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Fractions et nombres décimaux au cycle 3
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Pour que les élèves comprennent pleinement les données numériques exprimées avec des
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fractions ou sous forme décimale, et puissent mobiliser ces nombres dans la résolution de
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problèmes, leur première approche de ces notions est essentielle. Elle doit d’abord s’appuyer sur
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des activités dans lesquelles le nombre entier montre ses limites ; les activités de calcul,
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décrochées ou en situation, viennent ensuite appuyer cette construction qui se fait sur toute la
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durée du cycle 3.
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Introduction
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Fractions
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Lorsqu’on coupe une unité en un nombre entier de parts égales et qu’on prend un nombre entier de
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ces parts, éventuellement supérieur au nombre de parts contenues dans cette unité, on obtient une
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fraction.
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2
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La fraction (lire « deux tiers »), rend compte d’un partage de l’unité en trois parts égales puis de la
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3
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prise de deux de ces parts.
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Lorsque le partage de l’unité se fait en un petit nombre de parts (2, 3, 4, ...), et que l’on prend un petit
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1 2 5 3
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nombre de telles parts, on parle de fraction simple : , , , etc.
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3 4 10
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Lorsque le partage de l’unité se fait en un nombre de parts égal à une puissance de 10 (comme 10,
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3 547 3
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100, 1000, …), la fraction obtenue est appelée fraction décimale : , , , etc.2
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10 100 1000
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1
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La notion de fraction « simple » n’est pas définie de façon précise en mathématiques.
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2 7
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On rappelle que 1 est également une puissance de 10. En effet, 1 = 100. La fraction est donc également une fraction
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1
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décimale.
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Exemples de fractions simples
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AVEC DES MOTS AVEC DES SCHÉMAS FRACTION
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Trois cinquièmes L’unité est la longueur d’un segment.
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On partage l’unité en cinq
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parts égales et on prend
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trois parts. On obtient une Une unité partagée en
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3
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quantité égale à trois cinq parts égales 5
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cinquièmes de l’unité. Cette
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quantité est plus petite que
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l’unité.
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Quatre tiers L’unité est la longueur d’une bande (ou son aire).
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On partage l’unité en
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Une unité
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trois parts égales et on
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Une unité partagée en
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prend quatre parts : on
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trois parts égales
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4
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obtient une quantité
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3
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égale à quatre tiers de Un tiers d’unité
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l’unité. Cette quantité
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est plus grande que Quatre tiers d’unité
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l’unité.
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Deux tiers L’unité est l’aire d’un disque.
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On partage l’unité en
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trois parts égales et on
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prend deux parts : on 2
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obtient une quantité
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égale à deux tiers de 3
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l’unité. Cette quantité Une unité Un tiers Deux
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Une unité
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est plus petite que partagée en d’unité tiers
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l’unité. trois parts d’unité
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égales
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Exemples de fractions décimales
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AVEC DES MOTS AVEC DES SCHÉMAS FRACTION
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L’unité est la longueur (ou l’aire) de la bande rectangulaire.
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Une unité
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Sept dixièmes est une 7
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fraction décimale. Une unité partagée en dix parts égales 10
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Un dixième d’unité
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Sept dixièmes d’unité
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AVEC DES MOTS AVEC DES SCHÉMAS FRACTION
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L’unité est l’aire d’un carré.
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Une unité
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Trois-cent-dix-huit centièmes Une unité partagée en cent parts 318
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est une fraction décimale. égales centième d’unité 100
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Un centième d’unité
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Trois-cent-dix-huit centièmes d’unité
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Nombres décimaux
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Au cycle 1, les nombres entiers sont liés aux objets qu’ils ont servi à dénombrer, puis ils s’en
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détachent progressivement pour prendre pleinement leur statut de nombres, indépendants des
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collections. De la même façon, les fractions sont tout d’abord liées aux partages physiques dont elles
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rendent compte, avant de s’en détacher progressivement à travers des comparaisons, des
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rangements, des repérages sur une demi-droite graduée, des calculs, pour prendre pleinement leur
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statut de nombres. Les nombres que l’on peut écrire sous la forme d’une fraction sont appelés les
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3 𝑎
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nombres rationnels . En dernière année de cycle 3, la fraction , où a est un nombre entier et b est
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𝑏
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4
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un nombre entier non nul, est définie comme le nombre qui, multiplié par b, donne a .
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Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
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Très progressivement, sur la durée du cycle 3, l’élève apprend ainsi que le nombre décimal qui s’écrit
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318
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et se dit trois-cent-dix-huit centièmes est aussi trois unités et dix-huit centièmes ou encore trois
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100
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unités et un dixième et huit centièmes puis s’écrit en respectant le principe de la numération décimale
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de position : 3,18. Dans l’écriture à virgule des nombres décimaux, la virgule permet de repérer le
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chiffre des unités.
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3
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L’expression « nombre rationnel » n’est pas au programme du cycle 3. Les élèves s’intéresseront aux nombres rationnels
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dans toute leur généralité au cycle 4.
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4
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Si le numérateur ou le dénominateur ne sont pas des nombres entiers on ne parle plus de fraction, mais d’écriture
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fractionnaire ; ainsi, 2,5/10 n’est pas une fraction, mais est une écriture fractionnaire du nombre « 25 centièmes ».
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Quelles sont les relations entre les différents types de
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nombres5 ?
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Il existe différents types ou familles de nombres ; les mathématiciens parlent d’ensembles de
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nombres. L’ensemble de tous les nombres que l’on peut placer sur une droite graduée s’appelle
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l’ensemble des nombres réels.
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L’ensemble des nombres réels se partage en deux sous-ensembles disjoints :
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l’ensemble des nombres rationnels, composé de tous les nombres qui peuvent s’écrire
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1 17 2
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comme une fraction. Par exemple, 2, 3,18, et sont des nombres rationnels (2 = et
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3 111 1
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318
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3,18 = ).
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100
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l’ensemble des nombres irrationnels, composé de tous les nombres qui ne peuvent pas
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s’écrire comme une fraction. Par exemple, 𝜋 et √2 sont des nombres irrationnels.
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Un nombre réel est donc soit un nombre rationnel soit un nombre irrationnel.
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On peut schématiser la situation de la façon suivante :
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Nombres réels
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Nombres rationnels Nombres irrationnels
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1 17
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2 – 3,18 − 𝜋 −𝜋 √2 −√3
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3 111
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Les écritures décimales des nombres rationnels sont soit finies (limitées) (comme 2 ; 2,0 ; 2,00 ;
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3,18 ou 3,180), soit illimitées et périodiques, c’est-à-dire avec une suite des mêmes chiffres qui se
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1
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répète à l’infini (comme 0,3333…, avec des « 3 » à l’infini, qui est égal à , ou 0,153153153…, avec
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3
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17
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« 153 » qui se répète à l’infini, qui est égal à ).
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111
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Les écritures décimales des nombres irrationnels sont illimitées et non périodiques, comme 𝜋 qui
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peut s’écrire 3,14159265358979323846…, mais les points de suspension signifient ici seulement que
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le développement continue à l’infini ; il n’y a pas de suite de chiffres qui se répètent à l’infini.
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Au cycle 3, les élèves ne rencontrent que des nombres rationnels, à l’exception du nombre irrationnel
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𝜋 utilisé en dernière année de cycle pour calculer la longueur d’un cercle ou l’aire d’un disque. Les
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6
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nombres rationnels, qui au cycle 3 restent des nombres positifs , sont classés dans différents
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ensembles emboités :
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l’ensemble des nombres entiers : 0, 1, 3 ou 1524 sont des nombres entiers, nulle nécessité
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de virgule ou de trait de fraction pour les écrire, même si on peut aussi les écrire avec des
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3
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virgules (3,00) ou avec des barres de fraction ( );
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1
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5
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Ce paragraphe ne contient pas des éléments à enseigner, mais des connaissances pour l’enseignant.
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6
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À l’exception éventuellement de quelques nombres négatifs, rencontrés dans le cas de relevés de températures, mais ces
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nombres ne font pas l’objet d’un travail particulier.
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l’ensemble des nombres décimaux : cet ensemble comprend tous les nombres qui peuvent
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s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Ainsi 3,
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3 30 318
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qui peut s’écrire ou , est un nombre décimal ; de même, 3,18 qui peut s’écrire est
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1 10 100
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également un nombre décimal. Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux.
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l’ensemble des nombres rationnels : cet ensemble comprend tous les nombres qui peuvent
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s’écrire sous forme d’une fraction. Les nombres décimaux peuvent s’écrire sous la forme
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d’une fraction décimale ce sont donc des nombres rationnels. Il existe aussi des nombres qui
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peuvent s’écrire sous forme de fraction mais qui ne sont pas des nombres décimaux, comme
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1 17
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ou .
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3 111
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On peut schématiser la situation de la façon suivante :
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Nombres entiers
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36
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3,18 3
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12
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Nombres décimaux
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19 5
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100 4 Nombres rationnels
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2
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2 5 11
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3 7
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1 17
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Les nombres non décimaux (rationnels ou non rationnels), comme𝜋, √2, ou , admettent une
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3 111
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unique écriture décimale ; elle est illimitée.
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Les nombres décimaux admettent :
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une infinité d’écritures décimales finies obtenues en ajoutant des 0 après la dernière décimale
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non nulle (2,0 ; 2,00 ; etc. 3,180 ; 3,1800 ; etc.) ;
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une écriture décimale illimitée avec des 0 à l’infini (2,000… ou 3,18000…) et pour les nombres
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décimaux non nuls une seconde écriture décimale illimitée avec des 9 à l’infini (2 = 1,999… et
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7
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3,18 = 3,17999…) .
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Lien avec les domaines du socle
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Utiliser les principes du système décimal de numération et les différentes écritures d’un nombre
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décimal pour effectuer des calculs, utiliser une droite graduée et modéliser des situations contribuent
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au développement des langages pour penser et communiquer (domaine 1).
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De plus, l’élève, en s’engageant dans une démarche de résolution de problème nécessitant
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l’utilisation de fractions et/ou de nombres décimaux, en mettant à l'essai plusieurs solutions, en
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mobilisant les connaissances nécessaires, en analysant et en exploitant les erreurs, développe des
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méthodes et des outils pour apprendre (domaine 2). L’engagement dans un travail collectif lui permet
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de développer, dans des situations concrètes, son aptitude à coopérer, à vivre ensemble et à faire
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preuve de responsabilité (domaine 3).
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7
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Ces égalités peuvent être établies en posant, par exemple, x = 3,17999…
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On a alors 10x = 31,7999… et 9x = 10x – x = 31,7999… – 3,17999… = 28,62, d’où x = 28,62 ÷ 9 = 3,18.
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On a donc bien 3,17999… = 3,18.
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On peut aussi utiliser le théorème de convergence des séries géométriques :
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9 1 𝑛 0,009
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3,17999 … = 3,17 + ∑+∞
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𝑛=3 = 3,17 + ∑+∞
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𝑛=3 9 ( ) = 3,17 + 1 = 3,17 + 0,01 = 3,18.
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10𝑛 10 1−10
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La pratique du calcul (mental et en ligne, posé, exact et approché), l’estimation d’ordres de grandeurs
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avec des nombres décimaux contribuent à l’étude des systèmes naturels et des systèmes techniques
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(domaine 4).
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Progressivité des apprentissages
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Le sens des nombres ne se limite pas à des connaissances académiques sur les nombres ; il se
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construit et se manifeste dans la compréhension et l’usage combiné de propriétés, de relations, de
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désignations et par la pratique d’opérations dans lesquelles un nombre intervient comme acteur ou
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comme résultat. Compter, calculer, résoudre des problèmes, mesurer sont ainsi à la fois des mises en
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application et des contributions à la construction de la « notion de nombre ».
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La construction des différents types de nombres (ici : entiers, décimaux, rationnels) s’effectue
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progressivement du cycle 1 au cycle 4. La compréhension des concepts qui les sous-tendent est
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complexe, et nécessite du temps.
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Les nombres décimaux se construisent en continuité et en rupture par rapport aux nombres entiers.
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Au cycle 2, le système de numération que nous utilisons pour écrire en chiffres les nombres
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entiers se construit progressivement. Ce système, qualifié de système décimal de position, est
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fondé sur :
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- le principe de position : 2 n’a pas la même valeur dans les nombres 233 et 323 ; sa
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valeur dépend de sa position dans l’écriture du nombre ;
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- le principe du rapport de dix entre les différentes unités : la valeur d'un chiffre est dix
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fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus
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grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite, ainsi dans 233, le 2
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vaut 200, alors que dans 323, il vaut 20.
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La compréhension et l’appropriation de ce système de position se travaillent à l’aide de
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décompositions et recompositions, en s’appuyant notamment sur la manipulation (plaques,
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barres, petits cubes « unités »), le dessin, la verbalisation, en privilégiant l’oral avant l’écrit.
|
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Par exemple, 235 c’est « 2 centaines, 3 dizaines et 5 unités » ou « 235 unités » ou « 23
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dizaines et 5 unités » ou « 2 centaines et 35 unités ». Ces différentes écritures nécessitent de
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concevoir une centaine non seulement comme cent unités, mais aussi comme 10 dizaines
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d’unités. Ces conversions d’écritures en différentes unités de numération sont à associer aux
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||
conversions d’unités de mesures de longueur, de masse ou de contenance.
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Il est particulièrement important d’installer le principe de position et le principe du rapport de
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dix entre des unités de numération consécutives avec les nombres entiers au cycle 2 et au
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cycle 3, car l’écriture à virgule des nombres décimaux résulte de leur prolongement. En effet,
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dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal, la valeur d’un chiffre dépend de sa position
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dans l’écriture du nombre, et il y a un rapport de dix entre deux unités consécutives.
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||
Au cycle 3, on fait évoluer le statut du nombre pour exprimer des quantités et des mesures
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de grandeurs qui ne sont plus égales à un nombre entier d’unités. L’étude des fractions, initiée
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||
dès le début du cycle, se poursuit en différents temps sur plusieurs mois. Les formulations
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orales (du type « trois quarts » ou « vingt-sept dixièmes ») sont privilégiées dans un premier
|
||
3 27
|
||
temps ; les écritures symboliques ( ou ) apparaissent ensuite très progressivement, avant
|
||
4 10
|
||
que l’écriture d’un nombre décimal sous la forme d’une écriture à virgule n’intervienne.
|
||
L’introduction de l’écriture à virgule, en première année du cycle, ne remplace pas les
|
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écritures utilisant des fractions décimales, ces deux types d’écritures coexistent tout au long
|
||
du cycle, pour renforcer la compréhension du codage que constitue l’écriture à virgule d’un
|
||
nombre décimal. Ces travaux sont l’occasion de nouvelles manipulations où cette fois, si une
|
||
plaque représente l’unité, une barre représentera un dixième et un petit carré ou cube un
|
||
centième, comme dans le tableau de l’introduction pour trois-cent-dix-huit centièmes.
|
||
Une fois introduites, les différentes formulations et écritures cohabitent ; l’introduction de
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||
l’écriture à virgule n’entraine pas la disparition des fractions décimales ; au contraire
|
||
l’utilisation des fractions décimales contribue à donner du sens aux calculs effectués avec les
|
||
écritures à virgule. Le calcul en ligne permet de faire travailler la variété des écritures et des
|
||
décompositions d’un nombre. Par exemple : 3,4 + 12,8 c’est « 3 unités et 12 unités plus 4
|
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dixièmes et 8 dixièmes… » ou « 34 dixièmes plus 128 dixièmes… ».
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||
𝑎
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||
En dernière année de cycle 3, la fraction où a est un nombre entier et b est un nombre entier
|
||
𝑏
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non nul est définie comme étant le nombre qui multiplié par b donne a ; il s’agit du quotient de
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a par b. En poursuivant le travail sur les différentes représentations d’un même nombre, on
|
||
1 6
|
||
amène les élèves à distinguer un nombre de l’une de ses écritures (par exemple, , 0,25,
|
||
4 24
|
||
sont plusieurs représentations du même nombre). Les nouveaux nombres rencontrés au cycle 3
|
||
sont utilisés pour résoudre des problèmes.
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||
|
||
Au cycle 4, on manipule les nombres rationnels en amenant progressivement les élèves à
|
||
comparer, ajouter, soustraire, multiplier et diviser des fractions. On continue à utiliser les
|
||
nombres décimaux lors de la résolution de problèmes, même si on rencontre principalement
|
||
des problèmes nécessitant des calculs avec des nombres rationnels non nécessairement
|
||
décimaux.
|
||
|
||
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||
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||
Stratégies d’enseignement : des fractions simples aux
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||
nombres décimaux
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||
À l’entrée au cycle 3, les élèves ont déjà rencontré des écritures à virgule à travers l’usage social,
|
||
dans le contexte des grandeurs (prix, taille, masse, etc.). Les formulations utilisées à l’oral dans la vie
|
||
courante pour les exprimer, comme « trois euros vingt-cinq » pour 3,25 €, ou « trois mètres vingt-
|
||
cinq » pour 3,25 m laissent entendre que ces nombres sont conçus comme la juxtaposition de deux
|
||
entiers plutôt que comme un nombre décimal. En effet, on dit « trois euros vingt-cinq » ou « trois
|
||
mètres vingt-cinq » tout comme on dit « trois heures vingt-cinq », montrant bien qu’il s’agit là d’une
|
||
juxtaposition des euros et des centimes d’euros, ou des mètres et des centimètres, comme sont
|
||
juxtaposées les heures et les minutes. Démarrer l’apprentissage des nombres décimaux en
|
||
s’appuyant sur cet usage ne favorise de ce fait sans doute pas leur compréhension et risque au
|
||
contraire d’encourager les élèves à concevoir l’écriture à virgule d’un nombre comme étant composée
|
||
de deux nombres entiers, juxtaposés et séparés par une virgule.
|
||
Les ruptures et continuités énoncées dans le paragraphe précédent expliquent le choix indiqué dans
|
||
les programmes, de construire les décimaux à partir des fractions décimales, dès le début du cycle 3.
|
||
Cette construction est un processus progressif qui nécessite du temps et s’organise de façon
|
||
graduelle selon les étapes déclinées ci-dessous ; il est essentiel que les nouveaux éléments introduits
|
||
soient explicitement mis en lien avec les éléments préexistants, et que ces derniers continuent de
|
||
vivre en articulation avec les nouvelles notions.
|
||
Pour chacune de ces étapes, le recours à l’oral est privilégié et les écritures symboliques utilisant le
|
||
trait de fraction et la virgule ne sont introduites qu’une fois le sens construit et non a priori ; le
|
||
repérage sur une demi-droite graduée est une forme de représentation qui participe à la
|
||
compréhension des différentes notions travaillées.
|
||
|
||
|
||
Découverte des fractions, en commençant par des fractions simples
|
||
La notion d’unité est abordée dès le cycle 1, lors de la construction du nombre, dès que l’élève
|
||
dénombre des collections. Au cours du cycle 2, le nombre acquiert un statut indépendant des objets
|
||
des collections qui leur ont donné naissance. Très progressivement se construit l’unité, 1, qui
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correspond à n’importe lequel de ces objets de référence. Cette unité fait office d’étalon pour compter,
|
||
mesurer, comparer, etc., sans faire référence à un objet singulier.
|
||
Les fractions simples
|
||
Les fractions simples sont introduites en début de cycle 3, comme outils pour traiter des problèmes
|
||
que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre et pour lesquels un fractionnement de l’unité
|
||
répond à un besoin. Par exemple, un morceau de ficelle est donné aux élèves, la longueur du
|
||
morceau de ficelle est choisie comme unité. Avec ce morceau de ficelle, il s’agit de mesurer différents
|
||
objets de la salle de classe (la longueur d’une table, la hauteur d’une porte, les dimensions de l’écran
|
||
de l’ordinateur…). Les élèves se rendent compte qu’un nombre entier d’unités ne suffit pas à exprimer
|
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ces longueurs : ils peuvent proposer des formulations telles que « 2 unités plus la moitié d’une unité »
|
||
(en pliant en deux la ficelle), ou bien « entre le quart et la moitié de l’unité ». On voit ici que cette
|
||
première rencontre avec les fractions ne se fait pas sous la forme de 5 demi-unités, mais la longueur
|
||
est exprimée sous la forme d’un nombre entier d’unités et d’une fraction de l’unité.
|
||
Lors de l’introduction de la fraction, le concept d’unité n’est pas nécessairement encore stabilisé. Il est
|
||
donc important de continuer à matérialiser une unité que l’élève puisse manipuler, se représenter et
|
||
répliquer : un segment, une bande, un rectangle, un disque, etc. Dans le cas où un partage de bandes
|
||
8
|
||
ou de segments en 3, 5 ou 6… est à effectuer, un guide-âne peut être utilisé ; il permet d’obtenir
|
||
immédiatement des fractions de dénominateur 3, 5, 6… Varier les supports utilisés pour travailler les
|
||
fractions contribue ainsi à asseoir la compréhension de la notion abstraite d’unité.
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Afin de ne pas induire l’idée qu’une fraction est nécessairement inférieure à 1 et préparer la
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décomposition des fractions décimales menant à l’écriture à virgule, il est souhaitable de côtoyer dès
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5 1
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le début du cycle 3 des fractions supérieures à 1. Le lien entre unités et 2 + unités mentionné
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2 2
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précédemment, doit donc être établi et travaillé régulièrement ; la demi-droite graduée permet d’être
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confronté régulièrement à ces différentes écritures de nombres.
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Lorsqu’on fractionne l’unité, on définit implicitement une nouvelle « unité de comptage » des quantités.
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On définit une fraction en prenant un certain nombre de fois cette « unité de comptage ». Par
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exemple, pour prendre quatre tiers de l’unité, on partage l’unité en trois tiers : le tiers devient la
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nouvelle « unité de comptage ». Quatre tiers est donc défini par « quatre fois un tiers » ou « un tiers +
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un tiers + un tiers + un tiers » (on revient au sens de la multiplication, construite comme une itération
|
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d’additions) donc « une unité + un tiers ». Parmi les différentes décompositions de quatre tiers, « une
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unité + un tiers » est particulièrement adaptée pour encadrer quatre tiers entre deux entiers
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consécutifs.
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L’écriture fractionnaire
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Le passage du mot à son écriture fractionnaire est une rupture, il doit être géré de manière très
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graduelle. Jusque-là, pour un élève, un nombre s’écrit avec des chiffres en utilisant le système de
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numération positionnelle, de gauche à droite. L’écriture d’un nombre sous forme d’une fraction est une
|
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nouvelle convention d’écriture dans laquelle les nombres de part et d’autre du trait de fraction ont une
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signification qu’il convient d’expliciter.
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Le « nombre du dessous » appelé dénominateur (étymologiquement « celui qui nomme ») détermine
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le nombre de parts en lequel on partage l’unité. C’est celui qui permet de définir la nouvelle unité de
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comptage. Le « nombre du dessus » appelé numérateur (étymologiquement « celui qui compte »)
|
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détermine le nombre d’unités de comptage que l’on considère.
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4
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L’écriture symbolique, par exemple , nécessite un effort d’interprétation pour être pensée « 4 fois un
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3
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tiers » et lue « quatre tiers », le nombre du dessus se lit directement 4 alors que le nombre du
|
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dessous ne se lit pas 3 mais s’interprète « tiers ». La lecture « quatre sur trois » n’a à ce stade pas de
|
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sens et est potentiellement source d’erreurs ; elle prendra sens en dernière année de cycle et
|
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deviendra plus tard la seule formulation possible lorsqu’il s’agira de quotients d’expressions littérales
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8
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Voir l’annexe sur le guide-âne.
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3𝑥 2
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(exemple : ). La verbalisation « quatre tiers » joue donc un rôle essentiel dans la construction du
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4𝑥+1
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concept de fraction, elle doit être préalable à l’introduction de la notation symbolique et vivre tout au
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long du cycle 3.
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Les fractions simples comme opérateurs
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Déterminer des fractions d’une quantité ou d’une mesure donnée permet de renforcer le sens des
|
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fractions pour rendre compte d’un partage. Les séances de calcul mental permettent de faire vivre le
|
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travail sur les fractions tout au long des trois années du cycle. On peut par exemple demander aux
|
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élèves d’exprimer sans utiliser de fraction ce que sont « deux tiers de douze œufs » : un tiers de
|
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douze œufs c’est quatre œufs, donc deux tiers de douze œufs c’est huit œufs, ou encore « trois
|
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quarts de cent euros », « trois cinquièmes de cinquante mètres », « sept quarts d’heure », « vingt-
|
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quatre dixièmes de mètre », etc.
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Repérage sur une demi-droite-graduée
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Les nombres exprimés sous forme de fractions simples, permettent aussi de repérer un point sur une
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demi-droite graduée. Pour cela, on partage l’unité en parts égales correspondant au dénominateur de
|
||
la fraction que l’on cherche à placer sur la droite graduée, on peut effectuer cela par pliage ou en
|
||
utilisant un guide-âne. On reporte ensuite la fraction autant de fois que nécessaire. L’écriture d’une
|
||
fraction comme somme d’un entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1 est particulièrement utile
|
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pour placer une fraction sur une droite graduée et donne du sens au travail mené pour passer d’une
|
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écriture à l’autre.
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4
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Le point repéré par 3 est celui qui est situé à trois unités de l’origine ; le point repéré par est celui qui
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3
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4 4 1
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est situé à d’unité de l’origine, que l’on peut repérer en utilisant l’égalité =1+ .
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3 3 3
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De la fraction simple à la fraction décimale
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Le travail sur les fractions simples conduit à rencontrer des fractions ayant un dénominateur égal à 10.
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Il prépare l’introduction des fractions décimales, définies comme des fractions particulières
|
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correspondant à un partage de l’unité en 10, 100, 1 000, etc. À ce stade, la fraction décimale rend
|
||
compte d’un partage, elle n’est pas conçue par les élèves comme un quotient.
|
||
|
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Liens entre les différentes unités de numération, manipulation de diverses écritures de
|
||
nombres décimaux utilisant les fractions décimales, décompositions diverses
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9
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Le fait que 10 centièmes est égal à 1 dixième doit être explicité , par exemple de la manière
|
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suivante.
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Partageons chaque dixième en 10 parts égales. En prenant 10 dixièmes, on obtient donc cent de ces
|
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parts. Or, 10 dixièmes sont égaux à une unité. Les cent parts égales valent donc aussi une unité. Une
|
||
seule de ces parts est donc égale à un centième de l’unité.
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||
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||
9
|
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La propriété « lorsqu’on divise ou lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre, on
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||
obtient une fraction égale » n’est pas encore disponible pour valider ce passage.
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Comme 10 parts égales valaient un dixième, et que chaque part vaut un centième, alors 10 de ces
|
||
parts, donc dix centièmes, valent un dixième. Un tel raisonnement n’est envisageable au cycle 3 que
|
||
par des manipulations avec du matériel (plaques, barres, cubes, carrés, etc.) ou encore avec une
|
||
demi-droite graduée ayant une unité suffisamment longue pour être partagée en 100 parts d’égale
|
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longueur.
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La manipulation de matériel, où un grand carré divisé en 100 petits carrés représente une unité, est
|
||
indispensable pour faciliter la compréhension de cette égalité en considérant une des dix lignes du
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||
grand carré, correspondant donc à un dixième d’unité, ligne composée de 10 petits carrés,
|
||
correspondant donc aussi à dix centièmes d’unités.
|
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Il y a donc plusieurs façons de voir le centième : l’unité partagée en 100, le dixième partagé en dix,
|
||
etc. Il est important de travailler à plusieurs reprises avec les élèves les relations entre les différentes
|
||
unités de numérations, et pas seulement la relation par rapport à l’unité.
|
||
Le travail sur les relations entre les différentes unités de numération permet de faire le lien entre
|
||
différentes écriture d’un même nombre décimal :
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6157 6100 57 57 6100 50 7 50 7 5 7
|
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= + = 61 + = + + = 61 + + = 61 + +
|
||
100 100 100 100 100 100 100 100 100 10 100
|
||
|
||
Parmi ces différentes écritures, deux seront particulièrement mises en avant :
|
||
L’écriture comme somme d’un entier et d’une fraction décimale comprise entre 0 et 1 :
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57
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61 + .
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100
|
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Cette écriture correspond à la décomposition du nombre décimal en la somme de sa partie
|
||
entière (ici 61) et de sa partie décimale (ici 57 centièmes).
|
||
Cette décomposition s’avérera efficace pour conduire des calculs mentaux ou en ligne,
|
||
comparer des nombres, produire des encadrements, repérer un point sur un droite graduée,
|
||
etc. Il est important que le professeur et l’élève puissent garder la trace de cette construction
|
||
pour pouvoir y faire référence tout au long du cycle (trace écrite dans les cahiers, affichage en
|
||
classe, etc.).
|
||
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L’écriture comme somme d’un entier et de fractions décimales de dénominateurs tous
|
||
différents et de numérateurs inférieurs à 10 :
|
||
5 7
|
||
61 + + .
|
||
10 100
|
||
|
||
Cette écriture prépare l’introduction de l’écriture à virgule des nombres décimaux.
|
||
|
||
Comparaisons de nombres décimaux et demi-droite graduée
|
||
En réinvestissant le travail mené sur les fractions simples, et en s’appuyant sur la manipulation ou le
|
||
placement sur une demi-droite graduée, on travaille des relations telles que « 10 dixièmes = 1 unité »,
|
||
« 1 dixième est dix fois plus petit qu’une unité », « 20 dixièmes = 10 dixièmes + 10 dixièmes = 1 unité
|
||
+ 1 unité = 2 unités », « 13 dixièmes = 10 dixièmes + 3 dixièmes = 1 unité + 3 dixièmes » ou « 500
|
||
centièmes, c’est 5 fois 100 centièmes, donc 5 unités »
|
||
Sur une demi-droite, le partage de l’unité en 10 ou en 100 permet de donner du sens aux mots
|
||
dixième et centième.
|
||
|
||
|
||
0 1 2 3
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
10 1
|
||
Placer des fractions décimales sur une droite graduée permet de travailler les égalités = ;
|
||
100 10
|
||
100 10 100
|
||
= = 1, = 10 unités, etc. en décomposant des écritures fractionnaires :
|
||
100 10 10
|
||
237 200 30 7 3 7
|
||
100
|
||
= 100 + 100 + 100 = 2 + 10 + 100.
|
||
Ces travaux ne sont pas à concevoir comme des exercices procéduraux dans lesquels l’élève peut
|
||
réussir par mimétisme, mais comme des situations permettant de travailler la flexibilité entre les
|
||
différentes écritures, en développant la compétence « Représenter ».
|
||
Des activités mentales régulières, du type « Donne une autre écriture de 60 dixièmes », « Combien y
|
||
a-t-il d’unités dans 70 dixièmes ? », « Quel est le nombre d’unités dans 4 dizaines et 40 dixièmes ? »,
|
||
328
|
||
« Y a-t-il un nombre entier compris entre et 43 dixièmes ? », « Combien y a-t-il de dixièmes dans 3
|
||
100
|
||
536
|
||
unités et 5 dixièmes », « Encadre entre deux nombres entiers qui se suivent » contribuent à
|
||
100
|
||
travailler l’aspect décimal de la numération.
|
||
569 216
|
||
En revanche, un élève peut réussir par mimétisme un exercice procédural du type « Écrire et
|
||
100 100
|
||
sous la forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1 comme dans
|
||
328 28
|
||
l’exemple suivant =3+ » sans que cet exercice lui permette de construire le sens des
|
||
100 100
|
||
écritures manipulées.
|
||
Les exercices de comparaison de nombres donnés sous des formes différentes favorisent le passage
|
||
7 512
|
||
d’une écriture à une autre : « Compare 3 + et 35 dixièmes » ; « Compare et 5 unités 12
|
||
10 100
|
||
dixièmes », etc.
|
||
|
||
Calculs avec des fractions décimales
|
||
Il est important de conduire un travail de longue durée sur des calculs mobilisant des fractions
|
||
décimales. Ce travail permet de renforcer la compréhension du lien entre les unités, les dixièmes et
|
||
les centièmes. Il permet également de donner du sens aux procédures qui seront utilisées
|
||
ultérieurement pour effectuer des calculs avec des nombres décimaux écrits sous forme de nombres à
|
||
virgule.
|
||
8 9
|
||
Par exemple : « Calcule la somme de 3 + et 12 + ».
|
||
10 10
|
||
|
||
Voici diverses procédures d’élèves pour la réalisation de cette tâche :
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En calcul en ligne :
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8 9 17
|
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- 3 + + 12 + = 15 +
|
||
10 10 10
|
||
8 9 30 8 120 9 167
|
||
- 3+ + 12 + = + + + =
|
||
10 10 10 10 10 10 10
|
||
8 9 17 10 7 7 7
|
||
- 3+ + 12 + = 15 + = 15 + + = 15 + 1 + = 16 +
|
||
10 10 10 10 10 10 10
|
||
À l’oral :
|
||
« 3 unités 8 dixièmes plus 12 unités 9 dixièmes » égale « 15 unités 17 dixièmes » égale
|
||
« 15 unités 10 dixièmes plus 7 dixièmes » égale « 15 unités et 1 unité 7 dixièmes » égale
|
||
« 16 unités 7 dixièmes »
|
||
« 3 unités 8 dixièmes plus 12 unités 9 dixièmes » égale « 4 unités plus 12 unités 7
|
||
dixièmes » égale « 16 unités 7 dixièmes »
|
||
« 3 unités 8 dixièmes plus 12 unités 9 dixièmes » égale « 38 dixièmes plus 129
|
||
dixièmes » égale « 167 dixièmes »
|
||
|
||
Avant d’introduire l’écriture à virgule, il est nécessaire de faire travailler les élèves sur des situations
|
||
variées mobilisant des fractions décimales, en veillant à ne pas se limiter à des exercices répétitifs
|
||
uniquement techniques convoquant la reproduction plutôt que la compréhension.
|
||
|
||
|
||
Introduction de l’écriture à virgule
|
||
L’écriture à virgule est une convention qui permet d’écrire les nombres décimaux en prolongeant le
|
||
système décimal de position utilisé pour écrire les nombres entiers :
|
||
la virgule sert à repérer le chiffre des unités, elle est placée immédiatement à droite de celui-
|
||
ci ;
|
||
le chiffre qui est immédiatement à droite de l’unité a une valeur dix fois plus petite que celle de
|
||
l’unité : c’est donc le chiffre des dixièmes ; le chiffre qui vient immédiatement à droite du
|
||
chiffre des dixièmes a une valeur dix fois plus petite que le chiffre des dixièmes, c’est donc le
|
||
chiffre des centièmes car 10 centièmes = 1 dixième, etc.
|
||
24 dixièmes c'est 20 dixièmes et 4 dixièmes donc 2 unités et 4 dixièmes que l'on va, par convention,
|
||
écrire 2,4.
|
||
358 300 50 8 5 8 358
|
||
= + + = 3 + + . Ainsi, est égal à 3 unités, 5 dixièmes et 8 centièmes, soit, par
|
||
100 100 100 100 10 100 100
|
||
convention 3,58.
|
||
La bonne compréhension de la notation à virgule sera travaillée tout au long du cycle, notamment
|
||
avec des nombres dont l’écriture contient des zéros, nécessitant de bien comprendre ce que
|
||
représente chaque chiffre dans l’écriture à virgule. Par exemple, les élèves peuvent être invités à
|
||
donner l’écriture à virgule de nombres décimaux comme : 3 unités et 5 centièmes ; 6 dizaines et 5
|
||
5 7
|
||
centièmes ; 8 + ; ; 5 dixièmes ; etc.
|
||
100 100
|
||
|
||
Il convient d’être vigilant dans la construction simultanée du sens (compréhension de l’aspect
|
||
positionnel et décimal de notre numération) et de la technique lors des travaux dédiés aux
|
||
changements d’écriture d’un même nombre : un élève pourrait donner l’illusion de maitriser les
|
||
transformations d’écritures alors qu’il n’agit que par mimétisme, notamment s’il utilise un tableau de
|
||
numération.
|
||
Par exemple, un élève pourrait réussir un exercice procédural du type « Décompose comme dans
|
||
5 8
|
||
l’exemple suivant : 3,58 = 3 + + les nombres 7,59 et 6,17 » sans avoir compris la numération
|
||
10 100
|
||
décimale de position.
|
||
En revanche une tâche plus ouverte du type « Donne différentes écritures de 12,8 » ou « Donne
|
||
128
|
||
différentes écritures de », laisse davantage d’initiatives aux élèves et offre la possibilité de
|
||
10
|
||
recueillir un grand nombre de réponses différentes, y compris incorrectes, ce qui permet de travailler
|
||
les liens entre les diverses écritures et de concevoir les erreurs comme des étapes nécessaires à la
|
||
bonne appropriation de la notion de nombre décimal.
|
||
358
|
||
L’oral est un terrain privilégié pour travailler l’égalité entre différentes écritures. Ainsi, l’égalité =
|
||
100
|
||
300 50 8
|
||
+ + s’énoncera naturellement « 358 centièmes, c’est 300 centièmes auxquels on ajoute 50
|
||
100 100 100
|
||
centièmes, puis 8 centièmes ».
|
||
Le travail de décomposition déjà réalisé avec les entiers doit être poursuivi avec les nombres
|
||
décimaux et leur écriture à virgule.
|
||
Exemples : 43,6 c’est « 4 dizaines, 3 unités et 6 dixièmes » ou « 43 unités et 6 dixièmes » ou « 436
|
||
dixièmes » ou « 4 360 centièmes », etc.
|
||
L’utilisation régulière de la demi-droite graduée, avec d’éventuels zooms successifs, permet de
|
||
travailler l’intercalation entre deux décimaux et de déterminer la position d’un nombre sur la demi-
|
||
droite graduée avec de plus en plus de précision. Cela contribuera également à aider les élèves à ne
|
||
pas voir un nombre décimal comme deux entiers séparés par une virgule, mais bien comme un
|
||
nombre à part entière. Les élèves peuvent placer des nombres décimaux sur une demi-droite
|
||
graduée, mais aussi lire des nombres placés sur une demi-droite graduée, comme dans l’exercice ci-
|
||
dessous où l’élève doit lire 339,16 grâce aux zooms successifs.
|
||
|
||
|
||
« Écrire le nombre qui convient dans le rectangle. »
|
||
|
||
300 400
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Le passage d’une écriture sous forme de fraction décimale à une écriture à virgule nécessite du temps
|
||
pour que la signification en soit maîtrisée. L'usage de l'oral est primordial et doit être sans cesse repris
|
||
à l'école comme au collège : 2,4 se lira « deux et quatre dixièmes » plutôt que systématiquement « 2
|
||
virgule 4 » ; cette dernière formulation contribue en effet à ce que l’élève conçoive le nombre décimal
|
||
comme la juxtaposition de deux entiers et son emploi trop souvent exclusif génère de nombreuses
|
||
erreurs dans les diverses utilisations (comparaison, opérations) des écritures à virgule. Il est de ce fait
|
||
absolument nécessaire, sur toute la durée du cycle 3, de varier les formulations et de faire vivre
|
||
différentes manières de désigner les nombres décimaux, cette flexibilité à passer d’une formulation à
|
||
l’autre, ou d’une représentation à l’autre, est essentielle pour accéder à la compréhension des
|
||
nombres décimaux.
|
||
Comparer, ranger, encadrer et intercaler des nombres décimaux
|
||
Des activités pour comparer, ranger et encadrer des nombres décimaux ou encore intercaler un
|
||
nombre décimal entre deux nombres décimaux ont déjà été menées avec des nombres décimaux
|
||
écrits en utilisant des fractions décimales. Les élèves doivent apprendre à mener ces mêmes activités
|
||
avec des nombres décimaux écrits avec des virgules. Comparer des nombres comme 31,7 et 31,28
|
||
se heurte aux règles établies au cycle 2 sur les nombres entiers (puisque 7<28, il pourrait sembler
|
||
naturel que 31,7<31,28) et nécessite, dans un premier temps, de revenir au sens du codage de
|
||
l’écriture à virgule en s’appuyant sur les travaux menés avec les fractions décimales. Ces activités de
|
||
comparaison vont donc contribuer à retravailler les aspects positionnel et décimal de la numération
|
||
écrite chiffrée des nombres décimaux.
|
||
Le choix des nombres dans les activités proposées doit s’appuyer sur les difficultés des élèves et les
|
||
obstacles repérés par la recherche pour s’assurer qu’ils sont bien surmontés par tous. Un certain
|
||
nombre de ces obstacles sont rappelés dans le point 7 de cette partie du document.
|
||
|
||
|
||
Par exemple, pour comparer deux nombres décimaux ayant la même partie entière, plusieurs
|
||
conceptions erronées sont assez fréquentes :
|
||
Conception 1 : « Comme pour les entiers, le nombre le plus long est le plus grand », qui
|
||
conduit à écrire que 17,3<17,12.
|
||
Conception 2 : « Les nombres décimaux sont deux entiers séparés par une virgule ; si le
|
||
nombre avant la virgule est le même, je compare les nombres après la virgule », qui conduit à
|
||
écrire que 17,3<17,12 car 3<12 et que 17,2<17,07 car 2<7.
|
||
Conception 3 : « Les nombres décimaux sont deux entiers séparés par une virgule ; si le
|
||
nombre avant la virgule est le même, je compare les nombres après la virgule, sauf s’il y a un
|
||
zéro juste après la virgule, car le zéro rend le nombre plus petit », qui conduit à écrire que
|
||
17,3<17,12 car 3<12, tout en donnant la bonne réponse pour 17,07<17,2.
|
||
Conception 4 : « Les dixièmes sont plus grands que les centièmes », qui conduit à penser que
|
||
5 dixièmes est plus grand que 72 centièmes et donc 17,72<17,5.
|
||
|
||
Pour repérer ces conceptions erronées, il sera nécessaire de faire verbaliser l’élève, de lui faire
|
||
expliciter précisément comment il procède pour comparer deux nombres donnés. À l’écrit, il sera
|
||
nécessaire de poser suffisamment de questions, mais surtout des questions construites
|
||
spécifiquement pour déceler les conceptions erronées que l’on cherche à repérer. Les temps de
|
||
recherche individuelle en classe doivent permettre à l’enseignant, en circulant dans les rangs,
|
||
d’assurer ce repérage, d’analyser précisément les raisons de ces erreurs et d’apporter à l’élève
|
||
concerné les compléments appropriés.
|
||
Les comparaisons et les changements d’écriture de nombres décimaux doivent conduire à des
|
||
réussites parfaitement stabilisées. De nombreuses réussites pouvant être le résultat de conception
|
||
erronées (« 3,4<3,62 car 4<62 », « 3,4<3,62 car 3,62 est plus long », etc.), la moindre erreur pourra
|
||
être révélatrice d’une mauvaise conception importante et nécessitera donc une investigation
|
||
approfondie de l’enseignant pour qu’il puisse apporter l’aide appropriée.
|
||
Calculer avec des nombres décimaux
|
||
Le calcul sur les nombres décimaux ne se limite pas au calcul posé ; le calcul mental et le calcul en
|
||
ligne menés en classe portent fréquemment sur les nombres décimaux, les mises en commun de
|
||
procédures de calcul mental ou en ligne sont l’occasion de fréquents allers-retours entre les
|
||
différentes écritures d’un même nombre décimal.
|
||
Les calculs effectués s’appuient sur le sens des écritures sous forme de fractions décimales ou
|
||
d’écritures à virgule et contribuent dans le même temps à comprendre l’intérêt de passer de l’une à
|
||
l’autre ainsi que la signification de ces écritures.
|
||
Les documents ressources Le calcul aux cycles 2 et 3 et Le calcul en ligne au cycle 3 fournissent un
|
||
certain nombre de pistes de travail concernant le calcul avec des nombres décimaux.
|
||
|
||
|
||
La fraction pour exprimer un quotient
|
||
Cette partie concerne la dernière année du cycle 3. Le guide-âne est utilisé ici comme simple outil, la
|
||
justification de son fonctionnement relève de la fin du cycle 4.
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La recherche du nombre qui, multiplié par 5, donne 13 unités (autrement dit la solution de la
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multiplication à trou 5 × … = 13) aboutit à la recherche du résultat de la division 13 ÷ 5. En calcul en
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ligne, l’élève a appris que « 13 divisé par 5 », c’est « 10 divisé par 5 plus 3 divisé par 5 », donc « 2
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unités + 3 divisé par 5 ». « 3 divisé par 5 », c’est aussi « 30 dixièmes divisé par 5 », c’est-à-dire « 6
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dixièmes ». On obtient ainsi que « 13 divisé par 5 est égal à 2 unités et 6 dixièmes, c’est-à-dire 2,6 ».
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Le nombre qui, multiplié par 5, donne 13 s’appelle le quotient de 13 par 5, et ce quotient est 2,6.
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13
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L’écriture , dans la conception partage travaillée au cours moyen, représente « 13 cinquièmes de
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5
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l’unité ». Or, un cinquième de l’unité, c’est l’unité partagée en 5 ; une unité est égale à dix dixièmes,
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10
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un cinquième de l’unité est donc égal à 2 dixièmes de l’unité ; on montre ainsi que « 13 cinquièmes
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de l’unité » est égal à 13 fois 2 dixièmes de l’unité, soit 26 dixièmes, ou 2,6. Ce raisonnement permet
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13
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de valider le fait que l’écriture , sera aussi utilisée pour noter le quotient de 13 par 5 ; on parlera
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5
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13
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cette fois de la conception quotient de la fraction .
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5
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Ces différentes explicitations doivent s’appuyer sur des supports visuels : expressions en jeu, figures,
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manipulations d’objets, etc.
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Au cycle 4, on privilégiera la division et la conception de la fraction en tant que quotient.
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La recherche du nombre qui, multiplié par 3, donne 7 (autrement dit la solution de la multiplication à
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trou 3 × ... = 7) aboutit au fait qu’aucun nombre décimal ne peut convenir : on peut seulement
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approcher la solution en divisant 7 par 3.
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7
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est le nombre par lequel il faut multiplier 3 pour obtenir 7, ce n’est pas un nombre décimal.
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3
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7
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est le quotient de 7 par 3 : il n'est pas conçu ici comme « sept tiers de l'unité », mais comme
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3
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« le tiers de sept ».
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10
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La propriété « lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre, on obtient une
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fraction égale » n’est pas encore disponible pour valider ce passage.
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Comme précédemment, il faut concilier ces deux approches : sept tiers c'est 1 partagé en 3 pris 7 fois
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ou encore 7 fois le tiers de 1 (fraction partage), et c'est la même chose que 7 partagé en 3, ou encore
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le tiers de 7 (fraction quotient).
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Le guide-âne (réseau de droites parallèles) permet de montrer l’égalité des longueurs d’un segment
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qui mesure sept tiers de l’unité et d’un segment mesurant le tiers de sept unités :
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Sept tiers de l’unité
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À l’aide d’un réseau de droites parallèles, on partage un segment d’une unité de longueur en trois
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parties égales. Sur la droite portant ce segment, on trace un segment dont la longueur correspond à
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sept fois le tiers de l’unité.
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On trace ensuite un segment de longueur 7 unités.
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À l’aide d’un réseau de droites parallèles, on partage ce segment en trois parts égales ; chaque part
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mesure donc le tiers de sept unités. On constate alors, en comparant par juxtaposition les longueurs
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des deux segments obtenus, que « sept tiers de l’unité » correspond au « tiers de sept unités ».
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Le tiers de
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sept unités
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Les validations explicitées ci-dessus pour concilier les deux conceptions de la fraction (partage et
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quotient) ne peuvent être menées et comprises en autonomie par les élèves. Il est important que le
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professeur explicite ce passage, de façon à ce que les élèves comprennent que les deux conceptions
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de la fraction représentent en réalité le même nombre.
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Dans la suite des apprentissages, les différentes conceptions de la fraction cohabitent. On fait le lien
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avec la division à quotient décimal et on met en place les procédures de comparaison et de calcul,
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très progressivement au cours du cycle 4. On approche les fractions par des nombres décimaux, en
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distinguant la valeur exacte, l’arrondi et des valeurs approchées. Dans certaines situations concrètes,
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les décimaux permettent d'approcher ou d'encadrer des fractions avec la précision voulue.
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Erreurs et obstacles fréquents
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La familiarité que les élèves ont acquise à travers l’usage social des écritures à virgule des nombres
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décimaux ne garantit pas qu’ils en maitrisent le sens. Le fait d’appréhender 32,50 € comme 32 € et 50
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centimes induit une représentation du nombre décimal comme juxtaposition de deux entiers et n’est
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pas entendu comme une partition de l’unité.
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Cette juxtaposition génère des obstacles, comme le traitement indépendant de la partie entière du
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nombre formé par les chiffres écrits à droite de la virgule lors des opérations, comme 1,7 + 3,12 =
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4,19 au lieu de 4,82. Par ailleurs, cet usage courant privilégie une seule des écritures possibles du
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nombre. La même remarque peut être faite avec le système métrique : si des liens sont à établir,
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3
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comme par exemple 3 cm = 3 centièmes de mètre = m = 0,03 m, une introduction de l’écriture à
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100
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virgule s’appuyant uniquement sur les unités de longueurs risque de contribuer à développer des
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conceptions erronées des écritures à virgule des nombres décimaux chez les élèves.
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L’enseignant doit avoir conscience des ruptures qui existent entre les nombres entiers et les
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nombres décimaux ; en effet, certaines connaissances, valides pour les nombres entiers, ne le sont
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plus pour les nombres décimaux :
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les nombres décimaux s’étendent au-delà des nombres entiers qui servent à dénombrer des
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collections d’objets ;
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l’unité devient une entité que l’on peut partager ;
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on ne peut pas parler du successeur d’un nombre décimal, par exemple : quel nombre
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viendrait après 7,3 ? ;
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lorsqu’on compare deux nombres décimaux, celui dont l’écriture à virgule s’écrit avec le plus
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de chiffres n’est pas nécessairement le plus grand ;
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entre deux nombres décimaux on peut intercaler une infinité d’autres nombres décimaux ;
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la multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal ne peut plus être conçue comme
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une addition itérée ;
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lorsqu’on multiplie un nombre par un nombre décimal on n’obtient pas toujours un nombre
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plus grand que le nombre de départ (4 x 0,7 = 2,8 et 2,8 est inférieur à 4)…
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Ces ruptures constituent des points de vigilance à expliciter et à travailler, et sont souvent sources
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d’obstacles pour les élèves. Il est ainsi nécessaire, comme le montre le tableau ci-dessous, que les
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apprentissages liés aux nombres entiers au cycle 2 soient pensés pour ne pas générer d’obstacles
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lorsqu’on introduira les nombres décimaux au cycle 3.
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Voir des exemples d'erreurs observées en annexe.
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Exemples de situations d’apprentissage
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Les trois annexes ci-dessous proposent différentes situations qui ont été mises en œuvre dans des
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classes du cycle 3. Si certaines situations sont clairement destinées aux élèves en dernières années
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de cycle 3, aucune n’est « réservée » aux élèves de première ou deuxième année de cycle 3. En
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effet, les fractions simples et les fractions décimales sont rencontrées tout au long du cycle et
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l’introduction de l’écriture à virgule pour les nombres décimaux n’entraîne pas la disparition des
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écritures impliquant des fractions décimales. De plus, des retours peuvent être régulièrement
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nécessaires pour la classe toute entière ou pour quelques élèves rencontrant des difficultés avec ces
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nouveaux outils.
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annexe 1 : Découverte des fractions, en commençant par les fractions simples ;
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annexe 2 : De la fraction simple à la fraction décimale ;
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annexe 3 : Introduction de l’écriture à virgule.
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Le document suivant propose un outil pouvant être utile tout au long du cycle 3, voire avant, pour
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éviter que les élèves construisent des automatismes erronés, éloignés du sens, pour les
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multiplications ou divisions d’un nombre, entier ou décimal, par 10, 100 ou 1000.
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annexe 4 : La glissière à nombres.
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La dernière annexe concerne plus particulièrement la dernière année du cycle 3, où l’utilisation d’un
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guide-âne peut se montrer utile pour diviser un segment en un nombre de parties qui n’est pas une
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puissance de 2.
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annexe 5 : Le guide-âne.
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