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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
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MATHÉMATIQUES
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Nombres et calculs
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Le calcul aux cycles 2 et 3
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Introduction
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Aux cycles 2 et 3, les calculs sont menés sous différentes formes (calcul mental, calcul en
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ligne, calcul posé, calcul instrumenté) souvent utilisées en interaction et complémentaires
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les unes des autres. Le temps consacré à l’apprentissage de chacune de ces formes doit
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permettre d’atteindre les attendus de fin de cycles dans le champ « nombres et calcul ».
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Si la pratique des différentes formes de calcul est menée dans le cadre de la résolution de
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problèmes, les connaissances visées, en termes de capacités techniques et de procédures,
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ne peuvent s’acquérir, notamment pour le calcul mental et le calcul en ligne, qu’en y
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consacrant des temps spécifiques quotidiens, comprenant des explicitations orales précises
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et d’institutionnalisations écrites notées dans les cahiers des élèves.
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Calcul mental
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Le calcul mental est une modalité de calcul sans recours à l’écrit si ce n’est, éventuellement,
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pour l’énoncé proposé par l’enseignant et la réponse fournie par l’élève. Il n’est pas exclu non
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plus que la correction, elle, soit écrite pour être discutée de façon collective.
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Calcul en ligne
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Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Il se distingue à la fois :
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• du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire
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des étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire ;
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• du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme, c’est-
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à-dire d’une succession d’étapes utilisées tout le temps dans le même ordre et de la même
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manière indépendamment des nombres en jeu.
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L’énoncé est donné par le professeur à l’oral ou à l’écrit ; le résultat est donné par l’élève à l’écrit.
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Le calcul en ligne est travaillé, d’une part en complément du calcul mental, pour faciliter
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l’apprentissage des démarches et la mémorisation des propriétés des nombres et des
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opérations, et d’autre part pour permettre d’effectuer, sans recours à un algorithme de calcul
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posé, des calculs trop complexes pour être intégralement traités mentalement. Par exemple :
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58 + 17 = 58 + 20 – 3 = 78 – 3 = 75, ou 12 × 62 = 620 + 124 = 744.
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Calcul posé
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Le calcul posé est une modalité de calcul écrit consistant à l’application d’un algorithme
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opératoire (par exemple celui de la multiplication entre nombres décimaux).
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Calcul instrumenté
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Le calcul instrumenté est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils,
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ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur, etc.).
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CYCLES 3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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Objectifs
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Les cadres d’utilisation et objectifs des différentes modalités de calcul sont spécifiques.
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Calcul mental et calcul en ligne
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Le calcul mental et le calcul en ligne sont pratiqués pour :
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• construire puis travailler la compréhension de la notion de nombre et des propriétés de
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notre numération décimale de position ;
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• développer la connaissance des nombres ;
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• travailler le sens des opérations ;
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• découvrir et utiliser les propriétés des opérations ;
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• développer des habiletés calculatoires ;
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• construire progressivement des faits numériques et des procédures élémentaires qui seront
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utiles pour mener des calculs posés et permettront de traiter des calculs (mentaux ou en
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ligne) plus complexes ;
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• développer des compétences dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple au
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niveau du choix des opérations.
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Via le calcul mental et le calcul en ligne, on apprend aussi à déterminer un ordre de grandeur
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et à pratiquer le calcul approché. Cette capacité est particulièrement utile pour contrôler un
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résultat et développer l’esprit critique.
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Calcul posé
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Le calcul posé permet de disposer d’une méthode de calcul sécurisante, car elle permet de
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garantir l’obtention d’un résultat.
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Le calcul posé donne l’occasion de réinvestir les faits numériques (tables d’addition et de
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multiplication en particulier) et les connaissances sur la numération.
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Le calcul posé permet l’étude du fonctionnement d’algorithmes complexes à partir de leur
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mise en pratique.
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Calcul instrumenté
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Lors de la résolution d’un problème pouvant donner lieu à des calculs complexes, l’utilisation
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d’une calculatrice permet de libérer l’esprit et de centrer la réflexion sur l’élaboration d’une
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démarche de résolution.
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Dans les situations de calculs répétitifs (tests, essais, ajustements), les instruments
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technologiques (calculatrice, tableur, logiciels) se révèlent pertinents. L’utilisation de ces outils
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nécessite un apprentissage spécifique qui doit se faire de manière progressive.
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Dans le cadre du développement de l’esprit critique, l’élève apprend à utiliser la calculatrice
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pour vérifier les résultats obtenus à l’issue d’un calcul mental, en ligne ou posé.
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Progressivité des apprentissages
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Les compétences en calcul se développent progressivement tout au long des quatre cycles de
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l’école et du collège.
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• Au cycle 1, les premiers travaux pour établir des collections de cardinaux donnés, pour
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compter, pour comparer des collections, pour établir le cardinal de deux collections réunies,
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ou le cardinal d’une collection à laquelle on a enlevé des objets, etc., sont nécessaires pour
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la construction de la notion de nombre, et sont aussi les premiers apprentissages du calcul.
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• Au cycle 2, le calcul mental et le calcul en ligne opèrent dans des contextes numériques qui
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se complexifient progressivement en jouant sur différentes variables : taille des nombres,
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variété des décompositions, relations entre les nombres, etc. ; progressivement, une plus
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Retrouvez Éduscol sur grande variété de faits numériques et de procédures de calcul élémentaires est mobilisée.
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CYCLES 3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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Les signes opératoires +, -, × sont utilisés.
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En calcul posé, on découvre les algorithmes de calcul de l’addition, la soustraction et la
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multiplication, lorsque le calcul mental et le calcul en ligne ont montré leurs limites en termes
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d’efficacité.
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• Au cycle 3, en calcul mental et en ligne, la complexification des contextes numériques se
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poursuit. Parmi les variables, interviennent désormais en plus de celles citées précédem-
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ment, la nature des nombres (nombres entiers, nombres décimaux) et leurs différentes
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écritures (fraction décimale, décompositions, écriture à virgule).
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En calcul posé, les algorithmes des quatre opérations sont travaillés avec des nombres entiers
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et décimaux. Pour la division, le diviseur ne peut être qu’un entier.
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Les fonctions de base de la calculatrice (utilisation des quatre opérations) sont introduites
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pour obtenir ou vérifier un résultat.
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• Au cycle 4, le calcul mental et le calcul posé portent sur les différents types de nombres
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étudiés : nombres décimaux relatifs, nombres rationnels. L’étude du calcul numérique est
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étendue progressivement au calcul littéral.
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Le calcul littéral s’appuie, entre autres, sur les compétences développées dans le cadre du
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calcul en ligne aux cycles précédents, en mêlant des calculs effectués mentalement et un
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support écrit soulageant la mémoire de travail.
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La calculatrice est utilisée pour effectuer des calculs complexes ; des fonctions plus évoluées
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de cet outil sont introduites (puissance, fraction, inverse, trigonométrie, racine carrée). Le
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tableur devient progressivement un outil d’investigation, de traitement et de représentation.
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Stratégies d’enseignement
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La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps d’apprentissage et
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d’entrainement est plus importante que celle accordée au calcul posé.
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Les différentes formes de calcul sont travaillées dans le cadre de la résolution de problème,
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mais aussi pour elles-mêmes dans des temps spécifiques d’apprentissage, d’entrainement et
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d’évaluation.
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Calcul mental et calcul en ligne
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Des activités d’apprentissage ou d’entrainement sont proposées quotidiennement en
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diversifiant les modalités. Un énoncé donné à l’écrit (en vidéoprojection ou sur feuille) plutôt
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qu’à l’oral allège la mobilisation de la mémoire de travail. Chaque séance d’entrainement
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permet à l’élève de s’autoévaluer et à l’enseignant d’effectuer une prise d’information, de
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façon globale, sur les acquis et les points nécessitant un travail d’explicitation complémentaire
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ou de nouveaux entrainements.
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L’évaluation des acquis des élèves est réalisée régulièrement, mais non systématiquement et
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l’évaluation d’une connaissance (d’une procédure particulière, d’un fait numérique, etc.) est
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toujours précédée de temps d’apprentissage, d’institutionnalisation et d’entraînement.
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Une programmation des apprentissages est nécessaire sur chacun des cycles. Au sein de
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celle-ci, le calcul mental et le calcul en ligne sont travaillés conjointement.
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Une large place est donnée à la différenciation :
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• des situations différentes, adaptées aux différents profils d’élèves, peuvent vivre simultanément ;
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• un élève fragile entrera plus aisément dans la pratique du calcul mental si la possibilité lui
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est donnée d’écrire des étapes ou des résultats intermédiaires ;
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• le calcul en ligne permet aussi aux élèves performants en calcul mental d’effectuer des
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calculs plus complexes sans les poser.
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CYCLES 3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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Lors des activités d’apprentissage et d’entrainement, des temps de mise en commun sont
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régulièrement organisés ; ils permettent d’amener les élèves à expliciter oralement leurs
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démarches, qu’elles soient correctes ou erronées, abouties ou non, en s’appuyant sur leurs
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écrits éventuels. La validation est dévolue à la classe, à l’issue d’un débat. L’utilisation d’un
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visualiseur est propice à ces mises en commun.
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Un temps de synthèse permet ensuite l’élaboration collaborative et progressive d’une trace
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écrite ; évolutive sur la durée du cycle, elle sera conservée dans un document de type « recueil
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d’écrits de savoir ».
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Les connaissances développées dans le cadre du calcul mental et du calcul en ligne
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(particularités des nombres, propriétés des opérations, procédures numériques de base, etc.)
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servent de point d’appui pour en construire de nouvelles.
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Chaque élève mémorise ou automatise ces savoirs qui s’enrichissent petit à petit et donnent
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davantage d’efficacité aux démarches de calcul qu’il met en œuvre.
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Calcul posé
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Pour chaque opération, le calcul posé n’est introduit qu’en aval d’activités proposées en calcul
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mental ou en ligne. Cet apprentissage doit être mené en relation étroite avec la poursuite du
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travail mené en calcul mental et en ligne.
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L’entrainement au calcul posé est prévu dans la durée, de façon filée plutôt que massée.
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Pour faire progresser les élèves en calcul posé, il est important de développer chez chacun
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d’eux, une attitude réflexive face à l’origine de ses erreurs. Des activités d’analyse de
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productions erronées ou non abouties sont pour cela efficaces (l’utilisation d’un visualiseur est
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adaptée).
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Le choix des algorithmes de calcul posé travaillés tout au long de la scolarité d’un élève doit
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être cohérent, par exemple :
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Où positionne-t-on les retenues pour les additions et les multiplications ?
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Quel algorithme choisit-on pour la soustraction ? (« par cassage », « par compléments »,
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« par ajouts simultanés », etc.). Ceci ne signifie pas que la trace écrite ne peut pas évoluer,
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ainsi pour la division les soustractions peuvent ne plus apparaître et être effectuées
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mentalement quand le diviseur est simple et que l’élève est en mesure de gérer ces
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soustractions mentalement.
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Calcul instrumenté
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Le matériel est présenté et son utilisation est explicitée. Il est ensuite mis à disposition des
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élèves pour être utilisé en fonction des besoins. Pour être efficace, son utilisation doit être
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régulière.
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Analyse de l’activité mathématique des élèves : place des compétences
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travaillées
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Au-delà de la compétence « calculer », les activités liées au calcul permettent de développer
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l’ensemble des compétences travaillées en mathématiques, déclinées dans les programmes.
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• Chercher : dans les situations proposées en calcul mental et en calcul en ligne, l’élève s’en-
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gage dans une démarche ; il questionne la situation en mobilisant des connaissances, des
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outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées ; il est amené à tester plusieurs
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pistes, à comparer leur efficacité et à s’engager dans l’une d’elles. Par exemple : 254+9 peut
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s’obtenir soit en effectuant 254+6+3, ou 254+10-1, ou encore 255+8 ; faire des choix, pouvoir
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faire des essais et éventuellement faire des erreurs est une façon de chercher.
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• Modéliser : lorsqu’il utilise les mathématiques pour résoudre des problèmes concrets,
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l’élève modélise. En effet, reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations
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CYCLES 3 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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additives, multiplicatives, de partage, de groupements ou de proportionnalité relève de la
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modélisation.
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Pour la résolution des problèmes proposés en calcul en ligne comme en calcul mental, le
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choix de l’opération effectué par l’élève peut être explicité ou pas (écrire l’opération n’est pas
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nécessaire).
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• Représenter : l’élève mobilise la compétence « représenter » lorsqu’il choisit une écriture
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d’un nombre entier ou décimal adaptée au traitement d’un calcul (décompositions additives,
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multiplicatives, en unités de numération, écriture fractionnaire, etc.) ou lorsqu’il passe d’une
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écriture à une autre suivant les besoins qui apparaissent pour effectuer le calcul. Utiliser
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une représentation pour traiter un calcul (dessin, schéma, arbre de calcul, diagramme, gra-
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phique, écritures avec parenthèses…) relève aussi de cette même compétence.
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• Raisonner : l’élève mobilise la compétence « raisonner » lorsqu’il choisit une démarche
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pour mettre en œuvre un calcul, compare un ordre de grandeur calculé et un résultat, vérifie
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ses résultats, met en cohérence le résultat d’un calcul et le contexte du problème concret,
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ou encore lorsqu’il organise des données numériques multiples ou combine plusieurs
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étapes de calcul.
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• Calculer : cette compétence est mobilisée dans le calcul mental, en ligne, et posé; elle peut
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aussi l'être dans le calcul instrumenté lorsque une organisation réfléchie des calculs est
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nécessaire, pour produire ou pour vérifier un résultat.
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Lorsqu’il fait des choix pour organiser un calcul et anticipe sur l’effet de ces choix, l’élève
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exerce l’intelligence du calcul qui relève aussi de la compétence « calculer ».
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• Communiquer : dans les activités correspondant aux différentes formes de calcul, l’élève
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mobilise la compétence « communiquer » lorsqu’il utilise à l’oral ou à l’écrit, le langage
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naturel ou des écritures symboliques (utilisation des chiffres pour écrire des nombres, utili-
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sation des symboles +, –, ×, ÷, =, etc., utilisation de l’écriture décimale ou fractionnaire, etc.)
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pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements et présenter des calculs.
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Utiliser l’oral pour expliciter sa démarche est fondamental en calcul mental ; en calcul en
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ligne, l’élève peut s’appuyer sur son écrit pour présenter sa stratégie.
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Exemples de situations d’apprentissage
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(à venir)
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Ressources complémentaires
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• SCEREN (2010), Le nombre au cycle 2, partie 1, Dialectique entre sens et techniques,
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l’exemple du calcul mental, p. 11 à 22
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• SCEREN (2010), Le nombre au cycle 3, partie 3, Calcul et conceptualisation, p. 31 à 50
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