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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/001.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/001.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Ressources transversales
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+                                               Les mathématiques par les jeux
+                                      Accéder à la liste des jeux exposés dans cette ressource
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+       Visionner la vidéo
+              Du plaisir à
+          l’apprentissage
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+                              De nombreux professeurs font jouer leurs élèves dans leur classe. Il s’agit de jeux
+                              pédagogiques, avec un cadre et des objectifs. Ceux-ci se différencient des « jeux de la vie
+                              courante » même si certains partent des règles de jeux populaires.
+
+                              Chacun peut en retirer de grands bénéfices. La pratique du jeu permet de gagner du temps
+                              dans la compréhension des connaissances, rend plus pérennes les savoir-faire essentiels en
+                              mathématiques et leur permet de développer des compétences diverses
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+                              Grâce à l’expérience de professeurs de tous horizons, un groupe de travail s’est constitué,
+                              autour de quelques professeurs, inspecteurs et enseignants-chercheurs des académies de
+                              Lille et Nantes, avec l’appui des IREM de Caen, Besançon, Montpellier, Lille et Nantes, en
+   Une ressource produite     ayant pour objectif principal d’aider les professeurs souhaitant s’investir dans cette démarche
+        dans le cadre de la
+ stratégie mathématiques
+                              pédagogique.
+     en partenariat avec le
+         réseau des IREM.     C’est ainsi que ce groupe a eu pour ambition de proposer un document opérationnel.
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+                              Dans un objectif pédagogique, il a identifié des jeux déjà existants et présentant un intérêt
+                              particulier, en a modifié certains dont les règles sont connues et en a construit d’autres.
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+                              Pour rendre ces approches plus accessibles, des films ont été tournés et montés par CANOPÉ
+                              Nantes ; on y accédera en cliquant sur les liens en marge du document ou à cette adresse.
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+                              Les activités ludiques présentées dans cette ressource ont leur place à différents moments
+                              des apprentissages et peuvent également être utilisées comme outils de remédiation ou de
+                              réinvestissement.
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+                              Tous les jeux disponibles et efficaces ne sont pas recensés dans ce document qui se limite à
+                              une sélection dans un choix immense, et ne demande qu’à être enrichi.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
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+                              Pourquoi jouer en mathématiques ?
+                              Parce que les mathématiques forment une discipline exigeante mais
+                              nécessaire à tous
+                              Un objectif essentiel de l’enseignement des mathématiques pour la vie sociale, citoyenne et
+                              professionnelle de nos élèves, est la résolution de problèmes, et notamment la mise en place
+                              de stratégies.
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+                              Le jeu amène l’élève à raisonner : faire des choix, prendre des décisions, anticiper un résultat
+                              sont autant d’attitudes que l’on attend d’un élève lors de la résolution de problèmes ou de
+                              tâches complexes. Le jeu développe donc les prises d’initiatives des élèves.
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+                              Cependant, des élèves peuvent se trouver bloqués en cours de résolution de problème ou se
+                              tromper par manque de facilité au niveau du calcul. Grâce à certains jeux, le professeur fait
+                              faire davantage d’exercices répétitifs avec ses élèves (tout en les motivant) qu’en donnant des
+                              pages de calculs à réaliser.
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+                              Ce qui est attendu et souhaité c’est aussi une construction pérenne de ces automatismes de
+                              calcul. Le jeu facilite cette construction.
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+                              Parce que cela donne du sens aux notions mathématiques des programmes
+                              Énoncer de manière magistrale une propriété ou une définition n’implique pas nécessairement
+                              sa compréhension et cela même si on l’apprend par cœur. L’utiliser, la manipuler et la
+                              réinvestir dans des contextes lui donne du corps et tout son sens.
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+                              Le jeu peut être un outil pertinent à différents moments des apprentissages :
+                              • introduction d’une nouvelle notion ;
+                              • construction d’automatismes ;
+                              • approfondissement / remédiation.
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+                              On peut également réinvestir le moment du jeu, y faire référence au cours des apprentissages.
+                              Faire revivre cette situation permet d’inscrire le jeu comme une réelle activité mathématique
+                              dans une démarche pédagogique. Le jeu pédagogique, considéré au même titre qu’une activité
+                              mathématique plus ordinaire (entraînement par des exercices, tâche complexe, etc.), est
+                              valorisé aux yeux de chacun.
+                              Parce que les mathématiques sont vivantes et se prêtent facilement aux
+                              activités ludiques
+                              Le contexte d’apprentissage est important. Au cours d’un jeu, le contexte se veut convivial
+                              avant tout. L’utilisation du jeu permet de changer l’image rébarbative que peuvent avoir les
+                              mathématiques pour certains élèves et ainsi les mobiliser davantage. Du fait que les enfants
+                              sont naturellement joueurs, ils se lancent et sont plus actifs. Avec le jeu, ils peuvent prendre
+                              du plaisir et développer ainsi une relation nouvelle à la discipline. Leur investissement n’en
+                              sera que plus grand par la suite, même lors d’une activité plus « classique ».
+
+                              La pratique du jeu permet donc de gagner du temps dans la compréhension des connaissances
+                              et rend plus solides les savoir-faire mathématiques développés à cette occasion.
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+                              Parce que l’écrit n’est pas obligatoire
+                              Un élève peut ne pas réussir à additionner dans une page de calcul en évaluation et très bien
+                              compter les scores dans des jeux de cartes comme le bridge ou le tarot.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Perdre à un jeu n’a pas la même conséquence pour un élève que de se retrouver en situation
+                              d’échec face à un exercice. La peur de se tromper est encore trop présente chez certains
+                              élèves qui préfèrent en conséquence « ne rien écrire » sur leur feuille, voire ne pas s’engager
+                              dans un exercice de peur de se retrouver confrontés à leurs difficultés. Pris dans le jeu, l’élève
+                              peut se permettre plus facilement des procédures qu’il se serait interdites dans le cadre d’un
+                              « cours de maths ». Le jeu amène donc l’élève à se décomplexer, à tenter, essayer, faire des
+                              erreurs… ce qui est indispensable aux apprentissages.
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+                              De plus, en jouant par équipes, les élèves acceptent plus facilement l’aide de leurs camarades.
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+                              On s’autorise à ne pas avoir un travail soigné. Certains documents peuvent être à usage
+                              unique.
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+                              Un des atouts du jeu réside dans la décentration des objets d’apprentissages, qui ne sont plus
+                              regardés pour eux-mêmes mais pour gagner dans un espace de jeu spécifique. L’élève se
+                              trouve dans une situation de joueur (et plus uniquement d’élève).
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+                              Parce que jouer est naturel chez la plupart des enfants… et des adultes aussi
+                              Tous les enfants ont une propension naturelle à jouer, c’est même le mode d’apprentissage
+                              premier du petit enfant, qui lui permet d’essayer des processus mentaux.
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+                              La pratique du jeu conduit à développer chez les enfants des compétences mobilisant logique,
+                              stratégie, rigueur, concentration, mémoire et capacité d’abstraction, qui sont toutes des
+                              facteurs de réussite.
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+                              Il s’agit davantage d’un partage des connaissances plutôt qu’un travail individuel. Les élèves
+                              s’investissent lorsqu’ils sont mis en activité et lorsqu’ils mettent du sens dans ce qu’ils font.
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+                              La posture de créativité du professeur participe pleinement à l’implication des élèves dans
+                              le travail proposé. Ce changement de positionnement lors du jeu amène les élèves à être
+                              autonomes et à aller au-delà des attentes du professeur.
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+                              La pratique régulière du jeu est ainsi une modalité d’apprentissage efficace dont on aurait
+                              tort de se passer. Une dynamique d’équipe, d’entraide, de collaboration peut émerger dans la
+                              classe.
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+                              Les adultes sont aussi joueurs, mais ne se l’avouent pas volontiers.
+                              Parce que jouer développe des attitudes sociales
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+       Visionner la vidéo
+ Le travail de groupe, la
+ coopération des élèves.
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+                              Respecter des règles, prendre des initiatives, apprendre à coopérer, accepter de perdre sont
+                              autant de compétences développées.
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+                              Même si la compétition existe, celle-ci est sans enjeu pénalisant et permet donc à l’élève de se
+                              surpasser.
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Parce que les mathématiques sont, en elles-mêmes, une sorte de jeu avec
+                              des règles.
+                              La construction d’une figure de géométrie, la démonstration d’une propriété, le calcul sur
+                              des expressions algébriques : voilà autant de situations mathématiques se traduisant par une
+                              production qui pour être « réussie » doit « obéir aux règles du jeu » et « parvenir au but ».
+
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+                              Je veux essayer de mettre un jeu en place dans mon
+                              cours : comment faire ?
+                              Par quoi commencer ?
+                              Il est préférable de commencer par des jeux courts sans déplacement, nécessitant peu de
+                              matériel et avec des règles très simples. Il est préférable de tester d’abord les jeux par deux,
+                              qui ne nécessitent pas de changement de place et utilisent peu de matériel.
+
+                              Le créneau horaire choisi est important, en particulier pour les séances au cours desquelles
+                              une règle est expliquée.
+
+                              Si les règles sont nombreuses, elles peuvent, par exemple, être introduites au fur et à mesure
+                              du jeu.
+
+                              Il est aussi possible de proposer à un collègue de venir en co-enseignement les premières fois.
+
+                              Il faut accepter que le vocabulaire utilisé soit approximatif. Il est compréhensible d’avoir peur
+                              de se mettre en danger et de ne pas tout contrôler.
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+                              Quand jouer ?
+                              Les temps de jeu varient en fonction du jeu choisi. Certains se prêtent bien à l’introduction de
+                              notions, d’autres à du réinvestissement.
+                              • Faire des jeux courts un rituel de début ou de fin de séance en facilite la mise en place dans
+                              la classe. Les jeux de calcul mental s’y prêtent bien notamment.
+                              • Ne pas réserver les jeux à ceux qui ont fini. Le jeu est une activité pédagogique à part entière
+                              et ne doit pas se limiter à du soutien ou à une récompense.
+                              • Certaines séances situées à des heures où la concentration des élèves est difficile à obtenir,
+                              peuvent aussi être une occasion favorable pour jouer.
+
+                              Silence, on joue !
+                              Il faut accepter le bruit de fond. En effet, les élèves parlent, expérimentent et débattent. C’est
+                              un jeu, les élèves « risquent » donc de s’amuser à faire des mathématiques.
+
+                              Le temps de jeu crée un espace à part dans l’activité de l’élève. Cet espace a ses propres
+                              règles qui ne sont pas celles de la classe ordinaire. Il est important de bien identifier ce temps
+                              de jeu afin qu’il n’y ait pas de confusion avec les règles de vie et de débats lors des autres
+                              temps d’apprentissage.
+
+                              Les élèves ont besoin de temps pour comprendre. Un élève peut être mandaté pour régler
+                              l’intensité sonore.
+
+                              Pour un jeu qui dure une séance, une grande salle peut aussi atténuer le bruit.
+
+                              Malgré le bruit généré, la réflexion, la qualité et la quantité de travail fournies par les élèves
+                              lors d’une séance de jeu sont souvent meilleures que lors d’une séance qualifiée de «
+                              silencieuse ».
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   4
+  CYCLES    3 4 I MATHÉMATIQUES I Ressources transversales
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+                                    IDÉE
+                                    Comment faire moins de bruit lorsqu’on lance des dés ? Faire lancer dans de petites boites à
+                                    chaussures ou des couvercles de boites de ramettes à papier (voire y coller un bout de moquette)
+                                    ou utiliser des gobelets retournés. Il existe aussi des dés en mousse.
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+                              Et si certains élèves ne veulent pas jouer ?
+                              • C’est assez rare mais certains élèves ne jouent pas chez eux. Ils mettent plus de temps à
+                              comprendre les règles et à mettre en place des stratégies. Il vaut mieux commencer par des
+                              jeux courts et faciles d’accès (jeu des angles, puissance 4, Roi du 7, etc).
+                              S’ils ne veulent vraiment pas jouer au début, il est possible de leur donner une fiche
+                              d’exercices. Certains n’aiment pas perdre. Cela va avec le respect des règles et vivre
+                              ensemble. Mettre les élèves en groupe et changer les groupes permet de varier les gagnants.
+                              • Certains pensent que ce n’est pas sérieux. Or, la définition de « sérieux » nous renvoie … au
+                              jeu : « qui ne peut prêter à rire » ou « qui n’est pas fait pour l’amusement » (Petit Robert). En
+                              ce sens, jouer n’est pas « sérieux ». Mais est-ce là un critère de qualité d’un enseignement
+                              de mathématiques ? Le.la professeur.e des écoles qui fait jouer ses élèves avec une perspec-
+                              tive d’apprentissage n’est pas considéré.e comme « pas sérieux.se ». Pourquoi le « sérieux »
+                              s’imposerait-il aux élèves dès qu’ils franchissent la porte du collège ? Rappelons enfin que,
+                              d’après Aristote, « il faut jouer pour devenir sérieux » et d’après Albert Einstein, « le jeu est la
+                              forme la plus élevée de la recherche ».
+                              • L’échec sous le regard des autres peut être dur à vivre. Il faut savoir dédramatiser et rappe-
+                              ler que... ce n’est qu’un jeu !
+
+                              Il est important de communiquer et d’expliquer à ces élèves pourquoi on joue, et tout aussi
+                              important de prendre le temps de faire un bilan.
+
+                              Et le regard des parents d’élèves ?
+                              Il est important de faire comprendre que jouer est une autre modalité d’apprentissage qui peut
+                              permettre à beaucoup d’élèves de progresser et de s’engager dans une dynamique. Il ne faut
+                              pas hésiter à inciter les enfants à jouer avec leurs parents. Il est possible de prêter des jeux,
+                              notamment pendant les vacances.
+
+                              Que vont penser les collègues ?
+                              Certaines évolutions dans les pratiques pédagogiques nécessitent du temps. La pratique du
+                              jeu permet de gagner du temps sur l’acquisition de connaissances et de savoir-faire. Ouvrir sa
+                              porte ou accompagner ses collègues peut aider. Bien souvent, la pratique du premier jeu suffit
+                              à faire comprendre les divers intérêts de l’enseignement par le jeu.
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+                              Que va dire le chef d’établissement ?
+                              La création de groupes de travail académiques1 pilotés par les inspections pédagogiques
+                              régionales de mathématiques concernées, en collaboration avec le réseau des IREM et la
+                              production d’une ressource nationale constituent des actions officielles qui donnent une vraie
+                              dynamique et une légitimité à cette pratique. Cette action s’inscrit dans le cadre de la stratégie
+                              mathématiques, lancée à décembre 2014 par la ministre de l’Education nationale. Ce plan vise
+                              notamment à développer la dimension ludique des mathématiques.
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+                              1. Académies de Nantes et Lille
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Il est possible d’inviter le chef d’établissement en observation dans la classe. Les jeux peuvent
+                              aussi être proposés lors des journées portes ouvertes.
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+                              Que fait le professeur lorsque les élèves jouent ?
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+       Visionner la vidéo
+   Le rôle du professeur
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+                              L’enseignant doit laisser les élèves jouer et débattre entre eux. Il doit être présent tout en
+                              sachant garder ses distances. Il a un rôle d’observateur et d’arbitre. Tout d’abord, il doit
+                              s’assurer que tous se mettent effectivement au travail. Il doit répondre aux sollicitations pour
+                              débloquer une situation particulière, préciser une règle du jeu et surtout faire en sorte de
+                              faire réfléchir les élèves. L’idée n’est pas de leur donner une réponse, mais de les pousser à
+                              raisonner.
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+                              En fin de séance, le professeur peut organiser une explicitation collective, individuelle ou par
+                              groupe de ce que les élèves ont appris, appris à faire et compris. Il est possible de faire rédiger
+                              un bilan. Une fiche d’exercices peut compléter de manière plus académique les connaissances
+                              travaillées lors du jeu.
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+                              Que peut être une trace écrite ?
+                              Il est important de ne pas la formaliser trop vite et de la faire mettre en place par les élèves.
+                              Ce ne devrait pas être aux professeurs de la donner.
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+                              Il est par exemple envisageable de photographier le jeu et d’insérer la photo dans le cahier.
+                              Certains jeux au cours desquels des documents papiers sont donnés (Decitri, Quem’s, etc)
+                              peuvent être collés dans le cahier et servir efficacement de trace écrite.
+
+                              C’est aux élèves d’établir un bilan, soit personnel, soit individuel, qui pourra être sous la forme
+                              d’une affiche ou d’une carte mentale où les élèves pourront écrire leurs questions, ce qu’ils
+                              ont aimé ainsi que leur ressenti sur la séance. Certains instants pourraient aussi faire l’objet
+                              d’une trace écrite (rebondissement remettant en cause une stratégie ou situation marquante
+                              sur l’application d’une notion ou un automatisme).
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+                              Les élèves peuvent aussi être invités à créer eux-mêmes de nouvelles grilles (par exemple
+                              pour la Route des maths, Quatre alignés c’est gagné, etc.).
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+                              Certains jeux permettent aux élèves d’acquérir des réflexes de calculs ou des stratégies de
+                              raisonnement. La trace écrite n’est donc pas indispensable.
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+                              Que peut-on évaluer ?
+                              L’investissement des élèves est visible et gagne à être valorisé, car ils pratiquent effectivement
+                              une activité mathématique.
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+                              Cependant, tout n’est pas à évaluer tout le temps : préserver l’espace du jeu de l’évaluation
+                              peut en effet permettre d’amener les élèves, notamment les plus fragiles, à s’autoriser des
+                              stratégies d’engagement. Pour le professeur, il s’agit d’un moment de prise d’informations
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              permettant de mieux comprendre et connaître les élèves que sur une évaluation ponctuelle et
+                              traditionnelle.
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+                              Le jeu permet enfin de valoriser (voire d’évaluer) des élèves sur d’autres focales, notamment
+                              sur des compétences sociales dans le cadre du socle commun de connaissances, de
+                              compétences et de culture.
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+                              Les professeurs faisant jouer dans leurs classes parlent autrement de leurs élèves
+                              (notamment en conseil de classe).
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+                              Après une séance, faire un bilan oral avec les élèves leur permet de se rendre compte de ce
+                              qu’ils ont travaillé et appris.
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+                              Comment expliquer une règle ?
+                              On peut procéder par étapes et donner les règles progressivement. Il est important de ne pas y
+                              passer trop de temps.
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+                              La première partie peut être jouée « pour rire » (« pour du beurre ») avec l’ensemble de
+                              la classe. Parfois, l’utilisation du vidéoprojecteur avec une version numérique du jeu peut
+                              également se révéler être une aide précieuse.
+
+                              Quelles compétences peuvent être travaillées lorsque l’on fait jouer ?
+                              Suivant le jeu et la pratique du professeur, toutes les compétences mathématiques (Chercher,
+                              Modéliser, Calculer, Raisonner, Représenter, Communiquer) peuvent être mises en œuvre.
+                              La pratique du jeu participe pleinement à l’acquisition des cinq domaines du socle de
+                              compétences de connaissances et de culture.
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+                              Deux exemples de jeux
+                              Cette partie permet de mettre en avant trois jeux typiques illustrant un usage possible des jeux
+                              dans la classe. De nombreux autres jeux ainsi qu’un tableau synoptique figurent en annexe de
+                              ce document.
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+   Télécharger l’annexe       Le jeu des angles
+        « Plus près des
+              angles ».
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+      Visionner la vidéo :
+  Le jeu des angles : les
+             trois étapes
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+                              Le jeu vise à développer une notion intuitive d’angle et de mesure d’angle, à partir de
+                              connaissances tout à fait élémentaire sur les angles (cycle 3). La comparaison des mesures
+                              d’angles vient assez naturellement dans ce contexte.
+
+                              Ce jeu se réfère principalement aux parties « Grandeurs et mesures » et « Géométrie »
+                              du programme du cycle 3. Il répond aux attendus de fin de cycle « Comparer, estimer, mesurer
+                              des grandeurs géométriques », « Utiliser les instruments de mesure spécifiques de ces
+                              grandeurs » et « Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter des figures géomé-
+Retrouvez Éduscol sur
+                              triques ».
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+                              Le jeu est facile à mettre en place et demande peu de matériel (vidéoprojecteur, rapporteurs).
+                              Il permet aux élèves de travailler l’ordre de gran¬deur de la mesure d’un angle, et notamment
+                              éviter une mauvaise utilisation du rapporteur
+
+                              La progression est trois étapes. Au cours des deux premières étapes, le professeur projette
+                              une série d’angles et les élèves donnent une estimation de leur mesure.
+                              • Étape 1 : estimation d’angles proches de l’angle droit. Il convient de débuter par l’angle
+                              droit (permettant un rappel des acquis antérieurs) et des angles très proches.
+                              • Étape 2 : estimation d’angles variés. Il s’agit ensuite de progresser vers des angles diffé-
+                              rents, en débutant par des angles avec des angles importants, ayant pour mesures 45°, 135°
+                              et éventuellement 30°, 60°, 120°. Le vocabulaire lié aux angles
+                              (aigu, obtus, sommet, côté) est peu à peu introduit et repris
+                              sous forme de trace écrite.
+                              • Étape 3 : de l’estimation à la mesure. Chaque binôme
+                              propose, au binôme voisin, des angles tracés sans rapporteur
+                              (3 ou 4). Les membres d’un binôme discutent et proposent
+                              une estimation des mesures des angles. La validation se fait
+                              à l’aide du rapporteur, que les élèves découvrent eux-mêmes
+                              sans formalisation préalable.
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+                              Intérêt du jeu
+                              L’expérience montre que :
+                              • les élèves visualisent mieux les angles avant leur construction ;
+                              • les élèves maîtrisent mieux le sens des graduations du rapporteur ;
+                              • les élèves réinvestissent le savoir-faire pour la vérifica¬tion des figures ;
+                              • les élèves estiment correctement les angles, positionnent correctement leur rapporteur sans
+                              effort.
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+    Télécharger l’annexe
+ « La route des maths ».
+                              La route des maths
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+      Visionner la vidéo :
+     La route des maths
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+                              Il s’agit d’un jeu de coopération se basant sur un plateau.
+                              L’idée initiale de ce jeu provient du jeu Fujiyamaths de
+                              l’IREM de Caen. C’est une course à étapes de difficultés
+                              croissantes : les équipes déplacent leurs pions de Laval
+                              vers la côte vendéenne et résolvent des énigmes (cartes
+                              « objectif ») à chaque étape, les collections d’énigmes
+                              changeant lorsque les équipes se rejoignent sur les villes-
+                              étapes. Le temps d’une partie dépend des objectifs fixés
+                              (entre une demi-heure et une heure).
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Un des grands avantages de ce jeu est que la règle et les cartes peuvent être utilisées sur
+                              différentes notions de la sixième à la troisième. Chaque notion est travaillée à l’aide des cartes
+                              « objectif ».
+
+                              Les parties du programme abordées par ce jeu varient ainsi suivant les cartes « objectif »
+                              prises. Ainsi, on peut introduire les fonctions affines, les puissances, les fractions.
+
+                              Le dernier trajet (qui relie La Roche-sur-Yon à la plage) fournit l’occasion de proposer un bilan
+                              (éventuellement guidé) : créer une nouvelle carte objectif, écrire la règle découverte, résoudre
+                              collectivement une dernière énigme, etc.
+                              Avantages pédagogiques de ce jeu
+                              • Ce jeu est coopératif et incite chacun à s’investir. L’erreur n’est pas stigmatisée. La part de
+                              hasard permet à chacun de pouvoir avancer.
+                              • Une notion peut être intégrée progressivement. Les cartes « objectif » changent à chaque
+                              étape.
+                              • Les élèves s’autocorrigent. Par contre un même groupe peut se conforter ensemble sur une
+                              même erreur ; la place du professeur est alors importante. On peut aussi attribuer un rôle de
+                              maitre de jeu à un élève qui dispose d’une calculatrice.
+                              • La règle est à expliquer la première fois. Lorsque l’on reprend le jeu avec de nouvelles no-
+                              tions, il n’y a pas de nouvelles explications à donner. On ne se lasse pas de ce jeu. En effet, les
+                              cartes « objectif » changent à chaque fois.
+                              • Il n’y a pas de passage à l’écrit, ce qui peut motiver des élèves à s’engager.
+                              • Après le jeu, un bilan peut être fait par les élèves sur ce qu’ils ont appris. Ce bilan peut être
+                              différé dans le temps dans une séance suivante.
+
+                              Un avantage extrêmement pratique pour le professeur : le même plateau de jeu ainsi que les
+                              mêmes cartes « nombre » sont utilisés pour toutes les notions et tous les niveaux. Le temps
+                              gagné en plastification, découpage et en préparation est significatif.
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+                              Quelques exemples d’intégration des jeux dans des
+                              projets à long terme
+                              Utiliser le jeu de Bridge dans le cadre de l’accompagnement personnalisé
+                              Le document fourni en annexe propose de découvrir et d’utiliser comme outil pédagogique
+                              le jeu de bridge afin d’initier (en particulier) les élèves au raisonnement dans un contexte
+                              différent de ceux habituellement vécus par les apprenants et leur professeur. Les tests
+                              effectués dans différentes classes ont démontré qu’un débat peut assez vite s’instaurer autour
+                              des différentes stratégies possibles pour résoudre les différents problèmes posés.
+
+                              Cette animation pédagogique peut par exemple trouver sa place dans le cadre de
+                              l’accompagnement personnalisé en sixième, mais aussi en activités périscolaires, etc.
+
+                              Dans la progression pédagogique choisie, un temps d’appropriation des règles du jeu et du jeu
+                              lui-même est nécessaire afin de familiariser les apprenants au vocabulaire spécifique et au
+                              déroulé d’une partie de bridge. Dans chacune des séances programmées, l’usage effectif d’un
+                              jeu de cartes peut permettre à certains élèves de mieux contextualiser la situation étudiée.
+                              Chaque phase d’apprentissage est l’occasion d’aborder, travailler, consolider différentes
+                              connaissances ou compétences. Anticiper les besoins, c’est une manière d’y répondre, certes
+                              collectivement, mais avec l’avantage qu’on ne répond pas a posteriori à un manque, à une
+                              difficulté, mais qu’on prévient les difficultés en posant des jalons explicites avec les élèves.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              L’intérêt et la plus-value des différents textes résident dans le fait qu’ils font appel pour la
+                              plupart d’entre eux à un bagage mathématique relativement restreint. C’est pourquoi la même
+                              activité peut être proposée à des élèves de niveaux très différents, chacun exploitant les outils
+                              à sa disposition pour la traiter. Il est d’usage de dire que certaines réponses aux questions
+                              posées se résument à « il suffit de savoir compter jusqu’à treize ». C’est oublier qu’il faut au
+                              minimum savoir ce qu’il faut compter et pourquoi on doit le compter. Si le calcul mental et
+                              sa maitrise sont souvent cités, l’analyse des résultats et le classement d’un tournoi amènent
+                              de nombreux exemples permettant l’introduction et l’utilisation des entiers relatifs et des
+                              pourcentages.
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+                              Au-delà de l’aspect calculatoire, de nombreuses compétences sont travaillées à travers
+                              ces activités. Il faudra mobiliser son attention à chaque instant, raisonner et argumenter
+                              régulièrement, analyser et anticiper, rechercher l’information nécessaire à la découverte d’un
+                              plan de jeu cohérent, etc.
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+                              L’expérience montre en effet qu’une partie de bridge demande :
+                              • l’analyse des enchères effectuées à la table, la recherche des informations que l’on peut en
+                              déduire sur la forme des mains de chacun des joueurs ;
+                              • la mémorisation des cartes jouées et les conséquences sur l’emplacement des cartes qui
+                              nous intéressent ;
+                              • de savoir rechercher parmi les informations connues celles qui auront de l’importance et
+                              celles que l’on peut négliger.
+
+                              À tout moment, il faut donc veiller à se poser les bonnes questions et en chercher, à travers les
+                              informations connues et reçues, un maximum de réponses.
+
+                              De temps à autre, des pistes de différenciation seront proposées. En particulier, il est possible
+                              de développer pour les élèves les plus avancés des activités de recherche originales.
+
+                              À l’issue de ce parcours, les élèves comme leur enseignant auront découvert de nouvelles
+                              pratiques pédagogiques.
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+                              D’autres pistes n’ont pas été explorées. Il est ainsi possible d’introduire le calcul des
+                              probabilités à partir de ce jeu. On consultera avec profil le livre édité par CANOPÉ sur ces
+                              questions.
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+                              Plan du document proposé en annexe
+                              • Séance 1 : présentation du bridge et premières règles
+                              • Séance 2 : comment évaluer la force de son jeu
+                              • Séance 3 : à la recherche du contrat
+                              • Séance 4 : applications mathématiques
+                              • Séance 5 : Etude de la marque et de techniques simples de jeu
+                              • Séance 6 : Découverte d’un théorème
+                              • Séance 7 : Exercices de raisonnement
+                              • Séances 8 à 10 : Ensemble d’activités mettant en œuvre les connaissances acquises.
+
+                              Pour chacune d’entre elles, deux supports sont proposés. Le diaporama est destiné, pour ceux
+                              qui le désirent, à présenter le travail à faire et animer la séance. Le texte propose quelques
+                              pistes pédagogiques, des recommandations et quelques éléments de réponse.
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+                              Cette animation pédagogique peut par exemple trouver sa place dans le cadre de
+                              l’accompagnement personnalisé en sixième, mais aussi en activités périscolaires, etc.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Utiliser le jeu des échecs
+                              Un travail du même genre est envisageable avec le jeu d’échecs. Plusieurs documents (dont
+                              un livre édité par CANOPÉ) existent et recensent diverses activités pouvant servir de base à un
+                              projet à long terme autour de ce jeu.
+
+                              Pour les échecs comme pour le bridge, deux remarques importantes sont à faire :
+                              • le travail proposé vise à développer de nombreuses compétences qui seront certes utiles en
+                              mathématiques mais plus globalement dans l’ensemble des matières enseignées au collège ;
+                              • le fait de proposer des exercices de raisonnement ne nécessitant pas de connaissances ma-
+                              thématiques particulières permettra à certains élèves de ne pas être bloqués par un contenu
+                              mathématique non maîtrisé. Pour les élèves plus scolaires, cela servira à leur faire apprécier
+                              des chemins moins balisés que ceux auxquels ils sont habitués (et qu’ils affectionnent même).
+
+                              Un exemple réalisé dans l’académie de la Réunion est décrit dans le document intitulé « Projet
+                              d’innovation : jeu d’échec et socle commun ». Un bon argumentaire peut aussi être trouvé sur
+                              le site de l’association canadienne Echecs et Maths.
+                              Création d’un jeu sur ordinateur
+                              L’algorithmique a fait son entrée dans les programmes de mathématiques du cycle 4 (thème E).
+
+                              À partir de ce thème, les élèves peuvent s’initier à la problématique de la création des
+                              jeux vidéo en créant un projet de jeu à leur mesure. Suivant leur niveau, leur envie et leurs
+                              capacités ils pourront développer de nombreuses compétences et connaissances. Le travail
+                              permet également de favoriser le travail collaboratif. Au final, les élèves apprendront :
+                              • les bases de l’algorithmique, ce qui leur servira dans le cadre de leurs futures études ;
+                              • à travailler ensemble, confortant ainsi le travail fait en EPI ;
+                              • qu’il est possible d’apprendre par soi-même (l’autonomie, la créativité dont ils vont devoir
+                              faire preuve leur montreront la nécessité d’introduire certains concepts) ;
+                              • à découvrir ou mettre en œuvre de nombreuses connaissances mathématiques en lien avec
+                              les programmes (les transformations et le repérage en sont deux exemples simples) ;
+                              • à mettre en œuvre diverses compétences telles qu’analyser une situation, la modéliser,
+                              structurer sa pensée, prendre des initiatives, etc.
+
+                              De nombreux documents sont actuellement publiés sur ces questions, notamment dans le
+                              cadre des TraAM. Parmi les nombreuses ressources disponibles, il peut être utile de consulter
+                              les suivantes : sites suivants :
+                              • la ressource d’accompagnement du programme de mathématiques du cycle 4 :
+                              Algorithmique et programmation ;
+                              • les TraAm 2015-2016 ;
+                              • la remarquable contribution didactique de l’académie de Rennes : Algorithmique en
+                              mathématiques du collège au lycée ;
+                              • la contribution de l’académie de Reims : Algorithme et programmation en Mathématiques -
+                              Une nouvelle approche pour les élèves et l’enseignant ! ;
+                              • la contribution de l’académie de Nantes : labyrinthe.
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+                              Un jeu-puzzle à multiples usages : United Square
+                              United Square est un jeu commercialisé, dont le créateur a cédé à la DGESCO les droits de
+                              reproduction (sur les pièces du jeu) à des fins pédagogiques.
+
+                              Ce jeu repose sur une série de pièces de forme carrée, analogue à celle-ci :
+
+                              Les différentes pièces ne se distinguent que par l’agencement des quatre triangles colorés. Le
+                              jeu consiste essentiellement à placer des pièces les unes à côté des autres, en respectant la
+                              contrainte suivante : les couleurs des triangles contigus (qui se touchent) doivent toujours être
+                              les mêmes.
+
+                              Le jeu United Square combine observation, sens géométrique, stratégie, logique et
+                              raisonnement, et même un peu d’arithmétique. Cependant, les pièces du jeu peuvent servir
+                              à des activités mathématiques avant même de jouer avec elles : une activité combinatoire
+                              comme le dénombrement des pièces ouvre la voie à des activités géométriques (de recherche
+                              des symétries et rotations qui lient certaines pièces entre elles).
+
+                              À la suite de ces activités de découverte, d’autres jeux plus simples peuvent être proposés
+                              (comme de créer des motifs particuliers avec les pièces du jeu), avant d’aborder le jeu
+                              proprement dit avec sa dimension stratégique.
+
+                              Comme avec le bridge ou les échecs, le fait de conserver le même matériel de jeu pour une
+                              série d’activités diverses permet au professeur d’orienter le travail des élèves en valorisant la
+                              mémorisation, l’effort durable et le réinvestissement des acquis, autant d’attitudes précieuses
+                              pour les apprentissages mathématiques.
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+                              D’autres jeux
+                              Pour aller plus loin
+                              En annexes de ce document sont proposés divers jeux présentant tous un intérêt didactique, et
+                              soigneusement présentés afin de permettre une prise en main rapide.
+
+                              Cette annexe récapitule tous les jeux proposés sous forme de tableau. Il va de soi que
+                              l’enseignant intéressé par la mise à profit de la dynamique des jeux saura aller plus loin que
+                              les quelques jeux proposés et découvrir l’inépuisable richesse de cette approche pédagogique.
+
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+                              Bibliographie et sitographie
+                              Sur le jeu en mathématiques
+                              • Fédération française des jeux mathématiques (FFJM)
+                              La FFJM est une association sans but lucratif dont les objectifs sont de développer les
+                              mathématiques par le jeu, orienter la pédagogie vers le problème, rehausser l’image des
+                              mathématiques et faire partager le plaisir de la recherche.
+                              Elle organise, en particulier, le Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques,
+                              participe à des activités d’édition et d’animation, produit des expositions itinérantes sur les jeux
+                              mathématiques et organise chaque année une Université Mathématique d’été pour les élèves du
+                              secondaire.
+                              • Le comité international des jeux mathématiques (CIJM)
+                              Association fondée en 1993, le CIJM se donne pour mission de changer l’image des mathématiques
+                              auprès du grand public et il fédère près de 40 associations (dont la FFJM) qui touchent plusieurs
+                              millions de personnes dans le monde.
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Il propose une large plate-forme internationale d’échanges. Il est reconnu par les pouvoirs publics
+                              et agréé Association nationale de jeunesse et d’éducation populaire et a reçu l’agrément national
+                              de l’Éducation Nationale. Il est soutenu par un comité d’honneur particulièrement prestigieux et de
+                              nombreuses institutions et universités scientifiques.
+                              • Animath
+                              L’association Animath a pour but de favoriser l’introduction, le fonctionnement, le développement,
+                              la mise en réseau, la valorisation et la reconnaissance institutionnelle d’activités mathématiques
+                              dans les écoles, collèges, lycées et établissements de niveau universitaire. Elle veille tout
+                              particulièrement au développement d’ateliers et de clubs dans les établissements, à l’essor des
+                              compétitions mathématiques et à la participation du plus grand nombre d’élèves et étudiants, filles
+                              et garçons, à ce type d’activité.
+                              • La commission « jeux et mathématiques » de l’AMPEP :
+                              Les travaux de cette commission ont été récompensés par le prix Anatole Decerf en 2014.
+                              • APMEP (2007) Comment faire du calcul un jeu d’enfant, Éditions Vuibert (édition « papier »
+                              de la brochure Jeux 2) :
+                              Voir la fiche PubliMath.
+                              • APMEP : Des activités mathématiques pour la classe : Jeux, cahiers 5, 6, 7…
+                                --Les brochures Jeux et mathématiques de l’APMEP ;
+                                --Activités de niveau collège ;
+                                --Des activités de niveau maternelle et premier degré.
+                              • Tentatives de définition d’un jeu mathématique (Commission Inter-IREM Pop’maths).
+                              • Le réseau des IREM est aussi une source importante de documents sur ce thème. On citera,
+                              par exemple, les travaux réalisés par :
+                                --IREM de Caen, groupe Jeux2Maths ;
+                                --IREM de Lyon (groupe jeux) Jeux.
+                              • Jeux mathématiques à Bruxelles (Joëlle Lamon).
+                              • Présentation d’un diplôme universitaire sur le thème « apprendre par le jeu ».
+                              • Thèse de Nicolas Pelay : Jeu et apprentissages mathématiques : élaboration du concept de
+                              contrat didactique et ludique en contexte d’animation scientifique.
+                              • Ayme, Y. (2006). Cahiers Pédagogiques: Le jeu en classe. CRAP.
+                              • Brougère, G. (2005). Jouer / Apprendre. Paris: Economica.
+                              • De Grandmont, N. (1999). Pédagogie du jeu. Les éditions Logiques.
+                              • Trouillot, E., Richard, J., Faradji, D., & Le Borgne, P. (2005). Mathématiques et jeux au col-
+                              lège. Hachette.
+                              • Vial, J. (1981). Jeu et éducation : les ludothèques. Presses Universitaires de France.
+                              Sur l’usage du jeu de bridge
+                              • Introduction à la pratique du bridge en classe sur Educscol.
+                              • Les mathématiques du bridge : activités mathématiques pour le collège et le lycée (Réseau
+                              Canopé).
+                              • Mathématiques et bridge, compte-rendu d’une action menée en collège à Nantes.
+                              • Une expérience de bridge au collège Montaigne de Poix du Nord.
+                              • Site de la fédération française de bridge.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   13
+  CYCLES    3 4 I MATHÉMATIQUES I Ressources transversales
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+                              Sur l’usage du jeu d’échecs
+                              • Actions éducatives – Introduction du jeu d’échec à l’école - B. O n°3 du 19 janvier 2012.
+                              • Introduction du jeu d’échecs à l’école sur eduscol.
+                              • Le jeu d’échecs à l’école comme une autre approche des apprentissages sur eduscol.
+                              • Apprendre avec le jeu d’échecs de l’école au collège (Réseau Canopé).
+                              • Jeu et tournois d’échecs en ligne de l’école au lycée (académie de Rennes).
+                              • Les échecs, sur le site du « matou matheux ».
+                              • Cours d’échecs en lien avec l’activité mathématique au lycée.
+                              • Mon cahier Jeu d’échecs.
+                              • Travail d’écriture (en travail interdisciplinaire).
+                              • Un projet d’innovation (en travail interdisciplinaire).
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   14
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/002.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,19 @@
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/002.txt

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+5
+e   Mathématiques
+
+
+
+    ATTENDUS
+    de fin d’année
+ Ce que sait faire l’élève             Type d’exercice       Exemple d’énoncé      Indication générale
+
+
+Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
+
+Nombres
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise, dans le cas des nombres décimaux, les écritures décimales et fractionnaires et passe
+         de l’une à l’autre, en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes.
+        Il relie fractions, proportions et pourcentages.
+        Il décompose une fraction sous la forme d’une somme (ou d’une différence) d’un entier et
+         d’une fraction.
+        Il utilise la notion d’opposé.
+
+Exemples de réussite
+                                       23 7
+        Il exprime le nombre 2,5         sous formes décimale et fractionnaire.
+                                       100 5
+                                                   20
+        Pour calculer 20 % de 70 €, il effectue        70 ou 0,2 × 70.
+                                                   100
+                               15      1   15     6
+        Il décompose :            2  ou     3 .
+                                7      7    7     7
+        Il détermine l’opposé d’un nombre relatif.
+        Il sait que soustraire revient à additionner l’opposé.
+
+Comparaison de nombres
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il reconnaît et produit des fractions égales.
+        Il compare, range, encadre des fractions dont les dénominateurs sont égaux ou multiples l’un
+         de l’autre.
+        Il repère sur une droite graduée les nombres décimaux relatifs.
+
+Exemples de réussite
+
+                                                                           14     28 7 140 15 56
+        Dans la liste suivante, entoure toutes les fractions égales à        :     ;   ;    ;   ;  .
+                                                                            6     6   3   60   7 24
+                        39
+        Il simplifie      .
+                        12
+                                             1 25     5
+        Il range dans l’ordre croissant :     ;   ;2; .
+                                             3   6    3
+                                                                                    15           20
+        Complète les encadrements suivants par deux entiers consécutifs : … <         < … et …<     <….
+                                                                                     7            3
+        Place sur la droite graduée les nombres suivants :
+         9                  5        5
+            ; 0,25 ; -0,75 ; ; 2,75 ; ; -1,25.
+         4                  4        2
+                            Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il traduit un enchaînement d’opérations à l’aide d’une expression avec des parenthèses.
+       Il effectue mentalement, à la main ou l’aide d’une calculatrice un enchaînement d’opérations
+        en respectant les priorités opératoires.
+       Il additionne et soustrait des nombres décimaux relatifs.
+       Il additionne ou soustrait des fractions dont les dénominateurs sont égaux ou multiples l’un
+        de l’autre.
+       Il contrôle la vraisemblance d’un résultat.
+       Il résout des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux relatifs et des fractions.
+
+Exemples de réussite
+       Pour appliquer le programme de calcul ci-contre au nombre 7, il
+        effectue le calcul (7 + 3) × 9 - 5.
+       Calcule mentalement : 5 + 3 × 4 ; 10 - (1 + 6) ; 12 - 8 + 2.
+        Calcule à la main : 5,5 + 6 × 2,4 ; 12 - (5,3 + 3,8) ; 16,2 - 9,4 + 3,8.
+        Effectue : (7 + 3) × 9 - 5.
+       Il vérifie ses résultats à l’aide de la calculatrice.
+       Calcule mentalement : -9 + 6 ; -5,6 - 3 ; 4 - 9 ; -12 - (-2).
+       Il calcule, sans passer par l’écriture décimale :
+         1 2 23 5          3 2      5 4 11 1 5 1
+             ;          ;  ;         ;        ;  .
+         5 5 10 10 7 7 12 3                    9 3 2 4
+       Il exclut des réponses aberrantes à un problème donné, par exemple 8,12 m pour la taille d’une
+                            2
+        personne ou 15 cm pour l’aire d’un champ.
+
+Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il calcule le quotient et le reste dans une division euclidienne.
+       Il détermine si un nombre entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre nombre entier.
+       Il détermine les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30.
+       Il utilise les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10).
+       Il décompose un nombre entier strictement positif en produit de facteurs premiers inférieurs à
+        30.
+       Il utilise la décomposition en facteurs premiers inférieurs à 30 pour produire des fractions
+        égales (simplification ou mise au même dénominateur).
+       Il modélise et résout des problèmes faisant intervenir les notions de multiple, de diviseur, de
+        quotient et de reste.
+
+Exemples de réussite
+       147 élèves sont répartis par équipe de 16 pour un concours. Combien d’équipes entières peut-
+        on constituer ? Combien manquerait-il d’élèves pour constituer la dernière équipe ?
+       Il identifie les multiples de 14 parmi les nombres suivants : 56 ; 141 ; 280.
+       Il dresse la liste des diviseurs de 28.
+       Il retrouve la liste des nombres premiers inférieurs à 30.
+       Détermine, parmi les nombres 2, 3, 5, 9 et 10, les diviseurs de 456 et 1980.
+                            Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+       Il décompose 84 en produit de facteurs premiers.
+                                                                                           153
+       Il utilise la décomposition en produit de facteurs premiers pour simplifier            .
+                                                                                           85
+   Problèmes faisant intervenir les notions de multiple, de diviseur, de quotient et de reste
+       Un garçon de café doit répartir 36 croissants et 24 pains au chocolat dans des corbeilles.
+        Chaque corbeille doit avoir le même contenu. Quelles sont les répartitions possibles ?
+       Un bibliothécaire doit répartir 420 livres sur des étagères. Chaque étagère doit contenir le
+        même nombre de livres.
+        Est-ce possible avec 18 étagères ? Avec 21 étagères ?
+
+Utiliser le calcul littéral
+Ce que sait faire l’élève
+                                                                              2                 3
+       Il utilise les notations 2a pour a × 2 ou 2 × a et ab pour a × b, a pour a × a et a pour a × a × a.
+       Il utilise la distributivité simple pour réduire une expression littérale de la forme ax + bx où a et
+        b sont des nombres décimaux.
+       Il produit une expression littérale pour élaborer une formule ou traduire un programme de
+        calcul.
+       Il utilise une lettre pour traduire des propriétés générales.
+       Il utilise une lettre pour démontrer une propriété générale.
+       Il substitue une valeur numérique à une lettre pour :
+        - calculer la valeur d’une expression littérale ;
+        - tester, à la main ou de façon instrumentée, si une égalité où figurent une ou deux
+           indéterminées est vraie quand on leur attribue des valeurs numériques ;
+        - contrôler son résultat.
+
+Exemples de réussite
+
+       Il simplifie l’écriture des expressions suivantes : 5 × a + 3 × b ; x × y ; 2 × l + 2 × L ; 2 ×  × r ;
+         × r × r ; c × c × c ; 3,2 × x × 3 × x ; 4x × 2x × 3x.
+       Il réduit des expressions du type : 5,2x + 3,4x ; 2,4x - 2,1x.
+       Élabore une formule permettant de calculer le nombre de carrés à partir du nombre d’étapes :
+
+
+
+
+       Exprime en fonction du nombre initial le programme de calcul suivant :
+        « Choisir un nombre ; lui ajouter 2 ; multiplier le résultat par 3 ; enlever 6 ».
+       Il exprime de façon littérale l’entier qui suit un entier n, ou l’entier qui le précède.
+       Il écrit la forme générale d’un multiple de 3, des nombres entiers naturels pairs et impairs.
+       Il démontre que la somme de deux entiers consécutifs est impaire.
+       Il démontre que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
+       Il calcule mentalement 7a et a + 17 pour a = 8.
+       Il calcule mentalement 3x + 5y pour x = 2 et y = 1.
+       Il fait un test numérique pour montrer que les expressions 4 + 3x et 7x ne sont pas égales.
+       Il utilise une calculatrice pour vérifier ses calculs et ses tests numériques.
+                              Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice           Exemple d’énoncé     Indication générale
+
+
+Interpréter, représenter et traiter des données
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il recueille et organise des données.
+        Il lit et interprète des données brutes ou présentées sous forme de tableaux, de diagrammes
+         et de graphiques.
+        Il représente, sur papier ou à l’aide d’un tableur-grapheur, des données sous la forme d’un
+         tableau, d’un diagramme ou d’un graphique.
+        Il calcule des effectifs et des fréquences.
+        Il calcule et interprète la moyenne d’une série de données.
+
+Exemples de réussite
+        On demande à des élèves leur pointure de pieds ; voici les résultats : 38 ; 36 ; 38 ; 35 ; 34 ; 37 ;
+         37 ; 40 ; 39 ; 41 ; 39 ; 41 ; 37 ; 36 ; 36 ; 42 ; 41 ; 37 ; 39 ; 38.
+         Complète le tableau suivant :
+                 Pointure       34     35     36     37     38      39     40     41      42
+                 Effectif
+
+       Il exploite :
+        - un tableau d’effectifs ;
+        - un diagramme en bâtons ;
+        - un diagramme circulaire ne faisant pas intervenir des mesures d’angles supérieures à
+           180° ;
+        - un diagramme semi-circulaire ;
+        - un graphique.
+
+         On demandera de réaliser un diagramme en bâtons, circulaire ou semi-circulaire à partir de
+         données brutes ou d’un tableau d’effectifs.
+        Il calcule un effectif total ou la fréquence d’une valeur à partir de données brutes, d’un tableau
+         d’effectifs ou d’un diagramme en bâtons.
+        Complète le tableau suivant qui résume le sport principalement pratiqué par des élèves
+         interrogés au sein d’un collège.
+               Sport                   Football    Tennis   Basket-ball Athlétisme     TOTAL
+               Effectif                  26          15        23                        80
+               Fréquence (en %)
+
+        Il sait exprimer des fréquences sous forme fractionnaire, en écriture décimale ou sous la
+         forme d’un pourcentage.
+        Il calcule une moyenne simple ou pondérée à partir de données brutes, d’un tableau d’effectifs
+         ou d’un diagramme en bâtons.
+                            Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il place un événement sur une échelle de probabilités.
+       Il calcule des probabilités dans des situations simples d’équiprobabilité.
+Exemples de réussite
+       Il place sur une échelle de probabilité des événements de la vie courante : par exemple obtenir
+        10 fois de suite le nombre 6 en lançant un dé, ne pas gagner la cagnotte du Loto, obtenir pile
+        en lançant une pièce.
+       Il calcule la probabilité de tomber sur le nombre 2 en lançant un dé à 6 faces ; de tomber sur
+        une boule verte en piochant au hasard une boule dans une urne contenant 3 boules vertes et
+        4 boules jaunes.
+       Il calcule la probabilité de gagner à un jeu (roue de loterie, jeux de dés simples).
+
+Résoudre des problèmes de proportionnalité
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il reconnaît une situation de proportionnalité ou de non proportionnalité́ entre deux grandeurs.
+       Il partage une quantité en deux ou trois parts selon un ratio donné.
+       Il résout des problèmes de proportionnalité dans diverses situations pouvant faire intervenir
+        des pourcentages ou des échelles. Pour cela, il met en œuvre des procédures variées
+        (additivité, homogénéité, passage à l’unité, coefficient de proportionnalité).
+Exemples de réussite
+   Exemples de situations de proportionnalité : côté et périmètre d’un carré, diamètre et longueur d’un
+   cercle, masse et prix d’une denrée.
+   Exemples de non-proportionnalité : côté et aire d’un carré, âge et taille d’une personne.
+       Il partage 10 € en deux parts selon le ratio 2:3.
+       Il retrouve la quantité d’huile et de vinaigre pour 500 mL de vinaigrette réalisée dans le
+        ratio 3:1.
+       Il partage une masse de 1,2 kg en trois parts selon le ratio 1:2:3 pour une recette de cuisine.
+       Il applique et calcule des pourcentages simples (10 % ; 25 % ; 50 %) ou des échelles simples
+        (1:2 ; 1:4 ; 1:10…), éventuellement dans le cadre de la résolution de problèmes.
+       Il calcule une remise pendant les soldes, un prix avant réduction, une distance (réelle, sur une
+        carte).
+
+Comprendre et utiliser la notion de fonction
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il traduit la relation de dépendance entre deux grandeurs par un tableau de valeur.
+       Il produit une formule représentant la dépendance de deux grandeurs.
+Exemples de réussite
+       À partir d’une formule donnée, il traduit dans un tableau de valeurs la dépendance entre la
+        distance de freinage et la vitesse, entre la température ressentie pour un vent de 60 km/h et la
+        température ambiante.
+       Il exprime l’aire d’un carré en fonction de la longueur de son côté, le volume d’un cylindre de
+        rayon 3 cm en fonction de sa hauteur.
+                              Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève              Type d’exercice          Exemple d’énoncé   Indication générale
+
+
+Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les
+unités adaptées
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il effectue des calculs de durées et d’horaires.
+        Il calcule le périmètre et l’aire des figures usuelles (rectangle, parallélogramme, triangle,
+         disque).
+        Il calcule le périmètre et l’aire d’un assemblage de figures.
+        Il calcule le volume d’un pavé droit, d’un prisme droit, d’un cylindre.
+        Il calcule le volume d’un assemblage de ces solides.
+        Il exprime les résultats dans l’unité adaptée.
+        Il vérifie la cohérence des résultats du point de vue des unités pour les calculs de durées, de
+         longueurs, d’aires ou de volumes.
+        Il effectue des conversions d’unités de longueurs, d’aires, de volumes et de durées.
+                                                                                                 3
+        Il utilise la correspondance entre les unités de volume et de contenance (1 L = 1 dm ,
+                          3
+         1 000 L = 1 m ) pour effectuer des conversions.
+
+Exemples de réussite
+    Connaissant deux données d’un trajet parmi l’heure de départ, l’heure d’arrivée et la durée, il
+        calcule la donnée manquante. Par exemple, il calcule une heure de départ connaissant la durée
+        du trajet et l’heure d’arrivée.
+        Calcule le périmètre et l’aire de la figure suivante :
+
+
+
+
+        Calcule le volume du solide suivant, composé d’un pavé droit surmonté d’un demi-cylindre
+         (sans considérer le socle) :
+
+
+
+
+        Il exprime les durées en heures, minutes, secondes, les longueurs en mètres, les aires en
+         mètres carrés et les volumes en mètres cubes.
+        Identifie l’erreur commise dans cette réponse :
+                                                               2
+         « Le volume d’un cube de 3 cm de côté est égal à 27 cm . »
+                                                                    3      3
+        Il convertit 350 000 m en km ; 0,05 m² en cm² ; 12 hm en dm ; 2,8 h en h et min.
+                                    3           3
+        Il convertit 33 cL en cm ; 1 500 cm en L.
+                            Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+Comprendre l’effet de quelques transformations sur les figures géométriques
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il comprend l’effet des symétries (axiale et centrale) : conservation du parallélisme, des
+        longueurs et des angles.
+       Il utilise l’échelle d’une carte.
+
+Exemples de réussite
+       Il détermine des longueurs et des mesures d’angles en utilisant les propriétés de conservation
+        des symétries (axiale et centrale).
+       Il prouve que deux droites sont parallèles en utilisant la conservation du parallélisme par les
+        symétries (axiale et centrale).
+       Il calcule une longueur en utilisant l’échelle d’une carte.
+       Il détermine l’échelle d’une carte à partir de longueurs données.
+                              Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé       Indication générale
+
+Représenter l’espace
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il se repère sur une droite graduée et dans le plan muni d’un repère orthogonal.
+        Il reconnaît des solides (pavé droit, cube, cylindre, prisme droit, pyramide, cône, boule) à partir
+         d’un objet réel, d’une image, d’une représentation en perspective cavalière.
+        Il construit et met en relation une représentation en perspective cavalière et un patron d’un
+         pavé droit, d’un cylindre.
+
+Exemples de réussite
+        Il place des points ayant pour coordonnées des nombres relatifs dans un repère orthogonal.
+        Donne les coordonnées des points A, B et C placés dans le repère orthogonal suivant. Quelles
+         seraient les coordonnées du point D si on souhaite que ABCD soit un parallélogramme ?
+
+
+
+
+        Nomme les solides représentés par les figures suivantes :
+
+
+
+
+        Il identifie les solides dans des objets du quotidien :
+
+
+
+
+        Il construit la représentation en perspective cavalière d’un cylindre.
+        Il construit le patron d’un pavé droit.
+                            Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer
+Ce que sait faire l’élève
+
+       À partir des connaissances suivantes :
+          - le codage des figures ;
+          - les caractérisations angulaires du parallélisme (angles alternes internes, angles
+            correspondants) ;
+          - la somme des angles d’un triangle ;
+          - l’inégalité triangulaire ;
+          - une définition et une propriété caractéristique du parallélogramme ;
+          - la définition de la médiatrice ;
+          - la définition des hauteurs d’un triangle,
+        il met en œuvre et écrit un protocole de construction de triangles, de parallélogrammes et d’un
+        assemblage de figures.
+       Il transforme une figure par symétrie centrale.
+       Il comprend l’effet des symétries (axiale et centrale) sur des figures : conservation du
+        parallélisme, des longueurs et des angles.
+       Il identifie des symétries dans des frises, des pavages, des rosaces.
+       Il mobilise les connaissances des figures, des configurations et des symétries pour
+        déterminer des grandeurs géométriques.
+       Il mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations et des
+        symétries.
+
+Exemples de réussite
+       Il trace des triangles et des parallélogrammes donnés sous forme de figure à main levée ou
+        d’un texte.
+                                                               ̂ = 130°.
+        Trace un triangle ABC isocèle en B tel que AB = 5 cm et ABC
+                                                                     ̂ mesure 50°.
+        Trace un parallélogramme GRIS tel que GS = 2 cm, SI = 5 cm et GSI
+       Il trace en vraie grandeur la figure ci-dessous et explique son protocole de construction.
+
+
+
+
+       Il construit les images par une symétrie centrale de segments, de droites, de cercles, de
+        triangles ou d’assemblages de ces figures.
+       Il construit en justifiant la démarche et en utilisant plusieurs méthodes le symétrique d’une
+        droite, d’un segment, d’un cercle, d’un triangle par rapport à un point ou à une droite.
+                    Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+   Identifie des symétries dans le pavage dont on a représenté une portion ci-dessous :
+
+
+
+
+   Il identifie des symétries dans la frise dont on a représenté une portion ci-dessous :
+
+
+
+
+   Il détermine l’aire de la portion de frise suivante connaissant l’aire du motif élémentaire
+    « goutte ».
+
+
+
+   Dans la configuration suivante, démontre que ABCD est un parallélogramme.
+                              Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé        Indication générale
+                                              e
+         Le niveau 1 est attendu en fin de 5 ; il est possible que certains élèves aillent au-delà.
+
+Écrire, mettre au point, exécuter un programme
+Ce que sait faire l’élève
+   Niveau 1
+        Il réalise des activités d’algorithmique débranchée.
+        Il met en ordre et/ou complète des blocs fournis par le professeur pour construire un
+         programme simple sur un logiciel de programmation.
+        Il écrit un script de déplacement ou de construction géométrique utilisant des instructions
+         conditionnelles et/ou la boucle « Répéter … fois ».
+   Niveau 2
+        Il gère le déclenchement d'un script en réponse à un événement.
+        Il écrit une séquence d’instructions (condition « si … alors » et boucle « répéter … fois »).
+        Il intègre une variable dans un programme de déplacement, de construction géométrique ou
+         de calcul.
+   Niveau 3
+        Il décompose un problème en sous-problèmes et traduit un sous-problème en créant un
+         « bloc-personnalisé ».
+        Il construit une figure en créant un motif et en le reproduisant à l’aide d’une boucle.
+        Il utilise simultanément les boucles « Répéter … fois », et « Répéter jusqu’à … » ainsi que les
+         instructions conditionnelles pour réaliser des figures, des programmes de calculs, des
+         déplacements, des simulations d’expérience aléatoire.
+        Il écrit plusieurs scripts fonctionnant en parallèle pour gérer des interactions et créer des jeux.
+
+Exemples de réussite
+   Niveau 1
+        Il comprend ce que font des assemblages simples de blocs de programmation, par exemple
+         au travers de questions flash.
+        Il retrouve parmi des programmes donnés celui qui permet d'obtenir une figure donnée, et
+         inversement.
+        Sans utiliser de langage informatique formalisé, il écrit un algorithme pour décrire un
+         déplacement ou un calcul.
+        Il décrit ce que fait un assemblage simple de blocs de programmation.
+        Il ordonne des blocs en fonction d'une consigne donnée.
+
+
+        Assemble correctement les blocs ci-contre
+         pour permettre au lutin de tracer un carré
+         de longueur 100 pixels :
+                     Attendus de fin d’année de 5e
+
+
+   Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré ou d’un
+    rectangle en utilisant la boucle :
+
+
+
+
+Niveau 2
+   Il gère l’interaction entre deux lutins, par exemple en faisant dire une phrase à l’un lorsque
+    l’autre le touche.
+   Il produit des scripts du type :
+
+
+
+
+   Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré, d’un
+    rectangle ou d’un parallélogramme dans lequel l’utilisateur saisi la mesure de la longueur d’au
+    moins un côté.
+Niveau 3
+   Il reproduit une frise donnée reproduisant un motif grâce à un bloc personnalisé.
+   Il produit un programme réalisant une figure du type :
+
+
+
+
+   Il utilise un logiciel de programmation pour réaliser la simulation d’une expérience aléatoire,
+    par exemple : « Programmer un lutin pour qu’il énonce 100 nombres aléatoires « 0 » ou « 1 » et
+    qu’il compte le nombre de « 0 » et de « 1 » obtenus. »
+   Il programme un jeu avec un logiciel de programmation par blocs utilisant au moins 2 lutins
+    avec des scripts en parallèle. Il mobilise des capacités acquises précédemment dans les
+    niveaux 1, 2 et 3.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/003.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,19 @@
+Author:          Administration centrale
+Creator:         Microsoft® Word 2010
+Producer:        Microsoft® Word 2010
+CreationDate:    Wed Apr 24 20:35:23 2019 Paris, Madrid (heure d<><64>t<EFBFBD>)
+ModDate:         Wed Apr 24 20:36:14 2019 Paris, Madrid (heure d<><64>t<EFBFBD>)
+Custom Metadata: no
+Metadata Stream: yes
+Tagged:          no
+UserProperties:  no
+Suspects:        no
+Form:            AcroForm
+JavaScript:      no
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+Encrypted:       no
+Page size:       595.276 x 841.89 pts (A4)
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+Optimized:       yes
+PDF version:     1.6

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/003.txt

@@ -0,0 +1,473 @@
+4
+e   Mathématiques
+
+
+
+    ATTENDUS
+    de fin d’année
+ Ce que sait faire l’élève           Type d’exercice         Exemple d’énoncé         Indication générale
+
+
+Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
+
+Nombres
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise les puissances de 10 d’exposants positifs ou négatifs.
+        Il associe, dans le cas des nombres décimaux, écriture décimale, écriture fractionnaire et
+         notation scientifique.
+        Il utilise les préfixes de nano à giga.
+        Il utilise les carrés parfaits de 1 à 144.
+        Il connaît la définition de la racine carrée d’un nombre positif.
+        Il utilise les puissances d’exposants strictement positifs d’un nombre pour simplifier l’écriture
+         des produits.
+
+Exemples de réussite
+
+                                                      4                          1
+        Il établit des correspondances du type : 10 = 10 000 et 103               0,001.
+                                                                              1 000
+                                                                               9
+        Il établit des correspondances du type : 3 900 000 000 = 3,9 × 10 et
+             783
+                       0,000783  7,83  104 .
+          1 000000
+                                                                         -6
+        Il établit des correspondances du type : 3 microlitres = 3 × 10 litre ou
+                                 6
+         7 mégamètres = 7 × 10 mètres.
+                                             2
+        Il connaît les égalités du type : 11 = 121 et 81  9 .
+        Complète l’égalité suivante : 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 7 .
+
+Comparaison de nombres
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise des puissances de 10 pour comparer des nombres.
+        Il compare, range et encadre des nombres rationnels (positifs ou négatifs).
+        Il encadre la racine carrée d’un nombre positif entre deux entiers.
+        Il associe à des objets des ordres de grandeur en lien avec d’autres disciplines.
+
+Exemples de réussite
+        Il compare des très grands ou très petits nombres positifs en utilisant l’écriture scientifique.
+                                  5        7      5      4            22
+        Complète par >, < ou = :     ..…      ;     …..   ; -3 ..…      .
+                                  18      12      12     3             7
+        Encadre     7 entre deux entiers consécutifs sans en chercher une valeur approchée.
+        Il résout des problèmes faisant intervenir la taille d’un atome, d’une bactérie, d’une alvéole
+         pulmonaire, la distance Terre-Lune, la longueur d’une piscine olympique…
+                            Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il effectue avec des nombres décimaux relatifs, des produits et des quotients.
+       Il calcule avec les nombres rationnels : addition, soustraction, multiplication, division.
+       Il utilise l’inverse pour calculer.
+       Il résout des problèmes avec des nombres rationnels.
+       Il utilise la calculatrice pour déterminer une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre
+        positif.
+       Il utilise la racine carrée d’un nombre positif en lien avec des situations géométriques
+        (théorème de Pythagore ; agrandissement, réduction et aires).
+       Il utilise les ordres de grandeur pour vérifier ses résultats.
+
+Exemples de réussite
+       Il calcule mentalement :
+         -7 × 3 ; -2,5 × (-4) ; 2,4 × (-0,5) ; -12,8 : 2 ; -63 : (-0,7) ; 7,2 : (-5) .
+                                                                          11,4  (  3,5)
+       Il détermine le signe de (-6,7) × 7 × (-1,24) × (-0,7) et                         , il vérifie le signe et effectue
+                                                                           (5,6 x 123)
+        le calcul en utilisant une calculatrice.
+                                      5 7       8   3 14 5 1
+       Calcule mentalement :             ;  7 ;    ; : .
+                                      2 3        5   7 5 9 2
+                                5    1 7   1 1    7 1
+       Calcule à la main :       6 ; (    ) ;    :4.
+                                3    5 6   2 3     4 9
+       Il vérifie ses résultats à l’aide de la calculatrice.
+       À l’aide de sa calculatrice, il détermine que 2,65 est une valeur approchée au centième près
+        de 7 .
+       Il détermine la valeur exacte et une valeur approchée du périmètre d’un carré d’aire 15 cm².
+       Il estime mentalement que l’aire d’un disque de rayon 2 cm est proche de 12 cm².
+
+Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il détermine la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
+       Il décompose un nombre entier en produit de facteurs premiers.
+       Il utilise les nombres premiers inférieurs à 100 pour :
+        - reconnaître et produire des fractions égales ;
+        - simplifier des fractions.
+       Il modélise et résout des problèmes simples mettant en jeu les notions de divisibilité et de
+        nombre premier.
+
+Exemples de réussite
+       Énumère tous les nombres premiers compris entre 50 et 70.
+       Il décompose 780 en produit de facteurs premiers.
+        Il reconnaît les fractions égales parmi les suivantes sans utiliser de calculatrice :
+         14 22 34 62
+              ;   ;    ;     .
+         49 55 85 155
+                            Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+                       140
+       Il simplifie       .
+                       135
+       Un fleuriste doit réaliser des bouquets tous identiques. Il dispose pour cela de 434 roses et
+        620 tulipes.
+        Quelles sont toutes les compositions de bouquets possibles ?
+
+Utiliser le calcul littéral
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il identifie la structure d’une expression littérale (somme, produit).
+       Il utilise la propriété de distributivité simple pour développer un produit, factoriser une somme
+        ou réduire une expression littérale.
+       Il démontre l’équivalence de deux programmes de calcul.
+       Il introduit une lettre pour désigner une valeur inconnue et met un problème en équation.
+       Il teste si un nombre est solution d’une équation.
+       Il résout algébriquement une équation du premier degré.
+
+Exemples de réussite
+       Il identifie 3x + 12 comme une somme et 3(x + 4) comme un produit.
+       Il développe et réduit les expressions suivantes : 3(4x - 2) ; 3x(4 + 8x) ; 17x + 4x(5 - x) ;
+        6(3 - 1,5x) – 9x.
+                                                                 2            2
+       Il factorise les expressions suivantes : 12x – 30 ; 15x + 18x ; 27x + 3.
+       Compare les programmes de calcul suivants :
+        - choisir un nombre, le tripler puis ajouter 15 au résultat ;
+        - choisir un nombre, lui ajouter 5 puis multiplier le résultat par 3.
+       Il met en équation le problème suivant :
+        On juxtapose un triangle équilatéral et un carré comme shématisé ci-
+        contre.
+        Est-il possible que le triangle et le carré aient le même périmètre ?
+       4 est-il solution des équations suivantes ?
+                                         2                x 1 1
+        3x + 2 = 8 ; 5x – 6 = 3x + 2 ; x – 9 = 3x – 5 ;        .
+                                                           12  4
+       Il résout les équations du type :
+        4x + 2 = 0 ; 5x – 7 = 3 ; 2x + 5 = -x - 4 .
+                              Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé        Indication générale
+
+
+Interpréter, représenter et traiter des données
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il lit, interprète et représente des données sous forme de diagrammes circulaires.
+        Il calcule et interprète la médiane d’une série de données de petit effectif total.
+
+Exemples de réussite
+        Il lit et interprète des données sous la forme :
+
+
+
+
+        Construis un diagramme circulaire à partir du tableau suivant :
+                              Âge des adhérents du club d’échecs du collège
+                        Âges            11          13         14           15
+                        Effectifs        5          20          9            2
+         L’exercice pourra être fait sur papier ou à l’aide d’un tableur-grapheur.
+        Il détermine et interprète la médiane de séries dont l’effectif total (pair ou impair) est inférieur
+         ou égal à 30, présentées sous forme de données brutes, d’un tableau ou d’un diagramme en
+         bâtons.
+
+Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise le vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issues, événement, probabilité,
+         événement certain, événement impossible, événement contraire.
+        Il reconnaît des événements contraires et s’en sert pour calculer des probabilités.
+        Il calcule des probabilités.
+        Il sait que la probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
+        Il exprime des probabilités sous diverses formes.
+Exemples de réussite
+        On considère une urne contenant des boules blanches ou grises, et numérotées :
+
+        - Si on s’intéresse à la couleur de la boule, quelles sont les
+          issues possibles ?
+        - Si on s’intéresse au numéro écrit sur la boule, quelles sont
+          les issues possibles ?
+        - Donne un événement certain de se réaliser.
+        - Donne un événement impossible.
+                            Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+       Sachant que la probabilité de gagner à un jeu est égale 0,4 calcule la probabilité de perdre.
+       Il calcule des probabilités dans des cas d’équiprobabilité comme les osselets (à partir
+        d’informations admises sur les probabilités de chaque face), des cibles (par calcul d’aires)…
+       Une urne contient 1 boule rouge et 4 boules oranges. Combien y a-t-il de chances de tirer une
+        boule orange ? À quelle probabilité cela correspond-il ?
+                                                                                              4
+        Les 4 chances sur 5 de tirer une boule orange correspondent à une probabilité égale à   ou 0,8.
+                                                                                              5
+        Il peut également verbaliser qu’il y a 80 % de chances de tirer une boule orange.
+
+Résoudre des problèmes de proportionnalité
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il reconnaît sur un graphique une situation de proportionnalité ou de non proportionnalité.
+       Il calcule une quatrième proportionnelle par la procédure de son choix.
+       Il utilise une formule liant deux grandeurs dans une situation de proportionnalité.
+       Il résout des problèmes en utilisant la proportionnalité dans le cadre de la géométrie.
+Exemples de réussite
+       À partir d’un graphique, il traduit l’alignement des points avec l’origine par une situation de
+        proportionnalité.
+       Lors d’activités rituelles tout au long de l’année, il calcule une quatrième proportionnelle par
+        différentes procédures (un pourcentage, une échelle…).
+       Sachant que huit briques de masse identique pèsent 13,6 kg, calcule la masse de six de ces
+        briques.
+        Il pourra le faire en utilisant la procédure de son choix :
+        - en calculant la masse d’une brique, puis en la multipliant par 6 ;
+        - à l’aide d’un tableau en calculant le coefficient de proportionnalité ;
+        - en calculant la somme de la masse de deux briques et de la masse de quatre briques, ou
+           la différence de la masse de huit briques et de la masse de deux briques ;
+        - en calculant directement : 6 × 13,6 : 8 ;
+        - toute autre procédure juste.
+       Il utilise des formules telles que la loi d’Ohm, la longueur d’un cercle en fonction du diamètre,
+        la longueur parcourue à vitesse constante en fonction du temps ou la longueur d’un arc de
+        cercle en fonction de la mesure de l’angle au centre pour calculer des grandeurs.
+       Dans le cadre d’un agrandissement-réduction ou dans une configuration de Thalès, il sait
+        calculer une longueur manquante en utilisant la proportionnalité.
+
+Comprendre et utiliser la notion de fonction
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il produit une formule littérale représentant la dépendance de deux grandeurs.
+       Il représente la dépendance de deux grandeurs par un graphique.
+       Il utilise un graphique représentant la dépendance de deux grandeurs pour lire et interpréter
+        différentes valeurs sur l’axe des abscisses ou l’axe des ordonnées.
+Exemples de réussite
+       On enlève quatre carrés superposables aux quatre coins d'un rectangle
+        de 20 cm de longueur et 13 cm de largeur.
+        On s'intéresse à l'aire de la figure restante (en blanc).
+        En prenant comme variable le côté d’un carré, exprime l’aire de la figure
+        restante.
+                    Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+   Il sait construire la représentation graphique de l'aire blanche en fonction de la longueur du
+    côté des carrés.
+   Le graphique ci-dessous représente la température d’un four en fonction du temps.
+
+
+
+
+    Détermine :
+    - la température du four au bout de 7 min ;
+    - le temps au bout duquel il atteint 110 °C.
+                              Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé      Indication générale
+
+
+Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les
+unités adaptées
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il calcule le volume d’une pyramide, d’un cône.
+        Il effectue des conversions d’unités sur des grandeurs composées.
+
+Exemples de réussite
+        Il connaît les formules du volume d’une pyramide et d’un cône et sait les utiliser.
+                                  3
+        Il sait convertir des m /s en L/min et inversement (pour des débits) ; il sait convertir des km/h
+         en m/s et inversement (pour des vitesses).
+
+Comprendre l’effet de quelques transformations sur les figures géométriques
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise un rapport d’agrandissement ou de réduction pour calculer, des longueurs, des aires,
+         des volumes.
+        Il construit un agrandissement ou une réduction d’une figure donnée.
+        Il comprend l’effet d’une translation : conservation du parallélisme, des longueurs, des aires et
+         des angles.
+
+Exemples de réussite
+        Il calcule la longueur d’une arête, l’aire d’une face et le volume de l’agrandissement ou de la
+         réduction d’un solide du programme avec une échelle donnée.
+       Un pavé droit a les dimensions suivantes : L = 12 cm, l = 6 cm, h = 4 cm.
+        - Donne les aires de chacune de ses faces, puis le volume du solide considéré.
+        - On décide de réduire au tiers toutes les dimensions du pavé droit. Calcule alors les aires
+          de chacun des surfaces, puis le volume du nouveau pavé droit.
+        Il détermine des longueurs, des aires et des mesures d’angles en utilisant les propriétés de
+         conservation de la translation.
+        Il démontre que deux droites sont parallèles en utilisant la conservation du parallélisme dans
+         une translation.
+                              Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé     Indication générale
+
+
+Représenter l’espace
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise le vocabulaire du repérage : abscisse, ordonnée, altitude.
+        Il se repère dans un pavé droit.
+        Il construit et met en relation une représentation en perspective cavalière et un patron d’une
+         pyramide, d’un cône de révolution.
+
+Exemples de réussite
+        Dans un repère de l’espace, il lit les coordonnées d’un point et place un point de coordonnées
+         données.
+        Dans la figure ci-dessous, quelles sont les coordonnées des points A, H et L ?
+         Place le point de coordonnées (2 ; 3 ; 4).
+
+
+
+
+        Il représente un cône en perspective cavalière.
+        Il réalise le patron d’une pyramide.
+
+Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer
+Ce que sait faire l’élève
+
+        À partir des connaissances suivantes :
+           - les cas d’égalité des triangles ;
+           - le théorème de Thalès et sa réciproque dans la configuration des triangles emboîtés ;
+           - le théorème de Pythagore et sa réciproque ;
+           - le cosinus d’un angle d’un triangle rectangle ;
+           - effet d’une translation : conservation du parallélisme, des longueurs, des aires et des
+             angles,
+         il met en œuvre et écrit un protocole de construction de figures.
+        Il transforme une figure par translation.
+        Il identifie des translations dans des frises et des pavages.
+                         Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+       Il mobilise les connaissances des figures, des configurations et de la translation pour
+        déterminer des grandeurs géométriques.
+       Il mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations et de la
+        translation.
+
+Exemples de réussite
+   Il construit à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique la figure suivante en utilisant des
+       translations.
+
+
+
+
+       Il identifie des translations dans le pavage suivant :
+
+
+
+
+       Il sait calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la connaissance des
+        longueurs des deux autres côtés.
+       Dans un triangle rectangle, il utilise le cosinus pour déterminer la mesure d’un angle.
+       Un constructeur d’échelle recommande un angle entre le sol et l’échelle compris entre 65° et
+        75° pour assurer la sécurité physique de la personne l’utilisant. On pose contre un mur vertical
+        (et perpendiculaire au sol) une échelle de 13 m de long et dont les pieds sont situés à 5 m de
+        la base du mur. Quelle hauteur peut-on atteindre ? L’échelle, ainsi posée, respecte-t-elle la
+        recommandation du constructeur ?
+        L’échelle permettra d’atteindre une hauteur de 12 m d’après le théorème de Pythagore et un
+        calcul, à l’aide du cosinus, permet d’obtenir un angle d’environ 67°.
+       Il démontre qu’un triangle est un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs
+        de ses côtés.
+       Alan a posé une étagère sur un mur vertical. On sait que RS = 42 cm, TR = 40 cm
+        et ST = 58 cm. L’étagère est-elle horizontale ? (Justifie ta réponse.)
+
+
+
+       Il démontre le parallélisme de deux droites en s’appuyant sur des rapports de longueurs.
+
+
+
+       Il détermine la nature du quadrilatère ABCD sur la
+        figure c, construite à l’aide de translations à partir
+        du motif de droite :
+                              Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé        Indication générale
+                                                  e
+    Les niveaux 1 et 2 sont attendus en fin de 4 ; il est possible que certains élèves aillent au-delà.
+
+Écrire, mettre au point, exécuter un programme
+Ce que sait faire l’élève
+   Niveau 1
+        Il réalise des activités d’algorithmique débranchée.
+        Il met en ordre et/ou complète des blocs fournis par le professeur pour construire un
+         programme simple sur un logiciel de programmation.
+        Il écrit un script de déplacement ou de construction géométrique utilisant des instructions
+         conditionnelles et/ou la boucle « Répéter … fois ».
+   Niveau 2
+        Il gère le déclenchement d'un script en réponse à un événement.
+        Il écrit une séquence d’instructions (condition « si … alors » et boucle « répéter … fois »).
+        Il intègre une variable dans un programme de déplacement, de construction géométrique ou
+         de calcul.
+   Niveau 3
+        Il décompose un problème en sous-problèmes et traduit un sous-problème en créant un
+         « bloc-personnalisé ».
+        Il construit une figure en créant un motif et en le reproduisant à l’aide d’une boucle.
+        Il utilise simultanément les boucles « Répéter … fois », et « Répéter jusqu’à … » ainsi que les
+         instructions conditionnelles pour réaliser des figures, des programmes de calculs, des
+         déplacements, des simulations d’expérience aléatoire.
+        Il écrit plusieurs scripts fonctionnant en parallèle pour gérer des interactions et créer des jeux.
+
+Exemples de réussite
+   Niveau 1
+        Il comprend ce que font des assemblages simples de blocs de programmation, par exemple
+         au travers de questions flash.
+        Il retrouve parmi des programmes donnés celui qui permet d'obtenir une figure donnée, et
+         inversement.
+        Sans utiliser de langage informatique formalisé, il écrit un algorithme pour décrire un
+         déplacement ou un calcul.
+        Il décrit ce que fait un assemblage simple de blocs de programmation.
+        Il ordonne des blocs en fonction d'une consigne donnée.
+
+
+        Assemble correctement les blocs ci-contre
+         pour permettre au lutin de tracer un carré
+         de longueur 100 pixels :
+                     Attendus de fin d’année de 4e
+
+
+   Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré ou d’un
+    rectangle en utilisant la boucle :
+
+
+
+
+Niveau 2
+   Il gère l’interaction entre deux lutins, par exemple en faisant dire une phrase à l’un lorsque
+    l’autre le touche.
+   Il produit des scripts du type :
+
+
+
+
+   Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré, d’un
+    rectangle ou d’un parallélogramme dans lequel l’utilisateur saisi la mesure de la longueur d’au
+    moins un côté.
+Niveau 3
+   Il reproduit une frise donnée reproduisant un motif grâce à un bloc personnalisé.
+   Il produit un programme réalisant une figure du type :
+
+
+
+
+   Il utilise un logiciel de programmation pour réaliser la simulation d’une expérience aléatoire,
+    par exemple : « Programmer un lutin pour qu’il énonce 100 nombres aléatoires « 0 » ou « 1 » et
+    qu’il compte le nombre de « 0 » et de « 1 » obtenus. »
+   Il programme un jeu avec un logiciel de programmation par blocs utilisant au moins 2 lutins
+    avec des scripts en parallèle. Il mobilise des capacités acquises précédemment dans les
+    niveaux 1, 2 et 3.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/004.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,19 @@
+Author:          Administration centrale
+Creator:         Microsoft® Word 2010
+Producer:        Microsoft® Word 2010
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/004.txt

@@ -0,0 +1,432 @@
+3
+e   Mathématiques
+
+
+
+    ATTENDUS
+    de fin d’année
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice            Exemple d’énoncé          Indication générale
+
+
+Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
+
+Nombres
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il utilise les puissances d’exposants positifs ou négatifs pour simplifier l’écriture des produits.
+
+Exemples de réussite
+                                                                                              1          1
+        Il simplifie rapidement l’écriture de 8 × 8 × 8 × 8 × 8 ; 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,3 ;      ;                  .
+                                                                                             100 6  6  6  6  6
+
+Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté
+
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il calcule avec les nombres rationnels, notamment dans le cadre de résolution de problèmes.
+        Il résout des problèmes mettant en jeu des racines carrées.
+        Il résout des problèmes avec des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique.
+
+Exemples de réussite
+        On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 m. À chaque rebond, elle rebondit aux trois-
+         quarts de la hauteur d’où elle est tombée.
+         Quelle est la hauteur de la balle au troisième rebond ?
+        Il détermine la valeur exacte puis approchée au millimètre près de la longueur du côté d’un
+         carré d’aire 17 cm².
+        Une bactérie « se divise » en deux bactéries, chacune des deux bactéries obtenues « se
+         partage » en deux nouvelles bactéries… Lorsque les conditions sont favorables, le nombre de
+         bactéries peut être multiplié par deux toutes les trente minutes.
+         Un chercheur place une bactérie en conditions favorables.
+         Combien obtient-il de milliards de bactéries au bout de 18 h ?
+                              15
+        Il y a environ 2 × 10 atomes de cuivre dans 211 ng de cuivre.
+         Quelle est environ la masse d’un atome de cuivre ?
+         On pourra rappeler que ng est le symbole du nanogramme.
+
+Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il décompose un nombre entier en produit de facteurs premiers (à la main, à l’aide d’un tableur
+         ou d’un logiciel de programmation).
+        Il simplifie une fraction pour la rendre irréductible.
+        Il modélise et résout des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de
+         phénomènes…).
+                            Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+Exemples de réussite
+       Il décompose en produit de facteurs premiers (à la main, à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel
+        de programmation) les entiers naturels suivants : 306 ; 124 ; 2 220.
+                                                             66 12
+       Il rend irréductibles les fractions suivantes :        ;   (en question flash).
+                                                             30 51
+                                                             140 7 140
+       Il rend irréductibles les fractions suivantes :         ;      .
+                                                             340 2 310
+
+       Deux ampoules clignotent. L’une s’allume toutes les 153 secondes et l’autre toutes les
+        187 secondes. À minuit, elles s’allument ensemble.
+        Détermine l’heure à laquelle elles s’allumeront de nouveau ensemble.
+
+Utiliser le calcul littéral
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il détermine l’opposé d’une expression littérale.
+       Il développe (par simple et double distributivités), factorise, réduit des expressions
+        algébriques simples.
+                                                 2       2
+       Il factorise une expression du type a - b et développe des expression du type (a + b)(a - b).
+       Il résout algébriquement différents types d’équations :
+        - équation du premier degré ;
+        - équation s’y ramenant (équations produits) ;
+                                  2
+        - équations de la forme x = a sur des exemples simples.
+       Il résout des problèmes s’y ramenant, qui peuvent être internes aux mathématiques ou en lien
+        avec d’autres disciplines.
+
+Exemples de réussite
+       Il sait que -(3x - 7) = -3x + 7
+       Il développe et réduit les expressions suivantes (notamment lors d’activités rituelles) :
+        (2x - 3)(5x + 7) ; -4x(6 - 3x) ; 3(2x + 1) - (6 - x).
+                      2         2
+       Il factorise x - 64 ; 4x - 49 et développe (x + 6)(x - 6) ; (2x - 5)(2x + 5) en question flash.
+                                      2              2        2
+       Il factorise : 5a + 15b ; 12x - 15x ; 16x - 144 ; x - 13.
+       Il résout rapidement : -3x = 12 ; x + 9 = 5 ; 7x = 5.
+       Il résout les équations suivantes : 4x - 8 = 7x + 4 ; 5(7 - 2,2x) = 9 - 6x ; (2,5x - 7)(8x - 9,6) = 0 ;
+          2
+        x = 20.
+       La facture d’eau d’un jardinier s’élève à 545 € par an. Il prévoit d'économiser 55 € par an en
+        installant un récupérateur d'eau de pluie. Le récupérateur a coûté 199 € à l’achat et va
+        nécessiter chaque année 13 € pour l'entretien (nettoyage, tuyau…).
+        Au bout de combien d'années l’installation sera-t-elle rentable ?
+                              Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice         Exemple d’énoncé   Indication générale
+
+
+Interpréter, représenter et traiter des données
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il lit, interprète et représente des données sous forme d’histogrammes pour des classes de
+         même amplitude.
+        Il calcule et interprète l’étendue d’une série présentée sous forme de données brutes, d’un
+         tableau, d’un diagramme en bâtons, d’un diagramme circulaire ou d’un histogramme.
+        Il calcule des effectifs et des fréquences.
+
+Exemples de réussite
+        Une enquête a été réalisée auprès de 2 500 personnes à partir de la question suivante : « À
+         quel âge avez-vous trouvé un emploi correspondant à votre qualification ? ».
+         Les résultats de l'enquête ont été reportés dans le tableau suivant :
+                                          Âge              Effectif
+                                       [ 18 ; 22 [            100
+                                       [ 22 ; 26 [            200
+                                       [ 26 ; 30 [            400
+                                       [ 30 ; 34 [          1 100
+                                       [ 34 ; 38 [            700
+         Représente les résultats de cette enquête par un histogramme.
+        À partir du diagramme suivant :
+
+
+
+
+        - Calcule le nombre de personnes chaussant au moins du 40.
+        - Calcule la fréquence des personnes chaussant au plus du 42.
+        - Calcule le nombre de personnes chaussant entre 38 et 41.
+
+Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités
+Ce que sait faire l’élève
+
+        À partir de dénombrements, il calcule des probabilités pour des expériences aléatoires
+         simples à une ou deux épreuves.
+        Il fait le lien entre stabilisation des fréquences et probabilités.
+Exemples de réussite
+       On suppose que, pour un couple, la probabilité d'avoir une fille ou un garçon est la même. Un
+        couple souhaite avoir deux enfants.
+        - Calcule, en explicitant les issues possibles, la probabilité d’avoir deux garçons.
+        - Calcule la probabilité que le couple ait au moins une fille.
+        Il peut utiliser le fait que c’est l’événement contraire d’avoir deux garçons.
+                            Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+       On tire, deux fois de suite et avec remise, une boule dans une urne contenant une boule bleue
+        et deux boules violettes.
+        Détermine la probabilité de tirer successivement deux boules violettes, en utilisant une
+        méthode de dénombrement prenant appui sur un tableau à double entrée.
+       On donne les fréquences d’apparition de chaque face d’un dé pour 10 000 lancers.
+        L’élève interprète les résultats en les comparant aux probabilités théoriques.
+       L’élève interprète des simulations effectuées sur tableur ou logiciel de programmation en
+        fonction d’un nombre de lancers.
+
+Résoudre des problèmes de proportionnalité
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il modélise une situation de proportionnalité à l’aide d’une fonction linéaire.
+       Il utilise le lien entre pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur.
+       Il résout des problèmes en utilisant la proportionnalité dans le cadre de la géométrie.
+Exemples de réussite
+       Un mobile se déplace à 5 m/s.
+        L’élève modélise la situation par d(x) = 5x où x est le temps exprimé en secondes et d(x) la
+        distance parcourue, en mètres, en x secondes.
+       Il sait qu’une augmentation de 5 % se traduit par une multiplication par 1,05.
+       Il sait qu’une diminution de 20 % se traduit par une multiplication par 0,8.
+       Il utilise la proportionnalité pour calculer des longueurs dans une configuration de Thalès,
+        dans des triangles semblables, dans le cadre des homothéties.
+
+Comprendre et utiliser la notion de fonction
+Ce que sait faire l’élève
+
+       Il utilise les notations et le vocabulaire fonctionnels.
+       Il passe d’un mode de représentation d’une fonction à un autre.
+       Il détermine, à partir de tous les modes de représentation, l’image d’un nombre.
+       Il détermine un antécédent à partir d‘une représentation graphique ou d’un tableau de valeurs
+        d’une fonction.
+       Il détermine de manière algébrique l’antécédent par une fonction, dans des cas se ramenant à
+        la résolution d’une équation du premier degré.
+       Il représente graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine.
+       Il interprète les paramètres d’une fonction affine suivant l’allure de sa courbe représentative.
+       Il modélise un phénomène continu par une fonction.
+       Il modélise une situation de proportionnalité à l’aide d’une fonction linéaire.
+       Il résout des problèmes modélisés par des fonctions en utilisant un ou plusieurs modes de
+        représentation.
+Exemples de réussite
+                                                                   2
+       Il comprend les notations f : x  3x 2  7 et f(x) = 3x - 7. Il sait alors que x est la variable
+        et f la fonction.
+       Il sait que g(3) = 15 signifie que 15 est l’image de 3 par la fonction g et que 3 est un
+        antécédent de 15 par la fonction g.
+       Il détermine l’image d’un nombre par une fonction à partir de son expression symbolique, de
+        sa représentation graphique, d’un tableau de valeurs, d’un programme de calcul.
+                    Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+   Détermine à l’aide d’une équation :
+    - l’antécédent de 10 par la fonction f définie par f(x) = -3x - 4 ;
+    - les antécédents de 0 par la fonction g définie par g(x) = (3x + 6)(x - 9).
+   Il représente graphiquement les fonctions f : x  5x  1 et g : x  3x .
+
+   À partir de l’allure de la représentation graphique d’une fonction affine, il détermine le signe du
+    coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine.
+   Complète : l’aire d’un rectangle dont le périmètre est égal à 30 cm et dont un côté a pour
+    longueur x est donné par la fonction A : x  …………………..
+   Un mobile se déplace à 5 m/s.
+    L’élève modélise la situation par la fonction f définie par f(x) = 5x où x est le temps exprimé en
+    secondes et f(x) la distance parcourue, en mètres, en x secondes.
+   On enlève quatre carrés identiques aux quatre coins d'un rectangle de 20 cm de longueur et
+    13 cm de largeur.
+    Détermine la longueur du côté de ces carrés qui correspond à une aire restante de 208,16 cm²,
+    par la méthode de ton choix.
+                              Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé     Indication générale
+
+
+Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les
+unités adaptées
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il calcule le volume d’une boule.
+        Il calcule les volumes d’assemblages de solides étudiés au cours du cycle.
+        Il mène des calculs sur des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, et
+         exprime les résultats dans les unités adaptées.
+        Il résout des problèmes utilisant les conversions d’unités sur des grandeurs composées.
+        Il vérifie la cohérence des résultats du point de vue des unités pour les calculs de grandeurs
+         simples ou composées.
+
+Exemples de réussite
+        Il calcule le volume d’un cylindre surmonté d’une demi-boule de même diamètre.
+        Il calcule le volume restant dans cette boîte cylindrique de hauteur 30 cm dans
+         laquelle 3 boules identiques de rayon 5 cm ont été placées comme indiqué dans le
+         schéma ci-contre :
+        Un conducteur met 1 s avant de commencer à freiner quand il voit un obstacle. Quelle
+         distance parcourt-il pendant cette durée s’il roule à 80 km/h ?
+                                                                       3
+        Le débit moyen de la Seine sous le pont de l’Alma est 328 m /s. Combien de litres d’eau sont-
+         ils passés sous ce pont en 3 min ?
+        Il oralise que les durées sont en heures, minutes, secondes, les longueurs en mètres, les aires
+         en mètres carrés et les volumes en mètres cubes, les vitesses en kilomètres par heure ou en
+         mètres par seconde, les débits en mètres cubes par seconde ou litres par heure…
+
+Comprendre l’effet de quelques transformations sur les figures géométriques
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il calcule des grandeurs géométriques (longueurs, aires et volumes) en utilisant les
+         transformations (symétries, rotations, translations, homothétie).
+        Il résout des problèmes en utilisant la proportionnalité en géométrie dans le cadre de
+         certaines configurations ou transformations (agrandissement, réduction, triangles
+         semblables, homothéties).
+
+Exemples de réussite
+        Il détermine des longueurs, des aires, des mesures d’angles et des volumes en utilisant les
+         propriétés de conservation des symétries (axiale et centrale), d’une translation, d’une rotation.
+        Dans une homothétie de rapport k, il calcule des longueurs, des aires et des volumes.
+         Par exemple, il est capable de calculer l’aire de la figure obtenue dans une homothétie de
+         rapport k (k non nul) connaissant l’aire de la figure initiale.
+        À partir d’un schéma tel que celui ci-contre, il calcule des
+         longueurs de carrés connaissant les longueurs d’un des carrés
+         et le rapport de l’homothétie correspondante.
+                              Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé        Indication générale
+
+
+Représenter l’espace
+Ce que sait faire l’élève
+
+        Il se repère sur une sphère (latitude, longitude).
+        Il construit et met en relation différentes représentations des solides étudiés au cours du
+         cycle (représentations en perspective cavalière, vues de face, de dessus, en coupe, patrons) et
+         leurs sections planes.
+
+Exemples de réussite
+        Il pointe Paris et Sidney sur un globe terrestre à partir de leurs latitudes et longitudes.
+        Il reconnaît un grand cercle sur une sphère.
+        Il trace des solides en perspective cavalière et fait apparaître des sections.
+
+Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer
+Ce que sait faire l’élève
+
+        À partir des connaissances suivantes :
+           - le théorème de Thalès et sa réciproque dans la configuration papillon ;
+           - les triangles semblables : une définition et une propriété caractéristique ;
+           - les lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente,
+         il transforme une figure par rotation et par homothétie et il comprend l’effet d’une rotation et
+         d’une homothétie.
+        Il identifie des rotations et des homothéties dans des frises, des pavages et des rosaces.
+        Il mobilise les connaissances des figures, des configurations, de la rotation et de l’homothétie
+         pour déterminer des grandeurs géométriques.
+        Il mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations, de la
+         rotation et de l’homothétie.
+
+Exemples de réussite
+        Il réalise (à la main, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation) la
+         figure suivante obtenue à partir du triangle ABC par des rotations successives de centre A et
+         d’angle 60°.
+
+
+
+
+        Il justifie que la figure précédente est composée de 6 triangles rectangles.
+                     Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+   Il réalise (à la main, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation) la
+    figure suivante à l’aide du quadrilatère ABCD et deux homothéties de centre O et de rapports 3
+    et -0,5.
+
+
+
+
+   Il justifie la nature des trois quadrilatères en s’appuyant sur le codage et sur les propriétés de
+    conservations des homothéties.
+   Il décrit les transformations permettant de construire la rosace suivante :
+
+
+
+
+   Il détermine l’aire totale des figures construites ci-dessous connaissant les longueurs AB et
+    BC pour la première et la longueur AB pour la seconde.
+
+
+
+
+   En appliquant le théorème de Thalès, il effectue des calculs de longueurs.
+   Il utilise les lignes trigonométriques dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs ou
+    des mesures d’angles.
+   Sur la figure ci-contre :
+    • le point C appartient au segment [AB] ;
+    • AC = 3 ; AB = 7,5 ; BD = 5,4 et CD = 9 ;
+    • les droites (AE) et (CD) sont parallèles ;
+    • les droites (CE) et (BD) sont parallèles.
+                                ̂ et CAE
+    - Démontrer que les angles BCD     ̂ ont même mesure.
+    - Démontrer que les triangles ACE et CBD sont semblables.
+    - En déduire les longueurs des côtés du triangle ACE.
+                              Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+
+ Ce que sait faire l’élève            Type d’exercice        Exemple d’énoncé        Indication générale
+                                                   e
+   Les niveaux 1, 2 et 3 sont attendus en fin de 3 ; il est possible que certains élèves aillent au-delà.
+
+Écrire, mettre au point, exécuter un programme
+Ce que sait faire l’élève
+   Niveau 1
+        Il réalise des activités d’algorithmique débranchée.
+        Il met en ordre et/ou complète des blocs fournis par le professeur pour construire un
+         programme simple sur un logiciel de programmation.
+        Il écrit un script de déplacement ou de construction géométrique utilisant des instructions
+         conditionnelles et/ou la boucle « Répéter … fois ».
+   Niveau 2
+        Il gère le déclenchement d'un script en réponse à un événement.
+        Il écrit une séquence d’instructions (condition « si … alors » et boucle « répéter … fois »).
+        Il intègre une variable dans un programme de déplacement, de construction géométrique ou
+         de calcul.
+   Niveau 3
+        Il décompose un problème en sous-problèmes et traduit un sous-problème en créant un
+         « bloc-personnalisé ».
+        Il construit une figure en créant un motif et en le reproduisant à l’aide d’une boucle.
+        Il utilise simultanément les boucles « Répéter … fois » et « Répéter jusqu’à … » ainsi que les
+         instructions conditionnelles pour réaliser des figures, des programmes de calculs, des
+         déplacements, des simulations d’expérience aléatoire.
+        Il écrit plusieurs scripts fonctionnant en parallèle pour gérer des interactions et créer des jeux.
+
+Exemples de réussite
+   Niveau 1
+        Il comprend ce que font des assemblages simples de blocs de programmation, par exemple
+         au travers de questions flash.
+        Il retrouve parmi des programmes donnés celui qui permet d'obtenir une figure donnée, et
+         inversement.
+        Sans utiliser de langage informatique formalisé, il écrit un algorithme pour décrire un
+         déplacement ou un calcul.
+        Il décrit ce que fait un assemblage simple de blocs de programmation.
+        Il ordonne des blocs en fonction d'une consigne donnée.
+
+
+        Assemble correctement les blocs ci-contre
+         pour permettre au lutin de tracer un carré
+         de longueur 100 pixels :
+                     Attendus de fin d’année de 3e
+
+
+   Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré ou d’un
+    rectangle en utilisant la boucle :
+
+
+
+
+Niveau 2
+   Il gère l’interaction entre deux lutins, par exemple en faisant dire une phrase à l’un lorsque
+    l’autre le touche.
+   Il produit des scripts du type :
+
+
+
+
+   Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré, d’un
+    rectangle ou d’un parallélogramme dans lequel l’utilisateur saisi la mesure de la longueur d’au
+    moins un côté.
+Niveau 3
+   Il reproduit une frise donnée reproduisant un motif grâce à un bloc personnalisé.
+   Il produit un programme réalisant une figure du type :
+
+
+
+
+   Il utilise un logiciel de programmation pour réaliser la simulation d’une expérience aléatoire,
+    par exemple : « Programmer un lutin pour qu’il énonce 100 nombres aléatoires « 0 » ou « 1 » et
+    qu’il compte le nombre de « 0 » et de « 1 » obtenus. »
+   Il programme un jeu avec un logiciel de programmation par blocs utilisant au moins 2 lutins
+    avec des scripts en parallèle. Il mobilise des capacités acquises précédemment dans les
+    niveaux 1, 2 et 3.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/005.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,19 @@
+Author:          Administration centrale
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/005.txt

@@ -0,0 +1,352 @@
+Cycle 4   Mathématiques
+
+
+          REPÈRES
+          ANNUELS
+          de progression
+
+
+
+
+                           © Stéphanie Lacombe - MENJ
+                                                                Nombres décimaux relatifs
+                                    e
+                                5                                                           4e                                              3e
+Le travail mené au cycle 3 sur l’enchaînement des opérations, les Le produit et le quotient de décimaux relatifs Le travail est consolidé notamment lors des
+comparaisons et le repérage sur une droite graduée de nombres sont abordés.                                      résolutions de problèmes.
+décimaux positifs est poursuivi. Les nombres relatifs (d’abord
+entiers, puis décimaux) sont construits pour rendre possibles
+toutes les soustractions. La notion d’opposé est introduite,
+l’addition et la soustraction sont étendues aux nombres
+décimaux (positifs ou négatifs). Il est possible de mettre en
+évidence que soustraire un nombre revient à additionner son
+opposé, en s’appuyant sur des exemples à valeur générique du
+type : 3,1 - (-2) = 3,1 + 0 - (-2) = 3,1 + 2 + (-2) - (-2), donc
+3,1 - (-2) = 3,1 + 2 + 0 = 3,1 + 2 = 5,1
+                                                              Fractions, nombres rationnels
+La conception d’une fraction en tant que nombre, déjà abordée       Un nombre rationnel est défini comme               La notion de fraction irréductible est
+en sixième, est consolidée. Les élèves sont amenés à                quotient d’un entier relatif par un entier relatif abordée, en lien avec celles de multiple et de
+reconnaître et à produire des fractions égales (sans privilégier de non nul, ce qui renvoie à la notion de             diviseur qui sont travaillées tout au long du
+méthode en particulier), à comparer, additionner et soustraire      fraction.                                          cycle.
+des fractions dont les dénominateurs sont égaux ou multiples        Le quotient de deux nombres décimaux peut
+l’un de l’autre.                                                    ne pas être un nombre décimal.
+                                                                     La notion d’inverse est introduite, les
+                                                                     opérations entre fractions sont étendues à la
+                                                                     multiplication et la division. Les élèves sont
+                                                                     conduits à comparer des nombres
+                                                                     rationnels, à en utiliser différentes
+                                                                     représentations et à passer de l’une à l’autre.
+                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
+
+                                                                                                  (suite)
+                                                         Fractions, nombres rationnels (suite)
+Au moins une des propriétés suivantes est démontrée, à partir         Une ou plusieurs démonstrations de calculs
+de la définition d’un quotient :                                      fractionnaires sont présentées. Le recours au
+    ab b                                                              calcul littéral vient compléter pour tout ou
+ •                                                                   partie des élèves l’utilisation d’exemples
+    ac c
+                                                                      à valeurs génériques.
+     b ab
+ • a 
+     c    c
+    a b ab
+ •  
+    c c       c
+    a b ab
+ •  
+    c c     c
+Il est possible, à ce niveau, de se limiter à des exemples à valeur
+générique. Cependant, le professeur veille à spécifier que la
+vérification d’une propriété, même sur plusieurs exemples, n’en
+constitue pas une démonstration.
+Exemple de calcul fractionnaire permettant de démontrer que
+ 2 10
+   
+ 3 15
+                               2
+On commence par calculer  15 :
+                               3
+ 2        2
+    15   3  5 .
+3         3
+                                                              2
+La définition du quotient permet de simplifier par 3, puisque
+                                                              3
+est le nombre qui, multiplié par 3, donne 2.
+       2
+Donc  15  2  5  10 .
+       3
+                                         2 10             2
+Par définition du quotient, il vient donc      , puisque
+                                         3 15             3
+multiplié par 15 donne 10.
+                      > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
+
+                                                                                                 (suite)
+                                                                        Racine carrée
+                                                       La racine carrée est introduite, en lien avec des        La racine carrée est utilisée dans le cadre de la
+                                                       situations géométriques (théorème de Pythagore,          résolution de problèmes.
+                                                       agrandissement des aires) et à l’appui de la             Aucune connaissance n’est attendue sur les
+                                                       connaissance des carrés parfaits de 1 à 144 et de        propriétés algébriques des racines carrées.
+                                                       l’utilisation de la calculatrice.
+                                                                          Puissances
+                                                       Les puissances de 10 sont d’abord introduites avec       Les puissances de base quelconque d’exposants
+                                                       des exposants positifs, puis négatifs, afin de définir   négatifs sont introduites et utilisées pour simplifier
+                                                       les préfixes de nano à giga et la notation               des quotients.
+                                                       scientifique. Celle-ci est utilisée pour comparer des    La connaissance des formules générales sur les
+                                                       nombres et déterminer des ordres de grandeurs, en        produits ou quotients de puissances n’est pas un
+                                                       lien d’autres disciplines. Les puissances de base        attendu du programme : la mise en œuvre des calculs
+                                                       quelconque d’exposants positifs sont introduites         sur les puissances découle de leur définition.
+                                                       pour simplifier l’écriture de produits.
+                                                       La connaissance des formules générales sur les
+                                                       produits ou quotients de puissances de 10 n’est pas un
+                                                       attendu du programme : la mise en œuvre des calculs
+                                                       sur les puissances découle de leur définition.
+                                                             Divisibilité, nombres premiers
+Tout au long du cycle, les élèves sont amenés à modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité et les nombres premiers.
+Le travail sur les multiples et les diviseurs, déjà    Les élèves déterminent la liste des nombres              La notion de fraction irréductible est introduite.
+abordé au cycle 3, est poursuivi. Il est enrichi par   premiers inférieurs ou égaux à 100 et l’utilisent        L’utilisation d’un tableur, d’un logiciel de
+l’introduction de la notion de nombre premier. Les     pour décomposer des nombres en facteurs                  programmation ou d’une calculatrice permet
+élèves se familiarisent avec la liste des nombres      premiers, reconnaître et produire des fractions          d’étendre la procédure de décomposition en facteurs
+premiers inférieurs ou égaux à 30. Ceux-ci sont        égales, simplifier des fractions.                        premiers.
+utilisés pour la décomposition en produit de
+facteurs premiers. Cette décomposition est utilisée
+pour reconnaître et produire des fractions égales.
+                      > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
+
+                                                                                                 (suite)
+                                                                         Calcul littéral
+Expressions littérales
+Les expressions littérales sont introduites à travers Le travail sur les formules est poursuivi,              Le travail sur les expressions littérales est
+des formules mettant en jeu des grandeurs ou          parallèlement à la présentation de la notion            consolidé avec des transformations d’expressions,
+traduisant des programmes de calcul. L’usage de la d’identité (égalité vraie pour toute valeur des            des programmes de calcul, des mises en équations,
+lettre permet d’exprimer un résultat général (par     indéterminées).                                         des fonctions…
+exemple qu’un entier naturel est pair ou impair) ou La notion de solution d’une équation est formalisée.
+de démontrer une propriété générale (par exemple
+que la somme de trois entiers consécutifs est un
+multiple de 3). Les notations du calcul littéral (par
+exemple 2a pour a × 2 ou 2 × a, ab pour a × b) sont
+progressivement utilisées, en lien avec les
+propriétés de la multiplication.
+Les élèves substituent une valeur numérique à une
+lettre pour calculer la valeur d’une expression
+littérale.
+Distributivité
+Tôt dans l’année, sans attendre la maîtrise des        La structure d’une expression littérale (somme ou      La double distributivité est abordée.
+opérations sur des nombres relatifs, la propriété de   produit) est étudiée. La propriété de distributivité   Le lien est fait avec la simple distributivité. Il est
+distributivité simple est utilisée pour réduire une    simple est formalisée et est utilisée pour             possible de démontrer l’identité
+expression littérale de la forme ax + bx, où a et b    développer un produit, factoriser une somme,           (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd en posant
+sont des nombres décimaux.                             réduire une expression littérale.                      k = a + b et en utilisant la simple distributivité.
+Le lien est fait avec des procédures de calcul
+numérique déjà rencontrées au cycle 3 (calculs du
+type 12 × 50 ; 37 × 99 ; 3 × 23 + 7 × 23).
+                        > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
+
+                                                                                                 (suite)
+Équations
+                                                                                                                                                           2      2
+Les élèves sont amenés à tester si une égalité où     Les notions d’inconnue et de solution d’une               La factorisation d’une expression du type a - b
+figure une lettre est vraie lorsqu’on lui attribue uneéquation sont abordées. Elles permettent d’aborder        permet de résoudre des équations produits se
+valeur numérique.                                     la mise en équation d’un problème et la résolution        ramenant au premier degré (notamment des
+                                                                                                                                    2
+Les élèves testent des égalités par essais erreurs, à algébrique d’une équation du premier degré.               équations du type x = a en lien avec la racine
+la main ou à l’aide d’une calculatrice ou d’un        Les équations sont travaillées tout au long de l’année    carrée).
+tableur, des valeurs numériques dans des              par un choix progressif des coefficients de l’équation.   Aucune virtuosité calculatoire n’est attendue dans
+expressions littérales, ce qui constitue une                                                                    les développements et les factorisations.
+première approche de la notion de solution d’une
+équation, sans formalisation à ce stade.
+                        > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
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+                                                                            Statistiques
+Le traitement de données statistiques se prête à         Un nouvel indicateur de position est introduit : la   Un indicateur de dispersion est introduit : l’étendue.
+des calculs d’effectifs, de fréquences et de             médiane.                                              Le travail sur les représentations graphiques, le
+moyennes. Selon les situations, la représentation        Le travail sur les représentations graphiques, le     calcul, en particulier celui des effectifs et des
+de données statistiques sous forme de tableaux, de       calcul, en particulier celui des effectifs et des     fréquences, et l’interprétation des indicateurs de
+diagrammes ou de graphiques est réalisée à la            fréquences, et l’interprétation des indicateurs de    position est consolidé.
+main ou à l’aide d’un tableur-grapheur. Les calculs      position est poursuivi.                               Un nouveau type de diagramme est introduit : les
+et les représentations donnent lieu à des
+                                                                                                               histogrammes pour des classes de même
+interprétations.
+                                                                                                               amplitude.
+                                                                            Probabilités
+Les élèves appréhendent le hasard à travers des          Les calculs de probabilités concernent des            Le constat de la stabilisation des fréquences
+expériences concrètes : pile ou face, dé, roue de        situations simples, mais ne relevant pas              s’appuie sur la simulation d’expériences aléatoires
+loterie, urne…                                           nécessairement du modèle équiprobable. Le lien        à une épreuve à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel
+Le vocabulaire relatif aux probabilités (expérience      est fait entre les probabilités de deux événements    de programmation. Les calculs de probabilités, à
+aléatoire, issue, événement, probabilité) est utilisé.   contraires.                                           partir de dénombrements, s’appliquent à des
+Le placement d’un événement sur une échelle de                                                                 contextes simples faisant prioritairement intervenir
+probabilités et la détermination de probabilités                                                               une seule épreuve. Dans des cas très simples, il est
+dans des situations très simples d’équiprobabilité                                                             cependant possible d’introduire des expériences à
+contribuent à une familiarisation avec la                                                                      deux épreuves. Les dénombrements s’appuient
+modélisation mathématique du hasard.                                                                           alors uniquement sur des tableaux à double entrée,
+                                                                                                               la notion d’arbre ne figurant pas au programme.
+Pour exprimer une probabilité, on accepte des
+formulations du type « 2 chances sur 5 ».                                                                      Les élèves simulent une expérience aléatoire à
+                                                                                                               l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de
+                                                                                                               programmation.
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+                                                                                                                           (suite)
+                                                                     Proportionnalité
+Les élèves sont confrontés à des situations           Le calcul d’une quatrième proportionnelle est          Le lien est fait entre taux d’évolution et coefficient
+relevant ou non de la proportionnalité. Des           systématisé et les points de vue se diversifient       multiplicateur, ainsi qu’entre la proportionnalité et
+procédures variées (linéarité, passage par l’unité,   avec l’utilisation de représentations graphiques, du   les fonctions linéaires. Le champ des problèmes de
+coefficient de proportionnalité), déjà étudiées au    calcul littéral et de problèmes de géométrie           géométrie relevant de la proportionnalité est élargi
+cycle 3, permettent de résoudre des problèmes         relevant de la proportionnalité (configuration de      (homothéties, triangles semblables, configurations
+relevant de la proportionnalité.                      Thalès dans le cas des triangles emboîtés,             de Thalès).
+                                                      agrandissement et réduction).
+                                                                         Fonctions
+La dépendance de deux grandeurs est traduite par      La dépendance de deux grandeurs est traduite par Les notions de variable, de fonction, d’antécédent,
+un tableau de valeurs ou une formule.                 un tableau de valeurs, une formule, un graphique.  d’image sont formalisées et les notations
+                                                      Les représentations graphiques permettent de       fonctionnelles sont utilisées. Un travail est mené
+                                                      déterminer des images et des antécédents, qui sont sur le passage d’un mode de représentation d’une
+                                                      interprétés en fonction du contexte.               fonction (graphique, symbolique, tableau de
+                                                                                                         valeurs) à un autre. Les fonctions affines et
+                                                      La notation et le vocabulaire fonctionnels ne sont linéaires sont présentées par leurs expressions
+                                                                           e
+                                                      pas formalisés en 4 .                              algébriques et leurs représentations graphiques.
+                                                                                                         Les fonctions sont utilisées pour modéliser des
+                                                                                                         phénomènes continus et résoudre des problèmes.
+                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
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+
+                                                        Calculs sur des grandeurs mesurables
+La connaissance des formules donnant les aires du       Le lexique des formules s’étend au volume des             La formule donnant le volume d’une boule est
+rectangle, du triangle et du disque, ainsi que le       pyramides et du cône. Le lien est fait entre le           utilisée.
+volume du pavé droit est entretenue à travers la        volume d’une pyramide (respectivement d’un cône)          Le travail sur les grandeurs mesurables et les
+résolution de problèmes. Elle est enrichie par celles   et celui du prisme droit (respectivement du               unités est poursuivi.
+de l’aire du parallélogramme, du volume du prisme       cylindre) construit sur sa base et ayant même
+                                                                                                                  Il est possible de réinvestir le calcul avec les
+et du cylindre. La correspondance entre unités de       hauteur. Des grandeurs produits (par exemple
+                                                                                                                  puissances de 10 pour les conversions d’unités.
+volume et de contenance est faite. Les calculs          trafic, énergie) et des grandeurs quotients (par                                              2
+portent aussi sur des durées et des horaires, en        exemple vitesse, débit, concentration, masse              Par exemple, à partir de : 1 m = 10 cm, il vient
+                                                                                                                      3         3      2     3    6    3
+prenant appui sur des contextes issus d’autres          volumique) sont introduites à travers la résolution       1 m = (1 m) = (10 cm) = 10 cm
+                                                                                                                                               -1
+disciplines ou de la vie quotidienne.                   de problèmes. Les conversions d’unités sont               ou, à partir de : 1 dm = 10 m, il vient
+                                                                                                                        3      -1    3    -3    3
+                                                        travaillées.                                              1 dm = (10 m) = 10 m .
+Les élèves sont sensibilisés au contrôle de la
+cohérence des résultats du point de vue des unités. Les élèves sont sensibilisés au contrôle de la
+                                                    cohérence des résultats du point de vue des unités
+                                                    des grandeurs composées.
+                                         Effet des transformations sur des grandeurs géométriques
+Les élèves connaissent et utilisent l’effet des         Les élèves connaissent et utilisent l’effet d’un          Les élèves connaissent et utilisent l’effet des
+symétries axiale et centrale sur les longueurs, les     agrandissement ou d’une réduction sur les                 transformations au programme (symétries,
+aires, les angles.                                      longueurs, les aires et les volumes. Ils le travaillent   translations, rotations, homothéties) sur les
+                                                        en lien avec la proportionnalité.                         longueurs, les angles, les aires et les volumes.
+                                                                                                                  Le lien est fait entre la proportionnalité et certaines
+                                                                                                                  configurations ou transformations géométriques
+                                                                                                                  (triangles semblables, homothéties).
+                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4
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+                                                                     Représenter l’espace
+Le repérage se fait sur une droite graduée ou dans le      Le repérage se fait dans un pavé droit (abscisse, Le repérage s’étend à la sphère (latitude, longitude).
+plan muni d’un repère orthogonal.                          ordonnée, altitude). Les élèves produisent et     Un logiciel de géométrie est utilisé pour visualiser
+Dans la continuité de ce qui a été travaillé au cycle 3,   mettent en relation une représentation en         des solides et leurs sections planes. Les élèves
+la reconnaissance de solides (pavé droit, cube,            perspective cavalière et un patron d’une pyramide produisent et mettent en relation différentes
+cylindre, pyramide, cône, boule) s’effectue à partir       ou d’un cône.                                     représentations des solides étudiés (patrons,
+d’un objet réel, d’une image, d’une représentation en                                                        représentation en perspective cavalière, vues de
+perspective cavalière ou sur un logiciel de géométrie                                                        face, de dessus, en coupe).
+dynamique.
+Les élèves construisent et mettent en relation une
+représentation en perspective cavalière et un patron
+d’un pavé droit ou d’un cylindre.
+                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
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+                                                                                                   (suite)
+                                                                       Géométrie plane
+Figures et configurations
+La caractérisation angulaire du parallélisme (angles        Les cas d’égalité des triangles sont présentés et    Une définition et une caractérisation des triangles
+alternes-internes et angles correspondants) est             utilisés pour résoudre des problèmes. Le lien est    semblables sont données. Le théorème de Thalès
+énoncée. La valeur de la somme des angles d’un              fait avec la construction d’un triangle de mesures   et sa réciproque dans la configuration du papillon
+triangle peut être démontrée et est utilisée. L’inégalité données (trois longueurs, une longueur et deux         sont énoncés et utilisés (démonstration possible,
+triangulaire est énoncée. Le lien est fait entre            angles, deux longueurs et un angle). Le théorème     utilisant une symétrie centrale pour se ramener à la
+l’inégalité triangulaire et la construction d’un triangle à de Thalès et sa réciproque dans la configuration     configuration étudiée en quatrième). Les lignes
+partir de la donnée de trois longueurs. Des                 des triangles emboîtés sont énoncés et utilisés,     trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) dans le
+constructions de triangles à partir de la mesure d’une ainsi que le théorème de Pythagore (plusieurs             triangle rectangle sont utilisées pour calculer des
+longueur et de deux angles ou d’un angle et de deux         démonstrations possibles) et sa réciproque. La       longueurs ou des angles.
+longueurs sont proposées.                                   définition du cosinus d’un angle d’un triangle       Deux triangles semblables peuvent être définis par
+Le parallélogramme est défini à partir de l’une de ses rectangle découle, grâce au théorème de Thalès,           la proportionnalité des mesures de leurs côtés. Une
+propriétés : parallélisme des couples de côtés              de l’indépendance du rapport des longueurs le        caractérisation angulaire de cette définition peut
+opposés ou intersection des diagonales. L’autre             définissant.                                         être donnée et démontrée à partir d’un cas d’égalité
+propriété est démontrée et devient une propriété          Une progressivité dans l’apprentissage de la           des triangles et d’une caractérisation angulaire du
+caractéristique. Il est alors montré que les côtés        recherche de preuve est aménagée, de manière à        parallélisme.
+opposés d’un parallélogramme sont deux à deux de          encourager les élèves dans l’exercice de la
+même longueur grâce aux propriétés de la symétrie.        démonstration. Aucun formalisme excessif n’est
+Les propriétés relatives aux côtés et aux diagonales      exigé dans la rédaction.
+d’un parallélogramme sont mises en œuvre pour
+effectuer des constructions et mener des
+raisonnements.
+Les élèves consolident le travail sur les codages de
+figures : interprétation d’une figure codée ou
+réalisation d’un codage.
+Les élèves découvrent de nouvelles droites
+remarquables du triangle : les hauteurs. Ils
+poursuivent le travail engagé au cycle 3 sur la
+médiatrice dans le cadre de résolution de problèmes.
+Ils peuvent par exemple être amenés à démontrer que
+les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
+                       > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
+
+                                                                                                    (suite)
+Transformations
+Les élèves transforment (à la main ou à l’aide d’un          Les élèves sont amenés à transformer (à la main Les élèves transforment (à la main ou à l’aide d’un
+logiciel) une figure par symétrie centrale. Cela permet ou à l’aide d’un logiciel) une figure par translation. logiciel) une figure par rotation et par homothétie
+de découvrir les propriétés de la symétrie centrale          Ils identifient des translations dans des frises ou (de rapport positif ou négatif). Le lien est fait entre
+(conservation de l’alignement, du parallélisme, des          des pavages ; le lien est alors fait entre           angle et rotation, entre le théorème de Thalès et les
+longueurs, des angles) qui sont ensuite admises et           translation et parallélogramme.                      homothéties.
+utilisées. Le lien est fait entre la symétrie centrale et le La définition ponctuelle d’une translation ne figure Les élèves identifient des transformations dans des
+parallélogramme. Les élèves identifient des symétries pas au programme. Toutefois, par commodité, la frises, des pavages, des rosaces.
+axiales ou centrales dans des frises, des pavages, des translation transformant le point A en le point B
+                                                                                                                  Les définitions ponctuelles d’une translation, d’une
+rosaces.                                                     pourra être nommée « translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
+                                                                                                            𝐴𝐵 », rotation et d’une homothétie ne figurent pas au
+                                                             mais aucune connaissance n’est attendue sur          programme.
+                                                             l’objet « vecteur ».                                 Pour faire le lien entre les transformations et les
+                                                                                                                 configurations du programme, il est possible
+                                                                                                                 d’identifier (à la main ou à l’aide d’un logiciel de
+                                                                                                                 géométrie) l’effet, sur un triangle donné, de
+                                                                                                                 l’enchaînement d’une translation, d’une rotation et
+                                                                                                                 d’une homothétie, voire d’une symétrie axiale et
+                                                                                                                 réciproquement, pour deux triangles semblables
+                                                                                                                 donnés, chercher des transformations transformant
+                                                                                                                 l’un en l’autre.
+                      > Repères annuels de progression pour le cycle 4
+
+
+
+
+                                                Écrire, mettre au point, exécuter un programme
+Les repères qui suivent indiquent une progressivité dans le niveau de complexité des activités relevant de ce thème. Certains élèves sont capables de réaliser
+des activités de troisième niveau dès le début du cycle.
+                    1er niveau                                            2e niveau                                              3e niveau
+À un premier niveau, les élèves mettent en ordre       À un deuxième niveau, les connaissances et les      À un troisième niveau, l’utilisation simultanée de
+et/ou complètent des blocs Scratch fournis par le      compétences en algorithmique et en                  boucles « répéter … fois », et « répéter jusqu’à … » et
+professeur pour construire un programme simple.        programmation s’élargissent par :                   d’instructions conditionnelles permet de réaliser
+L’utilisation progressive des instructions              - l’écriture d’une séquence d’instructions         des figures, des calculs et des déplacements plus
+conditionnelles et/ou de la boucle « répéter … fois »)    (condition « si … alors » et boucle              complexes. L’écriture de plusieurs scripts
+permet d’écrire des scripts de déplacement, de            « répéter … fois ») ;                            fonctionnant en parallèle permet de gérer les
+construction géométrique ou de programme de             - l’écriture de programmes déclenchés par des      interactions et de créer des jeux.
+calcul.                                                   événements extérieurs ;                          La décomposition d’un problème en sous-
+                                                        - l’intégration d’une variable dans un programme   problèmes et la traduction d’un sous-problème par
+                                                          de déplacement, de construction géométrique,     la création d’un bloc-utilisateur contribuent au
+                                                          de calcul ou de simulation d’une expérience      développement des compétences visées.
+                                                          aléatoire.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/006.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/008.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/008.txt

@@ -0,0 +1,331 @@
+         Utiliser les nombres pour comparer,
+         calculer et résoudre des problèmes:
+                les nombres décimaux
+
+Objectifs
+Au cycle 3, les nombres décimaux sont introduits à partir des fractions décimales. L’écriture à virgule
+est ensuite présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de
+fractions décimales. Cette notation permet la mise en place des règles de comparaison et de calcul.
+Les quatre opérations sur les décimaux sont étudiées, mais la division est limitée au cas où le diviseur
+est un entier.
+Même si les décimaux ont été introduits à partir des fractions décimales, beaucoup d’élèves, à l’entrée
+du cycle 4, associent encore la nature d’un nombre à son écriture. Pour eux, un nombre s’exprime
+toujours par une suite de chiffres et les nombres décimaux se différencient des nombres entiers par la
+                                                                   5
+présence de la virgule. Ils ne perçoivent pas, par exemple, 17 ou comme des nombres décimaux.
+                                                                   2
+
+La poursuite, au cycle 4, du travail sur les nombres décimaux vise plusieurs objectifs :
+
+               Amener tous les élèves à différencier la nature d’un nombre (notamment décimal)
+                de son écriture et à passer de l’une de ses désignations à une autre. Concevoir, par
+                                      35   7      1
+                exemple, 3,5 ; 3,50 ; ; ; 3 + comme des désignations différentes d’un même
+                                     10 2    2
+                nombre ;
+
+               Poursuivre le travail sur la comparaison des nombres décimaux. Il permet notamment
+                de faire prendre conscience aux élèves de la possibilité d’intercaler un nombre
+                décimal entre deux nombres qui pourraient être perçus à tort comme des nombres
+                consécutifs (par exemple 7,24 et 7,25) ;
+
+               Consolider les techniques opératoires étudiées au cycle 3 sur les nombres décimaux,
+                notamment la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ;
+
+               Introduire la division par un nombre décimal ;
+
+               Utiliser les nombres décimaux pour exprimer des mesures de grandeurs et repérer
+                des points autres qu’entiers sur la droite graduée.
+
+Le travail mené tout au long du cycle sur les nombres relatifs concerne non seulement les entiers,
+mais aussi les décimaux et plus généralement les rationnels ; il viendra à ce titre compléter l’étude
+des décimaux dont l’introduction au cycle 3 porte uniquement sur les décimaux positifs.
+Liens avec les domaines du socle
+La compréhension et l’utilisation de différentes écritures d’un nombre décimal, sa représentation sur la
+droite graduée, les passages entre ses différents modes de représentation contribuent à l’acquisition
+du langage mathématique pour penser et communiquer (domaine 1).
+La pratique du calcul (mental et écrit, exact et approché) engageant des nombres décimaux,
+l’utilisation de valeurs approchées décimales pour modéliser et résoudre des problèmes scientifiques
+et d’ordres de grandeurs pour contrôler des résultats contribuent à l’étude des systèmes naturels et
+des systèmes techniques (domaine 4).
+
+
+
+Progressivité des apprentissages
+                                                                       e
+La division par un nombre décimal est introduite dès la classe de 5 , parallèlement à la consolidation
+des techniques opératoires déjà étudiées au cycle 3. La maîtrise de ces techniques, en lien avec la
+compréhension des nombres et des opérations, est entretenue tout au long du cycle 4.
+Le travail sur l’écriture décimale, initié au cycle 3 et poursuivi tout au long du cycle 4, est un point
+                                                                                     e
+d’appui pour l’étude des puissances de 10 qui est formalisée dès la classe de 4 .
+Parallèlement à la maîtrise des techniques calculatoires sur les nombres décimaux, les élèves sont
+amenés, tout au long du cycle, à résoudre des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux.
+
+
+
+Stratégies d’enseignement
+                                          e
+Pour beaucoup d’élèves, à l’entrée en 5 , la conception d’un nombre décimal comme un objet
+mathématique et non comme une écriture est encore en cours de construction, le sens des opérations
+et les techniques opératoires sur les nombres décimaux sont encore en cours d’acquisition. De plus,
+certains élèves se sont forgé des représentations fausses qui, si elles peuvent s’avérer performantes
+dans des situations particulières, constituent des obstacles pour la suite des apprentissages. Il est
+donc indispensable que le professeur identifie les conceptions erronées afin de développer les
+stratégies d’enseignement qui permettront de les déstabiliser.
+
+
+Quelques conceptions erronées
+                Assimilation de la virgule à un trait de fraction ; c’est ainsi que, pour certains
+                       14
+                 élèves = 14,10.
+                         10
+                Difficulté à concevoir qu’un même nombre puisse avoir plusieurs désignations ;
+                           4
+                 ainsi, 1+ ; 1,4 ; 1,40 ne sont pas perçus comme différentes écritures d’un même
+                           10
+                 nombre .
+                Le « nombre à virgule » vu comme un « entier déguisé », comme si la virgule
+                 n’existait pas. Ce rôle « fantôme» de la virgule conduit certains élèves à écrire
+                 4,3 < 4,06 < 4,249 en le justifiant par le fait que 43 < 406 < 4249, ou à percevoir 2,47
+                 comme « le » successeur de 2,46, au même titre que 247 est celui de 246 .
+                Le « nombre à virgule » vu comme l’accolement de deux entiers, la virgule
+                 jouant le rôle de « frontière » entre les deux. Cela conduit par exemple à écrire :
+                 4,3 < 4,06 < 4,249 (avec comme justification : « 3 est plus petit que 6, lui-même plus
+                 petit que 249 ») ;ou encore : 2,6 × 3,4 = 6,24 ; 15,7 + 12,6 = 27,13 ou encore à
+                 percevoir 5,100comme « le » successeur de 5,99.
+                Une connaissance mal installée du système décimal peut conduire un élève, dans
+                 le nombre 234,678, à percevoir le chiffre 7 comme le chiffre des dixièmes en raison de
+                 la position supposée des dixièmes comme symétrique de celle des dizaines,
+                 ou encore à écrire 4,249 < 4,16 < 4,1en justifiant que les millièmes sont « forcément»
+                 plus petits que les centièmes, eux-mêmes plus petits que les dixièmes.
+                Des techniques mal automatisées et non contrôlées peuvent aboutir à une
+                 confusion sur la position de la virgule dans le résultat d’une addition posée ou d’une
+                 multiplication posée comme dans la multiplication ci-dessous :
+                                                      2,3
+                                                   × 5,5
+                                                    115
+                                                   115
+                                                  1 2 6,5
+                L’application de règles au-delà de leur domaine de validité ; c’est ainsi que
+                 l’extension aux décimaux de la règle du déplacement de la virgule ou de l’ajout de
+                 zéros pour la multiplication des entiers par des puissances de 10 contribue à des
+                 erreurs du type :
+                 -   1,4×10 = 1,40 ; 1,4 : 0,1 = 0,14
+                                   12
+                 -   12×0,5 > 12;      < 12 (car « multiplier augmente un nombre et diviser
+                                   0,5
+                     le diminue »).
+                L’usage social des nombres décimaux à l’oral peut être à l’origine de
+                 confusions, comme dans les exemples suivants : « un kilo cinq » s’écrit en fait 1,5 kg
+                 alors que « un euro cinq » s’écrit en fait 1,05 €.
+
+La pratique régulière du calcul réfléchi doit permettre de « déconstruire » ces représentations
+erronées et parfois résistantes.
+
+
+La construction d’automatismes
+S’il permet d’aller plus vite une fois qu’on a compris, un automatisme ne permet pas de comprendre
+plus vite ; avant d’être institutionnalisée puis automatisée, une « règle » (comme celle, déjà citée, du
+déplacement de la virgule vers la droite ou vers la gauche) doit avoir été justifiée par le professeur et
+comprise par les élèves pour ne pas être employée en dehors de son cadre de validité.
+La pratique régulière du calcul réfléchi permet à la fois de comprendre l’origine des règles et d’ancrer
+dans la durée la construction des mécanismes opératoires. Pratiqué en amont de la formalisation de
+ces mécanismes, le calcul réfléchi peut être mis en œuvre sur des exemples génériques. Pratiqué
+juste après l’institutionnalisation, sur des exemples assez proches de la situation d’introduction,
+il permet l’appropriation de la notion en cours d’étude. En aval, une pratique régulière, sur le long
+terme, permet d’automatiser les procédures et les propriétés des nombres engagés dans le calcul et
+s’avère nécessaire pour garantir la pérennité des acquisitions. L’analyse collective, sous la conduite
+du professeur, des différentes stratégies mises en œuvre et des éventuelles erreurs commises
+contribue à donner du sens aux objets mathématiques mis en jeu et aux techniques à automatiser.
+Dans le cadre de l’apprentissage des nombres décimaux, on entretiendra de façon régulière les
+automatismes liés à la somme, à la différence, au produit de nombres décimaux, au quotient d’un
+nombre décimal par un entier, notions abordées au cycle 3, sur des exemples présentant de véritables
+enjeux. L’un de ces enjeux est de permettre d’identifier une erreur liée à l’incompréhension de
+l’écriture à virgule ; par exemple, un calcul du type 1,4 + 0,15 permet d’identifier l’erreur liée à la
+conception de la virgule frontière par les élèves qui fournissent 1,19 comme réponse, alors que le
+même calcul, posé sous la forme 1,40 + 0,15 ne permet pas de débusquer l’erreur.
+La compréhension de l’erreur peut s’appuyer sur différents registres d’expression : celui de la langue
+naturelle (on ajoute 1 dixième plus 5 centièmes à 1 unité plus 4 dixièmes), mais aussi celui des
+fractions décimales.
+L’introduction de la division d’un décimal par un décimal pourra se faire dans le cadre de cette
+pratique, sur une durée suffisamment longue, à petites doses et de manière progressive.
+
+
+La consolidation des priorités opératoires
+La consolidation des priorités opératoires introduites au cycle 3 est indispensable car ces priorités
+sont à la base de la compréhension et de la production d’expressions, qu’elles soient numériques ou
+littérales. L’écriture en ligne d'une succession de calculs simples engageant des nombres décimaux,
+notamment prescrits par des programmes de calcul, est une stratégie d’enseignement possible.
+
+
+
+   EXEMPLE :
+   Prendre un nombre ;
+   lui ajouter 1,8 ;
+   multiplier le résultat par 3,2.
+
+   Écrire l’expression numérique traduisant ce programme en prenant 10 comme nombre de départ.
+
+
+Il pourra s’avérer fructueux de comparer les résultats obtenus avec une calculatrice scientifique et
+avec une calculette, ces deux outils ne respectant les mêmes règles de priorité entre opérations.
+Le choix du nombre d’instructions d’un programme de calcul et des nombres auquel il s’applique
+permet une différenciation au sein de la classe.
+Parallèlement au travail sur les programmes de calcul qui concernent l’aspect procédural d’un calcul,
+les élèves seront amenés à travailler sur sa forme structurale (somme, différence, produit, quotient).
+Par exemple identifier 12,3 + 2,5 × 7,1 comme une somme: celle de 12,3 et du produit de 2,5 par 7,1.
+
+
+L’utilisation de la droite graduée
+Le recours à la droite graduée permet de travailler la compétence « représenter » décrite dans les
+programmes des cycles 3 et 4 par les passages dans les deux sens qu’elle permet de réaliser entre
+le registre symbolique de l’écriture du nombre et le registre graphique de sa représentation.
+Plusieurs situations d’enseignement se prêtent à l’utilisation de la droite graduée.
+                Mesurer des grandeurs et encadrer des mesures, notamment en variant les
+                 unités. Effectuer des mesures « qui ne s’expriment pas en un nombre entier d’unité »
+                 permet de revenir à l’utilité première des décimaux (résoudre des problèmes pour
+                 lesquels les entiers sont défaillants) et de travailler l’intercalation des décimaux.
+                Repérer des points sur une droite graduée. Les activités de repérage peuvent être
+                 très variées au niveau des situations et des questionnements proposés, mais aussi
+                 des types de graduation et des outils utilisés (droite graduée, papier millimétré, sous
+                 unités partiellement ou non représentées, présentation « en zoom ») et de la nature
+                 de l’écriture des nombres à repérer (désignation orale, écritures fractionnaires,
+                 décimales, décompositions diverses, etc.). On pourra se reporter à l’activité
+                 développée au paragraphe VI.
+                Intercaler des décimaux. « Donner dix nombres entre 4,67 et 4,68 » est une situation
+                 classique qui peut être enrichie par la question de savoir s’il peut y en avoir 100,
+                 1000, 10 000, etc.
+                Dans le cadre d’une différenciation pédagogique, on pourra remplacer 4,67 et 4,68
+                par 4 et 4,01.
+
+
+L’utilisation de valeurs approchées et le contrôle des résultats
+La résolution de problèmes permet aux élèves de prendre conscience que les nombres décimaux ne
+permettent souvent que d’y apporter des réponses approchées.
+Conformément à l’écriture du domaine 4 du socle (paragraphe « démarches scientifiques »),
+les ordres de grandeurs sont utilisés pour estimer et contrôler les résultats.
+
+
+Points de vigilance
+La rigueur et la précision de la dénomination orale des nombres décimaux contribuent à leur bonne
+compréhension. Le professeur doit avoir conscience du caractère modélisant de sa propre pratique
+et du fait que la dénomination d’usage social du type « 3 virgule 08 » peut renforcer les fausses
+représentations, notamment celle de la « virgule frontière ». Les échanges en classe offrent l’occasion
+de manipuler mentalement les changements de registres, ce que facilitent les formulations du type
+« 308 centièmes » ou « 3 unités plus 8 centièmes ». Attendre cette rigueur de la part des élèves les
+aide à établir les liens entre les différentes désignations et contribue à la compréhension des nombres
+décimaux. La maîtrise, par tous les élèves, des techniques opératoires sur les nombres décimaux est
+un objectif de fin de cycle. Un travail spiralé, mené sur toute la durée du cycle, sous forme de calcul
+mental ou réfléchi doit permettre de l’atteindre. Mais la technique s’acquiert aussi à travers la
+résolution de problèmes et nombreux sont ceux qui sollicitent les nombres décimaux; leur résolution
+contribue à consolider la compréhension de ces nombres. Ces problèmes peuvent relever de la vie
+courante, d’autres disciplines ou d’autres champs des mathématiques : calculs de coûts, coefficients
+de proportionnalité ou de linéarité, d’échelles ou de moyennes, mesures de grandeurs, conversions
+d’unités, etc.
+
+
+
+Différenciation
+Pour les élèves qui n’ont pas encore acquis une compréhension automatisée des décimaux, il est
+nécessaire de recourir à des outils de manipulation permettant de visualiser les rapports entre unité,
+dixième, centième pour asseoir le sens des désignations. Parmi ces outils on peut citer la droite
+graduée, mais aussi le carré ou le cube unité partagés en sous-unités, les tangrams, etc. On pourra
+se reporter à l’activité développée au paragraphe VI.
+Une bonne connaissance de faits numériques comme les multiples de 25 et leur relation avec 100, les
+divisions par 10, 100, 1000, etc. est indispensable à la bonne compréhension des nombres décimaux.
+Un travail routinier sur ces prérequis permet de dépasser certaines difficultés.
+Pour certains élèves, un manque d’assurance dans le calcul écrit constitue un véritable handicap
+et une source de blocage. Or, de même qu’une orthographe incertaine ne saurait interdire l’écriture,
+le manque de dextérité calculatoire ne doit pas constituer un blocage à toute activité mathématique.
+Il est donc indispensable de ne pas limiter l’activité des élèves les plus fragiles à des tâches purement
+techniques et il est déconseillé d’attendre systématiquement leur maîtrise avant de leur proposer des
+problèmes à résoudre, ce qui peut d’ailleurs constituer un puissant levier pour motiver l’acquisition des
+techniques.
+Dans le cadre d’un approfondissement, l’étude de quelques cas de non décimalité pourra être traitée.
+Exemples de situations d’apprentissage
+
+Contrôle de la vraisemblance du résultat d’un calcul sur les nombres décimaux
+
+Exemple de la division par un nombre décimal
+                                 0,6
+On propose aux élèves de calculer . On peut s’attendre à ce que certains proposent comme
+                                     0,2
+résultat 0,3 ou 0,03. Ils effectuent en effet la division de 6 par 2 et mettent soit un chiffre après la
+virgule en appliquant l’algorithme de l’addition, soit deux chiffres après la virgule en appliquant
+l’algorithme de la multiplication.
+                                                0,6
+La référence au quotient permet d’identifier        comme étant le nombre par lequel il faut multiplier 0,2
+                                              0,2
+pour obtenir 0,6. L’invalidation des résultats 0,3 et 0,03 repose alors sur les opérations 0,3 × 0,2 =
+0,06 et 0,03 × 0,2 = 0,006.
+Pour certains élèves, la compréhension de l’erreur passe par la verbalisation de la notion de partage
+en « Combien de fois 0,2 entre-t-il dans 0,6 ? » ou en sa formulation équivalente « Combien de fois 2
+dixièmes entrent-ils dans 6 dixièmes ? ». Ces formulations permettent d’amener les élèves à prendre
+                                                                   0,6
+conscience «qu’il y a plus d’une fois 0,2 dans 0,6 », et donc que      ne peut valoir ni 0,3 ni 0,03.
+                                                                    0,2
+Il convient également d’insister sur le fait que le résultat de la division par un nombre décimal inférieur
+à 1 est plus grand que ce nombre. Cela doit faire partie des automatismes de contrôle.
+
+
+Utilisation de la droite graduée
+L’activité ci-dessous utilise des zooms à différentes échelles.
+Source : académie de Rennes
+    1. Quel est le nombre indiqué par la flèche sur la droite graduée ci-dessous ?
+
+
+
+
+    2. On a représenté un agrandissement d’une partie de la droite graduée.
+       Quel est le nombre indiqué par la flèche sur l'agrandissement ?
+
+
+
+
+    3. On a représenté des agrandissements successifs d’une partie de la droite graduée.
+       Quel est le nombre indiqué par la flèche sur le dernier agrandissement ?
+
+
+
+
+Cette activité peut être complétée par l’exercice inverse, qui consiste par exemple à représenter
+2,472 sur la droite graduée.
+Mesure de grandeurs
+                                       La mesure de la surface des pièces d’un Tangram permet de
+                                       faire le lien entre écritures décimales, fractions décimales et
+                                       fractions non décimales puisqu’on peut utiliser comme unité
+                                       d’aire soit le plus petit des triangles, dont l’aire est égale à un
+                                       seizième de l’aire totale, soit le centimètre carré, en utilisant le
+                                       quadrillage.
+
+
+
+
+Autres exemples d'activités
+
+      Des exemples de questions flash
+      Un exemple de tâche intermédiaire : un problème de coûts
+      Un exemple de tâche avec prise d’initiative : Épaisseur d’une feuille de papier
+
+
+
+Ressources complémentaires
+Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
+pour aborder la notion de nombre décimal avec les élèves :
+
+      Le nombre au cycle 3 SCEREN - CRDP, septembre 2012
+      Les nombres au collège
+      Le calcul numérique au collège
+      Découvrir de nouveaux nombres au collège - brochure IREM de Strasbourg 2012
+      Des maths ensemble et pour chacun - Rouquès, J.-P. & Staïner, H.(2010) - Cinquième.
+       Nantes : CRDP des Pays de la Loire
+      Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des
+       mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière école-collège
+       BLOLON J. 1996, Identifiant BU : 96PA05H050
+      Banque des exercices de Mathématiques sans Frontières Junior
+      Enseigner et apprendre les nombres décimaux : dispositif d’évaluation diagnostique Decival
+       sur le site du Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de Louvain
+       (Belgique)
+       La sixième entre fractions et décimaux - Brochure de l’IREM de Lyon
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/009.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,19 @@
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/009.txt

@@ -0,0 +1,91 @@
+   Utiliser les nombres pour comparer,
+   calculer et résoudre des problèmes:
+          les nombres décimaux
+Exemples de questions flash : calculs sur les
+   décimaux, conversions entre système
+     décimal et système sexagésimal
+
+   ATTENDUS DE FIN DE CYCLE ; CONNAISSANCES ET COMPÉTENCES ASSOCIÉES
+   En développant le calcul mental sur des nombres décimaux et en se prêtant au contrôle
+   de la vraisemblance des résultats, cette situation d’apprentissage participe à la construction
+   de l’attendu de fin de cycle « utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre
+   des problèmes ».
+
+   COMPÉTENCES TRAVAILLÉES
+   Calculer, représenter.
+
+
+
+
+Énoncé
+  Q1             Calculer           Q4            Convertir          Q7               Exprimer
+
+                 0,3 × 0,2                     0,2 h en minutes                  36 minutes en heure
+
+  Q2             Calculer           Q5            Convertir          Q8               Exprimer
+
+                 1,1 × 0,4                     0,5 h en minutes                  20 minutes en heure
+
+  Q3             Calculer           Q6            Convertir          Q9               Exprimer
+
+                1,2 × 0,06                    0,25 h en minutes                  1h 45 min en heure
+
+
+
+
+Pistes pédagogiques
+C’est l’analyse et le traitement des erreurs qui donneront du sens aux automatismes visés.
+
+
+Questions Q1 à Q3
+Des élèves peuvent proposer 0,6 comme réponse à la question Q1, en appliquant un algorithme lié
+à l’addition. On renverra ces élèves au calcul 0,3 × 2 dont le résultat est 0,6 car « deux fois trois
+dixièmes est égal à six dixièmes ».
+Comme 0,2 est dix fois plus petit que 2, le produit 0,3 × 0,2 est dix fois plus petit que 0,3 × 2, il est
+donc égal à 0,06.
+Une autre approche peut être mise en avant. Elle consiste à raisonner à partir du produit des entiers :
+3 × 2 = 6. Comme 0,3 est dix fois plus petit que 3 et 0,2 dix fois plus petit que 6, le produit 0,3 × 0,2
+est cent fois plus petit que 6.
+L’entretien de telles démarches se fera sur la durée, avec un calcul de ce type par séance comme par
+exemple Q2 et Q3.
+
+
+Questions Q4 à Q9
+Les rencontres avec le système sexagésimal permettent aux élèves d’appréhender un autre système
+de numération et de s’interroger sur les liens entre les deux systèmes. Le passage de l’écriture
+décimale à l’écriture sexagésimale des durées gagne à être travaillé dans la durée, pour une meilleure
+appropriation. Ces calculs pourront ensuite être réinvestis dans divers problèmes.
+
+Convertir des durées inférieures à 1h
+En réponse à la question Q4, des élèves peuvent proposer 2 min ou 20 min, considérant que 0,2 h =
+                                                                      1               1
+0,20 h = 20 minutes. Après avoir fait remarquer que 20 minutes, c’est d’heure et que n’est pas égal
+                                                                      3               3
+à 0,2, on s’intéresse au sens du nombre 0,2 : c’est deux dixièmes et deux dixièmes d’heure, c’est 12
+min. Une autre procédure pourra être mise en évidence, en lien avec la proportionnalité : 1 h = 60
+min ; 2 h = 120 min ; 0,2 h = 120 min ÷ 10 ou 0,2 × 60 min.
+                                                                      1                   1
+Les questions suivantes permettent de revoir le lien entre 0,5 et , et entre 0,25 et .
+                                                                      2                   4
+
+0,5 h, c’est une demi-heure, c’est donc aussi 30 minutes. De nombreux élèves, en début
+d’apprentissage, pensent que 0,25 h = 25 min. Le lien entre les écritures décimale et fractionnaire
+de 0,25 permet de mettre en évidence que 0,25 h c’est un quart d’heure, donc 15 min.
+On pourra entretenir régulièrement ces types de raisonnements, en ajoutant progressivement des
+conversions de durées supérieures à 1h telles que 2,1 h = ….h ….min ou 1,75 h = ….h ….min.
+
+Passer du système sexagésimal au système décimal
+Beaucoup d’élèves pensent qu’il n’est pas possible d’exprimer 36 minutes en heure. Deux procédures
+peuvent être envisagées. La première est liée à la division : pour passer des heures aux minutes, on
+multiplie par 60, donc pour passer des minutes aux heures, on divise par 60.
+                                                                 1                        36
+La deuxième est liée aux fractions, une minute étant égale à          d'heure, 36 min =        h = 0,6 h.
+                                                                 60                       60
+
+Certains élèves peuvent proposer 0,3 h comme expression de 20 minutes en heure. Le travail
+précédent permet de leur faire comprendre que la réponse est erronée, puisque 0,3 h étant la moitié
+de 0,6h, c’est 18 min. La procédure liée aux fractions ou à la langue naturelle (20 c’est le tiers de 60)
+permet de conclure.
+On pourra poursuivre régulièrement ce travail en demandant de convertir en heure 15 min, 1h 45 min,
+3h 12 min, etc.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/010.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,18 @@
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/010.txt

@@ -0,0 +1,81 @@
+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Nombres et calculs
+
+
+
+                                    Utiliser les nombres pour comparer,
+                                   calculer et résoudre des problèmes :
+                                           les nombres décimaux
+                                 Un exemple de question à prise d’initiative :
+                                      épaisseur d’une feuille de papier
+                                    ATTENDUS DE FIN DE CYCLE ; CONNAISSANCES ET COMPÉTENCES ASSOCIÉES
+                                    Utiliser les nombres décimaux pour résoudre des problèmes :
+                                    • calculer avec les grandeurs mesurables, exprimer le résultat dans une unité adaptée ;
+                                    • estimer un ordre de grandeur.
+                                    COMPÉTENCES TRAVAILLÉES
+                                    Chercher, raisonner, calculer, communiquer.
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+                               Énoncé
+                               Environ 800 classes sont inscrites cette année au concours « Mathématiques sans Frontière
+                               Junior ». Les organisateurs de la compétition ont prévu de distribuer un sujet par participant.
+                               John affirme que, si on empilait la totalité des sujets, la pile serait aussi haute qu’une
+                               montagne. Pour savoir s’il a raison, donner une estimation de la hauteur de cette pile.
+                               Expliquer le raisonnement.
+                               Cette activité est issue de la compétition « Mathématiques sans Frontière Junior », 2015
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+                               Pistes Pédagogiques
+                               Les tâches dans lesquelles il manque certaines données permettent de développer les
+                               prises d’initiative. L’activité ci-dessus, qui peut être proposée dès la classe de 5e, permet aux
+                               élèves de faire évoluer leurs représentations des nombres décimaux, tout en nécessitant de
+                               l’imagination et la mise en place d’un raisonnement.
+                               Deux éléments sont à relever :
+                               • l’épaisseur d’une feuille de papier est inférieure à un millimètre ; un tel intervalle de mesure
+                                  est en général peu familier des élèves, pour lesquels la plus petite sous-unité connue
+                                  à ce niveau est le millimètre. Il est donc ici impossible de se référer à une sous-unité per-
+                                  mettant de transformer un décimal en un entier (comme par exemple lorsqu’on écrit
+                                  0,152 m = 152 mm), passage dont on sait qu’il est un obstacle didactique à la compréhension
+                                  des décimaux ;
+                               • la façon la plus pertinente d’évaluer l’épaisseur d’un sujet est de mesurer l’épaisseur d’une
+                                  pile importante de sujets ou de trouver le nombre de sujets à superposer pour obtenir une
+                                  pile d’1 cm d’épaisseur par exemple. Cette activité permet donc de trouver un nombre
+                                  décimal comme résultat d’un quotient.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                              Cette situation peut être scénarisée de différentes manières, qui doivent favoriser les
+                               démarches personnelles des élèves.
+                               Deux préconisations pour la mise en œuvre de cette situation :
+                               • inciter les élèves à utiliser ce qu’ils ont sous la main pour effectuer l’extrapolation des
+                                  données. Il peut s’avérer nécessaire de débloquer le travail des élèves en leur suggérant de
+                                  calculer l’épaisseur d’une ramette de papier ou d’un cahier afin de contourner la difficulté
+                                  d’une épaisseur trop petite pour les instruments de mesure couramment utilisés dans une
+                                  classe de collège ;
+                              • une mise en commun des démarches et surtout des procédures de détermination de l’épais-
+                                 seur d’un sujet permettra de mettre en relief certains attendus du cycle 4: explicitation de
+                                 la démarche et des résultats, mise en évidence et justification des extrapolations, calcul
+                                 d’ordres de grandeurs.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   2
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/011.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,18 @@
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/011.txt

@@ -0,0 +1,83 @@
+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Nombres et calculs
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+                                         Utiliser les nombres pour comparer,
+                                         calculer et résoudre des problèmes :
+                                                les nombres décimaux
+                                          Un exemple de tâche intermédiaire :
+                                                 un problème de coûts
+                                    ATTENDUS DE FIN DE CYCLE ; CONNAISSANCES ET COMPÉTENCES ASSOCIÉES
+                                    Résoudre des problèmes de proportionnalité :
+                                    • reconnaître une situation de proportionnalité ;
+                                    • utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes ;
+                                    • calculer le produit de deux nombres décimaux.
+                                    COMPÉTENCES TRAVAILLÉES
+                                    Chercher, raisonner, calculer.
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+                               Énoncé
+                               Des pommes sont vendues 2,6 € le kg. Calculer le prix de 700 g de ces pommes et celui
+                               de 2,3 kg.
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+                               Pistes Pédagogiques
+                               Le problème amène l’élève à se poser la question « combien de fois 1 kg la quantité donnée
+                               représente-t-elle ? ». La détermination du « nombre de fois » étant de difficulté croissante
+                               suivant le statut du nombre exprimant la quantité, ce type de problème, déjà abordé au cycle 3,
+                               peut être proposé tout au long du cycle 4.
+                               La résolution est accessible à la plupart élèves lorsque la quantité est exprimée par un
+                               nombre entier.
+                               Elle est déjà moins accessible lorsque ce nombre est un décimal non entier supérieur à 1
+                               (le prix de 2,3 kg est 2,3 fois celui de 1 kg).
+                               Elle devient difficile pour de nombreux élèves lorsque le nombre est un décimal inférieur
+                               à 1 (le prix de 0,7 kg est 0,7 fois celui de 1 kg). Les élèves pour qui la multiplication ne peut
+                               qu’agrandir les nombres pensent que l’opération à mobiliser pour trouver le prix de 700 g
+                               de pommes ne peut être qu’une division.
+                               Cette situation permet de faire le point sur les procédures mises en œuvre par les élèves
+                               et de les amener vers la méthode visant à multiplier 2,6 € par le nombre de kg.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                              Le calcul du prix de 2,3 kg permet la confrontation de deux procédures :
+                              • celle consistant ajouter les prix de 2 kg et de 300 g. Cette procédure est souvent majoritaire
+                                 en début d’apprentissage ;
+                              • celle consistant à considérer que 2,3 kg c’est 2,3 fois 1 kg et, ainsi, le prix de 2,3 kg est 2,3
+                                 fois celui de 1 kg, soit 2,3 × 2,6 €.
+                              Deux des procédures possibles pour calculer le prix de 700 g sont schématisées ci-dessous :
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+                              Ces deux schémas permettent de faire le lien entre multiplier un nombre par 0,7 et diviser
+                              ce nombre par 10 puis multiplier le résultat par 7. La comparaison des deux procédures
+                              permet de mettre en avant la plus grande efficacité de la deuxième procédure, celle-ci ne
+                              nécessitant qu’un seul calcul. Cependant, il faudra un certain temps pour que certains élèves
+                              se l’approprient, se sentant plus en sécurité avec une procédure qui leur était auparavant
+                              familière.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   2
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/012.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,18 @@
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/012.txt

@@ -0,0 +1,170 @@
+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation       CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Nombres et calculs
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+                                         Comprendre et utiliser les notions
+                                       de divisibilité et de nombres premiers
+
+                               Objectifs
+                               Au cycle 3, l’élève a découvert la notion de multiple et diviseur d’un entier naturel d’usage
+                               courant et les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10. Il a résolu des problèmes en
+                               mobilisant la division euclidienne selon deux approches :
+
+                                LA DIVISION – GROUPEMENT                                         LA DIVISION – PARTAGE
+                                Exemple                                                          Exemple
+                                La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe         La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves.
+                                d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il         Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de
+                                d’élèves ?                                                       jetons a chaque élève ?
+
+                                Résoudre un problème de division-groupement revient              Résoudre un problème de division-partage revient à
+                                à calculer le nombre de paquets identiques que l’on              calculer la valeur d’un paquet connaissant le nombre
+                                peut faire dans une collection connaissant la valeur d’un        de paquets identiques que l’on peut faire dans une
+                                paquet.                                                          collection.
+
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+                               Au cycle 4, la division euclidienne continue à être mobilisée ; les notions de multiple et de
+                               diviseur sont étendues à l’ensemble des entiers naturels. Progressivement, l’élève découvre
+                               les notions de diviseur commun et de nombre premier. Il mobilise ces connaissances pour
+                               résoudre des problèmes.
+                               L’apprentissage du raisonnement est un objectif central auquel contribue de façon spécifique
+                               le travail en arithmétique. L’activité mathématique proposée aux élèves doit prendre appui sur
+                               des situations variées.
+                               Il s’agit d’amener les élèves à élaborer des raisonnements de divers types :
+                               • par disjonction de cas : « Si deux entiers naturels ne sont pas multiples de 3, alors leur pro-
+                               duit n’est pas multiple de 3 » (disjonction de cas suivant les restes de la division euclidienne
+                               par 3).
+                               • par l’absurde : « n désigne un entier qui n’est pas premier. Montrer que n a un diviseur plus
+                               petit que √n. » ; « Irrationalité de √2. »
+                               • à l’aide d’un contre-exemple : « Vrai-Faux : quel que soit l’entier naturel n,
+                               le nombre n² - n + 11 a exactement 2 diviseurs. (n = 11 fournit un contre-exemple.)
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016                1
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                              Liens avec les domaines du socle
+                              La recherche de diviseurs ou de multiples d’un entier naturel ou communs à deux entiers
+                              naturels, la simplification de fractions, la décomposition d’un entier naturel en produit de
+                              facteurs premiers conduisent à effectuer avec discernement des calculs mentaux, posés ou
+                              instrumentés (domaine 1).
+                              De façon générale, l’analyse des erreurs, le travail par « essais/ajustements » et le travail
+                              collaboratif, en groupe ou en équipe et, plus spécifiquement, la reconnaissance du caractère
+                              irréductible d’une fraction, l’identification ou la production de nombres premiers conduisent
+                              à s’engager dans des démarches de recherche, y compris algorithmiques, à produire des
+                              exemples ou des contre-exemples (domaine 2).
+                              La résolution de problèmes mettant en jeu des entiers naturels (comme les problèmes de
+                              conjonction, voir par exemple l’activité « Ça roule »), qui conduit à observer, manipuler et
+                              argumenter, et le travail de la preuve (critères de divisibilité, par exemple) permettent de
+                              rencontrer et de produire des raisonnements spécifiques (par l’absurde, par disjonction de
+                              cas, à l’aide de contre-exemples notamment), ce qui favorise l’apprentissage du raisonnement
+                              (domaines 3 et 4).
+
+
+                              Progressivité des apprentissages
+                              La division euclidienne est travaillée sur toute la durée du cycle. Les critères de divisibilité,
+                              les notions de diviseur et de multiple d’un entier naturel sont à réinvestir dès le début du
+                              cycle. Dans la perspective de l’apprentissage du raisonnement, les nombres premiers peuvent
+                              être introduits dès le début du cycle et travaillés tout au long du cycle. La notion de fraction
+                              irréductible est introduite en classe de 3e, donnant une occasion d’aborder la notion de
+                              diviseur commun à deux entiers naturels. Dans la mesure où cette approche met en jeu des
+                              entiers de taille raisonnable, la fraction irréductible s’obtient par simplifications successives et
+                              ne nécessite pas le calcul du PGCD.
+
+
+                              Stratégies d’enseignement
+                              Les questions flash (Multiples, diviseurs et critères de divisibilité et Nombres premiers)
+                              contribuent à la construction du sens « multiple/diviseur » et à l’appropriation des critères de
+                              divisibilité. Proposées régulièrement sur la durée du cycle, elles permettent de réactiver ces
+                              savoirs et savoir-faire ; elles peuvent concourir à une évaluation diagnostique.
+
+                              Le travail sur l’erreur s’appuie sur un retour au sens, en lien avec la définition de diviseur et
+                              de multiple ainsi que la production d’exemples et de contre-exemples. L’arithmétique est un
+                              domaine dans lequel l’élève est amené à mettre en œuvre différents types de raisonnement.
+
+                              L’oral constitue une aide à la compréhension et participe du traitement de l’erreur.
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+
+                              Différenciation
+                              Dans ce thème, la différenciation peut notamment consister en :
+
+                              • un accompagnement spécifique que ce soit pour des travaux en classe ou hors la classe ;
+                              • l’élaboration de la preuve d’un résultat général, d’une propriété (critère de divisibilité par 3
+                              par exemple) ou la résolution d’un problème (voir par exemple le prolongement proposé dans
+                              la tâche intermédiaire « Un petit nombre ») à l’aide d’un exemple générique ; la démonstration
+                              dans le cas général pouvant faire l’objet d’un approfondissement proposé à certains élèves.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   2
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                              Exemples de situations d’apprentissage
+                              Les tâches proposées peuvent notamment consister en des activités mentales, conduire à
+                              l’élaboration d’algorithmes et de programmes et exiger la mise en œuvre de raisonnements.
+
+                              Exemples d’activités
+                              Exemples de questions flash
+                              • Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
+                              • Nombres premiers
+                              Exemples de tâches intermédiaires
+                              • Qui suis-je ?
+                              • Un habile partage
+                              • Un petit nombre
+                              • Une grande lectrice
+                              Exemples d’activités avec prise d’initiative
+                              • Ça roule
+                              • Système monétaire
+                              • Conjecture de Syracuse
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+                              Interdisciplinarité
+                              Les entiers naturels interviennent principalement dans la résolution de problèmes internes
+                              aux mathématiques relevant de la divisibilité et de la primalité. L’étude de tels problèmes
+                              permet aux élèves de s’approprier des connaissances et d’acquérir des compétences qui
+                              favorisent tout particulièrement l’apprentissage du raisonnement.
+
+                              De façon complémentaire, l’étude de problèmes d’engrenages, de conjonction de phénomènes
+                              périodiques, issus de la physique et de la technologie, participent de la formation des élèves.
+
+                              Des EPI portant sur les thématiques « Information, communication, citoyenneté » (stockage
+                              de l’information, cryptage) ou « Langues et cultures de l’Antiquité » (prédiction des éclipses
+                              solaires et lunaires, nombres parfaits) seront l’occasion de construire l’attendu de fin de cycle
+                              « Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ».
+
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+                              Ressources complémentaires
+                              Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements
+                              utiles pour aborder les notions de divisibilité et de nombres premiers avec les élèves :
+
+                              • Du numérique au littéral
+                              • Raisonnement et démonstration
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+Retrouvez Éduscol sur
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/013.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/013.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Compétences travaillées en mathématiques
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+                                                                               Chercher
+
+                              Chercher est peut-être la première des compétences à laquelle on pense lorsqu’on tente de
+                              décrire l’activité mathématique. Elle en constitue sans doute la part la plus exaltante pour
+                              celles et ceux qui aiment les mathématiques. Mais aussi la part la plus difficile pour d’autres.
+                              Il faut reconnaitre qu’il s’agit de l’une des compétences qui se laissent le moins facilement
+                              circonscrire. Amener les élèves à savoir quoi chercher et comment chercher est donc un
+                              objectif ambitieux, mais nécessaire au développement de toutes les autres compétences au
+                              cycle 4.
+
+                              Deux activités pour un même terme
+                              La compétence « Chercher » recouvre dans le travail quotidien de l’élève comme du
+                              mathématicien deux activités qu’il convient de distinguer. On peut illustrer cette dualité, qui
+                              tient simplement à la polysémie du verbe chercher, par les deux consignes suivantes, toutes
+                              deux relatives à une série de représentations d’angles :
+
+
+
+
+                              • Première consigne : « Chercher quels sont les angles droits »
+                              • Deuxième consigne : « Chercher comment classer les angles »
+
+                              Il s’agit de deux activités mettant en œuvre une recherche, mais alors que dans le premier cas,
+                              l’élève met en œuvre des processus éprouvés, repère et utilise les attitudes expertes qui lui
+                              auront explicitement été indiquées comme telles, dans l’autre, il s’agit de donner un sens à la
+                              question, voire de définir la question.
+
+                              Le préambule du programme de mathématiques du cycle 4 illustre bien le premier sens de la
+                              compétence « Chercher » dans la mesure où il précise qu’on attend de l’élève qu’il sache
+                              « extraire d’un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à
+                              ses connaissances ».
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+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              Au cycle 4, on laisse à l’élève plus d’autonomie. Les situations proposées nécessitent en effet
+                              une part plus importante d’initiative : compléter un tableau, voire construire un tableau qui
+                              n’est pas présent, effectuer des calculs qui ne sont pas explicitement demandés.
+
+                              Quant au deuxième sens, il est également présent dans le volet « Compétences travaillées »
+                              du programme: il s’agit d’« émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-
+                              exemples », mais aussi de « tester, essayer plusieurs pistes de résolution ».
+
+                              Dans ce second sens, il est cependant moins évident de décrire de quoi il s’agit et ce qu’on
+                              attend véritablement de l’élève. Il ne s’agit pas, en tout cas, de deviner une question fermée
+                              que l’enseignant aurait en tête et il convient d’explorer plus avant ce qui constitue cette part
+                              essentielle de la compétence « Chercher ».
+
+                              Que se passe-t-il lorsque l’on cherche ?
+                              Chercher peut être vu en première analyse comme une activité transitoire pour l’élève, un
+                              échafaudage que l’on oublie une fois le bâtiment achevé. Pour aboutir au résultat d’un calcul,
+                              pour établir un raisonnement, pour construire une modélisation, on sait qu’il a fallu une phase
+                              de recherche, mais qui ne laisse pas de trace sur le résultat final : on recopie au propre et on
+                              note la synthèse dans le cahier.
+
+                              Cette phase de recherche et de tâtonnement (« je cherche… », dit l’élève en cachant son cahier)
+                              est pourtant essentielle en mathématiques et la réussite de tous les élèves passe par le fait
+                              d’expliciter au mieux ce qui s’y joue.
+
+                              On peut dégager au moins deux grands axes dans cette réflexion sur l’activité de recherche.
+
+                              La dimension temporelle est essentielle : il faut du temps, et c’est dans le temps que
+                              les choses vont se transformer. Ne pas donner immédiatement l’idée, ou une amorce de
+                              solution, mais laisser un temps d’indétermination où puissent s’élaborer des représentations
+                              personnelles et variées.
+
+                              La place de l’erreur constitue également un élément capital : si transformation il y a, c’est
+                              qu’à un moment, les choses n’étaient pas justes. Comme le dit le mathématicien Alexandre
+                              Grothendieck1 : « Craindre l’erreur et craindre la vérité est une seule et même chose. Celui qui
+                              craint de se tromper est impuissant à découvrir. C’est quand nous craignons de nous tromper que
+                              l’erreur qui est en nous se fait immuable comme un roc. »
+
+                              Cette peur dont parle le mathématicien (peur de se tromper, peur de ne pas bien faire, de ne
+                              pas savoir quoi faire) une phrase aussi anodine que « Voilà, maintenant, vous pouvez chercher »
+                              peut la déclencher chez les élèves : chercher quoi, chercher comment, chercher jusqu’où ? Si
+                              cette phrase est prononcée, il faut donc qu’elle ait été précédée d’expériences plus balisées.
+                              Il faut également laisser un temps suffisant pour prendre le risque d’essayer, de se tromper,
+                              d’identifier son erreur, mais un temps explicitement limité pour ne pas tomber dans une
+                              activité sans limite et sans consistance. Il faut enfin donner aux élèves les outils permettant de
+                              dépasser la peur de se tromper.
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+                              1. Récoltes et Semailles : Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien, Université Paris 6, Grothendieck
+                              Circle, 1986, Première partie, § 5.2.
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+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              Un chemin qui laisse des traces
+                              Ces outils peuvent être définis comme ce qui reste lorsque la recherche est terminée, en
+                              dehors du résultat lui-même. Ils peuvent être pour une part identifiés par les élèves, par le
+                              biais d’un carnet de recherche ou de phrases notées sur le cahier : « j’ai essayé avec trois et
+                              quatre », « j’ai fait des figures et j’ai mesuré ». Mais ils doivent aussi être explicitement isolés et
+                              identifiés par l’enseignant : « vous avez essayé plusieurs choses très intéressantes… », « en fait,
+                              ce que tu as fait, c’est ce qu’on appelle… », « lorsque l’on rencontre un problème de ce type, on fait
+                              souvent plusieurs figures… »
+
+                              Cette manière d’associer des problèmes et des méthodes permet ensuite de construire des
+                              situations références : « et si tu essayais les mêmes idées que pour le problème de la somme
+                              de trois nombres ? ». Les élèves peuvent ainsi peu à peu donner de l’épaisseur à l’activité de
+                              recherche : chercher, c’est tester avec des nombres, c’est émettre des hypothèses, c’est
+                              parfois proposer une question. Le passage à la démonstration, qui constitue un des objectifs
+                              du cycle 4, ne peut être réussi pour les élèves les plus fragiles que s’ils en perçoivent les
+                              moyens et les buts au travers de situations diverses et explicitement désignées comme
+                              représentatives de l’activité de recherche.
+
+                              On notera à ce stade qu’au travers de l’apparition du thème E, « Algorithmique et
+                              programmation », ces questions trouvent un cadre nouveau et particulièrement propice. Tout
+                              d’abord, les outils de la recherche y sont explicitement désignés comme des objets de savoir
+                              à part entière : « décomposer un problème en sous-problèmes », « reconnaitre des schémas »,
+                              outils et méthodes qui seront évidemment réinvestis avec profit dans d’autres champs du
+                              programme.
+
+                              Ce thème offre également un cadre rassurant aux élèves quant à la place de l’erreur, qui fait
+                              en effet partie intégrante de la démarche de programmation : « Écrire, mettre au point (tester,
+                              corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné ». De plus, la validation
+                              n’y est pas celle de l’enseignant, mais celle, plus neutre, de l’exécution du programme qui
+                              marche ou ne marche pas.
+
+                              Une activité extraordinaire ?
+                              La mention du carnet de recherche amène naturellement à évoquer la pratique des problèmes
+                              ouverts, et plus largement des défis, dans la classe, mais aussi en dehors de la classe sous
+                              la forme de clubs, ateliers, concours (MATh.en.JEANS, stages MathC2+, etc.). L’apport de tels
+                              dispositifs est indéniable, dans leur dimension collective et collaborative, comme dans leur
+                              aspect ludique. Mais ce serait une erreur de réduire la compétence « Chercher » à une activité
+                              extraordinaire, rare et sans effet sur l’ordinaire de la classe constitué quant à lui de questions
+                              fermées et balisées. Il importe de repenser les activités les plus quotidiennes, les plus
+                              simples, sous l’angle de ce qu’elles peuvent apporter, même modestement, à l’élaboration de
+                              la compétence « Chercher ».
+
+                              Cela peut être à l’occasion d’une activité de calcul mental, sous forme de petits défis : trouver
+                              l’opération et non pas le résultat, trouver le résultat le plus grand possible, ou travailler sur la
+                              multiplication, comme sur cet exemple2 :
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+
+
+
+                              2. Exemple issu de Le calcul mental au collège, sous la direction de Bernard Anselmo et Hélène Zuchetta, 2013.
+Retrouvez Éduscol sur
+
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+
+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016       3
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
+
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+                              Nombre de départ →                        ×5
+                              				                                      ↓
+                              				                                      ×3
+                              				                                      ↓
+                              Nombre d’arrivée ←                        ×2
+
+                              Une série de nombres de départ étant donnés, la consigne est de calculer le plus vite possible,
+                              ce qui peut constituer une première approche de certaines propriétés du produit, avant de les
+                              institutionnaliser peu à peu.
+
+                              L’arithmétique est un terreau particulièrement riche pour entretenir au quotidien la
+                              compétence « Chercher ». La familiarité des élèves avec les nombres entiers leur permet en
+                              effet de s’engager plus facilement dans une démarche d’essais et hypothèses. L’élaboration
+                              d’une conjecture utilisant le langage symbolique peut constituer alors l’un des buts de la
+                              phase de recherche3.
+
+                              En algèbre, un travail sur les variables didactiques peut souvent permettre de transformer
+                              une question fermée en une activité mettant en œuvre une véritable recherche. Ainsi, lors
+                              d’un travail sur l’utilisation du calcul algébrique pour montrer que deux programmes de
+                              calcul donnent le même résultat, on peut remplacer la consigne « Montrer que les programmes
+                              suivants aboutissent tous les deux au même résultat » par la consigne « Voici deux programmes de
+                              calcul, que peut-on en dire ? ». L’élève est ainsi amené à expérimenter, à déterminer peu à peu
+                              une question, ainsi que les moyens d’y répondre.
+
+                              En géométrie, les problèmes de construction forment
+                              un grand répertoire d’activités de recherche où la
+                              découverte progressive des configurations et des
+                              transformations outille peu à peu l’élève. L’utilisation
+                              d’un même support peut par ailleurs amener des
+                              questions qui mettent en jeu une recherche autour des
+                              transformations, en variant les niveaux de difficulté.
+
+                               Considérons par exemple le pavage ci-contre
+                              (Mozaïque de l’Alhambra)
+
+                              • Comment ce pavage est-il construit ? »
+                              • Cette figure étant donnée, comment peut-on
+                              construire le pavage ? »
+                              • Quelles transformations reconnait-on ? »
+                              • Comment peut-on construire le pavage à partir de la
+                              figure la plus simple possible ? »
+                              • Peut-on construire le même pavage, avec des motifs
+                              différents ? »
+                              									                                                                          Source : FreeImages.com /Eric Weijers
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+                              Conclusion
+                              Remettre du doute, remettre du jeu pour conserver ce plaisir de l’activité mathématique
+                              quotidienne que connaissent les enfants au cycle 3, tout en poursuivant le développement des
+                              autres compétences, tels sont les enjeux de l’attention portée au cycle 4 au développement de
+                              la compétence « Chercher ».
+
+
+                              3. Et ce même si la démonstration de la conjecture n’est pas à la portée des élèves.
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016         4
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              Bibliographie
+                              • ASTOLFI,J.-F.(1997). L’erreur, un outil pour enseigner. Paris : ESF.
+                              • PERRIN D. (2007), En mathématiques, que cherche-t-on ? comment cherche-t-on ?
+                              conférence donnée au collège de Boussy Saint-Antoine.
+                              • Ressources d’accompagnement des programmes de mathématiques de 2008 :
+                                --Géométrie au collège
+                                --Raisonnement et démonstration
+                              • ANSELMO B. & ZUCHETTA H.(dir.) (2013). Le calcul mental au collège. Paris : SCEREN.
+                              • MANTE M.& ARSAC B.(2007). Les pratiques du problème ouvert. Paris : SCEREN.
+                              • BAUDART F.(2011). Monde de l’oral et monde de l’écrit en mathématiques, Le Français
+                              aujourd’hui174,107-118 .
+                              • Document préparatoire à la 16° étude de la CIEM4 : Challenging Mathematics in and beyond
+                              the Classroom (le document est en français).
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+                              4. Commission internationale de l’enseignement mathématique.
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   5
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/014.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/014.txt

@@ -0,0 +1,352 @@
+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Compétences travaillées en mathématiques
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+                                               Communiquer à l’écrit et à l’oral
+                              Communiquer efficacement dans le cadre d’une activité mathématique est un objectif de
+                              formation essentiel, recouvrant plusieurs champs de compétences : comprendre des énoncés,
+                              produire des textes aux finalités diverses, s’exprimer oralement.
+                              C’est aussi par la médiation d’échanges que le professeur apprécie le niveau de maîtrise de
+                              l’élève. Cette double fonction de la communication, objet de formation et moyen d’apprécier la
+                              réussite de l’élève, a son importance. S’il convient que l’élève apprenne à s’exprimer avec un
+                              maximum de rigueur et de clarté, il ne faut pas pour autant considérer que celui qui s’exprime
+                              avec peine a nécessairement des difficultés mathématiques. Il s’agit avant tout d’ouvrir le
+                              champ de la résolution de problèmes au plus grand nombre d’élèves, y compris à ceux qui ont
+                              des difficultés à entrer dans les codes de la rédaction d’une démonstration.
+
+                              Prendre en compte les spécificités de la langue utilisée dans
+                              l’activité mathématique
+                              Toutes les difficultés des élèves ne sont pas imputables à des problèmes de langue et tous
+                              les problèmes de langue ne résultent pas d’un déficit lexical. Des malentendus peuvent naître
+                              d’énoncés ambigus, d’un déficit d’explications ou de la difficulté à gérer les interactions entre
+                              plusieurs registres de langue.
+
+                              Le domaine 1 du socle commun, les langages pour penser et communiquer, vise à prendre
+                              en compte, au-delà de la maîtrise de la langue française, la spécificité de certains langages.
+                              Ainsi, la communication mise en œuvre en mathématique se caractérise par la coexistence
+                              d’un langage précis et codifié pouvant faire intervenir des symboles, et d’une langue plus
+                              proche de la langue naturelle qui permet d’échanger des idées ou de donner des explications.
+                              L’utilisation simultanée de ces deux niveaux d’expression et d’une gamme de niveaux
+                              intermédiaires, avec leurs règles propres qui peuvent varier, mérite un accompagnement
+                              particulier. Cet accompagnement doit notamment éveiller l’élève à l’idée que le débat
+                              scientifique est soumis à des spécificités.
+
+                              En mathématiques, le sens d’une phrase est sensible à l’ordre des mots, ainsi qu’à la
+                              signification des connecteurs logiques ou de quantificateurs plus ou moins explicites.
+
+
+                                    Le sens de la phrase « Tout multiple de 15 est multiple de 5 » est modifié si on intervertit les
+                                    entiers mentionnés.
+                                    La phrase « On sait que ABCDE est un pentagone régulier, donc 360/5 = 72 (…) » n’est pas correcte,
+                                    bien que l’élève ait sans doute correctement analysé la figure.
+                                    Dans la phrase « Un carré a quatre angles droits », il faut comprendre que ce qui est dit vaut
+                                    pour n’importe quel carré. Si l’on donne comme définition : « Un rectangle est un quadrilatère
+                                    qui a quatre angles droits », cette phrase apparemment proche de la précédente fournit une
+                                    double information permettant de caractériser un rectangle.
+
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              En mathématiques, la concision des énoncés peut être source de malentendus.
+
+                                    La même phrase « Tout multiple de 15 est multiple de 5 » peut être comprise à tort comme une
+                                    équivalence.
+
+
+
+                              La concision est par ailleurs un objectif, non pour sa dimension esthétique, mais pour la
+                              cohérence de la solution. Ainsi, la rédaction d’une démonstration relève d’une pratique très
+                              codifiée où par exemple il convient de ne pas multiplier les arguments si un seul peut suffire.
+
+                              Bien entendu, un tel objectif doit faire l’objet d’une réflexion pédagogique afin d’adapter
+                              les attentes aux possibilités des élèves de collège, pour lesquels l’appropriation de cette
+                              contrainte est en cours d’acquisition.
+
+                              En mathématiques, des tableaux, des graphiques ou d’autres modes de représentation,
+                              peuvent se substituer efficacement à des phrases qui seraient nettement plus difficiles à
+                              comprendre.
+
+
+                                    Au même titre que l’on ne saurait remplacer les panneaux des gares affichant les horaires des
+                                    trains par des phrases, la puissance des notations mathématiques permet de condenser un
+                                    nombre important d’informations. Au lycée, un tableau de variation ou un arbre de probabilités
+                                    sont porteurs de conventions que l’on peut mobiliser pour démontrer. De même au collège, un
+                                    tableau de proportionnalité, le recours au calcul littéral, ou une figure codée permettent une
+                                    économie de pensée.
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+                              De nombreux termes utilisés en mathématiques proviennent de la langue courante, mais
+                              prennent un sens différent. Une liste de termes polysémiques rencontrés en mathématiques
+                              au collège peut être portée à la connaissance des élèves [liste de termes polysémiques
+                              rencontrés en mathématiques].
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+                              En mathématiques, la structure d’une phrase ne renseigne pas toujours sur le statut de
+                              l’énoncé. On peut notamment distinguer : la donnée d’une information (énoncé d’un problème),
+                              l’institutionnalisation (définition, propriété), la démonstration, la consigne donnée par le
+                              professeur, les commentaires émis par l’élève (narration de recherche) ou par le professeur
+                              (annotations sur une copie).
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+                                    Par exemple, les phrases suivantes figurant dans un même cahier d’élève sont construites de la
+                                    même façon, mais ont une fonction différente : « La somme des angles d’un triangle est égale à
+                                    180°. », « La longueur totale du trajet est de 60 km », « I milieu de [AB] est équidistant des points
+                                    A et B ».
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+                              Plus généralement, la part importante d’implicite constitue un obstacle dont il faut prendre
+                              acte.
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+                              L’accumulation de ces difficultés potentielles montre à quel point la compréhension d’un
+                              texte mathématique et, a fortiori, la production d’un texte tel qu’une démonstration recèlent
+                              de nombreux obstacles. En avoir conscience doit permettre au professeur d’adapter ses
+                              exigences pour mieux former les élèves.
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+                              Il va de soi que la détection de telles difficultés ne peut s’opérer à partir d’un catalogue
+                              préétabli. Une démarche d’entretien avec l’élève concerné est indispensable.
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Placer les élèves en situation de production écrite
+                              Garantir la compréhension des énoncés et des consignes est un préalable essentiel.
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+                              Certaines habitudes de travail instaurées au cycle 3 peuvent être avantageusement prolongées
+                              au cycle 4, comme par exemple : ménager un temps de lecture silencieuse des énoncés,
+                              faire expliciter le vocabulaire spécifique, lui donner du sens en précisant éventuellement son
+                              étymologie, s’assurer de la compréhension des textes lus.
+
+                              En vue de renouveler l’activité de lecture pour solliciter l’attention et l’esprit critique, se sont
+                              développées certaines activités : construction par les élèves d’un énoncé de problème à partir
+                              de quelques données, ou présence dans un énoncé des données superflues. Cette dernière
+                              pratique peut présenter un intérêt dès l’instant où elle ne vise pas à tendre des pièges mais
+                              s’apparente au traitement de données réelles.
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+                              Au-delà de ces considérations, en vue d’étendre leurs compétences dans le domaine de la
+                              lecture, il convient d’inciter les élèves à lire en dehors de la classe d’autres textes que ceux du
+                              cours ou des exercices (articles, revues, livres, etc.) et de réinvestir ces lectures en classe.
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+                              Le passage au cycle 4 s’accompagne d’exigences plus importantes en matière de production
+                              écrite, avec à la fois un volume plus conséquent et un niveau de complexité plus élevé.
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+                              Cette évolution doit être progressive sur la durée du cycle et s’accompagner d’un certain
+                              nombre de précautions d’ordre pédagogique.
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+                              On peut distinguer plusieurs modalités :
+                              • les écrits de la classe avec le professeur ;
+                              • les écrits personnels ;
+                              • les écrits de groupe.
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+                              Les écrits rédigés par la classe avec le professeur ont généralement pour objet
+                              d’institutionnaliser et de structurer ce qui est à retenir.
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+                              Une organisation efficace des supports utilisés (cahier, ordinateur, tablette, etc.) doit contribuer
+                              à la qualité des traces écrites conservées. Il est important de :
+                              • définir l’organisation du cahier, en prenant appui sur un plan clairement affiché et sur
+                              d’autres éléments structurants ;
+                              • préciser à chaque séance la place de la trace écrite (cours, exercices, écrits personnels, etc.) ;
+                              • relever régulièrement les cahiers et si nécessaire les faire corriger par les élèves ;
+                              • prévoir durant la séance des moments où l’élève copie ce qui est écrit au tableau ;
+                              • s’assurer systématiquement de la compréhension du texte copié.
+
+                              Parallèlement, un entraînement à la prise de notes est à instaurer très progressivement en
+                              concertation avec les professeurs des différentes disciplines.
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+                              Mais bien entendu, la pratique d’écriture en classe ne saurait se réduire à la copie de ce que
+                              le professeur écrit au tableau. L’enjeu majeur à ce niveau consiste à procurer aux élèves
+                              une marge d’initiative suffisante pour leur permettre de progresser dans l’écriture de textes
+                              mathématiques.
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+                              Il est donc primordial d’accorder très régulièrement un temps significatif à la production
+                              d’écrits personnels. Ce temps d’écriture doit être clairement identifié et bénéficier de
+                              conditions propices (silence, durée suffisante). Cette production peut consister à exposer des
+                              idées, à décrire une démarche, ou à exposer une solution.
+
+                              Ménager une certaine difficulté est nécessaire, mais on évitera de fractionner artificiellement
+                              les difficultés dans l’espoir que l’élève saura ensuite réunir des savoir-faire exercés
+                              séparément. Ainsi, l’usage de fiches à trous à compléter ne permet pas de le placer en
+                              situation d’expression écrite et ne présente donc pas d’intérêt pour sa formation dans ce
+                              domaine.
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+                              Il faut accepter la production d’écrits intermédiaires, forcément imparfaits, par exemple au
+                              moyen d’un cahier de brouillon qui permet de « prôner l’imperfection pour exiger in fine la
+                              perfection »¹.
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+                              Une activité intéressante peut consister à comparer les différentes versions d’un texte,
+                              par exemple les solutions données par plusieurs élèves ou par un même élève à différents
+                              moments.
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+                              Ces recommandations correspondent parfaitement à la consigne donnée aux candidats lors
+                              des épreuves d’examen (DNB, baccalauréat) : « Toute trace de recherche sera prise en compte
+                              dans l’évaluation », invitant les élèves à s’engager dans une activité de recherche et à faire part
+                              de leur cheminement.
+
+                              Le travail d’écriture à l’initiative de l’élève doit lui permettre de prendre conscience des
+                              exigences particulières du discours mathématique. Plutôt habitué à raconter qu’à expliquer, le
+                              plus souvent selon une logique d’exposition chronologique, l’élève doit passer de la narration à
+                              un mode d’exposé scientifique où l’auteur ne s’implique pas de la même façon.
+                              Par exemple, une démonstration est rédigée selon un mode neutre, en mettant en évidence les
+                              enchaînements logiques.
+
+                              De ce point de vue, la pratique dite des « figures téléphonées » où l’élève doit décrire à
+                              un camarade, qui ne la voit pas, une figure donnée dans le but qu’il la reproduise, est
+                              particulièrement formatrice. Cet exercice, qui peut également se concevoir à l’oral, demande
+                              à l’élève prise de recul et rigueur d’expression, tout en l’obligeant à apprécier correctement le
+                              degré d’explicite attendu.
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+                              S’inscrivant dans le cadre de travaux collectifs, les écrits de groupe peuvent déboucher sur la
+                              synthèse de propositions individuelles. Ils sont un moyen d’apprendre à travailler ensemble à
+                              travers la mise en commun des idées ou la confrontation des démarches.
+
+                              Quelle que soit la modalité adoptée, la place de la production écrite dans la séance gagne à
+                              être méthodiquement programmée. L’un des enjeux est d’éviter de superposer les difficultés.
+                              Ainsi il vaut mieux ne pas confondre le temps de la réflexion, où émergent les idées, celui de
+                              la mise en forme des idées, où l’on tend vers une formalisation de la solution, et celui de la
+                              rédaction de celle-ci sous une forme aboutie. Accepter de différer le moment de la production
+                              écrite plutôt que de demander immédiatement un texte irréprochable, peut également libérer
+                              la recherche. Dans le même esprit, l’évaluation ne peut reposer uniquement sur la production
+                              du produit fini.
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+                              1. D’après La maîtrise de la langue au collège, page 92 – voir bibliographie.
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Développer les compétences d’expression orale
+                              Si l’enseignement est devenu moins magistral, la répartition du temps de parole entre le
+                              professeur et les élèves demeure parfois déséquilibrée. Plus que la durée des interventions,
+                              c’est la nature des prises de parole qui doit être examinée. Il arrive que la participation de
+                              l’élève se limite à répondre à des questions fermées appelant des réponses très brèves. Le
+                              professeur, soucieux d’aboutir rapidement, ne donne pas toujours l’occasion ni le temps
+                              d’élaborer une réponse construite. L’échange peut alors consister en la succession de
+                              séquences : question du professeur - réponses d’élèves - commentaires du professeur.
+
+                              Cette pratique résulte d’un double malentendu à propos de la participation orale :
+                              • penser que son seul objectif est d’entretenir une « classe vivante », pour créer une ambiance
+                              qui devrait être favorable à l’apprentissage ;
+                              • considérer qu’elle doit conduire à tout prix à « la » bonne réponse pour ensuite ne conserver
+                              qu’elle.
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+                              Or, la maîtrise de l’expression orale, au même titre que celle de l’écrit, constitue un objectif de
+                              formation à part entière.
+
+                              Cette maîtrise ne s’acquiert pas spontanément. Elle a ses spécificités et ne se limite pas à une
+                              transposition des compétences relevant de l’écrit.
+
+                              Pour atteindre ces objectifs, il peut être utile de veiller à :
+                              • réunir de bonnes conditions d’écoute ;
+                              • privilégier des questions appelant une réponse structurée ;
+                              • exiger des réponses par phrases complètes ;
+                              • solliciter tous les élèves ;
+                              • enrichir le lexique ;
+                              • faire mémoriser des écrits de référence (définitions, théorèmes, etc.).
+
+                              Mais au-delà des aspects linguistiques, qui sont essentiels, la maîtrise de l’oral gagnera à
+                              s’intégrer dans une perspective de communication. Aussi s’acquiert-elle par une pratique
+                              régulière dans des situations pertinentes.
+                              En effet, la pratique de l’oral n’est formatrice que si elle répond à un véritable besoin
+                              de s’exprimer. En d’autres termes, une pédagogie de l’oral passe par des situations de
+                              communication offrant de vrais enjeux pour les interlocuteurs : s’expliquer, décrire,
+                              argumenter, convaincre, décider, etc.
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+                              Par conséquent, il est souhaitable de diversifier les situations de communication :
+                              • échanges pour s’assurer de la compréhension d’un énoncé ;
+                              • organisation d’un débat entre élèves ou groupes d’élèves pour confronter des pistes de
+                              résolution d’un problème ;
+                              • présentation d’une solution ;
+                              • compte rendu de l’avancée d’un travail réalisé en petits groupes ;
+                              • exposé d’un travail de recherche sur un thème donné, pouvant être à dimension historique
+                              ou culturelle, ou concerner une notion non encore étudiée ;
+                              • aide à d’autres élèves dans le cadre d’un tutorat.
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+                            Par ailleurs, si l’une et l’autre recouvrent des compétences spécifiques, la maîtrise de l’oral et
+                            celle de l’écrit sont liées entre elles et le travail réalisé en faveur de l’une peut être réinvesti au
+                            service de l’autre.
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+                            Une organisation structurée des séances doit permettre de bien articuler le temps consacré
+                            à l’oral et celui de l’écrit, en les identifiant clairement. De plus, on sait que l’élève en difficulté
+                            a souvent du mal à se situer entre les différentes phases d’une séance. Il ne perçoit pas
+                            forcément à quel moment on passe de l’exploration à l’institutionnalisation, ou de la conjecture
+                            à la démonstration. Des transitions explicites doivent le guider dans le suivi du cours et
+                            faciliter sa participation.
+
+                            Enfin, dans le registre de la maîtrise de la langue, une concertation étroite entre les
+                            professeurs des différentes disciplines est nécessaire pour la mise en place d’actions
+                            cohérentes et complémentaires.
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+                            Bibliographie
+                            • La maîtrise de la langue au collège (direction des lycées et collège, CNDP, 1997 – ouvrage
+                            diffusé dans tous les CDI en 1997-1998)
+                            • Site de l’académie d’Aix-Marseille : « Maîtrise de la langue dans toutes les disciplines »
+                            • Site de l’académie de Bordeaux : « Maîtrise de la langue »
+                            • Site de l’académie de Créteil : « Enseignement des mathématiques et maîtrise de la langue »
+                            • IREM de Rennes : « L’enseignement de la démonstration »
+                            • Les dimensions linguistiques de toutes les matières scolaires, un guide pour l’élaboration
+                            des curriculums et pour la formation des enseignants (Conseil de l’Europe, 2015)
+
+
+
+
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   6
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/015.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/015.txt

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+                                            Calculer
+La pratique du calcul doit viser un double équilibre : d’une part entre automatisation et raisonnement,
+d’autre part entre une visée pragmatique (l’obtention d’un résultat) et un accès à la compréhension
+des objets mathématiques engagés dans le calcul (nombres, symboles, etc.). Par ailleurs, le
+développement des technologies informatiques a profondément modifié l’appréhension du calcul, tant
+au niveau des pratiques quotidiennes et sociales qu’à celui des pratiques scientifiques. D’une part, la
+plupart des algorithmes de calcul dont l’apprentissage occupait autrefois un temps important de la
+scolarité obligatoire sont aujourd’hui implémentés dans les calculatrices les plus simples, ce qui pose
+la question de la pertinence du maintien de leur enseignement, d’autre part la puissance de calcul des
+nouveaux outils modifie profondément l’économie du calcul et pose dans des termes renouvelés celle
+de la gestion des rapports entre le calcul et le raisonnement puisqu’elle favorise explorations,
+simulations et expérimentations préalables à la découverte de preuves.
+
+
+
+Objectifs
+Dans le prolongement du cycle 3, l’apprentissage du calcul au cycle 4 porte d’abord sur les nombres,
+dont le corpus s’élargit, puis, à travers l’introduction de l’algèbre, sur les symboles littéraux. La variété
+des objets mathématiques qu’il engage et des formes selon lesquelles il est pratiqué (calcul mental,
+calcul posé, calcul instrumenté, calcul exact, calcul approché), les liens qu’il permet d’établir avec les
+autres disciplines, les besoins sociaux, culturels et scientifiques auquel il doit répondre justifient la
+place essentielle accordée au calcul dans le programme du cycle 4.
+Nous rappelons ci-dessous la description qui y est donnée de la compétence « calculer » :
+
+
+    « Calculer avec des nombres rationnels, de manière exacte ou approchée, en combinant de façon
+    appropriée le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté (calculatrice ou logiciel).
+
+    Contrôler la vraisemblance de ses résultats, notamment en estimant des ordres de grandeur ou en
+    utilisant des encadrements.
+
+    Calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symboles, etc.) »
+
+
+Cette description met en avant d’une part le lien entre calcul et raisonnement et d’autre part celui entre
+calcul mental, calcul à la main et calcul instrumenté.
+L’objectif prioritaire de l’enseignement des mathématiques au cycle 4 est de faire faire des
+mathématiques aux élèves. Or « faire des mathématiques », c’est « résoudre des problèmes ». Pour
+autant, un élève ne peut pas résoudre de problème s’il ne maîtrise pas un minimum de technique. En
+effet, sans ce minimum, toute mise en œuvre d’une stratégie de résolution risque de se révéler
+particulièrement laborieuse, voire impossible à finaliser, ce qui est particulièrement démotivant pour
+l’élève. C’est la raison pour laquelle le programme du cycle 4 vise à renforcer et à élargir la maîtrise
+calculatoire des élèves. Cependant, cela ne doit pas se faire au détriment des activités de résolution
+de problèmes, qui constituent d’ailleurs un puissant levier pour motiver l’acquisition des techniques de
+calcul. En particulier, il est indispensable de ne pas limiter l’activité des élèves les plus fragiles à des
+tâches purement techniques et il est déconseillé d’attendre systématiquement leur maîtrise avant de
+leur proposer de résoudre des problèmes.
+Il est donc important que les activités mettant en jeu des calculs respectent un juste équilibre entre
+entraînement technique et résolution de problèmes et les mettent en synergie afin de construire
+progressivement et de façon différenciée l’habileté calculatoire qui permettra à chaque élève de
+poursuivre ses études avec confiance et succès.
+Outre l’acquisition de techniques efficaces et le développement d’automatismes indispensables à la
+réalisation autonome d’une activité mathématique, l’apprentissage du calcul au cycle 4 vise :
+       la familiarisation avec les nombres (notamment leurs différents registres de représentation) et
+        les opérations, mais aussi la découverte de nouveaux nombres (les relatifs) et de nouveaux
+        objets mathématiques engagés dans les calculs (les lettres) ;
+       le développement de stratégies de vérification et de contrôle permettant de développer l’esprit
+        critique et de favoriser une utilisation raisonnée des instruments de calcul.
+
+
+
+Calcul automatisé et calcul réfléchi
+Pour illustrer les liens entre automatisation de procédures de calcul et réflexion engagée pour mener à
+bien un calcul, nous nous appuierons sur deux exemples :
+Premier exemple : un élève qui, ayant à calculer 29 × 21 le décompose en 29 × 20 + 29 est
+capable d’obtenir le résultat mentalement plus vite et plus sûrement qu’en posant la multiplication. De
+plus, il mobilise implicitement une propriété essentielle de la multiplication (sa distributivité par rapport
+à l’addition) qu’il pourra ensuite généraliser. Des raisonnements de ce type (comme d’autres sur les
+fractions ou les puissances) s’avèrent d’ailleurs nécessaires pour pallier d’éventuels oublis.
+Deuxième exemple : un élève qui maîtrise la technique opératoire de l’addition sait qu’il peut l’utiliser
+pour calculer 998 + 1205. Son calcul est alors automatisé ; mais, considérant les nombres en jeu, il
+peut trouver plus rapide de raisonner sur ce calcul et se dire que, vu que 998 = 1000 - 2, il lui suffit
+d’ajouter 1000 et d’enlever 2 au second nombre, pour obtenir le résultat 2203. C’est ici l’associativité
+qui est mise en jeu.
+Seuls les répertoires (au sens de connaissances organisées et hiérarchisées) dont on dispose et les
+algorithmes que l’on maîtrise permettent l’automatisation d’un calcul. Ce sont eux qui en font la force
+et en garantissent l’efficacité. Mais dès lors qu’il sort de la routine, le calcul engage nécessairement un
+raisonnement. Il est essentiel d’insister sur ce point et sur la nécessité de cultiver cette synergie entre
+automatisation et raisonnement dans l’apprentissage de tout calcul. En particulier, le travail de
+mémorisation des règles de calcul sur les nombres doit fournir l’occasion d’exercer le raisonnement et
+de travailler les propriétés des nombres et des opérations qui le fondent. Il est également important
+d’insister sur le fait que les répertoires enseignés ne sauraient se limiter à des répertoires de
+composition, comme on comprend malheureusement souvent l’apprentissage des tables d’addition ou
+de multiplication. Les résultats de la décomposition de nombres (en somme ou en produit) sont aussi
+importants que ceux de leur composition et, si l’égalité 9 × 7 = 63 n’est pas associée à
+63 = 9 × 7 ; 9 = 63 ÷ 7 et 7 = 63 ÷ 9, elle sera d’une utilité bien moindre.
+Parmi les automatismes à développer, on peut citer (mais la liste est loin d’être exhaustive) les
+changements de registre d’écriture (décimale, fractionnaire), l’application d’un opérateur fractionnaire
+(par exemple prendre les sept tiers de 12), d’un pourcentage, la transformation d’une fraction en
+pourcentage et vice versa, la multiplication et la division par 10, 100, 1000, 10 000, les conversions
+d’unités de longueur, d’aire, de volume, de durée, les produits et quotients de puissances de 10, le
+développement et la simplification d’expressions littérales.
+Ces réflexes intellectuels s’acquièrent dans la durée sous la conduite du professeur. Ils se
+développent en mémorisant et en automatisant progressivement certaines procédures, certains
+raisonnements particulièrement utiles, fréquemment rencontrés et ayant valeur de méthode. Pour être
+disponibles, les automatismes doivent avoir été entretenus et régulièrement sollicités.
+Toutefois un automatisme n’est pas un moyen pour comprendre plus vite ; il permet simplement d’aller
+plus vite une fois que l’on a compris. Si l’acquisition d’automatismes nécessite des exercices
+d’entraînement et de mémorisation, référés à des tâches simples, ces exercices ne sauraient suffire :
+l’entraînement et la mémorisation ne constituent pas une fin en soi et sont mis au service de la
+résolution de problèmes plus complexes dans lesquels ils prennent tout leur sens.
+
+
+
+Progressivité des apprentissages
+Les compétences de calcul numérique travaillées au cycle 3 sont à consolider tout au long du cycle 4.
+Elles portent sur les nombres entiers et décimaux positifs et les quatre opérations, et concernent aussi
+bien le calcul automatisé que réfléchi, effectué sous forme exacte ou approchée.
+La pratique du calcul commence souvent sur des objets en cours de construction (par exemple, le
+                         e                                      e
+calcul fractionnaire en 6 ou celui sur les nombres négatifs en 5 ). Le rôle du calcul est alors décisif
+pour familiariser les élèves avec ces objets, leur manipulation étant un moyen d’en construire une
+représentation efficace. C’est particulièrement vrai lorsque la définition de ces objets n’est pas
+étudiée, parce qu’inaccessible aux élèves, comme dans le cas de la construction des ensembles de
+nombres. Le calcul permet alors de mettre en place de façon progressive et implicite les structures qui
+les régissent.
+Pour effectuer des calculs semblables à ceux qui ont été présentés supra en lien avec l’associativité et
+la distributivité, le recours à la calculatrice, s’il permet d’obtenir les résultats, prive l’élève d’une
+familiarisation avec les propriétés des nombres et des opérations Les modalités d’utilisation de la
+calculatrice supposent donc une véritable réflexion de la part des enseignants. Un paragraphe de ce
+document est entièrement dédié au calcul instrumenté.
+Concernant le calcul fractionnaire, les élèves ont appris au cycle 3 à additionner, soustraire et
+comparer des fractions de même dénominateur, en référence à la notion de partage. L’oral a pu jouer
+un rôle déterminant dans l’automatisation de procédures telles que « 3 septièmes + 5 septièmes = 8
+septièmes ». La poursuite, au cycle 4, de l’apprentissage des fractions vise à les appréhender en tant
+que quotients. Cette notion est sollicitée pour institutionnaliser la technique de l’addition de deux
+fractions de même dénominateur à partir d’un exemple générique, pour effectuer le produit de
+                                        2     7
+fractions simples, comme par exemple × ou pour rechercher l’inverse d’une fraction simple. Ce
+                                        3     5
+travail est un préalable indispensable à la bonne compréhension des calculs de portée générale sur
+des fractions dont les numérateurs et dénominateurs sont des entiers relatifs.
+Une bonne connaissance des fractions est une aide précieuse pour traiter les problèmes de
+proportionnalité. La détermination d’une quatrième proportionnelle peut reposer sur le cœfficient de
+proportionnalité, des propriétés en lien avec la linéarité ou le produit en croix.
+Le calcul algébrique constitue un nouvel espace où va se déployer le raisonnement, en permettant
+notamment de démontrer en toute généralité des résultats constatés sur des exemples numériques
+(par exemple les propriétés du calcul fractionnaire). Pour préparer l’introduction du calcul littéral, il
+importe, dès le début du cycle 4, de renforcer le sens déjà connu du signe « égal » (par exemple dans
+         3
+l’égalité = 0,75). Il va en effet être élargi à la fois à celui qu’il revêt dans une identité et dans une
+         4
+équation.
+La notion d’identité correspond implicitement à la quantification universelle « pour tout », alors que
+celle d’équation correspond implicitement à une quantification existentielle (« existe-t-il une valeur de
+la variable pour laquelle deux formules donnent le même résultat ? »).
+En fin de cycle 4, l’élève doit être capable de distinguer une identité du type 3(𝑥 + 2) = 3𝑥 + 6, valable
+pour tout 𝑥, d’une équation du type 3 𝑥 + 2 = 𝑥 + 7.
+Une explicitation de « l’environnement » de l’égalité (ne pas hésiter à écrire « l’égalité … est vraie
+pour tout 𝑥 » ou « existe-t-il une valeur de 𝑥 pour laquelle l’égalité …est vraie ? ») est certainement le
+meilleur levier pour faire comprendre aux élèves ces notions délicates.
+Le travail sur le développement et la réduction d’expressions littérales (dans lesquelles on peut, au
+début, se passer des nombres négatifs) est mené de front avec la consolidation de la maîtrise du
+calcul sur les nombres relatifs, entiers ou décimaux.
+
+
+
+Stratégies d’enseignement
+
+Enseigner les stratégies calculatoires par petites touches
+Un enseignement fréquent et régulier permet de donner à chaque élève la possibilité de s’approprier à
+son rythme les stratégies de calcul. Ainsi est-il plus efficace et moins rébarbatif pour un élève, d’être
+                                                                e
+sollicité de manière régulière à partir de la classe de 4 , sur un petit nombre d’exercices de
+                                                                                                e
+développement ou de réduction d’expressions littérales (ou de calcul fractionnaire dès la 5 ), plutôt
+que d’y être confronté à haute dose sur un petit nombre de séances.
+
+
+Pratiquer des activités de calcul mental
+Ce que nous appelons « calcul mental » dépasse le cadre du calcul mental traditionnel, puisque nous
+y englobons le calcul mental faisant appel au raisonnement, qu’il soit numérique ou littéral. Le calcul
+mental est intéressant en soi, d’abord parce qu’il permet d’acquérir des procédures de calcul utiles
+pour la vie quotidienne et d’automatiser des savoir-faire qui, une fois disponibles, libèrent la pensée
+pour d’autres tâches plus complexes. L’entraînement au calcul mental porte sur les techniques
+opératoires s’appliquant aux nombres relatifs (entiers et décimaux) et aux fractions, mais aussi sur le
+calcul littéral. Il favorise l’appropriation des nombres et de leurs propriétés et permet d’enrichir leur
+appréhension dans différents registres.
+                                                   1
+Ainsi, 25 %, c’est à la fois un quart, la fraction et le décimal 0,25 ; cet automatisme permet par
+                                                  4
+exemple le calcul immédiat de 24 × 0,25.
+De bonnes compétences en calcul mental sont indispensables pour prévoir l’ordre de grandeur d’un
+résultat, pour permettre une utilisation raisonnée de la calculatrice, pour développer l’esprit critique
+face à un résultat obtenu autrement.
+Le calcul mental aide à la résolution de problèmes, il permet d’expérimenter, de prendre des
+initiatives, de développer des stratégies à partir d’essais et de tâtonnements, de développer aisance
+et rapidité dans la gestion de calculs plus complexes. Le calcul mental réfléchi (par exemple le calcul
+de 998 + 1205 présenté supra) est quant à lui le support à de véritables raisonnements.
+La pratique régulière du calcul mental favorise la progressivité des apprentissages. Avant la
+formalisation d’un nouveau savoir, elle permet d’anticiper, de préparer son étude. Pendant la phase
+d’apprentissage, elle facilite l’appropriation des notions ou des propriétés travaillées. Après
+l’apprentissage, grâce à un réinvestissement régulier, elle permet l’appropriation pérenne des savoirs
+et développe la capacité à les mobiliser dans des situations inédites.
+Le calcul mental fournit des supports d’évaluation pertinents : c’est une modalité efficace d’évaluation
+diagnostique. Sur le plan formatif, les temps de mise en commun permettent à la fois de dédramatiser
+l’erreur et de faciliter le débat participatif et argumenté. Les élèves qui réussissent en calcul mental
+n’étant pas toujours exactement les mêmes que ceux qui réussissent dans d’autres activités
+mathématiques, il importe de reconnaître leurs réussites en prévoyant des situations d’évaluation
+sommative de calcul mental. Les activités mentales régulières, allant jusqu’à être ritualisées, facilitent
+la gestion de classe. Elles sont souvent des moments d’intense activité de la part de l’élève, car
+motivantes et stimulant l’attention.
+
+
+Utiliser un exemple générique
+En parallèle des écritures littérales, le recours à un exemple générique peut permettre de faire
+comprendre une démonstration à des élèves qui pourraient être déroutés par une approche purement
+formelle.
+Ainsi, dans l’exemple suivant qui détaille le cas du produit de deux quotients, les calculs numériques
+menés dans la colonne de gauche peuvent être présentés plutôt que ceux de la colonne de droite, à
+condition toutefois que le résultat soit énoncé dans sa généralité.
+
+
+
+                                                          a, b, c et d sont quatre nombres quelconques ; b et d sont
+                                                          différents de zéro.
+
+
+   2                                                       a
+     est le nombre par lequel il faut multiplier 7 pour      est le nombre par lequel il faut multiplier b pour obtenir
+  7                                                       b
+                    2                      5                        a                      c
+  obtenir 2 donc 7   2 . De même 3   5                adonc b   a . De même d   c
+                    7                      3                        b                      d
+
+                    2 5                                                   a c
+  Si on multiplie     par 7  3 , on obtient en          Si on multiplie    par b  d , on obtient en changeant
+                    7 3                                                   b d
+  changeant l’ordre des facteurs dans le produit :                                                  a      c
+     2     5                                              l’ordre des facteurs dans le produit : b   d    soit,
+  7   3  soit, d’après ce qui précède : 2  5                                                    b      d
+     7     3                                              d’après ce qui précède : a  c .
+
+  On en déduit donc que 2  5 est le nombre par           On en déduit donc que a  c est le nombre par lequel il
+                             7 3                                                   b d
+  lequel il faut multiplier 7  3 pour obtenir 2  5 .    faut multiplier b  d pour obtenir a  c .
+
+  Donc 2  5  2  5 .                                    Donc a  c  a  c .
+        7 3      73                                            b d         bd
+
+
+
+
+Anticiper et expliciter
+Dès le début du cycle, le recours à une démarche par essais et ajustements et l’utilisation d’un tableur
+pour tester des valeurs permettent d’introduire progressivement la notion de solution d’une équation.
+Les limites des méthodes par tâtonnement ou par « remontée » des programmes de calcul permettent
+de justifier l’étude des techniques algébriques de résolution des équations du premier degré.
+La part de raisonnement intrinsèque au calcul, lorsqu’il ne se réduit pas à un geste mécanique, mérite
+d’être explicitée dans l’enseignement. Il importe par exemple d’apprendre aux élèves à anticiper la
+forme la plus pertinente sous laquelle il faut écrire un nombre (écriture décimale ou fractionnaire,
+décomposition en somme ou en produit, etc.) ou une expression selon l’usage que l’on veut en faire. Il
+revient au professeur de prendre en charge le développement de cette intelligence du calcul chez ses
+élèves, par des moyens qui sont en partie communs et en partie propres à chaque type de calcul.
+Parmi les moyens communs, signalons l’organisation des différentes étapes d’un calcul complexe, le
+choix des transformations à effectuer pour le simplifier, le contrôle (au moyen d’ordres de grandeur, de
+considérations de signe ou d’encadrement).
+
+
+Trouver la juste place du calcul instrumenté
+S’agissant de la calculatrice, du tableur ou de logiciels, la pertinence du calcul instrumenté dépend de
+l’usage que l’on en fait.
+Le calcul instrumenté peut être néfaste aux apprentissages lorsque son usage est mal pensé, trop
+précoce ou exclusif. D’une part, les premiers pas dans l’apprentissage d’une notion calculatoire
+requièrent souvent une pratique dans laquelle la gestion mentale ou écrite est une aide à sa
+compréhension. Le recours systématique à la machine peut alors constituer un réel obstacle. D’autre
+part, l’apprentissage du calcul ne saurait se limiter à la production de résultats. Il comporte aussi tout
+un travail autour de la réflexion stratégique qu’il engage sur la recherche du calcul le plus approprié,
+son organisation et son contrôle à travers des allers retours permanents entre le résultat (même
+lorsqu’il a été obtenu à l’aide d’un instrument) et son interprétation.
+Le calcul instrumenté facilite la résolution de problèmes, en permettant notamment aux élèves
+d’accéder à des sujets motivants sans être bloqués par des difficultés calculatoires. La possibilité
+d’utiliser des outils numériques (calculatrice, logiciels, etc.) a déplacé les équilibres entre exécution,
+pilotage et contrôle du calcul, ce qui permet de mettre aujourd’hui l’accent sur les aspects liés à
+l’intelligence du calcul. Encore faut-il intégrer la technologie de façon adéquate dans l’enseignement,
+en construisant des situations où pilotage et contrôle sont nécessaires.
+Par sa rapidité à effectuer des calculs complexes et les possibilités d’accès à un grand nombre de
+données, le calcul instrumenté facilite aussi l’émission de conjectures dans des situations variées
+(résolution d’équations, comportement d’une fonction). Par ailleurs, il permet des changements de
+registres (numérique, symbolique, graphique) précieux pour l’assimilation.
+Le recours au calcul instrumenté n’est pas dépourvu de raisonnement. Ainsi l’exécution d’un calcul sur
+machine requiert une organisation réfléchie (assimilation des priorités de calcul, conception d’un
+algorithme).
+Son bon usage réside donc souvent dans une utilisation hybride, combinée avec des calculs mentaux
+ou réalisés à la main, notamment dans la résolution de problèmes.
+
+
+
+Différenciation pédagogique
+Le calcul mental favorise la différenciation pédagogique par la possibilité qu’il offre de faire vivre
+différentes procédures, d’accepter différentes réponses plus ou moins abouties. En évitant le passage
+systématique à l’écrit, il favorise l’entrée de certains élèves dans les apprentissages mathématiques ;
+il permet à chacun d’eux de développer et d’optimiser le champ de ses procédures, et au professeur
+de varier les consignes (résultats intermédiaires autorisés pour certains, avec l’objectif de s’en libérer
+petit à petit, temps variable accordé aux réponses, consignes écrites et/ou orales, forme des énoncés,
+etc.).
+L’instrumentation du calcul a, elle aussi, un rôle à jouer au niveau de la différenciation pédagogique.
+En effet, pour certains élèves, un manque d’assurance dans le calcul écrit constitue un véritable
+handicap et une source de blocage. Or, de même qu’une orthographe incertaine ne saurait interdire
+l’écriture, le manque de dextérité calculatoire ne doit pas constituer un blocage à toute activité
+mathématique. Dans ces conditions, y compris dans des cas que l’on souhaiterait voir maîtrisés sans
+recours à la machine, un calcul assisté peut permettre à certains élèves de s’engager dans une
+activité mathématique présentant un réel enjeu en termes de modélisation ou de raisonnement et
+d’entrer dans des apprentissages qui leur seraient inaccessibles sans cette assistance.
+Afin de faire face à l’hétérogénéité des élèves en termes de maîtrise calculatoire, la différenciation
+peut porter sur les nombres engagés dans un problème si l’on veut mettre l’accent sur sa mise en
+équation ou sa résolution plutôt que sur les techniques opératoires portant sur ces nombres. Par
+exemple, proposer à certains élèves des agrandissements dans lesquels « le côté qui mesure 8 cm
+devra mesurer 16 cm », à d’autres « le côté qui mesure 8 cm devra mesurer 12 cm », à d’autres
+encore « le côté qui mesure 7 cm devra mesurer 12 cm », permet d’adapter la situation à différents
+niveaux de maîtrise de la notion de quotient sans nuire à l’objectif de formation s’il est de faire
+comprendre le caractère multiplicatif de la situation. De même, pour faire comprendre la notion de
+solution d’une équation, avant d’automatiser la méthode algébrique de résolution d’une équation du
+premier degré, on pourra traiter des équations à coefficients entiers dont la solution peut être
+« devinée » sans peine, avant de passer à des équations dont la solution peut être trouvée ou
+approchée à l’aide d’un tableur.
+
+
+
+Interdisciplinarité
+Si le calcul est omniprésent dans l’apprentissage des mathématiques, il est également au cœur des
+interactions avec d’autres disciplines.
+Le calcul numérique sur les mesures de grandeurs se prête à des interactions avec de nombreuses
+disciplines (physique, chimie, sciences de la vie et de la Terre, technologie, EPS, etc.). Le calcul
+littéral est particulièrement sollicité à travers l’exploitation des formules qui traduisent les lois
+physiques (𝑃 = 𝑈𝐼, 𝑃 = 𝑚𝑔, relation liant l'énergie, la puissance électrique et la durée) au programme
+de physique-chimie du cycle 4. Le calcul lié à la proportionnalité et aux statistiques permet d’élargir
+ces interactions à une discipline comme la géographie et les nombres négatifs permettent de repérer
+des températures, des profondeurs, des dates, des créances, autant de notions qui dépassent le
+cadre de la seule discipline mathématique.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/016.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/016.txt

@@ -0,0 +1,331 @@
+         Utiliser les nombres pour comparer,
+         calculer et résoudre des problèmes:
+                les nombres décimaux
+
+Objectifs
+Au cycle 3, les nombres décimaux sont introduits à partir des fractions décimales. L’écriture à virgule
+est ensuite présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de
+fractions décimales. Cette notation permet la mise en place des règles de comparaison et de calcul.
+Les quatre opérations sur les décimaux sont étudiées, mais la division est limitée au cas où le diviseur
+est un entier.
+Même si les décimaux ont été introduits à partir des fractions décimales, beaucoup d’élèves, à l’entrée
+du cycle 4, associent encore la nature d’un nombre à son écriture. Pour eux, un nombre s’exprime
+toujours par une suite de chiffres et les nombres décimaux se différencient des nombres entiers par la
+                                                                   5
+présence de la virgule. Ils ne perçoivent pas, par exemple, 17 ou comme des nombres décimaux.
+                                                                   2
+
+La poursuite, au cycle 4, du travail sur les nombres décimaux vise plusieurs objectifs :
+
+               Amener tous les élèves à différencier la nature d’un nombre (notamment décimal)
+                de son écriture et à passer de l’une de ses désignations à une autre. Concevoir, par
+                                      35   7      1
+                exemple, 3,5 ; 3,50 ; ; ; 3 + comme des désignations différentes d’un même
+                                     10 2    2
+                nombre ;
+
+               Poursuivre le travail sur la comparaison des nombres décimaux. Il permet notamment
+                de faire prendre conscience aux élèves de la possibilité d’intercaler un nombre
+                décimal entre deux nombres qui pourraient être perçus à tort comme des nombres
+                consécutifs (par exemple 7,24 et 7,25) ;
+
+               Consolider les techniques opératoires étudiées au cycle 3 sur les nombres décimaux,
+                notamment la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ;
+
+               Introduire la division par un nombre décimal ;
+
+               Utiliser les nombres décimaux pour exprimer des mesures de grandeurs et repérer
+                des points autres qu’entiers sur la droite graduée.
+
+Le travail mené tout au long du cycle sur les nombres relatifs concerne non seulement les entiers,
+mais aussi les décimaux et plus généralement les rationnels ; il viendra à ce titre compléter l’étude
+des décimaux dont l’introduction au cycle 3 porte uniquement sur les décimaux positifs.
+Liens avec les domaines du socle
+La compréhension et l’utilisation de différentes écritures d’un nombre décimal, sa représentation sur la
+droite graduée, les passages entre ses différents modes de représentation contribuent à l’acquisition
+du langage mathématique pour penser et communiquer (domaine 1).
+La pratique du calcul (mental et écrit, exact et approché) engageant des nombres décimaux,
+l’utilisation de valeurs approchées décimales pour modéliser et résoudre des problèmes scientifiques
+et d’ordres de grandeurs pour contrôler des résultats contribuent à l’étude des systèmes naturels et
+des systèmes techniques (domaine 4).
+
+
+
+Progressivité des apprentissages
+                                                                       e
+La division par un nombre décimal est introduite dès la classe de 5 , parallèlement à la consolidation
+des techniques opératoires déjà étudiées au cycle 3. La maîtrise de ces techniques, en lien avec la
+compréhension des nombres et des opérations, est entretenue tout au long du cycle 4.
+Le travail sur l’écriture décimale, initié au cycle 3 et poursuivi tout au long du cycle 4, est un point
+                                                                                     e
+d’appui pour l’étude des puissances de 10 qui est formalisée dès la classe de 4 .
+Parallèlement à la maîtrise des techniques calculatoires sur les nombres décimaux, les élèves sont
+amenés, tout au long du cycle, à résoudre des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux.
+
+
+
+Stratégies d’enseignement
+                                          e
+Pour beaucoup d’élèves, à l’entrée en 5 , la conception d’un nombre décimal comme un objet
+mathématique et non comme une écriture est encore en cours de construction, le sens des opérations
+et les techniques opératoires sur les nombres décimaux sont encore en cours d’acquisition. De plus,
+certains élèves se sont forgé des représentations fausses qui, si elles peuvent s’avérer performantes
+dans des situations particulières, constituent des obstacles pour la suite des apprentissages. Il est
+donc indispensable que le professeur identifie les conceptions erronées afin de développer les
+stratégies d’enseignement qui permettront de les déstabiliser.
+
+
+Quelques conceptions erronées
+                Assimilation de la virgule à un trait de fraction ; c’est ainsi que, pour certains
+                       14
+                 élèves = 14,10.
+                         10
+                Difficulté à concevoir qu’un même nombre puisse avoir plusieurs désignations ;
+                           4
+                 ainsi, 1+ ; 1,4 ; 1,40 ne sont pas perçus comme différentes écritures d’un même
+                           10
+                 nombre .
+                Le « nombre à virgule » vu comme un « entier déguisé », comme si la virgule
+                 n’existait pas. Ce rôle « fantôme» de la virgule conduit certains élèves à écrire
+                 4,3 < 4,06 < 4,249 en le justifiant par le fait que 43 < 406 < 4249, ou à percevoir 2,47
+                 comme « le » successeur de 2,46, au même titre que 247 est celui de 246 .
+                Le « nombre à virgule » vu comme l’accolement de deux entiers, la virgule
+                 jouant le rôle de « frontière » entre les deux. Cela conduit par exemple à écrire :
+                 4,3 < 4,06 < 4,249 (avec comme justification : « 3 est plus petit que 6, lui-même plus
+                 petit que 249 ») ;ou encore : 2,6 × 3,4 = 6,24 ; 15,7 + 12,6 = 27,13 ou encore à
+                 percevoir 5,100comme « le » successeur de 5,99.
+                Une connaissance mal installée du système décimal peut conduire un élève, dans
+                 le nombre 234,678, à percevoir le chiffre 7 comme le chiffre des dixièmes en raison de
+                 la position supposée des dixièmes comme symétrique de celle des dizaines,
+                 ou encore à écrire 4,249 < 4,16 < 4,1en justifiant que les millièmes sont « forcément»
+                 plus petits que les centièmes, eux-mêmes plus petits que les dixièmes.
+                Des techniques mal automatisées et non contrôlées peuvent aboutir à une
+                 confusion sur la position de la virgule dans le résultat d’une addition posée ou d’une
+                 multiplication posée comme dans la multiplication ci-dessous :
+                                                      2,3
+                                                   × 5,5
+                                                    115
+                                                   115
+                                                  1 2 6,5
+                L’application de règles au-delà de leur domaine de validité ; c’est ainsi que
+                 l’extension aux décimaux de la règle du déplacement de la virgule ou de l’ajout de
+                 zéros pour la multiplication des entiers par des puissances de 10 contribue à des
+                 erreurs du type :
+                 -   1,4×10 = 1,40 ; 1,4 : 0,1 = 0,14
+                                   12
+                 -   12×0,5 > 12;      < 12 (car « multiplier augmente un nombre et diviser
+                                   0,5
+                     le diminue »).
+                L’usage social des nombres décimaux à l’oral peut être à l’origine de
+                 confusions, comme dans les exemples suivants : « un kilo cinq » s’écrit en fait 1,5 kg
+                 alors que « un euro cinq » s’écrit en fait 1,05 €.
+
+La pratique régulière du calcul réfléchi doit permettre de « déconstruire » ces représentations
+erronées et parfois résistantes.
+
+
+La construction d’automatismes
+S’il permet d’aller plus vite une fois qu’on a compris, un automatisme ne permet pas de comprendre
+plus vite ; avant d’être institutionnalisée puis automatisée, une « règle » (comme celle, déjà citée, du
+déplacement de la virgule vers la droite ou vers la gauche) doit avoir été justifiée par le professeur et
+comprise par les élèves pour ne pas être employée en dehors de son cadre de validité.
+La pratique régulière du calcul réfléchi permet à la fois de comprendre l’origine des règles et d’ancrer
+dans la durée la construction des mécanismes opératoires. Pratiqué en amont de la formalisation de
+ces mécanismes, le calcul réfléchi peut être mis en œuvre sur des exemples génériques. Pratiqué
+juste après l’institutionnalisation, sur des exemples assez proches de la situation d’introduction,
+il permet l’appropriation de la notion en cours d’étude. En aval, une pratique régulière, sur le long
+terme, permet d’automatiser les procédures et les propriétés des nombres engagés dans le calcul et
+s’avère nécessaire pour garantir la pérennité des acquisitions. L’analyse collective, sous la conduite
+du professeur, des différentes stratégies mises en œuvre et des éventuelles erreurs commises
+contribue à donner du sens aux objets mathématiques mis en jeu et aux techniques à automatiser.
+Dans le cadre de l’apprentissage des nombres décimaux, on entretiendra de façon régulière les
+automatismes liés à la somme, à la différence, au produit de nombres décimaux, au quotient d’un
+nombre décimal par un entier, notions abordées au cycle 3, sur des exemples présentant de véritables
+enjeux. L’un de ces enjeux est de permettre d’identifier une erreur liée à l’incompréhension de
+l’écriture à virgule ; par exemple, un calcul du type 1,4 + 0,15 permet d’identifier l’erreur liée à la
+conception de la virgule frontière par les élèves qui fournissent 1,19 comme réponse, alors que le
+même calcul, posé sous la forme 1,40 + 0,15 ne permet pas de débusquer l’erreur.
+La compréhension de l’erreur peut s’appuyer sur différents registres d’expression : celui de la langue
+naturelle (on ajoute 1 dixième plus 5 centièmes à 1 unité plus 4 dixièmes), mais aussi celui des
+fractions décimales.
+L’introduction de la division d’un décimal par un décimal pourra se faire dans le cadre de cette
+pratique, sur une durée suffisamment longue, à petites doses et de manière progressive.
+
+
+La consolidation des priorités opératoires
+La consolidation des priorités opératoires introduites au cycle 3 est indispensable car ces priorités
+sont à la base de la compréhension et de la production d’expressions, qu’elles soient numériques ou
+littérales. L’écriture en ligne d'une succession de calculs simples engageant des nombres décimaux,
+notamment prescrits par des programmes de calcul, est une stratégie d’enseignement possible.
+
+
+
+   EXEMPLE :
+   Prendre un nombre ;
+   lui ajouter 1,8 ;
+   multiplier le résultat par 3,2.
+
+   Écrire l’expression numérique traduisant ce programme en prenant 10 comme nombre de départ.
+
+
+Il pourra s’avérer fructueux de comparer les résultats obtenus avec une calculatrice scientifique et
+avec une calculette, ces deux outils ne respectant les mêmes règles de priorité entre opérations.
+Le choix du nombre d’instructions d’un programme de calcul et des nombres auquel il s’applique
+permet une différenciation au sein de la classe.
+Parallèlement au travail sur les programmes de calcul qui concernent l’aspect procédural d’un calcul,
+les élèves seront amenés à travailler sur sa forme structurale (somme, différence, produit, quotient).
+Par exemple identifier 12,3 + 2,5 × 7,1 comme une somme: celle de 12,3 et du produit de 2,5 par 7,1.
+
+
+L’utilisation de la droite graduée
+Le recours à la droite graduée permet de travailler la compétence « représenter » décrite dans les
+programmes des cycles 3 et 4 par les passages dans les deux sens qu’elle permet de réaliser entre
+le registre symbolique de l’écriture du nombre et le registre graphique de sa représentation.
+Plusieurs situations d’enseignement se prêtent à l’utilisation de la droite graduée.
+                Mesurer des grandeurs et encadrer des mesures, notamment en variant les
+                 unités. Effectuer des mesures « qui ne s’expriment pas en un nombre entier d’unité »
+                 permet de revenir à l’utilité première des décimaux (résoudre des problèmes pour
+                 lesquels les entiers sont défaillants) et de travailler l’intercalation des décimaux.
+                Repérer des points sur une droite graduée. Les activités de repérage peuvent être
+                 très variées au niveau des situations et des questionnements proposés, mais aussi
+                 des types de graduation et des outils utilisés (droite graduée, papier millimétré, sous
+                 unités partiellement ou non représentées, présentation « en zoom ») et de la nature
+                 de l’écriture des nombres à repérer (désignation orale, écritures fractionnaires,
+                 décimales, décompositions diverses, etc.). On pourra se reporter à l’activité
+                 développée au paragraphe VI.
+                Intercaler des décimaux. « Donner dix nombres entre 4,67 et 4,68 » est une situation
+                 classique qui peut être enrichie par la question de savoir s’il peut y en avoir 100,
+                 1000, 10 000, etc.
+                Dans le cadre d’une différenciation pédagogique, on pourra remplacer 4,67 et 4,68
+                par 4 et 4,01.
+
+
+L’utilisation de valeurs approchées et le contrôle des résultats
+La résolution de problèmes permet aux élèves de prendre conscience que les nombres décimaux ne
+permettent souvent que d’y apporter des réponses approchées.
+Conformément à l’écriture du domaine 4 du socle (paragraphe « démarches scientifiques »),
+les ordres de grandeurs sont utilisés pour estimer et contrôler les résultats.
+
+
+Points de vigilance
+La rigueur et la précision de la dénomination orale des nombres décimaux contribuent à leur bonne
+compréhension. Le professeur doit avoir conscience du caractère modélisant de sa propre pratique
+et du fait que la dénomination d’usage social du type « 3 virgule 08 » peut renforcer les fausses
+représentations, notamment celle de la « virgule frontière ». Les échanges en classe offrent l’occasion
+de manipuler mentalement les changements de registres, ce que facilitent les formulations du type
+« 308 centièmes » ou « 3 unités plus 8 centièmes ». Attendre cette rigueur de la part des élèves les
+aide à établir les liens entre les différentes désignations et contribue à la compréhension des nombres
+décimaux. La maîtrise, par tous les élèves, des techniques opératoires sur les nombres décimaux est
+un objectif de fin de cycle. Un travail spiralé, mené sur toute la durée du cycle, sous forme de calcul
+mental ou réfléchi doit permettre de l’atteindre. Mais la technique s’acquiert aussi à travers la
+résolution de problèmes et nombreux sont ceux qui sollicitent les nombres décimaux; leur résolution
+contribue à consolider la compréhension de ces nombres. Ces problèmes peuvent relever de la vie
+courante, d’autres disciplines ou d’autres champs des mathématiques : calculs de coûts, coefficients
+de proportionnalité ou de linéarité, d’échelles ou de moyennes, mesures de grandeurs, conversions
+d’unités, etc.
+
+
+
+Différenciation
+Pour les élèves qui n’ont pas encore acquis une compréhension automatisée des décimaux, il est
+nécessaire de recourir à des outils de manipulation permettant de visualiser les rapports entre unité,
+dixième, centième pour asseoir le sens des désignations. Parmi ces outils on peut citer la droite
+graduée, mais aussi le carré ou le cube unité partagés en sous-unités, les tangrams, etc. On pourra
+se reporter à l’activité développée au paragraphe VI.
+Une bonne connaissance de faits numériques comme les multiples de 25 et leur relation avec 100, les
+divisions par 10, 100, 1000, etc. est indispensable à la bonne compréhension des nombres décimaux.
+Un travail routinier sur ces prérequis permet de dépasser certaines difficultés.
+Pour certains élèves, un manque d’assurance dans le calcul écrit constitue un véritable handicap
+et une source de blocage. Or, de même qu’une orthographe incertaine ne saurait interdire l’écriture,
+le manque de dextérité calculatoire ne doit pas constituer un blocage à toute activité mathématique.
+Il est donc indispensable de ne pas limiter l’activité des élèves les plus fragiles à des tâches purement
+techniques et il est déconseillé d’attendre systématiquement leur maîtrise avant de leur proposer des
+problèmes à résoudre, ce qui peut d’ailleurs constituer un puissant levier pour motiver l’acquisition des
+techniques.
+Dans le cadre d’un approfondissement, l’étude de quelques cas de non décimalité pourra être traitée.
+Exemples de situations d’apprentissage
+
+Contrôle de la vraisemblance du résultat d’un calcul sur les nombres décimaux
+
+Exemple de la division par un nombre décimal
+                                 0,6
+On propose aux élèves de calculer . On peut s’attendre à ce que certains proposent comme
+                                     0,2
+résultat 0,3 ou 0,03. Ils effectuent en effet la division de 6 par 2 et mettent soit un chiffre après la
+virgule en appliquant l’algorithme de l’addition, soit deux chiffres après la virgule en appliquant
+l’algorithme de la multiplication.
+                                                0,6
+La référence au quotient permet d’identifier        comme étant le nombre par lequel il faut multiplier 0,2
+                                              0,2
+pour obtenir 0,6. L’invalidation des résultats 0,3 et 0,03 repose alors sur les opérations 0,3 × 0,2 =
+0,06 et 0,03 × 0,2 = 0,006.
+Pour certains élèves, la compréhension de l’erreur passe par la verbalisation de la notion de partage
+en « Combien de fois 0,2 entre-t-il dans 0,6 ? » ou en sa formulation équivalente « Combien de fois 2
+dixièmes entrent-ils dans 6 dixièmes ? ». Ces formulations permettent d’amener les élèves à prendre
+                                                                   0,6
+conscience «qu’il y a plus d’une fois 0,2 dans 0,6 », et donc que      ne peut valoir ni 0,3 ni 0,03.
+                                                                    0,2
+Il convient également d’insister sur le fait que le résultat de la division par un nombre décimal inférieur
+à 1 est plus grand que ce nombre. Cela doit faire partie des automatismes de contrôle.
+
+
+Utilisation de la droite graduée
+L’activité ci-dessous utilise des zooms à différentes échelles.
+Source : académie de Rennes
+    1. Quel est le nombre indiqué par la flèche sur la droite graduée ci-dessous ?
+
+
+
+
+    2. On a représenté un agrandissement d’une partie de la droite graduée.
+       Quel est le nombre indiqué par la flèche sur l'agrandissement ?
+
+
+
+
+    3. On a représenté des agrandissements successifs d’une partie de la droite graduée.
+       Quel est le nombre indiqué par la flèche sur le dernier agrandissement ?
+
+
+
+
+Cette activité peut être complétée par l’exercice inverse, qui consiste par exemple à représenter
+2,472 sur la droite graduée.
+Mesure de grandeurs
+                                       La mesure de la surface des pièces d’un Tangram permet de
+                                       faire le lien entre écritures décimales, fractions décimales et
+                                       fractions non décimales puisqu’on peut utiliser comme unité
+                                       d’aire soit le plus petit des triangles, dont l’aire est égale à un
+                                       seizième de l’aire totale, soit le centimètre carré, en utilisant le
+                                       quadrillage.
+
+
+
+
+Autres exemples d'activités
+
+      Des exemples de questions flash
+      Un exemple de tâche intermédiaire : un problème de coûts
+      Un exemple de tâche avec prise d’initiative : Épaisseur d’une feuille de papier
+
+
+
+Ressources complémentaires
+Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
+pour aborder la notion de nombre décimal avec les élèves :
+
+      Le nombre au cycle 3 SCEREN - CRDP, septembre 2012
+      Les nombres au collège
+      Le calcul numérique au collège
+      Découvrir de nouveaux nombres au collège - brochure IREM de Strasbourg 2012
+      Des maths ensemble et pour chacun - Rouquès, J.-P. & Staïner, H.(2010) - Cinquième.
+       Nantes : CRDP des Pays de la Loire
+      Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des
+       mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière école-collège
+       BLOLON J. 1996, Identifiant BU : 96PA05H050
+      Banque des exercices de Mathématiques sans Frontières Junior
+      Enseigner et apprendre les nombres décimaux : dispositif d’évaluation diagnostique Decival
+       sur le site du Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de Louvain
+       (Belgique)
+       La sixième entre fractions et décimaux - Brochure de l’IREM de Lyon
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/017.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/017.txt

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+         Utiliser les nombres pour comparer,
+         calculer et résoudre des problèmes :
+                   les nombres relatifs
+Le statut et l’usage des nombres évoluent au cours de la scolarité. Au cours du cycle 3, les nombres
+positifs (entiers, décimaux ou rationnels) ont été principalement utilisés pour :
+               compter des objets ;
+               mesurer des grandeurs ;
+               graduer une demi-droite ;
+               jouer le rôle d’opérateur (par exemple prendre le quart de, ou calculer 75 % de) ;
+               effectuer des calculs et en donner les résultats sous forme exacte ou approchée.
+
+L’élève a effectué sur ces nombres des opérations dont il a perçu implicitement certaines propriétés
+(associativité, commutativité, élément neutre, distributivité).
+
+
+
+Objectifs
+L’introduction au cycle 4 des nombres décimaux relatifs vise plusieurs objectifs :
+               étendre l’ensemble des décimaux positifs à un ensemble plus vaste (celui des
+                décimaux positifs et négatifs), dans lequel toutes les soustractions sont possibles.
+                Cette extension est réalisée de manière à maintenir les propriétés des opérations
+                valables entre nombres décimaux positifs (principe de permanence) ;
+               accorder le statut de nombres (en tant qu’objets mathématiques sur lesquels on peut
+                effectuer des opérations et des comparaisons) à des réalités de la vie quotidienne
+                situées « au-dessous de zéro » (températures, profondeurs, dettes, etc.) ;
+               disposer de ces nouveaux outils pour modéliser et résoudre des problèmes de la vie
+                courante ;
+               étendre à la droite entière la graduation déjà connue de la demi-droite, repérer
+                et se repérer sur une droite.
+
+
+
+Liens avec les domaines du socle
+La compréhension des nombres négatifs en tant qu’objets mathématiques sur lesquels on peut
+effectuer des opérations et des comparaisons, la perception de l’extension de l’ensemble des
+décimaux positifs à celui des décimaux relatifs, la compréhension de l’écriture des nombres négatifs
+et de leur représentation sur la droite graduée contribuent à l’acquisition du langage mathématique
+pour penser et communiquer (domaine 1).
+L’utilisation des nombres relatifs pour modéliser des grandeurs physiques (température, profondeur,
+altitude) ou sociales (dates, gains et pertes) susceptibles de prendre des valeurs en dessous de zéro
+contribue à l’étude des systèmes naturels et techniques (domaine 4) ainsi qu’aux représentations
+du monde et de l’activité humaine (domaine 5).
+
+
+
+PROGRESSIVITÉ DES APPRENTISSAGES
+
+Anticipation
+Quel que soit le procédé retenu pour l’introduction des nombres négatifs, celle-ci gagne à être
+préparée en amont par une réactivation des propriétés des opérations sur les nombres décimaux
+positifs et de la notion de différence, qui ont été étudiées au cycle 3.
+De nombreux exemples de calcul mental permettront dans un premier temps de simplifier des
+programmes de calcul du type « ajouter 𝑏 puis soustraire 𝑎 » en « ajouter 𝑏 − 𝑎 »lorsque 𝑏 > 𝑎 puis,
+dans un deuxième temps d’aborder la même question lorsque 𝑏 < 𝑎.
+                                                                                                      e
+De nombreux exemples de ce type sont présentés dans le document « Les nombres relatifs en 5 »,
+Parcours d’Étude et de Recherche du groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille.
+
+
+Un exemple d’introduction des nombres négatifs dans
+un cadre mathématique
+Une introduction des nombres négatifs (d’abord entiers puis décimaux non entiers) sans référence
+à des contextes concrets peut se faire à partir de l’équivalence de programmes de calcul.
+L’équivalence des programmes de calcul « ajouter 3 puis soustraire 5 », « ajouter 2 puis
+soustraire 4 », « ajouter 1 puis soustraire +3 », « ajouter 0 puis soustraire 2 » permet d’écrire :
+3 − 5 = 2 − 4 = 1 − 3 = 0 − 2. On convient alors de coder par (−2) le résultat commun à toutes ces
+soustractions (et à beaucoup d’autres encore…).
+En début d’apprentissage, l’utilisation de parenthèses englobant à la fois le signe « moins » et la
+valeur absolue permet d’éviter la confusion du signe « moins » intervenant dans le codage d’un
+nombre négatif avec le signe opératoire de la soustraction.
+Pour bien faire comprendre le plongement de l’ensemble des décimaux positifs dans celui des
+décimaux relatifs et le fait que seuls les nombres négatifs sont nouveaux dans la construction, on
+évitera les écritures du type (+3) pour coder les décimaux positifs déjà connus. Cela permet de
+garder au signe + son seul statut opératoire et d’éviter des exercices de simplification d’écriture au
+terme desquels les élèves ne savent plus reconnaître que (+2) + (+3), c’est tout simplement 2 + 3.
+Les élèves pourront ensuite être entraînés à résoudre des additions à trous (reformulées en : « quel
+nombre faut-il ajouter à … pour obtenir … ? ») mettant en jeu d’abord des nombres entiers, puis des
+nombres décimaux non entiers. Les nombres négatifs apparaissent alors comme des outils permettant
+de résoudre des équations à trou du type 𝑏 + ⋯ = 𝑎 lorsque 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 , ce qui revient à rendre
+possibles des soustractions du type 𝑎 − 𝑏 avec 0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑎 et 𝑏 étant des décimaux.
+
+
+Le repérage des nombres relatifs
+Le lien peut ensuite être fait avec le repérage sur la droite graduée. La référence au placement des
+nombres négatifs sur la droite graduée peut être basée sur un modèle concret (par exemple celui des
+températures) ou sur l’interprétation de la soustraction d’un décimal positif comme un déplacement
+vers la gauche.
+Ainsi le nombre (−2,7) = 0 − 2,7 repère le point situé à la distance 2,7 de l’origine, symétriquement
+par rapport à l’origine au point repéré par le nombre 2,7. Il est défini comme étant son opposé.
+Le nombre positif 2,7 est désigné comme étant la valeur absolue du nombre négatif (−2,7).
+
+                       0 − 2,7 = (−2,7)
+
+                                                0 + 2,7 = 2,7
+
+
+
+La définition de l’opposé d’un nombre permet de compléter le corpus d’égalités à trous par des
+égalités du type 7,1 + ⋯ = 0 ou (−7,1) + ⋯ = 0.
+Pour éviter les confusions, on peut convenir, en début d’apprentissage, de noter op (7,1) l’opposé
+du nombre 7,1.
+Cette notation sera, un peu plus tard, remplacée d’abord par la notation (−7,1), puis par −7,1 sans
+négliger d’aborder avec les élèves les différentes significations que prend alors le signe « moins » :
+                marqueur d’un nombre négatif dans (−7,1) ;
+                signe de soustraction dans 0 − 7,1 ou dans 20 − 27,1 ;
+                marqueur de l’opposé, par exemple dans l’écriture −(−7,1).
+
+Le repérage des décimaux relatifs sur la droite graduée est un bon point d’appui pour aborder la
+question de leur classement. Un travail systématique de changement de registre (de l’écriture du
+nombre à sa représentation sur la droite et vice versa) permet de construire l’image mentale de
+l’opposé, d’éviter les erreurs de classement et facilitera l’introduction ultérieure du repérage dans le
+plan.
+Si le classement des nombres relatifs ne pose pas de difficulté particulière lorsqu’ils sont exprimés
+sous forme chiffrée, la difficulté apparaît lorsqu’ils sont désignés sous forme littérale, les élèves ayant
+du mal à concevoir que – 𝑎 puisse, sous certaines conditions, désigner un nombre positif.
+
+
+Les opérations
+L’addition et la soustraction sont introduites dès le début de cycle 4 ; il est nécessaire d’entretenir leur
+assimilation tout au long du cycle, tant par des exercices d’entraînement technique (calcul mental ou
+écrit) que par la résolution de problèmes les mettant en jeu. La multiplication est abordée une fois que
+ces deux opérations sont bien en place, et après avoir réactivé la distributivité de la multiplication par
+rapport à l’addition dans le cadre des nombres positifs. Il est nécessaire que le sens et les propriétés
+de la multiplication soient bien stabilisés avant d’aborder la division.
+
+L’addition et la soustraction
+Beaucoup de situations en lien avec la vie courante peuvent illustrer l’addition de deux nombres
+relatifs. Celle-ci permet en effet de modéliser soit le bilan de deux variations (gains et pertes, montées
+et descentes d’un ascenseur, déplacements vers la droite ou vers la gauche le long de la droite
+graduée), soit l’application d’une variation (augmentation, diminution) à un état (température, altitude,
+solde d’un compte financier, score d’un joueur). La variété des contextes utilisés évitera que la
+prégnance d’un modèle empêche la construction du statut de nombre.
+Une pratique routinière, notamment sous forme de calcul mental, d’additions entre nombres relatifs
+permettra l’automatisation progressive de la règle d’addition, sans qu’il soit nécessaire de la
+formaliser. L’élève pourra alors s’affranchir du recours à un modèle concret ou à la droite graduée.
+L’introduction de la soustraction suppose que soient bien installées l’addition et la notion d’opposé,
+𝑎 − 𝑏 étant défini comme égal à 𝑎 + op(𝑏). Il est alors possible d’interpréter le résultat d’une addition
+à trou comme la différence de deux nombres relatifs.
+
+La simplification des calculs
+L’élève dispose alors de tous les éléments permettant de justifier la simplification de calculs
+enchaînant des additions et des soustractions sur des nombres relatifs, du type 2 + (−5) + 4.
+La simplification des expressions repose sur la définition de la soustraction dans D, puisque, sur
+l’exemple précédent, 2 + (−5) = 2 − 5. Dans les expressions simplifiées, les seuls signes restants
+sont des signes d’opérations (additions et soustractions), sauf dans le cas où le premier terme de la
+somme est un nombre négatif comme dans (−2) + 3 − 5. Progressivement, l’élève dégage des
+méthodes efficaces pour effectuer une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs,
+notamment la neutralisation des opposés et le regroupement des nombres de même signe.
+Beaucoup de situations concrètes se prêtent à ce type de calculs : moyennes de températures,
+mouvements dans les deux sens, bilans financiers de gains et de pertes, scores de jeu.
+Le choix des nombres décimaux mis en jeu et le nombre d’opérations à enchaîner constituent des
+éléments de différenciation.
+
+La multiplication
+La multiplication des décimaux relatifs pourra être approchée en plusieurs étapes, conduites par le
+professeur, sur des exemples génériques simples, une fois que la compréhension et l’utilisation de
+l’addition et de la soustraction aura été stabilisée :
+    1. la multiplication d’un entier naturel par un entier négatif sollicite le sens premier de la
+       multiplication comme addition itérée ∶ 2 × (−3) = (−3) + (−3) = (−6) (verbalisée en « deux
+       fois (−3) ») ;
+    2. le principe de permanence permet d’étendre aux nombres relatifs une égalité du type
+       2 × 3 = 3 × 2 et de définir(−3) × 2 comme étant égal à 2 × (−3) ;
+    3. la justification de l’égalité (−2) × (−3) = 6 repose sur le fait que (−2) × (−3) + 2 × (−3) =
+       ((−2) + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0, à condition d’admettre l’extension aux nombres relatifs
+       de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, connue chez les décimaux
+       positifs, et le résultat de la multiplication par 0.
+
+La règle permettant de calculer le produit de deux nombres relatifs pourra alors être institutionnalisée,
+notamment au niveau du signe du produit.
+Si la métaphore des amis et des ennemis est une aide à la mémorisation de la règle des signes,
+il importe d’insister sur le fait qu’elle n’en constitue en aucune manière une justification.
+Une pratique routinière (mentale et écrite) de multiplications sur les nombres relatifs permet de
+découvrir, puis d’utiliser, des propriétés mathématiques essentielles comme l’effet de la multiplication
+par (−1), le signe d’un produit de plusieurs facteurs, l’associativité de la multiplication, etc.
+Enfin, on veillera à ne pas se limiter trop longtemps à des multiplications entre entiers relatifs car cela
+risquerait de renforcer l’obstacle dû à la seule conception de la multiplication comme addition itérée.
+Le choix des nombres décimaux mis en jeu est encore un élément de différenciation
+
+La division
+Le quotient de deux nombres relatifs est introduit à partir d’exemples de multiplications à trous et du
+prolongement de la définition du quotient de a par b (le nombre par lequel il faut multiplier 𝑏 pour
+obtenir𝑎), dans une démarche similaire à celle utilisée pour l’introduction de la soustraction.
+La règle des signes pour un quotient est démontrée à partir de celle qui régit le signe d’un produit.
+                           −4                                                             4
+À ce stade, on distingue        , solution de la multiplication à trous 3 × … = −4 et      , solution
+                          3                                                              −3
+de l’équation à trous (−3) × … = 4.
+                           −4       (−3)×(−4)
+En admettant que (−3) ×         =               (extension de la propriété connue du produit d’un entier positif
+                            3             3
+                                     −4        12
+par une fraction), il vient (−3) × =      = 4 ; donc le nombre par lequel on multiplie (−3) pour obtenir
+                                   3    3
+                4      −4        4     −4
+4 est à la fois    et     , donc     =
+                −3      3        −3     3
+Enfin, en étendant la règle d’addition de deux fractions de même dénominateur, il vient
+                                              −4 4   (−4 + 4)   0
+                                                 + =          =   =0
+                                               3  3     3       3
+                                  −4            4        4
+Ce qui permet de justifier que            =         = − .
+                                    3          −3        3
+L’acquisition de ces notions délicates se fera dans la durée, et permettra d’aborder la distinction entre
+opposé et inverse.
+
+
+Les nombres rationnels négatifs
+En cours de cycle, et parallèlement à la consolidation du calcul fractionnaire, les propriétés des
+opérations entre décimaux relatifs seront étendues, toujours selon le principe de permanence, aux
+nombres rationnels, positifs ou négatifs.
+
+
+
+Stratégies d’enseignement
+L’histoire nous apprend qu’il a fallu du temps pour que les nombres négatifs s’imposent véritablement
+en tant que nombres. Utilisés pour des besoins comptables (créances, dettes), ils ont longtemps servi
+en mathématiques comme outils de calcul, voire comme intermédiaires de calcul dans la résolution
+d’équations. Il a fallu attendre les mathématiques modernes et la théorie des structures pour les définir
+comme des classes d’équivalence de couples d’entiers naturels. La transposition didactique de cette
+notion est délicate et explique les difficultés à appréhender en tant que nombres des objets définis
+« en-dessous de 0 », alors même qu’ils sont utilisés dans la vie courante où l’on parle aussi bien d’une
+température de −7 °C ou d’une profondeur de −35 m que d’un bilan financier de −400 €.
+Des grandeurs comme la température, la date ou l’altitude peuvent être ordonnées et comparées ;
+ce sont des grandeurs dites « repérables » ; elles peuvent servir de modèles pour introduire, comparer
+et ordonner des nombres relatifs. En revanche, quand on mélange 100 g d’eau à la température de
+50 °C et 100 g d’eau à la température de 10 °C, on obtient 200 g d’eau dont la température n’est pas
+60 °C (mais plutôt de l’ordre de 30 °C). On dit que la température est une grandeur non mesurable.
+L’interprétation de l’addition des relatifs dans des contextes concrets de grandeurs repérables mais
+non mesurables (température, altitude, date) nécessite d’attribuer aux deux nombres en jeu des
+significations différentes. Ainsi, si on souhaite s’appuyer sur le contexte des températures pour
+introduire ou interpréter l’égalité 3 + (−4) = (−1), on peut, par exemple, attribuer aux nombres 3 et
+(−1) un statut d’état (température initiale de 3 °C et température finale de −1 °C, alors que le nombre
+(−4) a le statut d’une variation (diminution de 4 °C).
+
+S’ils constituent une aide indéniable pour la compréhension de l’addition, le modèle « gain-perte »,
+ou le modèle « montée-descente » peuvent constituer un réel obstacle à la compréhension de la
+multiplication de deux nombres, notamment s’ils sont tous deux négatifs.
+
+Les références à l’environnement familier des élèves et leur place dans la progression des
+apprentissages méritent donc d’être interrogées. Le professeur doit être conscient qu’une approche
+concrète, en référence à des grandeurs, peut engendrer des obstacles à plus ou moins long terme,
+notamment parce qu’il n’est pas possible de trouver un modèle concret permettant d’illustrer la
+multiplication. Par ailleurs, il faut savoir que certains élèves éprouvent des difficultés à s’affranchir du
+contexte d’introduction des nombres. Ceux-ci imposent en effet une image mentale dont il peut être
+difficile de se départir, empêchant in fine d’attribuer aux négatifs leur statut de nombre. Il importe donc
+de ne pas recourir à un unique modèle, par exemple celui des températures. Seule une pratique
+routinière de calculs additifs et soustractifs permet aux élèves de s’émanciper progressivement des
+contextes familiers, ce qui est un préalable à une bonne compréhension de la multiplication et de la
+division, dont les définitions ne peuvent être justifiées qu’à l’intérieur d’un cadre interne aux
+mathématiques.
+Aucun mode d’introduction des nombres négatifs ne peut, à lui seul, permettre l’atteinte de tous les
+objectifs visés et il y aura nécessairement des obstacles à franchir (par exemple les différents statuts
+du signe « moins »). Il importe toutefois que l’élève soit capable, en fin de cycle, d’appréhender un
+nombre négatif comme élément d’un nouvel ensemble de nombres, structuré par des opérations qui
+prolongent celles des décimaux positifs.
+Enfin, l’apprentissage du calcul sur ces nombres ne saurait se confiner à l’application de règles
+formelles imposées d’emblée à l’élève sans aucune justification.
+
+
+
+Différenciation
+Pour certains élèves, la compréhension des nombres négatifs demande du temps et nécessite le
+recours à des outils de représentation (contextes concrets, droite graduée) alors que d’autres les
+utilisent déjà de façon automatisée. Comme cela a déjà dit, ce sont les activités routinières de calcul
+qui permettent à tous les élèves de s’affranchir progressivement de ces contextes concrets pour
+appréhender les relatifs comme des nombres. En termes de calcul, la différenciation s’effectue au
+niveau de l’écriture et de la nature des nombres (entiers, décimaux non entiers, fractions) et du
+nombre d’étapes. L’utilisation de parenthèses englobant les deux symboles d’écriture d’un nombre
+négatif et la représentation de l’opposé sous la forme op() peuvent être maintenues plus longtemps
+pour certains élèves que pour d’autres.
+Dans le cadre d’un approfondissement, on peut proposer à certains élèves des activités de repérage
+pour lesquelles le nombre 0 n’est pas visible sur la partie proposée de la droite graduée, comme dans
+les deux exemples suivants :
+Trouver les nombres qui correspondent aux flèches, sachant qu’une graduation correspond à une
+unité
+
+                                                    – 20
+
+
+
+
+Sur la droite graduée ci-dessous, une graduation correspond à une unité.
+Placer les nombres – 105, – 81 et – 78
+
+                                        – 100
+
+
+
+
+Exemples de situations d’apprentissage
+Classes de problème
+                repérage de dates, calcul de durées sur une frise chronologique ;
+                repérage de distances sur une droite graduée ;
+                comparaison de températures, calcul de moyennes de températures ;
+              bilans financiers ;
+              lecture, interprétation et production de diagrammes et de graphiques faisant intervenir
+               des nombres relatifs ;
+              repérage dans le plan et dans l’espace.
+
+
+Exemples d’activité
+              Exemples de questions flash
+              Exemples de tâches intermédiaires :
+                Le jeu de Jungle math speed
+                Le labyrinthe
+              Exemple d’activité avec prise d’initiative : le jeu-concours
+
+
+
+Ressources complémentaires
+Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
+pour aborder la notion de nombre relatif avec les élèves :
+              Les nombres au collège
+              Le calcul numérique au collège
+              Enseigner les nombres relatifs au collège – REPÈRES IREM.n°73 –
+               octobre 2008 (IREM d’Aquitaine)
+           
+                                                      e
+               Des maths ensemble et pour chacun 5 – Jean-Philippe Rouquès et Hélène Staïner
+               – Sceren CRDP Pays de Loire
+           
+                                        e
+               Les nombres relatifs en 5 – proposition de Parcours d’Étude et de Recherche.
+               Groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille.
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/018.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/018.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Nombres et calculs
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+                               Objectifs
+                               La notion de puissance n’intervient pas au cycle 3. Il revient donc au cycle 4 d’introduire cette
+                               cinquième opération. L’objectif est d’abord, à partir de situations numériques qui la motivent,
+                               d’amener la notation exponentielle comme un raccourci d’écriture, puis de familiariser l’élève
+                               à sa compréhension et à son usage. L’élève peut découvrir les opérations sur les puissances
+                               au gré des calculs, à partir des écritures développées qui en donnent une image mentale. Ces
+                               propriétés peuvent être mises en évidence par le professeur, sur des exemples génériques,
+                               mais leur formalisation n’est pas un attendu de fin de cycle. Exemple : pour le calcul de 38 × 32,
+                               il convient d’installer l’image mentale des facteurs (huit facteurs 3 d’une part, deux de l’autre)
+                               pour visualiser le résultat sous forme de dix facteurs 3. L’apprentissage sur les puissances
+                               se construit sur le sens, à partir de situations issues des mathématiques ou des domaines
+                               scientifiques et technologiques. La calculatrice et le tableur, ainsi que les algorithmes de
+                               calcul, enrichissent la compréhension tout en facilitant les calculs. Les activités mentales,
+                               fréquentes et régulières, permettent à l’élève de construire des automatismes.
+
+                               Liens avec les domaines du socle
+                               La notation d’une multiplication itérée sous forme de puissance permet d’effectuer de manière
+                               efficace certains calculs en utilisant un langage mathématique adapté (domaine 1). Il en est de
+                               même de la notation scientifique.
+                               Par ailleurs, les puissances constituent un outil de modélisation permettant de résoudre
+                               des problèmes qui relèvent notamment des systèmes naturels et des systèmes techniques
+                               (domaine 4). Les puissances de dix fournissent une interprétation commode des ordres de
+                               grandeur.
+                               Progressivité des apprentissages
+                               Le cas des puissances de dix d’exposant entier naturel, prenant appui sur l’écriture décimale
+                               déjà envisagée au cycle 3, fait l’objet d’une étude en soi dès la classe de 4e, en liaison avec les
+                               problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs d’une puissance de dix
+                               sont introduits avec progressivité, en fin de 4e ou en début de 3e. La définition des exposants
+                               1 et 0, ainsi que celle des exposants négatifs, sont amenées avec précaution, par exemple en
+                               examinant pour le nombre 10n (n ≥ 2) l’effet sur l’exposant de divisions successives par 10.
+                               Pour une base quelconque, les exposants positifs sont envisagés en classe de 4e ou de 3e,
+                               en fonction de la progression retenue. La notation an peut être introduite avec les exposants
+                               2 et 3 comme un raccourci d’écriture exprimant par exemple l’aire d’un carré ou le volume
+                               d’un cube ; pour n entier relatif quelconque, on peut l’amener si elle prend sens à travers une
+                               situation donnée, mais sa maîtrise n’est pas un objectif du collège.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                              Stratégies d’enseignement
+                              Du cas particulier des puissances de dix au cas général
+                              Le programme du cycle 4 autorise soit d’initier un travail spécifique sur les puissances de dix,
+                              et de le prolonger aux puissances de base quelconque, soit d’adopter la démarche inverse,
+                              qui consiste à passer du cas général au cas particulier. La première démarche est toutefois
+                              recommandée, car elle respecte davantage la possibilité d’instaurer une progression de cycle
+                              différenciée. Avec cette démarche la notation an, pour un nombre a quelconque et n entier
+                              naturel, peut être amenée soit en fin de 4e soit en 3e. D’autre part, il est important que l’élève
+                              soit familiarisé au plus tôt avec les puissances de dix afin d’être mieux préparé à leur usage
+                              dans les sciences appliquées et la technologie.
+
+                              Introduire les puissances de dix
+                              La notation 10… n’est à aucun moment mentionnée dans le programme du cycle 3. Il est
+                              cependant possible que des élèves l’aient côtoyée avant le cycle 4, avec l’idée reçue selon
+                              laquelle l’exposant, qu’il soit positif ou négatif, est lié au nombre de zéros dans l’écriture
+                              décimale. Cette conception peut s’avérer utile dans la manipulation des puissances de dix en
+                              écriture décimale, mais elle présente deux inconvénients :
+                              • l’un est d’ordre mathématique, car le nombre « dix puissance n » doit être défini de façon
+                                 intrinsèque, c’est-à-dire sans référence à une base d’écriture ;
+                              • l’autre est didactique, car le fait de définir une puissance de dix en fonction du nombre de
+                                 zéros peut occasionner un obstacle important dans la compréhension des puissances d’un
+                                 autre nombre.
+                              Il est donc préférable de définir une puissance de dix d’exposant supérieur ou égal à deux
+                              à partir du produit itéré, quitte à remarquer par la suite le lien avec le nombre de zéros de
+                              l’écriture décimale.
+
+                              Construire l’apprentissage sur le sens des notions
+                              L’apprentissage sur les puissances doit profitablement se fonder sur des situations qui la
+                              motivent. Celui des puissances de dix peut prendre appui sur des grands nombres issus de
+                              domaines scientifiques ou technologiques tels que l’astronomie, les sciences physiques,
+                              l’informatique, le traitement de l’information, pour ce qui est des exposants positifs.
+                              Les sciences de l’atome, la microbiologie, les sciences chimiques, les nanotechnologies
+                              fournissent des situations propices à côtoyer les exposants négatifs. Le thème « Organisation
+                              et transformations de la matière » du programme de physique-chimie se prête bien à une
+                              articulation avec les mathématiques. L’apprentissage des puissances de base quelconque peut
+                              être motivé par des situations mathématiques mettant en œuvre un produit itéré, comme le
+                              comptage de situations répétitives, ou l’observation de situations fractales dans la nature, les
+                              arts visuels, etc. Ces situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en
+                              permanence à travers des problèmes porteurs de sens.
+
+                              Notation scientifique, ordre de grandeur
+                              • Tout nombre décimal non nul peut se noter sous la forme A × 10n, où A est un nombre déci-
+                                 mal vérifiant 1 ≤ A < 10 et n est un entier relatif. Cette écriture est la notation scientifique du
+                                 décimal, qu’il convient d’introduire sur des exemples numériques. Elle peut être rattachée à
+                                 ses nombreuses utilisations en physique-chimie, dans le domaine du calcul de grandeurs et
+                                 celui des conversions d’unités.
+                              • L’élève doit apprendre à utiliser la syntaxe de sa calculatrice relativement à la notation
+                                 scientifique, pour la lecture et pour l’écriture.
+                              • La notion d’ordre de grandeur peut être rattachée à la valeur de l’exposant n dans la nota-
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   2
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                                 tion scientifique. S’agissant de certaines grandeurs, cette notion donne l’occasion d’établir
+                                 un lien avec les préfixes des unités multiples mentionnées dans le programme (kilo = 103,
+                                 méga, giga, ou milli, micro, nano), ou peut-être d’autres (téra, pico …) s’ils interviennent
+                                 dans une situation donnée.
+
+                              Introduction des exposants 0 et 1, des puissances négatives
+                              La définition des exposants 0 et 1, de même que celle des exposants négatifs, demandent
+                              certaines précautions car il ne s’agit plus de produits itérés. Pour en faire accepter les
+                              définitions, une possibilité consiste à faire observer sur un exemple numérique le fait que,
+                              pour une puissance d’exposant positif, une division par la base revient à diminuer l’exposant
+                              d’une unité :
+
+                                NOMBRE                                  ÉCRITURE DÉVELOPPÉE                    EXPOSANT
+                                104                                    10×10×10×10                             4
+                        ÷10
+                                103                                    10×10×10                                3
+                        ÷10
+                                102                                    10×10                                   2
+
+
+                              En s’affranchissant de l’écriture développée, il est acceptable – et même intéressant – de
+                              poursuivre la décrémentation de l’exposant par des divisions successives. Cela permet de
+                              définir successivement :
+
+                                                                                                                             ; etc.
+
+
+                              Le développement précédent est un exemple générique au sens suivant : le procédé conduit
+                              avec le nombre 10 serait analogue en substituant au nombre 10 une base a quelconque (a ≠ 0).
+                              On pourra établir le lien entre la notation des puissances et les unités utilisées en physique-
+                              chimie ou dans le thème grandeurs et mesures, telles que vitesse, volume, concentration,
+                              masse volumique, débit, etc. : m.s-1, m3, kg.m-3, l.s-1, etc.
+
+                              Utilisation des outils numériques et de l’algorithmique
+                              Les calculatrices et logiciels ont une syntaxe permettant le calcul des puissances. L’élève doit
+                              dans un premier temps se familiariser avec celle-ci. Un algorithme itératif de calcul peut être
+                              intéressant à mettre en œuvre :
+                              • avec un tableur, pour dresser la liste de puissances successives d’un même nombre ;
+                              • avec le logiciel Scratch, qui ne possède pas la touche d’exposant.
+                              Par ailleurs, certaines situations font intervenir des multiplications itérées et, de ce fait,
+                              se prêtent bien à une activité algorithmique.
+                              Exemple : la croissance d’une population de bactéries (voir dans les exemples de tâche
+                              intermédiaire).
+
+                              Différenciation
+                              Sur le thème des puissances, la différenciation peut s’exercer à travers plusieurs pistes.
+                              Elle relève d’abord de l’écriture exponentielle, qui peut demeurer au stade numérique pour
+                              les élèves n’ayant pas la maturité suffisante pour comprendre une définition littérale. Cela
+                              n’empêche pas de leur proposer des situations qui se modélisent par des itérations de
+                              multiplications. La différenciation peut également s’exercer dans la formalisation de certaines
+                              propriétés calculatoires, telle que 34 × 35 = 34+5, qu’il n’est pas interdit de souligner dès lors
+                              que l’élève a lui-même remarqué ces propriétés à partir d’une pratique visuelle des produits
+                              développés, et sans pour autant que ces propriétés soient exigibles.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   3
+  CYCLE   4    I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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+                              Exemples de situations d’apprentissage
+                              Classes de problèmes
+                              • problèmes de nature scientifique et technologique ;
+                              • calculs d’ordres de grandeur ;
+                              • infiniment grand et infiniment petit ;
+                              • multiples et sous-multiples de grandeurs usuelles ;
+                              • situations multiplicatives simples de dénombrement ;
+                              • situations fractales en géométrie.
+
+                              Exemples d’activités
+                              • Exemples de questions flash
+                              • Exemples de tâches intermédiaires :
+                                --Curiosités numériques
+                                --Nombres de Mersenne et nombres parfaits
+                                --Croissance d’une population de bactéries
+                                --Multiples de l’octet
+                                --Dilution en homéopathie
+                              • Exemples d’activités avec prise d’initiative :
+                                --Tous cousins
+                                --L’arbre fractal
+
+                              Interdisciplinarité
+                              La notion de puissance se prête bien à des activités interdisciplinaires et trouve toute sa place
+                              dans le cadre des EPI (enseignements pratiques interdisciplinaire). Par exemple :
+                              • Dans la thématique « Corps, santé, bien-être et sécurité » : les unités CH en homéopathie ;
+                              • Dans la thématique « Culture et création artistiques » : les fractales ;
+                              • Dans la thématique « Information, communication et citoyenneté » : le stockage de données
+                                 numériques sur un support (disque dur, clé USB, …), la transmission d’information ;
+                              • Dans la thématique « Sciences, technologie et société » : l’infiniment grand et l’infiniment
+                                 petit, la rapidité des processeurs ;
+                              • Dans l’enseignement « Monde économique et professionnel » : la modélisation plane pour
+                                 traiter certains problèmes liés au monde économique et professionnel.
+                              Ressources complémentaires
+                              La ressource proposée ci-après constitue un complément et un approfondissement utiles pour
+                              aborder la notion de puissance avec les élèves :
+                              • Laure Guérin, La démarche d’investigation à travers un parcours d’étude et de recherche,
+                                 exemple des puissances en classe de 4e, IREM de Clermont-Ferrand.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   4
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/019.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/019.txt

@@ -0,0 +1,230 @@
+         Utiliser les nombres pour comparer,
+         calculer et résoudre des problèmes :
+                      les fractions
+
+Objectifs
+Au cycle 3, l’élève a découvert la notion de fraction en explorant progressivement différentes
+conceptions possibles et différents contextes : partage de l’unité, partage de grandeurs, repérage sur
+une demi-droite graduée, encadrement entre deux entiers consécutifs, expression d’une part d’une
+quantité, mesures (longueurs, aires). Il a été amené à donner du sens aux nombres décimaux à partir
+de leur désignation sous forme de fractions décimales ou de somme de fractions décimales. Il a perçu
+la fraction comme le quotient de deux nombres entiers. Il a utilisé la fraction pour résoudre des
+problèmes.
+                                         𝑎
+Au cycle 4, on s'intéresse au quotient       de deux nombres 𝑎 et 𝑏, 𝑏 ≠ 0, quelconques, défini comme le
+                                         𝑏
+nombre dont le produit par 𝑏 vaut 𝑎. Le professeur prendra conscience que cette définition n’est pas
+d’accès facile, et pourra proposer aux élèves de chercher comment la reformuler.
+La « vision-partage » de la fraction continue à être mobilisée. Le terme « vision-partage » est à
+                                                     7
+comprendre au sens où, par exemple, la fraction          évoque ce qui est obtenu en partageant l’unité en 4
+                                                     4
+                                                                                                     7
+parts égales et en reportant 7 de ces parts, ce qui correspond d'ailleurs à la lecture sept quarts ( c’est
+                                                                                                    4
+7 fois le quart de l’unité).
+L’articulation entre nombres décimaux et fractions est renforcée afin d’assurer la maîtrise de l’écriture
+de position et des différentes désignations d’un nombre. Progressivement, l’élève est amené à
+mobiliser la « vision-nombre » de la fraction pour résoudre des problèmes, en lien notamment avec la
+proportionnalité, pour effectuer des calculs et des comparaisons sur les fractions et les quotients, pour
+exprimer une fréquence ou une probabilité, pour donner un ordre de grandeur d’un résultat.
+                                                                                              7
+Le terme « vision-nombre » est donc à comprendre au sens où, par exemple, le quotient est le
+                                                                                              4
+                                                                                              7       1
+nombre dont le produit par 4 vaut 7 et peut être mobilisé, par exemple, pour prouver que = 7 × .
+                                                                                              4       4
+
+Le document « Le calcul numérique au collège » proposait, pages 11 et 12, de démontrer, dans le cas
+général, la propriété relative à la somme de deux quotients de même dénominateur, à savoir
+ a  b   a+b
+   + =      , pour tous nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑐 ≠ 0. Une telle démonstration ne peut être travaillée dans sa
+ c  c     c
+forme générale qu’avec certaines classes ou certains groupes d’élèves, dans une perspective
+d’approfondissement. Mais l’élaboration d’un raisonnement utilisant des exemples génériques peut
+venir en appui d’une remédiation.
+La mise en place de techniques de calcul s’appuie en permanence sur le sens et la résolution de
+problèmes, notamment en liaison avec les autres disciplines scientifiques.
+La définition d’un nombre rationnel comme nombre pouvant s’écrire comme quotient d'entiers permet
+de travailler simultanément sur des entiers, des décimaux, des relatifs et des fractions, sans ordre
+particulier entre eux, en construisant ainsi les attendus de fin de cycle 4 relatifs à la notion de
+divisibilité et aux nombres rationnels.
+
+Liens avec les domaines du socle
+La production et l’utilisation de différentes représentations d’une fraction (décompositions additives,
+multiplicatives, cas des fractions décimales, repérage sur une droite graduée) permettent de conduire
+intelligemment un calcul mental, posé ou instrumenté (domaine 1). L’explication d’un tel calcul, à l’oral
+ou à l’écrit, pour valider la démarche qui lui correspond ou montrer son efficacité conduit à argumenter
+pour convaincre (domaine 3).
+La résolution de problèmes issus des sciences et techniques mettant en jeu des fractions
+(reconnaissance d’une situation de proportionnalité, évaluation d’une proportion, d’un pourcentage,
+traitement de données statistiques, contrôle de la vraisemblance de résultats) favorisent la
+compréhension du monde (domaines 4 et 5).
+
+
+
+Progressivité des apprentissages
+Tout au long du cycle 4, on entretient la « vision-partage » de la fraction. La « vision-nombre » de la
+fraction est progressivement construite et mobilisée :
+
+       dès le début du cycle, l’élève calcule et compare des proportions, des fréquences ;
+       dès le début du cycle, l’élève est entraîné à reconnaître des fractions égales, à raisonner pour
+        justifier que des quotients sont égaux, qu’un quotient est un nombre rationnel ou non, qu’une
+        fraction est décimale ou non ;
+       dès le début du cycle, l’élève est conduit à additionner, soustraire et multiplier par un entier
+        des fractions de signe quelconque ;
+       progressivement, l’élève est conduit à additionner, soustraire, multiplier et diviser des
+        quotients ; à identifier, exprimer sous différentes formes et/ou justifier qu’un nombre est
+        l’inverse d’un autre ; la progressivité repose principalement sur la nature des nombres mis en
+        jeu ;
+       en classe de troisième, l’élève aborde la notion de fraction irréductible.
+
+
+
+Stratégies d'enseignement
+Les « activités mentales » (calcul mental, autres types de questions flash) contribuent à la
+construction du sens (« vision-partage » et « vision-nombre » de la fraction) et des automatismes sur
+les opérations et les comparaisons. Ainsi, il convient, tout au long du cycle 4, de :
+
+       développer la capacité à comparer des nombres sans recourir à une technique chaque fois
+        qu’une comparaison raisonnée peut être réalisée : positionnement des fractions par rapport à
+        des entiers, ordre de grandeur, simplification des fractions pour les rendre facilement
+        comparables ;
+       mettre en place la technique de comparaison liée à la réduction au même dénominateur ;
+       faire prendre conscience du fait qu’il est possible d’intercaler une infinité de nombres
+        rationnels entre deux nombres rationnels donnés.
+
+Sur la durée du cycle, les activités mentales permettent aussi de réactiver des savoirs et savoir-faire ;
+elles peuvent concourir à une évaluation diagnostique.
+Ainsi, par exemple, dès le début du cycle, avant la première séquence sur les fractions, un « Vrai ou
+Faux » du type suivant permet de réactiver les attendus de fin de cycle 3 :
+
+
+                    3         8
+                        +        =1;
+                    11     11
+                    2     8
+                       + <1;
+                    9     9
+                   il existe plus de 100 quotients, compris entre 1 et 2, ayant 6 comme dénominateur ;
+                                                              1 2        7
+                   sept segments de longueurs respectives ; ; ... ; alignés bout à bout forment un
+                                                              7 7        7
+                    segment de longueur 4.
+
+
+Un tel exercice, à vocation diagnostique, peut utilement être intégré dans une « stratégie »
+d’évaluation et exploité au service de la formation de tous les élèves, par exemple selon le
+« schéma » suivant :
+
+        1. passation du « vrai ou faux » ;
+        2. collecte des réponses des élèves (en classe ou « hors du temps de classe » au collège via
+           l’ENT en utilisant un l’outil « formulaire », par exemple) ;
+        3. traitement statistique des réponses et identification des erreurs ;
+        4. remédiation différenciée ;
+        5. nouveau temps d’évaluation diagnostique (on répète les étapes1. à 3., le 1. pouvant prendre
+           une forme différente : calcul mental, autre type de question flash) ;
+        6. test dans le devoir bilan suivant, entre autres, de ce qui a fait l’objet de l’évaluation
+           diagnostique puis d’une remédiation ;
+        7. réactivation, au long de l’année, en fonction des besoins des élèves.
+
+Le travail sur l'erreur s'appuie sur un retour au sens, en lien avec la définition du quotient, les ordres
+de grandeur, la production d’exemples et de contre-exemples et l’apprentissage du raisonnement.
+L’oral constitue une aide à la compréhension et participe du traitement de l'erreur (verbalisation de
+décompositions additives ; mise en œuvre de la définition du quotient ; identification, explication puis
+rectification d’une erreur).
+Ainsi, par exemple, à l’occasion de la résolution d’un problème de partage, quelques élèves ont écrit :
+    1       2       3
+«       + =             ». Un travail sur l’erreur doit alors être conduit et porter sur le sens. Il peut consister en :
+    2       5       7
+
+               un contrôle du résultat
+                modalité pédagogique : question/relance (doute, usage de la calculatrice) du professeur lors
+                de la production écrite ;
+                                                                                              1    3
+               un questionnement sur la vraisemblance du résultat (comparaison de et puis question :
+                                                                                              2    7
+                                                      1                                 3
+                « en ajoutant un nombre positif à , est-il raisonnable de trouver ? »)
+                                                      2                                 7
+                modalité pédagogique : débat en classe ;
+                                                          1   2   3
+               l’élaboration de la preuve du fait que + ≠ (mise en œuvre de la définition du quotient de
+                                                          2   5   7
+                deux nombres, par exemple en faisant calculer le produit de l’un et l’autre des deux membres
+                de l’égalité par 70 – lien avec l’arithmétique)
+                modalité pédagogique : production écrite individuelle hors du temps de classe ;
+                                                                a          1   a    1+a
+       un approfondissement : « peut-on trouver une fraction       telle que + =         ? » (production
+                                                                b          2   b    2+b
+        d’exemples)
+        modalité pédagogique : en classe, réflexion individuelle, travail en groupes, à l’oral :
+        présentation des résultats du groupe par un rapporteur.
+
+
+
+Différenciation
+Dans ce thème, la différenciation peut notamment consister en :
+
+       un accompagnement spécifique que ce soit pour des travaux en classe ou hors la classe ;
+       une action sur les variables didactiques dans le cadre de la résolution de problèmes
+        (exemple : s’il s’agit de calculer le complément à 1 de la somme de deux fractions, selon que
+                      1   1    1   1           1   2
+        l’on choisisse + ou + ou encore + , le degré de technicité varie ce qui peut conduire à
+                      3   3    3   6           3   7
+        proposer tel ou tel cas à différents élèves en fonction de leurs besoins) ;
+       l’élaboration de la preuve d’un résultat général, propriété (somme, produit ou quotient de deux
+        fractions, par exemple) ou solution d’un problème (voir la tâche intermédiaire « Vitesse
+        moyenne lors d’un aller-retour », par exemple), à l’aide d’un exemple générique ; la
+        démonstration dans le cas général pouvant faire l’objet d’un prolongement proposé à certains
+        élèves.
+
+
+
+Exemples de situations d’apprentissage
+
+Classes de problèmes
+       Activités mentales
+       Programmes de calcul
+       Problèmes de partage, de repérage
+       Calcul sur les mesures de grandeurs (longueurs, aires, volumes, angles, durée, vitesse,
+        masse)
+       Problèmes de construction
+       Reconnaissance de situations de proportionnalité
+
+
+
+Exemples d’activités
+       Exemples de questions flash :
+         Exemple 1 : « Vision-partage » de la fraction
+         Exemple 2 : Calcul avec les fractions
+         Exemple 3 : sens du quotient
+         Exemple 4 : travail sur l’erreur
+       Exemple de tâche intermédiaire : Vitesse moyenne lors d’un aller-retour
+       Exemple d’activité avec prise d’initiative : Âge moyen
+Interdisciplinarité
+L’interdisciplinarité donne du sens et constitue un levier pour l’apprentissage.
+L’emploi des fractions dans les modèles de proportionnalité, le traitement statistiques de données, le
+calcul de probabilités et le champ des grandeurs et mesures doit conduire à placer les élèves devant
+des problèmes relevant de ces champs et issus des disciplines scientifiques ainsi que du monde
+économique et de la vie quotidienne.
+Des EPI portant sur les thématiques « Monde économique et professionnel », « Transition écologique
+et développement durable », « Sciences, technologie et société » et « Corps, santé, bien-être et
+sécurité » seront l’occasion de construire l’attendu de fin de cycle « Utiliser les nombres pour
+comparer, calculer et résoudre des problèmes ».
+
+
+
+Ressources complémentaires
+Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
+pour aborder la notion de fraction avec les élèves. Certains de ces documents ont été produits dans le
+cadre de l'accompagnement de programmes de mathématiques antérieurs. À ce titre, ces ressources
+s'inscrivent dans un contexte pédagogique désormais ancien. Néanmoins, elles proposent des
+éléments toujours pertinents pour aborder le thème des fractions.
+
+       Le calcul numérique au collège
+       Les nombres au collège
+       Raisonnement et démonstration
+       Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée
+       Quotients, proportionnalité, grandeurs , André Pressiat, (décembre 2002).
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/020.pdfinfo.txt

@@ -0,0 +1,18 @@
+Creator:         Adobe InDesign CS6 (Macintosh)
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+CreationDate:    Wed Mar  9 16:25:37 2016 Paris, Madrid
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@@ -0,0 +1,483 @@
+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Ressources transversales
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+                                               La différenciation pédagogique
+
+                                    Le premier article du décret 2015-544 du 19 mai 2015 remplace l’article D332-2 du code de
+                                    l’éducation par les dispositions suivantes : « Le collège dispense à chaque élève, sans distinction,
+                                    une formation générale qui lui permet d’acquérir, au meilleur niveau de maîtrise possible, le socle
+                                    commun de connaissances, de compétences et de culture défini en application de l’article L. 122-1-1
+                                    et dont l’acquisition a commencé dès le début de la scolarité obligatoire. »
+
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+
+                               L’enseignement au collège est ainsi organisé autour de la prise en compte du parcours
+                               personnel de formation de chaque élève, dans l’objectif d’une acquisition du socle commun au
+                               meilleur niveau de maîtrise possible, qui peut varier d’un élève à l’autre. Pour autant, le cadre
+                               du collège ne doit pas être remis en cause, et la création de filières doit être évitée, comme le
+                               rappelle l’annexe de la loi du 8 juillet 2013 : « Il convient de remettre en cause tout dispositif […]
+                               qui détournerait les élèves de l’objectif de maîtrise du socle et les enfermerait trop tôt dans une
+                               filière. »
+
+                               Le rapport « Pour un collège démocratique » de Louis Legrand, en 1982, affirmait déjà :
+                               « admettre au collège tous les élèves de 11-12 ans, c’est obligatoirement créer une hétérogénéité
+                               de population scolaire qui ne saurait être traitée uniformément sans dommage. L’échec relatif des
+                               collèges — et de l’école élémentaire — vient précisément de cette absence de différenciation. »
+
+     1. On reprend ici des     La différenciation pédagogique consiste1 à mettre en œuvre un ensemble diversifié de moyens
+éléments de la définition      et de procédures d’enseignement et d’apprentissage pour permettre à des élèves d’aptitudes
+ du Conseil supérieur de
+                               et de besoins différents d’atteindre par des voies différentes des objectifs communs.
+  l’éducation du Québec.
+
+                               Deux remarques s’imposent :
+                               • la différenciation pédagogique ne répond pas à la seule question de la difficulté scolaire et
+                                  ne doit pas être réduite à la remédiation. Accompagner chaque élève dans son apprentissage
+                                  pour acquérir le socle commun au meilleur niveau de maîtrise possible, c’est également
+                                  accompagner l’élève qui est en réussite ;
+                               • la différenciation pédagogique ne saurait être limitée aux temps dédiés à l’accompagnement
+                                  personnalisé.
+
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+                               Diversifier pour différencier
+
+                               Les sciences de l’éducation ont coutume de distinguer la différenciation successive et la
+                               différenciation simultanée.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
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+                              La différenciation successive
+                              Elle porte sur l’utilisation, les uns après les autres et dans le déroulement même du cours,
+                              de situations d’apprentissage, d’interactions, d’outils, de supports, suffisamment variés pour
+                              que chaque élève puisse trouver la manière de travailler qui lui convient le mieux. Pour décrire
+                              cette variété, on peut citer comme exemples :
+                              • le recours au texte, à l’image, au son ;
+                              • le tâtonnement expérimental, l’explication magistrale, la recherche individuelle, par petits
+                                 groupes, en plénière.
+                              Ce type de différenciation est compatible avec le fonctionnement d’une leçon collective.
+
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+                              La différenciation simultanée
+                              Au sein de la classe, les élèves, individuellement ou au sein de groupes, travaillent en
+                              même temps sur des tâches différentes adaptées à leurs besoins du moment. Ce mode de
+                              différenciation suppose que l’enseignant ait auparavant identifié ces besoins (soit à l’aide
+                              d’évaluations diagnostiques, soit à l’issue de l’observation fine de ses élèves au travail) et
+                              ait conçu les situations d’apprentissage et les organisations de classe les mieux adaptées à
+                              la réussite individuelle de chaque élève (plans de travail personnalisés, ateliers tournants,
+                              groupes d’entraide ou de besoin).
+
+                              Pour ne pas marginaliser les élèves les plus fragiles et ne pas encore accroître les écarts,
+                              il convient de proposer majoritairement à tous les élèves des situations d’apprentissage
+                              visant les mêmes objectifs de formation, clairement identifiés par le professeur. En jouant
+                              sur certains paramètres didactiques et pédagogiques, il pourra concevoir différents
+                              cheminements d’apprentissage tenant compte de la variété des aptitudes et des besoins
+                              de ses élèves. Dans un souci de faisabilité et de réalisme, il importe que le nombre de ces
+                              cheminements reste limité.
+
+                              Parmi les paramètres sur lesquels on peut jouer pour réaliser la différenciation, citons, de
+                              façon non exhaustive :
+                              • les variables didactiques : par exemple la nature et l’écriture des nombres engagés, le degré
+                                 de complexité d’une figure géométrique, le nombre d’étapes d’un raisonnement ;
+                              • les supports (textes, images, vidéos, etc.) ;
+                              • les modalités d’organisation de la tâche à réaliser, en évaluation comme en formation.
+                                 Celles-ci varient en fonction des outils mis à disposition, des aides apportées par l’ensei-
+                                 gnant ou par les pairs, de la nature des consignes, du temps dont dispose l’élève, etc.
+                              • les processus mis en œuvre pour réaliser la tâche (raisonnement par tâtonnement, par es-
+                                 sai-erreur, par déduction logique) ;
+                              • les productions attendues (écrites ou orales, individuelles ou par groupes, complètes ou
+                                 partielles).
+
+
+                              Les variables didactiques
+
+                              La situation de référence et l’objectif visé sont les mêmes pour tous, mais l’activité varie
+                              selon les valeurs données à certaines variables de la situation : les ressources disponibles
+                              (utilisation d’outils, guidage du professeur…) ; les contraintes imposées (un temps d’exécution
+                              variable, un support utilisé différent selon le niveau de l’élève, une demande de résultat écrit
+                              pour certains élèves quand pour d’autres c’est le professeur qui sert de secrétaire).
+Retrouvez Éduscol sur
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+                              À titre d’exemple, prenons comme situation de référence le célèbre puzzle de Brousseau (ou
+                              sa variante proposée par R. Charnay).
+
+                              L’objectif de cette situation d’apprentissage est de faire identifier aux élèves qu’agrandir
+                              chacune des pièces du puzzle ne revient pas à ajouter le même nombre à toutes les mesures,
+                              mais à multiplier toutes les mesures par un même nombre.
+
+                              Afin de faire face à l’hétérogénéité des élèves en termes de maîtrise calculatoire, la
+                              différenciation peut porter sur les nombres engagés dans le problème.
+
+                              Ainsi, proposer à certains élèves des agrandissements du type « le côté qui mesure 8 cm devra
+                              mesurer 16 cm sur le puzzle agrandi », à d’autres « le côté qui mesure 8 cm devra mesurer
+                              12 cm sur le puzzle agrandi », à d’autres encore « le côté qui mesure 7 cm devra mesurer
+                              12 cm sur le puzzle agrandi », permet d’adapter la situation à différents niveaux de maîtrise
+                              des nombres. Le fait que, pour les uns le coefficient d’agrandissement soit un entier, pour
+                              d’autres un nombre décimal non entier, et pour d’autres enfin un rationnel non décimal, ne
+                              nuit pas à l’objectif principal de formation (le caractère multiplicatif de la situation), tout en
+                              tenant compte du degré de maîtrise de la notion de quotient.
+
+                              Notons que la différenciation peut aussi reposer sur la forme et le nombre des pièces du
+                              puzzle.
+
+
+
+                              Les supports
+
+                              Pour tenir compte des difficultés de lecture ou d’expression écrite de certains élèves, il
+                              importe de ne pas faire reposer tous les apprentissages sur la maîtrise du langage écrit
+                              (en compréhension comme en production), mais de jouer sur la multiplicité des supports
+                              d’information et de communication : images ou dessins, schémas, énoncés oraux, vidéos,
+                              écoute ou production d’enregistrements audio. Dans chaque cas, une explicitation des énoncés
+                              et des consignes et une vérification de leur bonne compréhension sont indispensables, surtout
+                              pour les élèves fragiles.
+
+
+                              Les procédures de résolution
+                              On parle parfois de différenciation par les procédures.
+
+                              Il s’agit de concevoir des activités permettant à chacun d’apporter sa propre solution, en
+                              faisant appel à ses propres procédures. Par exemple, pour la résolution d’une équation du
+                              premier degré, certains élèves peuvent trouver une solution approchée par essai-erreur, avec
+                              ou sans usage d’un tableur ou d’une calculatrice, tandis que d’autres mettent en œuvre la
+                              procédure algébrique de résolution. La mise en commun et la confrontation des différentes
+                              solutions, les échanges et les débats qu’elles ne manqueront pas de susciter se substituent
+                              alors à une correction qui consisterait à valider la solution experte.
+
+                              Pour permettre de diversifier les procédures mises en œuvre, le problème proposé ne doit
+                              pas induire a priori la réponse experte, mais permettre la coexistence de plusieurs niveaux
+                              ou plusieurs formes de réponses. Cette différenciation par les procédures ne demande pas
+                              de protocole ou de préparation très compliqués puisque tous les élèves travaillent au même
+                              moment sur la même tâche. Il s’agit simplement d’ouvrir le questionnement pour que chacun
+Retrouvez Éduscol sur         soit capable, d’une manière ou d’une autre, de répondre aux questions posées avec ses
+                              méthodes propres, mais aussi de les confronter à celles utilisées par ses camarades.
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+                              Il convient toutefois de prévoir des protocoles permettant de gérer la diversité des états
+                              d’avancement dans la réalisation de la tâche. Si la recherche s’inscrit dans une certaine
+                              durée, la variété des démarches de résolution (et du temps nécessaire à leur mise en place)
+                              peut en effet générer des problèmes de gestion de classe qu’il est préférable d’anticiper : il
+                              importe que tous les élèves s’impliquent dans la recherche et disposent d’un temps suffisant
+                              pour mettre en œuvre leur propre démarche ; il faut veiller à la fois à ce que les élèves les
+                              plus rapides ne soient pas freinés dans leur activité et à ce que leurs réponses ne retirent
+                              pas prématurément tout intérêt pour la tâche à leurs camarades plus lents. Enfin, lors de
+                              la confrontation des différentes procédures lors d’une plénière de synthèse, le professeur
+                              doit mettre en avant l’efficacité de la démarche experte sans stigmatiser les procédures
+                              personnelles moins performantes.
+
+                              On peut par exemple, dans un premier temps, éviter de donner le problème dans sa généralité.
+                              Si l’activité proposée commence par l’étude d’un cas particulier, les élèves plus rapides
+                              risquent moins de bousculer les autres. En outre, il est bienvenu de permettre aux élèves de
+                              poser eux-mêmes la question de la généralité du résultat obtenu sur un cas particulier.
+
+
+                              Les modalités d’organisation du travail
+
+                              Différentes organisations du travail en groupes peuvent être envisagées.
+
+
+                              Le groupe détaché au sein du groupe classe
+                              Les élèves ont à réaliser le même travail, sur le même support, avec les mêmes consignes.
+                              Ce qui varie est la modalité de début de séance : les élèves en difficulté sont regroupés autour
+                              de l’enseignant qui, par exemple, réactive des prérequis ou vérifie la bonne compréhension de
+                              l’énoncé et des consignes, tandis que les autres démarrent l’activité en autonomie.
+
+
+                              Les groupes de besoin
+                              Ces groupes sont constitués ponctuellement en fonction des difficultés momentanées
+                              rencontrées ou des nécessités d’approfondissement. Il s’agit donc de groupes homogènes,
+                              changeants : il est important que leur constitution ne soit pas fixée tout au long de l’année.
+                              Le groupe de besoin peut bénéficier d’une aide apportée par le professeur ou travailler
+                              en autonomie. L’activité qui lui est proposée doit lui permettre de progresser. Au sein du
+                              groupe, les élèves ont la même tâche à réaliser, mais ne travaillent pas nécessairement en
+                              coopération.
+
+                              Les groupes constitués des élèves les plus rapides pourront se voir proposer des questions
+                              « défi » qui ne donnent pas lieu à une mise en commun.
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+                              Les groupes hétérogènes
+                              La répartition des élèves en groupes hétérogènes permet de différencier les rôles au sein du
+                              groupe afin que chacun puisse apporter sa part personnelle au travail collectif (par exemple :
+                              le rôle de « rapporteur » du groupe ou le rôle de « celui qui va montrer comment faire », etc.).
+                              Les compétences développées variant selon les rôles, on répartira les élèves en tenant compte
+                              des besoins d’apprentissage de chacun.
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+                              La régulation au sein du groupe est un objectif relevant des compétences sociales à
+Retrouvez Éduscol sur
+                              développer chez les élèves, mais elle incombe avant tout à l’enseignant qui doit gérer la
+                              nature des interactions entre pairs. La répartition entre concepteurs, exécutants et inactifs
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+                              n’étant jamais exclue, il doit éviter deux risques de dérive : l’inactivité des plus faibles ou le
+                              confinement de leur activité à des tâches techniques ou « d’intendance » sans plus-value
+                              intellectuelle (par exemple le recopiage de la solution trouvée par les autres).
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+                              L’aide des pairs
+                              À certains moments, un groupe hétérogène peut fonctionner sur le mode de l’entraide, un
+                              élève du groupe pouvant solliciter un ou plusieurs autres pour une suggestion, un avis, le
+                              contrôle de certains résultats. Cette aide est mise en œuvre par l’élève aidant soit avec l’accord
+                              de l’enseignant, soit à sa demande. Elle se base sur un double volontariat : le désir d’aider et
+                              celui d’être aidé. Elle nécessite donc un accord réciproque entre les deux élèves concernés.
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+                              Elle se situe en général en fin d’activité d’entraînement, lorsqu’un élève a terminé et qu’un
+                              autre se trouve en difficulté légère.
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+                              Si certains élèves jouent ce rôle de « camarade aidant » avec plaisir et efficacité, d’autres
+                              peuvent trouver pesant de s’occuper d’un élève moins à l’aise qu’eux. Le professeur doit
+                              accompagner ces « camarades-ressources » dans cet apprentissage de compétences sociales
+                              et de communication qui ne peut avoir que des répercussions positives sur leurs propres
+                              apprentissages. Il importe aussi que l’entraide par un pair ne s’applique que pour résoudre
+                              une difficulté légère et bien ciblée de l’élève « aidé » et qu’elle ne se substitue en aucun cas au
+                              rôle du professeur, seul expert pour identifier les difficultés de compréhension et déconstruire
+                              les conceptions erronées.
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+                              Le traitement de l’erreur
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+                              Parties intégrantes de la différenciation pédagogique, le repérage, l’identification et le
+                              traitement des blocages et des erreurs constituent à la fois pour l’élève un levier pour
+                              progresser dans ses apprentissages et pour le professeur un appui pour réguler son
+                              enseignement. L’atteinte de ce double objectif est cependant conditionnée par la perception du
+                              statut que l’un et l’autre (élève et professeur) accordent à l’erreur.
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+                              Si elle est perçue comme une faute, le professeur pourra être tenté de la rejeter sur l’élève (qui
+                              aura mal écouté, mal retenu, ou mal appliqué ce qui lui a été enseigné) et de la corriger au plus
+                              vite, pour qu’elle cède la place à « la » réponse exacte. Quant à l’élève, il sera d’autant plus disposé
+                              à admettre la correction qu’elle lui permettra de ne pas s’appesantir sur un échec personnel.
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+                              Au contraire, si le blocage ou l’erreur est perçu comme inhérent à l’apprentissage, le professeur
+                              fera de son repérage, de son identification et de son traitement des enjeux de son enseignement
+                              et développera des stratégies permettant d’en faire un véritable levier de progrès.
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+                              Ces stratégies doivent s’adapter au type d’erreur ou de blocage qu’il s’agit d’abord de repérer
+                              puis de traiter. Rares sont les cas où leur origine peut être identifiée à partir des seules traces
+                              écrites laissées par l’élève. Leur interprétation gagne à s’appuyer sur un questionnement oral
+                              effectué par le professeur. Lorsqu’elle est possible, l’explicitation par l’élève du cheminement
+                              qui l’a amené à produire une erreur permet à l’enseignant de comprendre son fonctionnement
+                              mental, mais aussi les conceptions erronées qui font obstacle à sa compréhension.
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+                              On propose ici une typologie (non exhaustive) de certaines erreurs, et des pistes pédagogiques
+                              pour une prise en compte profitable, en nous inspirant de l’ouvrage L’erreur, un outil pour
+Retrouvez Éduscol sur         enseigner, de Jean-Pierre Astolfi, 1997, ESF éditeur (collection « Pratiques et enjeux
+                              pédagogiques »).
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+                              Erreurs ou blocages relatifs à la situation
+                              Exemples de problèmes rencontrés :
+                              • La situation paraît nouvelle à l’élève, il ne la reconnaît pas. Le langage utilisé, inhabituel, fait
+                                 obstacle à la compréhension du travail qui lui est demandé ; la présentation de l’exercice est
+                                 inédite ; le support est nouveau ; la tâche à effectuer est différente de celles qu’il a rencon-
+                                 trées auparavant…
+                              • La situation est connue de l’élève (par exemple un problème de proportionnalité), mais elle
+                                 privilégie un type de réflexion ou de raisonnement que l’élève maîtrise mal (les rapports
+                                 d’homogénéité et le coefficient de proportionnalité sont des nombres rationnels non déci-
+                                 maux). L’élève construit alors une représentation erronée de la tâche à effectuer.
+                              • La situation est connue de l’élève, mais elle impose des contraintes plus importantes, par
+                                 exemple parce qu’il s’agit d’un travail en temps limité ; parce qu’il y a un plus grand nombre
+                                 d’exercices à traiter ; parce que la tâche est d’un degré de complexité supérieur ; ou encore
+                                 parce que les exercices se réfèrent à des apprentissages relatifs à des thèmes différents.
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+                              Pistes pour une prise en compte de ce type d’erreur :
+                              • prendre l’habitude de varier les représentations, les supports tant en formation qu’en éva-
+                                 luation ;
+                              • éviter de faire appel à des situations trop éloignées du quotidien des élèves ;
+                              • aider les élèves à rattacher une situation à une classe de problèmes (par exemple un pro-
+                                 blème de proportionnalité) et à identifier les principaux outils permettant de les résoudre
+                                 (propriété de linéarité, coefficient de proportionnalité, tableaux) en indiquant dans quels cas
+                                 certains outils sont plus efficaces que d’autres.
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+                              Erreurs ou blocages relatifs à la consigne
+                              Exemples de problèmes rencontrés :
+                              • la consigne est formulée de façon ambiguë ou contient trop d’implicite ;
+                              • la consigne renferme des difficultés d’ordre lexical ou syntaxique ;
+                              • l’élève ne comprend pas la consigne : il ajoute, enlève, remplace des éléments dans la
+                                 consigne, il recrée la consigne ;
+                              • l’élève manque d’autonomie face à la consigne ; il anticipe trop ou trop peu ; il oublie la
+                                 consigne ;
+                              • l’élève décode mal les règles du contrat didactique : il sait que le professeur attend une
+                                 réponse, mais ne comprend pas vraiment ce qui est attendu.
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+                              Pistes pour une prise en compte de ce type d’erreur :
+                              • procéder systématiquement à la reformulation de la consigne par les élèves fragiles ;
+                              • aider les élèves à s’interroger sur le sens de la consigne, à identifier les mots importants, à
+                                 repérer des analogies avec des problèmes déjà traités ;
+                              • aider les élèves à se représenter mentalement le travail à effectuer ;
+                              • inciter les élèves à vérifier leur production en cours de tâche. Exemples : contrôler la vrai-
+                                 semblance des calculs à l’aide d’ordres de grandeur, tester une formule sur des valeurs
+                                 numériques.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Erreurs ou blocages relatifs aux opérations intellectuelles
+                              Exemples de problèmes rencontrés :
+                              • l’élève a des difficultés à reconnaître les connaissances et les méthodes utiles à la résolution
+                                 de la tâche ;
+                              • l’élève a des difficultés pour transférer des connaissances et des compétences acquises
+                                 dans un domaine mathématique à un autre domaine ;
+                              • l’élève a des difficultés à extraire de l’ensemble de ses acquis les éléments particuliers
+                                 adaptés à la résolution de la tâche proposée ;
+                              • l’élève a des difficultés à transférer sa connaissance d’une situation d’apprentissage à une
+                                 situation partiellement ou entièrement nouvelle.
+
+                              Pistes pour une prise en compte de ce type d’erreur :
+
+                              • aider les élèves à s’emparer de la situation, par exemple en la représentant par un dessin,
+                                 un schéma ;
+                              • amener l’élève à établir des liens entre les connaissances nouvelles et ses acquis anté-
+                                 rieurs, mais aussi entre les différents champs disciplinaires. Forger une image mentale des
+                                 connaissances à acquérir ;
+                              • inciter l’élève au transfert de ses acquis grâce à un travail plus transversal, interdisciplinaire ;
+                              • freiner l’impulsivité, favoriser la réflexion, la concentration, le questionnement intérieur ;
+                              • consolider les connaissances de base grâce à des activités ritualisées d’entrainement (por-
+                                 tant aussi sur des connaissances et des méthodes étudiées dans les classes antérieures) ;
+                              • inciter les élèves à rendre explicites leurs démarches ;
+                              • favoriser les activités développant tous les types de mémoire (visuelle, auditive, kinesthésique).
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+                              Erreurs ou blocages relatifs à l’acquis antérieur
+
+                              Exemples de problèmes rencontrés :
+                              • acquis antérieurs partiels, insuffisamment consolidés et/ou incorrects ;
+                              • non-acquisition du savoir.
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+                              Pistes pour une prise en compte de ce type d’erreur :
+                              • identifier les prérequis, vérifier leur stabilité et ne pas hésiter à différer un nouvel apprentis-
+                                 sage ; par exemple, travailler sur la différence entre nombres positifs avant l’introduction des
+                                 nombres négatifs ; consolider la multiplication entre relatifs avant d’introduire la division ;
+                              • reprendre un apprentissage mal acquis en modifiant les situations, le contexte ;
+                              • aider l’élève à faire émerger ses représentations initiales pour qu’il puisse lui-même les
+                                 rejeter s’il les reconnaît comme étant erronées ou inefficaces ;
+                              • aider l’élève à surmonter progressivement ses difficultés, en lui proposant des exercices de
+                                 complexité croissante ;
+                              • aider l’élève à hiérarchiser et à structurer ses connaissances, par exemple en utilisant des
+                                 cartes mentales, en rédigeant des fiches de synthèse, en identifiant les exemples embléma-
+                                 tiques, etc.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Pédagogie inversée
+                              Cette modalité d’enseignement consiste à mettre à disposition des élèves des documents
+                              qu’ils consultent avant de venir en cours. Grâce au développement des technologies, ces
+                              documents sont souvent aujourd’hui des capsules vidéo (souvent conçues par l’enseignant lui-
+                              même). Les élèves ont alors, en amont de la séance, la possibilité d’écouter et de visualiser
+                              autant de fois que nécessaire une définition ou l’explication d’une procédure (de calcul ou de
+                              construction géométrique, par exemple). Ils arrivent en classe en étant déjà familiarisés avec
+                              les notions qui sont alors mises en pratique sur des exercices en présence de leur professeur.
+                              Celui-ci peut compléter la vidéo par un questionnaire (souvent en ligne) à remplir par les
+                              élèves après le visionnage de la capsule et qui permet au professeur d’apprécier en amont de
+                              la séance le degré de compréhension de ses différents élèves. Fort de cette information, il peut
+                              alors concevoir des exercices adaptés à chacun et surtout consacrer un temps de réexplication
+                              auprès des élèves dont il a perçu les difficultés.
+                              L’intérêt majeur de cette modalité pédagogique réside dans l’utilisation des ressources du
+                              numérique afin de dégager du temps en classe pour une réelle mise en activité des élèves et
+                              permettre à l’enseignant de l’accompagner.
+
+                              Elle a aussi ses limites : d’abord, renvoyer à la maison ou au CDI toute la part de découverte,
+                              avec le danger évident de renforcer les inégalités en matière d’appropriation des savoirs.
+                              Ensuite, il faut signaler le risque de « sanctuariser » des présentations vidéos conçues a
+                              priori, sans avoir été articulées aux interrogations élaborées avec les élèves ; il ne faudrait
+                              pas non plus que l’aspect séduisant d’un clip vidéo ne prime sur son caractère fonctionnel et
+                              fasse oublier l’objectif majeur de différenciation. Enfin, la classe inversée peut amener à sous-
+                              estimer le rôle pédagogique essentiel de la parole du professeur devant la classe ; c’est bien
+                              cette parole qui, par sa précision, sa justesse, sa rigueur, sa capacité à s’adapter à son public,
+                              non seulement « institue le savoir », mais crée un véritable « rapport au savoir » auquel ne
+                              peut pas se substituer un ensemble de consignes et de gestes intégrés dans une vidéo, aussi
+                              utiles et pertinents qu’ils puissent être.
+
+                              On peut dégager de cette analyse quelques principes pour faire un bon usage de la classe
+                              inversée.
+
+                              Premièrement, il faut conserver en classe des « interventions magistrales » : en effet, celles-
+                              ci sont indispensables pour former chaque élève à l’écoute attentive (en posant, par exemple,
+                              des questions préalables pour favoriser l’attention, la collecte intelligente des informations et
+                              la formalisation des acquis).
+
+                              Deuxièmement, la différenciation consécutive suppose l’articulation, dans les pratiques
+                              quotidiennes de la classe, de temps de « construction des questions », de temps d’exposés
+                              — dont certains peuvent être effectivement « externalisés » — et des temps de retour réflexif
+                              sur ces exposés — qu’introduit légitimement la classe inversée — mais aussi des temps
+                              d’entraînement personnel, des temps de synthèse collective, des temps de restitution, des
+                              temps pour le transfert, etc. : chacun de ces temps doit être précisément identifié par les
+                              élèves, tant en termes d’objectifs poursuivis, de dispositifs mis en œuvre (travail individuel, par
+                              petits groupes ou en classe entière), de consignes à appliquer, de ressources à mobiliser, etc.
+                              La référence à une « pédagogie de l’activité des élèves » ne peut en effet exonérer l’enseignant
+                              d’un travail préalable sur la cohérence des séquences d’apprentissage proposées, le choix des
+                              situations et des outils utilisés, les opérations mentales suscitées, etc., toutes choses qui sont
+                              facilitées, de toute évidence, par le travail en équipe avec ses collègues.
+
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   8
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/021.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/021.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   Cycles 2                          3 4
+                                     Mathématiques
+                                       Compétences travaillées en mathématiques
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+                               La compétence « Modéliser », si on la prend dans son acception la plus large, renvoie pour
+                               le mathématicien au fait d’utiliser un ensemble de concepts, de méthodes, de théories
+                               mathématiques qui vont permettre de décrire, comprendre et prévoir l’évolution de
+                               phénomènes externes aux mathématiques.
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+                               Les mathématiques et le monde réel, une longue histoire
+                               La compétence « Modéliser » est, parmi les compétences travaillées, celle qui aborde de
+                               front le lien des mathématiques avec un extérieur à la discipline. Définir précisément cet
+                               extérieur n’est pas chose aisée, car il n’est pas certain qu’on puisse simplement l’envisager ou
+                               le nommer sans disposer déjà d’un minimum de concepts, de théories, de modèles déjà plus
+                               ou moins liés aux mathématiques. Ceci étant, quel que soit le terme utilisé (monde naturel,
+                               monde empirique, réalité extérieure, monde réel, référence, contexte), la modélisation fait
+                               intervenir un élément non mathématique au début et à la fin du processus. On peut en effet
+                               décrire de manière schématique le processus de modélisation en distinguant trois temps : la
+                               mise au point d’un modèle à partir du réel, le fonctionnement du modèle lui-même à l’intérieur
+                               des mathématiques, et la confrontation des résultats du modèle au réel1.
+                               Ainsi décrite, on peut remarquer que cette compétence de modélisation n’est pas développée
+                               qu’à partir du cycle 4. Dès le cycle 2, la simple reconnaissance des formes géométriques dans
+                               les objets réels ressortit à la première étape de la modélisation (« le rectangle modélise le
+                               terrain sur lequel on veut construire une maison »). Reproduire et transformer les figures
+                               obtenues relève alors de la deuxième étape. Quant à la troisième étape, elle est également
+                               présente, même si les situations modélisées restent modestes. C’est véritablement aux
+                               cycles 3 et 4 que les trois phases de la modélisation vont pouvoir progressivement gagner
+                               en ampleur. La première phase devient l’objet d’un véritable choix pour l’élève, qui dispose
+                               de différents modèles parmi lesquels il lui revient de déterminer quel est le plus pertinent
+                               (« s’agit-il ou non d’une situation où le modèle proportionnel s’applique ? »). Ce qui change
+                               est donc en premier lieu la diversité des modèles disponibles que l’élève peut convoquer pour
+                               décrire une situation, au travers par exemple de l’apparition des modèles probabilistes et
+                               fonctionnels. Mais c’est aussi et surtout la complexification de ces modèles qui va permettre
+                               à la deuxième phase de gagner en ampleur. Le rectangle qui modélise le terrain est toujours
+                               aussi pertinent, mais le modèle dans lequel il s’insère s’est profondément transformé entre le
+                               cycle 2 et le cycle 4. Ce rectangle est à présent lié à des propriétés de figures, à de nouvelles
+                               possibilités de calculs (par exemple la longueur de la diagonale par le théorème de Pythagore),
+                               à des concepts comme l’aire ou le périmètre qui ouvrent de nouveaux champs de questions,
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+                              1. Dans une version plus élaborée, cette dernière phase boucle sur la première, en construisant une version améliorée
+Retrouvez Éduscol sur         du modèle.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016      1
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                               à une possibilité de faire évoluer le modèle suivant des contraintes par le biais de l’algèbre,
+                               puis du langage fonctionnel (« un côté doit être le double de l’autre, l’aire doit être fixée… »).
+                               Cette complexification des modèles utilisés rend nécessaire de faire travailler les élèves,
+                               dans un premier temps, sur des exercices internes au modèle en tant que tel (exercices de
+                               probabilités, exercices sur les fonctions) pour en comprendre la logique interne et en maitriser
+                               l’usage avant de l’utiliser comme outil de traitement d’un problème externe.
+                               L’apparent paradoxe du cycle 4 est ainsi que le développement de la compétence
+                               « Modéliser » fait passer une compréhension plus fine du réel par un progrès dans les
+                               capacités d’abstraction des élèves. Ainsi, c’est par une conceptualisation et une formalisation
+                               de la notion naturelle de « chance » en termes de probabilités que l’on parvient à modéliser
+                               les situations dépendant du hasard. Paradoxe apparent qui est au cœur du progrès du savoir
+                               mathématique, la plus grande abstraction allant de pair avec la plus grande capacité de
+                               rendre compte de la complexité du réel. Pour des élèves à qui on demande un effort
+                               d’abstraction et de manipulation de concepts, il est important de connaitre et d’éprouver
+                               régulièrement l’efficacité des outils qu’ils apprennent à maitriser, au travers en particulier
+                               de cette troisième phase de confrontation des résultats du modèle avec la réalité empirique.
+                               Entretenir la compétence « Modéliser », c’est aussi entretenir la confiance que les élèves
+                               ont dans l’enseignement qui leur est proposé : découvrir qu’un modèle géométrique permet
+                               de donner une bonne approximation du rayon de la Terre fait partie de ces expériences
+                               qui contribuent à façonner auprès de l’élève de collège une image positive et utile des
+                               mathématiques.
+
+                               Lire le grand livre de l’Univers : mathématiques
+                               et sciences
+                               Parce qu’elle a trait au réel, la compétence « Modéliser » rencontre naturellement les
+                               disciplines dont le principe même est la compréhension du monde naturel : les sciences,
+                               qu’elles soient physiques, technologiques ou sciences du vivant. Mais qu’ont à dire de
+                               spécifique les mathématiques dans une affaire où elles peuvent n’apparaitre que comme
+                               un outil ? Il faut ici relire la phrase célèbre de Galilée2 :
+
+
+                                    La philosophie est écrite dans ce livre gigantesque qui est continuellement ouvert à nos yeux
+                                    (je parle de l’Univers), mais on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas à comprendre
+                                    la langue et à connaître les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langage mathé-
+                                    matique, et les caractères sont des triangles, des cercles, et d’autres figures géométriques, sans
+                                    lesquelles il est impossible d’y comprendre un mot. Dépourvu de ces moyens, on erre vainement
+                                    dans un labyrinthe obscur.
+
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+                               Amener les élèves à comprendre et parler ce langage, voilà l’une des contributions des
+                               mathématiques au développement de la pensée scientifique des élèves de collège. Ce langage
+                               est d’abord composé de nombres et de figures, présents dès le cycle 2 : « comprendre le
+                               système de numération », « reconnaitre des formes dans les objets réels » sont des objectifs
+                               du programme de mathématiques. Mais il s’enrichit au cycle 4 des symboles et de la syntaxe
+                               algébriques. C’est bien par la part prise par le calcul littéral que le cycle 4 marque une
+                               nouvelle étape dans l’apprentissage de la lecture de l’univers. Et avant le calcul lui-même,
+                               l’utilisation de l’écriture littérale constitue l’un des enjeux, « Comprendre l’intérêt d’une
+                               écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables »
+                               indique le programme, qui invite à multiplier les références aux sciences. Quant au calcul
+
+                              2. Galileo Galilei (1623). Il Saggiatore traduction française de Christiane Chauviré, L’Essayeur, Les Belles-Lettres,
+Retrouvez Éduscol sur         Paris, 1980.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016              2
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              algébrique, c’est l’un des objectifs du cycle 4 que de permettre aux élèves d’en découvrir
+                              progressivement la puissance en termes d’abstraction, de généralisation et d’automatisation
+                              des calculs, en particulier au travers de problèmes du premier degré.
+
+                              De la quatrième proportionnelle aux fonctions linéaires
+                              Le modèle proportionnel, déjà présent au cycle 3, évolue au cycle 4 dans le sens d’une
+                              plus grande abstraction. Les situations à modéliser diffèrent peu, mais c’est le traitement
+                              mathématique de la modélisation qui évolue. Au travers d’un plus grand nombre de registres
+                              (graphiques, tableaux, coefficient multiplicateur, formule) et au travers d’une utilisation plus
+                              fine des propriétés de linéarité sous-jacentes à la situation de proportionnalité, pour aboutir
+                              enfin à la notion complètement décontextualisée de fonction linéaire où dans la formule
+                              f(x) = ax, ni a ni x ne renvoient nécessairement à un élément du monde réel. Dans ce parcours,
+                              c’est véritablement l’activité intra mathématique de création de concepts qui est à l’œuvre,
+                              permettant de faire naitre un objet, la fonction linéaire, dont le caractère dégagé de tout
+                              lien avec un contexte donné multiplie la puissance de modélisation (ne serait-ce que par la
+                              capacité d’automatiser les calculs). Faire percevoir aux élèves le gain réalisé au prix de l’effort
+                              d’abstraction doit être là encore une préoccupation de l’enseignant face à l’élève qui peut
+                              demander pourquoi on ne se contente pas des tableaux qui ont fait leurs preuves.
+
+                              Probabilités
+                              « Aborder les questions relatives au hasard à l’aide de problèmes simples » est un des
+                              objectifs du programme de cycle 4. Pour autant, la simplicité des problèmes ne doit pas
+                              cacher la complexité du modèle proposé. Il convient de ne pas précipiter le passage au
+                              modèle probabiliste et aux calculs à l’intérieur de ce modèle, et il convient surtout de ne pas
+                              prendre les calculs menés à l’intérieur du modèle pour des preuves ou des démonstrations
+                              de phénomènes réels. On ne prouve pas que « le dé est truqué », ou qu’ « il vaut mieux miser
+                              sur l’obtention d’un 7 comme somme de deux dés que sur l’obtention d’un 2 », mais on
+                              effectue des calculs à l’intérieur du modèle mathématique qui aboutissent à une conclusion
+                              mathématique rigoureuse. Les conclusions que l’on peut en tirer quant aux dés réels ou
+                              aux paris réels ne relèvent pas des mathématiques et doivent être considérées avec recul et
+                              prudence. Pour reprendre la phrase radicale d’Einstein, « Pour autant que les propositions de
+                              la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont
+                              certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité ». L’utilisation du modèle probabiliste est une
+                              grille de lecture de la réalité, et son rapport avec le réel n’est pas le même que celui d’une
+                              théorie physique. L’affirmation « une pièce équilibrée a autant de chances de tomber sur
+                              pile ou sur face » n’est pas de même nature que « l’eau bout à 100 degrés » ou « il se forme
+                              un précipité rouge en présence de cuivre ». Une conséquence pratique de cette distinction
+                              tient dans la nécessité pour les enseignants de bien marquer la différence entre ce qui tient
+                              de l’observation (statistique) et ce qui tient de la modélisation théorique en privilégiant un
+                              vocabulaire du type « on décide que », « on modélise par » plutôt que « on voit que ». Parce
+                              qu’il rend compte de l’activité humaine, parce qu’il peut appuyer des décisions collectives
+                              ou des choix politiques, le modèle probabiliste doit plus que d’autres faire l’objet d’une
+                              sensibilisation des élèves à la prudence méthodologique.
+
+                              Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre !
+                              La géométrie des figures, déjà évoquée, gagne elle aussi en abstraction au cycle 4 en
+                              s’éloignant de l’expérience sensible. Ce sont des triangles qu’on tenait auparavant dans la
+                              main après les avoir découpés et qui tiennent à présent tout entier dans les trois lettres ABC.
+                              Ce sont des solides qu’on va pouvoir décrire par des vues de coupes, des représentations en
+                              perspective sans les avoir matériellement sous les yeux. Ce travail progressif d’abstraction,
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   3
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              qui ne peut s’envisager au cycle 4 sans aller-retour avec la matérialité des solides concrets,
+                              ouvre non seulement la voie vers le raisonnement déductif, mais aussi vers la modélisation
+                              géométrique de l’espace. Cette modélisation de l’espace se manifeste au cycle 4 en particulier
+                              dans le repérage sur la sphère terrestre mais aussi au travers des calculs que cette
+                              modélisation permet (estimation du rayon de la terre et de la distance de la terre à la lune).
+                              Mais cette géométrie de l’espace marque également profondément l’art, depuis les proportions
+                              des temples grecs jusqu’aux architectures contemporaines en passant par la révolution
+                              cézanienne : « Permettez-moi de vous répéter ce que je vous disais ici : traitez la nature par le
+                              cylindre, la sphère, le cône […] »3 et au-delà. C’est peut-être au cœur du plaisir esthétique, des
+                              notions d’harmonie et de symétrie, que le passage progressif à une géométrie des propriétés
+                              et des rapports trouve une de ses récompenses les plus précieuses : au travers de quelques
+                              tracés sur une toile de Leonard de Vinci, ou par l’imposition de transformations bien choisies
+                              sur une frise du palais de l’Alhambra, les mathématiques apportent leur concours à la
+                              compréhension des règles de l’art.
+
+                              La modélisation au risque du projet
+                              La modélisation, si on souhaite permettre aux élèves d’en comprendre les enjeux, nécessite
+                              dans l’idéal de partir d’un problème extra-mathématique, de construire un modèle, de le
+                              faire fonctionner et de pouvoir confronter ses résultats à la situation modélisée. Deux écueils
+                              apparaissent immédiatement :
+                              • le temps nécessaire pour laisser les élèves réfléchir, émettre et confronter des hypothèses
+                                 peut dépasser le cadre de la séance ;
+                              • les modèles mathématiques permettant de rendre compte de situations réelles peuvent
+                                 apparaitre comme hors de portée des élèves de collège.
+                              Face à ces deux difficultés, deux possibilités s’offrent, qu’il convient de combiner car elles ont
+                              chacune leurs avantages et leurs inconvénients.
+                              La première piste consiste pour l’enseignant à prendre en charge une partie de la modélisation
+                              en présentant une situation déjà simplifiée, voire en partie modélisée. Cette possibilité a
+                              l’avantage de diminuer fortement le temps nécessaire pour appréhender la situation et de
+                              proposer un cadre où l’on sait que l’élève a les moyens d’effectuer un travail de modélisation.
+                              Elle peut toutefois conduire à des situations tellement artificielles et caricaturales qu’elles
+                              finissent par ne plus rien modéliser. Il est donc important de présenter aux élèves les raisons
+                              qui ont présidé au choix du modèle, de les amener à le critiquer de manière argumentée, et
+                              d’évoquer lorsque cela est possible des outils et des concepts qu’ils rencontreront plus tard
+                              et qui permettront d’améliorer le modèle.
+                              La deuxième piste consiste à garder l’idée de la confrontation à la complexité du réel en
+                              pariant sur le temps long du projet, que ce soit au sein du cours de mathématiques ou dans
+                              le cadre d’un EPI. Si cette modalité constitue pour le développement de la compétence
+                              « modéliser » un terrain a priori idéal, il faut cependant garder à l’esprit les risques inhérents
+                              à la conduite des projets, que nous rappelle un chercheur comme Jean-Yves Rochex4 :
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+                              3. Paul Cézanne, Lettre à Émile Bernard, 15 avril 1904.
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+                              4. Extrait de l’audition au CSE du 6 janvier 2015, reprise dans le rapport de l’Inspection générale Grande pauvreté
+Retrouvez Éduscol sur         et réussite éducative (J.P. Delahaye, mai 2015)
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016            4
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                                    […] la question n’est pas simplement de savoir si nous sommes en mesure de proposer des
+                                    projets et des activités attractives pour les élèves, mais aussi de savoir si ces activités sont
+                                    productrices d’apprentissages et de dispositions durables, qui restent une fois le projet accom-
+                                    pli, une fois le spectacle donné […].Comment veiller à ce que la réalisation d’un projet collectif
+                                    ne se concrétise pas par une division sociale du travail entre élèves, qui spécialise les élèves les
+                                    plus faibles dans les tâches les moins intéressantes sur le plan intellectuel, les élèves les plus
+                                    performants dans les tâches les plus intéressantes ?
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+                              Ces points de vigilance étant posés, il apparait indispensable de demander aux élèves un
+                              retour réflexif régulier sur les mathématiques rencontrées (quelles notions mathématiques,
+                              connues ou inconnues ai-je rencontrées ?) et au moins en fin de projet, de garder un temps
+                              de reprise et d’institutionnalisation par l’enseignant des concepts mathématiques à l’œuvre,
+                              afin que, pour tous les élèves, les éléments de savoir mathématique qui sous-tendent la
+                              modélisation apparaissent clairement, dégagés de la multiplicité d’expériences, de souvenirs,
+                              de sensations qui constituent pour eux la trace sensible du projet.
+
+                              Décrire le monde : un enjeu au carrefour des domaines
+                              du socle
+                              La compétence « Modéliser » constitue pour l’élève de cycle 4 un enjeu qui rencontre les 5
+                              domaines du socle : elle illustre la puissance du langage mathématique dans sa capacité de
+                              mise en ordre et de description du monde, elle constitue une mise en œuvre des méthodes
+                              mathématiques de raisonnement hypothético-déductif, elle participe à la formation d’un
+                              citoyen éclairé, elle constitue le langage des grands systèmes scientifiques, et elle représente,
+                              notamment au travers de la géométrie et des probabilités, un outil indispensable de
+                              compréhension de l’activité humaine.
+                              Cette omniprésence ne rend pas pour autant facile pour les élèves la maitrise de cette
+                              compétence, qui peut être cachée dans la diversité des activités mathématiques. Il revient
+                              à l’enseignant, au-delà des projets, des EPI, des exercices quotidiens, de mettre au jour les
+                              modalités, la puissance et les limites de la modélisation mathématique.
+
+                              Bibliographie et sitographie
+                              • De la modélisation du monde au monde des modèles (1) et (2) : Le délicat rapport
+                                 « mathématique-réalité » et Des statistiques aux probabilités - DUPERRET,J.-C. (2012).
+                                 Bulletins verts de l’AMPEP 484 et 486.
+                              • Site du Projet européen Lema (Learning and Education in and through Modelling and
+                                 Applications).
+                              • Interdisciplinarité et modélisation, un atout et un défi pour l’enseignement des mathéma-
+                                 tiques - ARTIGUE, M. (2016), séminaire de l’IREM Paris 7.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   5
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/022.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/022.txt

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+                          Utiliser le calcul littéral
+
+Objectifs
+Au cycle 3, l’élève a fait fonctionner de manière implicite les propriétés des opérations dans le champ
+des nombres, mais sans les avoir formalisées en tant que propriétés générales. Il a rencontré des
+formules littérales dans le cadre des apprentissages liés aux mesures de grandeurs ; la lettre y avait
+essentiellement valeur d’abréviation ; ainsi, la formule 𝐴 = 𝐿 × 𝑙, est une abréviation de l’expression
+« aire du rectangle = longueur fois largeur » utilisée par l’élève pour effectuer directement le produit
+des nombres donnés pour la longueur et la largeur, sans identification explicite du processus de
+substitution des lettres par des valeurs numériques. L’élève a aussi appris à compléter des égalités à
+trou, notamment à l’occasion du travail sur les notions de différence et de quotient. Il a résolu des
+problèmes du premier degré sans avoir recours à la résolution d’équations, mais en agissant par
+tâtonnements, en ayant recours à des étapes intermédiaires avec ou sans l’aide d’outils numériques
+(tableur, calculatrice).
+Au titre de l’entrée dans l’algèbre, l’enseignement du calcul littéral au cycle 4 vise les objectifs
+suivants:
+                traduire le résultat de la suite des opérations d’un programme de calcul sous la forme
+                 d’une expression littérale et établir le lien entre l’aspect « procédural » et l’aspect
+                 « structural » de cette expression : ainsi, le résultat du programme de calcul
+                 « multiplier un nombre par 2 et ajouter 3 au résultat » se traduit par l’expression
+                 2𝑥 + 3 dont la structure est celle de la somme de 3 et du double de 𝑥 ;
+                décrire une propriété générale de nombres (par exemple « être la somme de deux
+                 entiers consécutifs » ou « être un multiple de 3 ») ;
+                démontrer qu’une propriété est vraie dans un cadre général (par exemple les règles
+                 du calcul fractionnaire) ;
+                modéliser et résoudre des problèmes à l’aide d’équations ou d’inéquations du premier
+                 degré ;
+                introduire les concepts de variable et de fonction.
+
+
+
+Liens avec les domaines du socle
+Le langage algébrique permet de formuler des propriétés mathématiques et de résoudre des
+problèmes. À travers la pratique du calcul littéral, son apprentissage contribue donc de façon
+essentielle à l’objectif « comprendre, s’exprimer en utilisant les langages mathématiques, scientifiques
+et informatiques » du domaine 1 du socle.
+Les outils algébriques (lettres, fonctions) sont également utilisés pour représenter des systèmes
+naturels et techniques et fournir des preuves aux problèmes qu’ils engagent. Leur utilisation participe
+à la mise en œuvre de la démarche scientifique, en complément de l’observation, la manipulation et
+l’expérimentation. Le calcul littéral contribue donc fortement à l’atteinte des objectifs du domaine 4 du
+socle.
+Progressivité des apprentissages
+Ces repères de progressivité sont explicités ci-dessous selon les principaux enjeux d’apprentissage
+du calcul littéral au cycle 4.
+
+
+Formules et expressions littérales pour généraliser, modéliser ou
+démontrer
+                                                                                                    e
+Le travail initié au cycle 3 sur la production et l’utilisation de formules devient, en classe de 5 , un
+objectif de formation. Une formule (expression d’une relation entre des variables) ou une expression
+littérale (résultat d’un programme de calcul) permettent de décrire une situation générale, le recours à
+la lettre étant un moyen de s’abstraire de valeurs numériques particulières.
+La résolution de problèmes issus de contextes variés permet de motiver la production de formules. On
+pourra se référer avec profit aux exemples figurant dans le document « Du numérique au
+littéral » publié sur Éduscol : carrés bordés, somme de multiples de 7, etc. Parallèlement à la
+production et à l’utilisation de formules, la familiarisation précoce avec la notion de fonction (sans faire
+appel à son formalisme) permet de modéliser la dépendance d’une grandeur en fonction d’une autre.
+                                                                  e
+La notation symbolique d’une fonction n’est introduite qu’en 3 . Elle est accompagnée de la
+présentation des différents registres de représentation (symbolique, numérique, graphique) et des
+passages de l’un à l’autre.
+
+
+Transformation d’expressions littérales
+Dès le début du cycle 4, la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition est implicitement
+mobilisée lors de calculs sur des nombres, en particulier en calcul mental, par exemple pour calculer
+29 × 21.
+L’intérêt, apparu à travers la résolution de problèmes, de transformer une expression numérique pour
+la simplifier ou l’écrire sous une forme adaptée motive d’institutionnaliser la distributivité simple sous
+forme littérale. Celle-ci peut s’appuyer sur l’image mentale de l’aire d’un rectangle de longueur 𝑎 + 𝑏
+et de largeur 𝑘 décomposé en deux rectangles de largeur 𝑘 et de longueurs respectives 𝑎 et 𝑏.
+Le recours à la distributivité permet ensuite de valider la réduction d’une expression littérale.
+Avant d’être automatisées, les stratégies de transformation sont explicitées (par exemple 𝑥 = 1 × 𝑥 ;
+−𝑥 = (−1) × 𝑥), pour aboutir progressivement à des calculs du type :
+
+
+    𝑥 − 2,7 𝑥 = 1 × 𝑥 + (−2,7) × 𝑥 = (1 + (−2,7)) × 𝑥 = (−1,7) × 𝑥 = −1,7𝑥.
+
+
+La transformation d’expressions littérales (d’une somme en produit ou vice versa) s’effectue dans le
+même esprit, à partir de la distributivité simple de la multiplication par rapport à l’addition.
+Le travail technique de développement ou de factorisation est accompagné d’une réflexion sur le
+choix de la forme de l’expression (somme ou produit) la mieux appropriée au problème à résoudre.
+De manière générale, les tâches d’exécution (développement, factorisation, réduction) sont articulées
+avec des activités qui développent l’intelligence des stratégies de calcul comme l’anticipation,
+l’organisation, le contrôle. Les stratégies de contrôle peuvent s’appuyer sur des arguments de signe,
+d’homogénéité, des tests sur des valeurs numériques adéquates, etc.
+Résolution d’un problème du premier degré
+Pour anticiper la notion d’équation, l’élève apprend, dès le début du cycle 4, à tester une égalité à la
+main ou à l’aide d’un outil numérique (tableur, calculatrice), en attribuant des valeurs numériques au
+nombre désigné par une lettre qui figure dans l’égalité. Il apprend à compléter des opérations à trou. Il
+est initié aux programmes de calcul à partir de programmes dont les opérations sont réversibles et
+permettent de « remonter » le programme en commençant par la dernière opération. C’est le cas dans
+l’exemple suivant, extrait du document Du numérique au littéral publié sur Éduscol :
+
+
+   Je pense à un nombre, je le multiplie par 3. Si je retranche 12 au résultat obtenu, j’obtiens 7,5.
+   A quel nombre ai-je pensé ?
+
+
+Progressivement, la recherche d’efficacité face à des problèmes plus résistants (correspondant par
+exemple à des programmes de calcul non réversibles), l’insuffisance de la démarche numérique face
+à des problèmes du type 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, avec 𝑎 − 𝑐 non nul et des valeurs des paramètres 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
+conduisant à des solutions non entières, ou encore la nécessité d’obtenir les valeurs exactes des
+solutions de certaines équations motivent l’introduction de la lettre et la modélisation d’une situation
+par une équation ou une inéquation.
+On pourra se référer à la situation « Alice et Bertrand » empruntée à Gérard Combier, Jean-Claude
+Guillaume et André Pressiat, (« Les débuts de l’algèbre au collège » publication de l’INRP) et
+proposée comme tâche intermédiaire.
+La méthode algébrique de résolution des équations et inéquations du premier degré est explicitée en
+             e
+classe de 3 , en s’appuyant sur les propriétés de l’égalité ou de l’inégalité, par exemple l’invariance
+des solutions d’une équation par l’ajout d’une même expression à chacun de ses membres.
+L’utilisation du tableur et la programmation d’algorithmes permettent la résolution, au moins
+approchée, d’équations d’autres types.
+
+
+Calcul littéral pour démontrer
+Dès le début du cycle, le travail mené sur les nombres conduit à émettre des conjectures, notamment
+sur les propriétés des opérations entre nombres rationnels. Celles-ci peuvent être démontrées dès la
+            e
+classe de 5 à partir d’exemples génériques, dans des situations simples. On rappelle qu’un exemple
+est dit « générique » lorsqu’une propriété qu’il permet de mettre en évidence peut être étendue au cas
+                                                   2  5    7
+général ; ainsi, on passe de l’exemple générique + = traité dès le cycle 3 à sa généralisation
+                                                    3   3   3
+        𝑎   𝑐   𝑎+𝑐
+littérale + =         qui consiste à substituer une lettre à une valeur numérique.
+        𝑏   𝑏    𝑏
+                                                                    𝑎   𝑐   𝑎+𝑐
+Dans le cadre de la différenciation, la démonstration de l’identité + =     , qui mobilise la notion de
+                                                                   𝑏  𝑏   𝑏
+quotient, pourra être présentée aux élèves les plus à l’aise (ou en demande de justification).
+Pour l’approche et la démonstration d’autres propriétés des opérations, on consultera avec profit les
+pages 10 à 20 du document Le calcul numérique au collège publié sur Éduscol.
+Progressivement, l’élève perçoit les limites du calcul numérique et la nécessité de passer au calcul
+littéral pour prouver qu’une propriété est vraie pour toutes les valeurs de la variable (par exemple, que
+la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3).
+Stratégies d’enseignement
+Le passage du numérique au littéral constitue pour l’élève une rupture importante : d’une part les
+symboles du calcul littéral (lettres, signe égal et ses différents statuts, signes opératoires, etc.)
+diffèrent de ceux du langage des nombres ; d’autre part, les types de problèmes que l’algèbre permet
+de résoudre sont différents de ceux résolus jusque-là. Pour résoudre un problème de ce type, l’élève
+avait l’habitude de progresser pas à pas depuis les données connues jusqu’à la quantité à trouver. En
+algèbre, il s’agit au contraire d’établir des relations entre des données connues et un résultat à trouver
+(l’inconnue), puis de traiter ces relations jusqu’à obtenir le résultat cherché. Il y a là un véritable
+renversement de pensée qui, pour être compris et assimilé par l’élève, suppose de la part de
+l’enseignant une vigilance particulière. Celle-ci peut notamment s’exercer à travers la vérification que
+la solution trouvée convient bien.
+Pour motiver le recours au calcul littéral et aider les élèves à accepter une approche autre que
+numérique, il est essentiel qu’ils soient confrontés à des situations révélant les limites des procédures
+dont ils disposent déjà, basées sur des tâtonnements, des essais-erreurs ou l’utilisation d’un tableur.
+Ils doivent aussi prendre conscience de l’intérêt de désigner des quantités ou des grandeurs par les
+lettres qui leur sont traditionnellement attribuées (n pour une quantité discrète, x pour une longueur, V
+pour un volume) plutôt que par leur nom complet.
+Les programmes de calcul constituent à la fois un moyen pertinent pour introduire la notion
+d’expression littérale puis d’équation, et un intermédiaire entre le volet procédural et le volet structural
+du calcul littéral.
+Le tableur, qui permet le passage du nombre à la cellule, peut constituer un intermédiaire pertinent
+pour introduire la lettre et pour appréhender les notions de variable et de fonction, tout en précisant
+que les usages sont différents. L’algorithmique et la programmation offrent également des
+opportunités didactiques intéressantes.
+La seule application de « règles » techniques ne permet pas de comprendre l’origine des propriétés
+qui les sous-tendent. La compréhension d’une formule littérale s’acquiert d’autant plus facilement
+qu’elle aura été anticipée sur des exemples numériques ou prendra appui sur des images mentales,
+par exemple celle de l’aire de deux rectangles accolés ayant une dimension en commun pour illustrer
+la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Le nombre de « règles » calculatoires
+formalisées exigibles des élèves doit rester limité. Parmi elles, la distributivité simple de la
+multiplication par rapport à l’addition est utilisée dans les deux sens de lecture et invoquée aussi bien
+pour le développement que la factorisation d’expressions algébriques. La double distributivité, qui
+permet par exemple de développer une expression du type (2𝑥 + 3) × (4𝑥 − 7), est abordée dans des
+situations simples en mobilisant deux fois la distributivité, et les résultats sur les puissances ; cette
+initiation ne vise pas le développement d’automatismes.
+Si certaines stratégies peuvent se révéler opérantes, il convient d’être conscient des obstacles
+qu’elles peuvent provoquer. Il en est ainsi de la règle des signes « moins par moins donne plus » qui
+confond le sens opérationnel de la soustraction et la notion d’opposé. Elle peut aussi engendrer des
+conceptions erronées (par exemple que −(−𝑥) est toujours un nombre positif). A contrario, la
+formulation explicite des propriétés utilisées (par exemple « soustraire un nombre revient à ajouter son
+opposé ») permet aux élèves de comprendre les manipulations qu’ils effectuent sur des expressions
+littérales.
+Il ne suffit pas qu’une stratégie calculatoire ait été comprise pour qu’elle soit installée et mobilisable.
+Pour passer de la compréhension d’une propriété à la construction d’un automatisme, il est
+indispensable que la stratégie ait été régulièrement entretenue, par petites touches, à travers un rite
+d’activités rapides (questions flash, activités mentales) menées en classe dans la durée, en respectant
+une gradation progressive de la difficulté (qui pourra être arrêtée collectivement au sein d’un collège),
+et en développant des démarches de contrôle (arguments de signe, d’homogénéité, recherche de
+contre-exemples, etc.).
+Les exerciseurs et banques d’exercices en ligne peuvent être utilisés par les élèves en classe ou hors
+de la classe, de manière différenciée. Favorisant le réinvestissement et l’automatisation, ces outils
+peuvent aider les élèves à élaborer des stratégies mentales efficaces, à condition qu’ils permettent un
+traitement intelligent des erreurs, et que leur utilisation entre dans le cadre d’une planification et d’un
+suivi régulier par le professeur. Si des activités à prise d’initiative sont essentielles pour aider l’élève à
+comprendre la puissance du langage algébrique et les opportunités qu’il offre pour résoudre des
+problèmes d’un type nouveau, elles ne permettent pas à elles seules de construire l’habileté
+calculatoire attendue en fin de cycle 4. On veillera donc à maintenir un équilibre entre la construction
+d’automatismes (à travers un entraînement fréquent et régulier en classe ou hors de la classe) et la
+résolution de problèmes conduisant à mobiliser des stratégies et des techniques de calcul littéral.
+
+
+Retour sur quelques obstacles
+Le passage à l’algèbre correspond à un accès à l’abstraction dont on ne doit pas minimiser la
+difficulté. L’apprentissage du calcul littéral se heurte de façon naturelle à un certain nombre
+d’obstacles. Les professeurs aideront d’autant mieux leurs élèves à les surmonter qu’ils en auront une
+connaissance fine.
+
+Les différentes significations du signe « égal »
+Les élèves rencontrent le signe « = » très tôt dans leur scolarité, mais à l’école élémentaire le signe
+« = » est l’annonce d’un résultat. Ainsi, dans l’égalité 8 + 5 = 13, le signe « = » est lu comme « cela
+donne » ou « cela fait ». Il est alors orienté de la gauche vers la droite et n’est pas perçu comme le
+symbole d’une relation symétrique et transitive. Cette signification correspond à celle de la touche
+« ENTER » des calculatrices. Dès le cycle 2, à travers des activités de calcul mental ou en ligne, les
+élèves sont amenés à utiliser le signe « = » dans l’autre sens, par exemple 5 × 36 = 5 × 2 × 18 ou
+21 = 4 × 5 + 1. Les décompositions additives ou multiplicatives sont choisies en fonction de leur
+intérêt pour résoudre une classe spécifique de problèmes. Ainsi, la décomposition additive du nombre
+42 sous la forme 42 = 30 + 12 facilite le calcul de 42 − 12 + 3, alors que sa décomposition
+multiplicative 42 = 3 × 2 × 7 permet de factoriser l’expression littérale 3𝑎 + 42. L’incapacité de certains
+élèves à factoriser cette dernière expression peut provenir, non pas d’une méconnaissance du
+processus de la factorisation, mais d’un manque d’habitude à écrire des décompositions numériques.
+À travers la pratique du calcul littéral, le signe « = » acquiert trois autres significations :
+                il est utilisé pour rendre compte de l’universalité d’une égalité, traduisant que, quelles
+                 que soient les valeurs attribuées aux lettres, les valeurs retournées par les
+                 expressions figurant de part et d’autre du signe « = » sont égales. On parle alors
+                 d’identité ;
+                il est utilisé comme symbole d’affectation, comme en informatique, lorsqu’on se
+                 propose de calculer l’expression (𝑎 + 2𝑏)2 pour 𝑎 = 1 et 𝑏 = −0,5 ;
+                en rupture avec chacune de ces significations qui sous-entendent qu’une certaine
+                 propriété est vraie (même si c’est dans des conditions différentes), le signe « = »
+                 acquiert un statut tout autre dans l’écriture d’une équation. Au lieu d’être utilisé pour
+                 écrire des égalités vraies, le signe « = » apparaît alors dans des énoncés dans
+                 lesquels, en remplaçant la lettre par un nombre, on obtient une égalité qui, selon la
+                 valeur de ce nombre, est soit vraie, soit fausse. Le but de la résolution est de trouver
+                 toutes les valeurs (et rien qu’elles) qui, substituées à l’inconnue, rendent l’égalité
+                 vraie.
+Les différents statuts de la lettre
+Au cycle 3, la lettre est utilisée pour différentes finalités :
+                 symboliser une unité (m, g, h, s, etc.) ;
+                 désigner un objet mathématique (le point A, le nombre 𝜋) ;
+                 désigner dans une formule la mesure d’une grandeur (𝐴 = 𝐿 × 𝑙 ; 𝑃 = 2𝜋 𝑅).
+
+Au cycle 4, la lettre acquiert de nouveaux statuts qu’il convient de bien différencier :
+                 le statut de variable, qui apparaît à la fois dans les formules (ainsi, dans l’égalité
+                  𝑃 = 2𝜋 𝑅, la valeur du périmètre 𝑃 dépend des valeurs attribuées à la variable 𝑅) et
+                  dans l’expression symbolique 𝑥 → 𝑓(𝑥) d’une fonction. L’utilisation du tableur peut
+                  faciliter la compréhension de la notion de variable dans la mesure où, dans l’édition
+                  d’une formule, ce sont les adresses des cellules (et non leur contenu) qui sont prises
+                  en compte. La modification du contenu d’une cellule désignée dans une formule
+                  modifie le contenu de la cellule où est implantée la formule, ce qui permet
+                  d’appréhender les notions de variable et de fonction ;
+                 le statut d’indéterminée, qui apparaît dans des identités où la lettre représente des
+                  nombres quelconques. Il importe que la valeur d’universalité de ces identités
+                  apparaisse dans l’environnement de l’égalité, sous une forme accessible aux élèves,
+                  par exemple, en écrivant : « Pour toutes valeurs des nombres 𝑘, 𝑎, 𝑏 l’égalité
+                   𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 est vraie » ;
+                 le statut d’inconnue, qui heurte l’habitude de penser qu’une égalité est « toujours »
+                  vraie. La compréhension de ce qu’est une solution d’une équation nécessite de
+                  recourir à des tests de la valeur de vérité de l’égalité en affectant à l’inconnue
+                  différente valeur numériques. Dès le début du cycle, le recours à une démarche par
+                  essais et ajustements et l’utilisation d’un tableur pour tester des valeurs permettent
+                  d’introduire progressivement la notion de solution d’une équation. Les limites des
+                  méthodes par tâtonnement ou par « remontée » des programmes de calcul
+                  permettent de justifier l’étude des techniques de résolution des équations du premier
+                  degré ;
+                 le statut de paramètre, qui conserve une valeur fixe, mais de portée générale. C’est
+                  par exemple le rôle de la lettre a lorsqu’elle représente le coefficient de la fonction
+                  linéaire x ↦ ax. De même en physique, pour exprimer à partir de la formule P = UI la
+                  puissance P en fonction de l’intensité I pour une tension U donnée, la lettre U a le
+                  statut de paramètre alors que la lettre I a celui de variable.
+
+Il convient donc d’attirer régulièrement l’attention des élèves sur le statut du signe « = » ou des lettres
+utilisées, selon la situation considérée.
+
+Les parenthèses
+Les parenthèses sont des séparateurs de blocs de calcul qui jouent un rôle essentiel dans la
+construction d’expressions numériques ou littérales. Des parenthèses redondantes, par exemple dans
+une expression du type (2x + 1) + (3 × (−x)), peuvent aider l’élève à comprendre la structure de
+l’expression et l’ordre dans lequel les opérations sont à effectuer. La maîtrise des règles de priorité
+                                                                        e
+des opérations lui permettra progressivement de s’en affranchir. En 3 s’ajoute un nouveau rôle des
+parenthèses, dans l’écriture symbolique d’une fonction.
+Rôle des logiciels
+L’utilisation de logiciels, dans le cadre de la résolution de problèmes, favorise la construction
+progressive des notions de variable et de paramètre. Ainsi, la référence absolue ou non à une cellule
+dans l’écriture d’une formule sur le tableur permet de distinguer ce qui varie de ce qui est fixé ; les
+variables utilisées dans les algorithmes, en particulier dans les boucles, participent du même objectif,
+de même que l’utilisation d’un curseur en géométrie dynamique.
+L’utilisation raisonnée d’un logiciel de calcul formel peut aider à mettre en évidence le rôle des
+parenthèses dans l’expression d’une fonction.
+Enfin, l’utilisation de logiciels, en classe ou en dehors de la classe, est un levier majeur pour la
+recherche et l’émission de conjectures que le calcul littéral permettra ensuite de démontrer.
+La résolution algébrique d’un problème est souvent articulée selon trois phases : une phase de
+recherche et de modélisation de la situation, une phase de traitement formel (transformation,
+résolution) sans lien avec le contexte initial, une phase de communication pour restituer la solution et
+la vérifier. Assumer successivement les deux premières phases constitue une charge de travail
+importante pour un débutant. L’utilisation d’un logiciel de calcul formel par les élèves n’ayant pas une
+habileté technique suffisante, peut leur permettre de différer le travail technique, si l’objectif est de
+mettre l’accent sur l’usage de l’algèbre comme outil de mathématisation de l’énoncé.
+
+
+Rôle de l’oral
+L’écriture mathématique est très condensée et contient souvent des procédures implicites que seule la
+formulation orale, véritable « dépliement de la pensée », permet de mettre en évidence.
+
+
+    Illustrons cette affirmation sur l’exercice suivant, qui consiste à développer et réduire l’expression
+    3𝑥(2𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 7).
+
+    Le traitement, qui pourrait être écrit dans un cahier d’élève, tient en quelques lignes :
+
+             3𝑥(2𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 7) = 6𝑥 2 − 3𝑥 − (𝑥 2 − 7) = 6𝑥 2 − 3𝑥 − 𝑥 2 + 7 = 5𝑥 2 − 3𝑥 + 7.
+
+    Or, pour aboutir au résultat, il est nécessaire :
+
+    - de comprendre la structure de l’expression initiale ;
+    - de savoir que 3𝑥(2𝑥 − 1) = 3𝑥 × (2𝑥 − 1) ;
+    - de reconnaître les blocs de calcul intermédiaires ;
+    - d’appliquer la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction ;
+    - de savoir que 3𝑥 × 2𝑥 = 3 × 𝑥 × 2 × 𝑥 = 3 × 2 × 𝑥 × 𝑥 ;
+    - que 𝑥 × 𝑥 = 𝑥 2 ;
+    - de connaître la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction ;
+    - la priorité des opérations
+    - de comprendre pourquoi on ne peut pas réduire davantage 5x 2 − 3𝑥 + 7 , etc.
+
+
+
+On mesure sur cet exemple tout le profit qu’il pourrait y avoir à compléter la trace écrite par une trace
+orale, par exemple sous forme d’enregistrements audio mis à la disposition des élèves.
+De même, la résolution d’une équation du type 2𝑥 = 6 sera plus accessible pour un élève fragile si
+elle est formulée en langage naturel (« trouver une quantité dont le double vaut 6 »).
+Différenciation
+Permettre à tous les élèves d’accéder à la fin du cycle 4 aux connaissances et aux compétences
+fixées par le programme est une exigence du socle commun. Les apprentissages liés au calcul littéral
+requièrent de ce point de vue une attention particulière. En effet, l’accès au formalisme et à
+l’abstraction constitue une marche particulièrement élevée pour les élèves fragiles. Cependant, leur
+activité algébrique ne saurait se résumer à l’acquisition de techniques calculatoires. Il importe qu’ils
+soient confrontés à la résolution de problèmes, même s’ils ne maîtrisent pas toutes les techniques
+intervenant dans leur résolution. La différenciation pourra alors reposer sur des choix particuliers de
+variables didactiques (solutions entières, décimales ou fractionnaires, programmes de calcul
+réversibles ou pas, attribution de valeurs numériques à certains paramètres, etc.). L’acquisition des
+techniques calculatoires et leur automatisation seront d’autant plus efficaces qu’elles seront adossées
+à des représentations porteuses de sens, souvent issues de la résolution de problèmes.
+Il convient aussi de laisser vivre, de façon différenciée et aussi longtemps que nécessaire pour
+certains élèves, des procédures de tâtonnement ou faisant appel à la manipulation, l’expérimentation,
+la schématisation ainsi que les formulations intermédiaires, même maladroites ou peu rigoureuses,
+tout en indiquant les limites de ces formulations.
+Pour permettre l’accès de tous les élèves à l’abstraction de la démarche algébrique, il est essentiel de
+les amener à exprimer ce qu’ils ont compris et de repérer ce qui les met en difficulté. La déstabilisation
+des conceptions erronées se fait en cherchant des contre-exemples. La reconstruction des
+connaissances visées passe ensuite par l’explicitation orale des procédures mises en œuvre, leur
+comparaison, l’analyse des erreurs, etc.).
+Symétriquement, et toujours dans le cadre d’une différenciation pédagogique, les élèves les plus
+habiles peuvent être confrontés à des problèmes qui ne sont pas du premier degré, mais qui s’y
+ramènent, par exemple en factorisant des équations produits à l’aide d’identités remarquables.
+
+
+
+Exemples de situations d’apprentissage
+
+Classes de problèmes
+               modélisation de situations d’origine arithmétique ou géométrique ;
+               modélisation de situations faisant intervenir des grandeurs physiques ;
+               résolution de problèmes se ramenant à des équations ou des inéquations du premier
+                degré ;
+               généralisation de propriétés des nombres rationnels ;
+               démonstration de propriétés générales portant sur les nombres rationnels ;
+               programmes de calcul.
+
+
+Exemples d’activités
+               Exemples de questions flash : Activités mentales
+               Exemples de tâches intermédiaires :
+                — Le nombre d'Alice et Bertrand
+                — Le magicien
+               Exemples d’activités avec prise d’initiative
+                — Les carrés bordés
+                — Le calendrier
+Ressources complémentaires
+Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
+pour aborder le calcul littéral avec les élèves. Certains de ces documents ont été produits dans le
+cadre de l'accompagnement de programmes de mathématiques antérieurs. À ce titre, ces ressources
+s'inscrivent dans un contexte pédagogique désormais ancien. Néanmoins, elles proposent des
+éléments toujours pertinents sur le calcul littéral.
+              Rapport d’étape sur le calcul - commission de réflexion sur l’enseignement des
+               mathématiques
+              Du numérique au littéral
+              Le calcul numérique au collège
+              Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée
+              Les débuts de l’algèbre au collège, par Gérard Combier, Jean-Claude Guillaume et
+               André Pressiat, publication de l’INRP
+              Sur la place de l’oral en mathématiques
+

Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/023.pdfinfo.txt

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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/023.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   Cycles 2                          3 4
+                                     mathématiques
+                                       Compétences travaillées en mathématiques
+
+
+
+                                                                              Raisonner
+                               Le programme de mathématiques du cycle 4 offre une place de choix à la compétence
+                               « raisonner » dans laquelle il regroupe les démarches suivantes :
+
+                               • résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, écono-
+                                  miques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre
+                                  à l’essai plusieurs solutions ;
+                               • mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui ;
+                               • démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes,
+                                  formules) pour parvenir à une conclusion ;
+                               • fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise
+                                  de l’argumentation.
+
+                               Chacune des étapes de résolution d’un problème (compréhension de l’énoncé et de la
+                               consigne, recherche, production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement,
+                               processus mental permettant d’effectuer des inférences. Rappelons qu’une inférence est une
+                               opération mentale par laquelle on accepte qu’une proposition soit vraie en vertu de sa liaison
+                               avec d’autres propositions. Les phases de recherche, de production et de rédaction de preuve
+                               font appel à des raisonnements de différentes natures.
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+                               Les raisonnements inductifs et abductifs, essentiellement mis en œuvre dans la phase de
+                               recherche, permettent d’aboutir à l’émission de conjectures qu’il s’agira ensuite de valider ou
+                               d’invalider. Si la production d’un contre-exemple suffit à invalider une conjecture, sa validation
+                               repose sur une démonstration, moyen mathématique d’accès à la vérité. On rappelle que
+                               « démontrer », c’est « donner à voir » les différentes étapes d’une preuve par la présentation,
+                               rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent.
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+                               Le raisonnement inductif consiste à généraliser une propriété observée sur des cas
+                               particuliers. Il fonctionne selon le schéma suivant : constatant sur des exemples que, lorsque
+                               A est vraie, alors B est vraie, on émet la conjecture que (A implique B) est vraie.
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+                               Le raisonnement abductif consiste à présumer une cause plausible d’un résultat observé. Il
+                               fonctionne selon le schéma suivant : pour démontrer que B est vraie, sachant que (A implique
+                               B) est vraie, on va démontrer que A est vraie. Le raisonnement abductif est notamment utilisé
+                               sous forme d’une analyse remontante, encore appelé chaînage arrière, qui consiste, à partir du
+                               résultat que l’on veut démontrer, à repérer une ou plusieurs propriétés (conditions suffisantes)
+                               qui, si elle(s) étaient établie(s), permettrai(en)t d’atteindre le résultat par application d’un
+                               théorème identifié. On substitue alors momentanément au problème de départ un (ou
+                               plusieurs) nouveau(x) problème(s) consistant à établir ces conditions intermédiaires.
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+                                    Exemple : ABC est un triangle rectangle en C. On veut démontrer que C appartient au cercle de
+                                    diamètre [AB].
+                                    On note O le milieu de [AB] et on remplace la proposition à démontrer par l’égalité OA=OB=OC ;
+                                    pour atteindre ce résultat, on construit le symétrique C’ de C par rapport à O. Selon le principe
+                                    du chaînage arrière, il suffit alors de montrer que AC’BC est un rectangle.
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+                              Par la diversité et la multiplicité des situations particulières qu’elle permet d’observer,
+                              l’utilisation d’outils logiciels (de géométrie, de calcul, de simulation, de programmation) est
+                              un support aux raisonnements inductifs et abductifs et favorise la formulation de conjectures.
+                              Il est important de faire comprendre aux élèves le caractère incertain de toute conjecture et la
+                              nécessité, soit de l’invalider par la production d’un contre-exemple, soit de prouver sa vérité
+                              par une démonstration.
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+                              Celle-ci fait appel au raisonnement déductif qui (entre autres) s’appuie sur :
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+                              • la déduction proprement dite (ou règle de détachement ou modus ponens), qui fonctionne
+                                 selon le schéma suivant : sachant que (A implique B) est vraie et que A est vraie, on conclut
+                                 que B est vraie. Le premier pas d’une déduction consiste à reconnaître une situation de réfé-
+                                 rence A (une configuration géométrique, une situation de proportionnalité, une propriété de
+                                 nombres, etc.) ; le second consiste à appliquer le théorème qui stipule que (A implique B) ;
+                              • la disjonction de cas, qui fonctionne selon le schéma suivant : pour montrer que (A implique
+                                 B), on sépare l’hypothèse A de départ en différents cas recouvrant toutes les possibilités et
+                                 on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas ;
+                              • Le raisonnement par l’absurde (reductio ad absurbum) qui fonctionne selon le schéma sui-
+                                 vant : pour montrer que A est vraie, on suppose qu’elle est fausse et par déduction on aboutit
+                                 à une absurdité.
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+                              Afin de convaincre les élèves du rôle de la démonstration en mathématiques comme moyen
+                              d’accès à la vérité, il importe de leur apprendre à distinguer une propriété conjecturée
+                              ou vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. Pour ce faire, le terme de
+                              « démonstration » ne doit pas être galvaudé et la seule illustration d’un raisonnement
+                              ne saurait être désignée comme telle. Par exemple, si l’illustration présentée ci-dessous
+                              constitue une image mentale pertinente de l’égalité entre l’aire du carré construit sur
+                              l’hypoténuse et la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, elle ne
+                              saurait être présentée comme une démonstration du théorème de Pythagore. 		
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+                              En revanche, certains théorèmes, énoncés de manière générale peuvent être démontrés
+                              uniquement sur des exemples choisis parce qu’ils donnent une bonne idée du cas général (on
+                              dit alors qu’ils sont « génériques »). Cela peut être par exemple le cas pour la démonstration
+                              des propriétés des opérations sur les fractions.
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+                              De même, il convient de systématiquement qualifier les énoncés mathématiques selon leur
+                              statut, en distinguant définitions, théorèmes admis et théorèmes démontrés. Les théorèmes
+                              traduisant une propriété caractéristique pourront être formulés en distinguant dans leur
+                              énoncé le sens direct et le sens réciproque.
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+                              Les notions mathématiques qui figurent au programme du cycle 4 offrent toutes des
+                              possibilités de raisonnement, soit dans l’accès à la preuve d’un énoncé, soit dans son
+                              utilisation. Il n’est pas question de démontrer tous les théorèmes ou propriétés figurant
+                              au programme, mais de déterminer en équipe pédagogique les démonstrations qui
+                              seront retenues sur toute la durée du cycle en raison de leur caractère formateur, de leur
+                              accessibilité aux élèves et de l’intérêt qu’elles présentent pour faciliter l’accès au sens des
+                              notions mises en jeu.
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+                              L’apprentissage du raisonnement et de la démonstration est un processus long et délicat
+                              qui doit se faire de manière progressive, dans la durée, et tenir compte des deux contraintes
+                              suivantes :
+                              • tout d’abord, la nécessité de séparer les tâches de résolution du problème (recherche et
+                                 obtention de la preuve) de celle de la rédaction d’un texte qui traduit l’organisation de la
+                                 démonstration ;
+                              • ensuite, l’apprentissage de la rédaction se fait notamment lorsque l’élève est confronté à
+                                 l’expérience de la communication de sa solution. L’envie de se faire comprendre associée à
+                                 la critique de ses pairs est, pour un élève, un levier de progrès certainement plus puissant
+                                 que la fourniture, par le professeur, d’un modèle de rédaction. Si, pour être communicable et
+                                 compréhensible, une démonstration mathématique doit respecter des règles syntaxiques, il
+Retrouvez Éduscol sur            faut reconnaître que celles-ci ne sont pas naturelles pour les élèves. Des exigences exces-
+                                 sives et prématurées d’un modèle de rédaction standardisée peuvent induire de leur part
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+                                 des comportements relevant de l’imitation plus que de la compréhension. En accordant une
+                                 place disproportionnée aux activités purement formelles de nature rhétorique (« je sais
+                                 que… or… donc »), on risque d’éloigner les élèves du raisonnement lui-même et du plaisir
+                                 de chercher. Afin de ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des
+                                 difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser
+                                 les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expé-
+                                 rimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan
+                                 de preuve, etc.). Souvent imparfaites et inabouties, elles constituent de véritables objets
+                                 d’étude pour la classe au cours d’un débat permettant de faire émerger progressivement
+                                 les critères d’une rédaction performante, sans pour autant modéliser le travail. Progres-
+                                 sivement, la phase de rédaction, entamée ou non en classe, sera dévolue aux élèves, en
+                                 classe ou en dehors de la classe, en veillant à différencier les exigences de formalisme selon
+                                 l’objectif d’apprentissage (le raisonnement ou la communication) et la capacité des élèves à
+                                 entrer dans les codes de la démonstration. En particulier, il est tout à fait possible d’expri-
+                                 mer dans le langage naturel un raisonnement mathématique tout en respectant parfaite-
+                                 ment les règles logiques d’inférence. De même, si l’on peut faire apparaître, dans certains
+                                 cas, l’intérêt d’une mise en forme de la démonstration sous forme déductive (en mettant la
+                                 conclusion à la fin de la démonstration), il est cependant admis de la placer au début, suivie
+                                 de « car…, parce que… et que… ».
+                              Il importe également de ne pas cantonner la démarche de raisonnement à sa seule
+                              forme déductive et de ne pas la limiter à un thème particulier des mathématiques
+                              (traditionnellement celui de géométrie), mais bien de la placer au cœur de toute activité
+                              mathématique.
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+                              Les situations proposées doivent donc ménager à la fois des temps de recherche et
+                              d’expérimentation permettant de formuler des conjectures, des temps de mise en commun
+                              et d’argumentation permettant de produire une preuve et des temps de mise en forme
+                              (démonstrations rédigées). Pour solliciter la curiosité de l’élève, susciter chez lui l’envie
+                              de relever un défi intellectuel et motiver sa recherche, il est souhaitable que l’énoncé du
+                              problème soit assez bref et facile à comprendre et qu’il n’induise ni une solution ni même
+                              une méthode de résolution ; un moyen de laisser à chaque élève l’initiative de sa démarche
+                              consiste à limiter les questions intermédiaires ou celles dont l’énoncé mentionne ce qu’il s’agit
+                              de trouver (« démontrer que… »). Cette attention particulière devrait permettre à chaque élève
+                              de démarrer sa recherche par des tâtonnements, des dessins, des essais numériques, avec ou
+                              sans l’aide de logiciels. Les problèmes dont la solution est accessible par plusieurs modes de
+                              raisonnement (algébrique, géométrique, etc.) sont particulièrement intéressants.
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+                              Exemples de problèmes
+                              Ci-dessous quelques exemples de problèmes sont proposés, rattachés à différents thèmes du
+                              programme, et mettant en œuvre des raisonnements de types varié
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+                              Ecriture décimale [5e]
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+                              Exemple de problème
+                              Dans les écritures décimales de deux nombres entiers, le chiffre des dizaines est 7 et celui des
+                              unités est 6. Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de leur produit ?
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+                              Commentaire
+Retrouvez Éduscol sur         Raisonnement déductif à travers l’utilisation de l’écriture décimale.
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+                              Multiples et diviseurs
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+                              Exemple de problème
+                              La somme des chiffres de 42 est un multiple de 6 et 42 est un multiple de 6 (idem pour 84).
+                              Peut-on affirmer que, si la somme des chiffres d’un nombre entier est un multiple de 6, alors
+                              ce nombre est un multiple de 6 ?
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+                              Commentaire
+                              Infirmation par production d’un contre-exemple.
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+                              Proportionnalité
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+                              Exemple de problème
+                              On augmente la longueur d’un rectangle de 10 % et on diminue sa largeur de 10 %. Comment
+                              varie son aire ?
+                              Commentaire
+                              L’élève peut raisonner de manière inductive en fixant des valeurs numériques pour la longueur
+                              et la largeur et faire varier ces valeurs
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+                              Raisonnement déductif par application d’un pourcentage.
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+                              Nombres décimaux
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+                              Exemple de problème
+                              Existe-t-il un nombre décimal dont le carré est égal à 2 ?
+                              Commentaire
+                              Une démarche inductive basée sur des essais (à la main puis à la calculatrice) permet
+                              d’émettre la conjecture qu’il n’existe pas de nombre décimal dont le carré est égal à 2.
+                              Cette conjecture est ensuite démontrée à l’aide d’un raisonnement par l’absurde et
+                              disjonction de cas.
+                              On montre d’abord qu’il n’existe aucun nombre entier dont le carré est égal à 2.
+                              Puis, en distinguant les différentes valeurs qu’aurait sa dernière décimale, on montre qu’il
+                              n’existe aucun nombre décimal non entier dont le carré est égal à 2.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Utilisation des aires
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+                              Exemple de problème
+                              Où positionner le point M à l’intérieur du triangle ABC pour que les triangles AMB et AMC aient
+                              la même aire ?
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+                              Commentaire
+                              L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer une condition
+                              suffisante : l’appartenance de M à la médiane [AA’].
+
+                              Démonstration par les aires (lemme du chevron).
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+                              Démonstration de la condition nécessaire par un raisonnement par l’absurde : on suppose que
+                              N n’appartient pas à la médiane [AA’] (en étant par exemple à l’intérieur du triangle ABA’), on
+                              note M le point d’intersection de (BN) et (AA’) et on compare les aires des triangles ANB, AMB,
+                              AMC, ANC.
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+                              Fractions, aire du disque
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+                              Exemple de problème
+                              A quelle fraction du grand disque correspondent les six petits disques ? A quelle fraction du
+                              grand disque correspond la surface hachurée ?
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+                              Commentaire
+                              Analyse de figure.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   6
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              Vitesse
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+                              Exemple de problème
+                              Un funiculaire monte du pied d’une colline à son sommet à la vitesse moyenne de 14 km/h.
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+                              Le conducteur peut-il régler la vitesse lors de la descente pour que la vitesse moyenne sur
+                              l’ensemble du parcours soit de 28 km/h ?
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+                              Géométrie dans l’espace
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+                              Exemple de problème
+                              Sur un cube, on a tracé deux diagonales, comme indiqué sur le dessin ci-dessous. Quelle est
+                              la mesure de l’angle formé par ces deux diagonales ?
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+                              Commentaire
+                              Identification d’une figure plane à l’intérieur d’une configuration de l’espace.
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+                              Géométrie, Équations
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+                              Exemple de problème
+                              Deux tours, hautes de 30 et 40 mètres sont distantes l’une de l’autre de 50 mètres. Un puits
+                              est situé entre les deux tours. Deux oiseaux s’envolent en même temps du sommet de chaque
+                              tour et volent à la même vitesse en ligne droite avant de se rejoindre au sol. En quel point se
+                              rejoignent-ils ?
+                              Commentaire
+                              Modélisation de la situation.
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+                              Raisonnement déductif à travers l’utilisation du théorème de Pythagore.
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+                              Résolution d’une équation.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   7
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+                              Géométrie plane
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+                              Exemple de problème
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+                              A, B, C sont trois points non alignés, I est le milieu de [BC] et D est le point tel que ABID est un
+                              parallélogramme. Pourquoi le milieu M de [ID] est-il également le milieu de [AC] ?
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+                              Commentaire
+                              Raisonnement déductif utilisant des propriétés du parallélogramme.
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+                              Approche de la notion de fonction
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+                              Exemple de problème
+                              Un maître-nageur dispose d’une corde de 160 m de long pour délimiter une zone de baignade
+                              surveillée rectangulaire. Où doit-il placer les bouées A et B pour que l’aire de la zone de
+                              baignade soit maximale ?
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+                              Commentaire
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+                              Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour une approche numérique.
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+                              Modélisation algébrique.
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+                              Calcul littéral
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+                              Exemple de problème
+                              Peut-on écrire 2016 comme somme de quatre entiers consécutifs ? Et 2018 ? Et ton année de
+                              naissance ?
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+                              Quels sont les nombres qui peuvent s’écrire comme somme de quatre entiers consécutifs ?
+                              Commentaire
+                              Raisonnement inductif basé sur des essais. Emission de conjectures.
+
+Retrouvez Éduscol sur         Utilisation du calcul littéral comme outil de démonstration.
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+                              Bibliographie
+                              • Raisonnement et démonstration
+                              • Site de l’académie de Bordeaux : Initiation au raisonnement
+                              • IREM de Rennes : L’enseignement de la démonstration
+                              • « Initiation au raisonnement déductif au collège » Gilbert Arsac, Gisèle Chapiron,
+                                 Alain Colonna, Gilles Germain, Yves Guichard, Michel Mante - Presses universitaires de Lyon,
+                                 IREM de Lyon
+                              • « Des mathématiques ensemble et pour chacun, 5ème » Jean-Philippe Rouquès, Hélène
+                                 Staïner - CRDP Pays de la Loire
+                              • « Des mathématiques ensemble et pour chacun, 4ème » Jean-Philippe Rouquès, Hélène
+                                 Staïner - CRDP Pays de la Loire
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+Retrouvez Éduscol sur
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/024.pdfinfo.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   Cycles 2                          3 4
+                                     Mathématiques
+                                       Compétences travaillées en mathématiques
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+                                                                        Représenter
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+                               Donner à voir les objets mathématiques
+                               « Représenter », c’est donner à voir, ou au moins rendre perceptible à la vue et à l’esprit.
+                               Cette définition relativement simple recouvre cependant des réalités bien distinctes.
+                               « Représenter » des objets, des visages ou en tout cas des formes ou des solides est un
+                               premier niveau de représentation commun entre autres aux mathématiques, à la géographie,
+                               aux sciences et aux arts. Mais on peut aussi « Représenter » des relations entre les objets,
+                               que ce soit par un croquis de géographie, un codage en géométrie ou un schéma en électricité.
+                               Et il arrive enfin qu’on doive « représenter » des entités abstraites, qui n’ont pas d’autre mode
+                               d’existence que cette représentation : des nombres décimaux, des fractions, des fonctions,
+                               en un mot des objets mathématiques. Leur point commun est de ne pas être accessible par
+                               la vue, l’ouïe ou quelque autre sens : on ne peut pas montrer dans le monde extérieur une
+                               fonction, pas plus qu’on ne peut en fait montrer un cube, ou un cercle. Pour autant, l’existence
+                               de ces objets ne fait de doute pour aucun utilisateur des mathématiques, même occasionnel.
+                               Ces objets ne sont pas accessibles en eux-mêmes, seulement par leurs représentations,
+                               qui sont comme des chemins vers un objet auquel on ne pourrait pas avoir directement
+                               accès. Ces représentations diverses peuvent alors appartenir à différents registres : registre
+                               graphique, registre du langage naturel (« un parallélépipède à 6 faces »), registre numérique,
+                               registre de l’écriture symbolique, etc.
+                               Le développement de la compétence « Représenter » au cycle 4 doit à la fois permettre à
+                               l’élève de progresser dans la vision du réel et dans l’appréhension des objets mathématiques
+                               abstraits. Comprendre ce qu’est un triangle, ce qu’est une fonction, ce qu’est une fraction,
+                               c’est savoir « représenter » ces objets, c’est-à-dire trouver un registre de représentation
+                               adéquat, mais aussi savoir varier les représentations et les registres de représentation.
+                               Un élève capable de convoquer dans un exercice mettant en jeu une fonction un graphique,
+                               un tableau de nombres, une écriture symbolique, est en train de s’approprier la notion
+                               de fonction. Dans cet exercice, on voit que la représentation est aussi pensée de manière
+                               dynamique, dans sa capacité à engendrer d’autres représentations, à l’intérieur d’un même
+                               registre ou dans un autre registre.
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+                                    « Mais surtout, l’activité mathématique de recherche et de preuve consiste à transformer des
+                                    représentations […], données dans le contexte d’un problème posé, en d’autres représenta-
+                                    tions sémiotiques. Et, de ce point de vue, une représentation […] n’est intéressante que dans la
+                                    mesure où elle peut se transformer en une autre représentation, et non pas en fonction de l’objet
+                                    qu’elle représente ».1
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+                              1. Idées directrices pour analyser les problèmes de compréhension dans l’apprentissage des mathématiques –
+Retrouvez Éduscol sur         Raymond Duval - 2011.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   1
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                               Si on poursuit l’analyse, on peut remarquer que les différentes représentations de la fonction
+                               traitée dans cet exercice ne la concernent pas en tant qu’objet spécifique (la fonction f de
+                               l’exercice), mais s’appliquent à une catégorie plus vaste à laquelle elle est rattachée (ici la
+                               catégorie des fonctions)2.
+                               Par ailleurs, si pour cerner un objet mathématique, il est nécessaire de varier les registres,
+                               pour résoudre un problème, il est souvent pertinent de se placer dans un domaine
+                               mathématique qui n’est pas nécessairement celui de l’énoncé : on parlera alors de
+                               changement de cadre. Ainsi, le problème du maximum de l’aire d’un triangle isocèle de
+                               côté 6, posé dans le cadre géométrique à partir d’une figure, pourra être traité dans ce cadre
+                               géométrique (en considérant un cercle bien choisi), ou dans un cadre fonctionnel, lui-même
+                               pouvant être associé à un registre numérique (des valeurs approchées de l’aire étant obtenues
+                               à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou d’un tableur) ou plus tard, au lycée au registre
+                               des écritures symboliques.
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+                               Le signe et la pensée
+                               Le premier des modes de représentation, avant même la figure est le signe : lettre,
+                               symbole, chiffre, cette mise en forme des idées mathématiques est aussi essentielle aux
+                               mathématiques que les pièces du jeu le sont aux échecs. Mais ces formes, ces lettres qui
+                               constituent la langue des idées ont elles-mêmes une forme, parfois un sens comme le
+                               rappelle le logicien Frege3 :
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+                                    « En offrant au regard le signe d’une représentation, elle-même appelée à la conscience par une
+                                    perception, on crée un foyer stable autour duquel s’assemblent d’autres représentations. Parmi
+                                    celles-ci, on en pourra de nouveau choisir une et offrir au regard son signe. Ainsi pénétrons-
+                                    nous pas à pas dans le monde intérieur des représentations, et y évoluons nous à notre gré,
+                                    usant du sensible nous-mêmes pour nous libérer de sa contrainte ».
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+                               Le philosophe pointe ici la force et le risque du signe : il est utile par les images qu’il convoque
+                               et les actions qu’il permet, mais il peut engendrer aussi de fausses images : le nombre a qui
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+                              2. Parmi les grandes catégories d’objets mathématiques utilisés au cycle 4, on peut citer les nombres rationnels, les
+                              fonctions, les figures géométriques du plan ou de l’espace, les symboles littéraux. Ces grandes catégories sont reliées
+                              aux classes de problèmes qu’elles permettent de résoudre (proportionnalité, dépendance d’une grandeur en fonction
+                              d’une autre, modélisation géométrique, résolution d’équations, etc.).
+
+Retrouvez Éduscol sur         3. Que la science justifie un recours à l’idéographie, 1882, in Ecrits logiques et philosophiques, trad. C. Imbert, Seuil, 1971.
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016                 2
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              ne peut être que positif, le nombre n qui ne peut être qu’entier, la bande numérique où un
+                              nombre est toujours plus petit que celui qui est à sa droite. Une représentation peut posséder
+                              pour l’élève une logique qui diffère de celle que l’enseignant lui associe. Que l’on pense à ce
+                              dialogue imaginaire de L. Wittgenstein4 :
+                                               « Il me suffit simplement de regarder la figure pour voir que 2+2=4 »
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+                                          « Alors il me suffit simplement de regarder la figure pour voir que 2+2+2=4 »
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+                              Un autre problème apparait ici, plus large que celui de la nécessaire variation des
+                              représentations, c’est la question de la bonne compréhension de la représentation par l’élève :
+                              comment savoir que l’élève a bien compris l’usage de la représentation, par exemple qu’il
+                              distingue bien les objets visés par les deux représentations 1,4 et ¼. Une réponse possible
+                              consiste à faire verbaliser par l’élève sa perception de la représentation, en passant donc
+                              dans le registre du langage naturel : la verbalisation peut alors se faire sous la forme :
+                              « 1,4 représente une unité et quatre dixièmes, ou quatorze dixièmes ; on peut également la
+                              représenter par 1+ 4/10, ou 14/10 ; ¼ représente le quart de l’unité ». La stabilisation de la
+                              compréhension de l’objet mathématique sous-jacent passe par l’utilisation de ses différentes
+                              représentations dans des contextes différents, pour résoudre des problèmes variés, et le
+                              passage d’un registre de représentation à un autre en précisant l’intérêt de chacun dans la
+                              situation proposée (représenter le nombre 1,4 sur une droite graduée, partager un segment
+                              en quatre, poser l’équation à trou … x 4 = 1).
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+                              Changements de registre : l’apport des outils numériques
+                              L’usage des outils numériques facilite la mise en œuvre concrète des changements de registre
+                              de représentation, que ce soit grâce aux tableurs ou aux logiciels de géométrie dynamique :
+                              définir une fonction par une formule déclenche aussitôt le tracé des graphiques, ou l’apparition
+                              d’un tableau de valeurs. À l’inverse, un tableau de valeurs permet de placer des points, de
+                              proposer une interpolation, une ou plusieurs formules.
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+                              4. Remarques sur les fondements des mathématiques, Paris, Gallimard, coll. Bibliothèque de philosophie.
+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   3
+  CYCLE   4    I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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+                              Ce changement de registre se trouve d’autant facilité qu’il s’effectue immédiatement et sans
+                              effort. Mais cette simultanéité ne doit pas conduire à penser que la conversion est limpide pour
+                              les élèves. Si les outils numériques permettent d’automatiser des processus mentaux, ceux-ci
+                              doivent avoir été auparavant compris et d’une certaine manière éprouvés par les élèves (par le
+                              calcul mental ou posé, par le dessin à l’aide d’instruments de géométrie, etc.).
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+                              Nombres
+                              Les nombres constituent un des points les plus délicats et les moins immédiatement visibles
+                              de l’application des changements de registre. C’est au cycle 4 que ce qui était représenté
+                              par des parts de gâteau, un point sur la demi-droite graduée, le résultat d’une opération de
+                              division doit pouvoir pour l’élève renvoyer à un même objet : un nombre. Cette possibilité de
+                              changement de registre doit être mise en œuvre régulièrement car elle ne revêt pas la même
+                              facilité selon qu’il s’agit de 2, de 0,5, de 3/4, de 2/3, de 5/3 (la représentation des parts de
+                              gâteau peut être un obstacle à la conception d’une fraction supérieure à 1). La compréhension
+                              d’un nombre décimal, plus tard d’un nombre rationnel positif ou négatif ne peut s’envisager
+                              sans changement de registre, d’autant que tous les registres ne seront pas aussi pertinents
+                              pour un élève : envisager 2/3 comme représentation de deux parts d’un tout partagé en trois
+                              est une chose naturelle pour l’élève depuis le cycle 3, mais le cycle 4 va fournir de nouveaux
+                              outils permettant de le voir comme un point de la droite graduée. Des calculs de rapports et
+                              de proportions, la résolution de l’opération à trou 2 x … = 3, puis celle de l’équation 2x = 3, le
+                              théorème de Thalès viendront progressivement conforter cette réalité. Les activités de calcul
+                              mental, les activités de calcul dans un contexte géométrique ou dans un contexte arithmétique
+                              constituent autant d’occasions de rappeler et de consolider la variété de ces représentations
+                              du nombre. Comprendre que la notion de nombre rationnel étend celle de nombre décimal,
+                              qui elle-même étend celle de nombre entier fait partie des objectifs du cycle 4. Les écritures
+                              et les représentations des nombres doivent être revues et mises en jeu tout au long du cycle.
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+                              Organisation et gestion de données et fonction
+                              La représentation joue dans l’organisation et la gestion de données un rôle particulier.
+                              Il s’agit de représenter des séries de nombres, objets abstraits pour lesquels toutes les
+                              représentations sont mathématiquement équivalentes. Mais du fait que ces séries de
+                              nombres ont un lien fort avec le monde réel, ces représentations ne sont pas du tout
+                              équivalentes dans l’effet qu’elles produisent. Le choix d’une représentation (diagramme
+                              en barres ou camembert), comme celui d’une échelle peuvent majorer un minorer un
+                              phénomène, exagérer ou minorer un écart, éclairer une décision ou tromper un lecteur.
+                              Le nécessaire travail sur les registres prend ici un relief particulier, en ce qu’il rencontre la
+                              formation du citoyen et accompagne le développement de l’esprit critique. Dans cet esprit,
+                              tout travail engagé sur des données réelles, notamment dans le cadre d’un EPI, permet de
+                              mettre en lumière les enjeux des choix de représentation. La notion de fonction, qui nait
+                              véritablement pour les élèves au cycle 4, continuera à se mettre en place au lycée et même
+                              au-delà. Les fonctions font en effet partie de ces objets mathématiques que les élèves vont
+                              être amenés à manier pendant longtemps sans en avoir une définition formelle rigoureuse.
+                              Le changement de registre de représentations est donc ici nécessaire pour cerner l’objet
+                              fonction. On ne peut pas dire ce qu’est une fonction, mais on peut dire, grâce à cette formule,
+                              j’ai défini une fonction, que je pourrais aussi définir par une courbe.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Représenter en géométrie
+                              La compétence « Représenter » reste bien entendu centrale dans l’étude de la géométrie.
+                              Le thème « Espace et géométrie » propose sous le titre Représenter l’espace une série
+                              de contenus dont la maitrise permet à l’élève de collège de continuer à progresser dans
+                              la compréhension des objets qu’il a sous les yeux, au travers de la perspective, mais aussi
+                              d’objets qu’il ne peut embrasser du regard : c’est tout l’enjeu de la représentation de la Terre,
+                              du repérage sur la sphère, dans l’espace ou dans le plan. La circulation entre les différents
+                              registres (maquettes, vues de dessus et de profil, croquis, patrons, modélisations 3D issues
+                              de logiciels de géométrie, objets conçus à l’aide d’une imprimante 3D) doit être travaillée tout
+                              au long du cycle.
+                              La représentation en géométrie ne se cantonne pas à ce lien avec le réel, mais accompagne
+                              la maitrise de l’abstraction et les débuts de la démonstration au travers des figures et de
+                              leurs codages, et des transformations. On retrouve cet « Art de raisonner juste sur des figures
+                              fausses » pour reprendre la formule de Descartes. Un triangle isocèle peut être représenté
+                              par une figure représentant un triangle isocèle ou un triangle quelconque bien codé, par
+                              l’expression Soit ABC un triangle isocèle. Cette possibilité peut être source de difficulté pour
+                              des élèves à qui parallèlement on demande de travailler sur la vérité et la justesse des
+                              représentations au travers de représentations en perspectives ou à l’échelle. La notion de
+                              schéma constitue pour les élèves un pas important à bien marquer, où on s’attache à montrer
+                              que la force du schéma réside dans sa capacité à condenser les éléments nécessaires à la
+                              démonstration.
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+                              Bibliographie
+                              • Idées directrices pour analyser les problèmes de compréhension dans l’apprentissage des
+                                 mathématiques - DUVAL R. (2011).
+                              • Rationnels et proportionnalité, complexité et enseignement au début du collège - ADJIAGE
+                                 R. (2007). Revue Petit x 74 IREM Grenoble
+                              • Le rôle d’un processus de visualisation géométrique complémentaire du registre numérique
+                                 - BARRERA R. (2011). Revue Petit x 85 IREM Grenoble
+                              • Représentation des fractions et des nombres décimaux chez les élèves de CM2 et du collège
+                                 - PERRIN-GLORIAN (1986). Revue Petit x 10 IREM Grenoble
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/025.pdfinfo.txt

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+                                                             Informer et accompagner
+                                                             les professionnels de l’éducation   CYCLES 2                          3 4
+                                     MATHÉMATIQUES
+                                       Ressources transversales
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+                                                                     Types de tâches
+
+                                    Les exemples fournis dans les ressources thématiques sont classés selon trois types d’activités :
+                                    questions « flash », activités avec prise d’initiative et exercices d’application ou de réinvestisse-
+                                    ment. Les situations proposées ne sauraient être considérées comme des outils prêts à l’emploi.
+                                    Leur mise en œuvre suppose une véritable appropriation par les équipes de professeurs,
+                                    notamment à travers une réflexion collective sur différents scenarios pédagogiques possibles, sur
+                                    les productions d’élèves attendues ou encore sur l’intégration dans la progression pédagogique.
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+                               Questions « flash »
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+                               La pratique de questions « flash » vise à renforcer la mémorisation de connaissances et
+                               l’automatisation de procédures afin de faciliter un travail intellectuel ultérieur par leur mise à
+                               disposition immédiate.
+                               Une tâche de ce type relève d’une activité mentale attendue sur un temps court (quelques
+                               minutes). Elle peut mobiliser une connaissance, un savoir-faire, un traitement automatique
+                               ou réfléchi. Pour être efficaces, les questions flash doivent être proposées de façon régulière,
+                               tout au long du cycle, et s’inscrire dans une stratégie d’enseignement qui articule de
+                               façon cohérente entraînement, évaluation, remédiation et consolidation. Elles se prêtent à
+                               l’utilisation de supports variés : papier, diaporama, enregistrement oral.
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+                               Activités avec prise d’initiative
+                               Les activités exigeant une prise d’initiative sollicitent l’autonomie et l’imagination des élèves.
+                               Elles peuvent conduire à modéliser une situation et consistent toujours à résoudre un
+                               problème. La résolution de ce problème peut être utilisée dans des situations d’enseignement
+                               variées :
+
+                               • la découverte d’une notion nouvelle, à travers l’identification d’un obstacle qu’elle permet de
+                                  franchir ;
+                               • le réinvestissement de notions antérieurement installées.
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+                               Grâce à un questionnement suffisamment ouvert, la réalisation d’une activité de ce type
+                               favorise la mise en œuvre de plusieurs stratégies, d’expertise mathématique de différents
+                               niveaux (on peut parler à ce titre de « procédures personnelles », distinctes de la procédure
+                               experte). Une telle activité se prête donc à la différenciation pédagogique. Il importe que tous
+                               les élèves, y compris les plus fragiles, puissent s’engager dans la réalisation de la tâche.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+                              Le contexte d’une activité avec prise d’initiative peut être interne aux mathématiques, issu de
+                              la vie courante, d’une ou plusieurs autres disciplines. Elle peut être proposée individuellement
+                              ou en groupes, en classe ou en dehors de la classe, à condition dans ce cas que les élèves
+                              aient été auparavant initiés à ce type d’activités sous la conduite du professeur.
+                              Par la liberté de cheminement qu’elle laisse aux élèves, une activité avec prise d’initiative,
+                              contrairement à une activité guidée, doit donner lieu à des démarches et des productions
+                              variées ; les élèves doivent être incités à garder trace de leurs recherches, même
+                              infructueuses ou inabouties, afin de permettre le développement et l’évaluation de la
+                              compétence « chercher ». Pour ne pas être bloqué dans sa recherche, un élève ou un groupe
+                              d’élèves peut, à un moment jugé opportun par le professeur, bénéficier d’aides ciblées (aides à
+                              la démarche de réalisation ou de résolution, apport de savoir-faire, par exemple sous la forme
+                              d’une procédure de réalisation, apport de connaissances, etc.).
+
+                              Une activité avec prise d’initiative peut aider l’élève à comprendre que ses difficultés dans
+                              la résolution peuvent être imputées à une maîtrise insuffisante de connaissances ou de
+                              techniques. L’activité pourra alors donner aux yeux de l’élève une réelle légitimité pour
+                              un entraînement technique indispensable (calcul numérique ou littéral, reconnaissance
+                              de configurations géométriques, apprentissage du cours, questions flash, etc.). Il est tout
+                              à fait envisageable d’interrompre la réalisation d’une activité avec prise d’initiative pour y
+                              revenir après avoir effectué l’entraînement technique nécessaire à son accomplissement. La
+                              motivation des élèves pour cet entraînement pourra alors se trouver accrue par l’envie de
+                              revenir rapidement à la résolution du problème initial.
+
+                              Afin de ne pas déconnecter les activités à prise d’initiative des contenus du programme, les
+                              savoirs mathématiques (notions, méthodes ou stratégies) sollicités dans chaque activité
+                              de ce type doivent être formalisés au cours d’une phase d’explicitation, de structuration ou
+                              d’institutionnalisation.
+
+                              Parmi les activités à prise d’initiative figurent aussi bien des problèmes d’une durée limitée
+                              (pouvant par exemple être traités sur une partie de séance, ou proposés dans le cadre d’un
+                              travail en dehors de la classe) et des tâches plus complexes, interdisciplinaires ou relevant
+                              de la vie courante. Celles-ci pourront alors trouver naturellement leur place dans les projets
+                              d’Enseignements Pratiques Interdisciplinaires.
+
+
+
+                              Tâches intermédiaires
+                              Intermédiaires entre les questions flash et les activités avec prise d’initiative, les tâches
+                              intermédiaires visent à stabiliser et à consolider les savoirs acquis. Selon le moment auquel
+                              elles apparaissent dans le processus d’apprentissage, elles peuvent prendre la forme
+                              d’exercices d’application ou de réinvestissement.
+
+                              Les exercices d’application permettent à l’élève de mettre en œuvre, dans un contexte
+                              voisin de la situation d’apprentissage, des notions récemment acquises. Les exercices de
+                              réinvestissement permettent de consolider des connaissances, des procédures ou des
+                              stratégies antérieurement acquises, dans un contexte éventuellement différent du contexte
+                              d’apprentissage (on parle alors de transfert ou de recontextualisation). Ils trouvent une place
+                              naturelle dans une progression spiralaire conçue sur la totalité du cycle. Sans être une tâche
+                              isolée, une tâche intermédiaire nécessite au maximum deux ou trois étapes de raisonnement,
+                              et est posée sous une forme explicite.
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+Retrouvez Éduscol sur
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+   eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016   2
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Programme/extractions_pdf_indexed_cycle4_math/manifest.csv

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