1123 lines
81 KiB
Plaintext
1123 lines
81 KiB
Plaintext
Exemples pour la mise en œuvre
|
||
des programmes
|
||
|
||
6e
|
||
|
||
|
||
|
||
Mathématiques
|
||
|
||
Exemples de réussite
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
2025
|
||
Exemples pour la mise en œuvre du programme de mathématiques
|
||
en 6e
|
||
Exemples de réussite
|
||
|
||
Sommaire
|
||
|
||
Nombres, calcul et résolution de problèmes 1
|
||
• Les nombres entiers et décimaux 1
|
||
• Les fractions 5
|
||
• Algèbre 8
|
||
|
||
Grandeurs et mesures 9
|
||
• Les longueurs 9
|
||
• Les aires 10
|
||
• Les volumes 10
|
||
• Le repérage dans le temps et les durées 10
|
||
|
||
Espace et géométrie 11
|
||
• Étude de configurations planes 11
|
||
• La vision dans l’espace 16
|
||
|
||
Organisation et gestion de données et probabilités 16
|
||
• Organisation et gestion de données 16
|
||
• Les probabilités 17
|
||
|
||
La proportionnalité 18
|
||
Initiation à la pensée informatique 19
|
||
|
||
|
||
|
||
Nombres, calcul et résolution de problèmes
|
||
|
||
Les nombres entiers et décimaux
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre et utiliser la valeur des L’élève consolide sa connaissance de la valeur des chiffres dans
|
||
chiffres selon leur rang dans l’écriture d’un nombre entier ou décimal. Par exemple, dans le
|
||
l’écriture d’un nombre. nombre 1,27, il identifie le chiffre des centièmes qu’il distingue du
|
||
• Connaitre les liens entre les unités nombre de centièmes contenus dans ce nombre.
|
||
de numération unité, dizaine,
|
||
centaine, millier, dixième,
|
||
centième, millième.
|
||
• Connaitre des grands nombres Les principes de la numération décimale de position sont étendus à
|
||
entiers. la classe des milliards.
|
||
La manipulation de milliards, de dizaines de milliards et de centaines
|
||
de milliards peut avoir pour cadre les domaines « Organisation et
|
||
gestion de données » et « Grandeurs et mesures ».
|
||
|
||
|
||
1
|
||
• Reconnaitre un nombre décimal. Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous forme
|
||
• Connaitre la définition d’un d’une fraction dont le numérateur est un nombre entier et dont le
|
||
pourcentage dénominateur est égal à 1, 10, 100, 1 000, etc.
|
||
• Associer et utiliser différentes L’élève sait qu’un nombre entier est un nombre décimal.
|
||
20 2
|
||
écritures d’un nombre décimal : Par exemple, il remarque que 2 = 2,0 et que 2 = = .
|
||
10 1
|
||
écriture à virgule, fraction, a
|
||
Par définition, si a est un entier naturel, a % est égal à . On se limite
|
||
nombre mixte, pourcentage. 100
|
||
à l’utilisation de pourcentages compris entre 0 % et 100 %, qui
|
||
servent à exprimer des proportions et des probabilités.
|
||
L’élève sait qu’un même nombre admet plusieurs écritures.
|
||
Dans le cadre d’une fraction supérieure à 1, il utilise l’écriture sous
|
||
forme de nombre mixte, somme d’un nombre entier et d’une
|
||
fraction inférieure à 1.
|
||
Par exemple, il sait que :
|
||
25 1 35 7
|
||
► 25 % = = 0,25 = ; 35 % = = 0,35 = ;
|
||
100 4 100 20
|
||
6 1 1 1 1 12
|
||
► =6× =5× + =1+ = = 1,2.
|
||
5 5 5 5 5 10
|
||
L’élève est sensibilisé au choix d’une ou de plusieurs écritures
|
||
adaptées à une situation donnée, que ce soit dans le cadre d’une
|
||
opération à effectuer ou d’un problème à résoudre.
|
||
• Placer sur une demi-droite La graduation de la demi-droite est adaptée aux nombres proposés.
|
||
graduée un point dont l’abscisse
|
||
est un nombre décimal.
|
||
• Repérer un nombre décimal sur
|
||
une demi-droite graduée.
|
||
• Comparer deux nombres Les signes d’inégalités larges ⩽ et ⩾ sont introduits à cette occasion.
|
||
décimaux. L’élève justifie les procédures utilisées pour comparer ou ranger des
|
||
• Ordonner une liste de nombres nombres décimaux en s’appuyant sur la signification de leur écriture
|
||
décimaux. décimale ou sur le placement des points associés sur une demi-
|
||
droite graduée.
|
||
• Donner la valeur arrondie à En lien avec la division décimale posée l’élève comprend par
|
||
1
|
||
l’unité, au dixième, ou au exemple, que n’est pas un nombre décimal et que 0,33 en est la
|
||
3
|
||
centième d’un nombre décimal. valeur arrondie au centième.
|
||
• Déterminer ou connaitre la valeur Il sait aussi que 𝜋 n’est pas un nombre décimal, et que 3,14 en est la
|
||
arrondie de certains nombres valeur arrondie au centième.
|
||
non décimaux.
|
||
L’élève justifie les procédures utilisées pour encadrer ou intercaler
|
||
• Encadrer un nombre décimal par des nombres décimaux en s’appuyant sur la signification de leur
|
||
deux nombres décimaux, écriture décimale ou sur le placement des points associés sur une
|
||
intercaler un nombre décimal demi-droite graduée.
|
||
entre deux nombres décimaux.
|
||
• Additionner et soustraire des L’élève entretient les connaissances qu’il a acquises au cours moyen
|
||
nombres décimaux. et les mobilise dans le cadre de la résolution de problèmes.
|
||
Il identifie les opérations à effectuer. Tant qu’il en éprouve le besoin,
|
||
il s’appuie sur des représentations, comme par exemple les schémas
|
||
en barre.
|
||
L’élève effectue des additions et des soustractions en les posant par
|
||
écrit ou mentalement, selon les nombres en jeu.
|
||
Il estime a priori le résultat de l’opération, et le contrôle a posteriori.
|
||
• Multiplier un nombre entier ou un L’élève sait que multiplier un nombre par 0,1 revient à en prendre le
|
||
nombre décimal par 0,1, par 0,01, dixième, en lien avec les fractions et les conversions d’unités de
|
||
et par 0,001. mesure.
|
||
|
||
|
||
2
|
||
• Connaitre le lien avec la division L’élève constate que, lorsqu’on multiplie un nombre décimal par 0,1,
|
||
par 10, 100 et par 1 000. le résultat obtenu est dix fois plus petit que le nombre initial. Il est
|
||
ainsi sensibilisé au fait que « multiplier » ne signifie pas toujours
|
||
« rendre plus grand ».
|
||
L’élève mémorise les résultats suivants :
|
||
► 10 × 0,1 = 100 × 0,01 = 1 000 × 0,001 = 1 ;
|
||
► 0,1 × 10 = 0,01 × 100 = 0,001 × 1 000 = 1 ;
|
||
► 10 × 0,01 = 0,01 × 10 = 100 × 0,001 = 0,1 ;
|
||
► 0,001 × 10 = 10 × 0,001 = 0,01;
|
||
► 0,1 × 0,1 = 0,01 ; 0,1 × 0,01 = 0,001 ; 0,01 × 0,1 = 0,001.
|
||
L’élève comprend et mémorise le lien entre la division par 10, 100, ou
|
||
1 000 et la multiplication par 0,1, par 0,01, par 0,001. Il verbalise que
|
||
« multiplier par 0,1 c’est diviser par 10 ; que multiplier par 0,01 c’est
|
||
diviser par 100 ; que multiplier par 0,001 c’est diviser par 1 000 ».
|
||
• Comprendre le sens de la Le sens à attribuer à la multiplication de deux nombres décimaux
|
||
multiplication de deux nombres sort du cadre de l’itération d’une addition. Il s’appuie, dans un
|
||
décimaux. premier temps, sur l’aire d’un rectangle et les conversions d’unité.
|
||
• Calculer le produit de deux Par exemple, la multiplication de 3,7 par 2,9, est illustrée par le calcul
|
||
nombres décimaux. de l’aire d’un rectangle de 3,7 dm de longueur et 2,9 dm de largeur.
|
||
• Contrôler les résultats à l’aide L’élève convertit ces dimensions en centimètre. Le produit des deux
|
||
d’ordres de grandeur. entiers 37 et 29, qui est la mesure de l’aire en cm² est ensuite
|
||
• Résoudre des problèmes mettant convertie en dm et fournit le résultat de la multiplication de 3,7
|
||
2
|
||
|
||
|
||
en jeu des multiplications entre par 2,9.
|
||
des nombres décimaux. L’élève contrôle systématiquement le résultat obtenu à l’aide d’un
|
||
ordre de grandeur. Ainsi, il sait a priori que le produit 3,7 × 2,9 est
|
||
proche de 4 × 3 = 12 (ou qu’il est de l’ordre de 10), ce qu’il vérifie a
|
||
posteriori. La référence à l’aire du rectangle permet de justifier que
|
||
3,7 × 2,9 = 2,9 × 3,7. La propriété de commutativité est généralisée au
|
||
produit de tous les décimaux. Pour automatiser la connaissance de
|
||
cette procédure l’élève calcule tout autant des produits du type
|
||
8,2 × 0,01 que du type 0,01 × 8,2.
|
||
Une fois que ce sens de la multiplication, qui sort du cadre d’une
|
||
addition itérée, est compris par l’élève, celui-ci effectue des
|
||
multiplications qui peuvent mobiliser les propriétés d’associativité et
|
||
de commutativité. Sans en citer le nom, le professeur les explicite
|
||
comme, par exemple pour les calculs suivants :
|
||
► 0,4 × 3 = (0,1 × 4) × 3 = 0,1 × (4 × 3) = 0,1 × 12 = 1,2
|
||
|
||
► 0,4 × 0,3 = (0,1 × 4) × (0,1 × 3) = 0,1 × 4 × 0,1 × 3 =
|
||
0,1 × 0,1 × 4 × 3 = (0,1 × 0,1) × (3 × 4) = 0,01 × 12 = 0,12
|
||
Il est essentiel que l’automatisation du positionnement de la virgule
|
||
dans le résultat d’une multiplication soit précédée par ce type de
|
||
décompositions.
|
||
Lors de la résolution d’un problème dont l’objectif est de travailler le
|
||
sens de la multiplication et non pas sa technique, ou dans le cas de
|
||
calculs chronophages, l’élève peut, selon ses besoins, disposer d’une
|
||
calculatrice.
|
||
• Diviser un nombre décimal par un L’algorithme de la division posée, étudié au cours moyen, avec un
|
||
nombre entier non nul inférieur à dividende décimal et un diviseur inférieur à 10, est entretenu. Il était
|
||
10. limité au cas où on s’arrête au plus tard au centième avec un reste
|
||
• Résoudre des problèmes mettant nul, comme, par exemple, pour effectuer 9 855 ÷ 6 ; 7 854 ÷ 8 ou
|
||
en jeu des divisions décimales. 986,3 ÷ 5.
|
||
|
||
|
||
|
||
3
|
||
En 6e, on élargit ce cadre avec l’objectif de faire comprendre à l’élève
|
||
deux aspects essentiels liés aux fractions :
|
||
► lorsque l’algorithme de la division décimale de a par b s’arrête, la
|
||
a
|
||
fraction est un nombre décimal, par exemple, la division posée
|
||
b
|
||
9 855
|
||
9 855 ÷ 6 dont le résultat est 1 642,5. La fraction est donc un
|
||
6
|
||
nombre décimal ;
|
||
► l’algorithme de certaines divisions posées ne s’arrête jamais, par
|
||
exemple pour 10 ÷ 3 ou 73 ÷ 6. L’élève comprend que ce résultat
|
||
10 73
|
||
est lié au fait que les fractions et ne sont pas des nombres
|
||
3 6
|
||
décimaux.
|
||
Le sens de la division comme opération inverse de la multiplication,
|
||
vu sur les nombres entiers au cours élémentaire, est étendu aux
|
||
décimaux non entiers. Ainsi, l’élève sait que, pour tout nombre
|
||
décimal a, et tout nombre entier b non nul : (a ÷ b) × b = a et
|
||
(a × b) ÷ b = a.
|
||
L’élève identifie les situations relevant d’une division : le calcul d’une
|
||
part ou celui du nombre de parts.
|
||
Par exemple :
|
||
► il sait quelle opération poser et il effectue le calcul permettant de
|
||
déterminer, s’il verse 1,5 L de jus d’orange dans 8 verres de façon
|
||
équitable, combien de centilitres contiendra chaque verre ;
|
||
► il sait quelle opération poser et il effectue le calcul permettant de
|
||
déterminer combien de verres de 20 cL sont contenus dans une
|
||
bouteille de 1,5 L de jus d’orange. Il interprète le résultat (7 verres
|
||
et demi) dans le contexte de l’exercice.
|
||
Concernant la technique, l’élève a éventuellement recours à la
|
||
calculatrice dans le cadre de la résolution d’un problème mettant en
|
||
jeu un diviseur qui est un nombre entier ayant au moins deux
|
||
chiffres. Par exemple, il peut utiliser une calculatrice pour résoudre
|
||
l’exercice suivant : Léa a payé 57,40 € pour 35 L d’essence. Quel est le
|
||
prix d’un litre d’essence ?
|
||
En revanche, il sait résoudre sans calculatrice l’exercice suivant : Léo
|
||
a acheté un coupon de tissu dont le prix est 3 € le mètre. Il a payé
|
||
15,60 €. Quelle est la longueur du coupon acheté ?
|
||
• Effectuer la division euclidienne Au cours moyen, l’élève a appris à effectuer, en la posant, la division
|
||
d’un nombre entier par un euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier inférieur à 10.
|
||
nombre entier inférieur à 100. En 6e, le cadre est élargi, à la division euclidienne par un nombre
|
||
• Résoudre des problèmes mettant entier inférieur à 100. Lors des différentes étapes de l’algorithme, la
|
||
en jeu des divisions euclidiennes. verbalisation d’expressions du type « combien de fois peut-on
|
||
mettre b dans a ? » ou encore « combien de fois a contient-il b ? »
|
||
permet de conforter le sens « quotition » de la division. Lorsque
|
||
l’opération est effectuée, l’élève désigne le dividende, le diviseur, le
|
||
quotient et le reste.
|
||
L’élève reconnait, par exemple, que les problèmes suivants relèvent
|
||
d’une division euclidienne. Ainsi, il détermine :
|
||
► le nombre de verres de 20 cL contenus dans une bouteille de
|
||
1,25 L de jus d’orange ;
|
||
► le nombre de bouquets de 18 roses qu’un fleuriste peut faire à
|
||
partir de 295 roses ;
|
||
► le nombre de bus de 45 places nécessaires pour transporter
|
||
jusqu’aux bâtiments de l’aéroport les 536 passagers d’un avion.
|
||
|
||
|
||
4
|
||
Il sait interpréter les résultats obtenus et peut insérer les unités dans
|
||
la présentation de ses calculs.
|
||
Par exemple, il peut écrire 295 roses = 16 × 18 roses + 7 roses.
|
||
L’élève fait le lien entre division euclidienne et conversion d’unités de
|
||
durée (par exemple, transformation de minutes en heures et
|
||
minutes).
|
||
Il sait utiliser une division euclidienne pour écrire une fraction sous la
|
||
forme d’un nombre mixte.
|
||
|
||
|
||
|
||
Les fractions
|
||
|
||
Le sens quotient d’une fraction
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
a
|
||
• Relier une fraction au résultat L’élève constate que la fraction est égale au résultat, de la division de
|
||
b
|
||
exact de la division de son l’entier a par l’entier b non nul dans des cas particuliers :
|
||
numérateur par son ► lorsque a est un multiple de b ;
|
||
dénominateur.
|
||
► lorsque a ÷ b est un nombre décimal non entier. Par exemple, il sait
|
||
3
|
||
que = 0,75 et constate que 3 ÷ 4 = 0,75 en posant la division
|
||
4
|
||
3
|
||
décimale de 3 par 4. Il interprète alors la fraction comme le quart
|
||
4
|
||
de 3.
|
||
L’élève apprend que, pour tout entier a et tout entier b non nul, la
|
||
a
|
||
fraction est le résultat exact de la division de a par b.
|
||
b
|
||
a
|
||
Le cas particulier b = 1 est explicité. L’élève sait que = a ÷ 1 = a.
|
||
1
|
||
a
|
||
• Comprendre et connaitre la L’élève constate que b × = a dans des cas particuliers :
|
||
b
|
||
définition du quotient d’un entier ► lorsque a est un multiple de b ;
|
||
a par un entier b non nul. a
|
||
► lorsque est un nombre décimal non entier.
|
||
b
|
||
• Compléter des égalités à trou a
|
||
L’égalité = a ÷ b et le fait que la multiplication est l’opération inverse
|
||
multiplicatives. b
|
||
de la division permettent d’institutionnaliser le résultat et de le
|
||
verbaliser sous la forme « Le quotient de a par b est le nombre qui,
|
||
multiplié par b, donne a ».
|
||
La commutativité du produit d’un entier par une fraction, justifiée par
|
||
son interprétation comme aire d’un rectangle, permet d’écrire
|
||
a a
|
||
b × = × b = a.
|
||
b b
|
||
L’élève utilise la notion de quotient et la propriété de commutativité
|
||
pour compléter des égalités à trou des types : b × … = a ; … × b = a, où a
|
||
est un entier et b un entier non nul.
|
||
Il importe de proposer aux élèves des égalités à trou leur permettant
|
||
de comprendre que, dans certains cas, l’écriture fractionnaire est la
|
||
seule manière de représenter le nombre manquant.
|
||
a
|
||
• Placer une fraction sur une demi- L’élève sait placer la fraction
|
||
b
|
||
sur une demi-droite dont la graduation
|
||
droite graduée dans des cas est adaptée.
|
||
simples. Par exemple, il détermine l’abscisse inconnue sachant que les
|
||
• Graduer un segment de longueur graduations sont régulièrement espacées.
|
||
donnée.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
5
|
||
Selon la graduation souhaitée, l’élève sait effectuer des pliages d’une
|
||
bande de papier (en 2, 4 ou 8) ou utiliser un guide-âne pour graduer un
|
||
segment de longueur donnée. Il écrit la valeur de chaque graduation
|
||
sous forme fractionnaire.
|
||
a
|
||
• Savoir que la fraction b peut L’élève connait quelques fractions qui représentent des nombres non
|
||
représenter un nombre entier, un décimaux.
|
||
nombre décimal non entier ou un En lien avec le domaine « Géométrie », il admet que le nombre 𝜋 ne
|
||
nombre non décimal. peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
|
||
|
||
|
||
La fraction comme opérateur multiplicatif
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Utiliser une multiplication pour En début d’apprentissage, l’élève verbalise des calculs du type :
|
||
2
|
||
appliquer une fraction à un de 60, c’est 2 cinquièmes de 60, c’est-à-dire 2 fois un cinquième de
|
||
5
|
||
nombre entier. 60 2 60
|
||
60, c’est-à-dire 2 fois ; ainsi : × 60 = 2 × = 2 × 12 = 24.
|
||
5 5 5
|
||
5
|
||
Ou : de 3, c’est 5 quarts de 3, c’est-à-dire 5 fois un quart de 3, c’est-à-
|
||
4
|
||
3 3 3×5 15
|
||
dire 5 fois , soit 5 × = = .
|
||
4 4 4 4
|
||
Le professeur peut, selon des besoins des élèves, faire apparaitre sur
|
||
b
|
||
des exemples du type précédent que pour a, b, c (non nul), « de a »
|
||
c
|
||
b b b×a a
|
||
est égal à × a et à a × qui est aussi égal à et à b × .
|
||
c c c c
|
||
Le résultat est institutionnalisé sous la forme : « Pour calculer une
|
||
fraction d’un nombre entier, on multiplie la fraction par le nombre ».
|
||
L’élève est fortement encouragé, avant d’effectuer la multiplication, à
|
||
a
|
||
simplifier la fraction , notamment quand c’est un nombre entier,
|
||
c
|
||
2
|
||
comme pour le calcul de de 60.
|
||
5
|
||
|
||
|
||
|
||
Comparer des fractions
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
7 14
|
||
• Établir des égalités de fractions. L’élève sait, par exemple, justifier pourquoi est égal
|
||
3 6
|
||
, en s’appuyant
|
||
sur une représentation de chacune de ces fractions ou en comparant
|
||
leur placement sur deux demi-droites graduées, l’une en tiers et l’autre
|
||
en sixièmes de la même unité.
|
||
Le résultat est institutionnalisé sous la forme « Le nombre représenté
|
||
par une fraction ne change pas quand on multiplie ou quand on divise
|
||
le numérateur et le dénominateur de celle-ci par un même nombre
|
||
non nul ».
|
||
L’élève sait, par exemple, répondre à la question suivante, en justifiant
|
||
sa réponse :
|
||
4 35 15 70 21
|
||
« Parmi les fractions , , , , , quelles sont celles qui sont égales
|
||
7 20 18 40 28
|
||
7
|
||
à ? ».
|
||
4
|
||
2 … 4 28
|
||
L’élève sait compléter des égalités du type : = ou = .
|
||
3 9 7 …
|
||
L’automatisation des tables de multiplication est mobilisée à cette
|
||
occasion.
|
||
• Comparer et encadrer des L’élève sait comparer deux fractions de même dénominateur.
|
||
fractions. L’élève sait comparer deux fractions de même numérateur.
|
||
|
||
|
||
|
||
6
|
||
• Ordonner une liste de nombres Il sait comparer une fraction à 1 de manière automatique et utilise ce
|
||
7 10
|
||
écrits sous forme de fractions ou moyen pour comparer certaines fractions comme, par exemple, et .
|
||
8 9
|
||
de nombres mixtes. 1 5 6
|
||
Il compare certaines fractions à comme, par exemple et .
|
||
2 12 11
|
||
L’élève sait encadrer une fraction par deux entiers consécutifs,
|
||
notamment à l’aide de son écriture sous forme de nombre mixte.
|
||
Il sait, par exemple, ordonner dans l’ordre croissant une liste de
|
||
5 7 99 1
|
||
nombres comme : 1, , , ,1+ .
|
||
3 6 100 3
|
||
|
||
|
||
|
||
Effectuer des opérations sur les fractions
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Additionner et soustraire des L’élève sait additionner et soustraire des fractions de même
|
||
fractions. dénominateur ou de dénominateurs multiples l’un de l’autre.
|
||
• Multiplier une fraction par un Il sait additionner et soustraire des fractions de dénominateurs
|
||
nombre entier. quelconques dans des cas simples. Par exemple, il sait calculer :
|
||
5 2 7 3
|
||
+ ; - .
|
||
4 3 2 5
|
||
L’élève sait calculer le produit d’une fraction par un nombre entier, et
|
||
connait sa propriété de commutativité.
|
||
• Résoudre des problèmes mettant Par exemple, l’élève sait résoudre le problème suivant :
|
||
en jeu des fractions. « Mia a découpé son gâteau d’anniversaire en parts de différentes
|
||
• Inventer des problèmes mettant tailles. Leïla choisit une part égale au quart du gâteau et Léo choisit une
|
||
en jeu des fractions. part égale au sixième du gâteau. Quelle fraction du gâteau reste-t-il
|
||
pour les autres invités ? »
|
||
Par exemple, l’élève invente un problème dont la résolution nécessite
|
||
2 3
|
||
le calcul de + suivi de la soustraction de son choix.
|
||
5 10
|
||
|
||
|
||
|
||
Pourcentages
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Comprendre le sens d’un L’élève s’appuie sur la verbalisation pour comprendre le sens d’un
|
||
pourcentage. pourcentage, en lien avec la proportionnalité.
|
||
• Calculer une proportion (rapport Par exemple, il sait que, si un aliment contient 42 % de glucides, alors
|
||
entre une partie et le tout) et « pour 100 g » de cet aliment, il y a 42 g de glucides. Il en déduit que
|
||
l’exprimer sous forme de 200 g de cet aliment contiennent 84 g de glucides et que 50 g de cet
|
||
pourcentage dans des cas simples. aliment en contiennent 21 g.
|
||
• Appliquer un pourcentage à une L’élève sait calculer une proportion et l’exprimer sous forme de
|
||
grandeur ou à un nombre. pourcentage dans le cas où le dénominateur est un diviseur ou un
|
||
multiple de 100.
|
||
Il sait, par exemple, calculer le pourcentage de boules blanches dans
|
||
un sac contenant 2 boules blanches et 8 boules noires et l’exprimer en
|
||
pourcentage.
|
||
Il sait, par exemple, exprimer en pourcentage la proportion d’élèves
|
||
demi-pensionnaires dans un collège de 400 élèves dont 120 sont demi-
|
||
pensionnaires.
|
||
L’élève sait qu’une proportion est toujours inférieure ou égale à 1.
|
||
a
|
||
a % ayant été défini comme une nouvelle écriture de la fraction ,
|
||
100
|
||
l’application d’un pourcentage à un nombre est un cas particulier de
|
||
l’application d’une fraction à un nombre.
|
||
|
||
|
||
7
|
||
Ainsi, l’élève sait que, pour déterminer a % d’un nombre entier 𝑐, on
|
||
a
|
||
calcule × c.
|
||
100
|
||
Les élèves qui en ont besoin peuvent utiliser, en début d’apprentissage,
|
||
une échelle de pourcentage pour calculer un pourcentage simple d’une
|
||
grandeur.
|
||
Par exemple, pour calculer 20 % de 60 € :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Algèbre
|
||
|
||
Résoudre des problèmes mettant en jeu des nombres inconnus
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Utiliser des modèles pré- En utilisant un schéma en barres pour traduire les relations entre les
|
||
algébriques pour résoudre des nombres inconnus, l’élève résout des problèmes comme, par exemple,
|
||
problèmes algébriques. le suivant :
|
||
► Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime
|
||
totale de 320€ sera répartie entre les trois premiers coureurs. Le
|
||
premier touchera la prime d’or, le deuxième la prime d’argent et le
|
||
troisième la prime de bronze. La prime d’or s’élève à 70€ de plus que
|
||
la prime d’argent et la prime de bronze à 80€ de moins que la prime
|
||
d’argent. Quelle est la prime de chacun des trois premiers coureurs ?
|
||
L’élève résout des problèmes comme dans l’exemple suivant :
|
||
► En utilisant les prix indiqués ci-dessous, déterminer le prix d’une
|
||
pastèque et celui d’un ananas.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
• Identifier la structure d’un motif L’élève résout des problèmes comme, par exemple, le suivant :
|
||
évolutif en repérant une On fabrique des petites maisons avec des allumettes, comme indiqué
|
||
régularité et en identifiant une sur le dessin ci-dessous :
|
||
structure.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Étape 1 Étape 2 Étape 3
|
||
|
||
Combien faut-il d’allumettes pour réaliser :
|
||
► 1 maison ?
|
||
► 4 maisons ?
|
||
► 25 maisons ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
8
|
||
L’élève identifie une relation entre le nombre de maisons et le nombre
|
||
d’allumettes, par exemple en organisant ses calculs dans un tableau :
|
||
Nombre de maisons Nombre d’allumettes
|
||
1 6
|
||
2 11 = 6 + 1 × 5
|
||
3 16 = 6 + 2 × 5
|
||
4 16 = 6 + 3 × 5
|
||
…
|
||
25 6 + 24 × 5 = 126
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Grandeurs et mesures
|
||
|
||
Les longueurs
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Savoir que le périmètre du disque L’élève admet que, pour tous les disques, le rapport entre leur
|
||
est proportionnel à son diamètre. périmètre et leur diamètre est un nombre constant noté π.
|
||
• Connaitre la formule du Le professeur indique que le nombre π n’est pas un nombre décimal, et
|
||
périmètre d’un disque. qu’il ne peut pas, non plus, s’écrire sous forme de fraction.
|
||
• Calculer le périmètre d’un disque. L’élève procède à des mesures expérimentales pour déterminer des
|
||
valeurs décimales approchées du nombre π. Il sait que 3,14 en est
|
||
l’arrondi au centième.
|
||
Après plusieurs calculs en situation au cours desquels il verbalise en
|
||
langage naturel « le périmètre d’un disque est égal au produit du
|
||
nombre 𝜋 par son diamètre », l’élève écrit et apprend les formules
|
||
P = π × D ; P = 2 × π × R, où D est le diamètre du disque, R son rayon et
|
||
P son périmètre.
|
||
Dans les formules, l’élève substitue à la lettre D ou à la lettre R une
|
||
longueur pour calculer le périmètre d’un disque donné.
|
||
• Calculer des périmètres de L’élève calcule le périmètre de figures dont le contour contient des
|
||
figures composées. cercles ou des portions de cercles comme, par exemple :
|
||
• Résoudre des problèmes
|
||
impliquant des longueurs.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Par exemple, l’élève détermine si la piste représentée ci-dessous par la
|
||
bande orange sera homologuée, sachant qu’un tour complet intérieur
|
||
doit mesurer au moins 400 m et ne pas dépasser 402,3 m.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
9
|
||
Les aires
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Effectuer des conversions d’aire. L’élève sait que 1 mm² est l’aire d’un carré de 1 mm de côté et que
|
||
1 km² est l’aire d’un carré de 1 km de côté.
|
||
L’élève convertit en m2 (respectivement en dm2) une aire donnée en
|
||
dm2 (respectivement en cm2) et inversement.
|
||
Par exemple, l’élève convertit 3,7 m2 en dm2 en s’appuyant sur l’égalité
|
||
1 m2 = 100 dm2. Il convertit 370 cm2 en dm2, en verbalisant que la
|
||
mesure en dm2 est 100 fois plus petite que la mesure en cm2, ou que
|
||
1 cm2 est le centième de 1 dm2. Le recours à un tableau de conversion
|
||
est déconseillé à ce stade de l’apprentissage.
|
||
Les autres conversions d’aire ne figurent pas au programme.
|
||
• Connaitre la formule de l’aire L’élève verbalise la formule de l’aire d’un carré sous la forme « l’aire d’un
|
||
d’un carré ou d’un rectangle. carré est égal au produit de son côté par son côté ».
|
||
• Calculer l’aire d’un carré ou d’un Il l’écrit sous la forme « aire = côté × côté » avant de la formaliser sous la
|
||
rectangle. forme littérale A = c × c.
|
||
Il adopte une démarche similaire pour l’aire du rectangle.
|
||
Le calcul numérique de l’aire d’un rectangle est exploité pour illustrer la
|
||
commutativité de la multiplication entre deux nombres décimaux et
|
||
entre un nombre entier et une fraction.
|
||
En lien avec l’initiation à la pensée algébrique, l’élève utilise les formules
|
||
du périmètre et de l’aire d’un rectangle dans lesquelles il substitue des
|
||
valeurs numériques aux deux lettres. Cependant, le passage à la formule
|
||
ne doit pas se faire prématurément
|
||
|
||
|
||
Les volumes
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre l’unité centimètre L’élève apprend que le centimètre cube est une unité de volume notée
|
||
cube. cm3 et que 1 cm3 est le volume d’un cube d’arête 1 cm.
|
||
|
||
• Comparer des volumes. L’élève compare le volume de deux solides constitués d’assemblages de
|
||
• Déterminer un volume. cubes identiques.
|
||
L’élève détermine le volume d’un assemblage de cubes d’arête 1 cm.
|
||
|
||
|
||
Le repérage dans le temps et les durées
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Effectuer des calculs sur des Les instants et les durées sont exprimés en jours, heures, minutes et
|
||
horaires et des durées. secondes.
|
||
L’élève détermine un instant initial, un instant final ou une durée, sur
|
||
des exemples de la vie courante.
|
||
Par exemple, il sait calculer l’heure de fin d’une séance de cinéma qui
|
||
commence à 17 h 40 et qui dure 110 minutes ; il sait calculer la durée
|
||
hebdomadaire de ses cours et l’exprimer en heures et minutes.
|
||
• Résoudre des problèmes Par exemple, l’élève résout un problème du type :
|
||
impliquant des horaires, des D’après les informations ci-dessous :
|
||
durées. ► quel est le numéro du prochain bus ?
|
||
|
||
|
||
10
|
||
► dans combien de temps arrivera-t-il ?
|
||
► un ami te prévient qu’il te rejoindra dans 12 minutes. Pourrez-vous
|
||
prendre ensemble le bus 303 ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
• Convertir des durées. L’élève sait répondre à des questions du type : « Combien font 609 h en
|
||
semaines, jours et heures ? » ; « Combien font 34 990 s en heures,
|
||
minutes et secondes ? » ; « Est-il plus long d’emprunter de l’argent à la
|
||
banque sur 76 mois ou sur 5 ans ? ».
|
||
L’élève sait que :
|
||
1 1
|
||
► 0,5 h = h = 30 min ; 0,25 h = h = 15 min ;
|
||
2 4
|
||
3 1
|
||
► 0,75 h = h = 45 min ; 0,1 h = h = 6 min.
|
||
4 10
|
||
L’élève connait les écritures sexagésimale et décimale d’une durée.
|
||
Dans le cadre de la résolution de problèmes, il passe de l’une à l’autre.
|
||
|
||
|
||
Espace et géométrie
|
||
|
||
Étude de configurations planes
|
||
|
||
Distances
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre et utiliser la La distance entre deux points A et B est définie comme la longueur du
|
||
définition de la distance segment [AB]. Elle est notée AB. L’élève admet que le plus court chemin
|
||
entre deux points. pour aller de A à B est le segment [AB]. Il en déduit que, pour tout point C,
|
||
• Connaitre et utiliser la AC + CB ⩾ AB, l’égalité étant réalisée pour tous les points appartenant au
|
||
définition du milieu d’un segment [AB], et uniquement pour eux.
|
||
segment. L’élève reporte une distance, compare deux distances à l’aide d’un compas
|
||
ou d’une mesure effectuée avec une règle graduée.
|
||
L’élève connait la définition du milieu d’un segment et s’appuie sur elle pour
|
||
le construire selon les outils dont il dispose : par pliage, en utilisant un guide-
|
||
âne, une règle graduée ou un compas et une règle non graduée.
|
||
|
||
|
||
Cercles et disques
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre les définitions d’un Le cercle est défini comme l’ensemble des points équidistants d’un point
|
||
cercle, d’un disque, d’un appelé centre.
|
||
rayon, d’un diamètre, d’une Le disque est défini comme l’ensemble des points situés à une distance
|
||
corde. inférieure ou égale à un point donné appelé centre.
|
||
L’élève distingue un cercle d’un disque.
|
||
Le mot « rayon » désigne indifféremment un segment joignant un point du
|
||
cercle à son centre et la longueur de ce segment.
|
||
Le mot « diamètre » désigne indifféremment un segment joignant deux
|
||
points du cercle et passant par son centre et la longueur de ce segment.
|
||
|
||
11
|
||
Une corde d’un cercle est définie comme un segment reliant deux de ses
|
||
points.
|
||
L’élève sait que le diamètre est le double du rayon et qu’il est supérieur ou
|
||
égal à la longueur de toutes les cordes.
|
||
• Comprendre la définition L’élève sait interpréter géométriquement des égalités et des inégalités de
|
||
d’un cercle et celle d’un distances à un point.
|
||
disque sous la forme Il sait que :
|
||
d’ensembles de points. ► si un point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2 cm, alors
|
||
OA = 2 cm et, si OB = 2 cm, alors le point B appartient au cercle de centre
|
||
O et de rayon 2 cm.
|
||
► si un point D n’appartient pas au cercle de centre O et de rayon 2 cm,
|
||
alors OD ≠ 2 cm et, si OE ≠ 2 cm, alors le point E n’appartient pas au
|
||
cercle de centre O et de rayon 2 cm.
|
||
Il admet alors que le cercle de centre O et de rayon 2 cm est l’ensemble des
|
||
points situés à 2 cm de O.
|
||
L’élève constate que :
|
||
► si OF ⩽ 2 cm, alors le point F appartient au disque de centre O et de
|
||
rayon 2 cm ;
|
||
► si OG > 2 cm, alors le point G n’appartient pas au disque de centre O et
|
||
de rayon 2 cm.
|
||
Il admet alors que le disque de centre O et de rayon 2 cm est l’ensemble des
|
||
points dont la distance à O est inférieure ou égale à 2 cm.
|
||
• Résoudre des problèmes Par exemple, l’élève reproduit le schéma ci-dessous à l’échelle (1 cm sur le
|
||
mettant en jeu des distances dessin représente 1 m dans la réalité) et détermine, en la hachurant, la zone
|
||
à un point. de l’enclos dans laquelle peut brouter une chèvre attachée à une corde de 8
|
||
mètres de long fixée au point P.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Médiatrice d’un segment
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre la définition de la La médiatrice d’un segment est définie comme la droite perpendiculaire au
|
||
médiatrice d’un segment. segment passant par son milieu.
|
||
• Comprendre et utiliser la L’élève observe, puis admet, que la médiatrice d’un segment est un axe de
|
||
propriété caractéristique de symétrie de ce segment. Il construit la médiatrice d’un segment par pliage.
|
||
la médiatrice d’un segment. Il observe alors que, si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il
|
||
est équidistant de ses extrémités.
|
||
L’élève observe également que, si un point n’est pas sur la médiatrice d’un
|
||
segment, alors il est plus proche de l’une des extrémités que de l’autre.
|
||
Il admet que, si un point est à égale distance des extrémités d’un segment,
|
||
alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
12
|
||
L’élève connait la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
|
||
qu’il verbalise sous la forme : « la médiatrice d’un segment est l’ensemble
|
||
des points équidistants des extrémités de ce segment ».
|
||
Il l’utilise pour justifier la construction de la médiatrice à l’aide d’un compas
|
||
et d’une règle non graduée.
|
||
• Résoudre des problèmes en Par exemple, l’élève place le milieu d’une corde d’un cercle de centre connu
|
||
s’appuyant sur la propriété en utilisant une équerre et justifie son raisonnement.
|
||
caractéristique de la Par exemple, l’élève détermine le centre inconnu d’un cercle et justifie sa
|
||
médiatrice. construction en verbalisant le raisonnement sous-jacent.
|
||
|
||
|
||
Angles
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Commentaires et exemples de réussite
|
||
• Connaitre et utiliser les Deux demi-droites de même origine définissent deux secteurs angulaires,
|
||
angles ainsi que le lexique et qu’on assimile à des angles : un angle saillant et un angle rentrant, ou deux
|
||
les notations qui s’y angles plats. Hormis l’angle plein et l’angle plat, le programme se limite aux
|
||
rapportent : angle droit, angles saillants.
|
||
angle plat, angle plein, angle La notion mathématique d’angle peut être illustrée par l’ouverture d’un
|
||
nul, angle aigu, angle obtus, éventail, le déplacement de l’aiguille d’une horloge par rapport à une
|
||
angles opposés par le position fixe ou l’ouverture d’un compas.
|
||
sommet, angles adjacents, L’élève verbalise et utilise la notation adaptée pour désigner chacun des
|
||
angles supplémentaires. objets suivants : sommet, côté, demi-droites qui délimitent un angle.
|
||
Pour noter les angles, selon les situations, il utilise les notations : ABC
|
||
̂, Â , xOy
|
||
̂.
|
||
L’élève compare des angles par superposition, avec un calque ou en utilisant
|
||
un gabarit. En particulier, il sait déterminer si deux angles sont égaux. Il sait
|
||
reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.
|
||
L’élève sait que deux droites sécantes se coupent en formant quatre angles
|
||
saillants qui constituent deux paires d’angles opposés par le sommet. À
|
||
l’aide d’un gabarit ou d’un rapporteur, il constate que deux angles opposés
|
||
par le sommet sont de même mesure. Il admet et connait cette propriété.
|
||
L’élève sait que, si deux droites sécantes se coupent en formant quatre
|
||
angles égaux, alors les angles obtenus sont des angles droits.
|
||
Par exemple, il fabrique un angle droit à l’aide d’une feuille de papier pliée
|
||
en quatre. Il illustre les liens entre angle droit, angle plat et angle plein, à
|
||
l’aide de cette feuille de papier.
|
||
L’élève connait la définition des angles adjacents et celle des angles
|
||
supplémentaires.
|
||
• Mesurer un angle. L’élève connait les mesures en degrés de l’angle droit et de l’angle plat. Il en
|
||
• Construire un angle de déduit que l’angle plein mesure 360° et comprend que l’angle nul mesure 0°.
|
||
mesure donnée. Par pliage et superposition, l’élève partage l’angle plat en deux, en trois, en
|
||
quatre ou en six angles deux à deux adjacents et égaux et associe une
|
||
mesure aux angles obtenus.
|
||
Il connait les mesures des angles de l’équerre qu’il utilise.
|
||
Un angle mesurant 1° peut être obtenu à partir du partage de l’angle plat en
|
||
180 angles deux à deux adjacents et égaux.
|
||
L’élève utilise un rapporteur pour mesurer un angle en degré, pour comparer
|
||
deux angles, pour construire un angle de mesure donnée en degré.
|
||
En lien avec les déplacements, il relie quart de tour à angle droit, demi-tour
|
||
à angle plat, tour complet à angle plein, et connait les mesures en degrés de
|
||
chacun de ces angles.
|
||
|
||
|
||
13
|
||
Bissectrice d’un angle saillant
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre la définition de la La bissectrice d’un angle saillant est définie comme la droite qui partage cet
|
||
bissectrice d’un angle angle en deux angles adjacents égaux.
|
||
saillant. L’élève observe, puis admet, que la bissectrice d’un angle est l’axe de
|
||
• Utiliser la définition de la symétrie de cet angle.
|
||
bissectrice d’un angle pour L’élève construit la bissectrice d’un angle par pliage, puis à l’aide d’un
|
||
effectuer des constructions rapporteur.
|
||
et résoudre des problèmes. Par exemple, l’élève élabore un programme de construction permettant à
|
||
un camarade de reproduire la figure suivante représentant une tête
|
||
d’oiseau.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Triangles
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Construire des triangles. L’élève dessine à main levée un triangle en faisant figurer le codage
|
||
• Connaitre et utiliser les correspondant aux données de l’énoncé.
|
||
propriétés angulaires des L’élève construit un triangle connaissant :
|
||
triangles particuliers : triangle ► les longueurs des trois côtés, lorsque la construction est possible ;
|
||
rectangle, triangle isocèle, ► les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés ;
|
||
triangle équilatéral.
|
||
► la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents.
|
||
|
||
L’élève connait et utilise les codes pour les angles droits et pour les égalités
|
||
d’angles.
|
||
Il connait la définition et la caractérisation sous la forme d’égalité d’angles
|
||
d’un triangle isocèle et d’un triangle équilatéral.
|
||
• Connaitre la valeur de la L’élève s’appuie sur l’accolement de triangles identiques pour constater que
|
||
somme des mesures des la somme des angles d’un triangle est un angle plat avant d’admettre ce
|
||
angles d’un triangle. résultat.
|
||
• L’utiliser pour calculer des L’élève démontre que, dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure
|
||
angles, effectuer des 60° et il connait ce résultat.
|
||
constructions et résoudre L’élève sait calculer la mesure des trois angles d’un triangle isocèle à partir
|
||
des problèmes. de l’une d’elles.
|
||
Par exemple, l’élève construit un triangle ABC isocèle en A, sachant que
|
||
AB = 4 cm et BAC
|
||
̂ =30°.
|
||
Par exemple, à l’aide d’instruments géométriques, l’élève reproduit la figure
|
||
à main levée ci-dessous et détermine, en le justifiant, si les points E, F et I
|
||
sont alignés.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
14
|
||
• Savoir que les médiatrices L’élève comprend pourquoi les trois médiatrices d’un triangle sont
|
||
d’un triangle sont concourantes et il est capable de restituer les arguments de la preuve de ce
|
||
concourantes. résultat.
|
||
• Connaitre et construire le Il en déduit l’existence du cercle circonscrit à un triangle et sait le
|
||
cercle circonscrit à un construire.
|
||
triangle.
|
||
|
||
|
||
Symétrie axiale
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre la définition du Le passage au papier uni nécessite de donner la définition du symétrique
|
||
symétrique d’un point par d’un point par symétrie axiale.
|
||
rapport à une droite. Étant donnés une droite (d) et un point M n’appartenant pas à (d), l’élève
|
||
• Connaitre et utiliser les sait que le symétrique de M par rapport à (d) est le point M’ tel que (d) est la
|
||
propriétés de la symétrie médiatrice du segment [MM’].
|
||
axiale pour effectuer des Il sait également que, si le point M appartient à (d), alors il est son propre
|
||
constructions. symétrique.
|
||
L’élève sait que si M’ est le symétrique de M, alors M est le symétrique de M’.
|
||
L’élève constate par pliage la conservation des distances par une symétrie
|
||
axiale, avant d’admettre et d’utiliser cette propriété.
|
||
Il constate sur des figures la conservation des angles par une symétrie axiale,
|
||
avant d’admettre et d’utiliser cette propriété.
|
||
L’élève sait que le symétrique d’un point est un point, que le symétrique
|
||
d’une droite (respectivement d’une demi-droite) est une droite
|
||
(respectivement une demi-droite), que le symétrique d’un segment est un
|
||
segment de même longueur, que le symétrique d’un angle est un angle de
|
||
même mesure, que le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
|
||
L’élève construit le symétrique d’un point ou d’une figure simple en utilisant
|
||
des instruments et un support imposés (équerre et règle graduée ; équerre
|
||
et compas ; compas seul ; papier quadrillé ; papier pointé ou papier uni).
|
||
Pour tracer, par exemple, l’image de la figure suivante, l’élève est capable de
|
||
dire que, la symétrie axiale conservant les longueurs et les mesures des
|
||
angles, il suffit de placer les symétriques des points A et B puis d’utiliser le
|
||
quadrillage pour terminer sa construction.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Sur papier uni, l’élève construit, par exemple, les figures symétriques par
|
||
rapport à la droite (AB) du polygone CDEFG, du triangle HIJ et du cercle de
|
||
centre K.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
15
|
||
La vision dans l’espace
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Voir dans l’espace des L’élève interprète différentes représentations planes d’un assemblage de
|
||
assemblages de cubes. cubes : dessin à main levée, perspective cavalière, patron.
|
||
À partir de la manipulation d’un assemblage de cubes
|
||
ou d’une représentation comme la figure ci-contre,
|
||
l’élève trace à main levée ou sur du papier quadrillé les
|
||
différentes vues de cet assemblage : vue de dessus, vue
|
||
de face, vue de gauche, vue de droite.
|
||
|
||
Inversement, quatre vues d’un assemblage de cubes lui étant fournies
|
||
comme, par exemple, celles ci-dessous, l’élève choisit parmi les
|
||
représentations de plusieurs assemblages, celle qui correspond à ces vues.
|
||
Vue de face Vue de dessus
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Vue de gauche Vue de droite
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Par exemple, l’élève résout des problèmes de dénombrement comme la
|
||
recherche du nombre de cubes dans l’empilement ci-dessous.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Organisation et gestion de données et probabilités
|
||
|
||
Organisation et gestion de données
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Planifier une enquête et L’élève mène seul, en binôme, ou à l’intérieur d’un groupe plus large, une
|
||
recueillir des données. enquête statistique portant sur la répartition d’un caractère dans une
|
||
• Réaliser des mesures et les population. Pour cela, il définit la population à étudier, élabore un
|
||
consigner dans un tableau. questionnaire et recueille les données, qu’il met éventuellement en
|
||
commun avec ses camarades avant de les compiler dans un tableau.
|
||
L’élève réalise des mesures destinées à étudier l’évolution d’une grandeur en
|
||
fonction d’une autre. Il consigne les résultats dans un tableau, puis les
|
||
représente dans un repère par un ensemble de points. Il adapte le choix de
|
||
l’origine et d’une graduation de chacun des axes aux mesures.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
16
|
||
• Construire un tableau simple Par exemple, l’élève construit un tableau en colonnes pour organiser les
|
||
pour présenter des données informations contenues dans le texte suivant, en précisant le titre de
|
||
(observations, caractères). chaque colonne.
|
||
« Des élèves ont relevé des températures et des taux d’hygrométrie dans la
|
||
cour du collège à différentes heures d’une journée. À 8 h, il faisait 12 °C et il
|
||
y avait 75 % d’humidité dans l’air ; à 10 h, la température était de 18 °C et le
|
||
taux d’hygrométrie de 61 % ; à 12 h, la température était de 24 °C et le taux
|
||
d’hygrométrie de 43 %, et enfin à 16 h, la température était de 22 °C et le
|
||
taux d’hygrométrie de 42 %. »
|
||
• Faire un choix en filtrant les Le tableau suivant est extrait d’un site de covoiturage :
|
||
données d’un tableau selon
|
||
un critère.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève compare les meilleurs choix pour aller de Paris aux Sables d’Olonne
|
||
selon le critère retenu.
|
||
|
||
|
||
Les probabilités
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite.
|
||
• Savoir que la probabilité d’un L’élève sait positionner un évènement sur une échelle de probabilité
|
||
évènement est un nombre graduée de 0 à 1 en interprétant la situation. Par exemple :
|
||
compris entre 0 et 1. ► obtenir un 7 en lançant un dé à six faces numérotées de 1 à 6 ;
|
||
► obtenir un nombre entier compris entre 1 et 6 inclus en lançant un dé à
|
||
six faces ;
|
||
► obtenir pile en lançant une pièce équilibrée ;
|
||
► ne pas obtenir la bonne combinaison au loto ;
|
||
► obtenir 10 fois de suite la valeur 1 en lançant un dé à six faces.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève sait que la probabilité d’un évènement impossible vaut 0 et que celle
|
||
d’un évènement certain vaut 1.
|
||
Il fait le lien entre l’expression « une chance sur quatre » employée au cours
|
||
1
|
||
moyen et la probabilité (qui peut se lire 1 sur 4).
|
||
4
|
||
|
||
• Calculer des probabilités L’élève sait qu’une probabilité peut s’exprimer sous la forme d’une fraction,
|
||
dans des situations simples d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
|
||
d’équiprobabilité. Par exemple, il calcule la probabilité d’obtenir une boule noire en piochant
|
||
au hasard, sans regarder, une boule dans une urne contenant 3 boules
|
||
noires et 7 boules blanches.
|
||
L’élève colorie chacune des billes du sac ci-contre, soit en
|
||
rouge, soit en bleu, de façon à ce que la probabilité
|
||
d’obtenir une bille bleue lorsqu’on tire au hasard, sans
|
||
1
|
||
regarder, une bille du sac, soit égale à ou à 25 % ou à 0,25.
|
||
4
|
||
|
||
|
||
17
|
||
• Comparer des résultats d’une L’élève répète une même expérience aléatoire plusieurs fois, dans des
|
||
expérience aléatoire répétée conditions similaires, et calcule des proportions.
|
||
à une probabilité calculée. Par exemple, chaque élève de la classe lance 20 fois de suite deux pièces de
|
||
monnaie et note à chaque lancer le résultat obtenu (qui peut être deux fois
|
||
FACE, une fois PILE et une fois FACE ou deux fois PILE). Tous les résultats
|
||
obtenus sont mis en commun afin de calculer la proportion d’apparition de
|
||
« deux fois PILE » parmi l’ensemble de tous les résultats obtenus. Cette
|
||
proportion est comparée à la probabilité d’obtenir « deux fois PILE » vue au
|
||
cours moyen.
|
||
|
||
|
||
|
||
La proportionnalité
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Connaitre la définition de la L’élève sait que deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les
|
||
proportionnalité entre deux mesures de l’une par un même nombre (non nul), on obtient les mesures de
|
||
grandeurs et la mettre en lien l’autre.
|
||
avec des expressions de la vie Il sait que des locutions du type « prix au kilo » ou « nombre de feuilles
|
||
courante. imprimées par minute » traduisent la proportionnalité des grandeurs
|
||
• Identifier si une situation évoquées.
|
||
relève du « modèle » de la L’élève est sensibilisé au « modèle » de la proportionnalité.
|
||
proportionnalité. Par exemple, des questions comme les suivantes donnent lieu à un débat au
|
||
sein de la classe.
|
||
► Un paquet de gâteaux coute habituellement 1,20 €. Lors d’une
|
||
promotion, un magasin propose la vente de ces gâteaux par lots de 4
|
||
paquets. Peut-on prévoir le prix du lot ?
|
||
► Si on connait le nombre de véhicules ayant franchi un péage entre 7 h du
|
||
matin et 7 h 15, peut-on prévoir le nombre de véhicules qui le franchiront
|
||
entre 7 h et 7 h 30 ? Et entre 12 h et 12 h 30 ?
|
||
► La hauteur classique des marches d’un escalier varie entre 17 cm et
|
||
19 cm. Peut-on estimer de quelle hauteur on s’élève si on gravit 5
|
||
marches ?
|
||
• Résoudre un problème de L’élève sait que, dans une situation relevant du modèle de proportionnalité,
|
||
proportionnalité en une seule paire de données suffit pour obtenir toutes les autres.
|
||
choisissant une procédure Par exemple, il sait résoudre le problème suivant : « Un cultivateur vend des
|
||
adaptée : propriété de pommes de terre au poids. Léo paie 5 € pour un sac de 2,5 kg. Quel prix doit
|
||
linéarité pour la payer Lilou pour deux sacs de 5 kg ? De quelle masse de pommes de terre
|
||
multiplication ou l’addition, dispose Paul qui a payé 15 € ? »
|
||
retour à l’unité. L’élève sait appliquer ensuite la propriété de linéarité additive pour calculer,
|
||
par exemple, le prix de 12,5 kg de pommes de terre.
|
||
L’élève mobilise les relations entre les nombres entiers et les procédures de
|
||
calcul mental apprises au cours moyen pour résoudre mentalement des
|
||
problèmes du type :
|
||
« Si 10 objets identiques coutent 22 €, combien coutent 15 de ces objets ? ».
|
||
Il mobilise ses connaissances sur les nombres décimaux pour résoudre un
|
||
problème du type : « Si des pommes sont vendues au poids et que 5 kg
|
||
coutent 10,50 €, quel est le prix de 3,5 kg ? ».
|
||
De nombreuses méthodes sont possibles pour résoudre ce problème :
|
||
retour à l’unité, relations multiplicatives (passage de 5 à 35, puis de 35 à 3,5),
|
||
passage par le prix de 500 g ou de 2,5 kg, etc. Elles sont présentées et
|
||
discutées en classe.
|
||
|
||
|
||
18
|
||
• Représenter une situation de Par exemple, dans le problème ci-dessus concernant le prix des pommes de
|
||
proportionnalité à l’aide d’un terre, l’élève représente les données de l’énoncé et de la consigne dans le
|
||
tableau ou de notations tableau :
|
||
symboliques. Masse de pommes de terre (en kg) 2,5 10 12,5 ?
|
||
Prix (en €) 5 ? ? 15
|
||
|
||
Il peut aussi utiliser des flèches :
|
||
► 2,5 kg → 5 € ;
|
||
► 10 kg → ? € ;
|
||
► 12,5 kg → ? € ;
|
||
► ? kg → 15 €
|
||
L’élève verbalise la signification du tableau ou de la notation symbolique :
|
||
par exemple « Le prix de 2,5 kg de pommes de terre est 5 €. »
|
||
• S’initier à la résolution de L’élève verbalise la signification d’une échelle graphique.
|
||
problèmes d’échelles. Par exemple, pour l’échelle graphique ci-dessous, où le segment mesure
|
||
1 cm, la verbalisation peut se faire sous la forme « 1 cm sur le plan
|
||
correspond à 10 m dans la réalité » ou « on a 10 m dans la réalité par
|
||
centimètre sur le plan ».
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève sait utiliser une échelle graphique pour déterminer des longueurs
|
||
réelles à partir de mesures réalisées sur une carte, sur un plan ou sur une
|
||
image (par exemple celle d’une cellule en sciences de la vie et de la Terre).
|
||
Différents modèles d’échelles graphiques peuvent être présentés, par
|
||
exemple :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Initiation à la pensée informatique
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
• Identifier une instruction ou L’élève manipule et identifie des instructions selon le contexte choisi :
|
||
une séquence d’instructions. déplacements élémentaires, opérations mathématiques, etc.
|
||
• Produire et exécuter une Par exemple :
|
||
séquence d’instructions. ► l’élève retrouve parmi plusieurs séquences d’instructions qui lui sont
|
||
fournies, celle qui permet de dessiner un carré.
|
||
► L’élève dispose de cartes figurant les opérations mathématiques
|
||
« ajouter 1 », « multiplier par 2 », « multiplier par 3 » :
|
||
Il les ordonne pour réaliser un programme de calcul, par exemple
|
||
« Multiplier un nombre par 2.
|
||
« Ajouter 1 au résultat.
|
||
« Multiplier par 3 le nouveau résultat. »
|
||
Il exécute ce programme de calcul à partir d’un nombre donné en entrée
|
||
et obtient un nombre en sortie.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
19
|
||
► L’élève interprète le schéma suivant dans lequel les flèches rouges
|
||
représentent le parcours d’un bus. Il dispose de deux cartes
|
||
d’instructions « Aller » et « Tourner dans la direction » ainsi que de cartes
|
||
de lieu et de direction « à la bibliothèque », « à la mairie », « au stade »,
|
||
etc., « Est », « Ouest », etc.
|
||
Il les ordonne pour retranscrire le parcours du bus en une séquence
|
||
d’instructions.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
► À partir du trajet représenté en jaune sur la grille de nombres ci-dessous,
|
||
l’élève produit une séquence d’instructions permettant de se déplacer
|
||
selon le trajet imposé et de calculer la somme des nombres inscrits sur
|
||
les cases par lesquelles il passe.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
• Répéter à la main une Par exemple :
|
||
séquence d’instructions pour ► l’élève identifie et répète une séquence d’instructions pour obtenir une
|
||
accomplir une tâche construction géométrique simple, comme celle d’un carré.
|
||
imposée. ► L’élève identifie que l’instruction « multiplier par 2 » permet de passer
|
||
d’un terme au suivant dans la suite évolutive de nombres : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ;
|
||
etc.
|
||
Il comprend que, pour obtenir le onzième terme de cette suite, il faut
|
||
répéter 10 fois l’instruction « multiplier par 2 ».
|
||
• Programmer la construction À la suite de la résolution, de manière débranchée c’est-à-dire sans outil
|
||
d’un chemin simple. numérique, des exercices ci-dessus, l’élève écrit et exécute un programme
|
||
permettant de dessiner le chemin du bus ou celui du robot.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
20
|
||
|