548 lines
41 KiB
Plaintext
548 lines
41 KiB
Plaintext
Le calcul en ligne au cycle 3
|
||
|
||
Introduction
|
||
La ressource le calcul aux cycles 2 et 3, explicite de façon synthétique les objectifs et stratégies
|
||
d’enseignement des différentes formes de calcul travaillées sur ces deux cycles. La présente ressource
|
||
apporte des éclairages plus précis sur le calcul en ligne dont la pratique est attendue aux cycles 2 et 3,
|
||
conformément aux programmes parus au bulletin officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015.
|
||
|
||
|
||
|
||
Qu’est-ce que le calcul en ligne ?
|
||
Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit.
|
||
Il se distingue à la fois :
|
||
du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des
|
||
étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire ;
|
||
du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme
|
||
indépendant des nombres en jeu.
|
||
|
||
L’énoncé est donné par le professeur à l’oral ou à l’écrit ; le résultat est donné par l’élève à l’écrit.
|
||
Le calcul mental et le calcul en ligne vivent indépendamment mais se nourrissent mutuellement :
|
||
les habiletés développées en calcul mental sont au service du calcul en ligne, elles donnent
|
||
progressivement accès au traitement en ligne de calculs de plus en plus complexes ;
|
||
le calcul en ligne peut aussi être vu comme une étape dans le développement du calcul mental ;
|
||
le fait d’écrire certaines étapes de calcul permet en effet de libérer la mémoire de travail,
|
||
favorisant ainsi l’entrée dans le calcul mental pour tous les élèves. Le calcul en ligne ne se limite
|
||
toutefois pas à cette conception, certains calculs proposés en ligne ne peuvent en effet pas être
|
||
gérés de façon purement mentale.
|
||
|
||
Le calcul en ligne n’est pas une autre manière d’écrire un calcul posé. Le calcul posé repose sur une
|
||
technique, un algorithme. Le calcul en ligne repose sur la compréhension de la notion de nombre, du
|
||
principe de la numération décimale de position et des propriétés des opérations.
|
||
Comme le calcul mental, le calcul en ligne permet à l'élève d'utiliser la richesse de ses connaissances sur
|
||
le nombre et sur les propriétés des opérations. L'élève est ainsi amené à « faire parler » les nombres,
|
||
c'est à dire à en envisager diverses écritures, des décompositions additives, multiplicatives ou utilisant les
|
||
unités de numération.
|
||
En calcul en ligne, les étapes écrites utiles pour l’élève peuvent, dans un premier temps, se présenter
|
||
sous différentes formes : calculs séparés, arbres de calcul, écritures utilisant des mots ou des flèches, ou
|
||
tout autre écrit qui accompagne la démarche de l’élève ; progressivement, en fin de cycle 3, ces étapes
|
||
s’organisent pour devenir un calcul écrit en ligne.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Quelques exemples de pratique du calcul en ligne
|
||
Ces exemples montrent un panel de stratégies mobilisées par les élèves qui pratiquent régulièrement le
|
||
calcul en ligne ; ils doivent être perçus comme des pistes de mise en œuvre, sans volonté d’exhaustivité.
|
||
|
||
523 – 67 = ?
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève a choisi de soustraire 67 en deux temps : d’abord 7 puis 60.
|
||
523 – 67 = 523 – 7 – 60 = 516 – 60 = 456
|
||
Un autre élève écrit : Il ajoute 3, puis 30 à chacun des deux nombres, le résultat ne change pas
|
||
523 ‒ 67 = 526 ‒ 70 = 556 ‒ 100 = 456 (conservation des écarts : le résultat ne change pas lorsqu’on ajoute le même
|
||
nombre aux deux termes d’une différence), mais la soustraction devient
|
||
beaucoup plus simple à effectuer.
|
||
La justification « complète » pourrait s’écrire :
|
||
523 ‒ 67 = (523 + 3) ‒ (67 + 3) = 526 ‒ 70 = (526 + 30) ‒ (70 + 30)
|
||
= 556 ‒ 100 = 456
|
||
Produire cette écriture en autonomie ne relève pas du cycle 3.
|
||
Un troisième élève écrit : L’élève a choisi de soustraire d’abord 3 aux deux termes, puis de leur ajouter
|
||
523 – 67 = 520 – 64 = 520 + 36 ‒ 100 le complément à 100 de 64 ; la justification de sa stratégie pourrait s’écrire :
|
||
= 456 523 ‒ 67 = (523 ‒ 3) ‒ (67 ‒ 3) = 520 ‒ 64 = (520 + 36) ‒ (64 + 36)
|
||
= 556 ‒ 100 = 456
|
||
Produire cette écriture en autonomie ne relève pas non plus du cycle 3.
|
||
Un quatrième élève écrit : Cet élève a une démarche correcte puisqu’il enlève successivement 20, 40, 3
|
||
523 ‒ 20 = 503 ‒ 40 = 463 ‒ 3 = 460 ‒ 4 puis 4 au nombre de départ, ce qui revient à enlever 67. Mais l’écriture
|
||
= 456 mathématique avec une utilisation erronée du symbole « = » n’est pas
|
||
correcte.
|
||
Il vaudrait mieux qu’il transcrive sa stratégie par des calculs séparés, par
|
||
exemple de la façon suivante :
|
||
523 ‒ 20 = 503 ; 503 ‒ 40 = 463 ; 463 ‒ 3 = 460 ; 460 ‒ 4 = 456
|
||
Un cinquième élève écrit : La démarche et l’écriture sont ici correctes Il est cependant difficile d’être
|
||
523 ‒ 67 = 33 + 423 = 456 certain de la démarche suivi à partir de cette seule trace écrite.
|
||
L’élève a peut-être utilisé les compléments à 100.
|
||
33+67=100. Soustraire 67 revient donc à soustraire 100 et ajouter 33.
|
||
Il a peut-être utilisé le fait que la différence entre 523 et 67 est le nombre à
|
||
ajouter à 67 pour obtenir 523 et ce nombre est la somme du nombre à ajouter
|
||
à 67 pour obtenir 100 et du nombre à ajouter à 100 pour obtenir 523.
|
||
|
||
|
||
|
||
13 × 54 = ?
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève utilise la distributivité. La justification complète s’écrit :
|
||
13 × 54 = 540 + 3 × 54 = 540 + 150 + 3 × 4 13 × 54 = (10 + 3) × 54 = 10 × 54 + 3 × 54 = 540 + 3 × (50 + 4)
|
||
= 690 + 12 = 702 = 540 + 3 × 50 + 3 × 4 = 540 + 150 + 12 = 690 + 12 = 702
|
||
Un autre élève écrit : Cet élève a mémorisé le résultat du produit 13 × 5.
|
||
13 × 54 = 13 × 50 + 13 × 4 = 650 + 40 + 12 Il décompose 54 pour faire apparaître 13 × 50 en utilisant la distributivité.
|
||
= 702
|
||
2 UNITES ET 57 CENTIÈMES + 5 UNITÉS ET 8 DIXIÈMES ?
|
||
|
||
Un élève écrit : Ces élèves écrivent les deux nombres décimaux dans les mêmes unités de
|
||
2 + 57 centièmes +5 + 8 dixièmes numération pour pouvoir les additionner.
|
||
=2 + 5 + 57 centièmes + 8 dixièmes = 7
|
||
+ 57 centièmes + 80 centièmes = 7
|
||
+ 137 centièmes
|
||
= 8 unités et 37 centièmes
|
||
Un autre élève écrit :
|
||
57 8 57 8
|
||
2+ +5 + = 2 + 5 + +
|
||
100 10 100 10
|
||
57 80 137 37 37
|
||
=7+ + =7+ = 7 + 1+ =8+
|
||
100 100 100 100 100
|
||
|
||
Un troisième élève écrit : Ces élèves utilisent l’écriture à virgule qu’ils manient avec aisance. Ils
|
||
2,57 + 5,8 = 7,57 + 0,8 = 8,37 décomposent 5,8 en la somme de sa partie entière 5 et de sa partie décimale
|
||
0,8.
|
||
Un quatrième élève écrit :
|
||
2,57 + 5,8 = 7,57 + 0,8 = 7,37 + 0,2 + 0,8
|
||
= 7,37 + 1 = 8,37
|
||
Un cinquième élève écrit : Cet élève utilise l’écriture des nombres décimaux sous la forme de fractions
|
||
257 58 257 580 837 décimales ; il sait qu’il peut ajouter des décimaux écrits dans la même unité
|
||
+ = + =
|
||
100 10 100 100 100 de numération (ici les centièmes). Pour effectuer la somme de 257 et 580, il
|
||
décompose et recompose les deux nombres de façon à rendre l’addition
|
||
facile à traiter.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Objectifs
|
||
Le calcul en ligne est une source importante d’apprentissages mathématiques essentiels. Il permet,
|
||
comme le calcul posé, de produire le résultat d’un calcul, mais bien au-delà de cet objectif, en articulation
|
||
avec le calcul mental, il participe :
|
||
au développement des six « compétences travaillées » déclinées dans les programmes de
|
||
mathématiques et plus particulièrement à celui des compétences Calculer, Chercher, Représenter
|
||
et Raisonner (se référer au document « Le calcul aux cycles 2 et 3 » qui explicite en quoi le calcul
|
||
participe au développement de ces six compétences) ;
|
||
à la compréhension de la notion de nombre entier, de fraction et de nombre décimal, ainsi que de
|
||
la numération de position (travailler les diverses décompositions possibles d’un nombre favorise
|
||
l’accès au sens du nombre et aux relations entre les nombres) ;
|
||
à la compréhension des différentes écritures d’un même nombre (écritures diverses d’un nombre
|
||
décimal par exemple), en motivant leur utilisation ;
|
||
à la compréhension progressive des propriétés des opérations en favorisant leur utilisation (il est
|
||
attendu des élèves qu’ils manipulent ces propriétés en situation et qu’ils les explicitent avec leurs
|
||
mots ; les dénominations données ci-dessous ne sont pas des objectifs d’apprentissage pour les
|
||
élèves) :
|
||
- commutativité de l’addition et de la multiplication (un élève peut dire, par exemple :
|
||
« dans une addition ou une multiplication, on peut changer l’ordre des termes ») :
|
||
5 + 7 = 7 + 5,
|
||
3×8=8×3;
|
||
- associativité de l’addition et de la multiplication (un élève peut dire, par exemple :
|
||
« dans une addition ou une multiplication, on peut regrouper les termes comme
|
||
on veut »):
|
||
7 + 3 = 2 + 8 car (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3),
|
||
24 × 5 = 12 × 10 car (12 × 2) × 5 = 12 × (2 × 5) ;
|
||
- distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction (un élève peut dire, par
|
||
exemple : « quand on multiplie une somme de deux nombres, cela revient à multiplier
|
||
chacun des termes ») :
|
||
8 × 13 = 8 × (10 + 3) = (8 × 10) + (8 × 3) = 80 + 24 = 104,
|
||
ou 8 × 13 = (10 ‒ 2) × 13 = (10 × 13) ‒ (2 × 13) = 130 ‒ 26 = 104 ;
|
||
- distributivité de la division sur l’addition et la soustraction (un élève peut dire, par
|
||
exemple : « quand on divise une somme de deux nombres, cela revient à diviser chacun
|
||
des termes ») :
|
||
536 ÷ 8 = (480 + 56) ÷ 8 = (480 ÷ 8) + (56 ÷ 8) = 60 + 7 = 67,
|
||
536 ÷ 8 = (560 ‒ 24) ÷ 8 = (560 ÷ 8) ‒ (24 ÷ 8) = 70 – 3 = 67 ;
|
||
Attention, contrairement à la distributivité de la multiplication, la distributivité de la division
|
||
n’est vraie que dans un sens : 384 ÷ 12, par exemple, est égal à (360 ÷ 12) + (24 ÷ 12)
|
||
mais n’est pas égal à (384 ÷ 10) + (384 ÷ 2) ; on ne peut décomposer que le nombre
|
||
qu’on divise (dividende) et non celui par lequel on divise (diviseur) ;
|
||
|
||
|
||
à la connaissance de propriétés relatives aux opérations, pouvant faciliter le calcul mental
|
||
ou en ligne en permettant de créer des étapes intermédiaires :
|
||
- division par un produit :
|
||
diviser par 12, c’est diviser par 2 puis encore par 2, puis par 3, car 2 × 2 × 3 = 12
|
||
504 ÷ 12 = [(504 ÷ 2) ÷ 2] ÷ 3 = (252 ÷ 2) ÷ 3 = 126 ÷ 3 = 42 ;
|
||
- conservation de l’écart pour la soustraction :
|
||
234 – 83 = 231 ‒ 80 = 251 ‒ 100 = 151
|
||
ou 234 – 83 = (234 + 17) ‒ (83 + 17) = 251 ‒ 100 = 151
|
||
13,4 ‒ 0,56 = 13,44 ‒ 0,6 = 13,84 ‒ 1 = 12,84 ;
|
||
l’écart entre les deux nombres (résultat de la soustraction) ne change pas quand on leur
|
||
ajoute ou soustrait le même nombre ;
|
||
- conservation du rapport pour la division (à envisager de façon très progressive en fin de
|
||
cycle 3 pour préparer l’apprentissage du quotient des nombres décimaux et de l’égalité
|
||
des nombres rationnels au cycle 4) :
|
||
34 ÷ 5 = 68 ÷ 10 = 6,8
|
||
5,82 ÷ 0,2 = 582 ÷ 20 = 291 ÷ 10 = 29,1 ;
|
||
- le résultat de la division ne change pas quand on multiplie ou divise le dividende et le
|
||
diviseur par le même nombre ;
|
||
|
||
à la compréhension progressive de la signification du signe « = », à concevoir comme
|
||
équivalence entre le membre écrit à gauche et le membre écrit à droite, et pas seulement pour
|
||
donner le résultat d’un calcul ;
|
||
à la compréhension progressive de la signification des parenthèses et de leur utilisation pour
|
||
écrire un calcul complexe ;
|
||
à la mémorisation progressive de faits numériques et de stratégies de calcul qui seront ensuite
|
||
mis en œuvre pour traiter des situations plus complexes en calcul mental et en ligne ;
|
||
au développement de compétences relatives au calcul d’ordre de grandeur ;
|
||
au développement de l'agilité numérique mentale des élèves, de leurs habiletés calculatoires
|
||
et de l’intelligence du calcul (anticiper, faire des choix, contrôler, …) ;
|
||
au développement de l’aptitude à prendre des initiatives ;
|
||
à la motivation des élèves en rendant le calcul à la fois stratégique et automatique.
|
||
|
||
|
||
|
||
Progressivité des apprentissages
|
||
Le calcul en ligne est présent explicitement dans les programmes de cycles 2 et 3, le travail effectué en
|
||
début de cycle 2 s’appuie sur ce qui a été mené au cycle 1 dans le cadre de la découverte des nombres
|
||
et de leurs utilisations. De même, les compétences développées aux cycles 2 et 3 seront un point d’appui
|
||
au cycle 4 pour effectuer des calculs avec des nombres décimaux et rationnels ou pour utiliser le calcul
|
||
littéral.
|
||
Au cycle 1, l’élève apprend à quantifier des collections jusqu’à dix au moins ; il les compose et
|
||
les décompose par manipulations effectives puis mentales. Il apprend à dire combien il faut
|
||
ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix et parle des nombres à l’aide
|
||
de leur décomposition. Ces premiers travaux de décomposition, nécessaires pour la construction
|
||
de la notion de nombre, sont aussi les premiers apprentissages du calcul.
|
||
Au cycle 2, le calcul en ligne, travaillé de façon articulée avec le calcul mental, opère sur des
|
||
contextes numériques qui se complexifient progressivement et de façon différenciée, en fonction
|
||
des besoins identifiés des élèves, en jouant sur différentes variables : taille des nombres, variété
|
||
des décompositions accessibles, interrelations entre les nombres, connaissances de faits
|
||
numériques des élèves… Progressivement, une plus grande variété de procédures de calculs
|
||
élémentaires et de faits numériques est mobilisée.
|
||
Au cycle 3, la complexification différenciée des contextes numériques se poursuit en calcul en
|
||
ligne et en calcul mental. La nature des nombres (nombres entiers plus grands, nombres
|
||
décimaux) et leurs différentes écritures (fraction décimale et diverses décompositions, écriture à
|
||
virgule) viennent compléter l’éventail des variables citées précédemment, jouant sur cette
|
||
complexification. En fin de cycle, on tend progressivement vers un calcul organisé en une seule
|
||
ligne, utilisant si nécessaire des parenthèses. La capacité à écrire de telles expressions
|
||
numériques prépare les attendus du cycle 4 liés à la production d’expressions littérales et à la
|
||
mise en équation de problèmes.
|
||
Dès le début du cycle 3, les activités de calcul en ligne portent sur les quatre opérations avec des
|
||
nombres entiers, pour effectuer des calculs, travailler les décompositions additives et
|
||
multiplicatives, les compléments à la centaine la plus proche et résoudre des problèmes variés.
|
||
Le travail initié en début de première année du cycle est ensuite progressivement étendu aux
|
||
calculs avec des fractions simples et des nombres décimaux. Ces derniers sont utilisés sous la
|
||
forme de fractions décimales ou avec des décompositions selon les unités de numération. Les
|
||
formulations oralisées seront privilégiées ; le travail sur les décompositions additives et
|
||
multiplicatives ainsi que sur les compléments se poursuit. Des calculs dans le contexte des
|
||
grandeurs seront aussi proposés.
|
||
Les problèmes proposés, par exemple sur la proportionnalité et les grandeurs, permettront de
|
||
pratiquer le calcul en ligne.
|
||
Au cycle 4, le calcul en ligne n’apparait pas explicitement dans les programmes mais les élèves
|
||
continuent de mobiliser les compétences acquises aux cycles 2 et 3 pour des calculs avec des
|
||
fractions ou des nombres décimaux, ou encore pour du calcul littéral.
|
||
Par exemple :
|
||
|
||
4 15 4×15 15 5 5
|
||
× = = = = ;
|
||
9 28 9×28 9×7 3×7 21
|
||
2800 25000 = 2810 2510 = 2825 10 10 = 7425 10 = 7100 10
|
||
2 3 2 3 5 5
|
||
|
||
= 7 (10 10 ) = 7 10 = 70 000 000 ;
|
||
2 5 7
|
||
|
||
|
||
(𝑛 + 2)(𝑛 + 2) 𝑛2 = 𝑛2 + 2𝑛 + 2𝑛 + 4 – 𝑛2 = 4𝑛 + 4.
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
Comment pratiquer le calcul en ligne dans la classe ?
|
||
Comme pour le calcul mental, on peut considérer que les activités de calcul en ligne proposées dans la
|
||
classe se déclinent en quatre étapes qu’il importe de distinguer clairement :
|
||
découverte de nouveaux savoirs, en particulier de nouvelles procédures de calcul, explicitation de
|
||
ces savoirs visant l’élaboration d’une trace écrite ;
|
||
appropriation et entrainement régulier en vue de rendre les procédures disponibles pour l’élève ;
|
||
réinvestissement régulier ;
|
||
évaluation.
|
||
|
||
Pour chacune des trois années du cycle 3, il est important d’établir une programmation des
|
||
apprentissages en calcul mental et en ligne.
|
||
L’appropriation des nouveaux savoirs, l’entrainement et le réinvestissement passent par des activités
|
||
quotidiennes de courte durée (environ quinze minutes) qui mêlent calcul mental et calcul en ligne ; pour
|
||
le calcul en ligne, il est nécessaire aussi de prévoir des séances d’apprentissage de durée plus longue.
|
||
En variant la difficulté pour répondre aux besoins de chacun des élèves, les situations proposées portent
|
||
soit de façon massée sur l’utilisation d’une procédure dont on vise l’appropriation, soit de façon filée sur
|
||
une variété de procédures pour en favoriser le réinvestissement. Ces activités relèvent de l’apprentissage
|
||
et non de l’évaluation ; elles donnent lieu le plus fréquemment possible à des temps de mise en commun
|
||
au cours desquelles les élèves peuvent donner à voir et expliciter oralement leurs démarches, qu’elles
|
||
soient correctes ou erronées, abouties ou non. Lors de ces temps de travail, le fait que les élèves écrivent
|
||
ou présentent eux-mêmes la trace de leurs raisonnements (par exemple à l’aide d’un visualiseur) permet
|
||
de faire émerger toutes les erreurs et les difficultés. Dans le cas où l’élève n’a pas écrit sa démarche,
|
||
l’enseignant traduit par écrit ce que dit l’élève, en veillant à ne pas interpréter. Cette façon de procéder
|
||
doit déboucher sur un consensus de compréhension des démarches et de la façon de les écrire.
|
||
Le repérage des erreurs est essentiel et doit se poursuivre par la recherche de leurs causes, avec l’aide
|
||
du professeur.
|
||
Les élèves acquièrent progressivement des stratégies de calcul grâce à ces activités quotidiennes ;
|
||
l’automatisation de ces stratégies n’a toutefois pas lieu d’être visée au même moment pour tous. Pour
|
||
permettre à chacun d’eux de progresser dans la gestion mentale des calculs travaillés et rendre
|
||
disponibles les stratégies de calcul, il peut être pertinent de limiter le nombre d’étapes écrites pour les
|
||
élèves les plus à l’aise.
|
||
Les acquis des élèves en calcul mental et en ligne sont régulièrement évalués au travers d’activités
|
||
adaptées aux potentialités de chacun : la différenciation peut concerner la difficulté des calculs ou bien le
|
||
temps imparti pour les effectuer. Ce qui importe avant tout c’est que les élèves puissent s’évaluer et
|
||
constater leurs progrès, car le sentiment de progresser est un facteur essentiel de la motivation.
|
||
|
||
|
||
Les étapes de calcul écrites par les élèves
|
||
Les étapes de calcul écrites par les élèves doivent être conçues comme un support à la pensée, comme
|
||
des écrits transitoires qui peuvent ne pas respecter tous les codes de rédaction mathématique, en
|
||
particulier en ce qui concerne l’utilisation du signe « = » et des parenthèses. Comme pour la production
|
||
d’écrits, un seuil de tolérance doit être accordé à tous les élèves. Pour distinguer ces étapes de calcul des
|
||
écrits institutionnels, le professeur pourra faire travailler les élèves sur un support dédié (cahier de
|
||
recherche, feuilles de couleur, …). L’explicitation orale permettra ensuite aux élèves de montrer comment
|
||
ils comprennent ces étapes écrites ; le professeur pourra alors, si cela se révèle être le moment opportun,
|
||
aider les élèves à les faire évoluer pour qu’elles deviennent mathématiquement correctes, mais le respect
|
||
en autonomie des codes par les élèves n’est pas un exigible du cycle 3.
|
||
Il est cependant essentiel que ces étapes de calcul, lorsqu’elles sont écrites par le professeur dans les
|
||
temps de travail collectif, de mise en commun ou de synthèse visant l’élaboration de la trace écrite
|
||
institutionnelle, soient à la fois mathématiquement correctes et compréhensibles par les élèves. C’est
|
||
cette trace écrite finale que l’on retrouvera dans les écrits de référence (cahiers de leçon ou affiches
|
||
référentes de la classe).
|
||
|
||
|
||
Statut du signe « = »
|
||
Dès le début du cycle 2, les élèves peuvent écrire 3 + 7 = 10 ou 10 = 2 + 8 ou encore 3 + 7 = 2 + 8
|
||
notamment dans le cadre de travaux de décompositions et de recompositions ; le signe « = » signifiant
|
||
l’équivalence entre les deux membres.
|
||
Néanmoins pour les élèves, le signe « = » est souvent interprété comme le signe « = » de la calculatrice,
|
||
c'est-à-dire comme permettant l’affichage du résultat après exécution d’un calcul. D'un côté du signe « = »
|
||
(généralement à gauche) il y a le calcul à effectuer, de l'autre (à droite) il y a le résultat du calcul.
|
||
Le calcul en ligne et le travail sur les décompositions se fondent sur une signification du signe « = »
|
||
comme lien entre deux écritures distinctes d’un même nombre, à lire dans les deux sens, de façon
|
||
3
|
||
symétrique, comme par exemple, 32 × 25 = 8 × 4 × 25 ou 37,3 = 37 + .
|
||
10
|
||
|
||
Un calcul écrit en ligne ne peut prendre sens que si le signe « = » est utilisé de façon correcte. Voici deux
|
||
exemples de calculs écrits en ligne pour la résolution du problème suivant :
|
||
« À la boulangerie j'achète 3 croissants à 1,10 €, 2 baguettes à 80 centimes et une brioche à 4,40 €. Quel
|
||
est le montant de mes achats ? »
|
||
3 × 1,10 = 3,30 + 2 × 0,80 = 3,30 + 1,60 = 4,90 + 4,40 = 9,30
|
||
3 × 1,10 + 2 × 0,80 + 4,40 = 3,30 +1,60 + 4,40 = (3 + 1 + 4) + (0,30 + 0,60 + 0,40) = 8 + 1,30 = 9,30.
|
||
Dans le premier calcul, le signe « = » ne lie pas des nombres égaux. Cette écriture du calcul est à
|
||
considérer comme un écrit transitoire. Elle ne doit pas être proposée au tableau, mais ne doit pas non
|
||
plus être sanctionnée ; la démarche de l’élève est correcte, c’est l’utilisation du symbole de l’égalité qui ne
|
||
l’est pas.
|
||
Le second calcul respecte les codes des écritures mathématiques, mais sa production exige de surmonter
|
||
une difficulté importante au cycle 3. Lorsqu’un élève produit un calcul comme le premier, il vaudrait mieux,
|
||
en conséquence, l’inviter à écrire des calculs séparés, par exemple comme ceci :
|
||
3 × 1,10 = 3,30
|
||
2 × 0,80 = 1,60
|
||
3,30 + 1,60 = 4,90
|
||
4,90 + 4,40 = 9,30.
|
||
|
||
|
||
Utilisation des parenthèses
|
||
La parenthèse est un symbole mathématique dont l’apprentissage débute au cycle 3. Cet apprentissage
|
||
doit être très progressif car l’utilisation des parenthèses complexifie de fait les écritures mathématiques.
|
||
En début d’apprentissage les parenthèses sont utilisées dans les calculs comportant plusieurs opérations
|
||
pour faire apparaître l’ordre dans lequel celles-ci doivent être effectuées. En fin de cycle 3 et au cycle 4,
|
||
les conventions d’écritures liées aux priorités des calculs multiplicatifs sur les calculs additifs permettent
|
||
de n’écrire que les parenthèses montrant qu’une addition ou une soustraction doit être effectuée avant
|
||
une multiplication ou une division.
|
||
Résumer en un seul calcul, écrit en ligne, les calculs séparés permettant la résolution d’un problème
|
||
nécessite la maîtrise de l’utilisation des parenthèses ; ceci est une étape importante de l’apprentissage,
|
||
préparatoire à la production d’écritures algébriques, objectif essentiel du cycle 4. Ainsi, pour écrire en
|
||
ligne le calcul correspondant aux deux étapes suivantes « 5 + 8 = 13 ; 13 × 7 = 91 », le recours aux
|
||
parenthèses est nécessaire : au cycle 3, ce calcul s’écrira : (5 + 8) × 7. Au cycle 4, la connaissance des
|
||
priorités opératoires pourra permettre de ne plus mettre certaines parenthèses inutiles, par exemple, pour
|
||
le calcul 3 + (2 × 6), il sera inutile de mettre 2 × 6 entre parenthèses puisque la propriété donnant la
|
||
priorité de la multiplication sur l’addition sera disponible.
|
||
Dans le calcul, l’écriture des parenthèses peut ou non être évitée. Pour calculer 15 × 6, par exemple :
|
||
si on écrit : « 15 × 6 = (3 × 5) × 6 = 3 × (5 × 6) = 3 × 30 = 90 », les parenthèses apparaissent
|
||
comme des boites qui indiquent les transformations effectuées lors du calcul, leur présence sert
|
||
à communiquer, à rendre plus visible ce qui est fait; sur le plan de la correction mathématique,
|
||
les parenthèses pourraient être retirées ;
|
||
si on écrit « 15 × 6 = (10 + 5) × 6 = 60 + 30 = 90 », les parenthèses qui servent à mettre en
|
||
lumière la transformation de 15 en 10 + 5 sont cette fois mathématiquement indispensables. En
|
||
effet, si on les retire on obtient le calcul 10 + 5 × 6, où la multiplication 5 × 6 est prioritaire et le
|
||
calcul ne vaut plus 90 mais 40.
|
||
|
||
Quelques points de vigilance concernant l’utilisation de parenthèses
|
||
Dans un calcul, l’écriture symbolique de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
|
||
nécessite l’usage de parenthèses pour être mathématiquement rigoureuse. Des formulations, à
|
||
l’oral, ou à l’écrit, avec des mots, permettent de se passer des parenthèses et de donner accès au
|
||
sens de la distributivité. Par exemple, pour effectuer 6 × 15, on peut dire : « quinze, c’est dix plus
|
||
cinq, donc six fois quinze, c’est six fois dix plus six fois cinq ».
|
||
Le calcul « 6 × 10 + 6 × 5 » ne nécessite pas de parenthèses dès lors que les règles de priorité
|
||
sont connues ; on pourra toutefois préférer écrire « (6 × 10) + (6 × 5) » pour bien spécifier les
|
||
calculs à faire en premier.
|
||
La présence d’un signe « ‒ » ou d’un signe « + » avant une parenthèse, comme dans
|
||
29 ‒ (9 + 12), doit conduire à effectuer en premier le calcul à l’intérieur des parenthèses, on
|
||
trouve ici 29 ‒ 21, et non pas à effectuer une transformation sur les nombres à l’intérieur des
|
||
parenthèses, qui donnerait ici 29 ‒ 9 ‒ 12 ; cette transformation relève du cycle 4.
|
||
Textes de savoir
|
||
Différents types d’écrits doivent permettre à l’élève de garder trace de ce qu’il a appris en calcul en ligne :
|
||
ses productions, et en regard une correction assortie de quelques mots d’explication de l’erreur
|
||
dans le cas où elles sont erronées ; ces traces sont accessibles dans un cahier ;
|
||
un écrit produit par l’élève ou par un groupe d’élèves explicitant une stratégie de calcul à retenir ;
|
||
la formulation de ce type de texte peut-être provisoire et évolutive ;
|
||
un texte construit dans la classe de façon collaborative, ou éventuellement un écrit proposé par le
|
||
professeur, en synthèse d’un temps de travail.
|
||
|
||
Pour être accessibles à l’élève, ces deux derniers types d’écrits sont répertoriés dans un document
|
||
dédié ; ils peuvent aussi faire l’objet d’affichages dans la classe. Idéalement, les textes de synthèse
|
||
restent accessibles dans un cahier que l’élève conserve et complète tout au long du cycle.
|
||
L’utilisation d’exemples génériques, où les nombres peuvent être remplacés par d’autres pour traiter
|
||
d’autres calculs, a toute sa place dans les écrits de synthèse et peut être plus claire qu’une longue phrase
|
||
explicative pour certains élèves.
|
||
|
||
Quelques exemples d’écrits pour garder la trace des apprentissages
|
||
523 – 67 (exemples de productions d’élèves donnés dans l’introduction de ce document)
|
||
- Écrit d’un élève sur son cahier de recherche :
|
||
523 – 67 j’ajoute 33 556 – 100 = 456.
|
||
- Écrit proposé par un groupe d’élèves :
|
||
523 – 67, c’est comme 500 – 44 en enlevant 23 aux deux nombres ou comme 556 – 100
|
||
en ajoutant 33 aux deux nombres.
|
||
- Écrit de synthèse collaborative (éventuellement proposé par l’enseignant) : « Pour rendre
|
||
une soustraction plus simple, on peut ajouter ou soustraire la même quantité aux deux
|
||
nombres. Par exemple : 523 ‒ 67 = 556 ‒ 100 = 456, ou 523 ‒ 67 = 500 ‒ 46 = 456 ».
|
||
13 × 54 (exemples de productions d’élèves donnés dans l’introduction de ce document)
|
||
- Écrit d’un élève sur son cahier de recherche :
|
||
13 × 9 × 6 c’est 13 × 10 – 13 et après × 6, c’est trop difficile,
|
||
c’est mieux de faire 10 × 54 + 3 × 54.
|
||
- Écrit proposé par un groupe d’élèves :
|
||
13 × 54 = 10 × 54 + 3 × 54 = 540 + 3 × 50 + 3 × 4 = 540 + 150 + 12 = 702.
|
||
- Écrit de synthèse collaborative : « Pour effectuer une multiplication, on peut décomposer
|
||
un des nombres, pour faire apparaître des nombres faciles à multiplier.
|
||
Par exemple : pour calculer 13 × 54, prendre 13 fois un nombre, c’est le prendre 10 fois
|
||
et encore 3 fois ; prendre 3 fois 54, c’est prendre 3 fois 50 et encore 3 fois 4 :
|
||
13 × 54 = 10 × 54 + 3 × 54 = 10 × 54 + 3 × 50 + 3 × 4 = 540 + 150 + 12 = 702. ».
|
||
|
||
|
||
|
||
Exemples de situations d’apprentissage
|
||
Ci-dessous sont donnés quelques exemples de calculs pouvant être proposés à des élèves de cycle 3.
|
||
Ces exemples montrent un panel de stratégies mobilisées par les élèves qui pratiquent régulièrement le
|
||
calcul en ligne. Ils doivent être perçus comme des pistes de mise en œuvre, sans volonté d’exhaustivité
|
||
(voir aussi les exemples proposés dans l’introduction de ce document).
|
||
293 × 18 = ?
|
||
|
||
Un élève écrit : Cet élève utilise la distributivité en écrivant d’abord 18 sous la
|
||
293 × 18 = 293 × 20 ‒ 293 × 2 = 5860 ‒ 586 = 5874 – forme 20 ‒ 2, puis effectue ensuite la soustraction en utilisant la
|
||
600 = 5274 propriété de conservation des écarts.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Écrire 420, de plusieurs façons différentes, sous la forme d’un produit de plusieurs nombres.
|
||
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève utilise ses connaissances sur les nombres qu’il a l’habitude
|
||
420 = 42 × 10 = 21 × 2 × 2 × 5 de « faire parler ».
|
||
420 = 3 × 7 × 20 = 3 × 14 × 10 Ce type de situation peut être proposé de façon collective, sous la
|
||
420 = 84 × 5 = 3 × 140 forme d’un défi.
|
||
|
||
|
||
|
||
Quotient et reste de la division euclidienne de 471 par 12 ?
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève a appris à « faire parler les nombres », il fait apparaître 360
|
||
471 = 360 + 111 = 3 × 12 × 10 + 60 + 48 + 3 qu’il connaît comme un multiple de 12 ; il décompose ensuite 111
|
||
= 12 × 30 + 12 × 5 + 12 × 4 + 3 = 12 × 39 + 3 sous la forme de la somme de multiples de 12 et d’un nombre
|
||
Quotient : 39 ; reste : 3 inférieur à 12.
|
||
Il poursuit la décomposition de 471 pour faire apparaître l’écriture
|
||
du type :
|
||
Dividende = diviseur × quotient + reste (avec reste plus petit que
|
||
diviseur), montrant ainsi qu’il maîtrise le sens de la division
|
||
euclidienne.
|
||
Un autre élève écrit : L’élève a en immédiatement accessible le fait que 12 × 4 = 48
|
||
471 = 480 ‒ 9 = 40 × 12 ‒ 9 = 39 × 12 + 12 ‒ 9
|
||
= 39 × 12 + 3
|
||
Quotient : 39 ; reste : 3
|
||
Un troisième élève écrit : L’élève ajoute mentalement des multiples de 12 jusqu’à ce que ça
|
||
471 = 120 + 120 + 120 + 60 + 24 + 24 + 3 ne soit plus possible pour rester inférieur à 471, il commence par
|
||
= (10 + 10 + 10 + 5 + 2 + 2) × 12 + 3 = 39 × 12 + 3 des dizaines, puis continue en fonction de ces connaissances
|
||
Quotient : 39 ; reste : 3 (12 × 5 = 60 et 12 × 2 = 24). À la ligne suivante il note le nombre de
|
||
fois 12 auquel correspond chaque terme de sa somme, il ne lui
|
||
reste plus qu’à faire la somme des facteurs trouvés
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Calculer la mesure de l’aire en cm² d’un rectangle de longueur 15,4 cm et de largeur 7 cm.
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève utilise la formule de l’aire d’un rectangle, puis la
|
||
L × l = 7 cm × 15,4 cm = 7 × 15,4 cm2 décomposition de 15,4 en la somme de sa partie entière 15 et de
|
||
= 7 × 15 + 7 × 0,4 = 105 + 5 × 0,4 + 2 × 0,4 sa partie décimale 0,4.
|
||
= 105 + 10 × 0,2 + 0,8 = 105 + 2 + 0,8 = 107,8 cm2 Le produit 5 × 0,4 lui pose problème, il utilise le fait que multiplier
|
||
un nombre par 5 revient à multiplier la moitié de ce nombre par 10
|
||
Un autre élève écrit : Il reconnaît que ce rectangle peut être décomposé en 7 bandes
|
||
On peut faire 7 bandes de 15,4 cm², d’un cm de large et de 15,4 cm de long, correspondant chacune à
|
||
ça fait : 15,4 cm² (la formule d’aire du rectangle n’est pas encore
|
||
7 × 15,4 cm2 = 7 × 10 + 7 × 5 + 7 × 4 dixièmes disponible).
|
||
= 70 + 35 + 28 dixièmes Il effectue ensuite 7 × 15,4 en décomposant 15,4 en dizaines,
|
||
= 105 + 2 unités et 8 dixièmes unités et dixièmes.
|
||
= 107,8 cm2 Le fait de poser cette question en calcul en ligne est au service de
|
||
la construction de la notion d’aire
|
||
Calculer la différence 13,54 – 8,7, entre treize unités et cinquante-quatre centièmes, et, huit unités et sept
|
||
dixièmes
|
||
Un élève écrit : L’élève utilise la décomposition de 8,7 en la somme de sa partie
|
||
13,54 ‒ 8,7 = 5,54 ‒ 0,7 = 5,54 ‒ (0,54 + 0,16) entière 8 et de sa partie décimale 0,7 pour soustraire
|
||
= 5 ‒ 0,16 = 4,84 successivement chacune de ces parties à 13,54.
|
||
|
||
|
||
|
||
Un autre élève écrit : L’élève traite globalement les deux nombres en les écrivant dans la
|
||
54 7 1354 87 1354 870 même unité de numération.
|
||
(13 + ) − (8 + ) = − = −
|
||
100 10 100 10 100 100 Il effectue ensuite la soustraction en travaillant sur les nombres de
|
||
En centièmes, ça fait : centièmes obtenus ; pour soustraire 870, il ajoute successivement
|
||
1354 – 870 = 1384 – 900 = 1484 – 1000 = 484 30 puis 100 aux deux nombres qui composent l’opération
|
||
Résultat : 484 centièmes (conservation des écarts).
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Calculer le produit de 15 par 0,32
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève décompose 15 sous la forme 10 + 5, il écrit en premier le
|
||
15 × 0,32 = 3,2 + 1,6 = 4,8 produit de 10 et 0,32, il sait que le produit de 5 et 0,32 est la moitié
|
||
du produit précédent, il ne lui reste ensuite qu’à faire la somme des
|
||
deux nombres trouvés.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Un autre élève écrit : L’élève ramène le produit d’un entier et d’un nombre décimal à un
|
||
15 × 32 centièmes = (15 × 32) centièmes produit de deux nombres entiers.
|
||
15 × 32 c’est 10 × 32 + la moitié Il effectue ensuite le produit des nombres entiers.
|
||
320 + 160 = 480
|
||
15 × 0,32 = 480 centièmes = 4,8
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Calculer 0,54 ÷ 4
|
||
|
||
Un élève écrit : L’élève gère le calcul en travaillant sur les centièmes.
|
||
0,54 ÷ 4 = 0,54 ÷ 2 ÷ 2 = 0,27 ÷ 2 Pour diviser par 4, il cherche la moitié de la moitié. Pour trouver la
|
||
= 0,26 ÷ 2 + 0,01 ÷ 2 = 0,13 + 0,005 = 0,135 moitié de 54, il décompose ce nombre en 50 + 4 ; pour trouver la
|
||
moitié de 27, il décompose ce nombre en 26 + 1.
|
||
Il écrit ensuite le nombre de centièmes obtenu sous la forme d’un
|
||
nombre à virgule.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Polo achète un poulet d’un kilo deux cent cinquante grammes à 9,40 € le kilo. Aura-t-il assez d’argent
|
||
avec 15€ ?
|
||
Un élève écrit : L’élève mobilise la proportionnalité.
|
||
1 kg 9,40 € Il traite le problème en utilisant les propriétés de linéarité pour
|
||
250 g 9,40 ÷ 4 = 4,70 ÷ 2 = 2,35 € l’addition et pour la multiplication par un nombre.
|
||
9,40 + 2, 35 = 11,75
|
||
1kg250 11,75 €
|
||
Un autre élève écrit : L’élève utilise, en remplaçant 9,40 € par 10 €, une procédure de
|
||
C’est moins de 10 € le kilo ; calcul approché par excès qui lui permet de répondre correctement.
|
||
Pour 10 € le prix est 10 € + 10 € ÷ 4 = 10 € + 2 € 50
|
||
= 12 € 50. Au total, ça coute moins de 15 €.
|
||
Ressources complémentaires
|
||
Le calcul en ligne au cycle 2
|
||
Le calcul aux cycles 2 et 3
|
||
|