                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
                                     MATHÉMATIQUES
                                       Proportionnalité




                                                Résoudre des problèmes
                                              de proportionnalité au cycle 3
                              Objectifs
                              La proportionnalité est une notion autour de laquelle peuvent être pensés et organisés de
                              nombreux apprentissages mathématiques. Sa maîtrise est essentielle tant pour un usage dans
                              la vie courante que dans un cadre professionnel. Son apprentissage s’inscrit dans la durée.
                              Dès le cycle 2, l’élève a rencontré des situations de proportionnalité dans le cadre de la
                              résolution de problèmes multiplicatifs. Ce travail se poursuit au cycle 3 dans chacun des trois
                              thèmes « Nombres et calculs », « Grandeurs et mesures » et « Espace et géométrie ». L’élève
                              enrichit le champ des problèmes multiplicatifs en croisant diverses situations relevant de la
                              proportionnalité auxquelles il peut donner du sens. Il apprend à repérer des situations relevant
                              ou non de la proportionnalité. Il résout des problèmes de prix, de consommation, de recettes,
                              etc. en utilisant différentes procédures (procédure utilisant la propriété de linéarité pour
                              l’addition, procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre,
                              procédure mixte utilisant les propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multiplication
                              par un nombre, passage par l’unité, procédure utilisant le coefficient de proportionnalité).
                              L’objectif n’est pas, à ce stade, de mettre en avant telle ou telle procédure particulière, mais de
                              permettre à l’élève de disposer d’un répertoire de procédures, s’appuyant toujours sur le sens,
                              parmi lesquelles il pourra choisir en fonction des nombres en jeu dans le problème à résoudre.
                              Des situations de proportionnalité mettant en jeu des nombres simples, avec des rapports
                              entre les nombres permettant des calculs aisés, donnent l’occasion de travailler le calcul
                              mental.

                              Liens avec les domaines du socle
                              La résolution de problèmes de proportionnalité permet d’acquérir des connaissances et de
                              développer des compétences en lien avec chacun des domaines du socle.
                              De manière générale, les mathématiques participent à la maitrise de la langue française.
                              Elles offrent de nombreuses occasions pour le développement de compétences langagières
                              en élargissant le répertoire lexical des élèves, en favorisant les situations de communication
                              (sous-domaine 1.1). La résolution de problèmes de proportionnalité est un terrain
                              particulièrement fécond pour les interactions entre la langue française et le langage
                              mathématique puisque la verbalisation en langage naturel des procédures utilisées (prendre le
                              double, le triple, le tiers, le quadruple, d’une grandeur) contribue à la fois à l’élargissement du
                              répertoire lexical et à et la compréhension d’une notion mathématique.
                              Étudier des relations entre deux grandeurs permet d’effectuer de manière efficace des calculs
                              en utilisant un langage mathématique adapté, par exemple celui des nombres décimaux ou
                              des fractions (sous-domaine 1.3).
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  CYCLE   3    I MATHÉMATIQUES I proportionnalité




                              La formation de la personne et du citoyen, plus particulièrement dans son registre « réflexion
                              et discernement » (domaine 3.3) est largement convoquée à travers par exemple des
                              problèmes de coûts ou de remises relevant ou non de la proportionnalité : apprendre à justifier
                              ses choix et à confronter ses propres jugements avec ceux des autres, remettre en cause ses
                              jugements initiaux après un débat argumenté.
                              La proportionnalité intervient pour résoudre des problèmes relevant de systèmes naturels et
                              techniques (domaine 4) et l’utilisation des échelles permet de contribuer à se repérer dans
                              l’espace (domaine 5).
                              Progressivité des apprentissages
                              La notion de proportionnalité est introduite en première année du cycle 3. Le travail
                              mené s’appuie tout particulièrement sur les problèmes multiplicatifs traités au cycle 2.
                              Les procédures rencontrées au cycle 3 pour résoudre des problèmes de proportionnalité
                              continueront d’être utilisées au cycle 4 où seront introduites, en fin de cycle, les fonctions
                              linéaires. C’est donc tout au long des trois cycles de la scolarité obligatoire que se construisent
                              progressivement les connaissances relatives à la notion de proportionnalité :
                              • Au cycle 2, les élèves rencontrent des situations de proportionnalité dans des problèmes
                                 multiplicatifs.
                                 Exemple : Un manuel de mathématiques pèse 340 g. Combien pèsent 5 manuels identiques ?
                                 Ces problèmes préparent les élèves à la reconnaissance de situation de proportionnalité et à
                                 leur résolution par une procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par
                                 un nombre.
                              • Au cycle 3, les premiers travaux sur la proportionnalité sont proposés dès la première année
                                 du cycle ; les élèves ont recours à des procédures utilisant les propriétés de la linéarité (pro-
                                 cédure utilisant la propriété de linéarité pour l’addition, procédure utilisant la propriété de
                                 linéarité pour la multiplication par un nombre). Ensuite, les élèves rencontrent progressive-
                                 ment des situations qui nécessitent de combiner des procédures utilisant les propriétés de la
                                 linéarité (procédure mixte utilisant les propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multi-
                                 plication par un nombre, passage par l’unité). Pendant la seconde moitié du cycle, s’ajoutent
                                 des problèmes impliquant des échelles ou des vitesses constantes. Si le coefficient de pro-
                                 portionnalité est rencontré au cours moyen, notamment lors de travaux sur les échelles, son
                                 institutionnalisation dans un cadre général peut être reportée en toute fin de cycle 3.
                              • Au cycle 4, toutes les procédures introduites au cycle 3 pour résoudre des problèmes de
                                 proportionnalité continuent à être utilisées en fonction des nombres en jeu dans les pro-
                                 blèmes proposés et des connaissances de faits numériques des élèves. Des tableaux de
                                 proportionnalité sont régulièrement utilisés pour résoudre des problèmes ; ils facilitent
                                 l’utilisation du coefficient de proportionnalité, particulièrement efficace quand un nombre
                                 important de données doivent être calculées. Le produit en croix est introduit après l’étude
                                 de l’égalité des fractions ; il permet de calculer rapidement une quatrième proportionnelle,
                                 quand les nombres en jeu ne permettent pas d’utiliser facilement des procédures basées sur
                                 les propriétés de linéarité. En fin de cycle, les élèves font le lien entre les fonctions linéaires
                                 et la proportionnalité.
                              Stratégies d’enseignement
                              La proportionnalité est appréhendée dans de nombreuses autres disciplines (géographie,
                              EPS, sciences et technologie, etc.) ou dans des situations de la vie courante, ce qui permet de
                              renforcer le travail mené en mathématiques. L’enseignant propose aux élèves des situations
                              variées relevant de la proportionnalité et leur apprend à mobiliser différentes procédures pour
                              résoudre des problèmes dans des contextes variés. L’enseignant invite les élèves à comparer
                              ces procédures afin de constater que certaines sont plus efficaces que d’autres selon les
                              nombres en jeu.
                              Pour que la proportionnalité prenne tout son sens, l’élève doit aussi être confronté à des
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  CYCLE   3    I MATHÉMATIQUES I proportionnalité




                              situations ne relevant pas de la proportionnalité (« Si je mesure 1 mètre à 10 ans, je peux
                              mesurer 2 mètres à 20 ans mais sûrement pas 4 mètres à 40 ans et je sais aussi que je ne
                              mesurais pas 10 centimètres à 1 an. »)
                              Les propriétés de linéarité1 pour l’addition et pour la multiplication par un nombre doivent être
                              le plus souvent possible explicitées et sont une opportunité pour travailler l’expression orale.
                              Les procédures relatives à la linéarité sont les premières rencontrées. Les relations entre les
                              nombres mis en jeu constituent une variable didactique avec laquelle l’enseignant peut jouer.
                              En effet, les rapports entre les nombres en jeu et la connaissance des tables de multiplication
                              dans les deux sens (composition-décomposition) par les élèves vont influer sur le choix de la
                              procédure à privilégier. L’enseignant propose dans un premier temps des situations mettant en
                              jeu des nombres entiers entretenant entre eux des rapports simples (double, triple, quintuple,
                              etc.) pour aller progressivement vers des situations plus compliquées (nombres décimaux,
                              fractions, rapports plus complexes).
                              Les tableaux de proportionnalité ne doivent pas être conçus comme des objets d’enseignement
                              ; s’ils peuvent permettre de résumer clairement une situation proposée dans un problème, les
                              opérations à réaliser pour résoudre un problème de proportionnalité au cycle 3 ne doivent pas
                              se faire par un raisonnement sur des lignes ou des colonnes d’un tableau mais uniquement
                              sur des cardinaux ou des grandeurs, en explicitant ce qui est fait, tant à l’oral qu’à l’écrit.
                              L’enseignant permet aux élèves de dégager les avantages et inconvénients de différentes
                              procédures possibles mais ne les présente pas comme les seules procédures attendues lors
                              de la résolution d’un problème relevant de la proportionnalité. En variant les nombres et les
                              relations numériques, l’enseignant habitue l’élève à changer de procédure pour choisir de
                              manière pertinente la plus efficace pour lui.
                              Le travail sur la proportionnalité est particulièrement propice au développement des six
                              compétences travaillées en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer,
                              raisonner et communiquer.
                              • Chercher : tester, essayer plusieurs pistes de résolution dans la résolution de problèmes
                                 relevant des structures multiplicatives.
                              • Modéliser : apprendre à modéliser des situations concrètes et reconnaître si elles relèvent
                                 de la proportionnalité ou non.
                              • Représenter : se questionner sur le caractère proportionnel d’une situation représentée
                                 graphiquement en géographie, en sciences et technologie par exemple (une situation de pro-
                                 portionnalité entre deux grandeurs a pour représentation graphique un ensemble de points
                                 alignés avec l’origine).
                              • Raisonner : chacune des étapes de résolution d’un problème relevant de la proportionnalité
                                 (compréhension de l’énoncé, identification d’une situation de proportionnalité, recherche,
                                 production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement.
                              • Calculer : les nombres en jeu et l’état des connaissances des élèves vont permettre de varier
                                 les modalités de calcul mises en œuvre (calcul mental, en ligne, posé, instrumenté).
                              • Communiquer : l’explicitation de ce qui est fait nécessite un réel travail de communication
                                 tant à l’oral qu’à l’écrit. Différencier le vocabulaire des structures additives « de plus » et
                                 « de moins » et celui des structures multiplicatives « fois plus » et « fois moins ».
                              Dans la résolution de problèmes relevant de la proportionnalité, différentes procédures sont
                              à faire travailler par les élèves. Dans chacun des trois thèmes du programme, l’enseignant
                              veille à oraliser les procédures possibles en termes similaires, ce qui permet aux élèves
                              de les réinvestir dans différents registres – numérique – grandeurs – géométrique, tout en
                              comprenant qu’elles relèvent de la même notion.
                              Une analyse détaillée des procédures relevant de la proportionnalité est présentée en annexe
                              au travers d’une collection d’exercices dont le thème est « Mousse au chocolat ».
                              L’analyse a priori de chaque exercice est complétée par des productions d’élèves.
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                              1. Voir encadré page suivante.


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  CYCLE   3    I MATHÉMATIQUES I proportionnalité




                                    PROCÉDURES UTILISANT LA PROPRIETÉ DE LINÉARITE POUR L’ADDITION
                                    Domaine « Nombres et calculs »
                                    8 fois 10 est égal à 80 et 8 fois 3 est égal à 24.
                                    Comme 13 est égal à 10 plus 3, on en déduit que 8 fois 13 est égal à 80 plus 24.
                                    Domaine « Grandeurs et mesures »
                                    5 kg de pommes de terre coûtent 6,40 € et 3 kg coûtent 3,84 €.
                                    Comme 5 kg moins 3 kg font 2 kg, on en déduit que 2 kg de ces pommes de terre coûtent 6,40 €
                                    moins 3,84 € soit 2,56 €.
                                    Domaine « Espace et géométrie »
                                    La figure ABCD est telle que ACD est un triangle isocèle en A. On donne les dimensions suivantes
                                    DA = 18,2 cm, DC = 5,6 cm, AB = 11,9 cm et BC = 6,3 cm.
                                    Sans utiliser de multiplication, indiquer les dimensions de l’agrandissement A’B’C’D’ de cette
                                    figure telle que A’B’ = 15,3 cm et B’C’ = 8,1 cm.
                                    Comme DC = 5,6 cm = 11,9 cm – 6,3 cm, on en déduit D’C’ = 15,3 cm – 8,1 cm = 7,2 cm.
                                    Comme DA = 18,2 cm = 11,9 cm + 6,3 cm, on en déduit D’A’ = 15,3 cm + 8,1 cm = 23,4 cm.
                                    PROCÉDURES UTILISANT LA PROPRIETÉ DE LINÉARITE POUR LA MULTIPLICATION
                                    PAR UN NOMBRE
                                    Domaine « Nombres et calculs »
                                    7 fois 13 est égal à 91.
                                    Comme 35 est le quintuple de 7, on a 35 fois 13 est le quintuple de 91 c’est-à-dire 455.
                                    Domaine « Grandeurs et mesures »
                                    Une pile de 500 feuilles de papier identiques a une épaisseur de 3,5 cm. Quelle est l’épaisseur
                                    d’une pile de 2 000 de ces mêmes feuilles ?
                                    J’ai acheté 35 mangas qui étaient tous au même prix à la librairie et cela m’a coûté 252 €.
                                    Si ma sœur veut en acheter 5, combien va-t-elle payer ?
                                    Domaine « Espace et géométrie »
                                    Dans un agrandissement ou une réduction, les longueurs sur la figure agrandie ou réduite sont
                                    proportionnelles aux longueurs associées sur la figure initiale. Les situations d’agrandissement
                                    ou de réduction sont particulièrement riches et propices à la mise en place d’activités à prise
                                    d’initiatives.
                                    Certaines procédures utilisent à la fois les propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multi-
                                    plication par un nombre, on les qualifie alors parfois de « procédures mixtes ».
                                    Dix objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent quinze de ces objets ?
                                    Pour résoudre ce problème on peut diviser par 2 le prix de dix objets pour trouver le prix de cinq
                                    objets (propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre) puis ajouter le prix de dix
                                    objets et le prix de cinq objets (propriété de linéarité pour l’addition).
                                    PASSAGE PAR L’UNITÉ
                                    À la garderie, il faut prévoir 80 centilitres de lait pour 5 enfants.
                                    Combien faut-il prévoir de centilitres pour 3 enfants ?
                                    Pour 5 enfants, il faut 80 centilitres de lait.
                                    1 enfant, c’est 5 fois moins que 5 enfants. 5 fois moins que 80 centilitres c’est 16 centilitres.
                                    Pour 1 enfant, il faut 16 centilitres de lait.
                                    3 enfants, c’est 3 fois plus que 1 enfant. 3 fois plus que 16 centilitres c’est 48 centilitres.
                                    Pour 3 enfants, il faut 48 centilitres de lait.
                                    En fin de cycle 3, une nouvelle procédure est abordée, elle utilise le coefficient de proportionnalité.
                                    Si 30 kg de café coûtent 600 €. Combien coûtent 13 kg de café ?
                                    600 c’est 30 multiplié par 20, il faut multiplier le nombre de kilogrammes de café par 20 pour
                                    en trouver le prix en euros.
                                    13 × 20 = 260
                                    Le prix de 13 kg de café est 260 €.
                                    On note ici l’utilisation d’une grandeur quotient (le coefficient de proportionnalité) : 20 €/kg.
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  CYCLE   3    I MATHÉMATIQUES I proportionnalité




                              Le coefficient de proportionnalité
                              Dans le cas où les grandeurs sont de natures différentes le coefficient de proportionnalité est
                              une grandeur quotient dont l’unité est composée des deux unités en présence (€/L, €/kg,
                              €/m, €/m², km/h, kg/L, etc.) et il convient de donner du sens à cette grandeur quotient
                              (consommation, vitesse, masse volumique, etc.). La distinction entre un nombre, sans unité,
                              utilisé dans les procédures utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un
                              nombre et un coefficient de proportionnalité, affecté d’une unité, peut alors se faire au moment
                              de la verbalisation des procédures comme présenté dans l’exemple 1 en annexe.
                              Dans le cas de grandeurs de même nature liées par une relation de proportionnalité,
                              comme les longueurs dans les agrandissements ou réductions de figures ou de solides, le
                              coefficient de proportionnalité prend un statut particulier, il s’agit alors d’un nombre sans
                              unité2 correspondant à l’échelle, au coefficient de réduction, etc… Les élèves seront amenés
                              à distinguer les cas où on raisonne sur des rapports de grandeurs de même nature mais
                              exprimés dans des unités différentes des cas où on travaille avec la même unité et où on parle
                              alors d’échelle. Voir exemple 2 en annexe.
                              L’enseignement curriculaire visé par les nouveaux programmes amène à concevoir l’école
                              dans un principe de plus large inclusion. Il s’agit de prendre l’élève là où il en est et de
                              l’accompagner dans son parcours personnel. Cela passe par une prise en compte de
                              l’hétérogénéité de la classe, une différenciation et une diversification des apprentissages.
                              Cette différenciation peut être envisagée en amont de la séance en adaptant les variables
                              d’un exercice en fonction des élèves, mais elle doit surtout être effective en classe pendant
                              les temps de recherche. L’enseignant pourra ainsi, en circulant dans les rangs, conseiller les
                              élèves en fonction de leurs productions et de leurs besoins :
                              • inviter un élève n’arrivant pas à démarrer à consulter un exercice effectué précédemment
                                 pour retrouver une procédure pouvant s’appliquer ici ou encore lui proposer une première
                                 étape permettant de trouver un résultat intermédiaire, la valeur pour une unité par exemple ;
                              • inviter un élève à se relire, à voix basse ou à voix haute, pour corriger une erreur de calcul ;
                              • inviter un élève qui utilise toujours la même procédure, peu efficace ici, mais ayant réussi
                                 l’exercice, à refaire cet exercice modifié par des changements de contexte ou de valeurs
                                 numériques qui l’obligent à utiliser une autre procédure ;
                              • inviter un élève ayant rapidement réussi à traiter le problème proposé, de façon efficace,
                                 à refaire l’exercice avec d’autres variables nécessitant de trouver une autre procédure ou
                                 des compétences en calcul plus avancées ;
                              • inviter un élève rencontrant d’importantes difficultés en calcul à utiliser une calculatrice
                                 pour se centrer sur le raisonnement ;
                              • etc.
                              On voit ici qu’une une prise d’information directe sur les cahiers des élèves, pourra rendre
                              caduques certaines corrections collectives.
                              Lors des mises en commun et des corrections collectives, la comparaison de différentes
                              procédures doit permettre aux élèves d’acquérir ces différentes procédures et de prendre
                              conscience qu’en fonction des nombres en jeu dans un problème, certaines sont plus efficaces
                              que d’autres : demandant moins de calculs, ou faisant appel à des calculs plus simples,
                              elles permettent de gagner en rapidité et de diminuer le risque d’erreurs.




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                              2. On parle alors de « grandeur sans unité ».


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  CYCLE   3    I MATHÉMATIQUES I proportionnalité




                              Exemples de situations d’apprentissage
                              • Exemples illustrant la notion de coefficient de proportionnalité
                              • Activité : Mousse au chocolat
                              • Activité : Puzzle
                              Ressources complémentaires
                              Supports pédagogiques à destination des professeurs des écoles et des
                              professeurs de mathématiques
                              • SCEREN (2010). Le nombre au cycle 3, Partie 5, Proportionnalité au cycle 3, p. 64-74.
                              • Bonnet N. (2011). La proportionnalité sans problème, CANOPE.
                              • CNDP (2002). Document d’application des programmes, Mathématiques, cycle des approfondis-
                                 sements. Exploitation des données numériques, proportionnalité, p. 16-17. CNDP.
                              • CNDP (2002). Document d’application des programmes, Mathématiques, cycle des approfondis-
                                 sements. Espace et géométrie, Agrandissement, réduction, p. 34. CNDP.
                              • Académie de Versailles (2012). Continuité École - Collège, La proportionnalité. Groupes
                                 départementaux Évaluation / Mathématiques – Commission École-Collège n°4.
                              • Ermel (2010). Apprentissages numériques et résolution de problèmes - CM1 Cycle 3.
                                 Thème 4, module 2 - problèmes de proportionnalité, p. 199-231 et 260-287. Editions Hatier.
                              • Ermel (2010). Apprentissages numériques et résolution de problèmes - CM2 Cycle 3.
                                 Thème 3, module 2 - proportionnalité, p. 217-239 et 281-345. Editions Hatier.
                              Supports pédagogiques et didactiques à destination des professeurs des
                              écoles, des professeurs de mathématiques, des formateurs 1er et 2nd degrés
                              en formation initiale et en formation continue
                              • Henry V., Lambrecht P. (2012). Manipulations, proportionnalité et non proportionnalité.
                                 In Dorier J.-L., Coutat S. (Eds), Enseignement des mathématiques et contrat social : enjeux
                                 pour le 21e siècle - Actes du colloque EMF2012 (GT10, 1365-1377).
                              • Simard A. (2012a). Fondements mathématiques de la proportionnalité dans la perspective
                                 d’un usage didactique. Petit x, n°89, p. 51-63. IREM de Grenoble.
                              • Simard A. (2012b). Le concept de proportionnalité dans la liaison CM2-Sixième. Petit x, n°90,
                                 p. 35-52. IREM de Grenoble.
                              • Voisin S. (2014). L’enseignement de la proportionnalité en SEGPA. Actes du séminaire national
                                 de didactique des mathématiques, p. 200-218. Paris, Université Paris 7.
                              • Voisin S. (à paraître). L’enseignement de la proportionnalité : Une expérimentation en classe
                                 de SEGPA. Petit x. IREM de Grenoble.




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