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Les guides
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fondamentaux
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pour enseigner
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La résolution
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de problèmes
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mathématiques
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au cours
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moyen
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Cet ouvrage a été coordonné par le service de l’instruction
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publique et de l’action pédagogique et le service
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de l’accompagnement des politiques éducatives
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de la direction générale de l’enseignement scolaire
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du ministère de l’Éducation nationale, de la Jeunesse
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et des Sports. Il a été rédigé, relu et coordonné avec
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le concours de l’Inspection générale de l’éducation,
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du sport et de la recherche.
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Ce document a fait l’objet d’une relecture critique
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de plusieurs membres du Conseil scientifique
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de l’éducation nationale.
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Questions fréquentes
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sur l’enseignement
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de la résolution
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de problèmes
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La résolution de problèmes est une tâche particulièrement
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complexe pour les élèves. L’enseignement de la résolution
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de problèmes demeure une activité difficile pour beaucoup
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de professeurs, comme en témoignent les quelques
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questions recueillies ci-dessous. Ce guide fondé sur l’état
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de la recherche apporte des réponses à ces questions,
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comme l’indiquent les renvois proposés dans cette rubrique.
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Quels problèmes les élèves de cours moyen
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doivent-ils savoir résoudre ?
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Il n’est bien évidemment pas possible d’établir une liste exhaustive
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des problèmes que les élèves de cours moyen doivent savoir résoudre.
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Cependant, ce guide propose, au chapitre 1 (voir p. 16), une classification
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en trois catégories principales qui doit permettre d’aider les professeurs
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à structurer l’enseignement de la résolution de problèmes dans leur classe :
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— les problèmes en une étape ;
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— les problèmes en plusieurs étapes ;
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— les problèmes atypiques.
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Que faire quand un élève n’arrive pas à résoudre
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un problème ?
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Quand un élève donne une résolution erronée, la première action du professeur doit
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être d’analyser la production de l’élève pour repérer la ou les difficultés rencontrées.
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Cette analyse peut s’appuyer sur le modèle de résolution en quatre phases (comprendre,
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modéliser, calculer, répondre) proposé au chapitre 2 (voir p. 42). Un exemple d’une telle
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analyse est développé dans un focus (voir p. 56). Il est généralement difficile de distinguer
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si les difficultés relèvent de la phase « comprendre » ou de la phase « modéliser » à partir
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des seules traces écrites ; un échange avec l’élève est alors nécessaire. Des exemples de
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tels échanges sont aussi proposés dans le focus mentionné précédemment. Une fois cette
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analyse menée, des coups de pouce appropriés peuvent être fournis. Il est important que
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ceux-ci ne dénaturent pas l’objectif principal de la séance. Le chapitre 3 (voir p. 65) fournit
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trois curseurs sur lesquels il est possible d’agir en fonction de l’objectif visé :
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— la structure du problème ;
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— le texte du problème ;
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— le champ numérique.
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Le paragraphe « Différencier pour permettre à tous les élèves de progresser » du chapitre
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4 (voir p. 98) présente un exemple concret d’action sur ces trois curseurs.
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Doit-on apprendre Doit-on avoir des leçons
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aux élèves à faire sur la résolution
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des schémas ? de problèmes dans
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À quel moment doit-on le cahier de référence
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introduire les schémas (cahier de leçons)
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en barres ? de mathématiques ?
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La réponse à la première question est Oui. Les temps d’institutionnalisation
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évidemment positive. La compétence en classe permettent de faire le point
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« représenter » fait partie des compétences sur ce qui a été appris au cours de
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que les élèves doivent développer à l’école la séance, mais aussi pendant la
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élémentaire. Les schémas sont souvent séquence. Ce savoir devient alors un
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indispensables aux élèves pour pouvoir savoir de référence qui pourra être
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modéliser correctement les problèmes qui réutilisé ultérieurement. La partie
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leur sont soumis. Quatre types de schémas « S’appuyer sur l’institutionnalisation »
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(schémas en barres, déplacements du chapitre 4 (voir p. 100) donne un
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sur une droite, tableaux, arbres) sont exemple concret d’une trace écrite
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présentés en détail dans une partie dédiée dans un cahier d’élève de cours moyen,
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du chapitre 4 (voir p. 107). Les schémas en produite dans le cadre d’un temps
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barres sont traditionnellement introduits d’institutionnalisation, et de l’utilisation
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progressivement à partir du CE1. Ce qui de cette trace écrite pour résoudre de
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est particulièrement important pour nouveaux problèmes.
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les schémas en barres comme pour les
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autres outils de représentation, c’est
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de conserver une certaine cohérence
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d’utilisation d’année en année, tout au
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long de la scolarité obligatoire, afin de
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permettre aux élèves de garder les
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mêmes repères et de devenir de plus en
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plus efficaces en résolution de problèmes.
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Sommaire
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INTRODUCTION
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6 Pourquoi enseigner la résolution
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de problèmes ?
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7 La résolution de problèmes, une activité
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à fort enjeu dans le monde
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8 Les élèves français en difficulté
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en résolution de problèmes
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10 La place de la résolution de problèmes
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10 Les compétences clés à développer
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11 L’objectif de ce guide
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12 Plan du guide
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CHAPITRES
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I 15 Quels problèmes apprendre
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à résoudre au cours moyen ?
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16 Une catégorisation en trois types de problèmes
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19 Les problèmes en une étape
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29 Les problèmes en plusieurs étapes
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31 Les problèmes atypiques
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II 41 Qu’est-ce que résoudre un problème ?
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42 Quatre phases fondamentales pour la résolution
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de problèmes : comprendre, modéliser,
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calculer et répondre
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56 Focus | Analyser les erreurs des élèves
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pour adapter l’aide à leur apporter
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III 65 Identifier les obstacles à la résolution
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de problèmes pour les élèves
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66 La structure mathématique du problème
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68 Le texte de l’énoncé du problème
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78 Le champ numérique
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||
IV 83 Comment délivrer un enseignement structuré
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de la résolution de problèmes ?
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84 Fixer collectivement des objectifs sur le champ
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||
de la résolution de problèmes
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86 Construire une progression partagée
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87 Focus | Un exemple d’évaluation commune
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proposée en fin de période 3 en CM1
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||
89 Points de vigilance et propositions
|
||
pour construire une séquence en résolution
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||
de problèmes
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||
107 Enseigner explicitement des méthodes
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de représentation efficaces pour modéliser
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||
126 Focus | Exemples de résolution de problèmes
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de cours moyen avec des fractions en utilisant
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des schémas en barres
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V 131 De l’école au collège : la résolution de problèmes
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dans le cadre de la liaison CM2‑6e
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132 La résolution de problèmes au cœur
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de l’enseignement des mathématiques au collège
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comme à l’école élémentaire
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||
133 Exemples de problèmes pouvant avoir été
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résolus au cours moyen
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134 Exemples d’utilisation au collège
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des représentations schématiques
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introduites au cours moyen
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BIBLIOGRAPHIE ET OUTILS DE RÉFÉRENCE
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142 Ouvrages
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142 Articles
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147 Rapports, contributions et conférences
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||
Pourquoi enseigner
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la résolution
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de problèmes ?
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7 — Introduction
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Les éducateurs, les gouvernements, les employeurs
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et les chercheurs mettent systématiquement en avant
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la résolution de problèmes lorsqu’ils évoquent
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les compétences du xxie siècle1. En effet, dans le contexte
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sociétal actuel, les citoyens ont de plus en plus besoin
|
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de compétences d’analyse et de raisonnement
|
||
pour la résolution de situations et de tâches complexes.
|
||
La résolution de problèmes mathématiques à l’école
|
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primaire et au collège a pour objectif de contribuer
|
||
au développement de ces compétences. Elle permet
|
||
également aux élèves de consolider leurs connaissances
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||
mathématiques, de développer des compétences
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mathématiques (chercher, modéliser, représenter,
|
||
raisonner, calculer, communiquer2), d’être actifs
|
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et de renforcer leur confiance en eux. Savoir résoudre
|
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des problèmes est une finalité de l’enseignement
|
||
des mathématiques à l’école élémentaire, mais aussi
|
||
le vecteur principal d’acquisition des connaissances
|
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et des compétences visées.
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La résolution de problèmes,
|
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une activité à fort enjeu
|
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dans le monde
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Pour beaucoup de chercheurs, « la résolution de problèmes demeure l’activité dans
|
||
laquelle les élèves rencontrent le plus de difficultés »3 et c’est un champ pour lequel les
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||
professeurs des écoles peinent à construire un enseignement répondant aux besoins
|
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||
1— Cynthia Luna Scott, « Les apprentissages de demain 2 :
|
||
quel type d’apprentissage pour le xxie siècle ? », Recherche
|
||
et prospective en éducation : réflexions thématiques, n° 14, 2015.
|
||
2 — BOENJS n° 31 du 30 juillet 2020 (https://eduscol.education.
|
||
fr/87/j-enseigne-au-cycle-3).
|
||
3 — Pierre Barrouillet et Valérie Camos, « Savoirs, savoir-faire
|
||
arithmétiques et leurs déficiences », dans Michèle Kail et Michel Fayol
|
||
(dir.), Les Sciences cognitives et l’école. La question des apprentissages,
|
||
PUF, 2003.
|
||
8 — Introduction
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des élèves. Comme de nombreux travaux de recherche, l’enquête Pisa4 , pilotée par
|
||
l’OCDE, a permis de confirmer que les difficultés des élèves ne peuvent s’expliquer
|
||
par le seul niveau des connaissances et compétences mathématiques pour résoudre
|
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un problème, en effet, « de nombreux autres facteurs interviennent comme la connais-
|
||
sance en jeu, la familiarité avec le contexte du problème, la lisibilité de l’énoncé, etc.5 ».
|
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« Surmonter les défis […] suppose une évolution des pratiques d’enseignement Michèle Artigue,
|
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permettant leur mise en cohérence avec les ambitions affichées. Les études Les Défis
|
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des pratiques enseignantes menées dans le cadre de recherches didactiques de l’enseignement
|
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et de formations, tout comme les enquêtes menées par les institutions des mathématiques
|
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internationales, montrent en effet que ce n’est pour l’instant généralement dans l’éducation
|
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pas le cas. L’enseignement des mathématiques dans la scolarité de base de base, Unesco,
|
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est trop souvent encore un enseignement peu stimulant […]. Paris, 2011.
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Les recherches et expérimentations montrant que d’autres alternatives
|
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sont possibles, productives en termes d’apprentissage et donnant aux
|
||
élèves une autre vision des mathématiques et de leur capacité à saisir
|
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la signification de cette science, se sont pourtant accumulées au fil des
|
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années […]. Elles mettent l’accent sur la place à accorder à la résolution
|
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de problèmes dans l’enseignement des mathématiques, que ces problèmes
|
||
soient utilisés pour motiver et préparer l’introduction de nouvelles notions,
|
||
ou qu’ils permettent de les travailler et les exploiter après qu’elles aient été
|
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introduites. L’apprentissage y est perçu comme une opération progressive
|
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de prise de sens au fil de la rencontre de situations problématiques
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soigneusement choisies et organisées […]. »
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|
||
Les élèves français en difficulté
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en résolution de problèmes
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Si les difficultés des élèves en résolution de problèmes sont une préoccupation
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pour les pays du monde entier, les enquêtes nationales et internationales mettent
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régulièrement en lumière que la situation est inquiétante pour les élèves de France.
|
||
Ceci transparaît notamment dans le traitement du problème ci-après qui a été
|
||
proposé en 2015, dans le cadre de l’évaluation Timss6 , aux élèves de fin de CM1.
|
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|
||
4 — Pisa : Programme international pour le suivi des acquis des élèves
|
||
(https://www.oecd.org/pisa-fr/).
|
||
5 — Éric Roditi, Franck Salles, « Nouvelles analyses de l’enquête
|
||
Pisa 2012 en mathématiques : un autre regard sur les résultats »,
|
||
dans « Évaluation des acquis : principes, méthodologie, résultats »,
|
||
Éducation et Formations, n° 86-87, ministères chargés de l’éducation
|
||
nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche,
|
||
Direction de l’évaluation et de la prospective, 2015.
|
||
6 — Timss : Trends in International Mathematics and Science
|
||
Study ; enquête internationale mesurant les acquis des élèves de CM1
|
||
en mathématiques et en sciences.
|
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9 — Introduction
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||
« Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zed.
|
||
Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
|
||
Julien a 4 zeds.
|
||
Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ?
|
||
A. 1,06 zed B. 1,16 zed C. 5,06 zeds D. 5,16 zeds »
|
||
|
||
Pour ce problème, les élèves français ont obtenu le plus faible taux de réussite des
|
||
pays de l’Union européenne participants, avec un score de 42 %, alors que le tiers
|
||
des autres pays de l’Union européenne a obtenu des scores de réussite moyens entre
|
||
62 et 70 %, et que Singapour a même atteint un taux de réussite de 79 %7. Au-delà
|
||
du cas particulier de ce problème et du taux de réussite observé en France, des
|
||
difficultés des élèves en résolution de problèmes sont observées depuis plusieurs
|
||
années dans la plupart des pays de l’OCDE.
|
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|
||
« Ces faibles performances ont conduit de nombreux chercheurs Vanessa Hanin
|
||
à examiner, de façon approfondie, les stratégies adoptées par les élèves et Catherine Van
|
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en résolution de problèmes. Ces derniers ont, notamment, mis à jour Nieuwenhoven,
|
||
l’usage, par les élèves, de démarches de résolution superficielles telles que « Évaluation
|
||
la non prise en compte des connaissances du monde réel dans la résolution d’un dispositif
|
||
et une résolution reposant sur la recherche d’indices sémantiques. pédagogique visant
|
||
Or, ces démarches s’avèrent inefficaces pour résoudre de véritables le développement de
|
||
problèmes au sens où l’individu ne connaît pas d’emblée la démarche stratégies cognitives
|
||
à adopter pour solutionner le problème. À cet effet, les chercheurs et métacognitives
|
||
qui se sont penchés sur cette problématique préconisent un changement en résolution
|
||
au niveau des pratiques d’enseignement et d’apprentissage de la résolution de problèmes
|
||
de problèmes. Plus précisément, ces derniers s’accordent sur la nécessité en première
|
||
de reconceptualiser les activités de résolution de problèmes comme secondaire », Évaluer.
|
||
des exercices de modélisation, de proposer des recueils de problèmes variés, Journal international
|
||
d’adopter une méthodologie ouverte, autrement dit, de favoriser la diversité de recherche
|
||
des démarches et des stratégies de résolution et d’introduire de nouvelles en éducation
|
||
normes socio-mathématiques, plus appropriées. » et formation, Vol. 2,
|
||
n° 1, p. 53-88, 2016.
|
||
|
||
|
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|
||
Ainsi, au-delà de la performance obtenue se pose la question des indices sur lesquels
|
||
un élève s’est appuyé pour aboutir au résultat. En effet, « la recherche d’indices
|
||
sémantiques » évoquée ci-dessus mène à des réussites lorsque ces indices encou-
|
||
ragent la modélisation attendue. Toutefois, ces réussites s’apparentent à des faux
|
||
positifs dès lors qu’il y a échec de l’élève en l’absence de ces indices. Les cas les plus
|
||
évidents sont les choix d’opération influencés par des mots clés comme « de plus »
|
||
induisant une addition ou « perdre » une soustraction. Ce phénomène est toutefois
|
||
bien plus large encore, car il concerne aussi les relations entre les entités présentes
|
||
dans les énoncés, comme des fleurs et des vases par exemple, qui induisent a priori
|
||
une relation multiplicative8 .
|
||
|
||
|
||
7 — Les résultats de l’enquête Timss sont consultables sur le site
|
||
de l’IEA (International Association for the Evaluation of Educational
|
||
Achievement, https://timssandpirls.bc.edu).
|
||
8 — Miriam Bassok, “Semantic Alignments in Mathematical Word
|
||
Problems”, in Dedre Gentner, Keith J. Holyoak et Boicho N. Kokinov (Eds.),
|
||
The Analogical Mind: Perspectives from Cognitive Science, Cambridge,
|
||
MA, MIT Press, 2001.
|
||
10 — Introduction
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||
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||
La place de la résolution
|
||
de problèmes
|
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|
||
Aujourd’hui, il y a un consensus sur la place centrale que doit occuper la résolution
|
||
de problèmes dans l’enseignement des mathématiques à l’école primaire comme
|
||
au collège et dont le programme de mathématiques du cycle 3 se fait le relais :
|
||
« la résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des
|
||
connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également
|
||
le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens9 ».
|
||
|
||
Ce que l’on entend par « problèmes » peut être relativement large ; ce guide restera
|
||
centré sur la résolution des problèmes verbaux à données numériques. Il s’agit
|
||
de problèmes proposés sous forme d’un texte, éventuellement accompagné d’une
|
||
illustration, contenant des données numériques qu’il faut mettre en relation et avec
|
||
lesquelles il faut faire des opérations mathématiques pour obtenir ce qui permet
|
||
de donner la ou les réponses à une question posée.
|
||
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||
Les compétences clés à développer
|
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||
L’aptitude des élèves à résoudre de tels problèmes va dépendre principalement de
|
||
trois facteurs :
|
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|
||
— les connaissances mathématiques des élèves10 : ils doivent en effet identifier les
|
||
nombres en jeu dans l’énoncé et leur nature (entiers, fractions, décimaux), quelle
|
||
que soit leur écriture (en lettres, en chiffres, avec ou sans virgule, sous forme frac-
|
||
tionnaire), connaître le sens des opérations qu’ils vont devoir mobiliser, maîtriser
|
||
des moyens d’effectuer les calculs nécessaires, mentalement ou par écrit, etc. ;
|
||
— la mémoire de problèmes similaires préalablement résolus11 : les enfants comme
|
||
les adultes s’appuient largement sur leur mémoire pour résoudre des problèmes.
|
||
L’évocation en mémoire de problèmes pouvant aider à la résolution d’un nouveau
|
||
problème relève du transfert d’apprentissage, qui dépend de facteurs nombreux
|
||
et complexes12. Certains problèmes deviennent si familiers que leur traitement
|
||
|
||
|
||
9 — Programme consolidé du cycle 3, BOENJS n° 31 du 30 juillet 2020
|
||
(https://eduscol.education.fr/87/j-enseigne-au-cycle-3).
|
||
10 — Tous égaux face aux équations ? Rendre les mathématiques
|
||
accessibles à tous, Pisa, Éditions OCDE, Paris, 2016.
|
||
11 — Marsha C. Lovett, “Problem Solving”, in Hal Pashler, Douglas
|
||
Medin (eds.), Stevens’ Handbook of Experimental Psychology: Memory
|
||
and Cognitive Processes, John Wiley & Sons Inc, New York, 2002.
|
||
12 — Susan Barnett, Stephen Ceci, « When and Where Do We Apply
|
||
What We Learn? A Taxonomy for Far Transfer », Psychological bulletin,
|
||
n° 128, 2002.
|
||
11 — Introduction
|
||
|
||
est quasi automatisé, alors que pour d’autres le traitement peut faire appel à une
|
||
combinaison complexe de méthodes utilisées dans divers problèmes, avec une
|
||
adaptation à la situation du problème. Dans les deux cas, cela pose la question
|
||
de l’accès en mémoire à des situations pertinentes par rapport à la résolution
|
||
du problème en cours. En effet, des travaux sur le transfert d’apprentissage ont
|
||
montré que la manière dont l’élève va se représenter le problème résolu condi-
|
||
tionnera la possibilité que ce problème soit évoqué à bon escient pour soutenir
|
||
une résolution future13 ;
|
||
— des compétences et des aptitudes diverses, comme la confiance qu’ont les élèves
|
||
en leur capacité à traiter les problèmes qui leur sont soumis, l’engagement dont
|
||
ils font preuve pour chercher à résoudre le problème, la capacité à lire et com-
|
||
prendre le problème qu’ils doivent traiter, l’aptitude à collaborer avec d’autres
|
||
élèves pour effectuer une résolution de problèmes à plusieurs, l’aptitude à orga-
|
||
niser et structurer leur travail, etc. On note dans le cadre de ces compétences
|
||
transverses l’importance des quatre piliers de l’apprentissage14 que sont l’atten-
|
||
tion, l’engagement actif, le retour sur les erreurs et la consolidation, sur lesquels
|
||
s’appuie la résolution de problèmes et qu’elle contribue à développer. Ce sont ces
|
||
aptitudes coordonnées avec leurs connaissances mathématiques et la mémoire
|
||
de problèmes résolus qui leur permettront d’aborder sereinement, et de résoudre,
|
||
des problèmes qui ne ressemblent pas à ceux qu’ils ont traités précédemment.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’objectif de ce guide
|
||
|
||
L’objectif de ce guide est de fournir des éléments aux formateurs et aux professeurs
|
||
pour développer un enseignement permettant d’améliorer les compétences des
|
||
élèves de cours moyen en résolution de problèmes. Pour cela, ce guide :
|
||
|
||
— rappelle des éléments issus de la recherche permettant de nourrir la réflexion
|
||
pour construire un enseignement de la résolution de problèmes plus efficace ;
|
||
— donne de nombreux exemples de problèmes (plus de 200) que les élèves de cours
|
||
moyen doivent apprendre à résoudre, ainsi que des stratégies et procédures
|
||
qu’ils doivent acquérir pour y parvenir ;
|
||
— propose des exemples concrets de mise en œuvre de séquences et de séances
|
||
d’enseignement permettant de renforcer les compétences des élèves en réso-
|
||
lution de problèmes.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
13 — Laura Novick, “Analogical Transfer, Problem Similarity,
|
||
and Expertise”, Journal of Experimental Psychology. Learning,
|
||
Memory, and Cognition, n° 14, 1988.
|
||
14 — Stanislas Dehaene, Apprendre ! Les talents du cerveau,
|
||
le défi des machines, Odile Jacob, 2018.
|
||
12 — Introduction
|
||
|
||
|
||
Plan du guide
|
||
|
||
La pratique de la résolution de problèmes des élèves de cours moyen se limite trop
|
||
souvent au traitement de problèmes en une étape. Ceux-ci ne permettent pas de
|
||
proposer une variété de situations et donc de stratégies de résolution suffisantes.
|
||
|
||
De plus, ils peuvent instiller, dans l’esprit des élèves, l’idée que « résoudre un problème,
|
||
c’est trouver la bonne opération » et entraîner des résolutions ne s’appuyant plus
|
||
sur le sens, mais sur des stratégies préjudiciables telles que l’appui sur des mots
|
||
inducteurs ou sur des relations entre les entités présentes dans l’énoncé mais
|
||
en déphasage avec la structure mathématique, ou même sur un choix aléatoire,
|
||
laissant supposer que la réussite dans ce domaine d’apprentissage est avant tout
|
||
une question de chance.
|
||
|
||
Le chapitre 1 propose une classification des problèmes, s’appuyant notamment sur
|
||
des travaux de Catherine Houdement, qui distingue les problèmes en une étape des
|
||
autres problèmes. Ces derniers, qualifiés ici de problèmes en plusieurs étapes et
|
||
de problèmes atypiques, sont, en complément des précédents, essentiels pour la
|
||
formation des élèves afin de s’assurer du bon développement de leurs compétences
|
||
en résolution de problèmes.
|
||
|
||
Le chapitre 2 propose une décomposition du processus de résolution de problèmes
|
||
en quatre phases s’appuyant sur des travaux de Lieven Verschaffel et Erik de Corte.
|
||
La connaissance de ces quatre phases est essentielle pour analyser les réponses
|
||
des élèves lors des séances de résolution de problèmes. Elle permet d’aller au-delà
|
||
d’un constat binaire de réussite ou de non-réussite, afin de pouvoir apporter l’aide
|
||
appropriée à chacun des élèves qui n’a pas résolu correctement un problème donné,
|
||
en identifiant le plus précisément possible la nature des difficultés rencontrées.
|
||
|
||
L’analyse a priori d’un problème doit permettre au professeur d’établir s’il est
|
||
pertinent de le proposer à tous les élèves de sa classe ou seulement à certains
|
||
d’entre eux. Cette analyse repose sur une connaissance fine de tout ce qui peut faire
|
||
obstacle au traitement du problème par les élèves. Ces quarante dernières années,
|
||
de nombreux travaux de recherche ont apporté des éclairages sur ces obstacles.
|
||
|
||
Le chapitre 3 identifie les principaux éléments qui peuvent constituer une difficulté
|
||
pour les élèves lors de la résolution de problèmes. La connaissance de ces éléments
|
||
n’a pas pour objectif d’épurer les énoncés de tout ce qui rend un problème difficile à
|
||
traiter pour les élèves, mais au contraire de les y confronter, au moment opportun,
|
||
pour qu’ils puissent développer les connaissances, les savoir-faire et les aptitudes
|
||
leur permettant de franchir ces obstacles.
|
||
13 — Introduction
|
||
|
||
En s’appuyant sur les trois premiers chapitres, le chapitre 4 donne des pistes et
|
||
des outils concrets pour construire un enseignement permettant de développer et
|
||
de renforcer les compétences des élèves en résolution de problèmes. Il présente
|
||
à la fois des lignes directrices générales pour la construction de séquences et des
|
||
exemples simples et concrets de séances d’enseignement ou de temps particuliers
|
||
au sein de ces séances d’enseignement. Enfin, ce chapitre recense différents modes
|
||
de représentation des données d’un énoncé (schémas en barres, déplacements
|
||
sur une droite, tableaux, arbres) destinés à aider les élèves lors de la résolution
|
||
de problèmes.
|
||
|
||
Le chapitre 5 est centré sur la liaison école-collège. Il permet de compléter les
|
||
exemples de problèmes des chapitres précédents pouvant être proposés aux élèves
|
||
de cours moyen. Il permet également de montrer comment les apprentissages de
|
||
cours moyen, en particulier en ce qui concerne les représentations, peuvent être
|
||
réinvestis dans la suite de la scolarité, lors de la résolution de problèmes rencontrés
|
||
au collège. Ce chapitre est destiné à nourrir les échanges dans le cadre de travaux
|
||
autour de la liaison CM2-6e.
|
||
|
||
Ces chapitres peuvent se lire de façon indépendante. Les trois premiers sont
|
||
plutôt centrés sur la didactique, le quatrième sur la pédagogie et le dernier sur
|
||
la liaison école-collège. Un formateur pourra privilégier une lecture fine des
|
||
trois premiers chapitres avant d’aborder la lecture du chapitre 4, alors qu’un
|
||
professeur pourra choisir de commencer directement par la lecture du chapitre 4
|
||
puis lire ultérieurement, en fonction de ses besoins d’éclairage, les trois premiers
|
||
chapitres. Le chapitre 5 peut, quant à lui, être abordé indépendamment lors de
|
||
travaux interdegrés.
|
||
I
|
||
Quels problèmes
|
||
apprendre à résoudre
|
||
au cours moyen ?
|
||
16 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
Au cours moyen, les élèves renforcent leur familiarité
|
||
avec les problèmes en une ou plusieurs étapes traités
|
||
au cycle 2, en se confrontant à des problèmes structurellement
|
||
très proches, mais dont la difficulté s’accroit. Ces problèmes
|
||
mettent désormais en jeu les nouveaux nombres étudiés
|
||
à ce niveau de la scolarité : « grands nombres », nombres
|
||
décimaux, fractions ; les contextes des énoncés se diversifient,
|
||
en intégrant progressivement des éléments moins familiers
|
||
pour les élèves.
|
||
La structure des problèmes proposés va également
|
||
se complexifier, avec la rencontre de problèmes constitués
|
||
d’étapes plus nombreuses qu’au cours élémentaire,
|
||
ou de problèmes nécessitant le déploiement de stratégies
|
||
particulières.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Une catégorisation en trois types
|
||
de problèmes
|
||
|
||
Ces quarante dernières années, de nombreuses classifications des problèmes
|
||
verbaux à données numériques ont été proposées par des chercheurs. Ce qui les
|
||
différencie est la focale qui est mise sur telles ou telles caractéristiques et qui justifie
|
||
tantôt de regrouper ensemble certains énoncés et tantôt de les distinguer comme
|
||
relevant de deux catégories différentes.
|
||
|
||
Élaborer une telle classification est un travail complexe, tant le champ des problèmes
|
||
mathématiques est vaste et riche. Quand on se réfère à une classification existante,
|
||
il est en général aisé d’identifier des problèmes « exceptions » qui n’entrent dans
|
||
aucune catégorie, ou que l’on peut faire entrer dans plusieurs. Ceci n’a cependant
|
||
pas d’importance pour une exploitation d’une classification pour l’enseignement, car
|
||
chercher à classer des problèmes n’est pas un objectif du travail à mener en classe
|
||
avec les élèves. Une classification de problèmes est en revanche un outil à disposition
|
||
des professeurs pour cerner et organiser la diversité des problèmes que les élèves
|
||
doivent rencontrer à un certain niveau de la scolarité et qu’ils doivent apprendre à
|
||
résoudre à ce niveau de la scolarité. L’objectif de ce chapitre est de définir le périmètre
|
||
des problèmes devant être proposés au cours moyen et donc d’aider les professeurs
|
||
à structurer l’enseignement de la résolution de problèmes dans leur classe, en leur
|
||
proposant un inventaire organisé de catégories de problèmes à traiter sur les deux
|
||
années du cours moyen. La tâche des élèves doit être de résoudre des problèmes
|
||
17 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
et non de les classer ; les élèves n’auront donc pas besoin d’apprendre ou d’entendre
|
||
qu’un problème appartient à l’une ou l’autre des catégories mentionnées dans ce
|
||
chapitre pour le résoudre, mais ils devront apprendre à faire des liens et repérer
|
||
des analogies leur permettant de mobiliser des stratégies de résolution rencontrées
|
||
précédemment.
|
||
|
||
Une classification des problèmes en trois catégories principales, fortement ins-
|
||
pirée des travaux de Catherine Houdement15 , est proposée dans ce guide. Elle doit
|
||
permettre d’aider les professeurs à structurer l’enseignement de la résolution de
|
||
problèmes dans leur classe. Les trois catégories principales sont les suivantes :
|
||
|
||
— les problèmes en une étape : il s’agit des problèmes qui vont se traiter en effectuant
|
||
une unique opération. On peut distinguer parmi ceux-ci, d’une part, les problèmes
|
||
additifs qui nécessitent une addition ou une soustraction et, d’autre part, les pro-
|
||
blèmes multiplicatifs qui se traitent en effectuant une multiplication ou une division ;
|
||
— les problèmes en plusieurs étapes : il s’agit de problèmes qui vont se traiter
|
||
comme une succession de problèmes en une étape, chacune déterminant des
|
||
éléments intermédiaires qui vont permettre d’aboutir à la solution recherchée ;
|
||
— les problèmes atypiques : il s’agit des problèmes verbaux à données numériques
|
||
dont la résolution est possible au cours moyen et qui ne rentrent pas dans les caté-
|
||
gories des problèmes en une ou plusieurs étapes mentionnées précédemment.
|
||
Le fait de les qualifier d’atypiques ne signifie pas qu’il n’y a pas de stratégies
|
||
à faire acquérir pour pouvoir les résoudre. Bien au contraire, des sous-catégories
|
||
clairement identifiées permettront d’enseigner des méthodes de résolution que
|
||
les élèves doivent connaître.
|
||
|
||
Il existe une catégorie de problèmes particuliers, mentionnée explicitement dans le
|
||
programme de cycle 3 : les problèmes de proportionnalité. Ils sont considérés dans
|
||
ce guide comme des problèmes multiplicatifs en une étape, comme cela est le cas
|
||
habituellement dans les articles de recherche16 , dans la mesure où leur traitement
|
||
nécessite généralement une unique multiplication entre un rapport et une grandeur.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Un marcheur parcourt 2 km en 20 minutes.
|
||
Combien de temps ce marcheur mettra-t-il pour parcourir 6 km en continuant
|
||
à marcher à la même vitesse ? »
|
||
|
||
Pour ce problème de proportionnalité, la procédure la plus efficace consiste à
|
||
multiplier la durée de 20 minutes par 3 ; 3 étant le rapport qui permet de passer de
|
||
2 km à 6 km, rapport qui est évident pour un élève de cours moyen, 6 km étant le
|
||
triple de 2 km.
|
||
|
||
Cependant, en pratique, au cours moyen, les élèves ont souvent besoin d’effectuer
|
||
deux étapes de calcul, comme l’illustre l’exemple suivant :
|
||
|
||
« Dans une recette pour 4 personnes, il faut 75 g de beurre. Pour un banquet,
|
||
un restaurateur doit préparer ce plat pour 92 personnes.
|
||
Quelle masse de beurre sera nécessaire pour préparer ce plat pour le banquet ? »
|
||
|
||
15 — Catherine Houdement, « Résolution de problèmes arithmétiques
|
||
à l’école », Grand N, n° 100, Irem de Grenoble, 2017.
|
||
16 — Jean-Pierre Levain, « La résolution de problèmes multiplicatifs
|
||
à la fin du cycle primaire », Educational Studies in Mathematics, n° 23, 1992.
|
||
18 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
Pour résoudre ce problème, il suffit de connaître le rapport permettant de passer de
|
||
4 personnes à 92 personnes. Pour déterminer ce rapport, les élèves de cours moyen
|
||
effectuent généralement la division 92 ÷ 417, en cherchant la moitié de la moitié de
|
||
92 ou en posant l’opération. Une fois établi que 92 ÷ 4 = 23, et donc qu’il y a 23 fois
|
||
plus de personnes au banquet que de personnes prévues pour la recette, les élèves
|
||
effectuent une seconde étape consistant à multiplier 75 g par 23.
|
||
|
||
On note par ailleurs que les problèmes en une étape nécessitant une multiplication
|
||
comme celui ci-dessous sont bien souvent des cas particuliers de problèmes de
|
||
proportionnalité, pour lesquels la valeur pour une unité est donnée, et la valeur du
|
||
rapport évoqué ci-dessus est évidente :
|
||
|
||
« Une boîte de six œufs coûte 2,30 €. Combien vont coûter 5 boîtes d’œufs ? »
|
||
|
||
Dans ce guide, les problèmes de proportionnalité sont traités comme une catégorie
|
||
à part et assez peu abordés, des documents ressources spécifiques sur le sujet
|
||
étant disponibles sur le site Éduscol18 .
|
||
|
||
Les parties qui suivent proposent, à l’intérieur de chacune des trois catégories
|
||
retenues, une classification plus détaillée des types de problèmes que les élèves
|
||
doivent apprendre à résoudre au cours moyen. Cette organisation est résumée
|
||
dans le graphique ci-dessous. Elle doit permettre d’aider les professeurs à struc-
|
||
turer l’enseignement de la résolution de problèmes dans leur classe.
|
||
|
||
|
||
Les problèmes en une étape
|
||
Multiplicatifs Comparaison
|
||
Additifs Plusieurs
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||
Valeur Produit cartésien
|
||
éléments
|
||
Parties-tout du tout ?
|
||
identiques Produit ? Un facteur ?
|
||
Parties- Transformation Nombre Valeur
|
||
tout de parts ? d’une part ?
|
||
Produit de grandeurs
|
||
|
||
Comparaison Proportionnalité Produit ? Un facteur ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Les problèmes en plusieurs étapes
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Additifs Multiplicatifs Mixtes
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Les problèmes atypiques
|
||
|
||
Les problèmes algébriques Les problèmes préparant à l’utilisation
|
||
d’algorithmes
|
||
|
||
Les problèmes de dénombrement Les problèmes d’optimisation
|
||
|
||
|
||
|
||
Figure 1. Une classification des problèmes que les élèves doivent apprendre à résoudre au cours moyen.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
17 — Dans ce guide, l’obélus « ÷ » sera utilisé comme symbole pour
|
||
la division, afin de distinguer ce symbole de celui utilisé pour les ratios « : »
|
||
dans les paragraphes sur la liaison avec le collège.
|
||
18 — https://eduscol.education.fr/251/mathematiques-cycle-3
|
||
19 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
Les problèmes en une étape
|
||
|
||
Les problèmes en une étape sont les problèmes verbaux à données numériques qui se
|
||
traitent en effectuant une des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication
|
||
ou division). La modélisation d’un de ces problèmes consiste donc à reconnaître qu’il
|
||
peut être résolu grâce à une unique opération, en l’identifiant correctement. Une fois
|
||
le calcul effectué, le résultat doit être réinjecté dans la situation, après une éventuelle
|
||
interprétation, pour pouvoir conduire à la réponse au problème.
|
||
|
||
Les quatre problèmes ci-dessous, proposés par Catherine Houdement19, sont des
|
||
exemples de problèmes en une étape.
|
||
|
||
— Problème 1 : « Un massif de fleurs est formé de 60 tulipes rouges et de 15 tulipes noires.
|
||
Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
|
||
— Problème 2 : « Un massif est formé de 60 rangées, toutes de 15 tulipes.
|
||
Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
|
||
— Problème 3 : « Un massif de 60 fleurs est composé de tulipes et de 15 jonquilles.
|
||
Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
|
||
— Problème 4 : « 60 tulipes sont disposées en 15 massifs tous identiques.
|
||
Combien y a-t-il de tulipes dans un massif ? »
|
||
|
||
Ces problèmes parlent tous de massifs de fleurs et de tulipes et contiennent, tous,
|
||
les nombres 60 et 15. Cependant la modélisation conduit, pour chacun d’eux,
|
||
à la mobilisation d’une opération différente. Un adulte modélise, de façon quasi-
|
||
automatisée, ces types de problèmes en s’appuyant sur sa compréhension de la
|
||
situation, sur ses connaissances mathématiques et sur sa mémoire de modèles
|
||
de problèmes déjà résolus. Au cours moyen, ces automatisations sont encore en
|
||
cours de construction et ont besoin d’être travaillées en faisant des liens explicites
|
||
avec les problèmes déjà résolus, en s’appuyant notamment sur des schémas qui
|
||
permettent de mettre en évidence des similitudes structurales entre les problèmes.
|
||
Comme l’illustrent ces situations, les liens entre les entités présentes dans l’énoncé
|
||
(tulipes, jonquilles, fleurs, massifs, rangées) ne sont pas sans effet sur la difficulté
|
||
à résoudre le problème ; ils peuvent, selon les cas, faciliter ou non l’évocation de
|
||
l’opération mathématique qu’il faut faire pour résoudre le problème. Des travaux
|
||
de psychologie expérimentale faisant appel à des « techniques d’amorçage » ont
|
||
ainsi montré que la paire (orange, pomme) amorce une addition contrairement à
|
||
la paire (orange, panier) 20. Le chapitre 3 revient en détail sur ces indices présents
|
||
dans les énoncés et leur prise en compte pour l’enseignement de la résolution
|
||
de problèmes.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
19 — Ibid, p. 17, note 15.
|
||
20 — Miriam Bassok, Samuel Pedigo, An Oskarsson, “Priming Addition
|
||
Facts With Semantic Relations”, Journal of Experimental Psychology.
|
||
Learning, Memory, and Cognition, n° 34, 2008.
|
||
20 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
Les problèmes en une étape ont fait l’objet de nombreuses études à partir des années
|
||
1980, notamment pour établir des classifications21 . Ces classifications ne sont pas
|
||
destinées aux élèves et ne doivent pas être enseignées ; un tel enseignement pourrait
|
||
nuire à la construction d’un sens suffisamment général pour chaque opération et
|
||
pour les liens entre ces opérations. Leur fonction principale est de permettre aux
|
||
professeurs de s’assurer qu’ils confrontent effectivement les élèves à l’ensemble
|
||
des situations possibles, sans se limiter à quelques situations prototypiques, et de
|
||
pouvoir anticiper la difficulté des problèmes proposés aux élèves. Elles permettent
|
||
également de s’appuyer sur des problèmes résolus antérieurement par les élèves
|
||
pour faciliter la résolution de nouveaux problèmes plus difficiles, en travaillant les
|
||
points communs qui peuvent être repérés entre ces différentes classes de problèmes,
|
||
et ainsi faciliter le transfert d’apprentissage.
|
||
|
||
On considère généralement deux catégories de problèmes en une étape :
|
||
|
||
— les problèmes additifs, pour lesquels il va falloir additionner ou soustraire deux
|
||
nombres, ou plus22, de l’énoncé ;
|
||
— les problèmes multiplicatifs, pour lesquels il va falloir multiplier ou diviser deux
|
||
nombres de l’énoncé.
|
||
|
||
Il est préférable de se limiter à ces deux catégories sans chercher à distinguer les
|
||
problèmes selon l’opération en jeu ; on évitera, par exemple, de parler de problèmes
|
||
d’addition ou de problèmes de soustraction. En effet, les élèves en réussite sont
|
||
ceux qui peuvent passer aisément d’une opération à l’autre à l’intérieur de ces deux
|
||
grandes catégories. Ainsi, pour un problème les conduisant au calcul 65 – 58, les
|
||
élèves en réussite n’effectuent pas forcément la soustraction, mais recherchent
|
||
plutôt le complément dans une addition à trou 58 + ? = 65, et inversement pour
|
||
une addition à trou comme 5 + ? = 102, ils effectuent plutôt la soustraction 102 – 5.
|
||
L’utilisation flexible de l’une ou l’autre opération en fonction des nombres en jeu est
|
||
un indicateur d’une bonne connaissance des opérations. Par exemple, la faculté
|
||
de passer indifféremment d’une addition à trou à une soustraction et vice-versa
|
||
est une marque de la compréhension du fait que l’addition et la soustraction sont
|
||
deux opérations réciproques l’une de l’autre. Cette flexibilité peut être d’autant
|
||
plus intéressante à travailler avec des énoncés qui orientent vers tel ou tel calcul.
|
||
Pour reprendre le contexte précédent, un énoncé tel que « Il y a 65 tulipes. 58 sont
|
||
cueillies. Combien reste-t-il de tulipes ? » oriente plus vers une soustraction que
|
||
l’énoncé « Il y a 65 tulipes. Après la cueillette, il en reste 58. Combien de tulipes
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
21 — Mary Riley, James Greeno, Joan Heller, “Development of
|
||
Children’s Problem Solving Ability in Arithmetic”, in Herbert P. Ginsburg,
|
||
The Development of Mathematical Thinking, Academic Press, New York, 1983.
|
||
Gérard Vergnaud, “A Classification of Cognitive Tasks and Operations
|
||
of Thought Involved in Addition and Subtration Problems”, dans Thomas
|
||
P. Carpenter, James M. Moser, Thomas A. Romberg (eds.), Addition
|
||
and Subtraction: A Cognitive Perspective, Hillsdale: Erlbaum, 1982.
|
||
22 — On peut ajouter plus de deux nombres dans les problèmes à une
|
||
étape (« Lou a 6 billes rouges, 8 billes vertes et 13 billes bleues. Combien
|
||
Lou a-t-elle de billes ? »).
|
||
21 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
ont été cueillies ? », qui lui oriente vers une addition ou une soustraction à trou. Il y a
|
||
un enjeu fort d’apprentissage à ce que les élèves puissent être flexibles dans le choix
|
||
de leur stratégie de calcul23.
|
||
|
||
Les problèmes en une étape sont en quelque sorte les briques élémentaires formant la
|
||
plupart des problèmes verbaux que vont devoir résoudre les élèves de cours moyen.
|
||
|
||
|
||
|
||
Les problèmes additifs
|
||
|
||
Les problèmes additifs en une étape ont fait l’objet d’une classification assez précise
|
||
dès le début des années 1980 par Riley et al. 24 . Chacun des cas de cette classification
|
||
est accompagné des taux de réussite d’élèves d’écoles primaires américaines, de
|
||
l’équivalent de la grande section (5 ans) au CE2 (8 ans). Une traduction en français
|
||
d’une partie de cette classification est fournie dans le tableau ci-après25.
|
||
|
||
|
||
TYPES DE PROBLÈMES TAUX DE RÉUSSITE
|
||
PROBLÈMES DE CHANGEMENT Mat. CP CE1 CE2
|
||
X avait 3 billes. Puis Y lui a donné 5 billes.
|
||
Changement 1 0,87 1,00 1,00 1,00
|
||
Combien de billes a maintenant X ?
|
||
X avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Y.
|
||
Changement 2 1,00 1,00 1,00 1,00
|
||
Combien de billes a maintenant X ?
|
||
X avait 3 billes. Y lui en a donné.
|
||
Changement 3 X a maintenant 8 billes. 0,61 0,56 1,00 1,00
|
||
Combien de billes Y a-t-il donné à X ?
|
||
X avait 8 billes. Il en a donné à Y.
|
||
Changement 4 Maintenant X a 3 billes. 0,91 0,78 1,00 1,00
|
||
Combien a-t-il donné de billes à Y ?
|
||
X avait des billes. Y lui en a donné
|
||
5 de plus.
|
||
Changement 5 0,09 0,28 0,80 0,95
|
||
Maintenant X a 8 billes.
|
||
Combien X avait-il de billes ?
|
||
X avait des billes. Il en a donné 5 à Y.
|
||
Changement 6 Maintenant X a 3 billes. 0,22 0,39 0,70 0,80
|
||
Combien avait-il de billes ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
23 — Lieven Verschaffel, Koen Luwel, Joke Torbeyns, Wim Dooren,
|
||
“Conceptualizing, Investigating, and Enhancing Adaptive Expertise
|
||
in Elementary Mathematics Education”, European Journal of Psychology
|
||
of Education, n° 24, 2009.
|
||
24 — Ibid, p. 20, note 21.
|
||
25 — Michel Fayol, Catherine Thevenot, Michel Dévidal, « La résolution
|
||
de problèmes », dans Marie-Pascale Noël, La Dyscalculie : trouble
|
||
du développement numérique de l’enfant, Solal, 2005.
|
||
22 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
TYPES DE PROBLÈMES TAUX DE RÉUSSITE
|
||
PROBLÈMES DE COMBINAISON
|
||
X a 3 billes. Y a 5 billes.
|
||
Combinaison
|
||
Combien X et Y ont-ils de billes 1,00 1,00 1,00 1,00
|
||
1
|
||
ensemble ?
|
||
Combinaison X et Y ont ensemble 8 billes. X a 3 billes.
|
||
0,22 0,39 0,70 1,00
|
||
2 Combien Y a-t-il de billes ?
|
||
PROBLÈMES DE COMPARAISON
|
||
Comparaison X a 8 billes. Y a 5 billes.
|
||
0,17 0,28 0,85 1,00
|
||
1 Combien X a-t-il de billes de plus que Y ?
|
||
Comparaison X a 8 billes. Y a 5 billes.
|
||
0,04 0,22 0,75 1,00
|
||
2 Combien Y a-t-il de billes de moins que X ?
|
||
Comparaison X a 3 billes. Y a 5 billes de plus que X.
|
||
0,13 0,17 0,80 1,00
|
||
3 Combien Y a-t-il de billes ?
|
||
Comparaison X a 8 billes. Y a 5 billes de moins que X.
|
||
0,17 0,28 0,90 0,95
|
||
4 Combien Y a-t-il de billes ?
|
||
Comparaison X a 8 billes. Il a 5 billes de plus que Y.
|
||
0,17 0,11 0,65 0,75
|
||
5 Combien Y a-t-il de billes ?
|
||
Comparaison X a 3 billes. Il a 5 billes de moins que Y.
|
||
0,00 0,06 0,35 0,75
|
||
6 Combien Y a-t-il de billes ?
|
||
|
||
Figure 2. Classification de Riley et al.
|
||
|
||
|
||
Les classifications produites au début des années 1980 ont ainsi permis de mettre
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en lumière que l’opération en jeu n’était pas la seule difficulté des problèmes arith-
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métiques. La résolution du problème « Paul avait 3 billes. Puis Pierre lui a donné
|
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5 billes. Combien de billes a Paul maintenant ? » (du type « changement 1 » dans le
|
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tableau ci-dessus) ne pose généralement pas de difficultés aux élèves de première
|
||
année d’école élémentaire, tandis que le problème « Paul avait des billes. Il en a donné
|
||
5 à Pierre. Maintenant, Paul a 3 billes. Combien Paul avait-il de billes ? » (du type
|
||
« changement 6 » dans le tableau ci-dessus) pose encore des difficultés aux élèves
|
||
en troisième année d’école élémentaire, alors que pour les deux problèmes la même
|
||
opération 5 + 3 est attendue.
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||
Au-delà du type de problème issu de cette classification, de nombreux autres facteurs
|
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peuvent également être sources de difficultés pour les élèves. Le chapitre 3 permet
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d’explorer un certain nombre d’entre eux.
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||
Dans la suite de ce guide, deux sous-catégories seront considérées pour les pro-
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blèmes additifs :
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— D’une part, les problèmes de parties-tout : ce sont des problèmes où deux parties
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distinctes (parfois plus) forment ensemble un tout. Il est à noter que les parties
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peuvent être statiques (billes rouges/billes bleues) ou dynamiques dans le cadre
|
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d’une transformation (billes gagnées ou perdues/billes restantes).
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23 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
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Exemples :
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– « Une pastèque et un ananas pèsent ensemble 3,350 kg. La pastèque pèse
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2,850 kg.
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Quelle est la masse de l’ananas ? »
|
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– « Une bouteille contient 0,5 L d’eau. On ajoute un quart de litre d’eau dans
|
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la bouteille.
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Quel volume d’eau la bouteille contient-elle maintenant ? »
|
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Ce regroupement entre les problèmes de combinaison statique et de trans
|
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formation dynamique en une seule catégorie ne va pas de soi. Il suppose en
|
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effet qu’un état initial et une évolution temporelle puissent être assimilés à des
|
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parties d’un ensemble et qu’un état final puisse être assimilé à une totalité.
|
||
Cette possibilité a l’intérêt de conduire à ce que les énoncés qui relèvent des
|
||
catégories de problèmes de combinaison et de changement puissent se prêter
|
||
à une représentation commune. Elle peut paraître relativement simple pour
|
||
certains élèves, mais peut avoir besoin d’être travaillée avec d’autres. Ainsi, bien
|
||
que pouvant être résolu par une simple addition, le problème « Léa avait des billes.
|
||
Elle perd 4 billes à la récréation. Il lui reste 3 billes. Combien Léa avait-elle de
|
||
billes au début de la récréation ? » n’est réussi que tardivement à l’école primaire,
|
||
comme l’indique le tableau précédent, car sachant ce qui a été perdu et ce qu’il
|
||
reste, cela n’a rien d’évident de « remonter le temps » pour trouver la quantité
|
||
d’origine par une addition. Cela ne va pas nécessairement de soi de concevoir
|
||
la quantité initiale comme un tout ayant pour parties ce qui a été perdu et ce qui
|
||
reste. En revanche, l’énoncé « Léa avait des billes bleues et des billes rouges.
|
||
Elle perd ses 4 billes rouges à la récréation. Il lui reste ses 3 billes bleues. C
|
||
ombien
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||
Léa avait-elle de billes au début de la récréation ? » induit une partition en deux
|
||
sous-ensembles qui aide à percevoir la quantité de départ comme somme de billes
|
||
perdues (rouges) et restantes (bleues). La présence des couleurs rend saillant
|
||
un codage alternatif d’union de deux parties pour trouver un tout, et cet énoncé
|
||
est bien mieux réussi que le précédent26.
|
||
|
||
— D’autre part, les problèmes de comparaison, au sein desquels deux entités sont
|
||
mises en relation, sont comparées.
|
||
|
||
Exemple : « Une bouteille contient 0,75 L d’eau. Un verre contient un demi-litre
|
||
d’eau de moins que la bouteille. Quel volume d’eau le verre contient-il ? »
|
||
|
||
Afin d’unifier au maximum la représentation des problèmes additifs, certains cher-
|
||
cheurs proposent de représenter les problèmes de comparaison selon un format
|
||
parties-tout27 ; ce choix ne sera pas retenu dans la suite de ce guide, car il implique
|
||
un niveau d’abstraction élevé afin de considérer l’écart comme une partie virtuelle.
|
||
Un format distinct de schématisation où les grandeurs comparées sont représentées
|
||
par deux ensembles distincts sera utilisé, comme cela est développé au chapitre 4.
|
||
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||
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||
26 — Emmanuel Sander, Jean-François Richard, « Les apprentissages
|
||
numériques », dans Raphaële Miljkovitch, Françoise Morange-Majoux,
|
||
Emmanuel Sander (dir.), Psychologie du développement, Elsevier-Masson,
|
||
Paris, 2017.
|
||
27 — Catherine Sophian, The Origins of Mathematical Knowledge
|
||
in Childhood, Routledge, New York, 2007.
|
||
24 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
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||
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||
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||
Les problèmes multiplicatifs
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||
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Les problèmes multiplicatifs en une étape ont fait l’objet de moins de recherches que
|
||
les problèmes additifs. Il apparaît néanmoins que le type de problème, la nature des
|
||
grandeurs en jeu (quantités, longueurs, prix, masses, etc.), les ensembles auxquels
|
||
appartiennent les nombres en jeu dans l’énoncé (entiers, décimaux, fractions),
|
||
les liens qu’entretiennent entre eux ces nombres, ainsi que l’opération attendue
|
||
(multiplication ou division) ont un impact sur la réussite des élèves28 .
|
||
|
||
Les compétences en calcul des élèves ont évidemment aussi une influence sur
|
||
l’aisance avec laquelle les problèmes multiplicatifs seront résolus. Voici pour mémoire
|
||
les attendus institutionnels concernant le calcul posé29 :
|
||
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Multiplication Division
|
||
Multiplication d’un nombre entier à
|
||
Cycle 2 deux ou trois chiffres par un nombre
|
||
entier à un ou deux chiffres.
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Multiplication de deux nombres Division euclidienne de deux
|
||
CM1
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||
entiers. nombres entiers.
|
||
Division décimale de deux nombres
|
||
Multiplication d’un nombre décimal entiers.
|
||
CM2
|
||
par un nombre entier. Division d’un nombre décimal
|
||
par un nombre entier.
|
||
Multiplication de deux nombres
|
||
6e
|
||
décimaux.
|
||
|
||
D’autres modes de calcul et en particulier le calcul mental ou en ligne, avec un
|
||
éventuel appui sur des faits numériques mémorisés ou la manipulation de matériel
|
||
de numération ou l’utilisation de dessins, schémas ou tableaux peuvent permettre
|
||
de résoudre des problèmes multiplicatifs en une étape, au cours moyen comme au
|
||
cycle 2, avant que les algorithmes de calcul posé n’aient été introduits.
|
||
|
||
LES PROBLÈMES DANS LESQUELS UNE MÊME GRANDEUR (QUANTITÉ,
|
||
LONGUEUR, MASSE, ETC.) APPARAÎT UN CERTAIN NOMBRE DE FOIS
|
||
Au cycle 3 comme au cycle 2, la plupart des problèmes multiplicatifs correspondent
|
||
à des situations mettant en jeu une même grandeur un certain nombre de fois.
|
||
Ces problèmes mettent généralement en jeu trois données numériques, dont deux
|
||
sont connues :
|
||
|
||
— le nombre de parts, le nombre de fois où la grandeur apparaît ;
|
||
— la valeur d’une part, la mesure de la grandeur qui apparaît (quantité, longueur,
|
||
masse, volume, etc.) et qui est répétée ;
|
||
— la valeur totale, la valeur de la grandeur au total, en prenant en compte le nombre
|
||
de fois où la grandeur apparaît.
|
||
|
||
28 — Ibid, p. 17, note 16.
|
||
29 — Attendus de fin d’année et repères annuels de progression pour
|
||
les cycles 2 et 3, https://eduscol.education.fr/137/attendus-de-fin-d-
|
||
annee-et-reperes-annuels-de-progression-du-cp-la-3e
|
||
25 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
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||
Ces trois données sont liées par la relation :
|
||
le nombre de parts x la valeur d’une part = la valeur totale.
|
||
Le problème consiste à trouver un des trois nombres à partir des deux autres. Si on
|
||
cherche la valeur totale, il faut faire une multiplication. Si on cherche le nombre
|
||
de parts ou la valeur d’une part, il faut effectuer une division.
|
||
|
||
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||
TROIS EXEMPLES DE PROBLÈMES MULTIPLICATIFS
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||
Voici trois exemples de problèmes pour lesquels il faut effectuer une multiplication :
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— « Arthur a acheté 6 bouteilles d’huile de 0,75 L.
|
||
Quel volume d’huile a-t-il acheté ? »
|
||
— « En configuration football, le Stade de France a une capacité de 80 698 places.
|
||
Quelle sera la recette maximale d’un match pour lequel toutes les places sont
|
||
vendues à 17 € ? »
|
||
— « En vitesse de croisière, l’Airbus A330 vole à 860 km/h.
|
||
Quelle distance parcourt-il à cette vitesse en trois heures et demi ? »
|
||
|
||
Dans ces problèmes, les éléments en jeu sont les suivants :
|
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Nombre de parts Valeur d’une part Valeur totale
|
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Volume d’huile
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Nombre de bouteilles : Volume d’huile dans
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Arthur au total dans les
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6 une bouteille : 0,75 L
|
||
6 bouteilles : 4,5 L
|
||
Nombre de places Recette totale si les
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||
Stade
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dans le Stade Prix d’une place : 17 € 80 698 places sont
|
||
de France
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de France : 80 698 vendues : 1 371 866 €
|
||
Distance parcourue
|
||
Nombre d’heures Distance parcourue
|
||
A330 en 3,5 heures :
|
||
de vol : 3,5 en une heure : 860 km
|
||
3 010 km
|
||
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||
|
||
Au cycle 2, les élèves peuvent souvent trouver le résultat d’un problème relevant
|
||
de la multiplication en effectuant une ou plusieurs additions. Les professeurs
|
||
sont alors amenés à augmenter la valeur des nombres en jeu afin d’encourager
|
||
l’utilisation de la multiplication. La même action, c’est-à-dire de ne pas se restreindre
|
||
à des scénarios pour lesquels la résolution par quelques additions mène à la
|
||
solution, est à encourager au cours moyen ; elle est facilitée par l’augmentation du
|
||
champ numérique maîtrisé par les élèves et la généralisation de l’algorithme de
|
||
multiplication posée à l’ensemble des entiers au début du CM1.
|
||
|
||
Il est à noter que ces problèmes sont fréquemment des problèmes de proportionnalité
|
||
pour lesquels la valeur pour une unité est donnée. Par exemple, pour le problème
|
||
d’Arthur ci-dessus, le volume d’huile dans 1 bouteille est donné. Il convient de faire
|
||
percevoir la présence de cette relation de proportionnalité30, au cours élémentaire
|
||
comme au cours moyen, en verbalisant cette relation : « Dans 1 bouteille, il y a
|
||
0,75 litre d’huile, donc si j’achète 6 fois plus de bouteilles, j’aurai 6 fois plus d’huile
|
||
|
||
|
||
|
||
30 — Ibid, p. 17, note 16.
|
||
26 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
donc 6 x 0,75 litres. » Cette vision d’un scalaire31, correspondant au rapport entre le
|
||
nombre de bouteilles achetées et 1 bouteille, multiplié par le volume d’une bouteille,
|
||
est sans doute une façon assez simple pour lier les grandeurs en jeu dans le
|
||
problème : 6 x 0,75 litre = 4,5 litres.
|
||
|
||
Les problèmes proposés ci-dessus peuvent être modifiés, en changeant ce qui doit
|
||
être trouvé :
|
||
|
||
— On peut ainsi faire chercher la valeur d’une part : « Arthur a acheté 6 bouteilles
|
||
identiques d’huile d’olive. Il a ainsi acheté 4,5 L d’huile d’olive. Quelle est la
|
||
contenance d’une bouteille d’huile d’olive ? »
|
||
— On peut également inviter les élèves à trouver le nombre de parts : « Arthur a
|
||
acheté des bouteilles identiques d’huile d’olive. Chaque bouteille contient 0,75 L
|
||
d’huile d’olive et il a acheté 4,5 L d’huile d’olive en tout. Quel est le nombre de
|
||
bouteilles d’huile d’olive achetées par Arthur ? »
|
||
|
||
Il est important de travailler à la fois des problèmes de recherche de la valeur d’une
|
||
part et des problèmes de recherche du nombre de parts, les seconds étant en général
|
||
plus difficiles à résoudre que les premiers, car non conformes à la conception intuitive
|
||
de la division, qui oriente vers la recherche de la valeur de la part dans un scénario de
|
||
partage32. Le lien fort entre les trois problèmes sur les bouteilles montre bien l’intérêt
|
||
qu’il y a à travailler conjointement le sens de la multiplication et le sens de la division.
|
||
|
||
|
||
LES PROBLÈMES METTANT EN JEU UNE COMPARAISON MULTIPLICATIVE
|
||
Une deuxième catégorie de problèmes multiplicatifs est rencontrée par les élèves
|
||
de cours moyen. Il s’agit des problèmes de comparaison multiplicative.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Un terrain rectangulaire a une largeur de 78,7 m et une longueur 4 fois plus
|
||
longue que la largeur.
|
||
Quelle est la longueur de ce terrain ? »
|
||
|
||
Les problèmes de comparaison conduisent parfois à des divisions, ce qui peut être
|
||
source de difficultés pour les élèves qui s’appuient sur le mot clé « fois plus » comme
|
||
induisant une multiplication. C’est le cas pour les trois problèmes ci-dessous :
|
||
|
||
— « Un terrain rectangulaire a une longueur de 78,7 m et une largeur 4 fois plus
|
||
courte que la longueur.
|
||
Quelle est la largeur de ce terrain ? »
|
||
|
||
— « Avant travaux, il y avait 550 places assises dans les tribunes du stade. Il y en
|
||
a maintenant 1 650. Pierre dit qu’il y a maintenant 2 fois plus de places assises.
|
||
A-t-il raison ? »
|
||
— « Une grande bouteille contient 5 fois plus de parfum qu’un flacon. La grande
|
||
bouteille contient 0,75 L de parfum.
|
||
Quel volume de parfum contient le flacon ? »
|
||
|
||
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||
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||
31 — Nombre sans unité.
|
||
32 — Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Nello, Maria Marino, “The Role
|
||
of Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and Division”,
|
||
Journal for Research in Mathematics Education, n° 16, 1985.
|
||
27 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
De manière analogue, « fois moins » pourra conduire à une division ou une multi
|
||
plication selon les cas.
|
||
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||
LES PROBLÈMES METTANT EN JEU UN PRODUIT CARTÉSIEN
|
||
Le produit cartésien de deux ensembles est l’ensemble de tous les couples dont la
|
||
première composante appartient au premier ensemble et la seconde au second
|
||
ensemble. Par exemple : « Une poupée est livrée avec 4 pantalons et 12 tee-shirts.
|
||
De combien de façons est-il possible d’habiller la poupée ? »
|
||
|
||
L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples constitués d’un pantalon et d’un
|
||
tee-shirt, c’est-à-dire l’ensemble des tenues complètes que l’on peut constituer.
|
||
On peut représenter l’ensemble de ces solutions en construisant un arbre ou un
|
||
tableau. Par exemple, le tableau ci-dessous donne toutes les tenues possibles pour
|
||
la poupée et permet de les énumérer.
|
||
12 tee-shirts
|
||
4 pantalons
|
||
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||
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||
|
||
|
||
Ce problème peut être résolu en dénombrant les éléments du tableau, mais il peut
|
||
aussi être résolu plus directement, sans passer par une énumération des différentes
|
||
tenues. Ce problème est en effet un problème multiplicatif à une étape : la réponse
|
||
au problème est apportée par la multiplication 12 x 4. Cependant, modéliser ce pro-
|
||
blème par une multiplication ne va pas de soi tant que la multiplication est simplement
|
||
associée aux situations où une même quantité est répétée plusieurs fois : ici, l’énoncé
|
||
ne fait pas apparaître de répétitions. Le tableau ci-dessus permet néanmoins de
|
||
faire le lien avec le sens « addition itérée » de la multiplication : par exemple, on peut
|
||
considérer que pour chacun des 12 tee-shirts, on peut choisir un des 4 pantalons,
|
||
ce qui donne 12 x 4 tenues possibles. De plus, de la même manière, on peut consi-
|
||
dérer que pour chacun des 4 pantalons, on peut choisir un des 12 tee-shirts, ce qui
|
||
donne 4 x 12 tenues possibles. Ces deux façons de choisir répondent bien au même
|
||
problème ; on a donc 4 x 12 = 12 x 4.
|
||
|
||
Cet exemple illustre le fait que les problèmes impliquant des produits cartésiens
|
||
sont généralement difficiles à résoudre pour les élèves, car ils sont en décalage
|
||
avec la conception intuitive de la multiplication comme addition itérée33. Ils facilitent
|
||
cependant la compréhension de la propriété de commutativité de la multiplication.
|
||
|
||
|
||
33 — Ibid, p. 26, note 32.
|
||
28 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
Le problème suivant, dans lequel une collection d’objets est organisée selon un
|
||
quadrillage régulier, relève de la même catégorie de problèmes.
|
||
|
||
« Le salon est rectangulaire, son carrelage est composé de carreaux carrés
|
||
tous de la même taille. Il y a 27 carreaux dans le sens de la largeur et 42 dans
|
||
le sens de la longueur.
|
||
Combien y a-t-il de carreaux sur le sol du salon ? »
|
||
|
||
Chaque carreau du carrelage peut être identifié de façon unique par sa position
|
||
dans le sens de la largeur (ligne) et sa position dans le sens de la longueur (colonne).
|
||
|
||
Réciproquement, la connaissance du tout et d’une des valeurs du produit cartésien
|
||
permet de proposer des problèmes dans lesquels une division ou une multiplication
|
||
à trou doit être menée.
|
||
|
||
— « Le salon est rectangulaire, son carrelage est composé de carreaux carrés tous
|
||
de la même taille. Il y a 1 134 carreaux en tout dans la pièce. Il y a 27 carreaux
|
||
dans le sens de la largeur.
|
||
Combien y a-t-il de carreaux dans le sens de la longueur ? »
|
||
— « Une poupée est livrée avec 13 pantalons différents et des tee-shirts tous différents.
|
||
Léo a trouvé que 91 tenues différentes sont possibles pour habiller la poupée.
|
||
Combien de tee-shirts y a-t-il ? »
|
||
|
||
LES PROBLÈMES METTANT EN JEU UN PRODUIT DE DEUX GRANDEURS
|
||
Le produit cartésien précédent peut être généralisé au produit de deux grandeurs,
|
||
comme dans l’exemple ci-dessous :
|
||
|
||
« Un terrain rectangulaire a une longueur de 38,7 m et une largeur de 15 m.
|
||
Quelle est l’aire de ce terrain ? »
|
||
|
||
Des problèmes impliquant des vitesses peuvent entrer dans cette catégorie, même
|
||
s’ils sont le plus souvent traités comme des problèmes de proportionnalité.
|
||
|
||
« Un train roule à la vitesse constante de 258 km/h.
|
||
Quelle distance va-t-il parcourir en un quart d’heure ? »
|
||
|
||
Au collège, ces problèmes seront plus fréquents avec la rencontre de grandeurs
|
||
quotients et de grandeurs produits (m/s, wattheure, kg/m3, etc.). De façon analogue
|
||
aux cas précédents, la recherche d’un des facteurs du produit conduit à effectuer
|
||
une division.
|
||
|
||
« L’aire d’un rectangle est 259 cm². Sa largeur est 14 cm.
|
||
Quelle est la longueur de ce rectangle ? »
|
||
29 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
Les problèmes en plusieurs étapes
|
||
|
||
Les problèmes en plusieurs étapes sont les problèmes verbaux à données numé-
|
||
riques nécessitant plusieurs calculs successifs (chaque calcul correspondant à une
|
||
étape) pour obtenir le résultat cherché. Il n’y a pas de véritable tâtonnement pour
|
||
ces problèmes, au sens d’essais, même si des choix peuvent être opérés, notamment
|
||
sur le chemin à suivre pour obtenir le résultat. Il est nécessaire de bien comprendre
|
||
les relations entre les données de l’énoncé et ce qui est recherché, afin de construire
|
||
un modèle mathématique de la situation et d’organiser les différents calculs à mener.
|
||
Il faut ensuite réaliser les calculs retenus et interpréter le résultat.
|
||
|
||
Les problèmes en plusieurs étapes sont un objectif majeur de l’enseignement
|
||
de la résolution de problèmes verbaux à données numériques au cours moyen.
|
||
Ils permettent de mieux s’assurer d’une compréhension satisfaisante par les élèves
|
||
du sens des quatre opérations rencontrées à l’école élémentaire. En évitant
|
||
de réduire la résolution de problèmes au fait de « trouver LA bonne opération »,
|
||
ils renforcent la centration des élèves sur la compréhension de l’énoncé et la
|
||
modélisation du problème. La multiplicité des réponses possibles limite fortement
|
||
la possibilité de choisir une opération au hasard et permet ainsi de renforcer la
|
||
garantie de la maîtrise suffisante des connaissances et compétences requises
|
||
lorsqu’un élève a trouvé la bonne réponse.
|
||
|
||
La difficulté des problèmes en plusieurs étapes n’est pas la simple somme des
|
||
difficultés des sous-problèmes en une étape qui les composent. En effet, à cette
|
||
somme s’ajoute la difficulté de la mise en relation de ces différents sous-problèmes
|
||
élémentaires.
|
||
|
||
L’exercice issu de l’évaluation Timss 2015 proposé dans l’introduction est un pro-
|
||
blème en deux étapes.
|
||
|
||
« Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zed.
|
||
Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
|
||
Julien a 4 zeds.
|
||
Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? »
|
||
|
||
Une première étape peut consister à calculer le coût total des deux bouteilles
|
||
(1,87 zed + 3,29 zeds) et la seconde étape conduit à calculer la différence entre
|
||
la somme trouvée et 4 zeds. Ce problème peut être qualifié de problème additif
|
||
en plusieurs étapes, car toutes les étapes consistent en des additions ou des
|
||
soustractions.
|
||
|
||
Voici quelques exemples supplémentaires de problèmes en plusieurs étapes pouvant
|
||
être rencontrés au cours moyen :
|
||
|
||
— « Lydia achète 5 billets de cinéma à 7,30 €. Elle donne un billet de 50 € à l’employé
|
||
de caisse.
|
||
Combien celui-ci va-t-il lui rendre ? »
|
||
30 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
Pour ce problème en deux étapes, on peut commencer par calculer le prix à payer
|
||
en effectuant une multiplication ou une addition puis, dans un deuxième temps,
|
||
soustraire le résultat trouvé à 50 €.
|
||
|
||
— « Hugo vient d’acheter un paquet d’un kilogramme de farine. Il utilise 1 du paquet
|
||
4
|
||
pour faire un gâteau et 1 du paquet pour faire une sauce Béchamel.
|
||
10
|
||
Quelle masse de farine reste-t-il dans le paquet ? »
|
||
|
||
On peut considérer que ce problème est en quatre étapes, puisqu’il peut se résoudre
|
||
en cherchant la masse de farine utilisée pour le gâteau et la masse de farine utilisée
|
||
pour la sauce Béchamel, puis la masse totale utilisée avant de calculer la masse
|
||
restante dans le paquet (on peut aussi soustraire successivement les deux masses
|
||
de farine utilisée au kilogramme initial).
|
||
|
||
— « Un supermarché a commandé une palette de barquettes de fraises. La palette
|
||
est constituée de douze étages de cageots et il y a 5 cageots sur chaque étage.
|
||
Dans chaque cageot, il y a 12 barquettes de 400 g de fraises.
|
||
Quelle masse de fraises y a-t-il sur la palette ? »
|
||
|
||
Ce problème est un problème multiplicatif en trois étapes, qui peuvent dépendre des
|
||
choix faits lors de la modélisation. Il n’y a que des multiplications à réaliser.
|
||
|
||
Pour résoudre des problèmes en une étape, les élèves s’appuient généralement sur
|
||
des problèmes similaires résolus précédemment. Ils développent ainsi des habi-
|
||
letés à traiter ces problèmes avec rapidité et efficacité. Les problèmes en plusieurs
|
||
étapes, étant donné leur variété, obligent les élèves à élaborer leur propre stratégie
|
||
conduisant à renforcer leurs habiletés de résolution de problèmes qui s’appuient
|
||
notamment sur les connaissances développées en résolvant des problèmes en une
|
||
étape : comprendre l’énoncé, chercher pour modéliser (faire des analogies, faire un
|
||
schéma, faire des essais, expérimenter, essayer en remplaçant certaines valeurs
|
||
numériques par d’autres plus simples, etc.), calculer et répondre. De façon symé-
|
||
trique, la résolution de problèmes en plusieurs étapes va permettre de renforcer
|
||
les habiletés de résolution de problèmes en une étape.
|
||
|
||
Les problèmes en plusieurs étapes permettent aussi au professeur de mieux
|
||
évaluer les compétences développées par les élèves, en limitant les faux positifs,
|
||
c’est-à-dire les bonnes réponses obtenues par hasard ou encore en s’appuyant
|
||
sur autre chose que la compréhension de la situation : utilisation de l’opération
|
||
travaillée spécifiquement pendant la semaine ; opération choisie parce qu’elle est
|
||
la mieux maîtrisée ; opération choisie en fonction d’un mot particulier de l’énoncé
|
||
comme « plus », « moins » ou « fois » ; opération choisie en fonction des entités présentes
|
||
dans le texte comme une division pour un énoncé mettant en scène des tables et des
|
||
chaises, etc. En résumé, les problèmes en plusieurs étapes, de par leur diversité,
|
||
limitent les résolutions s’appuyant principalement sur des indices non pertinents.
|
||
31 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
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||
Les problèmes atypiques
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||
Par définition, la catégorie des problèmes atypiques est la plus difficile à circons-
|
||
crire. Elle comprend l’ensemble des problèmes verbaux à données numériques que
|
||
doivent pouvoir traiter les élèves de cours moyen, et qui ne rentrent pas dans les
|
||
catégories des problèmes en une ou plusieurs étapes mentionnées précédemment.
|
||
|
||
Cette catégorie de problèmes est la moins centrale au cours moyen. Elle est lon-
|
||
guement développée dans ce paragraphe, car relativement complexe à circonscrire
|
||
et à maîtriser. Cependant, la longueur de ce paragraphe ne doit être pas interprétée
|
||
abusivement : le cœur de l’activité de résolution de problèmes au cours moyen est
|
||
l’apprentissage de la résolution de problèmes en plusieurs étapes.
|
||
|
||
Il est bien évidemment impossible d’envisager tous les problèmes relevant de cette
|
||
catégorie pouvant être proposés en classe de cours moyen, et a fortiori d’en pro-
|
||
poser une classification exhaustive.
|
||
|
||
Outre les notions mathématiques en jeu, la résolution des problèmes atypiques
|
||
doit permettre aux élèves de développer des compétences transversales, comme
|
||
l’autonomie, la prise de décisions, la créativité, etc., qui leur seront utiles pour la
|
||
suite de la scolarité et dans leur vie quotidienne. Elle doit aussi permettre aux élèves
|
||
de rencontrer un certain nombre de stratégies et de types de raisonnements qu’ils
|
||
pourront transposer, en les adaptant autant que nécessaire, dans la résolution
|
||
d’autres problèmes atypiques.
|
||
|
||
S’il n’est pas possible de faire une classification exhaustive des problèmes atypiques
|
||
que peuvent rencontrer des élèves de cours moyen, il existe néanmoins des familles
|
||
de situations classiques que les élèves doivent avoir rencontrées. La rencontre de
|
||
ces différentes familles ne doit pas être le fruit du hasard mais doit, au contraire,
|
||
être parfaitement organisée de façon à ce que les élèves puissent faire le lien entre
|
||
un problème à résoudre et un problème proche déjà traité précédemment, afin de
|
||
s’inspirer de la méthode de résolution utilisée pour résoudre le nouveau problème
|
||
qui leur est présenté. Pour que les élèves soient en mesure de mettre en œuvre,
|
||
lors de la résolution de nouveaux problèmes, des stratégies déjà éprouvées avec
|
||
succès lors de la résolution de problèmes antérieurement travaillés, il est crucial
|
||
de mettre l’accent sur des indices pertinents susceptibles de guider la mémorisation
|
||
puis l’évocation de ces problèmes.
|
||
|
||
Quatre familles de problèmes atypiques pour lesquelles les élèves doivent avoir
|
||
bénéficié d’un enseignement leur permettant d’acquérir des stratégies et des outils
|
||
pour les résoudre sont considérées dans ce qui suit :
|
||
|
||
— les problèmes algébriques ;
|
||
— les problèmes de dénombrement ;
|
||
— les problèmes préparant à l’utilisation d’algorithmes ;
|
||
— les problèmes d’optimisation.
|
||
32 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
Ces familles sont organisées de la plus fréquemment rencontrée à la plus rarement
|
||
rencontrée au cours moyen. D’autres types de problèmes atypiques peuvent
|
||
bien évidemment être proposés en classe afin que les élèves fassent preuve de
|
||
créativité en mobilisant leurs connaissances pour construire des procédures
|
||
de résolutions originales.
|
||
|
||
|
||
|
||
Les problèmes algébriques
|
||
|
||
Dans les exemples suivants, un problème mathématique de cours moyen sera
|
||
considéré comme étant algébrique s’il peut être traité au cycle 4 par l’écriture et
|
||
la résolution d’une ou de plusieurs équations du premier degré.
|
||
|
||
Exemple 1 : « Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes. Il y a
|
||
trois fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 7 billes vertes de moins
|
||
que de billes bleues. Combien y a-t-il de billes rouges ? »
|
||
|
||
Au cycle 4, ce problème peut être traité en désignant par v le nombre de billes vertes.
|
||
On en déduit qu’il y a 3v billes rouges et (v + 7) billes bleues et on obtient l’équation
|
||
à résoudre :
|
||
v + 3v + (v + 7) = 162
|
||
|
||
Différentes stratégies de résolution devant être mobilisables par des élèves de cours
|
||
moyen seront présentées ci-après.
|
||
|
||
Exemple 2 : « Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. Pour faire chercher
|
||
le nombre de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
|
||
Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la ferme ? »
|
||
|
||
En classe de seconde ce problème pourra être traité en écrivant un système de
|
||
deux équations à deux inconnues. Au cycle 4, les collégiens utiliseront une unique
|
||
inconnue, par exemple p le nombre de poules ; le nombre de lapins se déduit alors
|
||
du nombre de têtes, il est de 40 – p. Le nombre de pattes permet alors d’écrire une
|
||
équation qui conduit à trouver la valeur de p et d’en déduire la solution du problème :
|
||
|
||
2 x p + 4 x (40 – p) = 114
|
||
|
||
Au cours moyen, ce type de problèmes peut être résolu de différentes façons, qui
|
||
seront appliquées dans la suite aux deux exemples précédents. Les principales sont :
|
||
|
||
— Par essais et ajustements : l’élève choisit une valeur pour le nombre ou l’un des
|
||
nombres cherchés, puis l’injecte dans le problème pour voir si cette valeur convient ;
|
||
si ce n’est pas le cas, il fait une autre hypothèse en ajustant avec un nombre plus
|
||
ou moins grand en fonction du résultat obtenu, jusqu’à ce qu’une valeur convienne.
|
||
— Par un traitement pré-algébrique : l’élève produit ce qui s’apparente à une ou
|
||
plusieurs équations qu’il manipule ensuite (combinaisons, substitutions) pour isoler
|
||
une inconnue et en déterminer la valeur ; la représentation dite « en barres » est
|
||
particulièrement adaptée à la résolution des problèmes algébriques à une inconnue.
|
||
— Par un raisonnement s’appuyant sur les résultats obtenus à partir d’une
|
||
hypothèse : ce type de traitement peut, notamment, être utilisé pour traiter les
|
||
problèmes algébriques avec deux inconnues et deux équations.
|
||
33 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
EXEMPLES DE RÉSOLUTIONS DES DEUX PROBLÈMES ALGÉBRIQUES PRÉCÉDENTS
|
||
|
||
POUR CHACUNE DES TROIS STRATÉGIES DE RÉSOLUTION ENVISAGÉES
|
||
|
||
|
||
Dans un paquet de billes Dans une ferme, il y a des lapins
|
||
rouges, vertes ou bleues, et des poules. Pour faire chercher
|
||
il y a 162 billes. Il y a le nombre de poules et de lapins
|
||
trois fois plus de billes à son frère, Cindy lui dit
|
||
rouges que de billes vertes qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
|
||
et 7 billes vertes de moins Combien y a-t-il de poules et combien
|
||
que de billes bleues. y a-t-il de lapins dans la ferme ?
|
||
Combien y a-t-il de billes
|
||
rouges ?
|
||
On suppose qu’il y a 10 billes Comme il y a 40 têtes,
|
||
vertes. il y a 40 animaux.
|
||
3 x 10 billes = 30 billes On peut commencer par supposer
|
||
10 billes + 7 billes = 17 billes que la moitié sont des lapins.
|
||
Il y aurait alors 30 billes 40 – 20 = 20
|
||
rouges et 17 billes bleues.
|
||
S’il y a 20 lapins, alors il y a 20 poules.
|
||
Par essais 10 billes + 30 billes + 17 billes 20 x 4 pattes + 20 x 2 pattes =
|
||
et ajustements = 57 billes 120 pattes
|
||
Il y aurait au total 57 billes, Le nombre de pattes est alors de 120.
|
||
ce qui n’est pas suffisant. Cela fait trop de pattes ; 20 lapins,
|
||
c’est donc trop de lapins.
|
||
On recommence avec
|
||
un nombre plus grand On recommence en supposant
|
||
de billes vertes : on suppose qu’il y a 15 lapins, etc.
|
||
qu’il y a 20 billes vertes, etc.
|
||
|
||
Billes vertes Un rectangle foncé représente
|
||
le nombre de lapins et un rectangle
|
||
Billes rouges 162 clair le nombre de poules.
|
||
40
|
||
Billes bleues 7
|
||
|
||
Têtes lapins poules
|
||
162 – 7 = 155
|
||
Les 5 rectangles violet foncé 114
|
||
identiques correspondent
|
||
Pattes lapins lapins lapins lapins poules poules
|
||
donc à 155 billes.
|
||
Par un
|
||
traitement 40 x 2 = 80
|
||
155 ÷ 5 = 31
|
||
pré-
|
||
Chaque rectangle violet Les 4 rectangles sur la droite
|
||
algébrique
|
||
correspond donc à 31 billes. représentent deux fois le nombre
|
||
Il y a donc 31 billes vertes. de lapins plus deux fois le nombre
|
||
de poules, soit 2 x 40.
|
||
3 x 31 = 93
|
||
Il y a 93 billes rouges. 114 – 80 = 34
|
||
34 ÷ 2 = 17
|
||
Il y a 17 lapins.
|
||
|
||
40 – 17 = 23
|
||
Il y a 23 poules.
|
||
34 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
Dans un paquet de billes Dans une ferme, il y a des lapins
|
||
rouges, vertes ou bleues, et des poules. Pour faire chercher
|
||
il y a 162 billes. Il y a le nombre de poules et de lapins
|
||
trois fois plus de billes à son frère, Cindy lui dit
|
||
rouges que de billes vertes qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
|
||
et 7 billes vertes de moins Combien y a-t-il de poules et combien
|
||
que de billes bleues. y a-t-il de lapins dans la ferme ?
|
||
Combien y a-t-il de billes
|
||
rouges ?
|
||
On suppose qu’il y a 10 billes Comme il y a 40 têtes, il y a
|
||
vertes. 40 animaux, on peut commencer
|
||
Il y a alors 3 x 10 = 30 billes par supposer que la moitié sont
|
||
rouges et 10 + 7 = 17 billes des lapins.
|
||
bleues. S’il y a 20 lapins, alors il y a
|
||
40 – 20 = 20 poules.
|
||
10 + 30 + 17 = 57
|
||
162 – 57 = 105 ; il manque Le nombre de pattes est alors
|
||
Par un donc 105 billes pour atteindre 20 x 4 pattes + 20 x 2 pattes
|
||
raisonnement 162 billes. = 120 pattes.
|
||
déductif 120 pattes – 114 pattes = 6 pattes
|
||
s’appuyant À chaque fois que j’ajoute Cela fait 6 pattes en trop.
|
||
sur une 1 bille verte, j’ajoute 3 billes
|
||
hypothèse rouges et 1 bille bleue. En remplaçant un lapin par
|
||
Cela fait donc 5 billes en plus. une poule, cela fait deux pattes
|
||
105 ÷ 5 = 21 en moins. Il faut donc remplacer
|
||
3 lapins par 3 poules.
|
||
Il faut ajouter 21 billes vertes Il y a 17 lapins et 23 poules.
|
||
et il y en aura alors 10 + 21
|
||
= 31.
|
||
Il y a alors 3 x 31 = 93 billes
|
||
rouges.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Les problèmes de dénombrement
|
||
|
||
On considère ici des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments
|
||
d’un ensemble qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une des quatre
|
||
opérations, et qui, dans le second degré, pourront être résolus en mobilisant de
|
||
nouvelles notions mathématiques (combinaisons, arrangements, etc.). Pour résoudre
|
||
ces problèmes à l’école élémentaire, il va falloir trouver un moyen d’organiser les
|
||
éléments de l’ensemble que l’on cherche à dénombrer pour obtenir la certitude d’avoir
|
||
effectivement trouvé l’ensemble des solutions sans avoir compté plusieurs fois la
|
||
même et sans en avoir oublié. Autrement dit, il s’agit de s’organiser pour énumérer
|
||
sans répétition toutes les solutions d’un problème. Les arbres ou les tableaux se
|
||
montrent particulièrement efficaces pour traiter ce type de problèmes.
|
||
|
||
Exemple 1 : « Combien peux-tu écrire de nombres à deux chiffres en utilisant
|
||
uniquement les chiffres 2, 3, 4 et 5 ? Le même chiffre ne peut être utilisé qu’une fois. »
|
||
35 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
Un tableau permet de faire apparaître l’exhaustivité des 12 réponses trouvées :
|
||
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||
2e chiffre 2 3 4 5
|
||
1er chiffre
|
||
2 - 23 24 25
|
||
3 32 - 34 35
|
||
4 42 43 - 45
|
||
5 52 53 54 -
|
||
|
||
|
||
|
||
Exemple 2 : « Pour se déguiser, un clown
|
||
dispose de :
|
||
– 2 chapeaux (un rouge, un bleu) ;
|
||
– 3 tee-shirts (un violet, un noir, un orange) ;
|
||
– 2 pantalons (un gris, un vert).
|
||
Combien de costumes différents complets,
|
||
avec un chapeau, une veste et un pantalon,
|
||
le clown peut-il faire ?34 »
|
||
|
||
Pour ce problème de produit cartésien de
|
||
trois ensembles, l’utilisation d’un tableau
|
||
proposé dans le cas d’un produit cartésien
|
||
de deux ensembles n’est plus possible du fait
|
||
des trois entrées. Un arbre est sans doute le
|
||
moyen le plus efficace pour s’assurer de l’ex-
|
||
haustivité des 12 costumes complets trouvés.
|
||
|
||
|
||
|
||
Les problèmes préparant
|
||
à l’utilisation d’algorithmes
|
||
|
||
Ces problèmes consistent à rechercher des solutions vérifiant certaines conditions
|
||
parmi un ensemble de cas possibles. Il faut ainsi balayer tous les cas possibles
|
||
et tester, pour chacun de ces cas, s’il vérifie ou non les conditions attendues.
|
||
Un raisonnement en amont ou en parallèle des calculs peut parfois permettre de
|
||
restreindre les cas à tester. De tels problèmes pourront se traiter dans le second
|
||
degré en écrivant un programme permettant de balayer tous les cas possibles et de
|
||
tester, pour chacun d’eux, s’il vérifie ou non les conditions attendues.
|
||
|
||
Au cours moyen, on peut, par exemple, proposer le problème suivant :
|
||
|
||
« Un rectangle a ses côtés qui ont pour longueur des nombres entiers de
|
||
centimètres. Son aire est de 100 cm². Trouve toutes les dimensions possibles
|
||
pour ce rectangle. »
|
||
|
||
|
||
34 — Problème librement inspiré de https://edu1d.ac-toulouse.fr/
|
||
politique-educative-31/ien31-toulouse-sud/files/2019/05/solutions_-
|
||
pb_chercher_%C3%A9nonc%C3%A9s-cycle-2-et-3.pdf
|
||
36 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
On cherche donc les couples de nombres entiers strictement positifs dont le produit
|
||
est 100. L’élève peut commencer par choisir une largeur de 1 cm et chercher s’il existe
|
||
une longueur qui convient, puis continuer avec une largeur de 2 cm, puis 3 cm, etc.
|
||
L’algorithme s’arrête au plus tard pour une largeur de 100 cm. L’élève peut s’arrêter
|
||
à 10 cm avec un argument sur la largeur inférieure à la longueur, ou sur le fait que
|
||
le produit de deux nombres supérieurs à 10 est plus grand que 100 et donc que le
|
||
travail mené avec les nombres de 1 à 10 permet de s’assurer de disposer de tous
|
||
les cas possibles.
|
||
|
||
Le nombre de cas possibles peut nécessiter un raisonnement en amont pour trouver
|
||
l’ensemble des solutions sans tester tous les cas possibles individuellement.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« La somme des chiffres de l’année 2022 est 6.
|
||
Trouve toutes les années entre l’an 2000 et l’an 3000 qui ont une somme de leurs
|
||
chiffres égale à 6. »
|
||
|
||
Au cours moyen, un arbre permet de déterminer l’ensemble des solutions assez faci-
|
||
lement en établissant qu’aucun des trois derniers chiffres ne peut être supérieur à 4.
|
||
|
||
Chiffres Chiffres Chiffres Chiffres
|
||
des milliers des centaines des dizaines des unités
|
||
4 0 0
|
||
1 0
|
||
3
|
||
0 1
|
||
2 0
|
||
2 1 1
|
||
0 2
|
||
3 0
|
||
2 2 1
|
||
1
|
||
1 2
|
||
0 3
|
||
4 0
|
||
3 1
|
||
0 2 2
|
||
1 3
|
||
0 4
|
||
|
||
|
||
Au collège, il est possible, avec Scratch par exemple, d’écrire un programme balayant
|
||
tous les nombres entre 2 000 et 3 000 et testant pour chacun d’eux si la somme de
|
||
ses chiffres est ou non égale à 6, comme celui ci-après35. L’intérêt est alors de pouvoir
|
||
résoudre rapidement des problèmes similaires, mais pour lesquels le nombre
|
||
de solutions plus grand rend une recherche à la main fastidieuse ; par exemple,
|
||
en changeant la valeur de la somme cible, on peut trouver rapidement toutes
|
||
les années pour lesquelles la somme des chiffres est égale à 20.
|
||
|
||
|
||
35 — Un éditeur Scratch en ligne : https://scratch.mit.edu/projects/
|
||
editor/
|
||
37 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Dans certains cas, seules quelques solutions peuvent être demandées, sans que
|
||
l’objectif soit de rechercher l’exhaustivité. Par exemple : « Un enseignant veut faire des
|
||
groupes avec les 30 élèves de sa classe. Chaque groupe doit avoir le même nombre
|
||
d’élèves et chaque groupe doit avoir un nombre impair d’élèves. Donne deux façons
|
||
différentes que l’enseignant peut utiliser pour constituer les groupes.
|
||
Première façon
|
||
— Nombre de groupes :
|
||
— Nombre d’élèves dans chaque groupe :
|
||
Deuxième façon
|
||
— Nombre de groupes :
|
||
— Nombre d’élèves dans chaque groupe :36 »
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
36 — Ce problème est issu de l’évaluation internationale Timss 2019
|
||
proposée par l’IEA (International Association for the Evaluation of
|
||
Educational Achievement), https://timssandpirls.bc.edu/
|
||
38 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
|
||
|
||
|
||
Les problèmes d’optimisation
|
||
|
||
Les problèmes d’optimisation consistent à trouver la meilleure solution possible tout
|
||
en respectant un certain nombre de contraintes. On peut citer l’exemple classique
|
||
consistant à chercher les dimensions que doit avoir une boîte de conserve cylindrique
|
||
de contenance 1 L, permettant d’utiliser le moins de métal possible, c’est-à-dire dont
|
||
la surface extérieure est la plus petite possible. Ce problème est bien évidemment
|
||
irrésoluble en l’état par des élèves de cours moyen, cependant on peut, par exemple,
|
||
faire comparer les aires des surfaces extérieures de quelques emballages alimen-
|
||
taires ayant tous la même contenance et la forme d’un pavé droit.
|
||
|
||
De manière plus générale, au cours moyen, les problèmes d’optimisation consisteront
|
||
à trouver la meilleure solution possible parmi un ensemble fini de solutions, comme
|
||
dans le problème suivant : « Parmi les rectangles qui ont leurs côtés mesurant un
|
||
nombre entier de centimètres et dont le périmètre est 20 cm, détermine celui qui a
|
||
la plus grande aire. »
|
||
|
||
Au cours moyen, les problèmes d’optimisation peuvent également consister à trouver
|
||
la meilleure solution respectant plusieurs contraintes comme dans les problèmes
|
||
suivants :
|
||
|
||
— « Célia a 12 longueurs de fil, 40 perles rondes et 48 perles plates. Elle utilise
|
||
1 longueur de fil, 10 perles rondes et 8 perles plates pour fabriquer 1 bracelet.
|
||
Si Célia fabrique des bracelets tous identiques, combien peut-elle en fabriquer ?37 »
|
||
— « Lors d’une expédition en Amazonie, 21 voyageurs avec 45 caisses de matériel
|
||
doivent utiliser une pirogue pour se rendre au point de départ de leur expé
|
||
dition. Le conducteur de la pirogue leur annonce qu’il ne peut transporter que
|
||
5 voyageurs à la fois, car il n’a que 5 gilets de sauvetage en plus du sien. Pour des
|
||
raisons de place dans la pirogue, il ne peut transporter que 7 caisses de matériel
|
||
à la fois, quel que soit le nombre de personnes transportées.
|
||
Combien faut-il prévoir de voyages en pirogue pour transporter l’intégralité des
|
||
voyageurs et de leur équipement ? »
|
||
|
||
Pour chacun de ces deux problèmes, il faut effectuer un calcul de nombre de parts
|
||
pour chacune des données à prendre en compte. Pour le premier problème, c’est la
|
||
valeur minimale qui doit être retenue (Célia a des fils pour fabriquer 12 bracelets,
|
||
des perles rondes pour fabriquer 4 bracelets et des perles plates pour fabriquer
|
||
6 bracelets ; elle ne peut donc fabriquer que 4 bracelets). Pour le second problème,
|
||
c’est la valeur maximale qu’il faut retenir (pour transporter les voyageurs, il faut
|
||
prévoir 5 voyages et pour transporter le matériel, il faut prévoir 7 voyages ; il faudra
|
||
donc prévoir 7 voyages).
|
||
|
||
|
||
|
||
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||
37 — Ce problème est issu de l’évaluation internationale Timss 2015
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proposée par l’IEA (International Association for the Evaluation of
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Educational Achievement), https://timssandpirls.bc.edu/
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40 — Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?
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En résumé
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Pour résoudre des problèmes, les enfants comme
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les adultes s’appuient en priorité sur leur mémoire
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de problèmes résolus. L’enseignement de la résolution
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de problèmes a donc pour objectif d’engager les élèves
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dans la résolution d’une grande diversité de problèmes
|
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et de leur donner les moyens de repérer, parmi les problèmes
|
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résolus antérieurement, ceux susceptibles de les aider
|
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dans la résolution de nouveaux problèmes.
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Classer les problèmes n’est pas un objectif d’enseignement
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et n’est pas une tâche dévolue aux élèves. Une classification
|
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des problèmes permet au professeur de structurer
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son enseignement, afin de s’assurer que les problèmes
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traités couvrent l’ensemble du spectre des problèmes
|
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devant pouvoir être résolus par des élèves de cours moyen.
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Au cours moyen, le traitement de certains problèmes
|
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est quasi automatisé. Pour d’autres problèmes,
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en particulier une bonne partie des problèmes en plusieurs
|
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étapes et les problèmes atypiques, le traitement peut faire
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appel à une combinaison de stratégies utilisées dans divers
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problèmes avec une adaptation à la situation précise
|
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du problème.
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II
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Qu’est-ce que
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résoudre un problème ?
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42 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
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Ce chapitre a pour objectif de fournir un cadre permettant
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de décomposer, en plusieurs phases, la résolution
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||
de problèmes verbaux à données numériques. L’objectif
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de cette décomposition en phases est de permettre d’analyser
|
||
finement les productions, orales ou écrites, de résolution
|
||
de problèmes des élèves, afin de pouvoir accompagner
|
||
le plus précisément possible leurs apprentissages
|
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en intervenant spécifiquement, et de façon appropriée,
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sur les points qui posent des difficultés à chacun d’entre eux.
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Quatre phases fondamentales
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pour la résolution de problèmes :
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comprendre, modéliser, calculer
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et répondre
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George Pólya, mathématicien américain d’origine hongroise et suisse, a été un des
|
||
premiers à formaliser, dès 1945, une structure en plusieurs étapes du processus
|
||
de résolution de problèmes : comprendre le problème, concevoir un plan, mettre
|
||
le plan à exécution et examiner la solution obtenue38 . De nombreuses recherches
|
||
menées depuis ont conduit à affiner le processus de résolution de problèmes.
|
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||
« L’application des mathématiques pour résoudre des problèmes situés Lieven Verschaffel,
|
||
dans le monde réel, également appelée modélisation mathématique, Erik De Corte,
|
||
peut être conçue comme un processus complexe comprenant plusieurs « La modélisation et la
|
||
étapes : la compréhension de la situation décrite ; la construction d’un résolution des problèmes
|
||
modèle mathématique qui décrit l’essence de ces éléments et les relations d’application : de
|
||
significatives impliquées dans la situation ; l’application du modèle l’analyse à l’utilisation
|
||
mathématique pour identifier ce qui en découle ; l’interprétation du résultat efficace », dans
|
||
des calculs afin de parvenir à une solution de la situation pratique qui a donné Marcel Crahay, Lieven
|
||
lieu au modèle mathématique ; l’évaluation du résultat interprété en relation Verschaffel, Erik De Corte,
|
||
à la situation d’origine ; et la communication des résultats interprétés. » Jacques Grégoire
|
||
(dir.), Enseignement
|
||
et apprentissage
|
||
des mathématiques.
|
||
Que disent les recherches
|
||
psychopédagogiques ?,
|
||
De Boeck, Bruxelles, 2008.
|
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||
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||
38 — George Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod,
|
||
Paris, 1965.
|
||
43 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Un modèle fréquemment cité dans les recherches actuelles est celui de Lieven
|
||
Verschaffel et Erik De Corte39 reproduit ci-dessous.
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Connaissance Les buts de
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du phénomène modélisation
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Phénomène Compréhension Type Modélisation Modèle
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à investiguer de situation mathématique
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Analyse mathématique
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Évaluation
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Possibilié
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de retour Ressources
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dans le cycle
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Résultats Compréhension
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Communication Résultats Modélisation
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Interprétation Dérivation
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communiqués interprétés du modèle
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Comparaison
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Exigences avec des
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de la tâche modèles
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alternatifs
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Figure 3. Vision élaborée du processus de résolution selon Lieven Verschaffel et Erik De Corte.
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Ce modèle permet d’appréhender la complexité de la tâche des élèves pour
|
||
résoudre les problèmes qui leur sont proposés ainsi que celle des professeurs
|
||
pour analyser les difficultés rencontrées par les élèves et leurs éventuelles erreurs
|
||
lors de ces résolutions.
|
||
|
||
Dans un souci de simplification, un modèle en quatre phases, fortement inspiré du
|
||
modèle de Lieven Verschaffel et Erik De Corte, est retenu dans ce guide pour analyser
|
||
les productions des élèves lors de la résolution de problèmes verbaux à données
|
||
numériques : comprendre, modéliser, calculer, répondre.
|
||
|
||
|
||
|
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|
||
39 — Lieven Verschaffel, Erik De Corte, « La modélisation et la résolution
|
||
des problèmes d’application : de l’analyse à l’utilisation efficace »,
|
||
in Marcel Crahay, Lieven Verschaffel, Erik De Corte, Jacques Grégoire
|
||
(dir.), Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que disent
|
||
les recherches psychopédagogiques ?, De Boeck, Bruxelles, 2008.
|
||
44 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
|
||
Problème
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||
verbal
|
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e
|
||
dr
|
||
pren
|
||
m
|
||
Co
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Situation Modéliser Modèle
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comprise mathématique
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Régulation
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Calculer
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Réponse Répondre Résultat
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communiquée des calculs
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Monde réel Domaine des mathématiques
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||
Figure 4. Modèle en quatre phases retenu pour la résolution de problèmes.
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Ce modèle est présenté en quatre phases successives, mais il est clair qu’au cours
|
||
de chacune des phases, des régulations sont mises en œuvre et peuvent conduire
|
||
à revenir sur les phases précédentes pour confirmer ou infirmer ce qui a été mené
|
||
antérieurement : « Je n’arrive pas à trouver les calculs qu’il va falloir effectuer.
|
||
Ai-je vraiment bien compris ce problème et ce qui est demandé ? » ; « Les calculs me
|
||
conduisent à un résultat irréaliste. Ai-je bien compris le problème ? Ne me suis-je
|
||
pas trompé dans le choix de mon opération ou dans mes calculs ? » ; « Ma conclusion
|
||
n’a pas de sens, car le résultat trouvé est beaucoup trop grand. Ne me suis-je pas
|
||
trompé dans mes calculs ? » ; etc. Cette présentation linéaire ne doit donc pas conduire
|
||
à négliger les allers-retours entre chaque phase.
|
||
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||
Comprendre
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||
Un problème est en premier lieu une histoire qu’il va falloir comprendre ; mais cette
|
||
histoire se distingue des histoires que peuvent rencontrer les élèves dans d’autres
|
||
contextes, sur deux points en particulier :
|
||
|
||
— La compréhension doit être fine. Si une compréhension globale et approximative
|
||
peut être suffisante dans d’autres cadres, en résolution de problèmes une telle
|
||
compréhension risque de ne pas être suffisante pour apporter une réponse
|
||
correcte au problème.
|
||
|
||
Par exemple, en lisant les phrases « Ambre en a 3 de plus que Nour » ou « Ambre
|
||
en a 3 fois plus que Nour » dans un problème, il ne suffit pas de comprendre
|
||
qu’Ambre a plus de ce dont on parle que Nour, mais il faut comprendre préci-
|
||
sément le sens des expressions « de plus que » ou « fois plus que » qui change
|
||
drastiquement la nature de la relation entre les deux cardinaux. Dans d’autres
|
||
cadres, non scolaires notamment, avoir compris qu’Ambre en a plus que Nour
|
||
pourra en revanche s’avérer suffisant.
|
||
45 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
— Il y a une question. Cette question est essentielle et il faut également la com-
|
||
prendre pour déterminer une nouvelle information numérique généralement
|
||
précisée par cette question. Qu’est-ce que l’on cherche ? Quelle est la nature de
|
||
ce que l’on cherche ?
|
||
Par exemple, pour le problème suivant rencontré dans le premier chapitre :
|
||
« Arthur a acheté des bouteilles identiques d’huile d’olive. Chaque bouteille
|
||
contient 0,75 L d’huile d’olive et il a acheté 4,5 L d’huile d’olive en tout. Quel est le
|
||
nombre de bouteilles d’huile d’olive achetées par Arthur ? », ce que l’on cherche
|
||
est le nombre de bouteilles achetées par Arthur ; le résultat sera le cardinal d’un
|
||
ensemble, il s’agira d’un nombre entier.
|
||
|
||
Les processus en jeu dans la compréhension de textes étudiés en français inter-
|
||
viennent également pour la compréhension d’un problème en mathématiques.
|
||
|
||
|
||
« La compréhension des idées et de leur cohérence n’est jamais la simple La Compréhension
|
||
addition de la signification des mots composant le texte, ni de celle au cours moyen,
|
||
des phrases successives. Elle suppose […] de comprendre comment collection « Les guides
|
||
les idées sont liées et se répondent d’une phrase à l’autre (cohérence fondamentaux pour
|
||
locale) et comment les thèmes et sous-thèmes, les idées essentielles, enseigner », ministère
|
||
s’organisent logiquement (cohérence globale). de l’Éducation nationale,
|
||
de la Jeunesse
|
||
– La cohérence (ou cohésion) locale renvoie aux relations qu’entretiennent
|
||
et des Sports, 2022.
|
||
les informations énoncées d’une phrase à l’autre. Cette cohésion permet
|
||
de percevoir la continuité et la progression du/des thème(s) abordé(s).
|
||
La fonction référentielle des déterminants, des pronoms, et plus
|
||
généralement des substituts du nom assure la continuité de l’enchaînement
|
||
des énoncés, tandis que les connecteurs et les signes de ponctuation
|
||
marquent la progression thématique. Ces marques de cohésion sont
|
||
des instructions qui indiquent au lecteur les relations à établir entre
|
||
les énoncés. Elles facilitent donc la compréhension, à condition que
|
||
leur fonctionnement et leur signification soient maîtrisés.
|
||
– La cohérence globale concerne la compréhension de l’organisation du texte
|
||
dans son ensemble : les thèmes et sous-thèmes développés, leur organisation
|
||
logique, leur relation aux conditions de l’énonciation ainsi qu’aux connaissances
|
||
du lecteur.
|
||
|
||
Cette élaboration sollicite dans un temps bref, et souvent simultanément,
|
||
des connaissances et des mécanismes cognitifs nombreux et de natures
|
||
différentes. »
|
||
|
||
|
||
|
||
Exemple : « Lise et Simon ont ramassé 72 coquillages sur la plage. Simon en a 12 de
|
||
moins que sa sœur dans son seau. Combien de coquillages Lise a-t-elle ramassés ? »
|
||
|
||
La cohérence locale permet de faire des liens fins entre les phrases. Elle permet
|
||
de comprendre que le 12 de la deuxième phrase fait référence à des coquillages,
|
||
bien que le mot n’apparaisse pas dans la phrase, les coquillages étant mentionnés
|
||
à travers le pronom « en ». Le lecteur comprend aussi que la sœur mentionnée n’est
|
||
autre que Lise. Il comprend aussi que Lise a ramassé plus de coquillages que son
|
||
frère Simon et qu’elle en a exactement 12 de plus que lui.
|
||
46 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
La cohérence globale permet de visualiser une scène se déroulant à la plage. Ceux qui
|
||
ne vivent pas en bord de mer pourront y voir des vacances estivales, d’autres se
|
||
représenteront une activité de pêche dominicale ou un moment de détente. S’il est
|
||
probable que la plupart des lecteurs y voient l’histoire de deux enfants, rien ne le
|
||
dit : Lise et Simon peuvent être adultes, par exemple un frère et une sœur retraités.
|
||
Selon leur vécu, les lecteurs peuvent imaginer une séance de pêche aux coques ou
|
||
aux bigorneaux, ou simplement le ramassage de coquilles vides sur la plage, avec
|
||
deux enfants munis chacun d’un petit seau en plastique. Mais, indépendamment de
|
||
cette diversité d’interprétations, ce qui compte pour la résolution du problème est
|
||
de comprendre que l’on s’intéresse au cardinal de deux collections, l’une associée
|
||
à Simon et l’autre à sa sœur Lise.
|
||
|
||
Les textes des énoncés de problèmes en mathématiques sont relativement courts.
|
||
On peut donc penser que le manque de fluidité de lecture n’est pas un fort obstacle
|
||
pour les élèves de cours moyen qui ont acquis le niveau attendu en fin de cycle 240,
|
||
voire également pour ceux qui ont un niveau de fluidité de lecture légèrement inférieur
|
||
à ce niveau attendu. Mais il le sera sans doute pour les élèves n’ayant pas atteint le
|
||
niveau attendu en lecture en fin de CE141 . Dans ce cas, une ou plusieurs lectures
|
||
à voix haute de l’énoncé peuvent leur être faites, par le professeur ou par un élève
|
||
voisin. L’objectif est que l’élève concerné puisse se consacrer pleinement à la réso-
|
||
lution de problèmes, en étant le moins entravé possible par ses difficultés en lecture.
|
||
|
||
Les capacités d’inférence sont ainsi essentielles pour la bonne compréhension des
|
||
problèmes, notamment parce que l’utilisation de pronoms est fréquente, même dans
|
||
des énoncés très courts.
|
||
|
||
« Camille avait 4,35 €. Son frère lui a donné 2,80 €. Combien d’argent a-t-elle
|
||
maintenant ? »
|
||
|
||
Il faut comprendre ici que le « elle » de la question fait référence à Camille qui est
|
||
donc une fille et que le « lui » de la deuxième phrase fait également référence à cette
|
||
même Camille.
|
||
|
||
Les capacités d’inférence sont aussi essentielles pour comprendre les énoncés de
|
||
problèmes mathématiques en présence de catégories englobantes :
|
||
|
||
— « J’ai acheté 6,4 kg de pommes et 3,8 kg de poires. Quelle est la masse de fruits
|
||
achetés ? »
|
||
— « Gabin a réalisé un bouquet de fleurs. Un quart sont des roses, un tiers sont des
|
||
œillets et les 10 autres fleurs sont des marguerites. Combien y a-t-il de fleurs
|
||
dans le bouquet de Gabin ? »
|
||
|
||
Il faut ici comprendre que le mot « fruits » fait référence aux pommes et aux poires
|
||
et que le mot « fleurs » fait référence aux roses, aux œillets et aux marguerites.
|
||
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||
40 — 90 mots correctement lus par minute.
|
||
41 — 70 mots correctement lus par minute.
|
||
47 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Cette compréhension est nécessaire pour la résolution de ces problèmes. Elle est
|
||
en particulier indispensable pour reconnaître une structure composée d’un tout et
|
||
de parties, puis la possibilité d’une addition pour calculer la valeur du tout à partir
|
||
de celle des parties, ou d’une soustraction pour calculer la valeur d’une partie en
|
||
connaissant celle du tout et des autres parties. Ces inférences liées aux structures
|
||
mathématiques vont avoir un rôle tout particulier sur les modélisations envisageables
|
||
par les élèves 42 .
|
||
|
||
« Impliquées à tous les niveaux de traitement du texte, l’auto-évaluation et la régulation
|
||
jouent un rôle particulier dans la saisie de la cohérence globale. Elles contribuent
|
||
à construire une représentation unifiée de l’ensemble des informations énoncées,
|
||
en rendant compréhensible au lecteur leur organisation. Elles lui permettent de
|
||
repérer et se représenter logiquement, au fur et à mesure de la lecture, comment
|
||
s’organisent »43 les données du problème. L’auto-évaluation permet de détecter
|
||
un éventuel défaut de compréhension et la régulation est destinée à surmonter la
|
||
difficulté décelée.
|
||
|
||
L’auto-évaluation et la régulation doivent permettre aux élèves de s’assurer que le
|
||
problème fait sens pour eux lors de cette phase de compréhension. De nombreux
|
||
chercheurs considèrent que les élèves ignorent trop souvent le monde réel lors de
|
||
la résolution de problèmes 44 . Il est donc utile de leur proposer, de temps en temps,
|
||
des problèmes nécessitant un ancrage fort dans le monde réel. Cela les conduira
|
||
à prendre un certain recul sur les données numériques en jeu, comme dans le
|
||
problème suivant :
|
||
|
||
« Maëlys a acheté 4 planches de 2,5 mètres de long chacune. Combien de planches
|
||
de 1 mètre de long peut-elle scier à partir de ces planches ? »
|
||
|
||
La simple reconnaissance d’un problème multiplicatif sans s’appuyer sur la situation
|
||
dont il est question, qui exclut d’accoler entre elles des planches de 0,5 mètre de long,
|
||
peut conduire certains élèves à calculer 4 x 2,5 m45.
|
||
|
||
On peut aussi leur proposer des problèmes de recherche du nombre de parts pour
|
||
lesquels le quotient n’est pas la réponse, car le reste non nul doit être pris en compte,
|
||
comme pour le problème suivant :
|
||
|
||
« Pour une course d’orientation, les 245 élèves de l’école et leurs 38 accom
|
||
pagnateurs doivent être transportés par car. Un car peut transporter
|
||
46 passagers. Combien de cars la directrice doit-elle réserver pour pouvoir
|
||
transporter tous les élèves et tous les accompagnateurs ? »
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
42 — Hippolyte Gros, Jean-Pierre Thibaut, Emmanuel Sander,
|
||
“Semantic Congruence in Arithmetic: A New Conceptual Model for Word
|
||
Problem Solving”, Educational Psychologist, n° 55, 2020.
|
||
43 — La Compréhension au cours moyen, collection « Les guides
|
||
fondamentaux pour enseigner », ministère de l’Éducation nationale,
|
||
de la Jeunesse et des Sports, 2022.
|
||
44 — Brian Greer, “The Mathematical Modeling Perspective on Wor(l)d
|
||
Problems”, The Journal of Mathematical Behavior, n° 12, 1993.
|
||
45 — Lieven Verschaffel, Erik De Corte, Sabien Lasure, “Realistic
|
||
Considerations in Mathematical Modeling of School Arithmetic
|
||
Word Problems”, Learning and Instruction, Vol. 4, 1994.
|
||
48 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
|
||
Modéliser
|
||
|
||
La modélisation est le « processus par lequel l’individu convertit les données des
|
||
situations réelles en problème mathématique »46 . Dans le cadre de la résolution
|
||
des problèmes verbaux à données numériques à l’école élémentaire, la phase
|
||
« modéliser » aboutit à déterminer, en s’appuyant sur d’éventuelles représentations
|
||
(dessins, schémas, tableaux, arbres, etc.), quelles opérations devront être effectuées
|
||
dans la phase suivante pour répondre à la question posée. Cette phase, tributaire
|
||
de la compréhension, est centrale lors de la résolution de problèmes.
|
||
|
||
Pour un élève de cours moyen, la phase « modéliser », pour résoudre l’exercice
|
||
issu de Timss proposé dans l’introduction, « Une bouteille de jus de pomme coûte
|
||
1,87 zed. Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds. Julien a 4 zeds. Combien
|
||
de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? », conduit à
|
||
établir, à partir de la situation, c’est-à-dire l’histoire d’un garçon qui veut acheter
|
||
deux bouteilles de jus de fruit mais qui n’a pas assez d’argent, que le prix des deux
|
||
bouteilles peut être déterminé par l’addition 1,87 zed + 3,79 zeds, et que la somme
|
||
d’argent supplémentaire dont Julien a besoin, vue comme un écart ou comme un
|
||
reste après un retrait selon la représentation de la situation que se fait l’élève, peut
|
||
être calculée en soustrayant 4 zeds à la somme obtenue. Cette modélisation n’est
|
||
pas simple pour certains élèves, comme en atteste en particulier le faible taux de
|
||
réussite des élèves français à cet exercice.
|
||
|
||
De façon générale, quatre des « six compétences majeures de l’activité mathé
|
||
matique » 47 mises en exergue dans les programmes des cycles 2, 3 et 4 sont
|
||
mobilisées lors du passage de la situation comprise à partir de l’énoncé au modèle
|
||
mathématique retenu pour résoudre le problème. Cette mobilisation peut être
|
||
observée en s’appuyant sur l’exemple précédemment proposé.
|
||
|
||
— La compétence « chercher » s’appuie en premier lieu sur la confiance qu’ont les
|
||
élèves en leur aptitude à trouver la solution. Cette assurance se renforce par
|
||
une pratique fréquente de la résolution de problèmes avec des propositions de
|
||
problèmes adaptés aux compétences que les élèves ont développées, mais aussi
|
||
par des retours positifs du professeur lors des recherches menées en résolution
|
||
de problèmes.
|
||
— La compétence « représenter » peut soutenir l’activité de modélisation de l’élève.
|
||
Elle permet de faire le lien entre le texte du problème et ses caractéristiques
|
||
mathématiques. En effet, un schéma permet de rendre visibles les relations entre
|
||
les grandeurs présentes dans l’énoncé et leur relation avec ce qui est cherché.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
46 — Marcel Crahay, Lieven Verschaffel, Erik De Corte, Jacques
|
||
Grégoire, Enseignement et apprentissage des mathématiques
|
||
(Introduction), De Boeck Supérieur, Bruxelles, 2008.
|
||
47 — chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner
|
||
et communiquer.
|
||
49 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Voici, par exemple, un schéma en barres correspondant à la situation de
|
||
comparaison proposée :
|
||
|
||
Jus de pomme Jus d’orange
|
||
1,87 zed 3,29 zeds
|
||
|
||
|
||
Argent de Julien Ce qu’il manque
|
||
4 zeds ?
|
||
|
||
|
||
|
||
Des recherches récentes48 ont montré que la construction de représentations
|
||
schématiques s’avère être un dispositif efficace à proposer aux élèves, y compris
|
||
pour des formes de problèmes jamais rencontrées. Ces recherches ont également
|
||
mis en avant cette efficacité pour les élèves rencontrant des difficultés en mathé-
|
||
matiques. Cette construction favorise l’accès aux mathématiques par l’analyse
|
||
de la structure mathématique sous-jacente et prépare au passage à l’algèbre.
|
||
|
||
La compétence « représenter » ne se développe pas de façon spontanée chez les
|
||
élèves : il ne suffit pas d’inviter chaque élève à effectuer le dessin ou le schéma
|
||
« qui lui convient ». Elle se développe au contraire par un enseignement construit
|
||
et structuré sur plusieurs années visant à faire acquérir aux élèves des outils
|
||
pour construire des représentations efficaces et porteuses de sens facilitant la
|
||
modélisation.
|
||
|
||
— La compétence « raisonner » est fortement mobilisée dans cette phase
|
||
de modélisation, comme dans chacune des quatre phases de la résolution de
|
||
problèmes présentées dans ce chapitre, pour analyser la situation en utilisant
|
||
ses connaissances afin d’établir un modèle mathématique adapté. Des inférences
|
||
doivent en effet être réalisées à partir des éléments fournis par l’énoncé
|
||
du problème et parfois des hypothèses émises en amont de ces inférences.
|
||
Les raisonnements menés doivent conduire à un travail, guidé par l’enseignant
|
||
dans un premier temps, sur la structuration de la langue en mobilisant des
|
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connecteurs comme « donc » ou « parce que ».
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48 — Annick Fagnant, Joëlle Vlassis, “Schematic Representations
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in Arithmetical Problem Solving: Analysis of Their Impact on Grade 4
|
||
Students”, Educational Studies in Mathematics, n° 84, 2013.
|
||
Annie Savard, Elena Polotskaia, « Gérer l’accès aux mathématiques
|
||
dans la résolution de problèmes textuels : une exploration du côté
|
||
de l’enseignement primaire », Éducation et francophonie, 2014.
|
||
Elena Polotskaia, “How the Relational Paradigm Can Transform
|
||
the Teaching and Learning of Mathematics: Experiment in Quebec”,
|
||
International Journal for Mathematics Teaching and Learning,
|
||
Vol. 18, n° 2, 2017.
|
||
Berinderjeet Kaur, “The Why, What and How of the ’Model’ Method:
|
||
A Tool for Representing and Visualising Relationships When Solving
|
||
Whole Number Arithmetic Word Problems”, ZDM – Mathematics
|
||
Education, n° 51, Springer, 2018.
|
||
50 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
— La compétence « modéliser » n’est pas l’aboutissement de cette deuxième phase,
|
||
mais en est au cœur. La compétence « représenter » qui peut se manifester
|
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par la réalisation d’un dessin ou d’un schéma ne précède pas la compétence
|
||
« modéliser ». Pour notre exemple, avant même de pouvoir commencer à faire le
|
||
schéma, l’élève doit reconnaître qu’il s’agit d’une situation de comparaison avec
|
||
d’un côté ce qui est dépensé et de l’autre l’argent possédé par Julien. Ce premier
|
||
constat permet à l’élève de se lancer dans la construction d’un schéma avec deux
|
||
barres mises en parallèle. L’élève doit ensuite percevoir que cette comparaison
|
||
est additive, avec d’une part les dépenses, conçues comme la réunion de deux
|
||
parties formant un tout, et d’autre part l’argent possédé, pour pouvoir compléter
|
||
le schéma. Une fois celui-ci réalisé, l’élève dispose d’un support qui rend visibles
|
||
les relations entre les données de l’énoncé ; ce schéma est alors une aide pour
|
||
dégager des étapes possibles de résolution du problème et les traduire sous
|
||
forme d’opérations : calcul d’un tout par une addition (1,87 zed + 3,29 zeds), puis
|
||
calcul d’un écart par une soustraction (en soustrayant 4 zeds à la somme trouvée).
|
||
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||
On comprend bien ici que c’est l’interaction permanente entre les différentes
|
||
« compétences majeures » qui permet d’aboutir au modèle mathématique recherché.
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||
Calculer
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La phase « calculer » est sans doute la plus simple à définir : il s’agit de la réa
|
||
lisation, par les élèves, des calculs correspondant à la suite d’opérations découlant
|
||
de la modélisation. Si l’on revient au problème précédent des jus de fruits,
|
||
l’élève doit pouvoir trouver que 1,87 zed + 3,29 zeds est égal à 5,16 zeds et que
|
||
5,16 zeds – 4 zeds est égal 1,16 zed.
|
||
|
||
Cette phase peut s’avérer relativement simple, pour les élèves comme pour le
|
||
professeur qui doit accompagner leur travail, sous réserve que les contenus
|
||
relatifs aux attendus du programme de cycle 3 « utiliser et représenter les grands
|
||
nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux » et « calculer avec
|
||
des nombres entiers et des nombres décimaux » soient suffisamment maîtrisés.
|
||
Les élèves doivent, en effet, identifier les nombres en jeu dans l’énoncé quelle que soit
|
||
leur écriture (en lettres, décimale avec ou sans virgule, sous forme fractionnaire) et
|
||
disposer des connaissances et compétences techniques pour effectuer les calculs
|
||
attendus. Ces calculs peuvent être réalisés soit mentalement, soit en ligne, soit en
|
||
posant les opérations.
|
||
|
||
La résolution de problèmes va contribuer à renforcer la bonne maîtrise des tech-
|
||
niques de calculs attendues des élèves (calcul mental ou calcul posé).
|
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51 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
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Répondre
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||
Pour cette dernière phase, les élèves doivent considérer les calculs effectués et
|
||
interpréter le ou les résultats trouvés dans le contexte du problème. Ils doivent ensuite
|
||
communiquer la réponse de façon compréhensible par tous. Cette interprétation et
|
||
cette communication doivent être menées tout en effectuant une régulation par
|
||
rapport à la situation telle que comprise initialement, pour s’assurer, d’une part, que la
|
||
réponse apportée répond bien à la question posée et, d’autre part, que cette réponse
|
||
est cohérente avec le contexte du problème, en particulier du point de vue de l’ordre
|
||
de grandeur du résultat et du réalisme de la solution à laquelle la résolution aboutit.
|
||
|
||
Des critères extra-mathématiques doivent parfois être utilisés pour vérifier la cohé-
|
||
rence : par exemple un résultat donnant un nombre de passagers dans une voiture
|
||
supérieur à six, doit interroger les élèves. Des critères mathématiques permettent
|
||
également de vérifier cette cohérence : par exemple, un nombre total de passagers
|
||
répartis dans des voitures ayant chacune trois passagers doit être un multiple de
|
||
trois et doit donc avoir la somme de ses chiffres elle-même multiple de trois. À cette
|
||
occasion, on vérifiera si les connaissances extra-mathématiques, souvent acquises
|
||
dans la vie sociale, ou mathématiques, souvent acquises en classe, sont tout à la
|
||
fois présentes chez les élèves et mobilisées à bon escient, car faire le lien entre
|
||
les résultats obtenus par l’application d’un algorithme plus ou moins automatisé,
|
||
tel que le calcul d’une multiplication, et la compatibilité du résultat obtenu avec la
|
||
situation décrite dans l’énoncé est souvent une difficulté. Le problème « Maëlys a
|
||
acheté 4 planches de 2,5 mètres de long chacune. Combien de planches de 1 mètre
|
||
de long peut-elle scier à partir de ces planches ? » illustre cet enjeu, car il s’agit de
|
||
réinjecter le résultat obtenu par multiplication, de faire un constat d’incompatibilité
|
||
avec les contraintes de l’énoncé et d’envisager une nouvelle stratégie de résolution.
|
||
|
||
Lors de l’enseignement de la résolution de problèmes à l’école élémentaire, cette
|
||
phase « répondre » est souvent réduite à la demande d’écriture d’une phrase res-
|
||
pectant les canons usuels (une phrase complète, qui commence par une majuscule et
|
||
qui finit par un point, comprenant le nombre solution associé à son unité). La réflexion
|
||
sur la cohérence de la réponse est régulièrement négligée, alors qu’il s’agit d’une
|
||
phase essentielle pour s’assurer que l’élève répond bien à la question posée et pour
|
||
détecter d’éventuelles erreurs. Ceci peut être observé dans les réponses proposées
|
||
par les élèves au problème suivant :
|
||
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||
« Dans une ferme où l’on produit des œufs de poule, il y a ce matin 1 551 œufs
|
||
qui vont devoir être mis dans des boîtes de 6 œufs. Combien faudra-t-il de boîtes
|
||
pour pouvoir ranger tous les œufs ? »
|
||
|
||
Les élèves de cours moyen doivent comprendre assez facilement qu’il s’agit de
|
||
constituer des boîtes pleines d’œufs pour trouver le nombre de boîtes nécessaires.
|
||
Cette représentation de boîtes que l’on remplit peut d’ailleurs conduire certains
|
||
élèves à modéliser le problème par une suite de soustractions successives, la sous-
|
||
traction leur étant plus familière que la division et la division étant plus attachée
|
||
52 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
à la recherche de la valeur d’une part qu’à celle du nombre de parts 49. Une telle
|
||
modélisation traduit bien la situation décrite dans l’énoncé et pourrait mener au
|
||
résultat avec des nombres d’œufs plus petits, mais les nombres en jeu ont été
|
||
choisis pour rendre le calcul quasi-impossible avec cette modélisation soustractive,
|
||
conduisant ainsi les élèves à avoir recours à une modélisation par une division : il faut
|
||
faire des « groupes » ou des « parts » de 6 œufs et chercher le nombre de groupes
|
||
ou de parts. La modélisation aboutit ainsi à la recherche du quotient de la division
|
||
de 1 551 par 6.
|
||
|
||
Un nombre de boîtes étant un entier, l’opération attendue est une division euclidienne.
|
||
Cependant, le reste de la division euclidienne étant non nul, certains élèves peuvent
|
||
poursuivre l’opération et effectuer une division décimale.
|
||
|
||
Voici quatre extraits de productions d’élèves :
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Élève 1 Élève 2 Élève 3 Élève 4
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1 551 1 551 6 1 551 6 1 551 6
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– – –
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x 6 12 2 585 12 258,5 12 258
|
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9 306 35 35 35
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– – –
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30 30 30
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||
Il faut 9 306 boîtes. 51 51 51
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– – –
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48 48 48
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30 30 3
|
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– –
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||
30 30
|
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||
0 0
|
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Il faut 2 585 boîtes. La réponse Il faut 258 boîtes.
|
||
est 258,5.
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||
|
||
Lors de la phase « répondre », les élèves doivent interpréter le résultat trouvé dans
|
||
le contexte de la situation des boîtes d’œufs, en procédant à une régulation qui leur
|
||
permet d’avoir un regard critique sur leur traitement des phases antérieures. Il s’agit
|
||
à chaque fois de s’assurer de la compatibilité du résultat obtenu avec la situation
|
||
telle que comprise.
|
||
|
||
— L’élève 1 n’a vraisemblablement pas mené cette régulation qui aurait dû le
|
||
conduire à rejeter un nombre de boîtes supérieur au nombre d’œufs. Ce regard
|
||
critique sur le résultat aurait ainsi pu le conduire à remettre en question le modèle
|
||
erroné retenu, à savoir une multiplication.
|
||
— L’élève 2 aurait dû rejeter la réponse trouvée pour la même raison, ce qui aurait
|
||
pu le conduire à investiguer de nouveau les phases antérieures, par exemple en
|
||
contrôlant son calcul en estimant un ordre de grandeur de 2 585 x 6, et repérer
|
||
l’oubli de la virgule dans le quotient de la division posée.
|
||
|
||
|
||
49 — Sarah Squire, Peter Bryant, “From Sharing to Dividing: Young
|
||
Children’s Understanding of Division”, Developmental Science,
|
||
n° 5, 2002.
|
||
53 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
— L’élève 3 n’a vraisemblablement pas mené la régulation par rapport à la situation
|
||
initiale qui consiste à se demander si le résultat trouvé répond bien à la question
|
||
posée dans le problème. Un nombre de boîtes d’œufs doit en effet nécessairement
|
||
être un entier. On voit ici l’importance de la prise en compte de la situation initiale
|
||
dans la formulation de la phrase réponse : une formulation neutre comme
|
||
« La réponse est » ne favorise pas la régulation attendue.
|
||
— Pour l’élève 4, la régulation manquante est plus fine. En effet, le résultat proposé
|
||
est tout à fait vraisemblable. Mais si l’élève s’interroge plus en profondeur pour
|
||
savoir si la solution proposée répond effectivement à la question posée, il doit se
|
||
demander si les 258 boîtes permettent bien de ranger TOUS les œufs… Lors de
|
||
cette régulation, l’élève aurait dû prendre en compte le quotient et le reste obtenus
|
||
à l’issue de la division, et ne pas s’arrêter à la seule interprétation du quotient.
|
||
|
||
Cette régulation, qui s’inscrit dans le processus d’interprétation des calculs et de
|
||
communication de la réponse, doit permettre de repérer d’éventuelles erreurs
|
||
de modélisation ou de calculs, en faisant apparaître de possibles incohérences,
|
||
notamment en termes d’ordre de grandeur.
|
||
|
||
Pour renforcer le travail sur cette dernière phase, certains problèmes en « Combien ? »
|
||
peuvent être remplacés par des problèmes en « Est-ce que ? », pour lesquels la
|
||
réponse attendue n’est pas une valeur numérique, mais une analyse à partir
|
||
de la valeur numérique trouvée. On peut ainsi remplacer le premier problème
|
||
ci-dessous, par le problème alternatif proposé ensuite.
|
||
|
||
— « Monsieur Martin pèse 78,5 kg, Rose pèse 57,5 kg et Antonin pèse 42,5 kg.
|
||
Combien pèsent-ils à eux trois ? »
|
||
— « Monsieur Martin pèse 78,5 kg, Rose pèse 57,5 kg et Antonin pèse 42,5 kg.
|
||
Est-ce qu’ils peuvent monter ensemble dans un ascenseur acceptant une charge
|
||
maximale de 180 kg ? »
|
||
|
||
|
||
|
||
UN EXEMPLE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME EN QUATRE PHASES
|
||
|
||
« Marius revient du marché. Il a acheté 750 g de fraises, un demi-kilogramme
|
||
d’abricots et a oublié la masse des kiwis achetés. Le contenu de son panier
|
||
pèse 1,650 kg.
|
||
Quelle est la masse des kiwis ? »
|
||
|
||
PHASE 1 : COMPRENDRE
|
||
Dans cet énoncé, lors de cette première phase, les élèves doivent comprendre
|
||
que cette histoire est celle d’un homme nommé Marius qui a fait des achats au
|
||
marché, qu’il a mis dans un panier. Les élèves doivent comprendre que, dans le
|
||
panier, il y a des fraises, des abricots et des kiwis, qui n’ont pas été oubliés, mais
|
||
dont Marius a oublié la masse. Ils doivent également comprendre qu’il n’y a rien
|
||
d’autre dans le panier, ce qui est implicite et nullement précisé. Ils doivent aussi
|
||
savoir que les masses s’additionnent pour former la masse du contenu du panier.
|
||
Cette compréhension de la situation se prête à un codage parties-tout dans lequel
|
||
le tout est composé de trois parties. Les élèves doivent pouvoir aussi interpréter
|
||
« un demi-kilogramme » comme 0,5 kg ou comme 500 g.
|
||
54 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Enfin, ils doivent comprendre que ce que l’on cherche est la masse des kiwis, un des
|
||
trois éléments du panier, qui sera donnée sous la forme d’un nombre de grammes
|
||
ou de kilogrammes.
|
||
|
||
PHASE 2 : MODÉLISER
|
||
Le modèle parties-tout sous-jacent est assez classique pour des élèves de cours
|
||
moyen, mais le fait que les données numériques soient dans des unités différentes
|
||
ajoute une difficulté susceptible de perturber la modélisation. Le recours à un schéma
|
||
sera certainement facilitateur pour beaucoup d’élèves. Si lors de la première phase,
|
||
l’élève a repéré la présence de trois fruits regroupés dans un panier, alors, lors de
|
||
la phase de modélisation, il peut penser à un problème de type parties-tout avec trois
|
||
parties, ce qui lui permet de se lancer dans la réalisation du schéma correspondant,
|
||
à savoir un rectangle séparé en trois, ou trois rectangles juxtaposés.
|
||
|
||
|
||
Fraises Abricots Kiwis
|
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||
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|
||
Schéma qu’il peut assez facilement compléter ensuite avec les données qui lui sont
|
||
fournies :
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||
Fraises Abricots Kiwis
|
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750 g 1/2 kg ?
|
||
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|
||
1,650 kg
|
||
|
||
|
||
Cette représentation lui permet d’affiner sa modélisation et de planifier la réso-
|
||
lution du problème en le décomposant : l’élève comprend en effet qu’il s’agit d’un
|
||
problème dans lequel il faut trouver une des trois parties d’un tout. Il peut donc,
|
||
dans un premier temps, additionner la masse des fraises et la masse des abricots
|
||
et, dans un second temps, soustraire cette somme à la masse totale de fruits dans
|
||
le panier. Cette modélisation n’est pas unique, l’élève pourrait aussi choisir de sous-
|
||
traire successivement la masse de fraises et la masse d’abricots à la masse totale.
|
||
|
||
PHASE 3 : CALCULER
|
||
L’exécution des calculs nécessite d’avoir des masses exprimées dans la même
|
||
unité et l’élève peut donc convertir l’ensemble des données en grammes ou en
|
||
kilogrammes.
|
||
|
||
Fraises Abricots Kiwis
|
||
750 g 0,5 kg ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
1,650 kg = 1 650 g
|
||
55 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Les opérations sont ensuite réalisables en ligne ou en posant les calculs.
|
||
750 g + 0,5 kg = 750 g + 500 g = 1 250 g
|
||
1 650 g – 1 250 g = 400 g
|
||
|
||
PHASE 4 : RÉPONDRE
|
||
Pour la dernière étape, une régulation a lieu pour faire le lien avec la situation
|
||
comprise : on a bien trouvé une masse, c’est la masse des kiwis. De plus, 400 g c’est
|
||
un peu moins qu’un demi-kilogramme, il semble plausible d’acheter un peu moins
|
||
d’un demi-kilogramme de kiwis, cela ne semble ni trop petit ni trop grand pour être
|
||
acceptable ; une réponse de 4 g (clairement inférieure à la masse d’un kiwi) ou
|
||
de 2 kg (supérieure à la masse des fruits dans le panier) devraient, au contraire,
|
||
déclencher une nouvelle régulation.
|
||
L’élève peut alors communiquer la réponse de façon claire : « La masse de kiwis
|
||
dans le panier est de 400 g. »
|
||
56 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
|
||
Focus | Analyser les erreurs
|
||
des élèves pour adapter
|
||
l’aide à leur apporter
|
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||
L’intérêt principal de la décomposition en quatre phases proposée dans ce chapitre
|
||
est de fournir aux professeurs un outil pour structurer l’analyse des productions
|
||
d’élèves en résolution de problèmes afin d’accompagner les apprentissages.
|
||
|
||
Situation : Dans une classe de CM2 (période 2), un professeur a préparé quatre
|
||
problèmes à résoudre pour les élèves. Les problèmes sont découpés individuellement
|
||
sur des petites feuilles déposées sur le bureau, de façon à ne pas décourager les
|
||
élèves par un travail qui leur semblerait trop lourd et éviter qu’ils ne dispersent leur
|
||
attention entre les différents problèmes. Les élèves qui ont terminé un problème
|
||
viennent spontanément chercher le suivant sur le bureau. Ce fonctionnement est
|
||
habituel au sein de la classe. Les élèves sont invités à travailler individuellement.
|
||
L’objectif premier de cette séance est de faire travailler les élèves sur les opé
|
||
rations posées de nombres décimaux : addition et soustraction étudiées au CM1
|
||
et multiplication qui vient d’être introduite50.
|
||
|
||
Le premier de ces problèmes est le suivant :
|
||
|
||
« Un électricien dispose d’un rouleau de fil électrique de 50 m. Il découpe trois
|
||
morceaux de fil de ce rouleau de 12,70 m chacun.
|
||
Quelle longueur de fil électrique reste-t-il dans le rouleau ? »
|
||
|
||
Le professeur circule dans les rangs, crayon à la main pour valider les réussites.
|
||
Les traces écrites de six élèves ont été reproduites ci-dessous :
|
||
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Élève 1 Élève 2
|
||
50 m
|
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|
||
2
|
||
12,70 12,70 m 12,70 m 12,70 m ?m
|
||
+ 12,70 510,100
|
||
+ 12,70 – 3181,10 2
|
||
12,70
|
||
38,10 1 1 ,90 + 12,70 50
|
||
+ 12,70 – 38,10
|
||
La longueur du fil dans le rouleau
|
||
38,10 12,10
|
||
est 11,90 m.
|
||
Il reste 12,10 m de fil électrique.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
50 — Une vidéo d’une séance similaire proposée en cycle 2 est
|
||
disponible sur le site https://pedagogie-nord.ac-lille.fr/formations/
|
||
plan-maths/cycle2/ sous l’appellation « Une séance de numération dans
|
||
une classe de CP » (https://pedagogie-nord.ac-lille.fr/formations/plan-
|
||
maths/cycle2/docs/num-calcul/c2-num-calc-seance-cp.zip).
|
||
57 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
|
||
Élève 3 Élève 4
|
||
|
||
|
||
12,70 m ?m
|
||
|
||
50 m
|
||
|
||
|
||
510,100
|
||
– 1121,70
|
||
3 7 ,30 m
|
||
|
||
Élève 5 Élève 6
|
||
2
|
||
50,00 12,70 510,100
|
||
+ 12,70 x 3 – 3181,10
|
||
62,70 m 38,10 1 1 90
|
||
|
||
Ça fait 62,70 m. Il lui reste 1 190 m de fil électrique.
|
||
|
||
|
||
|
||
Un rapide regard sur les productions écrites permet au professeur de catégoriser
|
||
les réponses des élèves (R : réussi, PR : partiellement réussi, NR : non réussi, NT :
|
||
non traité) :
|
||
|
||
|
||
Compréhension
|
||
Calculs Réponse
|
||
et modélisation
|
||
Élève 1 R R R
|
||
L’élève a effectué
|
||
les opérations
|
||
attendues.
|
||
Élève 2 R PR PR
|
||
L’élève a effectué L’addition La réponse
|
||
les opérations des trois nombres est erronée mais
|
||
attendues décimaux est juste, correspond à ce
|
||
en s’appuyant sur la soustraction est qui a été trouvé par
|
||
un schéma pertinent. erronée, il manque calcul. Il a manqué
|
||
une étape dans une régulation qui
|
||
la réalisation aurait par exemple
|
||
de l’algorithme pu consister à rejeter
|
||
consistant à écrire la réponse avec
|
||
les deux nombres l’argument suivant :
|
||
à soustraire avec « 50 – 38 = 12, donc
|
||
autant de chiffres 50 – 38,10 doit être
|
||
après la virgule. inférieur à 12… ».
|
||
58 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
|
||
Compréhension
|
||
Calculs Réponse
|
||
et modélisation
|
||
Élève 3 PR R NT
|
||
Le schéma laisse L’élève montre qu’il On ne peut pas savoir
|
||
penser que l’élève sait soustraire deux ici si l’élève n’a pas
|
||
n’a compris nombres décimaux encore eu le temps
|
||
la situation que en posant l’opération. de répondre, ou s’il
|
||
partiellement : a oublié de répondre.
|
||
un seul morceau
|
||
est retiré au lieu
|
||
de trois. Ce schéma,
|
||
d’ordinaire associé
|
||
à une situation
|
||
de comparaison,
|
||
n’est pas celui attendu
|
||
(voir chapitre 4)
|
||
mais il aurait pu
|
||
permettre d’aboutir.
|
||
Élève 4 NT NT NT
|
||
Élève 5 NR PR NR
|
||
L’élève a additionné L’opération effectuée La réponse proposée
|
||
les deux longueurs est correcte, n’a pas été régulée
|
||
présentes mais les compétences par rapport à
|
||
dans l’énoncé. démontrées la situation initiale :
|
||
dans le cadre des il n’y a pas de
|
||
opérations posées questionnement
|
||
sont d’un niveau sur la cohérence
|
||
inférieur à celui entre le résultat
|
||
attendu : addition (il reste plus de 62 m
|
||
avec retenues de fil) et l’histoire
|
||
et soustraction. racontée dans
|
||
l’énoncé (la longueur
|
||
de fil initiale est
|
||
de 50 m).
|
||
Élève 6 R PR NR
|
||
L’élève a effectué les La multiplication La réponse proposée
|
||
opérations attendues. est correctement n’a pas été régulée :
|
||
posée et effectuée, pas de cohérence
|
||
la soustraction entre le résultat
|
||
est correctement et les données
|
||
traitée, si ce n’est de l’énoncé.
|
||
l’oubli de la virgule.
|
||
|
||
|
||
Exemples d’actions du professeur qui circule dans les rangs, d’élève en élève :
|
||
|
||
Élève 1 : Le professeur félicite l’élève, valide par écrit la réponse proposée
|
||
et demande à l’élève de résoudre les problèmes suivants.
|
||
|
||
L’objectif de cette validation écrite est, en plus d’un signe d’encouragement pour
|
||
l’élève qui développe ainsi un sentiment de compétence qui l’aide à avancer,
|
||
un moyen pour le professeur de repérer ce qui a été validé, afin de ne pas avoir à
|
||
relire ce qui a déjà été validé lors d’un deuxième tour de classe et ainsi de repérer
|
||
l’avancée des travaux de l’élève.
|
||
59 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Élève 2 : Le professeur félicite l’élève pour son travail, il valide par écrit le schéma
|
||
et l’addition. Il invite l’élève 1 et l’élève 2 à confronter leurs deux soustractions et
|
||
à comprendre pourquoi la réponse de l’élève 2 est erronée, de manière à pouvoir
|
||
l’expliquer en fin de séance à toute la classe.
|
||
|
||
L’objectif du professeur, en invitant les deux élèves à travailler ensemble, est de
|
||
consacrer un minimum de temps à cet élève 2, qui est manifestement en réussite
|
||
sur les phases de compréhension et de modélisation, pour avoir plus de temps
|
||
pour les élèves nécessitant davantage d’accompagnement. Le professeur a prévu
|
||
de revenir sur ce point délicat pour plusieurs élèves lors du temps de correction
|
||
en fin de séance.
|
||
|
||
Élève 3 : Le schéma correspond à une situation de comparaison, ce qui n’est pas le cas
|
||
ici, sauf à considérer que l’on compare un rouleau neuf de 50 m au rouleau que l’on
|
||
est en train de découper, ce qui peut être considéré comme acceptable. Mais l’élève
|
||
n’a pris en compte qu’un morceau au lieu des trois attendus. Un échange s’engage :
|
||
|
||
— Est-ce que tu peux m’expliquer ce qui se passe dans ce problème ? Quelle est
|
||
l’histoire ?
|
||
— Ben, c’est un électricien, il a découpé un fil.
|
||
— Qu’est-ce qu’il a découpé exactement ?
|
||
— Il a découpé un fil électrique de 12,70 mètres.
|
||
— Quelle est la phrase du problème qui te permet de dire cela ? Tu peux me la lire ?
|
||
|
||
L’élève 3 lit la phrase « Il découpe trois morceaux de fil de ce rouleau de 12,70 mètres
|
||
chacun. »
|
||
|
||
— Ah ! Je me suis trompé.
|
||
— Pourquoi t’es-tu trompé ?
|
||
— En fait, il en découpe trois et moi je n’en ai enlevé qu’un.
|
||
— Très bien. Alors je te laisse corriger sur ton cahier.
|
||
|
||
Le professeur n’écrit rien sur le cahier de l’élève, les traces écrites qu’il laisse
|
||
n’étant destinées qu’à valider les réussites dans un souci de motivation et d’encou-
|
||
ragement, et pour bien montrer que l’on est en train d’apprendre, qu’il est normal
|
||
de se tromper et qu’on a le droit de se reprendre.
|
||
|
||
La place des erreurs dans la construction des connaissances est ici essentielle,
|
||
à condition qu’elles soient analysées et que l’élève, en raisonnant, puisse en tirer
|
||
de nouvelles connaissances et ainsi réajuster la suite de son travail.
|
||
|
||
Élève 4 : Le professeur interroge l’élève :
|
||
|
||
— Alors qu’est-ce qui ne va pas ? Est-ce que tu peux m’expliquer ce qui se passe
|
||
dans ce problème ? Que raconte cette histoire ?
|
||
— Je ne comprends pas.
|
||
— Tu attends un tout petit peu, je finis de regarder les cahiers de tes camarades
|
||
et on regarde cela ensemble.
|
||
60 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Le professeur prend note des difficultés de l’élève dans la phase de compréhension
|
||
de l’énoncé. Le travail à mener est conséquent et se situe sur le plan même de la
|
||
construction d’une représentation de la situation suffisamment élaborée pour se
|
||
prêter ensuite à une modélisation. Il décide de le mener en commun pour tous les
|
||
élèves de la classe concernés en les regroupant afin de traiter cette difficulté de façon
|
||
ciblée tandis que les autres élèves poursuivent la résolution d’autres problèmes.
|
||
|
||
Élève 5 : Le professeur interroge l’élève :
|
||
|
||
— Est-ce que tu peux m’expliquer ce qui se passe dans ce problème ? Quelle est
|
||
l’histoire ?
|
||
— Ben, c’est un monsieur qui découpe du fil électrique.
|
||
— D’accord et qu’est-ce qu’on cherche dans ce problème ? Qu’est-ce qu’on
|
||
cherche à savoir ?
|
||
— Je ne sais pas.
|
||
— Quels sont les calculs que tu as faits ?
|
||
— J’ai fait une addition.
|
||
— D’accord. Pourquoi as-tu fait une addition ?
|
||
— Je ne sais pas.
|
||
— Et bien, tu attends quelques minutes, je finis de regarder les cahiers de tes
|
||
camarades et on regarde cela ensemble.
|
||
|
||
Le professeur prend note des difficultés de l’élève dans la phase de compréhension
|
||
et de modélisation du problème. Une difficulté possible ici se situe sur le plan de la
|
||
représentation de la situation. L’élève se focalise sur des aspects thématiques et n’a
|
||
pas pris en compte les dimensions pertinentes sur le plan mathématique, à savoir
|
||
l’itération d’un découpage de trois morceaux de fil d’une même longueur, extraits
|
||
d’un rouleau dont la longueur est connue également. Cet élève fera partie du sous-
|
||
groupe accompagné spécifiquement.
|
||
|
||
Élève 6 : Le professeur interroge l’élève :
|
||
|
||
— Est-ce que tu peux me dire ce qu’on cherche dans ce problème ?
|
||
— On veut savoir le fil qui reste.
|
||
— « Le fil qui reste ». Mais, ce qu’il reste de fil où exactement ?
|
||
— Dans le rouleau.
|
||
— Le rouleau. Il mesure combien au départ ce rouleau ?
|
||
— 50 mètres.
|
||
— Et il reste combien de mètres à la fin ?
|
||
— Ah je me suis trompé. Ça fait trop.
|
||
— Où est-ce que tu t’es trompé ?
|
||
— Je sais pas.
|
||
— Ta multiplication est juste. Les trois morceaux mesurent bien 38,10 mètres
|
||
en tout.
|
||
|
||
Le professeur valide avec son stylo la multiplication.
|
||
|
||
— Ah, je sais, j’ai oublié la virgule.
|
||
— Je te laisse corriger et je reviens te voir tout à l’heure.
|
||
|
||
La démarche est explicite. L’élève est en réussite et la validation est faite oralement.
|
||
61 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Le professeur termine son tour de classe rapidement, puis prend en charge, à part,
|
||
les six élèves de la classe (dont les élèves 4 et 5) pour lesquels la compréhension
|
||
de la situation ne permet pas de modélisation.
|
||
|
||
Un temps de remédiation de près de 10 minutes est consacré à ces six élèves,
|
||
immédiatement après le premier tour de classe, afin de leur permettre de disposer
|
||
d’un temps suffisant pour résoudre le problème à l’issue de ce travail de remédiation.
|
||
Le reste de la classe continue de résoudre les différents problèmes proposés.
|
||
L’objectif du professeur est de travailler sur la compréhension du problème
|
||
et de commencer à mettre en avant des éléments supports de modélisation.
|
||
Le professeur doit apprendre aux élèves à distinguer « Je n’ai pas compris »,
|
||
« Je n’ai pas d’idées » et « Je ne sais pas répondre à la question ». Dans un premier
|
||
temps, le travail ne porte que sur la compréhension de l’énoncé ; ceci demande une
|
||
vigilance du professeur pour s’assurer que certains élèves ne dévoilent pas trop
|
||
d’informations sur la résolution du problème en répondant aux questions qui leur
|
||
sont posées.
|
||
|
||
Le professeur commence par faire lire à voix haute l’énoncé du problème par un élève.
|
||
|
||
— Tout le monde a bien entendu. On le réécoute une deuxième fois.
|
||
|
||
Un autre élève le lit à voix haute.
|
||
|
||
— Alors de quoi parle ce problème ?
|
||
— Ça parle d’un électricien.
|
||
— C’est quoi un électricien ?
|
||
— C’est un monsieur qui fait de l’électricité ?
|
||
— Pas tout à fait. Est-ce que quelqu’un peut préciser ?
|
||
— Mon tonton, il est électricien.
|
||
— Oui et alors, il fait quoi ?
|
||
— Je ne sais pas.
|
||
— Électricien, déjà c’est un métier, et une personne qui est électricien, ou
|
||
électricienne si c’est une femme, c’est une personne qui va s’occuper de
|
||
l’installation électrique d’une maison ou d’un appartement, c’est-à-dire de tous
|
||
les fils à l’intérieur des murs qui amènent l’électricité dans les prises. Alors, que
|
||
fait l’électricien dans notre problème ?
|
||
— Il découpe un fil.
|
||
— Oui, il découpe un fil. Il le découpe dans quoi ce fil ?
|
||
— Dans un rouleau.
|
||
— Et que sait-on sur ce rouleau ?
|
||
— C’est un rouleau de fil électrique de 50 mètres.
|
||
— Très bien. Regardez ! Je vous ai apporté une ficelle enroulée, on va dire que c’est
|
||
notre rouleau de 50 mètres.
|
||
62 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
Le professeur présente aux élèves une petite pelote de ficelle d’environ un mètre
|
||
de long.
|
||
|
||
— Que fait l’électricien avec ce fil ?
|
||
— Il le découpe.
|
||
— Qu’est-ce qu’il découpe précisément ? Relisez l’énoncé du problème.
|
||
— Trois morceaux de fil de 12,70 mètres chacun.
|
||
— Très bien. On va dire que ça, ça mesure 12,70 mètres.
|
||
|
||
Le professeur présente une baguette en bois d’une dizaine de centimètres.
|
||
|
||
— Est-ce que vous pouvez faire avec notre rouleau [le professeur montre la ficelle],
|
||
ce que fait l’électricien avec son rouleau de fil ?
|
||
|
||
Une discussion s’engage entre élèves, deux élèves découpent trois morceaux
|
||
de ficelle de la longueur de la baguette.
|
||
|
||
— Très bien. Maintenant, est-ce que vous pouvez me dire ce que l’on cherche dans
|
||
notre problème ?
|
||
— Ce qui reste dans le rouleau.
|
||
— Oui et à quoi cela correspond-il pour notre ficelle ?
|
||
|
||
Un élève montre le reste de ficelle.
|
||
|
||
— Oui. Très bien. Ça c’est ce qui nous reste dans notre rouleau. Quelle était
|
||
la longueur du rouleau au début, avant qu’on découpe du fil ?
|
||
— 50 mètres.
|
||
— Et qu’est-ce qu’on a fait ?
|
||
— On a découpé.
|
||
— Oui, mais qu’est-ce qu’on a découpé très précisément ?
|
||
— Trois morceaux de 12,70 mètres.
|
||
— Alors quels calculs faut-il faire ?
|
||
— Une soustraction.
|
||
— On fait 50 moins 12,70.
|
||
— On a enlevé qu’une fois 12,70 mètres ?
|
||
— Non, trois fois.
|
||
— Et alors ?
|
||
— Il faut enlever trois fois 12,70 mètres.
|
||
— Oui, en effet, il va falloir soustraire 3 fois 12,70 mètres. Bon on s’arrête là.
|
||
Vous allez retourner à vos places. Vous allez faire un schéma qui raconte
|
||
l’histoire, qui raconte ce que fait l’électricien comme on l’a vu à l’instant. Puis
|
||
après, vous allez faire les calculs. Allez, c’est parti.
|
||
|
||
Le professeur a fait le choix de ne pas agir sur les nombres en jeu, notamment en
|
||
remplaçant la longueur des morceaux découpés par un entier, car son objectif
|
||
premier au sein de la séance est de travailler sur le calcul posé avec des nombres
|
||
décimaux. Il retourne ensuite faire un nouveau tour de classe complet pour
|
||
voir le travail de chacun des autres élèves pendant que les six élèves suivis
|
||
spécifiquement se lancent dans une nouvelle tentative de résolution.
|
||
63 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
La séance se poursuit ensuite avec la résolution des problèmes suivants, chaque
|
||
élève allant à son rythme. Le professeur a le temps de repasser une troisième fois
|
||
consulter le travail de chacun avant d’interrompre le travail de la classe pour un
|
||
temps de correction et de mise en commun permettant de revenir très brièvement
|
||
sur la technique apprise précédemment pour la soustraction posée de deux
|
||
nombres décimaux, avec l’exemple de la soustraction posée 50 – 38,10 du premier
|
||
problème, qui a été validé pour tous les élèves dans le cahier, avant de corriger en
|
||
détail le deuxième problème. Les suivants ne sont corrigés que dans les cahiers des
|
||
élèves qui ont pu les traiter.
|
||
64 — Qu’est-ce que résoudre un problème ?
|
||
|
||
|
||
En résumé
|
||
|
||
La résolution d’un problème peut être vue comme un processus
|
||
en quatre phases, qui ne se succèdent pas de manière stricte,
|
||
mais qui sont en interaction permanente.
|
||
|
||
|
||
Comprendre : l’élève doit comprendre le texte du problème,
|
||
c’est-à-dire comprendre l’histoire que raconte le problème.
|
||
À cela s’ajoute une compréhension spécifique aux problèmes
|
||
mathématiques : comprendre la question, identifier
|
||
précisément ce qui est cherché.
|
||
|
||
|
||
Modéliser : l’élève doit traduire la situation comprise,
|
||
l’histoire qui se situe dans le monde réel, dans un format
|
||
pertinent sur le plan mathématique, par exemple un tout
|
||
composé de parties, permettant de déduire des opérations
|
||
mathématiques à effectuer pour répondre à la question posée.
|
||
|
||
|
||
Calculer : l’élève doit effectuer les calculs identifiés à l’étape
|
||
précédente. Ces calculs peuvent être effectués mentalement,
|
||
en ligne ou en posant les opérations.
|
||
|
||
|
||
Répondre : l’élève doit interpréter les résultats des
|
||
opérations mathématiques dans le contexte du problème,
|
||
en effectuant une régulation par rapport à la situation
|
||
initialement comprise. Cette étape nécessite de mobiliser
|
||
des compétences en communication pour produire
|
||
une réponse intelligible par tous.
|
||
III
|
||
Identifier les obstacles
|
||
à la résolution
|
||
de problèmes
|
||
pour les élèves
|
||
66 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
|
||
Ces dernières décennies, de nombreux travaux
|
||
de recherche ont porté sur ce qui fait obstacle
|
||
à la réussite des élèves lors de la résolution de problèmes.
|
||
Ces éléments sont multiples et il est indispensable
|
||
qu’ils soient connus du professeur.
|
||
L’objectif n’est pas d’épurer les problèmes de tout ce qui
|
||
peut être source de difficultés pour les élèves, mais de les
|
||
identifier et de les contrôler. Ceci doit permettre de
|
||
s’assurer que les problèmes à résoudre sont accessibles
|
||
aux élèves à qui ils sont proposés, tout en les aidant à
|
||
développer de nouvelles compétences en les confrontant
|
||
progressivement à de nouveaux obstacles. Cela donne
|
||
également le moyen de saisir pourquoi un énoncé
|
||
est plus difficile qu’un autre. Une connaissance fine
|
||
de ce qui pose des difficultés aux élèves permet aussi,
|
||
en cas de difficultés rencontrées lors de la résolution
|
||
de problèmes, de fournir les coups de pouce utiles
|
||
à chacun, sans dénaturer les tâches dévolues aux élèves.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La structure mathématique
|
||
du problème
|
||
|
||
L’ensemble des structures de problèmes pouvant être proposées aux élèves de
|
||
cours moyen est large ; il n’est pas possible d’être exhaustif sur ce point, même si
|
||
le chapitre 1 a permis de circonscrire les caractéristiques des problèmes devant
|
||
être proposés à ce stade de la scolarité : problèmes en une étape, problèmes en
|
||
plusieurs étapes et problèmes atypiques, chacune de ces catégories étant elle-même
|
||
subdivisée en sous-catégories. De façon générale, les problèmes atypiques sont
|
||
plus difficiles à traiter pour les élèves que les problèmes à étapes, car ils leur sont
|
||
moins familiers, mais les exceptions sont nombreuses.
|
||
67 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Ainsi le problème atypique ci-dessous, relevant de la catégorie des problèmes
|
||
algébriques, est particulièrement difficile à traiter pour les élèves de cours moyen
|
||
s’ils n’ont pas bénéficié d’un enseignement spécifique pour acquérir les outils et les
|
||
compétences utiles pour sa résolution (ces outils seront présentés au chapitre 4).
|
||
|
||
« Agathe et Ben ont dépensé 65 €. Agathe et Chloé ont dépensé 185 €. Chloé a
|
||
dépensé trois fois plus que Ben. Combien Agathe a-t-elle dépensé ?51 »
|
||
|
||
Pour les problèmes à étapes, généralement, plus les étapes sont nombreuses plus
|
||
la difficulté est importante. Ainsi, le problème en deux étapes ci-dessous pose assez
|
||
naturellement plus de difficultés que le problème en une étape proposé ensuite :
|
||
|
||
— « Alice achète trois livres coûtant 5,70 € chacun. Elle donne 20 € à la libraire.
|
||
Combien la libraire va-t-elle lui rendre ? »
|
||
— « Alice achète un livre coûtant 5,70 €. Elle donne 20 € à la libraire. Combien la
|
||
libraire va-t-elle lui rendre ? »
|
||
|
||
Un problème comme celui présenté ci-dessous, portant sur un champ numérique
|
||
élémentaire, relevant du CP, et à l’énoncé relativement simple, peut être source de
|
||
difficultés pour les élèves de cours moyen, car il nécessite de traiter plusieurs étapes :
|
||
|
||
« Un jardinier achète 9 rosiers à 4 € pièce et 3 sapins à 17 € pièce. Quel est le
|
||
montant de sa dépense ? »
|
||
|
||
Pour ce problème en trois étapes, les calculs sont a priori accessibles à des élèves
|
||
de CP par des additions itérées. Il relève cependant plus du cours élémentaire, car
|
||
la multiplication permet de traiter efficacement les deux premières étapes. Il a été
|
||
proposé en janvier 2011 dans le cadre d’une évaluation nationale de CM2 ; un tiers
|
||
des élèves n’a pas réussi à le résoudre et plus de la moitié (52 %) des élèves de RAR52 .
|
||
|
||
Le nombre d’étapes n’est toutefois pas le seul facteur de difficulté. En effet, des
|
||
problèmes à une seule étape sont de difficulté différente en fonction de ce qui est
|
||
connu et de ce qui est cherché. Ceci a été précisément illustré par les travaux de
|
||
Riley mentionnés au chapitre 153 , qui montrent bien l’inégale difficulté des problèmes
|
||
additifs en une étape pour les élèves de cycle 2. Il est généralement plus facile, pour
|
||
les élèves, de trouver un tout en connaissant les différentes parties que de retrouver
|
||
une partie en connaissant le tout et l’autre partie.
|
||
|
||
Exemples :
|
||
|
||
— Problème de recherche du tout :
|
||
« J’ai acheté 6,4 kg de pommes et 3,8 kg de poires.
|
||
Quelle est la masse de fruits achetés ? »
|
||
|
||
— Problème de recherche d’une partie :
|
||
« J’ai acheté 6,4 kg de fruits. Il y a des pommes et 3,8 kg de poires.
|
||
Quelle est la masse de pommes achetées ? »
|
||
|
||
51 — Berinderjeet Kaur, “The Why, What and How of the ’Model’
|
||
Method: A Tool for Representing and Visualising Relationships When
|
||
Solving Whole Number Arithmetic Word Problems”, ZDM – Mathematics
|
||
Education, n° 51, Springer, 2018.
|
||
52 — Réseau ambition réussite (à peu près équivalent aux écoles
|
||
en REP+ aujourd’hui).
|
||
53 — Voir p. 21.
|
||
68 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Il est également plus facile pour les élèves de trouver un état final qu’un état initial
|
||
dans un problème où une grandeur évolue, et ceci, indépendamment de l’opération
|
||
en jeu (addition ou soustraction).
|
||
|
||
Exemples :
|
||
|
||
— Problème de recherche d’un état final :
|
||
« Maya avait 17,5 L d’essence dans sa moto. Elle en a consommé 13,7 L.
|
||
Quel volume d’essence y a-t-il maintenant dans la moto de Maya ? »
|
||
|
||
— Problème de recherche d’un état initial :
|
||
« Maya vient de rajouter 13,7 L d’essence dans sa moto pour faire le plein. Il y a
|
||
maintenant 17,5 L d’essence dans le réservoir.
|
||
Quel volume d’essence y avait-il dans la moto avant que Maya ne fasse le plein ? »
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Le texte de l’énoncé du problème
|
||
|
||
Comme pour un texte proposé en français, en sciences ou dans toute autre discipline,
|
||
la compréhension d’un énoncé de problème peut représenter un obstacle. L’élève
|
||
peut ainsi avoir des difficultés à saisir, à partir du texte de l’énoncé, ce qu’est la
|
||
situation, c’est-à-dire ce qui se passe dans l’histoire que raconte cet énoncé et ce
|
||
qui est demandé. Plusieurs éléments du texte de l’énoncé peuvent ainsi constituer
|
||
des obstacles à cette bonne compréhension :
|
||
|
||
— le degré de familiarité de l’élève avec l’environnement du problème : familiarité
|
||
avec le contexte, familiarité avec le lexique lié à ce contexte, etc. ;
|
||
— la longueur et la forme de l’énoncé : les textes peuvent devenir plus longs au cours
|
||
moyen et les informations à prélever plus nombreuses ;
|
||
— la présence d’illustrations qui généralement ne facilitent pas la tâche des élèves ;
|
||
— le lexique spécifique aux mathématiques ;
|
||
— des mots-clés de l’énoncé concordants ou non avec la modélisation : présence
|
||
de mots comme « plus », « perdre », « fois », « partager » qui incitent fortement à
|
||
effectuer une opération en particulier ;
|
||
— un scénario, évoqué par l’énoncé, facilitant ou non la perception des relations
|
||
mathématiques en jeu : relations entre les entités présentes dans l’énoncé,
|
||
relations décrites au sein de l’énoncé ou à construire par l’élève, etc. ;
|
||
— l’inscription ou non dans le champ de validité de la conception intuitive des
|
||
opérations : par exemple des problèmes de gains pour lesquels il faut effectuer
|
||
une soustraction ne sont pas inscrits dans ce champ de validité ;
|
||
— la présence de données inutiles.
|
||
69 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
|
||
Le degré de familiarité de l’élève avec
|
||
l’environnement du problème
|
||
|
||
Une première source de difficulté est l’absence de familiarité de l’élève avec
|
||
l’environnement dans lequel se situe l’action du problème et, en particulier, avec
|
||
le lexique utilisé dans l’énoncé. Il s’agit aussi d’une difficulté pour le professeur :
|
||
un univers qui peut lui sembler familier, car s’appuyant sur son vécu personnel, peut
|
||
ne pas l’être du tout pour certains élèves.
|
||
|
||
La compréhension du problème sera généralement plus aisée si l’univers de
|
||
référence sur lequel porte le problème est familier des élèves. Ainsi le problème
|
||
ci-dessous, portant sur le football, sera certainement plus accessible aux élèves
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français que le problème équivalent, issu de l’univers du curling, proposé ensuite.
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— « Le capitaine frappe la balle juste avant la ligne de milieu de terrain. Le ballon
|
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s’immobilise 45,5 m plus loin dans les pieds de l’avant-centre, situé à 2,5 m du
|
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point de penalty, celui-ci tire en direction du but, le ballon s’immobilise alors dans
|
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les bras du gardien après avoir parcouru 8,3 m.
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Quelle distance totale a parcouru le ballon ? »
|
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— « Le skip lâche le marteau juste avant la ligne de hog. La pierre d’ailsite heurte une
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pierre adverse 26,9 m plus loin, puis poursuit sa route en direction de la maison,
|
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la pierre s’immobilise à 0,8 m du champagne, après avoir parcouru 3,4 m.
|
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Quelle distance totale a parcouru la pierre ? »
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Il pourra souvent être intéressant de créer des problèmes directement en lien avec
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les activités des élèves et les événements vécus par la classe : activités pratiquées
|
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dans le cadre de l’EPS, sorties organisées, activités menées en sciences, etc.
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L’absence de connaissance des entités dont il est question dans l’énoncé du problème
|
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peut rendre impossible la régulation nécessaire lors de la quatrième phase de la
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résolution du problème (répondre).
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« Aujourd’hui, j’ai trouvé 35 bigorneaux. Ensemble, ils pèsent 480 g. En supposant
|
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qu’ils ont tous la même masse, trouve combien pèse un bigorneau. »
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Un élève effectuant le calcul : 480 g x 35 = 16 800 g = 16,8 kg ne sera nullement alerté
|
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par l’absurdité de la masse trouvée, s’il n’a aucune idée de ce qu’est un bigorneau.
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La longueur et la forme de l’énoncé
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Au cycle 2, les élèves sont assez rarement exposés à des problèmes dont l’énoncé
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s’étale sur plus de trois lignes, ce qui fait qu’au cours moyen, un énoncé plus long,
|
||
par exemple avec plus de quatre données numériques, peut se révéler difficile
|
||
à traiter pour certains élèves.
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70 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
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« Un spectacle musical avec cinq artistes est proposé au directeur d’une école.
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Il faut payer les artistes 50 euros chacun. Il faut aussi payer leur déplacement,
|
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soit 200 euros au total. Il n’y a pas d’autres frais. L’association de parents d’élèves
|
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donne une aide de 110 euros et la mairie accorde une autre aide de 240 euros.
|
||
Si les 50 élèves de cette école assistent au spectacle, quelle participation
|
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financière doit être demandée à chaque élève pour payer la dépense restante ? »
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Il est important de confronter les élèves dès le début du cours moyen à des énoncés
|
||
de problèmes de plus de deux ou trois lignes sans complexité particulière au-delà
|
||
de la longueur, afin de leur apprendre à ne pas être déstabilisés par de tels énoncés
|
||
et à structurer les données pour pouvoir répondre à la question posée.
|
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||
D’autres éléments peuvent être de nature à faciliter ou, au contraire, à rendre plus
|
||
complexe la compréhension du problème. Par exemple, la position de la question
|
||
en début d’énoncé peut être facilitatrice pour certains élèves54 , en les invitant dès
|
||
la première lecture à se concentrer sur un objectif précis. Les problèmes dont les
|
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données sont organisées dans l’ordre où elles sont utiles sont aussi généralement
|
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plus aisés à résoudre.
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La présence ou non d’illustrations
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Les illustrations sont souvent vues comme un moyen d’aider les élèves à mieux
|
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comprendre les énoncés qui leur sont soumis. Différentes études montrent que
|
||
cela n’est pas toujours le cas : les illustrations peuvent parfois distraire les élèves,
|
||
plus que les soutenir dans la résolution du problème. Par ailleurs, des illustrations
|
||
contenant une partie des informations nécessaires pour résoudre le problème,
|
||
comme dans l’énoncé ci-dessous, nécessitent des allers-retours entre le texte et
|
||
la ou les illustrations qui augmentent la difficulté à résoudre le problème.
|
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||
Exemple :
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« Jacques et Henri, âgés de 17 et 20 ans, plantent leur tente pour deux semaines
|
||
dans le camping des Trois Chênes. Combien paieront-ils ? »
|
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CAMPING DES TROIS CHÊNES
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Tarif par semaine
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Adulte 54 €
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Enfant (jusqu’à 10 ans) 21 €
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Emplacement pour une caravane 40 €
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Emplacement pour une toile de tente 22 €
|
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Animaux autorisés gratuit
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||
54 — Michel Devidal, Michel Fayol, Pierre Barrouillet, « Stratégies
|
||
de lecture et résolution de problèmes arithmétiques », L’Année
|
||
psychologique, Vol. 97, n° 1, PUF, 1997.
|
||
71 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Pour ce problème, le contexte du camping peut bien évidemment être un obstacle
|
||
pour certains élèves, mais une difficulté supplémentaire est liée à la nécessité de
|
||
faire le lien entre l’énoncé, qui est pourtant très court, et l’illustration contenant les
|
||
tarifs. En effet, il faut s’appuyer simultanément sur les deux sources d’information
|
||
pour établir le prix à payer : deux tarifs « adulte » (Jacques est mineur, mais le tarif
|
||
« enfant » est pour les enfants jusqu’à 10 ans, il est donc considéré comme « adulte »
|
||
contrairement à ce que le langage courant indique habituellement), une tente
|
||
(qualifiée de « toile de tente » dans le tableau), deux semaines (à lier avec « Tarif par
|
||
semaine »). Comme pour le problème précédent, les mathématiques sous-jacentes
|
||
relèvent du CE1 ; ce problème pose néanmoins encore des difficultés à certains
|
||
élèves de CM2, avec un taux de réussite de 49 % lors des évaluations nationales de
|
||
janvier 2011 (30 % en RAR55).
|
||
|
||
Dans une étude réalisée aux Pays-Bas avec des élèves en cinquième année d’école
|
||
primaire (équivalent du CM2), des chercheurs 56 ont proposé des problèmes très
|
||
simples, en une étape, accompagnés ou non d’une illustration :
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— des problèmes bruts, sans illustration ;
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— des problèmes accompagnés d’une illustration décorative, qui n’apporte pas
|
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d’information utile ;
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— des problèmes accompagnés d’une illustration qualifiée d’aidante, car elle
|
||
illustrerait les informations données dans le problème ;
|
||
— des problèmes accompagnés d’une illustration qualifiée d’essentielle, car une
|
||
partie des informations nécessaires pour résoudre le problème sont présentes
|
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uniquement dans l’illustration.
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Les figures ci-dessous présentent quatre de ces problèmes utilisés dans cette
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recherche.
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Brut Inutile Aidante Essentielle
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Il y avait Il y avait Il y avait Il y avait
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18 personnes 18 personnes 18 personnes 18 personnes
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dans le bus. dans le bus. dans le bus. dans le bus.
|
||
4 personnes sont 4 personnes sont 4 personnes sont Des personnes sont
|
||
sorties. Combien sorties. Combien sorties. Combien sorties. Combien
|
||
de personnes de personnes de personnes de personnes
|
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sont dans le bus sont dans le bus sont dans le bus sont dans le bus
|
||
maintenant ? maintenant ? maintenant ? maintenant ?
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18 ? 18
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||
18 ?? 18
|
||
18 ? 18 ?
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Réponse = Réponse = Réponse = Réponse =
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Figure 5. L’impact des illustrations sur la résolution de problèmes.
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55 — Réseau ambition réussite (à peu près équivalent aux écoles
|
||
en REP+ aujourd’hui).
|
||
56 — Inez Berends, Ernest C. D. M. Van Lieshout, “The Effect of
|
||
Illustrations in Arithmetic Problem-solving: Effects of Increased
|
||
Cognitive Load”, Learning and Instruction, n° 19, 2009.
|
||
72 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Les chercheurs se sont intéressés aux effets de ces représentations sur la réussite
|
||
à ces problèmes en distinguant deux groupes d’élèves : ceux forts en calcul et ceux
|
||
faibles en calcul.
|
||
|
||
Ils ont mis en avant une absence d’impact de la présence de l’illustration inutile tant
|
||
pour les élèves forts que pour les élèves faibles en calcul. Ils ont également mis en
|
||
avant un effet négatif de l’illustration essentielle qui conduit à une chute des réussites
|
||
tant pour les élèves forts que pour les élèves faibles. Le fait de devoir confronter
|
||
l’énoncé du problème à l’illustration engendre vraisemblablement une surcharge
|
||
cognitive pour les élèves, ce qui réduit leur réussite. Il faut également comprendre
|
||
que les quatre personnages dessinés sont inclus dans les « 18 » indiqués sur le bus,
|
||
ce qui peut être aussi considéré comme ambigu.
|
||
|
||
Dans le cas de l’illustration qualifiée d’aidante, les chercheurs n’ont pas constaté
|
||
d’effet sur la réussite des élèves forts, mais ils ont constaté un effet négatif sur celle
|
||
des élèves faibles en calcul. Ce résultat contre-intuitif laisse penser que, pour les
|
||
élèves les plus fragiles, une illustration reprenant les informations de l’énoncé n’agit
|
||
pas comme un élément facilitateur, mais au contraire, ajoute de la complexité en
|
||
augmentant la charge cognitive, en multipliant les sources d’information.
|
||
|
||
Il semble donc raisonnable de ne pas chercher à illustrer à tout prix les problèmes
|
||
proposés aux élèves et, lors des choix de manuels, de privilégier ceux ne multipliant
|
||
pas les illustrations inutiles, aidantes ou même essentielles.
|
||
|
||
|
||
|
||
La présence d’éléments superflus
|
||
|
||
Beaucoup de travaux ont été menés en France dans les années 1990 sur l’influence
|
||
qu’a la présence de données inutiles dans les énoncés de problèmes pour la réussite
|
||
des élèves à les résoudre. Denis Butlen et Monique Charles-Pézard57 proposent, par
|
||
exemple, la liste de problèmes ci-dessous dans lesquels les francs ont été remplacés
|
||
par des euros.
|
||
|
||
— « Une famille de 3 personnes séjourne pendant 6 jours à la résidence “des 3 îles” ;
|
||
le tarif journalier de la pension est de 45 € par personne.
|
||
Calcule le montant de la dépense. »
|
||
— « Marie fête son anniversaire le 22 septembre : elle a 11 ans. Elle dit à sa maman :
|
||
“J’ai exactement 32 ans de moins que toi !”
|
||
Quel est l’âge de Maman ? »
|
||
— « Jean part de Paris, il doit passer par Melun et être à Fontainebleau à 10 heures ;
|
||
la distance Paris-Fontainebleau est de 65 km et il y a 15 km de Melun
|
||
à Fontainebleau.
|
||
Quelle est la distance entre Paris et Melun ? »
|
||
— « Pour Noël, Jean, qui dispose de 84 €, a décidé d’offrir le même livre à ses 4 amis ;
|
||
il paye 74 €.
|
||
Quel est le prix d’un livre ? »
|
||
|
||
|
||
57 — Denis Butlen, Monique Charles-Pézard, « Conceptualisation
|
||
en mathématiques et élèves en difficulté. Le calcul mental entre sens
|
||
et technique », Grand N, n° 79, 2007.
|
||
73 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
— « Un rallye cycliste comporte 105 km ; le départ est à 7 heures le matin ; les relais
|
||
sont distants de 5 km ; chaque participant doit pointer au départ, à chaque relais,
|
||
et à l’arrivée.
|
||
Combien de fois doit-il pointer ? »
|
||
— « Un restaurant propose un menu du jour à 18 € ; il y a 4 choix possibles pour
|
||
l’entrée, 3 choix possibles pour le plat principal et 2 choix possibles pour le dessert.
|
||
Combien de menus différents (entrée-plat-dessert) peut-on constituer ? »
|
||
|
||
Cette présence de données inutiles a un effet négatif sur la réussite du traitement
|
||
de ces problèmes par les élèves. D’une part, ces données supplémentaires aug-
|
||
mentent la charge cognitive des élèves lors de la résolution, rendant plus difficiles
|
||
la compréhension et la modélisation du problème. D’autre part, les élèves qui ne
|
||
s’inscrivent pas dans une démarche de compréhension du problème, mais prennent
|
||
simplement les données de l’énoncé et s’en servent pour effectuer un calcul choisi
|
||
plus ou moins aléatoirement, sont mis en échec, alors qu’ils auraient pu obtenir un
|
||
résultat correct avec leur démarche erronée sans la présence de données inutiles.
|
||
|
||
Proposer des problèmes avec des données inutiles est donc particulièrement
|
||
intéressant pour repérer des difficultés d’élèves qui risqueraient de ne pas être
|
||
décelées lors du traitement d’un problème en une étape avec deux données
|
||
numériques. Cependant, il n’est sans doute pas souhaitable d’en faire une tâche
|
||
technique, qui consisterait à repérer les données inutiles et les données utiles
|
||
dans des énoncés de problèmes. En résolution de problèmes, la tâche dévolue aux
|
||
élèves est et doit rester celle de résoudre des problèmes. Lors des temps de mise
|
||
en commun, il est cependant intéressant de mettre la focale sur la présence de ces
|
||
données numériques, écrites en chiffres ou en lettres, qui ne sont pas utiles pour
|
||
répondre à la question posée.
|
||
|
||
|
||
|
||
Le lexique et, en particulier, le lexique
|
||
spécifique aux mathématiques
|
||
|
||
Ce point est en lien direct avec le paragraphe sur la familiarité de l’élève avec
|
||
l’environnement du problème ; un environnement peu familier à un élève risque de
|
||
conduire à la confrontation d’un lexique méconnu. Les difficultés liées au lexique
|
||
nécessitent une grande vigilance du professeur lors du choix des problèmes.
|
||
Un temps de résolution de problèmes ne doit pas être vu comme une opportunité
|
||
de faire acquérir de nouveaux mots aux élèves. Certaines séances de résolution de
|
||
problèmes commencent parfois par de longues explications sur le texte de l’énoncé
|
||
et le lexique qu’il contient. Cette pratique est généralement à éviter, car elle éloigne
|
||
les élèves de l’objectif visé par les séances de résolution de problèmes. Elle est
|
||
particulièrement ennuyeuse pour les élèves qui ont souvent perdu toute motivation
|
||
à résoudre le problème lorsque les longues explications cessent. La résolution de
|
||
problèmes peut néanmoins être une occasion de réinvestir des mots nouveaux, appris
|
||
récemment, et qu’il est utile de faire rencontrer régulièrement aux élèves pour qu’ils
|
||
se les approprient.
|
||
74 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Une fois le problème résolu, le professeur peut revenir sur des points de lexique
|
||
qui posaient souci sans que cela n’ait été anticipé. Par exemple, pour le problème de
|
||
Gabin vu dans la partie « Comprendre » du chapitre 2 (« Gabin a réalisé un bouquet
|
||
de fleurs. Un quart sont des roses, un tiers sont des œillets et les 10 autres fleurs
|
||
sont des marguerites. Combien y a-t-il de fleurs dans le bouquet de Gabin ? »), il peut
|
||
montrer, grâce aux outils numériques présents dans la classe, des photos d’œillets ou
|
||
de marguerites à des élèves qui ne connaissent pas ces fleurs. Ces éclairages doivent
|
||
être accompagnés d’explications destinées à montrer que l’on pouvait résoudre le
|
||
problème sans connaître ces fleurs, simplement en devinant qu’il s’agissait de fleurs
|
||
puisque l’énoncé parlait de la constitution d’un bouquet de différentes fleurs. L’objectif
|
||
est à nouveau de faire des inférences et ainsi d’outiller les élèves pour qu’ils puissent
|
||
traiter un problème qui leur est proposé malgré d’éventuelles carences lexicales,
|
||
en faisant des hypothèses qu’ils vérifieront ensuite.
|
||
|
||
Si les séances de résolution de problèmes ne doivent, a priori, pas avoir pour objectif
|
||
de faire connaître de nouveaux mots, cela n’est pas vrai pour le lexique ou la langue
|
||
spécifiques aux mathématiques qu’il va falloir faire découvrir, revoir et faire maîtriser
|
||
aux élèves, dans le cadre de la résolution de problèmes. Par exemple, les expressions
|
||
suivantes doivent faire l’objet d’une attention particulière :
|
||
|
||
— il en a 5 de plus ;
|
||
— il en veut au moins 6 ;
|
||
— il en a 3 fois plus ;
|
||
— il est inférieur à ;
|
||
— il est supérieur ou égal à ;
|
||
— il en a le triple ;
|
||
— il en donne le quart ;
|
||
— il en a autant ;
|
||
— la longueur du rectangle est le double de sa largeur…
|
||
|
||
Le maniement de ces expressions relationnelles peut être aussi l’occasion de
|
||
travailler certains principes mathématiques. Par exemple, si « Léa a 5 billes de plus
|
||
que Sarah », alors « Sarah a 5 billes de moins que Léa » ; si « Léa a 5 fois plus de billes
|
||
que Sarah », alors « Sarah a 5 fois moins de billes que Léa ».
|
||
|
||
|
||
|
||
Les mots clés de l’énoncé (plus, moins, fois, etc.)
|
||
concordant ou non avec la modélisation
|
||
|
||
Lors des classifications des problèmes en une étape dans les années 1980,
|
||
les chercheurs ont mis en évidence une meilleure réussite lorsque l’opération
|
||
attendue correspond, d’un point de vue sémantique, au lexique présent dans l’énoncé.
|
||
|
||
— Problème 1 : « Paul a 3 billes. Pierre a 5 billes de plus que Paul.
|
||
Combien Pierre a-t-il de billes ? »
|
||
— Problème 2 : « Paul a 3 billes. Paul a 5 billes de moins que Pierre.
|
||
Combien Pierre a-t-il de billes ? »
|
||
75 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Ainsi, pour les deux problèmes précédents pour lesquels il faut calculer la même
|
||
somme 3 + 5, Mary Riley et al.58 ont obtenu une réussite de 100 % pour le premier
|
||
exercice et de seulement 75 % pour le second avec des élèves en troisième année
|
||
d’école élémentaire.
|
||
|
||
Le second exercice conduit en effet de nombreux élèves à effectuer la soustraction
|
||
5 – 3. Les processus conduisant à ce choix sont sans doute divers, avec des niveaux
|
||
de compréhension variés ; pour certains élèves, cette réponse erronée révèle sans
|
||
doute une difficulté à inhiber le réflexe conduisant à faire une soustraction en lisant
|
||
le mot « moins » présent dans l’énoncé.
|
||
|
||
Ces éléments sont importants pour les problèmes soumis aux élèves lors des
|
||
temps de formation, mais aussi et surtout en évaluation. Pour les trois problèmes
|
||
ci-dessous, un mot de l’énoncé (« plus », « différence », « moins ») correspond au
|
||
lexique de l’addition, pour le premier problème, et de la soustraction, pour les deux
|
||
suivants. Une centration sur ces mots, indépendamment de toute autre chose, conduit
|
||
à effectuer l’opération attendue. Un élève peut donc modéliser correctement le
|
||
problème, en s’appuyant uniquement sur ce mot clé, sans avoir compris la situation
|
||
et sans avoir réfléchi au modèle mathématique sous-jacent.
|
||
|
||
— « Au marché, un ananas coûte 1,89 €. Une pastèque coûte 1,66 € de plus qu’un ananas.
|
||
Quel est le prix d’une pastèque ? »
|
||
— « Au marché, un ananas coûte 1,89 € et une pastèque coûte 3,55 €.
|
||
Quelle est la différence de prix entre une pastèque et un ananas ? »
|
||
— « Au marché, une pastèque coûte 3,55 €. Un ananas coûte 1,66 € de moins
|
||
qu’une pastèque.
|
||
Quel est le prix d’un ananas ? »
|
||
|
||
Ces trois problèmes peuvent donc, dans certains cas, conduire à penser que des
|
||
élèves savent résoudre correctement des problèmes de comparaison additive, alors
|
||
que leur raisonnement est erroné. On peut alors parler de faux positif, comme on
|
||
le ferait dans le cas d’un test médical. Si ce type de problèmes n’est pas à bannir,
|
||
il faut cependant rester vigilant afin de ne pas risquer de valider des compétences
|
||
qui ne sont pas acquises. Cela pose, de façon générale, la question de la manière
|
||
dont les termes de l’énoncé influencent le choix de la stratégie de résolution de
|
||
l’élève59. Le professeur peut ainsi, en évaluation, privilégier des problèmes évitant
|
||
ces concordances, comme les problèmes ci-après :
|
||
|
||
— « Au marché, un ananas coûte 1,89 €. Un ananas coûte 1,66 € de moins
|
||
qu’une pastèque.
|
||
Quel est le prix d’une pastèque ? »
|
||
— « Au marché, un ananas coûte 1,89 € et une pastèque coûte 3,55 €.
|
||
Combien une pastèque coûte-t-elle de plus qu’un ananas ? »
|
||
— « Au marché, une pastèque coûte 3,55 €. Une pastèque coûte 1,66 € de plus
|
||
qu’un ananas.
|
||
Quel est le prix d’un ananas ? »
|
||
|
||
58 — Voir chapitre 1.
|
||
59 — Gabriella Daroczy, Detmar Meurers, Juergen Heller, Magdalena
|
||
Wolska, Hans-Christoph Nuerk, “The Interaction of Linguistic And
|
||
Arithmetic Factors Affects Adult Performance on Arithmetic Word
|
||
Problems”, Cognitive Processing, n° 21, 2020.
|
||
76 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
|
||
L’inscription ou non dans le champ de validité
|
||
de la conception intuitive des opérations
|
||
|
||
Depuis les années 1980, il est bien établi par la recherche que chaque notion
|
||
mathématique est d’abord comprise par les élèves à travers des éléments de la vie
|
||
quotidienne. Ainsi, la conception intuitive de l’addition est la recherche du résultat
|
||
d’un gain ou d’un ajout, celle de la soustraction est la recherche du reste dans
|
||
une situation de perte ou de retrait, celle de la multiplication est la répétition d’une
|
||
suite d’additions du même nombre et celle de la division est la recherche de la taille
|
||
de la part dans le contexte d’un partage équitable 60. Ces conceptions intuitives
|
||
sont utiles dans la mesure où elles permettent aux élèves de s’appuyer sur leurs
|
||
connaissances préalables pour donner du sens à une notion, de mettre à profit
|
||
leurs expériences passées pour faciliter leurs apprentissages. Mais elles vont aussi
|
||
constituer un obstacle quand elles ne coïncideront pas avec la notion mathématique61 ,
|
||
par exemple, quand un problème mettant en jeu une perte nécessite de mobiliser une
|
||
addition et non pas une soustraction, comme pour le problème ci-dessous.
|
||
|
||
« Alice a un trou dans sa poche. Elle a perdu 3,40 € pendant la randonnée. Il lui
|
||
reste 13,80 €. Combien d’argent avait Alice au début de la randonnée ? »
|
||
|
||
Un autre exemple est celui d’une multiplication avec un multiplicateur inférieur
|
||
à 1, pour laquelle le produit sera donc inférieur au multiplicande, ce qui heurte la
|
||
conception intuitive d’une multiplication qui est la répétition d’une suite d’additions du
|
||
même nombre et qui dans ce cas donne donc un produit supérieur au multiplicande.
|
||
|
||
« Arsène achète 0,250 kg de Beaufort à 22 € le kilogramme. Combien d’euros
|
||
va payer Arsène pour son morceau de Beaufort ? »
|
||
|
||
Le tableau ci-après donne d’autres exemples de problèmes coïncidant ou non avec
|
||
la conception intuitive des opérations.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
60 — Jacques Lautrey, Sylviane Rémi-Giraud, Emmanuel Sander, Andrée
|
||
Tiberghien, Les Connaissances naïves, Armand Colin, Paris, 2008.
|
||
61 — George Lakoff, Rafael Núñez, Where Mathematics Comes From:
|
||
How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, Basic Books,
|
||
New York, 2001.
|
||
77 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
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||
Problèmes coïncidant Problèmes non inscrits dans le champ
|
||
avec la conception intuitive de validité de la conception intuitive
|
||
de l’opération de l’opération
|
||
« Léa avait 18,45 €. Sa maman lui a « La maman de Léa lui a donné 5 €.
|
||
donné 5 €. Léa a maintenant 18,45 €.
|
||
Combien d’argent a Léa maintenant ? » Combien d’argent avait Léa avant
|
||
de recevoir les 5 € de sa maman ? »
|
||
« 108 coureurs prennent le départ « 108 coureurs prennent le départ
|
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d’une course. Il y a 85 abandons d’une course. Il y a beaucoup
|
||
pendant la course. d’abandons. 85 coureurs seulement
|
||
Combien de coureurs ont terminé terminent la course.
|
||
la course ? » Combien de coureurs ont abandonné ? »
|
||
« Quel est le prix de 4 litres d’essence « Quel est le prix de 0,27 litre d’essence
|
||
si un litre d’essence coûte 1,22 euro ? » si un litre d’essence coûte 1,22 euro ? »62
|
||
« Sept enfants se partagent « Des enfants se sont partagé
|
||
équitablement 91 billes. équitablement 91 billes. Chaque enfant
|
||
Combien de billes va recevoir a reçu 7 billes.
|
||
chaque enfant ? » Combien y a-t-il d’enfants ? »
|
||
|
||
Il est important de prendre en compte, dans les activités de résolution de problèmes,
|
||
si la situation s’inscrit ou non dans le champ de validité de la conception intuitive
|
||
de l’opération en jeu dans le problème. En effet, les réussites ne s’interprètent pas
|
||
de la même façon selon que la conception intuitive de l’opération facilite ou non le
|
||
ou les choix calculatoires pertinents. Il y a évidemment un enjeu fort à s’assurer
|
||
que les situations travaillées en classe vont fréquemment au-delà des contextes où
|
||
la conception intuitive est facilitante.
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Un scénario, évoqué par l’énoncé, facilitant
|
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ou non la perception des relations
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mathématiques en jeu
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De manière générale, il n’y a pas de neutralité entre les contenus des énoncés et les
|
||
structures mathématiques sous-jacentes, dans la mesure où les relations qu’entre-
|
||
tiennent les éléments d’un énoncé peuvent inciter à effectuer certaines opérations
|
||
mathématiques. Par exemple, des billes de différentes couleurs, des pommes et des
|
||
poires, ou encore des voitures et des camions relèvent de scénarios de collections
|
||
existant en parallèle et pouvant être regroupées dans des collections englobantes
|
||
comme les billes ou les fruits ou encore les véhicules, ce qui évoque une addition ou
|
||
une soustraction. En revanche, des fleurs et des vases, des œufs et des boîtes, des
|
||
billes et des sacs ou des pommes et des paniers relèvent de scénarios de répartition
|
||
de contenus dans des contenants, ce qui évoque une multiplication ou une division.
|
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62 — Ce problème relève a priori du niveau sixième ; il nécessite
|
||
un changement d’unité pour que l’opération à effectuer soit accessible
|
||
à un élève de cours moyen.
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||
78 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
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||
Lorsque les opérations évoquées par les éléments en jeu ne sont pas celles qui
|
||
mènent à la solution, cela conduira à une difficulté accrue de la résolution des
|
||
problèmes63 . Par exemple, un problème avec un nombre de vases et de fleurs pour
|
||
lequel il faut effectuer une soustraction et non pas une division.
|
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Scénarios facilitateurs Scénarios non facilitateurs
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« Léo a 21 billes rouges et 7 billes bleues. « Léo a 21 roses et 7 vases.
|
||
Combien Léo a-t-il de billes rouges Combien Léo a-t-il de roses de plus que
|
||
de plus que de billes bleues ? » de vases ? »
|
||
« Lucie a 13 vases. Elle met 7 roses « Lucie a 7 billes rouges. Elle reçoit
|
||
dans chaque vase. 13 billes bleues en échange de chaque
|
||
Combien de roses y aura-t-il dans bille rouge.
|
||
l’ensemble des vases ? » Combien de billes bleues aura-t-elle
|
||
à la fin des échanges ? »
|
||
|
||
|
||
Dans le cadre de l’enseignement de la résolution de problèmes, il est essentiel
|
||
d’envisager des cas de figure où les scénarios ne sont pas facilitateurs afin de
|
||
s’assurer que les élèves ont acquis une autonomie suffisante pour résoudre les
|
||
problèmes y compris en l’absence de ces soutiens sémantiques.
|
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||
Le champ numérique
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||
Les nombres en jeu dans un problème peuvent être source de difficulté pour les élèves.
|
||
La difficulté va être liée à la nature ou l’écriture des nombres (fractions, écriture à
|
||
virgule d’un nombre décimal), au nombre de chiffres que comporte l’écriture de ces
|
||
nombres ou encore au fait que ces nombres sont des mesures données dans des
|
||
unités différentes. Dans les problèmes multiplicatifs, les rapports qu’entretiennent
|
||
entre eux les nombres peuvent également être ou non source de difficulté.
|
||
|
||
La complexité engendrée par les nombres en jeu et leurs relations peut apparaître :
|
||
|
||
— lors des phases de compréhension et de modélisation du problème en créant une
|
||
surcharge cognitive qui laisse alors moins de disponibilité pour appréhender les
|
||
autres difficultés du problème ;
|
||
— lors de la phase de calcul en nécessitant d’éventuels changements d’écriture
|
||
des nombres (passage d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale par
|
||
exemple) ou d’éventuels changements d’unités des grandeurs et des stratégies
|
||
de calcul parfois mal maîtrisées à ce stade de la scolarité.
|
||
|
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|
||
|
||
63 — Miriam Bassok, Valerie Chase, Shirley Martin, “Adding Apples
|
||
and Oranges: Alignment of Semantic and Formal Knowledge”, Cognitive
|
||
Psychology, n° 35, 1998.
|
||
79 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Au cours moyen, un problème avec des nombres entiers inférieurs à 20 pourra
|
||
souvent être traité mentalement, alors que le même problème avec des nombres
|
||
nouvellement rencontrés nécessitera un traitement à l’écrit. Il est à noter que la
|
||
surcharge cognitive que représente le maniement de ces nouveaux nombres peut
|
||
conduire à la nécessité de produire un schéma pour modéliser le problème alors
|
||
que la modélisation de ce même problème ne nécessite pas de schéma avec des
|
||
nombres avec lesquels l’élève est plus à l’aise.
|
||
|
||
Le problème ci-dessous, qui peut être traité par un élève de CP, pourra être traité
|
||
mentalement, sans difficulté, par un élève de cours moyen.
|
||
|
||
« Tiago a acheté 10 kg de fruits. Il a acheté 2 kg d’oranges, 3 kg de bananes et
|
||
des pommes. Quelle masse de pommes a-t-il achetée ? »
|
||
|
||
A contrario, le problème ci-après, identique au précédent aux valeurs numériques
|
||
près, nécessitera sans doute un traitement à l’écrit, généralement avec un schéma
|
||
pour représenter la situation et écrire les différentes masses sous une forme
|
||
homogène avant de se lancer dans des calculs.
|
||
|
||
« Tiago a acheté 2,5 kg de fruits. Il a acheté 870 g d’oranges, un quart de kilo-
|
||
gramme de bananes et des pommes. Quelle masse de pommes a-t-il achetée ? »
|
||
|
||
Orange Banane Pomme
|
||
870 g 1 kg = 250 g ?g
|
||
4
|
||
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|
||
2,5 kg = 2 500 g
|
||
|
||
|
||
Dans ce problème, la difficulté est augmentée par le fait que les masses sont données
|
||
dans des unités différentes (gramme et kilogramme) et par le fait que les mesures de
|
||
ces masses sont fournies avec des nombres avec des écritures différentes (entier,
|
||
fraction, écriture à virgule d’un nombre décimal).
|
||
|
||
Dans d’autres problèmes, ce sont les calculs qui doivent être effectués qui peuvent
|
||
engendrer des difficultés, car les techniques opératoires sont apprises depuis peu
|
||
de temps.
|
||
|
||
« J’achète 24 tickets d’entrée à un parc de loisirs. Le prix total est de 300 €. Quel est
|
||
le prix d’un ticket ? »
|
||
|
||
Ce problème de recherche de la valeur d’une part est très simple du point de vue
|
||
de sa structure et de la forme de l’énoncé. Un simple changement des données
|
||
permet d’obtenir un problème qui serait massivement réussi par des élèves de
|
||
cours élémentaire.
|
||
|
||
« J’achète 4 tickets d’entrée à un parc de loisirs. Le prix total est de 40 €. Quel est
|
||
le prix d’un ticket ? »
|
||
80 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
Le problème avec 24 tickets nécessite, lui, de calculer le quotient 300 ÷ 24, opération
|
||
difficile à traiter mentalement au cours moyen, et qui peut donc conduire à poser une
|
||
division décimale. Une recherche par essais et ajustements du nombre qui, multiplié par
|
||
24, donne 300 est également possible. L’algorithme de la division décimale est introduit
|
||
au CM2 et peut donc être encore mal maîtrisé. Lors d’une évaluation nationale des
|
||
élèves de CM2 de janvier 2011, le taux de réussite à cet exercice était de 26 % seulement.
|
||
|
||
Dans d’autres cas, les calculs auxquels conduit une première modélisation peuvent ne
|
||
pas être accessibles aux élèves. Il est alors nécessaire de développer des stratégies
|
||
de calcul spécifiques ou de repenser la modélisation.
|
||
|
||
« Un pack de six bouteilles de lait entier biologique coûte 7,38 €. Quel est le prix
|
||
d’une bouteille de ce pack ? »
|
||
|
||
Pour ce problème qui s’adresse à des élèves de CM2, l’opération qui permet de
|
||
résoudre directement le problème est la division décimale 7,38 ÷ 6. Cette opération
|
||
est difficile à effectuer sans poser l’opération. La division décimale posée est une
|
||
opération nouvelle au CM2 et reste difficile pour certains élèves. En travaillant avec
|
||
des centimes, la division peut être ramenée à une division euclidienne, qui reste
|
||
elle aussi difficile pour certains élèves mais qui est sans doute plus accessible car
|
||
introduite dès le CM1.
|
||
|
||
— « Pour son anniversaire, Lyna a acheté 3 litres de jus de fruits. Les verres de
|
||
Lyna contiennent 0,2 litre.
|
||
Combien de verres de jus de fruits Lyna pourra-t-elle servir ? »
|
||
— « Un mètre d’un certain tissu coûte 5,40 €. Hugo souhaite acheter 2,5 mètres de
|
||
ce tissu.
|
||
Combien devra payer Hugo pour cet achat ? »
|
||
|
||
Pour ces deux problèmes, une première modélisation peut conduire aux calculs
|
||
suivants : 3 ÷ 0,2 et 5,40 x 2,5. Les opérations posées correspondant à ces deux
|
||
calculs ne sont pas accessibles à des élèves de cours moyen. Les calculs nécessitent
|
||
donc une réflexion supplémentaire pour pouvoir trouver respectivement le quotient
|
||
et le produit cherchés. Plusieurs stratégies peuvent être déployées, en voici
|
||
quelques exemples :
|
||
|
||
— Un changement d’unité de mesure pour le premier problème
|
||
Les élèves peuvent choisir de travailler avec des centilitres (ou des millilitres).
|
||
3 L = 3 x 1 L = 3 x 100 cL = 300 cL et 0,2 L = 0,2 x 1 L = 0,2 x 100 cL = 20 cL. On cherche
|
||
donc combien de verres de 20 cL on peut remplir avec 300 cL de jus de fruits.
|
||
300 cL ÷ 20 cL = 15. Avec 3 L de jus de fruits, Lyna peut donc servir 15 verres.
|
||
|
||
— Une utilisation de la proportionnalité pour le premier problème
|
||
5 x 0,2 = 5 x 2 dixièmes = 10 dixièmes = 1. D’où 5 x 0,2 L = 1 L.
|
||
5 verres contiennent 1 L. Avec 1 L, Lyna peut donc servir 5 verres.
|
||
3 L, c’est 3 fois plus que 1 L ; avec 3 L on remplit donc 3 fois plus de verres qu’avec 1 L.
|
||
3 x 5 verres = 15 verres ; avec 3 L, Lyna peut donc servir 15 verres.
|
||
81 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
— Une utilisation de la proportionnalité pour le second problème
|
||
Un mètre de tissu coûte 5,40 €, donc deux mètres de tissu coûtent deux fois plus,
|
||
c’est-à-dire 2 x 5,40 € = 10,80 €.
|
||
Un mètre de tissu coûte 5,40 €, donc un demi-mètre de tissu coûte la moitié de 5,40 €,
|
||
c’est-à-dire 5,40 € ÷ 2 = 2,70 €.
|
||
2,5 m = 2 m + 0,5 m ; 2,5 mètres de tissu coûtent donc le prix de 2 mètres de tissu
|
||
plus le prix d’un demi-mètre de tissu, c’est-à-dire 10,80 € + 2,70 € = 13,50 €.
|
||
82 — Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves
|
||
|
||
|
||
En résumé
|
||
|
||
Trois sources principales de difficultés sont à retenir :
|
||
|
||
— la structure du problème. Les problèmes en une étape
|
||
sont d’une difficulté très hétérogène (voir chapitre 1).
|
||
Les problèmes en plusieurs étapes, qui sont l’objectif
|
||
principal de l’enseignement de la résolution de problèmes
|
||
au cours moyen, sont en général plus difficiles que ceux en
|
||
une étape. Les problèmes atypiques sont les moins connus
|
||
des élèves et généralement les plus difficiles à résoudre ;
|
||
— le texte de l’énoncé du problème. Un énoncé de quelques
|
||
lignes, éventuellement accompagné d’une illustration,
|
||
peut poser de multiples difficultés de compréhension
|
||
liées au contexte de l’énoncé, au lexique utilisé,
|
||
aux représentations que se font les élèves en lisant
|
||
l’énoncé, etc. ;
|
||
|
||
— les nombres en jeu. Au cours moyen, les élèves
|
||
rencontrent de nouveaux nombres (grands nombres,
|
||
fractions, nombres décimaux) avec lesquels ils
|
||
apprennent à calculer. Leur présence et des écritures
|
||
de natures différentes dans les problèmes peuvent être
|
||
sources de difficultés pour de nombreux élèves.
|
||
|
||
|
||
Pour construire des séquences et des séances d’enseignement
|
||
de la résolution de problèmes, le professeur prend en compte
|
||
ces trois sources de difficultés pour organiser :
|
||
|
||
— la progressivité des apprentissages des élèves ;
|
||
|
||
— la différenciation des tâches proposées ;
|
||
|
||
— l’accompagnement des élèves en difficulté.
|
||
IV
|
||
Comment délivrer
|
||
un enseignement
|
||
structuré
|
||
de la résolution
|
||
de problèmes ?
|
||
84 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Construire un enseignement de la résolution de problèmes
|
||
est complexe, car il faut mener de front des actions dans
|
||
deux directions qui peuvent sembler difficiles à concilier :
|
||
— faire acquérir aux élèves des stratégies efficaces
|
||
de résolution de problèmes, adaptées à des formes
|
||
de problèmes bien identifiées rencontrées au cours
|
||
moyen, et des quasi-automatismes permettant
|
||
de mobiliser aisément et à bon escient ces stratégies
|
||
en s’appuyant sur la mémoire des problèmes résolus
|
||
précédemment ;
|
||
— apprendre aux élèves à ne pas être déstabilisés
|
||
par des problèmes nouveaux, non rencontrés
|
||
précédemment, et développer chez eux des habilités
|
||
en résolution de problèmes : il s’agit de leur permettre
|
||
d’aborder ces problèmes nouveaux en ayant confiance
|
||
en leur aptitude à les résoudre, en inhibant certains
|
||
réflexes inadaptés qui les conduiraient à une réponse
|
||
erronée et en apprenant à tirer parti de l’ensemble
|
||
des problèmes résolus antérieurement.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Fixer collectivement des objectifs
|
||
sur le champ de la résolution
|
||
de problèmes
|
||
|
||
Travailler en cohérence en équipe au sein d’une école est essentiel pour accompagner
|
||
efficacement les apprentissages relatifs à la résolution de problèmes. Les professeurs
|
||
de cours moyen d’une école doivent non seulement travailler collectivement pour
|
||
permettre à l’ensemble des élèves de l’école d’atteindre des objectifs clairement
|
||
85 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
définis, mais ils doivent également travailler en cohérence avec leurs collègues
|
||
de cycle 2 ayant les élèves en amont, et avec les professeurs de mathématiques qui
|
||
accueilleront les élèves en sixième. Ces échanges doivent permettre :
|
||
|
||
— de prendre en compte ce qui a été fait précédemment et donc de s’appuyer sur
|
||
ce qui a été appris au cycle 2 ;
|
||
— d’avoir une vision claire de ce qui est attendu ultérieurement pour mieux préparer
|
||
les élèves à la classe de sixième et informer les professeurs de collège du travail
|
||
mené à l’école élémentaire.
|
||
|
||
Ces échanges peuvent être l’occasion de mieux harmoniser les outils utilisés et les
|
||
stratégies enseignées tout au long de la scolarité et donc de rendre l’enseignement
|
||
plus efficace en permettant aux professeurs de s’appuyer sur ce qui a été fait
|
||
l’année précédente. Dans le cadre de la liaison école-collège, les échanges peuvent
|
||
être menés avec l’ensemble des collèges de chaque secteur, en harmonisant ce qui
|
||
peut l’être (outils, stratégies, objectifs, etc.) dans les différentes écoles partenaires
|
||
afin de permettre aux professeurs de collège de s’appuyer fortement, à l’entrée en
|
||
sixième, sur ce qui a été appris à l’école depuis la maternelle.
|
||
|
||
Ces échanges peuvent s’appuyer sur les différents chapitres de ce guide qui
|
||
fournissent une liste non exhaustive de points sur lesquels une équipe peut se
|
||
mettre d’accord.
|
||
|
||
— Quels problèmes ? Savoir quels types de problèmes (voir chapitre 1) ont été
|
||
résolus et même avoir des exemples très précis de problèmes résolus l’année
|
||
précédente par les élèves peut permettre de s’appuyer sur ceux-ci dès le début
|
||
de l’année scolaire, pour éviter de proposer trop de problèmes d’un niveau
|
||
équivalent, voire inférieur, à ce qui a été vu l’année précédente, ou encore des
|
||
problèmes beaucoup plus difficiles pour lesquels les élèves n’ont pas encore
|
||
développé d’habiletés suffisantes. Cela peut aussi permettre de partir de ces
|
||
problèmes pour en proposer d’un peu plus difficiles, en s’appuyant sur les
|
||
différents facteurs pouvant générer des difficultés mis en avant dans le chapitre
|
||
3. Il faut différencier clairement, au fur et à mesure du cycle, les problèmes que
|
||
l’on commence à fréquenter et les problèmes dont on considère que la résolution
|
||
est exigible. Retarder l’introduction de problèmes difficiles conduit à donner
|
||
moins de temps aux élèves fragiles pour apprendre à les résoudre et peut donc
|
||
contribuer à créer de la difficulté.
|
||
— Quelles stratégies ? Les différentes phases proposées dans le chapitre 2 peuvent
|
||
servir de base pour partager ce qui a été mené à un moment donné de la scolarité :
|
||
compétences développées en calcul, réflexion sur la compréhension et le lexique
|
||
mathématique introduit, travail sur la modélisation en s’appuyant sur des schémas
|
||
(voir la partie « Enseigner explicitement des méthodes de représentation efficaces
|
||
pour modéliser » de ce chapitre 4), etc.
|
||
86 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
— Quels niveaux de maîtrise ? Les obstacles présentés au chapitre 3, liés à la
|
||
structure mathématique du problème, à la nature et la forme de l’énoncé et aux
|
||
données numériques en jeu, fournissent des curseurs pour déterminer le niveau
|
||
de difficulté d’un problème. Ces curseurs doivent permettre de se mettre d’accord
|
||
sur le niveau de difficulté auquel les élèves doivent pouvoir faire face à un moment
|
||
donné de la scolarité. Les évaluations nationales de sixième qui comportent
|
||
une évaluation sur la résolution de problèmes contribuent également à nourrir
|
||
ces échanges.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Construire une progression
|
||
partagée
|
||
|
||
Les échanges en équipe doivent permettre d’établir une progression partagée.
|
||
Les différents chapitres de ce guide montrent toute la complexité qu’il y a à rendre
|
||
explicite cette progression tant la difficulté d’un problème est multifactorielle. Ce n’est
|
||
pas parce qu’un problème est additif et en une étape qu’il est simple ; d’ailleurs de
|
||
nouveaux problèmes additifs et en une étape seront rencontrés tout au long du
|
||
cycle 3. En outre, certains problèmes en plusieurs étapes sont simples à résoudre
|
||
pour les élèves.
|
||
|
||
Dans un premier temps, pour rendre les choses simples, le choix peut être fait
|
||
de partager une progression par année ou par demi-année, idéalement du début
|
||
du cycle 2 à la fin du cycle 3, indiquant :
|
||
|
||
— une liste d’exemples de problèmes en une ou plusieurs étapes que les élèves
|
||
doivent savoir traiter, s’appuyant sur les repères fournis dans le chapitre 1 ;
|
||
— des objectifs précis concernant les problèmes atypiques que les élèves doivent
|
||
apprendre à résoudre, s’appuyant sur les repères fournis dans le chapitre 1 ;
|
||
— des éléments sur ce qui est attendu des élèves concernant la compétence « repré-
|
||
senter » (construction de schémas).
|
||
|
||
Des outils plus précis et plus complets peuvent être produits ensuite, en fonction
|
||
du temps dont disposent les équipes pour les construire. Il peut, par exemple, être
|
||
proposé une évaluation en résolution de problèmes, pour la période 3 de CM2,
|
||
partagée par l’ensemble des écoles d’un même réseau.
|
||
87 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Focus | Un exemple
|
||
d’évaluation commune
|
||
proposée en fin de période 3
|
||
en CM1
|
||
|
||
Modalité : Évaluation à l’écrit de 40 minutes. Les énoncés des problèmes sont
|
||
distribués sur une feuille au format A5 qui ne sera pas collée afin que les élèves
|
||
puissent toujours avoir les énoncés sous les yeux. Les élèves résolvent les problèmes
|
||
sur une feuille de classeur. Les élèves travaillent individuellement. La calculatrice
|
||
n’est pas autorisée.
|
||
|
||
Objectifs : Faire le point sur ce qui a été travaillé au cours des périodes 2 et 3 :
|
||
|
||
— problèmes en une étape sans difficulté particulière portant sur les entiers
|
||
(nombres supérieurs à 10 000), les fractions et les nombres décimaux avec
|
||
appui possible sur un schéma en barres ou une ligne numérique ;
|
||
— problèmes en plusieurs étapes à l’énoncé épuré (contexte familier ou facile à se
|
||
représenter, phrases simples et courtes, pas de données inutiles, etc.) faisant
|
||
intervenir des nombres décimaux ;
|
||
— problèmes en plusieurs étapes faisant intervenir des nombres entiers inférieurs
|
||
à 1 000.
|
||
|
||
Problèmes de l’évaluation :
|
||
|
||
— Problème 1 : « En 2021, la population française était de 67 700 000 habitants
|
||
et la région Île-de-France comptait 12 300 000 habitants.
|
||
Combien de personnes vivant en France habitaient en dehors de la région
|
||
Île‑de-France en 2021 ? »
|
||
|
||
— Problème 2 : « Margaux a ramassé 1,7 kg de fraises et Pablo en a ramassé 1,3 kg.
|
||
Quelle masse de fraises ont-ils ramassée à eux deux ? »
|
||
|
||
— Problème 3 : « Margaux a ramassé 1,7 kg de fraises et Pablo en a ramassé
|
||
1,3 kg de plus que Margaux.
|
||
Quelle masse de fraises ont-ils ramassée à eux deux ? »
|
||
|
||
— Problème 4 : « Wassim a économisé 20 €. Il veut utiliser les 3 de cet argent
|
||
10
|
||
pour acheter un manga.
|
||
Combien coûte le manga ? »
|
||
|
||
— Problème 5 : « Clara a acheté 7 crayons coûtant chacun 2 € et 3 mangas.
|
||
Les 3 mangas sont tous au même prix. Elle a donné 50 € au caissier qui lui
|
||
a rendu 15 €.
|
||
Quel est le prix d’un manga ? »
|
||
|
||
— Problème bonus : « Le nombre de billes de Robin est égal au quart du nombre
|
||
de billes de sa sœur Aya. À eux deux, Robin et Aya ont 40 billes.
|
||
Combien de billes ont chacun des enfants ? »
|
||
88 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
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Le sixième problème ne fait pas véritablement partie de l’évaluation, c’est un pro-
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blème présenté comme « supplémentaire » pour les élèves ayant terminé avant la fin
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du temps imparti.
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Pour la correction, le professeur complète le tableau suivant avec les informations
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(R : réussi, PR : partiellement réussi, NR : non réussi, NT : non traité). Ceci peut
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éventuellement être complété d’informations plus précises, par exemple sur la
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présence d’un schéma pertinent ou non, sur des indices d’une modélisation, sur des
|
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éléments de réussite partielle, etc. Le focus du chapitre 2, « Analyser les erreurs
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des élèves pour adapter l’aide à leur apporter », donne des exemples d’analyse de
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productions écrites des élèves.
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Élève 1 Élève 2 Élève 3 …. Bilan
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Compréhension
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et modélisation
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Problème 1
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Calculs
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Réponse
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Compréhension
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et modélisation
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Problème 2
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Calculs
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Réponse
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…
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Bilan
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Pour sa propre synthèse, il compte le nombre de R dans chaque ligne du tableau
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pour l’ensemble des élèves de la classe pour repérer les types de problèmes et les
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étapes pour lesquels un travail renforcé devra être mené lors de la période 4.
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Pour les exercices et étapes massivement réussis, il repère les élèves qui ne les
|
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ont pas réussis pour travailler spécifiquement avec eux sur ces points particuliers.
|
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Cela est essentiel. En effet, trop souvent, l’attention est uniquement portée sur
|
||
les tâches les plus échouées de façon globale, alors que la centration doit être
|
||
prioritairement portée sur les élèves ayant échoué aux tâches les mieux réussies
|
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par l’ensemble de la classe.
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89 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Points de vigilance et propositions
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pour construire une séquence
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en résolution de problèmes
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Comme pour toute autre séquence d’enseignement en mathématiques, la construction
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d’une séquence d’enseignement en résolution de problèmes s’appuie sur des objectifs
|
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clairement définis. « La résolution de problèmes » n’est pas un objectif en soi, mais
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||
le champ sur lequel le travail est mené. L’objectif d’une telle séquence doit donc être
|
||
plus précis, par exemple « savoir résoudre des problèmes en une étape avec des
|
||
fractions » ou « savoir résoudre des problèmes multiplicatifs de comparaison en une
|
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étape avec des nombres décimaux » ou encore « savoir résoudre des problèmes
|
||
algébriques en utilisant des schémas en barres ». Une séquence peut aussi avoir
|
||
plusieurs objectifs, mais il est préférable de les hiérarchiser afin de ne pas perdre
|
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de vue l’intention première.
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Rendre visibles les objectifs de la séquence
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dès la première séance
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Une séquence peut commencer par la proposition d’un premier problème à résoudre
|
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rapidement sur l’ardoise ou le cahier de brouillon, afin de faire émerger explicitement
|
||
ce qui pose problème (et qui devrait ne plus en poser en fin de séquence), ainsi que
|
||
des moyens que peuvent utiliser les élèves pour faire face à ce qui pose problème.
|
||
L’utilisation de l’ardoise véhicule un message clair sur le fait que l’on est en train
|
||
d’essayer, de chercher, de faire émerger un savoir nouveau. Les éventuelles erreurs
|
||
sont donc accueillies avec une bienveillance renforcée. Ce premier problème permet
|
||
de rendre les élèves réceptifs aux solutions qui seront proposées ensuite pour
|
||
surmonter les difficultés que présente le problème.
|
||
|
||
Par exemple, pour une séquence ayant pour objet de travailler sur des problèmes en
|
||
plusieurs étapes avec des comparaisons additives en s’appuyant sur le schéma en
|
||
barres correspondant, le professeur peut proposer le problème suivant à résoudre
|
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sur l’ardoise.
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« Amir, Naël et Jeanne ont ramassé des fraises dans leur jardin. Amir en a
|
||
ramassé 3,4 kg et Naël 1,5 kg. Ensemble, les deux frères en ont ramassé 2,6 kg
|
||
de plus que leur sœur.
|
||
Quelle masse de fraises Jeanne a-t-elle ramassée ? »
|
||
|
||
Ce problème permettra de réintroduire le schéma correspondant aux comparaisons
|
||
additives lors du temps de mise en commun qui suivra le travail de recherche sur
|
||
l’ardoise. D’autres moyens sont bien évidemment envisageables pour faire émerger
|
||
ce qui pose des difficultés et les aides proposées pour les surmonter.
|
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90 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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||
Une fois que l’enseignant a explicité les connaissances ou savoir-faire utiles, les
|
||
élèves doivent pouvoir les mettre en œuvre dans de nouveaux problèmes, l’utilisation
|
||
d’un cahier étant cette fois indispensable pour laisser des traces pour l’enseignant
|
||
et pour l’élève. Ces problèmes peuvent être très proches du problème initial dans un
|
||
premier temps, mais il est important de ne pas se contenter de poser des problèmes
|
||
d’entraînement dont le contexte est similaire à celui du problème initial : il faut
|
||
aussi proposer des problèmes portant sur un contexte suffisamment éloigné du
|
||
contexte initial. En effet, les travaux sur le transfert d’apprentissage montrent que
|
||
des élèves peuvent avoir tendance à se centrer sur des éléments de surface pour
|
||
relier les problèmes entre eux (problèmes d’achats, problèmes de gains, problèmes
|
||
sur les fruits, etc.), alors que les élèves en réussite s’appuient sur la structure
|
||
mathématique sous-jacente64 . Il est donc important de mettre en avant les liens de
|
||
structure qui unissent des problèmes dont l’habillage peut laisser penser a priori
|
||
qu’ils sont éloignés afin d’inviter les élèves, et en particulier les plus fragiles, à se
|
||
focaliser sur les liens de structure mathématique.
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||
Laisser les élèves résoudre des problèmes
|
||
tout en les accompagnant
|
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|
||
Lors des temps d’enseignement consacrés à la résolution de problèmes, la priorité
|
||
doit être donnée à la résolution de problèmes par les élèves65. Une centration sur des
|
||
sous-objectifs plus précis (compréhension, construction de schémas, modélisation,
|
||
calculs, etc.) ne doit pas être proposée a priori, même si les professeurs l’ont
|
||
nécessairement à l’esprit lorsqu’ils circulent dans les rangs. Elle ne devient utile
|
||
que pendant la résolution, avec les élèves pour lesquels des besoins spécifiques
|
||
émergent, ou après la résolution, lors d’un temps de mise en commun, d’échange
|
||
ou de correction. De nouveaux problèmes peuvent être proposés ensuite pour
|
||
renforcer les sous-objectifs visés.
|
||
|
||
Cette remarque fondamentale sur la priorité donnée à l’action de résolution de
|
||
problèmes des élèves et à l’explicitation des objectifs par le professeur doit conduire
|
||
à éviter certaines dérives parfois observées dans les classes. Des recommandations
|
||
sont apportées dans la suite de cette partie. Il est bien évidemment impossible de
|
||
faire des propositions valables dans toutes les situations, et celles qui suivent sont
|
||
donc des propositions générales, qui peuvent ne pas être adaptées à certaines
|
||
séances ou certains contextes particuliers ; l’analyse fine des besoins des élèves
|
||
par le professeur doit permettre les aménagements utiles.
|
||
|
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||
64 — Edward Silver, “Student Perceptions of Relatedness among
|
||
Mathematical Verbal Problems”, Journal for Research in Mathematics
|
||
Education, n° 10, 1979.
|
||
65 — Catherine Houdement, « Problèmes arithmétiques basiques :
|
||
le cœur du problème », Actes du séminaire de didactique des
|
||
mathématiques de l’ARDM, 2018.
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||
91 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
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LIMITER LES ÉCHANGES SUR LE PROBLÈME EN AMONT DE SA RÉSOLUTION
|
||
Les échanges que l’on peut observer sont de différentes natures : il s’agit parfois
|
||
d’expliciter ou de faire expliciter la signification de certains mots de l’énoncé, d’autres
|
||
fois d’amorcer la résolution du problème. Ces deux pratiques sont généralement à
|
||
éviter. La première a tendance à éloigner les élèves de la tâche de résolution (Est-ce
|
||
un exercice sur le lexique ?) et conduit souvent à une déconcentration des élèves,
|
||
en particulier quand les explications ou les échanges sur le lexique s’éternisent.
|
||
La seconde conduit souvent à « tuer » le problème : en effet, le professeur ne maîtrise
|
||
pas les réponses aux questions des élèves, qui donnent souvent plus d’informations
|
||
que ce qui serait souhaitable. Les élèves ne sont alors plus dans une tâche de réso-
|
||
lution de problème, mais dans une simple tâche d’exécution. Le plaisir de faire des
|
||
mathématiques, le plaisir de chercher et trouver la solution du problème est ainsi
|
||
fortement réduit. Ce démarrage rapide de l’action de résolution par les élèves libère
|
||
le professeur qui peut ainsi se consacrer pleinement à l’accompagnement des élèves
|
||
en action, en prodiguant à chacun les encouragements, les conseils ou les coups de
|
||
pouce utiles pour progresser. Bien évidemment, cette remarque ne concerne pas
|
||
la lecture du problème à voix haute par le professeur ou un pair, à un ou plusieurs
|
||
élèves qui seraient en difficulté pour effectuer cette lecture eux-mêmes.
|
||
|
||
ÉVITER LES SÉANCES DE RÉSOLUTIONS DE PROBLÈMES CENTRÉES
|
||
SUR DES SOUS-TÂCHES
|
||
Il est en effet préférable d’éviter les séances de résolution de problèmes qui ne conduisent
|
||
pas à résoudre des problèmes. Par exemple, des séances qui consistent à repérer
|
||
les données utiles et les données inutiles d’une série de problèmes, ou encore des
|
||
séances qui consistent seulement à effectuer des représentations (dessins, schémas)
|
||
des problèmes sans chercher à les résoudre. De telles séances risquent de conduire à
|
||
développer des routines de résolution indésirables qu’il est parfois nécessaire d’inhiber
|
||
pour certains problèmes. Les quasi-automatismes que l’on cherche à développer en
|
||
résolution de problèmes ne peuvent pas être déconnectés des problèmes dans lesquels
|
||
ils sont activés, sauf sans doute les automatismes de calcul mis en œuvre pendant la
|
||
phase calculatoire de la résolution pour laquelle le contexte du problème n’importe pas.
|
||
Il est par contre essentiel de rendre explicites ces sous-tâches lors des temps de mise en
|
||
commun, car une prise de conscience de ces sous-tâches et une efficacité à les traiter
|
||
sont nécessaires pour être en réussite en résolution de problèmes.
|
||
|
||
ÉVITER D’ÊTRE SURMOBILISÉ PAR LES ÉLÈVES LES PLUS EN RÉUSSITE
|
||
Quand la priorité est donnée à la résolution de problèmes par les élèves, des
|
||
difficultés à traiter le problème ou un simple besoin d’être rassuré apparaissent,
|
||
entraînant généralement une mobilisation très forte du professeur par les élèves.
|
||
Si, dans quelques cas, il est assis à son bureau tandis que les élèves se déplacent
|
||
pour présenter leur travail, dans la majorité des cas, et à raison, le professeur
|
||
préfère se déplacer lui-même dans les rangs, les élèves restant assis à leur place.
|
||
Souvent les élèves signalent leur besoin d’accompagnement en levant la main,
|
||
le professeur tente alors, autant qu’il le peut, de répondre aux sollicitations des
|
||
élèves. Dans certaines classes, et c’est sans doute une pratique pertinente, les élèves
|
||
ne lèvent plus la main (c’est une demande explicite du professeur) et le professeur
|
||
circule de manière ordonnée dans les rangs. Cette dernière pratique lui permet en
|
||
92 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
effet de ne pas centrer son attention sur les élèves qui sont les plus demandeurs,
|
||
ceux qui ont le plus d’appétence pour les mathématiques et qui sont souvent le plus
|
||
en réussite, mais au contraire de consulter les travaux de tous les élèves et de
|
||
consacrer plus de temps aux élèves qui ont le plus de besoins. Il peut ainsi valider les
|
||
bonnes réponses, encourager les réussites et fournir l’accompagnement approprié
|
||
à ceux qui ont besoin d’aide, individuellement ou au sein d’un groupe de besoin.
|
||
Une telle action permet également de gagner en efficacité lors des temps de mise
|
||
en commun, en évitant de corriger collectivement et de s’attarder sur un problème
|
||
dont la résolution ne pose pas de difficulté aux élèves.
|
||
|
||
ÉVITER LES PRISES DE PAROLE TROP FRÉQUENTES SUR LES TEMPS
|
||
DÉDIÉS À LA RÉSOLUTION INDIVIDUELLE
|
||
Il est souvent difficile pour le professeur, pendant les temps de recherche, de
|
||
laisser les élèves chercher sans intervenir collectivement. En effet, des constats
|
||
de difficultés, lors du passage dans les rangs, peuvent encourager à communiquer
|
||
des informations supplémentaires aux élèves. Cela peut être pertinent si une
|
||
incompréhension d’un élément du problème est largement partagée. Il peut même
|
||
être pertinent d’interrompre le temps de recherche pour une rapide mise au
|
||
point. Cependant, ces interruptions doivent rester peu fréquentes afin de laisser
|
||
véritablement du temps aux élèves pour effectuer la tâche de résolution qui leur est
|
||
confiée. Dans la plupart des cas, une information transmise aux seuls élèves qui en
|
||
ont besoin sera l’action la plus pertinente.
|
||
|
||
ÉVITER LES TEMPS DE MISE EN COMMUN TROP LONGS
|
||
Idéalement, au moins les trois quarts de la durée d’une séance de résolution de
|
||
problèmes doivent être consacrés à la résolution de problèmes par les élèves.
|
||
Cela signifie que le temps de mise en commun ne doit pas dépasser le tiers du
|
||
temps consacré à la résolution individuelle. Ce ratio ne sera bien évidemment pas
|
||
nécessairement respecté quand un temps long d’institutionnalisation est prévu,
|
||
notamment avec l’écriture d’éléments dans le cahier de leçons. Ce ratio implique
|
||
également que tous les élèves soient effectivement en recherche pendant tout le
|
||
temps consacré à la résolution individuelle. Ceci implique que les élèves les plus
|
||
fragiles soient activement soutenus et accompagnés pour ne pas décrocher et pour
|
||
rester actifs pendant tout le temps de la séance, mais aussi que les élèves ayant le
|
||
plus de facilités en mathématiques se voient proposer autant de nouveaux problèmes
|
||
que nécessaire pour pouvoir faire des mathématiques pendant toute la séance.
|
||
La consultation des cahiers, au fil de la séance, est essentielle pour organiser le
|
||
temps de mise en commun. Il est inutile de corriger collectivement un problème qui
|
||
n’a posé de difficulté à personne et il est également inutile de corriger collectivement
|
||
un problème qui n’a pu être abordé que par deux ou trois élèves, une correction dans
|
||
le cahier par le professeur sera alors certainement plus pertinente.
|
||
|
||
Ces temps de correction et de mise en commun doivent être l’occasion de mettre
|
||
en avant les éléments que les élèves doivent s’approprier et retenir. Il s’agit d’une
|
||
tâche particulièrement délicate pour le professeur qui doit faire percevoir que toutes
|
||
les méthodes ne se valent pas, que certaines sont moins efficaces et doivent être
|
||
abandonnées alors que d’autres doivent au contraire être privilégiées. On pense
|
||
ici à l’usage de représentations très coûteuses en temps et non pertinentes,
|
||
93 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
car susceptibles de générer des erreurs de comptage 66 . Dans le même temps,
|
||
le professeur doit pouvoir montrer qu’il existe parfois plusieurs façons de résoudre
|
||
un même problème. Par exemple, pour la résolution de problèmes à plusieurs
|
||
étapes, différents enchaînements d’étapes peuvent être choisis. On peut le voir pour
|
||
le problème des fruits proposé au chapitre 2.
|
||
|
||
« Marius revient du marché. Il a acheté 750 g de fraises, un demi-kilogramme
|
||
d’abricots et a oublié la masse des kiwis achetés. Le contenu de son panier pèse
|
||
1,650 kg.
|
||
Quelle est la masse des kiwis ? »
|
||
|
||
On peut d’abord calculer la masse des fraises et des abricots, puis retirer cette
|
||
masse à la masse totale (on résout alors le problème en faisant une addition puis
|
||
une soustraction) ; on peut aussi commencer par retirer la masse des fraises à la
|
||
masse totale, puis retirer la masse des abricots à la masse obtenue (on résout alors
|
||
le problème en faisant deux soustractions).
|
||
|
||
Si aucun élève n’a utilisé la méthode de résolution que le professeur souhaitait mettre
|
||
en avant, l’objectif d’apprentissage ne doit pas être abandonné, bien au contraire, car
|
||
il sera vraisemblablement utile. Le professeur introduira cette nouvelle méthode en
|
||
annonçant aux élèves qu’il va leur enseigner une méthode plus efficace pour réussir
|
||
les problèmes qui ressemblent au problème proposé. Il pourra la présenter comme
|
||
un traitement proposé par un élève l’année précédente et inviter les élèves à dire ce
|
||
qu’ils pensent de la méthode. Le fait de la présenter comme une méthode d’élève permet
|
||
de rendre les élèves plus critiques et donc plus attentifs à son égard, ce qui contribue
|
||
à les conduire à en saisir l’intérêt. À l’issue d’une telle présentation, l’enseignant peut
|
||
proposer un nouveau problème en imposant l’utilisation de la procédure présentée
|
||
pour sa résolution afin de permettre aux élèves d’en saisir l’intérêt.
|
||
|
||
|
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||
Développer des quasi-automatismes féconds
|
||
tout en apprenant à inhiber ceux qui sont
|
||
contre-productifs
|
||
|
||
L’enseignement de la résolution de problèmes doit contribuer à développer chez
|
||
les élèves de façon simultanée des quasi-automatismes leur permettant d’être
|
||
plus efficaces et plus autonomes lors de la résolution de problèmes, ainsi qu’une
|
||
aptitude à inhiber des procédures inappropriées qui peuvent les conduire à
|
||
une réponse erronée. Ceci représente une difficulté majeure pour la mise en œuvre
|
||
de l’enseignement, avec deux attentes qui peuvent sembler contradictoires.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Théa a 7,30 €. Théa a 2,50 € de plus que Léandre.
|
||
Combien d’argent a Léandre ? »
|
||
|
||
|
||
|
||
66 — Pascale Masselot, « Différenciation à l’école primaire et au début
|
||
du collège : un point de vue de didacticienne des mathématiques »,
|
||
propos recueillis par Richard Cabassut, Opinions, Site Apmep, 2018.
|
||
94 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Pour le problème ci-dessus, l’élève doit pouvoir dire immédiatement, de façon
|
||
quasi automatisée, qu’il s’agit d’un problème de comparaison (additive). Dans
|
||
le même temps, l’élève doit pouvoir inhiber la réponse très tentante consistant
|
||
à réaliser une addition. En effet, le mot « plus » peut faire penser à une addition,
|
||
et l’addition « 7,30 € + 2,50 € », beaucoup plus facile à effectuer que la soustraction
|
||
« 7,30 € – 2,50 € », est naturellement très tentante… En fait, le mot « plus » correspond
|
||
bien à une addition, mais il s’agit d’une addition à trou « 7,30 € = ? + 2,50 € » dont le
|
||
terme manquant se trouve en effectuant une soustraction ou en complétant l’égalité
|
||
par un autre procédé.
|
||
|
||
Il est important, lors de la résolution de problèmes de comparaison, d’amener les
|
||
élèves à se demander systématiquement qui en a le plus ; question qui est essentielle
|
||
et apparaît naturellement lorsque l’on amorce la construction d’un schéma.
|
||
|
||
Une façon d’entraîner à cette inhibition est de demander régulièrement de justifier
|
||
les opérations envisagées, y compris quand elles conduisent à un modèle correct.
|
||
Par exemple, au problème précédent, un élève qui répond 4,80 € en expliquant qu’il
|
||
a fait la soustraction « 7,30 – 2,50 » doit pouvoir justifier son choix de la soustraction.
|
||
Bien entendu, il ne faut pas poser systématiquement la question lors de l’énoncé d’un
|
||
automatisme correct, mais il est important, pour les élèves qui utilisent des automatismes
|
||
incorrects, de comprendre que les automatismes corrects sont justifiables.
|
||
|
||
Olivier Houdé 67 a largement illustré le rôle essentiel du cortex préfrontal pour
|
||
inhiber les solutions impulsives et l’importance de développer un système d’inhibition
|
||
jouant un rôle d’arbitrage entre une pensée « automatique et intuitive » et une pensée
|
||
« réfléchie logico-mathématique », moins rapide, mais plus fiable.
|
||
|
||
Pour l’enseignement de la résolution de problèmes, cela engage à proposer réguliè-
|
||
rement aux élèves des problèmes variés pouvant, pour certains, contenir des mots
|
||
inducteurs ou une forme inductrice auxquels les élèves vont devoir résister pour
|
||
produire une réponse correcte. Il peut s’agir de mots inducteurs comme dans le
|
||
problème précédent ou le suivant.
|
||
|
||
« Valentine a 51 billes. Valentine a 3 fois plus de billes que Sohan.
|
||
Combien de billes a Sohan ? »
|
||
|
||
Il peut s’agir aussi d’actions : « gagner », « recevoir », « ajouter », « grandir » qui sont
|
||
généralement associées à des additions, alors que « perdre », « retirer », « enlever »,
|
||
« diminuer » sont associées à des soustractions. Comme nous l’avons vu précédemment,
|
||
il peut s’agir d’additions ou de soustractions à trou et l’opération à mobiliser avec les
|
||
deux nombres de l’énoncé n’est alors pas celle qui vient spontanément à l’esprit.
|
||
Rencontrer des problèmes heurtant ces associations, comme les deux problèmes
|
||
ci-dessous, permet d’entraîner les élèves à inhiber des réflexes non pertinents.
|
||
|
||
— « Amir a grandi de 7,5 cm en un an. Il mesure aujourd’hui 121 cm.
|
||
Combien mesurait Amir l’année dernière ? »
|
||
— « Zélie a 28,50 € dans sa poche. Elle a perdu 5 € pendant la randonnée effectuée
|
||
cet après-midi.
|
||
Combien d’argent avait Zélie au début de la randonnée ? »
|
||
|
||
|
||
67 — Olivier Houdé, Apprendre à résister, Le Pommier-Humensis,
|
||
Paris, 2019.
|
||
95 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
La proportionnalité est un champ particulièrement sensible aux carences d’inhibition,
|
||
en particulier pour des problèmes qui ne relèvent pas de la proportionnalité mais
|
||
qui en ont l’apparence.
|
||
|
||
— Problème 1 : « Un groupe de 25 musiciens joue un morceau de musique en
|
||
75 minutes. Un autre groupe de 50 musiciens va jouer le même morceau de musique.
|
||
Combien de temps ce groupe mettra-t-il pour jouer le morceau de musique ? »
|
||
— Problème 2 : « Ellen et Kim courent autour d’un stade. Elles courent à la même
|
||
vitesse, mais Ellen a commencé à courir après Kim. Quand Kim a parcouru
|
||
32 tours, Ellen a parcouru 16 tours. Combien de tours aura parcourus Kim,
|
||
quand Ellen en aura parcouru 48 ? »
|
||
|
||
Ces problèmes ont été proposés à 508 élèves des grades 4 à 6 (trois années du
|
||
cycle 3 en France) d’écoles flamandes68 . Les réponses proposées par les élèves
|
||
sont synthétisées dans le tableau ci-dessous.
|
||
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Problème 1 Problème 2
|
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Réponse correcte 8,6 % 51,6 %
|
||
Réponse erronée
|
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61,7 % 29,3 %
|
||
utilisant la proportionnalité
|
||
Autre réponse erronée 29,7 % 19 %
|
||
|
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|
||
On note que près des deux tiers des élèves pour le premier problème et un tiers
|
||
des élèves pour le second problème n’ont pas réussi à inhiber la réponse tentante
|
||
fondée sur le recours au modèle proportionnel. Dans cette enquête, il est à noter
|
||
que pour le second problème les élèves de grade 6 (6e) ont moins souvent donné une
|
||
réponse correcte et plus souvent utilisé, à tort, la proportionnalité que les élèves
|
||
de grade 4 (CM1).
|
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||
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||
Tirer profit des outils numériques
|
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||
Le numérique peut sembler au premier abord peu utile à l’enseignement de la
|
||
résolution de problèmes. En effet, la tâche de résolution nécessite le plus souvent
|
||
l’utilisation de papier et crayon pour s’approprier le modèle, pour construire des
|
||
schémas qu’il faut souvent modifier ou reprendre, pour noter ses idées, les calculs
|
||
à effectuer, etc.
|
||
|
||
Néanmoins, l’utilisation des outils numériques peut s’avérer très intéressante
|
||
et efficace lors de temps de résolution de problèmes. Nous proposons deux exemples
|
||
concrets d’utilisation pertinente du numérique lors de séances de résolution
|
||
de problèmes.
|
||
|
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||
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||
68 — Wim Dooren, Dirk Bock, Marleen Evers, Lieven Verschaffel,
|
||
“Students’ Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems:
|
||
How Numbers May Change Solutions”, Journal for Research
|
||
in Mathematics Education, n° 40, 2009.
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96 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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EXEMPLE 1 : TEMPS DE CORRECTION LORS D’UNE SÉANCE
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DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
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Le cadre : Une séance consacrée à la résolution de problèmes dans une classe de
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CM1-CM2.
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L’objectif fixé : Renforcer la maîtrise de l’utilisation des schémas en barres pour
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résoudre des problèmes.
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Le travail à mener : Une série de six problèmes à deux étapes est proposée aux
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élèves. Les problèmes sont de difficulté croissante. Les problèmes ont été choisis
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pour l’intérêt que présente l’utilisation des schémas en barres pour leur résolution.
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Le fonctionnement prévu a priori pour la séance : Un temps de trente-cinq minutes
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de travail individuel est prévu. Pendant ce temps, le professeur souhaite corriger
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individuellement dans les cahiers les deux premiers problèmes et espère que tous
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les élèves de la classe les traiteront avec succès sans qu’un temps de mise en
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commun ne s’avère nécessaire. Pour les deux suivants, il envisage une correction
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partielle dans les cahiers. Cela se fera pendant la séance en fonction de l’avancée
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de chacun, avec l’idée que tous auront eu le temps d’y réfléchir. Une correction
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collective au tableau peut ainsi être envisagée, chacun s’étant engagé. Les deux
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derniers problèmes s’adressent davantage aux élèves les plus à l’aise. Une troisième
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modalité de correction peut trouver sa place pour ces problèmes : corriger dans les
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cahiers hors temps de classe.
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Pour la correction collective, le professeur désigne un élève proposant une
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résolution erronée, mais qui lui semble intéressante, car plusieurs élèves ont fait le
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même type d’erreur. L’élève place sa production sous le visualiseur, ce qui permet à
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tous de pouvoir la voir au tableau. Il présente alors ce qu’il a fait aux autres élèves.
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Cette pratique nécessite bien évidemment une vigilance du professeur afin de ne
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pas stigmatiser d’élèves, en s’assurant, par exemple, que ce ne sont pas toujours
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les mêmes élèves qui présentent des procédures correctes et les mêmes élèves
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qui présentent des procédures erronées. Le professeur doit aussi s’assurer de
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développer un climat de classe permettant de donner un statut positif à l’erreur, qui
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doit être vue comme un élément permettant de progresser.
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L’intérêt de l’outil numérique est d’éviter un laborieux temps de recopie au tableau
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et de se centrer sur le travail mené tout en renforçant l’expression orale, en invitant
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l’élève à présenter son travail, à fournir des arguments pour justifier ses choix,
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etc. Les autres élèves peuvent alors l’interroger pour demander des explications
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complémentaires. Une fois l’erreur identifiée et les solutions alternatives proposées,
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un second élève, ayant traité correctement l’exercice d’une façon modélisante pour
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les autres élèves, est désigné pour présenter sa solution. Le même processus que
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pour l’élève précédent est utilisé en s’appuyant sur la production vidéoprojetée à
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l’aide du visualiseur.
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L’outil numérique permet un gain de temps, une meilleure efficacité en donnant
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à voir précisément aux élèves en difficulté ce qu’ont fait les élèves ayant réussi,
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un renforcement de la pratique de l’oral par les élèves au sein de la classe,
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une amélioration de la qualité des écrits des élèves qui savent que leur production
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est susceptible d’être montrée à la classe, etc.
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97 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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EXEMPLE 2 : UNE SÉANCE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
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AVEC LE PROCÉDÉ LA MARTINIÈRE
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Le cadre : Une séance courte d’une vingtaine de minutes consacrée à la résolution
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de problèmes dans une classe de CM2.
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L’objectif fixé : Renforcer la compréhension et la modélisation de problèmes en une
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ou deux étapes.
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Le travail à mener : Une série de huit problèmes en une ou deux étapes est proposée
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aux élèves. Les problèmes sont proposés successivement, les élèves doivent
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répondre sur l’ardoise et lever l’ardoise le moment venu.
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Le fonctionnement prévu a priori pour la séance : Chaque problème contient
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les nombres 2, 6 et 20. L’objectif du professeur est de faire réaliser aux élèves
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l’importance de bien comprendre l’histoire et de repérer ce qui est demandé pour
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déterminer les calculs à réaliser pour répondre à la question posée. Le professeur a
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prévu de présenter chaque problème sous forme d’une diapositive d’un diaporama,
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puis de laisser entre trente secondes et une minute aux élèves pour traiter le
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problème. Il souhaite à l’issue de ce temps, demander aux élèves d’écrire la réponse
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sur leur ardoise sous forme d’un nombre seulement, avec l’unité qui convient, et de
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lever l’ardoise. Il souhaite ensuite mener une régulation entre chaque problème
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en demandant à un élève en réussite de justifier sa réponse, justification qu’il
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reprendra en l’améliorant si nécessaire.
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Les problèmes proposés sont les suivants.
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— « Elliot achète un ananas à 2 € et une pastèque à 6 €. Il donne un billet de 20 €
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au vendeur.
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Combien d’euros le vendeur doit-il rendre à Elliot ? »
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— « Emy achète un crayon à 2 €, un manga à 6 € et une bande dessinée à 20 €.
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Combien d’euros Emy a-t-elle dépensés ? »
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— « Margot a acheté 2 livres de poche coûtant 6 € chacun et une bande dessinée
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à 20 €.
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Combien d’euros Margot a-t-elle dépensés ? »
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— « Nour a acheté des mangas coûtant 6 € chacun. Elle a donné 20 € au vendeur
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qui lui a rendu 2 €.
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Combien de mangas Nour a-t-elle achetés ? »
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— « Isaac a acheté une bande dessinée à 20 €. Jeanne a acheté 2 mangas à 6 €.
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Combien d’euros Isaac a-t-il dépensés de plus que Jeanne ? »
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— « Au supermarché, Ali a donné 2 billets de 20 € à la caissière. La caissière lui a
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rendu 6 €.
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Combien d’euros Ali a-t-il dépensés au supermarché ? »
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— « Enzo achète un manga à 6 € et une bande dessinée à 20 €. Il n’a que des pièces
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de 2 € pour payer.
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Combien de pièces Enzo doit-il donner au caissier ? »
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— « Dans sa recette de thé à la menthe, Basile met 20 morceaux de sucre.
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Dans sa recette, Salomé en met 2 fois moins que Basile. Elle en met aussi
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6 de moins que Victoire.
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Combien de morceaux de sucre met Victoire dans sa recette de thé à la menthe ? »
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98 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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L’outil numérique permet ici de traiter un nombre important de problèmes en
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un temps très court (un quart d’heure) qui serait impossible à tenir sans la
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vidéoprojection. Ce traitement de nombreux problèmes avec les mêmes données
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numériques permet une focalisation renforcée sur la compréhension de l’énoncé
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(histoire et question) et la modélisation de la situation. La régulation entre chaque
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problème permet de rendre explicites les stratégies utilisées par certains élèves.
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La présentation en vidéoprojection avec un temps de résolution limité permet une
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concentration renforcée des élèves sur la tâche qui leur est proposée.
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Différencier pour permettre
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à tous les élèves de progresser
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La différenciation est un geste professionnel à la fois essentiel et complexe dans le
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contexte d’une classe. Elle l’est tout particulièrement dans le cadre de l’enseignement
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de la résolution de problèmes69.
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Au sein de la classe, la différenciation peut être envisagée :
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— a priori : le professeur différencie en amont de la séance, lors de sa préparation,
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les tâches qui seront confiées aux élèves, en prévoyant des problèmes spécifiques
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pour certains élèves ou certains groupes d’élèves ; les séances d’APC peuvent
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également être utilisées dans le cadre de la différenciation en ne les limitant
|
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pas à un travail de remédiation, mais en proposant, au contraire, un travail en
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amont pour permettre de s’assurer que les élèves les plus fragiles disposent
|
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effectivement de certaines clés utiles pour la séance collective à venir ;
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— pendant la séance : lors des temps d’accompagnement des élèves, en donnant
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des informations particulières, en proposant des questions intermédiaires ou en
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modifiant le problème que doivent résoudre les élèves.
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Dans les deux cas, il faut bien évidemment s’interroger pour savoir si les variations
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proposées sont :
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— vraiment nécessaires : l’élève échouera-t-il forcément lors de la résolution
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du problème sans ces variations ?
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— vraiment utiles : les variations permettent-elles d’aider l’élève à traiter le problème ?
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— vraiment pertinentes : ces variations ne nuisent-elles pas au développement
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des apprentissages visés par le problème initial ?
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Nécessaires ?
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Le caractère nécessaire de la différenciation proposée mérite tout particulièrement
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d’être interrogé pour les différenciations proposées a priori. Est-on vraiment
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certain qu’il n’est pas possible de proposer le problème prévu à certains élèves ?
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Les différenciations a priori entérinent, pour l’élève, l’idée que le professeur ne
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croit pas en son aptitude à résoudre les problèmes proposés au reste de la classe.
|
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Elles ne sont donc pas sans conséquence sur l’estime qu’il peut avoir de lui-même
|
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et la confiance en son aptitude à progresser. Il est donc préférable d’éviter les
|
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différenciations a priori, sauf dans les cas où elles constituent une solution
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69 — Ibid, p. 93, note 66.
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99 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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d’accessibilité pour des élèves à besoins éducatifs particuliers : élèves en situation de
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handicap ou élèves atteints de troubles graves des apprentissages pour lesquels la
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proposition de tâches identiques à celles proposées aux autres élèves pourrait être
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considérée comme de la m alveillance. La suite de ce paragraphe se concentrera donc
|
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de façon privilégiée sur une différenciation en cours de séance, pendant les travaux
|
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de résolution de problèmes.
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Utiles ?
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Le caractère utile de la différenciation proposée s’entend de deux façons : d’une
|
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part, la différenciation apportée ne doit pas être superflue, c’est-à-dire qu’elle doit
|
||
être en lien avec la difficulté rencontrée par l’élève, ce qui implique d’avoir identifié
|
||
précisément cette difficulté ; d’autre part, cette aide ne doit pas être excessive, c’est-
|
||
à-dire supérieure au besoin de l’élève pour franchir l’obstacle qui lui pose problème,
|
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ne lui laissant plus la possibilité d’être confronté à la résolution du problème et donc
|
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de progresser. On voit ici la nécessité d’être en mesure d’analyser précisément
|
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la résolution proposée par l’élève pour repérer précisément ce qui le met en
|
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difficulté (voir chapitre 2, avec la décomposition en quatre phases du processus de
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la résolution de problèmes).
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Pertinentes ?
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Le caractère pertinent de la différenciation proposée se mesure à l’aune des
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objectifs visés par la séance. En effet, il n’est pas possible de juger de la pertinence
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d’une différenciation sans connaître précisément l’objectif principal de la séance
|
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et de la séquence dans laquelle elle s’inscrit. Le chapitre 3 fournit trois curseurs
|
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sur lesquels le professeur peut intervenir pour rendre un problème moins difficile,
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plus accessible :
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— la structure mathématique sous-jacente : on peut, par exemple, amoindrir la
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||
difficulté en réduisant le nombre d’étapes, ou en échangeant avec l’élève pour
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||
l’amener à déterminer un résultat intermédiaire ;
|
||
— le texte du problème : on peut alléger la difficulté que représente ce texte
|
||
en donnant le sens de mots inconnus ou en reformulant certains éléments
|
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du problème ;
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||
— le champ numérique : on peut agir sur le champ numérique en remplaçant les
|
||
nombres en jeu dans le problème par des nombres mieux maîtrisés par l’élève,
|
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par exemple des décimaux par des entiers, ou encore des entiers par d’autres
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entiers plus petits.
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Ainsi en fonction de l’objectif principal de la séance, il est possible d’agir sur des
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curseurs qui ne dénaturent pas l’obstacle que constitue l’objectif. Par exemple,
|
||
si l’objectif premier est l’aptitude à traiter des problèmes en plusieurs étapes,
|
||
il ne faudra bien évidemment pas poser de question invitant à la décomposition du
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||
problème en sous-étapes ; par contre une réduction du champ numérique est tout
|
||
à fait pertinente. A contrario, si l’objectif premier de la séance est de faire travailler
|
||
les élèves avec des nombres décimaux, toute action sur le champ numérique
|
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est à proscrire et une action sur les autres curseurs est à privilégier.
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100 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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EXEMPLES D’ACTIONS SUR LES TROIS CURSEURS
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On peut regarder ce que donne une action sur chacun des curseurs proposés au
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chapitre 3 pour un problème comme celui donné dans l’introduction de ce guide :
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« Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zeds.
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Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
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Julien a 4 zeds.
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Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? »
|
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Structure mathématique
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— On peut demander à l’élève ce que l’on cherche. Puis lui demander ce que l’on
|
||
pourrait chercher en premier.
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— En cas d’absence de réponse, on peut lui demander ce que voudrait acheter
|
||
Julien, puis comment trouver le prix de ce qu’il souhaite acheter. On peut aussi
|
||
demander si Julien a ou non assez d’argent pour acheter les deux bouteilles.
|
||
— En cas de difficultés persistantes, le professeur peut demander à l’élève s’il
|
||
saurait calculer, dans un premier temps, le prix des deux bouteilles que Julien
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||
souhaite acheter.
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Texte du problème
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— On peut remplacer les « zeds » par des « euros ».
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||
— On peut aussi modifier la question en « Combien d’argent manque-t-il à Julien
|
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pour pouvoir acheter les deux bouteilles ? ».
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— On peut aussi modifier le contexte du problème, par exemple en remplaçant ce
|
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problème d’argent par un problème de longueur : « Pour se rendre au collège
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||
à vélo, Julien doit parcourir une première étape de 1,87 km jusqu’à un rond-
|
||
point puis une autre de 3,29 km. Il a déjà parcouru 4 km. Quelle distance doit-il
|
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parcourir en plus pour arriver au collège ? »
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Champ numérique
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On peut modifier les prix de deux façons : on peut convertir les prix en centimes
|
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de zeds ou remplacer le triplet de prix par un triplet plus facile d’accès (18 zeds,
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33 zeds, 40 zeds) ou encore (2 zeds, 3 zeds, 4 zeds).
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S’appuyer sur l’institutionnalisation
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L’institutionnalisation désigne l’acte du professeur pour expliciter, rendre visibles
|
||
les apprentissages réalisés au cours d’une séance ou d’une séquence et leur
|
||
donner ainsi un statut de connaissance ou de savoir-faire, et l’élaboration de traces
|
||
écrites sous forme d’affichages ou d’un paragraphe au sein d’un cahier de leçons.
|
||
Cette institutionnalisation doit permettre aux élèves de prendre du recul sur ce qui
|
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a été fait, de dépersonnaliser les procédures, de les expliciter et d’en montrer le
|
||
caractère général.
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101 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Ces deux points sont essentiels dans l’enseignement des mathématiques en général
|
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et dans l’enseignement de la résolution de problèmes en particulier. Il est en effet
|
||
fondamental d’expliciter les objectifs et les savoirs visés et travaillés dans les
|
||
séances d’apprentissage70 ; la compréhension de ces objectifs est souvent ce qui
|
||
différencie les élèves en réussite de ceux qui sont en échec. Un élève en réussite
|
||
comprend qu’il a travaillé sur des problèmes où l’on compare des quantités, quand
|
||
un élève en difficulté ne voit que le traitement de problèmes sur des billes. Il est
|
||
aussi nécessaire que cette explicitation se traduise par une trace écrite, une trace
|
||
durable, à laquelle il sera possible de se référer pour faire des transferts. Une trace
|
||
écrite sous forme d’affichage permet un accès immédiat et rapide en classe et donne
|
||
l’occasion de faire des analogies entre des problèmes qui n’ont aucun trait de
|
||
surface commun : « Ce problème, c’est comme… ». Ces analogies sont essentielles
|
||
pour faire appel à la mémoire des problèmes résolus antérieurement lors de la
|
||
résolution d’un nouveau problème. Une trace écrite dans le cahier est également
|
||
incontournable et nécessaire : d’une part, parce que l’écriture de la main de l’élève
|
||
favorise l’appropriation et la mémorisation du savoir visé et, d’autre part, parce
|
||
qu’elle contribue à développer l’autonomie de l’élève en lui permettant de s’y reporter
|
||
de façon libre ; enfin, cette trace écrite permet aux familles qui le souhaitent d’avoir
|
||
accès aux attentes et aux objectifs du professeur pour ce qui concerne la résolution
|
||
de problèmes et ainsi de mieux accompagner leur enfant.
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||
L’institutionnalisation en mathématiques à l’école élémentaire prend des formes
|
||
variables. Il peut s’agir de définitions, de règles, de méthodes, de stratégies énoncées
|
||
de façon littérale comme « Pour ajouter 9, je peux ajouter 10 puis retirer 1. » ou
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||
« Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. ». On peut les compléter d’un
|
||
ou plusieurs exemples comme « 37 + 9 = 37 + 10 – 1 = 46 », où le nombre 37 joue le
|
||
rôle de n’importe quel nombre : c’est l’équivalent d’une lettre à valeur indéterminée,
|
||
souvent « x », utilisée dans le second degré : « x + 9 = x + 10 – 1 ». De la même façon,
|
||
un rectangle peut être défini en s’appuyant sur un dessin de rectangle générique aux
|
||
quatre angles marqués d’un symbole indiquant les angles droits. Pour la résolution
|
||
de problèmes, il convient sans doute de suivre le même principe en illustrant les
|
||
catégories de problèmes étudiées et les outils enseignés pour faciliter la résolution
|
||
de problèmes par des exemples de problèmes résolus auxquels il faudra faire
|
||
référence chaque fois que cela sera utile et auxquels les élèves pourront eux-mêmes
|
||
se référer lors de leurs travaux de résolution de problèmes.
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||
70 — Christian Doabler, Scott Baker, Derek Kosty, Keith Smolkowski,
|
||
Ben Clarke, Saralyn Miller, Hank Fien, “Examining the Association
|
||
Between Explicit Mathematics Instruction and Student Mathematics
|
||
Achievement”, The Elementary School Journal, n° 115, 2015.
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102 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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EXEMPLE D’INSTITUTIONNALISATION D’UN PROBLÈME DE COMPARAISON
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ADDITIVE EN UNE ÉTAPE
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Voici un exemple d’une telle institutionnalisation, pour un problème de comparaison
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additive en une étape ; institutionnalisation qui peut avoir sa place tant en affichage
|
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que dans les cahiers de leçons des élèves.
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Problème : « Le maître a distribué des bandes de papier dont les élèves doivent
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||
mesurer la longueur. La bande de papier de Soline mesure 12,4 cm. Elle
|
||
mesure 3,8 cm de plus que la bande de Joy.
|
||
Combien mesure la bande de papier de Joy ? »
|
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||
On compare la longueur des deux bandes de papier.
|
||
La bande la plus grande est celle de Soline.
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12,4 cm
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12,14 Bande de Soline
|
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– 31,8
|
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8 ,6 Bande de Joy Différence
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3,8 cm
|
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12,4 cm – 3,8 cm = 8,6 cm
|
||
? cm
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||
La bande de Joy mesure 8,6 cm.
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||
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||
Il faut veiller à ce que ces problèmes types proposés en institutionnalisation restent
|
||
en nombre limité pour que l’outil soit véritablement opérationnel. Idéalement,
|
||
les corrections de ces problèmes types, notées dans les cahiers de leçons, sont
|
||
construites collectivement avec la classe. Elles peuvent aussi s’appuyer sur la
|
||
production d’un élève vidéoprojetée puis corrigée ou complétée par la classe avant
|
||
d’être recopiée. La trace finale, c’est-à-dire ce qui est recopié dans le cahier ou ce
|
||
qui est affiché dans la classe, émane des propositions des élèves mais correspond
|
||
exactement à l’intention du professeur et à l’objectif visé à travers cette trace écrite.
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Faire apparaître des structures
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||
mathématiques partagées entre les problèmes
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Il y a un enjeu d’apprentissage essentiel à ce que les élèves réussissent à percevoir
|
||
dans les problèmes travaillés des caractéristiques qui soient pertinentes sur le plan
|
||
mathématique et sur lesquelles ils puissent s’appuyer ultérieurement dans une
|
||
perspective de transfert d’apprentissage. Une difficulté est donc de distinguer ce qui
|
||
relève de caractéristiques superficielles de la situation, et qui pourrait être modifié
|
||
sans affecter la structure mathématique du problème, d’autres caractéristiques
|
||
qui, au contraire, sont cruciales et sur lesquelles repose le fait qu’une certaine
|
||
stratégie est correcte et mène à la résolution du problème. De nombreux travaux ont
|
||
montré qu’ignorer les traits superficiels est très difficile, il est donc particulièrement
|
||
important de rendre saillantes les caractéristiques pertinentes des problèmes sur
|
||
le plan mathématique pour aller à l’encontre de cette tendance très persistante.
|
||
103 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Des travaux ont mis en avant l’intérêt de recourir en classe à des activités explicites
|
||
de comparaison entre situations de façon à mettre en évidence ce qu’elles ont en
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commun et ce qui les différencie71 . Il s’agit pour les élèves, en comparant explicitement
|
||
deux problèmes partageant une même structure mathématique mais différant
|
||
par leur habillage, de chercher l’analogie entre eux, autrement dit ce qui dans un
|
||
énoncé correspond à autre chose dans l’autre énoncé. De telles démarches se
|
||
sont avérées efficaces notamment dans le cadre d’interventions auprès d’élèves
|
||
scolarisés en éducation prioritaire72 . Comparer différentes stratégies de résolution
|
||
est également une manière de favoriser le développement de la flexibilité des élèves et
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||
de la possibilité de choisir la stratégie la plus adaptée selon le problème à résoudre73.
|
||
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||
L’usage des schémas renforce cette possibilité de mise en évidence des structures
|
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mathématiques communes au-delà des différences superficielles entre les énoncés.
|
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Par exemple, on peut montrer comment faire le lien entre le problème ci-dessous
|
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et le problème des bandes de papier du paragraphe précédent.
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« Thaïs et Maëlle sont allées acheter un déjeuner dans une sandwicherie.
|
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Thaïs a payé 13,30 € pour son déjeuner. Maëlle a payé le sien 4,50 € de moins.
|
||
Combien Maëlle a-t-elle payé son déjeuner ? »
|
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Dans le problème sur les bandes de papier de Solène et de Joy, on considère et on
|
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compare deux choses, ce sont les longueurs des bandes de papier de chacune
|
||
des personnes, il y en a une plus grande et une plus petite. Dans le problème sur le
|
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déjeuner de Thaïs et Maëlle, de façon analogue, on considère et on compare deux
|
||
grandeurs, ce sont les prix des repas des deux personnes, il y en a un plus cher
|
||
et un moins cher.
|
||
|
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Dans les deux problèmes, on connaît le plus grand des deux, c’est la longueur de la
|
||
bande de Joy ou le prix du repas de Thaïs, et on connaît aussi la différence entre les
|
||
deux, différence de longueur entre les deux bandes ou différence de prix entre
|
||
les deux repas. Dans les deux problèmes, on cherche la plus petite des deux valeurs,
|
||
la longueur de la bande de Joy pour le premier problème ou le prix du repas
|
||
de Maëlle dans le nouveau problème.
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||
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12,4 cm 13,30 €
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Bande de Soline Repas de Thaïs
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Différence Différence
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Bande de Joy Repas de Maëlle
|
||
3,8 cm 4,50 €
|
||
? cm ?€
|
||
|
||
|
||
71 — Michael Vendetti, Bryan Matlen, Lindsey Richland, Silvia Bunge,
|
||
“Analogical Reasoning in the Classroom: Insights From Cognitive
|
||
Science”, Mind Brain and Education, Vol. 9, n° 2, 2015.
|
||
72 — Sylvie Gamo, Sandra Nogry, Emmanuel Sander, « Apprendre
|
||
à résoudre des problèmes en favorisant la construction d’une
|
||
représentation alternative chez des élèves scolarisés en éducation
|
||
prioritaire », Psychologie française, n° 59, 2014.
|
||
73 — Kelley Durkin, Jon R. Star, Bethany Rittle-Johnson, “Using
|
||
Comparison of Multiple Strategies in the Mathematics Classroom:
|
||
Lessons Learned and Next Steps”, ZDM - Mathematic Education,
|
||
n° 49, 2017.
|
||
104 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Des analogies entre des problèmes pouvant sembler encore beaucoup plus éloignés
|
||
peuvent également être faites. Cette approche peut être extrêmement utile pour
|
||
montrer que deux énoncés qui semblent aussi différents que « J’ai dépensé 7,85 €.
|
||
Il me reste 6,50 €. Combien d’argent avais-je avant mon achat ? » et « Ismaël a 7,85 €
|
||
et sa sœur Éléna a 6,50 €. Combien d’argent ont-ils en tout ? » sont analogues dès
|
||
lors que l’on prend conscience que l’argent que j’avais avant mon achat peut être
|
||
conçu comme un tout dont une partie est constituée de l’argent dépensé et l’autre
|
||
partie est constituée de l’argent qu’il me reste. Il est ainsi possible de rendre visibles,
|
||
dans une situation où cela est difficile à percevoir, des caractéristiques non intuitives
|
||
au premier abord74 .
|
||
|
||
|
||
|
||
S’appuyer sur l’évaluation
|
||
pour renforcer les apprentissages
|
||
|
||
L’évaluation permet d’éclairer le professeur sur les connaissances et compétences
|
||
des élèves, en complément de la prise d’information en continu, pendant les séances
|
||
de résolution de problèmes.
|
||
|
||
L’évaluation a pour but premier de contribuer au développement des compétences
|
||
des élèves en résolution de problèmes. L’effet positif sur les apprentissages de petites
|
||
évaluations courtes mais fréquentes a été clairement mis en lumière par des travaux
|
||
de recherche 75 . Ces évaluations courtes, sous la forme d’un unique problème,
|
||
permettent aux élèves de renforcer leur attention sur des outils particuliers ou des
|
||
stratégies qui leur ont été enseignées. En complément des évaluations courtes, des
|
||
évaluations plus longues sont utiles pour vérifier l’aptitude des élèves à réinvestir
|
||
l’ensemble des acquis, à prendre des décisions sur les outils à utiliser ou les
|
||
stratégies à mettre en œuvre. Ces évaluations ne doivent, bien entendu, pas être
|
||
centrées sur un type de problèmes unique ni sur une opération ciblée afin de pouvoir
|
||
cerner l’aptitude des élèves à prendre des décisions.
|
||
|
||
Le choix des problèmes retenus au sein d’une évaluation est particulièrement
|
||
important ; ce choix peut notamment s’appuyer sur les différents éléments fournis
|
||
dans ce guide afin de contrôler finement la difficulté des tâches proposées et de
|
||
s’assurer que ces problèmes soient accessibles aux élèves et permettent d’évaluer
|
||
si ces derniers ont effectivement acquis les connaissances visées pour franchir
|
||
les obstacles que présente la résolution des problèmes retenus.
|
||
|
||
Les évaluations gagnent à être pensées en amont de séquence afin d’avoir ensuite
|
||
clairement à l’esprit les objectifs fixés et les connaissances et compétences que
|
||
les élèves doivent avoir acquises en fin de séquence. Les évaluations doivent aussi
|
||
permettre de s’assurer que les connaissances et compétences acquises lors
|
||
de séquences précédentes sont toujours mobilisables par les élèves.
|
||
|
||
74 — Katarina Gvozdic, Emmanuel Sander, “Learning to Be an
|
||
Opportunistic Word Problem Solver: Going Beyond Informal Solving
|
||
Strategies”, ZDM – Mathematic Education, n° 52, 2019.
|
||
75 — Henry Roediger, Jeffrey Karpicke, “Test-Enhanced Learning:
|
||
Taking Memory Tests Improves Long-Term Retention”, Psychological
|
||
Science, n° 17, 2006.
|
||
105 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
La résolution de problèmes a bien évidemment également sa place dans le cadre
|
||
d’évaluations ne portant pas en priorité sur les connaissances et les compétences
|
||
relatives à la résolution de problèmes : évaluations sur des connaissances sur les
|
||
nombres, sur le calcul, sur les grandeurs et mesures, etc.
|
||
|
||
|
||
|
||
Questions fréquemment posées
|
||
sur l’organisation de l’enseignement
|
||
de la résolution de problèmes
|
||
|
||
Faut-il des séances spécifiques pour la résolution de problèmes dans l’emploi
|
||
du temps ?
|
||
Ceci importe peu et dépend des préférences d’organisation de chaque professeur.
|
||
Ce qui importe, c’est que les élèves soient confrontés à des résolutions de problèmes
|
||
chaque jour ou presque et que, chaque semaine au moins, une séance soit consacrée
|
||
essentiellement à la résolution de problèmes, même si l’objectif principal de cette
|
||
séance n’est pas directement la résolution de problèmes ; il peut s’agir, par exemple,
|
||
d’une séance sur les unités de masse ou encore sur les nombres décimaux.
|
||
|
||
À quelle fréquence doit-on travailler la résolution de problèmes ?
|
||
Les élèves doivent résoudre des problèmes quasi quotidiennement, même s’il
|
||
ne s’agit pas de l’objectif principal. Au moins une séquence par période doit être
|
||
spécifiquement consacrée au développement de connaissances et de compétences
|
||
liées à la résolution de problèmes pour que l’ensemble des objectifs visés au cours
|
||
moyen puissent être atteints.
|
||
|
||
Combien de problèmes faut-il traiter chaque semaine ?
|
||
L’importance de la mémoire des problèmes résolus pour résoudre de nouveaux
|
||
problèmes met en lumière la nécessité de nourrir cette mémoire en résolvant
|
||
de nombreux problèmes chaque semaine. La séance de calcul mental présentée
|
||
précédemment (« Exemple 2 : Une séance de résolution de problèmes avec le procédé
|
||
La Martinière », voir p. 97) montre comment huit problèmes peuvent être proposés
|
||
dans une séance d’une vingtaine de minutes. Le paragraphe sur la différenciation
|
||
montre que le nombre de problèmes résolus n’est pas nécessairement le même
|
||
pour tous les élèves au sein d’une classe. S’il est clair qu’une dizaine de problèmes
|
||
par semaine est un nombre plancher en-deçà duquel il semble déraisonnable
|
||
de descendre, les élèves d’une classe travaillant régulièrement la résolution de
|
||
problèmes et ayant développé de solides compétences peuvent certainement en
|
||
traiter le double chaque semaine.
|
||
106 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Doit-on faire créer des problèmes aux élèves ?
|
||
La création de problèmes est une tâche particulièrement importante et utile pour les
|
||
élèves76 . En les invitant à créer des problèmes, on les encourage à porter un autre
|
||
regard sur les problèmes, à avoir une intention quand ils écrivent l’histoire de leur
|
||
problème et quand ils posent la question du problème créé. La pratique relativement
|
||
fréquente de production de problèmes avec certaines contraintes les conduira
|
||
à s’interroger, lors de la résolution d’un problème, sur l’intention de l’auteur du
|
||
problème qui leur est soumis et donc à mieux cerner la tâche qui leur est dévolue.
|
||
|
||
Doit-on proposer aux élèves de travailler en groupes en résolution de problèmes ?
|
||
Cela n’est ni obligatoire ni interdit. Il est évident que les élèves doivent développer des
|
||
compétences personnelles en résolution de problèmes et donc qu’ils doivent être,
|
||
dans la majorité des cas, confrontés à des temps de recherches individuelles. Néan-
|
||
moins, des chercheurs ont mis en évidence les effets positifs que peut avoir le travail
|
||
en groupe en résolution de problèmes, notamment pour permettre la co-construction
|
||
de démarches riches et variées. Ils insistent également sur le rôle essentiel du pro-
|
||
fesseur pendant les temps de travaux en groupe, « pour dynamiser les interactions
|
||
entre élèves, pour choisir les moments opportuns de donner des indices ou encore
|
||
pour mettre en œuvre d’autres processus de régulation s’intégrant dans la démarche
|
||
de raisonnement des élèves »77. Il est donc tout à fait envisageable, lors de certaines
|
||
séances sur la résolution de problèmes, d’inviter les élèves à travailler en groupe.
|
||
Il reste cependant souvent préférable de laisser un temps individuel d’appropriation
|
||
du problème à chaque élève avant la mise au travail en groupe et il est nécessaire de
|
||
garder à l’esprit l’importance du rôle du professeur pendant ces travaux en groupe.
|
||
|
||
Faut-il un cahier spécifique pour la résolution de problèmes ?
|
||
Il n’y a sans doute pas de raison d’avoir une doctrine forte sur ce point. Cependant
|
||
la résolution de problèmes n’est pas une tâche à part des mathématiques et fait,
|
||
au contraire, partie intégrante de cet enseignement. Il semble donc plus logique
|
||
de traiter la résolution de problèmes là où est habituellement traité ce domaine
|
||
d’apprentissage, que ce soit dans le cahier du jour ou dans un cahier spécifique
|
||
pour les exercices de mathématiques.
|
||
|
||
La manipulation est-elle obligatoire au cours moyen ? Quel matériel utiliser ?
|
||
La manipulation est sans doute moins centrale au cours moyen qu’au cycle 2.
|
||
Certains élèves n’auront plus du tout besoin de manipuler d’objets matériels à ce
|
||
stade de la scolarité et se contenteront aisément des schémas mis à leur disposition
|
||
ou construits par leurs soins, mais pour d’autres elle peut rester encore essentielle.
|
||
Cette manipulation peut concerner des outils spécifiques aux mathématiques,
|
||
notamment pour mieux comprendre les nombres et les calculs en jeu (matériel
|
||
multibase, réglettes Cuisenaire ©, glisse-nombre 78 , etc.), mais aussi du matériel
|
||
adapté pour jouer la situation-problème et ainsi mieux la comprendre (images,
|
||
monnaie, cubes, jetons, bandelettes de papier, etc.).
|
||
|
||
76 — Florence Mihaela Singer, Nerida F. Ellerton, Jinfa Cai, Mathematical
|
||
Problem Posing: From Research to Effective Practice, Springer, 2005.
|
||
77 — Isabelle Demonty, Virginie Dupont, Annick Fagnant, « Analyse des
|
||
régulations interactives entre élèves lors de la résolution d’un problème
|
||
mathématique en groupe », Les Cahiers des sciences de l’éducation,
|
||
n° 36, 2014.
|
||
78 — http://cache.media.education.gouv.fr/file/Fractions_et_
|
||
decimaux/42/2/RA16_C3_MATH_frac_dec_annexe_4_673422.pdf
|
||
107 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Quelles traces garder des activités de résolution de problèmes ?
|
||
La question des traces est importante. En effet, la résolution de problèmes devant
|
||
s’appuyer sur la mémoire des problèmes résolus, il est important que des traces
|
||
permettent la constitution de cette mémoire. Ces traces sont de deux ordres :
|
||
|
||
— d’une part les traces quasi quotidiennes dans le cahier où les mathématiques
|
||
sont traitées, permettant ainsi de revenir aisément sur un problème traité
|
||
précédemment ;
|
||
— d’autre part les traces construites dans le cadre des institutionnalisations, dans
|
||
le cahier de leçons ou en affichages, qui servent de base à la mémoire collective
|
||
et auxquelles il est fait référence autant que nécessaire.
|
||
|
||
Où peut-on trouver des banques de problèmes ?
|
||
Les manuels scolaires sont sans doute la principale source où trouver des énoncés
|
||
de problèmes. Le présent guide et les nombreux problèmes qu’il contient (plus de
|
||
200) peuvent bien évidemment enrichir les problèmes présents dans les manuels.
|
||
Il est également intéressant de construire des problèmes en lien direct avec des
|
||
activités de la classe (voyages scolaires, activités sportives, sorties culturelles,
|
||
livres lus par toute la classe, etc.) ou des événements étudiés en classe (événements
|
||
organisés localement, compétitions sportives nationales ou internationales comme
|
||
les Jeux Olympiques, le Vendée Globe ou une coupe du monde sportive, événements
|
||
d’actualité comme une mission dans l’espace, etc.).
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Enseigner explicitement
|
||
des méthodes de représentation
|
||
efficaces pour modéliser
|
||
|
||
Les stratégies de recherche pour résoudre un problème et en particulier pour le
|
||
modéliser peuvent être variées : commencer en traitant un problème plus simple,
|
||
faire des essais et vérifier ce que cela donne, essayer de lister toutes les solutions
|
||
possibles, etc. Cependant une aide importante peut être obtenue, dans la plupart
|
||
des cas, en effectuant un schéma. Tous les schémas ne se valent pas, certains
|
||
pouvant être excessivement longs à réaliser et sources d’erreurs : par exemple,
|
||
représenter les 142 élèves d’une école en effectuant 142 petits ronds… D’autres
|
||
schémas peuvent être simples à réaliser mais ne pas apporter d’éclairage sur le
|
||
modèle mathématique sous-jacent. D’autres encore peuvent être efficaces pour
|
||
modéliser, mais si complexes à réaliser, qu’ils rajoutent de la difficulté plus qu’ils
|
||
n’allègent la tâche des élèves.
|
||
108 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
La réalisation d’un schéma ne doit jamais être exigée, sauf dans le cas particulier de
|
||
séances spécifiques d’apprentissage d’un nouveau modèle de schéma et uniquement
|
||
pour des problèmes pour lesquels ces schémas sont utiles aux élèves. La réalisation
|
||
d’un schéma ne doit pas constituer une étape qui engendrerait des difficultés
|
||
supplémentaires lors de la résolution d’un problème, mais elle doit, au contraire,
|
||
permettre de rendre plus visuelles les tâches à réaliser et les relations entre les
|
||
nombres ou les grandeurs et de soulager la mémoire de travail. Dans les cas les plus
|
||
simples, les élèves pourront progressivement se passer des schémas qui leur étaient
|
||
précédemment nécessaires. Ils pourront éventuellement les remobiliser lorsque
|
||
les nombres en jeu seront moins familiers, le schéma permettant ainsi de soulager
|
||
la mémoire de travail. Lorsqu’un élève rencontre des difficultés pour modéliser un
|
||
problème, le professeur pourra l’inviter à produire un schéma s’appuyant sur sa
|
||
compréhension de la situation. Un schéma produit par un élève pourra être un point
|
||
d’appui pour aider le professeur à mieux analyser les difficultés rencontrées lors
|
||
de la modélisation du problème.
|
||
|
||
Si faire des schémas peut s’avérer particulièrement efficace, l’aptitude à choisir un
|
||
schéma pertinent et à réaliser ce schéma requiert un apprentissage. La compétence
|
||
« représenter » doit, par conséquent, faire l’objet d’un enseignement explicite ;
|
||
le professeur doit donner à voir aux élèves un type de schéma efficace pour résoudre
|
||
un problème donné. L’enseignement des schémas doit être cohérent tout au long
|
||
de l’année scolaire, mais devrait l’être aussi tout au long de la scolarité pour être
|
||
d’autant plus efficace.
|
||
|
||
Ce paragraphe propose de développer l’enseignement de quatre types de schémas
|
||
devant être connus des élèves de cours moyen. Les élèves doivent savoir les produire,
|
||
mais aussi, et surtout, savoir quand il est pertinent de les utiliser :
|
||
|
||
— les schémas en barres ;
|
||
— les schémas proposant un déplacement sur une droite numérique ou une ligne
|
||
du temps ;
|
||
— les tableaux ;
|
||
— les arbres.
|
||
|
||
L’enseignement de ces schémas à l’école élémentaire est important pour la suite
|
||
de la scolarité, car ils seront réinvestis et utilisés au collège puis au lycée.
|
||
|
||
|
||
|
||
Les schémas en barres
|
||
|
||
DES SCHÉMAS PRÉSENTS DEPUIS LONGTEMPS DANS LES ÉCOLES
|
||
FRANÇAISES
|
||
Les schémas en barres sont utilisés depuis plusieurs décennies en France et on en
|
||
trouve aisément dans les manuels utilisés au cours du xxe siècle, comme on peut
|
||
le voir dans les exemples ci-après.
|
||
109 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Au début des années
|
||
1980, après un constat
|
||
de difficultés importantes
|
||
des élèves singapouriens
|
||
en mathématiques, le
|
||
ministère chargé de l’édu-
|
||
cation de Singapour a
|
||
décidé de mener plusieurs
|
||
réformes touchant les for-
|
||
mations initiale et continue
|
||
des professeurs en visant
|
||
tout particulièrement l’en-
|
||
seignement des mathé
|
||
matiques et en s’appuyant,
|
||
notamment, sur l’état
|
||
de la recherche inter-
|
||
nationale en didactique
|
||
des mathém atiques 80 .
|
||
Ces réformes ont eu un
|
||
Figure 6. Extraits d’un manuel utilisé en France dans les années 1950 et 196079.
|
||
effet considérable ; le pays
|
||
trône aujourd’hui systématiquement en tête des classements des évaluations
|
||
internationales des élèves en mathématiques. Pour la résolution de problèmes
|
||
mathématiques, une approche qualifiée de « concrète-imagée-abstraite » a été mise
|
||
en avant ; le renforcement de la phase intermédiaire « imagée » s’est traduit par
|
||
l’introduction d’une organisation de schématisation s’appuyant sur quatre types
|
||
de schémas en barres. De nombreuses recherches à Singapour, mais aussi dans
|
||
d’autres pays, ont montré l’efficacité de l’utilisation des schémas en barres, y compris
|
||
pour les élèves rencontrant des difficultés en mathématiques81 .
|
||
|
||
PLUSIEURS TYPES DE SCHÉMAS EN BARRES POSSIBLES
|
||
Plusieurs types de schémas apparaissent aujourd’hui dans les différents ouvrages
|
||
ou formations délivrées en France, comme les quatre proposés ci-dessous pour
|
||
la résolution du problème additif de type parties-tout suivant.
|
||
|
||
« Côme a dépensé 17,30 € à la boulangerie pour acheter un pain aux céréales
|
||
et une tarte aux abricots. Il se souvient que le pain aux céréales coûte 2,70 €
|
||
mais a oublié le prix de la tarte aux abricots.
|
||
Quel est le prix de la tarte aux abricots ? »
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
79 — Albert Châtelet et Georges Condevaux, J’apprends à calculer,
|
||
Arithmétique Cours élémentaire et classes de 10e et 9e, Bourrelier, 1962.
|
||
80 — Swee Ng, Kerry Lee, “The Model Method: Singapore Children’s
|
||
Tool for Representing and Solving Algebraic Word Problems”,
|
||
Journal for Research in Mathematics Education, n° 40, 2009.
|
||
81 — Ibid, p. 67, note 51.
|
||
110 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Schéma 1 Schéma 2
|
||
17,30 € 17,30 €
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
2,70 € ?€ 2,70 € ?€
|
||
|
||
Schéma 3 Schéma 4
|
||
17,30 €
|
||
17,30 €
|
||
2,70 € ?€ 2,70 € ?€
|
||
|
||
|
||
|
||
Dans ce guide, nous utiliserons systématiquement la forme du schéma 3 pour les
|
||
problèmes de parties-tout. Les autres schémas peuvent également être utilisés ;
|
||
cependant, afin de ne pas perturber les élèves, il est préférable de suivre une même
|
||
façon de faire d’année en année au sein d’une même école.
|
||
|
||
Le choix du schéma 3 permet une continuité avec ce
|
||
Manipulation qui est proposé dans le guide Les nombres, le calcul
|
||
d’objets tangibles
|
||
et la résolution de problèmes au CP (collection
|
||
figuratifs :
|
||
«Les guides fondamentaux pour enseigner) »82 , et de
|
||
faire le lien avec les manipulations menées, comme
|
||
indiqué sur la figure ci-contre.
|
||
|
||
Utiliser des barres épaisses, plutôt qu’une ligne
|
||
• Représentation simple (comme dans les schémas 1 et 2), permet
|
||
avec un schéma : de donner davantage de matérialité aux grandeurs
|
||
ou objets en jeu dans le problème et de rapprocher
|
||
les représentations des objets manipulés (cubes).
|
||
• Représentation
|
||
présymbolique L’utilisation d’une barre simple dans les problèmes de
|
||
(schéma en barres parties-tout (contrairement à la barre double utilisée
|
||
4 symbolique)
|
||
+ écriture 2 : dans le schéma 4) permet de ne pas matérialiser deux
|
||
4 2 fois les mêmes objets et de rendre ainsi explicites
|
||
les relations d’inclusion présentes dans le problème :
|
||
Figure 7. Extrait du guide Les nombres, les 2,70 € n’existent pas à côté des 17,30 €, mais ils sont
|
||
le calcul et la résolution de problèmes
|
||
au CP, p. 84. une partie des 17,30 €. En revanche, on utilisera une
|
||
double barre pour des problèmes de comparaison,
|
||
comme le problème ci-après.
|
||
|
||
« À la fête foraine, Apolline a dépensé 17,30 € et Maëlys, sa sœur, a dépensé 2,70 €.
|
||
Combien Apolline a-t-elle dépensé de plus que sa sœur ? »
|
||
|
||
Apolline 17,30 €
|
||
|
||
Maëlys 2,70 € ?€
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
82 — https://eduscol.education.fr/1486/apprentissages-au-cp-et-au-ce1
|
||
111 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Dans le schéma ci-dessus, les sommes d’argent sont distinctes et donc matérialisées
|
||
par deux barres disjointes ; la différence entre les deux (ce que l’on cherche) n’a pas
|
||
de matérialité et est représentée par une flèche sans épaisseur.
|
||
|
||
Enfin, la principale raison du choix du schéma 3 pour les exemples présentés dans ce
|
||
guide est qu’il s’agit de la forme utilisée dans les pays utilisant des schémas en barres
|
||
pour la résolution de problèmes et de la forme utilisée dans les recherches qui ont permis
|
||
de démontrer son efficacité, notamment auprès des élèves fragiles en mathématiques83.
|
||
|
||
UN MODÈLE RETENANT QUATRE TYPES DE SCHÉMAS EN BARRES
|
||
Le système de représentation schématique avec des barres s’appuie sur quatre
|
||
schémas types correspondant à quatre familles de problèmes en une étape :
|
||
|
||
|
||
Problèmes additifs de parties-tout Problèmes additifs de comparaison
|
||
Problèmes multiplicatifs de parties‑tout Problèmes multiplicatifs de comparaison
|
||
|
||
|
||
Les quatre schémas correspondants sont présentés ci-après.
|
||
|
||
— Problème additif (se traitant avec une addition ou une soustraction) de parties-tout
|
||
(un tout, un ensemble, est constitué de plusieurs parties disjointes, dont la réunion
|
||
forme ce tout).
|
||
|
||
« Lou paie 146,80 € avec sa carte bancaire dans un magasin de bricolage.
|
||
Il lui reste maintenant 743,55 € sur son compte en banque.
|
||
Combien d’argent Lou avait-elle sur son compte en banque avant son achat ? »
|
||
|
||
Pour ce problème, les élèves doivent comprendre qu’ils doivent trouver le tout,
|
||
correspondant à la somme d’argent possédée avant l’achat, qui est subdivisée en
|
||
deux sous-parties, d’une part l’argent dépensé dans le magasin et d’autre part
|
||
l’argent restant sur le compte en banque après l’achat.
|
||
|
||
Exemple de résolution avec un schéma en barres :
|
||
|
||
Argent dépensé Argent restant après l’achat
|
||
146,80 € 743,55 €
|
||
|
||
?€
|
||
Argent sur le compte au départ
|
||
|
||
146,80 € + 743,55 € = 890,35 €
|
||
Lou avait 890,35 € sur son compte avant son achat.
|
||
|
||
— Problème additif (se traitant avec une addition ou une soustraction) de comparaison
|
||
(deux grandeurs sont comparées additivement).
|
||
|
||
« Selon le site de l’institut national d’études démographiques (Ined), en 2021,
|
||
il y avait 625 738 000 habitants de plus en Afrique qu’en Europe et le nombre
|
||
d’habitants en Afrique était de 1 373 486 000.
|
||
Quel était, selon l’Ined, le nombre d’habitants en Europe en 2021 ? »
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Pour ce problème, on compare le nombre d’habitants de deux continents.
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83 — Voir p. 49, note 48.
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112 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Exemple de résolution avec un schéma en barres :
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Afrique 1 373 486 000 habitants
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Europe ? habitants
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625 738 000
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habitants
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1 373 486 000 – 625 738 000 = 747 748 000
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Il y avait 747 748 000 habitants en Europe en 2021.
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— Problème multiplicatif (se traitant avec une multiplication ou une division)
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de parties-tout (un tout, un ensemble, est constitué de plusieurs parties identiques
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pour une grandeur donnée).
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« Inaya souhaite fabriquer cinq invitations pour son anniversaire en découpant
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une bande de papier cartonné d’une longueur de 32 cm.
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Quelle est la plus grande longueur qu’elle peut choisir pour que toutes les invi-
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tations aient la même longueur ? »
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Il s’agit ici de trouver la valeur d’une part.
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Exemple de résolution avec un schéma en barres :
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32 cm
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? cm
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5 cartons
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32 cm ÷ 5 = 6,4 cm
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Inaya peut découper des cartons de 6,4 cm de longueur.
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— Problème multiplicatif (se traitant avec une multiplication ou une division)
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de comparaison (deux grandeurs sont comparées multiplicativement).
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« Juliette et Ayoub jouent à la bataille avec un jeu de 56 cartes qu’ils ont fabriqué.
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Juliette a sept fois plus de cartes qu’Ayoub.
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Combien Ayoub a-t-il de cartes ? »
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Exemple de résolution avec un schéma en barres :
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Ayoub ? cartes
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56 cartes
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Juliette
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7 fois plus
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56 cartes ÷ 8 = 7 cartes
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Ayoub a 7 cartes.
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Les quatre types de schémas sont présentés sous forme synthétique dans le tableau
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ci-après. Ce tableau avec les abus de notation qu’il contient n’est bien évidemment
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||
qu’à l’usage des professeurs et n’est pas destiné aux élèves, comme cela est indiqué
|
||
dans le paragraphe précédent sur l’institutionnalisation : pour les élèves, ces schémas
|
||
apparaissent dans les cahiers de leçons et sur d’éventuelles affiches dans le cadre
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||
de résolutions de problèmes particuliers, auxquels on donne une valeur générique.
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113 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Problèmes… de parties-tout de comparaison
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Tout
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Partie A
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Tout
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Partie A Partie B
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Partie B
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additifs Différence
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Tout = Partie A + Partie B Différence = Partie A – Partie B
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Partie B = Tout – Partie A Partie A = Partie B + Différence
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Tout = Partie A + Partie B
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Tout A Part
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Tout
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Part Part Part ........ Part B Part Part Part ........
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multiplicatifs Nombre de parts N fois
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Tout = Nombre de parts x Part B=NxA
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Nombre de parts = Tout ÷ Part A = B ÷ N et N = B ÷ A
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Part = Tout ÷ Nombre de parts Tout = A + B
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ADAPTATION AUX PROBLÈMES EN PLUSIEURS ÉTAPES
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Les résolutions de problèmes en plusieurs étapes peuvent également s’appuyer sur
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des schémas en barres. Selon les cas, un ou plusieurs schémas peuvent être utilisés.
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« Il y a 1 330 500 élèves scolarisés dans les écoles de la région Île-de-France.
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Ils sont répartis dans 3 académies. Au sein de l’académie de Versailles, il y a
|
||
646 663 élèves, 163 460 élèves sont scolarisés dans l’académie de Paris,
|
||
et les autres sont scolarisés dans l’académie de Créteil.
|
||
Combien d’élèves sont scolarisés dans l’académie de Créteil ? »
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Le schéma en barres correspondant à la situation est donc constitué de trois parties
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formant un tout.
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Versailles Paris Créteil
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646 663 élèves 163 460 élèves ? élèves
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Île-de-France
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1 330 500 élèves
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||
Une modélisation apparaît alors de façon évidente pour déterminer la valeur de la
|
||
troisième partie. Il suffit de faire une addition pour déterminer le nombre d’élèves
|
||
à Versailles et Paris, puis de soustraire le résultat obtenu à l’ensemble des élèves
|
||
d’Île-de-France pour trouver le nombre d’élèves à Créteil :
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||
646 663 + 163 460 = 810 123
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||
Il y a 810 123 élèves dans les académies de Paris et Versailles.
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1 330 500 – 810 123 = 520 377
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||
Il y a 520 377 élèves dans l’académie de Créteil.
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114 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Comme cela a été présenté dans le chapitre 2, les schémas en barres peuvent
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soutenir la modélisation du problème sur les jus de fruits issu de l’évaluation Timss.
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« Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zeds.
|
||
Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds.
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||
Julien a 4 zeds.
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||
Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ? »
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Exemple de résolution utilisant un schéma en barres :
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Jus de pomme Jus d’orange
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Achats
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1,87 zed 3,29 zeds
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Julien 4 zeds
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ce qu’il doit avoir en plus
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1,87 zeds + 3,29 zeds = 5,16 zeds. Les deux bouteilles de jus de fruits coûtent 5,16 €.
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5,16 zeds – 4 zeds = 1,16 zeds
|
||
Il faudrait 1,16 zeds en plus à Julien pour acheter les deux bouteilles.
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||
Pour certains problèmes en plusieurs étapes, il peut être difficile de faire apparaître
|
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toutes les informations sur un unique schéma et l’on peut préférer effectuer plusieurs
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||
schémas successifs correspondant aux différentes étapes.
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« Lors d’une vente solidaire pour des associations, deux stands ont permis
|
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de récolter 5 568 €. Les deux cinquièmes de cette somme ont été récoltés par
|
||
le stand A et le reste par le stand B.
|
||
Le stand B a décidé de remettre les trois quarts de la somme qu’il a récoltée à une
|
||
association de soutien aux personnes sans-abri.
|
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Combien le stand B va-t-il remettre à cette association ? »
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Les schémas en barres ci-dessous peuvent soutenir le traitement de chaque étape.
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5 568 €
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5 568 € ÷ 5 = 1 113,60 €
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1 113,60 € x 3 = 3 340,80 €
|
||
Le stand B a récolté 3 340,80 €. Stand A Stand B
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3 340,80 ÷ 4 = 835,20 €
|
||
Stand B : 3 340,80 €
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||
835,2 x 3 = 2 505,60 €
|
||
Le stand B va remettre 2 505,60 €
|
||
à l’association de soutien aux
|
||
personnes sans-abri.
|
||
Association de soutien aux sans-abri
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115 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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||
LES SCHÉMAS EN BARRES POUR TRAITER DES PROBLÈMES ALGÉBRIQUES
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||
Les schémas en barres s’avèrent être un outil particulièrement efficace pour
|
||
résoudre les problèmes algébriques 84 ; problèmes qui pourront être traités au
|
||
collège en utilisant des mises en équations du premier degré. Ce type de problèmes
|
||
est présenté dans le paragraphe sur les problèmes atypiques au chapitre 1.
|
||
Des exemples de tels problèmes sont proposés ci-dessous.
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3 EXEMPLES DE PROBLÈMES ALGÉBRIQUES
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TRAITÉS AVEC DES SCHÉMAS EN BARRES
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EXEMPLE 1
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« Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes. Il y a trois
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fois plus de billes rouges que de billes vertes et 7 billes vertes de moins que de
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||
billes bleues.
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Combien y a-t-il de billes rouges ? »
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En représentant le nombre de billes vertes par un rectangle violet, on peut repré-
|
||
senter le nombre des autres billes en s’appuyant sur ce rectangle violet.
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Billes vertes
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Billes rouges 162 billes
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Billes bleues 7
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Cherchons le nombre de billes représenté par les 5 rectangles violets.
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162 billes – 7 billes = 155 billes
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Cherchons le nombre de billes représentées par 1 rectangle violet.
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155 billes ÷ 5 = 31 billes
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3 x 31 billes = 93 billes
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Il y a donc 93 billes rouges.
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Comme cela a été vu précédemment, au cycle 4 ce problème pourra être traité
|
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en désignant par v le nombre de billes vertes. Il y a alors 3v billes rouges et (v + 7)
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billes bleues, d’où l’équation à résoudre v + 3v + (v + 7) = 162 , d’où 5v = 162 – 7.
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Les similitudes fortes entre les deux raisonnements apparaissent clairement.
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84 — Swee Ng, Kerry Lee, “The Model Method: Singapore Children’s
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||
Tool for Representing and Solving Algebraic Word Problems”, Journal
|
||
for Research in Mathematics Education, n° 40, p. 282-313, 2009.
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116 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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EXEMPLE 2
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L’exemple ci-dessous est similaire, avec une résolution par substitution85.
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« Agathe et Ben ont dépensé 65 €. Agathe et Chloé ont dépensé 185 €. Chloé a
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||
dépensé trois fois plus que Ben.
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Combien Agathe a-t-elle dépensé ?86 »
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Chloé Ben Ben Ben
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65 €
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Agathe et Ben Agathe Ben différence
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Agathe et Chloé Agathe Ben Ben Ben
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185 €
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185 € – 65 € = 120 €
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La différence entre les sommes dépensées par « Agathe et Chloé » et « Agathe
|
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et Ben » est 120 €.
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120 € ÷ 2 = 60 €
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||
Ben a dépensé 60 €.
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||
65 € – 60 € = 5 €
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||
Agathe a dépensé 5 €.
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EXEMPLE 3
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Pour terminer avec ces exemples de problèmes algébriques, le problème ci-dessous
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correspond à un exemple classique de problème pouvant se traiter en résolvant
|
||
un système de deux équations à deux inconnues.
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« Dans une volière, il y a des lapins et des poules. Pour faire trouver le nombre
|
||
de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes.
|
||
Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la volière ? »
|
||
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||
Plusieurs méthodes peuvent être suivies, en voici deux exemples.
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Méthode 1 :
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40
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Nombre Nombre
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Têtes de lapins de poules
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114
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Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
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Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules
|
||
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85 — Méthode de résolution d’un système d’équations à plusieurs
|
||
inconnues consistant à exprimer la valeur d’une inconnue en fonction
|
||
des autres inconnues, puis à remplacer cette première dans les autres
|
||
équations.
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||
86 — Ibid, p. 67, note 51.
|
||
117 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
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||
Le schéma peut alors être aisément complété en remarquant que dans la deuxième
|
||
barre apparaît deux fois la quantité représentée dans la première barre, c’est-à-dire
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2 fois 40.
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40
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||
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||
Nombre Nombre
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||
Têtes de lapins de poules
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114
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||
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||
Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
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Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules
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||
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114 – 80 = 34 2 x 40 = 80
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||
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||
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||
On en déduit le nombre de lapins : 34 ÷ 2 = 17 ; il y a 17 lapins.
|
||
Et le nombre de poules : 40 – 17 = 23 ; il y a 23 poules.
|
||
|
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Méthode 2 :
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40
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Nombre Nombre
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||
Têtes de lapins de poules
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114
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||
Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
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||
Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules
|
||
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||
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||
Le schéma peut alors être complété en faisant apparaître le nombre de pattes dans
|
||
une barre représentant 4 fois le nombre de têtes qui est égal à 4 fois le nombre
|
||
de lapins plus 4 fois le nombre de poules.
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114
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Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
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Pattes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules
|
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|
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4 x 40 = 160
|
||
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4 fois Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
|
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les têtes de lapins de lapins de lapins de lapins de poules de poules de poules de poules
|
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114 160 – 114 = 46
|
||
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||
On en déduit le nombre de poules :
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||
46 ÷ 2 = 23 ; il y a 23 poules.
|
||
|
||
Et le nombre de lapins :
|
||
40 – 23 = 17 ; il y a 17 lapins.
|
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118 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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||
QUELQUES QUESTIONS RÉGULIÈREMENT POSÉES SUR L’ENSEIGNEMENT
|
||
DES SCHÉMAS EN BARRES
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À quel moment de la scolarité doit-on commencer à utiliser les schémas en barres ?
|
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Et jusqu’à quel niveau sont-ils utiles ?
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Les schémas en barres sont souvent introduits en deuxième année d’école
|
||
élémentaire. Les schémas de parties-tout (additifs) sont parfois introduits dès le CP.
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||
Comment mettre en place la schématisation en barres au cycle 3 lorsque cela n’a
|
||
pas été fait au cycle 2 ?
|
||
Il faut introduire les choses progressivement, comme cela aurait été fait au cycle 2.
|
||
Il faut plusieurs mois pour que les choses deviennent véritablement opérationnelles
|
||
pour les élèves, il y a donc un intérêt fondamental pour les apprentissages des élèves
|
||
à ce que les professeurs s’accordent sur ce qui est enseigné année après année.
|
||
|
||
Les longueurs des barres doivent-elles être proportionnelles aux quantités ou
|
||
grandeurs qu’elles représentent ?
|
||
La réponse est clairement non. Cela est souvent impossible car on ne connaît
|
||
pas, au moment où l’on construit le schéma, les quantités ou les mesures de ce
|
||
qui est représenté. Même quand ces données sont connues, les quantités ou les
|
||
grandeurs en jeu peuvent être dans des rapports très élevés, par exemple une partie
|
||
correspondant à 0,1 % d’un tout, ce qui rend impossible un respect des proportions
|
||
sur le schéma. Il est cependant essentiel de représenter par des rectangles
|
||
identiques ce que l’on sait égal (on se prépare à l’algèbre) et d’essayer de représenter
|
||
par des rectangles plus longs ce qui correspond à des quantités ou mesures plus
|
||
importantes dans des problèmes de comparaison.
|
||
|
||
Que faire avec les élèves qui n’utilisent pas les schémas en barres qui leur ont
|
||
été enseignés ?
|
||
Si un élève n’a pas besoin de faire un schéma pour résoudre un problème, on ne doit
|
||
pas lui demander de le faire. La plupart des schémas sont voués à ne plus être utilisés
|
||
au fur et à mesure de la progression des compétences de l’élève. Le professeur
|
||
peut proposer des problèmes plus difficiles qui feront à nouveau émerger l’utilité
|
||
de faire un schéma.
|
||
Si un élève ne réussit pas à traiter le problème proposé, le professeur peut demander
|
||
explicitement de faire un schéma, comme première étape de résolution dans le cadre
|
||
de l’accompagnement des élèves dans leur recherche.
|
||
|
||
Pour les problèmes en plusieurs étapes, faut-il un unique schéma en barres ou
|
||
faut-il en dessiner plusieurs ?
|
||
Cela dépend des problèmes et des élèves. Les deux sont possibles, comme on a pu
|
||
le voir dans les exemples donnés dans le paragraphe « Adaptation aux problèmes
|
||
en plusieurs étapes » ; dans certains cas, faire deux schémas peut être plus simple
|
||
(voir le problème sur une vente solidaire proposé précédemment ou le problème
|
||
n° 7 dans le focus ci-après, sur les problèmes avec des fractions résolus à l’aide
|
||
d’un schéma en barres).
|
||
119 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Faut-il imposer un type de schéma ?
|
||
Non, mais il faut mettre en avant le ou les schémas les plus pertinents pour résoudre
|
||
un problème donné en explicitant clairement l’intérêt que présentent ce ou ces
|
||
schémas. Si un élève n’utilise pas le schéma que le professeur souhaite mettre
|
||
en avant et utilise son propre schéma, que le professeur considère comme non
|
||
pertinent, il ne faut pas imposer ce schéma, mais proposer un nouveau problème
|
||
pour lequel on peut penser que l’élève sera en difficulté avec le type de schéma sur
|
||
lequel il s’appuie, afin de le convaincre de la pertinence d’abandonner ce schéma
|
||
dans certaines situations.
|
||
|
||
Comment faire comprendre la schématisation en barres pour les problèmes de
|
||
type transformation ?
|
||
Cela peut se faire en reformulant le problème pour rendre visibles les différentes
|
||
parties dans le cadre de la situation dynamique : « Si on considère l’ensemble des billes
|
||
que Louis avait avant la récréation, alors cet ensemble se sépare en deux. Il y a, d’une
|
||
part, les billes qu’il a perdues pendant la récréation et, d’autre part, les billes qu’il n’a
|
||
pas perdues, c’est-à-dire les billes qu’il a encore après la récréation. » Mais on peut
|
||
aussi accepter un autre schéma qu’un schéma en barres, par exemple un schéma
|
||
avec un déplacement sur une ligne numérique, présenté dans le paragraphe ci-après.
|
||
|
||
Les élèves ne risquent-ils pas de remplir des cases au hasard, comme s’ils met-
|
||
taient des nombres dans des opérations, sans forcément en comprendre le sens ?
|
||
Il s’agit là d’un point de vigilance. Il ne faut pas se focaliser sur le schéma terminé,
|
||
ce qui compte, c’est sa construction. L’important, c’est de construire les schémas,
|
||
avec les élèves, face aux élèves, en verbalisant chaque action et les relations entre
|
||
les différentes données de l’énoncé et en explicitant pourquoi on construit telle ou
|
||
telle chose sur le schéma. Il est important de bien légender le schéma : le nom de ce
|
||
qui est représenté, les valeurs ou les proportions de l’énoncé qui sont utilisées, etc.
|
||
|
||
|
||
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||
Les schémas représentant un déplacement
|
||
sur une droite numérique ou une ligne du temps
|
||
|
||
Les schémas en barres peuvent se montrer peu adaptés pour la résolution de
|
||
certains problèmes de transformations, en particulier quand les différents états ne
|
||
sont pas connus et que la réflexion porte sur la composition des transformations.
|
||
|
||
Les schémas s’appuyant sur une ligne numérique sont particulièrement efficaces
|
||
pour soutenir la résolution de problèmes liés à des évolutions d’une grandeur
|
||
dans le temps ou à des déplacements dans l’espace, ou de façon plus générale des
|
||
problèmes avec des transformations.
|
||
120 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Le problème ci-dessous est un problème de déplacement dans l’espace.
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« Léa a parcouru 72 km depuis le péage de l’autoroute. Elle a maintenant parcouru
|
||
738,5 km depuis qu’elle a quitté sa maison.
|
||
Quelle distance y a-t-il entre sa maison et le péage de l’autoroute ? »
|
||
|
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|
||
? km 72 km
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||
Maison Péage Position de la voiture
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||
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||
|
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||
738,5 km
|
||
|
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||
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||
Sur ce schéma, la droite peut être une ligne du temps ou peut représenter le dépla-
|
||
cement dans l’espace. Un tel schéma a une proximité avec les schémas en barres
|
||
pour un problème de type parties-tout, ce qui permet une modélisation facilitée
|
||
pour les élèves.
|
||
|
||
« Assia a un récupérateur d’eau de pluie dans son jardin. En juin, elle a pu
|
||
récupérer 247 L d’eau de pluie. Pendant le mois de juin, elle a aussi utilisé 292 L
|
||
d’eau du récupérateur pour arroser les plantes de son jardin.
|
||
Quelle est l’évolution du volume d’eau contenue dans le récupérateur entre le
|
||
début et la fin du mois de juin ? »
|
||
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||
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||
Niveau d’eau Évolution 247 L en plus
|
||
fin juin ?L (pluie)
|
||
|
||
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||
Niveau d’eau
|
||
début juin
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||
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||
292 L en moins (arrosage)
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||
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||
Contrairement au problème précédent, ici la droite ne représente pas la ligne du
|
||
temps, mais il s’agit d’une droite numérique pour représenter le volume d’eau dans
|
||
le récupérateur. Un déplacement vers la gauche correspond à une diminution du
|
||
volume d’eau et vers la droite à une augmentation de ce volume.
|
||
|
||
« Selon l’Institut national d’études démographiques (Ined), la population asiatique
|
||
devrait augmenter de 467 634 000 habitants entre 2025 et 2050, puis diminuer
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de 147 634 000 habitants entre 2050 et 2075.
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Comment devrait évoluer la population asiatique entre 2025 et 2075 ? »
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121 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Pour ce problème d’évolutions dans le temps, la représentation sur une droite
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numérique peut être source de difficulté s’il y a une incompréhension par rapport à
|
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ce que représente la droite. En effet, la droite peut représenter l’axe du temps comme
|
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dans le schéma ci-dessous. On se déplace alors vers la droite quand on avance dans
|
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le temps, indépendamment de l’évolution démographique.
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467 634 000 147 634 000
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habitants en plus habitants en moins
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2025 2050 2075
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?
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Mais la droite peut aussi servir à représenter le nombre d’habitants, auquel cas
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une augmentation de population se traduit par un déplacement vers la droite et
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une baisse par un déplacement vers la gauche, comme dans le schéma ci-dessous.
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Population 467 634 000 Population
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en 2025 habitants en plus en 2050
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? Population 147 634 000
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en 2075 habitants
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en moins
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Il est donc essentiel d’être très explicite, lors de l’utilisation de tels schémas en classe,
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sur ce que symbolise l’axe tracé sur lequel s’appuie la représentation.
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Les tableaux
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Des tableaux peuvent être utilisés pour illustrer des problèmes où une même quantité
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est répétée à l’identique plusieurs fois.
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« Dans son potager, Yasmine a planté 11 rangées de 14 salades.
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Combien y a-t-il de salades dans le potager de Yasmine ? »
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Pour résoudre un tel problème, un schéma en barres convient tout à fait. Le produit
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correspond à une addition itérée, on ajoute 11 fois les 14 salades de chaque rangée.
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La réponse est donc obtenue en effectuant 11 x 14 salades.
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? salades
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14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
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11 rangées
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122 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
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Si cette représentation aide à modéliser le problème par la multiplication 11 x 14,
|
||
elle ne permet cependant pas de soutenir la compréhension de la propriété de
|
||
commutativité de la multiplication. En effet, la conception intuitive de la multiplication
|
||
comme addition itérée rend contre-intuitive la commutativité de la multiplication :
|
||
rien ne laisse penser en regardant ce schéma qu’un autre jardinier qui aurait planté
|
||
14 rangées de 11 salades aurait effectivement planté le même nombre de salades.
|
||
Une représentation en tableau, comme ci-dessous, permet au contraire de rendre
|
||
visible la commutativité de la multiplication.
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14 colonnes
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11 rangées
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En effet, au lieu de regarder les lignes du tableau, on peut regarder les colonnes :
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dans chacune des 14 colonnes, on a 11 salades. Comme le nombre de salades dans
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||
le tableau est inchangé, on a donc bien :
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11 salades x 14 = 14 salades x 11.
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||
Et donc, en comparant le nombre total de salades, 11 x 14 = 14 x 11. On peut ensuite
|
||
aisément admettre que pour des situations analogues avec un nombre de rangées ou
|
||
un nombre de salades par rangée différents, on pourrait écrire une égalité similaire.
|
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|
||
Un tel tableau éclaire donc sur la commutativité de la multiplication : pour n’importe
|
||
quels nombres entiers a et b, on a a x b = b x a. Il contribue aussi à se distancier de
|
||
la conception de la multiplication comme simple addition itérée.
|
||
123 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
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||
Il est clair que le schéma attendu des élèves ne comprend pas le dessin de chacune
|
||
des salades et peut devenir très symbolique, comme ci-dessous.
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« Lors d’une parade militaire, un régiment est représenté par 67 rangées
|
||
de 18 soldats.
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Combien de soldats de ce régiment y a-t-il dans la parade militaire ? »
|
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||
18 soldats par rangée
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67 rangées de soldats
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||
Les représentations en tableau sont particulièrement pertinentes pour représenter
|
||
des situations faisant intervenir des produits cartésiens de deux ensembles. En effet,
|
||
chaque case du tableau correspond alors à un élément du produit cartésien
|
||
et, lorsqu’il s’agit de dénombrer les éléments de ce produit cartésien, une telle
|
||
représentation permet d’aider les élèves à reconnaître une situation multiplicative.
|
||
|
||
Au sein du chapitre 1, dans la sous-partie « Les problèmes multiplicatifs » de la partie
|
||
« Les problèmes en une étape », le problème suivant est proposé.
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||
|
||
« Une poupée est livrée avec 4 pantalons et 12 tee-shirts.
|
||
De combien de façons est-il possible d’habiller la poupée ? »
|
||
|
||
L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples constitués d’un pantalon et
|
||
d’un tee-shirt, c’est-à-dire l’ensemble des tenues complètes que l’on peut constituer.
|
||
Cet ensemble est représenté dans le tableau ci-dessous recensant toutes les
|
||
tenues possibles.
|
||
12 tee-shirts
|
||
4 pantalons
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|
||
|
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|
||
Il convient de s’interroger face à un tel schéma sur l’exhaustivité des réponses
|
||
trouvées dans le tableau : peut-il exister une tenue qui n’est pas dans le tableau ?
|
||
La réponse est clairement non car le choix d’un pantalon donne une ligne et le choix
|
||
d’un tee-shirt donne une colonne, il y a donc bien une case correspondant à cette
|
||
ligne et cette colonne.
|
||
124 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Il convient également de s’interroger sur la non-redondance des réponses trouvées
|
||
dans le tableau : peut-il y avoir deux cases avec la même tenue ? La réponse est
|
||
également non car si deux cases sont distinctes, si elles ne sont pas sur la même
|
||
ligne, alors le pantalon est de couleur différente, et si elles sont sur la même ligne
|
||
alors elles ne sont pas sur la même colonne car les cases sont distinctes, et donc les
|
||
tee-shirts sont d’une couleur différente. Deux cases distinctes sont donc occupées
|
||
par des tenues différentes.
|
||
|
||
La représentation sous forme de tableau permet alors de répondre, en reconnaissant
|
||
une situation multiplicative (4 x 12), qu’il est possible d’habiller la poupée de 48 façons
|
||
différentes. Compter les tenues dans le tableau serait par ailleurs possible, mais la
|
||
reconnaissance d’une situation multiplicative permet la mise en œuvre d’une pro-
|
||
cédure de résolution clairement plus efficace.
|
||
|
||
« Dans notre classe, il y a 16 filles et 9 garçons. Pour l’élection des délégués,
|
||
pour qu’un bulletin de vote soit valable, il faut inscrire le nom d’une fille et le nom
|
||
d’un garçon de la classe.
|
||
Combien de binômes différents un élève peut-il écrire, sachant qu’un élève a
|
||
le droit de voter pour lui-même ? »
|
||
|
||
On peut représenter la situation par le tableau suivant, qui permet de recenser
|
||
l’ensemble des binômes possibles.
|
||
Kadiatou
|
||
Héloïse
|
||
Fabiola
|
||
Babeth
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Louise
|
||
Emma
|
||
Chloé
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Giulia
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Paula
|
||
Olivia
|
||
Dana
|
||
Alice
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Jade
|
||
Inès
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Nina
|
||
Mia
|
||
|
||
|
||
Arthur
|
||
Baptiste
|
||
Clément
|
||
Diego
|
||
Ethan
|
||
Fahid
|
||
Gabriel
|
||
Hugo
|
||
Isaac
|
||
|
||
|
||
Chaque case correspond à un binôme possible et tous les binômes correspondent
|
||
à une case. Le nombre de binômes possibles se justifie alors aisément ; il est égal à
|
||
16 x 9.
|
||
|
||
De façon générale, les tableaux sont utiles pour organiser la recherche de solutions
|
||
parmi un ensemble de réponses possibles en s’assurant de l’exhaustivité de cette
|
||
recherche.
|
||
125 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
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|
||
Les arbres
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||
|
||
Les arbres peuvent être utiles pour les problèmes faisant intervenir des
|
||
dénombrements de produits cartésiens de plus de deux ensembles, l’utilisation
|
||
d’un tableau à double entrée n’étant alors plus possible. C’est ce qui a été proposé
|
||
dans le chapitre 1 pour le problème ci-dessous87.
|
||
|
||
« Pour se déguiser, un clown dispose de :
|
||
– 2 chapeaux (un rouge, un bleu) ;
|
||
– 3 tee-shirts (un kaki, un noir, un jaune) ;
|
||
– 2 pantalons (un rose, un vert).
|
||
Combien de costumes différents complets, avec un chapeau, une veste et un
|
||
pantalon, le clown peut-il faire ?88 »
|
||
|
||
Les arbres peuvent également se révéler intéressants lors de la résolution de
|
||
problèmes pour lesquels on cherche à dresser une liste exhaustive des solutions
|
||
possibles, sans qu’il s’agisse d’un produit cartésien ; comme par exemple pour des
|
||
arrangements (parties ordonnées sans répétition) ou des combinaisons (parties
|
||
non ordonnées sans répétition) des éléments d’un ensemble.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Combien peut-on écrire de nombres à trois chiffres commençant par le chiffre
|
||
2 et en utilisant au plus une fois les chiffres 2, 4, 6 et 8 ? »
|
||
|
||
Un arbre permet de trouver rapidement les six solutions qui conviennent, en étant
|
||
convaincu qu’il n’en existe pas d’autres.
|
||
6 246
|
||
4
|
||
8 248
|
||
|
||
4 264
|
||
2 6
|
||
8 268
|
||
|
||
4 284
|
||
8
|
||
6 286
|
||
Exemple :
|
||
« Assia, Basile, Capucine, Diego et Emy ont résolu ensemble un problème de
|
||
mathématiques. Ils doivent désigner un binôme (deux élèves) parmi eux cinq pour
|
||
présenter leur solution à la classe.
|
||
Combien de binômes différents peut-on former avec ces cinq élèves ? »
|
||
|
||
Une série d’arbres permet de lister de façon exhaustive les différents binômes
|
||
possibles.
|
||
Basile Capucine
|
||
Capucine Diego
|
||
Assia Basile Diego Capucine Diego Emy
|
||
Diego Emy
|
||
Emy Emy
|
||
|
||
87 — Voir p. 35.
|
||
88 — Problème inspiré de https://edu1d.ac-toulouse.fr/politique-
|
||
educative-31/ien31-toulouse-sud/files/2019/05/solutions_-pb_
|
||
chercher_%C3%A9nonc%C3%A9s-cycle-2-et-3.pdf
|
||
126 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Focus | Exemples de résolution
|
||
de problèmes de cours moyen
|
||
avec des fractions en utilisant
|
||
des schémas en barres
|
||
|
||
Ce focus propose des exemples de résolution de problèmes utilisant des sché-
|
||
mas en barres pour huit problèmes de CM1 avec des fractions. Certains de ces
|
||
problèmes ne pourraient pas être résolus par des élèves de cours moyen sans le
|
||
recours à un schéma en barres, les calculs nécessaires à leur résolution ne leur
|
||
étant pas accessibles.
|
||
|
||
EXEMPLE 1
|
||
|
||
« Un récupérateur d’eau de 500 L est rempli aux 3 .
|
||
10
|
||
Quelle quantité d’eau manque-t-il pour qu’il soit plein ? »
|
||
|
||
500 L
|
||
|
||
Eau présente dans le récupérateur
|
||
|
||
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
|
||
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
|
||
|
||
500 L ÷ 10 = 50 L 7 x 50 L = 350 L
|
||
|
||
Il manque 350 L d’eau pour que le récupérateur d’eau soit plein.
|
||
|
||
EXEMPLE 2
|
||
|
||
« Zélie a préparé un cocktail de jus de fruits qui contient 1 de sirop de grenadine,
|
||
10
|
||
7 de jus d’orange et du jus d’ananas. Elle a utilisé 1 L de jus d’ananas.
|
||
10 2
|
||
Quel volume de cocktail Zélie a-t-elle préparé ? » 1L
|
||
2
|
||
|
||
grenadine orange orange orange orange orange orange orange ananas ananas
|
||
|
||
|
||
1L 1L 1L
|
||
2
|
||
|
||
2 L + 1 L = 2,5 L
|
||
2
|
||
Zélie a préparé 2,5 L de cocktail de jus de fruits.
|
||
127 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
EXEMPLE 3
|
||
|
||
« Dans un grand bocal, Iris a rangé ses perles de couleur. Il y en a des
|
||
vertes, des bleues, des rouges et des jaunes. Un tiers des perles sont vertes,
|
||
1 des perles sont bleues, 5 des perles sont rouges et il y a 14 perles jaunes.
|
||
12 12
|
||
Combien y a-t-il de perles de chaque couleur ? »
|
||
|
||
Une difficulté dans ce problème est de devoir partager l’ensemble des perles en 3
|
||
et en 12 de façon simultanée. C’est-à-dire comprendre que 4 douzièmes est égal
|
||
à 1 tiers.
|
||
1 1 1
|
||
3 3 3
|
||
|
||
7 perles 7 perles
|
||
|
||
|
||
|
||
1 5 14 perles
|
||
12 12
|
||
|
||
|
||
14 perles ÷ 2 = 7 perles ; un rectangle représente 7 perles.
|
||
7 perles x 5 = 35 perles ; il y a 35 perles rouges.
|
||
7 perles x 4 = 28 perles ; il y a 28 perles vertes.
|
||
Iris a 14 perles jaunes, 7 perles bleues, 35 perles rouges et 28 perles vertes.
|
||
|
||
EXEMPLE 4
|
||
|
||
« Un fromage est vendu au prix de 30 € par kilogramme.
|
||
Quel est le prix d’un morceau de ce fromage de 600 g ? »
|
||
|
||
600 g = 0,6 kg = 6 kg
|
||
10
|
||
1 kilogramme de fromage
|
||
30 €
|
||
|
||
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
|
||
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
|
||
|
||
3€
|
||
|
||
600 g de fromage
|
||
6 x 3 € = 18 €
|
||
|
||
Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 €.
|
||
128 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
EXEMPLE 5
|
||
|
||
« Le nombre de billes de Marius est égal au quart du nombre de billes de Giulia.
|
||
Giulia a 36 billes de plus que Marius.
|
||
Combien de billes a Giulia ? »
|
||
|
||
Giulia
|
||
|
||
Marius
|
||
36 billes
|
||
36 billes ÷ 3 = 12 billes
|
||
Un rectangle représente 12 billes.
|
||
12 billes x 4 = 48 billes
|
||
Giulia a 48 billes.
|
||
|
||
EXEMPLE 6
|
||
|
||
« Pour la fête des mères, Joseph et sa petite sœur Lana ont acheté un bouquet
|
||
à 36 €. Lana a payé le tiers de ce que Joseph a payé.
|
||
Combien chacun des enfants a-t-il payé pour le bouquet ? »
|
||
|
||
Joseph
|
||
36 €
|
||
Lana
|
||
|
||
36 € ÷ 4 = 9 €
|
||
9 € x 3 = 27 €
|
||
Pour le bouquet, Joseph a payé 27 € et sa sœur Lana a payé 9 €.
|
||
|
||
EXEMPLE 7
|
||
|
||
« Ce mardi, Maria joue aux billes à l’école. À la récréation du matin, elle perd 1
|
||
4
|
||
de ce qu’elle avait en arrivant à l’école. À l’heure du déjeuner, elle donne à son
|
||
|
||
petit frère 5 des billes qu’il lui reste car il a perdu toutes les siennes. Il reste
|
||
6
|
||
maintenant 4 billes à Maria.
|
||
Combien Maria avait-elle de billes en arrivant ce matin à l’école ? »
|
||
|
||
Méthode 1
|
||
|
||
Les billes à l’heure du déjeuner :
|
||
Billes restantes
|
||
Billes données à son frère pour Maria
|
||
|
||
|
||
4 billes
|
||
|
||
5 x 4 billes = 20 billes
|
||
Maria a donné 20 billes à son frère.
|
||
20 billes + 4 billes = 24 billes
|
||
Maria avait 24 billes avant le déjeuner.
|
||
129 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Les billes le matin à l’école :
|
||
|
||
Billes perdues Billes restantes
|
||
pendant la récréation après la récréation
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
24 billes
|
||
24 billes ÷ 3 = 8 billes
|
||
Un rectangle représente 8 billes.
|
||
8 billes x 4 = 32 billes
|
||
Maria avait 32 billes en arrivant à l’école ce matin.
|
||
|
||
Méthode 2
|
||
|
||
Billes perdues Billes restantes
|
||
pendant la récréation après la récréation
|
||
|
||
|
||
4 billes
|
||
|
||
|
||
Billes données Billes restantes
|
||
au frère de Maria après le déjeuner
|
||
|
||
4 billes x 2 = 8 billes
|
||
8 billes x 4 = 32 billes
|
||
Maria avait 32 billes en arrivant à l’école ce matin.
|
||
|
||
EXEMPLE 8
|
||
|
||
« Raphaël, Ali et Elsa ont effectué une course de relais. Raphaël a parcouru la
|
||
moitié de la distance parcourue par Ali et Ali a parcouru le tiers de la distance
|
||
parcourue par Elsa. À eux trois, ils ont couru 1 800 m.
|
||
Quelle distance a couru chaque enfant ? »
|
||
|
||
Raphaël
|
||
|
||
Ali 1 800 m
|
||
|
||
Elsa
|
||
|
||
|
||
1+2+6=9
|
||
Il y a 9 rectangles identiques.
|
||
1 800 m ÷ 9 = 200 m ; 200 m x 2 = 400 m ; 400 m x 3 = 1 200 m
|
||
Raphaël a couru 200 m, Ali a couru 400 m et Elsa a couru 1 200 m.
|
||
130 — Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
En résumé
|
||
|
||
Les apprentissages relatifs à la résolution de problèmes
|
||
ne se construisent pas en une année ni même en un cycle,
|
||
mais tout au long de la scolarité obligatoire. Les stratégies
|
||
d’enseignement mises en œuvre doivent donc être
|
||
collectives afin que les élèves puissent s’appuyer chaque
|
||
année sur ce qui a été appris les années précédentes.
|
||
Ceci est particulièrement vrai pour les schémas enseignés
|
||
pour soutenir la modélisation.
|
||
|
||
|
||
Les séances d’enseignement de résolution de problèmes
|
||
doivent être inscrites dans des séquences aux objectifs
|
||
clairement définis et explicités aux élèves. Pendant ces
|
||
séances, les élèves doivent disposer de temps suffisants
|
||
pour résoudre eux-mêmes les problèmes qui leur
|
||
sont proposés. Il faut veiller à soutenir, de façon appropriée
|
||
et au moment opportun, chaque élève rencontrant
|
||
une difficulté qu’il ne peut pas surmonter lui-même.
|
||
|
||
|
||
L’évaluation doit être utilisée pour soutenir les apprentissages.
|
||
Elle permet à l’enseignant de renforcer sa connaissance
|
||
de ce que sait faire chacun des élèves à un instant
|
||
donné et aide les élèves à structurer et renforcer leurs
|
||
apprentissages comme le montrent les sciences cognitives.
|
||
V
|
||
De l’école au collège :
|
||
la résolution
|
||
de problèmes
|
||
dans le cadre
|
||
de la liaison CM2-6e
|
||
132 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Le travail mené en résolution de problèmes au cours
|
||
moyen permet de faire acquérir aux élèves
|
||
les connaissances et compétences nécessaires pour
|
||
aborder sereinement les problèmes qu’ils devront
|
||
résoudre en dernière année de cycle 3, puis au cycle 4.
|
||
Ce travail contribue à la construction progressive,
|
||
tout au long de la scolarité, des six compétences majeures
|
||
de l’activité mathématique inscrites dans les programmes89.
|
||
Les stratégies acquises et les outils que les élèves
|
||
ont appris à utiliser, notamment pour effectuer
|
||
des représentations permettant de soutenir la résolution
|
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de problèmes, continueront à leur être utiles tout au long
|
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du collège, en particulier pour accompagner et renforcer
|
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le travail mené en algèbre.
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La résolution de problèmes
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au cœur de l’enseignement
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des mathématiques au collège
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comme à l’école élémentaire
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La résolution de problèmes continue d’occuper une place centrale dans l’ensei-
|
||
gnement des mathématiques au collège. Les attendus de fin d’année de sixième
|
||
mettent en évidence la continuité du travail à mener en rappelant les attentes
|
||
concernant les problèmes verbaux à une ou plusieurs étapes : l’élève « résout des
|
||
problèmes relevant des structures additives et multiplicatives en mobilisant une ou
|
||
plusieurs étapes de raisonnement ».
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89 — Chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner
|
||
et communiquer.
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133 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
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e
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Le programme du cycle 490 confirme la place centrale accordée à la résolution
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de problèmes tout au long du collège, en insistant sur le renforcement d’automatismes,
|
||
le développement de la capacité à faire des analogies avec les problèmes préalablement
|
||
résolus et l’acquisition d’aptitudes générales comme la prise d’initiative : « Une place
|
||
importante doit être accordée à la résolution de problèmes. Mais pour être en
|
||
capacité de résoudre des problèmes, il faut à la fois prendre des initiatives, imaginer
|
||
des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer en procédant par analogie, en
|
||
rattachant une situation particulière à une classe plus générale de problèmes
|
||
[…]. Ceci suppose de disposer d’automatismes (corpus de connaissances et de
|
||
procédures automatisées immédiatement disponibles en mémoire). »
|
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||
Exemples de problèmes pouvant
|
||
avoir été résolus au cours moyen
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Cette partie a pour objet de compléter la liste des nombreux problèmes proposés
|
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dans ce guide. Certains des problèmes proposés ici sont issus de travaux de
|
||
recherche. Ces problèmes peuvent être utilisés en classe au cours moyen lorsque les
|
||
compétences nécessaires à leur résolution sont enseignées. Ils peuvent permettre
|
||
de nourrir les échanges entre les professeurs de cours moyen et les professeurs
|
||
de mathématiques de sixième pour donner à voir des exemples de problèmes qui
|
||
ont été résolus par les élèves avant leur entrée au collège.
|
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— « Un paquet de sablés coûte 2,15 € et un paquet de madeleines coûte 4,05 €.
|
||
Combien dois-je payer pour ces deux paquets de gâteaux ? »
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— « Un paquet de sablés coûte 2,15 €. J’ai acheté un paquet de sablés et un paquet
|
||
de madeleines et j’ai payé 6,20 €.
|
||
Quel est le prix d’un paquet de madeleines ? »
|
||
|
||
— « Le mois dernier, le chiot de Basile pesait 3,8 kg. Il a grossi de 1,3 kg en un mois.
|
||
Combien pèse le chiot de Basile maintenant ? »
|
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|
||
— « Il y a deux mois le chiot de Basile a été malade et a perdu 1,1 kg. Ce mois-ci, il a
|
||
grossi de 2,3 kg. Il pèse maintenant 9,4 kg.
|
||
Combien pesait le chiot de Basile il y a deux mois ? »
|
||
|
||
— « Léa a parcouru 72 km depuis le péage de l’autoroute. Elle a maintenant parcouru
|
||
738,5 km depuis qu’elle a quitté sa maison.
|
||
Quelle distance a-t-elle parcourue entre sa maison et le péage de l’autoroute ? »
|
||
|
||
— « Pour la bibliothèque de fond de classe, le maître a acheté 6 exemplaires du
|
||
même livre. Il a payé 32,10 €.
|
||
Quel est le prix d’un livre ? »
|
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||
90 — BOENJS n° 31 du 30 juillet 2020.
|
||
134 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
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— « Pour la classe de CM2, le maître a commandé des manuels de mathématiques.
|
||
Chaque manuel coûte 13 €. La facture s’élève à 338 €.
|
||
Combien de manuels le maître a-t-il commandés ? »
|
||
|
||
— « Mathéo achète deux baguettes à 1,05 € et un croissant à 1,25 €.
|
||
Combien doit-il payer au boulanger ? »
|
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|
||
— « Rachid retire 30 € au distributeur, puis achète un livre à 37,50 €. Il lui reste
|
||
maintenant 12 €.
|
||
Combien d’argent Rachid avait-il avant d’aller au distributeur ? »
|
||
|
||
— « Erwan a fait des courses. La vendeuse lui a donné le ticket ci-dessous :
|
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Eau 3,60 €
|
||
Chocolat 2,10 €
|
||
Pain 0,85 €
|
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||
Il a payé avec un billet de 10 €. Il recompte la monnaie qui lui a été rendue et
|
||
trouve 2,45 €. Il pense qu’il a perdu une pièce.
|
||
Quelle pièce a-t-il pu perdre ?91 »
|
||
|
||
— « Claude raconte à son copain : “La semaine dernière, les élèves des classes de
|
||
deuxième année ont décidé de se cotiser pour offrir un cadeau à Kévin, hospitalisé.
|
||
Chacun a donné 0,50 €. Chargé de l’achat du cadeau, j’ai constaté qu’il manquait
|
||
15 €. J’ai réclamé 0,20 € supplémentaires par élève et j’ai alors eu 11 € de trop.”
|
||
Calcule le prix du cadeau.92 »
|
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Exemples d’utilisation
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au collège des représentations
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schématiques introduites
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au cours moyen
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||
Cette partie a pour objectif de montrer explicitement comment les outils introduits à
|
||
l’école élémentaire pour soutenir la résolution de problèmes peuvent continuer à être
|
||
utilisés au collège dans le cadre de la résolution de problèmes relevant du collège
|
||
(ratios, algèbre, probabilités, etc.).
|
||
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||
91 — Problème proposé dans une évaluation nationale de CM2
|
||
en mai 2012 (53 % de réussite).
|
||
92 — Problème proposé par Annick Fagnant dans une intervention
|
||
menée au sein de l’académie de Paris.
|
||
135 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
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Utilisation des schémas en barres
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pour des problèmes de fractions,
|
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pourcentages ou ratios
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PROBLÈMES DE FRACTIONS
|
||
Exemple :
|
||
« J’ai dépensé 4 septièmes de mes économies pour acheter un manteau et le tiers
|
||
du reste pour une paire de chaussettes. J’ai maintenant 9,52 €.
|
||
Combien avais-je d’économies au départ ?*93 »
|
||
|
||
La résolution peut s’appuyer sur les outils utilisés à l’école élémentaire.
|
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||
Économies au départ
|
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Manteau : 4 des économies Reste
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7
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1 du reste 9,52 €
|
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3
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(chaussettes)
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||
9,52 € ÷ 2 = 4,76 €
|
||
4,76 € x 7 = 33,32 €
|
||
J’avais 33,32 € d’économie au départ.
|
||
|
||
Cette représentation permet d’illustrer les calculs algébriques menés au collège.
|
||
En notant x les économies au départ, la somme restante après les achats est égale à :
|
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|
||
(1 – 47 ) (1 – 13 )x = 37 x 23 x = 27 x
|
||
On va donc chercher x tel que 2 x = 9,52 ; la fraction 2 apparaissait clairement
|
||
7 7
|
||
sur le schéma.
|
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||
93 — Dans ce chapitre, les problèmes suivis du symbole « * »
|
||
sont extraits du guide La Résolution de problèmes mathématiques
|
||
au collège, coll. « Les guides fondamentaux pour enseigner », 2021.
|
||
136 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
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||
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||
PROBLÈMES DE POURCENTAGES
|
||
Exemple :
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||
« Angel veut acheter une paire de chaussures. Elle a droit à une réduction de
|
||
15 % par rapport au prix normal. Le vendeur lui dit que la réduction sera de 12 €.
|
||
Quel est le prix normal ?94 »
|
||
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15 %
|
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100 %
|
||
|
||
Prix réduit Réduction 12 €
|
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|
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Prix normal ? €
|
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|
||
15 % du prix normal 12 €
|
||
30 % du prix normal 24 €
|
||
10 % du prix normal 8€
|
||
100 % du prix normal 80 €
|
||
|
||
Le schéma permet aussi de soutenir la production du tableau de proportionnalité
|
||
au collège :
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||
Réduction Prix normal
|
||
Part du prix normal en % 15 100
|
||
Montant en € 12 x
|
||
|
||
|
||
|
||
En fin de cycle 4, le tableau conduit au calcul automatisé x = 12 x 100.
|
||
15
|
||
Exemple :
|
||
« Dans un panier, il y a des pommes et des oranges. 25 % des fruits sont
|
||
des oranges. Mary achète des oranges en plus et les met dans le panier. Il y a
|
||
maintenant deux fois plus d’oranges qu’avant.
|
||
Quel pourcentage des fruits sont des pommes après l’achat de Mary ?95 »
|
||
|
||
25 % = 1
|
||
4
|
||
Au départ :
|
||
Pommes Oranges
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
94 — Herani Tri Lestiana, Cici Tri Wanita, ”Bar Model: a beneficial tool
|
||
in learning percentage”, Eduma, Mathematics Education Learning
|
||
and Teaching, Vol. 8, n° 2, 2019.
|
||
95 — Ibid, p. 67, note 51.
|
||
137 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
|
||
|
||
|
||
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||
Mary double le nombre d’oranges :
|
||
|
||
Pommes Oranges
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La part des pommes parmi les fruits est maintenant : 3 = 6 = 60 = 60 %.
|
||
5 10 100
|
||
|
||
PROBLÈMES DE RATIOS
|
||
Exemple :
|
||
« Lors d’un match de football, le ratio hommes-femmes du public est de 3:5.
|
||
Combien y a-t-il d’hommes dans le public sachant qu’il y a 34 500 femmes ? »
|
||
|
||
3 + 5 = 8 ; il y a huit parts égales.
|
||
|
||
Hommes Femmes
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
34 500 spectatrices
|
||
|
||
34 500 ÷ 5 = 6 900 ; une part correspond à 6 900 personnes.
|
||
3 x 6 900 = 20 700 ; il y a 20 700 hommes dans le public de ce stade.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Quelle est la nature d’un triangle dont les angles sont dans le ratio 1:2:3 ?* »
|
||
|
||
1 + 2 + 3 = 6 ; il y a six parts égales.
|
||
La somme des mesures des angles d’un triangle est 180°.
|
||
|
||
Premier Deuxième Troisième
|
||
angle angle angle
|
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||
|
||
|
||
|
||
180°
|
||
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||
|
||
180° ÷ 6 = 30° ; le premier angle mesure 30°.
|
||
2 x 30° = 60° ; le deuxième angle mesure 60°.
|
||
3 x 30° = 90° ; le troisième angle mesure 90°.
|
||
Le triangle est un triangle rectangle.
|
||
138 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
|
||
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||
|
||
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||
Utilisation des schémas en barres pour
|
||
illustrer des problèmes algébriques
|
||
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||
Exemple :
|
||
« Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins
|
||
que la vache. Ensemble, les trois animaux pèsent 410 kg.
|
||
Quelle est la masse de la vache ?96 »
|
||
|
||
Vache
|
||
|
||
150 kg
|
||
Chien 410 kg
|
||
|
||
Chèvre 130 kg
|
||
|
||
|
||
On peut raisonner avec trois fois la masse de la vache, en schématisant ainsi :
|
||
|
||
Vache Vache Vache
|
||
|
||
150 kg 130 kg
|
||
Vache Chien Chèvre
|
||
|
||
150 kg 130 kg
|
||
Vache Chien Chèvre
|
||
|
||
410 kg 280 kg
|
||
|
||
|
||
Trois fois la masse de la vache est donc égal à 410 kg + 280 kg c’est-à-dire 690 kg.
|
||
690 kg ÷ 3 = 230 kg ; la vache pèse 230 kg.
|
||
|
||
Le calcul algébrique reproduit le même raisonnement : en notant x la masse de la
|
||
vache, en kilogramme, on trouve que celle du chien est (x – 150) kg et que celle de
|
||
la chèvre est (x – 130) kg.
|
||
On en déduit l’équation correspondant à la somme des masses des trois animaux :
|
||
x + (x – 150) + (x – 130) = 410.
|
||
On retrouve alors la relation obtenue avec le schéma : 3x = 410 + 280.
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Un rectangle a une longueur et une largeur dans le ratio 3:2. Si je diminue
|
||
la longueur de 1 m et si j’augmente la largeur de 2 m, j’obtiens un carré.
|
||
Quelle est son aire ? »
|
||
|
||
L’obtention d’un carré signifie que la largeur et la longueur deviennent égales.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
96 — Ibid, p. 109, note 80.
|
||
139 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Longueur
|
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2m 1m
|
||
Largeur
|
||
|
||
longueur des côtés du carré
|
||
|
||
À partir du schéma, on visualise immédiatement qu’une petite barre violette
|
||
correspond à une longueur de 3 mètres. On en déduit que le rectangle a une longueur
|
||
de 9 mètres et une largeur de 6 mètres, et ensuite que le carré a des côtés mesurant
|
||
8 mètres. Son aire est donc de 64 m².
|
||
|
||
En notant x la longueur du côté du carré, on obtient une équation où chaque membre
|
||
correspond à la longueur représentée par une petite barre violette dans les deux
|
||
|
||
lignes du schéma x + 1 = x – 2 ,ce qui permet de trouver la valeur de x.
|
||
3 2
|
||
|
||
|
||
|
||
Utilisation de tableaux
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« On lance deux dés.
|
||
Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat compris entre 7 et 19 en faisant
|
||
le produit des nombres obtenus sur chaque dé ? »
|
||
|
||
On réalise un tableau recensant les 36 cas possibles :
|
||
|
||
|
||
1 2 3 4 5 6
|
||
|
||
1 1 2 3 4 5 6
|
||
|
||
2 2 4 6 8 10 12
|
||
|
||
3 3 6 9 12 15 18
|
||
|
||
4 4 8 12 16 20 24
|
||
|
||
5 5 10 15 20 25 30
|
||
|
||
6 6 12 18 24 30 36
|
||
|
||
|
||
|
||
Il y a 14 cas correspondant à ce qui est recherché. La probabilité est de 14 .
|
||
36
|
||
140 — De l’école au collège : la résolution de problèmes dans le cadre de la liaison CM2-6
|
||
e
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« Pour le championnat de rugby, une équipe reçoit 3 points par victoire et 1 point
|
||
par match nul. Après 25 matchs, une équipe a marqué 55 points.
|
||
Combien de matchs a-t-elle pu perdre ?* »
|
||
|
||
Si l’équipe avait gagné 10 matchs, alors elle aurait gagné 30 points pour ces matchs.
|
||
Il manque alors 25 points pour atteindre les 55 points qu’elle a marqués au total :
|
||
cela ferait 25 matchs nuls. Cela voudrait dire qu’elle aurait joué au moins 35 matchs.
|
||
C’est impossible, car au total, elle a joué 25 matchs. L’équipe a donc nécessairement
|
||
gagné plus de 10 matchs.
|
||
|
||
Nombre Nombre de matchs nuls Nombre de matchs perdus
|
||
de matchs nécessaires pour atteindre nécessaires pour atteindre
|
||
gagnés 55 points 25 matchs
|
||
10 25, impossible (10 + 25 > 25)
|
||
11 22, impossible (11 + 22 > 25)
|
||
12 19, impossible (12 + 19 > 25)
|
||
13 16, impossible (13 + 16 > 25)
|
||
14 13, impossible (14 + 13 > 25)
|
||
15 10 0 (25 – 15 – 10)
|
||
16 7 2 (25 – 16 – 7)
|
||
17 4 4 (25 – 17 – 4)
|
||
18 1 6 (25 – 18 – 1)
|
||
19 Impossible (3 x 19 = 57 > 55)
|
||
|
||
|
||
L’équipe a pu perdre 0, 2, 4 ou 6 matchs.
|
||
|
||
|
||
|
||
Utilisation d’arbres
|
||
|
||
Exemple :
|
||
« On lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée.
|
||
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois “pile” et une fois “face” ? »
|
||
P
|
||
P F
|
||
P
|
||
P
|
||
F
|
||
F
|
||
|
||
P
|
||
P
|
||
F
|
||
F
|
||
F P
|
||
F
|
||
L’arbre permet de repérer les 3 cas favorables parmi les 8 possibles. La probabilité
|
||
|
||
est de 3 .
|
||
8
|
||
Bibliographie
|
||
et outils de référence
|
||
142 — Bibliographie et outils de référence
|
||
|
||
OUVRAGES
|
||
|
||
|
||
— Crahay Marcel, — Pólya George, Comment
|
||
Verschaffel Lieven, poser et résoudre
|
||
De Corte Erik, Grégoire un problème, Dunod,
|
||
Jacques, Enseignement Paris, 1965 (traduction
|
||
et apprentissage de Schule des Denkens.
|
||
des mathématiques, Vom Lösen mathematischer
|
||
De Boeck Supérieur, Probleme, 1945).
|
||
Bruxelles, 2008.
|
||
— Polotskaia Elena, Gervais
|
||
— Dehaene Stanislas, Claudine, Savard Annie,
|
||
Apprendre ! Les talents Représenter pour mieux
|
||
du cerveau, le défi raisonner. Résolution
|
||
des machines, Odile Jacob, de problèmes écrits
|
||
Paris, 2018. d’addition et de soustraction,
|
||
JFD, Montréal, 2019.
|
||
— Houdé Olivier, Apprendre
|
||
à résister, Le Pommier- — Singer Florence Mihaela,
|
||
Humensis, Paris, 2019. Ellerton Nerida F., Cai Jinfa,
|
||
Mathematical Problem
|
||
— Lakoff George, Núñez Rafael,
|
||
Posing – From Research
|
||
Where Mathematics Comes
|
||
to Effective Practice,
|
||
From: How the Embodied
|
||
Springer, 2005.
|
||
Mind Brings Mathematics
|
||
Into Being, Basic Books, — Sophian Catherine,
|
||
New York, 2001. The Origins of Mathematical
|
||
Knowledge in Childhood,
|
||
— Lautrey Jacques,
|
||
Routledge, New York, 2007.
|
||
Rémi‑Giraud Sylviane,
|
||
Sander Emmanuel, — Willingham Daniel T.,
|
||
Tiberghien Andrée, Pourquoi les enfants
|
||
Les Connaissances naïves, n’aiment pas l’école ?,
|
||
Armand Colin, Paris, 2008. La Librairie des Écoles,
|
||
2010.
|
||
|
||
|
||
|
||
ARTICLES
|
||
|
||
|
||
— Barnett Susan, Ceci Stephen, — Barrouillet Pierre,
|
||
“When and Where Do We Camos Valérie,
|
||
Apply What We Learn? « Savoirs, savoir-faire
|
||
A Taxonomy for Far Transfer”, arithmétiques et leurs
|
||
Psychological bulletin, déficiences », dans Michèle
|
||
n° 128, 2002. Kail et Michel Fayol (dir.),
|
||
Les Sciences cognitives
|
||
et l’école. La question
|
||
des apprentissages,
|
||
PUF, Paris, 2003.
|
||
143 — Bibliographie et outils de référence
|
||
|
||
— Bassok Miriam, “Semantic — Demonty Isabelle, Dupont
|
||
Alignments in Mathematical Virginie, Fagnant Annick,
|
||
Word Problems”, in Dedre « Analyse des régulations
|
||
Gentner, Keith J. Holyoak, interactives entre élèves
|
||
Boicho N. Kokinov (eds.), lors de la résolution
|
||
The Analogical Mind: d’un problème mathématique
|
||
Perspectives from Cognitive en groupe », Les Cahiers
|
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Conception graphique et éditoriale
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Délégation à la communication
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Suivi éditorial
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Julie Mege
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Exécution graphique
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Opixido
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Suivi de fabrication
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Janvier 2022 Service de l’action administrative et des moyens
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ISBN 978-2-11-162850-2 Impression
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ISSN 2647-4786 DEJA LINK
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