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Avant
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Livret À partir de
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4 ans
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d’accompagnement
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de programme
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À partir de
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CP
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Mathématiques 6e
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5e
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4e
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3e
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2026
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Ce livret d’accompagnement du programme de mathématiques du cycle 3, publié au BOENJS du 17
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avril 2025 propose des ressources organisées sous la forme de fiches thématiques. Chaque fiche
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présente une séquence de classe, dans laquelle une ou plusieurs séances sont détaillées. Les exemples
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proposés abordent certaines priorités ou nouveautés des programmes scolaires.
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1
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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Table des matières
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3 Enjeux pédagogiques du cycle 3
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4 Recommandations pédagogiques et gestes professionnels
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associés
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5 Proposition de séquence n°1 – Savoir que la probabilité d’un
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événement est un nombre compris entre 0 et 1.
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La séquence vise à consolider la notion de probabilité, puis à introduire l’écriture des probabilités
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comme quotient compris entre 0 et 1. Les élèves passent de l’expression « la probabilité est de « a
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a
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chances sur b » à l’expression « la probabilité est égale à ». Ils comprennent que la probabilité d’un
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b
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événement est un nombre, écrit sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un
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pourcentage. La mise en place de simulations permet d’introduire l’approche fréquentiste des
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probabilités, en comparant les résultats d’expériences répétées à la probabilité théorique. Les activités
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s’appuient sur le positionnement d’événements sur une échelle de probabilités, objet déjà rencontré par
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les élèves en CM, mais cette échelle devient graduée et l’événement est attaché à un nombre entre 0 et
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1. La manipulation de différentes écritures est l’occasion de réinvestir le travail sur les nombres
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(fractions, décimaux, pourcentages). Des expériences aléatoires variées et des jeux permettent d’ancrer
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la notion dans des situations concrètes et de faire vivre des simulations et des modèles.
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15 Proposition de séquence n°2 – Définition de la proportionnalité
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entre deux grandeurs
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Cette séquence permet de construire puis formaliser la définition de la proportionnalité entre deux
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grandeurs. Les élèves identifient des situations relevant d’un modèle de proportionnalité et distinguent
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celles qui n’en relèvent pas. Ils utilisent différentes procédures de calcul, appuyées sur la compréhension
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du sens de la proportionnalité et résolvent des problèmes en mobilisant la procédure la plus adaptée
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(linéarité multiplicative, additive ou retour à l’unité) sans recours systématique au tableau. Les exercices
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proposés sont variés : exemples résolus, vrai/faux, exercices inversés, liens avec les aires, ou encore
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situations issues de la vie quotidienne. La progression articule découverte, confrontation de situations,
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entraînement et contextualisation, pour donner du sens à la notion de proportionnalité.
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25 Proposition de séquence n°3 – Raisonnement illustré sur un
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exemple de géométrie : la médiatrice
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La séquence vise à développer la compétence « raisonner » à travers la définition et la propriété
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caractéristique de la médiatrice d’un segment. Les élèves apprennent à distinguer définition et
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propriété et à les mobiliser dans des situations de construction et de résolution de problèmes. Ils
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s’exercent à utiliser le codage de figures, prélever des informations et organiser les étapes d’une preuve.
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Les activités variées (construction, géométrie mentale, restauration de figures, résolution de problèmes)
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favorisent l’argumentation et l’initiation à la pensée déductive.
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2
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Enjeux pédagogiques du cycle 3
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Dans la continuité des cycles précédents, au cycle 3, les élèves doivent acquérir de solides bases sur les
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nombres, qu’ils soient entiers ou non, en comprenant leurs différentes écritures (écritures décimales ou
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sous forme de fractions) et en développant des savoir-faire pour pouvoir effectuer des calculs
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mentalement ou par écrit selon les nombres en jeu.
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L’enseignement des mathématiques au cycle 3 vise également le renforcement de compétences
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d’analyse, de raisonnement, de logique et d’argumentation à travers la résolution de problèmes qui est au
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cœur de l’activité mathématique et fait l’objet d’un enseignement structuré et progressif.
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Pour être en capacité de résoudre des problèmes, les élèves doivent pouvoir disposer d’automatismes,
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c’est-à-dire d’un corpus de connaissances, de procédures et de stratégies immédiatement disponibles. La
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maitrise de ces automatismes allège la mémoire de travail des élèves lors de la résolution de problèmes,
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leur permettant de se consacrer pleinement à des tâches cognitives de niveau supérieur comme la prise
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d’initiatives, la créativité ou le raisonnement. L’apprentissage de ces automatismes est particulièrement
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valorisant car il produit souvent des progrès rapides, ce qui engage les élèves dans un cercle vertueux et
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renforce leur confiance en leur capacité à réussir.
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Il est essentiel de trouver un juste équilibre entre le travail sur l’acquisition des techniques, en particulier
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via les automatismes, et l’ancrage des connaissances en lien avec le sens des notions mathématiques et
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leur utilisation lors de la résolution de problèmes.
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De nouveaux éléments apparaissent dans le programme de mathématiques du cycle 3 comme l’algèbre,
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les probabilités ou l’initiation à la pensée informatique. Il est essentiel que ces champs soient abordés sans
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attendre la fin de l’année scolaire afin de permettre aux élèves d’acquérir de solides bases sur ces
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domaines dont l’étude se poursuivra tout au long du cycle 4 en s’appuyant sur les acquis du cycle 3.
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L’introduction précoce doit permettre une centration forte sur le sens plutôt que sur des compétences
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techniques et calculatoires. Ces nouveaux champs d’étude ne remplacent bien évidemment pas les
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domaines plus traditionnels : nombres, calcul, résolution de problèmes, géométrie ou grandeurs et
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mesures qui restent le cœur du programme de cycle 3.
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Trois séquences sont proposées afin d’illustrer les changements opérés dans le nouveau programme de la
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classe de sixième, l’une sur les probabilités, la suivante sur la proportionnalité entre deux grandeurs et la
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dernière sur le raisonnement à travers l’exemple de la médiatrice. Pour chacune de ces séquences,
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l’accent est mis sur le sens des notions travaillées. Les éclairages pédagogiques et didactiques permettent
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d’illustrer la réflexion que suscite ce nouveau programme. Le cheminement explicite et très progressif
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proposé permet de prendre la mesure des changements opérés.
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En classe de sixième, les probabilités deviennent une grandeur, susceptible d’être comparée, additionnée,
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complétée, représentée sur une droite graduée ou dans un graphique. Elle prend le statut d’un nombre
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réel, non plus seulement d’un rapport entre deux entiers, passant ainsi du discret au continu. Ce
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changement n’est pas anodin et il convient, pour l’enseignant, de prendre la mesure cette progression.
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Lors de cette première année au collège, l’élève est sensibilisé au modèle de la proportionnalité. Il est
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essentiel d’expliciter et de faire expliciter aux élèves les choix effectués et les stratégies mises en œuvre. La
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définition de la proportionnalité entre deux grandeurs est formalisée et anticipe la notion de grandeur
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quotient qui sera étudiée au cycle 4.
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Un point essentiel de ce nouveau programme est l’accent mis sur l’argumentation et le raisonnement. La
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géométrie est un terrain propice pour ce travail mais celui-ci doit être mené dans les autres domaines des
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mathématiques. Il s’agit de faire percevoir aux élèves la force et la nécessité du raisonnement. Outre les
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compétences raisonnée et communiquée mises en jeu, la représentation joue ici un rôle fondamental. La
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construction est en effet un point d’appui à l’élaboration du raisonnement, et parallèlement, la réalisation
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de certaines constructions nécessite un raisonnement préalable.
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3
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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Recommandations pédagogiques et
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gestes professionnels associés
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Une démarche d’enseignement structuré et progressif
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Les recherches en sciences cognitives montrent que pour apprendre efficacement, les élèves doivent
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comprendre ce qui est attendu d’eux, identifier les obstacles cognitifs susceptibles de freiner leur
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progression, et disposer de stratégies adaptées pour les surmonter. Le professeur joue alors un rôle clé
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en guidant les élèves, en structurant les savoirs, et en leur fournissant des outils concrets pour réussir.
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Toutefois, si cette démarche peut s’avérer particulièrement efficace, elle ne peut être mobilisée de
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manière systématique, quels que soient le contenu ou la situation d’enseignement. Son efficacité
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repose donc sur une mise en œuvre réfléchie, attentive aux spécificités de chaque situation
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d’apprentissage, des contenus enseignés et des profils d’élèves. Pour que cette approche produise
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pleinement ses effets, elle doit s’appuyer sur une capacité du professeur à ajuster ses interventions et à
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différencier ses pratiques. C’est en conjuguant les apports des sciences cognitives avec une fine
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compréhension des besoins des élèves et une approche pédagogique souple et réactive que l’on crée
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les conditions d’un apprentissage à la fois efficace et durable.
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Ainsi un projet d’enseignement efficace s’appuie sur une démarche progressive permettant
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d’accompagner l’apprentissage des élèves.
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Tout d’abord, il s’agit de s’assurer que les objectifs sont compris des élèves, et que la situation présentée
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est suffisamment motivante pour leur permettre d’entrer dans l’apprentissage. Par la suite, les activités
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proposées aux élèves, conçues pour atteindre les objectifs fixés, peuvent dans leur mise en œuvre
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alterner des phases accompagnées par l’enseignant et d’autres en autonomie. Ces activités se concluent
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par un temps de structuration des apprentissages « Qu’ai-je appris ? » et de retour réflexif « Qu’ai-je
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réussi ? Que puis-je faire mieux et comment ? ».
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À l’occasion des séances ou séquences suivantes, les acquis sont remobilisés afin de favoriser
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l’automatisation et la capacité des élèves à transférer les apprentissages, dans d’autres situations.
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La place de l’erreur
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Lorsque la réponse de l’élève est inexacte, il est essentiel de l’accompagner dans l’identification de son
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erreur afin qu’il puisse, par exemple, comprendre le principe mathématique en jeu ou améliorer son
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raisonnement logique. Le professeur favorise, encourage et accompagne la réflexion de l’élève en lui
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proposant des rétroactions régulières sur son activité, dans le but de le guider progressivement vers une
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meilleure compréhension de ses démarches.
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La place et le rôle de la verbalisation par l’élève
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Le professeur encourage et favorise la verbalisation et l’explication des objets d’apprentissage afin d’en
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assurer une meilleure compréhension et de développer ainsi la capacité à en reconnaitre les régularités.
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Il peut, par exemple, demander aux élèves de décrire ce qu’ils observent et de justifier leurs réponses.
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4
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Le suivi et évaluation des progrès des élèves
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Suivre régulièrement la progression des élèves dans la compréhension des notions et dans le
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développement des compétences, non seulement par l’observation directe mais aussi par l’utilisation
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d’outils d’évaluation, permet d’ajuster les activités en fonction des acquis des élèves, en tenant compte
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de leurs progrès et de leurs difficultés.
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Proposition de séquence n° 1 – Savoir que
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la probabilité d’un événement est un
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nombre compris entre 0 et 1.
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Objectifs
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• Savoir que la probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
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• Passer de l’expression « a chances sur b » à une écriture de la probabilité sous forme de nombre
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(fraction, décimal, pourcentage).
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• Utiliser une échelle de probabilités pour positionner et comparer des événements.
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• Faire le lien entre la fréquence d’apparition d’un événement lors d’un très grand nombre de
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répétitions d’une même expérience et la probabilité de l’événement.
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Éléments de progression
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Niveau Référence au programme et progressivité
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• Identifier des expériences aléatoires
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• Identifier toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire simple
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• Comprendre et utiliser le vocabulaire approprié : « impossible », « possible », « certain »,
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« probable », « peu probable », « une chance sur deux »
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CM1
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• Comparer des issues d’expériences aléatoires ou des événements selon leur probabilité
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de réalisation
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• Comprendre que ce n’est pas parce qu’il y a deux issues possibles que chacune a une
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chance sur deux de se réaliser
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• Identifier toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire simple
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• Identifier toutes les issues réalisant un événement dans une expérience aléatoire simple
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• Dans une situation d’équiprobabilité, lors d’une expérience aléatoire simple, exprimer la
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probabilité d’un événement sous la forme « a chances sur b »
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CM2 • Comparer des probabilités dans des cas simples
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• Comprendre la notion d’indépendance lors de la répétition de la même expérience
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aléatoire
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• Dans des situations d’équiprobabilité, recenser toutes les issues possibles d’une
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expérience aléatoire en deux étapes dans un tableau ou dans un arbre afin de déterminer
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des probabilités
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• Savoir que la probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1
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||
6 e
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• Calculer des probabilités dans des situations simples d’équiprobabilité
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• Comparer des résultats d’une expérience aléatoire répétée à une probabilité calculée
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5
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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Enjeux pédagogiques
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Après une première approche des probabilités en CM1, les élèves ont, en CM2, appris à dénombrer
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l’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire, ainsi qu’à identifier et à compter celles qui
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correspondent à un événement. Ces dénombrements leur ont permis de quantifier les probabilités
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d’événements, sous la forme de « a chances sur b », où a est le nombre d’issues correspondant à
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l’événement et b le nombre total d’issues possibles de l’expérience aléatoire.
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En 6e, un objectif majeur est de passer de la traduction d’une probabilité en termes de chances (a
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𝑎
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chances sur b) à son expression par le nombre égal au quotient (pouvant être lu « a sur b »), qui peut
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𝑏
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s’exprimer comme une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. On veillera dans la progression,
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à ce que la notion de pourcentage ait été préalablement travaillée (les pourcentages n’étant plus
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abordés au cours moyen).
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Les élèves calculent ainsi des probabilités en s’appuyant sur des conditions de symétrie ou de régularité
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qui fondent le modèle équiprobable.
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L’approche fréquentiste des probabilités est également introduite. La mise en place d’expériences, de
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simulations, offre aux élèves une autre entrée dans la notion de probabilité. Cela permet également
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d’interpréter certains résultats abordés au cours moyen, de contrôler à posteriori une hypothèse
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d’équiprobabilité, ou d’approcher une probabilité inconnue.
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Éclairage didactique
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Dans l’enseignement des probabilités au collège, les premières situations proposées aux élèves sont
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souvent fondées sur le comptage de cas équiprobables (« Sur un dé à six faces, il y a 3 chances sur 6
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d’obtenir un nombre pair. »).
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𝑎
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L’écriture en termes de « a chances sur b » puis de s’appuie sur une représentation intuitive et
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||
𝑏
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accessible : elle renvoie à une proportion de cas favorables parmi un ensemble fini de cas possibles, qui
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n’est valable que dans le modèle d’équiprobabilité. C’est une approche naturelle pour les élèves, qui
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mobilise des connaissances antérieures sur les fractions, les parts, ou la notion de « proportion de
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réussite ».
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L’expression « a chances sur b » entretient une proximité avec le langage courant, mais elle peut
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masquer certains enjeux mathématiques.
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• Elle renforce la vision discrète et finie de la probabilité, associée à un dénombrement explicite
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des cas possibles.
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• Elle tend à essentialiser le hasard : les élèves peuvent croire que la probabilité existe « parce
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qu’on compte les cas », et non comme une mesure abstraite sur un ensemble d’événements.
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• Le mot « chance » entretient une ambiguïté sémantique, en renvoyant à la réussite ou à la
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||
fortune, plutôt qu’à une mesure mathématique.
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L’écriture sous forme de fraction est un premier pas vers l’écriture d’une probabilité sous forme de
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nombre compris entre 0 et 1.
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• On quitte le registre combinatoire et fractionnaire pour un registre mesuré et continu.
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• La probabilité devient une grandeur, susceptible d’être comparée, additionnée, complétée,
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représentée sur une droite graduée ou dans un graphique.
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• Elle prend le statut d’un nombre réel, non plus seulement d’un rapport entre deux entiers,
|
||
passant ainsi du discret au continu.
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6
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Ce passage demande aux élèves d’accepter une normalisation du hasard : toutes les probabilités sont
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ramenées à une même échelle (de 0 à 1), ce qui facilite les comparaisons, mais exige une abstraction
|
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plus forte.
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||
L’enjeu est donc de faire comprendre la nature du nombre probabiliste : il s’agit d’une mesure de la
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vraisemblance, pas seulement d’un rapport entre nombre de cas favorables et nombre total de cas.
|
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Pour cela, il est utile de :
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• varier les registres de représentation : utiliser la fraction, le pourcentage, le décimal, la droite
|
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graduée, la visualisation graphique (aires, diagrammes de proportion) ;
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||
• mettre en tension le modèle discret et la représentation continue : par exemple, faire évoluer les
|
||
situations vers des expériences répétées ou des phénomènes où le dénombrement n’est plus
|
||
possible ;
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• faire expliciter aux élèves ce que signifie « 0 », « 1 » et les valeurs intermédiaires : « 0 » correspond
|
||
à un événement impossible, « 1 » à un événement certain, et les autres valeurs à des degrés de
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vraisemblance.
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Le changement de registres (Duval) en probabilité
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Pour Duval, comprendre les mathématiques, c’est être capable de changer de registre de
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représentation sémiotique, c’est-à-dire de passer d’une manière de représenter un même objet
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mathématique à une autre.
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Exemples de registres en probabilité
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– Langage naturel : « Il y a une chance sur deux de gagner. »
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– Registre graphique : un diagramme en secteurs, une droite graduée.
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– Registre symbolique (algébrique, numérique) : P(A)=0,5.
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– Registre tabulaire ou arbre de probabilité.
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||
Il en découle des représentations des probabilités qui appartiennent à des registres différents. Quand
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on écrit une probabilité sous la forme d’un nombre compris entre 0 et 1, on passe du registre verbal à
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||
un registre symbolique numérique. On accède ainsi à la comparaison et aux opérations.
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||
7
|
||
6eee
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||
MATHÉMATIQUES
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Déroulement de la séquence
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Progression Composante Focus
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𝒂 𝒂
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Séance 1 Passer de « a chances sur b » à l’écriture et 0 < < 1 et comprendre Cf. Focus
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𝒃 𝒃
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que la probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et Séance 1
|
||
1
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• Phase 1 - Expression de la probabilité d’un événement en
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||
termes de chances
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• Phase 2 - Étude de la probabilité pour la roue A (situation
|
||
d’équiprobabilité)
|
||
• Phase 3 - Recherche de la probabilité de la roue B à l’aide
|
||
d’une modélisation numérique (situation de non
|
||
équiprobabilité)
|
||
|
||
Séance 2 Faire vivre les différentes écritures d’une probabilité avec l’échelle de Cf. Focus
|
||
probabilités Séance 2
|
||
• Phase 1 - Positionnement d’événements sur une échelle de
|
||
probabilités
|
||
• Phase 2 - Manipulation de différentes écritures des
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||
probabilités
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Séance 3 Mobiliser les connaissances sur les probabilités dans des activités à
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prise d’initiatives
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Ressource éduscol Inventer une règle du jeu (aborder les questions
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||
relatives au hasard à partir de problèmes simples ; calculer des
|
||
probabilités dans un contexte de jeu)
|
||
Ressource éduscol Stratégie dans un jeu (calculer des probabilités
|
||
dans un contexte simple, par exemple, évaluation des chances de gain
|
||
dans un jeu et choix d’une stratégie)
|
||
Ressource éduscol Jeu équitable ? (calculer des probabilités dans un
|
||
contexte simple, par exemple, évaluation des chances de gain dans
|
||
un jeu et choix d’une stratégie)
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|
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||
8
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Focus sur la séance 1 – Passer de « a chances sur b » à
|
||
𝒂 𝒂
|
||
l’écriture 𝒃 et 0 < 𝒃 < 1
|
||
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||
Phase 1 – Expression de la probabilité d’un événement en termes de
|
||
chances
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||
Le professeur demande aux élèves de répondre sur ardoise à la question suivante.
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|
||
Énoncé
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||
Voici une roue A que l’on pose à plat sur une table. On fait tourner la flèche et on regarde sur quelle
|
||
couleur elle s’arrête.
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Roue A
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||
Quelle est la probabilité que la flèche tombe sur le secteur vert pour cette roue ?
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||
La fiche élève est présentée en annexe 1.
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Remarques
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||
Les acquis du CM2 établissent que la probabilité est « 1 chance sur 4 » pour la roue A. L’élève peut
|
||
donc réactiver ses connaissances. La roue A est une situation d’équiprobabilité.
|
||
|
||
Déroulé possible
|
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𝟏
|
||
Le professeur recense au tableau les différentes réponses (1 chance sur 4, , 4, etc.) sans les commenter
|
||
𝟒
|
||
pour l’instant.
|
||
|
||
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||
Phase 2 – Étude de la probabilité pour une roue A (situation
|
||
d’équiprobabilité)
|
||
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||
Institutionnalisation
|
||
Le professeur fait verbaliser la situation aux élèves pour aboutir, en co-construction, à une première
|
||
partie d’institutionnalisation et complète la deuxième partie.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
9
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
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||
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||
|
||
Exemple d’institutionnalisation possible
|
||
Partie co-construite
|
||
|
||
Dans cette situation, il y a 4 issues : bleu, rose, orange, vert. On a autant de chances de tomber sur
|
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chaque couleur. Chaque couleur a donc la même probabilité. Il y a donc 1 chance sur 4 d’obtenir la
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couleur verte.
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Apport du professeur
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1
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On dira que la probabilité d’obtenir la couleur verte est de . C’est un nombre.
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4
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Quand on est dans une situation dans laquelle toutes les issues ont la même probabilité (on dit qu’elles
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sont équiprobables), on peut calculer la probabilité d’un événement en faisant le quotient
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𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
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.
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𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠
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Le professeur illustre cette institutionnalisation avec des exemples variés, et fait remarquer que le
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nombre obtenu en divisant (nombre de cas favorables) par (nombre total de cas) est toujours un
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nombre compris entre 0 et 1.
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Phase 3 – Recherche de la probabilité pour une roue B à l’aide d’une
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modélisation numérique
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Roue B
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On s’intéresse maintenant à la roue B.
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Le questionnement de la phase 1 est repris par le professeur.
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Contrairement à la roue A, il ne s’agit pas d’une situation d’équiprobabilité. L’élève ne possède pas les
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connaissances pour déterminer la probabilité.
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Si certains élèves peuvent avoir l’intuition que la probabilité est identique au cas de la roue A, la
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conception initiale qu’il y a un cas favorable sur 2, donc une probabilité de 1 chance sur 2, demeure. La
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condition d’équiprobabilité n’est pas encore intégrée.
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Afin d’amener les élèves à approcher la valeur de la probabilité pour la roue B, le professeur met les
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élèves en binômes et leur propose donc l’activité suivante.
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Chaque binôme dispose d’un accès à internet puis utilise le lien qui renvoie vers l’activité Proba 6e de
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Polypad.
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10
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Il s’agit d’un lancé de roue réalisé avec le site mathigon qui permet de comptabiliser le résultat de
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chaque lancé.
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Après avoir réalisé 40 essais au total, les résultats des binômes sont collectés dans un tableur pour
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1
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mettre en évidence que la proportion d’obtention du secteur vert s’approche de ce qui correspond à
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4
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« 1 chance sur 4 ».
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Le professeur amène les élèves à remarquer que la proportion d’obtention du secteur vert pour chaque
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binôme peut être différente (les écarts peuvent être importants). C’est en cumulant un grand nombre
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1
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de résultats de lancés qu’on se rapproche de la valeur .
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4
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Remarque
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En cas de difficultés d’accès aux outils numériques, les 40 essais peuvent être anticipés et externalisés
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à la classe.
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𝟏
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Le professeur fait également le lien entre le dont la fréquence s’approche et le fait que le secteur vert
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𝟒
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𝟏
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représente du disque. Un retour sur les conceptions initiales des élèves collectées est réalisé
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𝟒
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collectivement.
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Remarque
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Le choix d’une roue B avec le quartier vert positionné au même endroit que celui de la roue A est
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volontaire. Cette similarité permet de facilité le redécoupage de la roue B et permet aux élèves avec
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𝟏
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l’aide du professeur de justifier la probabilité de .
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𝟒
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On pourra par exemple découper la partie orange en trois quartiers O1, O2 et O3et se ramener à une
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1
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situation d’équiprobabilité pour justifier que la probabilité d’obtenir vert est .
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4
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Le professeur débat avec les élèves des résultats obtenus puis propose une institutionnalisation.
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Exemple d’institutionnalisation
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La probabilité d’un événement est un nombre entre 0 et 1. La formule vue précédemment dans une
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situation où les issues sont équiprobables, ne peut pas s’appliquer dans les autres cas. On remarque que
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quand on réalise une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se stabilise
|
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et s’approche d’une valeur. Cette valeur est la probabilité de l’événement.
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11
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||
6eee
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MATHÉMATIQUES
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Focus sur la séance 2 – Faire vivre les différentes
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écritures d’une probabilité avec l’échelle de
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probabilités
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Phase 1 – Positionnement d’événements sur une échelle de probabilité
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Ce temps est un temps de reprise de notions travaillées en cours moyen.
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La fiche élève est présentée en annexe 2.
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Les élèves complètent individuellement l’échelle de probabilité dans l’exercice suivant.
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L’expérience consiste à lancer un dé à six faces, on s’intéresse aux événements :
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e. « obtenir 6 ».
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a. « obtenir 7 ».
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f. « obtenir un autre résultat que 5 ».
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b. « obtenir 2 ».
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g. « obtenir un multiple de 3 ».
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c. « obtenir un résultat pair ».
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h. « obtenir 1 ou 2 ».
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d. « obtenir un nombre inférieur à 7 ».
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i. « obtenir un diviseur de 10 ».
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Positionne chacun de ces événements sur l’échelle de probabilité ci-dessous :
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La mise en commun donne lieu à des échanges argumentés, et permet de commencer à comparer les
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probabilités de différents événements.
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Remarques
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Deux événements différents peuvent avoir la même probabilité.
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C’est aussi l’occasion de réactiver les notions de multiples, de diviseurs et de voir les connecteurs logiques
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« ou » et « et ».
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Phase 2 – Manipulation de différentes écritures des probabilités
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1re partie
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Les élèves travaillent par binômes. Ils disposent d’une boîte transparente et de billes bleues et orange en nombre
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suffisant. Ils disposent également d’une pile de cartes, faces cachées, sur lesquelles sont inscrits des nombres
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1
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entre 0 et 1, bien choisis ( ; 0,5, 75 %, …), en écriture fractionnaire, décimale, ou en pourcentage, et de cartes
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3
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vierges. Les nombres choisis doivent permettre à l’élève, à l’aide de 12 billes au total, de faire en sorte que la
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12
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probabilité de tirer une bille bleue corresponde à ce nombre. Il faut donc qu’en multipliant le nombre par 12, un
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1
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nombre entier soit obtenu ( × 12 = 4, donc 4 billes bleues par exemple).
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3
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||
L’élève A pioche une carte.
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Sans montrer la carte à l’élève B, il doit placer 12 billes dans la boîte, de sorte que la probabilité de tirer une bille
|
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bleue soit égale au nombre inscrit sur la carte.
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||
L’élève B reçoit la boite. Il inscrit sur une carte vierge la probabilité de tirer une bille bleue dans la boite reçue.
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||
Les deux élèves confrontent les résultats inscrits sur les deux cartes, identifient d’éventuelles erreurs, justifient
|
||
que deux écritures sont équivalentes…
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Des exemples de cartes pour réaliser l’activité sont disponibles en annexe 3.
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2e partie
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Les élèves travaillent maintenant individuellement.
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Chacun dispose d’une boîte contenant 9 billes bleues et 3 billes orange. Il doit compléter la boîte en
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||
ajoutant des billes pour que la probabilité annoncée soit exacte.
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1
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1) Compléter la boîte pour que la probabilité de tirer une boule orange soit de .
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2
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||
2
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||
2) Compléter la boîte pour que la probabilité de tirer une boule orange soit de .
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5
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Pistes interdisciplinaires
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||
L’usage d’expression utilisant les probabilités est fréquent dans le quotidien. Il est donc intéressant que ces
|
||
expressions et ces usages soient explicités aussi souvent que possible dans toutes les disciplines
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Pour illustrer ce type d’usage, voici un exercice tiré de PISA à propos des tremblements de terre et de la
|
||
fréquence à laquelle ils se produisent.
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Un géologue a affirmé : « Au cours des vingt prochaines années, la probabilité qu’un tremblement de terre
|
||
se produise à Zedville est de deux sur trois. »
|
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Parmi les propositions suivantes, laquelle exprime le mieux ce que veut dire ce géologue ?
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2
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a. Puisque × 20 ≈ 13,3, il y aura donc un tremblement de terre à Zedville dans 13 à 14 ans à partir de
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3
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maintenant.
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2 1
|
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b. est supérieur à , on peut donc être certain qu’il y aura un tremblement de terre à Zedville au
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||
3 2
|
||
cours des 20 prochaines années.
|
||
c. La probabilité d’avoir un tremblement de terre à Zedville dans les vingt prochaines années est plus
|
||
forte que la probabilité de ne pas en avoir.
|
||
d. On ne peut pas dire ce qui se passera, car personne ne peut être certain du moment où un
|
||
tremblement de terre se produit.
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13
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
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||
Piste d’évaluations diagnostique et sommative
|
||
En amont de la séquence, une évaluation diagnostique permet de vérifier les acquis du CM1 et du CM2.
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||
L’évaluation sommative est également l’occasion de vérifier les acquis sur les différentes écritures des
|
||
nombres.
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||
Ressources (bibliographie, sitographie)
|
||
Site éduscol Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités
|
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||
Journées de l’APMEP NANTES d’octobre 2017 : Enseigner les probabilités au cycle 4
|
||
Extrait de In Annales de didactique et de sciences cognitives (Vol. 5, pp. 37-65) Duval, R. (1993) Registres de
|
||
représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée,.
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||
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14
|
||
Proposition de séquence n° 2 – Définition
|
||
de la proportionnalité entre deux
|
||
grandeurs
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Objectifs
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||
• Connaître et formuler la définition de la proportionnalité entre deux grandeurs.
|
||
• Identifier si une situation relève ou non du modèle de la proportionnalité.
|
||
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||
• Résoudre un problème de proportionnalité en choisissant une procédure adaptée (linéarité
|
||
multiplicative, additive ou retour à l’unité).
|
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||
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||
Éléments de progression
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||
Niveau Progressivité
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• Identifier une situation relevant de proportionnalité
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||
CM1 • Mettre en œuvre des raisonnements fondés sur la propriété de linéarité pour la multiplication
|
||
• Savoir résoudre un problème de proportionnalité
|
||
• Identifier une situation de proportionnalité
|
||
• Mettre en œuvre des raisonnements fondés sur la propriété de linéarité pour la multiplication
|
||
CM2 et l’addition
|
||
• Savoir résoudre un problème de proportionnalité à plusieurs étapes
|
||
• Connaître la définition de la proportionnalité entre deux grandeurs et la mettre en lien avec
|
||
des expressions de la vie courante
|
||
• Identifier si une situation relève du « modèle » de la proportionnalité
|
||
• Résoudre un problème de proportionnalité en choisissant une procédure adaptée : propriété
|
||
6e de linéarité pour la multiplication ou l’addition, retour à l’unité
|
||
• Représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau ou de notations
|
||
symboliques
|
||
• S’initier à la résolution de problèmes d’échelles
|
||
|
||
|
||
Enjeux pédagogiques
|
||
Au cycle 3, la proportionnalité est un domaine à part entière. Cette notion s’inscrit dans la continuité du
|
||
cycle 2 dans le cadre de la résolution de problèmes multiplicatifs. Les problèmes posés le sont tous dans le
|
||
cadre des grandeurs et ne portent pas sur des suites de nombres hors contexte.
|
||
|
||
Au cours moyen, afin d’éviter le risque de développement d’automatismes ne s’appuyant pas sur le sens, les
|
||
élèves n’utilisent pas de tableaux de proportionnalité. Les raisonnements sont formulés en langage naturel, à
|
||
l’oral comme à l’écrit : « si j’achète 3 fois plus de pains aux raisins, alors je vais payer 3 fois plus. »
|
||
|
||
En classe de 6e, La définition de la proportionnalité entre deux grandeurs est formalisée et reliée à
|
||
l’utilisation d’expression du type « prix au kilo ». Celles-ci anticipent la notion de grandeur quotient qui sera
|
||
|
||
15
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
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||
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||
étudiée au cycle 4. Le coefficient de proportionnalité n’est pas défini, mais la définition de proportionnalité
|
||
ainsi construite permettra ensuite de lui donner un sens. Les expressions du type : nombre de salades par
|
||
m², nombre de pages par minute, prix au kilo… sont explicitées en faisant réapparaitre l’unité cachée :
|
||
nombre de salades pour 1 m², nombre de pages en 1 minute, prix pour 1 kilo, etc.
|
||
|
||
L’élève est sensibilisé au modèle de la proportionnalité. Il résout des problèmes qui en relèvent en utilisant
|
||
la procédure la mieux adaptée aux nombres mis en jeu : linéarité multiplicative ou additive, retour à l’unité.
|
||
Comme au cours moyen, il est encouragé à laisser apparaître à l’intérieur des calculs les unités des
|
||
grandeurs manipulées.
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Éclairages didactiques
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Relation externe, relation interne
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Arnaud Simard écrit (Proportionnalité en CM2 et sixième, dans le Petit x n° 90 de 2012, p35-52) : « Dans une
|
||
situation de proportionnalité liant deux grandeurs, la relation interne est celle qui lie les valeurs d’une même
|
||
grandeur, la relation externe est celle qui lie les valeurs de grandeurs distinctes. »
|
||
|
||
Le vocabulaire « relation externe », « relation interne » ne doit pas parvenir aux élèves : c’est un outil de
|
||
repérage pour l’enseignant, qui permet de désigner facilement deux procédures vraiment distinctes.
|
||
|
||
On appellera linéarité interne une relation de linéarité utilisée pour la relation interne et linéarité externe
|
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une relation de linéarité utilisée pour la linéarité externe.
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Exemples à la page suivante.
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16
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Relation interne simple
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1. Sachant que 4 stylos coûtent 2,42 €, → Utilisation des propriétés de linéarité
|
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interne (2 fois plus de stylos, donc…)
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Combien coûtent 8 stylos ?
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||
Relation externe simple
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2. Sachant que 4 stylos coûtent 2 €, → Utilisation du retour à l’unité (1 stylo
|
||
coûte …, donc…) ou linéarité externe (2 est
|
||
Combien coûtent 14 stylos ?
|
||
la moitié de 4, on cherche la moitié de 14)
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||
Relation interne complexe
|
||
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||
Relation externe complexe
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||
Relation externe simple
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3. Sachant que 4 stylos coûtent 2,42 €,
|
||
→ Pas de procédure efficace simple
|
||
Combien coûtent 13 stylos ?
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||
Relation interne simple
|
||
Relation externe simple
|
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|
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4. Sachant que 4 stylos coûtent 2€, → Utilisation des propriétés de linéarité
|
||
Combien coûtent 8 stylos ? interne ou externe
|
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||
Remarques
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||
Dans ce dernier cas, les relations sont toutes les deux simples. Les deux procédures de calculs sont faciles.
|
||
En conclusion de l’article de Petit x cité plus haut, Arnaud Simard précise la place du tableau de
|
||
proportionnalité comme simple outil de réécriture : « L’idée est de baser largement l’apprentissage de la
|
||
proportionnalité sur des contextes variés en insistant sur les propriétés de linéarité et de retour à l’unité. Ces
|
||
deux techniques évoluant de front en fonction des contextes présentés (contextes à fort indice de
|
||
proportionnalité). Le tableau de proportionnalité est alors considéré uniquement comme un outil pour
|
||
réécrire l’énoncé et non pas comme une fin en soi (au moins jusqu’en fin de Sixième). »
|
||
« Les élèves doivent être confrontés à des situations qui relèvent de la proportionnalité́ et à d’autres qui
|
||
n’en relèvent pas. L’objectif de la confrontation de ces types de situations de proportionnalité́ et de non
|
||
proportionnalité́ est de créer du sens pour la notion elle-même. »
|
||
Source : A. Simart, Petit x n° 90
|
||
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||
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||
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||
17
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
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||
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||
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||
Démarche d’enseignement
|
||
Au regard des programmes du cycle 3, les élèves de CM1 et CM2 ont rencontré des situations de
|
||
proportionnalité en lien avec la linéarité additive et multiplicative sur des relations internes et externes
|
||
simples. En 6e, il s’agit, en plus, de proposer aux élèves des situations où les relations internes et externes
|
||
sont complexes et qui nécessitent le retour à l’unité.
|
||
|
||
La verbalisation occupe une place importante, permettant aux élèves de stabiliser le sens de la
|
||
proportionnalité et d’appuyer les procédures et stratégies sur ce sens.
|
||
|
||
Le professeur veille à expliciter et à faire expliciter aux élèves les choix effectués et les stratégies mises en
|
||
œuvre. Il identifie avec eux les stratégies valides, et compare les différentes stratégies en questionnant leur
|
||
efficacité.
|
||
|
||
Les problèmes de proportionnalité peuvent être résolus sans recours à une représentation spécifique, en
|
||
verbalisant et/ou en écrivant des phrases. Le recours à la représentation ne doit pas précéder le sens, et en
|
||
particulier l’usage des tableaux de proportionnalité ne doit pas être trop précoce ni devenir systématique.
|
||
Plusieurs outils permettent de représenter une situation de proportionnalité : tableau, flèches, parenthèses
|
||
(qui anticipent la notation fonctionnelle). Lorsqu’il s’agit d’un tableau, le nom de chaque grandeur,
|
||
accompagné de son unité, y figure explicitement. La recherche de données manquantes dans un tableau
|
||
s’appuie sur le sens de la proportionnalité : l’élève verbalise les relations entre les mesures d’une grandeur (2
|
||
fois plus, 3 fois moins, etc.) ou s’appuie sur la constance d’une grandeur telle que « prix au kilo » ou
|
||
« nombre de battements du cœur par minute » relevant du langage courant. Dans cette optique de
|
||
compréhension du sens de la proportionnalité, notion essentielle dans la vie quotidienne et dans de
|
||
nombreuses autres disciplines, la technique du « produit en croix » n’est pas au programme.
|
||
|
||
|
||
Déroulement de la séquence
|
||
Progression Composante Focus
|
||
|
||
En amont perlé sur Les automatismes en lien avec la proportionnalité sont réactivés en
|
||
plusieurs séances amont de la séquence lors de rituels de classe : questions flashs,
|
||
course aux nombres, exerciseurs…
|
||
• Repérage des relations multiplicatives simples entre des
|
||
nombres (double, quadruple, moitié, tiers, quart).
|
||
• Association de manière automatique des expressions du
|
||
type :
|
||
« 4 fois plus grand, 4 fois plus petit, 5 fois plus, 5 fois moins » à une
|
||
multiplication ou à une division.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
18
|
||
Progression Composante Focus
|
||
|
||
Séance 1 Définir la proportionnalité entre deux grandeurs Cf. focus
|
||
• Phase 1 - Appropriation de la méthode du retour à séance 1.
|
||
l’unité, identification du lien entre les deux grandeurs à
|
||
partir d’un exemple résolu.
|
||
• Phase 2 - Application directe et verbalisation de la
|
||
méthode du retour à l’unité
|
||
• Phase 3 - Institutionnalisation de la définition de la
|
||
proportionnalité entre deux grandeurs
|
||
|
||
Séance 2 Savoir identifier si une situation relève du « modèle » de la Cf. focus
|
||
proportionnalité séance 2
|
||
• Phase 1 - Identification d’une situation de
|
||
proportionnalité sous forme de question flash
|
||
• Phase 2 - Reconnaissance des situations de
|
||
proportionnalité et de non proportionnalité à partir de
|
||
situations de la vie courante
|
||
• Phase 3 - Étude de situations qui semblent être
|
||
proportionnelles
|
||
|
||
Séance 3 Résoudre des problèmes de proportionnalité en choisissant une
|
||
procédure adaptée
|
||
Annexe 1
|
||
• Phase 1 - Calculs dans des situations de proportionnalité
|
||
sous la forme d’un Vrai / faux
|
||
• Phase 2 - Production d’un énoncé proposant une
|
||
situation de proportionnalité à partir d’un corrigé
|
||
d’exercice
|
||
• Phase 3 - Résolution d’un problème complexe en lien
|
||
avec les aires
|
||
|
||
Séance 4 Mobiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes de la
|
||
vie courante
|
||
Ressource éduscol mousse au chocolat (choisir une procédure)
|
||
Ressource éduscol Mathématiques et quotidien (utiliser la
|
||
proportionnalité dans une tâche complexe)
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
19
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
|
||
|
||
|
||
Focus sur la séance 1 – Définir la proportionnalité entre
|
||
deux grandeurs
|
||
Dans cette séance, il s’agit dans un 1er temps de proposer une situation de proportionnalité résolue où les
|
||
variables didactiques nécessitent de faire un retour à l’unité pour répondre à la question posée.
|
||
|
||
Ceci s’appuie sur les connaissances des élèves de cours moyen, en particulier la propriété de linéarité
|
||
multiplicative tout en amenant les élèves à verbaliser le lien existant entre les deux grandeurs en jeu.
|
||
|
||
Après une application directe sur une situation similaire, l’institutionnalisation permettra de définir les cas
|
||
pour lesquels deux grandeurs sont proportionnelles.
|
||
|
||
|
||
Phase 1 – Appropriation de la méthode du retour à l’unité, identification du
|
||
lien entre les deux grandeurs à partir d’un exemple résolu.
|
||
|
||
Énoncé
|
||
Le professeur de mathématiques propose l’exercice suivant.
|
||
|
||
Une photocopieuse imprime quatre-vingt-dix pages en deux minutes.
|
||
|
||
a. Combien de pages seront imprimées en trois minutes ?
|
||
|
||
b. Quelles sont les deux grandeurs dans ce problème et quel lien y a-t-il entre elles ?
|
||
|
||
Voici ce qu’a écrit Julie sur sa copie. Sa réponse est juste. Peux-tu expliquer sa démarche ?
|
||
|
||
a. 90 pages → 2 minutes
|
||
45 pages → 1 minute
|
||
|
||
? pages → 3 minutes
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45 pages × 3 = 135 pages. En trois minutes, 135 pages seront imprimées.
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b. Les grandeurs sont le nombre de pages et le temps en minutes. Ces grandeurs sont proportionnelles,
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la photocopieuse imprime 45 pages par minute.
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Remarque
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L’utilisation de la flèche permet d’introduire une notation symbolique pour la proportionnalité (cf.
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programmes).
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Déroulé possible
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Les élèves travaillent individuellement et répondent à l’exercice, puis le professeur organise un échange en
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classe autour des solutions proposées. Il peut par exemple projeter au tableau différentes réponses d’élèves
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qu’il a sélectionnées en circulant dans la classe lors du temps de travail individuel et inviter les élèves à les
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comparer. : quelles explications manquent dans certaines solutions ? Les justifications sont-elles claires ?
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Peut-on les reformuler ?
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20
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Remarques
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En proposant un exercice résolu, l’accent est mis sur la verbalisation de la méthode du retour à l’unité afin
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qu’elle soit accessible à tous. Cette modalité de travail peut faire l’objet d’une différenciation suivant les
|
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élèves.
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Les autres stratégies verbalisées par les élèves sont également prises en compte, analysées, validées ou
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invalidées.
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Un élève peut par exemple dire : 3 minutes, c’est 2 minutes + la moitié de 2 minutes. Donc on imprimera
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90 pages + la moitié de 90 pages. Ce raisonnement est tout à fait correct, mais il est important de faire
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expliciter aux élèves qu’il se base sur la proportionnalité et comment le calcul se construit.
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Phase 2 – Application directe et verbalisation de la méthode du retour à
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l’unité
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Énoncé
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Un robinet fuit, il perd 15 litres d’eau en 4 heures.
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a. Quel volume d’eau sera perdu en 7 heures ?
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b. Quelles sont les deux grandeurs dans ce problème et quel lien y a-t-il entre elles ?
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À l’aide de la méthode de Julie, résous ce nouveau problème.
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Déroulé possible
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Lors de la correction de l’exercice, l’enseignant explique la nécessité d’un retour à l’unité : ici on ne sait pas
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trouver de raisonnement de linéarité simple permettant de passer de 4 heures à 7 heures. Il revient sur le
|
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sens de la proportionnalité en exhibant le nombre de litres par heure. Puis il propose une autre situation
|
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similaire (avec un prix au kilo par exemple) dans laquelle les élèves identifient les grandeurs en jeu et la
|
||
situation de proportionnalité. Ils sont ainsi amenés à définir quand deux grandeurs sont proportionnelles.
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L’enseignant reformule régulièrement que prix au kilo signifie prix pour 1 kilo, nombre de litres par heure
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signifie nombre de litres pour 1 heure. Il exhibe ainsi le 1 invisible, qui donne du sens au retour à l’unité.
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Phase 3 – Institutionnalisation de la définition la proportionnalité entre deux
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grandeurs
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À l’issue des activités précédentes, le professeur construit, en se basant sur les propositions des élèves et par
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||
un échange avec la classe, une pré-définition de la proportionnalité, puis leur fournit une définition
|
||
complète, plus formelle, qu’ils notent dans leur trace écrite de cours. Par exemple : « Définition : deux
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||
grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les mesures de l’une par un même nombre non nul, on
|
||
obtient les mesures de l’autre. »
|
||
La définition proposée s’appuie sur la relation externe (de la grandeur 1 vers la grandeur 2). Le coefficient de
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||
proportionnalité n’est pas défini, mais on prépare son introduction future en en installant le sens.
|
||
Des exemples illustrent cette définition, le « même nombre non nul » y est exhibé en lui donnant du sens
|
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(c’est le prix d’1 stylo, le nombre de lapins par m², etc.).
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21
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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Exemple
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On peut lire sur une recette :
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« Il faut 40 cL de lait pour faire 10 crêpes ».
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Les deux grandeurs sont la quantité de lait en cL et le nombre de crêpes.
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Pour trouver le lien entre elles, je cherche la quantité de lait pour faire une crêpe. Cette quantité est
|
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toujours la même (c’est pour cela qu’on a une situation de proportionnalité).
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40 cL : 10 = 4 cL
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Il faut prévoir 4 cL de lait par crêpe, ou 4 cL de lait pour 1 crêpe.
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Si je veux préparer 12 crêpes, il faut 4 cL x 12 = 48 cL de lait.
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Focus sur la séance 2 – Savoir identifier si une situation
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relève du « modèle » de la proportionnalité
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Dans cette séance, les élèves sont confrontés, par le biais d’activités variées, à des situations qui relèvent de
|
||
la proportionnalité́ et à d’autres qui n’en relèvent pas. L’objectif de la confrontation de ces types de
|
||
situations de proportionnalité́ et de non proportionnalité́ est de créer du sens pour la notion elle-même, en
|
||
valorisant les caractéristiques d’une situation de proportionnalité.
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Phase 1 – Identification d’une situation de proportionnalité sous forme de
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question flash.
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Énoncé
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Dans les situations suivantes, les grandeurs sont-elles proportionnelles ?
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a. Dans une papèterie, 2 cahiers coûtent 4 € et 3 cahiers coûtent 5 €.
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b. Prix de courgettes à 2,20 €/kg.
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c. 5 BD coûtent 49 € et 10 BD coûtent 98 €.
|
||
d. Un verre de 200 ml de jus d’orange contient 17,6 g de sucre.
|
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e. À 4 ans, je chausse du 28 et à 14 ans, je chausse du 38.
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Déroulé possible
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Sur un temps court en début de séance, les questions sont projetées une à une et les élèves écrivent sur
|
||
leurs cahiers leurs réponses.
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Le professeur interroge ensuite des élèves pour qu’ils indiquent leur réponse et la justifient. Le professeur
|
||
demande si d’autres stratégies de résolutions ont été employées. Les différentes stratégies sont évaluées par
|
||
la classe : valable ou non ?
|
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||
Exemples de stratégies sur la question a
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||
Un élève répond que c’est une situation de proportionnalité. Le professeur lui demande d’expliquer ce que
|
||
veut dire proportionnel dans ce cas. Il l’amène à verbaliser que le prix pour 1 cahier doit toujours être le
|
||
même, puis l’interroge sur ce qui se passe dans la situation proposée : le prix pour 1 cahier est-il toujours le
|
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même ?
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22
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Différentes stratégies d’élèves
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Ce n’est pas proportionnel car :
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• dans le 1er cas un cahier côute 2 €, dans le 2e cas, un cahier coûte environ 1,67 € ;
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• les 2 premiers cahiers coutent 2 € et le 3e 1 €. Le prix pour 1 cahier n’est pas toujours le même ;
|
||
• si c’était proportionnel : si 2 cahiers coûtent 4 €, alors 3 cahiers coutent 6 €.
|
||
On pourra faire remarquer aux élèves qu’il est fréquent que lorsque la quantité d’objets achetés augmente
|
||
le prix à l’utilité diminue. Il s’agit de tarifs dégressifs donc de situations où « le modèle » de proportionnalité
|
||
ne s’applique pas.
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||
Phase 2 – Reconnaissance des situations de proportionnalité et de non
|
||
proportionnalité à partir de situations de la vie courante
|
||
Afin que les élèves s’entrainent sur la capacité à identifier des situations de proportionnalité ou de non-
|
||
proportionnalité, une série de photos est proposée aux élèves et ils doivent compléter en groupe le tableau
|
||
suivant. Ce dispositif favorise les échanges entre pairs autour de situations de la vie quotidienne. Activité
|
||
menée et décrite par Claire Lommé.
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||
Phase 3 – Étude de situations qui semblent être proportionnelles
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||
La proportionnalité est l’un des premiers domaines des mathématiques dans lequel les élèves sont confrontés
|
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à la notion de modèle mathématiques.
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||
Il s’agit donc de les familiariser petit à petit avec cette démarche d’utilisation d’un modèle.
|
||
|
||
Parfois, le modèle de proportionnalité s’impose car la situation est basée sur une grandeur quotient constante
|
||
(explicite ou implicite), par exemple le nombre de pages imprimées par minutes, ou le prix au kg.
|
||
|
||
Dans d’autres situations, on choisit un modèle de proportionnalité pour pouvoir résoudre le problème (par
|
||
exemple, pour un exercice, on choisit un modèle de proportionnalité pour relier le bénéfice journalier d’un
|
||
commerce et le nombre de clients par jour). Il faut alors s’interroger sur la pertinence de ce choix (par
|
||
exemple par une confrontation des résultats au réel).
|
||
Enfin, certains types de problèmes semblent relever du modèle de proportionnalité mais celui-ci n’est en fait
|
||
pas adapté. C’est le cas de problème de type affine ou encore les situations où on ajoute le même nombre à
|
||
chacune des grandeurs. Il peut être difficile pour les élèves d’identifier que ces situations ne sont pas des
|
||
modèles de proportionnalité, et pour le professeur de réussir à mettre en œuvre une séance pertinente
|
||
mettant en évidence la non proportionnalité de situations qui pourraient sembler proportionnelles.
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||
23
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||
6eee
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||
MATHÉMATIQUES
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Exemple 1
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||
La locomotive d’un train mesure 12 m de long.
|
||
Si 4 wagons sont accrochés à la locomotive, la longueur du train est de 52 m.
|
||
Si 8 wagons sont accrochés à la locomotive, quelle est la longueur du train ?
|
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||
Remarques
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||
Ici certains élèves vont considérer que la longueur du train est proportionnelle aux nombres de wagons et
|
||
répondre 104.
|
||
Le passage par la représentation et /ou la verbalisation peut être une aide précieuse. Ainsi on fera formuler
|
||
que le train 1 correspond à 1 locomotive + 4 wagons, et le train 2 à 1 locomotive + 8 wagons.
|
||
|
||
Exemple 2
|
||
Les dimensions du rectangle 1 et du rectangle 2 ci-dessous sont-elles proportionnelles ?
|
||
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10,5 cm
|
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7,5 cm
|
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|
||
5 cm 8 cm
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Rectangle 1 Rectangle 2
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||
Piste d’évaluation
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||
Une évaluation formative sur l’efficience des procédures utilisées par les élèves peut permettre à ce stade
|
||
d’envisager une remédiation si besoin.
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24
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Proposition de séquence n° 3 –
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||
Raisonnement illustré sur un exemple de
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géométrie : la médiatrice
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Objectifs
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||
• Connaître et utiliser la définition de la médiatrice d’un segment.
|
||
• Comprendre, connaitre et appliquer sa propriété caractéristique.
|
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||
• Utiliser le codage d’une figure pour en déduire des propriétés géométriques.
|
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• Organiser les étapes d’un raisonnement déductif pour construire une preuve.
|
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||
Éléments de progression
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||
Niveau Progressivité
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||
• Reconnaitre et utiliser la notion de perpendicularité
|
||
• Reconnaitre et utiliser la notion de parallélisme
|
||
CM1 • Reproduire et construire un carré, un rectangle, un triangle, un triangle rectangle ou un
|
||
cercle ou des assemblages de ces figures […] avec une règle graduée, une équerre ou un
|
||
compas
|
||
|
||
• Reconnaitre et nommer les figures suivantes en s’appuyant sur leur définition : triangle,
|
||
triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, quadrilatère, carré, rectangle,
|
||
losange, trapèze, trapèze rectangle, pentagone et hexagone
|
||
• Construire une figure géométrique composée de segments, de droites, de polygones
|
||
CM2 usuels et de cercles
|
||
• Élaborer un programme de construction
|
||
• Comprendre la différence entre une définition et une propriété, justifier sa réponse en
|
||
s’appuyant simultanément sur les propriétés de la figure et sur les définitions des figures
|
||
usuelles (explicité comme exemple de réussite)
|
||
|
||
• Favoriser le développement du raisonnement logique et de la pensée déductive
|
||
• Connaître la définition de la médiatrice d’un segment
|
||
6e
|
||
• Comprendre et utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
|
||
• Résoudre des problèmes en s’appuyant sur la propriété caractéristique de la médiatrice
|
||
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||
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||
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||
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||
25
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
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||
|
||
|
||
Enjeux pédagogiques
|
||
Cette séquence vise principalement, dans le cadre d’un travail dans le domaine de la géométrie, à
|
||
développer chez les élèves la compétence « raisonner », l’une des six composantes majeures de l’activité
|
||
mathématique.
|
||
|
||
Lors de cette séquence, le triptyque « Manipuler, Représenter, Abstraire », toujours essentiel pour la
|
||
construction de nouveaux savoirs mathématiques, s’articule donc avec des activités engageant le
|
||
raisonnement et l’argumentation.
|
||
|
||
L’enjeu est d’amener les élèves à comprendre et mettre en œuvre le raisonnement déductif. Il s’agit
|
||
d’aboutir à une conclusion en combinant des définitions, des propriétés et des règles logiques. La
|
||
formalisation des raisonnements n’est pas un enjeu de la classe de 6 e. Elle s’appuie sur une progressivité
|
||
adaptée et peut être un élément de différenciation. Le professeur veillera à éviter toute rédaction
|
||
stéréotypée. Il s’agit pour l’élève d’élaborer et de structurer sa pensée en respectant les règles du
|
||
raisonnement, et de chercher à communiquer son raisonnement, à l’écrit ou à l’oral, pour le rendre
|
||
compréhensible par tous et convaincant grâce à la robustesse de son argumentation. Ainsi, si la conception
|
||
d’une preuve relève de la compétence « raisonner », sa rédaction et sa communication s’inscrivent
|
||
davantage dans la compétence « communiquer ». En 6e le travail sur le raisonnement prévaut. La rédaction
|
||
ne s’inscrit donc pas dans un trop grand formalisme ou des formats stéréotypés.
|
||
|
||
Les activités proposées s’appuient sur des définitions et des propriétés, et favorisent la construction
|
||
progressive, par l’élève, de preuves simples afin de développer sa pensée logique et déductive, en lien avec
|
||
les attendus du cycle 3.
|
||
|
||
La progression est conçue pour être explicite :
|
||
|
||
1. manipuler et construire : les élèves réalisent des constructions géométriques ;
|
||
2. observer et s’approprier : ils identifient des propriétés dans leur environnement proche ;
|
||
3. automatiser et verbaliser : des activités permettent de s’approprier les propriétés et de les
|
||
reformuler ;
|
||
4. prouver et débattre. Les élèves construisent des preuves et confrontent leurs idées lors d’échanges
|
||
argumentés.
|
||
|
||
Cette démarche permet de travailler conjointement les compétences
|
||
mathématiques « raisonner » et « communiquer », tout en développant la compétence
|
||
sociale « communiquer de façon constructive ».
|
||
|
||
|
||
Éclairages didactiques
|
||
Les termes de définitions, propriété et propriétés caractéristiques apparaissent dans les programmes de
|
||
mathématiques. Il ne s’agit pas avec les élèves de définir ces termes formellement, mais il faut néanmoins
|
||
les amener petit à petit à comprendre ce qu’est définir un objet mathématique, et quelle est la différence
|
||
entre une propriété et une propriété caractéristique.
|
||
|
||
|
||
Définition – Propriété – Propriété caractéristique
|
||
Une définition est une affirmation qui consiste à donner un nom aux objets vérifiant certaines propriétés ; elle se
|
||
formule généralement en employant le verbe être. La définition d’un objet géométrique fait référence à des objets ou
|
||
des relations déjà connus.
|
||
|
||
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||
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||
26
|
||
Par exemple, dans le programme de 6e, on trouve la définition suivante : la médiatrice d’un segment est la droite
|
||
perpendiculaire au segment passant par son milieu.
|
||
|
||
Une propriété d’un certain type d’objets précise des éléments vérifiés par l’ensemble des objets de ce type, mais ces
|
||
éléments peuvent aussi être vérifiés par des objets d’un autre type. Les propriétés ne permettent pas de dire qu’un
|
||
objet donné est d’un certain type, mais elles peuvent permettre de dire qu’il n’est pas d’un certain type.
|
||
|
||
Par exemple, « avoir ses côtés opposés de même longueur » est une propriété du rectangle
|
||
|
||
Une propriété caractéristique permet d’établir la nature d’une figure à l’aide d’éléments autres que ceux de sa
|
||
définition. Elle peut utiliser une formulation du type « Si… alors… » ou le verbe être.
|
||
|
||
Par exemple, « si un quadrilatère a ses diagonales qui sont de même longueur et qui se coupent en leur milieu, alors
|
||
c’est un rectangle » est une propriété caractéristique du rectangle.
|
||
|
||
Dans le programme de 6e, on trouve la propriété caractéristique suivante.
|
||
|
||
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
|
||
|
||
|
||
De la géométrie perceptive vers la géométrie du raisonnement
|
||
Pour les élèves, le passage de la géométrie perceptive à la géométrie du raisonnement est délicat et doit s’appuyer sur
|
||
des situations-problèmes qui illustrent la force et la nécessité du raisonnement.
|
||
|
||
En géométrie, les élèves peuvent rencontrer deux types de difficultés liées à la perception : penser ce qui n’est pas
|
||
visible (une droite non tracée par exemple), et penser juste même lorsque le visible induit en erreur (figures à main
|
||
levée erronées par exemple).
|
||
|
||
De plus, la construction et le raisonnement sont étroitement liés. La construction est un point d’appui à l’élaboration
|
||
du raisonnement, et parallèlement, la réalisation de certaines constructions nécessite un raisonnement préalable.
|
||
|
||
La géométrie mentale est l’un des dispositifs pédagogiques permettant de lier le raisonnement à la représentation.
|
||
Cette activité se met en place sur le modèle du calcul mental. Un court temps est utilisé pour proposer des
|
||
constructions à effectuer, à main levée, sur l’ardoise.
|
||
|
||
Selon Jean-Luc Bregeon, la géométrie mentale répond à de nombreux objectifs.
|
||
|
||
• Permettre de se représenter mentalement une figure géométrique sans être arrêté par la manipulation des
|
||
instruments.
|
||
• Utiliser le vocabulaire géométrique dans de nombreuses situations.
|
||
|
||
• Favoriser la liaison entre la description d’une figure et sa représentation graphique.
|
||
• Montrer l’intérêt du tracé à main levée pour représenter une figure géométrique et en percevoir les
|
||
propriétés.
|
||
|
||
• Permettre une prise de conscience des propriétés des figures.
|
||
• Favoriser les échanges et l’argumentation.
|
||
• Comprendre qu’il y a parfois plusieurs interprétations valides.
|
||
• Prendre conscience des propriétés et de la nécessité de leurs codages.
|
||
D’après l’Interview de Frédéric Castel expliquant le dispositif et ses plus-values.
|
||
|
||
Remarque
|
||
Il est possible de travailler la géométrie mentale sous forme d’automatismes, par exemple en projetant
|
||
des figures codées et en demandant quelles en sont la nature.
|
||
|
||
27
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
|
||
|
||
|
||
Déroulement de la séquence
|
||
Prérequis
|
||
Au cycle 3, les élèves poursuivent l’acquisition des connaissances des figures de références et des relations
|
||
géométriques lors de descriptions, de constructions et de résolutions de problèmes.
|
||
|
||
Le professeur veille à réactiver les connaissances en amont par exemple lors de questions flashs pour
|
||
faciliter l’engagement dans la tâche.
|
||
|
||
Progression Composante Focus
|
||
|
||
Découverte de la médiatrice et de ses propriétés
|
||
• Phase 1 - Définition et construction de la médiatrice d’un
|
||
segment
|
||
Définir la médiatrice d’un segment.
|
||
Rédiger un programme de construction avec règle graduée et équerre.
|
||
• Phase 2 - Utilisation de la définition sur différentes constructions
|
||
Annexe 1
|
||
|
||
Séance 1
|
||
• Phase 3 - Propriétés de symétrie et d’équidistance
|
||
Annexe 2
|
||
Observation grâce à un pliage du fait que la médiatrice d’un segment
|
||
est un axe de symétrie de ce segment. (Pliage 1)
|
||
Détermination de la médiatrice d’un segment par pliage. (Pliage 2)
|
||
Observation de l’équidistance (pliage 3)
|
||
Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant
|
||
de ses extrémités.
|
||
Institutionnalisation de la propriété
|
||
Appropriation de la propriété caractéristique de la médiatrice
|
||
• Phase 1 - Mise en évidence que tout point situé à égale distance des
|
||
extrémités d’un segment appartient à la médiatrice
|
||
Cf. focus
|
||
Séance 2 • Phase 2 - Institutionnalisation de la propriété caractéristique de la
|
||
Séance 2
|
||
médiatrice d’un segment
|
||
• Phase 3 - Mobilisation de la définition ou de la propriété caractéristique
|
||
Géométrie mentale et questions flashs (annexes 3 et 4)
|
||
Entraînement sur la connaissance et l’utilisation de la définition et de la
|
||
propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
|
||
• Phase 1 - Automatisation / Réinvestissement : repérage d’information sur
|
||
une figure codée
|
||
Cf. focus
|
||
Séance 3 • Phase 2 - Débat autour d’affirmations sur une figure codée (annexes 5 et
|
||
séance 3
|
||
6)
|
||
• Phase 3 - Élaboration d’un programme de construction de la médiatrice
|
||
d’un segment au compas
|
||
• Pour conclure - Retour réflexif sur la séance
|
||
|
||
|
||
|
||
28
|
||
Progression Composante Focus
|
||
|
||
Transfert de la définition et de la propriété caractéristique de la
|
||
médiatrice pour résoudre des problèmes (annexe 7)
|
||
Séance 4
|
||
• En anticipation si besoin : questions flashs pour réactiver les
|
||
(Peut être
|
||
réalisée en
|
||
connaissances relatives aux propriétés des droites parallèles et
|
||
réactivation plus perpendiculaires, aux triangles, à la médiatrice d’un segment.
|
||
tard dans • Phase 1 - Compréhension de l’énoncé en vue d’une construction de figure
|
||
l’année) • Phase 2 - Élaboration d’une preuve
|
||
• Pour conclure - Mise en commun et retour réflexif
|
||
Séance 5
|
||
(Peut être
|
||
réalisée en Régionnement du plan
|
||
réactivation plus (Annexe 8)
|
||
tard dans
|
||
l’année)
|
||
|
||
|
||
Observation et évaluation
|
||
|
||
La compétence « raisonner » est mobilisée dans tous les domaines mathématiques.
|
||
|
||
Elle est évaluée régulièrement et indépendamment de la compétence « communiquer », c’est-à-dire sans
|
||
exiger de formalisme de rédaction.
|
||
|
||
Les évaluations pourront être de différents types : questions flashs, QCM, tâches intermédiaires et
|
||
résolution de problèmes. Elles permettront d’aider les élèves à identifier leurs réussites, leurs progrès et
|
||
leurs besoins pour permettre au professeur d’adapter ses séances d’enseignement afin d’encourager
|
||
chaque élève à s’engager et à progresser dans le but de développer son raisonnement logique et la pensée
|
||
déductive.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
29
|
||
6eee
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
|
||
|
||
|
||
Focus sur la séance 2 – Appropriation de la propriété
|
||
caractéristique de la médiatrice
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Piste d’évaluation diagnostique
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En amont, on vérifiera la maitrise des notations géométriques lors d’une évaluation diagnostique.
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Phase 1 – Mise en évidence que tout point situé à égale distance des
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extrémités d’un segment appartient à la médiatrice
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L’activité est réalisée dans la cour de l’établissement ou dans un autre espace (patio, gymnase, etc.). Le
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temps imparti est d’environ 15 minutes et est annoncé aux élèves. Il ne faut pas laisser l’activité extérieure
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s’éterniser car on risque ensuite une dispersion et une perte de vue de l’objectif.
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Le professeur anticipe la mise à disposition possible de matériel comme des cordes pour comparer des
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longueurs, des décamètres pour mesurer, des craies pour marquer.
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Les élèves sont répartis par groupes de 6 ou 7.
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Pour chaque groupe, le professeur a identifié dans la cour deux positions de départ D1 et D2 qu’il a
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matérialisé par des plots.
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Il présente la situation suivante aux élèves :
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Le professeur d’EPS souhaite organiser une activité de rapidité.
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Pour celle-ci, deux élèves se défient pour récupérer un objet placé au sol. Les deux élèves partent en même
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temps des deux positions de départ identifiées.
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Le professeur souhaite marquer d’une croix des positions possibles pour l’objet afin que le défi soit équitable.
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Exemples de coups de pouces aux élèves
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1- Le professeur se positionne en dehors de la médiatrice et demande au groupe si sa position répond
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au problème. Il s’agit de faire formuler la nécessité de l’équidistance.
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2- Le professeur invite les élèves à essayer de se positionner à égale distance des deux plots. Ils peuvent
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procéder par essai-erreur.
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3- Si les élèves déterminent que le milieu est une position possible et pense que c’est la seule, le
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professeur les invite à rechercher s’il existe d’autres solutions.
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Le professeur ne valide pas les propositions des différents groupes pendant le temps d’activité extérieure.
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Au retour en classe, individuellement, les élèves représentent sur feuille blanche la situation et les éléments
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de réponses trouvés en groupes.
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Le professeur projette à l’aide d’un visualiseur ou affiche au tableau différentes propositions d’élèves qu’il a
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sélectionnées afin de permettre un débat et la construction d’une réponse collective complète.
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La représentation de la situation au retour en classe est un enjeu de réussite de l’activité et devra faire
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l’attention d’un accompagnement, notamment pour les élèves les plus fragiles.
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30
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Remarque
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La première question que vont devoir se poser les groupes d’élèves est l’interprétation de la demande d’avoir une
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« situation équitable ». En effet, dans le contexte du défi sportif, on sous-entend que la distance doit être la même
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pour les joueurs de chaque équipe.
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La situation est construite pour être mise en œuvre dans la cour mais elle pourrait également être modélisée à l’aide
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de jetons en classe afin de permettre à tous les élèves de visualiser la situation.
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Néanmoins la mise en place dans la cour permet aux élèves d’appréhender par le corps et les mouvements la
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notion d’équidistance. Cela constitue un déclic pour certains élèves en difficulté avec l’abstraction.
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Phase 2 – Institutionnalisation de la propriété caractéristique de la
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médiatrice d’un segment
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Une trace écrite est élaborée. Elle vient compléter les éléments de la séance 1. Elle pourra prendre la forme
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suivante :
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Propriété
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Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce
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segment.
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Remarque
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Lors de la séance 1, les élèves ont appris que si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale
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distance des extrémités de ce segment.
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Le professeur leur fait donc remarquer que l’on a écrit la propriété « dans l’autre sens » (la réciproque). Il verbalise le
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fait que cette propriété caractérise les points de la médiatrice d’un segment. Ainsi il pourra préciser par exemple :
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« Un point qui est sur la médiatrice d’un segment est à égale distance des extrémités de ce segment. Un point qui
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n’est pas sur la médiatrice n’est pas à égale distance des extrémités de ce segment. »
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« Si on prend tous les points qui sont à égale distance des extrémités d’un segment, on a la médiatrice de ce
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segment »
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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La trace écrite est complétée
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Propriété caractéristique
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La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
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Phase 3 – Mobilisation de la définition ou de la propriété caractéristique
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Le professeur réalise ces activités entièrement ou partiellement. Il peut choisir de poser certaines questions
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lors des cours suivants.
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Activité 1 – Géométrie mentale
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Le professeur explique le déroulé de l’activité aux élèves.
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Consignes
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• La figure demandée sera réalisée à main levée et sans instrument.
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• La consigne va être lue deux fois avec un moment de silence entre les deux.
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• Vous ne pourrez commencer le tracé qu’à mon signal.
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Dans un premier temps, les élèves utilisent leur ardoise pour réaliser la figure demandée.
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Dans un deuxième temps, en utilisant s’ils le souhaitent le cahier de cours qu’ils ont à leur disposition, ils
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identifient la définition ou une des propriétés vues précédemment pour justifier la construction.
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Exemples de situation :
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Figure 1 - Tracer la médiatrice d’un segment [AB].
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Remarques
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Il est recommandé au professeur de : faire verbaliser la définition de la médiatrice par les élèves ; mettre
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en avant la diversité des figures à partir d’une même consigne et en particulier les segments non
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horizontaux ; préciser l’importance des codages pour l’identification des caractéristiques d’une figure.
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Figure 2 - Tracer un segment [ST]. Construire tous les points équidistants des points S et T.
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Remarque
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Les élèves verbalisent la propriété à la demande du professeur : si un point est à égale distance des
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extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
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Figure 3 - Tracer une droite (d). Placer un point A qui appartient à (d) et un point B qui n’appartient pas à (d).
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Construire le point C équidistant des points A et B et qui appartient à (d).
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Remarques
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Le professeur explicite que le point recherché est l’intersection de la médiatrice de [AB] et de la droite (d).
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Il fait verbaliser la propriété par les élèves : si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est
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équidistant de ses extrémités
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Activité 2 – Questions flashs
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Quelques questions peuvent être posées en fin de séance et/ou en début de séance suivante.
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Des figures sont projetées. Les élèves répondent et identifient la définition ou la propriété appropriée qui
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permet de justifier leur réponse. (Voir annexe 3)
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Remarque
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Les questions flashs sont l’occasion d’effectuer une évaluation formative et permettent un retour
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immédiat sur les réussites ainsi que les difficultés rencontrées par les élèves.
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Les questions flashs peuvent être ponctuellement le point de départ d’un travail sur le raisonnement. Ainsi,
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on pourra par exemple faire travailler les élèves sur l’élaboration ou l’utilisation d’un déductogramme
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Une utilisation de déductogramme est présentée en annexe 4.
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Focus sur la séance 3 – Entraînement sur la connaissance
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et l’utilisation de la définition et de la propriété
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caractéristique de la médiatrice d’un segment
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Phase 1 – Automatisation /réinvestissement du repérage d’information sur
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une figure codée
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Cette activité permet de poursuivre le travail de justification amorcé précédemment.
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Les énoncés sont proposés sous une forme de questions flashs. Les élèves répondent sur ardoise par Vrai ou
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Faux. Le professeur peut choisir de proposer l’exercice 1 ou l’exercice 2.
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Lors de la mise en commun, les élèves doivent justifier à l’oral leurs choix en s’appuyant sur le cours.
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Ici les figures composées amèneront les élèves à développer leur capacité d’observation en prélevant les
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informations nécessaires.
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Exercice 1
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Répondre par vrai ou faux.
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a. La droite (BF) est la médiatrice du segment [DG].
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b. La droite (GD) est la médiatrice du segment [CE].
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c. La droite (BF) est la médiatrice de la droite (GD).
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d. La droite (BF) est la médiatrice du segment [AC].
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e. Le point G est équidistant des points C et E.
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f. Le point B est équidistant des points G et D.
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33
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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Exercice 2
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Répondre par vrai ou faux.
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a. M est le seul point équidistant de P et A.
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b. (ZM) est la médiatrice de [PA].
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c. E est plus proche de P que de A.
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d. TM = MR.
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e. (PA) est la médiatrice de [ZJ].
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f. TRAP est un trapèze.
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Phase 2 – Débat autour d’affirmations sur une figure codée
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L’enseignant distribue aux élèves l’énoncé suivant (annexe 5).
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Voici un échange au sujet de la figure ci-contre.
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Marc : Les points D, F, E et C sont alignés.
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Julie : Seulement les points D, F et C sont alignés
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Kevin : Avec la règle, la droite (DC) ne passe pas par le point F.
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Qui a raison ? Justifier.
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Organisation du débat
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Afin d’inviter les élèves à fonder leurs débats sur des arguments mathématiques (vérité) et non sur leur force
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de conviction (opinion), le professeur propose aux élèves l’utilisation déductogramme. Des exemples de
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déductogrammes sont proposées en annexe 4.
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1) Temps individuel.
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2) Regroupement par groupes de 4 élèves avec des avis différents.
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Dans chaque groupe, les élèves échangent, confrontent leurs points de vue, argumentent. Des étiquettes
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préparées à l’avance peuvent être collées sur une affiche (par exemples des étiquettes rouges avec les
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définitions et propriétés mobilisables et des étiquettes bleues avec des données) permettant ainsi un
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support au raisonnement.
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3) Chaque groupe produit une réponse commune au groupe (par exemple sous forme d’affiche)
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4) Quelques affiches sont présentées devant la classe et validées ou invalidées collectivement.
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Pour valider ou invalider les propositions, on doit montrer que les points D, F et C sont sur la médiatrice de
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[AB]. Les élèves donnent des arguments à l’oral. Le professeur organise ensuite le travail pour élaborer la
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preuve.
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Le professeur peut réaliser le travail au tableau grâce à des échanges menés avec la classe. Il peut par
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exemple réutiliser des étiquettes préparées à l’avance et accrochées au tableau.
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Remarque
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Le débat permet de développer l’esprit critique ainsi que les compétences psychosociales.
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34
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Phase 3 – Programme de construction de la médiatrice au compas
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L’enseignant demande aux élèves de reproduire la figure de l’énoncé sur leur cahier.
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On fait émerger la nécessité d’utiliser le compas pour la construction de triangles isocèles.
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La construction peut être terminée à la maison.
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Lors de la séance suivante, un point sur la correction est réalisé et amène à l’institutionnalisation de la
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construction de la médiatrice au compas. Un support vidéo peut être proposé.
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Retour réflexif sur la séance 3
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L’enseignant conclut en faisant rappeler ce qui a été appris par les élèves au cours de la séance : définition,
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propriétés, codage pour raisonner et justifier, mise en évidence de l’importance de l’observation des figures.
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Il explicite que les propriétés ont permis de découvrir une nouvelle méthode de construction de la
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médiatrice à la règle et au compas. Puis il annonce que cette phase d’entraînement a permis un début de
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mémorisation, et que ce travail sera poursuivi par des temps de mémorisation en classe lors des prochaines
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séances
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Pistes interdisciplinaires
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En amont, des séances de compréhension de texte peuvent être mises en place en français :
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• travailler les inférences ;
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• prélever les informations nécessaires et les mettre en relation.
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La rédaction des preuves peut être menée conjointement avec le professeur de français qui pourra
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souligner l’importance de la syntaxe d’une phrase.
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Prolongement possible de la séquence
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Une activité de restauration de figures peut faire l’objet d’une sixième séance de réactivation ou être
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réalisée plus tard dans l’année.
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La restauration de figure est une activité qui se base sur le fait de devoir compléter une figure cachée ou en
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partie effacée. Elle permet de travailler sur les propriétés géométriques des figures et d’aborder différents
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niveaux de visions (surfaces, lignes ou points).
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Exemple
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Ici pour compléter la tête du chat, il faut trouver le centre du cercle en s’appuyant sur les médiatrices de
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deux cordes. Une amorce de taille différente du modèle peut être proposé pour éviter une construction en
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tâtonnant.
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6eee
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MATHÉMATIQUES
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Ressources complémentaires
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Document de l’IGÉSR : Les six compétences mathématiques.
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Ressources sur la restauration de figures :
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• Site Léa-IFÉ de l’académie de Lille
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• Résumé des Journées APMEP Grenoble, 24 octobre 2011 : Vers une progression cohérente de
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l’enseignement de la géométrie plane du CP à la fin du collège
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