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Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4
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Sommaire
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Principes
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Nombres et calculs
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Cinquième
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Opérations
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Nombres relatifs
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Nombres rationnels
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Puissances
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Calcul littéral et algébrique
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Quatrième
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Opérations sur les nombres relatifs
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Nombres rationnels
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Puissances
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Racine carrée
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Calcul littéral et algébrique
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Troisième
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Nombres rationnels
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Puissances
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Racine carrée
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Multiples et diviseurs
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Calcul littéral et algébrique
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Espace et géométrie
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Cinquième
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Repérage sur une droite et dans le plan
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Représentation de l’espace
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Transformations
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Angles
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Triangles
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Parallélogrammes
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Quatrième
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Transformations
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Repérage sur une droite et dans le plan
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Représentation de l’espace
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Parallélogrammes et translations
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Triangles
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Troisième
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Repérage sur une droite et dans le plan
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Représentation de l’espace
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Triangles
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Translations et vecteurs
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Organisation et gestion de données et probabilités
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Statistiques
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Probabilités
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Cinquième
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Statistiques
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Probabilités
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Quatrième
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Statistiques
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Probabilités
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Troisième
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Statistiques
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Probabilités
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Proportionnalité, fonctions
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Cinquième
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Proportionnalité
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Fonctions
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Quatrième
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Proportionnalité
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Fonctions
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Troisième
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Proportionnalité
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Fonctions
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La pensée informatique
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Cinquième
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Quatrième
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Troisième
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Principes
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Objectifs majeurs
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Le programme de mathématiques du cycle 4 poursuit plusieurs objectifs essentiels, visant à répondre aux besoins des élèves et
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aux enjeux contemporains de l’éducation :
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− donner le gout des mathématiques, en favorisant le plaisir de chercher, de comprendre, de progresser, et en encourageant
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une approche positive de la discipline ;
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− consolider les apprentissages mathématiques, en approfondissant les connaissances et les compétences mathématiques
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développées au cycle 3 ;
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− assurer l’acquisition de savoirs et de savoir-faire, importants pour la compréhension du monde et de la vie quotidienne, et
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indispensables à la réussite dans les poursuites d'études ;
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− renforcer les compétences d’analyse, de raisonnement, de logique et d’argumentation, qui forment le fondement de toute
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formation scientifique et contribuent au développement de l’esprit critique, indispensable à une citoyenneté éclairée ;
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− favoriser le développement de compétences permettant à chaque élève de gagner en autonomie intellectuelle ;
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− lutter contre les déterminismes sociaux et les inégalités de genre, qui constituent des freins majeurs à la réussite scolaire ;
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− préparer les élèves à la poursuite réussie de leurs études au lycée.
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Une démarche éducative élargie
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Au-delà des apprentissages disciplinaires, l’enseignement des mathématiques au cycle 4 s’inscrit dans une démarche éducative
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plus globale. Il donne aux élèves des outils pour appréhender, comprendre et analyser les grands défis du XXIe siècle, y compris
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numériques et environnementaux tels que le changement climatique, la perte de la biodiversité ou encore l’épuisement des
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ressources naturelles.
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Les professeurs sont invités à s’appuyer sur les questionnements des élèves pour concevoir des activités adossées aux contenus
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du programme en phase avec leurs préoccupations, tout en les sensibilisant aux enjeux et en leur apportant des repères et des
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perspectives.
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L’organisation du travail des élèves
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Pour permettre à chaque élève de progresser et de construire des compétences solides en mathématiques, il est fondamental
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de mettre en œuvre des activités pédagogiques diversifiées, en cohérence avec les axes du programme pour répondre à
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plusieurs enjeux :
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− varier les contextes d’apprentissage : les situations proposées s’ancrent dans des contextes concrets (vie quotidienne,
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enjeux citoyens, environnement, numérique, etc.), interdisciplinaires (sciences, technologie, géographie, etc.), ou internes
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aux mathématiques. Cette diversité permet de donner du sens aux apprentissages, de favoriser les liens entre les savoirs et
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d’éveiller la curiosité des élèves ;
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− diversifier les types de tâches : activités de réactivation, de première rencontre et d’entrainement, pour ancrer les
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automatismes et mobiliser les acquis antérieurs ; exercices d’application, pour consolider les connaissances et les
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méthodes ; évaluations formatives, intégrées à l’apprentissage, pour réguler les progrès de chacun ; problèmes
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encourageant l’exploration, la recherche, la prise d’initiative et l’argumentation ; activités de débat ou de comparaison de
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démarches, favorisant l’expression orale, la collaboration et la métacognition ;
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− adapter les modalités de travail : les élèves sont amenés à travailler dans des configurations variées (individuelle, en
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binôme, en groupe), à l’oral comme à l’écrit. Cette diversité permet de développer à la fois l’autonomie, la coopération et
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les compétences langagières, tout en favorisant l’inclusion de tous les élèves.
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Le temps de classe est un moment privilégié pour organiser ces apprentissages. En complément, des travaux en autonomie, à
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réaliser en dehors de la classe, sont proposés pour approfondir, réviser ou remédier. Ces travaux doivent avoir des objectifs
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explicites, être adaptés au niveau des élèves, et prendre en compte la diversité de leurs besoins. Ils peuvent s’inscrire dans une
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logique de différenciation pédagogique, mais ne s’y limitent pas.
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L’ensemble de ces modalités vise à favoriser la réussite et l’engagement des élèves dans leur apprentissage, leur plaisir à faire
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des mathématiques et à les rendre progressivement plus autonomes face aux apprentissages mathématiques.
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La résolution de problèmes
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Au cycle 4, la résolution de problèmes constitue un levier essentiel de l’apprentissage des mathématiques. Elle irrigue
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l’ensemble des domaines du programme et permet de relier les savoirs entre eux. Elle contribue à donner du sens aux notions
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étudiées.
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La résolution de problèmes mobilise l’ensemble des compétences mathématiques :
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− chercher : extraire des informations utiles ; s’engager dans une démarche ; formuler des hypothèses ; explorer différentes
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pistes ;
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− modéliser : traduire une situation en langage mathématique ; choisir des outils adaptés ; valider ou invalider un modèle ;
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− représenter : utiliser des schémas, des tableaux, des graphiques ou des expressions algébriques ; passer d’un mode de
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représentation à un autre ;
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− calculer : effectuer des calculs exacts ou approchés, numériques et littéraux à la main ou avec un outil numérique ;
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contrôler des résultats ;
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− raisonner : justifier des choix ; démontrer par l’enchainement logique d’arguments et de propriétés, analyser et apprendre
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de ses erreurs ; mettre à l’essai plusieurs solutions ;
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− communiquer : expliquer une démarche à l’écrit ou à l’oral ; confronter ses idées à celles des autres et les argumenter ;
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porter un regard critique.
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La résolution de problèmes repose également sur la persévérance, la prise d’initiative, l’autonomie, et le travail coopératif, et
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est menée, dans des cadres variés (en autonomie, en groupe et dans des contextes de débat, etc.). Elle constitue également un
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outil central pour l’évaluation, car elle permet d’apprécier la capacité des élèves à mobiliser leurs connaissances dans des
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situations nouvelles, à articuler différentes notions et à raisonner avec rigueur. À ce titre, elle est un indicateur clé de la
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maitrise des savoirs, savoir-faire attendus et compétences visées en fin de cycle.
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La place du raisonnement
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Tout au long du cycle 4, les professeurs veillent à mettre en évidence la différence de statut entre définition, propriété et
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propriété caractéristique. Ils précisent également si les propriétés énoncées sont admises ou démontrées. Cette distinction
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permet aux élèves de comprendre que les mathématiques relèvent d’un raisonnement rigoureux fondé sur des preuves. Il est
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essentiel que les élèves différencient ainsi l’énoncé d’une opinion, d’une impression, d’une conjecture ou d’un énoncé prouvé.
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Pour ce faire une attention particulière est donc portée à la preuve et à la démonstration. Les élèves sont initiés à différents
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types de raisonnements (déductif, par l’absurde, par contre-exemple, etc.). Le vocabulaire (théorème, réciproque et
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contraposée) est explicité. L’élève apprend que si une propriété est vraie alors sa contraposée l’est aussi, sans pour autant que
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sa réciproque soit vraie.
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Les élèves mettent en pratique ces raisonnements pour construire des preuves. Dans un premier temps, l’accent est mis sur la
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compréhension du raisonnement et la capacité à enchainer logiquement les étapes, sans exigence formelle de rédaction. La
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structuration écrite de la démonstration est introduite dans un second temps, de manière progressive, avec des attendus
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formels adaptés au niveau des élèves.
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La mémorisation et l’automatisation
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Pour être capable de résoudre des problèmes de complexité croissante, l’élève doit pouvoir s’appuyer sur un ensemble
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d’automatismes, c’est-à-dire un répertoire stable et mobilisable de connaissances, de procédures et de stratégies. Ces
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éléments doivent être suffisamment maitrisés pour être activés sans surcharge cognitive. En libérant la mémoire de travail, ils
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permettent aux élèves de se concentrer sur des tâches complexes : prise d’initiatives, raisonnement, créativité, modélisation,
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etc.
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Le développement de ces automatismes ne se limite pas à un simple entrainement mécanique : il s’inscrit dans une progression
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pensée par les professeurs, qui veillent à donner du sens aux procédures, à identifier les invariants et à proposer des situations
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de réinvestissement régulier. Ces automatismes s’ancrent dans tous les domaines du programme. Ils reposent sur des
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connaissances et des techniques étudiées lors des années précédentes et de l’année en cours.
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Des actions de remédiation sont proposées quand des élèves rencontrent des difficultés à acquérir ou stabiliser des
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automatismes.
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L’apprentissage et la consolidation des automatismes jouent un rôle important dans la réussite scolaire. Ils peuvent permettre
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des progrès visibles et rapides qui contribuent, à encourager l’engagement des élèves dans les apprentissages et à les inscrire
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dans une dynamique positive.
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À chaque niveau du cycle 4, les automatismes à maitriser s’appuient sur des contenus qui ont été étudiés sans être automatisés
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au niveau précédent.
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Un usage raisonné de la calculatrice
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L’usage de la calculatrice au cycle 4 s’inscrit dans une démarche pédagogique spécifique, exploratoire ou d’appui ponctuel, en
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cohérence avec les objectifs d’apprentissage. Les professeurs en fixent le cadre d’usage.
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Il ne s’agit pas d’un simple recours technique, mais d’un outil au service de la formation mathématique, dont l’utilisation doit
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être pensée en fonction des compétences visées et du niveau de maitrise des élèves.
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Son emploi peut se justifier dans plusieurs situations :
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− pour concentrer l’attention des élèves sur le sens et les démarches de résolution, en leur évitant une surcharge cognitive
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liée à des calculs longs ou hors programme. Elle permet ainsi de recentrer le travail sur la modélisation, le raisonnement et
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la validation des résultats ;
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− pour mettre en œuvre une différenciation pédagogique permettant à certains élèves, temporairement ou durablement, de
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contourner des difficultés de calcul afin de ne pas les pénaliser dans la résolution de tâches complexes. Elle devient alors
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un levier d'inclusion et de réussite ;
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− pour initier les élèves à un usage raisonné des outils numériques. Cela implique d’apprendre à choisir la méthode la plus
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adaptée, à interpréter correctement les résultats fournis par la machine et à en comprendre les limites.
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Cependant, l’usage de la calculatrice ne doit jamais se substituer à l’acquisition de compétences techniques fondamentales. Le
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calcul mental, le calcul réfléchi et le calcul posé restent des objectifs majeurs du cycle 4. Ils doivent faire l’objet d’un
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entrainement régulier dans des contextes variés (résolution de problèmes, jeux, défis numériques, automatismes quotidiens).
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La maitrise de ces compétences constitue de premières conditions favorables aux progrès de l’autonomie intellectuelle de
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l’élève en mathématiques. Elle est également indispensable à la vérification de la cohérence des résultats à travers la maitrise
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des ordres de grandeurs et à la transition vers les exigences de la poursuite d’études et de la vie citoyenne.
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Un usage raisonné de la calculatrice, pensé comme complémentaire aux savoir-faire mathématiques, prépare ainsi les élèves à
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devenir des utilisateurs éclairés et critiques des outils numériques, capables de faire des choix réfléchis dans leur démarche de
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résolution.
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La place et le rôle de l’oral
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La verbalisation occupe une place essentielle dans l’enseignement des mathématiques au cycle 4. Bien au-delà de sa dimension
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langagière, elle constitue un outil pédagogique puissant pour structurer la pensée, permettre d’accéder à l’abstraction, clarifier
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les raisonnements et renforcer la compréhension des concepts.
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Verbaliser, c’est mettre en mots une idée, une procédure ou une stratégie, ce qui favorise à la fois la mémorisation et la prise
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de recul et permet à l’élève de formuler ses représentations mentales, de les confronter à celles des autres et de les ajuster. Au
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même titre que la représentation graphique ou symbolique, l’oral contribue à l’entrée progressive dans le langage formel des
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mathématiques.
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L’oral est aussi un levier indispensable pour développer l’autonomie, la rigueur et l’esprit critique. Présenter une démarche,
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justifier une réponse ou expliquer un raisonnement permet à l’élève d’organiser sa pensée de manière logique, de clarifier ses
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idées pour les rendre compréhensibles à autrui et de s’entrainer à produire un discours structuré, précis et argumenté.
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Les séances de mathématiques offrent de nombreuses situations propices à cet apprentissage où l’élève n’est pas seulement
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un exécutant, mais devient un acteur de ses apprentissages, capable de présenter, défendre, nuancer ou modifier son point de
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vue. Par exemple, plutôt que de recopier au tableau une solution, l’élève est invité à la décrire, à la commenter, voire à
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l’interroger, avec l’appui de schémas ou d’annotations. Cette pratique valorise la diversité des approches et nourrit une culture
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du raisonnement partagé.
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La confrontation de démarches différentes pour résoudre un même problème est particulièrement féconde : elle invite les
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élèves à argumenter, critiquer de manière constructive, justifier des choix, et ainsi développer une pensée mathématique plus
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souple et plus approfondie. Ces échanges oraux participent activement à la formation de l’esprit critique, objectif majeur de
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l’École. Cette attention portée à l’oral contribue également au développement global des compétences.
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Les écrits en mathématiques
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Au cycle 4, les écrits jouent un rôle fondamental dans le processus d’apprentissage des mathématiques. Ils ne se limitent pas à
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une restitution formelle mais contribuent à envisager des pistes de traitement de résolution, à structurer la pensée, à favoriser
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la mémorisation, à développer le raisonnement et à soutenir l’autonomie des élèves. Différents types d’écrits sont ainsi
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mobilisés, chacun avec une fonction spécifique et complémentaire :
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− les écrits intermédiaires : lors des phases de recherche, les élèves sont invités à produire des traces écrites qui peuvent
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prendre des formes variées : schémas, essais de calcul, prises de notes, conjectures, organisation de données, croquis, etc.
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Ces écrits ont pour l’élève un intérêt personnel : ils l’aident à entrer dans l’énoncé, à tester des hypothèses, à soulager la
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mémoire de travail et à structurer progressivement une démarche. Bien qu’ils ne soient pas formellement évalués, ils
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représentent une source précieuse d’informations pour les professeurs. En les consultant, ceux-ci peuvent mieux
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comprendre les raisonnements en cours, repérer des obstacles ou des erreurs fréquentes et proposer des ajustements
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pédagogiques ciblés. Ces écrits sont également formatifs : ils retracent le cheminement de la pensée, y compris les essais
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infructueux, et renforcent les apprentissages par une posture d’engagement ;
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− les écrits d’entrainement et de résolution : les activités classiques d’exercices et de problèmes donnent lieu à des écrits
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structurés, qui constituent la trace des apprentissages engagés en classe. Ces écrits permettent de stabiliser les acquis par
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la répétition et l’automatisation, de mettre en pratique des méthodes ou des raisonnements étudiés en cours, de garder en
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mémoire les essais et les erreurs, dans une logique d’apprentissage par tâtonnement. Les professeurs encouragent les
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élèves à conserver les traces de leur démarche, même si elles ne sont pas abouties. Loin d’être des « brouillons à effacer »,
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ces productions constituent une matière riche pour progresser et pour développer une culture de l’erreur constructive ;
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− les écrits de référence : les notions institutionnalisées à l’issue des activités sont consignées sous forme de traces écrites de
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référence : définitions, propriétés, vocabulaire, procédures, modèles d’exercices résolus, etc. Ces écrits structurent le
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capital mathématique de l’élève. Ils doivent être soignés et organisés, pour être facilement consultables, mis à jour
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régulièrement, au fil des apprentissages et mobilisés activement, notamment lors de phases de révision ou de résolution
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autonome.
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L’évaluation des progrès et des acquis des élèves
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Au cycle 4, l’évaluation constitue un levier essentiel pour accompagner les apprentissages et favoriser la réussite de tous les
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élèves. Elle ne se limite pas à mesurer des performances, mais vise avant tout à faire progresser, à guider les choix
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pédagogiques et à construire chez l’élève une meilleure compréhension de ses propres acquis.
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L’évaluation reste au service des apprentissages et revêt différentes modalités, mais conserve toujours une visée formative :
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elle doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques (chercher, modéliser,
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représenter, raisonner, calculer, communiquer).
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Pour que l’évaluation soit véritablement utile et juste, l’élève doit connaitre les objectifs visés et les critères de réussite. Ces
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critères s’appuient sur les compétences travaillées en classe, en lien avec les objectifs du programme. Leur explicitation
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favorise une posture active de l’élève, qui comprend ce qu’il apprend, pourquoi il l’apprend, et comment il peut s’améliorer.
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Dans cette logique, des outils comme les grilles de réussite ou les barèmes commentés peuvent soutenir l’appropriation des
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attendus.
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Le retour sur l’évaluation est un moment clé du processus d’apprentissage. Il ne se limite pas à une correction collective, mais
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vise à valoriser les démarches pertinentes qui, si elles ne mènent pas immédiatement à la bonne réponse, mettent en lumière
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les erreurs fréquentes. L’objectif est d’aider les élèves à comprendre leurs erreurs et à y remédier et à leur proposer des pistes
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personnalisées (révisions ciblées, exercices de consolidation, soutien différencié). Ce retour permet aussi au professeur de
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réguler sa progression, de revoir certains points du programme ou de proposer d’autres approches pédagogiques.
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L’évaluation, partagée avec les élèves et les familles, permet aux élèves de constater leurs progrès et participe ainsi pleinement
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au développement de l’autonomie, de la confiance et de l’engagement des élèves dans leurs apprentissages.
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Les compétences psychosociales
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L’enseignement des mathématiques au cycle 4 contribue au développement de compétences diverses.
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La mémorisation de faits numériques ou de formules, l’automatisation de procédures renforcent des aptitudes transférables à
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d’autres domaines.
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La résolution de problèmes renforce l’aptitude des élèves à s’appuyer sur des faits pour prendre des initiatives, pour analyser
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des données, pour élaborer des stratégies et pour faire des choix réfléchis. Elle apprend à l’élève à se confronter à l’inconnu, à
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identifier ses points forts et ses faiblesses. Elle lui apprend à tirer profit de ses erreurs, à développer sa confiance en lui et à
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éprouver le plaisir de chercher.
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Des modalités de travail diversifiées (recherche en binômes ou en groupes plus larges, entraide entre élèves, exposé d’une
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réponse ou d’une solution, débat autour de celle-ci, etc.) favorisent le développement de l’engagement, de la persévérance, de
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la capacité d’écoute, du respect du point de vue d’autrui et de la capacité à défendre le sien.
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L’égalité entre les élèves, un enjeu fondamental pour la réussite de tous
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En mathématiques, comme dans toutes les disciplines, la réduction des inégalités scolaires constitue une priorité éducative
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majeure. Les professeurs jouent un rôle déterminant dans la construction d’un climat d’apprentissage juste, exigeant et
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bienveillant, où chaque élève peut développer sa maitrise des savoirs et savoir-faire, indépendamment de son origine sociale,
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de son genre ou de son parcours. Une posture pédagogique inclusive et équitable, favorisant une identification positive,
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contribue ainsi à encourager le parcours mathématique de chaque élève.
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Il s’agit de donner à voir que les compétences en mathématiques ne sont ni innées, ni réservées à une élite, mais qu’elles se
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construisent par la pratique, l’erreur, l’échange et l’entrainement régulier. Promouvoir cette vision démythifie cette croyance
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et renforce chez les élèves leur engagement dans leurs apprentissages.
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Tendre vers plus d’égalité ne consiste pas à traiter tous les élèves de manière identique, mais exige des enseignants une
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vigilance constante à plusieurs niveaux :
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− le choix des situations d’apprentissage : elles doivent être suffisamment variées pour solliciter différents modes de
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raisonnement, et suffisamment accessibles pour permettre à tous les élèves d’entrer dans l’activité ;
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− le regard porté sur chaque élève : les professeurs valorisent l’engagement dans les apprentissages, les stratégies et les
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progrès, et non uniquement les résultats. Ils adoptent une posture d’éducateur exigeant et encourageant, en refusant
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toute forme de fatalisme ou de résignation ;
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− la répartition équitable des responsabilités : chaque élève doit pouvoir prendre part aux tâches, être écouté, et s’exprimer.
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Cela passe par une vigilance à ne pas laisser certains élèves s’effacer ou monopoliser la parole ;
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− l’attention particulière accordée à la dimension langagière des écrits mathématiques et des échanges en classe, afin qu’ils
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soient compréhensibles par tous les élèves, en identifiant les obstacles potentiels et en travaillant systématiquement,
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lorsque cela s’avère nécessaire, la reformulation ;
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− les retours oraux et écrits : ils doivent guider l’élève vers des pistes concrètes d’amélioration. Ils participent à construire
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une relation de confiance fondée sur le respect, la clarté des attentes et la reconnaissance des efforts ;
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− la diversité des modalités d’expression : encourager chaque élève à prendre la parole, à présenter une démarche, à
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débattre ou à reformuler une consigne, c’est reconnaitre sa capacité à penser, chercher et construire du savoir.
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L’enseignement des mathématiques doit également contribuer à modifier les représentations sociales souvent associées à
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cette discipline et qui entrainent un manque de légitimité ressenti par certains élèves : élitisme, science pure détachée de tout
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contexte, absence de figures féminines, opposition entre sciences et créativité, etc. Pour cela, il est essentiel de :
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− rendre visibles des parcours de mathématiciens et de mathématiciennes aux profils variés, issus de contextes culturels et
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sociaux différents ;
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− proposer des références inspirantes à travers les supports utilisés en classe ou les échanges avec des intervenants
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extérieurs (étudiants, chercheurs, professionnels), afin que tous les élèves puissent se projeter dans des rôles valorisants ;
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− questionner activement les stéréotypes de genre ou d’origine, en déjouant les biais inconscients qui peuvent encore peser
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sur les pratiques scolaires.
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Cette approche contribue à créer un environnement où chaque élève a la possibilité d’apprendre, de progresser, de réussir, ce
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qui constitue la condition première d’un enseignement réellement inclusif.
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La pensée informatique
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La locution « pensée informatique » englobe une attitude intellectuelle et un ensemble de savoirs et savoir-faire essentiels pour
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comprendre les enjeux contemporains liés à la place des algorithmes, à la programmation et à l’usage de machines avec ou
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sans intelligence artificielle.
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Au cycle 4, les élèves poursuivent la démarche entamée au cycle 3. Le développement de leur pensée informatique repose sur
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l’algorithmique construite progressivement tout au long du cycle. Elle permet aux élèves de manipuler les notions
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mathématiques sous un autre point de vue. Elle vise aussi à les sensibiliser aux enjeux des technologies numériques, en liaison
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avec l’enseignement de technologie.
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Organisation du programme
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Les apprentissages figurant dans le programme recouvrent des domaines variés des mathématiques : nombres et calculs,
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algèbre, organisation et gestion des données, probabilités, géométrie, proportionnalité.
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En amont des objectifs d’apprentissage, une rubrique intitulée « Automatismes » recense les compétences fondamentales
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devant être acquises de manière fluide et durable.
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Certains domaines comportent également une rubrique intitulée « Prolongements possibles : mises en perspective historiques
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ou culturelles ». Celle-ci a pour vocation d’enrichir les enseignements en inscrivant les notions mathématiques dans une
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dimension historique, culturelle et interdisciplinaire, contribuant ainsi à la construction de la culture générale des élèves et à la
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contextualisation des savoirs. L’histoire des mathématiques peut être un fil rouge sur tout le cycle 4, montrant ainsi le
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développement de la pensée mathématique et de son écriture.
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L’ensemble de cette organisation vise à offrir un cadre pédagogique lisible et cohérent, permettant aux professeurs de
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concevoir des parcours d’apprentissage exigeants, stimulants et adaptés à la diversité des élèves.
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Nombres et calculs
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Au cycle 4, la partie nombres et calculs du programme s’enrichit de nombreuses nouvelles notions. Les élèves découvrent ainsi
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de nouvelles catégories de nombres avec lesquels ils réalisent des calculs et qu’ils mobilisent pour résoudre des problèmes.
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Les nombres relatifs sont introduits afin de rendre possible toutes les soustractions. Les opérations sur les nombres relatifs sont
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construites progressivement. Une pratique routinière de calculs additifs et soustractifs permet de se détacher progressivement
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des contextes familiers, ce qui est un préalable à une bonne compréhension de la multiplication et de la division.
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La conception du nombre fraction abordée au cycle 3 est étendue aux nombres relatifs en écriture fractionnaire, ainsi qu’au
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quotient ou rapport écrit sous forme fractionnaire avec des nombres quelconques.
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Par souci de cohérence, le programme fixe le vocabulaire suivant :
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− on appelle quotient le résultat d’une division ou l’expression d’une division ; les deux termes de la division sont des
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nombres ou des expressions ;
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− une fraction est le quotient de deux entiers (numérateur et dénominateur), qui peut être vu comme un nombre, une
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expression, et aussi comme un opérateur (fraction d’une quantité) ;
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− un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers, sans référence à une écriture particulière.
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Dans le programme, une fraction est à la fois un nombre et une écriture. On ne distingue pas fraction et écriture fractionnaire.
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Les apprentissages ne doivent pas se réduire à la seule maitrise des techniques opératoires.
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Tout au long du cycle, ils doivent être consolidés par la résolution de problèmes qui s’enrichissent à chaque opération
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abordée. Les situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en permanence à travers des problèmes
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porteurs de sens.
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− Les opérations sur les fractions sont étendues à la multiplication et à la division.
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− Les multiples et les diviseurs sont utilisés en lien avec les fractions, mais également dans le cadre de résolution de
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problèmes
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− La racine carrée est introduite, en lien avec des situations géométriques (longueur du côté d’un carré d’aire donnée,
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théorème de Pythagore).
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− L’apprentissage des puissances se fonde sur des situations mathématiques illustrant, par exemple, un produit itéré, comme
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le comptage de situations répétitives, etc.
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− L’apprentissage des puissances de dix prend appui sur des grands nombres issus de domaines scientifiques ou
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technologiques tels que l’astronomie, les sciences physiques, l’informatique, le traitement de l’information, pour ce qui est
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des exposants positifs. Les sciences de l’atome, la microbiologie, les sciences chimiques, les nanotechnologies fournissent
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des situations propices à côtoyer les exposants négatifs. Ce travail est mené en lien avec les unités, les ordres de grandeur,
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dans les autres disciplines, en particulier la physique-chimie. On introduit en fonction des besoins les préfixes des
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puissances de dix de nano à giga. On fait le lien avec les conversions.
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− Ces situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en permanence, à travers des problèmes porteurs
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de sens.
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− Ces notions se prêtent particulièrement à une approche interdisciplinaire par l’étude des problématiques liées au
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calendrier, à l’informatique, aux engrenages, à la conjonction de phénomènes périodiques et aux cycles d’éclosion de
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certaines espèces, provenant de la physique, de la technologie et des sciences de la vie et de la Terre.
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Tout au long du cycle, l’introduction du calcul littéral vient progressivement enrichir, diversifier et formaliser ces premières
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rencontres avec la lettre et le signe égal. Le calcul littéral permet alors d’aller au-delà du cadre purement numérique, tout en
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restant connecté à celui-ci afin d’assurer une validation des expressions obtenues.
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Au cycle 3, les élèves ont été exposés à différents usages de la lettre en mathématiques, notamment comme symbole d’une
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unité, comme désignation d’un objet mathématique (exemple : le point A, le nombre π, le volume V, etc.) ou encore comme
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variable dans des formules. Ils ont également rencontré différentes interprétations du signe « = », qu’il s’agisse d’indiquer le
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résultat d’un calcul, une égalité à compléter ou une assignation.
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L’introduction du calcul littéral repose sur le développement d’une pensée algébrique, appuyée sur des manipulations
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concrètes et des représentations adaptées. Il ne doit pas se limiter à des exercices techniques, bien que ceux-ci soient
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indispensables. Son objectif principal est de permettre la généralisation, la démonstration et la modélisation. Il doit ainsi être
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intégré à la résolution de problèmes concrets ou internes aux mathématiques, qui en justifient l’usage et en renforcent la
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pertinence.
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Cinquième
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Opérations
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Automatismes
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− Mobiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 vus en CM1 et CM2.
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− Déterminer le quotient et le reste dans une division euclidienne, par exemple, savoir que 17 = 3 × 5 + 2.
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− Utiliser les tables de multiplication pour factoriser des nombres entiers décomposables en produit de deux nombres
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différents de 1, par exemple, 21 = 3 × 7.
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− Savoir calculer des produits en lien avec les tables : 0,6 × 7 ; 40 × 0,03.
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− Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000.
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− Additionner et soustraire des décimaux, par exemple, 2,7 + 1,4 ; 3,4 – 0,8.
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Objectifs d’apprentissage
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Additionner, soustraire, multiplier et diviser pour résoudre des problèmes et contrôler la vraisemblance de son résultat.
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Connaitre le sens et les situations d’emploi de ces opérations.
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Diviser par un nombre décimal.
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Enchainer des opérations.
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Traduire un problème, une succession donnée d’opérations, un programme de calcul, en une seule expression, en faisant appel
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ou non à des parenthèses.
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Nommer un calcul, distinguer sommes et produits, termes et facteurs.
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Connaitre et utiliser les priorités opératoires.
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Connaitre et utiliser la distributivité simple sur des exemples numériques.
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Utiliser les notions de multiples et diviseurs.
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Connaitre les critères de divisibilité par 3 et par 9.
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Mobiliser un algorithme dans le cadre du calcul numérique.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Notion de nombre premier et développements sur ce thème (existence d’un nombre infini de nombres premiers, crible
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d’Ératosthène, etc.).
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Nombres relatifs
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Automatismes
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− Additionner, soustraire, multiplier des nombres décimaux à une ou deux décimales.
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− Savoir que pour compléter une addition à trou, on utilise une soustraction : 2 + ... = 7 se complète en calculant 7 – 2.
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Objectifs d’apprentissage
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Définir les nombres relatifs.
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Définir l’opposé et la valeur absolue d’un nombre.
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Définir la notion de nombre positif, strictement positif, négatif, strictement négatif.
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Utiliser les nombres relatifs pour représenter des grandeurs observables qui peuvent prendre des valeurs inférieures à zéro
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(température, temps, altitude, etc.), en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes.
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Lire l’abscisse d’un nombre relatif sur une droite graduée et placer un nombre relatif d’abscisse donnée.
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Comparer et ranger dans l’ordre croissant et décroissant des nombres décimaux relatifs.
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Additionner deux nombres décimaux relatifs.
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Additionner plusieurs nombres décimaux relatifs.
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Soustraire deux nombres décimaux relatifs.
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Connaitre et justifier les situations dans lesquelles des parenthèses sont indispensables au sens des écritures.
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Simplifier l’écriture de sommes comportant des parenthèses.
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Enchainer additions et soustractions de décimaux relatifs.
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Résoudre des problèmes mobilisant addition et soustraction de nombres décimaux relatifs.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Premières apparitions des nombres négatifs avec Brahmagupta (600), dont l’existence était toujours niée au XVIIe siècle.
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Nombres rationnels
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Automatismes
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− Entretenir la connaissance et l’utilisation des tables de multiplication.
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1 1 3 3 4 5 1 100 7
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− Entretenir l’écriture décimale des fractions simples comme ; ; ; ; ; ; ; ; .
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2 4 4 2 2 2 10 100 1
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7
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− Faire vivre la notion de nombre quotient en complétant des multiplications à trou : 3 × … = 7 puis 3 × = …
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3
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− Lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée en tiers, en quarts, en moitiés, en dixièmes.
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2 … 4 …
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− Reconnaitre des fractions égales : = ; = .
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3 15 7 14
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2 5 8 8 3 7 8 6
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− Comparer deux fractions : et ; et ; et ; et .
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7 7 12 21 4 18 3 7
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17 2
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− Écrire une fraction sous la forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1 : =3+ .
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5 5
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3 4 2 4 2 2 2 1
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− Addition et soustraction de fractions simples : + ; 1 – ; – ;3+ ; + .
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5 5 3 7 21 5 5 4
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1 1
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− Prendre une fraction simple d’un nombre : le de 18 ; le de 12.
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3 4
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− Prendre 1 %, 10 % ou 50 % d’un nombre, en lien avec la proportionnalité.
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12 6 1 120
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− Écrire un même nombre sous de multiples formes, par exemple dire que 1,2 = = = 1 + = 120 % = etc.
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10 5 5 100
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Objectifs d’apprentissage
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Comparer des fractions.
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Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques.
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Résoudre des problèmes avec des additions et soustractions de fractions.
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Puissances
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Automatismes
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− Entretenir les tables de multiplications.
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− Connaitre les unités d’aires et de volume.
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Objectifs d’apprentissage
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Découvrir la notion de puissance d’un nombre et sa notation dans le cas du carré et du cube.
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Connaitre les carrés des entiers de 0 à 12.
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Connaitre le cube de 10.
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Savoir écrire un nombre sous la forme d’une puissance 2 ou 3.
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Calculer la valeur numérique d’expressions contenant des puissances simples, additions, soustractions et produits.
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Calculer la valeur d’une expression littérale contenant une puissance simple.
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Calcul littéral et algébrique
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Automatismes
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− Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive.
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− Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive.
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− Identifier la structure d’un motif évolutif en repérant une régularité.
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− Nombre quotient.
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Objectifs d’apprentissage
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Produire des formules (double, triple, carré, successeur, prédécesseur, aire, périmètre, etc.).
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Calculer la valeur d’une expression littérale par substitution.
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Tester si une égalité entre expressions algébriques comportant une variable est vraie ou fausse.
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Déterminer si une expression littérale est une somme ou un produit.
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Exploiter les relations k(a + b) = ka + kb ou k(a – b) = ka – kb pour factoriser, ou développer une expression littérale.
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Réduire une expression littérale de la forme a𝑥 + b, où a et b sont des nombres décimaux.
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||
Démontrer une propriété générale par le calcul littéral.
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Utiliser un contre-exemple pour démontrer qu’une assertion est fausse.
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Formuler des conjectures en s’appuyant sur un langage algorithmique ou un tableur.
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Donner à la lettre le statut d’inconnue.
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Modéliser des problèmes relevant des opérations à trous par des équations du type a𝑥 = c ou 𝑥 + b = c .
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Résoudre des équations du type a𝑥 = c ou 𝑥 + b = c par des méthodes arithmétiques s'appuyant sur les opérations inverses.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Lien avec Al Khwarizmi pour qui la résolution des problèmes fait appel à la « chose » qu’on cherche.
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− Spécificité de la résolution des équations du type 𝑥 + b = c (« Al-jabr ») et du type a𝑥 = c (« Al-hatt ») chez Al Khwarizmi.
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Quatrième
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Opérations sur les nombres relatifs
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Automatismes
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− Manipulation de sommes et différences de nombre relatifs.
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− Opposé d’un nombre, somme des opposés.
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− Entretien des tables de multiplication.
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− Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000.
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||
− Compléter des multiplications à trou : 5 × ... = 3 ; faire le lien entre multiplication et division.
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− Multiplication comme addition itérée : 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3.
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Objectifs d’apprentissage
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Multiplier deux nombres relatifs : d’abord dans le cas où un seul des facteurs est négatif, puis, grâce à la distributivité, dans le
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cas où les deux facteurs sont négatifs.
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Diviser deux nombres relatifs.
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Savoir calculer un enchainement d’opérations avec des nombres relatifs.
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Utiliser le vocabulaire (somme, quotient, etc.) à partir d’un enchainement d’opérations dans un programme de calcul et
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inversement.
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Nombres rationnels
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||
Automatismes
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− Addition et soustraction de fractions de dénominateurs quelconques mais simples.
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− Comparaison de fractions.
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3 3
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− Savoir qu’une fraction est aussi le quotient : (le nombre, qui, multiplié par 7 donne 3, donc savoir que 7 × = 3).
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7 7
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− Savoir que prendre la fraction d’un nombre revient à multiplier la fraction par ce nombre.
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Objectifs d’apprentissage
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Simplifier une fraction.
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Définir la notion de nombre rationnel : le quotient de deux nombres entiers relatifs.
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Exprimer l’opposé d’un nombre rationnel.
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Calculer le produit de nombres rationnels.
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Calculer et représenter la fraction d’une fraction, d’un nombre, d’une quantité.
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Définir l’inverse d’un nombre et connaitre sa notation.
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Déterminer l’inverse d’une fraction.
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Diviser des fractions.
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Calculer la valeur d’expressions comportant plusieurs opérations avec des fractions.
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Résoudre des problèmes mobilisant les opérations sur les fractions : addition, soustraction, multiplication, division, inverse.
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Puissances
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Automatismes
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− Connaitre et reconnaitre les carrés parfaits des entiers de 0 à 12.
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− Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000 ; savoir compléter 1 200 = 1,2 × …
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− Puissances simples : 2² = 4 ; 23 = 8 ; 33 = 27.
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− 10² = 100 ; 103 = 1 000.
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Objectifs d’apprentissage
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Définir les puissances d’exposant positif d’un nombre a.
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Multiplier des puissances d’exposant entier naturel d’un même nombre entre elles.
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Multiplier des puissances d’un même exposant entier naturel de deux nombres entre elles.
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Résoudre des problèmes faisant intervenir des puissances.
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Racine carrée
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Automatismes
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− Donner les carrés des nombres entiers compris entre 0 et 12.
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Objectifs d’apprentissage
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Comprendre et connaitre la définition de la racine carrée d’un nombre positif.
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Encadrer la racine carrée d’un entier par deux nombres entiers consécutifs.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Découverte de l’existence de nombres irrationnels (lien entre l’aire d’un carré et la longueur d’un de ses côtés).
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− √2 n’est pas décimal (démonstration par l’absurde en considérant le chiffre des unités).
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Calcul littéral et algébrique
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Automatismes
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− Donner la valeur d’expressions numériques simples.
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− Résoudre des équations du type a𝑥 = c et 𝑥 + b = c, où a, b et c sont des nombres.
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− Écrire 3 × 𝑥 sous la forme 3𝑥 et savoir que 3𝑥 c’est 3 × 𝑥.
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− Connaitre et utiliser : 1 × 𝑥 = 𝑥 ; 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 × 𝑥 = 𝑥² ; 3𝑥 + 2𝑥 = 5𝑥 ; 3𝑥 × 2𝑥 = 6𝑥².
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− Donner le double, le triple, la moitié, le prédécesseur, le successeur, le carré d’un nombre.
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− Tester si un nombre vérifie une égalité.
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Objectifs d’apprentissage
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Produire des formules et tester leur vraisemblance : aires de formes géométriques simples, nombres pairs/impairs, etc.
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Connaitre et utiliser la distributivité simple pour développer et factoriser une expression algébrique.
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Utiliser le calcul algébrique pour produire des démonstrations.
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Résoudre une équation du premier degré du type a𝑥 + b = c.
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Mettre en équation un problème et le résoudre à l’aide d’une équation du premier degré du type a𝑥 + b = c𝑥 + d.
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Formuler des conjectures à l’aide d’un algorithme ou d’un tableur pour résoudre de manière exacte ou approchée une
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équation.
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Troisième
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Nombres rationnels
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Automatismes
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− Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions.
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Objectifs d’apprentissage
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Mettre une fraction sous forme irréductible.
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Rendre irréductible une fraction.
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Résoudre des problèmes faisant appel à des fractions.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Notation des ensembles des entiers naturels, des entiers relatifs, des décimaux, des rationnels.
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Puissances
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Automatismes
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− Puissance comme multiplication itérée : 3 × 3 × 3 × 3 = 34.
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− Multiplication de puissances d’exposant positif d’un nombre.
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− Multiplication de puissances de même exposant positif de deux nombres.
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Objectifs d’apprentissage
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Définir les puissances d’exposant négatif d’un nombre.
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Multiplier et diviser des puissances.
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Déterminer la notation scientifique d’un nombre.
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Résoudre des problèmes notamment en utilisant la notation scientifique.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− L’échiquier de Sissa.
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− Le papyrus de Rhind.
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Racine carrée
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Automatismes
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− Donner les carrés des nombres entiers compris entre 0 et 12.
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Objectifs d’apprentissage
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Résoudre analytiquement et graphiquement des équations de la forme 𝑥2 = a.
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Résoudre des problèmes utilisant la racine carrée.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Notion de parabole et de faisceaux convergents vers son foyer. Lien avec les paraboles pour capter les chaines de
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télévision.
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− Algorithmes d’extraction de racines carrées.
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Multiples et diviseurs
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Automatismes
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− Factoriser un nombre entier positif : 60 = 2² × 3 × 5.
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− Simplifier une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dans une même table de multiplication, par exemple
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15 63
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et .
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35 14
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− Trouver un dénominateur commun à deux fractions pour les additionner, les soustraire ou les comparer.
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− Appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9.
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Calcul littéral et algébrique
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Automatismes
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− Résoudre des équations du type a𝑥 = c, 𝑥 + b = c, a𝑥 + b = c.
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− Simplifier des expressions littérales.
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− Calculer la valeur d’une expression algébrique avec des puissances ou non.
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− Donner la nature d’une expression littérale : 3𝑥 + 2 est une somme, 5 (𝑥 + 4) est un produit.
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− Développer et factoriser une expression simple.
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− Donner l’expression générique d’un nombre pair, d’un nombre impair.
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− Prendre l’opposé d’une expression : savoir que – (5 – 4𝑥) = –5 + 4𝑥.
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Objectifs d’apprentissage
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Simplifier des expressions produits ou des rapports comportant des facteurs communs.
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Utiliser la double distributivité pour développer et factoriser des expressions dont le facteur est apparent.
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Résoudre analytiquement et graphiquement une inéquation du premier degré du type a𝑥 ⩾ b.
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Résoudre une équation produit nul.
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Manipuler les trois identités remarquables pour développer et factoriser :
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a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
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a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2
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a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)
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Pratiquer un raisonnement par analyse-synthèse dans le cadre d’une résolution d’équation.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Étude de l’identité de Sophie Germain.
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Espace et géométrie
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L’enseignement de la Géométrie au cycle 4 a pour objectif majeur d’amener les élèves à mener des raisonnements et à s’initier
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à la preuve. Cette transition vers une géométrie du raisonnement, entamée en 6e, se fait progressivement, en s’appuyant sur la
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||
géométrie perceptive et sur la géométrie instrumentée étudiées précédemment. Ces différentes visions ne doivent pas
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||
s’opposer mais se compléter, et faire l’objet d’allers-retours nécessaires à l’élève. L’enseignement de la géométrie se fait donc
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||
en continuité car chaque nouvelle approche complète la précédente, mais aussi en rupture car à ce stade de l’apprentissage
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de la géométrie, la mesure ne constitue plus un élément de preuve.
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||
Dans l’apprentissage du travail de la démonstration, les attentes en termes de formalisme se construisent progressivement.
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Pourront ainsi être présentés des exemples génériques, des ébauches de preuves, des diagrammes ou schémas de
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||
raisonnement, des manipulations donnant l’idée de la preuve, des preuves à compléter ou à mettre dans l’ordre. L’objectif de
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||
rédaction est précédé par l’objectif de raisonnement. On privilégiera pour ce faire un travail en deux étapes : une première
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||
étape sur la recherche d’une preuve, une seconde sur la mise en forme de la preuve (mais sans formalisme excessif ni
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||
rédactions stéréotypées).
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La représentation est particulièrement mobilisée. Les élèves sont ainsi amenés, dans un premier temps, le plus possible, puis
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||
autant que de besoin, à réaliser des représentations sur leurs cahiers.
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Le programme propose de travailler en fil rouge des preuves utilisant les aires, afin de mobiliser les grandeurs géométriques de
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sensibiliser les élèves à l’identification d’invariants (élément central dans de nombreux raisonnements mathématiques) et à la
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||
notion d’universalité (par exemple découvrir puis démontrer une propriété vraie dans tous les triangles, une propriété vraie
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||
quelle que soit la position du point M choisi, etc.).
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||
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||
La géométrie est également un domaine dans lequel les élèves pourront accéder à des résultats mathématiques surprenants,
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||
leur permettant de toucher du doigt la beauté de certains résultats et de certains raisonnements.
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Cinquième
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Repérage sur une droite et dans le plan
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Automatismes
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− Placer sur une demi-droite graduée un point dont l’abscisse est un nombre décimal.
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||
− Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée.
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Objectifs d’apprentissage
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Sur une droite graduée :
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||
- lire l’abscisse d’un point donné ;
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||
- placer un point d’abscisse donnée.
|
||
Dans le plan muni d’un repère orthogonal :
|
||
- lire les coordonnées d’un point donné ;
|
||
- placer un point de coordonnées données.
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Représentation de l’espace
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Automatismes
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− Reconnaitre des vues (de dessus, dessous…) d’empilements de cubes.
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− Dénombrer des cubes dans des empilements.
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− Reconnaitre un cube, un pavé représenté en perspective cavalière.
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− Reconnaitre un patron d’un cube.
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Objectifs d’apprentissage
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Construire et mettre en relation différentes représentations en perspectives cavalières des solides suivants : pavé droit, cube,
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cylindre de révolution, prisme droit.
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Savoir mettre en relation une représentation en perspective cavalière et un patron d’un pavé, d’un prisme droit ou d’un
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cylindre de révolution.
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Calculer le volume du cube, du pavé droit, du prisme droit.
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Connaitre et convertir des unités usuelles (volume et capacité).
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Calculer l’aire du disque, le volume du cylindre de révolution.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Solides de Platon, formule d’Euler.
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− Tableaux d’Escher pour jouer sur la perception de l’espace et des volumes.
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Transformations
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Automatismes
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− Reconnaitre et construire le symétrique d’une figure par symétrie axiale, dont l’axe est vertical, horizontal, ou en diagonale
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sur quadrillage.
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− Construire le symétrique, par rapport à un axe, d’un point, d’une figure, sur feuille blanche.
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Objectifs d’apprentissage
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Définir le demi-tour, ou symétrie centrale.
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Connaitre les propriétés du demi-tour.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Rosaces et pavages dans l’art du Moyen Âge.
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− Lien avec les formes vues dans la nature : flocon, alvéoles d’abeilles, fleurs.
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Angles
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Automatismes
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− Reconnaitre et citer sur une configuration géométrique des angles : angle plein, plat, nul, droit ; angles opposés par le
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sommet, adjacents, supplémentaires, aigus, obtus.
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− Savoir qu’un angle droit mesure 90°, qu’un angle plat mesure 180°.
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− Reconnaitre une bissectrice.
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− Connaitre les mesures des angles de l’équerre dont dispose l’élève (30° 60° 90° ou 45° 45° 90°).
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Objectifs d’apprentissage
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Caractériser le parallélisme par les angles : angles alternes internes, angles correspondants.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Éléments d’Euclide (Livre I, proposition 27 ou 28).
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Triangles
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Automatismes
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− Reconnaitre un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle à partir d’un schéma codé.
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− Connaitre la somme des angles d’un triangle, calculer le 3e angle d’un triangle connaissant les mesures des deux autres.
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− Connaitre la notion de médiatrice, de cercle circonscrit.
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Objectifs d’apprentissage
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Connaitre la somme des angles d’un triangle et savoir la démontrer.
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Construire des triangles à partir de données partielles.
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Connaitre les propriétés des médiatrices et du cercle circonscrit dans le cas de triangles particuliers.
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Calculer l’aire d’un triangle.
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Définir et tracer les hauteurs dans un triangle.
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Savoir que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
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Définir et tracer les médianes dans un triangle.
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Démontrer qu’une médiane partage un triangle en deux triangles d’aires égales.
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Utiliser ces propriétés dans le cas de triangles particuliers.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Droite d’Euler, cercle des neufs points.
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− En suivant un programme de construction donné, l’élève construit, à la règle et au compas, un pentagone régulier.
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− Construction d’ogives en lien avec l’art gothique.
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− Construction de rosaces trilobées, du triangle de Reuleaux.
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− Différents instruments de mesure.
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Parallélogrammes
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Automatismes
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− Reconnaitre en justifiant un quadrilatère, un parallélogramme, un rectangle, un losange, un carré, un trapèze, un
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pentagone, un hexagone dans des figures complexes.
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− Exploiter le codage d’une figure pour identifier des parallélogrammes particuliers.
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Objectifs d’apprentissage
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Définir le parallélogramme.
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Construire des parallélogrammes.
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Connaitre les propriétés caractéristiques des côtés opposés et des diagonales.
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Utiliser une propriété caractéristique sur les diagonales ou les côtés pour les construire ou donner la nature du quadrilatère.
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Définir les parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré).
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Connaitre les propriétés caractéristiques.
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Savoir calculer l’aire d’un parallélogramme et de figures complexes.
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Résoudre des problèmes faisant appel à des conversions d’unités de longueur et d’unités d’aires.
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Quatrième
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Transformations
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Automatismes
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− Construire le symétrique d’un point par demi-tour.
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Repérage sur une droite et dans le plan
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Automatismes
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− Placer sur une droite graduée un point dont l’abscisse est un nombre relatif.
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− Repérer un nombre relatif sur une droite graduée.
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||
− Dans le plan muni d’un repère orthogonal :
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||
• lire les coordonnées d’un point donné ;
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• placer un point de coordonnées données.
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Représentation de l’espace
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Automatismes
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− Reconnaitre les solides : cube, pavé, cylindre, prisme droit.
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− Connaitre et utiliser les formules du volume d’un cube, d’un pavé, d’un prisme, d’un cylindre.
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− Reconnaitre la base d’un prisme donné en perspective cavalière.
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− Savoir calculer l’aire des figures planes usuelles : triangle, rectangle, disque.
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Objectifs d’apprentissage
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Reconnaitre des solides (pyramide, cône de révolution).
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Construire et mettre en relation différentes représentations des solides (pavé droit, cube, cylindre de révolution, prisme droit,
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pyramides et cônes de révolution).
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Connaitre le volume de la pyramide et du cône de révolution.
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||
Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Lien avec la pyramide du Louvre, les pyramides égyptiennes.
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Parallélogrammes et translations
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Automatismes
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− Dire si des figures planes sont images l’une de l’autre par une symétrie axiale (dont on identifie l’axe) ou par un demi-tour
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(dont on identifie le centre).
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||
− Dans une configuration donnée, déterminer les images de figures, de droites, de segments, de points par une symétrie
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||
axiale ou un demi-tour.
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||
− Reconnaitre un parallélogramme à l’aide de sa définition ou d’une propriété caractéristique grâce aux codages.
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− Reconnaitre un parallélogramme particulier à partir de ses propriétés caractéristiques, notamment à partir des propriétés
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de ses diagonales.
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Objectifs d’apprentissage
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Comprendre l’effet d’une translation.
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Faire le lien avec les parallélogrammes, les angles.
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Connaitre et utiliser les propriétés de conservations des translations.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Pavage d’Escher ou de l’Alhambra.
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Triangles
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Automatismes
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− Reconnaitre des droites remarquables, y compris dans les triangles particuliers (médiatrices, médianes, hauteurs,
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bissectrices).
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Objectifs d’apprentissage
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Connaitre les trois théorèmes relatifs à la droite des milieux dans un triangle.
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Connaitre le théorème de Pythagore, sa réciproque, sa contraposée.
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Mener un travail de logique sur la réciproque et la contraposée.
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||
Caractériser un triangle rectangle à l’aide de son cercle circonscrit, par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre
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est un côté du triangle.
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Déterminer le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle.
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Construire des rectangles sans équerre.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Théorème de Varignon : l’élève étudie la démonstration historique d’Euclide basée sur les aires.
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− Quelques repères historiques autour de Pythagore et son œuvre.
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Troisième
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||
Repérage sur une droite et dans le plan
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Automatismes
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||
− Placer sur une droite graduée un point dont l’abscisse est un nombre relatif.
|
||
− Repérer un nombre relatif sur une droite graduée.
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||
− Dans le plan muni d’un repère orthogonal :
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||
• lire les coordonnées d’un point donné ;
|
||
• placer un point de coordonnées données.
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||
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||
Représentation de l’espace
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||
Automatismes
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||
− Reconnaitre des solides (pavé droit, cube, prisme droit, cylindre, pyramide, cône).
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||
− Connaitre et utiliser les formules du volume d’une pyramide ou d’un cône.
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− Donner la nature d’une face d’une pyramide représentée en perspective cavalière.
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− Identifier les patrons de pyramides données (par exemple inscrites dans un cube).
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Objectifs d’apprentissage
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Définir la boule et la sphère.
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Définir les grands cercles, le diamètre.
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Visualiser et réaliser des sections de pavé parallèlement à une face, de cylindre parallèlement ou perpendiculairement à son
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||
axe, d’une boule.
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||
Connaitre et utiliser la formule du volume d’une boule de rayon donné.
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||
Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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2
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||
− La formule du volume, trouvée au IIIe siècle avant J.-C., d’après une intuition d’Archimède comme étant du cylindre qui
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||
3
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||
contient la boule. Elle a été démontrée plus formellement par Newton au XVIIe.
|
||
− Les cinq polyèdres réguliers de l’espace et les illustrations de Léonard de Vinci pour le traité mathématique De divina
|
||
proportione de Luca Pacioli.
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||
Triangles
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Automatismes
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− Utiliser la propriété du triangle rectangle et de son cercle circonscrit.
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− Écrire l’égalité de Pythagore dans un triangle rectangle.
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− Utiliser la droite des milieux pour prouver que des droites sont parallèles, pour calculer une longueur, pour prouver qu’un
|
||
point est le milieu d’un côté.
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Objectifs d’apprentissage
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Connaitre et appliquer le théorème de Thalès, sa réciproque, sa contraposée (configurations des triangles emboités et
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||
configuration dite du papillon).
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Connaitre et utiliser les lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente.
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||
Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelle
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− Repères historiques autour du théorème de Thalès, qui n’est pas appelé comme cela dans les autres pays.
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− Construction des polygones réguliers à la règle et au compas.
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Translations et vecteurs
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Automatismes
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− Mobiliser les connaissances sur la symétrie axiale, le demi-tour, la translation.
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Objectifs d’apprentissage
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Définir et utiliser la translation : définition ponctuelle avec parallélogramme.
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Définir et utiliser les notions de vecteur, de vecteurs égaux, de vecteur nul, d’opposé d’un vecteur.
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||
Définir et utiliser la somme de deux vecteurs par enchainement de deux translations.
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Découvrir et utiliser la relation de Chasles.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Savoir qu’un hexagone est obtenu à partir de triangles équilatéraux.
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− Lien avec les fractales comme les flocons de Von Koch ou les triangles de Sierpinski.
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Organisation et gestion de données et probabilités
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Statistiques
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||
Certaines des notions travaillées dans ce thème ont déjà été abordées lors des cycles précédents. Au cycle 4, les élèves sont
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||
confrontés à diverses situations de travail sur des données : les utiliser, les représenter, les interpréter. Ils sont amenés à
|
||
analyser et à comparer, en particulier pour dégager des informations pertinentes. Ce travail permet de développer leur esprit
|
||
critique, de les éclairer pour prendre des décisions et de les mettre en garde sur des manipulations par des présentations
|
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trompeuses.
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||
La compétence Communiquer est particulièrement travaillée dans la résolution des exercices de cette partie du programme.
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||
La compétence Représenter est très souvent mobilisée dans cette partie du programme. Il est important que les élèves
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||
réalisent des représentations sur leurs cahiers.
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||
Cette partie du programme est propice à l’utilisation du tableur. Les professeurs et les élèves devront y avoir recours aussi
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fréquemment que possible.
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Probabilités
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Au cycle 3, les élèves ont travaillé sur les notions élémentaires de probabilité : ils savent qu’une probabilité est un nombre
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compris entre 0 et 1 et qu’elle peut s’exprimer sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage. Ils ont
|
||
calculé des probabilités dans des situations simples d’équiprobabilité.
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||
Au cycle 4 on formalise la notion de probabilité dans le cas fini en s’appuyant sur le langage des ensembles et on précise les
|
||
premiers éléments de calcul des probabilités.
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||
L'élève rencontre des situations familières (par exemple, lancers de pièces ou de dés équilibrés, tirage au hasard dans une
|
||
population) où il utilise le modèle de l'équiprobabilité. L'équiprobabilité est une hypothèse qui ne se démontre pas, mais qui
|
||
peut être jugée pertinente par un argument de symétrie. Elle peut faire l'objet d'une discussion en classe et être confrontée à
|
||
l’expérience.
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||
Dans d’autres cas, un modèle probabiliste peut être construit à partir de fréquences observées (par exemple : sexe d’un enfant
|
||
à la naissance) en s’appuyant sur l’idée de stabilisation des fréquences (loi des grands nombres).
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||
Dans tous les cas, on distingue la situation réelle du modèle probabiliste utilisé pour la décrire.
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Cinquième
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Statistiques
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Objectifs d’apprentissage
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Recueillir et organiser des données.
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Calculer des effectifs et des fréquences (exprimées sous forme décimale, fractionnaire ou de pourcentage).
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Lire et interpréter des informations présentées sous forme de tableaux, de diagrammes et de graphiques.
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Représenter, sur papier ou à l’aide d’un tableur-grapheur, des données sous la forme d’un tableau, d’un diagramme
|
||
(diagramme en barres, diagramme circulaire) ou d’un graphique cartésien.
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||
Choisir une représentation adaptée à ce qu’il convient de mettre en avant.
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||
Calculer et interpréter la moyenne simple d’une série de données.
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||
Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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||
− Étude des diagrammes de Florence Nightingale.
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||
Probabilités
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Automatismes
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||
− Positionner sur une échelle de probabilité les évènements du type :
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||
• évènement impossible ;
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• évènement certain ;
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||
• obtenir pile en lançant une pièce équilibrée ;
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||
• obtenir une valeur donnée en lançant un dé équilibré ;
|
||
• obtenir une couleur d’une boule lors du tirage dans une urne ;
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||
• ne pas obtenir la bonne combinaison au loto ;
|
||
• obtenir 10 fois de suite la valeur 1 en lançant un dé à six faces.
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||
− Donner la probabilité sous diverses formes (fraction, décimale, pourcentage) pour les cinq premiers évènements ci-dessus.
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||
1
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||
− Lier l’expression « une chance sur quatre » (par exemple) et la probabilité .
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4
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Objectifs d’apprentissage
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Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.
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Utiliser le vocabulaire des probabilités dans des contextes concrets : expérience aléatoire, issue, évènement.
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Attribuer des probabilités dans des cas simples (équiprobabilité).
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Répéter matériellement une expérience aléatoire simple. Enregistrer les résultats observés dans un tableau d’effectifs et de
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||
fréquences.
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Quatrième
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||
Statistiques
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Automatismes
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− Calculer une moyenne pour un très petit nombre de valeurs.
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− Calculer un effectif manquant dans un tableau pour un petit nombre de valeurs.
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− Calculer une fréquence simple.
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Objectifs d’apprentissage
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Calculer une moyenne pondérée dans le cas d’une série discrète de petits effectifs présentée sous forme de données brutes,
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d’un tableau ou d’un diagramme en barres.
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||
Déterminer une médiane et l’interpréter dans le cas d’une série de petit effectif présentée sous forme de données brutes.
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||
Calculer et interpréter l’étendue d’une série présentée sous forme de données brutes, d’un tableau, d’un diagramme en barres,
|
||
d’un diagramme circulaire.
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||
Comprendre l’évolution de la médiane et de la moyenne quand on ajoute une valeur extrême.
|
||
Résoudre des problèmes faisant intervenir les différents indicateurs.
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Résoudre des problèmes de comparaison de séries statistiques.
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Utiliser le tableur pour calculer une moyenne, une médiane et l’étendue d’une série statistique.
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||
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||
Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Le premier traité des Essais d’arithmétique politique de Willem Kersseboom (XVIIIe s.).
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Probabilités
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser le vocabulaire et les notations ensemblistes pour décrire une expérience aléatoire dans des cas simples et définir la
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notion d’évènement.
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||
Définir : complémentaire, réunion, intersection, ensemble vide (évènement impossible).
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||
Calculer la probabilité d’un évènement et de l’évènement contraire.
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||
Exemples simples d’expériences aléatoires à deux épreuves (par exemple, lancer de deux pièces, d’une pièce et d’un dé, de
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||
deux dés, etc.).
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||
À partir de la répétition d’une expérience aléatoire, réalisée matériellement ou simulée, comparer des graphiques de
|
||
distributions (fréquentielle et probabiliste).
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||
Observer la fluctuation des fréquences pour un nombre de répétitions fixé de l’expérience aléatoire.
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||
Troisième
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||
Statistiques
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Automatismes
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− Calculer une moyenne.
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− Donner une médiane pour une série comportant un petit nombre de valeurs.
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− Calculer l’étendue d’une série.
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Objectifs d’apprentissage
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Calculer des effectifs cumulés croissants.
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Donner les quartiles et la médiane d’une série donnée sous forme de tableau d’effectifs ou de diagramme en barres.
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Construire et utiliser des boites à moustache pour représenter les valeurs de position d’une série statistique.
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Comprendre et interpréter des données statistiques.
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Utiliser le tableur pour calculer une moyenne, une médiane et l’étendue d’une série statistique.
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||
Probabilités
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Objectifs d’apprentissage
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Connaitre et savoir appliquer la relation 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
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Simuler des expériences aléatoires indépendantes.
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Observer la stabilisation des fréquences lorsqu’on augmente le nombre de répétitions de l’expérience aléatoire, faire le lien
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||
entre fréquence et probabilité selon le nombre de répétitions.
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||
Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Problème de l’erreur de D’Alembert.
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Proportionnalité, fonctions
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Cette partie du programme regroupe les notions de proportionnalité et de fonction pour répondre à un double objectif :
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− introduire progressivement la notion de fonction, pour décrire une dépendance entre deux grandeurs, dont la
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||
proportionnalité est un cas particulier ;
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||
− affermir la maitrise des raisonnements liés à la proportionnalité, en liaison avec les situations de proportionnalité
|
||
courantes : changement d’échelle, changement d’unité, pourcentages, rapports et ratios.
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||
|
||
Au cycle 4, la proportionnalité occupe toujours une place centrale. Il s’agit d’affermir la maitrise des principaux raisonnements
|
||
qui permettent de traiter les situations de proportionnalité (notamment au niveau de ses applications : pourcentages, rapports
|
||
et ratios, changements d’unité, changements d’échelle, fonctions linéaires etc.).
|
||
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||
Les méthodes de résolution des problèmes de proportionnalité évoluent avec les connaissances des élèves, notamment avec
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||
une meilleure maitrise de la notion de quotient. Les procédures vues précédemment sont poursuivies ; la nature des nombres
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||
mis en jeu évolue.
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||
La notion de fonction apparait d’abord dans le cadre des grandeurs, avec des situations simples de proportionnalité ou de non
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||
proportionnalité.
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||
Dès la cinquième, on emploie l’expression « en fonction de ». En quatrième, on donne des exemples où on utilise une formule,
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||
un graphique ou un tableau de valeurs pour traduire la dépendance d’une grandeur en fonction d’une autre. Des exemples de
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||
fonctions sont étudiés en troisième, sans étude générale de la notion de fonction.
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||
Les notations fonctionnelles de type 𝑃(𝐴), 𝑝(𝑡) ainsi que la flèche → sont utilisées progressivement dans tous les chapitres du
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||
programme.
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Cinquième
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Proportionnalité
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Automatismes
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− Reconnaitre si une situation donnée entre dans le cadre de la proportionnalité ou non.
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− Dans des situations simples, mobiliser une procédure adaptée (propriété de linéarité pour la multiplication ou l’addition,
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||
retour à l’unité) pour résoudre un problème lié à la proportionnalité. Par exemple :
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• à partir d’une recette pour 4 personnes, on sait donner (ou verbaliser la procédure) les quantités lorsque l’on passe à 2, 8
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ou 6 personnes ;
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• si l’on connait le prix d’un kilogramme de tomates, on sait comment calculer le prix de 3 kg ou de 4,3 kg de tomates ;
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||
• lors de l’élection des délégués de la classe, 4 élèves se présentent. Chaque élève a voté pour un seul candidat. Voici les
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résultats :
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Alexis Chloé Salma Djibril Total
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6 12 3 3 24
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Calculer le pourcentage de voix de chaque candidat.
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser des proportions, des pourcentages.
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Calculer, appliquer des proportions, des pourcentages.
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||
Identifier des situations de proportionnalité dans des contextes concrets (prix, recettes, distances, échelles).
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Utiliser un coefficient de proportionnalité dans des contextes concrets (prix unitaire, vitesse moyenne, échelle, etc.).
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||
Représenter une situation de proportionnalité par un tableau ou un graphique.
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||
Reconnaitre une situation de proportionnalité à partir d’un tableau ou d’un graphique.
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||
Reconnaitre graphiquement qu’un nuage de points est ou n’est pas associé à une situation de proportionnalité entre données
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discrètes.
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Fonctions
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Objectifs d’apprentissage
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Introduire l’expression : « en fonction de » dans des contextes concrets ou mathématiques.
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Produire un tableau de valeurs.
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Lire et interpréter un tableau de valeurs.
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Placer dans un repère orthogonal donné des points correspondant à un tableau de valeurs.
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Lire et interpréter un graphique cartésien donné par une courbe ou un nuage de points.
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Traduire la relation de dépendance entre deux grandeurs par un tableau de valeurs à partir d’une formule.
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Produire une formule simple représentant la dépendance de deux grandeurs.
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Caractériser graphiquement la proportionnalité.
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||
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Quatrième
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Proportionnalité
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Automatismes
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− Déterminer a % de c quand a vaut 100, 50, 25, 10, 1.
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…
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− Compléter : 20 % de 120 = … ; 30 = × 1 000.
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100
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser des grandeurs quotients, avec ou sans unités.
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||
Comparer deux nombres ou deux grandeurs à l’aide de leur rapport ou ratio.
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Exprimer la proportionnalité entre deux suites de nombres par des égalités de rapports ou sous forme de ratio.
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Déterminer une quatrième proportionnelle.
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Calculer avec des pourcentages.
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Rendre compte d’une augmentation ou une diminution exprimée en pourcentages au moyen d’un coefficient multiplicateur
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Définir le coefficient multiplicateur.
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Résoudre des problèmes de partage proportionnel.
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Fonctions
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Objectifs d’apprentissage
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Savoir appliquer un programme de calcul à deux (plusieurs) étapes à un nombre simple puis à une variable.
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Savoir retrouver le nombre de départ après avoir remonté un programme de calcul simple.
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Produire une formule littérale représentant la dépendance d’une grandeur en fonction d’une autre.
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Représenter l’expression d’une grandeur en fonction d’une autre par un graphique.
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Comprendre la dépendance d’une grandeur en fonction d’une autre.
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Troisième
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Proportionnalité
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Automatismes
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− Partager une somme en deux parts selon un certain ratio.
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− Partager une masse en trois parts selon un certain ratio.
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− Partager une somme entre deux personnes âgées de 20 et 30 ans proportionnellement à leur âge.
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− Calculer le pourcentage d’une quantité.
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− Calculer la distance réelle entre deux villes, connaissant la distance entre ces villes sur une carte routière dont l’échelle est
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connue.
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− Appliquer, dans des cas simples, une augmentation ou une diminution exprimée en pourcentages, en utilisant ou non le
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coefficient multiplicateur.
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Objectifs d’apprentissage
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Traduire une augmentation ou une diminution en pourcentages.
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Relier la représentation graphique d’une situation de proportionnalité avec le théorème de Thalès.
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Connaitre et utiliser les fonctions linéaires.
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Fonctions
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser les différentes représentations d’une fonction.
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Définir et connaitre le vocabulaire : image, antécédents.
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Définir et utiliser les fonctions linéaires.
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Résoudre graphiquement des équations et des inéquations linéaires.
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Relier fonctions linéaires et proportionnalité.
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Définir et utiliser les fonctions affines.
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Déterminer graphiquement les coefficients d’une fonction affine.
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Représenter la fonction carré.
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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− Méthode de simple fausse position (pour les problèmes du type 𝑦 = a𝑥).
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La pensée informatique
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La pensée informatique est présentée sous l’angle de l’algorithmique. Les concepts sous-jacents de la programmation
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impérative par blocs sont présentés de manière progressive tout au long du cycle. Ainsi, les notions complexes comme celle de
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variable et d’instructions de répétition sont introduites en plusieurs temps afin de permettre aux élèves d’arriver à une
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autonomie d’expression en fin de cycle.
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Cinquième
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Les notions aperçues au cycle 3 sont définies et manipulées avec précision. La notion de variable est vue uniquement à ce
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stade sous l’angle de la manipulation en lecture d’une donnée saisie.
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Objectifs d’apprentissage
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Manipuler des instructions simples et les séquencer.
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Identifier les entrées et sorties d’un programme.
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Représenter des formules sous la forme d’une expression informatique dans un langage de programmation par blocs.
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Calculer la valeur de formules à l’aide d’une suite d’instruction dans un langage de programmation par blocs.
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Prévoir la valeur d’une expression informatique avant son exécution.
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Analyser un programme simple donné et modifier ses paramètres.
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Effectuer une boucle inconditionnelle simple permettant de répéter une séquence linéaire d’instructions un nombre précis de
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fois.
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Quatrième
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La notion de variable informatique est progressivement introduite.
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En classe de quatrième, les élèves commencent à écrire des programmes simples en autonomie et à comprendre et modifier
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des programmes fournis plus complexes.
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Objectifs d’apprentissage
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Représenter des conditions simples.
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Écrire des instructions conditionnelles.
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Manipuler une variable.
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Écrire un programme simple donné pour réaliser un objectif ou résoudre un problème.
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Modifier un programme donné pour changer son comportement.
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Troisième
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Les notions présentées précédemment sont approfondies en classe de troisième.
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Cet approfondissement conduit les élèves vers une autonomie d’écriture de programme.
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Objectifs d’apprentissage
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Approfondir la notion de variables.
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Utiliser des conditions composées.
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Utiliser une boucle conditionnelle.
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Structurer des programmes.
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Écrire un programme donné pour réaliser un objectif ou résoudre un problème.
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