    Exemples de mise en œuvre pour l’enseignement du calcul

mental du CP au CM2 dans le cadre des nouveaux programmes de

                        mathématiques : recommandations




 Ces recommandations sont formulées à partir :

    -   des textes officiels :

              •   Programme de mathématiques de cycle 2, Bulletin officiel n° 41 du 31 octobre 2024

              •   Programme de mathématiques de cycle 3, Bulletin officiel n° 16 du 17 avril 2025

    -   des ressources nationales d’accompagnement des programmes :

              •   Exemples pour la mise en œuvre des programmes, CM1, Mathématiques, Exemples de
                  réussite, 2025, éduscol

              •   Exemples pour la mise en œuvre des programmes, CM2, Mathématiques, Exemples de
                  réussite, 2025, éduscol
2
Cours préparatoire

L’enseignement du calcul mental au cycle 2 est constitué de trois types d’apprentissages :
   — mémoriser des faits numériques de manière à les restituer de façon quasi instantanée ;
   — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs en s’appuyant
          notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;
   — élaborer des stratégies et maitriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront
          progressivement automatisées.
Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en
mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci seront encouragés, au début des
apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à
l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en auront plus besoin, ce qui peut advenir au cours du CP
ou plus tard.
Les procédures indiquées dans le programme doivent faire l’objet de séquences d’enseignement explicite et
donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées explicitement ou être
simplement rencontrées et présentées sans faire l’objet d’une séquence d’enseignement spécifique.
Des tests en temps limité sont indispensables d’une part pour renforcer la mémorisation des résultats et
l’automatisation des procédures, et d’autre part pour évaluer l’état des connaissances et des savoir-faire des
élèves. Ils permettent également d’encourager les élèves à abandonner des procédures peu efficaces au
profit des procédures enseignées par le professeur. Ces tests, qui mesurent la fluence en calcul, permettent
également aux élèves de prendre conscience de leurs progrès en comparant, sur la durée, le nombre de
résultats corrects qu’ils sont capables de restituer en un temps donné. Pour les calculs effectués
mentalement en s’appuyant sur la numération ou sur des procédures apprises, la fluence attendue en fin de
CP est la restitution de neuf résultats en trois minutes.
Une grande partie des résultats des tables d’addition à apprendre au CP a été rencontrée à l’école maternelle
soit sous forme d’apprentissages structurés, notamment dans le cadre du travail sur les différentes
décompositions des nombres inférieurs à dix, soit de manière moins systématique lors de jeux où les nombres
sont présents. Ces résultats sont réintroduits progressivement pendant les deux premières périodes du CP,
mais en les écrivant désormais avec les symboles « + » et « = ».
Tous les travaux de calcul mental sont menés sur le champ numérique du CP (nombres jusqu’à 100), dans le
sens où les nombres en jeu et les résultats cherchés sont tous inférieurs ou égaux à cent.
Mémoriser des faits numériques
 Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
  Connaitre dans les deux        L’élève sait donner oralement et par écrit l’un des trois nombres d’une égalité du
    sens les tables d’addition.   type A + B = C ou C = A + B, où A et B sont des nombres entiers compris entre 0 et
                                  10 et où les deux autres nombres de l’égalité sont connus.
                                  L’élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ;
                                  10 = 7 + …
                                  À la fin du CP, l’élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute.
                                  Les « égalités à trou » comportant un signe « - » comme « 13 – 7 = … » ou « 13 - …
                                  = 7 » nécessitent généralement plus de temps de traitement, elles ne seront donc
                                  pas proposées dans un test de fluence de faits numériques mémorisés, mais
                                  pourront être proposées dans un test de fluence d’utilisation de procédures de
                                  calcul mental.
  Connaitre les doubles et       L’élève sait donner oralement ou par écrit :
    les moitiés de nombres          les doubles des nombres de 1 à 10 ;
    usuels.                         les doubles des dizaines entières 20, 30, 40 et 50.
                                    les moitiés des nombres pairs de 2 à 20 ;
                                    les moitiés des dizaines entières 40, 60, 80 et 100.
                                  L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : double de 40 = … ;
                                  double de … = 12 ; moitié de 60 = … ; moitié de … = 8.
                                  À la fin du CP, l’élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute.

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Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
 Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
  Ajouter ou soustraire 1 ou     L’élève sait que, pour ajouter 1 à un nombre, il peut énoncer le nombre qui vient «
   2 à un nombre.                 juste après » dans la comptine orale ou dans la suite écrite des nombres.
                                  L’élève sait que, pour soustraire 2 à un nombre, il peut soustraire 1 et encore 1.
                                  Par exemple : 17 - 2 = ?
                                  « Le nombre qui précède 17 est 16. Le nombre qui précède 16 est 15. Donc
                                  17 – 2 = 15. »
  Ajouter ou soustraire 10 à     L’élève sait qu’ajouter 10 à un nombre, c’est ajouter une dizaine, et que soustraire
   un nombre.                     10 à un nombre, c’est soustraire une dizaine.
                                  Par exemple : 37 - 10 = ?
                                  « J’enlève une dizaine aux trois dizaines, cela fait deux dizaines. Donc
                                  37 – 10 = 27. »

  Ajouter ou soustraire 20,      L’élève sait qu’ajouter ou soustraire 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 ou 90 à un nombre,
   30, 40, 50, 60, 70, 80 ou 90   c’est ajouter ou soustraire 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 dizaines à ce nombre.
   à un nombre.                   Par exemple : 76 - 30 = ?
                                  « 30, c’est 3 dizaines. 7 dizaines – 3 dizaines = 4 dizaines. Donc 76 - 30 = 46. »

Apprendre des procédures de calcul mental
 Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
  Trouver le complément          L’élève sait que, pour trouver le complément d’un nombre à la dizaine supérieure,
   d’un nombre à la dizaine       il peut utiliser les compléments à dix pour déterminer le nombre d’unités à ajouter
   supérieure.                    pour former une nouvelle dizaine.
                                  Par exemple, pour trouver le complément de 74 à la dizaine supérieure, il peut
                                  dire : « 74, c’est 7 dizaines et 4 unités. Le complément à 10 de 4 est 6. Il faut donc
                                  ajouter 6 unités aux 4 unités de 74 pour obtenir la dizaine supérieure. »

  Ajouter      un     nombre     Pour ajouter un nombre inférieur à 9, l’élève sait utiliser une procédure adaptée
   inférieur à 9 à un nombre.     aux nombres en jeu.
                                  Si l’ajout des nouvelles unités ne conduit pas à la formation d’une nouvelle
                                  dizaine, il sait qu’il suffit d’agir sur le chiffre des unités du nombre initial. Par
                                  exemple 32 + 4 = 36 car 2 + 4 = 6.
                                  Si l’ajout des nouvelles unités conduit à changer le nombre de dizaines, par
                                  exemple, pour calculer 47 + 8, l’élève cherche d’abord combien il faut ajouter à 47
                                  pour aller à la dizaine supérieure, c’est-à-dire à 50 : il faut ajouter 3.




                                  L’élève poursuit en cherchant ce qu’il reste à additionner afin d’avoir ajouté 8 : il
                                  faut encore additionner 5 à 50, parce que 8 c’est 3 + 5. Cela fait 55.




                                  Donc 47 + 8 = 55.

  Ajouter 9 à un nombre.         L’élève sait que, pour ajouter 9 à un nombre, il peut ajouter 10 puis soustraire 1. Il
                                  sait aussi qu’il n’est pas utile de mettre en œuvre cette procédure quand le
                                  nombre a 0 ou 1 comme chiffre des unités.
                                  Sur son ardoise, l’élève peut simplement écrire le résultat intermédiaire
                                  permettant d’alléger sa mémoire de travail.


                                                             2
                                 Ainsi, pour ajouter 9 à 37, le contenu de l’ardoise pourra évoluer
                                 chronologiquement, comme indiqué ci-dessous :




 Ajouter deux nombres           L’élève sait que, pour ajouter deux nombres inférieurs à 100, il peut les
  inférieurs à 100.              décomposer pour ajouter les dizaines entre elles et les unités entre elles, puis
                                 additionner les deux nombres trouvés en utilisant la procédure apprise pour
                                 ajouter des dizaines entières à un nombre.
                                 Exemple : 47 + 28 = ?
                                 Le contenu de l’ardoise pourra évoluer chronologiquement, comme indiqué ci-
                                 dessous :




                                 47 + 28 = 75.
 Déterminer la moitié d’un      L’élève sait que, pour déterminer la moitié d’un nombre pair, il peut le
  nombre pair.                   décomposer en dizaines et en unités pour faire apparaitre des nombres dont il a
                                 mémorisé les moitiés.
                                 Par exemple : Quelle est la moitié de 46 ?
                                 46 = 40 + 6.
                                 La moitié de 40 est 20. La moitié de 6 est 3.
                                 20 + 3 = 23.
                                 La moitié de 46 est 23.
                                 Afin de soulager sa mémoire de travail, l’élève peut garder, sur son ardoise, une
                                 trace intermédiaire des procédures mentales qu’il engage. Ainsi, le contenu de
                                 l’ardoise pourra évoluer chronologiquement, comme indiqué ci-dessous :




    Soustraire un nombre        L’élève sait que, pour soustraire un nombre inférieur à 10 à un nombre entier de
    inférieur à 10 à un nombre   dizaines, il peut « casser » une dizaine afin de lui retirer le nombre à soustraire. Le
    entier de dizaines.          nombre d’unités restantes est alors le complément à 10 du nombre d’unités que
                                 l’on soustrait.
                                 50 - 6 = ?
                                 50 c’est 5 dizaines, je casse une dizaine, il y a alors 4 dizaines et 10 unités, j’enlève
                                 les 6 unités à soustraire. Il reste alors 4 dizaines et 4 unités, c’est-à-dire 44.
                                 Pour calculer 50 - 6 mentalement, dans un premier temps et afin de soulager sa
                                 mémoire de travail, l’élève peut s’appuyer, sur son ardoise, sur des traces écrites
                                 intermédiaires du type :


                                                           3
4
Cours élémentaire première année

L’enseignement du calcul mental au cycle 2 est constitué de trois types d’apprentissages :
   — mémoriser des faits numériques de manière à les restituer de façon quasi instantanée ;
   — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs en s’appuyant
          notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;
   — élaborer des stratégies et maitriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront
          progressivement automatisées.
Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en
mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci seront encouragés, au début des
apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à
l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin.
Les procédures indiquées dans le programme doivent faire l’objet de séquences d’enseignement explicite et
donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées explicitement ou simplement
rencontrées et présentées sans faire l’objet d’une séquence d’enseignement dédiée.
Des tests en temps limité sont indispensables, d’une part pour renforcer la mémorisation des résultats et
l’automatisation des procédures, d’autre part pour évaluer l’état des connaissances et des savoir-faire des
élèves. Ils permettent également d’encourager les élèves à abandonner des procédures peu efficaces au
profit des procédures enseignées par le professeur. Ces tests, qui mesurent la fluence en calcul des élèves,
permettent également à ces derniers de prendre conscience de leurs progrès, en se référant au nombre de
résultats corrects qu’ils sont capables de restituer en une durée donnée. Pour les calculs effectués
mentalement en s’appuyant sur la numération ou sur des procédures apprises, la fluence attendue en fin de
CE1 est la restitution de douze résultats en trois minutes.
La mémorisation des résultats des tables d’addition se poursuit avec une fluence qui se renforce tout au long
de l’année du CE1.
Les procédures de calcul mental enseignées au CP sont utilisées tout au long du CE1, afin de renforcer leur
automatisation.
L’apprentissage des tables de multiplication s’étale sur l’année scolaire tout entière, de manière progressive.
Les premiers résultats disponibles servent de points d’appui pour en construire d’autres qui seront à terme
mémorisés. La mémorisation des résultats des tables étudiées en fin d’année pourra être encore imparfaite
en fin de CE1 ; elle sera renforcée au CE2.
Tous les travaux de calcul mental sont menés sur le champ numérique du CE1, dans le sens où les nombres
en jeu et les résultats cherchés sont tous inférieurs ou égaux à 1 000.


Mémoriser des faits numériques
 Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
  Connaitre dans les deux        L’élève sait compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 =
   sens les tables d’addition.    7 + … À la fin du CE1, l’élève sait compléter douze égalités de ce type en une
                                  minute.

  Connaitre dans les deux        L’élève sait donner oralement et par écrit l’un des trois nombres d’une égalité de
   sens les tables de             type A × B = C ou C = A × B, où A et B sont des nombres entiers compris entre 0 et
   multiplication.                10 et où les deux autres nombres de l’égalité sont connus.
                                  L’élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 4 × … = 12 ; 5 × 3 = … ;
                                  10 = 2 × …
                                  À la fin du CE1, l’élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute.
  Connaitre       des    faits   L’élève sait donner oralement et par écrit :
   multiplicatifs usuels.            les doubles des nombres de 1 à 15 ;
                                     les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45 et 50 ;
                                     les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300 et 500 ;
                                     les moitiés des nombres pairs de 2 à 30 ;
                                     les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90 et 100 ;

                                                          5
                                  les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600 et 1 000.
                                L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 et
                                4 × 25 = 100.
                                L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × … = 12 ; 2 × 16 = … ;
                                2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1 000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 100 = 4 × …
                                À la fin du CE1, l’élève sait compléter huit égalités de ce type en une minute.

Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
 Objectifs d’apprentissage      Exemples de réussite
  Ajouter ou soustraire un     L’élève s’appuie sur la numération pour effectuer rapidement et mentalement des
   nombre entier de dizaines    calculs sans retenue comme les suivants : 234 + 60 ; 541 - 20 ; 354 + 500 ; 765 -
   à un nombre. Ajouter ou      200.
   soustraire un nombre         L’élève s’appuie sur la numération pour effectuer rapidement et mentalement des
   entier de centaines à un     additions avec retenue comme la suivante : 746 + 80.
   nombre.

  Multiplier par 10 un         L’élève sait que, lors d’une multiplication par 10, une unité devient une dizaine et
   nombre inférieur à 100.      une dizaine devient une centaine. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend
                                une valeur 10 fois plus grande : le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines
                                et le chiffre des dizaines devient le chiffre des centaines.
                                Un outil du type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les
                                premières multiplications par 10, en complément de la verbalisation de la
                                procédure en termes d’unités de numération. Progressivement, l’élève apprend à
                                s’en détacher. Exemple : multiplication de 72 par 10.



                                                 7 2                     7 2                          7 2 0
                                10 × 72 = 720.

Apprendre des procédures de calcul mental
 Objectifs d’apprentissage      Exemples de réussite
  Ajouter 9, 19 ou 29 à un     L’élève sait ajouter 9, 19 ou 29 à un nombre en ajoutant 10, 20 ou 30, puis en
   nombre.                      retranchant 1.
                                L’élève sait qu’il n’est pas utile d’avoir recours à cette procédure quand on peut
                                ajouter directement 9, 19 ou 29 au nombre initial quand le chiffre des unités du
                                nombre initial est 0 ou 1, par exemple pour 60 + 29.

  Soustraire 9 à un nombre.    L’élève sait que, pour soustraire 9 à un nombre, il peut lui retrancher 10 puis
                                ajouter 1.

  Soustraire un nombre         L’élève sait utiliser une procédure appropriée pour soustraire un nombre inférieur
   inférieur à 9 à un nombre.   à 9 à un nombre.
                                S’il n’y a pas de « changement de dizaine », il suffit de retirer le nombre à
                                soustraire aux unités.
                                  157 - 5 = ?
                                  7 - 5 = 2. Donc 157 - 5 = 152.
                                Si le retrait de nouvelles unités implique un changement de dizaine, l’élève sait
                                qu’il peut passer par la dizaine inférieure pour décomposer son calcul. Il soustrait
                                d’abord ce qu’il faut pour atteindre la dizaine inférieure, puis déterminer ce qu’il
                                reste à soustraire et le retrancher aux dizaines entières trouvées.
                                  523 - 7 = ?
                                  « Je pars de 523 et je veux soustraire 7. La dizaine inférieure est 520, il faut donc
                                  retirer 3 pour passer de 523 à 520. »



                                                         6
                                 « Je dois soustraire 7 et j’ai déjà soustrait 3, il faut donc soustraire encore 4 car
                                 7 = 3 + 4. »
                                 L’élève utilise ensuite la procédure apprise au CP pour soustraire un nombre
                                 inférieur à 9 à un nombre entier de dizaines.




                                 523 - 7 = 516.

 Déterminer la moitié d’un    L’élève sait que, pour déterminer la moitié d’un nombre pair, il peut le
  nombre pair.                 décomposer en centaines, en dizaines et en unités pour faire apparaitre des
                               nombres dont il a mémorisé les moitiés.
                               Par exemple pour déterminer la moitié de 470, l’élève peut noter les éléments
                               suivants sur son ardoise :

                                                          470 = 400 + 70
                                                                200 + 35 = 235
                               L’élève pourra noter directement le résultat dès qu’il n’aura plus besoin des traces
                               écrites intermédiaires.

 Calculer le produit d’un     L’élève sait verbaliser « 13 fois 7, c’est 10 fois 7
  nombre compris entre 11      plus 3 fois 7. ».
  et 19 par un nombre          13 x 7
  inférieur     à  10    en    = (10 + 3) x 7
  décomposant le plus
                               = 10 x 7 + 3 x 7
  grand des deux facteurs
  en la somme de deux          = 70 + 21
  nombres (propriété de        = 91.
  distributivité   de     la   L’élève sait aussi formuler cette procédure en
  multiplication par rapport   décomposant le deuxième facteur : « 7 fois 13,
  à l’addition).               c’est 7 fois 10 plus 7 fois 3. ».




                                                         7
Cours élémentaire deuxième année

L’enseignement du calcul mental au cycle 2 est constitué de trois types d’apprentissages :
   — mémoriser des faits numériques de manière à les restituer de façon quasi instantanée ;
   — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs en s’appuyant
          notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;
   — élaborer des stratégies et maitriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront
          progressivement automatisées.
Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en
mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci seront encouragés, au début des
apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à
l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin.
Les procédures indiquées dans le programme doivent faire l’objet de séquences d’enseignement explicite et
donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées explicitement ou simplement
rencontrées et présentées sans faire l’objet d’une séquence d’enseignement dédiée.
Des tests en temps limité sont indispensables, d’une part pour renforcer la mémorisation des résultats et
l’automatisation des procédures, et d’autre part pour évaluer l’état des connaissances et des savoir-faire des
élèves. Ils permettent également d’encourager les élèves à abandonner des procédures peu efficaces au
profit des procédures enseignées par le professeur. Ces tests, qui mesurent la fluence en calcul des élèves,
permettent également à ces derniers de prendre conscience de leurs progrès, en se référant au nombre de
résultats corrects qu’ils sont capables de restituer en une durée donnée. Pour les calculs effectués
mentalement en s’appuyant sur la numération ou sur des procédures apprises, la fluence attendue en fin de
CE2 est la restitution de quinze résultats en trois minutes.
Au CE2 la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence
qui se renforce tout au long de l’année scolaire.
Les procédures de calcul mental enseignées au CP et au CE1 sont utilisées tout au long du CE2, afin de
renforcer leur automatisation.
Tous les travaux de calcul mental sont menés sur le champ numérique du CE2 uniquement, dans le sens où
les nombres en jeu et les résultats cherchés sont inférieurs ou égaux à 10 000.
Mémoriser des faits numériques
 Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
  Connaitre dans les deux        L’élève sait compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 =
   sens les tables d’addition.    7+…
                                  À la fin du CE2, l’élève peut compléter quinze égalités de ce type en une minute.

  Connaitre dans les deux        L’élève sait compléter des « égalités à trou » du type : 7 × … = 42 ; 9 × 6 = … ; 70 =
   sens les tables de             7×…
   multiplication.                À la fin du CE2, l’élève peut compléter douze égalités de ce type en une minute.

  Connaitre       des    faits   L’élève sait donner oralement et par écrit :
   multiplicatifs usuels.            les doubles des nombres de 1 à 20 ;
                                     les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60 et 75 ;
                                     les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500 et 600 ;
                                     les moitiés des nombres pairs de 2 à 40 ;
                                     les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 et 150 ;
                                     les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1 000 et 1 200.
                                  L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 et
                                  4 × 25 = 100.
                                  L’élève connait les décompositions multiplicatives de 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20,
                                  4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10.
                                  L’élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × … = 12 ; 2 × 16 = …
                                  ; 2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1 000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 60 = 4 × …
                                  À la fin du CE2, l’élève peut compléter douze égalités de ce type en une minute.

                                                          8
Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
 Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
  Multiplier     un nombre        L’élève sait que, lors d’une multiplication par 10, une unité devient une dizaine,
     entier par 10 ou 100.         une dizaine devient une centaine et une centaine devient un millier. Ainsi, chaque
                                   chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus grande : le chiffre des unités
                                   devient le chiffre des dizaines, le chiffre des dizaines devient le chiffre des
                                   centaines et le chiffre des centaines devient le chiffre des milliers.
                                   Un outil du type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les
                                   premières multiplications par 10, en complément de la verbalisation de la
                                   procédure en termes d’unités de numération. Progressivement, l’élève apprend à
                                   s’en détacher.
                                   Exemple : multiplication de 724 par 10 :




                                                       7 2 4



                                                                     7 2 4 0
                                   10 × 724 = 7240.

Apprendre des procédures de calcul mental
 Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
  Ajouter 8, 9, 18, 19, 28, 29,   L’élève sait, par exemple, que pour ajouter 38 à un nombre, il peut lui ajouter 40
   38 ou 39 à un nombre.           puis retrancher 2.

  Soustraire 9, 19, 29 ou 39      L’élève sait, par exemple, que pour soustraire 29 à un nombre, il peut retrancher
   à un nombre.                    30, puis ajouter 1.

  Multiplier un nombre            L’élève sait que multiplier par 4 revient à multiplier par 2 et encore par 2. 4 × 37 ?
   entier par 4 ou par 8.          2 × 37 = 74 et 2 × 74 = 148. Donc 4 × 37 = 148.
                                   L’élève sait que multiplier par 8 = 2 × 2 × 2 revient à multiplier par 2, puis encore
                                   par 2 et une troisième fois par 2.
                                   8 × 27 ?
                                   2 × 27 = 54 ; 2 × 54 = 108 et 2 × 108 = 216. Donc 8 × 27 = 216.
                                   Lors d’une séance de calcul mental, si l’élève doit calculer 8 × 27, il peut écrire sur
                                   son ardoise : « 54 », puis « 108 », puis « 216 », qu’il entoure pour indiquer qu’il
                                   s’agit du résultat cherché. Les écrits intermédiaires « 54 » et « 108 » lui
                                   permettent de soulager sa mémoire de travail.
     Multiplier un nombre         L’élève sait que, pour multiplier un nombre par un nombre entier de dizaines
     inférieur à 10 par un         comme 40, il peut décomposer le deuxième facteur sous la forme 4 × 10, puis
     nombre      entier de         appliquer la procédure de multiplication par 10.
     dizaines.                     Par exemple : 9 × 40 = 9 × (4 × 10) = (9 x 4) × 10 = 36 × 10 = 360.

  Calculer le produit d’un        L’élève sait verbaliser « 23 fois 7, c’est 20 fois 7 plus 3 fois 7. »
   nombre compris entre 11         23 × 7 = (20 + 3) × 7 = (20 × 7) + (3 × 7) = 140 + 21 = 161
   et 99 par un nombre             L’élève utilise aussi la décomposition dans l’autre sens :
   inférieur   à   10    en
                                   « 7 fois 23, c’est 7 fois 20 plus 7 fois 3. »
   décomposant le plus
   grand des deux facteurs

                                                             9
en la somme de deux
nombres (propriété de
distributivité   de     la
multiplication par rapport
à l’addition).




                             10
Cours moyen première année
L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages :
   — mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;
   — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant
          notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;
   — maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.
Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en
mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci sont alors encouragés, au début des
apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à
l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin.
Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec
une fluence qui se renforce tout au long de l’année scolaire.
Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer
leur automatisation.
Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être
enseignées ou simplement rencontrées et présentées.
L’entraînement à une restitution rapide des résultats dans un climat serein et motivant aide les élèves à
renforcer la mémorisation et l’automatisation des procédures.

Mémoriser des faits numériques
 Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
     Connaitre   des     faits    L’élève renforce sa maitrise des faits numériques appris au cycle 2 concernant les
     numériques usuels relatifs    nombres entiers.
     aux nombres entiers.          L’élève connait les tables d’addition et de multiplication. Il sait compléter des «
                                   égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 = 7 + … ; 7 × … = 42 ; 9 × 6 = … ;
                                   70 = 7 × …
                                   L’élève sait donner oralement et par écrit :
                                       les doubles des nombres de 1 à 20 ;
                                       les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60 et 75 ;
                                       les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500 et 600 ;
                                       les moitiés des nombres pairs de 2 à 40 ;
                                       les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 et 150 ;
                                       les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1000 et
                                       1200.
                                   L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50,
                                   3 × 25 = 75 et 4 × 25 = 100.
                                   L’élève connait les décompositions multiplicatives de 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20,
                                   4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10.
                                   L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × … = 12 ; 2 × 16 = … ;
                                   2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 60 = 4 × …
                                                                                       1 1
  Connaitre         quelques      L’élève connait des relations entre ,                            et 1. Il sait ainsi compléter sans effectuer
                                                                                       4 2
   relations    entre     des      de calculs des « égalités à trou » du type :
   fractions usuelles.                            1     1             1    1                    1              1   1        1   …   …
                                                       + = …… ; + = …… ; 1 – = …… ; – = …… ; = ; = 1.
                                                  2     2             4    4                    2              2   4        2   4   4
                                                                                       1         1
                                   L’élève connaît les relations entre                      ,            et 1. Il sait ainsi compléter des « égalités
                                                                                       100 10
                                                            1         …          …         …
                                   à trou » du type :            =         ;1=        ;1=            .
                                                            10       100         10         100


  Connaitre          l’écriture   L’élève sait passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale et d’une
   décimale     de     fractions   écriture décimale à une écriture fractionnaire pour les nombres suivants :
                                   1               1
   usuelles.                            = 0,1 ;         = 0,01.
                                   10             100




                                                                      11
Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
 Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
  Ajouter ou soustraire un      À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel
   nombre entier inférieur à     agir lorsqu’il doit effectuer une addition ou une soustraction, quelle que soit la
   10, d’unités, de dizaines,    façon dont les nombres sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat des
   de centaines, de dixièmes     opérations suivantes :
   ou de centièmes à un              -    4,45 + 0,3 ;
                                                  3
   nombre décimal, lorsqu’il         -    0,45 +      ;
                                                 100
   n’y a pas de retenue.             -    1 462 + 300.

  Multiplier un nombre          L’élève sait que, lors d’une multiplication par 1 000, une unité devient un millier,
   entier par 10, 100 ou 1       une dizaine devient une dizaine de milliers et une centaine devient une centaine
   000.                          de milliers. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 1 000 fois plus
                                 grande : le chiffre des unités devient le chiffre des milliers, le chiffre des dizaines
                                 devient le chiffre des dizaines de milliers et le chiffre des centaines devient le
                                 chiffre des centaines de milliers.
  Multiplier un      nombre     L’élève sait que, lors de la multiplication d’un nombre décimal par 10, un dixième
   décimal par 10.               devient une unité, un centième devient un dixième et un millième devient un
                                 centième. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus
                                 grande : le chiffre des millièmes devient le chiffre des centièmes, le chiffre des
                                 centièmes devient le chiffre des dixièmes et le chiffre des dixièmes devient le
                                 chiffre des unités.
                                 Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les
                                 multiplications par 10 d’un nombre décimal en complément de la verbalisation de
                                 la procédure en termes d’unités de numération.
                                 Exemple : multiplication de 72,41 par 10 :




                                 10 × 72,41 = 724,1.
  Diviser un nombre décimal     L’élève sait que, lors d’une division par 10, une unité devient un dixième, une
   par 10.                       dizaine devient une unité et une centaine devient une dizaine. Ainsi, chaque
                                 chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus petite : le chiffre des unités
                                 devient le chiffre des dixièmes, le chiffre des dizaines devient le chiffre des unités
                                 et le chiffre des centaines devient le chiffre des dizaines.
                                 Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les
                                 divisions par 10, en complément de la verbalisation de la procédure en termes
                                 d’unités de numération.

Apprendre des procédures de calcul mental
 Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
  Ajouter ou soustraire 8, 9,   L’élève sait, par exemple, que pour ajouter 38 à un nombre, il peut lui ajouter 40,
   18, 19, 28, 29, 38 ou 39, à   puis retrancher 2.
   un nombre.


                                                          12
   Multiplier un nombre          L’élève sait que, pour multiplier un nombre par un nombre entier de centaines
    entier inférieur à 10 par     comme 400, il peut décomposer le deuxième facteur sous la forme 4 × 100, puis
    un nombre entier de           appliquer la procédure de multiplication par 100.
    dizaines ou de centaines.     Par exemple : 9 × 400 = 9 × (4 × 100) = (9 x 4) × 100 = 36 × 100 = 3 600.

 Multiplier un nombre            L’élève sait que multiplier par 4 revient à multiplier par 2 et encore par 2, c’est-à-
  entier par 4 ou par 8.          dire à trouver le double du double du nombre initial.
                                  L’élève sait que multiplier par 8 = 2 × 2 × 2 revient à multiplier par 2, puis encore
                                  par 2 et une troisième fois par 2.
                                  Lors d’une séance de calcul mental, si l’élève doit calculer 8 × 27, il peut écrire : «
                                  54 », puis « 108 », puis « 216 », qu’il entoure pour indiquer qu’il s’agit du résultat
                                  cherché. Les écrits intermédiaires « 54 » et « 108 » lui permettent de soulager sa
                                  mémoire de travail.
 Multiplier un       nombre      L’élève sait que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à calculer la moitié
  entier par 5.                   du résultat obtenu. Il utilise cette procédure pour multiplier par 5 un nombre
                                  inférieur à 200.
 Utiliser la distributivité de   L’élève sait verbaliser « 21 fois 35, c’est 20 fois 35 plus 1 fois 35. ».
  la     multiplication     par   21 × 35 = (20 + 1) × 35 = (20 × 35) + (1 × 35) = 700 + 35 = 735
  rapport à l’addition dans       L’élève utilise aussi la décomposition dans l’autre sens :
  des cas simples.
                                  « 35 fois 21, c’est 35 fois 20 plus 35 fois 1. ».




                                                            13
Cours moyen deuxième année
L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages :
    — mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;
    — utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant
         notamment sur la position des chiffres dans les nombre ;
    — maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.
Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec
une fluence qui se renforce tout au long de l’année scolaire.
Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 et au CM1 sont utilisées tout au long de l’année, afin
de renforcer leur automatisation.
Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. L’entraînement à une restitution
rapide des résultats, dans climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la mémorisation et
l’automatisation des procédures.
Il est par ailleurs préférable que cet entraînement soit détaché de toute pression évaluative.
Mémoriser des faits numériques
 Objectifs d’apprentissage        Exemples de réussite
     Connaitre   des     faits   L’élève renforce sa maitrise des faits numériques appris au cycle 2 concernant les
     numériques usuels relatifs   nombres entiers.
     aux nombres entiers.         L’élève connait les tables d’addition et de multiplication. Il sait compléter des «
                                  égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 = 7 + … ; 7 × … = 42 ; 9 × 6 = … ;
                                  70 = 7 × …
                                  L’élève sait donner oralement et par écrit :
                                     les doubles des nombres de 1 à 20 ;
                                     les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60 et 75 ;
                                     les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500 et 600 ;
                                     les moitiés des nombres pairs de 2 à 40 ;
                                     les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 et 150 ;
                                     les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1000 et
                                     1200.
                                  L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50,
                                  3 × 25 = 75 et 4 × 25 = 100.
                                  L’élève connait les décompositions multiplicatives de 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20,
                                  4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10.
                                  L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × … = 12 ; 2 × 16 = … ;
                                  2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 60 = 4 × …

  Connaitre la moitié des        L’élève sait que la moitié de 1 est 0,5.
   nombres impairs jusqu’à        L’élève sait, par exemple, que la moitié de 9 est 4,5 et sait ainsi compléter l’égalité
   15.                            2 × … = 9.
                                                                                           1 1 3
  Connaitre         quelques     L’élève connait des relations entre ,                             , et 1. Il sait ainsi compléter sans
                                                                                           4 2 4
   relations    entre     des     effectuer de calculs des « égalités à trou » du type :
   fractions usuelles.                 1    1       1       1                          1                1       1                        1                  3   1
                                           + = …… ; + = …… ; 1 – = …… ; + = …… ; 1 – = …… ; + = …… ;
                                       2    2       4       4                          4                2       4                        2                  4   4
                                                                1        1              3       1                1         … …
                                                                     – = …… ; – = …… ; =                                        ;       = 1.
                                                                2        4             4        4                 2        4        4
                                                                                            1               1         1
                                  L’élève connaît les relations entre                               ,            ,         et 1. Il sait ainsi compléter des
                                                                                           1000         100          10
                                                                              1             …                    …                   …
                                  « égalités à trou » du type :                    =                ;1=               ;1=                    .
                                                                             100       1000                     10                  1000
                                                     1      1        3
                                  L’élève sait écrire , et sous forme de fractions décimales. Il peut ainsi
                                                     4      2        4
                                  compléter sans effectuer de calculs des « égalités à trou » du type :
                                                    1       …        …        1    1        …           1        …         …        3    1        …
                                                        =        ;           = ; =                  ; =               ;         = ; =                   .
                                                    2       10       100      2    2       1000         4       100       100       4    4       1000



                                                                 14
  Connaitre        l’écriture   L’élève sait passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale et d’une
                                                                                                                          1
   décimale    de    fractions   écriture décimale à une écriture fractionnaire pour les nombres suivants :                   = 0,1 ;
                                                                                                                      10
   usuelles.                      1                1             1         1       3        3       4        5
                                       = 0,01 ;          = 0,001 ; = 0,25 ; = 0,5 ; = 0,75 ; = 1,5 ; = 2 ;       = 2,5.
                                 100              1000           4         2       4        2       2        2

Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
 Objectifs d’apprentissage       Exemples de réussite
  Ajouter ou soustraire un      À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel
   nombre entier à un            agir lorsqu’il doit effectuer une addition ou une soustraction, quelle que soit la
   nombre décimal, lorsqu’il     façon dont les nombres sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat des
   n’y a pas de retenue.         opérations suivantes :
                                       -    4,452 + 0,03 ;
                                                      3
                                       -    0,457 +      ;
                                                         1000
                                       -    21 462 + 3 000.
  Ajouter un nombre entier      À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel
   à un nombre décimal,          agir lorsqu’il doit effectuer une addition, quelle que soit la façon dont les nombres
   lorsqu’il y a une retenue.    sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat des opérations suivantes :
                                       -    4,45 + 0,8 ;
                                                      7
                                       -    0,457 +      ;
                                                         1000
                                       -    47 530 + 6 000.
  Multiplier un nombre          L’élève sait que, lors de la multiplication d’un nombre décimal par 10, un dixième
   décimal par 10, 100 ou        devient une unité, un centième devient un dixième et un millième devient un
   1 000.                        centième. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus
                                 grande : le chiffre des millièmes devient le chiffre des centièmes, le chiffre des
                                 centièmes devient le chiffre des dixièmes et le chiffre des dixièmes devient le
                                 chiffre des unités.
                                 Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les
                                 multiplications par 10, 100 ou 1 000 d’un nombre décimal en complément de la
                                 verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération.
                                 Exemple : multiplication de 72,4 par 100 :




                                 100 × 72,4 = 7 240

  Diviser un nombre décimal     L’élève sait que, lors d’une division par 1 000, une unité devient un millième, une
   par 10, 100 ou 1 000.         dizaine devient un centième, une centaine devient un dixième et un millier
                                 devient une unité. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 1 000
                                 fois plus petite.
                                 Un outil du type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les
                                 divisions par 10, 100 ou 1 000 en complément de la verbalisation de la procédure
                                 en termes d’unités de numération.



                                                                15
Apprendre des procédures de calcul mental
 Objectifs d’apprentissage         Exemples de réussite
  Ajouter deux nombres            L’élève sait calculer mentalement des sommes comme les suivantes :
   décimaux inférieurs à dix       2,3 + 4 ; 4,5 + 1,2 ; 3,5 + 2,5 ; 1,8 + 0,2 ; 2,7 + 3,7 ; 8,6 + 7,8. Par exemple, pour
   s’écrivant avec au plus un      calculer 8,6 + 7,8, l’élève sait qu’il peut procéder de la façon suivante : 8,6 + 7,8 =
   chiffre après la virgule.       (8 + 7) + (0,6 + 0,8) = 15 + 1,4 = 16,4. Il sait verbaliser la somme 0,6 + 0,8 sous la
                                   forme « Six dixièmes plus huit dixièmes font quatorze dixièmes, c’est-à-dire une
                                   unité et quatre dixièmes. ».
  Ajouter ou soustraire 8, 9,     L’élève sait, par exemple, que pour ajouter 98 à un nombre, il peut lui ajouter 100
   18, 19, 28, 29, …, 98 ou 99,    puis retrancher 2.
   à un nombre.

    Multiplier un nombre          L’élève sait que pour effectuer une multiplication comme 900 × 700, il peut
     entier, inférieur à 10, de    décomposer chacun des facteurs sous la forme d’un produit, puis changer l’ordre
     dizaines, de centaines ou     des facteurs pour faire apparaitre un produit mémorisé dans les tables de
     de milliers par un nombre     multiplication.
     entier, inférieur à 10, de    900 × 700 = (9 × 100) × (7 × 100) = (9 × 7) × (100 × 100) = 63 × 10 000 = 630 000.
     dizaines, de centaines ou
     de milliers.

  Utiliser la distributivité de   L’élève sait verbaliser « 12 fois 42, c’est 10 fois 42 plus 2 fois 42. ».
   la     multiplication     par
   rapport à l’addition dans       12 × 42 = (10 + 2) × 42
   des cas simples.
                                   = (10 × 42) + (2 × 42)
                                   = 420 + 84 = 504


                                   L’élève utilise aussi la décomposition dans l’autre sens :
                                   « 42 fois 12, c’est 42 fois 10 plus 42 fois 2. ».
  Calculer le double d’un         L’élève sait que le double de 13,6 est le double de 136 dixièmes c’est donc 272
   nombre décimal dans des         dixièmes, donc 27,2.
   cas simples.                    L’élève sait aussi s’appuyer sur les fractions décimales et la multiplication par 2 sur
                                   les entiers :
                                                    136       272
                                   2 × 13,6 = 2 ×         =         = 27,2 ;
                                                     10        10
                                                    435       870
                                   2 × 4,35 = 2 ×         =         = 8,7.
                                                    100       100


  Calculer la moitié d’un         L’élève sait que la moitié d’un nombre décimal est égale à la somme de la moitié
   nombre décimal dans des         de sa partie entière et de la moitié de sa partie décimale :
   cas simples.                    13,6  2 = (13  2) + (0,6  2) = 6,5 + 0,3 = 6,8 ;
                                   1,22  2 = (1  2) + (0,22  2) = 0,5 + 0,11 = 0,61.
                                   L’élève sait aussi s’appuyer sur les fractions décimales et la division par 2 sur les
                                   entiers :
                                                136                 68
                                   13,6  2 =         2=                 = 6,8 ;
                                                10                  10
                                                122                 61
                                   1,22  2 =         2=                 = 0,61.
                                                100                 100

  Diviser un nombre entier        L’élève sait que diviser par 4 revient à diviser par 2 et encore par 2.
   par 4 ou par 8.                 140  4 ?
                                   140  2 = 70 et 70  2 = 35. Donc 140  4 = 35.
                                   L’élève sait que diviser par 8 = 2 × 2 × 2 revient à diviser par 2, puis encore par 2 et
                                   une troisième fois par 2.
                                   260  8 ?


                                                                    16
                             260  2 = 130 ; 130  2 = 65 et 65  2 = 32,5. Donc 260  8 = 32,5.
                             Lors d’une séance de calcul mental, si l’élève doit calculer 260  8, il peut écrire :
                             « 130 », puis « 65 », puis « 32,5 », qu’il entoure pour indiquer qu’il s’agit du
                             résultat cherché. Les écrits intermédiaires « 130 » et « 65 » lui permettent de
                             soulager sa mémoire de travail.
 Multiplier un     nombre   L’élève sait que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à calculer la moitié
  décimal par 5.             du résultat obtenu. Il utilise cette procédure pour multiplier par 5 un nombre
                             décimal s’écrivant avec au plus trois chiffres.
                             Par exemple, pour calculer 5 × 1,46 :
                             10 × 1,46 = 14,6 et 14,6  2 = 7,3. Donc 5 × 1,46 = 7,3.

 Multiplier un     nombre   L’élève sait que multiplier par 50 revient à multiplier par 100 puis à diviser par 2. Il
  décimal par 50.            utilise cette procédure pour multiplier par 50 un nombre inférieur à 20 s’écrivant
                             avec au plus trois chiffres et pour lequel le dernier chiffre est pair.
                             50 × 12,4 ?
                             100 × 12,4 = 1 240 et 1240  2 = 620. Donc 50 × 12,4 = 620.




                                                      17
