1010 lines
76 KiB
Plaintext
1010 lines
76 KiB
Plaintext
Exemples de mise en œuvre pour l’enseignement de la résolution
|
||
|
||
de problèmes de la maternelle au CM2 dans le cadre des
|
||
|
||
nouveaux programmes de mathématiques : recommandations
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Ces recommandations sont formulées à partir :
|
||
- des textes officiels :
|
||
|
||
• Programme de mathématiques de cycle 2, Bulletin officiel n° 41 du 31 octobre 2024
|
||
|
||
• Programme de mathématiques de cycle 3, Bulletin officiel n° 16 du 17 avril 2025
|
||
|
||
- des ressources nationales d’accompagnement des programmes :
|
||
|
||
• Exemples pour la mise en œuvre des programmes, CM1, Mathématiques, Exemples de
|
||
réussite, 2025, éduscol
|
||
|
||
• Exemples pour la mise en œuvre des programmes, CM2, Mathématiques, Exemples de
|
||
réussite, 2025, éduscol
|
||
2
|
||
École maternelle (cycle 1)
|
||
|
||
On appelle problème une situation aboutissant à une question dont la réponse, apportée sous forme de
|
||
solution, nécessite un traitement mathématique. La notion de problème suppose également la présence d’un
|
||
obstacle : la réponse à un problème n’est pas immédiate. Elle nécessite la mise en place d’une stratégie. Il en
|
||
résulte qu’un problème à un niveau scolaire n’en est plus un à un niveau scolaire plus élevé. À l’école
|
||
maternelle, les problèmes proposés sont tous des problèmes de nature arithmétique dont la résolution ne
|
||
comporte qu’une seule étape.
|
||
Les élèves prennent plaisir à résoudre ces problèmes, véritables défis à relever, donnant lieu à des mises en
|
||
scène et à des manipulations. Pour résoudre un problème, les élèves sont amenés à chercher, à faire des
|
||
essais, à formuler une réponse et à vérifier qu’elle convient, à recommencer si ce n’est pas le cas et toujours
|
||
à verbaliser les procédures mises à l’œuvre. La résolution de problèmes induit le développement informel du
|
||
sens des opérations, même s’il n’est pas fait appel aux symboles qui les représentent.
|
||
À l’école maternelle, les problèmes relèvent de différentes catégories : problèmes de réunion, d’ajout et de
|
||
retrait (encore connus sous le nom générique de problèmes de parties-tout), de recherche d’écarts
|
||
(comparaison), de groupements ou de partage, de déplacement.
|
||
La résolution de différents problèmes amène les élèves à utiliser une même procédure opératoire dans des
|
||
contextes différents. Si des analogies entre problèmes peuvent être signalées, en revanche, le rattachement
|
||
de chaque problème à une catégorie particulière n’a pas à être présenté aux élèves.
|
||
Les problèmes arithmétiques ne présentent pas tous le même niveau de difficulté : ainsi, les problèmes de
|
||
réunion sont plus accessibles que ceux de groupement ou de partage. Au sein d’une même catégorie, les
|
||
problèmes n’ont pas tous le même niveau d’accessibilité. Ainsi, dans la catégorie des problèmes de réunion,
|
||
les plus accessibles portent sur la recherche de la quantité totale d’une collection quand on connait celle de
|
||
chacune de ses parties. Pour les problèmes d’ajout et de retrait, la recherche de la quantité finale d’une
|
||
collection après un ajout est plus accessible qu’après un retrait. Enfin, ces problèmes peuvent être proposés
|
||
dès que les élèves sont capables de déterminer les quantités impliquées dans le problème.
|
||
Le niveau de difficulté d’un problème dépend aussi de la possibilité d’utiliser ou non du matériel pour en
|
||
réaliser l’action. Au cours des trois années de maternelle, le type de matériel et sa mise à disposition sont
|
||
amenés à évoluer. Auprès des élèves de moins de quatre ans, l’enseignant commence par utiliser lui-même
|
||
du matériel figuratif et à mettre en scène la situation. Il laisse ensuite les élèves faire de même afin qu’ils
|
||
s’approprient l’énoncé. Les objets figuratifs sont progressivement remplacés par des objets symboliques
|
||
permettant une première entrée dans l’abstraction. En fin d’école maternelle, les élèves sont incités à ne
|
||
plus recourir à la manipulation et au dénombrement de collections effectives, mais à des représentations sur
|
||
papier et à des processus mentaux comme le comptage, le surcomptage ou le décomptage, ou l’utilisation
|
||
des compositions et des décompositions des nombres.
|
||
L’enseignant veille à proposer des situations adaptées à l’âge et au développement cognitif des élèves.
|
||
Dès la première année de maternelle, la résolution de problème s’effectue lors de temps courts
|
||
d’enseignement consacrés à cette activité, mais aussi à chaque moment où la situation s’y prête (par exemple
|
||
lors d’activités physiques). À partir du milieu de la scolarité en maternelle, on propose aux élèves des séances
|
||
fréquentes et régulières dédiées à la résolution de problèmes.
|
||
Points de vigilance
|
||
— L’enseignant veille à proposer des problèmes dont certains termes de l’énoncé ne sont pas «
|
||
concordants » avec l’opération à effectuer, afin de ne pas encourager des automatismes erronés en
|
||
lieu et place de la réflexion. Ainsi, à partir de 5 ans, les élèves sont confrontés à des problèmes de
|
||
comparaison comportant la locution « de plus » alors que l’opération à effectuer est une
|
||
soustraction.
|
||
— L’enseignant habitue les élèves à vérifier la justesse des solutions qu’ils proposent, notamment par
|
||
la manipulation.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
1
|
||
À aborder avant 4 ans
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Manifester sa compréhension du problème en réalisant l’action décrite par l’énoncé
|
||
Recherche du tout ou d’une
|
||
avec du matériel figuratif.
|
||
partie dans un problème de
|
||
parties-tout. Percevoir visuellement la solution quand les quantités mises en jeu sont petites.
|
||
Utiliser ses doigts pour compter, surcompter ou décompter.
|
||
Par exemple, si une valise contient deux peluches et que l’enseignant en ajoute une devant
|
||
l’élève et ferme la valise, l’élève est capable de répondre à la question : « Combien y a-t-il
|
||
de peluches dans la valise maintenant ? »
|
||
Par exemple, si dans une boite opaque contenant quatre crayons, l’enseignant en retire
|
||
deux devant l’élève et ferme la boite, l’élève est capable de répondre à la demande «
|
||
J’avais quatre crayons dans la boite. J’en ai retiré deux. Combien y a-t-il de crayons dans la
|
||
boite maintenant ? ».
|
||
|
||
|
||
À partir de 4 ans ou dès que les apprentissages précédents ont pu être observés
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Utiliser des objets figuratifs, puis symboliques, pour réaliser l’action correspondant au
|
||
Rechercher le tout ou une
|
||
problème.
|
||
partie dans un problème de
|
||
Dénombrer une collection par énumération.
|
||
parties-tout.
|
||
Utiliser ses doigts pour compter.
|
||
Trouver une position finale à
|
||
partir d’une position initiale Utiliser ses doigts pour surcompter.
|
||
et d’un déplacement sur une Faire appel aux premières compositions et décompositions des nombres.
|
||
piste du type du jeu de l’oie Répartir des objets en les distribuant un à un dans un problème de partage.
|
||
ou sur la bande numérique. Rechercher le tout ou une partie dans un problème de parties-tout
|
||
Rechercher le tout dans un Par exemple, si l’enseignant place une collection d’objets sur une table, l’élève est capable
|
||
problème de groupements. de la dénombrer. Il peut noter cette quantité sous différentes formes pour la mémoriser
|
||
Rechercher la valeur d’une avant de fermer les yeux pendant que l’enseignant dissimule sous un chapeau une partie
|
||
part dans un problème de de la collection. Il est ensuite capable de trouver la quantité dissimulée sous le chapeau.
|
||
partage équitable. Ou encore, si l’enseignant déclare « Lilou avait cinq kiwis et elle en a mangé deux, combien
|
||
de kiwis lui reste-t-il ? », l’élève est capable de verbaliser la réponse sous une forme du
|
||
type : « Si Lilou avait cinq kiwis et qu’elle en a mangé deux, pour trouver combien de kiwis
|
||
il lui reste, je recule de deux à partir de cinq : quatre ; trois. Il lui reste trois kiwis ». Ou
|
||
encore sous une forme du type : « Comme je sais que cinq, c’est deux et trois, il lui reste
|
||
trois kiwis ».
|
||
Trouver une position finale à partir d’une position initiale et d’un déplacement
|
||
Par exemple, l’élève est capable de préciser la case d’arrivée à partir d’une case de départ
|
||
et du résultat d’un lancer de dé sur un jeu de plateau du type du jeu de l’oie avec des
|
||
contraintes qui imposent de reculer. Le dé peut être à constellations ou chiffré.
|
||
Rechercher le tout dans un problème de groupements
|
||
Par exemple, si l’enseignant positionne devant l’élève trois boites opaques contenant
|
||
chacune deux crayons et qu’il montre successivement le contenu de chacune de ces boites,
|
||
l’élève est capable de trouver le nombre total de crayons.
|
||
Rechercher la valeur d’une part dans un problème de partage
|
||
Par exemple, si l’enseignant déclare « J’ai six gâteaux àpartager équitablement entre deux
|
||
poupées et chacune doit recevoir le plus grand nombre possible de gâteaux », l’élève est
|
||
capable de trouver le nombre de gâteaux que va recevoir chaque poupée. Du matériel est
|
||
éventuellement mis à disposition de l’élève pour lui permettre de mettre en scène la
|
||
situation avant de répondre à la question.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
2
|
||
À partir de 5 ans ou dès que les apprentissages précédents ont pu être observés
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Utiliser des procédures de calcul (comptage, décomptage, surcomptage) pour résoudre
|
||
Déterminer le tout ou une
|
||
un problème parties-tout. Ainsi, pour calculer la quantité d’objets issue de la réunion
|
||
partie dans un problème de
|
||
d’une collection de trois à une collection de cinq objets, l’élève « met le plus grand
|
||
parties-tout (d’abord deux
|
||
nombre dans sa tête » (ici cinq) et surcompte de l’autre nombre (ici trois) en levant les
|
||
parties, puis éventuellement
|
||
doigts : « six, sept, huit ».
|
||
trois).
|
||
Mobiliser la connaissance des compositions-décompositions des nombres.
|
||
Déterminer la quantité
|
||
Distribuer des objets un à un ou deux à deux pour résoudre un problème de partage.
|
||
d’objets ayant été ajoutée
|
||
ou retirée à une collection à Agir par essais et réajustements pour résoudre un problème de partage.
|
||
partir de ses quantités Utiliser une représentation sur papier du problème à résoudre.
|
||
initiale et finale. Déterminer le tout ou une partie dans un problème de parties-tout (d’abord deux parties,
|
||
Déterminer la position finale puis éventuellement trois)
|
||
(respectivement initiale) à Par exemple, si l’enseignant met successivement devant l’élève trois cubes rouges, un cube
|
||
partir de la position initiale bleu et deux cubes verts dans une boite opaque, l’élève est capable de déterminer le
|
||
(respectivement finale) et nombre total de cubes dans la boite.
|
||
d’un déplacement sur une Ou encore, si sept oiseaux sont perchés sur une branche et que trois d’entre eux
|
||
piste du type du jeu de l’oie s’envolent, l’élève est capable de déterminer le nombre d’oiseaux qu’il reste. Dans un
|
||
ou sur la bande numérique. premier temps l’enseignant modélise la situation à l’aide de matériel symbolique : un fil et
|
||
Déterminer le cardinal d’une des pinces à linge. Dans un second temps il fournit à l’élève une représentation symbolique
|
||
collection à partir de celui sur papier. L’élève est alors capable de :
|
||
d’une autre collection et de
|
||
barrer trois des symboles représentant les oiseaux envolés et compter ceux qui restent
|
||
l’écart entre les deux.
|
||
;
|
||
Déterminer le tout dans un
|
||
décompter de trois à partir de sept ;
|
||
problème de groupement
|
||
d’objets. utiliser la décomposition de sept en quatre et trois.
|
||
Déterminer la valeur d’une Déterminer la quantité d’objets ayant été ajoutée ou retirée à une collection à partir de
|
||
part dans un problème de ses quantités initiale et finale
|
||
partage équitable (avec Par exemple, si lors de la recréation huit élèves veulent un vélo alors que seulement deux
|
||
éventuellement un reste). vélos sont sortis, l’élève est capable de préciser le nombre de vélos qu’il faut sortir pour
|
||
que chacun ait un vélo.
|
||
Déterminer le cardinal d’une collection à partir de celui d’une autre et de l’écart entre les
|
||
deux
|
||
Par exemple, l’élève est capable de résoudre le problème suivant, dont l’énoncé est en
|
||
concordance avec l’opération à effectuer : « Pierre a cinq billes. Julie a trois billes de plus
|
||
que Pierre. Combien Julie a-t-elle de billes ? » Il est également capable de résoudre le
|
||
problème suivant, dont l’énoncé est en discordance avec l’opération à effectuer : « Pierre a
|
||
cinq billes. Il a trois billes de moins
|
||
que Julie. Combien Julie a-t-elle de billes ? »
|
||
Déterminer le tout dans un problème de groupements
|
||
Par exemple, si quatre assiettes sont placées sur une table et qu’une grande collection de
|
||
gâteaux (symbolisés par des jetons) est placée sur une autre table éloignée, l’élève est
|
||
capable d’aller chercher en un seul voyage la quantité exacte de gâteaux pour qu’il y ait
|
||
deux gâteaux dans chaque assiette.
|
||
Problèmes de partage en parts égales avec éventuellement un reste
|
||
Par exemple, si deux poupées sont positionnées devant une table et que l’enseignant
|
||
déclare « Je veux partager dix gâteaux entre mes deux poupées pour que chacune reçoive
|
||
le même nombre de gâteaux », l’élève, qui dispose de dix jetons symbolisant les gâteaux,
|
||
est capable de déterminer combien de gâteaux va recevoir chaque poupée.
|
||
Ou encore, l’élève, qui dispose de dix images, est capable de demander le nombre
|
||
d’enveloppes nécessaires pour ranger deux images par enveloppe.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
3
|
||
Cours préparatoire
|
||
|
||
L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à
|
||
résoudre des problèmes de manière autonome.
|
||
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le
|
||
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma suivant. Il constitue
|
||
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution sur laquelle un élève est en
|
||
difficulté :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
|
||
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
|
||
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème par l’élève lui-même,
|
||
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à
|
||
effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes
|
||
qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que
|
||
l’opération à effectuer est une soustraction.
|
||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
|
||
le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui
|
||
vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu.
|
||
Au CP, la phase « Calculer » peut se limiter à réunir deux collections ou à identifier la quantité à retirer d’une
|
||
collection, puis à dénombrer les éléments restants, sans effectuer réellement de calculs.
|
||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
|
||
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
|
||
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
|
||
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
|
||
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
|
||
est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement. La phase d’institutionnalisation
|
||
permet d’expliciter les connaissances en jeu suite à la résolution d’un problème par les élèves (construction
|
||
d’affichages, traces écrites sur les notions importantes).
|
||
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CP,
|
||
à savoir les nombres entiers jusqu’à cent.
|
||
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
|
||
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
|
||
l’ardoise.
|
||
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures répertoriées
|
||
dans le programme. Cela n’exclut pas que des problèmes relevant d’autres structures puissent être
|
||
également être proposés tout au long de l’année.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
4
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes de parties-tout en une étape en mettant en œuvre des
|
||
additifs en une étape du démarches qui évoluent au fil de l’année. Tant que des procédures de calcul ne sont pas
|
||
type parties-tout. disponibles, il peut prendre appui sur des manipulations d’objets tangibles (cubes et barres
|
||
de dix cubes, pièces de monnaie et billets fictifs) symbolisant ce qui est en jeu dans
|
||
l’énoncé, ou sur des représentations schématiques.
|
||
Par exemple, pour le problème « Anna avait 43 cerises. Elle en a mangé 18. Combien Anna
|
||
a-t-elle de cerises maintenant ? », l’élève sait représenter les 43 cerises par quatre barres
|
||
de dix cubes et trois cubes isolés, puis simuler le retrait de 18 cerises en « cassant » une
|
||
barre de dix cubes en dix cubes unités afin d’entourer dix-huit cubes pour obtenir le
|
||
résultat cherché, 25 cerises, en dénombrant sur les cubes qui n’ont pas été entourés.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève traite les problèmes de transformation (ajout, retrait), tels que le problème ci-
|
||
dessus, comme des problèmes de parties-tout.
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
Léa a 53 euros dans son portemonnaie. Elle achète un livre à 7 euros. Combien lui
|
||
reste-t-il ?
|
||
Il y avait 36 oiseaux dans l’arbre. Il n’en reste plus que 21. Combien d’oiseaux se sont
|
||
envolés ?
|
||
Dans la boite, il y avait des bonbons. J’en ai mangé 6 et il en reste encore 21. Combien y
|
||
avait-il de bonbons dans la boite avant que j’en mange ?
|
||
Dans un train comportant trois wagons, il y a 25 passagers dans le premier wagon, 32
|
||
passagers dans le deuxième wagon et 18 dans le troisième wagon. Combien y a-t-il de
|
||
passagers au total dans ce train ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
additifs en deux étapes Il y avait 29 enfants dans un bus. Au premier arrêt, 12 enfants sont descendus. Au
|
||
(champ numérique inférieur deuxième arrêt, 7 enfants sont montés. Combien y a-t-il d’enfants dans le bus
|
||
ou égal à 30). maintenant ?
|
||
Sur le présentoir de la bibliothèque de la classe, il y a 24 livres, dont 7 albums et 6
|
||
bandes dessinées, le reste étant constitué de livres documentaires. Combien y a-t-il de
|
||
livres documentaires ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la valeur d’un
|
||
multiplicatifs en une étape tout composé de plusieurs parties de même valeur, en s’appuyant si besoin sur des
|
||
(champ numérique inférieur manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant chacun des éléments ou sur
|
||
ou égal à 30). des représentations symboliques des objets en jeu (croix, ronds). L’élève peut aussi utiliser
|
||
des additions itérées.
|
||
Par exemple, pour le problème « Paul apporte 3 paquets de biscuits. Il y a 7 biscuits dans
|
||
chaque paquet. Combien y a-t-il de biscuits en tout ? », l’élève peut représenter les biscuits
|
||
de chacun des trois paquets par des croix et dénombrer ensuite l’ensemble des croix, par
|
||
comptage de un en un ou en regroupant par dix les éléments de la collection.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes consistant, dans un partage équitable, à chercher le
|
||
nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la quantité de chaque part, en
|
||
s’appuyant si besoin sur des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant
|
||
les éléments à partager ou sur des représentations symboliques des objets à partager.
|
||
L’élève représente la totalité des éléments (croix, ronds) et entoure des groupes de ces
|
||
|
||
5
|
||
symboles de cardinal égal à la valeur d’une part.
|
||
Par exemple, pour le problème « Il y a 24 élèves dans la classe. Pour participer à des
|
||
rencontres sportives, le professeur constitue des équipes de 4 élèves. Combien y aura-t-il
|
||
d’équipes ? », l’élève peut représenter les vingt-quatre élèves par vingt-quatre croix et
|
||
faire ensuite des groupements de quatre croix pour symboliser les équipes.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part dans un
|
||
partage équitable, en s’appuyant, si besoin, sur des manipulations d’objets tangibles
|
||
(jetons ou cubes) symbolisant des éléments qu’il distribue un à un, équitablement, dans
|
||
chacune des parts. Par exemple, pour le problème « 3 enfants se partagent 18 images.
|
||
Tous les enfants doivent avoir le même nombre d’images. Combien d’images aura chaque
|
||
enfant ? », l’élève sait répartir dix-huit images ou dix-huit jetons qui lui sont fournis en trois
|
||
paquets de six images ou jetons, en les distribuant un à un.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
6
|
||
Cours élémentaire première année
|
||
|
||
L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à
|
||
résoudre des problèmes de manière autonome.
|
||
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le
|
||
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
|
||
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution d’un problème sur laquelle un
|
||
élève est en difficulté :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
|
||
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
|
||
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
|
||
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à
|
||
effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes
|
||
qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que
|
||
l’opération à effectuer est une soustraction.
|
||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
|
||
le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui
|
||
vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu.
|
||
Au CE1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
|
||
au moment où est proposé le problème : manipulation de matériel multibase, schéma représentant du
|
||
matériel multibase, calcul mental ou opération posée.
|
||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
|
||
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
|
||
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
|
||
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
|
||
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
|
||
est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement.
|
||
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE1,
|
||
à savoir les nombres entiers jusqu’à mille.
|
||
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
|
||
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
|
||
l’ardoise.
|
||
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont
|
||
répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être
|
||
proposés tout au long de l’année.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
7
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait s’appuyer, si cela lui est utile, sur un schéma en barre pour
|
||
additifs en une étape de type modéliser ensuite le problème par une addition ou une soustraction.
|
||
parties-tout. Par exemple, pour le problème « Dans mes deux coffres, j’ai 227 billes. J’en ai
|
||
113 dans mon coffre vert. Combien en ai-je dans mon coffre rouge ? », il sait
|
||
construire et utiliser un schéma comme le suivant.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Pour résoudre un problème de transformation (ajout, retrait), l’élève sait
|
||
s’appuyer, si cela lui est utile, sur un schéma en barre. Par exemple, pour le
|
||
problème « Dans ma boite, il y avait des images. J’en ai distribué 56 et il m’en
|
||
reste encore 217. Combien y avait-il d’images dans ma boite avant que j’en
|
||
distribue ? », il sait construire et utiliser un schéma en barre comme le suivant.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève peut aussi choisir de construire un schéma avec un déplacement sur un
|
||
axe :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève comprend que, sur le schéma précédent, l’axe n’est pas chronologique :
|
||
on va vers la droite quand les quantités augmentent et vers la gauche quand les
|
||
quantités diminuent, quel que soit l’ordre des évènements.
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
Un album peut contenir 350 photos. Lucie a 287 photos et Léo en a 72.
|
||
L’album peut-il contenir toutes les photos de Lucie et Léo ?
|
||
Lucie a acheté un pain à 1,20 €, un croissant à 90 centimes et un gâteau à 12
|
||
€. Combien Lucie a-t-elle dépensé ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes additifs de comparaison lorsque deux des
|
||
additifs de comparaison en trois éléments suivants sont donnés et que le troisième est recherché : la valeur
|
||
une étape. de chacune des deux parties comparées et l’écart entre les deux parties. Il sait
|
||
produire, si nécessaire pour soutenir la modélisation, un schéma avec deux
|
||
barres.
|
||
Par exemple, pour le problème « Léo a 188 billes. Lucie en a 75 de plus que Léo.
|
||
Combien Lucie a-t-elle de billes ? », l’élève sait produire et utiliser un schéma
|
||
comme le suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
Dans l’école, il y a 111 garçons et 257 filles. Combien de filles y a-t-il de plus
|
||
que de garçons ?
|
||
Elsa a 15,30 € dans sa tirelire. Elle a 6 € de plus que ce que son frère Noé a
|
||
dans sa tirelire. Quelle somme d’argent Noé a-t-il dans sa tirelire ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
8
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
additifs en deux étapes. Dans la bibliothèque de classe, il y a 83 livres. Le professeur en apporte 18
|
||
de plus. Les élèves en empruntent 27. Combien y a-t-il de livres dans la
|
||
bibliothèque de classe ?
|
||
À la boulangerie, monsieur Milack achète une baguette à 1,15 € et un pain
|
||
aux raisins à 95 centimes. Il donne un billet de 5 €. Combien le vendeur va-t-
|
||
il lui rendre ?
|
||
Pour les problèmes en deux étapes l’élève peut réaliser un schéma pour chaque
|
||
étape.
|
||
Par exemple, pour le problème « À la pâtisserie, madame Martin achète une
|
||
tarte à 17 € et un gâteau à 26 €. Elle donne un billet de 50 € à la vendeuse.
|
||
Combien la vendeuse va-t-elle rendre ? », pour la première étape, l’élève peut
|
||
faire le schéma ci-dessous :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Pour la seconde étape, il peut faire un deuxième schéma comme le suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la
|
||
multiplicatifs en une étape. valeur du tout, en s’appuyant, selon la période de l’année et selon les nombres
|
||
en jeu, sur :
|
||
des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant chacun
|
||
des éléments ;
|
||
des représentations symboliques (croix, ronds) des objets en jeu ;
|
||
des schémas en barre, par exemple, pour le problème « Paul apporte huit
|
||
paquets de biscuits. Il y a sept biscuits dans chaque paquet. Combien y-a- t-il
|
||
de biscuits en tout ? », l’élève peut effectuer le schéma suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
sa maîtrise du calcul mental, par exemple pour résoudre un problème
|
||
comme le suivant : « Un client achète 10 paquets de 25 gâteaux. Combien a-
|
||
t-il acheté de gâteaux ? ».
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes consistant, dans un partage équitable, à
|
||
chercher le nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la
|
||
quantité contenue dans chaque part, en s’appuyant, selon la période de
|
||
l’année et selon les nombres en jeu, sur :
|
||
des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant les
|
||
éléments à partager. L’élève répartit les objets entre des groupes ayant tous
|
||
pour cardinal la valeur donnée d’une part. Il lui reste à dénombrer les
|
||
groupes formés ;
|
||
des représentations symboliques des objets à partager. L’élève représente
|
||
la totalité des symboles (croix, ronds), organise la collection en groupes et
|
||
dénombre les groupes ainsi formés ;
|
||
des schémas en barre, par exemple, pour le problème « Il y a 60 élèves en
|
||
CE1 dans l’école. Pour participer à un rallye mathématique, la directrice
|
||
constitue des équipes de 5 élèves. Combien y-aura-t-il d’équipes ? », l’élève
|
||
peut effectuer le schéma suivant :
|
||
|
||
9
|
||
sa maitrise du calcul mental.
|
||
L’élève sait, par exemple, résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
Je veux ranger mes 189 photos dans un album. Je peux ranger 10 photos par
|
||
page. Combien de pages me faut-il pour ranger toutes mes photos ?
|
||
Un fermier a 75 œufs à vendre au marché. Il les vend par boites de 6 œufs.
|
||
Combien de boites va-t-il pouvoir vendre ?
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part
|
||
dans le cadre d’un partage équitable, en s’appuyant, selon la période de l’année
|
||
et selon les nombres en jeu, sur :
|
||
des manipulations d’objets tangibles (jetons, cubes) symbolisant chacun des
|
||
éléments qu’il distribue un à un, équitablement, dans chacune des parts ;
|
||
des représentations symboliques des objets en jeu, en représentant un à un
|
||
les objets mentionnés (croix, ronds), en les plaçant successivement dans
|
||
chacune des parts, jusqu’à l’obtention du nombre total d’éléments à
|
||
distribuer. Par exemple, pour le problème « Trois enfants se partagent 18
|
||
images. Chaque enfant doit avoir le même nombre d’images. Combien
|
||
d’images aura chaque enfant ? », l’élève sait inscrire 18 croix en les
|
||
distribuant successivement à chacun des enfants ;
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
sa maîtrise du calcul mental.
|
||
L’élève sait, par exemple, résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
Dans l’école, il y a 200 élèves. Les professeurs veulent constituer 40 équipes
|
||
comportant toutes le même nombre d’élèves. Combien y aura-t-il d’élèves
|
||
par équipe ?
|
||
Enzo veut partager 9,60 euros avec ses deux sœurs de façon à ce que
|
||
chacun des trois enfants dispose du même montant. Combien doit-il donner
|
||
à chacune de ses sœurs ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :
|
||
mixtes en deux étapes (une Abi achète sept litres d’huile à deux euros le litre. Elle donne vingt euros au
|
||
étape additive et une étape vendeur. Combien le vendeur va-t-il lui rendre ?
|
||
multiplicative). Un cahier coute quatre euros et un protège-cahier deux euros. Jérôme doit
|
||
acheter vingt cahiers et autant de protège-cahiers. Quel sera le montant de
|
||
la facture ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
10
|
||
Cours élémentaire deuxième année
|
||
|
||
L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à
|
||
résoudre des problèmes de manière autonome.
|
||
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le
|
||
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
|
||
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution sur laquelle un élève est en
|
||
difficulté :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
|
||
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
|
||
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
|
||
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à
|
||
effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes
|
||
qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que
|
||
l’opération à effectuer est une soustraction.
|
||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
|
||
le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui
|
||
vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu.
|
||
Au CE2, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
|
||
au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
|
||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
|
||
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
|
||
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
|
||
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
|
||
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
|
||
est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement.
|
||
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE2,
|
||
à savoir les nombres entiers jusqu’à 10 000. Le champ numérique dépend cependant fortement de la
|
||
structure mathématique du problème : plus cette structure est complexe, plus le champ numérique est
|
||
réduit. Les problèmes à la structure la plus complexe (nombre d’étapes supérieur à deux, problèmes
|
||
atypiques) portent sur un champ numérique inférieur à 100.
|
||
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
|
||
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
|
||
l’ardoise.
|
||
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont
|
||
répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être
|
||
proposés tout au long de l’année.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
11
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Résoudre des problèmes Dans la continuité de ce qui a été mené en CE1, l’élève résout des problèmes
|
||
additifs en une étape de additifs en une étape en s’appuyant, si nécessaire, sur des schémas en barre ou
|
||
types parties-tout et des schémas avec un déplacement sur un axe pour les problèmes de
|
||
comparaison. transformation.
|
||
Les élèves résolvent notamment :
|
||
des problèmes en une étape avec des nombres entiers supérieurs à 1 000 ;
|
||
des problèmes impliquant des prix écrits sous forme de nombres à virgule ;
|
||
des problèmes avec des additions ou des soustractions de fractions ayant le
|
||
même dénominateur.
|
||
Résoudre des problèmes L’élève continue de résoudre des problèmes comme ceux rencontrés au CE1,
|
||
additifs en deux étapes. mais le champ numérique sur lequel ils portent est plus étendu.
|
||
L’élève rencontre des problèmes de comparaison qui se traitent en deux étapes.
|
||
Il s’agit de problèmes impliquant la valeur du tout et nécessitant donc une étape
|
||
supplémentaire, comme : « Léo a 188 billes. Lucie en a 75 de plus que Léo.
|
||
Combien les deux enfants ont-ils de billes en tout ? ». L’élève sait produire un
|
||
schéma comme le suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’élève calcule d’abord le nombre de billes de Lucie, puis le nombre total de
|
||
billes.
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève continue de résoudre des problèmes comme ceux rencontrés au CE1.
|
||
multiplicatifs en une étape. Au CE2, seuls les élèves rencontrant des difficultés continuent de manipuler du
|
||
matériel tangible, mais la plupart des élèves continuent d’utiliser, si cela les aide,
|
||
des schémas pour soutenir la modélisation mathématique.
|
||
Le développement des compétences en calcul, en particulier pour la
|
||
multiplication, conduit à étendre le champ numérique sur lequel portent les
|
||
problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la valeur du tout.
|
||
En revanche, les problèmes consistant, dans un partage équitable, à chercher le
|
||
nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la quantité
|
||
contenue dans chaque part, continuent de porter sur un champ numérique
|
||
réduit.
|
||
Pour les problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part dans le cadre
|
||
d’un partage équitable, l’élève peut s’appuyer sur un schéma en barre pour
|
||
faciliter la modélisation mathématique du problème ainsi que sur sa
|
||
connaissance des tables de multiplication.
|
||
Pour résoudre le problème « La maitresse de CE2 a acheté six dictionnaires pour
|
||
la classe. Elle a payé 72 €. Quel est le prix d’un dictionnaire ? », l’élève peut
|
||
réaliser le schéma suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions
|
||
mixtes en deux ou trois et des multiplications, comme le suivant : « Dans un restaurant, il y a 4 tables de
|
||
étapes. 6 personnes et 7 tables de 4 personnes. Combien ce restaurant peut-il recevoir
|
||
de clients ? »
|
||
Résoudre des problèmes de L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les
|
||
comparaison multiplicative distingue des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les
|
||
en une étape. problèmes de comparaison additive.
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes comme le suivant : « Une trottinette coute
|
||
|
||
12
|
||
quatre fois plus cher qu’un casque. Le casque coute 32 €. Combien coute la
|
||
trottinette ? »
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait produire un tableau pour
|
||
mettant en jeu des produits déterminer le nombre de couples possibles
|
||
cartésiens. dans le cas d’un produit cartésien de deux
|
||
ensembles. Par exemple, pour le problème
|
||
« Une poupée est livrée avec trois
|
||
pantalons et sept teeshirts. De combien de
|
||
façons est-il possible d’habiller la poupée
|
||
? », l’élève peut produire un tableau faisant
|
||
apparaitre les vingt-et-une solutions.
|
||
L’élève sait produire un arbre pour déterminer le
|
||
nombre de solutions possibles lors d’un produit
|
||
cartésien impliquant plus de deux ensembles. Par
|
||
exemple, pour le problème « Pour se déguiser, un
|
||
clown dispose de deux chapeaux (un rouge et un
|
||
bleu), de trois teeshirts (un violet, un noir et un
|
||
jaune) et de deux pantalons (un gris et un vert).
|
||
Combien de costumes complets différents avec un
|
||
chapeau, un teeshirt et un pantalon, le clown
|
||
peut-il faire ? », l’élève peut produire un arbre
|
||
faisant apparaitre les douze solutions.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
13
|
||
Cours moyen première année
|
||
|
||
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer
|
||
l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le
|
||
modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
|
||
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur
|
||
lesquelles un élève est en difficulté :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
|
||
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
|
||
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
|
||
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance
|
||
d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont
|
||
l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant
|
||
le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.
|
||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
|
||
le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel
|
||
tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin
|
||
d’identifier le modèle mathématique en jeu.
|
||
Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
|
||
au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
|
||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
|
||
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
|
||
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
|
||
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
|
||
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
|
||
est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur
|
||
d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
|
||
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.
|
||
Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM1, à savoir les
|
||
nombres entiers jusqu’à 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend
|
||
cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ
|
||
numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et de permettre aux élèves de se concentrer
|
||
sur la structure du problème.
|
||
Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
|
||
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
|
||
l’ardoise.
|
||
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont
|
||
répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également
|
||
être proposés tout au long de l’année.
|
||
|
||
|
||
|
||
14
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Résoudre des problèmes Dans la continuité de ce qui a été mené au cycle 2, l’élève résout des problèmes
|
||
additifs en une étape des additifs en une étape en s’appuyant, si nécessaire, sur des schémas en barre ou
|
||
types « parties-tout » et des schémas avec un déplacement sur un axe pour les problèmes de
|
||
« comparaison ». transformation.
|
||
L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des nombres décimaux.
|
||
L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des fractions, lorsque les
|
||
opérations à effectuer font partie des attendus du CM1. Par exemple, il sait
|
||
résoudre les problèmes suivants :
|
||
37
|
||
Anaël a construit une bande de papier mesurant cm et Léna a construit
|
||
10
|
||
3
|
||
une bande papier mesurant 4 + cm. Quelle est la bande la plus longue ?
|
||
10
|
||
Quel est l’écart de longueur entre les deux bandes de papier ?
|
||
Ethan a acheté des pommes et des poires. Il a acheté 3,4 kg de pommes. Il a
|
||
acheté 6 kg de fruits en tout. Quelle masse de poires a-t-il achetée ?
|
||
Alix mesure 1,61 m. Elle mesure 13 cm de plus que Bruno. Quelle est la taille
|
||
de Bruno ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève continue de résoudre des problèmes additifs en plusieurs étapes, comme
|
||
additifs en deux ou trois ceux rencontrés au cycle 2, mais le champ numérique sur lequel ils portent est
|
||
étapes. plus étendu (grands entiers et nombres décimaux), par exemple, le problème
|
||
suivant :
|
||
Agathe a parcouru 17 km en 1 h 30 min Elle a parcouru 8,4 km pendant la
|
||
première demi-heure, puis 3,8 km pendant la deuxième demi-heure. Quelle
|
||
distance a parcourue Agathe pendant la dernière demi-heure ?
|
||
L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui
|
||
se traitent en deux étapes. Il s’agit de problèmes impliquant la valeur des deux
|
||
quantités ou grandeurs réunies ainsi que leur écart et nécessitant donc une
|
||
étape supplémentaire, par exemple : « Léo a 25,60 €. Lucie a 7,55 € de plus que
|
||
Léo. Combien d’euros les deux enfants ont-ils en tout ? ». L’élève peut s’appuyer
|
||
sur un schéma en barres comme le suivant pour s’aider lors de la modélisation
|
||
du problème :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève continue de résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux
|
||
multiplicatifs de type rencontrés au cycle 2, mais dont le champ numérique est plus étendu.
|
||
« parties-tout » en une Pour résoudre le problème « La maitresse de CM1 a acheté six dictionnaires
|
||
étape. pour la classe. Chaque dictionnaire coute 17,85 €. Quel montant a-t-elle dû
|
||
payer pour les six dictionnaires ? », l’élève peut réaliser le schéma suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Pour les problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part ou le nombre de
|
||
parts dans le cadre d’un partage équitable, l’élève sait s’appuyer sur un schéma
|
||
pour faciliter la modélisation mathématique du problème ainsi que sur sa
|
||
connaissance des tables de multiplication.
|
||
Résoudre des problèmes de L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les
|
||
comparaison multiplicative. distingue des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les
|
||
problèmes de comparaison additive.
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative se traitant en
|
||
une étape.
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant
|
||
deux étapes comme : « Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette
|
||
|
||
|
||
15
|
||
coute quatre fois plus cher que le casque. Le casque coute 32 €. Combien doit
|
||
payer Axel ? »
|
||
L’élève peut s’appuyer sur un schéma en barre comme le suivant pour s’aider
|
||
lors de la modélisation du problème :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions,
|
||
mixtes en deux ou trois des multiplications et des divisions comme, par exemple, le suivant : Izmir
|
||
étapes. achète trois pains aux raisins pesant chacun 210 grammes et deux bouteilles
|
||
d’eau pesant 1,6 kilogramme chacune. Quelle est la masse
|
||
totale des achats d’Izmir ?
|
||
Résoudre des problèmes de L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre
|
||
dénombrement. d’éléments d’un ensemble et qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une
|
||
des quatre opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer
|
||
selon une organisation permettant à la fois de les compter tous, une et une
|
||
seule fois, sans oubli ni redondance.
|
||
Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, à un arbre ou à une liste organisée
|
||
pour résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants :
|
||
Félicien veut habiller son ours en peluche avec un teeshirt et un pantalon. Il
|
||
dispose de six teeshirts différents et de trois pantalons différents. De
|
||
combien de façons différentes Félicien peut-il habiller son ours ?
|
||
Coumba lance deux dés classiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
|
||
Elle ajoute les deux nombres. Donne la liste de tous les résultats qu’elle peut
|
||
obtenir.
|
||
Karnish veut fabriquer un jeu de dominos. Dans son jeu, chaque domino doit
|
||
être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 4 et il ne peut
|
||
pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de
|
||
dominos que peut contenir ce jeu ?
|
||
Attention ! Le domino est le même que le domino .
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale
|
||
d’optimisation. parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes, comme les problèmes
|
||
suivants.
|
||
Ilyes veut réaliser des bracelets. Pour un bracelet, il lui faut un fil de longueur
|
||
12 cm, cinq perles blanches, six perles vertes et trois perles rouges.
|
||
Il dispose de :
|
||
- 10 fils de longueur 12 cm ;
|
||
- 48 perles blanches ;
|
||
- 47 perles vertes ;
|
||
- 25 perles rouges.
|
||
Quel est le nombre maximal de bracelets qu’il peut réaliser ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
16
|
||
Cours moyen deuxième année
|
||
|
||
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer
|
||
l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le
|
||
modèle de la résolution de problèmes en quatre phases, synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue
|
||
notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur
|
||
lesquelles un élève est en difficulté :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème,
|
||
l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette
|
||
compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même,
|
||
en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance
|
||
d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont
|
||
l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant
|
||
le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.
|
||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver
|
||
le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel
|
||
tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin
|
||
d’identifier le modèle mathématique en jeu.
|
||
Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves
|
||
au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
|
||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème
|
||
initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec
|
||
la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste
|
||
notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de
|
||
jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons,
|
||
est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur
|
||
d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
|
||
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.
|
||
Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM2, à savoir les
|
||
nombres entiers jusqu’à 999 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend
|
||
cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ
|
||
numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et permettre aux élèves de se concentrer
|
||
sur la structure du problème.
|
||
Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des
|
||
problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur
|
||
l’ardoise.
|
||
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont
|
||
répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également
|
||
être proposés tout au long de l’année.
|
||
|
||
|
||
|
||
17
|
||
Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite
|
||
Résoudre des problèmes Dans la continuité de ce qui a été mené au CM1, l’élève résout des problèmes
|
||
additifs en une ou additifs (parties-tout) en une ou plusieurs étapes en s’appuyant, si nécessaire, sur
|
||
plusieurs étapes. des schémas en barre ou des schémas avec un déplacement sur un axe.
|
||
« Qassim a acheté un reblochon à 9 €, une tranche de Beaufort à 13,85 € et un
|
||
camembert. Il a donné un billet de 50 € au fromager qui lui a rendu 21,45 €.
|
||
Quel est le prix du camembert ? ».
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
D’autres schémas sont possibles comme par exemple :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
ou encore un schéma par étape :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Côme est allé faire des courses ce matin. Il est d’abord passé devant la banque
|
||
où il a retiré 40 € au distributeur automatique. Il est ensuite passé à la boucherie
|
||
où il a acheté un rôti coutant 17,80 €. Quand il rentré chez lui, il a constaté qu’il
|
||
lui restait 31,40 €. Quelle somme d’argent Côme avait-il sur lui en sortant ce
|
||
matin ?
|
||
L’axe peut être chronologique, c’est-à-dire qu’on se déplace vers la droite au fur
|
||
et à mesure des actions :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
ou numérique, c’est-à-dire qu’on va vers la droite quand la somme d’argent que
|
||
Côme a sur lui augmente, et vers la gauche quand elle diminue :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
5
|
||
Yseult partage une pizza avec son frère et sa sœur. Elle donne de la pizza à sa
|
||
12
|
||
1
|
||
grande sœur et de la pizza à son petit frère. Quelle fraction de la pizza Yseult a-
|
||
4
|
||
t-elle gardée pour elle ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
18
|
||
L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui se
|
||
traitent en deux étapes. Il peut, par exemple, s’agir de problèmes impliquant la
|
||
valeur de la réunion des deux quantités ou grandeurs réunies et nécessitant donc
|
||
une étape supplémentaire, comme :
|
||
Léo et Lucie ont 43,40 € à eux deux. Lucie a 7,80 € de plus que Léo. Combien
|
||
chaque enfant a-t-il d’euros ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux rencontrés au
|
||
multiplicatifs de type CM1, mais dont le champ numérique est plus étendu. Les problèmes mettant en jeu
|
||
« parties-tout » en une des divisions concernent, dans un partage équitable, la recherche de la valeur d’une
|
||
étape. part, mais aussi celle de la recherche du nombre de parts lorsque la valeur d’une
|
||
part est un nombre entier inférieur ou égal à 10.
|
||
L’élève sait, pour faciliter la modélisation mathématique du problème, s’appuyer sur
|
||
un schéma.
|
||
Pour trouver la valeur d’une part dans un problème comme le suivant : « La
|
||
maitresse de CM2 a acheté six dictionnaires pour la classe. Elle a payé 73,20 €.
|
||
Quel est le prix d’un dictionnaire ? », l’élève peut, par exemple, réaliser le
|
||
schéma suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Pour trouver le nombre de parts dans un problème comme le suivant : « Lors
|
||
d’une fête de village, monsieur Dupin vend des sandwichs. Chaque sandwich est
|
||
vendu avec une boisson pour un montant total de 7 €. À la fin de la journée, la
|
||
recette de monsieur Dupin est de 2 611 €. Combien de sandwichs monsieur
|
||
Dupin a-t-il vendus ? », l’élève peut, par exemple, réaliser le schéma suivant :
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions, des
|
||
mixtes en plusieurs multiplications et des divisions, comme le suivant : Romy achète trois pains aux
|
||
étapes. raisins à 1,35 euros l’un et sept chaussons aux pommes. Elle donne un billet de 20 €
|
||
au boulanger qui lui rend 7,90 €. Quel est le prix d’un chausson aux pommes ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les distingue
|
||
de comparaison des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les problèmes de
|
||
multiplicative. comparaison additive.
|
||
L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant
|
||
plusieurs étapes, comme le suivant : « Axel achète une trottinette et un casque. La
|
||
trottinette coute quatre fois plus cher que le casque. Axel paie 161,25 €. Combien
|
||
coute la trottinette ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
19
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments
|
||
de dénombrement. d’un ensemble et qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une des quatre
|
||
opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer selon une
|
||
organisation permettant de les compter tous, une et une seule fois, sans oubli ni
|
||
redondance.
|
||
Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, un arbre ou une liste organisée pour
|
||
résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants :
|
||
Telma a lancé une pièce de monnaie trois fois de suite. Elle a obtenu les
|
||
résultats suivants :
|
||
1er lancer 2e lancer 3e lancer
|
||
Face Face Pile
|
||
Trouve tous les résultats qu’elle aurait pu obtenir.
|
||
Arthur veut fabriquer un jeu de dominos. Dans ce jeu chaque domino doit être
|
||
composé de deux nombres de points compris entre 0 et 6 et il ne peut pas y
|
||
avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de dominos que
|
||
peut contenir ce jeu ?
|
||
Attention : le domino est le même que le domino .
|
||
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale
|
||
d’optimisation. parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes, comme les problèmes
|
||
suivants.
|
||
Madame Lidon souhaite réaliser des étagères. Pour une étagère, il lui faut une
|
||
planche de deux mètres, deux équerres et neuf vis.
|
||
Elle dispose de :
|
||
- 6 planches de cinq mètres ;
|
||
- 40 équerres ;
|
||
- 120 vis.
|
||
Quel est le nombre maximal d’étagères que peut fabriquer madame Lidon ?
|
||
Azmar veut fabriquer des torchons avec un reste de tissu et un reste de ruban.
|
||
Il veut fabriquer des torchons rectangulaires de 80 cm de longueur et 50 cm de
|
||
largeur autour desquels il souhaite coudre du ruban.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Le reste de tissu dont dispose Azmar est un rectangle qui mesure 3 m de
|
||
longueur et 2,40 m de largeur et il a 50 m de ruban.
|
||
Quel est le nombre maximum de torchons que peut fabriquer Azmar ?
|
||
Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre un problème consistant à rechercher toutes les solutions
|
||
préparant à l’utilisation vérifiant certaines conditions parmi un ensemble de cas possibles. Il sait organiser sa
|
||
d’algorithmes. recherche de façon à assurer l’exhaustivité de sa réponse.
|
||
L’élève sait par exemple résoudre des problèmes comme les suivants.
|
||
Trouver toutes les dimensions possibles pour les rectangles ayant des côtés
|
||
mesurant un nombre entier de centimètres et ayant une aire égale à 60 cm².
|
||
Alice a 100 œufs qu’elle veut ranger dans des boites. Elle a vingt boites de 6
|
||
œufs et vingt boites de 10 œufs. Elle veut que tous les œufs soient dans des
|
||
boites et que toutes les boites soient pleines. Quelles sont toutes les solutions
|
||
possibles ?
|
||
Il y a 30 élèves dans une classe de CM2. Le maitre veut faire des groupes
|
||
comportant tous le même nombre d’élèves. Il souhaite qu’il y ait un nombre
|
||
impair d’élèves dans chaque groupe. Quelles sont toutes les solutions
|
||
possibles ?
|
||
|
||
|
||
|
||
20
|
||
|