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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
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MATHÉMATIQUES
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Grandeurs et mesures
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Grandeurs et mesures au cycle 3
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Introduction
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Les grandeurs et les mesures de grandeurs sont enseignées du cycle 1 au cycle 4. Elles
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font l’objet d’un thème d’étude spécifique des programmes de mathématiques pendant
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toute la scolarité obligatoire. Au cycle 2, dans la poursuite des premiers apprentissages
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réalisés en maternelle à partir de manipulations et d’observations sur la longueur, la masse
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et la contenance, les connaissances sur ces grandeurs commencent à se structurer en
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même temps que sont progressivement introduites quelques unités de mesure du système
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international d’unités. Deux autres grandeurs, la durée et la monnaie ainsi que quelques
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unités associées sont progressivement introduites. Au cycle 3, le travail sur les grandeurs
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étudiées au cycle 2 se poursuit avec l’élargissement du champ des unités et de nouvelles
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grandeurs sont introduites : les aires, les volumes et les angles.
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Objectifs
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L’enseignement des grandeurs et de leurs mesures doit permettre aux élèves de comprendre
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le sens des mesures de grandeurs qu’ils rencontrent à l’école ou dans leur vie quotidienne
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et qu’ils rencontreront dans un cadre professionnel. Pour cela, ils doivent, d’une part,
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comprendre à quoi correspond la grandeur dont on leur parle, et d’autre part, avoir une
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représentation la plus précise possible de ce à quoi correspond une mesure donnée. Pour
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ce faire, l’acquisition de connaissances et la construction des compétences visées à la fin de
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chacun des cycles doit s’appuyer sur des situations concrètes, en abordant les apprentissages
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au travers de situations problèmes le plus souvent empruntées à la vie courante ou issues
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d’autres disciplines.
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Les compétences acquises concernant les grandeurs ou les mesures étudiées en
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mathématiques sont en effet utiles et nécessaires dans les autres disciplines, qui offrent de
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nombreuses occasions de réinvestissement : distance en géographie, durée en EPS, masse en
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sciences, etc. Ces acquisitions, et en particulier la compréhension des systèmes de mesures
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et le sens des préfixes, vont aussi faciliter les apprentissages menés sur d’autres grandeurs
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étudiées dans les autres disciplines : capacité de stockage de données en technologie,
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repérage dans le temps en histoire, température ou densité en sciences, etc.
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Liens avec les domaines du socle
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La résolution de problèmes portant sur les notions de grandeurs et mesures contribue au
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développement des compétences du domaine « les langages pour penser et communiquer »
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(domaine 1). La compréhension des énoncés de problèmes dans lesquels apparaissent des
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grandeurs et l’expression des solutions requièrent en effet le plus souvent l’utilisation de la
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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langue française et la maitrise d’un vocabulaire mathématique adapté : masse, périmètre,
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aire, unité, etc., Ces situations mobilisent la compréhension du sens de la grandeur en
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présence, mais aussi du fait qu’une même grandeur peut être désignée par des mots
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différents, porteurs d’un sens plus précis. Ainsi par exemple la largeur d’une route est-
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elle une longueur, comme l’épaisseur d’une ramette de papier, l’altitude d’un sommet ou le
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diamètre d’un bassin circulaire.
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La résolution de problèmes portant sur les notions de grandeurs et mesures est également
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naturellement liée au domaine « les méthodes et outils pour apprendre » (domaine 2), qui
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concerne plus généralement l’ensemble des résolutions de problèmes en mathématiques.
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Enfin, le thème grandeurs et mesures contribue au domaine « les systèmes naturels
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et techniques » (domaine 4) : la connaissance de grandeurs et de mesures associées,
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l’utilisation d’instruments de mesure, les calculs effectués avec des mesures et la résolution
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de problèmes vont contribuer à faire acquérir aux l’élèves les fondements de la culture
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mathématique, scientifique et technologique nécessaire à une découverte de la nature et de
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ses phénomènes, ainsi que des techniques développées par les femmes et les hommes.
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Progressivité des apprentissages
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Il faut prendre le temps de construire chacune des grandeurs étudiées à l’école primaire
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avec les élèves, ce qui implique de travailler dans un premier temps les grandeurs pour
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elles-mêmes, indépendamment des mesures, en invitant les élèves à observer un objet ou
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comparer plusieurs objets selon différents points de vue. Il est important en effet qu’à de
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multiples occasions les élèves constatent que l’on peut associer plusieurs grandeurs à un
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même objet : par exemple, pour un objet de forme parallélépipédique, on peut considérer
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l’aire de l’ensemble ses faces, son volume ou encore sa masse. Un autre objet de forme
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parallélépipédique peut avoir le même volume, une aire de l’ensemble de ses faces
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plus grande, et une masse plus petite. La comparaison des deux solides nécessite donc
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l’identification précise des critères de comparaison. Comparer des solides selon une grandeur
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donnée développe chez les élèves la capacité à prendre de la distance par rapport à un objet, à
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mettre de côté certaines données observables pour n’en cibler qu’une seule ; il s’agit là d’une
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première étape vers l’abstraction et la modélisation.
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Dans un deuxième temps, lorsque la grandeur retenue est bien identifiée, il sera alors
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possible d’introduire une puis plusieurs mesures associées : par exemple, la notion de masse
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étant acquise on pourra introduire sa mesure en kilogramme.
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Les apprentissages se construisent progressivement tout au long des quatre cycles de l’école
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et du collège.
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• Au cycle 1, les élèves constituent des collections de taille donnée et déterminent des tailles
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de collections dès la petite section. Par des observations, des comparaisons directes et des
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tris, les élèves sont amenés à distinguer certaines grandeurs : longueur, masse ou conte-
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nance.
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• Au cycle 2, les élèves travaillent sur les grandeurs suivantes : taille des collections (nombre
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cardinal), longueur, masse, capacité, durée, prix. Il s’agit de prendre conscience qu’un objet
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peut être considéré selon plusieurs grandeurs : sa longueur, sa masse, sa contenance, etc.
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Quelques unités usuelles sont progressivement introduites, elles prennent sens en invitant
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les élèves à déterminer des mesures par report et comptage d’unités élémentaires, puis à
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l’aide d’instruments simples comme la règle graduée, mais aussi en leur faisant estimer des
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mesures de grandeurs. Les élèves commencent à se constituer un répertoire de mesures de
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certaines grandeurs auxquelles ils peuvent se référer pour estimer d’autres mesures.
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• Au cycle 3, en plus de la poursuite du travail sur les grandeurs rencontrées au cycle 2,
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s’ajoutent les grandeurs aire, volume et angle, et des unités de mesure associées sont pro-
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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gressivement introduites. Les préfixes utilisés pour les unités (de milli- à kilo-) doivent être
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connus des élèves en fin de cycle. L’utilisation de ces préfixes permet, tout au long du cycle,
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de renforcer le travail sur les nombres entiers et décimaux. L’utilisation des nombres et des
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opérations arithmétiques permet de résoudre des problèmes impliquant les grandeurs étu-
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diées. Des formules pour calculer des mesures de grandeurs sont progressivement établies
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et régulièrement utilisées (aire du rectangle, longueur du cercle, volume du pavé droit, etc.).
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• Au cycle 4, le travail se poursuit sur les grandeurs étudiées aux cycles précédents. Des for-
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mules supplémentaires sont établies pour déterminer les volumes des solides usuels. Les
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notions de grandeurs produit ou quotient, qui ont pu être rencontrées aux cycles 3 (vitesse,
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débit, coefficient de proportionnalité, etc.), sont formalisées. Les élèves étudient l’effet
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d’agrandissement ou de réduction sur les longueurs, les aires ou les volumes.
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Stratégies d’enseignement
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Le travail mené doit en priorité s’appuyer sur la manipulation d’objets réels pour « percevoir »
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les différentes grandeurs étudiées :
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• de simples baguettes, ficelles ou encore bandelettes de papier permettent de donner du
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sens à la notion de longueur ;
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• les objets du quotidien de l’élève (crayon, trousse, manuel, cartable, etc.) ou de la vie cou-
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rante (téléphone portable, paquet de céréales, paquet de sucre, bouteille d’eau, lot de six
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bouteilles d’eau, voiture, etc.) peuvent aider à donner du sens à la notion de masse, en
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particulier en manipulant des matériaux de densités différentes et donc permettant de bien
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dissocier masse et volume : le paquet de céréales a un volume supérieur à celui de la bou-
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teille d’un demi litre, mais sa masse est inférieure ;
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• des figures découpées à superposer permettent de renforcer la compréhension de la notion
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d’aire et à la distinguer de celle de périmètre : une étoile à 8 branches qui s’inscrit dans un
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carré peut avoir une aire inférieure à celle du carré mais un périmètre plus grand ; si on par-
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tage un carré en deux rectangles superposables, ces rectangles ont une aire deux fois plus
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petite, mais il n’en est pas de même pour leur périmètre, etc.
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Les élèves vont ensuite progressivement être amenés à déterminer des mesures des
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grandeurs des objets manipulés, ce travail va contribuer à donner du sens aux unités usuelles
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et à développer l’esprit critique des élèves. En effet, les mesures de certaines grandeurs
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d’objets manipulés effectuées en classe vont permettre de créer progressivement un
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répertoire de références utiles pour estimer d’autres mesures. Je peux déterminer un ordre
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de grandeur de la largeur de ma table si je sais que la largeur d’une feuille de papier mesure
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21 cm, ou bien sachant qu’un stylo mesure environ 15 cm, je peux estimer la longueur de
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la trousse le contenant. Savoir qu’un paquet de six bouteilles d’eau pèse 9 kg, permet à un
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élève de rejeter sans hésitation l’affirmation « ma trousse pèse 10 kg ». Il est nécessaire
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de faire vivre le répertoire de mesures de référence construit par les élèves en les utilisant
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régulièrement, tout au long du cycle et même au-delà.
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Peu à peu les élèves élargissent leurs connaissances à des unités moins préhensibles :
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kilomètres, tonnes, kilomètres carrés, etc., tout en continuant à acquérir des repères utiles
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(distance entre deux villes, masse d’une voiture, etc.). La compétence à estimer une mesure
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est systématiquement mobilisée en résolution de problèmes pour contrôler la vraisemblance
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du résultat trouvé.
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Comparer et ordonner des grandeurs
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La comparaison des grandeurs peut s’effectuer dans un premier temps à partir de
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manipulations d’objets, par comparaison directe, par exemple : utiliser des figures découpées
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pour comparer des aires, comparer des angles fournis sous forme de gabarits, etc.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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On peut alors ordonner des objets de différentes façons selon la grandeur à laquelle on fait
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référence, en effet, comme nous le verrons ci-dessous, des figures géométriques peuvent être
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ordonnées d’une certaine façon selon leur aire et d’une autre façon si la grandeur de référence
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est leur périmètre.
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Ajouter des grandeurs
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La masse de deux objets distincts réunis est égale à la somme des masses de chacun de
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ces objets ; la masse de trois objets identiques et distincts est égale à trois fois la masse
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d’un de ces objets. Toutes les grandeurs géométriques rencontrées au cycle 3 vérifient ces
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propriétés1 , on peut ajouter de la même façon les longueurs de deux segments mis bout à
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bout, les aires de deux surfaces qui ne se recouvrent pas ou encore deux angles adjacents2.
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Ces opérations associées à des manipulations ou à des tracés permettent de renforcer le sens
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des grandeurs étudiées et préparent aussi les activités de mesurage par report d’une unité.
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Par exemple, on peut chercher à représenter une figure ayant trois fois l’aire d’un rectangle
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donné, ce problème, facilement résolu par le recollement de trois rectangles identiques à celui
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de départ, oblige à raisonner sur la surface couverte sans se préoccuper du périmètre qui ne
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sera lui pas multiplié par trois. Il contribue ainsi à construire des représentations correctes
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de ces deux notions, mais sera aussi une référence utile au moment des premiers pavages.
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Un autre exemple est constitué par la duplication d’un angle, qui peut s’effectuer à l’aide d’un
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gabarit ou d’un calque : la pose du gabarit ou du calque oblige à réfléchir au positionnement
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du sommet, et met en évidence que ce n’est pas la « longueur des côtés » qui est à considérer,
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mais l’ouverture qu’ils déterminent. Ces activités proposées avant que des unités de
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mesure ne soient définies contribuent à donner du sens à la grandeur étudiée, mais elles
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peuvent aussi être proposées après l’introduction des unités, pour encourager la variété des
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approches. Par exemple, un segment étant donné, construire un segment de longueur triple
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peut se faire par report à l’aide d’un calque, à l’aide du compas, ou encore par l’utilisation
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de la règle graduée. La confrontation des méthodes utilisées par les élèves est une nouvelle
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occasion de conforter la notion de longueur.
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Découvrir des unités et mesurer des grandeurs
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Les unités que l’on étudie à l’école appartiennent au système international ; elles sont le
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résultat d’un choix arbitraire. L’existence d’autres systèmes dont certaines unités perdurent
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montre à tout un chacun que d’autres choix sont possibles : ainsi rencontre-t-on encore des
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pouces pour les tailles d’écrans ou des milles marins pour les distances en mer. A l’école
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primaire, c’est la très bonne compréhension des principes d’élaboration des mesures dans
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le système international d’unités qui est visée.
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Au cycle 2, les mesures sont généralement déterminées à l’aide d’instruments et donc de
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« mesurages » (une règle pour des longueurs, une balance Roberval pour les masses, un
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verre gradué cylindrique et de l’eau pour les contenances, un chronomètre pour des durées
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permettent de mettre en évidence le principe de détermination de la mesure par report
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de l’unité), mais elles peuvent aussi être le résultat d’un calcul (durée entre deux horaires
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donnés, périmètre d’un polygone). Au cycle 3, les mesures peuvent encore être déterminées
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par un « mesurage », par exemple à l’aide du rapporteur pour les angles, mais plus souvent
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qu’au cycle 2 ce sont des calculs, s’appuyant sur des mesures et parfois aussi des formules,
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qui permettent de déterminer les mesures de grandeurs cherchées (longueur d’un cercle ;
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aire d’un triangle, d’un rectangle ou d’un disque ; volume d’un pavé droit). Certaines mesures
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de longueurs ou d’aires peuvent également être établies par comptage, en s’appuyant sur
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des quadrillages ; ces dénombrements permettent de renforcer la compréhension de ces
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grandeurs et la notion de mesure. De façon plus générale, une fréquentation régulière des
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différentes unités est nécessaire pour qu’elles aient du sens pour les élèves.
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Retrouvez Éduscol sur 1. Ce n’est pas le cas pour d’autres grandeurs, par exemple pour la température : si l’on met ensemble 1 L d’eau
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à 20°C et 1 L d’eau à 30°C, on n’obtient pas 2 L d’eau à 50°C.
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2. C’est-à-dire deux angles ayant le même sommet, un côté en commun, et situés de part et d’autre de ce côté.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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Notons que l’enseignant doit faire preuve d’une vigilance particulière au moment où les élèves
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découvrent et s’approprient de nouvelles unités. Un exemple classique d’erreur didactique
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concerne les mesures de longueur et les mesures d’aire : si on souhaite que les élèves
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donnent du sens au cm ou au cm2, il ne faut pas utiliser d’entrée un agrandissement au
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tableau : en effet, 5 cm ou 1 cm2, ne peuvent avoir une taille différente sur la feuille des élèves
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et au tableau. Si pour des raisons de visibilité, un agrandissement est utilisé, cela ne peut être
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qu’après plusieurs manipulations ayant permis d’installer la connaissance de l’unité chez tous
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les élèves et de plus cela doit être explicitement dit aux élèves : « Regardez ! J’ai moi aussi
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tracé un segment de 5 cm au tableau, c’est comme sur votre feuille, mais c’est trop petit pour
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que vous puissiez voir, je vais donc tracer un segment dix fois plus long, qui va donc mesurer
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50 cm, pour que vous le voyiez bien. ».
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En dehors des unités de durée et d’angle, les systèmes d’unités sont décimaux, le travail
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sur l’écriture des nombres et celui sur les mesures vont donc se nourrir mutuellement ;
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au cycle 3, la compréhension de l’écriture à virgule des nombres décimaux peut ainsi être
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travaillée et renforcée dans le cadre des mesures :
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• les activités de mesurage permettent de comprendre qu’en prenant une unité de mesure dix
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fois plus grande, on trouve un nombre d’unités dix fois plus petit : 100 cm c’est 10 × 1 dm ou
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encore 1 × 1m ; de la même façon, 143 mL = 14,3 cL, car 1 cL = 10 mL. Ces exercices contri-
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buent à renforcer la compréhension de notre système décimal de position.
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• dire qu’un objet mesure 12 mm ou 1,2 cm selon l’unité choisie permet aussi de renforcer
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la lecture correcte de 1,2, de le voir comme un nombre plutôt que comme deux nombres
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entiers séparés par une virgule.
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L’étude du système sexagésimal (base 60) que nous utilisons pour les heures peut également
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contribuer à la compréhension de notre système décimal de position, la comparaison des deux
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systèmes constituant un problème très intéressant, mais le travail sur ce point doit rester
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modeste et s’appuyer principalement sur les relations connues des élèves en les invitant à
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les rendre explicites ; par exemple : ¼ h = 0,25 h = 15 min. On voit ici que les 25 centièmes
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d’heures ne sont pas 25 minutes. Les sommes ou les différences de durées permettent quant
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à elles de revenir sur les techniques opératoires dans le système décimal, en particulier pour
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la gestion des retenues.
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Il est tout à fait pertinent de faire figurer les unités dans les calculs. Cela aide les élèves
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à s’assurer qu’ils effectuent des additions ou des soustractions sur des mesures données
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dans la même unité et les encourage le cas échéant à gérer mentalement les conversions en
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présentant leurs calculs en ligne : 25 cL + 330 mL = 250 mL + 330 mL = 580 mL.
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De la même façon, cela permet de renforcer le sens des opérations lors de la résolution de
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problème, en différenciant des opérations mathématiques qui paraitraient identiques sans les
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unités :
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J’ai un ruban de longueur 35 cm, et j’ai besoin de rubans de 7 cm de longueur, combien vais-je
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pouvoir en faire ?
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Le problème se modélise par une division « groupement » ou « quotition » (recherche du
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nombre de parts) :
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35 cm : 7 cm = 5.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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J’ai un ruban de longueur 35 cm, et je le coupe en 7 morceaux de même longueur, de quelle
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longueur seront ces morceaux ?
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Le problème se modélise cette fois par une division « partage » ou « partition » (recherche de
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la valeur d’une part) :
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35 cm ÷ 7 = 5 cm.
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Ces deux écritures sont bien plus parlantes que l’écriture « sans unités » 35 ÷ 7 = 5, où ce dont
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on parle n’est pas indiqué.
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Les écritures avec les unités permettent également de renforcer le sens des unités produits.
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Par exemple, pour le calcul de l’aire d’un rectangle du type 3 cm × 4 cm, les élèves proposent
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souvent le résultat 12 cm. On peut justifier l’unité produit par exemple de la façon suivante :
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Aire du rectangle = 3 cm × 4 cm = 3 × 1 cm × 4 × 1 cm = 12 × (1 cm × 1 cm) = 12 × 1 cm2 = 12 cm2.
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Cette décomposition renforce le travail mené en amont sur ce que représente 1 cm2 : l’aire
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d’un carré de 1 cm de côté. Une telle décomposition n’est, bien entendu, pas attendue des
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élèves, mais peut être proposée par l’enseignant, en amont pour renforcer le sens des unités
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d’aire ou chaque fois que des erreurs d’unité seront constatées chez les élèves.
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Estimer des mesures
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Au cycle 2, les élèves commencent à établir un répertoire de mesures de certaines grandeurs
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auxquelles ils peuvent se référer pour estimer de nouvelles mesures. Il est important que
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les échanges au sein de l’école permettent de continuer de faire vivre au cycle 3 le répertoire
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établi au cycle 2, tout en l’enrichissant de nouvelles valeurs de référence.
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Dès le début du cycle 3, les élèves continuent à travailler sur les estimations de longueurs
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ou de masses en élargissant leur répertoire de mesures de référence aux unités usuelles les
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plus grandes (tonnes, kilomètres) associées à des objets ou distances moins accessibles. Les
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élèves commencent également à acquérir quelques valeurs de référence pour des mesures
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d’aires ou de volumes, là aussi en commençant par de petites unités facilement « visibles »
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et « accessibles » : cm2, m2, L, qu’ils enrichiront tout au long du cycle par des valeurs de
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référence pour de plus grandes unités : m3, ares, hectares, km2, etc.
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En dernière année de cycle, les élèves peuvent estimer des mesures d’angles, à dix degrés près,
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en s’appuyant notamment sur la mesure de l’angle droit, de l’angle de 45° et de l’angle plat.
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Ce travail sur les estimations doit permettre aux élèves, lors de la résolution de problèmes,
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d’avoir une idée a priori d’un ordre de grandeur du résultat attendu et de pouvoir avoir un
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regard critique devant un résultat incohérent.
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Effectuer des changements d’unités
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Au cycle 2, les élèves effectuent des changements d’unités entre les quelques unités
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introduites au cours du cycle pour chacune des grandeurs étudiées. Ces conversions peuvent
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être motivées par la résolution d’un problème, mais aussi faire l’objet d’exercices décrochés :
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pour permettre aux élèves de donner sens à ce travail technique on veillera à toujours rester
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dans des situations proches des besoins de la vie courante. Par exemple, on peut avoir besoin
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de convertir 3 km en m, mais plus rarement 350 km en m, et encore moins 25 km en mm !
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Au cours moyen, les élèves rencontrent l’ensemble des unités de longueurs du millimètre au
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kilomètre, de masse du milligramme à la tonne et de contenance du millilitre à l’hectolitre. Il
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est important que les élèves s’approprient le sens des préfixes. Les conversions s’appuient sur
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les relations connues, en utilisant éventuellement des unités intermédiaires.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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Exemple
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Un camion laitier contient 135 hL de lait. Combien de verres de 20 cL peut-on obtenir avec le lait
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contenu dans ce camion ?
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1 hL = 100 L, donc 135 hL = 13 500 L
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1 L = 100 cL, donc 13 500 L = 1 350 000 cL
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1 350 000 cL ÷ 20 cL = 67 500
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On peut obtenir 67 500 verres de lait.
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Ou bien : 135 hL ÷ 20 cL = 13 500 L ÷ 20 cL = 135 000 dL ÷ 2 dL = 67 500
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Les tableaux des unités (ou tableaux de conversions) sont des outils efficaces pour
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institutionnaliser la suite des préfixes dès le cours moyen, mais les conversions s’appuyant sur
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les relations connues ou le sens des préfixes restent néanmoins requises, et non l’utilisation
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mécanique de tableaux de conversion. En sixième, l’utilisation du tableau de conversion pour
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effectuer des changements d’unités est rencontrée, mais elle n’est en aucun cas systématique
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et n’est pas la méthode privilégiée.
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Les conversions sont aussi travaillées tout au long du cycle dans le cadre du calcul mental, ou
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du calcul en ligne :
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2 m + 125 cm = 2 m + 1,25 m = 3,25 m
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Les unités d’aires sont progressivement introduites tout au long du cours moyen. Les liens
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entre deux unités comme les cm2 et les dm2 sont explicités et justifiés tant géométriquement
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que par des calculs :
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1 dm2 = 1 dm × 1 dm
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= 10 cm × 10 cm
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= 10 × 1 cm × 10 × 1 cm
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= 100 × 1 cm × 1 cm
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= 100 × 1 cm2
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= 100 cm2
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L’étude d’aire de terrains est l’occasion d’introduire les ares et les hectares ainsi que leurs
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relations : 1 a = 100 m2 = 10 m × 10 m, 1 ha = 100 a = 10 000 m2 = 100 m × 100 m = 1 hm2.
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Les changements d’unités d’aire au cycle 3 sont justifiés, à chaque fois si possible, par des
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considérations géométriques et des liens entre les unités de longueurs.
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Les quelques unités de contenance rencontrées au cycle 2 (cL, dL et L) ont permis quelques
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changements d’unités, ce travail se poursuit au cours moyen avec quelques unités
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supplémentaires (mL, daL et hL). En sixième, le travail mené en lien avec le volume du pavé
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droit conduit à la rencontre de nouvelles unités (cm3, dm3 et m3) et à leurs relations. Le travail
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mené conduit également à établir puis connaître et utiliser les relations 1 dm3 = 1 L et 1 m3 =
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1000 L.
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Au cycle 4, l’utilisation des puissances de 10 permettra d’exprimer une mesure dans l’unité de
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base du système international d’unités (SI) (m, kg ou s) ou des unités dérivées (m2, m3, m/s,
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kg/m3, etc.).
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Les premières formules
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Au cycle 3, les élèves rencontrent leurs premières formules pour calculer les mesures de
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diverses grandeurs :
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• des longueurs : périmètre du carré, périmètre du rectangle, longueur du cercle ;
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• des aires : aire du rectangle, du carré, du triangle, du disque ;
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• des volumes : volume du cube, du pavé droit.
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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Le travail mené avec ces formules permet, en représentant une mesure par un mot, comme
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dans Longueur × largeur, puis par une lettre, L × l, de préparer les élèves au travail qui sera
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mené au cycle 4 sur le calcul littéral. Il faut néanmoins veiller à ce que ce travail sur les
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formules ne limite pas la compréhension des élèves en les laissant associer la mesure d’une
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grandeur à une formule sans considération pour la grandeur en question. Il est nécessaire
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pour cela que les formules d’aires du carré et du rectangle soient construites avec les élèves.
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De même, la longueur d’un cercle ne doit pas être 2πr seulement, mais bien la longueur du
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trait tracé au compas quand celui-ci fait un tour complet. Un retour systématique à ce qu’est
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concrètement ce dont on cherche la mesure est nécessaire, au moins lorsque l’on commence
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à travailler avec des formules. Les élèves de cycle 3 rencontrent souvent plus de difficultés
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à déterminer le périmètre d’un rectangle que celui d’un quadrilatère quelconque car il ne
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s’appuie plus sur les longueurs de côtés mais uniquement sur une formule qu’ils peuvent
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oublier ou confondre avec une autre.
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Exemple
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ABCD est un carré de côté 9 cm.
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Les segments de même longueur sont codés.
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1. Faire une figure en vraie grandeur.
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2. Calculer l’aire de l’octogone IJKLMNOP.
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Le taux de réussite à cet exercice n’a été que de 15% au DNB. De nombreux élèves infèrent
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l’aire de ce polygone à partir de celle d’une formule connue, celle du rectangle, en multipliant
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les mesures des côtés : on passe de L × l à C1 × C2 × C3…
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Le même problème posé en classe de CM2 a une réussite plus importante, les élèves prenant
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appui sur d’autres procédures : découpage et recomposition par exemple.
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Quelques points de vigilance
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Les périmètres et les aires
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Le périmètre et l’aire varient toujours dans le même sens quand on agrandit ou réduit une
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figure. Par exemple un carré qui a un périmètre plus grand qu’un autre carré a également une
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aire plus grande. Ceci n’est plus nécessairement le cas lorsque les figures n’ont plus la même
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forme, qu’elles ne sont pas un agrandissement l’une de l’autre : il se peut par exemple qu’une
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figure B ait une aire plus grande que l’aire de la figure A mais un périmètre plus petit que celui
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de la figure A, comme sur la figure ci-dessous. Le fait que l’aire et le périmètre varient en sens
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contraire va généralement à l’encontre de l’intuition, pour les élèves mais aussi parfois pour
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les adultes.
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A
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B
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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Il est donc nécessaire, après les avoir introduites, de confronter les notions de périmètre et
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d’aire, afin de permettre aux élèves de bien les différencier, de voir à quoi elles correspondent
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pour une même figure et de comprendre à travers les exemples rencontrés qu’elles ne sont
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pas liées, mais au contraire que des figures peuvent avoir même périmètre sans que l’on
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puisse en déduire de liens concernant leurs aires.
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Les angles
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L’angle droit a été introduit au cycle 2. Au cycle 3, la notion d’angle peut être abordée comme
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« l’ouverture » définie par deux demi-droites de même origine. Les élèves doivent comprendre
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que l’angle ne change pas lorsque l’on prolonge ces demi-droites alors que visuellement la
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portion de plan définie est différente.
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La fréquentation régulière de questions invitant les élèves à comparer des angles, notamment
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dans des cas où les côtés tracés sont plus courts mais l’angle plus grand, doit permettre de
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renforcer la compréhension de ce qu’est un angle, notamment en s’appuyant sur l’utilisation
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de gabarits pour vérifier les affirmations quant à l’angle le plus grand.
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Six compétences : chercher, raisonner, modéliser, représenter, calculer,
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communiquer
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Ces six compétences aident à la conception des séances d’apprentissage mais permettent
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aussi de décrypter les productions des élèves lors de la résolution de problèmes relatifs aux
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grandeurs et mesures : l’élève a-t-il raisonné ? modélisé ? Ce n’est pas parce qu’un élève
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n’a pas « tout bon », qu’il a « tout faux » ; les six compétences constituent donc une bonne
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grille de lecture permettant de repérer les points d’appui et les difficultés rencontrées et ainsi
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d’opérer les remédiations nécessaires.
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Le travail sur les grandeurs et mesures est particulièrement propice au développement des
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six compétences travaillées en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer,
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raisonner et communiquer.
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• Chercher : tester, essayer plusieurs pistes de résolution dans la résolution des problèmes
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relevant des grandeurs et mesures. Chercher, par exemple, un découpage permettant de
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comparer les aires de deux figures de formes différentes.
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• Modéliser : c’est traduire la réalité en modèle mathématiques pour revenir ensuite à la réa-
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lité. Au quotidien, on modélise fréquemment pour des problèmes de la vie courante. Lorsque
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l’on veut poser du lambris dans une montée d’escalier, on est amené à modéliser cette
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situation : la surface à lambrisser s’apparente à un triangle rectangle dont on doit calculer
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l’aire.
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• Représenter : on peut, par exemple, représenter la situation précédente sur une feuille en
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indiquant des côtes.
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• Raisonner : chacune des étapes de résolution d’un problème impliquant des grandeurs
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(compréhension de l’énoncé et de la consigne, recherche, production et rédaction d’une
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solution) fait appel au raisonnement. L’exemple ci-dessus nécessite de raisonner pour
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construire la modélisation appropriée, chercher la solution « théorique », la majorer pour
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compenser les coupes, etc.
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• Calculer : dans un problème impliquant des grandeurs, les mesures fournissent des
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nombres qui peuvent être entiers, décimaux, voire non décimaux, avec lesquels les élèves
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doivent mettre en œuvre des calculs sous différentes modalités : calcul mental, en ligne,
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CYCLE 3 I MATHÉMATIQUES I Grandeurs et mesures
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posé ou instrumenté. L’exercice ci-dessus nécessite un calcul pour déterminer l’aire du
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triangle rectangle, et sans doute d’autres calculs pour déterminer le nombre de paquets de
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lambris à acheter, calculs qui diffèreront sans doute en fonction des fournisseurs…
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• Communiquer : dans le cadre d’une activité mathématique, communiquer est un objectif de
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formation essentiel, tant à l’oral pour exprimer le travail réalisé et le raisonnement suivi,
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qu’à l’écrit pour produire des réponses compréhensibles par un lecteur extérieur. Dans notre
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exercice, il faudra être en mesure de communiquer avec le vendeur sur les besoins en sur-
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face de lambris et la façon dont cette surface a été déterminée.
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Exemple de situation d’apprentissage
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Une séance sur les périmètres et les aires de rectangles pour éviter de confondre les deux
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grandeurs et comprendre qu’elles ne sont pas liées : deux rectangles peuvent avoir le même
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périmètre mais des aires différentes.
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Ressources complémentaires
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• Grandeurs et mesures au cycle 2
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• SCEREN (2010), Le nombre au cycle 2, partie 4, Grandeurs et mesures, p. 85 à 96
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• SCEREN (2010), Le nombre au cycle 3, partie 2, Le système métrique au service de la numé-
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ration des entiers et des grandeurs, p. 13 à 30
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||
• Grandeurs et mesures à l’école élémentaire, document d’accompagnement des pro-
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grammes 2002.
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