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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
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MATHÉMATIQUES
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Proportionnalité
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Résoudre des problèmes
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de proportionnalité au cycle 3
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Objectifs
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La proportionnalité est une notion autour de laquelle peuvent être pensés et organisés de
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nombreux apprentissages mathématiques. Sa maîtrise est essentielle tant pour un usage dans
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la vie courante que dans un cadre professionnel. Son apprentissage s’inscrit dans la durée.
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Dès le cycle 2, l’élève a rencontré des situations de proportionnalité dans le cadre de la
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résolution de problèmes multiplicatifs. Ce travail se poursuit au cycle 3 dans chacun des trois
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thèmes « Nombres et calculs », « Grandeurs et mesures » et « Espace et géométrie ». L’élève
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enrichit le champ des problèmes multiplicatifs en croisant diverses situations relevant de la
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proportionnalité auxquelles il peut donner du sens. Il apprend à repérer des situations relevant
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ou non de la proportionnalité. Il résout des problèmes de prix, de consommation, de recettes,
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etc. en utilisant différentes procédures (procédure utilisant la propriété de linéarité pour
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l’addition, procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre,
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procédure mixte utilisant les propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multiplication
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par un nombre, passage par l’unité, procédure utilisant le coefficient de proportionnalité).
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L’objectif n’est pas, à ce stade, de mettre en avant telle ou telle procédure particulière, mais de
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permettre à l’élève de disposer d’un répertoire de procédures, s’appuyant toujours sur le sens,
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parmi lesquelles il pourra choisir en fonction des nombres en jeu dans le problème à résoudre.
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Des situations de proportionnalité mettant en jeu des nombres simples, avec des rapports
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entre les nombres permettant des calculs aisés, donnent l’occasion de travailler le calcul
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mental.
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Liens avec les domaines du socle
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La résolution de problèmes de proportionnalité permet d’acquérir des connaissances et de
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développer des compétences en lien avec chacun des domaines du socle.
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De manière générale, les mathématiques participent à la maitrise de la langue française.
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Elles offrent de nombreuses occasions pour le développement de compétences langagières
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en élargissant le répertoire lexical des élèves, en favorisant les situations de communication
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(sous-domaine 1.1). La résolution de problèmes de proportionnalité est un terrain
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particulièrement fécond pour les interactions entre la langue française et le langage
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mathématique puisque la verbalisation en langage naturel des procédures utilisées (prendre le
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double, le triple, le tiers, le quadruple, d’une grandeur) contribue à la fois à l’élargissement du
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répertoire lexical et à et la compréhension d’une notion mathématique.
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Étudier des relations entre deux grandeurs permet d’effectuer de manière efficace des calculs
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en utilisant un langage mathématique adapté, par exemple celui des nombres décimaux ou
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des fractions (sous-domaine 1.3).
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I proportionnalité
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La formation de la personne et du citoyen, plus particulièrement dans son registre « réflexion
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et discernement » (domaine 3.3) est largement convoquée à travers par exemple des
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problèmes de coûts ou de remises relevant ou non de la proportionnalité : apprendre à justifier
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ses choix et à confronter ses propres jugements avec ceux des autres, remettre en cause ses
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jugements initiaux après un débat argumenté.
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La proportionnalité intervient pour résoudre des problèmes relevant de systèmes naturels et
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techniques (domaine 4) et l’utilisation des échelles permet de contribuer à se repérer dans
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l’espace (domaine 5).
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Progressivité des apprentissages
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La notion de proportionnalité est introduite en première année du cycle 3. Le travail
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mené s’appuie tout particulièrement sur les problèmes multiplicatifs traités au cycle 2.
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Les procédures rencontrées au cycle 3 pour résoudre des problèmes de proportionnalité
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continueront d’être utilisées au cycle 4 où seront introduites, en fin de cycle, les fonctions
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linéaires. C’est donc tout au long des trois cycles de la scolarité obligatoire que se construisent
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progressivement les connaissances relatives à la notion de proportionnalité :
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• Au cycle 2, les élèves rencontrent des situations de proportionnalité dans des problèmes
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multiplicatifs.
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Exemple : Un manuel de mathématiques pèse 340 g. Combien pèsent 5 manuels identiques ?
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Ces problèmes préparent les élèves à la reconnaissance de situation de proportionnalité et à
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leur résolution par une procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par
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un nombre.
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• Au cycle 3, les premiers travaux sur la proportionnalité sont proposés dès la première année
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du cycle ; les élèves ont recours à des procédures utilisant les propriétés de la linéarité (pro-
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cédure utilisant la propriété de linéarité pour l’addition, procédure utilisant la propriété de
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linéarité pour la multiplication par un nombre). Ensuite, les élèves rencontrent progressive-
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ment des situations qui nécessitent de combiner des procédures utilisant les propriétés de la
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linéarité (procédure mixte utilisant les propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multi-
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plication par un nombre, passage par l’unité). Pendant la seconde moitié du cycle, s’ajoutent
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des problèmes impliquant des échelles ou des vitesses constantes. Si le coefficient de pro-
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portionnalité est rencontré au cours moyen, notamment lors de travaux sur les échelles, son
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institutionnalisation dans un cadre général peut être reportée en toute fin de cycle 3.
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• Au cycle 4, toutes les procédures introduites au cycle 3 pour résoudre des problèmes de
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proportionnalité continuent à être utilisées en fonction des nombres en jeu dans les pro-
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blèmes proposés et des connaissances de faits numériques des élèves. Des tableaux de
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proportionnalité sont régulièrement utilisés pour résoudre des problèmes ; ils facilitent
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l’utilisation du coefficient de proportionnalité, particulièrement efficace quand un nombre
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important de données doivent être calculées. Le produit en croix est introduit après l’étude
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de l’égalité des fractions ; il permet de calculer rapidement une quatrième proportionnelle,
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quand les nombres en jeu ne permettent pas d’utiliser facilement des procédures basées sur
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les propriétés de linéarité. En fin de cycle, les élèves font le lien entre les fonctions linéaires
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et la proportionnalité.
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Stratégies d’enseignement
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La proportionnalité est appréhendée dans de nombreuses autres disciplines (géographie,
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EPS, sciences et technologie, etc.) ou dans des situations de la vie courante, ce qui permet de
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renforcer le travail mené en mathématiques. L’enseignant propose aux élèves des situations
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variées relevant de la proportionnalité et leur apprend à mobiliser différentes procédures pour
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résoudre des problèmes dans des contextes variés. L’enseignant invite les élèves à comparer
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ces procédures afin de constater que certaines sont plus efficaces que d’autres selon les
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nombres en jeu.
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Pour que la proportionnalité prenne tout son sens, l’élève doit aussi être confronté à des
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I proportionnalité
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situations ne relevant pas de la proportionnalité (« Si je mesure 1 mètre à 10 ans, je peux
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mesurer 2 mètres à 20 ans mais sûrement pas 4 mètres à 40 ans et je sais aussi que je ne
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mesurais pas 10 centimètres à 1 an. »)
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Les propriétés de linéarité1 pour l’addition et pour la multiplication par un nombre doivent être
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le plus souvent possible explicitées et sont une opportunité pour travailler l’expression orale.
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Les procédures relatives à la linéarité sont les premières rencontrées. Les relations entre les
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nombres mis en jeu constituent une variable didactique avec laquelle l’enseignant peut jouer.
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En effet, les rapports entre les nombres en jeu et la connaissance des tables de multiplication
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dans les deux sens (composition-décomposition) par les élèves vont influer sur le choix de la
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procédure à privilégier. L’enseignant propose dans un premier temps des situations mettant en
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jeu des nombres entiers entretenant entre eux des rapports simples (double, triple, quintuple,
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etc.) pour aller progressivement vers des situations plus compliquées (nombres décimaux,
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fractions, rapports plus complexes).
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Les tableaux de proportionnalité ne doivent pas être conçus comme des objets d’enseignement
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; s’ils peuvent permettre de résumer clairement une situation proposée dans un problème, les
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opérations à réaliser pour résoudre un problème de proportionnalité au cycle 3 ne doivent pas
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se faire par un raisonnement sur des lignes ou des colonnes d’un tableau mais uniquement
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sur des cardinaux ou des grandeurs, en explicitant ce qui est fait, tant à l’oral qu’à l’écrit.
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L’enseignant permet aux élèves de dégager les avantages et inconvénients de différentes
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procédures possibles mais ne les présente pas comme les seules procédures attendues lors
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de la résolution d’un problème relevant de la proportionnalité. En variant les nombres et les
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relations numériques, l’enseignant habitue l’élève à changer de procédure pour choisir de
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manière pertinente la plus efficace pour lui.
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Le travail sur la proportionnalité est particulièrement propice au développement des six
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compétences travaillées en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer,
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raisonner et communiquer.
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• Chercher : tester, essayer plusieurs pistes de résolution dans la résolution de problèmes
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relevant des structures multiplicatives.
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• Modéliser : apprendre à modéliser des situations concrètes et reconnaître si elles relèvent
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de la proportionnalité ou non.
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• Représenter : se questionner sur le caractère proportionnel d’une situation représentée
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graphiquement en géographie, en sciences et technologie par exemple (une situation de pro-
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portionnalité entre deux grandeurs a pour représentation graphique un ensemble de points
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alignés avec l’origine).
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• Raisonner : chacune des étapes de résolution d’un problème relevant de la proportionnalité
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(compréhension de l’énoncé, identification d’une situation de proportionnalité, recherche,
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production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement.
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• Calculer : les nombres en jeu et l’état des connaissances des élèves vont permettre de varier
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les modalités de calcul mises en œuvre (calcul mental, en ligne, posé, instrumenté).
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• Communiquer : l’explicitation de ce qui est fait nécessite un réel travail de communication
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tant à l’oral qu’à l’écrit. Différencier le vocabulaire des structures additives « de plus » et
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« de moins » et celui des structures multiplicatives « fois plus » et « fois moins ».
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Dans la résolution de problèmes relevant de la proportionnalité, différentes procédures sont
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à faire travailler par les élèves. Dans chacun des trois thèmes du programme, l’enseignant
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veille à oraliser les procédures possibles en termes similaires, ce qui permet aux élèves
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de les réinvestir dans différents registres – numérique – grandeurs – géométrique, tout en
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comprenant qu’elles relèvent de la même notion.
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Une analyse détaillée des procédures relevant de la proportionnalité est présentée en annexe
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au travers d’une collection d’exercices dont le thème est « Mousse au chocolat ».
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L’analyse a priori de chaque exercice est complétée par des productions d’élèves.
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1. Voir encadré page suivante.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I proportionnalité
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PROCÉDURES UTILISANT LA PROPRIETÉ DE LINÉARITE POUR L’ADDITION
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Domaine « Nombres et calculs »
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8 fois 10 est égal à 80 et 8 fois 3 est égal à 24.
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Comme 13 est égal à 10 plus 3, on en déduit que 8 fois 13 est égal à 80 plus 24.
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Domaine « Grandeurs et mesures »
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5 kg de pommes de terre coûtent 6,40 € et 3 kg coûtent 3,84 €.
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Comme 5 kg moins 3 kg font 2 kg, on en déduit que 2 kg de ces pommes de terre coûtent 6,40 €
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moins 3,84 € soit 2,56 €.
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Domaine « Espace et géométrie »
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La figure ABCD est telle que ACD est un triangle isocèle en A. On donne les dimensions suivantes
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DA = 18,2 cm, DC = 5,6 cm, AB = 11,9 cm et BC = 6,3 cm.
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Sans utiliser de multiplication, indiquer les dimensions de l’agrandissement A’B’C’D’ de cette
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figure telle que A’B’ = 15,3 cm et B’C’ = 8,1 cm.
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Comme DC = 5,6 cm = 11,9 cm – 6,3 cm, on en déduit D’C’ = 15,3 cm – 8,1 cm = 7,2 cm.
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Comme DA = 18,2 cm = 11,9 cm + 6,3 cm, on en déduit D’A’ = 15,3 cm + 8,1 cm = 23,4 cm.
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PROCÉDURES UTILISANT LA PROPRIETÉ DE LINÉARITE POUR LA MULTIPLICATION
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PAR UN NOMBRE
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Domaine « Nombres et calculs »
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7 fois 13 est égal à 91.
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Comme 35 est le quintuple de 7, on a 35 fois 13 est le quintuple de 91 c’est-à-dire 455.
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Domaine « Grandeurs et mesures »
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Une pile de 500 feuilles de papier identiques a une épaisseur de 3,5 cm. Quelle est l’épaisseur
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d’une pile de 2 000 de ces mêmes feuilles ?
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J’ai acheté 35 mangas qui étaient tous au même prix à la librairie et cela m’a coûté 252 €.
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Si ma sœur veut en acheter 5, combien va-t-elle payer ?
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Domaine « Espace et géométrie »
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Dans un agrandissement ou une réduction, les longueurs sur la figure agrandie ou réduite sont
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proportionnelles aux longueurs associées sur la figure initiale. Les situations d’agrandissement
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ou de réduction sont particulièrement riches et propices à la mise en place d’activités à prise
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d’initiatives.
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Certaines procédures utilisent à la fois les propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multi-
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plication par un nombre, on les qualifie alors parfois de « procédures mixtes ».
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Dix objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent quinze de ces objets ?
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Pour résoudre ce problème on peut diviser par 2 le prix de dix objets pour trouver le prix de cinq
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objets (propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre) puis ajouter le prix de dix
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objets et le prix de cinq objets (propriété de linéarité pour l’addition).
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PASSAGE PAR L’UNITÉ
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À la garderie, il faut prévoir 80 centilitres de lait pour 5 enfants.
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Combien faut-il prévoir de centilitres pour 3 enfants ?
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Pour 5 enfants, il faut 80 centilitres de lait.
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1 enfant, c’est 5 fois moins que 5 enfants. 5 fois moins que 80 centilitres c’est 16 centilitres.
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Pour 1 enfant, il faut 16 centilitres de lait.
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3 enfants, c’est 3 fois plus que 1 enfant. 3 fois plus que 16 centilitres c’est 48 centilitres.
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Pour 3 enfants, il faut 48 centilitres de lait.
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En fin de cycle 3, une nouvelle procédure est abordée, elle utilise le coefficient de proportionnalité.
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Si 30 kg de café coûtent 600 €. Combien coûtent 13 kg de café ?
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600 c’est 30 multiplié par 20, il faut multiplier le nombre de kilogrammes de café par 20 pour
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en trouver le prix en euros.
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13 × 20 = 260
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Le prix de 13 kg de café est 260 €.
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On note ici l’utilisation d’une grandeur quotient (le coefficient de proportionnalité) : 20 €/kg.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I proportionnalité
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Le coefficient de proportionnalité
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Dans le cas où les grandeurs sont de natures différentes le coefficient de proportionnalité est
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une grandeur quotient dont l’unité est composée des deux unités en présence (€/L, €/kg,
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€/m, €/m², km/h, kg/L, etc.) et il convient de donner du sens à cette grandeur quotient
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(consommation, vitesse, masse volumique, etc.). La distinction entre un nombre, sans unité,
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utilisé dans les procédures utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un
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nombre et un coefficient de proportionnalité, affecté d’une unité, peut alors se faire au moment
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de la verbalisation des procédures comme présenté dans l’exemple 1 en annexe.
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Dans le cas de grandeurs de même nature liées par une relation de proportionnalité,
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comme les longueurs dans les agrandissements ou réductions de figures ou de solides, le
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coefficient de proportionnalité prend un statut particulier, il s’agit alors d’un nombre sans
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unité2 correspondant à l’échelle, au coefficient de réduction, etc… Les élèves seront amenés
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à distinguer les cas où on raisonne sur des rapports de grandeurs de même nature mais
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exprimés dans des unités différentes des cas où on travaille avec la même unité et où on parle
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alors d’échelle. Voir exemple 2 en annexe.
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L’enseignement curriculaire visé par les nouveaux programmes amène à concevoir l’école
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dans un principe de plus large inclusion. Il s’agit de prendre l’élève là où il en est et de
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l’accompagner dans son parcours personnel. Cela passe par une prise en compte de
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l’hétérogénéité de la classe, une différenciation et une diversification des apprentissages.
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Cette différenciation peut être envisagée en amont de la séance en adaptant les variables
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d’un exercice en fonction des élèves, mais elle doit surtout être effective en classe pendant
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les temps de recherche. L’enseignant pourra ainsi, en circulant dans les rangs, conseiller les
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élèves en fonction de leurs productions et de leurs besoins :
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• inviter un élève n’arrivant pas à démarrer à consulter un exercice effectué précédemment
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pour retrouver une procédure pouvant s’appliquer ici ou encore lui proposer une première
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étape permettant de trouver un résultat intermédiaire, la valeur pour une unité par exemple ;
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• inviter un élève à se relire, à voix basse ou à voix haute, pour corriger une erreur de calcul ;
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• inviter un élève qui utilise toujours la même procédure, peu efficace ici, mais ayant réussi
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l’exercice, à refaire cet exercice modifié par des changements de contexte ou de valeurs
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numériques qui l’obligent à utiliser une autre procédure ;
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• inviter un élève ayant rapidement réussi à traiter le problème proposé, de façon efficace,
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à refaire l’exercice avec d’autres variables nécessitant de trouver une autre procédure ou
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des compétences en calcul plus avancées ;
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• inviter un élève rencontrant d’importantes difficultés en calcul à utiliser une calculatrice
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pour se centrer sur le raisonnement ;
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• etc.
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On voit ici qu’une une prise d’information directe sur les cahiers des élèves, pourra rendre
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caduques certaines corrections collectives.
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Lors des mises en commun et des corrections collectives, la comparaison de différentes
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procédures doit permettre aux élèves d’acquérir ces différentes procédures et de prendre
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conscience qu’en fonction des nombres en jeu dans un problème, certaines sont plus efficaces
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que d’autres : demandant moins de calculs, ou faisant appel à des calculs plus simples,
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elles permettent de gagner en rapidité et de diminuer le risque d’erreurs.
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2. On parle alors de « grandeur sans unité ».
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I proportionnalité
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Exemples de situations d’apprentissage
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• Exemples illustrant la notion de coefficient de proportionnalité
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• Activité : Mousse au chocolat
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• Activité : Puzzle
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Ressources complémentaires
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Supports pédagogiques à destination des professeurs des écoles et des
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professeurs de mathématiques
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• SCEREN (2010). Le nombre au cycle 3, Partie 5, Proportionnalité au cycle 3, p. 64-74.
|
||
• Bonnet N. (2011). La proportionnalité sans problème, CANOPE.
|
||
• CNDP (2002). Document d’application des programmes, Mathématiques, cycle des approfondis-
|
||
sements. Exploitation des données numériques, proportionnalité, p. 16-17. CNDP.
|
||
• CNDP (2002). Document d’application des programmes, Mathématiques, cycle des approfondis-
|
||
sements. Espace et géométrie, Agrandissement, réduction, p. 34. CNDP.
|
||
• Académie de Versailles (2012). Continuité École - Collège, La proportionnalité. Groupes
|
||
départementaux Évaluation / Mathématiques – Commission École-Collège n°4.
|
||
• Ermel (2010). Apprentissages numériques et résolution de problèmes - CM1 Cycle 3.
|
||
Thème 4, module 2 - problèmes de proportionnalité, p. 199-231 et 260-287. Editions Hatier.
|
||
• Ermel (2010). Apprentissages numériques et résolution de problèmes - CM2 Cycle 3.
|
||
Thème 3, module 2 - proportionnalité, p. 217-239 et 281-345. Editions Hatier.
|
||
Supports pédagogiques et didactiques à destination des professeurs des
|
||
écoles, des professeurs de mathématiques, des formateurs 1er et 2nd degrés
|
||
en formation initiale et en formation continue
|
||
• Henry V., Lambrecht P. (2012). Manipulations, proportionnalité et non proportionnalité.
|
||
In Dorier J.-L., Coutat S. (Eds), Enseignement des mathématiques et contrat social : enjeux
|
||
pour le 21e siècle - Actes du colloque EMF2012 (GT10, 1365-1377).
|
||
• Simard A. (2012a). Fondements mathématiques de la proportionnalité dans la perspective
|
||
d’un usage didactique. Petit x, n°89, p. 51-63. IREM de Grenoble.
|
||
• Simard A. (2012b). Le concept de proportionnalité dans la liaison CM2-Sixième. Petit x, n°90,
|
||
p. 35-52. IREM de Grenoble.
|
||
• Voisin S. (2014). L’enseignement de la proportionnalité en SEGPA. Actes du séminaire national
|
||
de didactique des mathématiques, p. 200-218. Paris, Université Paris 7.
|
||
• Voisin S. (à paraître). L’enseignement de la proportionnalité : Une expérimentation en classe
|
||
de SEGPA. Petit x. IREM de Grenoble.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 6
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