairement, au fur et à mesure du cycle, les problèmes que
  l’on commence à fréquenter et les problèmes dont on considère que la résolution
  est exigible. Retarder l’introduction de problèmes difficiles conduit à donner
  moins de temps aux élèves fragiles pour apprendre à les résoudre et peut donc
  contribuer à créer de la difficulté.
— Quelles stratégies ? Les différentes phases proposées dans le chapitre 2 peuvent
  servir de base pour partager ce qui a été mené à un moment donné de la scolarité :
  compétences développées en calcul, réflexion sur la compréhension et le lexique
  mathématique introduit, travail sur la modélisation en s’appuyant sur des schémas
  (voir la partie « Enseigner explicitement des méthodes de représentation efficaces
  pour modéliser » de ce chapitre 4), etc.
    86 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

    — Quels niveaux de maîtrise ? Les obstacles présentés au chapitre 3, liés à la
      structure mathématique du problème, à la nature et la forme de l’énoncé et aux
      données numériques en jeu, fournissent des curseurs pour déterminer le niveau
      de difficulté d’un problème. Ces curseurs doivent permettre de se mettre d’accord
      sur le niveau de difficulté auquel les élèves doivent pouvoir faire face à un moment
      donné de la scolarité. Les évaluations nationales de sixième qui comportent
      une évaluation sur la résolution de problèmes contribuent également à nourrir
      ces échanges.




Construire une progression
partagée

    Les échanges en équipe doivent permettre d’établir une progression partagée.
    Les différents chapitres de ce guide montrent toute la complexité qu’il y a à rendre
    explicite cette progression tant la difficulté d’un problème est multifactorielle. Ce n’est
    pas parce qu’un problème est additif et en une étape qu’il est simple ; d’ailleurs de
    nouveaux problèmes additifs et en une étape seront rencontrés tout au long du
    cycle 3. En outre, certains problèmes en plusieurs étapes sont simples à résoudre
    pour les élèves.

    Dans un premier temps, pour rendre les choses simples, le choix peut être fait
    de partager une progression par année ou par demi-année, idéalement du début
    du cycle 2 à la fin du cycle 3, indiquant :

    — une liste d’exemples de problèmes en une ou plusieurs étapes que les élèves
      doivent savoir traiter, s’appuyant sur les repères fournis dans le chapitre 1 ;
    — des objectifs précis concernant les problèmes atypiques que les élèves doivent
      apprendre à résoudre, s’appuyant sur les repères fournis dans le chapitre 1 ;
    — des éléments sur ce qui est attendu des élèves concernant la compétence « repré-
      senter » (construction de schémas).

    Des outils plus précis et plus complets peuvent être produits ensuite, en fonction
    du temps dont disposent les équipes pour les construire. Il peut, par exemple, être
    proposé une évaluation en résolution de problèmes, pour la période 3 de CM2,
    ­partagée par l’ensemble des écoles d’un même réseau.
87 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


Focus | Un exemple
d’évaluation commune
proposée en fin de période 3
en CM1

Modalité : Évaluation à l’écrit de 40 minutes. Les énoncés des problèmes sont
distribués sur une feuille au format A5 qui ne sera pas collée afin que les élèves
puissent toujours avoir les énoncés sous les yeux. Les élèves résolvent les problèmes
sur une feuille de classeur. Les élèves travaillent individuellement. La calculatrice
n’est pas autorisée.

Objectifs : Faire le point sur ce qui a été travaillé au cours des périodes 2 et 3 :

— problèmes en une étape sans difficulté particulière portant sur les entiers
  (nombres supérieurs à 10 000), les fractions et les nombres décimaux avec
  appui possible sur un schéma en barres ou une ligne numérique ;
— problèmes en plusieurs étapes à l’énoncé épuré (contexte familier ou facile à se
  représenter, phrases simples et courtes, pas de données inutiles, etc.) faisant
  intervenir des nombres décimaux ;
— problèmes en plusieurs étapes faisant intervenir des nombres entiers ­inférieurs
  à 1 000.

Problèmes de l’évaluation :

— Problème 1 : « En 2021, la population française était de 67 700 000 habitants
  et la région Île-de-France comptait 12 300 000 habitants.
  Combien de personnes vivant en France habitaient en dehors de la région
  Île‑de-France en 2021 ? »

— Problème 2 : « Margaux a ramassé 1,7 kg de fraises et Pablo en a ramassé 1,3 kg.
  Quelle masse de fraises ont-ils ramassée à eux deux ? »

— Problème 3 : « Margaux a ramassé 1,7 kg de fraises et Pablo en a ramassé
  1,3 kg de plus que Margaux.
  Quelle masse de fraises ont-ils ramassée à eux deux ? »

— Problème 4 : « Wassim a économisé 20 €. Il veut utiliser les 3 de cet argent
                                                               10
  pour acheter un manga.
  Combien coûte le manga ? »

— Problème 5 : « Clara a acheté 7 crayons coûtant chacun 2 € et 3 mangas.
  Les 3 ­mangas sont tous au même prix. Elle a donné 50 € au caissier qui lui
  a rendu 15 €.
  Quel est le prix d’un manga ? »

— Problème bonus : « Le nombre de billes de Robin est égal au quart du nombre
  de billes de sa sœur Aya. À eux deux, Robin et Aya ont 40 billes.
  Combien de billes ont chacun des enfants ? »
88 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Le sixième problème ne fait pas véritablement partie de l’évaluation, c’est un pro-
blème présenté comme « supplémentaire » pour les élèves ayant terminé avant la fin
du temps imparti.

Pour la correction, le professeur complète le tableau suivant avec les informations
(R : réussi, PR : partiellement réussi, NR : non réussi, NT : non traité). Ceci peut
éventuellement être complété d’informations plus précises, par exemple sur la
présence d’un schéma pertinent ou non, sur des indices d’une modélisation, sur des
éléments de réussite partielle, etc. Le focus du chapitre 2, « Analyser les erreurs
des élèves pour adapter l’aide à leur apporter », donne des exemples d’analyse de
productions écrites des élèves.


                                   Élève 1 Élève 2 Élève 3        ….              Bilan
               Compréhension
               et modélisation
Problème 1
               Calculs
               Réponse
               Compréhension
               et modélisation
Problème 2
               Calculs
               Réponse
…


Bilan


Pour sa propre synthèse, il compte le nombre de R dans chaque ligne du tableau
pour l’ensemble des élèves de la classe pour repérer les types de problèmes et les
étapes pour lesquels un travail renforcé devra être mené lors de la période 4.

Pour les exercices et étapes massivement réussis, il repère les élèves qui ne les
ont pas réussis pour travailler spécifiquement avec eux sur ces points particuliers.
Cela est essentiel. En effet, trop souvent, l’attention est uniquement portée sur
les tâches les plus échouées de façon globale, alors que la centration doit être
prioritairement portée sur les élèves ayant échoué aux tâches les mieux réussies
par l’ensemble de la classe.
    89 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


Points de vigilance et propositions
pour construire une séquence
en résolution de problèmes

    Comme pour toute autre séquence d’enseignement en mathématiques, la construction
    d’une séquence d’enseignement en résolution de problèmes s’appuie sur des objectifs
    clairement définis. « La résolution de problèmes » n’est pas un objectif en soi, mais
    le champ sur lequel le travail est mené. L’objectif d’une telle séquence doit donc être
    plus précis, par exemple « savoir résoudre des problèmes en une étape avec des
    fractions » ou « savoir résoudre des problèmes multiplicatifs de comparaison en une
    étape avec des nombres décimaux » ou encore « savoir résoudre des problèmes
    algébriques en utilisant des schémas en barres ». Une séquence peut aussi avoir
    plusieurs objectifs, mais il est préférable de les hiérarchiser afin de ne pas perdre
    de vue l’intention première.



    Rendre visibles les objectifs de la séquence
    dès la première séance

    Une séquence peut commencer par la proposition d’un premier problème à résoudre
    rapidement sur l’ardoise ou le cahier de brouillon, afin de faire émerger explicitement
    ce qui pose problème (et qui devrait ne plus en poser en fin de séquence), ainsi que
    des moyens que peuvent utiliser les élèves pour faire face à ce qui pose problème.
    L’utilisation de l’ardoise véhicule un message clair sur le fait que l’on est en train
    d’essayer, de chercher, de faire émerger un savoir nouveau. Les éventuelles erreurs
    sont donc accueillies avec une bienveillance renforcée. Ce premier problème permet
    de rendre les élèves réceptifs aux solutions qui seront proposées ensuite pour
    surmonter les difficultés que présente le problème.

    Par exemple, pour une séquence ayant pour objet de travailler sur des problèmes en
    plusieurs étapes avec des comparaisons additives en s’appuyant sur le schéma en
    barres correspondant, le professeur peut proposer le problème suivant à résoudre
    sur l’ardoise.

        « Amir, Naël et Jeanne ont ramassé des fraises dans leur jardin. Amir en a
        ramassé 3,4 kg et Naël 1,5 kg. Ensemble, les deux frères en ont ramassé 2,6 kg
        de plus que leur sœur.
        Quelle masse de fraises Jeanne a-t-elle ramassée ? »

    Ce problème permettra de réintroduire le schéma correspondant aux comparaisons
    additives lors du temps de mise en commun qui suivra le travail de recherche sur
    l’ardoise. D’autres moyens sont bien évidemment envisageables pour faire émerger
    ce qui pose des difficultés et les aides proposées pour les surmonter.
90 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Une fois que l’enseignant a explicité les connaissances ou savoir-faire utiles, les
élèves doivent pouvoir les mettre en œuvre dans de nouveaux problèmes, l’utilisation
d’un cahier étant cette fois indispensable pour laisser des traces pour l’enseignant
et pour l’élève. Ces problèmes peuvent être très proches du problème initial dans un
premier temps, mais il est important de ne pas se contenter de poser des problèmes
d’entraînement dont le contexte est similaire à celui du problème initial : il faut
aussi proposer des problèmes portant sur un contexte suffisamment éloigné du
contexte initial. En effet, les travaux sur le transfert d’apprentissage montrent que
des élèves peuvent avoir tendance à se centrer sur des éléments de surface pour
relier les problèmes entre eux (problèmes d’achats, problèmes de gains, problèmes
sur les fruits, etc.), alors que les élèves en réussite s’appuient sur la structure
mathématique sous-jacente64 . Il est donc important de mettre en avant les liens de
structure qui unissent des problèmes dont l’habillage peut laisser penser a priori
qu’ils sont éloignés afin d’inviter les élèves, et en particulier les plus fragiles, à se
focaliser sur les liens de structure mathématique.



Laisser les élèves résoudre des problèmes
tout en les accompagnant

Lors des temps d’enseignement consacrés à la résolution de problèmes, la priorité
doit être donnée à la résolution de problèmes par les élèves65. Une centration sur des
sous-objectifs plus précis (compréhension, construction de schémas, modélisation,
calculs, etc.) ne doit pas être proposée a priori, même si les professeurs l’ont
nécessairement à l’esprit lorsqu’ils circulent dans les rangs. Elle ne devient utile
que pendant la résolution, avec les élèves pour lesquels des besoins spécifiques
émergent, ou après la résolution, lors d’un temps de mise en commun, d’échange
ou de correction. De nouveaux problèmes peuvent être proposés ensuite pour
renforcer les sous-objectifs visés.

Cette remarque fondamentale sur la priorité donnée à l’action de résolution de
problèmes des élèves et à l’explicitation des objectifs par le professeur doit conduire
à éviter certaines dérives parfois observées dans les classes. Des recommandations
sont apportées dans la suite de cette partie. Il est bien évidemment impossible de
faire des propositions valables dans toutes les situations, et celles qui suivent sont
donc des propositions générales, qui peuvent ne pas être adaptées à certaines
séances ou certains contextes particuliers ; l’analyse fine des besoins des élèves
par le professeur doit permettre les aménagements utiles.




64 — Edward Silver, “Student Perceptions of Relatedness among
Mathematical Verbal Problems”, Journal for Research in Mathematics
Education, n° 10, 1979.
65 — Catherine Houdement, « Problèmes arithmétiques basiques :
le cœur du problème », Actes du séminaire de didactique des
mathématiques de l’ARDM, 2018.
91 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

LIMITER LES ÉCHANGES SUR LE PROBLÈME EN AMONT DE SA RÉSOLUTION
Les échanges que l’on peut observer sont de différentes natures : il s’agit parfois
d’expliciter ou de faire expliciter la signification de certains mots de l’énoncé, d’autres
fois d’amorcer la résolution du problème. Ces deux pratiques sont généralement à
éviter. La première a tendance à éloigner les élèves de la tâche de résolution (Est-ce
un exercice sur le lexique ?) et conduit souvent à une déconcentration des élèves,
en particulier quand les explications ou les échanges sur le lexique s’éternisent.
La seconde conduit souvent à « tuer » le problème : en effet, le professeur ne maîtrise
pas les réponses aux questions des élèves, qui donnent souvent plus d’informations
que ce qui serait souhaitable. Les élèves ne sont alors plus dans une tâche de réso-
lution de problème, mais dans une simple tâche d’exécution. Le plaisir de faire des
mathématiques, le plaisir de chercher et trouver la solution du problème est ainsi
fortement réduit. Ce démarrage rapide de l’action de résolution par les élèves libère
le professeur qui peut ainsi se consacrer pleinement à l’accompagnement des élèves
en action, en prodiguant à chacun les encouragements, les conseils ou les coups de
pouce utiles pour progresser. Bien évidemment, cette remarque ne concerne pas
la lecture du problème à voix haute par le professeur ou un pair, à un ou plusieurs
élèves qui seraient en difficulté pour effectuer cette lecture eux-mêmes.

ÉVITER LES SÉANCES DE RÉSOLUTIONS DE PROBLÈMES CENTRÉES
SUR DES SOUS-TÂCHES
Il est en effet préférable d’éviter les séances de résolution de problèmes qui ne conduisent
pas à résoudre des problèmes. Par exemple, des séances qui consistent à repérer
les données utiles et les données inutiles d’une série de problèmes, ou encore des
séances qui consistent seulement à effectuer des représentations (dessins, schémas)
des problèmes sans chercher à les résoudre. De telles séances risquent de conduire à
développer des routines de résolution indésirables qu’il est parfois nécessaire d’inhiber
pour certains problèmes. Les quasi-automatismes que l’on cherche à développer en
résolution de problèmes ne peuvent pas être déconnectés des problèmes dans lesquels
ils sont activés, sauf sans doute les automatismes de calcul mis en œuvre pendant la
phase calculatoire de la résolution pour laquelle le contexte du problème n’importe pas.
Il est par contre essentiel de rendre explicites ces sous-tâches lors des temps de mise en
commun, car une prise de conscience de ces sous-tâches et une efficacité à les traiter
sont nécessaires pour être en réussite en résolution de problèmes.

ÉVITER D’ÊTRE SURMOBILISÉ PAR LES ÉLÈVES LES PLUS EN RÉUSSITE
Quand la priorité est donnée à la résolution de problèmes par les élèves, des
difficultés à traiter le problème ou un simple besoin d’être rassuré apparaissent,
entraînant généralement une mobilisation très forte du professeur par les élèves.
Si, dans quelques cas, il est assis à son bureau tandis que les élèves se déplacent
pour présenter leur travail, dans la majorité des cas, et à raison, le professeur
préfère se déplacer lui-même dans les rangs, les élèves restant assis à leur place.
Souvent les élèves signalent leur besoin d’accompagnement en levant la main,
le professeur tente alors, autant qu’il le peut, de répondre aux sollicitations des
élèves. Dans ­certaines classes, et c’est sans doute une pratique pertinente, les élèves
ne lèvent plus la main (c’est une demande explicite du professeur) et le professeur
circule de manière ordonnée dans les rangs. Cette dernière pratique lui permet en
92 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

effet de ne pas centrer son attention sur les élèves qui sont les plus demandeurs,
ceux qui ont le plus d’appétence pour les mathématiques et qui sont souvent le plus
en réussite, mais au contraire de consulter les travaux de tous les élèves et de
consacrer plus de temps aux élèves qui ont le plus de besoins. Il peut ainsi valider les
bonnes réponses, encourager les réussites et fournir l’accompagnement approprié
à ceux qui ont besoin d’aide, individuellement ou au sein d’un groupe de besoin.
Une telle action permet également de gagner en efficacité lors des temps de mise
en commun, en évitant de corriger collectivement et de s’attarder sur un problème
dont la résolution ne pose pas de difficulté aux élèves.

ÉVITER LES PRISES DE PAROLE TROP FRÉQUENTES SUR LES TEMPS
DÉDIÉS À LA RÉSOLUTION INDIVIDUELLE
Il est souvent difficile pour le professeur, pendant les temps de recherche, de
laisser les élèves chercher sans intervenir collectivement. En effet, des constats
de difficultés, lors du passage dans les rangs, peuvent encourager à communiquer
des informations supplémentaires aux élèves. Cela peut être pertinent si une
incompréhension d’un élément du problème est largement partagée. Il peut même
être pertinent d’interrompre le temps de recherche pour une rapide mise au
point. Cependant, ces interruptions doivent rester peu fréquentes afin de laisser
véritablement du temps aux élèves pour effectuer la tâche de résolution qui leur est
confiée. Dans la plupart des cas, une information transmise aux seuls élèves qui en
ont besoin sera l’action la plus pertinente.

ÉVITER LES TEMPS DE MISE EN COMMUN TROP LONGS
Idéalement, au moins les trois quarts de la durée d’une séance de résolution de
problèmes doivent être consacrés à la résolution de problèmes par les élèves.
Cela signifie que le temps de mise en commun ne doit pas dépasser le tiers du
temps consacré à la résolution individuelle. Ce ratio ne sera bien évidemment pas
nécessairement respecté quand un temps long d’institutionnalisation est prévu,
notamment avec l’écriture d’éléments dans le cahier de leçons. Ce ratio implique
également que tous les élèves soient effectivement en recherche pendant tout le
temps consacré à la résolution individuelle. Ceci implique que les élèves les plus
fragiles soient activement soutenus et accompagnés pour ne pas décrocher et pour
rester actifs pendant tout le temps de la séance, mais aussi que les élèves ayant le
plus de facilités en mathématiques se voient proposer autant de nouveaux problèmes
que nécessaire pour pouvoir faire des mathématiques pendant toute la séance.
La consultation des cahiers, au fil de la séance, est essentielle pour organiser le
temps de mise en commun. Il est inutile de corriger collectivement un problème qui
n’a posé de difficulté à personne et il est également inutile de corriger collectivement
un problème qui n’a pu être abordé que par deux ou trois élèves, une correction dans
le cahier par le professeur sera alors certainement plus pertinente.

Ces temps de correction et de mise en commun doivent être l’occasion de mettre
en avant les éléments que les élèves doivent s’approprier et retenir. Il s’agit d’une
tâche particulièrement délicate pour le professeur qui doit faire percevoir que toutes
les méthodes ne se valent pas, que certaines sont moins efficaces et doivent être
abandonnées alors que d’autres doivent au contraire être privilégiées. On pense
ici à l’usage de représentations très coûteuses en temps et non pertinentes,
93 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

car susceptibles de générer des erreurs de comptage 66 . Dans le même temps,
le professeur doit pouvoir montrer qu’il existe parfois plusieurs façons de résoudre
un même problème. Par exemple, pour la résolution de problèmes à plusieurs
étapes, différents enchaînements d’étapes peuvent être choisis. On peut le voir pour
le problème des fruits proposé au chapitre 2.

    « Marius revient du marché. Il a acheté 750 g de fraises, un demi-kilogramme
    d’abricots et a oublié la masse des kiwis achetés. Le contenu de son panier pèse
    1,650 kg.
    Quelle est la masse des kiwis ? »

On peut d’abord calculer la masse des fraises et des abricots, puis retirer cette
masse à la masse totale (on résout alors le problème en faisant une addition puis
une soustraction) ; on peut aussi commencer par retirer la masse des fraises à la
masse totale, puis retirer la masse des abricots à la masse obtenue (on résout alors
le problème en faisant deux soustractions).

Si aucun élève n’a utilisé la méthode de résolution que le professeur souhaitait mettre
en avant, l’objectif d’apprentissage ne doit pas être abandonné, bien au contraire, car
il sera vraisemblablement utile. Le professeur introduira cette nouvelle méthode en
annonçant aux élèves qu’il va leur enseigner une méthode plus efficace pour réussir
les problèmes qui ressemblent au problème proposé. Il pourra la présenter comme
un traitement proposé par un élève l’année précédente et inviter les élèves à dire ce
qu’ils pensent de la méthode. Le fait de la présenter comme une méthode d’élève permet
de rendre les élèves plus critiques et donc plus attentifs à son égard, ce qui contribue
à les conduire à en saisir l’intérêt. À l’issue d’une telle présentation, l’enseignant peut
proposer un nouveau problème en imposant l’utilisation de la procédure présentée
pour sa résolution afin de permettre aux élèves d’en saisir l’intérêt.



Développer des quasi-automatismes féconds
tout en apprenant à inhiber ceux qui sont
contre-productifs

L’enseignement de la résolution de problèmes doit contribuer à développer chez
les élèves de façon simultanée des quasi-automatismes leur permettant d’être
plus efficaces et plus autonomes lors de la résolution de problèmes, ainsi qu’une
aptitude à inhiber des procédures inappropriées qui peuvent les conduire à
une réponse erronée. Ceci représente une difficulté majeure pour la mise en œuvre
de l’enseignement, avec deux attentes qui peuvent sembler contradictoires.

Exemple :
   « Théa a 7,30 €. Théa a 2,50 € de plus que Léandre.
   Combien d’argent a Léandre ? »



66 — Pascale Masselot, « Différenciation à l’école primaire et au début
du collège : un point de vue de didacticienne des mathématiques »,
propos recueillis par Richard Cabassut, Opinions, Site Apmep, 2018.
94 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Pour le problème ci-dessus, l’élève doit pouvoir dire immédiatement, de façon
quasi automatisée, qu’il s’agit d’un problème de comparaison (additive). Dans
le même temps, l’élève doit pouvoir inhiber la réponse très tentante consistant
à réaliser une addition. En effet, le mot « plus » peut faire penser à une addition,
et l’addition « 7,30 € + 2,50 € », beaucoup plus facile à effectuer que la soustraction
« 7,30 € – 2,50 € », est naturellement très tentante… En fait, le mot « plus » correspond
bien à une addition, mais il s’agit d’une addition à trou « 7,30 € = ? + 2,50 € » dont le
terme manquant se trouve en effectuant une soustraction ou en complétant l’égalité
par un autre procédé.

Il est important, lors de la résolution de problèmes de comparaison, d’amener les
élèves à se demander systématiquement qui en a le plus ; question qui est essentielle
et apparaît naturellement lorsque l’on amorce la construction d’un schéma.

Une façon d’entraîner à cette inhibition est de demander régulièrement de justifier
les opérations envisagées, y compris quand elles conduisent à un modèle correct.
Par exemple, au problème précédent, un élève qui répond 4,80 € en expliquant qu’il
a fait la soustraction « 7,30 – 2,50 » doit pouvoir justifier son choix de la soustraction.
Bien entendu, il ne faut pas poser systématiquement la question lors de l’énoncé d’un
automatisme correct, mais il est important, pour les élèves qui utilisent des automatismes
incorrects, de comprendre que les automatismes corrects sont justifiables.

Olivier Houdé 67 a largement illustré le rôle essentiel du cortex préfrontal pour
inhiber les solutions impulsives et l’importance de développer un système d’inhibition
jouant un rôle d’arbitrage entre une pensée « automatique et intuitive » et une pensée
« réfléchie logico-mathématique », moins rapide, mais plus fiable.

Pour l’enseignement de la résolution de problèmes, cela engage à proposer réguliè-
rement aux élèves des problèmes variés pouvant, pour certains, contenir des mots
inducteurs ou une forme inductrice auxquels les élèves vont devoir résister pour
produire une réponse correcte. Il peut s’agir de mots inducteurs comme dans le
problème précédent ou le suivant.

    « Valentine a 51 billes. Valentine a 3 fois plus de billes que Sohan.
    Combien de billes a Sohan ? »

Il peut s’agir aussi d’actions : « gagner », « recevoir », « ajouter », « grandir » qui sont
généralement associées à des additions, alors que « perdre », « retirer », « enlever »,
« diminuer » sont associées à des soustractions. Comme nous l’avons vu précédemment,
il peut s’agir d’additions ou de soustractions à trou et l’opération à mobiliser avec les
deux nombres de l’énoncé n’est alors pas celle qui vient spontanément à l’esprit.
Rencontrer des problèmes heurtant ces associations, comme les deux problèmes
ci-dessous, permet d’entraîner les élèves à inhiber des réflexes non pertinents.

— « Amir a grandi de 7,5 cm en un an. Il mesure aujourd’hui 121 cm.
  Combien mesurait Amir l’année dernière ? »
— « Zélie a 28,50 € dans sa poche. Elle a perdu 5 € pendant la randonnée effectuée
  cet après-midi.
  Combien d’argent avait Zélie au début de la randonnée ? »


67 — Olivier Houdé, Apprendre à résister, Le Pommier-Humensis,
Paris, 2019.
95 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

La proportionnalité est un champ particulièrement sensible aux carences d’inhibition,
en particulier pour des problèmes qui ne relèvent pas de la proportionnalité mais
qui en ont l’apparence.

— Problème 1 : « Un groupe de 25 musiciens joue un morceau de musique en
  75 minutes. Un autre groupe de 50 musiciens va jouer le même morceau de musique.
  Combien de temps ce groupe mettra-t-il pour jouer le morceau de musique ? »
— Problème 2 : « Ellen et Kim courent autour d’un stade. Elles courent à la même
  vitesse, mais Ellen a commencé à courir après Kim. Quand Kim a parcouru
  32 tours, Ellen a parcouru 16 tours. Combien de tours aura parcourus Kim,
  quand Ellen en aura parcouru 48 ? »

Ces problèmes ont été proposés à 508 élèves des grades 4 à 6 (trois années du
cycle 3 en France) d’écoles flamandes68 . Les réponses proposées par les élèves
sont synthétisées dans le tableau ci-dessous.

                                                 Problème 1             Problème 2
Réponse correcte                                 8,6 %                  51,6 %
Réponse erronée
                                                 61,7 %                 29,3 %
utilisant la proportionnalité
Autre réponse erronée                            29,7 %                 19 %


On note que près des deux tiers des élèves pour le premier problème et un tiers
des élèves pour le second problème n’ont pas réussi à inhiber la réponse tentante
fondée sur le recours au modèle proportionnel. Dans cette enquête, il est à noter
que pour le second problème les élèves de grade 6 (6e) ont moins souvent donné une
réponse correcte et plus souvent utilisé, à tort, la proportionnalité que les élèves
de grade 4 (CM1).



Tirer profit des outils numériques

Le numérique peut sembler au premier abord peu utile à l’enseignement de la
résolution de problèmes. En effet, la tâche de résolution nécessite le plus souvent
l’utilisation de papier et crayon pour s’approprier le modèle, pour construire des
schémas qu’il faut souvent modifier ou reprendre, pour noter ses idées, les calculs
à effectuer, etc.

Néanmoins, l’utilisation des outils numériques peut s’avérer très intéressante
et efficace lors de temps de résolution de problèmes. Nous proposons deux exemples
concrets d’utilisation pertinente du numérique lors de séances de résolution
de problèmes.




68 — Wim Dooren, Dirk Bock, Marleen Evers, Lieven Verschaffel,
“Students’ Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems:
How Numbers May Change Solutions”, Journal for Research
in Mathematics Education, n° 40, 2009.
96 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

             EXEMPLE 1 : TEMPS DE CORRECTION LORS D’UNE SÉANCE

                            DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Le cadre : Une séance consacrée à la résolution de problèmes dans une classe de
CM1-CM2.

L’objectif fixé : Renforcer la maîtrise de l’utilisation des schémas en barres pour
résoudre des problèmes.

Le travail à mener : Une série de six problèmes à deux étapes est proposée aux
élèves. Les problèmes sont de difficulté croissante. Les problèmes ont été choisis
pour l’intérêt que présente l’utilisation des schémas en barres pour leur résolution.

Le fonctionnement prévu a priori pour la séance : Un temps de trente-cinq minutes
de travail individuel est prévu. Pendant ce temps, le professeur souhaite corriger
individuellement dans les cahiers les deux premiers problèmes et espère que tous
les élèves de la classe les traiteront avec succès sans qu’un temps de mise en
commun ne s’avère nécessaire. Pour les deux suivants, il envisage une correction
partielle dans les cahiers. Cela se fera pendant la séance en fonction de l’avancée
de chacun, avec l’idée que tous auront eu le temps d’y réfléchir. Une correction
collective au tableau peut ainsi être envisagée, chacun s’étant engagé. Les deux
derniers problèmes s’adressent davantage aux élèves les plus à l’aise. Une troisième
modalité de correction peut trouver sa place pour ces problèmes : corriger dans les
cahiers hors temps de classe.

Pour la correction collective, le professeur désigne un élève proposant une
résolution erronée, mais qui lui semble intéressante, car plusieurs élèves ont fait le
même type d’erreur. L’élève place sa production sous le visualiseur, ce qui permet à
tous de pouvoir la voir au tableau. Il présente alors ce qu’il a fait aux autres élèves.
Cette pratique nécessite bien évidemment une vigilance du professeur afin de ne
pas stigmatiser d’élèves, en s’assurant, par exemple, que ce ne sont pas toujours
les mêmes élèves qui présentent des procédures correctes et les mêmes élèves
qui présentent des procédures erronées. Le professeur doit aussi s’assurer de
développer un climat de classe permettant de donner un statut positif à l’erreur, qui
doit être vue comme un élément permettant de progresser.

L’intérêt de l’outil numérique est d’éviter un laborieux temps de recopie au tableau
et de se centrer sur le travail mené tout en renforçant l’expression orale, en invitant
l’élève à présenter son travail, à fournir des arguments pour justifier ses choix,
etc. Les autres élèves peuvent alors l’interroger pour demander des explications
complémentaires. Une fois l’erreur identifiée et les solutions alternatives proposées,
un second élève, ayant traité correctement l’exercice d’une façon modélisante pour
les autres élèves, est désigné pour présenter sa solution. Le même processus que
pour l’élève précédent est utilisé en s’appuyant sur la production vidéoprojetée à
l’aide du visualiseur.

L’outil numérique permet un gain de temps, une meilleure efficacité en donnant
à voir précisément aux élèves en difficulté ce qu’ont fait les élèves ayant réussi,
un renforcement de la pratique de l’oral par les élèves au sein de la classe,
une ­amélioration de la qualité des écrits des élèves qui savent que leur production
est susceptible d’être montrée à la classe, etc.
97 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

             EXEMPLE 2 : UNE SÉANCE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

                           AVEC LE PROCÉDÉ LA MARTINIÈRE

Le cadre : Une séance courte d’une vingtaine de minutes consacrée à la résolution
de problèmes dans une classe de CM2.

L’objectif fixé : Renforcer la compréhension et la modélisation de problèmes en une
ou deux étapes.

Le travail à mener : Une série de huit problèmes en une ou deux étapes est proposée
aux élèves. Les problèmes sont proposés successivement, les élèves doivent
répondre sur l’ardoise et lever l’ardoise le moment venu.

Le fonctionnement prévu a priori pour la séance : Chaque problème contient
les nombres 2, 6 et 20. L’objectif du professeur est de faire réaliser aux élèves
l’importance de bien comprendre l’histoire et de repérer ce qui est demandé pour
déterminer les calculs à réaliser pour répondre à la question posée. Le professeur a
prévu de présenter chaque problème sous forme d’une diapositive d’un diaporama,
puis de laisser entre trente secondes et une minute aux élèves pour traiter le
problème. Il souhaite à l’issue de ce temps, demander aux élèves d’écrire la réponse
sur leur ardoise sous forme d’un nombre seulement, avec l’unité qui convient, et de
lever l’ardoise. Il souhaite ensuite mener une régulation entre chaque problème
en demandant à un élève en réussite de justifier sa réponse, justification qu’il
reprendra en l’améliorant si nécessaire.

Les problèmes proposés sont les suivants.

— « Elliot achète un ananas à 2 € et une pastèque à 6 €. Il donne un billet de 20 €
  au vendeur.
  Combien d’euros le vendeur doit-il rendre à Elliot ? »
— « Emy achète un crayon à 2 €, un manga à 6 € et une bande dessinée à 20 €.
  Combien d’euros Emy a-t-elle dépensés ? »
— « Margot a acheté 2 livres de poche coûtant 6 € chacun et une bande dessinée
  à 20 €.
  Combien d’euros Margot a-t-elle dépensés ? »
— « Nour a acheté des mangas coûtant 6 € chacun. Elle a donné 20 € au vendeur
  qui lui a rendu 2 €.
  Combien de mangas Nour a-t-elle achetés ? »
— « Isaac a acheté une bande dessinée à 20 €. Jeanne a acheté 2 mangas à 6 €.
  Combien d’euros Isaac a-t-il dépensés de plus que Jeanne ? »
— « Au supermarché, Ali a donné 2 billets de 20 € à la caissière. La caissière lui a
  rendu 6 €.
  Combien d’euros Ali a-t-il dépensés au supermarché ? »
— « Enzo achète un manga à 6 € et une bande dessinée à 20 €. Il n’a que des pièces
  de 2 € pour payer.
  Combien de pièces Enzo doit-il donner au caissier ? »
— « Dans sa recette de thé à la menthe, Basile met 20 morceaux de sucre.
  Dans sa recette, Salomé en met 2 fois moins que Basile. Elle en met aussi
  6 de moins que Victoire.
  Combien de morceaux de sucre met Victoire dans sa recette de thé à la menthe ? »
98 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

L’outil numérique permet ici de traiter un nombre important de problèmes en
un temps très court (un quart d’heure) qui serait impossible à tenir sans la
vidéoprojection. Ce traitement de nombreux problèmes avec les mêmes données
numériques permet une focalisation renforcée sur la compréhension de l’énoncé
(histoire et question) et la modélisation de la situation. La régulation entre chaque
problème permet de rendre explicites les stratégies utilisées par certains élèves.
La présentation en vidéoprojection avec un temps de résolution limité permet une
concentration renforcée des élèves sur la tâche qui leur est proposée.



Différencier pour permettre
à tous les élèves de progresser

La différenciation est un geste professionnel à la fois essentiel et complexe dans le
contexte d’une classe. Elle l’est tout particulièrement dans le cadre de l’enseignement
de la résolution de problèmes69.

Au sein de la classe, la différenciation peut être envisagée :

— a priori : le professeur différencie en amont de la séance, lors de sa préparation,
  les tâches qui seront confiées aux élèves, en prévoyant des problèmes spécifiques
  pour certains élèves ou certains groupes d’élèves ; les séances d’APC peuvent
  également être utilisées dans le cadre de la différenciation en ne les limitant
  pas à un travail de remédiation, mais en proposant, au contraire, un travail en
  amont pour permettre de s’assurer que les élèves les plus fragiles disposent
  effectivement de certaines clés utiles pour la séance collective à venir ;
— pendant la séance : lors des temps d’accompagnement des élèves, en donnant
  des informations particulières, en proposant des questions intermédiaires ou en
  modifiant le problème que doivent résoudre les élèves.

Dans les deux cas, il faut bien évidemment s’interroger pour savoir si les variations
proposées sont :

— vraiment nécessaires : l’élève échouera-t-il forcément lors de la résolution
  du problème sans ces variations ?
— vraiment utiles : les variations permettent-elles d’aider l’élève à traiter le problème ?
— vraiment pertinentes : ces variations ne nuisent-elles pas au développement
  des apprentissages visés par le problème initial ?

Nécessaires ?
Le caractère nécessaire de la différenciation proposée mérite tout particulièrement
d’être interrogé pour les différenciations proposées a priori. Est-on vraiment
certain qu’il n’est pas possible de proposer le problème prévu à certains élèves ?
Les différenciations a priori entérinent, pour l’élève, l’idée que le professeur ne
croit pas en son aptitude à résoudre les problèmes proposés au reste de la classe.
Elles ne sont donc pas sans conséquence sur l’estime qu’il peut avoir de lui-même
et la confiance en son aptitude à progresser. Il est donc préférable d’éviter les
différenciations a priori, sauf dans les cas où elles constituent une solution

69 — Ibid, p. 93, note 66.
99 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

d’accessibilité pour des élèves à besoins éducatifs particuliers : élèves en situation de
handicap ou élèves atteints de troubles graves des apprentissages pour lesquels la
proposition de tâches identiques à celles proposées aux autres élèves pourrait être
considérée comme de la m ­ alveillance. La suite de ce paragraphe se concentrera donc
de façon privilégiée sur une différenciation en cours de séance, pendant les travaux
de résolution de problèmes.

Utiles ?
Le caractère utile de la différenciation proposée s’entend de deux façons : d’une
part, la différenciation apportée ne doit pas être superflue, c’est-à-dire qu’elle doit
être en lien avec la difficulté rencontrée par l’élève, ce qui implique d’avoir identifié
précisément cette difficulté ; d’autre part, cette aide ne doit pas être excessive, c’est-
à-dire supérieure au besoin de l’élève pour franchir l’obstacle qui lui pose problème,
ne lui laissant plus la possibilité d’être confronté à la résolution du problème et donc
de progresser. On voit ici la nécessité d’être en mesure d’analyser précisément
la résolution proposée par l’élève pour repérer précisément ce qui le met en
difficulté (voir chapitre 2, avec la décomposition en quatre phases du processus de
la résolution de problèmes).

Pertinentes ?
Le caractère pertinent de la différenciation proposée se mesure à l’aune des
objectifs visés par la séance. En effet, il n’est pas possible de juger de la pertinence
d’une différenciation sans connaître précisément l’objectif principal de la séance
et de la séquence dans laquelle elle s’inscrit. Le chapitre 3 fournit trois curseurs
sur lesquels le professeur peut intervenir pour rendre un problème moins difficile,
plus accessible :

— la structure mathématique sous-jacente : on peut, par exemple, amoindrir la
  difficulté en réduisant le nombre d’étapes, ou en échangeant avec l’élève pour
  l’amener à déterminer un résultat intermédiaire ;
— le texte du problème : on peut alléger la difficulté que représente ce texte
  en donnant le sens de mots inconnus ou en reformulant certains éléments
  du problème ;
— le champ numérique : on peut agir sur le champ numérique en remplaçant les
  nombres en jeu dans le problème par des nombres mieux maîtrisés par l’élève,
  par exemple des décimaux par des entiers, ou encore des entiers par d’autres
  entiers plus petits.

Ainsi en fonction de l’objectif principal de la séance, il est possible d’agir sur des
curseurs qui ne dénaturent pas l’obstacle que constitue l’objectif. Par exemple,
si l’objectif premier est l’aptitude à traiter des problèmes en plusieurs étapes,
il ne faudra bien évidemment pas poser de question invitant à la décomposition du
problème en sous-étapes ; par contre une réduction du champ numérique est tout
à fait pertinente. A contrario, si l’objectif premier de la séance est de faire travailler
les élèves avec des nombres décimaux, toute action sur le champ numérique
est à proscrire et une action sur les autres curseurs est à privilégier.
100 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

                  EXEMPLES D’ACTIONS SUR LES TROIS CURSEURS


On peut regarder ce que donne une action sur chacun des curseurs proposés au
chapitre 3 pour un problème comme celui donné dans l’introduction de ce guide :

    « Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zeds.
    Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
    Julien a 4 zeds.
    Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? »

Structure mathématique
— On peut demander à l’élève ce que l’on cherche. Puis lui demander ce que l’on
    pourrait chercher en premier.
— En cas d’absence de réponse, on peut lui demander ce que voudrait acheter
    Julien, puis comment trouver le prix de ce qu’il souhaite acheter. On peut aussi
    demander si Julien a ou non assez d’argent pour acheter les deux bouteilles.
— En cas de difficultés persistantes, le professeur peut demander à l’élève s’il
    saurait calculer, dans un premier temps, le prix des deux bouteilles que Julien
    souhaite acheter.

Texte du problème
— On peut remplacer les « zeds » par des « euros ».
— On peut aussi modifier la question en « Combien d’argent manque-t-il à Julien
   pour pouvoir acheter les deux bouteilles ? ».
— On peut aussi modifier le contexte du problème, par exemple en remplaçant ce
   problème d’argent par un problème de longueur : « Pour se rendre au collège
   à vélo, Julien doit parcourir une première étape de 1,87 km jusqu’à un rond-
   point puis une autre de 3,29 km. Il a déjà parcouru 4 km. Quelle distance doit-il
   parcourir en plus pour arriver au collège ? »

Champ numérique
On peut modifier les prix de deux façons : on peut convertir les prix en centimes
de zeds ou remplacer le triplet de prix par un triplet plus facile d’accès (18 zeds,
33 zeds, 40 zeds) ou encore (2 zeds, 3 zeds, 4 zeds).



S’appuyer sur l’institutionnalisation

L’institutionnalisation désigne l’acte du professeur pour expliciter, rendre visibles
les apprentissages réalisés au cours d’une séance ou d’une séquence et leur
donner ainsi un statut de connaissance ou de savoir-faire, et l’élaboration de traces
écrites sous forme d’affichages ou d’un paragraphe au sein d’un cahier de leçons.
Cette institutionnalisation doit permettre aux élèves de prendre du recul sur ce qui
a été fait, de dépersonnaliser les procédures, de les expliciter et d’en montrer le
caractère général.
101 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Ces deux points sont essentiels dans l’enseignement des mathématiques en général
et dans l’enseignement de la résolution de problèmes en particulier. Il est en effet
fondamental d’expliciter les objectifs et les savoirs visés et travaillés dans les
séances d’apprentissage70 ; la compréhension de ces objectifs est souvent ce qui
différencie les élèves en réussite de ceux qui sont en échec. Un élève en réussite
comprend qu’il a travaillé sur des problèmes où l’on compare des quantités, quand
un élève en difficulté ne voit que le traitement de problèmes sur des billes. Il est
aussi nécessaire que cette explicitation se traduise par une trace écrite, une trace
durable, à laquelle il sera possible de se référer pour faire des transferts. Une trace
écrite sous forme d’affichage permet un accès immédiat et rapide en classe et donne
l’occasion de faire des analogies entre des problèmes qui n’ont aucun trait de
surface commun : « Ce problème, c’est comme… ». Ces analogies sont essentielles
pour faire appel à la mémoire des problèmes résolus antérieurement lors de la
résolution d’un nouveau problème. Une trace écrite dans le cahier est également
incontournable et nécessaire : d’une part, parce que l’écriture de la main de l’élève
favorise l’appropriation et la mémorisation du savoir visé et, d’autre part, parce
qu’elle contribue à développer l’autonomie de l’élève en lui permettant de s’y reporter
de façon libre ; enfin, cette trace écrite permet aux familles qui le souhaitent d’avoir
accès aux attentes et aux objectifs du professeur pour ce qui concerne la résolution
de problèmes et ainsi de mieux accompagner leur enfant.

L’institutionnalisation en mathématiques à l’école élémentaire prend des formes
variables. Il peut s’agir de définitions, de règles, de méthodes, de stratégies énoncées
de façon littérale comme « Pour ajouter 9, je peux ajouter 10 puis retirer 1. » ou
« Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. ». On peut les compléter d’un
ou plusieurs exemples comme « 37 + 9 = 37 + 10 – 1 = 46 », où le nombre 37 joue le
rôle de n’importe quel nombre : c’est l’équivalent d’une lettre à valeur indéterminée,
souvent « x », utilisée dans le second degré : « x + 9 = x + 10 – 1 ». De la même façon,
un rectangle peut être défini en s’appuyant sur un dessin de rectangle générique aux
quatre angles marqués d’un symbole indiquant les angles droits. Pour la résolution
de problèmes, il convient sans doute de suivre le même principe en illustrant les
catégories de problèmes étudiées et les outils enseignés pour faciliter la résolution
de problèmes par des exemples de problèmes résolus auxquels il faudra faire
référence chaque fois que cela sera utile et auxquels les élèves pourront eux-mêmes
se référer lors de leurs travaux de résolution de problèmes.




70 — Christian Doabler, Scott Baker, Derek Kosty, Keith Smolkowski,
Ben Clarke, Saralyn Miller, Hank Fien, “Examining the Association
Between Explicit Mathematics Instruction and Student Mathematics
Achievement”, The Elementary School Journal, n° 115, 2015.
102 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

    EXEMPLE D’INSTITUTIONNALISATION D’UN PROBLÈME DE COMPARAISON

                                ADDITIVE EN UNE ÉTAPE

Voici un exemple d’une telle institutionnalisation, pour un problème de comparaison
additive en une étape ; institutionnalisation qui peut avoir sa place tant en affichage
que dans les cahiers de leçons des élèves.


 Problème : « Le maître a distribué des bandes de papier dont les élèves doivent
 mesurer la longueur. La bande de papier de Soline mesure 12,4 cm. Elle
 mesure 3,8 cm de plus que la bande de Joy.
 Combien mesure la bande de papier de Joy ? »

 On compare la longueur des deux bandes de papier.
 La bande la plus grande est celle de Soline.
                                                              12,4 cm

  12,14                                                  Bande de Soline
 – 31,8
   8 ,6                                           Bande de Joy          Différence
                                                                          3,8 cm
 12,4 cm – 3,8 cm = 8,6 cm
                                                       ? cm
 La bande de Joy mesure 8,6 cm.


Il faut veiller à ce que ces problèmes types proposés en institutionnalisation restent
en nombre limité pour que l’outil soit véritablement opérationnel. Idéalement,
les corrections de ces problèmes types, notées dans les cahiers de leçons, sont
construites collectivement avec la classe. Elles peuvent aussi s’appuyer sur la
production d’un élève vidéoprojetée puis corrigée ou complétée par la classe avant
d’être recopiée. La trace finale, c’est-à-dire ce qui est recopié dans le cahier ou ce
qui est affiché dans la classe, émane des propositions des élèves mais correspond
exactement à l’intention du professeur et à l’objectif visé à travers cette trace écrite.




Faire apparaître des structures
mathématiques partagées entre les problèmes

Il y a un enjeu d’apprentissage essentiel à ce que les élèves réussissent à percevoir
dans les problèmes travaillés des caractéristiques qui soient pertinentes sur le plan
mathématique et sur lesquelles ils puissent s’appuyer ultérieurement dans une
perspective de transfert d’apprentissage. Une difficulté est donc de distinguer ce qui
relève de caractéristiques superficielles de la situation, et qui pourrait être modifié
sans affecter la structure mathématique du problème, d’autres caractéristiques
qui, au contraire, sont cruciales et sur lesquelles repose le fait qu’une certaine
stratégie est correcte et mène à la résolution du problème. De nombreux travaux ont
montré qu’ignorer les traits superficiels est très difficile, il est donc particulièrement
important de rendre saillantes les caractéristiques pertinentes des problèmes sur
le plan mathématique pour aller à l’encontre de cette tendance très persistante.
103 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Des travaux ont mis en avant l’intérêt de recourir en classe à des activités explicites
de comparaison entre situations de façon à mettre en évidence ce qu’elles ont en
commun et ce qui les différencie71 . Il s’agit pour les élèves, en comparant explicitement
deux problèmes partageant une même structure mathématique mais différant
par leur habillage, de chercher l’analogie entre eux, autrement dit ce qui dans un
énoncé correspond à autre chose dans l’autre énoncé. De telles démarches se
sont avérées efficaces notamment dans le cadre d’interventions auprès d’élèves
scolarisés en éducation prioritaire72 . Comparer différentes stratégies de résolution
est également une manière de favoriser le développement de la flexibilité des élèves et
de la possibilité de choisir la stratégie la plus adaptée selon le problème à résoudre73.

L’usage des schémas renforce cette possibilité de mise en évidence des structures
mathématiques communes au-delà des différences superficielles entre les énoncés.
Par exemple, on peut montrer comment faire le lien entre le problème ci-dessous
et le problème des bandes de papier du paragraphe précédent.

    « Thaïs et Maëlle sont allées acheter un déjeuner dans une sandwicherie.
    Thaïs a payé 13,30 € pour son déjeuner. Maëlle a payé le sien 4,50 € de moins.
    Combien Maëlle a-t-elle payé son déjeuner ? »

Dans le problème sur les bandes de papier de Solène et de Joy, on considère et on
compare deux choses, ce sont les longueurs des bandes de papier de chacune
des personnes, il y en a une plus grande et une plus petite. Dans le problème sur le
déjeuner de Thaïs et Maëlle, de façon analogue, on considère et on compare deux
grandeurs, ce sont les prix des repas des deux personnes, il y en a un plus cher
et un moins cher.

Dans les deux problèmes, on connaît le plus grand des deux, c’est la longueur de la
bande de Joy ou le prix du repas de Thaïs, et on connaît aussi la différence entre les
deux, différence de longueur entre les deux bandes ou différence de prix entre
les deux repas. Dans les deux problèmes, on cherche la plus petite des deux valeurs,
la longueur de la bande de Joy pour le premier problème ou le prix du repas
de Maëlle dans le nouveau problème.

                 12,4 cm                                               13,30 €

            Bande de Soline                                      Repas de Thaïs

                            Différence                                           Différence
    Bande de Joy                                      Repas de Maëlle
                              3,8 cm                                               4,50 €
         ? cm                                                  ?€


71 — Michael Vendetti, Bryan Matlen, Lindsey Richland, Silvia Bunge,
“Analogical Reasoning in the Classroom: Insights From Cognitive
Science”, Mind Brain and Education, Vol. 9, n° 2, 2015.
72 — Sylvie Gamo, Sandra Nogry, Emmanuel Sander, « Apprendre
à résoudre des problèmes en favorisant la construction d’une
représentation alternative chez des élèves scolarisés en éducation
prioritaire », Psychologie française, n° 59, 2014.
73 — Kelley Durkin, Jon R. Star, Bethany Rittle-Johnson, “Using
Comparison of Multiple Strategies in the Mathematics Classroom:
Lessons Learned and Next Steps”, ZDM - Mathematic Education,
n° 49, 2017.
104 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Des analogies entre des problèmes pouvant sembler encore beaucoup plus éloignés
peuvent également être faites. Cette approche peut être extrêmement utile pour
montrer que deux énoncés qui semblent aussi différents que « J’ai dépensé 7,85 €.
Il me reste 6,50 €. Combien d’argent avais-je avant mon achat ? » et « Ismaël a 7,85 €
et sa sœur Éléna a 6,50 €. Combien d’argent ont-ils en tout ? » sont analogues dès
lors que l’on prend conscience que l’argent que j’avais avant mon achat peut être
conçu comme un tout dont une partie est constituée de l’argent dépensé et l’autre
partie est constituée de l’argent qu’il me reste. Il est ainsi possible de rendre visibles,
dans une situation où cela est difficile à percevoir, des caractéristiques non intuitives
au premier abord74 .



S’appuyer sur l’évaluation
pour renforcer les apprentissages

L’évaluation permet d’éclairer le professeur sur les connaissances et compétences
des élèves, en complément de la prise d’information en continu, pendant les séances
de résolution de problèmes.

L’évaluation a pour but premier de contribuer au développement des compétences
des élèves en résolution de problèmes. L’effet positif sur les apprentissages de petites
évaluations courtes mais fréquentes a été clairement mis en lumière par des travaux
de recherche 75 . Ces évaluations courtes, sous la forme d’un unique problème,
permettent aux élèves de renforcer leur attention sur des outils particuliers ou des
stratégies qui leur ont été enseignées. En complément des évaluations courtes, des
évaluations plus longues sont utiles pour vérifier l’aptitude des élèves à réinvestir
l’ensemble des acquis, à prendre des décisions sur les outils à utiliser ou les
stratégies à mettre en œuvre. Ces évaluations ne doivent, bien entendu, pas être
centrées sur un type de problèmes unique ni sur une opération ciblée afin de pouvoir
cerner l’aptitude des élèves à prendre des décisions.

Le choix des problèmes retenus au sein d’une évaluation est particulièrement
important ; ce choix peut notamment s’appuyer sur les différents éléments fournis
dans ce guide afin de contrôler finement la difficulté des tâches proposées et de
s’assurer que ces problèmes soient accessibles aux élèves et permettent d’évaluer
si ces derniers ont effectivement acquis les connaissances visées pour franchir
les obstacles que présente la résolution des problèmes retenus.

Les évaluations gagnent à être pensées en amont de séquence afin d’avoir ensuite
clairement à l’esprit les objectifs fixés et les connaissances et compétences que
les élèves doivent avoir acquises en fin de séquence. Les évaluations doivent aussi
permettre de s’assurer que les connaissances et compétences acquises lors
de séquences précédentes sont toujours mobilisables par les élèves.

74 — Katarina Gvozdic, Emmanuel Sander, “Learning to Be an
Opportunistic Word Problem Solver: Going Beyond Informal Solving
Strategies”, ZDM – Mathematic Education, n° 52, 2019.
75 — Henry Roediger, Jeffrey Karpicke, “Test-Enhanced Learning:
Taking Memory Tests Improves Long-Term Retention”, Psychological
Science, n° 17, 2006.
105 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

La résolution de problèmes a bien évidemment également sa place dans le cadre
d’évaluations ne portant pas en priorité sur les connaissances et les compétences
relatives à la résolution de problèmes : évaluations sur des connaissances sur les
nombres, sur le calcul, sur les grandeurs et mesures, etc.



Questions fréquemment posées
sur l’organisation de l’enseignement
de la résolution de problèmes

Faut-il des séances spécifiques pour la résolution de problèmes dans l’emploi
du temps ?
Ceci importe peu et dépend des préférences d’organisation de chaque professeur.
Ce qui importe, c’est que les élèves soient confrontés à des résolutions de problèmes
chaque jour ou presque et que, chaque semaine au moins, une séance soit consacrée
essentiellement à la résolution de problèmes, même si l’objectif principal de cette
séance n’est pas directement la résolution de problèmes ; il peut s’agir, par exemple,
d’une séance sur les unités de masse ou encore sur les nombres décimaux.

À quelle fréquence doit-on travailler la résolution de problèmes ?
Les élèves doivent résoudre des problèmes quasi quotidiennement, même s’il
ne s’agit pas de l’objectif principal. Au moins une séquence par période doit être
spécifiquement consacrée au développement de connaissances et de compétences
liées à la résolution de problèmes pour que l’ensemble des objectifs visés au cours
moyen puissent être atteints.

Combien de problèmes faut-il traiter chaque semaine ?
L’importance de la mémoire des problèmes résolus pour résoudre de nouveaux
problèmes met en lumière la nécessité de nourrir cette mémoire en résolvant
de nombreux problèmes chaque semaine. La séance de calcul mental présentée
précédemment (« Exemple 2 : Une séance de résolution de problèmes avec le procédé
La Martinière », voir p. 97) montre comment huit problèmes peuvent être proposés
dans une séance d’une vingtaine de minutes. Le paragraphe sur la différenciation
montre que le nombre de problèmes résolus n’est pas nécessairement le même
pour tous les élèves au sein d’une classe. S’il est clair qu’une dizaine de problèmes
par semaine est un nombre plancher en-deçà duquel il semble déraisonnable
de descendre, les élèves d’une classe travaillant régulièrement la résolution de
problèmes et ayant développé de solides compétences peuvent certainement en
traiter le double chaque semaine.
106 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Doit-on faire créer des problèmes aux élèves ?
La création de problèmes est une tâche particulièrement importante et utile pour les
élèves76 . En les invitant à créer des problèmes, on les encourage à porter un autre
regard sur les problèmes, à avoir une intention quand ils écrivent l’histoire de leur
problème et quand ils posent la question du problème créé. La pratique relativement
fréquente de production de problèmes avec certaines contraintes les conduira
à ­s’interroger, lors de la résolution d’un problème, sur l’intention de l’auteur du
problème qui leur est soumis et donc à mieux cerner la tâche qui leur est dévolue.

Doit-on proposer aux élèves de travailler en groupes en résolution de problèmes ?
Cela n’est ni obligatoire ni interdit. Il est évident que les élèves doivent développer des
compétences personnelles en résolution de problèmes et donc qu’ils doivent être,
dans la majorité des cas, confrontés à des temps de recherches individuelles. Néan-
moins, des chercheurs ont mis en évidence les effets positifs que peut avoir le travail
en groupe en résolution de problèmes, notamment pour permettre la co-construction
de démarches riches et variées. Ils insistent également sur le rôle essentiel du pro-
fesseur pendant les temps de travaux en groupe, « pour dynamiser les interactions
entre élèves, pour choisir les moments opportuns de donner des indices ou encore
pour mettre en œuvre d’autres processus de régulation s’intégrant dans la démarche
de raisonnement des élèves »77. Il est donc tout à fait envisageable, lors de certaines
séances sur la résolution de problèmes, d’inviter les élèves à travailler en groupe.
Il reste cependant souvent préférable de laisser un temps individuel d’appropriation
du problème à chaque élève avant la mise au travail en groupe et il est nécessaire de
garder à l’esprit l’importance du rôle du professeur pendant ces travaux en groupe.

Faut-il un cahier spécifique pour la résolution de problèmes ?
Il n’y a sans doute pas de raison d’avoir une doctrine forte sur ce point. Cependant
la résolution de problèmes n’est pas une tâche à part des mathématiques et fait,
au contraire, partie intégrante de cet enseignement. Il semble donc plus logique
de traiter la résolution de problèmes là où est habituellement traité ce domaine
d’apprentissage, que ce soit dans le cahier du jour ou dans un cahier spécifique
pour les exercices de mathématiques.

La manipulation est-elle obligatoire au cours moyen ? Quel matériel utiliser ?
La manipulation est sans doute moins centrale au cours moyen qu’au cycle 2.
­Certains élèves n’auront plus du tout besoin de manipuler d’objets matériels à ce
 stade de la scolarité et se contenteront aisément des schémas mis à leur disposition
 ou construits par leurs soins, mais pour d’autres elle peut rester encore essentielle.
 Cette manipulation peut concerner des outils spécifiques aux mathématiques,
 notamment pour mieux comprendre les nombres et les calculs en jeu (matériel
 multibase, réglettes Cuisenaire ©, glisse-nombre 78 , etc.), mais aussi du matériel
 adapté pour jouer la situation-problème et ainsi mieux la comprendre (images,
 monnaie, cubes, jetons, bandelettes de papier, etc.).

76 — Florence Mihaela Singer, Nerida F. Ellerton, Jinfa Cai, Mathematical
Problem Posing: From Research to Effective Practice, Springer, 2005.
77 — Isabelle Demonty, Virginie Dupont, Annick Fagnant, « Analyse des
régulations interactives entre élèves lors de la résolution d’un problème
mathématique en groupe », Les Cahiers des sciences de l’éducation,
n° 36, 2014.
78 — http://cache.media.education.gouv.fr/file/Fractions_et_
decimaux/42/2/RA16_C3_MATH_frac_dec_annexe_4_673422.pdf
    107 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

    Quelles traces garder des activités de résolution de problèmes ?
    La question des traces est importante. En effet, la résolution de problèmes devant
    s’appuyer sur la mémoire des problèmes résolus, il est important que des traces
    permettent la constitution de cette mémoire. Ces traces sont de deux ordres :

    — d’une part les traces quasi quotidiennes dans le cahier où les mathématiques
      sont traitées, permettant ainsi de revenir aisément sur un problème traité
      précédemment ;
    — d’autre part les traces construites dans le cadre des institutionnalisations, dans
      le cahier de leçons ou en affichages, qui servent de base à la mémoire collective
      et auxquelles il est fait référence autant que nécessaire.

    Où peut-on trouver des banques de problèmes ?
    Les manuels scolaires sont sans doute la principale source où trouver des énoncés
    de problèmes. Le présent guide et les nombreux problèmes qu’il contient (plus de
    200) peuvent bien évidemment enrichir les problèmes présents dans les manuels.
    Il est également intéressant de construire des problèmes en lien direct avec des
    activités de la classe (voyages scolaires, activités sportives, sorties culturelles,
    livres lus par toute la classe, etc.) ou des événements étudiés en classe (événements
    organisés localement, compétitions sportives nationales ou internationales comme
    les Jeux Olympiques, le Vendée Globe ou une coupe du monde sportive, événements
    d’actualité comme une mission dans l’espace, etc.).




Enseigner explicitement
des méthodes de représentation
efficaces pour modéliser

    Les stratégies de recherche pour résoudre un problème et en particulier pour le
    modéliser peuvent être variées : commencer en traitant un problème plus simple,
    faire des essais et vérifier ce que cela donne, essayer de lister toutes les solutions
    possibles, etc. Cependant une aide importante peut être obtenue, dans la plupart
    des cas, en effectuant un schéma. Tous les schémas ne se valent pas, certains
    pouvant être excessivement longs à réaliser et sources d’erreurs : par exemple,
    représenter les 142 élèves d’une école en effectuant 142 petits ronds… D’autres
    schémas peuvent être simples à réaliser mais ne pas apporter d’éclairage sur le
    modèle mathématique sous-jacent. D’autres encore peuvent être efficaces pour
    modéliser, mais si complexes à réaliser, qu’ils rajoutent de la difficulté plus qu’ils
    n’allègent la tâche des élèves.
108 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

La réalisation d’un schéma ne doit jamais être exigée, sauf dans le cas particulier de
séances spécifiques d’apprentissage d’un nouveau modèle de schéma et uniquement
pour des problèmes pour lesquels ces schémas sont utiles aux élèves. La réalisation
d’un schéma ne doit pas constituer une étape qui engendrerait des difficultés
supplémentaires lors de la résolution d’un problème, mais elle doit, au contraire,
permettre de rendre plus visuelles les tâches à réaliser et les relations entre les
nombres ou les grandeurs et de soulager la mémoire de travail. Dans les cas les plus
simples, les élèves pourront progressivement se passer des schémas qui leur étaient
précédemment nécessaires. Ils pourront éventuellement les remobiliser lorsque
les nombres en jeu seront moins familiers, le schéma permettant ainsi de soulager
la mémoire de travail. Lorsqu’un élève rencontre des difficultés pour modéliser un
problème, le professeur pourra l’inviter à produire un schéma s’appuyant sur sa
compréhension de la situation. Un schéma produit par un élève pourra être un point
d’appui pour aider le professeur à mieux analyser les difficultés rencontrées lors
de la modélisation du problème.

Si faire des schémas peut s’avérer particulièrement efficace, l’aptitude à choisir un
schéma pertinent et à réaliser ce schéma requiert un apprentissage. La compétence
« représenter » doit, par conséquent, faire l’objet d’un enseignement explicite ;
le professeur doit donner à voir aux élèves un type de schéma efficace pour résoudre
un problème donné. L’enseignement des schémas doit être cohérent tout au long
de l’année scolaire, mais devrait l’être aussi tout au long de la scolarité pour être
d’autant plus efficace.

Ce paragraphe propose de développer l’enseignement de quatre types de schémas
devant être connus des élèves de cours moyen. Les élèves doivent savoir les produire,
mais aussi, et surtout, savoir quand il est pertinent de les utiliser :

— les schémas en barres ;
— les schémas proposant un déplacement sur une droite numérique ou une ligne
  du temps ;
— les tableaux ;
— les arbres.

L’enseignement de ces schémas à l’école élémentaire est important pour la suite
de la scolarité, car ils seront réinvestis et utilisés au collège puis au lycée.



Les schémas en barres

DES SCHÉMAS PRÉSENTS DEPUIS LONGTEMPS DANS LES ÉCOLES
FRANÇAISES
Les schémas en barres sont utilisés depuis plusieurs décennies en France et on en
trouve aisément dans les manuels utilisés au cours du xxe siècle, comme on peut
le voir dans les exemples ci-après.
109 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

                                                                                  Au début des années
                                                                                  1980, après un constat
                                                                                  de difficultés importantes
                                                                                  des élèves ­singapouriens
                                                                                  en mathématiques, le
                                                                                  ministère chargé de l’édu-
                                                                                  cation de Singapour a
                                                                                  décidé de mener plusieurs
                                                                                  réformes touchant les for-
                                                                                  mations initiale et continue
                                                                                  des professeurs en visant
                                                                                  tout particulièrement l’en-
                                                                                  seignement des mathé­
                                                                                  matiques et en s’appuyant,
                                                                                  notamment, sur l’état
                                                                                  de la recherche inter-
                                                                                  nationale en didactique
                                                                                  des mathé­m atiques 80 .
                                                                                  Ces réformes ont eu un
 Figure 6. Extraits d’un manuel utilisé en France dans les années 1950 et 196079.
                                                                                  effet considérable ; le pays
trône aujourd’hui systématiquement en tête des classements des évaluations
­inter­nationales des élèves en mathématiques. Pour la résolution de problèmes
 mathématiques, une approche qualifiée de « concrète-imagée-abstraite » a été mise
 en avant ; le renforcement de la phase intermédiaire « imagée » s’est traduit par
 l’introduction d’une organisation de schématisation s’appuyant sur quatre types
 de schémas en barres. De nombreuses recherches à Singapour, mais aussi dans
 d’autres pays, ont montré l’efficacité de l’utilisation des schémas en barres, y compris
 pour les élèves rencontrant des difficultés en mathématiques81 .

PLUSIEURS TYPES DE SCHÉMAS EN BARRES POSSIBLES
Plusieurs types de schémas apparaissent aujourd’hui dans les différents ouvrages
ou formations délivrées en France, comme les quatre proposés ci-dessous pour
la résolution du problème additif de type parties-tout suivant.

     « Côme a dépensé 17,30 € à la boulangerie pour acheter un pain aux céréales
     et une tarte aux abricots. Il se souvient que le pain aux céréales coûte 2,70 €
     mais a oublié le prix de la tarte aux abricots.
     Quel est le prix de la tarte aux abricots ? »




79 — Albert Châtelet et Georges Condevaux, J’apprends à calculer,
Arithmétique Cours élémentaire et classes de 10e et 9e, Bourrelier, 1962.
80 — Swee Ng, Kerry Lee, “The Model Method: Singapore Children’s
Tool for Representing and Solving Algebraic Word Problems”,
Journal for Research in Mathematics Education, n° 40, 2009.
81 — Ibid, p. 67, note 51.
110 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


                      Schéma 1                                          Schéma 2
                        17,30 €                                          17,30 €




    2,70 €                        ?€                     2,70 €                  ?€

                      Schéma 3                                          Schéma 4
                        17,30 €
                                                                         17,30 €
    2,70 €                       ?€                      2,70 €                  ?€



Dans ce guide, nous utiliserons systématiquement la forme du schéma 3 pour les
problèmes de parties-tout. Les autres schémas peuvent également être utilisés ;
cependant, afin de ne pas perturber les élèves, il est préférable de suivre une même
façon de faire d’année en année au sein d’une même école.

                                           Le choix du schéma 3 permet une continuité avec ce
 Manipulation                              qui est proposé dans le guide Les nombres, le calcul
 d’objets tangibles
                                           et la résolution de problèmes au CP (collection
 figuratifs :
                                           «Les guides fondamentaux pour enseigner) »82 , et de
                                           faire le lien avec les manipulations menées, comme
                                           indiqué sur la figure ci-contre.

                                           Utiliser des barres épaisses, plutôt qu’une ligne
 • Représentation                          simple (comme dans les schémas 1 et 2), permet
   avec un schéma :                        de donner davantage de matérialité aux grandeurs
                                           ou objets en jeu dans le problème et de rapprocher
                                           les représentations des objets manipulés (cubes).
 • Représentation
   présymbolique                           L’utilisation d’une barre simple dans les problèmes de
   (schéma en barres                       parties-tout (contrairement à la barre double utilisée
           4 symbolique)
   + écriture    2       :                 dans le schéma 4) permet de ne pas matérialiser deux
                4          2               fois les mêmes objets et de rendre ainsi explicites
                                           les relations d’inclusion présentes dans le problème :
Figure 7. Extrait du guide Les nombres,    les 2,70 € n’existent pas à côté des 17,30 €, mais ils sont
le calcul et la résolution de problèmes
au CP, p. 84.                              une partie des 17,30 €. En revanche, on utilisera une
                                           double barre pour des problèmes de comparaison,
                                           comme le problème ci-après.

     « À la fête foraine, Apolline a dépensé 17,30 € et Maëlys, sa sœur, a dépensé 2,70 €.
     Combien Apolline a-t-elle dépensé de plus que sa sœur ? »

                                Apolline                17,30 €

                                 Maëlys     2,70 €             ?€




82 — https://eduscol.education.fr/1486/apprentissages-au-cp-et-au-ce1
111 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Dans le schéma ci-dessus, les sommes d’argent sont distinctes et donc matérialisées
par deux barres disjointes ; la différence entre les deux (ce que l’on cherche) n’a pas
de matérialité et est représentée par une flèche sans épaisseur.

Enfin, la principale raison du choix du schéma 3 pour les exemples présentés dans ce
guide est qu’il s’agit de la forme utilisée dans les pays utilisant des schémas en barres
pour la résolution de problèmes et de la forme utilisée dans les recherches qui ont permis
de démontrer son efficacité, notamment auprès des élèves fragiles en mathématiques83.

UN MODÈLE RETENANT QUATRE TYPES DE SCHÉMAS EN BARRES
Le système de représentation schématique avec des barres s’appuie sur quatre
schémas types correspondant à quatre familles de problèmes en une étape :


    Problèmes additifs de parties-tout            Problèmes additifs de comparaison
Problèmes multiplicatifs de parties‑tout Problèmes multiplicatifs de comparaison


Les quatre schémas correspondants sont présentés ci-après.

— Problème additif (se traitant avec une addition ou une soustraction) de parties-tout
  (un tout, un ensemble, est constitué de plusieurs parties disjointes, dont la réunion
  forme ce tout).

    « Lou paie 146,80 € avec sa carte bancaire dans un magasin de bricolage.
    Il lui reste maintenant 743,55 € sur son compte en banque.
    Combien d’argent Lou avait-elle sur son compte en banque avant son achat ? »

    Pour ce problème, les élèves doivent comprendre qu’ils doivent trouver le tout,
    correspondant à la somme d’argent possédée avant l’achat, qui est subdivisée en
    deux sous-parties, d’une part l’argent dépensé dans le magasin et d’autre part
    l’argent restant sur le compte en banque après l’achat.

    Exemple de résolution avec un schéma en barres :

                     Argent dépensé Argent restant après l’achat
                        146,80 €             743,55 €

                                           ?€
                            Argent sur le compte au départ

    146,80 € + 743,55 € = 890,35 €
    Lou avait 890,35 € sur son compte avant son achat.

— Problème additif (se traitant avec une addition ou une soustraction) de ­comparaison
  (deux grandeurs sont comparées additivement).

    « Selon le site de l’institut national d’études démographiques (Ined), en 2021,
    il y avait 625 738 000 habitants de plus en Afrique qu’en Europe et le nombre
    d’habitants en Afrique était de 1 373 486 000.
    Quel était, selon l’Ined, le nombre d’habitants en Europe en 2021 ? »

    Pour ce problème, on compare le nombre d’habitants de deux continents.

83 — Voir p. 49, note 48.
112 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

    Exemple de résolution avec un schéma en barres :

                    Afrique          1 373 486 000 habitants

                    Europe          ? habitants
                                                        625 738 000
                                                         habitants
    1 373 486 000 – 625 738 000 = 747 748 000
    Il y avait 747 748 000 habitants en Europe en 2021.

— Problème multiplicatif (se traitant avec une multiplication ou une division)
  de ­parties-tout (un tout, un ensemble, est constitué de plusieurs parties identiques
  pour une grandeur donnée).

    « Inaya souhaite fabriquer cinq invitations pour son anniversaire en découpant
    une bande de papier cartonné d’une longueur de 32 cm.
    Quelle est la plus grande longueur qu’elle peut choisir pour que toutes les invi-
    tations aient la même longueur ? »

    Il s’agit ici de trouver la valeur d’une part.

    Exemple de résolution avec un schéma en barres :

                                           32 cm

                       ? cm

                                         5 cartons
    32 cm ÷ 5 = 6,4 cm
    Inaya peut découper des cartons de 6,4 cm de longueur.

— Problème multiplicatif (se traitant avec une multiplication ou une division)
  de ­comparaison (deux grandeurs sont comparées multiplicativement).

    « Juliette et Ayoub jouent à la bataille avec un jeu de 56 cartes qu’ils ont fabriqué.
    Juliette a sept fois plus de cartes qu’Ayoub.
    Combien Ayoub a-t-il de cartes ? »

    Exemple de résolution avec un schéma en barres :

Ayoub ? cartes
                                                                                   56 cartes
Juliette
                                       7 fois plus
    56 cartes ÷ 8 = 7 cartes
    Ayoub a 7 cartes.

Les quatre types de schémas sont présentés sous forme synthétique dans le tableau
ci-après. Ce tableau avec les abus de notation qu’il contient n’est bien évidemment
qu’à l’usage des professeurs et n’est pas destiné aux élèves, comme cela est indiqué
dans le paragraphe précédent sur l’institutionnalisation : pour les élèves, ces schémas
apparaissent dans les cahiers de leçons et sur d’éventuelles affiches dans le cadre
de résolutions de problèmes particuliers, auxquels on donne une valeur générique.
113 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


 Problèmes…                de parties-tout                        de comparaison

                                  Tout
                                                                  Partie A
                                                                                   Tout
                      Partie A        Partie B
                                                           Partie B
    additifs                                                          Différence

                      Tout = Partie A + Partie B         Différence = Partie A – Partie B
                      Partie B = Tout – Partie A         Partie A = Partie B + Différence
                                                            Tout = Partie A + Partie B


                                 Tout                    A Part
                                                                                       Tout
                    Part Part Part ........ Part         B Part Part Part ........

 multiplicatifs           Nombre de parts                             N fois

                   Tout = Nombre de parts x Part                    B=NxA
                   Nombre de parts = Tout ÷ Part              A = B ÷ N et N = B ÷ A
                   Part = Tout ÷ Nombre de parts                   Tout = A + B




ADAPTATION AUX PROBLÈMES EN PLUSIEURS ÉTAPES
Les résolutions de problèmes en plusieurs étapes peuvent également s’appuyer sur
des schémas en barres. Selon les cas, un ou plusieurs schémas peuvent être utilisés.

    « Il y a 1 330 500 élèves scolarisés dans les écoles de la région Île-de-France.
    Ils sont répartis dans 3 académies. Au sein de l’académie de Versailles, il y a
    646 663 élèves, 163 460 élèves sont scolarisés dans l’académie de Paris,
    et les autres sont scolarisés dans l’académie de Créteil.
    Combien d’élèves sont scolarisés dans l’académie de Créteil ? »

Le schéma en barres correspondant à la situation est donc constitué de trois parties
formant un tout.

                    Versailles            Paris                 Créteil
                  646 663 élèves      163 460 élèves           ? élèves


                                       Île-de-France
                                     1 330 500 élèves

Une modélisation apparaît alors de façon évidente pour déterminer la valeur de la
troisième partie. Il suffit de faire une addition pour déterminer le nombre d’élèves
à Versailles et Paris, puis de soustraire le résultat obtenu à l’ensemble des élèves
d’Île-de-France pour trouver le nombre d’élèves à Créteil :
646 663 + 163 460 = 810 123
Il y a 810 123 élèves dans les académies de Paris et Versailles.
1 330 500 – 810 123 = 520 377

Il y a 520 377 élèves dans l’académie de Créteil.
114 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Comme cela a été présenté dans le chapitre 2, les schémas en barres peuvent
soutenir la modélisation du problème sur les jus de fruits issu de l’évaluation Timss.

    « Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zeds.
    Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
    Julien a 4 zeds.
    Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? »

Exemple de résolution utilisant un schéma en barres :

                    Jus de pomme                           Jus d’orange
    Achats
                       1,87 zed                             3,29 zeds


    Julien                         4 zeds
                                                              ce qu’il doit avoir en plus


1,87 zeds + 3,29 zeds = 5,16 zeds. Les deux bouteilles de jus de fruits coûtent 5,16 €.
5,16 zeds – 4 zeds = 1,16 zeds
Il faudrait 1,16 zeds en plus à Julien pour acheter les deux bouteilles.

Pour certains problèmes en plusieurs étapes, il peut être difficile de faire apparaître
toutes les informations sur un unique schéma et l’on peut préférer effectuer plusieurs
schémas successifs correspondant aux différentes étapes.

    « Lors d’une vente solidaire pour des associations, deux stands ont permis
    de récolter 5 568 €. Les deux cinquièmes de cette somme ont été récoltés par
    le stand A et le reste par le stand B.
    Le stand B a décidé de remettre les trois quarts de la somme qu’il a récoltée à une
    association de soutien aux personnes sans-abri.
    Combien le stand B va-t-il remettre à cette association ? »

Les schémas en barres ci-dessous peuvent soutenir le traitement de chaque étape.

                                                              5 568 €

5 568 € ÷ 5 = 1 113,60 €
1 113,60 € x 3 = 3 340,80 €
Le stand B a récolté 3 340,80 €.              Stand A                   Stand B
3 340,80 ÷ 4 = 835,20 €
                                                                 Stand B : 3 340,80 €
835,2 x 3 = 2 505,60 €
Le stand B va remettre 2 505,60 €
à l’association de soutien aux
personnes sans-abri.
                                                   Association de soutien aux sans-abri
115 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

LES SCHÉMAS EN BARRES POUR TRAITER DES PROBLÈMES ALGÉBRIQUES
Les schémas en barres s’avèrent être un outil particulièrement efficace pour
résoudre les problèmes algébriques 84 ; problèmes qui pourront être traités au
collège en utilisant des mises en équations du premier degré. Ce type de problèmes
est présenté dans le paragraphe sur les problèmes atypiques au chapitre 1.
Des exemples de tels problèmes sont proposés ci-dessous.



                      3 EXEMPLES DE PROBLÈMES ALGÉBRIQUES

                       TRAITÉS AVEC DES SCHÉMAS EN BARRES


EXEMPLE 1

    « Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes. Il y a trois
    fois plus de billes rouges que de billes vertes et 7 billes vertes de moins que de
    billes bleues.
    Combien y a-t-il de billes rouges ? »

En représentant le nombre de billes vertes par un rectangle violet, on peut repré-
senter le nombre des autres billes en s’appuyant sur ce rectangle violet.


           Billes vertes

           Billes rouges                                                 162 billes

           Billes bleues                    7


Cherchons le nombre de billes représenté par les 5 rectangles violets.
162 billes – 7 billes = 155 billes
Cherchons le nombre de billes représentées par 1 rectangle violet.
155 billes ÷ 5 = 31 billes
3 x 31 billes = 93 billes
Il y a donc 93 billes rouges.

Comme cela a été vu précédemment, au cycle 4 ce problème pourra être traité
en désignant par v le nombre de billes vertes. Il y a alors 3v billes rouges et (v + 7)
billes bleues, d’où l’équation à résoudre v + 3v + (v + 7) = 162 , d’où 5v = 162 – 7.
Les similitudes fortes entre les deux raisonnements apparaissent clairement.




84 — Swee Ng, Kerry Lee, “The Model Method: Singapore Children’s
Tool for Representing and Solving Algebraic Word Problems”, Journal
for Research in Mathematics Education, n° 40, p. 282-313, 2009.
116 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

EXEMPLE 2

L’exemple ci-dessous est similaire, avec une résolution par substitution85.

    « Agathe et Ben ont dépensé 65 €. Agathe et Chloé ont dépensé 185 €. Chloé a
    dépensé trois fois plus que Ben.
    Combien Agathe a-t-elle dépensé ?86 »

                                 Chloé    Ben    Ben     Ben
                                                65 €

                        Agathe et Ben Agathe Ben différence

                      Agathe et Chloé Agathe Ben            Ben    Ben


                                          185 €
185 € – 65 € = 120 €
La différence entre les sommes dépensées par « Agathe et Chloé » et « Agathe
et Ben » est 120 €.

120 € ÷ 2 = 60 €
Ben a dépensé 60 €.
65 € – 60 € = 5 €
Agathe a dépensé 5 €.

EXEMPLE 3

Pour terminer avec ces exemples de problèmes algébriques, le problème ­ci-dessous
correspond à un exemple classique de problème pouvant se traiter en résolvant
un système de deux équations à deux inconnues.

    « Dans une volière, il y a des lapins et des poules. Pour faire trouver le nombre
    de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
    Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la volière ? »

Plusieurs méthodes peuvent être suivies, en voici deux exemples.

Méthode 1 :
                            40

                    Nombre     Nombre
           Têtes de lapins de poules
                                                 114

                    Nombre     Nombre     Nombre       Nombre   Nombre    Nombre
          Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules



85 — Méthode de résolution d’un système d’équations à plusieurs
inconnues consistant à exprimer la valeur d’une inconnue en fonction
des autres inconnues, puis à remplacer cette première dans les autres
équations.
86 — Ibid, p. 67, note 51.
  117 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

  Le schéma peut alors être aisément complété en remarquant que dans la deuxième
  barre apparaît deux fois la quantité représentée dans la première barre, c’est-à-dire
  2 fois 40.
                              40

                      Nombre     Nombre
             Têtes de lapins de poules
                                                  114

                      Nombre     Nombre    Nombre     Nombre     Nombre     Nombre
            Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules


                       114 – 80 = 34                     2 x 40 = 80


  On en déduit le nombre de lapins : 34 ÷ 2 = 17 ; il y a 17 lapins.
  Et le nombre de poules : 40 – 17 = 23 ; il y a 23 poules.

  Méthode 2 :

                              40

                      Nombre     Nombre
             Têtes de lapins de poules
                                                   114

                      Nombre     Nombre    Nombre     Nombre     Nombre     Nombre
            Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules


  Le schéma peut alors être complété en faisant apparaître le nombre de pattes dans
  une barre représentant 4 fois le nombre de têtes qui est égal à 4 fois le nombre
  de lapins plus 4 fois le nombre de poules.

                                        114

           Nombre     Nombre     Nombre     Nombre    Nombre     Nombre
  Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules

                                              4 x 40 = 160

   4 fois Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
les têtes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules de poules de poules

                                        114                                  160 – 114 = 46

  On en déduit le nombre de poules :
  46 ÷ 2 = 23 ; il y a 23 poules.

  Et le nombre de lapins :
  40 – 23 = 17 ; il y a 17 lapins.
118 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

QUELQUES QUESTIONS RÉGULIÈREMENT POSÉES SUR L’ENSEIGNEMENT
DES SCHÉMAS EN BARRES
À quel moment de la scolarité doit-on commencer à utiliser les schémas en barres ?
Et jusqu’à quel niveau sont-ils utiles ?
Les schémas en barres sont souvent introduits en deuxième année d’école
élémentaire. Les schémas de parties-tout (additifs) sont parfois introduits dès le CP.

Comment mettre en place la schématisation en barres au cycle 3 lorsque cela n’a
pas été fait au cycle 2 ?
Il faut introduire les choses progressivement, comme cela aurait été fait au cycle 2.
Il faut plusieurs mois pour que les choses deviennent véritablement opérationnelles
pour les élèves, il y a donc un intérêt fondamental pour les apprentissages des élèves
à ce que les professeurs s’accordent sur ce qui est enseigné année après année.

Les longueurs des barres doivent-elles être proportionnelles aux quantités ou
grandeurs qu’elles représentent ?
La réponse est clairement non. Cela est souvent impossible car on ne connaît
pas, au moment où l’on construit le schéma, les quantités ou les mesures de ce
qui est représenté. Même quand ces données sont connues, les quantités ou les
grandeurs en jeu peuvent être dans des rapports très élevés, par exemple une partie
correspondant à 0,1 % d’un tout, ce qui rend impossible un respect des proportions
sur le schéma. Il est cependant essentiel de représenter par des rectangles
identiques ce que l’on sait égal (on se prépare à l’algèbre) et d’essayer de représenter
par des rectangles plus longs ce qui correspond à des quantités ou mesures plus
importantes dans des problèmes de comparaison.

Que faire avec les élèves qui n’utilisent pas les schémas en barres qui leur ont
été enseignés ?
Si un élève n’a pas besoin de faire un schéma pour résoudre un problème, on ne doit
pas lui demander de le faire. La plupart des schémas sont voués à ne plus être utilisés
au fur et à mesure de la progression des compétences de l’élève. Le professeur
peut proposer des problèmes plus difficiles qui feront à nouveau émerger l’utilité
de faire un schéma.
Si un élève ne réussit pas à traiter le problème proposé, le professeur peut demander
explicitement de faire un schéma, comme première étape de résolution dans le cadre
de l’accompagnement des élèves dans leur recherche.

Pour les problèmes en plusieurs étapes, faut-il un unique schéma en barres ou
faut-il en dessiner plusieurs ?
Cela dépend des problèmes et des élèves. Les deux sont possibles, comme on a pu
le voir dans les exemples donnés dans le paragraphe « Adaptation aux problèmes
en plusieurs étapes » ; dans certains cas, faire deux schémas peut être plus simple
(voir le problème sur une vente solidaire proposé précédemment ou le problème
n° 7 dans le focus ci-après, sur les problèmes avec des fractions résolus à l’aide
d’un schéma en barres).
119 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Faut-il imposer un type de schéma ?
Non, mais il faut mettre en avant le ou les schémas les plus pertinents pour résoudre
un problème donné en explicitant clairement l’intérêt que présentent ce ou ces
schémas. Si un élève n’utilise pas le schéma que le professeur souhaite mettre
en avant et utilise son propre schéma, que le professeur considère comme non
pertinent, il ne faut pas imposer ce schéma, mais proposer un nouveau problème
pour lequel on peut penser que l’élève sera en difficulté avec le type de schéma sur
lequel il s’appuie, afin de le convaincre de la pertinence d’abandonner ce schéma
dans certaines situations.

Comment faire comprendre la schématisation en barres pour les problèmes de
type transformation ?
Cela peut se faire en reformulant le problème pour rendre visibles les différentes
parties dans le cadre de la situation dynamique : « Si on considère l’ensemble des billes
que Louis avait avant la récréation, alors cet ensemble se sépare en deux. Il y a, d’une
part, les billes qu’il a perdues pendant la récréation et, d’autre part, les billes qu’il n’a
pas perdues, c’est-à-dire les billes qu’il a encore après la récréation. » Mais on peut
aussi accepter un autre schéma qu’un schéma en barres, par exemple un schéma
avec un déplacement sur une ligne numérique, présenté dans le paragraphe ci-après.

Les élèves ne risquent-ils pas de remplir des cases au hasard, comme s’ils met-
taient des nombres dans des opérations, sans forcément en comprendre le sens ?
Il s’agit là d’un point de vigilance. Il ne faut pas se focaliser sur le schéma terminé,
ce qui compte, c’est sa construction. L’important, c’est de construire les schémas,
avec les élèves, face aux élèves, en verbalisant chaque action et les relations entre
les différentes données de l’énoncé et en explicitant pourquoi on construit telle ou
telle chose sur le schéma. Il est important de bien légender le schéma : le nom de ce
qui est représenté, les valeurs ou les proportions de l’énoncé qui sont utilisées, etc.



Les schémas représentant un déplacement
sur une droite numérique ou une ligne du temps

Les schémas en barres peuvent se montrer peu adaptés pour la résolution de
certains problèmes de transformations, en particulier quand les différents états ne
sont pas connus et que la réflexion porte sur la composition des transformations.

Les schémas s’appuyant sur une ligne numérique sont particulièrement efficaces
pour soutenir la résolution de problèmes liés à des évolutions d’une grandeur
dans le temps ou à des déplacements dans l’espace, ou de façon plus générale des
problèmes avec des transformations.
120 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Le problème ci-dessous est un problème de déplacement dans l’espace.

    « Léa a parcouru 72 km depuis le péage de l’autoroute. Elle a maintenant parcouru
    738,5 km depuis qu’elle a quitté sa maison.
    Quelle distance y a-t-il entre sa maison et le péage de l’autoroute ? »


                      ? km                  72 km
     Maison                     Péage                     Position de la voiture




                               738,5 km



Sur ce schéma, la droite peut être une ligne du temps ou peut représenter le dépla-
cement dans l’espace. Un tel schéma a une proximité avec les schémas en barres
pour un problème de type parties-tout, ce qui permet une modélisation facilitée
pour les élèves.

    « Assia a un récupérateur d’eau de pluie dans son jardin. En juin, elle a pu
    récupérer 247 L d’eau de pluie. Pendant le mois de juin, elle a aussi utilisé 292 L
    d’eau du récupérateur pour arroser les plantes de son jardin.
    Quelle est l’évolution du volume d’eau contenue dans le récupérateur entre le
    début et la fin du mois de juin ? »


Niveau d’eau       Évolution                              247 L en plus
     fin juin         ?L                                  (pluie)


                             Niveau d’eau
                              début juin

                     292 L en moins (arrosage)


Contrairement au problème précédent, ici la droite ne représente pas la ligne du
temps, mais il s’agit d’une droite numérique pour représenter le volume d’eau dans
le récupérateur. Un déplacement vers la gauche correspond à une diminution du
volume d’eau et vers la droite à une augmentation de ce volume.

    « Selon l’Institut national d’études démographiques (Ined), la population asiatique
    devrait augmenter de 467 634 000 habitants entre 2025 et 2050, puis diminuer
    de 147 634 000 habitants entre 2050 et 2075.
    Comment devrait évoluer la population asiatique entre 2025 et 2075 ? »
121 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Pour ce problème d’évolutions dans le temps, la représentation sur une droite
numérique peut être source de difficulté s’il y a une incompréhension par rapport à
ce que représente la droite. En effet, la droite peut représenter l’axe du temps comme
dans le schéma ci-dessous. On se déplace alors vers la droite quand on avance dans
le temps, indépendamment de l’évolution démographique.

               467 634 000        147 634 000
             habitants en plus habitants en moins
        2025                 2050                 2075




                                   ?

Mais la droite peut aussi servir à représenter le nombre d’habitants, auquel cas
une augmentation de population se traduit par un déplacement vers la droite et
une baisse par un déplacement vers la gauche, comme dans le schéma ci-dessous.

 Population                   467 634 000                  Population
   en 2025                  habitants en plus              en 2050




                        ?      Population 147 634 000
                                en 2075    habitants
                                           en moins

Il est donc essentiel d’être très explicite, lors de l’utilisation de tels schémas en classe,
sur ce que symbolise l’axe tracé sur lequel s’appuie la représentation.



Les tableaux

Des tableaux peuvent être utilisés pour illustrer des problèmes où une même quantité
est répétée à l’identique plusieurs fois.

    « Dans son potager, Yasmine a planté 11 rangées de 14 salades.
    Combien y a-t-il de salades dans le potager de Yasmine ? »

Pour résoudre un tel problème, un schéma en barres convient tout à fait. Le produit
correspond à une addition itérée, on ajoute 11 fois les 14 salades de chaque rangée.
La réponse est donc obtenue en effectuant 11 x 14 salades.

                                         ? salades


  14       14      14        14     14       14      14       14       14      14      14

                                       11 rangées
  122 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

 Si cette représentation aide à modéliser le problème par la multiplication 11 x 14,
 elle ne permet cependant pas de soutenir la compréhension de la propriété de
 commutativité de la multiplication. En effet, la conception intuitive de la multiplication
 comme addition itérée rend contre-intuitive la commutativité de la multiplication :
 rien ne laisse penser en regardant ce schéma qu’un autre jardinier qui aurait planté
 14 rangées de 11 salades aurait effectivement planté le même nombre de salades.
 Une représentation en tableau, comme ci-dessous, permet au contraire de rendre
 visible la commutativité de la multiplication.

                                                14 colonnes




11 rangées




 En effet, au lieu de regarder les lignes du tableau, on peut regarder les colonnes :
 dans chacune des 14 colonnes, on a 11 salades. Comme le nombre de salades dans
 le tableau est inchangé, on a donc bien :

      11 salades x 14 = 14 salades x 11.

 Et donc, en comparant le nombre total de salades, 11 x 14 = 14 x 11. On peut ensuite
 aisément admettre que pour des situations analogues avec un nombre de rangées ou
 un nombre de salades par rangée différents, on pourrait écrire une égalité similaire.

 Un tel tableau éclaire donc sur la commutativité de la multiplication : pour n’importe
 quels nombres entiers a et b, on a a x b = b x a. Il contribue aussi à se distancier de
 la conception de la multiplication comme simple addition itérée.
123 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Il est clair que le schéma attendu des élèves ne comprend pas le dessin de chacune
des salades et peut devenir très symbolique, comme ci-dessous.

     « Lors d’une parade militaire, un régiment est représenté par 67 rangées
     de 18 soldats.
     Combien de soldats de ce régiment y a-t-il dans la parade militaire ? »

                                            18 soldats par rangée




                    67 rangées de soldats




Les représentations en tableau sont particulièrement pertinentes pour représenter
des situations faisant intervenir des produits cartésiens de deux ensembles. En effet,
chaque case du tableau correspond alors à un élément du produit cartésien
et, lorsqu’il s’agit de dénombrer les éléments de ce produit cartésien, une telle
représentation permet d’aider les élèves à reconnaître une situation multiplicative.

Au sein du chapitre 1, dans la sous-partie « Les problèmes multiplicatifs » de la partie
« Les problèmes en une étape », le problème suivant est proposé.

     « Une poupée est livrée avec 4 pantalons et 12 tee-shirts.
     De combien de façons est-il possible d’habiller la poupée ? »

L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples constitués d’un pantalon et
d’un tee-shirt, c’est-à-dire l’ensemble des tenues complètes que l’on peut constituer.
Cet ensemble est représenté dans le tableau ci-dessous recensant toutes les
tenues possibles.
                                           12 tee-shirts
  4 pantalons




Il convient de s’interroger face à un tel schéma sur l’exhaustivité des réponses
trouvées dans le tableau : peut-il exister une tenue qui n’est pas dans le tableau ?
La réponse est clairement non car le choix d’un pantalon donne une ligne et le choix
d’un tee-shirt donne une colonne, il y a donc bien une case correspondant à cette
ligne et cette colonne.
124 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Il convient également de s’interroger sur la non-redondance des réponses trouvées
dans le tableau : peut-il y avoir deux cases avec la même tenue ? La réponse est
également non car si deux cases sont distinctes, si elles ne sont pas sur la même
ligne, alors le pantalon est de couleur différente, et si elles sont sur la même ligne
alors elles ne sont pas sur la même colonne car les cases sont distinctes, et donc les
tee-shirts sont d’une couleur différente. Deux cases distinctes sont donc occupées
par des tenues différentes.

La représentation sous forme de tableau permet alors de répondre, en reconnaissant
une situation multiplicative (4 x 12), qu’il est possible d’habiller la poupée de 48 façons
différentes. Compter les tenues dans le tableau serait par ailleurs possible, mais la
reconnaissance d’une situation multiplicative permet la mise en œuvre d’une pro-
cédure de résolution clairement plus efficace.

    « Dans notre classe, il y a 16 filles et 9 garçons. Pour l’élection des délégués,
    pour qu’un bulletin de vote soit valable, il faut inscrire le nom d’une fille et le nom
    d’un garçon de la classe.
    Combien de binômes différents un élève peut-il écrire, sachant qu’un élève a
    le droit de voter pour lui-même ? »

On peut représenter la situation par le tableau suivant, qui permet de recenser
l’ensemble des binômes possibles.
                                                                                              Kadiatou
                                                                      Héloïse
                                                   Fabiola
                    Babeth




                                                                                                         Louise
                                            Emma
                             Chloé




                                                             Giulia




                                                                                                                                        Paula
                                                                                                                               Olivia
                                     Dana
            Alice




                                                                                       Jade
                                                                                Inès




                                                                                                                        Nina
                                                                                                                  Mia


 Arthur
 Baptiste
 Clément
  Diego
  Ethan
  Fahid
 Gabriel
  Hugo
  Isaac


Chaque case correspond à un binôme possible et tous les binômes correspondent
à une case. Le nombre de binômes possibles se justifie alors aisément ; il est égal à
16 x 9.

De façon générale, les tableaux sont utiles pour organiser la recherche de solutions
parmi un ensemble de réponses possibles en s’assurant de l’exhaustivité de cette
recherche.
 125 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


Les arbres

Les arbres peuvent être utiles pour les problèmes faisant intervenir des
dénombrements de produits cartésiens de plus de deux ensembles, l’utilisation
d’un tableau à double entrée n’étant alors plus possible. C’est ce qui a été proposé
dans le chapitre 1 pour le problème ci-dessous87.

     « Pour se déguiser, un clown dispose de :
     – 2 chapeaux (un rouge, un bleu) ;
     – 3 tee-shirts (un kaki, un noir, un jaune) ;
     – 2 pantalons (un rose, un vert).
     Combien de costumes différents complets, avec un chapeau, une veste et un
     pantalon, le clown peut-il faire ?88 »

Les arbres peuvent également se révéler intéressants lors de la résolution de
problèmes pour lesquels on cherche à dresser une liste exhaustive des solutions
possibles, sans qu’il s’agisse d’un produit cartésien ; comme par exemple pour des
arrangements (parties ordonnées sans répétition) ou des combinaisons (parties
non ordonnées sans répétition) des éléments d’un ensemble.

Exemple :
   « Combien peut-on écrire de nombres à trois chiffres commençant par le chiffre
   2 et en utilisant au plus une fois les chiffres 2, 4, 6 et 8 ? »

Un arbre permet de trouver rapidement les six solutions qui conviennent, en étant
convaincu qu’il n’en existe pas d’autres.
                                           6        246
                                    4
                                           8        248

                                                    4        264
                            2           6
                                                    8        268

                                                    4        284
                                        8
                                                    6        286
Exemple :
   « Assia, Basile, Capucine, Diego et Emy ont résolu ensemble un problème de
   mathématiques. Ils doivent désigner un binôme (deux élèves) parmi eux cinq pour
   présenter leur solution à la classe.
   Combien de binômes différents peut-on former avec ces cinq élèves ? »

Une série d’arbres permet de lister de façon exhaustive les différents binômes
possibles.
          Basile                    Capucine
          Capucine                                                 Diego
Assia                   Basile      Diego         Capucine                 Diego    Emy
          Diego                                                    Emy
          Emy                       Emy

87 — Voir p. 35.
88 — Problème inspiré de https://edu1d.ac-toulouse.fr/politique-
educative-31/ien31-toulouse-sud/files/2019/05/solutions_-pb_
chercher_%C3%A9nonc%C3%A9s-cycle-2-et-3.pdf
    126 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


    Focus | Exemples de résolution
    de problèmes de cours moyen
    avec des fractions en utilisant
    des schémas en barres

    Ce focus propose des exemples de résolution de problèmes utilisant des sché-
    mas en barres pour huit problèmes de CM1 avec des fractions. Certains de ces
    problèmes ne pourraient pas être résolus par des élèves de cours moyen sans le
    recours à un schéma en barres, les calculs nécessaires à leur résolution ne leur
    étant pas accessibles.

    EXEMPLE 1

        « Un récupérateur d’eau de 500 L est rempli aux 3 .
                                                           10
        Quelle quantité d’eau manque-t-il pour qu’il soit plein ? »

                                              500 L

    Eau présente dans le récupérateur

        1         1        1        1        1         1        1        1         1    1
       10        10       10       10       10        10       10       10        10   10

500 L ÷ 10 = 50 L                                      7 x 50 L = 350 L

    Il manque 350 L d’eau pour que le récupérateur d’eau soit plein.

    EXEMPLE 2

        « Zélie a préparé un cocktail de jus de fruits qui contient 1 de sirop de ­grenadine,
                                                                   10
         7 de jus d’orange et du jus d’ananas. Elle a utilisé 1 L de jus d’ananas.
        10                                                       2
        Quel volume de cocktail Zélie a-t-elle préparé ? »                         1L
                                                                                   2

   grenadine   orange orange orange orange orange orange orange ananas ananas


            1L                        1L                                     1L
            2

    2 L + 1 L = 2,5 L
          2
    Zélie a préparé 2,5 L de cocktail de jus de fruits.
127 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

EXEMPLE 3

    « Dans un grand bocal, Iris a rangé ses perles de couleur. Il y en a des
    vertes, des bleues, des rouges et des jaunes. Un tiers des perles sont vertes,
    1 des perles sont bleues, 5 des perles sont rouges et il y a 14 perles jaunes.
    12                         12
    Combien y a-t-il de perles de chaque couleur ? »

Une difficulté dans ce problème est de devoir partager l’ensemble des perles en 3
et en 12 de façon simultanée. C’est-à-dire comprendre que 4 douzièmes est égal
à 1 tiers.
               1                              1                              1
               3                              3                              3

                                                                              7 perles 7 perles



                                 1                       5                         14 perles
                                 12                      12


14 perles ÷ 2 = 7 perles ; un rectangle représente 7 perles.
7 perles x 5 = 35 perles ; il y a 35 perles rouges.
7 perles x 4 = 28 perles ; il y a 28 perles vertes.
Iris a 14 perles jaunes, 7 perles bleues, 35 perles rouges et 28 perles vertes.

EXEMPLE 4

    « Un fromage est vendu au prix de 30 € par kilogramme.
    Quel est le prix d’un morceau de ce fromage de 600 g ? »

600 g = 0,6 kg = 6 kg
                10
                               1 kilogramme de fromage
                                         30 €

    1        1         1        1        1         1        1        1         1         1
   10       10        10       10       10        10       10       10        10        10

   3€

                   600 g de fromage
                     6 x 3 € = 18 €

Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 €.
128 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

EXEMPLE 5

    « Le nombre de billes de Marius est égal au quart du nombre de billes de Giulia.
    Giulia a 36 billes de plus que Marius.
    Combien de billes a Giulia ? »

      Giulia

    Marius
                                                         36 billes
36 billes ÷ 3 = 12 billes
Un rectangle représente 12 billes.
12 billes x 4 = 48 billes
Giulia a 48 billes.

EXEMPLE 6

    « Pour la fête des mères, Joseph et sa petite sœur Lana ont acheté un bouquet
    à 36 €. Lana a payé le tiers de ce que Joseph a payé.
    Combien chacun des enfants a-t-il payé pour le bouquet ? »

    Joseph
                                                                           36 €
       Lana

36 € ÷ 4 = 9 €
9 € x 3 = 27 €
Pour le bouquet, Joseph a payé 27 € et sa sœur Lana a payé 9 €.

EXEMPLE 7

    « Ce mardi, Maria joue aux billes à l’école. À la récréation du matin, elle perd 1
                                                                                     4
    de ce qu’elle avait en arrivant à l’école. À l’heure du déjeuner, elle donne à son

    petit frère 5 des billes qu’il lui reste car il a perdu toutes les siennes. Il reste
                6
    maintenant 4 billes à Maria.
    Combien Maria avait-elle de billes en arrivant ce matin à l’école ? »

Méthode 1

Les billes à l’heure du déjeuner :
                                                         Billes restantes
                      Billes données à son frère           pour Maria


                                                              4 billes

5 x 4 billes = 20 billes
Maria a donné 20 billes à son frère.
20 billes + 4 billes = 24 billes
Maria avait 24 billes avant le déjeuner.
129 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Les billes le matin à l’école :

         Billes perdues                        Billes restantes
      pendant la récréation                  après la récréation




                                                   24 billes
24 billes ÷ 3 = 8 billes
Un rectangle représente 8 billes.
8 billes x 4 = 32 billes
Maria avait 32 billes en arrivant à l’école ce matin.

Méthode 2

         Billes perdues                        Billes restantes
      pendant la récréation                  après la récréation


                                                                           4 billes


                                          Billes données               Billes restantes
                                         au frère de Maria            après le déjeuner

4 billes x 2 = 8 billes
8 billes x 4 = 32 billes
Maria avait 32 billes en arrivant à l’école ce matin.

EXEMPLE 8

    « Raphaël, Ali et Elsa ont effectué une course de relais. Raphaël a parcouru la
    moitié de la distance parcourue par Ali et Ali a parcouru le tiers de la distance
    parcourue par Elsa. À eux trois, ils ont couru 1 800 m.
    Quelle distance a couru chaque enfant ? »

Raphaël

       Ali                                                                         1 800 m

     Elsa


1+2+6=9
Il y a 9 rectangles identiques.
1 800 m ÷ 9 = 200 m ; 200 m x 2 = 400 m ; 400 m x 3 = 1 200 m
Raphaël a couru 200 m, Ali a couru 400 m et Elsa a couru 1 200 m.
    130 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?


En résumé

   Les apprentissages relatifs à la résolution de problèmes
    ne se construisent pas en une année ni même en un cycle,
    mais tout au long de la scolarité obligatoire. Les stratégies
    d’enseignement mises en œuvre doivent donc être
    collectives afin que les élèves puissent s’appuyer chaque
    année sur ce qui a été appris les années précédentes.
    Ceci est particulièrement vrai pour les schémas enseignés
    pour soutenir la modélisation.


   Les séances d’enseignement de résolution de problèmes
    doivent être inscrites dans des séquences aux objectifs
    clairement définis et explicités aux élèves. Pendant ces
    séances, les élèves doivent disposer de temps suffisants
    pour résoudre eux-mêmes les problèmes qui leur
    sont proposés. Il faut veiller à soutenir, de façon appropriée
    et au moment opportun, chaque élève rencontrant
    une difficulté qu’il ne peut pas surmonter lui-même.


   L’évaluation doit être utilisée pour soutenir les apprentissages.
    Elle permet à l’enseignant de renforcer sa connaissance
    de ce que sait faire chacun des élèves à un instant
    donné et aide les élèves à structurer et renforcer leurs
    apprentissages comme le montrent les sciences cognitives.
                          V
De l’école au collège :
la résolution
de problèmes
dans le cadre
de la liaison CM2-6e
        132 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                                 e




Le travail mené en résolution de problèmes au cours
moyen permet de faire acquérir aux élèves
les connaissances et compétences nécessaires pour
aborder sereinement les problèmes qu’ils devront
résoudre en dernière année de cycle 3, puis au cycle 4.
Ce travail contribue à la construction progressive,
tout au long de la scolarité, des six compétences majeures
de l’activité mathématique inscrites dans les programmes89.
Les stratégies acquises et les outils que les élèves
ont appris à utiliser, notamment pour effectuer
des représentations permettant de soutenir la résolution
de problèmes, continueront à leur être utiles tout au long
du collège, en particulier pour accompagner et renforcer
le travail mené en algèbre.




La résolution de problèmes
au cœur de l’enseignement
des mathématiques au collège
comme à l’école élémentaire

        La résolution de problèmes continue d’occuper une place centrale dans l’ensei-
        gnement des mathématiques au collège. Les attendus de fin d’année de sixième
        mettent en évidence la continuité du travail à mener en rappelant les attentes
        concernant les problèmes verbaux à une ou plusieurs étapes : l’élève « résout des
        problèmes relevant des structures additives et multiplicatives en mobilisant une ou
        plusieurs étapes de raisonnement ».




        89 — Chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner
        et communiquer.
    133 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                             e




    Le programme du cycle 490 confirme la place centrale accordée à la résolution
    de problèmes tout au long du collège, en insistant sur le renforcement d’automatismes,
    le développement de la capacité à faire des analogies avec les problèmes préalablement
    résolus et l’acquisition d’aptitudes générales comme la prise d’initiative : « Une place
    importante doit être accordée à la résolution de problèmes. Mais pour être en
    capacité de résoudre des problèmes, il faut à la fois prendre des initiatives, imaginer
    des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer en procédant par analogie, en
    rattachant une situation particulière à une classe plus générale de problèmes
    […]. Ceci suppose de disposer d’automatismes (corpus de connaissances et de
    procédures automatisées immédiatement disponibles en mémoire). »




Exemples de problèmes pouvant
avoir été résolus au cours moyen

    Cette partie a pour objet de compléter la liste des nombreux problèmes proposés
    dans ce guide. Certains des problèmes proposés ici sont issus de travaux de
    recherche. Ces problèmes peuvent être utilisés en classe au cours moyen lorsque les
    compétences nécessaires à leur résolution sont enseignées. Ils peuvent permettre
    de nourrir les échanges entre les professeurs de cours moyen et les professeurs
    de mathématiques de sixième pour donner à voir des exemples de problèmes qui
    ont été résolus par les élèves avant leur entrée au collège.

    — « Un paquet de sablés coûte 2,15 € et un paquet de madeleines coûte 4,05 €.
      Combien dois-je payer pour ces deux paquets de gâteaux ? »

    — « Un paquet de sablés coûte 2,15 €. J’ai acheté un paquet de sablés et un paquet
      de madeleines et j’ai payé 6,20 €.
      Quel est le prix d’un paquet de madeleines ? »

    — « Le mois dernier, le chiot de Basile pesait 3,8 kg. Il a grossi de 1,3 kg en un mois.
      Combien pèse le chiot de Basile maintenant ? »

    — « Il y a deux mois le chiot de Basile a été malade et a perdu 1,1 kg. Ce mois-ci, il a
      grossi de 2,3 kg. Il pèse maintenant 9,4 kg.
      Combien pesait le chiot de Basile il y a deux mois ? »

    — « Léa a parcouru 72 km depuis le péage de l’autoroute. Elle a maintenant parcouru
      738,5 km depuis qu’elle a quitté sa maison.
      Quelle distance a-t-elle parcourue entre sa maison et le péage de l’autoroute ? »

    — « Pour la bibliothèque de fond de classe, le maître a acheté 6 exemplaires du
      même livre. Il a payé 32,10 €.
      Quel est le prix d’un livre ? »


    90 — BOENJS n° 31 du 30 juillet 2020.
    134 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                             e




    — « Pour la classe de CM2, le maître a commandé des manuels de mathématiques.
      Chaque manuel coûte 13 €. La facture s’élève à 338 €.
      Combien de manuels le maître a-t-il commandés ? »

    — « Mathéo achète deux baguettes à 1,05 € et un croissant à 1,25 €.
      Combien doit-il payer au boulanger ? »

    — « Rachid retire 30 € au distributeur, puis achète un livre à 37,50 €. Il lui reste
      maintenant 12 €.
      Combien d’argent Rachid avait-il avant d’aller au distributeur ? »

    — « Erwan a fait des courses. La vendeuse lui a donné le ticket ci-dessous :

                                              Eau 3,60 €
                                              Chocolat 2,10 €
                                              Pain 0,85 €


        Il a payé avec un billet de 10 €. Il recompte la monnaie qui lui a été rendue et
        trouve 2,45 €. Il pense qu’il a perdu une pièce.
        Quelle pièce a-t-il pu perdre ?91 »

    — « Claude raconte à son copain : “La semaine dernière, les élèves des classes de
      deuxième année ont décidé de se cotiser pour offrir un cadeau à Kévin, hospitalisé.
      Chacun a donné 0,50 €. Chargé de l’achat du cadeau, j’ai constaté qu’il manquait
      15 €. J’ai réclamé 0,20 € supplémentaires par élève et j’ai alors eu 11 € de trop.”
      Calcule le prix du cadeau.92 »




Exemples d’utilisation
au collège des représentations
schématiques introduites
au cours moyen

    Cette partie a pour objectif de montrer explicitement comment les outils introduits à
    l’école élémentaire pour soutenir la résolution de problèmes peuvent continuer à être
    utilisés au collège dans le cadre de la résolution de problèmes relevant du collège
    (ratios, algèbre, probabilités, etc.).




    91 — Problème proposé dans une évaluation nationale de CM2
    en mai 2012 (53 % de réussite).
    92 — Problème proposé par Annick Fagnant dans une intervention
    menée au sein de l’académie de Paris.
135 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                         e




Utilisation des schémas en barres
pour des problèmes de fractions,
pourcentages ou ratios

PROBLÈMES DE FRACTIONS
Exemple :
   « J’ai dépensé 4 septièmes de mes économies pour acheter un manteau et le tiers
   du reste pour une paire de chaussettes. J’ai maintenant 9,52 €.
   Combien avais-je d’économies au départ ?*93 »

La résolution peut s’appuyer sur les outils utilisés à l’école élémentaire.

                                          Économies au départ

               Manteau : 4 des économies                               Reste
                         7




                                                      1 du reste             9,52 €
                                                      3
                                                      (chaussettes)
9,52 € ÷ 2 = 4,76 €
4,76 € x 7 = 33,32 €
J’avais 33,32 € d’économie au départ.

Cette représentation permet d’illustrer les calculs algébriques menés au collège.
En notant x les économies au départ, la somme restante après les achats est égale à :

(1 – 47 ) (1 – 13 )x = 37 x 23 x = 27 x
On va donc chercher x tel que 2 x = 9,52 ; la fraction 2 apparaissait clairement
                              7                        7
sur le schéma.




93 — Dans ce chapitre, les problèmes suivis du symbole « * »
sont extraits du guide La Résolution de problèmes mathématiques
au collège, coll. « Les guides fondamentaux pour enseigner », 2021.
136 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                         e




PROBLÈMES DE POURCENTAGES
Exemple :
   « Angel veut acheter une paire de chaussures. Elle a droit à une réduction de
   15 % par rapport au prix normal. Le vendeur lui dit que la réduction sera de 12 €.
   Quel est le prix normal ?94 »

                                                                             15 %
                                              100 %

                                Prix réduit                            Réduction 12 €


                                        Prix normal ? €

15 % du prix normal  12 €
30 % du prix normal  24 €
10 % du prix normal  8€
100 % du prix normal  80 €

Le schéma permet aussi de soutenir la production du tableau de proportionnalité
au collège :

                                          Réduction                Prix normal
         Part du prix normal en %         15                       100
         Montant en €                     12                       x



En fin de cycle 4, le tableau conduit au calcul automatisé x = 12 x 100.
                                                                  15
Exemple :
    « Dans un panier, il y a des pommes et des oranges. 25 % des fruits sont
    des oranges. Mary achète des oranges en plus et les met dans le panier. Il y a
    maintenant deux fois plus d’oranges qu’avant.
    Quel pourcentage des fruits sont des pommes après l’achat de Mary ?95 »

25 % = 1
       4
Au départ :
                                  Pommes                                   Oranges




94 — Herani Tri Lestiana, Cici Tri Wanita, ”Bar Model: a beneficial tool
in learning percentage”, Eduma, Mathematics Education Learning
and Teaching, Vol. 8, n° 2, 2019.
95 — Ibid, p. 67, note 51.
137 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                         e




Mary double le nombre d’oranges :

                        Pommes                                            Oranges




La part des pommes parmi les fruits est maintenant : 3 = 6 = 60 = 60 %.
                                                     5   10 100

PROBLÈMES DE RATIOS
Exemple :
   « Lors d’un match de football, le ratio hommes-femmes du public est de 3:5.
   ­Combien y a-t-il d’hommes dans le public sachant qu’il y a 34 500 femmes ? »

3 + 5 = 8 ; il y a huit parts égales.

             Hommes                                            Femmes




                                                        34 500 spectatrices

34 500 ÷ 5 = 6 900 ; une part correspond à 6 900 personnes.
3 x 6 900 = 20 700 ; il y a 20 700 hommes dans le public de ce stade.

Exemple :
   « Quelle est la nature d’un triangle dont les angles sont dans le ratio 1:2:3 ?* »

1 + 2 + 3 = 6 ; il y a six parts égales.
La somme des mesures des angles d’un triangle est 180°.

             Premier           Deuxième                        Troisième
              angle              angle                           angle




                                               180°


180° ÷ 6 = 30° ; le premier angle mesure 30°.
2 x 30° = 60° ; le deuxième angle mesure 60°.
3 x 30° = 90° ; le troisième angle mesure 90°.
Le triangle est un triangle rectangle.
138 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                         e




Utilisation des schémas en barres pour
illustrer des problèmes algébriques

Exemple :
   « Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins
   que la vache. Ensemble, les trois animaux pèsent 410 kg.
   Quelle est la masse de la vache ?96 »

                                        Vache

                                            150 kg
                                Chien                      410 kg

                                  Chèvre       130 kg


On peut raisonner avec trois fois la masse de la vache, en schématisant ainsi :

                      Vache                   Vache                  Vache

                                                 150 kg                     130 kg
                      Vache           Chien                    Chèvre

                                                              150 kg        130 kg
                      Vache           Chien     Chèvre

                                410 kg                             280 kg


Trois fois la masse de la vache est donc égal à 410 kg + 280 kg c’est-à-dire 690 kg.
690 kg ÷ 3 = 230 kg ; la vache pèse 230 kg.

Le calcul algébrique reproduit le même raisonnement : en notant x la masse de la
vache, en kilogramme, on trouve que celle du chien est (x – 150) kg et que celle de
la chèvre est (x – 130) kg.
On en déduit l’équation correspondant à la somme des masses des trois animaux :
x + (x – 150) + (x – 130) = 410.
On retrouve alors la relation obtenue avec le schéma : 3x = 410 + 280.

Exemple :
   « Un rectangle a une longueur et une largeur dans le ratio 3:2. Si je diminue
   la longueur de 1 m et si j’augmente la largeur de 2 m, j’obtiens un carré.
   Quelle est son aire ? »

L’obtention d’un carré signifie que la largeur et la longueur deviennent égales.




96 — Ibid, p. 109, note 80.
139 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                         e




         Longueur

                                                                            2m          1m
         Largeur

                                     longueur des côtés du carré

À partir du schéma, on visualise immédiatement qu’une petite barre violette
­correspond à une longueur de 3 mètres. On en déduit que le rectangle a une longueur
 de 9 mètres et une largeur de 6 mètres, et ensuite que le carré a des côtés mesurant
 8 mètres. Son aire est donc de 64 m².

En notant x la longueur du côté du carré, on obtient une équation où chaque membre
correspond à la longueur représentée par une petite barre violette dans les deux

lignes du schéma x + 1 = x – 2 ,ce qui permet de trouver la valeur de x.
                   3       2



Utilisation de tableaux

Exemple :
   « On lance deux dés.
   Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat compris entre 7 et 19 en faisant
   le produit des nombres obtenus sur chaque dé ? »

On réalise un tableau recensant les 36 cas possibles :


            1        2        3        4        5       6

   1        1        2        3        4        5       6

   2        2        4        6        8       10       12

   3        3        6        9       12       15       18

   4        4        8       12       16       20       24

   5        5       10       15       20       25       30

   6        6       12       18       24       30       36



Il y a 14 cas correspondant à ce qui est recherché. La probabilité est de 14 .
                                                                          36
140 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
                                                                                         e




Exemple :
   « Pour le championnat de rugby, une équipe reçoit 3 points par victoire et 1 point
   par match nul. Après 25 matchs, une équipe a marqué 55 points.
   Combien de matchs a-t-elle pu perdre ?* »

Si l’équipe avait gagné 10 matchs, alors elle aurait gagné 30 points pour ces matchs.
Il manque alors 25 points pour atteindre les 55 points qu’elle a marqués au total :
cela ferait 25 matchs nuls. Cela voudrait dire qu’elle aurait joué au moins 35 matchs.
C’est impossible, car au total, elle a joué 25 matchs. L’équipe a donc nécessairement
gagné plus de 10 matchs.

  Nombre             Nombre de matchs nuls                   Nombre de matchs perdus
  de matchs          nécessaires pour atteindre              nécessaires pour atteindre
  gagnés             55 points                               25 matchs
  10                 25, impossible (10 + 25 > 25)
  11                 22, impossible (11 + 22 > 25)
  12                 19, impossible (12 + 19 > 25)
  13                 16, impossible (13 + 16 > 25)
  14                 13, impossible (14 + 13 > 25)
  15                 10                                      0 (25 – 15 – 10)
  16                 7                                       2 (25 – 16 – 7)
  17                 4                                       4 (25 – 17 – 4)
  18                 1                                       6 (25 – 18 – 1)
  19                 Impossible (3 x 19 = 57 > 55)


L’équipe a pu perdre 0, 2, 4 ou 6 matchs.



Utilisation d’arbres

Exemple :
   « On lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée.
   Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois “pile” et une fois “face” ? »
                                                                P
                                                    P           F
                                       P
                                                                P
                                                    F
                                                                F

                                                                P
                                                    P
                                                                F
                                       F
                                                    F           P
                                                                F
L’arbre permet de repérer les 3 cas favorables parmi les 8 possibles. La probabilité

est de 3 .
       8
Bibliographie
et outils de référence
142 — Bibliographie et outils de référence

OUVRAGES


— Crahay Marcel,                             — Pólya George, Comment
  Verschaffel Lieven,                          poser et résoudre
  De Corte Erik, Grégoire                      un problème, Dunod,
  Jacques, Enseignement                        Paris, 1965 (traduction
  et apprentissage                             de Schule des Denkens.
  des mathématiques,                           Vom Lösen mathematischer
  De Boeck Supérieur,                          Probleme, 1945).
  Bruxelles, 2008.
                                             — Polotskaia Elena, Gervais
— Dehaene Stanislas,                           Claudine, Savard Annie,
  Apprendre ! Les talents                      Représenter pour mieux
  du cerveau, le défi                          raisonner. Résolution
  des machines, Odile Jacob,                   de problèmes écrits
  Paris, 2018.                                 d’addition et de soustraction,
                                               JFD, Montréal, 2019.
— Houdé Olivier, Apprendre
  à résister, Le Pommier-                    — Singer Florence Mihaela,
  Humensis, Paris, 2019.                       Ellerton Nerida F., Cai Jinfa,
                                               Mathematical Problem
— Lakoff George, Núñez Rafael,
                                               Posing – From Research
  Where Mathematics Comes
                                               to Effective Practice,
  From: How the Embodied
                                               Springer, 2005.
  Mind Brings Mathematics
  Into Being, Basic Books,                   — Sophian Catherine,
  New York, 2001.                              The Origins of Mathematical
                                               Knowledge in Childhood,
— Lautrey Jacques,
                                               Routledge, New York, 2007.
  Rémi‑Giraud Sylviane,
  Sander Emmanuel,                           — Willingham Daniel T.,
  Tiberghien Andrée,                           Pourquoi les enfants
  Les Connaissances naïves,                    n’aiment pas l’école ?,
  Armand Colin, Paris, 2008.                   La Librairie des Écoles,
                                               2010.



ARTICLES


— Barnett Susan, Ceci Stephen,               — Barrouillet Pierre,
  “When and Where Do We                        Camos Valérie,
  Apply What We Learn?                         « Savoirs, savoir-faire
  A Taxonomy for Far Transfer”,                arithmétiques et leurs
  Psychological bulletin,                      déficiences », dans Michèle
  n° 128, 2002.                                Kail et Michel Fayol (dir.),
                                               Les Sciences cognitives
                                               et l’école. La question
                                               des apprentissages,
                                               PUF, Paris, 2003.
143 — Bibliographie et outils de référence

— Bassok Miriam, “Semantic                   — Demonty Isabelle, Dupont
  Alignments in Mathematical                   Virginie, Fagnant Annick,
  Word Problems”, in Dedre                     « Analyse des régulations
  Gentner, Keith J. Holyoak,                   interactives entre élèves
  Boicho N. Kokinov (eds.),                    lors de la résolution
  The Analogical Mind:                         d’un problème mathématique
  Perspectives from Cognitive                  en groupe », Les Cahiers
  Science, Cambridge, MA,                      des sciences de l’éducation,
  MIT Press, 2001.                             n° 36, 2014.

— Bassok Miriam, Chase                       — Devidal Michel,
  Valerie, Martin Shirley,                     Fayol Michel, Barrouillet
  “Adding Apples and Oranges:                  Pierre, « Stratégies
  Alignment of Semantic                        de lecture et résolution
  and Formal Knowledge”,                       de problèmes arithmétiques »,
  Cognitive Psychology,                        L’Année psychologique,
  n° 35, 1998.                                 Vol. 97, n° 1, PUF, 1997.

— Bassok Miriam, Pedigo                      — Doabler Christian,
  Samuel, Oskarsson An,                        Baker Scott, Kosty Derek,
  “Priming Addition Facts With                 Smolkowski Keith, Clarke Ben,
  Semantic Relations”, Journal                 Miller Saralyn, Fien Hank,
  of Experimental Psychology.                  “Examining the Association
  Learning, Memory,                            Between Explicit Mathematics
  and Cognition, n° 34, 2008                   Instruction and Student
                                               Mathematics Achievement”,
— Berends Inez, Van Lieshout
                                               The Elementary School
  Ernest C. D. M., “The Effect
                                               Journal, n° 115, 2015.
  of Illustrations in Arithmetic
  Problem-Solving: Effects                   — Dooren Wim, Bock Dirk,
  of Increased Cognitive Load”,                Evers Marleen, Verschaffel
  Learning and Instruction,                    Lieven, “Students’
  n° 19, 2009.                                 Overuse of Proportionality
                                               on Missing‑Value Problems:
— Butlen Denis, Charles-Pézard
                                               How Numbers May
  Monique, « Conceptualisation
                                               Change Solution”, Journal
  en mathématiques et élèves
                                               for Research in Mathematics
  en difficulté. Le calcul mental
                                               Education, n° 40, 2009.
  entre sens et technique »,
  Grand N, n° 79, 2007.                      — Durkin Kelley, Star Jon R.,
                                               Rittle-Johnson Bethany,
— Daroczy Gabriella, Meurers
                                               “Using Comparison
  Detmar, Heller Juergen,
                                               of Multiple Strategies
  Wolska Magdalena,
                                               in the Mathematics
  Nuerk Hans-Christoph,
                                               Classroom: Lessons
  “The Interaction of Linguistic
                                               Learned and Next Steps”,
  And Arithmetic Factors
                                               ZDM – Mathematic
  Affects Adult Performance
                                               Education, n° 49, 2017.
  on Arithmetic Word
  Problems”, Cognitive
  Processing, n° 21, 2020.
144 — Bibliographie et outils de référence

— Fagnant Annick, Vlassis                    — Gros Hippolyte, Thibaut Jean-
  Joëlle, “Schematic                           Pierre, Sander Emmanuel,
  Representations in                           “Semantic Congruence in
  Arithmetical Problem Solving:                Arithmetic: A New Conceptual
  Analysis of Their Impact                     Model for Word Problem
  on Grade 4 Students”,                        Solving”, Educational
  Educational Studies in                       Psychologist, n° 55, 2020.
  Mathematics, n° 84, 2013.
                                             — Gvozdic Katarina, Sander
— Fayol Michel, Thévenot                       Emmanuel, “Learning to Be an
  Catherine, Dévidal Michel,                   Opportunistic Word Problem
  « La résolution de problèmes »,              Solver: Going Beyond
  dans Marie‑Pascale Noël,                     Informal Solving Strategies”,
  La Dyscalculie : trouble                     ZDM - Mathematic Education,
  du développement numérique                   n° 52, 2019.
  de l’enfant, Solal, 2005.
                                             — Hanin Vanessa, Van
— Fischbein Efraim, Deri Maria,                Nieuwenhoven Catherine,
  Nello Maria, Marino Maria,                   « Évaluation d’un dispositif
  “The Role of Implicit Models                 pédagogique visant le
  in Solving Verbal Problems                   développement de stratégies
  in Multiplication and Division”,             cognitives et métacognitives
  Journal for Research                         en résolution de problèmes
  in Mathematics Education,                    en première secondaire »,
  n° 16, 1985.                                 Évaluer. Journal international
                                               de recherche en éducation
— Gamo Sylvie, Nogry
                                               et formation, Vol. 2, n° 1,
  Sandra, Sander Emmanuel,
                                               2016.
  « Apprendre à résoudre
  des problèmes en favorisant                — Houdement Catherine,
  la construction d’une                        « Résolution de problèmes
  représentation alternative                   arithmétiques à l’école »,
  chez des élèves scolarisés                   Grand N, n° 100, IREM
  en éducation prioritaire »,                  de Grenoble, 2017.
  Psychologie française,
                                             — Hudson Tom,
  n° 59, 2014.
                                               “Correspondences
— Greer Brian,                                 and Numerical Differences
  “The Mathematical                            Between Disjoint Sets”,
  Modeling Perspective                         Child Development,
  on Wor(l)d Problems”,                        n° 54(1), 1983.
  The Journal of Mathematical
                                             — Kaur Berinderjeet,
  Behavior, n° 12, 1993.
                                               “The Why, What and How of
                                               the ’Model’ Method: A Tool for
                                               Representing and Visualising
                                               Relationships When Solving
                                               Whole Number Arithmetic
                                               Word Problems”, ZDM –
                                               Mathematics Education,
                                               n° 51, Springer, 2018.
145 — Bibliographie et outils de référence

— Levain Jean-Pierre,                        — Roditi Éric, Salles Franck,
  « La résolution de problèmes                 « Nouvelles analyses
  multiplicatifs à la fin du                   de l’enquête Pisa 2012
  cycle primaire », Educational                en mathématiques :
  Studies in Mathematics,                      un autre regard sur les
  n° 23, 1992.                                 résultats », dans « Évaluation
                                               des acquis : principes,
— Lovett Marsha C., “Problem
                                               méthodologie, résultats »,
  solving”, in Hal Pashler,
                                               Éducation et Formations,
  Douglas Medin (eds.),
                                               n° 86-87, ministères
  Stevens’ Handbook of
                                               chargés de l’éducation
  Experimental Psychology:
                                               nationale, de l’enseignement
  Memory and Cognitive
                                               supérieur et de la recherche,
  Processes, John Wiley & Sons
                                               Direction de l’évaluation
  Inc, New York, 2002.
                                               et de la prospective, 2015.
— Novick Laura, “Analogical
                                             — Roediger Henry, Karpicke
  Transfer, Problem Similarity,
                                               Jeffrey, “Test-Enhanced
  and Expertise”, Journal
                                               Learning: Taking Memory
  of Experimental Psychology.
                                               Tests Improves Long-Term
  Learning, Memory,
                                               Retention”, Psychological
  and Cognition, n° 14, 1988.
                                               Science, n° 17, 2006.
— Ng Swee, Lee Kerry,
                                             — Sander Emmanuel,
  “The Model Method:
                                               « La résolution de problèmes
  Singapore Children’s Tool
                                               arithmétiques à énoncés
  for Representing and Solving
                                               verbaux », Approche
  Algebraic Word Problems”,
                                               Neuropsychologique
  Journal for Research
                                               des Apprentissages
  in Mathematics Education,
                                               chez l’Enfant, n° 156, 2018.
  n° 40, 2009.
                                             — Sander Emmanuel,
— Polotskaia Elena, “How
                                               Richard Jean-François,
  the Relational Paradigm
                                               « Les Apprentissages
  Can Transform the Teaching
                                               numériques », dans
  and Learning of Mathematics:
                                               Miljkovitch Raphaële,
  Experiment in Quebec”,
                                               Morange-Majoux Françoise,
  International Journal
                                               Sander Emmanuel
  for Mathematics Teaching
                                               (dir.), Psychologie
  and Learning, Vol. 18,
                                               du développement,
  n° 2, 2017.
                                               ­Elsevier‑Masson, Paris, 2017.
— Riley Mary, Greeno James,
  Heller Joan, “Development
  of Children’s Problem
  Solving Ability in Arithmetic”,
  in Ginsburg Herbert P.,
  The Development
  of Mathematical Thinking,
  Academic Press,
  New York, 1983.
146 — Bibliographie et outils de référence

— Savard Annie, Polotskaia                   — Vergnaud Gérard,
  Elena, « Gérer l’accès                       “A Classification of Cognitive
  aux mathématiques                            Tasks and Operations of
  dans la résolution                           Thought Involved in Addition
  de problèmes textuels :                      and Subtration Problems”,
  une exploration du côté                      dans Carpenter Thomas P.,
  de l’enseignement primaire »,                Moser James M., Romberg
  Éducation et francophonie,                   Thomas A. (eds.), Addition
  Vol. 42, n° 2, 2014.                         and Subtraction: A Cognitive
                                               Perspective, Hillsdale:
— Scheibling-Sève Calliste,
                                               Erlbaum, 1982.
  Pasquinelli Elena, Sander
  Emmanuel, “Assessing                       — Verschaffel Lieven, De Corte
  Conceptual Knowledge                         Erik, « La modélisation
  Through Solving Arithmetic                   et la résolution des
  Word Problems”, Educational                  problèmes d’application :
  Studies in Mathematics,                      de l’analyse à l’utilisation
  n° 103, 2020.                                efficace », dans Crahay
                                               Marcel, Verschaffel Lieven,
— Silver Edward, “Student
                                               De Corte Erik, Grégoire
  Perceptions of Relatedness
                                               Jacques (dir.), Enseignement
  among Mathematical Verbal
                                               et apprentissage
  Problems”, Journal for
                                               des mathématiques.
  Research in Mathematics
                                               Que disent les recherches
  Education, n° 10, 1979.
                                               psychopédagogiques ?,
— Squire Sarah, Bryant                         De Boeck, Bruxelles, 2008.
  Peter, “From Sharing to
                                             — Verschaffel Lieven,
  Dividing: Young Children’s
                                               De Corte Erik, Lasure Sabien,
  Understanding of Division”,
                                               “Realistic Considerations
  Developmental Science,
                                               in Mathematical Modeling
  n° 5, 2002.
                                               of School Arithmetic Word
— Vendetti Michael, Matlen                     Problems”, Learning
  Bryan, Richland Lindsey,                     and Instruction, Vol. 4, 1994.
  Bunge Silvia, “Analogical
  Reasoning in the Classroom:
  Insights From Cognitive
  Science”, Mind Brain and
  Education, Vol. 9, n° 2, 2015.
147 — Bibliographie et outils de référence

RAPPORTS, CONTRIBUTIONS ET CONFÉRENCES


— Artigue Michèle,                           — Priolet Maryvonne,
  Les Défis de l’enseignement                  « Enseignement
  des mathématiques                            et apprentissage
  dans l’éducation de base,                    de la résolution de
  Unesco, Paris, 2011.                         problèmes mathématiques »,
                                               Thèse de doctorat,
— Houdement Catherine,
                                               Université Lyon 2, 2008.
  « Problèmes
  arithmétiques basiques :                   — Polotskaia Elena,
  le cœur du problème »,                       “How Elementary Students
  Actes du séminaire                           Learn to Mathematically
  de didactique                                Analyze Word Problems:
  des mathématiques                            The Case of Addition
  de l’ARDM, 2018.                             and Subtraction”,
                                               thèse de doctorat, McGill
— Masselot Pascale,
                                               University, Montréal, 2014.
  « Différenciation à l’école
  primaire et au début                       — Scott Cynthia Luna,
  du collège : un point                        « Les Apprentissages
  de vue de didacticienne                      de demain 2 : quel type
  des mathématiques »,                         d’apprentissage pour
  propos recueillis                            le xxie siècle », Recherche
  par Richard Cabassut,                        et prospective en éducation :
  Opinions, site Apmep :                       réflexions thématiques,
  https://afdm.apmep.fr/,                      n° 14, 2015
  2018.

— OCDE, Tous égaux
  face aux équations ?
  Rendre les mathématiques
  accessibles à tous, Pisa,
  Éditions OCDE, Paris, 2016.
                         Conception graphique et éditoriale
                         Délégation à la communication

                         Suivi éditorial
                         Julie Mege

                         Exécution graphique
                         Opixido

                         Suivi de fabrication
Janvier 2022             Service de l’action administrative et des moyens

ISBN 978-2-11-162850-2   Impression
ISSN 2647-4786           DEJA LINK
