                                                             Informer et accompagner
                                                             les professionnels de l’éducation       CYCLES 2                          3 4
                                     MATHÉMATIQUES
                                       Nombres et calculs



                                         Comprendre et utiliser les notions
                                       de divisibilité et de nombres premiers

                               Objectifs
                               Au cycle 3, l’élève a découvert la notion de multiple et diviseur d’un entier naturel d’usage
                               courant et les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10. Il a résolu des problèmes en
                               mobilisant la division euclidienne selon deux approches :

                                LA DIVISION – GROUPEMENT                                         LA DIVISION – PARTAGE
                                Exemple                                                          Exemple
                                La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe         La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves.
                                d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il         Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de
                                d’élèves ?                                                       jetons a chaque élève ?

                                Résoudre un problème de division-groupement revient              Résoudre un problème de division-partage revient à
                                à calculer le nombre de paquets identiques que l’on              calculer la valeur d’un paquet connaissant le nombre
                                peut faire dans une collection connaissant la valeur d’un        de paquets identiques que l’on peut faire dans une
                                paquet.                                                          collection.


                               Au cycle 4, la division euclidienne continue à être mobilisée ; les notions de multiple et de
                               diviseur sont étendues à l’ensemble des entiers naturels. Progressivement, l’élève découvre
                               les notions de diviseur commun et de nombre premier. Il mobilise ces connaissances pour
                               résoudre des problèmes.
                               L’apprentissage du raisonnement est un objectif central auquel contribue de façon spécifique
                               le travail en arithmétique. L’activité mathématique proposée aux élèves doit prendre appui sur
                               des situations variées.
                               Il s’agit d’amener les élèves à élaborer des raisonnements de divers types :
                               • par disjonction de cas : « Si deux entiers naturels ne sont pas multiples de 3, alors leur pro-
                               duit n’est pas multiple de 3 » (disjonction de cas suivant les restes de la division euclidienne
                               par 3).
                               • par l’absurde : « n désigne un entier qui n’est pas premier. Montrer que n a un diviseur plus
                               petit que √n. » ; « Irrationalité de √2. »
                               • à l’aide d’un contre-exemple : « Vrai-Faux : quel que soit l’entier naturel n,
                               le nombre n² - n + 11 a exactement 2 diviseurs. (n = 11 fournit un contre-exemple.)




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  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                              Liens avec les domaines du socle
                              La recherche de diviseurs ou de multiples d’un entier naturel ou communs à deux entiers
                              naturels, la simplification de fractions, la décomposition d’un entier naturel en produit de
                              facteurs premiers conduisent à effectuer avec discernement des calculs mentaux, posés ou
                              instrumentés (domaine 1).
                              De façon générale, l’analyse des erreurs, le travail par « essais/ajustements » et le travail
                              collaboratif, en groupe ou en équipe et, plus spécifiquement, la reconnaissance du caractère
                              irréductible d’une fraction, l’identification ou la production de nombres premiers conduisent
                              à s’engager dans des démarches de recherche, y compris algorithmiques, à produire des
                              exemples ou des contre-exemples (domaine 2).
                              La résolution de problèmes mettant en jeu des entiers naturels (comme les problèmes de
                              conjonction, voir par exemple l’activité « Ça roule »), qui conduit à observer, manipuler et
                              argumenter, et le travail de la preuve (critères de divisibilité, par exemple) permettent de
                              rencontrer et de produire des raisonnements spécifiques (par l’absurde, par disjonction de
                              cas, à l’aide de contre-exemples notamment), ce qui favorise l’apprentissage du raisonnement
                              (domaines 3 et 4).


                              Progressivité des apprentissages
                              La division euclidienne est travaillée sur toute la durée du cycle. Les critères de divisibilité,
                              les notions de diviseur et de multiple d’un entier naturel sont à réinvestir dès le début du
                              cycle. Dans la perspective de l’apprentissage du raisonnement, les nombres premiers peuvent
                              être introduits dès le début du cycle et travaillés tout au long du cycle. La notion de fraction
                              irréductible est introduite en classe de 3e, donnant une occasion d’aborder la notion de
                              diviseur commun à deux entiers naturels. Dans la mesure où cette approche met en jeu des
                              entiers de taille raisonnable, la fraction irréductible s’obtient par simplifications successives et
                              ne nécessite pas le calcul du PGCD.


                              Stratégies d’enseignement
                              Les questions flash (Multiples, diviseurs et critères de divisibilité et Nombres premiers)
                              contribuent à la construction du sens « multiple/diviseur » et à l’appropriation des critères de
                              divisibilité. Proposées régulièrement sur la durée du cycle, elles permettent de réactiver ces
                              savoirs et savoir-faire ; elles peuvent concourir à une évaluation diagnostique.

                              Le travail sur l’erreur s’appuie sur un retour au sens, en lien avec la définition de diviseur et
                              de multiple ainsi que la production d’exemples et de contre-exemples. L’arithmétique est un
                              domaine dans lequel l’élève est amené à mettre en œuvre différents types de raisonnement.

                              L’oral constitue une aide à la compréhension et participe du traitement de l’erreur.


                              Différenciation
                              Dans ce thème, la différenciation peut notamment consister en :

                              • un accompagnement spécifique que ce soit pour des travaux en classe ou hors la classe ;
                              • l’élaboration de la preuve d’un résultat général, d’une propriété (critère de divisibilité par 3
                              par exemple) ou la résolution d’un problème (voir par exemple le prolongement proposé dans
                              la tâche intermédiaire « Un petit nombre ») à l’aide d’un exemple générique ; la démonstration
                              dans le cas général pouvant faire l’objet d’un approfondissement proposé à certains élèves.

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  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs




                              Exemples de situations d’apprentissage
                              Les tâches proposées peuvent notamment consister en des activités mentales, conduire à
                              l’élaboration d’algorithmes et de programmes et exiger la mise en œuvre de raisonnements.

                              Exemples d’activités
                              Exemples de questions flash
                              • Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
                              • Nombres premiers
                              Exemples de tâches intermédiaires
                              • Qui suis-je ?
                              • Un habile partage
                              • Un petit nombre
                              • Une grande lectrice
                              Exemples d’activités avec prise d’initiative
                              • Ça roule
                              • Système monétaire
                              • Conjecture de Syracuse


                              Interdisciplinarité
                              Les entiers naturels interviennent principalement dans la résolution de problèmes internes
                              aux mathématiques relevant de la divisibilité et de la primalité. L’étude de tels problèmes
                              permet aux élèves de s’approprier des connaissances et d’acquérir des compétences qui
                              favorisent tout particulièrement l’apprentissage du raisonnement.

                              De façon complémentaire, l’étude de problèmes d’engrenages, de conjonction de phénomènes
                              périodiques, issus de la physique et de la technologie, participent de la formation des élèves.

                              Des EPI portant sur les thématiques « Information, communication, citoyenneté » (stockage
                              de l’information, cryptage) ou « Langues et cultures de l’Antiquité » (prédiction des éclipses
                              solaires et lunaires, nombres parfaits) seront l’occasion de construire l’attendu de fin de cycle
                              « Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ».


                              Ressources complémentaires
                              Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements
                              utiles pour aborder les notions de divisibilité et de nombres premiers avec les élèves :

                              • Du numérique au littéral
                              • Raisonnement et démonstration




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