                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation   Cycles 2                          3 4
                                     mathématiques
                                       Compétences travaillées en mathématiques



                                                                              Raisonner
                               Le programme de mathématiques du cycle 4 offre une place de choix à la compétence
                               « raisonner » dans laquelle il regroupe les démarches suivantes :

                               • résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, écono-
                                  miques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre
                                  à l’essai plusieurs solutions ;
                               • mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui ;
                               • démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes,
                                  formules) pour parvenir à une conclusion ;
                               • fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise
                                  de l’argumentation.

                               Chacune des étapes de résolution d’un problème (compréhension de l’énoncé et de la
                               consigne, recherche, production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement,
                               processus mental permettant d’effectuer des inférences. Rappelons qu’une inférence est une
                               opération mentale par laquelle on accepte qu’une proposition soit vraie en vertu de sa liaison
                               avec d’autres propositions. Les phases de recherche, de production et de rédaction de preuve
                               font appel à des raisonnements de différentes natures.


                               Les raisonnements inductifs et abductifs, essentiellement mis en œuvre dans la phase de
                               recherche, permettent d’aboutir à l’émission de conjectures qu’il s’agira ensuite de valider ou
                               d’invalider. Si la production d’un contre-exemple suffit à invalider une conjecture, sa validation
                               repose sur une démonstration, moyen mathématique d’accès à la vérité. On rappelle que
                               « démontrer », c’est « donner à voir » les différentes étapes d’une preuve par la présentation,
                               rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent.


                               Le raisonnement inductif consiste à généraliser une propriété observée sur des cas
                               particuliers. Il fonctionne selon le schéma suivant : constatant sur des exemples que, lorsque
                               A est vraie, alors B est vraie, on émet la conjecture que (A implique B) est vraie.


                               Le raisonnement abductif consiste à présumer une cause plausible d’un résultat observé. Il
                               fonctionne selon le schéma suivant : pour démontrer que B est vraie, sachant que (A implique
                               B) est vraie, on va démontrer que A est vraie. Le raisonnement abductif est notamment utilisé
                               sous forme d’une analyse remontante, encore appelé chaînage arrière, qui consiste, à partir du
                               résultat que l’on veut démontrer, à repérer une ou plusieurs propriétés (conditions suffisantes)
                               qui, si elle(s) étaient établie(s), permettrai(en)t d’atteindre le résultat par application d’un
                               théorème identifié. On substitue alors momentanément au problème de départ un (ou
                               plusieurs) nouveau(x) problème(s) consistant à établir ces conditions intermédiaires.



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                                    Exemple : ABC est un triangle rectangle en C. On veut démontrer que C appartient au cercle de
                                    diamètre [AB].
                                    On note O le milieu de [AB] et on remplace la proposition à démontrer par l’égalité OA=OB=OC ;
                                    pour atteindre ce résultat, on construit le symétrique C’ de C par rapport à O. Selon le principe
                                    du chaînage arrière, il suffit alors de montrer que AC’BC est un rectangle.




                              Par la diversité et la multiplicité des situations particulières qu’elle permet d’observer,
                              l’utilisation d’outils logiciels (de géométrie, de calcul, de simulation, de programmation) est
                              un support aux raisonnements inductifs et abductifs et favorise la formulation de conjectures.
                              Il est important de faire comprendre aux élèves le caractère incertain de toute conjecture et la
                              nécessité, soit de l’invalider par la production d’un contre-exemple, soit de prouver sa vérité
                              par une démonstration.


                              Celle-ci fait appel au raisonnement déductif qui (entre autres) s’appuie sur :


                              • la déduction proprement dite (ou règle de détachement ou modus ponens), qui fonctionne
                                 selon le schéma suivant : sachant que (A implique B) est vraie et que A est vraie, on conclut
                                 que B est vraie. Le premier pas d’une déduction consiste à reconnaître une situation de réfé-
                                 rence A (une configuration géométrique, une situation de proportionnalité, une propriété de
                                 nombres, etc.) ; le second consiste à appliquer le théorème qui stipule que (A implique B) ;
                              • la disjonction de cas, qui fonctionne selon le schéma suivant : pour montrer que (A implique
                                 B), on sépare l’hypothèse A de départ en différents cas recouvrant toutes les possibilités et
                                 on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas ;
                              • Le raisonnement par l’absurde (reductio ad absurbum) qui fonctionne selon le schéma sui-
                                 vant : pour montrer que A est vraie, on suppose qu’elle est fausse et par déduction on aboutit
                                 à une absurdité.




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                              Afin de convaincre les élèves du rôle de la démonstration en mathématiques comme moyen
                              d’accès à la vérité, il importe de leur apprendre à distinguer une propriété conjecturée
                              ou vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. Pour ce faire, le terme de
                              « démonstration » ne doit pas être galvaudé et la seule illustration d’un raisonnement
                              ne saurait être désignée comme telle. Par exemple, si l’illustration présentée ci-dessous
                              constitue une image mentale pertinente de l’égalité entre l’aire du carré construit sur
                              l’hypoténuse et la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, elle ne
                              saurait être présentée comme une démonstration du théorème de Pythagore. 		




                              En revanche, certains théorèmes, énoncés de manière générale peuvent être démontrés
                              uniquement sur des exemples choisis parce qu’ils donnent une bonne idée du cas général (on
                              dit alors qu’ils sont « génériques »). Cela peut être par exemple le cas pour la démonstration
                              des propriétés des opérations sur les fractions.

                              De même, il convient de systématiquement qualifier les énoncés mathématiques selon leur
                              statut, en distinguant définitions, théorèmes admis et théorèmes démontrés. Les théorèmes
                              traduisant une propriété caractéristique pourront être formulés en distinguant dans leur
                              énoncé le sens direct et le sens réciproque.

                              Les notions mathématiques qui figurent au programme du cycle 4 offrent toutes des
                              possibilités de raisonnement, soit dans l’accès à la preuve d’un énoncé, soit dans son
                              utilisation. Il n’est pas question de démontrer tous les théorèmes ou propriétés figurant
                              au programme, mais de déterminer en équipe pédagogique les démonstrations qui
                              seront retenues sur toute la durée du cycle en raison de leur caractère formateur, de leur
                              accessibilité aux élèves et de l’intérêt qu’elles présentent pour faciliter l’accès au sens des
                              notions mises en jeu.

                              L’apprentissage du raisonnement et de la démonstration est un processus long et délicat
                              qui doit se faire de manière progressive, dans la durée, et tenir compte des deux contraintes
                              suivantes :
                              • tout d’abord, la nécessité de séparer les tâches de résolution du problème (recherche et
                                 obtention de la preuve) de celle de la rédaction d’un texte qui traduit l’organisation de la
                                 démonstration ;
                              • ensuite, l’apprentissage de la rédaction se fait notamment lorsque l’élève est confronté à
                                 l’expérience de la communication de sa solution. L’envie de se faire comprendre associée à
                                 la critique de ses pairs est, pour un élève, un levier de progrès certainement plus puissant
                                 que la fourniture, par le professeur, d’un modèle de rédaction. Si, pour être communicable et
                                 compréhensible, une démonstration mathématique doit respecter des règles syntaxiques, il
Retrouvez Éduscol sur            faut reconnaître que celles-ci ne sont pas naturelles pour les élèves. Des exigences exces-
                                 sives et prématurées d’un modèle de rédaction standardisée peuvent induire de leur part

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  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques




                                 des comportements relevant de l’imitation plus que de la compréhension. En accordant une
                                 place disproportionnée aux activités purement formelles de nature rhétorique (« je sais
                                 que… or… donc »), on risque d’éloigner les élèves du raisonnement lui-même et du plaisir
                                 de chercher. Afin de ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des
                                 difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser
                                 les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expé-
                                 rimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan
                                 de preuve, etc.). Souvent imparfaites et inabouties, elles constituent de véritables objets
                                 d’étude pour la classe au cours d’un débat permettant de faire émerger progressivement
                                 les critères d’une rédaction performante, sans pour autant modéliser le travail. Progres-
                                 sivement, la phase de rédaction, entamée ou non en classe, sera dévolue aux élèves, en
                                 classe ou en dehors de la classe, en veillant à différencier les exigences de formalisme selon
                                 l’objectif d’apprentissage (le raisonnement ou la communication) et la capacité des élèves à
                                 entrer dans les codes de la démonstration. En particulier, il est tout à fait possible d’expri-
                                 mer dans le langage naturel un raisonnement mathématique tout en respectant parfaite-
                                 ment les règles logiques d’inférence. De même, si l’on peut faire apparaître, dans certains
                                 cas, l’intérêt d’une mise en forme de la démonstration sous forme déductive (en mettant la
                                 conclusion à la fin de la démonstration), il est cependant admis de la placer au début, suivie
                                 de « car…, parce que… et que… ».
                              Il importe également de ne pas cantonner la démarche de raisonnement à sa seule
                              forme déductive et de ne pas la limiter à un thème particulier des mathématiques
                              (traditionnellement celui de géométrie), mais bien de la placer au cœur de toute activité
                              mathématique.

                              Les situations proposées doivent donc ménager à la fois des temps de recherche et
                              d’expérimentation permettant de formuler des conjectures, des temps de mise en commun
                              et d’argumentation permettant de produire une preuve et des temps de mise en forme
                              (démonstrations rédigées). Pour solliciter la curiosité de l’élève, susciter chez lui l’envie
                              de relever un défi intellectuel et motiver sa recherche, il est souhaitable que l’énoncé du
                              problème soit assez bref et facile à comprendre et qu’il n’induise ni une solution ni même
                              une méthode de résolution ; un moyen de laisser à chaque élève l’initiative de sa démarche
                              consiste à limiter les questions intermédiaires ou celles dont l’énoncé mentionne ce qu’il s’agit
                              de trouver (« démontrer que… »). Cette attention particulière devrait permettre à chaque élève
                              de démarrer sa recherche par des tâtonnements, des dessins, des essais numériques, avec ou
                              sans l’aide de logiciels. Les problèmes dont la solution est accessible par plusieurs modes de
                              raisonnement (algébrique, géométrique, etc.) sont particulièrement intéressants.


                              Exemples de problèmes
                              Ci-dessous quelques exemples de problèmes sont proposés, rattachés à différents thèmes du
                              programme, et mettant en œuvre des raisonnements de types varié


                              Ecriture décimale [5e]

                              Exemple de problème
                              Dans les écritures décimales de deux nombres entiers, le chiffre des dizaines est 7 et celui des
                              unités est 6. Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de leur produit ?

                              Commentaire
Retrouvez Éduscol sur         Raisonnement déductif à travers l’utilisation de l’écriture décimale.



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  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques




                              Multiples et diviseurs

                              Exemple de problème
                              La somme des chiffres de 42 est un multiple de 6 et 42 est un multiple de 6 (idem pour 84).
                              Peut-on affirmer que, si la somme des chiffres d’un nombre entier est un multiple de 6, alors
                              ce nombre est un multiple de 6 ?

                              Commentaire
                              Infirmation par production d’un contre-exemple.

                              Proportionnalité

                              Exemple de problème
                              On augmente la longueur d’un rectangle de 10 % et on diminue sa largeur de 10 %. Comment
                              varie son aire ?
                              Commentaire
                              L’élève peut raisonner de manière inductive en fixant des valeurs numériques pour la longueur
                              et la largeur et faire varier ces valeurs

                              Raisonnement déductif par application d’un pourcentage.


                              Nombres décimaux

                              Exemple de problème
                              Existe-t-il un nombre décimal dont le carré est égal à 2 ?
                              Commentaire
                              Une démarche inductive basée sur des essais (à la main puis à la calculatrice) permet
                              d’émettre la conjecture qu’il n’existe pas de nombre décimal dont le carré est égal à 2.
                              Cette conjecture est ensuite démontrée à l’aide d’un raisonnement par l’absurde et
                              disjonction de cas.
                              On montre d’abord qu’il n’existe aucun nombre entier dont le carré est égal à 2.
                              Puis, en distinguant les différentes valeurs qu’aurait sa dernière décimale, on montre qu’il
                              n’existe aucun nombre décimal non entier dont le carré est égal à 2.




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                              Utilisation des aires

                              Exemple de problème
                              Où positionner le point M à l’intérieur du triangle ABC pour que les triangles AMB et AMC aient
                              la même aire ?




                              Commentaire
                              L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer une condition
                              suffisante : l’appartenance de M à la médiane [AA’].

                              Démonstration par les aires (lemme du chevron).

                              Démonstration de la condition nécessaire par un raisonnement par l’absurde : on suppose que
                              N n’appartient pas à la médiane [AA’] (en étant par exemple à l’intérieur du triangle ABA’), on
                              note M le point d’intersection de (BN) et (AA’) et on compare les aires des triangles ANB, AMB,
                              AMC, ANC.


                              Fractions, aire du disque

                              Exemple de problème
                              A quelle fraction du grand disque correspondent les six petits disques ? A quelle fraction du
                              grand disque correspond la surface hachurée ?




                              Commentaire
                              Analyse de figure.

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                              Vitesse

                              Exemple de problème
                              Un funiculaire monte du pied d’une colline à son sommet à la vitesse moyenne de 14 km/h.

                              Le conducteur peut-il régler la vitesse lors de la descente pour que la vitesse moyenne sur
                              l’ensemble du parcours soit de 28 km/h ?


                              Géométrie dans l’espace

                              Exemple de problème
                              Sur un cube, on a tracé deux diagonales, comme indiqué sur le dessin ci-dessous. Quelle est
                              la mesure de l’angle formé par ces deux diagonales ?




                              Commentaire
                              Identification d’une figure plane à l’intérieur d’une configuration de l’espace.



                              Géométrie, Équations

                              Exemple de problème
                              Deux tours, hautes de 30 et 40 mètres sont distantes l’une de l’autre de 50 mètres. Un puits
                              est situé entre les deux tours. Deux oiseaux s’envolent en même temps du sommet de chaque
                              tour et volent à la même vitesse en ligne droite avant de se rejoindre au sol. En quel point se
                              rejoignent-ils ?
                              Commentaire
                              Modélisation de la situation.

                              Raisonnement déductif à travers l’utilisation du théorème de Pythagore.

                              Résolution d’une équation.




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                              Géométrie plane

                              Exemple de problème

                              A, B, C sont trois points non alignés, I est le milieu de [BC] et D est le point tel que ABID est un
                              parallélogramme. Pourquoi le milieu M de [ID] est-il également le milieu de [AC] ?




                              Commentaire
                              Raisonnement déductif utilisant des propriétés du parallélogramme.



                              Approche de la notion de fonction

                              Exemple de problème
                              Un maître-nageur dispose d’une corde de 160 m de long pour délimiter une zone de baignade
                              surveillée rectangulaire. Où doit-il placer les bouées A et B pour que l’aire de la zone de
                              baignade soit maximale ?




                              Commentaire

                              Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour une approche numérique.

                              Modélisation algébrique.


                              Calcul littéral

                              Exemple de problème
                              Peut-on écrire 2016 comme somme de quatre entiers consécutifs ? Et 2018 ? Et ton année de
                              naissance ?

                              Quels sont les nombres qui peuvent s’écrire comme somme de quatre entiers consécutifs ?
                              Commentaire
                              Raisonnement inductif basé sur des essais. Emission de conjectures.

Retrouvez Éduscol sur         Utilisation du calcul littéral comme outil de démonstration.



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                              Bibliographie
                              • Raisonnement et démonstration
                              • Site de l’académie de Bordeaux : Initiation au raisonnement
                              • IREM de Rennes : L’enseignement de la démonstration
                              • « Initiation au raisonnement déductif au collège » Gilbert Arsac, Gisèle Chapiron,
                                 Alain Colonna, Gilles Germain, Yves Guichard, Michel Mante - Presses universitaires de Lyon,
                                 IREM de Lyon
                              • « Des mathématiques ensemble et pour chacun, 5ème » Jean-Philippe Rouquès, Hélène
                                 Staïner - CRDP Pays de la Loire
                              • « Des mathématiques ensemble et pour chacun, 4ème » Jean-Philippe Rouquès, Hélène
                                 Staïner - CRDP Pays de la Loire




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