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Espace et géométrie au cycle 3
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Cette ressource ne concerne pas les compétences « Se repérer, décrire ou exécuter des
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déplacements, sur un plan ou sur une carte. », « Accomplir, décrire, coder des déplacements dans
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des espaces familiers. » et « Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur
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un écran. » du domaine Espace et géométrie du programme de mathématiques du cycle 3, qui sont
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traitées dans une ressource dédiée : Initiation à la programmation aux cycles 2 et 3.
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Objectifs
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Les objectifs de l’enseignement du thème « Espace et géométrie » pendant la scolarité obligatoire sont
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multiples. Parmi eux, on peut citer :
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Acquérir des connaissances et compétences utiles pour la vie quotidienne :
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- un vocabulaire permettant de nommer les différentes formes géométriques usuelles en deux
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ou trois dimensions qui permettent de modéliser certains objets qui nous entourent ; cette
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modélisation permet ensuite de calculer des grandeurs (périmètre d’un terrain que l’on doit
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entourer d’une clôture, aire d’un mur que l’on doit tapisser, volume d’une pièce dont on doit
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assurer l’aération, etc.) ;
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- comprendre certaines représentations de l’espace (cartes, plans, dessins en perspective) et
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pouvoir s’en servir ou en construire ;
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- des connaissances en programmation, en anticipant des déplacements dans le plan ou
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l’espace, qui préparent les élèves à l’introduction d’algorithmes en informatique.
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Acquérir des connaissances et des automatismes pour la suite de la scolarité :
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- au cycle 4 et au lycée, la géométrie fournit de nouveaux outils performants (la trigonométrie,
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le théorème de Pythagore, les vecteurs, les équations ou systèmes d’équations, etc.) pour
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résoudre certains problèmes, mais une bonne compréhension et une bonne utilisation de ces
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notions nécessitent une réelle connaissance des configurations étudiées à l’école élémentaire
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et au collège ;
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- l’initiation à la programmation de déplacements menée aux cycles 2 et 3 dans le cadre du
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thème « Espace et géométrie » se poursuit au cycle 4 dans le cadre d’un nouveau thème
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« Algorithmique et programmation » qui sert de base non seulement à l’enseignement,
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obligatoire pour tous, d’algorithmique au sein des programmes de mathématiques du lycée
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d’enseignement général et technologique, mais aussi d’enseignements optionnels comme
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l’enseignement d’exploration « Informatique et création numérique » proposé en seconde.
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Acquérir des connaissances utiles en milieu professionnel :
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- des connaissances géométriques sont bien évidemment essentielles pour tous les métiers du
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bâtiment (maçon, architecte, peintre, etc.) et plus largement tous les métiers impliquant la
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construction d’objets en trois dimensions (dessinateur industriel, menuisier, cuisiniste, etc.) ;
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- par ailleurs, les travaux menés dans le cadre de l’initiation à la programmation de
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déplacements, menés aux cycles 2 et 3, sont une première étape pour acquérir les notions
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informatiques de base, aujourd’hui nécessaires à l’exercice de toute activité professionnelle.
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Renforcer les aptitudes à raisonner et à argumenter dans toutes les disciplines :
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- La géométrie euclidienne est, depuis des siècles, un outil de formation sans égal pour
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s’exercer à la logique et au raisonnement. Elle se fonde, en effet, sur cinq axiomes d’où
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découlent des théorèmes et propriétés qui serviront eux-mêmes à en construire de nouveaux. ;
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chaque élément de l’édifice peut ainsi être démontré.
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- Dès le cycle 2, les élèves raisonnent et argumentent en utilisant les définitions et propriétés
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connues pour établir, par exemple, la nature d’une figure plane qui leur est présentée. Ainsi,
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un élève de CE2 ou CM1 peut établir qu’un quadrilatère est un rectangle en s’appuyant sur la
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définition (Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits) et en utilisant une
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équerre pour vérifier que les quatre angles du quadrilatère sont droits. Il peut ensuite établir
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qu’il ne s’agit pas d’un carré en s’appuyant sur une propriété (Un carré a ses quatre côtés de
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la même longueur) et, en utilisant une règle graduée, qu’un côté mesure 3 cm et 8 mm alors
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qu’un autre côté mesure 4 cm et 1 mm.
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Liens avec les domaines du socle
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Le vocabulaire lié aux objets et aux relations géométriques relève d’un langage spécifique à utiliser en
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situation : point, droite, demi-droite, segment, solide, face, arête, sommet, polyèdre, cube, pavé droit,
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pyramide, prisme, boule, cône, polygone, côté, angle, carré, rectangle, losange, parallélogramme, cercle,
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rayon, diamètre, milieu, médiatrice, hauteur, droites parallèles, droites perpendiculaires, etc. Les notations
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de droites, demi-droites, segments, longueurs, angles, etc., les notations représentant le parallélisme(//)
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ou la perpendicularité (⊥), l’utilisation du symbole « égale », comme par exemple ABC ̂ = 32° ou AB = CD,
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sont des éléments constitutifs d’un langage spécifique que les élèves doivent progressivement maîtriser.
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Les différents codages de figures sont d’autres éléments du langage mathématique intégré au domaine 1
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du socle. Ce vocabulaire et ces notations sont introduits au fur et à mesure de leur usage et non au
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départ d’un apprentissage. (Domaine 1)
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La géométrie, à travers les travaux de construction ou les problèmes de recherche, favorise l'implication
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dans le travail commun, l'entraide et la coopération. Pour effectuer des constructions ou pour argumenter,
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les élèves doivent anticiper, planifier des tâches, gérer les étapes. Ils savent qu'un même mot peut avoir
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des sens différents ; ils font, par exemple, la différence entre « un rayon du cercle » qui désigne un
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segment et « le rayon du cercle » qui désigne une longueur et d’autres sens du mot « rayon » utilisés
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dans les autres disciplines ou dans d’autres contextes. Pour acquérir des connaissances et des
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compétences, les élèves mémorisent progressivement des définitions et propriétés, apprennent à
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mobiliser les ressources à leur disposition (affichages, cahiers de savoirs et de savoir-faire, manuels,
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logiciels, etc.), à manipuler, à raisonner, à échanger et argumenter avec leurs pairs et à respecter les
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consignes. (Domaine 2)
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Débattre et argumenter avec ses pairs pour fournir une preuve développent la capacité à écouter les
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autres, à respecter leurs points de vue tout en défendant le sien, à acquérir des règles communes au sein
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La géométrie euclidienne dans le plan repose sur cinq axiomes (aussi appelés postulats) :
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. 1. Par deux points distincts, il passe une et une seule droite.
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2. Tout segment peut être prolongé indéfiniment en une droite.
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3. Pour tout segment, il existe un cercle dont le centre est une des extrémités du segment et dont le rayon est la longueur du
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segment.
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4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
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5. Étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une unique droite passant par ce point et parallèle à la
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première droite.
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de la classe. Les élèves apprennent ainsi à justifier leurs choix et à confronter leur raisonnement à ceux
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des autres et éventuellement à remettre en cause leurs premières conclusions. (Domaine 3)
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Le travail mené en géométrie au cycle 3 contribue à donner aux élèves les fondements de la culture
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mathématique. La géométrie participe notamment au développement de la rigueur intellectuelle, de
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l'habileté manuelle, de l'aptitude à démontrer et à argumenter. (Domaine 4)
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La modélisation en géométrie, l’utilisation et la construction de représentations de solides (perspective,
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patrons), l’utilisation et la production de plans, de cartes ou de maquettes, éventuellement à l’échelle, sont
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de multiples façons de représenter le monde. (Domaine 5)
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Repères de progressivité
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Si certains éléments géométriques sont rencontrés tout au long de la scolarité, la façon dont ils sont
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définis ou identifiés va varier d’année en année. L’argumentation attendue pour justifier qu’un polygone
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donné est bien un rectangle évolue tout au long des quatre premiers cycles. Au cycle 1, la
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reconnaissance est globale, les rectangles sont « plus ou moins allongés » et bien distincts des carrés. Si
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la situation est la même en début de cycle 2, elle évolue quand les élèves apprennent qu’un rectangle a
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quatre sommets, quatre côtés et quatre angles droits, cela leur permet d’acquérir progressivement des
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éléments pour justifier qu’un polygone donné est ou non un rectangle en s’appuyant sur des faits qu’ils
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peuvent eux-mêmes vérifier avec leurs outils en fin de cycle 2 (gabarit d’angle droit, règle graduée,
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équerre). Ces mêmes faits et outils permettent alors aux élèves de construire eux-mêmes des rectangles.
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Au cycle 3, ces faits se structurent davantage au niveau de la définition ou des propriétés qui permettent
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aux élèves d’affirmer qu’un polygone donné est ou n’est pas un rectangle. Au cours de la dernière année
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du cycle, les élèves se détachent progressivement des mesures effectuées directement sur les figures,
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l’équerre n’est plus utilisée pour prouver qu’un angle est droit et la règle graduée ne permet plus de
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justifier que deux segments donnés ne sont pas de même longueur2. Les énoncés disponibles, qui
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continuent de s’enrichir tout au long du cycle 3, concernent également les diagonales du rectangle à partir
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de la classe de sixième. Au cycle 4, les élèves prouvent qu’un polygone est un rectangle en utilisant à la
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fois les connaissances acquises précédemment et de nouveaux outils comme le théorème de Pythagore
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qui leur permet de déterminer des longueurs ou d’affirmer qu’un angle donné est droit. Ces changements
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de registres tout au long de la scolarité nécessitent d’être explicités pour justifier qu’une preuve
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acceptable à un moment donné ou dans un certain contexte ne le sera plus ultérieurement ou dans un
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autre contexte.
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La géométrie n’est pas un champ fermé se développant indépendamment des autres enseignements tout
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au long de la scolarité. Au contraire, de cycle en cycle, elle contribue à développer des compétences
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utiles pour d’autres domaines des mathématiques et les autres disciplines et réciproquement elle s’appuie
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sur des connaissances, savoir-faire et compétences développés dans les différents champs
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disciplinaires.
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Au cycle 1, la place du langage est primordiale, les élèves découvrent un vocabulaire spécifique,
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précis, servant à désigner des solides (cube, pyramide, cylindre ou boule). Ils classent des objets
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selon des caractéristiques liées à leur forme. Les faces des solides rencontrés leur permettent de
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nommer quelques figures planes (carré, rectangle, triangle, disque) qu’ils apprennent ensuite à
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reproduire. Pour se repérer dans l’espace les élèves apprennent à utiliser des marqueurs
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2
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Pour aller plus loin sur ce changement de statut de la figure dans la construction des preuves, le lecteur pourra se reporter à
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l’annexe du document ressources du cycle 4 sur la géométrie plane : Deux géométries en jeu dans la géométrie plane : une qu'on
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appellera « dessinée » et une qu'on appellera « abstraite », par Catherine Houdement et Jean-Philippe Rouquès.
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spatiaux (devant, derrière, droite, gauche, dessus, dessous…) dans des récits, descriptions ou
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explications. Ils apprennent ainsi à restituer leurs déplacements et à en effectuer à partir de
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consignes orales. Ils utilisent ou produisent diverses représentations de l’espace à trois
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dimensions (photos, maquettes, dessins, plans…).
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Au cycle 2, les élèves renforcent à la fois leurs connaissances spatiales comme l’orientation et le
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repérage dans l’espace et leurs connaissances géométriques sur les solides et sur les figures
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planes. Le travail sur les solides est mené exclusivement avec des objets en trois dimensions en
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début de cycle, le vocabulaire sommet, arête et face est travaillé avec des polyèdres ; les
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premières représentations planes de solides (photos ou dessins en perspective, patrons) sont
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introduites en travaillant en parallèle avec les solides et leurs représentations. Apprendre à se
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repérer et se déplacer dans l’espace se fait en lien étroit avec le travail mené dans Questionner le
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monde et en Éducation physique et sportive ; les compétences à développer pour ces repérages
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et ces déplacements s’appuient sur le travail mené à l’école maternelle et permettent aux élèves
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de coder et décoder pour pouvoir représenter et effectuer des déplacements dans des espaces
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familiers ou sur un quadrillage. Les connaissances géométriques contribuent à la construction des
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concepts fondamentaux d’alignement, de distance, d’égalité de longueurs, de parallélisme, de
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perpendicularité, de symétrie. Les figures planes, qui sont reconnues de façon globale en début
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de cycle sont progressivement décomposées en éléments simples : des points (sommets, centre,
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point d’intersection de deux droites), des segments (côtés, rayons, diamètres) et des angles droits
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permettant de les décrire, de les construire avec précision et d’établir, lors des temps
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d’institutionnalisation, des énoncés pour les définir ou rendre compte de certaines de leurs
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propriétés.
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Au cycle 3, le travail mené au cycle 2 pour accomplir, décrire, coder des déplacements ou pour
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programmer des déplacements de robots ou de personnages sur un écran se poursuit en se
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complexifiant. Des logiciels comme Scratch peuvent être introduits dès le début du cycle. De
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même, pour les travaux sur les figures simples le vocabulaire s’enrichit (triangle isocèle, triangle
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équilatéral, losange, parallélogramme, diagonale, médiatrice, etc.) permettant de nommer
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davantage d’objets géométriques, de décrire les figures avec plus de précision et de produire des
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raisonnements argumentés pour établir la nature d’une figure donnée. L’utilisation fréquente des
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outils de construction permet de renforcer la compréhension des propriétés étudiées
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(perpendicularité, égalité de longueurs, parallélisme, milieu, symétrie, égalité d’angles, etc.). En
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lien avec le domaine « Grandeurs et mesures », la notion d’angle est abordée en début de cycle,
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la comparaison d’angles avec l’angle droit (angles obtus ou aigus) permet de discuter la nature de
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certaines figures (triangles rectangles, rectangles, carrés) ; en dernière année de cycle, le
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rapporteur et une unité pour mesurer les angles (le degré) sont introduits, ils permettent la
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construction de nouvelles figures. Le travail sur la symétrie axiale se poursuit, les élèves
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apprennent à construire les symétriques par rapport à une droite de figures de plus en plus
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complexes. Pour les solides, les élèves apprennent à construire eux-mêmes des patrons de
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cubes, qu’ils ont manipulés au cycle 2, puis des patrons de pavés droits. Ils travaillent avec des
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patrons de prismes droits ou de pyramides, qu’ils savent associer aux solides ou aux
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représentations de solides qu’ils permettent de construire. Les élèves apprennent à interpréter et
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à reproduire des représentations en perspective de solides de plus en plus complexes et à
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construire eux-mêmes de telles représentations dans des cas très simples.
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Au cycle 4, les élèves continuent à raisonner, argumenter et discuter sur les propriétés et la
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nature de figures simples ; les informations qu’ils peuvent utiliser sont soit fournies par l’énoncé
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(éventuellement une figure codée), soit déduites de propriétés connues (si deux droites sont
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parallèles alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, propriétés de
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figures planes, angles alternes-internes, etc.) ou de calculs basés éventuellement sur des
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théorèmes connus (somme des mesures des angles d’un triangle, théorème de Pythagore,
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théorème de Thalès, etc.). Le travail dans l’espace se poursuit en continuant à travailler la vision
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dans l’espace avec des vues en perspectives, en coupe, du dessus, etc. ou avec des patrons ou
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des maquettes. Le repérage dans l’espace se complexifie en travaillant le repérage dans un
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parallélépipède rectangle et sur une sphère, en faisant le lien avec la Terre (longitude et latitude).
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Le travail mené sur la programmation de déplacements aux cycles précédents se poursuit dans
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un thème indépendant du thème « Espace et géométrie » appelé Algorithme et programmation au
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sein duquel les élèves sont appelés à écrire, mettre au point et exécuter des programmes simples
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en explorant d’autres champs que celui de la géométrie.
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Stratégies d’enseignement
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Différents types de tâches en géométrie
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Afin de faire émerger et d’enrichir les concepts géométriques, le programme invite à proposer différents
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types de tâches aux élèves :
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Reconnaître : identifier, de manière perceptive, en utilisant des instruments ou en utilisant des
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définitions et des propriétés, une figure géométrique plane ou un solide. Exemple : reconnaître
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qu’un quadrilatère est un rectangle ou reconnaître un rectangle parmi un ensemble de figures
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géométriques.
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Nommer : utiliser à bon escient le vocabulaire géométrique pour désigner une figure géométrique
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plane ou un solide ou certains de ses éléments. Exemple : nommer différents éléments d’un
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disque : rayon, diamètre, centre.
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Vérifier : s’assurer, en recourant à des instruments ou à des propriétés, que des objets
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géométriques vérifient certaines propriétés (points alignés, droites perpendiculaires, etc.), ou
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s’assurer de la nature d’une figure géométrique ou d’un solide.
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Décrire : élaborer un message en utilisant le vocabulaire géométrique approprié et en s’appuyant
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sur les caractéristiques d’une figure géométrique pour en permettre sa représentation ou son
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identification. Exemple : jeu du portrait.
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Reproduire : construire une figure géométrique à partir d’un modèle fourni avec les mêmes
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dimensions ou en respectant une certaine échelle. Exemple : reproduire une figure complexe en
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la décomposant en plusieurs figures simples.
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Représenter : reconnaître ou utiliser les premiers éléments de codage d’une figure géométrique
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plane ou de représentation plane d’un solide (perspective, patron).
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Construire : réaliser une figure géométrique plane ou un solide à partir d’un programme de
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construction, un texte descriptif, une figure à main levée, etc.
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La pratique de ces tâches tout au long du cycle conduit à prévoir une progressivité de période en période
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et éventuellement des éléments de différenciation dépendant des besoins des élèves reposant sur des
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choix et des évolutions concernant :
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le support de construction des figures (papier pointé, quadrillé ou uni, logiciel de géométrie ou de
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programmation, etc.) ;
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la nature des figures, des éléments qui la composent ;
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les éléments directement visibles (analyse « immédiate ») ou non tracés (« à trouver ») pour
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reproduire (alignement, prolongement, milieu, angles droits, parallèles, etc.) ;
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les contraintes pour la reproduction (support, tracé à main levée avec des codages ou tracé avec
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des instruments, présence ou non d’une amorce à compléter, instruments autorisés, à la même
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échelle ou non, etc.) ;
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le support de prise d’information (figure à reproduire à l’identique, dessin à main levée avec des
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codages, programme de construction, description, etc.).
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Les outils de construction
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L’utilisation des outils de construction est un enjeu majeur de l’enseignement de la géométrie au cycle 3.
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Des travaux de reproduction ou de construction doivent être proposés lors de chaque période de chaque
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année du cycle. La manipulation physique des outils contribue à la compréhension et l’assimilation des
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différentes propriétés géométriques (alignement, perpendicularité, parallélisme, etc.) et à la connaissance
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et reconnaissance des figures simples usuelles (triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle
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équilatéral, quadrilatère, etc.).
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Les constructions géométriques ont un rôle essentiel dans les apprentissages. Elles permettent de
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réinvestir les définitions et les propriétés qui ont été institutionnalisées. Ces constructions peuvent
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s’effectuer à partir d’un texte ou d’une figure codée. Le choix des instruments peut être laissé ou non à
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l’initiative des élèves.
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Construire des figures contribue à développer les compétences travaillées en mathématiques, par
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exemple :
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Chercher, en s’interrogeant sur la manière de
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décomposer une figure complexe en figures simples
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pour pouvoir la reproduire.
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Modéliser le sol de la classe par un rectangle ou un
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autre polygone pour le dessiner à une certaine échelle.
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Représenter un pavé droit par un dessin en
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perspective cavalière ou un dessin à main levée pour
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mettre en place une stratégie de construction.
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Raisonner pour pouvoir construire une figure en
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utilisant une définition ou des propriétés connues.
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Tracer un triangle ABC ayant un
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Calculer pour disposer des données nécessaires pour périmètre de 17 cm tel que
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effectuer une construction. 3
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AB = 5 + cm et AC = 6 + cm.
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5
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10 10
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Communiquer en rédigeant un programme de
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construction ou en utilisant des codes sur une figure
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dessinée à main levée.
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Les temps consacrés à la construction de figures doivent être suffisamment longs pour permettre à tous
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les élèves d’effectuer eux-mêmes les constructions attendues.
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Si l’aide entre élèves peut être particulièrement utile et doit être encouragée lors des temps
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d’apprentissage, il est néanmoins nécessaire de s’assurer qu’elle ne consiste pas à « faire à la place
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de », mais qu’elle permet bien à l’élève aidé d’apprendre à chercher, à raisonner, à modéliser, à
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||
représenter et à communiquer pour réaliser la construction demandée. L’accompagnement de
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l’enseignant est ici essentiel pour garantir un apprentissage, tant pour l’élève aidé que pour l’élève aidant
|
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(apprendre à guider, à aider…).
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Ces temps de construction sont propices à un travail différencié, les besoins d’accompagnement et les
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temps nécessaires pour réaliser les figures pouvant être très variables selon les élèves. Il est nécessaire
|
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lors de ces séances de construction d’expliciter aux élèves l’attendu pour tous, de s’assurer que les
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élèves les moins rapides ont bien atteint cet attendu et que les plus performants ont pu être maintenus en
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réelle activité mathématique leur permettant d’aller plus loin, d’acquérir de nouvelles connaissances ou
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compétences, sur l’ensemble de la séance.
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L’institutionnalisation en géométrie
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Comme pour les autres domaines des mathématiques, les élèves ont besoin d’écrits auxquels se référer
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(affichages et cahiers personnels d’élèves). Les énoncés contenus dans ces écrits doivent être connus,
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appris et mémorisés à plus ou moins court terme. Ils sont indispensables au développement
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d’automatismes et à la résolution de problèmes. Les cahiers d’élèves peuvent être utilisés plusieurs
|
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années.
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Les « écrits de savoir », l’institutionnalisation, ne sont pas un préalable au travail mené en géométrie,
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mais une étape qui arrive après de nombreux travaux de construction et d’écrits intermédiaires produits
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par les élèves. Ces « écrits de savoir » ne sont pas une fin en soi. Au contraire, les élèves doivent être
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incités à les utiliser régulièrement dans les travaux de construction et de recherche menés en classe.
|
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Afin de permettre aux élèves de s’appuyer sur les propriétés des figures, l’enseignant veille lors des
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temps d’institutionnalisation ou lors de la conception d’affichages à ce que les figures ne soient pas
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systématiquement placées dans des configurations que l’on qualifie habituellement de « prototypiques » :
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le rectangle ou le carré « posés » sur un côté, le losange « posé » sur un sommet, le segment dont on
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trace la médiatrice tracé horizontalement, etc. En effet, ces configurations conduisent ensuite à des
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conceptions erronées et à des réponses fausses, comme dans les deux exemples ci-dessous :
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B
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A
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C’est un losange
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La médiatrice du segment [AB]
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Les énoncés mathématiques : définitions, propriétés et propriétés caractéristiques
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Pour amener les élèves à reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter et construire des figures
|
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simples, il est nécessaire de les doter d’un certain nombre de définitions, propriétés et propriétés
|
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caractéristiques. Il ne s’agit pas au stade du cycle 3 de faire un cours théorique sur les polygones usuels,
|
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mais de donner des éléments explicites aux élèves pour leur permettre de répondre aux questions
|
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concernant les polygones. L’une des difficultés du travail sur les figures repose sur le fait que
|
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l’argumentation attendue pour répondre à la question « Est-ce que cette figure est un rectangle ? » va
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varier chaque année ou presque du cycle 1 à la fin du cycle 3.
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Trois types d’énoncés sont rencontrés progressivement au cycle 3 : des définitions, des propriétés et des
|
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propriétés caractéristiques. Ces différents types d’énoncés sont notés dans les cahiers lors des phases
|
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d’institutionnalisation et les élèves s’y réfèrent autant que nécessaire pour répondre aux questions qui
|
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leur sont posées.
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||
Une définition est une affirmation qui consiste à donner un nom à un objet vérifiant certaines
|
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propriétés ; elle se formule généralement en employant le verbe être. La définition d’un objet
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géométrique fait référence à des objets ou des relations déjà connus.
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La façon de définir une figure plane n’est pas nécessairement unique et va varier tout au long des
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premières années d’enseignement. Il est néanmoins souhaitable de garder une certaine
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cohérence sur la façon de définir une figure donnée tout au long du cycle.
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Les définitions permettent d’affirmer qu’une figure donnée est bien d’une certaine nature, par
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exemple de pouvoir affirmer qu’un polygone donné est bien un rectangle.
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Ci-dessous sont proposées plusieurs traces écrites pour les élèves du début du cycle 2 à la fin du
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cycle 3 pour « définir » ce qu’est un rectangle :
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En début de cycle 2
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Un rectangle
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En milieu de cycle 2
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Un rectangle
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En fin de cycle 2 et en début de cycle 3
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On appelle rectangle un quadrilatère qui a
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quatre angles droits.
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En milieu de cycle 3
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Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre
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angles droits.
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Un quadrilatère qui a quatre angles droits est
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un rectangle.
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En dernière année de cycle 3
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Définition : Un rectangle est un quadrilatère
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ayant 4 angles droits.
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Le verbe être est généralement utilisé pour les définitions, mais il a un sens particulier dans les
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définitions mathématiques qui n’est pas celui de l’usage quotidien ou des autres disciplines.
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Quand on dit « Un lapin est un mammifère. », cela signifie que tous les lapins sont des
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mammifères et implique une relation d’inclusion entre l’ensemble des lapins et l’ensemble des
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mammifères, l’inclusion est stricte : certains mammifères ne sont pas des lapins. En revanche,
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quand on définit le rectangle en écrivant « Définition : Un rectangle est un quadrilatère ayant
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quatre angles droits. », cela signifie non seulement que tous les rectangles sont des quadrilatères
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ayant quatre angles droits mais aussi que tous les quadrilatères ayant quatre angles droits sont
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des rectangles. On note que pour l’avant-dernière institutionnalisation ci-dessus l’enseignant a fait
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le choix d’écrire la définition dans l’autre sens également pour expliciter davantage cette
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réciprocité.
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Une propriété d’un certain type de figures planes précise des éléments vérifiés par l’ensemble
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des figures de ce type, mais ces éléments peuvent aussi être vérifiés par des figures d’un autre
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type. Par exemple, « Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur » signifie que tous les
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rectangles ont leurs côtés opposés de même longueur. Un parallélogramme qui n’est pas un
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rectangle vérifie aussi cette propriété, qui ne permet donc pas de caractériser un rectangle. Il
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s’agit là d’une condition nécessaire (mais pas suffisante)
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pour être un rectangle. Le verbe avoir est généralement
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utilisé pour énoncer les propriétés.
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Les propriétés ne permettent pas de dire qu’une figure
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donnée est d’un certain type, mais elles peuvent permettre
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de dire qu’elle n’est pas d’un certain type. Par exemple,
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nous pouvons affirmer que le quadrilatère ABCD dessiné
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à main levée ci-contre n’est pas un rectangle car « Un
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3
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rectangle a ses côtés opposés de même longueur. »…
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Au cours du cycle 3 les élèves pourront, par exemple, rencontrer les propriétés suivantes lors de
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leurs travaux sur le rectangle :
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Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur.
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AB = DC et AD = BC
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Un rectangle a ses côtés opposés parallèles.
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(AB)//(DC) et (AD)//(BC)
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Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
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AO = OC et BO = OD
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3
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Il s’agit ici de ce que les mathématiciens ou logiciens qualifient de « raisonnement par contraposée ». Si l’on a l’implication « Si
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A alors B », alors on peut en déduire sa contraposée : « Si non B alors non A ». Par exemple, l’affirmation « Si il pleut alors il y a
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des nuages » est vraie et on peut en déduire que « Si il n’y a pas de nuages alors il ne pleut pas ». La contraposée « Si non B
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alors non A » ne doit pas être confondue avec la réciproque « Si B alors A » qui contrairement à la contraposée n’est pas
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nécessairement vraie, pour notre exemple nous voyons bien que la réciproque « Si il y a des nuages alors il pleut » est fausse…
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Tout ceci est bien entendu hors programme.
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Un rectangle a ses diagonales de même longueur.
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AC = BD
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Une propriété caractéristique permet d’établir la nature d’une figure à l’aide d’éléments autres
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que ceux de sa définition. Une propriété caractéristique peut être formulée au cycle 3 sous la
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forme « Si…, alors… », par exemple : « Si un quadrilatère a ses diagonales qui sont de même
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longueur et qui se coupent en leur milieu, alors c’est un rectangle ». Ce type d’énoncé est
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rencontré en dernière année de cycle 3. Cette formulation « Si…, alors… » pourra être mise en
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lien avec les instructions conditionnelles lors de l’initiation à la programmation.
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Le document Les polygones, en annexe, propose un certain nombre de définitions, propriétés et
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propriétés caractéristiques pouvant être rencontrées au cycle 3 dans le cadre de l’étude des polygones
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usuels.
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Le cas particulier du disque
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Au cycle 1, l’élève a appris à reconnaître et à nommer les disques ou les cercles sans faire la différence
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entre les deux. Au cycle 2, l’élève a construit des cercles de façon libre au départ puis avec des
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contraintes sur le centre, un point du cercle ou le rayon du cercle. Il a, à cette occasion, appris à utiliser
|
||
en situation le mot centre et le mot rayon utilisé principalement dans le sens de longueur, mais également
|
||
pour désigner des segments. En fin de cycle 2, les élèves commencent à différencier la surface appelée
|
||
disque de son contour appelé cercle. Si au cycle 2 l’enseignant veille à ne pas utiliser un mot pour un
|
||
autre tout en restant très tolérant sur l’expression des élèves, au cycle 3 l’enseignant va plus loin et
|
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commence à exiger progressivement des élèves qu’ils fassent également la distinction entre les deux.
|
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Au cycle 3, les temps de recherche et d’institutionnalisation sur le disque ou le cercle sont propices à un
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travail croisé avec l’apprentissage du français. Deux exemples :
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pour mener des travaux sur la polysémie, le mot rayon est particulièrement riche, il a non
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seulement de nombreux sens dans la langue française, mais même en mathématiques il a deux
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sens différents, il peut à la fois désigner un segment (segment d’extrémités un point du cercle et
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le centre du cercle) et une longueur (distance entre un point du cercle et le centre du cercle), le
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mot centre est également polysémique ;
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pour mener des travaux sur les déterminants, on dit « le centre du cercle » et non pas « un centre
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du cercle », on dit « un rayon du cercle » pour désigner un segment d’extrémités un point du
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cercle et le centre du cercle, et « le rayon du cercle » désigne la longueur de ce segment, mais
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||
« le rayon [OA] » désigne un segment particulier…
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Le vocabulaire pouvant être rencontré par les élèves dans le cadre de travaux sur le cercle tout au long
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du cycle 3 est rappelé dans le document Le disque et le cercle en annexe.
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Les angles
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Le travail sur les angles est mené en lien avec les compétences à développer dans le cadre du champ
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Grandeurs et mesures. À l’école élémentaire, le travail ne porte que sur la grandeur « angle », sans
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référence aux mesures. Les élèves sont amenés à comparer des angles, notamment par rapport à l’angle
|
||
droit (angle aigu ou angle obtus), à l’aide d’une équerre ou d’un gabarit. Ils sont également amenés à
|
||
construire des angles superposables en utilisant des gabarits, notamment dans le cadre de reproduction
|
||
de figure de même grandeur ou à l’échelle. Au collège, l’unité de mesure « degré » est introduite, elle
|
||
permet de faciliter la reproduction d’angles ou de figures géométriques à l’aide du rapporteur. Le
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||
vocabulaire utilisé peut éventuellement s’élargir en fonction des besoins, mais ne doit pas faire l’objet d’un
|
||
apprentissage spécifique. Le vocabulaire pouvant être rencontré est rappelé dans le document Les angles
|
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en annexe.
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Les notations en géométrie
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À l’école élémentaire, lorsque des lettres sont utilisées pour désigner des points, des droites ou des
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angles, le professeur veille à toujours préciser explicitement l’objet dont il parle : « le point A », « le
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||
segment [AB] », « le triangle ABC », « la droite d », « l’angle â », etc. Aucune maîtrise n’est attendue des
|
||
élèves pour ce qui est des codages (par exemple, l’usage des crochets pour un segment) avant la
|
||
dernière année du cycle. L’enseignant qui, lui, utilisera toujours la notation correcte au tableau, jugera de
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||
la pertinence ou non de corriger sur les productions des élèves d’éventuelles notations non conformes.
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Les nouvelles notations sont introduites au fur et à mesure de leur utilité, et non au départ d’un
|
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apprentissage.
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Pour mémoire :
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(AB) désigne la droite passant par A et B ;
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[AB) désigne la demi-droite d’origine A passant par B, la notation (BA] n’est pas conforme aux
|
||
usages ;
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[AB] désigne le segment d’extrémités A et B ;
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AB désigne la longueur du segment [AB], on écrit, par exemple, AB = 3,4 cm, mais on ne peut
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pas écrire une égalité de longueur en utilisant la notation [AB] ;
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ABC, sans parenthèses, désigne le triangle de sommets les points A, B et C ;
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une lettre comme d, sans parenthèses, en minuscule, peut être utilisée pour désigner une droite,
|
||
comme dans « le point A appartient à la droite d » ;
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̂ , avec un « chapeau », est utilisé pour désigner l’angle (saillant) de sommet B délimité par les
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ABC
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demi-droites [BA) et [BC) ;
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⏜ désigne un arc de cercle d’extrémités les points A et B, il y en a deux, on peut dire « l’arc AB
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AB ⏜
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passant par C ».
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4
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Les symboles ∈ et ∉ mettent en relation un point et un ensemble de points .
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EXEMPLE DE REPRESENTATION UTILISATION DES SYMBOLES ∈ ET ∉
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Le point C appartient à la droite (AB) se note : C ∈ (AB).
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Le point D n’appartient pas à la droite (AB) se note : D ∉ (AB).
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Le point E appartient au segment [AB] se note : E ∈ [AB].
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||
Le point C n’appartient pas au segment [AB] se note : C ∉ [AB].
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4
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Entre deux ensembles de points on ne parle pas d’appartenance mais d’inclusion, ainsi on ne peut pas dire « le segment [AB]
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appartient à la droite (AB) » ni écrire « [AB] ∈ (AB) », pas plus qu’on ne peut écrire « [CD] ∉ (AB) », la façon correcte de dire les
|
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choses en mathématiques serait : « le segment [AB] est inclus dans la droite (AB) » ce qui s’écrit « [AB] ⊂ (AB) », mais ceci n’est ni
|
||
au programme du cycle 3 ni même au programme du cycle 4.
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Le codage des figures géométriques
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Le codage pour les angles droits et les segments de même longueur est introduit dès la première année
|
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du cycle 3, en habituant les élèves à coder les figures qu’ils construisent ou qui leur sont fournies.
|
||
Ils seront ensuite invités à identifier la nature de figures dessinées à main levée
|
||
mais codées, comme les figures ci-contre. De tels travaux peuvent être menés
|
||
dès la deuxième année du cycle 3, en parallèle d’exercices pour lesquels les
|
||
figures fournies sont en vraie grandeur et les outils comme l’équerre ou la règle
|
||
graduée sont utilisées pour identifier la nature des figures. Ce changement de
|
||
registre doit être explicité autant que nécessaire. L’usage de figures construites
|
||
à main levée peut être particulièrement approprié lors de temps de « questions
|
||
flash » proposées en vidéoprojection. Les temps de mise en commun sont
|
||
l’occasion de travailler l’expression orale en invitant les élèves à présenter de
|
||
façon claire et ordonnée leurs justifications.
|
||
Ce type de travail se poursuit en se complexifiant en dernière année du cycle,
|
||
notamment en utilisant les propriétés rencontrées sur les diagonales de
|
||
quadrilatères.
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Au collège, les élèves rencontrent également un nouveau type de codage
|
||
permettant d’indiquer que deux angles ont la même mesure.
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La symétrie axiale
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Au cycle 2, les élèves ont travaillé sur les axes de symétrie. Ils ont cherché des axes de symétrie de
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figures qui leur étaient fournies ou ils ont complété des figures pour qu’une droite donnée soit un axe de
|
||
symétrie de la figure complétée. Le pliage de la feuille ou l’utilisation de papier calque pouvaient leur
|
||
permettre de mener à bien la tâche qui leur était assignée.
|
||
Au cycle 3, la symétrie axiale est progressivement introduite en lien avec la notion d’axe de symétrie, les
|
||
consignes vont évoluer progressivement de « compléter la figure pour que la droite soit un axe de
|
||
symétrie » à « dessiner le symétrique de la figure par rapport à l’axe ».
|
||
Le pliage de la feuille ou l’utilisation de papier calque n’est alors plus utilisé a priori mais seulement pour
|
||
valider une réponse ou corriger d’éventuelles erreurs.
|
||
Dès la dernière année du cycle 2, l’utilisation de logiciels en ligne permettant :
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||
de placer des axes de symétrie, comme le site Mathenpoche,
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de compléter des figures pour qu’une droite soit axe de symétrie, comme le site Matoumatheux
|
||
ou le site Mathenpoche,
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||
|
||
est particulièrement pertinente, car ces logiciels permettent aux élèves de corriger leurs éventuelles
|
||
erreurs eux-mêmes et immédiatement tout en les obligeant à visualiser intérieurement l’effet de la
|
||
symétrie, le pliage du support n’étant plus possible.
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Reconnaître des axes de symétrie sur le site mathenpoche Compléter une figure pour qu'une droite soit un axe de symétrie sur le site
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mathenpoche
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Compléter une figure pour qu'une droite soit un axe de symétrie sur le
|
||
site matoumatheux
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En début de cycle 3, le travail est mené uniquement sur papier pointé ou quadrillé avec un axe vertical ou
|
||
horizontal dans un premier temps puis avec des axes en diagonale.
|
||
Afin d’éviter de laisser s’installer des conceptions erronées, l’enseignant doit s’assurer de ne pas faire
|
||
construire le symétrique d’une figure qui possède un axe de symétrie parallèle à la droite par rapport à
|
||
laquelle le symétrique de la figure doit être tracé. En effet de telles figures ne permettraient pas de repérer
|
||
les erreurs d’élèves qui effectueraient des translations et non des symétries.
|
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ÉLEVE QUI EFFECTUE UNE TRANSLATION ÉLEVE QUI EFFECTUE BIEN UNE SYMÉTRIE
|
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AU LIEU D’UNE SYMÉTRIE AXIALE AXIALE
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Erreur indétectable
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Erreur visible
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||
De même, ne pas placer l’axe systématiquement au milieu de la
|
||
feuille peut permettre de repérer des élèves qui n’ont pas
|
||
compris que la transformation est à mener par rapport à l’axe et
|
||
non par rapport aux bords de la feuille.
|
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||
|
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En milieu de cycle 3, l’enseignant veillera à proposer une grande variété de situations, en faisant varier :
|
||
5
|
||
le type de quadrillage ;
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||
l’orientation de l’axe ;
|
||
la position de la figure par rapport à l’axe ;
|
||
des figures de plus en plus complexes.
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||
5
|
||
Il est possible de créer des feuilles de papier avec des quadrillages carrés, triangulaires, hexagonaux, en losanges ou de papier
|
||
pointé avec des points alignés ou alternés sur des sites comme http://incompetech.com/.
|
||
Puis apparaitront les premières constructions du symétrique d’une figure sur papier uni en utilisant
|
||
l’équerre et la règle graduée dans des cas très simples (quelques points, segments ou triangles). Le
|
||
pliage pourra être utilisé pour valider les constructions.
|
||
En dernière année de cycle 3, les élèves continuent de construire des symétriques de figures par rapport
|
||
à une droite sur papier quadrillé ou pointé. Ils continuent aussi de construire des symétriques de figures
|
||
par rapport à une droite sur papier uni, les figures se complexifient et l’utilisation de la règle graduée pour
|
||
placer le point image à la même distance de l’axe que le point initial peut être remplacée par l’utilisation
|
||
du compas. La construction de symétriques au compas seulement, sans équerre, pourra être proposée à
|
||
certains élèves, après l’introduction de la médiatrice, lors de travaux différenciés.
|
||
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L’espace et les solides
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Le travail sur l’espace et les solides au cycle 3 s’articule autour de deux grands axes :
|
||
la maîtrise d’un vocabulaire spécifique pour nommer, décrire et reconnaître quelques solides
|
||
usuels ;
|
||
la reconnaissance, l’utilisation et la construction de représentations de l’espace sous forme
|
||
de plan, de vues sous différents angles, de photographies, de patrons, etc.
|
||
|
||
Le travail sur les solides rencontrés au cycle 2 (boule, cylindre, cône, cube, pavé droit, pyramide) se
|
||
poursuit au cycle 3 en s’enrichissant. Comme au cycle 2, les élèves continuent à manipuler des objets en
|
||
trois dimensions qu’ils nomment, trient et classent en utilisant le vocabulaire qu’ils ont appris (noms des
|
||
solides, faces, arêtes, sommets). Les élèves rencontrent de nouveaux solides : des prismes droits et des
|
||
pyramides régulières.
|
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SOLIDE EXEMPLES DE REPRÉSENTATIONS EN PERSPECTIVE
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Un prisme droit est un polyèdre ayant deux
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faces parallèles et superposables appelées
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bases et dont les autres faces sont des
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rectangles.
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Une pyramide régulière est un polyèdre
|
||
dont une face, appelée base, est un
|
||
polygone régulier*, et dont les autres faces
|
||
6
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sont des triangles isocèles.
|
||
*Polygone convexe ayant tous ses côtés
|
||
de même longueur et inscriptible dans un
|
||
cercle.
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||
6
|
||
Étant donnée la complexité d’une définition rigoureuse pour la « pyramide régulière », l’enseignant pourra simplement parler de
|
||
« pyramide » que l’on reconnaitra à sa base, qui est un polygone, son sommet et ses faces latérales qui sont des triangles, en
|
||
veillant à ne présenter aux élèves que des pyramides régulières ou des représentations de pyramides régulières, mais sans
|
||
chercher à différencier celles-ci des pyramides non régulières.
|
||
La progressivité des apprentissages s’organise autour des différentes descriptions, reproductions,
|
||
représentations et constructions. Le document Les solides, en annexe, rappelle quelques éléments sur
|
||
les solides que les élèves doivent reconnaître en fin de cycle 3 et présente des tâches pouvant être
|
||
proposées pour les différents solides mentionnés dans les programmes.
|
||
Les dessins en perspectives peuvent dans un premier temps être faits sur papier pointé, les exercices
|
||
variés permettent de dessiner des cubes, des pavés droits ou des assemblages de cubes ou pavés droits,
|
||
en variant les points de vue.
|
||
Ci-après, quelques exemples d’activités de représentation de volumes sur papier pointé proposées par
|
||
l’IREM de Paris Nord dans le l’ouvrage numérique La troisième dimension, voir et concevoir dans
|
||
l’espace.
|
||
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|
||
Les travaux sur la reconnaissance de patrons (dire à quel solide correspond un patron donné, dire si un
|
||
patron permet de construire ou non tel ou tel solide, etc.) doivent être menés dans un premier temps avec
|
||
des patrons que les élèves pourront plier pour former (ou non) les solides. Afin de leur permettre de
|
||
développer progressivement les arguments permettant de valider ou non un patron (argument sur le
|
||
nombre de faces, sur la position relative des faces, sur la forme des faces, sur la longueur d’arêtes devant
|
||
être assemblées, etc.).
|
||
Des travaux de constructions de solides sont proposés à partir de patrons construits ou complétés par les
|
||
élèves dans le cas de cubes ou de pavés droits, ou fournis par l’enseignant dans le cas de prismes ou de
|
||
pyramides. Des modèles de patrons de tels solides sont disponibles dans divers ouvrages ou sur des
|
||
sites internet, comme par exemple le site http://www.korthalsaltes.com/. Ces travaux de construction de
|
||
solides à partir de patrons doivent permettre de développer l’aptitude à reconnaître le solide
|
||
correspondant à un patron donné ou à accepter ou rejeter le fait qu’un patron fourni permette de
|
||
construire un solide donné.
|
||
En fin de cycle 3, les élèves peuvent être invités à traiter des problèmes liant leurs connaissances sur les
|
||
volumes (grandeurs et mesures) et les solides (Espace et géométrie), par exemple : « Construire le
|
||
3
|
||
patron d’un pavé droit ayant un volume de 72 cm ».
|
||
Au cycle 3, les élèves continuent également à travailler avec des représentations de l’espace et d’objets
|
||
en trois dimensions. Ils sont à la fois confrontés à des représentations en perspective linéaire
|
||
(photographies, tableaux, etc.), où les droites parallèles (dans l’espace en trois dimensions) se coupent
|
||
en un point appelé point de fuite comme sur la photographie ci-dessous et à des représentations en
|
||
perspective cavalière où les droites parallèles ne se coupent pas comme sur le solide ci-dessous.
|
||
|
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||
Aucun cours théorique n’est mené sur ces différents types de représentation en perspective, ni sur leurs
|
||
propriétés, l’enseignant s’assure seulement que les élèves travaillent au cours du cycle 3 avec ces
|
||
différentes représentations et réussissent à faire le lien entre les objets réels, en trois dimensions, et leurs
|
||
différentes représentations en deux dimensions.
|
||
|
||
|
||
Les outils numériques en géométrie
|
||
Au cycle 2 comme au cycle 3, faire le lien entre l’espace en trois dimensions dans lequel nous vivons et
|
||
ses représentations en deux dimensions (dessin, photographies, etc.) peut être difficile pour les élèves.
|
||
L’utilisation de logiciels de géométrie dans l’espace, présentés en vidéoprojection, peut permettre de
|
||
faciliter la compréhension de ces représentations en permettant de faire tourner un objet grâce à un
|
||
logiciel de géométrie dynamique en trois dimensions ou de se déplacer dans un environnement filmé (la
|
||
classe par exemple), en effectuant des arrêts sur image, permettant de lier l’objet ou la scène à une
|
||
représentation en deux dimensions.
|
||
Lors des temps de construction, l’outil numérique peut s’avérer particulièrement utile pour diffuser, en
|
||
boucle, une vidéo de la construction à effectuer à laquelle les élèves pourront se référer s’ils rencontrent
|
||
des difficultés (construction d’un losange en CM1, construction d’une droite parallèle à une autre droite et
|
||
7
|
||
passant par un point donné en CM2, construction d’un angle d’une mesure donnée en sixième ).
|
||
L’utilisation de logiciels en ligne peut être intéressante dans le cadre de travaux sur la symétrie axiale
|
||
pour éviter aux élèves d’avoir recours systématiquement au pliage (voir le paragraphe ci-dessus consacré
|
||
à la symétrie axiale).
|
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||
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|
||
7
|
||
Voir par exemple l’annexe Plus près de l’angle de la ressource Les mathématiques par le jeu, mise en ligne sur la page éduscol
|
||
des ressources d'accompagnement du programme de mathématiques du cycle 4.
|
||
L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique au cycle 3, par l’enseignant face à la classe en
|
||
vidéoprojection ou par les élèves eux-mêmes, doit permettre de familiariser les élèves à un outil qu’ils
|
||
utiliseront au cycle 4 dans le cadre de la résolution de problèmes notamment pour émettre des
|
||
conjectures. Cet outil peut permettre de faire travailler les élèves sur les propriétés des figures
|
||
géométriques planes, en utilisant l’aspect dynamique du logiciel, la déformation d’une figure fera que
|
||
certaines propriétés seront ou non conservées (voir par exemple le document Les quadrilatères en
|
||
annexe).
|
||
Néanmoins, si l’utilisation de logiciel de géométrie dynamique peut présenter des avantages, voire être
|
||
nécessaire pour certains élèves (cas de dyspraxies lourdes, handicap), la manipulation physique des
|
||
outils de construction est essentielle et ne doit pas être négligée, elle est au cœur des apprentissages en
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géométrie au cycle 3.
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Exemples de situations d’apprentissage
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La géométrie flash : La géométrie flash (ou géométrie mentale) est le pendant géométrique de ce qui est
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proposé sur les nombres et le calcul pendant les temps de calcul mental.
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Les solides : Ce document permet de rappeler quelques éléments sur les solides que les élèves doivent
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reconnaître en fin de cycle 3 et présente des tâches pouvant être proposées pour les différents solides
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mentionnés dans les programmes pour « Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter et
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construire quelques solides ».
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Les quadrilatères : Cette annexe présente une activité à mener avec le logiciel Geogebra et permettant de
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renforcer la connaissance des définitions et propriétés des quadrilatères usuels. L’aspect dynamique du
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logiciel est ici utilisé pour déformer des figures conservant certaines propriétés. L’activité est déclinée en 4
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versions (avec 2, 4, 6 ou 8 quadrilatères).
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Les programmes de construction : Au cycle 2, les élèves ont rencontré leurs premiers programmes de
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construction à la fois pour construire des figures en suivant un programme mais aussi en écrivant un
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programme pour construire une figure donnée. Au cycle 3, le travail sur les programmes de construction
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se poursuit avec des constructions plus complexes.
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Activités sur le cube : Quatre activités avec des cubes pouvant être menées avec les élèves de cycle 3.
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Annexes
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Les polygones : Ce document rappelle des éléments de vocabulaire, des définitions, des propriétés et des
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propriétés caractéristiques pouvant être rencontrées au cycle 3 dans le cadre de l’étude des polygones
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usuels.
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Le disque et le cercle : Ce document, à l’usage des enseignants, rappelle le vocabulaire pouvant être
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rencontré par les élèves dans le cadre de travaux sur le cercle tout au long du cycle 3.
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Les angles : Ce document, à l’usage des enseignants, rappelle le vocabulaire pouvant être rencontré par
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les élèves dans le cadre de travaux sur les angles au cours du cycle 3.
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