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Les guides
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fondamentaux
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pour enseigner
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La résolution
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de problèmes
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mathématiques
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au collège
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Cet ouvrage a été coordonné par le service de l’instruction
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publique et de l’action pédagogique et le service
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de l’accompagnement des politiques éducatives
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de la direction générale de l’enseignement scolaire
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du ministère de l’Éducation nationale, de la Jeunesse
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et des Sports.
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Cet ouvrage synthétise des contributions de chercheurs
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et chercheuses, d’inspecteurs et d’inspectrices,
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d’enseignantes et d’enseignants. Ce document a fait
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l’objet d’une relecture critique de plusieurs membres
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du Conseil scientifique de l’éducation nationale.
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Sommaire
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6 AVANT-PROPOS
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INTRODUCTION
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11 Résoudre des problèmes au collège :
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pourquoi et comment ?
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13 Prendre en compte la contrainte exercée
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par les conceptions intuitives
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15 Favoriser le transfert
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17 Mobiliser les quatre piliers de l’apprentissage
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18 Considérer la modélisation comme une stratégie
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dans la résolution de problèmes
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20 Contribuer à la formation d’un esprit citoyen
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21 Développer les compétences du xxie siècle
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CHAPITRES
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I 23 Données et statistiques
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24 Entrée historique
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26 Point sur la recherche
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27 Problème 1. Nos amis les bêtes
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30 Problème 2. L’allure de la courbe
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33 Problème 3. Vers des mobilités douces
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36 Problème 4. Changement climatique : infox ?
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39 Problème 5. Comparaison de séries statistiques
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43 Problème 6. Moyennes glissantes
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46 Mathématiques. Les pourcentages
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au cœur de la citoyenneté
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50 Mathématiques. Liens entre statistiques
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et probabilités
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II 55 Nombres et problèmes arithmétiques
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56 Entrée historique
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58 Point sur la recherche
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61 Mathématiques. Les ratios et leur utilisation
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62 Didactique. Le modèle en barres
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63 Problème 1. Se partager des macarons
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65 Didactique. Le rôle du matériel de manipulation
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66 Problème 2. Les angles du triangle
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sont dans un ratio
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68 Problème 3. Des fractions et des proportions
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71 Problème 4. L’affaire est dans le sac
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73 Problème 5. Plusieurs inconnues dans le jeu
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76 Problème 6. Ça texte beaucoup !
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III 79 Problèmes algébriques
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80 Entrée historique
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84 Point sur la recherche
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86 Problème 1. Un pattern de jetons
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88 Problème 2. Un calcul surprenant
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91 Problème 3. Une course cycliste
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92 Problème 4. Dessine-moi une expression
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algébrique
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94 Problème 5. La devinette
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96 Problème 6. Ranger les côtés
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99 Problème 7. Les nombres manquants
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101 Didactique. Les variables en algèbre
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102 Didactique. Du matériel de manipulation
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pour introduire la lettre
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IV 105 Patterns. Des problèmes pour travailler
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les pensées algorithmique et algébrique
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106 Entrée historique
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107 Algorithmes et motifs/patterns dans
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des pratiques ethnomathématiques
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110 Point sur la recherche
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111 Mathématiques. Définition d’un pattern
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112 Focus | Une séquence d’enseignement
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autour d’un pattern
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116 Problème 1. Des énoncés pour des rituels
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119 Problème 2. Des petits carrés
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121 Problème 3. Le flocon de Koch
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123 Problème 4. Des carrés et une spirale
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126 Problème 5. Tel père, tel fils
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V 129 Géométrie
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130 Entrée historique
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132 Point sur la recherche
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133 Didactique. Les outils numériques en géométrie
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136 Problème 1. On me voit ! On ne me voit plus !
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139 Problème 2. Figure trompeuse
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142 Focus | Une séquence d’enseignement
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autour des triangles et des aires
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146 Problème 3. Le triangle mystère
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(raisonner pour construire)
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150 Problème 4. Le grand défi
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(construire pour raisonner)
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153 Didactique. Raisonner pour construire
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et construire pour raisonner
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VI 157 Grandeurs
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158 Entrée historique
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160 Point sur la recherche
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161 Mathématiques. Notions de grandeurs,
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mesures et unités
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162 Problème 1. Le Curvica
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164 Problème 2. Des robinets qui coulent
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167 Problème 3. Coût carbone
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170 Problème 4. Excès de vitesse ou pas ?
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172 Problème 5. Comparer des formes
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VII 177 Quelles démarches pour enseigner
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la résolution de problèmes ?
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178 Contexte
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179 Point sur la recherche
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184 Faire de l’explicitation un levier
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186 Disposer de procédures automatisées
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188 Installer des temps dédiés à la résolution
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de « classes de problèmes »
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190 Focus | Une étude de cas en classe
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de 3e autour des problèmes
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se modélisant par une équation
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201 BIBLIOGRAPHIE ET OUTILS DE RÉFÉRENCE
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Avant-propos
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7 — Avant-propos
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Les études internationales (Pisa, Timss) et nationales montrent une baisse inquiétante
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du niveau de nos élèves dans le domaine des mathématiques, mais aussi une faible
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performance dans le champ interdisciplinaire. Timss (niveaux CM1 et 4e) révèle
|
||
que les élèves français sont sous-performants dans les domaines « nombre »
|
||
et plus encore dans le domaine « présentation de données » alors que ce sont deux
|
||
domaines travaillés depuis l’école primaire. D’une manière générale, la résolution
|
||
de problèmes, qui est pourtant au cœur de l’enseignement des mathématiques, est
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un point de faiblesse de nos élèves – situation analysée dans de nombreux rapports
|
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depuis plusieurs décennies1 .
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Les études Timss dégagent trois échelles indépendantes : connaître ; appliquer ;
|
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raisonner. Dans le domaine « connaître », les élèves français ne se distinguent pas
|
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du score moyen global des autres pays, mais marquent le pas dans les domaines
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« appliquer » et « raisonner ».
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L’étude Pisa (élèves de 15 ans) dégage quant à elle des étapes dans le raisonnement
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mathématique : formuler, employer, interpréter et évaluer, qui sont dans la continuité
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des études Timss. Là encore, les élèves français peinent à mettre en œuvre leurs
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connaissances et compétences acquises dans des situations concrètes2 .
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Le présent guide propose un certain nombre d’exercices typiques des évaluations
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internationales (Timss niveau 4e et Pisa) et dégage, à travers des exemples concrets,
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des pistes d’enseignement qui pourront remédier aux principales difficultés des
|
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élèves mises en exergue dans ces évaluations.
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Par ailleurs, en comparant les évaluations internationales de CM1 et de 4e, on peut
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s’apercevoir que nombre de problèmes sont apparentés entre les deux niveaux
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(statistiques, gestion des données, problèmes arithmétiques mettant en jeu
|
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la maîtrise du calcul, des décimaux et des fractions, problèmes de partage,
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problèmes de géométrie, etc.) et nécessitent une maîtrise des outils numériques ou
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une aisance calculatoire. Ces évaluations indiquent aussi que des points résistants
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d’enseignement sont largement identifiés dès les classes de CM. Les enseignants
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des c
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ollèges et des écoles ont donc tout intérêt à proposer dans leurs classes
|
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des exercices appartenant aux banques de problèmes libérés par l’IEA3 (International
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Association for the Evaluation of Educational Achievement) et issus des évaluations
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Timss CM1 ou 4 e. Ces exercices sont d’excellents supports pour la formation
|
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entre pairs, que ce soit dans les laboratoires de mathématiques quand ils existent,
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ou au sein des équipes des établissements et des professeurs de la circonscription
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de proximité.
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1— Voir le rapport Villani-Torossian : 21 mesures pour l’enseignement
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des mathématiques : https://www.education.gouv.fr/21-mesures-
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||
pour-l-enseignement-des-mathematiques-3242
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2 — Quatre sujets sont particulièrement ciblés dans l’évaluation
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du Pisa 2022. Ils ne sont pas nouveaux par rapport aux catégories
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de contenus mathématiques, mais méritent une attention plus grande
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des équipes enseignantes de 3e et 2de : phénomènes de croissance
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(variations et relations), approximation géométrique (espace et formes),
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simulations informatiques (quantité), prise de décisions conditionnelles
|
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(incertitude et données).
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3 — https://www.iea.nl/fr/intro
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8 — Avant-propos
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Ce guide s’adresse donc aux professeurs de l’enseignement secondaire, mais aussi
|
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aux professeurs de l’école primaire et à leurs formateurs. Il aborde l’enseignement
|
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de la résolution de problèmes au collège dans les six premiers chapitres consacrés à
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des exemples mathématiques qui intègrent les six concepts clés du programme Pisa4
|
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et développe dans le chapitre 7 quelques démarches didactiques plus théoriques
|
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qui permettront aux enseignants de prendre du recul sur leurs pratiques.
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Ce guide s’appuie sur des analyses mathématiques, épistémologiques et didactiques,
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mais aussi sur les résultats de la recherche sur l’enseignement des mathématiques
|
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et dans le domaine de la psychologie des apprentissages.
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Les six premiers chapitres proposent donc à la fois des entrées historiques, des
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points de vue de chercheurs, des rappels de mathématiques, des encarts didactiques,
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parfois des focus, mais surtout des exercices qui ont été analysés systématiquement
|
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sous le même angle : pourquoi proposer ce genre de problèmes en classe, quels en
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sont les ressorts de continuité ou de progressivité, mais surtout quelles stratégies
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d’enseignement mettre en place concrètement ? Les analyses faites n’ont pas la
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prétention d’être exhaustives et les professeurs – dans le cadre des formations
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entre pairs – pourront avantageusement les compléter.
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Les propositions d’exercices ont été sélectionnées afin de répondre à plusieurs
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objectifs :
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— mettre en valeur le continuum didactique qu’il convient de promouvoir entre
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l’école primaire (particulièrement les classes de cours moyen) et les classes de
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collège, tant au sein des contenus mathématiques que dans l’organisation des
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formations à destination des professeurs ;
|
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— dégager le chemin didactique qui amène, en prolongement de la résolution
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de p roblèmes arithmétiques à l’école primaire, à l’émergence de la variable
|
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algébrique au collège ;
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— encourager le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » à travers des
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problèmes de nature arithmétique ou faisant intervenir les grandeurs ;
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— donner à la modélisation un rôle essentiel pour permettre à l’élève de s’engager,
|
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d’essayer, de se forger des représentations mentales qui lui permettront
|
||
d’avancer dans la résolution de problèmes ;
|
||
— étayer les élèves de stratégies efficaces ;
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||
— renforcer les liens entre les mathématiques et les compétences en esprit critique
|
||
dans une perspective d’éducation citoyenne.
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Ce guide complète les ressources institutionnelles déjà à disposition des professeurs,
|
||
à savoir le programme de mathématiques, les documents ressources, les repères
|
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annuels de progression des cycles 3 et 4, les attendus de fin de cycle, les guides CP
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et CM sur le même sujet.
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4 — Comprendre la quantité, les systèmes de numération et leurs
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propriétés algébriques ; comprendre le potentiel de l’abstraction
|
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et de la représentation symbolique ; reconnaître les structures
|
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mathématiques et leurs régularités ; reconnaître les relations
|
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fonctionnelles entre quantités ; recourir à la modélisation mathématique
|
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pour percevoir le monde réel ; voir la variation comme fondement
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de la statistique.
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9 — Avant-propos
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Plan du guide
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L’introduction de ce guide aborde d’un point de vue généraliste la question de la
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résolution de problèmes en mettant en perspective, d’une part, les leviers d’appren-
|
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tissage et d’autre part, des objectifs plus lointains, comme la formation des citoyens
|
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et le développement des compétences du xxie siècle.
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Le chapitre 1 aborde des problèmes autour des données et statistiques qui mettent en
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jeu des capacités comme la lecture de graphiques, l’extraction de données, l’utilisation
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d’indicateurs statistiques pertinents (moyenne glissante) pour outiller les élèves
|
||
et leur permettre de devenir des citoyens capables de comprendre et d’analyser
|
||
les nombres qui les entourent.
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||
Le chapitre 2 traite des problèmes mobilisant des notions autour des nombres telles
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que les ratios, les probabilités, les pourcentages ou les fractions que l’on retrouve
|
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souvent dans les évaluations internationales. La modélisation y tient une place
|
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particulière et permet de prendre en compte les discontinuités bien identifiées (statut
|
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de la lettre, sens du signe égal, etc.).
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Le chapitre 3 aborde des problèmes qui mettent en avant le passage de l’arithmétique
|
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à l’algèbre, point de rupture didactique pour l’élève. Être en capacité de généraliser
|
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des expressions, reconnaître des structures, modéliser une situation par une
|
||
expression algébrique ou une équation pour résoudre un problème sont des
|
||
capacités attendues en fin de collège, mais qui se préparent dès l’école primaire.
|
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Le chapitre 4 traite des patterns, un sujet peu présent dans les classes en France
|
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(bien que présent sous le vocable « suites organisées » à l’école primaire), alors que
|
||
les patterns sont le socle de nombreuses évaluations dans le monde anglo-saxon.
|
||
Rattachés à tort aux jeux de logique, ils sont en lien avec l’enseignement de l’algo-
|
||
rithmique et développent les pensées algorithmique et algébrique chez les élèves.
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||
Le chapitre 5 aborde des problèmes de géométrie dans ses rapports aux instruments
|
||
(numériques, tracés) pour construire le raisonnement et aller vers la démonstration.
|
||
Les problèmes de ce chapitre illustrent aussi des situations où ce qui est visible n’est
|
||
pas suffisant pour raisonner juste ; il faut donc aussi imaginer et abstraire.
|
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||
Le chapitre 6 traite des problèmes en lien avec les grandeurs, sujet clairement
|
||
identifié dans les programmes de l’école et du collège. Les problèmes de ce chapitre
|
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visent à travailler, d’une part, les grandeurs indépendamment de leurs mesures
|
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et d’autre part, les grandeurs quotients dans le contexte linéaire ou non linéaire.
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Le chapitre 7 a une vocation transversale. Son objectif est de donner aux enseignants
|
||
un certain nombre de pistes destinées à mettre en œuvre des stratégies d’ensei-
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||
gnement favorisant les transferts d’apprentissage par la résolution de problèmes.
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||
Le guide se termine par une bibliographie.
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||
Introduction
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11 — Introduction
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Un problème se caractérise par un état initial
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– la « situation-problème » –, un objectif à atteindre
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– la « solution » –, et des moyens à disposition pour
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atteindre cet objectif – des règles mathématiquement
|
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valides dont découlent des stratégies de résolution.
|
||
La notion de problème suppose également celle
|
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d’obstacle : à la différence d’une activité automatisée
|
||
ou des exercices d’entraînement, une personne face
|
||
à un problème ne perçoit pas immédiatement de chemin
|
||
de résolution. Il en résulte qu’un problème pour un élève
|
||
et à un niveau scolaire donné ne reste pas
|
||
nécessairement un problème (au sens des didacticiens)
|
||
pour un autre élève ou à un autre niveau scolaire5.
|
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Résoudre des problèmes
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au collège : pourquoi et comment ?
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||
Les mathématiques émergent historiquement à travers les problèmes eux-mêmes
|
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et il est essentiel, d’un point de vue didactique, de ne pas séparer l’un de l’autre, car
|
||
l’activité de résolution de problèmes va bien au-delà d’une perspective applicative
|
||
destinée à s’assurer que l’élève mobilise à bon escient une notion ou des stratégies
|
||
étudiées durant la phase de cours. Elle participe pleinement à la construction même
|
||
des notions et de leur ancrage : il serait vain, par exemple, de vouloir comprendre
|
||
la notion de fonction sans vivre à travers les problèmes la puissance de cette notion
|
||
elle-même. Ces apprentissages mathématiques bénéficient alors de l’engagement
|
||
actif dans la tâche que la résolution de problèmes favorise. Ils bénéficient aussi
|
||
des démarches réflexives autour des erreurs, ainsi que des retours d’informations
|
||
reçus lors de tentatives de trouver la solution. L’engagement actif et le retour sur
|
||
les erreurs sont deux piliers de l’apprentissage6 .
|
||
|
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||
|
||
|
||
5— Alan H. Schoenfeld, Mathematical Problem Solving,
|
||
Academic Press Inc, 1985.
|
||
6 — Stanislas Dehaene, Apprendre ! Les talents du cerveau,
|
||
le défi des machines, Odile Jacob, Paris, 2018.
|
||
12 — Introduction
|
||
|
||
Les temps de résolution de problèmes n’ont pas à être réservés à des moments
|
||
particulièrement avancés d’un cours. Au contraire, la résolution de problèmes peut
|
||
intervenir à tout moment, y compris dès les étapes introductives, sans attendre
|
||
une maîtrise complète des notions du chapitre. Un problème peut être tout à fait
|
||
adapté pour introduire de nouvelles notions. La résolution de problèmes donne
|
||
du sens, permet d’apprendre et de vérifier ce qu’on a appris. L’engagement actif
|
||
auquel elle incite peut aller de pair avec des temps d’explicitation de l’enseignant
|
||
lors de moments d’institutionnalisation ou de mises en commun pour les élèves.
|
||
Ainsi, cette activité se prête à l’articulation d’une recherche de solutions par les
|
||
élèves avec des étayages de l’enseignant, comprenant des moments d’explicitation.
|
||
Cette phase p arfois négligée est indispensable pour les apprentissages des
|
||
stratégies transférables, des propriétés pertinentes ainsi que pour la consolidation
|
||
des connaissances : il est important de savoir ce que l’on apprend à travers les
|
||
problèmes et de disposer d’une trace écrite exploitable par les élèves. Cela suppose
|
||
que la résolution de problèmes et la construction de stratégies débutent en classe
|
||
et non pas dans des situations où l’élève serait mis en situation inédite dans un
|
||
cadre isolé. Pour les devoirs de réflexion en autonomie, cela indique aussi qu’il faut
|
||
penser à la mise en place de points d’étapes avec les élèves : un devoir de réflexion
|
||
est donc accompagné.
|
||
|
||
Plus généralement, l’accompagnement par l’enseignant est essentiel pour soutenir
|
||
la compréhension des élèves, d’autant plus que l’interprétation d’un problème
|
||
exerce une influence prépondérante dans sa résolution. En effet, qu’il soit verbal (les
|
||
problèmes dits « à énoncé ») ou privilégiant d’autres modes de représentation (par
|
||
exemple des tableaux, des schémas, des diagrammes), un problème fait l’objet d’une
|
||
interprétation par le biais de concepts mobilisés par l’élève. Ces concepts sur lesquels
|
||
l’élève s’appuie peuvent être des concepts mathématiques (par exemple une situation
|
||
du champ multiplicatif), des concepts abordés par d’autres disciplines scolaires (par
|
||
exemple la couche d’ozone) ou encore des concepts de la vie quotidienne (par exemple
|
||
une situation d’achat) 7. L ’interprétation construite par l’élève va contraindre les
|
||
stratégies de résolution qu’il est susceptible de mettre en œuvre, car seules seront
|
||
accessibles les stratégies concordantes avec ses interprétations.
|
||
|
||
Or les interprétations construites par les élèves peuvent être en décalage avec
|
||
la perspective adoptée par le concepteur du problème. De tels décalages sont
|
||
fréquents, car un élève, en apprentissage, ne dispose pas toujours de conceptions
|
||
suffisamment élaborées des notions mathématiques impliquées dans le problème à
|
||
résoudre. La notion « d’angle mort de l’expertise8 » traduit l’idée qu’il peut être difficile
|
||
pour un enseignant, expert de son domaine, de percevoir les difficultés des élèves,
|
||
car cela demande une difficile décentration.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
7 — Emmanuel Sander, Jean-Francois Richard, Les Apprentissages
|
||
numériques, in Raphaëlle Miljkovitch, Françoise Morange-Majoux,
|
||
Emmanuel Sander (dir.), Psychologie du développement, p. 252-258,
|
||
Elsevier-Masson, Paris, 2017.
|
||
8 — Mitchell Nathan, Anthony J. Petrosino, “Expert Blind Spot among
|
||
Preservice Teachers”, American Educational Research Journal, 40 (4),
|
||
p. 905-928, 2003. Retrieved July 21, 2021, from http://www.jstor.org/
|
||
stable/3699412
|
||
13 — Introduction
|
||
|
||
Les interprétations reflètent des catégorisations des situations-problèmes qui ont
|
||
une pertinence dans la vie quotidienne, mais qui ne recouvrent que partiellement
|
||
celles des notions mathématiques concernées. Par exemple, l’énoncé : « Combien de
|
||
verres de 0,25 L puis-je remplir avec une carafe de 2 L ? » peut se catégoriser sur le
|
||
plan des connaissances de la vie quotidienne comme un problème de multiplication
|
||
lacunaire, ce qui amène l’élève à rechercher le nombre d’itérations nécessaires
|
||
pour aboutir à la quantité totale (« par combien dois-je multiplier 0,25 pour trouver
|
||
2 ? »), alors que l’enseignant a conçu un problème de division. Ces décalages
|
||
d’interprétation sont parfois compatibles avec l’atteinte de la solution, parfois
|
||
conduisent à des erreurs. Par exemple, le même élève qui trouverait la réponse
|
||
8 par tâtonnement au problème précédent échouerait dès lors que la valeur de
|
||
la contenance du verre serait non plus de 0,25, mais de 0,23. Il y a donc un fort
|
||
enjeu à accompagner les élèves dans la construction d’interprétations qui soient
|
||
en concordance avec les notions mathématiques travaillées sous peine de les
|
||
voir en difficulté dès lors que des changements sur le plan mathématique rendent
|
||
inefficaces les stratégies disponibles, comme dans cet exemple.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Prendre en compte la contrainte
|
||
exercée par les conceptions
|
||
intuitives
|
||
|
||
L’interprétation d’un problème est contrainte par les conceptions intuitives attachées
|
||
aux notions mathématiques impliquées dans ce problème. Depuis les années 1980,
|
||
de nombreux travaux ont en effet montré que les notions enseignées sont l’objet de
|
||
conceptions reposant sur des connaissances familières, issues de la vie quotidienne
|
||
et qui orientent la manière dont un élève se représente initialement une notion.
|
||
|
||
Il peut s’agir par exemple de l’idée que le signe égal sépare un processus du
|
||
résultat de ce processus, qu’un ensemble est une collection de plusieurs objets, que
|
||
soustraire, c’est chercher le résultat d’un retrait, qu’additionner, c’est chercher le
|
||
résultat d’un ajout, que multiplier, c’est réaliser une addition répétée, que diviser,
|
||
c’est rechercher la taille de la part dans un scénario de partage équitable ou encore
|
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qu’un nombre décimal est composé de deux nombres entiers séparés par une virgule,
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||
qu’une fraction est un rapport d’une partie sur une totalité9. De telles conceptions
|
||
intuitives ont un champ de validité, c’est-à-dire un ensemble de situations pour
|
||
lesquelles la référence à la conception intuitive conduit à la même conclusion que la
|
||
référence à la notion scolaire. À l’intérieur de ce champ de validité, les problèmes vont
|
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être en général plutôt facilement résolus par les élèves, car la concordance entre la
|
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conception intuitive et la notion scolaire permet d’aboutir à la solution recherchée.
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9 — Douglas Hofstadter, Emmanuel Sander, L’Analogie - Cœur
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de la pensée, chap. 7, « Les analogies naïves », Odile Jacob, Paris, 2013.
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14 — Introduction
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En revanche, hors du champ de validité de la conception intuitive, la difficulté de
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résolution va être accrue. Ainsi le fait que la conception intuitive de la multiplication
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soit l’addition répétée permet de comprendre pourquoi un problème comme « Si un
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litre d’essence coûte 1,27 euro, combien coûte 0,21 litre ? » est difficile à résoudre
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pour une majorité de collégiens, qui ont même tendance à poser une division, alors
|
||
que la multiplication est systématiquement identifiée par les mêmes élèves lorsque
|
||
0,21 est remplacé par une valeur entière, par exemple lorsque le problème devient
|
||
« Si un litre d’essence coûte 1,27 euro, combien coûtent 3 litres ?10 ». Concernant
|
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la division, il a été montré que le problème « Avec 25 roses, combien de bouquets
|
||
de 5 roses puis-je faire ? » est réussi par presque tous les élèves de collège, alors
|
||
que la réussite chute pour un énoncé tel que « Je partage 5 kg de cookies entre
|
||
15 amis, combien chacun recevra-t-il ?11 » (la majorité des élèves effectuent 15/5,
|
||
cas stéréotypé du partage de 15 objets entre 5 individus). Il convient dans la
|
||
même perspective de distinguer l’usage du terme scolaire par l’élève (par exemple
|
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« diviser », « fraction » ou « nombre décimal ») de sa conception personnelle de la notion
|
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(par exemple, respectivement, « partager équitablement », « rapport d’une partie sur
|
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une totalité », « deux nombres entiers séparés par un signe »).
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||
En effet, les conceptions intuitives restent influentes y compris après enseignement.
|
||
L’enseignement a prise sur elles, mais elles ne peuvent pas pour autant être purement
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||
éradiquées, si bien qu’il reste utile de prendre en compte leur influence, y compris
|
||
bien après qu’elles ont été abordées en cours, car les situations qui se situent hors
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||
du domaine de validité de la conception peuvent conduire les élèves à des difficultés
|
||
majeures. La conception intuitive de la division comme la recherche de la taille de
|
||
la part persiste, y compris après enseignement, à faire obstacle à la possibilité
|
||
d’imaginer une telle situation12 . Par exemple, concevoir un énoncé de problème dans
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||
lequel une division « rend plus grand », au sens où le résultat est plus élevé que la
|
||
valeur initiale, est un exercice difficile y compris pour de nombreux adultes. Ainsi
|
||
des problèmes de quotition, pourtant aussi concrets que, par exemple, « Dans 1,5
|
||
mètre de tissu, combien peut-on découper de bandes de 0,14 mètre ? », sont rarement
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imaginés.
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10 — Alan Bell, Malcolm Swann, Glenda Taylor, “Choice of Operation
|
||
in Verbal Problems with Decimal Numbers”, Educational Studies
|
||
in Mathematics, 12, p. 399-420, 1981.
|
||
11 — Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Sainati Nello, Maria Sciolis
|
||
Marino, “The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems
|
||
in Multiplication and Division”, Journal for Research in Mathematics
|
||
Education, 16, p. 3-17, 1985.
|
||
12 — Jacques Lautrey, Sylvianne Rémi-Giraud, Emmanuel Sander,
|
||
Andree Tiberghien, Les Connaissances naïves, Armand Colin, Paris,
|
||
2008.
|
||
15 — Introduction
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||
Il est donc nécessaire de travailler également, durant le cours, des situations de
|
||
résolution de problèmes hors du champ de validité de la conception intuitive dans la
|
||
mesure où celle-ci est limitante dans de nombreuses situations. Il pourra s’agir par
|
||
exemple de soustraire pour trouver combien on a gagné, d’additionner pour trouver
|
||
combien on avait au début, de multiplier ou de diviser par une valeur inférieure à 1,
|
||
d’introduire une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, etc.
|
||
Cela implique de travailler au dépassement des limites imposées par la conception
|
||
intuitive et d’accompagner la construction d’une conception plus large et concordante
|
||
avec la notion mathématique. La modélisation (voir p. 18) de situations se situant,
|
||
pour certaines, dans le champ de validité de la conception intuitive et hors de celle-ci,
|
||
pour d’autres, est une manière de favoriser cet apprentissage.
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Favoriser le transfert
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Bien que l’on s’accorde généralement à considérer qu’un objectif majeur de
|
||
l’enseignement est de décontextualiser des compétences, il est établi par ailleurs
|
||
que le transfert entre problèmes qui reposent sur la même structure mathématique
|
||
mais dont l’habillage varie est souvent pauvre 13 . Autrement dit, rien ne garantit
|
||
que la stratégie mise en œuvre par un élève pour résoudre un problème dans un
|
||
contexte donné se transfère à un autre contexte pourtant identique sur le plan de
|
||
la structure mathématique. Or il est attendu de l’élève qu’il élabore une conception
|
||
des notions étudiées qui ne le rende pas totalement dépendant d’une invitation
|
||
de l’enseignant (« inspirez-vous de ce qu’on a fait avant la récréation ») ou de traits
|
||
de surface partagés (« ah, c’est un problème de mélange ! »). Sinon, son autonomie
|
||
serait extrêmement réduite et les échecs nombreux.
|
||
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||
Un obstacle majeur au transfert tient à la relation entre la représentation du
|
||
problème travaillé en cours et celle du problème à résoudre. Les élèves retiennent
|
||
des problèmes résolus les propriétés qui leur ont servi à les interpréter, et ces
|
||
mêmes propriétés sont ensuite des indices de récupération lors de la résolution d’un
|
||
nouveau problème. Ainsi, les indices sur lesquels se fondent les élèves pour encoder
|
||
un problème peuvent être très différents de ceux de l’expert ou de l’enseignant.
|
||
Par encodage de la situation, on entend les propriétés perçues comme structurantes
|
||
et pertinentes du point de vue de la personne qui résout et selon lesquelles elle va
|
||
structurer sa représentation du problème. Un tel encodage contraint les stratégies
|
||
de résolution envisageables et les possibilités de transfert.
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13 — Miriam Bassok, Ling-Ling Wu, Karen L. Olseth, “Judging a Book by
|
||
its Cover: Interpretative Effects of Content on Problem Solving Transfer”,
|
||
Memory & Cognition, 23, p. 354-367, 1995.
|
||
16 — Introduction
|
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||
En effet, les encodages se font souvent selon des dimensions non pertinentes sur
|
||
le plan mathématique, ce qui n’est pas surprenant, étant donné que lorsque les notions
|
||
concernées sont peu acquises, d’autres indices, plus saillants mais moins pertinents
|
||
sur le plan mathématique, peuvent venir se substituer. Ainsi, il a été montré que des
|
||
élèves de collège à qui l’on demande de regrouper ensemble les problèmes mathé-
|
||
matiquement reliés ont tendance à privilégier des aspects thématiques (par exemple,
|
||
mettre ensemble des problèmes d’achat) plutôt que les principes de résolution
|
||
(par exemple, un calcul de moyenne pondérée). Les critères de regroupement sont
|
||
directement fonction de la performance scolaire : les élèves les plus performants
|
||
s’appuient sur les principes de solution, alors que les moins performants privilégient
|
||
des indices superficiels, non pertinents sur le plan mathématique14 .
|
||
|
||
Des travaux orientés spécifiquement sur le transfert d’apprentissage ont montré
|
||
une tendance à réussir en priorité des problèmes présentant des traits de surface
|
||
partagés avec un problème travaillé en classe et des échecs massifs lorsque le
|
||
nouveau problème cesse de partager ces indices de surface avec le problème initial
|
||
(par exemple, la stratégie de résolution d’un problème de calcul de concentration
|
||
de solutions chimiques sera transférée avec succès vers un autre problème de
|
||
mélange, mais rarement à un énoncé avec un habillage éloigné, tel que des calculs
|
||
de rendement de comptes bancaires)15 . La raison de ce phénomène est que là où
|
||
l’enseignant perçoit la structure mathématique du problème, l’élève s’appuie sur
|
||
d’autres indices, parfois peu pertSyntax Warning: Invalid Font Weight
|
||
inents, pour évoquer une situation déjà rencontrée,
|
||
ce qui le conduit à ne pas évoquer la stratégie appropriée lorsqu’il rencontre un
|
||
problème éloigné sur le plan des indices de surface qui pourtant partage la structure
|
||
de solution d’un problème déjà travaillé en classe.
|
||
|
||
Un enjeu essentiel est donc que les élèves n’encodent pas les énoncés travaillés
|
||
en classe selon les seuls traits superficiels, ce qui les mettrait en échec dès
|
||
lors qu’un nouveau problème cesserait de partager l’habillage du problème
|
||
d’entraînement, mais qu’ils soient en mesure de repérer des propriétés qui sont
|
||
pertinentes sur le plan mathématique : c’est dans ce cadre que le professeur
|
||
joue un rôle essentiel. Une manière d’améliorer la qualité de l’encodage est
|
||
d’amener les élèves à résoudre des problèmes qui partagent le même principe
|
||
mathématique mais sont dissociés sur le plan des traits superficiels. Cela laisse
|
||
la possibilité d’évaluer si les élèves qui ont travaillé un principe dans un certain
|
||
contexte ont suffisamment saisi les dimensions pertinentes pour mettre en
|
||
œuvre les mêmes principes mathématiques dans des contextes superficiellement
|
||
différents 16 . Par exemple, un énoncé tel que « Je paie 3 € pour 7 kg de tomates.
|
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|
||
14 — Edward A. Silver, “Recall of Mathematical Problem Information:
|
||
Solving Related Problems”, Journal of Research in Mathematical
|
||
Education, 12, p. 54-64, 1981.
|
||
15 — Stephen K. Reed, “A Structure Mapping Model for Word Problems”,
|
||
Journal of Experimental Psychology: Learning Memory and Cognition,
|
||
13, p. 124-139, 1987.
|
||
16 — Emmanuel Sander, « La résolution de problèmes arithmétiques
|
||
à énoncés verbaux », Anae (approche neuropsychologique
|
||
des apprentissages chez l’enfant), 156, 611-619, 2018.
|
||
17 — Introduction
|
||
|
||
Quel est le prix de 5 kg de tomates ? » conduit à un encodage de la situation concordant
|
||
avec la procédure de règle de trois dans la mesure où l’on va rechercher succes-
|
||
|
||
( )
|
||
sivement le prix d’un kilogramme de tomates 3 € puis multiplier par la quantité
|
||
7
|
||
recherchée (x 5). Un tel problème sera souvent bien résolu par les élèves, mais il
|
||
sera intéressant de travailler également un énoncé tel que « 3 pastèques pèsent
|
||
7 kg. Combien faut-il acheter de pastèques pour totaliser un poids de 5 kg ? », qui
|
||
est susceptible de poser des difficultés dans la mesure où l’on est tenté de chercher
|
||
|
||
en premier lieu le poids moyen d’une pastèque ( 7 kg), alors que c’est la quantité de
|
||
3
|
||
pastèque par kilogramme qui est la donnée pertinente.
|
||
|
||
Dans cette perspective, il a régulièrement été introduit dans les chapitres du guide,
|
||
en sus des énoncés dont la résolution est développée, un ou plusieurs autres qui sont
|
||
de même nature sur le plan des principes mathématiques en jeu et de la démarche
|
||
de résolution, mais éloignés sur le plan des traits superficiels.
|
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||
Mobiliser les quatre piliers
|
||
de l’apprentissage
|
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||
Les activités de résolution de problèmes offrent la possibilité de mobiliser et de
|
||
bénéficier des quatre piliers de l’apprentissage que sont l’attention, l’engagement
|
||
actif, le retour sur l’erreur et la consolidation17. L’attention est évidemment néces-
|
||
saire, et, comme cela a été souligné au début de cette introduction, l’engagement
|
||
actif est favorisé par les activités de résolution de problèmes. L’élève est en effet mis
|
||
en position de recherche active de la solution, est amené à s’interroger, à remettre
|
||
en cause ses interprétations premières, à approfondir ses premières analyses,
|
||
à partager ses réflexions lors de moments de mises en commun.
|
||
|
||
Le retour sur l’erreur est également essentiel en résolution de problèmes. En rendant
|
||
possible la prise de conscience du décalage entre les propres attentes de l’élève et
|
||
les conséquences de ses actions, cela favorise une remise en cause et une évolution
|
||
de ses conceptions ou de ses stratégies pour se retrouver plus en phase avec le
|
||
retour de l’environnement. Il s’agit d’un retour d’expérience qui permet à l’élève de
|
||
chercher à sortir de l’impasse dans laquelle il est susceptible de se trouver si son
|
||
interprétation du problème est inappropriée ou s’il échoue à mobiliser une stratégie
|
||
pertinente. Ce retour sur l’erreur peut être soutenu par des phases d’explicitation
|
||
de l’enseignant relatives aux caractéristiques mathématiquement pertinentes de
|
||
la situation. On rappelle dans cette introduction l’utilité d’activités régulières avec
|
||
retour systématique sur le produit de cette activité et l’intérêt que les activités soient
|
||
|
||
|
||
|
||
17 — Stanislas Dehaene, op. cit., p. 11.
|
||
18 — Introduction
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||
|
||
distribuées de manière régulière. Un temps « aggloméré » peut être utile, notamment
|
||
pour les élèves les plus fragiles, au moment où une nouvelle connaissance s’installe,
|
||
mais elle sera toujours suivie de retours fréquents.
|
||
|
||
Le travail de consolidation n’est pas moins crucial en résolution de problèmes que dans
|
||
d’autres activités mathématiques. En effet, il s’agit progressivement de se décharger
|
||
d’aspects coûteux cognitivement de l’activité afin de libérer des ressources et d’être
|
||
en mesure de centrer sa recherche sur les aspects plus conceptuels et plus propres
|
||
au problème à résoudre. Les automatismes facilitent la résolution de problèmes, qui
|
||
elle-même donne du sens aux notions. Ainsi, il s’agit de favoriser, par la pratique de la
|
||
résolution de problèmes, le développement d’une reconnaissance de plus en plus directe
|
||
des types de problèmes rencontrés et des stratégies efficientes pour les résoudre. Les
|
||
élèves apprennent de cette manière à articuler des automatismes avec la résolution de
|
||
problèmes. Ces automatismes peuvent se manifester sur différents plans, qu’il s’agisse
|
||
d’aspects calculatoires, qui peuvent avoir été travaillés aussi durant les phases de
|
||
cours, ou d’activités de modélisation (voir le paragraphe ci-dessous) pour lesquelles le
|
||
codage des situations deviendra de moins en moins coûteux. Lors de la fréquentation
|
||
des différents types de problèmes dans des contextes variés, l’écrit institutionnalisé
|
||
(ce qu’il faut retenir, comprendre, apprendre) constitue un corpus de connaissances et
|
||
de procédures automatisées, immédiatement disponibles en mémoire, contribuant au
|
||
développement de l’autonomie des élèves en résolution de problèmes.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Considérer la modélisation
|
||
comme une stratégie dans
|
||
la résolution de problèmes
|
||
|
||
La modélisation constitue un enjeu et un soutien majeur aux apprentissages mathé-
|
||
matiques et doit se construire de manière cohérente entre l’école primaire et le
|
||
collège pour créer le continuum didactique utile aux apprentissages. Elle consiste
|
||
à représenter en faisant apparaître les relations mathématiques entre les données
|
||
d’un problème ; c’est en quelque sorte une représentation dans laquelle on peut faire
|
||
du calcul et mener des raisonnements. Il s’agit d’une activité de codage du problème
|
||
partagée au sein du collectif de la classe, qui favorise la prise de conscience des rela-
|
||
tions mathématiques qui lient les données – un des six concepts clés développés pour
|
||
Pisa18. La modélisation conduit donc l’élève à inscrire l’énoncé dans le format du modèle,
|
||
ce qui peut aider à rendre accessibles les stratégies de résolution associées aux dif-
|
||
férents cas de figure possibles à l’intérieur du modèle. Un modèle n’a pas vocation à
|
||
représenter une situation dans sa diversité et sa complexité, mais à circonscrire les
|
||
éléments pris en considération dans le problème à certaines caractéristiques perti-
|
||
nentes sur le plan mathématique, sur lesquelles prend appui le processus de résolution.
|
||
|
||
18 — Voir plus loin le paragraphe sur les compétences du xxie siècle, p. 21.
|
||
19 — Introduction
|
||
|
||
Qu’il s’agisse de s’appuyer sur la modélisation en barres, sur les nombres rectangles19
|
||
ou sur d’autres modélisations, l’enjeu pour l’élève est d’aller au-delà de l’interprétation
|
||
première de la situation présentée, qui peut s’avérer inappropriée, pour élaborer une
|
||
stratégie opportune de résolution, et de la coder selon un formalisme plus pertinent
|
||
sur le plan mathématique. Par exemple, la conception intuitive de la multiplication
|
||
comme une addition répétée rend difficile de saisir la propriété de commutativité, car
|
||
il n’y a rien d’intuitif à ce que « a fois le nombre b soit égal à b fois le nombre a » ; en
|
||
revanche, une modélisation par un nombre rectangle met en avant la commutativité
|
||
dans la mesure où l’aire du rectangle demeure inchangée quel que soit le statut de a
|
||
et de b dans l’énoncé. L’importance de travailler la modélisation découle de la difficulté
|
||
de passer du registre des représentations à celui du calcul20. Il s’agit donc pour les
|
||
élèves de représenter la situation dans un format qui mette en avant les propriétés
|
||
mathématiquement pertinentes et dont peut découler une résolution.
|
||
|
||
Pour l’enseignant, placer l’emphase sur la modélisation dans les activités de résolution
|
||
de problèmes permet de s’assurer que les élèves sont en mesure d’adopter un codage
|
||
pertinent de la situation sur le plan mathématique et de s’engager dans la résolution.
|
||
Cela permet également de faciliter le transfert d’apprentissage dans la mesure où une
|
||
modélisation commune de deux énoncés qui diffèrent par leur habillage rend explicite
|
||
la structure mathématique partagée et les similitudes des stratégies de résolution.
|
||
La modélisation élaborée par un élève face à un problème qui lui est présenté rend
|
||
possible de repérer si les difficultés rencontrées relèvent de la modélisation pro-
|
||
prement dite ou davantage de l’élaboration des stratégies de résolution sur lesquelles
|
||
la modélisation s’appuie. Si la modélisation est pertinente, les difficultés sont de l’ordre
|
||
de la mise en œuvre de la procédure de résolution ; elles peuvent par exemple relever
|
||
de difficultés calculatoires. En revanche, une modélisation inadéquate est indicatrice
|
||
de difficultés de codage de la situation et appelle un travail de mise en lien de l’inter-
|
||
prétation première de l’élève avec le modèle. La modélisation réalisée par l’élève peut
|
||
avoir également une visée diagnostique pour l’enseignant ; elle est en effet informative
|
||
d’éventuelles incompréhensions qui ont conduit cet élève à des choix représenta-
|
||
tionnels en décalage par rapport aux modélisations mathématiquement pertinentes.
|
||
|
||
Le recours à une représentation n’a pas vocation à perdurer. Cela rejoint la
|
||
problématique récurrente du désétayage : certaines représentations finissent
|
||
par devenir optionnelles lorsque les apprentissages sont suffisamment ancrés.
|
||
Il s’agit en effet d’installer des représentations en cohérence avec les propriétés
|
||
mathématiques que l’enseignant souhaite voir émerger dans les situations travaillées,
|
||
afin d’améliorer la compréhension des notions traitées et rendre disponibles des
|
||
stratégies de résolution adéquates. Lorsque la consolidation des apprentissages
|
||
est suffisante, le recours au modèle peut alors cesser.
|
||
|
||
Dans ce guide, la modélisation dans la résolution des problèmes est considérée
|
||
comme une stratégie d’enseignement.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
19 — Produits de deux entiers strictement plus grands que 1
|
||
(nombres composés).
|
||
20 — Raymond Duval, « Registres de représentation sémiotiquSyntax Warning: Invalid Font Weight
|
||
e
|
||
et fonctionnement cognitif de la pensée », 1993 : https://publimath.univ-
|
||
irem.fr/numerisation/ST/IST93004/IST93004.pdf
|
||
20 — Introduction
|
||
|
||
|
||
Contribuer à la formation
|
||
d’un esprit citoyen
|
||
|
||
La résolution de problèmes dans des contextes de la vie quotidienne offre
|
||
l’occasion de montrer l’utilité pratique des mathématiques. Elle contribue aussi
|
||
au développement de l’esprit critique des élèves dans une perspective d’éducation
|
||
citoyenne : « L’enseignement mathématique permet justement aux élèves d’acquérir
|
||
les compétences nécessaires pour interpréter correctement les données,
|
||
les représentations graphiques ou les affirmations sur les risques qui abondent
|
||
dans les médias. En cela, il nourrit leur esprit critique en leur fournissant des outils
|
||
pour évaluer de manière fiable les informations proposées sous forme quantitative
|
||
ou visuelle21 . »
|
||
|
||
Il s’agit notamment pour les élèves d’aboutir à une approche mieux informée en
|
||
contrant certains biais cognitifs qui conduisent, du fait d’interprétations inadéquates
|
||
de données statistiques, à des jugements et des prises de décision erronés relatifs
|
||
à des phénomènes sociétaux. Par exemple, le biais de ratio se traduit par une prise
|
||
en compte, dans une fraction, non pas du seul rapport entre deux nombres, mais
|
||
de la grandeur même des nombres au numérateur et/ou au dénominateur. Le biais
|
||
de ratio conduit par exemple à estimer à tort que 38/112 est plus grand que 5/12,
|
||
sous l’influence du fait que 38 et 112 sont tous deux de grands nombres par rapport
|
||
à 5 et à 12. Il donne également l’impression erronée qu’un événement qui se produit
|
||
5 fois par semaine est plus rare qu’un événement qui se produit 200 fois par année.
|
||
|
||
Les problèmes travaillés dans ce guide, relatifs aux fractions, à la proportionnalité
|
||
et aux ratios, contribuent à contrer ce biais par une meilleure compréhension
|
||
des fractions.
|
||
|
||
Un autre biais influençant l’interprétation des statistiques est la négligence du
|
||
taux de base. Ce biais conduit à ignorer les conséquences du fait que différents
|
||
échantillons sont inégalement répartis dans une population. Par exemple, saisir que
|
||
l’affirmation « 40 % des personnes infectées sont vaccinées » est compatible avec une
|
||
grande efficacité d’un vaccin, demande d’aller à l’encontre de ce biais de négligence
|
||
du taux de base. En effet, si on imagine par défaut une population dans laquelle il y a
|
||
autant de personnes vaccinées que non vaccinées, l’avantage d’être vacciné paraît
|
||
faible (40 % contre 60 %).
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
21 — Éduquer à l’esprit critique – Bases théoriques et indications
|
||
pratiques pour l’enseignement et la formation. Publication du Conseil
|
||
scientifique de l’éducation nationale : https://www.reseau-canope.
|
||
fr/fileadmin/user_upload/Projets/conseil_scientifique_education_
|
||
nationale/Ressources_pedagogiques/VDEF_Eduquer_a_lesprit_
|
||
critique_CSEN.pdf
|
||
21 — Introduction
|
||
|
||
Le schéma ci-dessous illustre le fait que le raisonnement précédent est fallacieux
|
||
lorsque les personnes vaccinées et non vaccinées sont réparties de manière bien
|
||
plus inégale, par exemple dans une population à l’intérieur de laquelle 80 % des indi-
|
||
vidus sont vaccinés.
|
||
|
||
vaccinés Ce graphique permet de voir que 8 individus sur les 80
|
||
non vaccinés vaccinés sont infectés, soit 10 % des vaccinés, contre 12
|
||
infectés individus sur 20 non vaccinés soit 60 % des non vaccinés.
|
||
Des calculs directs de rapports de proportions permettent
|
||
aux élèves d’aller au-delà de la conclusion hâtive, car dans
|
||
ce cas de figure les chances d’être infectés sont 6 fois
|
||
plus importantes si l’on n’est pas vacciné que si on l’est
|
||
|
||
( 60
|
||
40 % 20 % )
|
||
% x 80 % . Et si 95 % de cette population était vaccinée,
|
||
|
||
l’affirmation « 40 % des personnes infectées sont vaccinées »,
|
||
qui semble pourtant toujours aussi inquiétante, se traduirait
|
||
en fait par le constat qu’il y a cette fois près de 30 fois plus
|
||
de risque pour une personne d’être infectée si elle est non
|
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( )
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vaccinée que si elle est vaccinée 60 % x 95 % 22 . Il peut aussi
|
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40 % 5 %
|
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être intéressant de travailler avec les élèves l’affirmation
|
||
que dans une population intégralement vaccinée, 100 % des
|
||
infectés sont vaccinés, ce qui est compatible avec tout niveau d’efficacité du vaccin.
|
||
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||
Dans les différents chapitres de ce guide, a été soulignée la diversité des contextes
|
||
où les mathématiques contribuent au développement de l’esprit critique et à la
|
||
formation d’un esprit citoyen.
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Développer les compétences
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du xxie siècle 23
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||
Les six compétences mathématiques que l’on retrouve dans les programmes français
|
||
de l’école primaire au lycée (chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner
|
||
et communiquer) sont travaillées à travers la résolution de problèmes avec l’objectif
|
||
de développer des compétences transversales pérennes et transférables au-delà des
|
||
mathématiques (par exemple, savoir utiliser l’information, communiquer c lairement
|
||
et de manière synthétique).
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||
22 — C’est la notion de l’odd-ratio largement utilisée dans les études
|
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de biais.
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||
23 — « Le futur de l’éducation et des compétences », Projet Éducation
|
||
2030 de l’OCDE : https://www.oecd.org/education/OECD-Education-
|
||
2030-Position-Paper_francais.pdf
|
||
22 — Introduction
|
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||
Le développement des compétences langagières (présenter, argumenter, démontrer)
|
||
est essentiel pour le citoyen : à travers la résolution de problèmes, l’élève construit son
|
||
parcours de l’oralité tout au long de sa scolarité. La qualité de l’expression orale au sein
|
||
de la classe – la verbalisation dans un premier temps, le débat mathématique dans un
|
||
second temps – doit donc être un point de vigilance de la part des enseignants, pour
|
||
contribuer, à travers les mathématiques, à l’acquisition de ces compétences par tous.
|
||
|
||
Les piliers de l’apprentissage (l’attention, l’engagement actif, le retour sur l’erreur, la
|
||
consolidation), lorsqu’ils sont repérés par l’élève et l’enseignant, contribuent aussi aux
|
||
compétences du xxie siècle, comme la prise d’initiative et la persévérance. Par exemple,
|
||
la simple activité d’ordonner une liste raisonnablement longue de données (pour
|
||
repérer une médiane), peut paraître sans intérêt voire décourageante si on ne dispose
|
||
pas d’un logiciel ou que les données ne sont pas numérisées. Cependant, cette activité
|
||
met en évidence, au-delà de la nécessaire persévérance, la nécessité de construire
|
||
des stratégies efficaces qui renvoient à des activités algorithmiques comme le tri
|
||
rapide, ou savoir disposer ses données en sous-catégories plus facilement traitables
|
||
renvoyant au second principe de la Méthode de Descartes24 . Enfin, la créativité et le
|
||
raisonnement critique, quant à eux, sont au cœur de l’activité même mathématique
|
||
et sont particulièrement illustrés dans la résolution de problèmes.
|
||
|
||
De plus, le cadre Pisa 25 place « la capacité de raisonner logiquement, de présenter
|
||
des arguments de manière honnête et convaincante comme une compétence majeure
|
||
dans le monde d’aujourd’hui ». La contribution des mathématiques y est essentielle,
|
||
car « les élèves apprennent que si leur raisonnement et leurs hypothèses sont
|
||
corrects, ils peuvent arriver à des résultats dont ils seront assurés de l’exactitude
|
||
dans un vaste éventail de contextes de la vie de tous les jours ». Cette démarche
|
||
contribue bien évidemment à la citoyenneté en construction, mais plus encore
|
||
à l’autonomie à travers le raisonnement, car les conclusions du raisonnement
|
||
mathématique sont « impartiales et n’ont nullement besoin d’être validées par une
|
||
autorité externe ».
|
||
|
||
Aux côtés des compétences mathématiques, le programme Pisa précise six concepts
|
||
clés qui structurent le raisonnement mathématique en lien avec ces compétences
|
||
du xxie siècle, qui résonnent à travers les contenus des programmes du collège
|
||
et la résolution de problèmes26 .
|
||
|
||
Les chapitres de ce guide prennent en compte ces concepts clés.
|
||
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||
24 — « Diviser chacune des difficultés que j’examinerai, en autant
|
||
de parcelles qu’il se pourrait et qu’il serait requis pour les mieux
|
||
résoudre », second principe de la Méthode.
|
||
25 — https://pisa2022-maths.oecd.org/fr/
|
||
26 — Comprendre la quantité, les systèmes de numération et leurs
|
||
propriétés algébriques ; comprendre le potentiel de l’abstraction
|
||
et de la représentation symbolique ; reconnaître les structures
|
||
mathématiques et leurs régularités ; reconnaître les relations
|
||
fonctionnelles entre quantités ; recourir à la modélisation mathématique
|
||
pour percevoir le monde réel ; voir la variation comme fondement
|
||
de la statistique.
|
||
I
|
||
Données
|
||
et statistiques
|
||
24 — Données et statistiques
|
||
|
||
Les problèmes de ce chapitre visent à outiller les élèves afin
|
||
d’en faire des citoyens capables de comprendre et analyser
|
||
les données qu’ils rencontrent et l’utilisation qui en est faite
|
||
dans les médias. La résolution de problèmes et la
|
||
mobilisation des six compétences mathématiques sont
|
||
incontournables dans ce thème, qui ne saurait se résumer
|
||
au calcul d’indicateurs et à la représentation de données.
|
||
Par ailleurs, l’utilisation d’un tableur permet de traiter
|
||
des données réelles et nombreuses qui donnent tout leur
|
||
sens à ces études, tout en sensibilisant les élèves à l’utilité
|
||
des statistiques dans la vie courante et dans de nombreux
|
||
domaines (écologie, consommation, etc.).
|
||
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||
Entrée historique
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||
Commerce, argent et démographie27
|
||
|
||
On situe vers le xiiie ou le xive siècle le développement de l’assurance maritime.
|
||
Les navires au long cours transportaient alors des cargaisons de plus en plus
|
||
importantes et précieuses, tout en étant soumis à des risques non négligeables
|
||
de naufrage ou de piratage. Diverses formules d’assurance ont alors vu le jour
|
||
pour limiter les pertes, ce qui demandait de dresser les listes des navires perdus
|
||
et des navires arrivés à bon port pour évaluer correctement les risques à partager
|
||
entre plusieurs partenaires. D’autres exemples de recueil de données existent depuis
|
||
l’Antiquité, notamment des recensements de personnes et de biens par des États
|
||
dans le but de déterminer le montant des impôts.
|
||
|
||
Cependant, c’est à John Graunt (1620-1674)28, un riche mercier londonien, que l’on
|
||
attribue le premier traité de démographie mathématique, c’est-à-dire le premier
|
||
travail dans lequel on effectue des calculs sur des données brutes pour en tirer de
|
||
l’information.
|
||
|
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|
||
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||
27 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
|
||
Tournès, Éric Vandendriessche.
|
||
28 — John Graunt, Natural and Political Observations [...] made upon
|
||
the Bills of Mortality, Roycroft, London, 1662.
|
||
25 — Données et statistiques
|
||
|
||
À partir des bulletins de mortalité qui avaient été dressés à Londres pour recenser
|
||
les morts de la peste et des registres paroissiaux répertoriant les naissances,
|
||
mariages et décès, Graunt a effectué les premières études statistiques sur
|
||
la proportion de morts dus à la peste ou à d’autres causes, le nombre moyen
|
||
d’enfants par ménage, le rapport du nombre de garçons et du nombre de filles à la
|
||
naissance, ou encore l’évaluation de la population de Londres et de sa croissance
|
||
en l’absence de recensement.
|
||
|
||
Un autre personnage important dans l’histoire de la statistique est William Playfair
|
||
(1759-1823) 29, ingénieur et économiste écossais, qui a eu l’idée de représenter les
|
||
données numériques par des grandeurs géométriques qui leur sont proportionnelles,
|
||
afin de les rendre plus facilement perceptibles. Dans ses ouvrages, on trouve les
|
||
premières apparitions connues d’un diagramme en bâtons (voir figure 1) et d’un
|
||
diagramme circulaire (voir figure 2).
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Figure 1. Diagramme
|
||
en bâtons de William
|
||
Playfair représentant
|
||
les exportations
|
||
et importations de l’Écosse
|
||
vis-à-vis des autres pays.
|
||
|
||
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||
|
||
|
||
Figure 2. Diagramme circulaire de William Playfair traduisant
|
||
les surfaces relatives des États des États-Unis.
|
||
|
||
|
||
29 — William Playfair, The Commercial and Political Atlas, Burton,
|
||
London, 1786 ; The Statistical Breviary, Bensley, London, 1801, trad. fr.
|
||
par Francois-Denis Donnant, Éléments de statistique, Batilliot et Genets,
|
||
Paris, an XI (1802).
|
||
26 — Données et statistiques
|
||
|
||
|
||
Point sur la recherche 30
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Au quotidien, les élèves sont entourés de multiples données issues de divers médias
|
||
ou des différentes disciplines enseignées. Il apparaît nécessaire que l’enseignement
|
||
de la statistique « contribue à former l’enfant en tant que futur citoyen à la littératie
|
||
numérique31 ».
|
||
|
||
Que les élèves soient confrontés à une démarche statistique dans son ensemble
|
||
est important afin qu’ils s’interrogent sur la nature des données à recueillir dès
|
||
la conception de l’enquête, à leur dépouillement, à leur traitement (choix des outils
|
||
numériques, d’organisation et de représentation des données) ; c’est un levier pour
|
||
l’enseignement. Choisir des indicateurs, interpréter des données développent un
|
||
regard critique. L’enquête peut s’appuyer sur des grandeurs et ainsi interroger
|
||
la nature du protocole et l’incertitude de la mesure. C’est l’occasion d’observer
|
||
la variabilité des données, étape indispensable selon Yves Chevallard et Floriane
|
||
Wozniak : « La vision statistique conduit à regarder les objets du monde naturel ou
|
||
social, non comme le siège de grandeurs fixes, mais de grandeurs variables32 . »
|
||
|
||
Nos résultats de recherche portent sur le travail de l’enseignant sur la simulation d’ex-
|
||
périences aléatoires33. La simulation, qui fournit des données, relie les probabilités et
|
||
la statistique via l’approche fréquentiste des probabilités. Si des expériences aléatoires
|
||
peuvent être réalisées à la main, les simulations ont une importance croissante grâce
|
||
aux logiciels disponibles. En séance de lesson study adaptée34 , nous avons proposé
|
||
le « jeu du lièvre et de la tortue » à des enseignants 35 : une course se passe entre
|
||
un lièvre et une tortue sur un parcours à six cases. On lance un dé, s’il tombe sur six,
|
||
le lièvre a gagné, sinon, la tortue avance d’une case. Qui a le plus de chance de gagner ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
30 — Contribution de Blandine Masselin.
|
||
31 — Carmen Batanero, Jeanne Fine, Jean-Pierre Raoult,
|
||
« Le curriculum statistique dans le secondaire : comparaisons
|
||
internationales », Statistique et Enseignement, 4(1), p. 1-4, 2013.
|
||
32 — Yves Chevallard, Floriane Wozniak, « Enseigner la statistique :
|
||
un problème de la profession », in Actes du 14e colloque de la Corfem
|
||
[commission inter-Irem de recherche sur la formation des enseignants
|
||
de mathématiques du second degré], Antony Val de Bièvre, site de l’IUFM
|
||
de Versailles, 21-22 Juin 2007.
|
||
33 — Blandine Masselin, Étude du travail de l’enseignant autour
|
||
de la simulation en classe de troisième et seconde : métamorphose
|
||
d’un problème au fil d’une formation en probabilité, thèse de doctorat,
|
||
université Paris-Diderot, 2019 : http://www.theses.fr/240200012
|
||
34 — Blandine Masselin, Charlotte Derouet, « Sur la mise en évidence
|
||
des effets d’une formation courte sur les pratiques d’enseignants
|
||
autour de la simulation en probabilité en classe de troisième », in Maha
|
||
Abboud, « Mathématiques en scènes, des ponts entre les disciplines »,
|
||
198-207, 2019, université de Cergy-Pontoise, France, octobre 2018.
|
||
35 — Cahier de lesson study accessible sur le site de l’institut
|
||
de recherche sur l’enseignement des mathématiques (Irem) de Rouen :
|
||
https://irem.univ-rouen.fr/cahiers-de-ls
|
||
27 — Données et statistiques
|
||
|
||
Cette situation peut donner lieu à des simulations (langage de programmation,
|
||
tableur). Nos travaux36 ont révélé l’importance d’identifier les modèles probabilistes
|
||
sous-jacents lors de la simulation ainsi que l’impact de logiciels utilisés.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Problème 1. Nos amis les bêtes
|
||
Nombre d’élèves
|
||
|
||
35
|
||
|
||
|
||
30
|
||
|
||
|
||
25
|
||
|
||
|
||
20
|
||
|
||
|
||
15
|
||
|
||
|
||
10
|
||
|
||
|
||
5
|
||
Nombre
|
||
0 d’animaux
|
||
0 1 2 3 4
|
||
|
||
Doc. Les animaux de compagnie des élèves de 6 .
|
||
e
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Énoncé
|
||
|
||
On a demandé aux élèves des trois classes de 6e du collège Anatole France combien
|
||
d’animaux de compagnie vivaient avec eux. On a représenté les résultats dans le
|
||
diagramme suivant.
|
||
|
||
QUESTIONS. NIVEAU CYCLE 3
|
||
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
|
||
a. 21 élèves ont un seul animal de compagnie.
|
||
b. Il y a 75 élèves en 6e au collège Anatole France.
|
||
c. Les élèves qui ont deux animaux de compagnie sont trois fois plus nombreux
|
||
que les élèves qui ont trois animaux de compagnie.
|
||
d. 70 élèves ont moins de trois animaux de compagnie.
|
||
e. Plus de la moitié des élèves ont au moins un animal de compagnie.
|
||
|
||
36 — Blandine Masselin, « Dynamique du travail mathématique en
|
||
classe entre un enseignant et des groupes d’élèves sur la simulation
|
||
en probabilité : une étude de cas », Annales de didactique et de sciences
|
||
cognitives, 25, p. 49-88, 2020.
|
||
28 — Données et statistiques
|
||
|
||
QUESTIONS. NIVEAU CYCLE 4 (ENVISAGEABLES DÈS LA CLASSE DE 5e)
|
||
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
|
||
a. 32 élèves n’ont aucun animal de compagnie.
|
||
b. La plupart des élèves ont plusieurs animaux de compagnie.
|
||
c. Plus de 75 % des élèves ont au moins un animal de compagnie.
|
||
d. Les élèves ont un animal de compagnie en moyenne.
|
||
e. Parmi les élèves qui ont au moins un animal de compagnie, la moitié en ont plusieurs.
|
||
|
||
|
||
|
||
Mots-clés
|
||
|
||
Maîtrise de la langue, lecture graphique, interprétation de données et usage
|
||
d’indicateurs statistiques avec prise d’initiative, chercher, raisonner, communiquer.
|
||
|
||
|
||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
|
||
Ce n’est pas un simple problème de lecture de données. Il présente un double enjeu :
|
||
un premier centré sur la compréhension de l’affirmation proposée et un second sur
|
||
la sélection des données utiles à la réponse.
|
||
|
||
On peut dégager trois temps dans cet exercice :
|
||
|
||
|
||
Compréhension Traitement Communication
|
||
de la formulation Mise en lien du sens Argumentation
|
||
de la phrase de la phrase
|
||
et du contenu
|
||
du diagramme
|
||
|
||
|
||
|
||
Le travail sur le langage spécifique utilisé en mathématiques, au cœur de ce pro-
|
||
blème, est central dans l’argumentation (orale ou écrite). Il est attendu des élèves
|
||
une explicitation de leur raisonnement. Un débat argumentatif peut être instauré
|
||
au sein de la classe.
|
||
|
||
La première question permet de vérifier la bonne compréhension de la lecture du
|
||
graphique (cette question peut éventuellement être remplacée par une indication
|
||
de lecture du graphique, du type « on peut lire que 21 élèves ont un seul animal de
|
||
compagnie »).
|
||
29 — Données et statistiques
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
L’exploitation de données numériques présentées sous diverses formes (tableaux
|
||
ou graphiques) apparaît très tôt dans la scolarité. Dès la classe de CE2, on enseigne
|
||
aux élèves à prélever des informations sur des représentations graphiques et à
|
||
les exploiter. Par exemple, il peut être demandé aux élèves de fin de cycle 2 de lire,
|
||
sur une courbe donnant les températures en fonction des jours de la semaine,
|
||
la température la plus haute, la plus basse, l’écart maximal de température, le jour
|
||
pour lequel la température est la plus chaude, etc. Ce travail mené en fin de cycle 2
|
||
permet d’installer les bases de la lecture graphique qui sera poursuivie jusqu’à la
|
||
fin du cycle 4 sur des représentations graphiques de plus en plus complexes.
|
||
|
||
Ce problème peut être proposé du cycle 3 au cycle 4. Il peut être décliné en modifiant
|
||
les affirmations, le type de diagramme proposé ou le contexte, qui doit malgré tout
|
||
rester proche de l’environnement des élèves afin de ne pas ajouter une difficulté
|
||
supplémentaire.
|
||
|
||
En cycle 3, on insistera davantage sur le vocabulaire : moitié, quart, triple, deux fois
|
||
moins que, deux fois plus, etc. On pourra aussi débuter un travail sur les pourcen-
|
||
tages simples (25 %, 50 %, 10 %) en faisant le lien entre fraction et pourcentage37.
|
||
|
||
En cycle 4, le lien pourra être fait entre vocabulaire et indicateurs statistiques
|
||
(la plupart de, etc.) et aussi avec les pourcentages (augmentation, diminution, etc.).
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
Ce problème peut être présenté à divers moments de la séance et sous plusieurs
|
||
modalités (seul, en binôme ou en groupe afin de favoriser le débat et la communication).
|
||
|
||
Au cycle 3, un tel problème pourra présenter des difficultés de lecture graphique.
|
||
Tout d’abord, il s’agira d’identifier les grandeurs en jeu sur les axes, mais aussi de
|
||
mettre en relation ces deux axes pour la lecture des données sur les barres. Ensuite,
|
||
les élèves devront relier le texte avec le graphique et sélectionner les informations
|
||
utiles à la réponse. Enfin, la compréhension de certaines formulations (par exemple :
|
||
« trois fois plus ») peut être délicate et nécessite une attention particulière. Au-delà de
|
||
ces formulations, la compréhension de la phrase dans sa globalité est nécessaire.
|
||
La reformulation est une étape primordiale pour les élèves en difficulté face à ce
|
||
problème. Pour lever les doutes, le professeur pourra préciser que l’épaisseur des
|
||
barres n’a pas d’importance.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
37 — Voir le paragraphe intitulé : « Mathématiques. Les pourcentages
|
||
au cœur de la citoyenneté », p. 46.
|
||
30 — Données et statistiques
|
||
|
||
Avant de rédiger leurs réponses, les élèves devront au préalable mener un raison-
|
||
nement et comprendre ce que signifie justifier une affirmation dans un tel problème.
|
||
Les justifications attendues pourront facilement être différenciées : justification orale,
|
||
non rédigée (écrit intermédiaire) ou complètement rédigée. En cycle 3, la justification
|
||
orale sera une manière efficace de lever la barrière de l’écrit qui pourrait décou-
|
||
rager des élèves en difficulté à s’engager dans la tâche proposée. Petit à petit, il sera
|
||
important de les amener à structurer leur réponse et à ordonner leurs arguments
|
||
pour ensuite faire le lien vers l’écrit. Les premiers écrits pourront être maladroits
|
||
et peu structurés, et il sera alors important de garder une trace écrite de plusieurs
|
||
justifications construites avec l’ensemble de la classe, qui constitueront un ensemble
|
||
de modèles sur lesquels les élèves pourront prendre exemple. Progressivement, on
|
||
encouragera les élèves à rédiger leur réponse. Il pourrait être demandé, dans un
|
||
premier temps, de justifier une seule des réponses à l’écrit, chaque élève choisissant
|
||
celle qui lui semble la plus accessible. La compétence « communiquer » est au cœur
|
||
de ce travail de justification. Le vocabulaire précis permettra à chacun de se faire
|
||
comprendre et de comprendre l’autre.
|
||
|
||
Dans les questions de niveau cycle 4, un enjeu porte sur le lien à construire entre
|
||
l’utilisation de formulations courantes plus complexes comme « la plupart », « au moins
|
||
un », « aucun », qu’il convient de traduire en langage mathématique. Dans l’affir-
|
||
mation c., il faudra non seulement comprendre la phrase, mais aussi mener à bien
|
||
des calculs liés au pourcentage. Enfin, l’affirmation e., plus complexe, montre toujours
|
||
l’importance des reformulations pour comprendre les affirmations. Il pourra être
|
||
utile de proposer des exemples plus simples pour les élèves en difficulté.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Problème 2.
|
||
L’allure de la courbe
|
||
|
||
|
||
Énoncé
|
||
|
||
Que pourrait représenter ce graphique à propos d’une salle de classe ?
|
||
Le décrire avec le plus de précision possible. Justifier et compléter le graphique.
|
||
|
||
Degrés
|
||
Celsius
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Heures
|
||
31 — Données et statistiques
|
||
|
||
|
||
Mots-clés
|
||
|
||
Gestion de données, lecture et interprétation graphique, grandeurs, chercher,
|
||
raisonner, communiquer.
|
||
|
||
|
||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
|
||
Ce problème peut être proposé dès la classe de 6e. Le contexte choisi est très
|
||
familier aux élèves. Pour résoudre cet exercice, les élèves devront utiliser leurs
|
||
connaissances de leur environnement (la salle se réchauffe à cause du chauffage,
|
||
du soleil, de la présence des élèves, etc.).
|
||
|
||
Contrairement aux exercices habituels, le graphique proposé dans ce problème ne
|
||
donne aucune information chiffrée. Le premier objectif est alors de faire formuler
|
||
aux élèves ce dont il est question en nommant les grandeurs en jeu et en les reliant.
|
||
Le second est de leur faire analyser une évolution, en distinguant des phases que l’on
|
||
compare entre elles pour affiner l’analyse. Il s’agit donc d’une lecture graphique globale.
|
||
|
||
Les compétences « chercher » (prélever les informations utiles, observer), « raisonner »
|
||
(pour justifier ses affirmations) et « communiquer » (pour expliquer son raisonnement
|
||
en utilisant un vocabulaire adapté) sont mises en œuvre dans cette résolution
|
||
de problèmes.
|
||
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
Les différents niveaux de précision possibles dans l’analyse et le vocabulaire
|
||
employé (grandeurs nommées, expression « en fonction de », « évolution », « crois-
|
||
sante », « constante », etc.) permettent une différenciation, mais ces éléments sont
|
||
tous travaillés dès le cycle 3. Au cycle 4, ce type de travail est primordial pour l’étude
|
||
graphique des fonctions. Il fournit en effet des images mentales fortes de ce qu’est la
|
||
représentation graphique de deux grandeurs qui sont liées et qui évoluent. On pourra
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rapprocher ce type de travail des problèmes où l’on demande aux élèves de choisir
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le graphique le plus adapté pour représenter une situation décrite préalablement
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dans un texte parmi les quelques-uns que l’on propose.
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Stratégies d’enseignement
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La production attendue est un texte court et rédigé, qui décrit les variations de la
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courbe et le lien existant entre les deux grandeurs présentes.
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32 — Données et statistiques
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L’objectif principal de cet exercice, qui doit être explicité avec les élèves, est de relier
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les deux grandeurs et de décrire ce lien. Le professeur veille à bien expliciter ses
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attentes en matière de texte écrit et de vocabulaire employé : des mots-clés pour-
|
||
raient être donnés soit sous forme de coup de pouce, soit lors d’une première phase
|
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de mise en commun, après un temps de recherche pour aider à la rédaction du texte,
|
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soit avant le début de la rédaction du texte, après une discussion avec la classe.
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Souvent déstabilisés dans un premier temps, les élèves sont amenés à observer la
|
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représentation graphique dans son ensemble. Le professeur peut inciter chacun
|
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à interpréter ce qu’il observe, à préciser son vocabulaire, mais aussi, lorsque les
|
||
groupes sont assez à l’aise, à affiner ses observations et à développer davantage
|
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son argumentation.
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Aux élèves qui ne démarrent pas l’activité, le professeur pourra demander une des-
|
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cription de ce qu’ils voient sur le graphique (les deux axes, les grandeurs nommées
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sur ces axes et enfin la courbe). Il est important d’accepter dans un premier temps
|
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des formulations du type « la courbe monte » ou « la courbe stagne ». Un travail en
|
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binôme permet de travailler ces formulations orales entre pairs avant la phase de
|
||
rédaction. Puis les éléments fixes des repères peuvent être mis en avant : l’origine,
|
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les axes perpendiculaires, l’orientation des axes, le nom des grandeurs qui y sont
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représentées. Cependant, il manque l’unité de graduation sur chacun des axes. Il sera
|
||
intéressant de mener un dialogue avec eux pour établir l’utilité de la graduation dans
|
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un tel exercice.
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Une fois les textes rédigés, un retour sur la lecture de la représentation graphique et
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l’interprétation que l’on peut en faire est nécessaire. On pourrait par exemple attendre
|
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un texte du type : « Ce graphique représente l’évolution de la température en degré
|
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Celsius en fonction des heures au cours d’une journée dans une salle de classe.
|
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— On remarque que la température augmente en début de journée (à cause
|
||
du chauffage et de la présence des élèves) ;
|
||
— puis la température ne varie plus pendant une certaine durée ;
|
||
— enfin la température diminue en fin de journée (à cause de la baisse de la
|
||
température extérieure et des élèves qui quittent la salle). »
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||
Une dernière étape pourrait être de donner un ordre de grandeur des valeurs
|
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à inscrire sur les axes. Dans quelle plage horaire peut-on imaginer s’intéresser
|
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à la température d’une salle de classe ? Les élèves (particulièrement ceux de
|
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6e) ont besoin de confronter leurs connaissances sur leur environnement et la
|
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réalité. Cela permettra d’apporter de la cohérence à la représentation graphique.
|
||
La description pourrait être reprise avec des valeurs numériques décidées avec
|
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l’ensemble de la classe (en lien avec l’enseignant de physique par exemple). La notion
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de graduation pourra aussi être revue.
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33 — Données et statistiques
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Problème 3.
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Vers des mobilités douces
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Énoncé
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Dans un collège, 112 élèves viennent en voiture, autant viennent à vélo, 56 viennent
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en bus et 280 viennent à pied.
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a. Un seul de ces diagrammes circulaires représente le mode de déplacement des
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élèves de ceSyntax Warning: Invalid Font Weight
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collège. Lequel ?
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Voiture Voiture
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Bus
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Bus À pied À pied
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Vélo
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Vélo
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Diagramme 1 Diagramme 2
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Voiture Voiture
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À pied Bus À pied
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Bus
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Vélo
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Vélo
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Diagramme 3 Diagramme 4
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34 — Données et statistiques
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b. Compléter le tableau ci-dessous, puis choisir les nombres appropriés pour graduer
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le diagramme en bâtons qui représente ces données.
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Mobilités non douces (bus ou voiture) 168
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Mobilités douces (à pied ou à vélo) …
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Mode de
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déplacement
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Mobilités
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non douces
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Mobilités
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douces
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Nombre
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… … … … … … … …
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d’élèves
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Mots-clés
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Gestion de données, représentation de données, unité, diagramme circulaire,
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diagramme en bâtons.
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Pourquoi ce problème ?
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Il permet de travailler spécifiquement la proportionnalité entre les données et les
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angles des secteurs circulaires. En s’interrogeant ensuite sur la notion d’échelle d’un
|
||
diagramme en bâtons, on poursuit ce travail sur la proportionnalité en abordant ce type
|
||
de graphique avec une approche moins classique que la simple lecture de données.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Dès le début du cycle 3, les élèves lisent, interprètent et exploitent des données pré-
|
||
levées dans des tableaux ou sur des représentations graphiques. Ils construisent
|
||
aussi des représentations graphiques (diagrammes en bâtons, circulaires ou
|
||
semi-circulaires, graphiques cartésiens) ou des tableaux (en deux ou plusieurs
|
||
colonnes, à double entrée). La construction de diagrammes circulaires est un
|
||
attendu de fin d’année de 6e, une fois que la mesure des angles a été mise en place.
|
||
35 — Données et statistiques
|
||
|
||
Il est également attendu que les élèves organisent des données réelles, issues de
|
||
la vie quotidienne ou d’autres enseignements (sciences et technologie, histoire et
|
||
géographie, éducation physique et sportive, etc.) en vue de les traiter.
|
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||
Les diagrammes circulaires et les diagrammes en bâtons sont régulièrement ren-
|
||
contrés tout au long du collège et sont largement présents dans les évaluations
|
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internationales.
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Stratégies d’enseignement
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Ce type de problème peut être utilisé à l’oral en question flash pour des cas simples,
|
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mais aussi à l’écrit pour approfondir l’argumentation, le calcul, la rédaction.
|
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||
Pour choisir le diagramme correspondant à l’énoncé, plusieurs méthodes sont à la
|
||
portée des élèves : ils peuvent faire des calculs de proportionnalité (pour déterminer
|
||
les angles correspondant aux effectifs) ou procéder par élimination en utilisant les
|
||
liens entre les effectifs et donc entre leurs proportions. Le plus souvent, les élèves
|
||
envisagent les catégories dans l’ordre dans lequel elles sont énoncées. Dans un
|
||
premier temps, ils constateront qu’il y a autant de personnes qui viennent en voiture
|
||
et à vélo, ce qui les amène à comprendre que la part représentant la catégorie « vélo »
|
||
doit être aussi grande que celle qui représente la part « voiture ». Elles peuvent être
|
||
comparées sur les diagrammes en utilisant un gabarit ou un rapporteur. Mais on
|
||
constate que tous les diagrammes conviennent de ce point de vue. Ce sont donc
|
||
les catégories « à pied » et « bus » qui seront déterminantes. Le raisonnement sera
|
||
facilité par le calcul de l’effectif total, qui est 560. En effet, on comprend alors que la
|
||
catégorie « à pied » en représente la moitié (on élimine les représentations B et C).
|
||
Il restera à déterminer la représentation de la catégorie « bus ». Ici encore, plusieurs
|
||
stratégies sont possibles : soit revenir à un calcul de proportionnalité en remarquant
|
||
que la catégorie « bus » représente un dixième de l’effectif total (ou encore 10 %), soit
|
||
remarquer que cette catégorie a un effectif égal à la moitié de l’effectif de la catégorie
|
||
« voiture » ou « vélo ». La deuxième stratégie s’avère efficace et rapide. L’enseignant
|
||
pourra ainsi montrer l’intérêt de maîtriser des faits numériques.
|
||
|
||
Selon la progression ou pour différencier, il peut être opportun de choisir, pour
|
||
les effectifs, des nombres plus simples, comme par exemple des multiples de 25
|
||
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(
|
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(25 ; 50 ; 100 ; 125). De même, leurs proportions peuvent être modifiées 1 ; 1 ; 1 ou
|
||
3 6 2 )
|
||
être exprimées en pourcentages (5 % ; 20 % ; 25 % ; 50 %). On peut également utiliser
|
||
moins de catégories. À l’inverse, des nombres plus difficiles, comme des multiples
|
||
|
||
de 8 (24 ; 32 ; 64 et 40) ou encore des proportions comme 1 ; 2 ; 5 ; 1 , peuvent être
|
||
3 9 12 6
|
||
proposés aux élèves les plus à l’aise. Les expressions utilisées dans l’énoncé pour
|
||
qualifier les rapports entre les effectifs peuvent être différentes pour enrichir
|
||
le vocabulaire. Par exemple, le collège compte 360 élèves, dont 24 viennent à vélo,
|
||
le double en voiture, le triple à pied et le reste en bus.
|
||
36 — Données et statistiques
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Problème 4.
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||
Changement climatique : infox ?
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Énoncé
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En janvier 2019, alors que le nord des États-Unis était touché par une vague de froid
|
||
glacial avec des températures ressenties descendant jusqu’à –50 °C à certains
|
||
endroits, le président américain Donald Trump a tweeté le message suivant :
|
||
« Dans le magnifique Midwest, les températures ressenties atteignent –51 °C, le plus
|
||
froid jamais enregistré. Dans les prochains jours, on s’attend à ce qu’il fasse encore
|
||
plus froid. [...] Que diable se passe-t-il avec le réchauffement climatique ? S’il te plaît,
|
||
reviens vite, on a besoin de toi38 . »
|
||
À partir des documents suivants, commenter ce tweet en prenant appui sur des
|
||
indicateurs statistiques et/ou un graphique approprié.
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–43,3° C –45° C –44,4° C –43° C –45,6° C
|
||
–48,9° C –43,3° C –45° C –44,4° C
|
||
|
||
Doc 1. Températures relevées dans quelques villes du Midwest américain en janvier 2019.
|
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La météo permet de prévoir, à un moment donné, les conditions de l’atmosphère
|
||
telles que la température, l’ensoleillement, la vitesse du vent, les précipitations
|
||
ou encore la couverture nuageuse.
|
||
Le climat décrit les conditions atmosphériques moyennes sur une longue période
|
||
de temps (généralement 30 ans).
|
||
D’après le site de l’Institut national des sciences de l’Univers du CNRS39.
|
||
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Doc 2. Différence entre météo et climat.
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38 — https://www.cnews.fr/monde/2019-12-08/lannee-2019-de-
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donald-trump-resumee-en-10-tweets-906635
|
||
39 — https://www.insu.cnrs.fr/fr/difference-meteo-climat
|
||
37 — Données et statistiques
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||
Source : Noaa, National centers for environmental information, National oceanic and atmospheric administration40.
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Doc 3. Écart de température (moyenne annuelle) par rapport aux températures moyennes relevées durant le xxe siècle.
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Mots-clés
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||
Statistiques, moyenne, médiane, étendue, étude de l’allure de la courbe, exploitation
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des données sur un tableur, notion d’échelle, lectures graphiques, chercher,
|
||
raisonner, communiquer.
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
Ce problème a un double objectif. Le premier est mathématique : il s’agit de lire
|
||
et d’interpréter un graphique, de croiser des données, mais aussi de construire
|
||
une argumentation à partir d’indicateurs statistiques pertinents. Il pourra
|
||
être intéressant d’utiliser un tableur pour appuyer ses conclusions sur un
|
||
graphique bien choisi. Le second objectif est axé sur la formation du citoyen et le
|
||
développement de l’esprit critique des élèves vis-à-vis des informations rencontrées
|
||
sur les réseaux sociaux.
|
||
|
||
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||
40 — https://www.ncdc.noaa.gov/cag/global/time-series/globe/
|
||
land_ocean/12/1/1880-2021
|
||
38 — Données et statistiques
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||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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||
Le problème peut être donné à tous les niveaux du cycle 4, par exemple en appro-
|
||
fondissement lors de l’exploitation des indicateurs statistiques et la construction
|
||
de l’argumentation.
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||
Stratégies d’enseignement
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||
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||
Ce problème est un problème complexe dans lequel plusieurs documents ou
|
||
informations sont fournis et des sources variées sont indiquées. Il faut prévoir un
|
||
temps de lecture suffisant afin de prendre en compte tous les documents. On ne doit
|
||
pas négliger le document source de l’exercice : le tweet du président Donald Trump.
|
||
|
||
Il est attendu des élèves qu’ils commentent ce tweet : le professeur devra expliciter
|
||
ce qu’ils doivent produire et questionner le terme « commenter ». Il s’agira ici de
|
||
produire un texte qui argumente l’avis formulé par l’élève sur le tweet et qui s’appuie
|
||
sur un ou plusieurs des documents.
|
||
|
||
Les élèves peuvent résoudre ce problème à prise d’initiative en groupes, en
|
||
enrichissant leur lecture des documents et en confrontant leurs points de vue. Il est
|
||
possible de partager le temps en deux phases : un temps de lecture, de recherche
|
||
et de rédaction, puis un temps de présentation, d’échange et d’argumentation.
|
||
Le professeur circule et questionne les groupes où les arguments seraient trop
|
||
légers. Il incite à consulter tous les documents et à utiliser les indicateurs ou à
|
||
réaliser un graphique.
|
||
|
||
Les élèves ne devront pas se contenter d’une analyse superficielle des documents
|
||
même si c’est une première étape de leur travail. Par exemple, certains diront que
|
||
la courbe du document 3 a tendance à augmenter et passe du bleu au rouge, donc
|
||
le « réchauffement climatique » est réel. Le professeur peut valider cette première
|
||
étape d’analyse et d’argumentation, mais il incite aussi à exploiter le document plus
|
||
en profondeur, en utilisant des indicateurs, par exemple, et à le mettre en lien avec
|
||
les autres.
|
||
|
||
Il est possible de demander aux élèves d’ajouter des légendes sur les axes, en
|
||
précisant que ce graphique est issu d’un site Internet et n’a pas été modifié.
|
||
39 — Données et statistiques
|
||
|
||
On attend des élèves qu’ils comprennent que même s’il y a bien eu une vague de
|
||
froid glacial dans le Midwest américain, cela ne remet pas en cause le changement
|
||
climatique, comme le sous-entendait le tweet où le président américain confondait
|
||
les notions de météo et de climat (différence entre une mesure isolée et une tendance
|
||
moyenne sur des séries longues). Certains élèves peuvent mettre en avant le
|
||
changement climatique en exploitant le document 1 et en prenant une position favorable
|
||
au tweet de Donald Trump. Mais cela sous-entend qu’ils ne prendront pas en compte
|
||
les documents 2 et 3. D’autres élèves exploiteront le document 3 et pourraient vouloir
|
||
étudier l’évolution des températures sur les 30 dernières années afin d’en exploiter la
|
||
moyenne, la médiane et l’étendue (voire les moyennes glissantes41) à l’aide d’un tableur.
|
||
|
||
Un temps de relevé de données est à consacrer sur le document 3. La lecture
|
||
graphique des valeurs est délicate et peu aisée. Ces relevés peuvent être distribués
|
||
dans les groupes et il serait bon de s’assurer que tous prennent la même échelle,
|
||
1 cm pour 0,2 °C. Afin de faciliter le travail, mais aussi pour optimiser les relevés,
|
||
les élèves peuvent se répartir le travail en déterminant chacun un nombre défini de
|
||
valeurs. L’utilisation d’un tableur semble ici appropriée.
|
||
|
||
Une mise en commun en classe permet de travailler les compétences « communiquer
|
||
à l’oral » ainsi que « raisonner » en développant son argumentation et en essayant
|
||
de convaincre autrui. Cette mise en commun incite les élèves à réfléchir sur des
|
||
enjeux de société actuels et importants pour l’avenir, ce qui enrichit leur formation
|
||
en tant que citoyen.
|
||
|
||
|
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||
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||
Problème 5. Comparaison
|
||
de séries statistiques
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||
Énoncé
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||
On a représenté dans le tableau (page suivante) les meilleurs temps, arrondis
|
||
en secondes, sur 50 mètres des vingt élèves nageurs de quatre classes d’un lycée.
|
||
Comparer les résultats de ces classes, en rédigeant un texte qui s’appuiera sur
|
||
des calculs et éventuellement des représentations graphiques42.
|
||
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||
41 — Voir le problème 6, « Moyennes glissantes », p. 43.
|
||
42 — Le fichier tableur des données est disponible en téléchargement.
|
||
40 — Données et statistiques
|
||
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Classe Classe Classe
|
||
Classe Dauphins
|
||
Poséidon Nautic Neptuniens
|
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29 29 28 36
|
||
30 29 28 40
|
||
30 29 29 42
|
||
30 33 29 35
|
||
31 35 29 35
|
||
34 35 29 40
|
||
34 37 31 35
|
||
39 37 33 42
|
||
39 37 37 46
|
||
40 37 37 40
|
||
40 38 38 39
|
||
42 38 39 37
|
||
43 38 43 35
|
||
43 41 45 36
|
||
43 44 45 36
|
||
43 45 47 35
|
||
44 45 47 39
|
||
47 49 54 45
|
||
48 50 54 46
|
||
51 54 58 41
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Mots-clés
|
||
|
||
Gestion de données, moyenne, médiane, étendue, interpréter, représenter, modéliser,
|
||
communiquer.
|
||
|
||
|
||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
|
||
Ce problème vise à faire analyser des séries de données, utiliser et interpréter des
|
||
indicateurs statistiques variés. Il s’approche d’un travail de prise de décision néces-
|
||
sitant une hiérarchisation des indicateurs utilisés comme critères de comparaison.
|
||
|
||
Les compétences « chercher », « modéliser » et éventuellement « représenter » sont
|
||
mises en œuvre, mais le travail ne portera ses fruits que si les compétences
|
||
« raisonner » et « communiquer » le sont aussi.
|
||
41 — Données et statistiques
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
Les indicateurs statistiques apparaissent et sont répartis sur les trois années
|
||
du cycle 4. Chaque nouvel indicateur doit permettre une meilleure analyse de la
|
||
série statistique.
|
||
|
||
Ce problème nécessite des prises d’initiatives de la part des élèves. Ils doivent
|
||
maîtriser au minimum la moyenne d’une série, mais s’il est proposé en début de
|
||
séquence au niveau 3e, les élèves sont amenés à réactiver la notion de médiane,
|
||
indicateur moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Plus ou moins
|
||
guidés par leur professeur, ils pourront ensuite être amenés à comparer les valeurs
|
||
extrêmes et donc à découvrir la notion d’étendue. Ces différents indicateurs se
|
||
côtoient dans un exercice relativement facile où l’on peut dégager leurs différences
|
||
et leurs intérêts respectifs.
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
Ce problème peut être effectué en groupes, ce qui permettra une répartition des
|
||
tâches, la vérification des calculs, le partage des idées de méthode et l’élaboration
|
||
d’une argumentation solide. La calculatrice ou le tableur sont indispensables.
|
||
Le professeur veillera à faire comprendre aux élèves que comparer veut d’abord
|
||
dire établir les ressemblances et les dissemblances, avant de chercher à établir
|
||
des critères de valeurs.
|
||
|
||
Les groupes s’engagent facilement dans une démarche en commençant par des
|
||
observations. La première est le constat que les valeurs de toutes les séries sont
|
||
rangées dans l’ordre croissant sauf pour la dernière série (cela sera une incitation
|
||
à ranger les valeurs de cette série). Les élèves appuient souvent leurs comparaisons
|
||
sur les valeurs extrêmes. Le professeur les amènera à rédiger ces premiers
|
||
éléments, puis à constater par eux-mêmes qu’ils permettent difficilement de décider
|
||
quelle classe a les meilleurs résultats, par exemple. La troisième série a la valeur
|
||
minimale la plus petite mais la valeur maximale la plus grande de toutes les séries,
|
||
alors que la quatrième série a une valeur minimale bien supérieure à celle des autres
|
||
séries et une valeur maximale bien inférieure.
|
||
42 — Données et statistiques
|
||
|
||
Le premier indicateur de calcul statistique rencontré par les élèves dans leur
|
||
scolarité est la moyenne. Elle est donc très vite calculée par les élèves pour toutes
|
||
les séries. Mais ils découvrent qu’elles ont toutes une moyenne de 39 secondes, ce
|
||
qui ne permet pas de différencier les résultats des quatre classes. Si le professeur
|
||
veut orienter vers des indicateurs enseignés, il évoquera la médiane ou simplement
|
||
le fait que les trois premières séries n’ont pas été rangées dans l’ordre croissant
|
||
par hasard et qu’un autre indicateur déjà rencontré en classe peut être déterminé.
|
||
La première série a la plus grande médiane : le professeur veillera à ce que les élèves
|
||
ne se contentent pas de le constater mais rédigent ce que cela signifie. Cependant, les
|
||
séries de la classe Poséidon et de la classe Nautic ont la même médiane (plus petite),
|
||
ce qui ne permet pas de conclure.
|
||
|
||
Les élèves doivent donc aller plus loin dans leur investigation. Pour cela, on peut
|
||
considérer différentes stratégies :
|
||
— l’étendue d’une série a déjà été enseignée, et les élèves doivent la réinvestir ;
|
||
— l’étendue n’a jamais été enseignée, mais le professeur laisse les élèves libres
|
||
de déterminer un nouveau critère. Cette stratégie demande plus de temps
|
||
mais amène des éléments très intéressants. Il arrive que des groupes utilisent
|
||
l’étendue sans savoir la nommer, mais ils peuvent aussi créer des critères moins
|
||
« scolaires » qui permettent de différencier les différentes séries, par exemple,
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le nombre de nageurs qui ont plus de la moyenne, ou le nombre de nageurs qui
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ont un temps inférieur à 30 secondes, ou un temps d’au moins 41 secondes, etc.
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Au-delà de ce nouvel indicateur, les élèves proposent assez souvent des critères
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proches des quartiles ou des déciles. Cela pourra être accompagné par le professeur
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dans le cadre d’une différenciation, avec des groupes qui seront assez efficaces
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pour explorer aussi cet aspect dans le temps imparti.
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Quelle que soit la stratégie choisie, le professeur insistera sur le développement de
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la compétence « communiquer ». S’il est souvent difficile pour les élèves, même au
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sein d’un groupe qui permet le partage des tâches, de rédiger des textes présentant
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les critères puis les comparaisons entre séries numériques, il peut leur être plus
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facile de les expliquer oralement (tout en gardant l’objectif de contribuer à améliorer
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le vocabulaire et la construction de leurs phrases). Les arguments sont aussi parfois
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plus simples à exposer s’ils s’appuient sur des graphiques pertinents. Ceux-ci
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peuvent avoir des formes variées : comparaison des séries dans un même graphique
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pour montrer leurs répartitions, pour comparer les critères moins « scolaires »
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évoqués ci-dessus, ou comparaison des graphiques de chaque série où l’on indique
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la moyenne et/ou la médiane.
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43 — Données et statistiques
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Problème 6. Moyennes glissantes
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Énoncé
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Un capteur relève la concentration d’ozone de l’air toutes les heures à Ville-la-Nouvelle.
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1. Le tableau (voir p. suivante) présente ces mesures sur deux jours consécutifs de
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juillet 202143.
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a. À l’aide d’un tableur, construire la courbe qui représente la concentration d’ozone
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dans l’air en fonction du temps pour ces deux jours.
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b. Déterminer la concentration moyenne pour chacune des journées et comparer
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ces moyennes. Que pourrait-on en conclure ?
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c. Un journaliste affirme : « La concentration d’ozone dans l’atmosphère baisse
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beaucoup à la fin du deuxième jour, c’est donc bon signe : la ville a réussi à a
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méliorer
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sa qualité de l’air ! » A-t-il raison ? Argumenter.
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2. L’ozone a des effets néfastes sur la santé. Selon l’Organisation mondiale pour la
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santé (OMS), ses effets sont considérés comme acceptables lorsque la concentration
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est inférieure à 100 µg/m3 en moyenne sur 8 heures consécutives 44 .
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a. Combien de ces moyennes (appelées moyennes glissantes ou mobiles) peut-on
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calculer sur ces deux journées ?
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b. À l’aide du tableur, calculer toutes ces moyennes. L’une de ces journées est-elle
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une journée à risque selon l’OMS ? Justifier.
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43 — Le fichier tableur des données est disponible en téléchargement.
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44 — L’unité µg désigne le microgramme, soit 10-6 gramme.
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44 — Données et statistiques
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Heure Ozone en μg/m3
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Jour 1 Jour 2
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0h 60 60
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1h 58 53
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2h 57 49
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3h 66 44
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4h 65 37
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5h 67 48
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6h 69 50
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7h 70 54
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8h 72 58
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9h 85 68
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10 h 110 94
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11 h 119 120
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12 h 120 130
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13 h 102 139
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14 h 82 121
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15 h 93 102
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16 h 85 95
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17 h 81 78
|
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18 h 89 64
|
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19 h 84 60
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20 h 79 57
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21 h 73 52
|
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22 h 69 42
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23 h 65 40
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Mots-clés
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Statistiques, gestion de données, moyenne, moyenne glissante, tableur, comparaison,
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représentation graphique, représenter, raisonner, communiquer.
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45 — Données et statistiques
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème est un problème atypique qui permet de découvrir la notion de moyenne
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glissante (ou moyenne mobile), souvent utilisée pour étudier des séries de données
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dont l’évolution est irrégulière, dans des domaines comme la santé (évolution d’une
|
||
épidémie), la finance (cours de la bourse), le commerce, la climatologie, etc. Il ne s’agit
|
||
pas d’en faire un objet d’étude au collège, mais de proposer aux élèves de rencontrer
|
||
cette notion et son intérêt pour l’interprétation que l’on peut en faire.
|
||
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||
Ce problème permet également de montrer que les statistiques constituent un
|
||
pan des mathématiques qui s’intéresse à des faits réels et en constante évolution,
|
||
utile dans de nombreux domaines. Basé sur la méthode de surveillance réelle de
|
||
la concentration en ozone de l’air, il donne l’occasion d’aborder l’importance de la
|
||
qualité de l’air pour la santé ainsi que l’impact de ce gaz sur l’environnement.
|
||
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||
L’utilisation du tableur est ici incontournable, à la fois pour représenter les données
|
||
par un graphique pertinent (les tests et modifications sont possibles rapidement)
|
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et pour effectuer des calculs nombreux et répétitifs.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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||
Cet exercice peut être proposé en fin de cycle 4 (4e ou 3e). Il demande peu de prérequis,
|
||
si ce n’est le calcul de moyenne et l’utilisation d’un tableur, mais les élèves devront
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||
également analyser les résultats trouvés et argumenter cette analyse.
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Stratégies d’enseignement
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L’utilisation du tableur est indispensable et la mise à disposition du fichier contenant
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||
les données permet de gagner un temps précieux.
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||
En binôme, les élèves pourront confronter leurs idées (notamment sur le choix de
|
||
la représentation graphique) et mettre en avant leurs arguments. En circulant d’un
|
||
groupe à l’autre, le professeur s’assurera qu’ils n’ont pas choisi un graphique sans
|
||
raison et que la notion de moyenne glissante est comprise.
|
||
|
||
Les questions 1. a., 1. b. et 2. b. permettent de travailler des éléments techniques clas-
|
||
siques : création de la représentation graphique et calculs de moyennes simples avec
|
||
sélection des plages de données utiles. Ils sont suivis par les interprétations de ces repré-
|
||
sentations et calculs. Dans la partie 1, on peut facilement comparer les deux moyennes
|
||
des concentrations par jour qui seront reprises dans le bilan en fin d’exercice : elles ne
|
||
permettent pas de conclure si la quantité d’ozone est acceptable ou non. On reste prudent
|
||
quant à l’interprétation de la baisse des valeurs en fin de deuxième jour puisqu’on n’a
|
||
pas d’indication sur la suite (jour 3), et le professeur insistera sur le regard critique que
|
||
l’on se doit d’avoir vis-à-vis des données et conclusions hâtives parfois rencontrées.
|
||
46 — Données et statistiques
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||
Pour traiter la deuxième partie de l’énoncé, les données des deux jours seront
|
||
présentées en une seule colonne dans un tableur. Dans la question 2. a., on cherche à
|
||
déterminer le nombre de moyennes glissantes que l’on peut calculer avec seulement
|
||
48 valeurs consécutives. On ne peut alors calculer que 41 de ces moyennes.
|
||
On veillera à ce qu’elles soient affichées avec au moins une décimale afin de ne pas
|
||
fausser le résultat de la question suivante.
|
||
|
||
Pour aider les élèves à répondre à la question 2. b., le professeur pourra suggérer
|
||
une mise en couleur des différents types de valeurs : celles qui sont acceptables
|
||
(moyennes sur 8 heures consécutives inférieures à 100 µg/m3) ou celles qui ne le sont
|
||
pas (supérieures à 100 µg/m3). L’expression de la justification de la dernière question
|
||
est importante et sera mise en regard avec la réponse apportée à la question 1. b.
|
||
Le texte produit par les élèves nécessitera une correction du professeur afin de leur
|
||
permettre d’étoffer leurs argumentations. Là encore, le professeur fera apparaître
|
||
clairement que le choix d’un critère est important et que son respect est primordial
|
||
lorsque l’on doit interpréter, voire prendre des décisions. En effet, dans les villes, la
|
||
création d’ozone dans l’air est due entre autres à une réaction photochimique des
|
||
gaz d’échappement des véhicules en cas de chaleur. En cas de dépassement de la
|
||
quantité d’ozone dans l’air, certains arrêtés municipaux conduisent à limiter le trafic
|
||
routier par discrimination des véhicules.
|
||
|
||
Au fur et à mesure de l’avancée dans la tâche, le professeur orchestrera la mise en
|
||
commun des productions en montrant les différentes représentations graphiques,
|
||
en faisant comparer les résultats des calculs de moyennes, en créant des débats
|
||
pour montrer l’importance de parvenir à convaincre et faire affûter les arguments,
|
||
par exemple lors de temps de régulation en cours de résolution du problème. En fin
|
||
de travail, il fera reprendre oralement par la classe l’évolution du raisonnement tout
|
||
au long de l’exercice.
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Mathématiques. Les pourcentages
|
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au cœur de la citoyenneté
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||
La notion de pourcentage est au carrefour des thèmes des nombres et calculs, de
|
||
la proportionnalité et de la gestion de données. Il est fondamental que les élèves
|
||
la maîtrisent pour comprendre le monde qui les entoure et exercer leur citoyenneté.
|
||
Les pourcentages sont très présents dans la vie courante, notamment dans
|
||
le commerce, la presse, mais aussi dans les domaines scientifiques et techniques.
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47 — Données et statistiques
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Pourcentages : de quoi parle-t-on ?
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Rappelons tout d’abord qu’un pourcentage est un nombre (et non un opérateur),
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égal à une fraction de dénominateur 100. Il permet de représenter une proportion,
|
||
et par suite une fréquence, et peut donc se déterminer comme le quotient de la valeur
|
||
d’une partie par la valeur de la totalité. Ce quotient sera ensuite écrit comme une
|
||
fraction de dénominateur 100, en utilisant une valeur approchée le cas échéant.
|
||
|
||
Par exemple, si parmi 2 500 skieurs, 1 800 ont acheté un forfait de remonte-
|
||
|
||
pente d’une journée, leur proportion sera : 1 800 = 72 . Ce dernier nombre se lira
|
||
2 500 100
|
||
« 72 centièmes » ou « 72 sur 100 », ou encore « 72 ». On a ainsi l’égalité 72 = 72 %.
|
||
100 100
|
||
On retiendra donc que la notation sous forme d’un pourcentage résulte de la
|
||
détermination du nombre de centièmes et en aucun cas d’une multiplication de
|
||
la proportion par 100.
|
||
|
||
On veillera notamment à ne pas entretenir de mauvaises représentations, par
|
||
exemple lorsque des fréquences en pourcentages sont attendues dans un exercice.
|
||
Plutôt que demander des « fréquences » et des « fréquences en pourcentages » en
|
||
sous-entendant à tort qu’il s’agirait de deux objets mathématiques différents, il sera
|
||
préférable de demander d’exprimer des fréquences sous forme décimale et sous
|
||
forme de pourcentage, renvoyant ainsi aux diverses représentations des nombres.
|
||
|
||
En classe, faire le lien entre la proportionnalité et les pourcentages permettra
|
||
d’en faire comprendre le sens. Mais le fait qu’un pourcentage soit un nombre est
|
||
fondamental pour exécuter des calculs rapides, souvent bien plus efficacement que
|
||
des passages par des tableaux de proportionnalité. Ce sera encore plus vrai à partir
|
||
de la classe de 3e pour traiter des situations d’évolution et pour faire le lien entre
|
||
taux d’évolution et coefficient multiplicateur.
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||
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||
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||
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||
Éléments de progressivité
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C’est au cycle 3 et au début du cycle 4 qu’on s’assure que l’usage des pourcentages
|
||
en tant que représentation des proportions est maîtrisé. Les pourcentages facilitent
|
||
la représentation mentale d’une situation de rapport entre deux valeurs en tant que
|
||
données relatives (c’est-à-dire en tant que proportion et non par comparaison de
|
||
données brutes) pour un total ramené à 100. Ce nombre permet d’évaluer rapidement
|
||
une proportion donnée, et notamment de comprendre si la partie considérée est
|
||
importante ou non, en comparaison des autres et au regard du contexte. La résolution
|
||
de problèmes permet cette familiarisation avec le rapport à 100. Par exemple, on
|
||
pourra proposer le problème suivant : « On a interrogé deux classes de 4e. En 4e A,
|
||
20 élèves sur 27 ont un smartphone alors qu’en 4e B, la proportion d’élèves ayant un
|
||
smartphone est de 26 sur 28. Exprimer sous forme de pourcentage les proportions
|
||
d’élèves ayant un smartphone dans les deux classes. »
|
||
48 — Données et statistiques
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||
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||
En 6e, on continuera un travail entamé en CM2 en faisant appliquer des pourcentages
|
||
simples, 10 %, 25 %, 50 %, 75 %, dans des problèmes relevant de la proportionnalité.
|
||
Les élèves devront alors les mettre en relation avec des faits numériques connus, des
|
||
fractions simples de quantité et avec les mots « dixième », « quart », « moitié », « trois
|
||
quarts ». Par exemple, ils devront comprendre que, puisque 20 est le cinquième de
|
||
100, prendre 20 % de 55 € revient à prendre le cinquième de 55 €, donc à diviser
|
||
55 € par 5 (item largement échoué dans les évaluations). La part des exercices
|
||
d’apprentissage des automatismes, notamment dans des cas contextualisés très
|
||
simples, sera d’abord très importante. Les registres seront plus variés en fin d’année
|
||
(lien avec la géographie, l’EPS, les sciences et technologies, les prix, etc.), où les
|
||
pourcentages seront rencontrés dans des problèmes plus complexes.
|
||
|
||
C’est à partir de la classe de 5e que l’on attend que l’élève sache relier fraction,
|
||
proportion et pourcentage, où ce dernier est traité comme cas particulier de repré-
|
||
sentation dans le cas général. En exercice, le pourcentage sera alors appliqué en se
|
||
ramenant à une multiplication par une fraction sur 100. Par exemple, prendre 30 %
|
||
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||
d’une quantité, c’est prendre 30 centièmes de cette quantité, donc multiplier par 30
|
||
100
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(que l’on peut décomposer en multiplier par 30 et diviser par 100). Le professeur
|
||
pourra systématiquement prononcer ou faire prononcer « trente centièmes » pour
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||
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une écriture « 30 ». Là encore, les exercices de calcul mental et les questions flash
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100
|
||
avec des contextes simples seront nombreux afin que les automatismes libèrent la
|
||
mémoire et la réflexion lors de la résolution de problèmes complexes.
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Tout au long du cycle 4, les liens entre l’écriture décimale, les écritures fractionnaires
|
||
et l’écriture en pourcentage seront entretenus dans des exercices de calcul mental
|
||
et mis en œuvre lors de résolution de problèmes. Le professeur fait souvent le lien
|
||
entre la formulation mathématique et le langage naturel pour maintenir à l’esprit
|
||
le sens de la proportion ramenée à 100 : par exemple, lorsque 28 % des personnes
|
||
d’une assemblée ont moins de 14 ans, cela veut dire que si l’assemblée comportait
|
||
100 personnes, 28 d’entre elles auraient moins de 14 ans. L’assemblée ne comporte
|
||
peut-être pas 100 personnes, mais la proportion reste la même.
|
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Les pourcentages seront également utilisés pour représenter des probabilités,
|
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et en fin de cycle seront établis les liens entre pourcentage d’évolution et coefficient
|
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multiplicateur.
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49 — Données et statistiques
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Schématisation des pourcentages :
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un exemple d’utilisation de la représentation
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en barres
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La schématisation peut être une aide importante pour les élèves. Elle peut prendre la
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forme d’un diagramme circulaire, qui peut être donné par le professeur pour gagner
|
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du temps lorsque l’objectif de la séance n’est pas la construction d’un tel diagramme,
|
||
mais aussi d’une barre partagée, ce qui sera exécuté plus rapidement. L’exemple
|
||
ci-après permet de montrer comment utiliser la schématisation en barres décrite
|
||
dans le chapitre 2 de ce guide.
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On considère par exemple le problème suivant : « On a lancé 40 fois un dé équilibré
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à six faces et on a réussi à obtenir 8 fois le 6. Quelle est la fréquence d’apparition du
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6 exprimée en pourcentage ? »
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Voici un schéma en barres qui pourrait être produit au tableau pour représenter la
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situation :
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40 (nombre total de lancers)
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4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
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8 (nombre
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de « 6 » obtenus)
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On peut ensuite faire évoluer ce schéma en inversant verticalement l’ordre des
|
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barres pour qu’il corresponde mieux à la lecture du « 8 sur 40 », du « 2 sur 10 », puis
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du « 20 sur 100 », puisqu’il s’agit visuellement du même schéma (on garde ainsi un
|
||
ancrage mémoriel fort).
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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10
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10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
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100
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La fréquence est la proportion : 8 = 2 = 20 = 20 %. Il serait fastidieux de montrer
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40 10 100
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un exemple de schéma contenant une grande barre du total et un partage en 100
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petites barres égales, même si ce serait encore utile pour certains élèves. Le pro-
|
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fesseur fera donc évoluer dans les énoncés de ses problèmes les nombres employés :
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ils permettront d’abord, et à plusieurs reprises, un schéma en barres assez simple,
|
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puis on s’affranchira du schéma dans des cas de nombres plus complexes (23 %
|
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par exemple).
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50 — Données et statistiques
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Mathématiques.
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Liens entre statistiques
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et probabilités
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Dans les attendus de fin d’année de 3e, il est précisé que « l’élève fait le lien entre
|
||
stabilisation des fréquences et probabilités ». La simulation d’expériences aléatoires
|
||
à l’aide d’un tableur ou du logiciel Scratch permet de générer un grand nombre de
|
||
répétitions de cette expérience. La fréquence d’apparition des issues lors de ces
|
||
simulations permet d’estimer la probabilité de chaque issue et de confronter cette
|
||
estimation au modèle probabiliste lorsque cela est possible. En effet, la probabilité
|
||
d’un événement est égale à la limite de la fréquence de réalisation de cet événement
|
||
lorsque le nombre de répétitions d’une même expérience tend vers l’infini (loi forte
|
||
des grands nombres, convergence presque sûre). Il ne s’agit pas d’enseigner cette
|
||
définition au collège, mais de montrer aux élèves qu’un très grand nombre de répé-
|
||
titions d’une expérience aléatoire permet d’observer certaines régularités en dépit
|
||
du caractère aléatoire de l’expérience.
|
||
|
||
L’observation de la stabilisation des fréquences peut se faire en plusieurs étapes,
|
||
mais doit être suffisamment visuelle pour des collégiens et se baser sur des exemples
|
||
simples. On propose ci-dessous un exemple, se basant sur le lancer d’un dé équi-
|
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libré et structuré, en quatre étapes (il est possible de ne faire que deux des trois
|
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premières étapes en classe).
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EXEMPLE SE BASANT SUR UN LANCER DE DÉ
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ÉTAPE 1. SIMULATION EN CLASSE
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Une fois travaillées les notions de hasard et de probabilité, notamment à travers des
|
||
exercices où l’on qualifie de plus ou moins probables des événements, on pourra
|
||
aborder la différence entre les statistiques, quand on reproduit réellement une
|
||
expérience, et les probabilités, quand on quantifie le hasard de façon abstraite.
|
||
Dans l’exemple du lancer d’un dé classique, non pipé, le modèle d’équiprobabilité
|
||
des tirages des six faces s’impose naturellement. Le professeur pourra ensuite
|
||
faire réaliser les lancers des dés par ses élèves, en les prévoyant en assez grand
|
||
nombre. Le protocole expérimental (comment et où lancer le dé) pourra être établi
|
||
avec eux. Le recueil des résultats de tous les élèves amènera à calculer les effectifs
|
||
puis les fréquences d’apparition de chacune des faces, pour constater leurs diffé-
|
||
rences avec les probabilités et les expliquer.
|
||
51 — Données et statistiques
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||
ÉTAPE 2. UTILISATION D’UN TABLEUR
|
||
Les élèves pourront ensuite utiliser un tableur pour simuler le lancer d’un dé à
|
||
6 faces et le répéter en étirant la formule sur plusieurs lignes et plusieurs colonnes.
|
||
On constate que ce logiciel permet d’obtenir rapidement un grand nombre de lancers,
|
||
de calculer automatiquement les fréquences d’apparition de chacun des nombres
|
||
puis de visualiser leur évolution grâce à un graphique. En revanche, le tableur ne
|
||
permet pas aux élèves de simuler aisément un très grand nombre de lancers.
|
||
|
||
ÉTAPE 3. EFFICACITÉ DE SCRATCH
|
||
La programmation avec Scratch permet, avec un script simple, de simuler en
|
||
quelques minutes plusieurs millions de lancers, voire davantage. On voit alors les
|
||
fréquences se stabiliser en temps réel, peu à peu, décimale après décimale.
|
||
Dans le cas du lancer d’un dé non pipé, comme on connaît les probabilités d’appa-
|
||
rition des faces, les élèves peuvent constater que les fréquences s’en approchent
|
||
de plus en plus.
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Figure 3. Exemple d’un programme réalisable sur Scratch.
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Idéalement, les élèves réalisent eux-mêmes le programme45 puis expérimentent.
|
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Mais l’étape de la programmation n’est pas indispensable et le professeur peut
|
||
aussi, s’il le souhaite, montrer un script préparé à l’avance et en détailler le fonc-
|
||
tionnement avec les élèves.
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45 — Le fichier Scratch est disponible en téléchargement. Le lien
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||
pour créer un script sur Scratch en ligne est : https://scratch.mit.
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edu/projects/editor/. Il est possible de télécharger gratuitement
|
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le logiciel Scratch sur https://scratch.mit.edu/download/ afin de
|
||
créer et sauvegarder des scripts sans connexion Internet.
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52 — Données et statistiques
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ÉTAPE 4. MISE EN ÉVIDENCE DU LIEN ENTRE PROBABILITÉS
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||
ET FRÉQUENCES
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On peut comparer les résultats obtenus aux étapes précédentes à l’aide de tableaux.
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Tableau des probabilités :
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Face Face Face Face Face Face
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Issue Somme
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n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 n° 5 n° 6
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1 1 1 1 1 1
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Probabilité 1
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6 6 6 6 6 6
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Tableau des fréquences :
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On a reporté ci-dessous les résultats d’une simulation réalisée avec le logiciel
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Scratch sur 21 154 516 lancers (en environ 8 minutes).
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Face Face Face Face Face Face
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Issue Somme
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n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 n° 5 n° 6
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Fréquence 0,166 66 0,166 554 0,166 781 0,166 638 0,166 793 0,166 574 1
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Il est intéressant de montrer que ces deux tableaux se ressemblent aussi bien par
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leur forme que par leur contenu. Les différences de valeurs dans le tableau de
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fréquences pourront amener un débat intéressant en classe. Si les premières fluc-
|
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tuations sont importantes et se stabilisent assez rapidement, on pourra également
|
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remarquer que, même après plusieurs millions de tirages, les fréquences ne sont
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stabilisées qu’au millième près.
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Dans des situations où les probabilités sont difficiles, voire impossibles à déterminer,
|
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comme par exemple pour le lancer d’une punaise, il sera intéressant de montrer qu’il
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est possible d’estimer la probabilité d’un événement par la réalisation de l’expérience
|
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aléatoire un grand nombre de fois et le calcul de fréquences. Dans le même esprit,
|
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on peut également déterminer, par l’estimation de probabilités, la composition d’une
|
||
bouteille opaque qui contient des billes blanches et des billes noires (10 billes au total
|
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par exemple), et dont on ne peut voir qu’une seule de ces billes lorsqu’on retourne la
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bouteille, celle-ci pouvant être retournée autant de fois qu’on le souhaite.
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54 — Données et statistiques
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En résumé
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S’inspirant de situations réelles, les problèmes
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de ce chapitre ancrent les mathématiques dans la vie
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quotidienne de l’élève, donnant ainsi du sens au traitement
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des données. Ils offrent un cadre particulièrement
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adapté aux ponts avec les autres disciplines et aux
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réflexions sociétales comme le développement durable.
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Ce travail autour des problèmes de gestion de données
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répond à un objectif de formation fort : comprendre
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des graphiques variés, en particulier issus des médias,
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apprendre à analyser des données, à les hiérarchiser
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et à prendre des décisions, éveiller l’esprit critique
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des élèves. Ce travail s’inscrit également dans le cadre
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de l’éducation aux médias et à l’information.
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Le tableur constitue un outil incontournable, qui permet
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de manipuler des données et d’avoir accès au traitement
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de données massives.
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II
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Nombres et problèmes
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arithmétiques
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56 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Les nombres occupent une place déterminante au sein
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des programmes de l’école primaire au lycée.
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Les documents publiés sur Éduscol46, notamment
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la ressource d’accompagnement « Du numérique
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au littéral »47 s’attachent à dégager la place du champ
|
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numérique et de l’algèbre dans la résolution de problèmes.
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Les problèmes de ce chapitre proposent des situations
|
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variées, mobilisant des notions telles que les ratios,
|
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les probabilités, les pourcentages ou les fractions que
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l’on retrouve souvent dans les évaluations internationales.
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||
La modélisation y tient une place particulière et permet
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de prendre en compte les discontinuités bien identifiées
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(statut de la lettre, sens du signe égal, etc.).
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Entrée historique
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Nombres, calculs et problèmes récréatifs48
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Les problèmes récréatifs sont énoncés simplement, dans un langage courant, ce
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qui leur permet d’être compris par le plus grand nombre. Ils sont très anciens et
|
||
répandus dans de nombreuses traditions mathématiques, jusque dans les manuels
|
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d’arithmétique de la Troisième République avec leurs problèmes de baignoires, de
|
||
robinets ou de trains qui se croisent. De nombreux exemples pourraient être énoncés
|
||
avec certaines tablettes paléo-babyloniennes, l’Anthologie palatine (depuis l’Antiquité
|
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grecque), des énoncés sanskrits ou d’autres extraits issus des mathématiques
|
||
chinoises ou des pays d’Islam.
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46 — Documents-ressources autour des nombres : https://eduscol.
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||
education.fr/280/mathematiques-cycle-4
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||
47 — https://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/3/
|
||
du_numerique_au_litteral_109173.pdf
|
||
48 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
|
||
Tournès, Éric Vandendriessche.
|
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57 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Ces problèmes récréatifs sont particulièrement présents au Moyen Âge latin,
|
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dès l’époque carolingienne, notamment avec Alcuin d’York (mort en 804) et ses
|
||
P ropositiones ad acuendos juvenes (Problèmes pour aiguiser des jeunes).
|
||
Ces c ollections de problèmes demandent plusieurs types de raisonnements
|
||
logico-mathématiques. Les méthodes de résolution, souvent multiples, sont la
|
||
vraie raison d’être de ces problèmes, leur essence, bien plus que leurs énoncés.
|
||
Aussi, contrairement à des problèmes usuels, leurs conditions sont souvent sau-
|
||
grenues, voire insensées ou absurdes.
|
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||
Léonard de Pise ou Fibonacci (mort après 1241) énonce, dans son Liber Abaci (Livre
|
||
de calculs), plusieurs dizaines de ces problèmes. Ainsi, il donne à voir différentes
|
||
méthodes de résolution, qu’elles soient arithmétiques – comme les méthodes par
|
||
simple fausse position ou double – ou algébriques avec la mise en équation. C’est une
|
||
occasion inévitable pour travailler sur les nombres entiers et les relations qu’ils
|
||
peuvent entretenir entre eux (comme avec les nombres de Fibonacci, par exemple
|
||
issus du problème des lapins. Voir figure 4 ci-dessous), les fractions ou encore les
|
||
radicaux. Intéressons-nous à un exemple : « Un lion mange un mouton en 4 heures,
|
||
un léopard en 5 heures et un ours en 6 heures. On demande en combien d’heures ils
|
||
auront dévoré un mouton si on leur en jette un entre eux. » Fibonacci met ici en œuvre
|
||
la méthode de simple fausse position,
|
||
reposant sur la proportionnalité. Il débute
|
||
sa résolution en prenant 60 heures comme
|
||
réponse a priori (c’est la fausse position,
|
||
judicieusement choisie) : 37 moutons
|
||
seraient alors dévorés. Il est alors facile de
|
||
déterminer le temps nécessaire aux lion,
|
||
léopard et ours pour manger un mouton :
|
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|
||
1 + 23 h (et c’est bien ainsi que le résultat
|
||
37
|
||
est exprimé !). Un autre exemple : « Un lion
|
||
est dans un puits dont la profondeur est de
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50 palmes. Il monte quotidiennement de 1
|
||
7
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d’une palme, et descend de 1 . On demande
|
||
9
|
||
en combien de jours il sortira du puits. »
|
||
Faut-il alors privilégier une solution
|
||
théorique ou réelle (c’est-à-dire qu’une
|
||
fois que le lion est sorti du puits, il n’y
|
||
Figure 4. Folio du Liber Abaci montrant les premiers entre pas à nouveau malgré la descente
|
||
nombres de Fibonacci – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
|
||
144, 233, 377 – dans un tableau marginal (Florence,
|
||
théoriquement p révue) ? Fibonacci penche
|
||
cod. Magliabechiano, 2616, fol.124r). pour la théorique sans discussion.
|
||
58 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Point sur la recherche 49
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La transition de la pensée additive à la pensée multiplicative, qui se développe
|
||
en classe de CM, est un obstacle majeur à l’apprentissage des mathématiques au
|
||
collège. En effet, la multiplication est une opération arithmétique difficile impliquant
|
||
dans l’esprit et la pensée de l’apprenant tout un processus cognitif. La pensée multi-
|
||
plicative induit, d’une part, un traitement mental adaptatif impliquant une multitude de
|
||
concepts, de stratégies et de représentations issus d’un large éventail de problèmes
|
||
mathématiques. Elle est liée, d’autre part, à un ensemble de contextes issu du monde
|
||
réel au moyen d’un répertoire d’approches très flexibles adossées à des méthodes
|
||
de plus en plus sophistiquées. Contrairement à la pensée additive qui nécessite un
|
||
temps relativement court pour se développer, maîtriser le raisonnement multiplicatif
|
||
peut prendre de nombreuses années50.
|
||
|
||
Susan J. Lamon 51 considère le raisonnement mettant en jeu la proportionnalité
|
||
– un sujet central des mathématiques au collège, fondé sur la pensée multiplicative –
|
||
comme l’un « des plus difficiles à enseigner, des plus complexes mathématiquement, des
|
||
plus exigeants sur le plan cognitif, des plus essentiels à la compréhension et la réussite
|
||
dans les mathématiques et sciences approfondies » (p. 629). Pourtant, il existe peu de
|
||
recherches sur la compréhension qu’ont les enseignants de la proportionnalité52 .
|
||
|
||
Le raisonnement mettant en jeu la proportionnalité est conceptuellement difficile,
|
||
même pour les enseignants, en partie parce qu’ils ont recours aux algorithmes,
|
||
comme la multiplication croisée pour obtenir les bonnes réponses, plutôt que
|
||
de se pencher davantage sur la nature multiplicative même des relations de
|
||
proportionnalité53 . Ceci nous ramène au rôle important que joue le raisonnement
|
||
multiplicatif tant dans l’apprentissage que dans l’enseignement.
|
||
|
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||
49 — Contribution de Monica Neagoy.
|
||
50 — Gérard Vergnaud, “Multiplicative Structures”, in James Hiebert,
|
||
Merlyn J. Behr (eds.), Number Concepts and Operations in the Middle
|
||
Grades, p. 141-161, Hillsdale, NJ: Erlbaum and Reston, VA: National
|
||
Council of Teachers of Mathematics, 1988 ; Peter Arnold Sullivan,
|
||
Douglas McLean Clarke, Jill Cheeseman, Joanne Mulligan, “Moving
|
||
beyond Physical Models in Multiplicative Reasoning”, in Marja van den
|
||
Heuvel-Panhuizen (ed.), Proceedings of the 25th Conference of the
|
||
International Group for the Psychology of Mathematics Education,
|
||
Utrecht, Freudenthal Institute, 2001.
|
||
51 — Susan J. Lamon, “Rational Numbers and Proportional Reasoning:
|
||
Toward a Theoretical Framework”, in Franck K. Lester (ed.), Second
|
||
Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, p. 629-
|
||
668, Charlotte, NC: Information Age Publishing, 2007.
|
||
52 — Joanne Lobato, Chandra H. Orrill, Bridget Druken, Erik Jacobson,
|
||
“Middle School Teachers’ Knowledge of Proportional Reasoning
|
||
for Teaching”, in Joanne Lobato (chair), Extending, Expanding, and
|
||
Applying the Construct of Mathematical Knowledge for Teaching,
|
||
symposium conducted at the annual meeting of the American
|
||
Educational Research Association, New Orleans, LA, 2011.
|
||
53 — Modestina Modestou, Athanasios Gagatsis, “Cognitive
|
||
and Metacognitive Aspects of Proportional Reasoning”, Mathematical
|
||
Teaching and Learning, 12(1), p. 36-53, 2010.
|
||
59 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
||
|
||
C’est au début des années 1980 que Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Sainati Nello
|
||
et Maria Sciolis Marino54 , renouant avec l’intérêt pour la multiplication et la division
|
||
en tant que domaine complexe de la recherche en didactique des mathématiques,
|
||
conjecturent que toute opération arithmétique fondamentale est liée à « un modèle
|
||
implicite, inconscient et primitivement intuitif ». Plus précisément, ils conjecturent
|
||
que la multiplication est liée au modèle intuitif primitif de l’addition répétée tandis que
|
||
la division est liée soit au partitionnement (partage équitable) soit à la soustraction
|
||
répétée. D’autres recherches complétant ce point de vue ont examiné comment ces
|
||
modèles intuitifs primitifs conduisent à l’hypothèse que la multiplication rend plus
|
||
grand et que la division rend plus petit ; une idée fausse, mais assez répandue chez les
|
||
élèves au collège, lors du passage des nombres naturels aux nombres rationnels55.
|
||
|
||
Durant cette même décennie, les recherches de deux autres groupes ont ouvert
|
||
la voie à une deuxième vague de résultats fondamentaux sur le raisonnement
|
||
multiplicatif.
|
||
|
||
Gérard Vergnaud56 introduit la notion de champ conceptuel comme « un ensemble de
|
||
problèmes et de situations dont le traitement implique des concepts, procédures et
|
||
représentations de plusieurs types en étroite connexion » (p. 127). À titre d’exemple,
|
||
il décrit les grands volets du champ conceptuel multiplicatif en y intégrant la multi-
|
||
plication, la division, les fractions, les ratios (rapports), les nombres rationnels, les
|
||
fonctions linéaires et n-linéaires, l’analyse dimensionnelle et les espaces vectoriels.
|
||
|
||
Le deuxième groupe, composé de Merlyn Behr, Richard Lesh, Thomas Post et
|
||
Edward Silver, a publié les résultats d’un vaste projet de recherche financé par la
|
||
NSF (National Science Foundaton) intitulé « The Rational Number Project ». Ils ont
|
||
proposé une synthèse du domaine en identifiant six « sous-constructions » pour
|
||
les nombres rationnels : comparaison de parties au tout, décimaux, ratio, quotient,
|
||
opérateur et mesure de quantités continues ou discrètes.
|
||
|
||
Ces travaux fondateurs ont pour thème commun qu’il ne suffit plus d’analyser le
|
||
développement cognitif de ces idées de manière isolée, mais plutôt de les reconnaître
|
||
comme entrelacées dans un champ de concepts connexes, dont l’acquisition n’est ni
|
||
linéaire, ni par petits bouts et qui se produit au cours d’une longue période : « comme
|
||
avec une toile d’araignée, le contact avec un fil se répercute dans tout l’espace 57 ».
|
||
|
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|
||
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|
||
54 — Efraim Fischbein, Maria Deri, Maria Sainati Nello, Maria Sciolis
|
||
Marino, “The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems in
|
||
Multiplication and Division”, Journal for Research in Mathematics
|
||
Education, 16(1), p. 3-17, 1985.
|
||
55 — Clifton Luke, “The Repeated Addition Model of Multiplication
|
||
and Children’s Performance on Mathematical World Problems”, Journal
|
||
of Mathematical Behavior, 7, p. 217-226, 1988.
|
||
56 — Gérard Vergnaud, op. cit., p. 58.
|
||
57 — Guershon Harel, Jere Confrey (eds.), The Development
|
||
of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics,
|
||
State University of New York Press, 1994.
|
||
60 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
||
|
||
Une grande partie des recherches qui ont suivi ont porté sur les schémas d’action et
|
||
les opérations mentales qui sous-tendent la réflexion et le travail des enfants face aux
|
||
structures multiplicatives. Certaines études se sont penchées plus précisément sur
|
||
la puissance des représentations. Par exemple, plusieurs chercheurs ont plaidé la
|
||
puissance des images matricielles (quadrillages, tableaux) pour aider les apprenants
|
||
à développer un raisonnement multiplicatif et à le distinguer du raisonnement
|
||
additif58 . La nature bidimensionnelle de l’image matricielle reflète, spatialement, la
|
||
structure à deux variables des situations multiplicatives ; contrairement à la droite
|
||
numérique unidimensionnelle qui reflète la structure à une variable des situations
|
||
additives. Les représentations matricielles concrétisent également la commutativité
|
||
de la multiplication et encouragent une vision des situations multiplicatives impliquant
|
||
des groupes composites : par exemple, décrire un tableau comme quatre groupes de
|
||
cinq ou cinq groupes de quatre encourage les élèves à traiter « un groupe de cinq »
|
||
ou « un groupe de quatre » comme des unités à part entière 59.
|
||
|
||
Bon nombre de recherches confirment que le passage de la pensée additive à la
|
||
pensée multiplicative est loin d’être anodin et constitue une clé pour comprendre
|
||
en profondeur les structures multiplicatives et les travailler de manière flexible tout
|
||
au long du secondaire voire au-delà. Ne pas aller au-delà des idées de base de la
|
||
multiplication (telles que « groupes égaux de ») et de la division (telles que « combien
|
||
de fois x va-t-il dans y ? »), garantit quasiment l’échec ultérieur dans le développement
|
||
d’une compréhension approfondie des fractions, décimaux, pourcentages, ratios
|
||
voire pour l’appréhension de l’algèbre. Les chercheurs insistent pour, d’une part,
|
||
donner plus de temps aux élèves afin qu’ils appréhendent les complexités sous-
|
||
jacentes à la multiplication et, d’autre part, pour que les enseignants prennent plus de
|
||
temps pour mieux comprendre ce qui rend la multiplication difficile pour les élèves60.
|
||
|
||
Une grande leçon issue de la recherche est d’aider les élèves à comprendre la
|
||
manière dont ils pensent face à des situations-problèmes, à explorer ce que ces
|
||
problèmes signifient, à discuter de la façon dont ces problèmes peuvent être
|
||
représentés ou modélisés. La résolution de problèmes, comme ceux qui suivent,
|
||
fait découvrir aux élèves comment mobiliser ce qu’ils savent et comment déterminer
|
||
quelle stratégie fonctionne mieux que les autres et pourquoi.
|
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58 — Patrick Barmby, Tony Harries, Steve Higgins, Jennifer Suggate,
|
||
“The Array Representation and Primary Children’s Understanding
|
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and Reasoning in Multiplication”, Educational Studies in Mathematics,
|
||
70(3), p. 217-241, 2009.
|
||
59 — Catherine Twomey Fosnot, Maarten Dolk, Young Mathematicians
|
||
at Work: Constructing Multiplication and Division, Heinemann,
|
||
Portsmouth, NH, 2001.
|
||
60 — Dianne Siemon, Margarita Breed, Jo Virgona, in Judy Mousley,
|
||
Leicha Bragg, Coral Campbell (eds.), Mathematics – Celebrating
|
||
Achievement, Proceedings of the 42nd Conference of the Mathematical
|
||
Association of Victoria, Melbourne: MAV, 2008.
|
||
61 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Mathématiques.
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Les ratios et leur utilisation
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Les ratios sont très présents dans le monde anglo-saxon, notamment dans l’énoncé
|
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des résultats sportifs, ou dans les sciences sociales. Leur introduction en France
|
||
est récente.
|
||
|
||
Par exemple, dans cette urne, il y a 15 boules bleues pour 6 boules rouges. Les boules
|
||
bleues par rapport aux boules rouges sont dans le ratio de « 15:6 » (dire : « dans le
|
||
ratio de 15 pour 6 ») ou de manière équivalente « 5:2 ». On écrit aussi : « Le ratio boules
|
||
bleues pour boules rouges est 5 pour 2 ».
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Définition et propriétés
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Dans un ensemble d’éléments, le ratio exprime les proportions relatives de certains
|
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sous-ensembles d’éléments qui le constituent, indépendamment de leurs unités.
|
||
Il permet d’indiquer la constitution d’un ensemble à un coefficient multiplicatif près.
|
||
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||
La connaissance de l’effectif total et du ratio permet de retrouver les effectifs
|
||
des parties et leurs proportions et inversement. Par exemple, si un ensemble de
|
||
60 éléments est constitué de billes bleues, rouges, vertes et jaunes dans le ratio
|
||
|
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4:3:7:1, alors la proportion des billes bleues est de 4 (15 = 4 + 3 + 7 + 1), donc il y a
|
||
15
|
||
16 billes bleues.
|
||
|
||
L’ordre est important pour les ratios : ils sont énoncés dans l’ordre dans lequel les
|
||
éléments sont aussi énoncés dans le texte. Le ratio traduit « la proportionnalité de
|
||
deux suites de nombres » (programme du cycle 4).
|
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Point de vigilance : il est nécessaire de distinguer proportion relative (5 pour 2)
|
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et proportion dans un ensemble ( 2 pour les boules rouges).
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7
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62 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Didactique. Le modèle en barres
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Le modèle en barres est un outil de modélisation qui met en évidence les relations
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arithmétiques entre les données de l’énoncé et la grandeur « longueur ». Son éla
|
||
boration par l’élève se déroule pendant la phase heuristique de recherche. Différents
|
||
modèles sont possibles (1 barre, 2 barres) en fonction des situations. Le modèle
|
||
double barre, utile dans les situations de comparaison ou d’équations, favorise des
|
||
représentations mentales permettant de comprendre et de visualiser le sens du
|
||
signe « = ». Il symétrise le statut des variables en jeu ; sa structure, analogue à la
|
||
structure algébrique du problème, permet d’envisager des stratégies de calculs.
|
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Modèle additif
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Valeur totale
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Valeur 1 Valeur 2
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Les rectangles doivent être remplis par les valeurs connues ou le mot « inconnu ».
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La longueur de la barre rectangle n’est pas forcément proportionnelle au nombre
|
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qu’elle contient. On représente le plus petit nombre par une barre plus courte (si on
|
||
dispose de l’information).
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Modèle multiplicatif
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Cette représentation s’appuie sur la définition de la multiplication par un entier n,
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nx = x + x + … + x (n fois).
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Valeur totale
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Valeur Valeur Valeur Valeur Valeur Valeur Valeur
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cherchée cherchée cherchée cherchée cherchée cherchée cherchée
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Nombre (ici 7) de parts égales
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Les rectangles sont remplis comme pour le modèle additif. Les parts sont égales :
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les rectangles sont de même longueur.
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||
63 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Problème 1. Se partager
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des macarons
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Énoncé
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a. Comment partager 48 macarons entre Simon et Mandy dans le ratio 5:11 ?
|
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b. Ahmed, Simon et Mandy se partagent des macarons dans le ratio 4:3:2. Simon
|
||
en a 9, combien en ont Ahmed et Mandy ?
|
||
c. Simon et Mandy ont réalisé un certain nombre de macarons dans le ratio 5:8.
|
||
Sachant que Mandy, plus expérimentée, a fait 66 macarons de plus que Simon,
|
||
combien Mandy en a préparé ?
|
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Mots-clés
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Ratios, proportionnalité, répartition, partage, unité, fractions, introduction de la
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notion de variable.
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Pourquoi ce problème ?
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Les problèmes de ratios sont des problèmes qui se prêtent à la mise en place
|
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du triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire ». Ils sont l’occasion de mettre en vie
|
||
des problèmes de partages (équitables ou non).
|
||
|
||
Ce problème montre l’intérêt de raisonner sur « une unité », notamment dans un
|
||
contexte de comparaisons relatives de grandeurs commensurables, pour traiter
|
||
de manière arithmétique des problèmes qui auraient nécessité l’introduction de
|
||
plusieurs inconnues et un travail plus algébrique.
|
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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||
Même si les ratios ont un lien avec la proportionnalité, les proportions et les
|
||
fractions, ils permettent de les aborder différemment et d’en construire le sens en
|
||
les fréquentant dans différents contextes. Réciproquement, les notions de partages,
|
||
proportions et fractions trouvent une contextualisation intéressante dans la
|
||
présentation en ratios qui mobilisent des entiers.
|
||
64 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
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Stratégies d’enseignement
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Les trois questions de cet énoncé peuvent être traitées de différentes façons :
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utilisation des fractions, pré-algèbre61 , etc.
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Les cubes emboîtables, très présents dans le premier degré, sont un matériel
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pertinent pour travailler et permettre une modélisation de la situation qui met
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en relation deux grandeurs. L’utilisation de la modélisation dans les problèmes
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arithmétiques prépare l’introduction de la variable (brique, unité, inconnue) sans
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avoir recours à la mise en équation.
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Une modélisation de la première question conduit au modèle multiplicatif dans le
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modèle en barres, c’est-à-dire partager 48 en 16 parts.
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48
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Simon Mandy
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Dans la question c., la superposition des briques correspondant aux nombres de
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parts de chacun permet, par comparaison, d’exhiber la différence en tant que variable
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sur laquelle s’appuie le raisonnement. Le professeur pourra utilement guider les
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élèves dans la modélisation de cette différence.
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66 macarons valent 3
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« briques unité ».
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66
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Différence
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61 — Pré-algèbre : ce terme désigne une étape intermédiaire
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(ou une écriture symbolique) entre l’arithmétique et l’algèbre (opérations
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à trous, exemples génériques, « 3 stylos + 2 cahiers = 8,5 euros »).
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65 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Didactique. Le rôle du matériel
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de manipulation
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Le matériel de manipulation permet de comprendre les liens entre les données de
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l’énoncé et de mettre en évidence de quelle manière les élèves recherchent la « brique
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unité ». Il favorise le travail portant sur le passage du langage naturel au calcul.
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Voici un problème de comparaison équivalent : « Un fils et son père ont leurs tailles
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dans le ratio 5:8. Sachant que le père mesure 66 cm de plus que son fils, quelle est
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la taille du père ? »
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Voici le propos d’un élève de 6e en train de résoudre
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le problème : « Pour le père, on prend 8 blocs de “on
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ne sait pas encore combien” et pour le fils, 5 blocs.
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Sachant que 3 blocs mesurent 66 cm, en divisant
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Figure 5. Utilisation d’un matériel
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de numération pour résoudre le problème. par 3, un bloc mesure 22 cm. »
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Pour aller plus loin
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Pour l’énoncé suivant, il est nécessaire d’avoir acquis une certaine agilité du modèle
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en barres : « Abel et Sarah ont leurs économies dans le ratio 7:6. Ils reçoivent tous
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deux 28 € et ont maintenant leurs économies dans le ratio 25:22. Quelles étaient
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||
leurs économies au départ ? » La brique de base va évoluer lors de la résolution.
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Au départ, l’écart est de 1 « brique unité » car le ratio est 7:6, ce qui amène à la
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modélisation suivante :
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Après l’ajout de 28 €, les économies d’Abel et Sarah sont dans le ratio 25:22. L’écart est
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cependant conservé en termes de valeurs et il est maintenant de 3 « briques unité »,
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car 25 – 22 = 3, ce qui indique qu’il faut partager la précédente « brique unité » en 3.
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Le ratio 7:6 devient le ratio 21:18, qui lui est équivalent.
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28 €
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66 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Pour arriver au ratio 25:22, il faut que la partie ajoutée corresponde donc à 4
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« briques unité » (21 + 4 = 25 et 18 + 4 = 22).
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28 €
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On en déduit que la « brique unité » vaut 7 €, ce qui permet de répondre au pro-
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blème posé.
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Problème 2. Les angles du triangle
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sont dans un ratio
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Énoncé
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a. Dans quel ratio sont les trois angles d’un triangle équilatéral ?
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b. Quelle est la nature d’un triangle dont les angles sont dans le ratio 1:2:3 ?
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c. Existe-t-il un triangle isocèle dont les angles sont dans le ratio 2:2:7 ?
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Mots-clés
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Ratio, proportion, recherche de la « brique unité », somme des angles d’un triangle.
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Pourquoi ce problème
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En dépit du contexte, ce problème n’est pas un problème de géométrie. Il permet
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d’aborder la notion de ratio avec 3 nombres dans un contexte géométrique.
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Il nécessite un changement de cadre : en effet, l’énoncé amène l’élève à sortir de
|
||
l’arithmétique pour interroger les connaissances de géométrie : la somme des angles
|
||
d’un triangle et les relations entre la mesure des angles et la nature des triangles.
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La question a. a pour objectif l’entrée dans le problème par l’élève. La question
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est élémentaire et réactive les propriétés angulaires du triangle équilatéral.
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Les questions b. et c., progressives, ont pour enjeu de faire réfléchir l’élève par
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un questionnement plus ouvert sur la compréhension des ratios proposés tout en
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mobilisant ses connaissances sur les triangles particuliers.
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67 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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En 5e, ce problème constitue un premier pas vers la géométrie déductive. Il prend
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appui sur une propriété démontrée (la somme des angles d’un triangle) et sur
|
||
les connaissances des triangles particuliers. La justification des résultats aux
|
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différentes questions contribue à entrer dans la notion de preuve en mathématiques.
|
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En classes de 4e et 3e, l’enjeu de cet exercice est de consolider les connaissances
|
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des élèves sur les triangles particuliers en lien avec la manipulation de ratios.
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Stratégies d’enseignement
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Ce problème peut être posé en question flash, puisqu’il réactive une connaissance
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de base (la somme des angles d’un triangle).
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Les tentatives de dessins, à main levée, par les élèves sont naturelles et doivent
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||
être encouragées. Cependant, elles ne constituent pas toujours une aide efficace
|
||
ou pertinente ; les essais/ajustements sur les angles peuvent aboutir rapidement
|
||
(question b.) ou être infructueux selon les ratios (question c.).
|
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Pour les élèves en début de 5e : pour la question b. (idem pour la question c.), lorsque
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||
les élèves ont été familiarisés, notamment dans les classes primaires, à l’utilisation du
|
||
matériel de manipulation tel que les cubes emboîtables et les réglettes © Cuisenaire, ils
|
||
visualisent la répartition et en déduiront la valeur de l’unité en invoquant la valeur du tout.
|
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||
Dans le cadre de la différenciation pédagogique, on peut
|
||
adapter les ratios dans la question c. (par exemple 1:1:4
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Figure 6. La somme des angles
|
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est composée de 6 parts, donc ou 2:2:6).
|
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6 parts = 180°.
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||
La pratique courante, dans le monde anglo-saxon, d’une
|
||
recherche d’une affirmation fausse dans les QCM mérite d’être développée.
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Par exemple : « The angles of a triangle are in the ratio 1:1:2.
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Which of the following sentence(s) is (are) false?
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a. It is a right-angled triangle.
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b. It is an isosceles triangle.
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c. It is a scalene triangle.
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d. It is an equilateral triangle. »
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TRANSFERT62
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« Comment partager un segment de 50 cm dans le ratio de 1:3:4 ? »
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62 — Voir l’introduction et le chapitre 7.
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68 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Problème 3. Des fractions
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et des proportions
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Énoncés
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1. La collecte : 20 € ont été collectés par 3 élèves lors de la vente de gâteaux. Jim en
|
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a collecté le quart, Paul 3 huitièmes et Jane le reste. Sachant qu’une part de gâteau
|
||
coûtait 50 centimes, combien de parts de gâteaux ont-ils vendues chacun ?
|
||
2. Football : Pour se maintenir dans son groupe, une équipe ne peut pas perdre plus
|
||
de 20 % de tous les matchs joués. À ce jour, une équipe de football a gagné 8 matchs,
|
||
concédé 8 matchs nuls et perdu 10 matchs. Cette équipe ne pourra alors se maintenir
|
||
dans son groupe que si elle ne perd plus aucun match jusqu’à la fin de la saison.
|
||
Combien lui reste-t-il de matchs à jouer au minimum ?
|
||
3. Économies : Je dépense 4 septièmes de mes économies pour acheter un manteau
|
||
et le tiers du reste pour une paire de chaussettes. J’ai maintenant 9,52 €. Combien
|
||
avais-je d’économies au départ ?
|
||
4. Devinette : Je pense à un nombre, je le double, j’ajoute 2 septièmes du nombre de
|
||
départ et j’obtiens 376. Quel était le nombre de départ ?
|
||
5. Le Grand Duc : Le Grand Duc de York a conduit ses hommes au sommet de la mon-
|
||
tagne. À 14 heures, ils avaient parcouru 1 tiers du chemin. À 14 h 50, ils en avaient
|
||
parcouru 75 %. À quelle heure ont-ils commencé leur marche ?
|
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Mots-clés
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Modélisation en barres, fractions, proportions, pourcentages, date et durée.
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Pourquoi ces problèmes ?
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Plusieurs domaines sont convoqués ici : nombres et calculs, grandeurs et mesures.
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Les repères de progressivité indiquent que « les élèves [en 5e] sont conduits à com-
|
||
parer des nombres rationnels, à en utiliser différentes représentations et à passer de
|
||
l’une à l’autre », tandis qu’en 4e, « les notions d’inconnue et de solution d’une équation
|
||
sont abordées […] pour aborder la mise en équation d’un problème et la résolution
|
||
algébrique d’une équation du premier degré ».
|
||
69 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
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|
||
Ces problèmes réinvestissent des faits numériques : décompositions et différentes
|
||
représentations d’un même nombre. Les énoncés sont courts, mais portent sur
|
||
des concepts numériques variés que les élèves peinent à appréhender (décimaux,
|
||
pourcentages, fractions). Le choix des valeurs rendant les procédures par essais/
|
||
ajustements peu efficaces, cela induit le recours à la modélisation (par exemple,
|
||
le modèle en barres), appuyé éventuellement par la manipulation.
|
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Ces problèmes (avec des données plus simples) sont abordés dès le début du cycle 3
|
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et portent un objectif de continuité tant pour les élèves que dans le cadre de la liaison
|
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de cycle.
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||
Étayés par le matériel de manipulation, ils peuvent être traités dès la 6e. Le choix des
|
||
variables didactiques (ici les valeurs numériques) permet de les faire évoluer tout
|
||
au long du collège.
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||
Ces problèmes s’intègrent dans une stratégie plus globale de travail autour des
|
||
représentations des nombres. À l’école, les élèves sont entraînés à décomposer des
|
||
nombres (avec des activités comme la fleur des nombres, le journal du nombre, etc.).
|
||
Ces activités méritent d’être prolongées pour mettre en évidence les liens entre
|
||
fractions, pourcentages et proportions, par exemple :
|
||
2 = 2 x 1 = 2 cinquièmes = 0,4 = 40 = 40 % = 40 centièmes.
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5 5 100
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Stratégies d’enseignement
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Ces problèmes permettent d’envisager des procédures diverses en fonction de
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l’appropriation des notions mathématiques selon les élèves. En effet, le recours à la
|
||
manipulation est facilitateur pour comprendre le besoin de réduire deux fractions au
|
||
même dénominateur ou encore de comprendre ce qu’est la division par un nombre
|
||
rationnel non nul.
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|
||
La modélisation permet ici de différencier les compétences « représenter »,
|
||
« modéliser » et « calculer », et de réaliser une évaluation plus fine des difficultés des
|
||
élèves en mettant en évidence les réussites (évaluation positive).
|
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Une modélisation possible pour le problème « Économies » :
|
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Mes économies
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9,52 €
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70 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Si on souhaite se concentrer uniquement sur la modélisation, il est possible de ne
|
||
pas donner de valeurs numériques dans les questions63 ; cela permet de rester sur
|
||
le modèle et les concepts de fractions/proportions/pourcentages.
|
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||
Pour le problème « Devinette », l’analyse de l’énoncé invite à prendre 7 unités pour
|
||
modéliser le nombre de départ. D’où le modèle ci-dessous qui conduit à un schéma
|
||
de 16 (= 7 + 7 + 2) « briques unité » valant 376. Cette approche permet de montrer
|
||
|
||
aux élèves que « diviser par 16 revient à diviser par 16 et multiplier par 7 donc
|
||
7
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multiplier par 7 ». La méthode algébrique usuelle conduit à l’équation 2x + 2 x = 376
|
||
16 7
|
||
16
|
||
ou encore x = 376 qui mobilise les fractions.
|
||
7
|
||
|
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376
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u u u u u u u u u u u u u u u u
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2/7
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du nombre
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Nombre de départ Nombre de départ de départ
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Cette entrée par la pré-
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algèbre peut être mise en
|
||
parallèle avec l’écriture
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algébrique, permettant
|
||
une transition plus douce
|
||
et basée sur la structure
|
||
de l’unité. Dans le premier
|
||
exemple ci-contre, l’aug-
|
||
mentation de 2 tiers du
|
||
Figure 7. Une variante possible de l’exercice.
|
||
nombre de départ suggère
|
||
le choix de prendre 3 briques
|
||
pour le nombre de départ.
|
||
Dans le second exemple
|
||
(figure 8), la diminution de
|
||
25 %, soit le quart, indique
|
||
de prendre 4 briques pour
|
||
le nombre de départ.
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Figure 8. Une autre variante.
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63 — L’énoncé serait alors : « Je dépense 4 septièmes de mes
|
||
économies pour acheter un manteau et le tiers du reste pour une paire
|
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de chaussette. J’ai maintenant 9,52 €. Modéliser la situation. »
|
||
71 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
||
|
||
L’implicite de l’énoncé « Le Grand Duc » oblige le professeur et les élèves à faire une
|
||
hypothèse importante : la marche s’effectue à vitesse constante.
|
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||
Une modélisation permet, sans calcul de fractions, de prendre conscience que
|
||
5 « briques unité » valent 50 minutes. La difficulté est de placer, sur un même dessin,
|
||
le tiers et les 3 quarts, ce qui suppose de l’avoir fait à l’école primaire en manipulant
|
||
12 cubes emboîtables. La marche du Grand Duc a donc commencé à 13 h 20.
|
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||
14 h 14 h 50
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Cette modélisation évite la conceptualisation de l’inconnue (heure de départ, durée,
|
||
chemin) qui présente une difficulté.
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Problème 4. L’affaire est dans le sac 64
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Énoncé
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Dans les sacs suivants, il y a déjà des billes noires et des billes blanches.
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Est-il possible d’ajouter un certain nombre (de ton choix) de billes rouges, de façon
|
||
à satisfaire les indications données en dessous de chaque sac ?
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|
||
Sac 1 : la probabilité d’extraire Sac 2 : la probabilité d’extraire
|
||
une bille rouge est 5 . une bille rouge est 2 .
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12 5
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||
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||
Sac 3 : la probabilité d’extraire Sac 4 : la probabilité d’extraire
|
||
une bille blanche ou rouge est 3 . une bille rouge est 3 .
|
||
4 5
|
||
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||
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||
64 — Brochures de l’Irem de Rouen sur l’enseignement des probabilités,
|
||
Probabilités - Statistiques, cinq scenarios (3e/2de), Blandine Masselin,
|
||
Fabrice Mondragon, 2015, université de Rouen. Extrait modifié, p. 104-105.
|
||
72 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
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|
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||
Mots-clés
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||
Probabilités, fractions, proportions, ratios.
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||
Pourquoi ce problème ?
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Ce problème permet un renforcement du concept d’équiprobabilité avec un travail
|
||
dans les domaines numérique et littéral (pour le sac 4).
|
||
|
||
Les situations de tirages dans des sacs ou des urnes permettent aux élèves
|
||
d’appréhender le hasard en lien avec le vocabulaire des probabilités (expérience
|
||
aléatoire, issue, événement, probabilité) introduit au début du cycle 4. Les situations
|
||
rencontrées en classe de 5e sont l’occasion de placer un événement sur une échelle
|
||
de probabilités et de déterminer des probabilités dans des situations très simples
|
||
d’équiprobabilité. Les ratios permettent de modéliser et de comprendre la situation
|
||
(ici, la composition des sacs).
|
||
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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||
|
||
Ce problème, de milieu de cycle 4, convoque plusieurs domaines (probabilités,
|
||
nombres et calculs). Outre le fait de mobiliser les nombres rationnels et l’algèbre,
|
||
il fait travailler les probabilités dans des « situations simples qui ne relèvent pas
|
||
nécessairement du modèle équiprobable ».
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
Ce problème permet d’envisager des procédures diverses en fonction de l’appro
|
||
priation des notions mathématiques selon les élèves. Pour les trois premiers sacs,
|
||
la manipulation ou une démarche essai/ajustement permet de résoudre le problème.
|
||
Pour le sac n° 4, la manipulation, le recours à l’algèbre ou aux ratios permettent
|
||
de montrer l’impossibilité d’une composition du sac répondant à la question posée.
|
||
|
||
CAS DU SAC 2
|
||
Il est intéressant de raisonner sur la constitution d’un sac pour lequel il y a une
|
||
|
||
probabilité de 2 de tirer une bille rouge. Dans cette situation, le ratio billes rouges
|
||
5
|
||
pour billes des autres couleurs (blanches ou noires) est 2:3. Avant de considérer
|
||
des ratios équivalents (4:6 par exemple), le professeur peut amener les élèves à
|
||
s’interroger sur la signification du nombre 3 dans le ratio, dans le cas où le sac
|
||
serait réduit à 5 billes.
|
||
73 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
||
|
||
CAS DU SAC 4
|
||
Le raisonnement sur le ratio billes rouges pour billes d’une autre couleur conduit à
|
||
chercher un ratio de la forme a:7 équivalent à 3:2, avec a correspondant au nombre
|
||
de billes rouges ajoutées dans le sac. La discussion invite l’élève à interroger une
|
||
solution potentielle et à la confronter au contexte du problème, démarche à engager
|
||
pour aiguiser le sens critique.
|
||
|
||
POUR ALLER PLUS LOIN (CAS DU SAC 4)
|
||
Les enjeux de l’énoncé suivant portent sur l’absence de représentation initiale et la
|
||
présence de deux inconnues : « Un sac contient des billes blanches et noires dans
|
||
le ratio 5:2. En ajoutant des billes rouges, la probabilité maintenant de tirer une bille
|
||
|
||
rouge est de 3 . Combien de billes de chaque couleur y a-t-il maintenant au minimum
|
||
5
|
||
dans le sac ? »
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Problème 5. Plusieurs inconnues
|
||
dans le jeu
|
||
|
||
|
||
Énoncés
|
||
|
||
1. Pour le championnat de rugby, une équipe reçoit 3 points par victoire, 1 point par
|
||
match nul. Après 25 matchs, une équipe a marqué 55 points. Combien de matchs
|
||
ont-ils pu perdre ?
|
||
a. aucun
|
||
b. 5
|
||
c. 3
|
||
d. 2
|
||
|
||
2. Un groupe d’amis a dépensé 390 € au restaurant. Certains (le groupe A) ont
|
||
dépensé 30 € chacun et les autres (le groupe B) ont dépensé 20 €. Combien pouvait-il
|
||
y avoir de personnes dans les groupes A et B ?
|
||
|
||
|
||
|
||
Mots-clés
|
||
|
||
Pourcentages, proportions, fractions, algèbre, système d’équations du premier
|
||
degré, équations diophantiennes, variables, inconnues, critères de divisibilité, modé-
|
||
liser, chercher, calculer, raisonner.
|
||
74 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
||
|
||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
|
||
La première question contribue à la prise d’initiative de l’élève. L’énoncé est court,
|
||
mais chaque donnée est importante et il y a un implicite sur le nombre de points en
|
||
cas de match perdu.
|
||
|
||
L’énoncé met en œuvre trois inconnues et deux équations (que l’on peut aussi
|
||
résoudre grâce aux propriétés de divisibilité des entiers) et induit à ce niveau une
|
||
stratégie rarement utilisée dans les QCM consistant à essayer chacune des valeurs
|
||
proposées pour ramener ce problème à une équation avec une seule inconnue.
|
||
|
||
La seconde question se ramène à l’équation diophantienne 30a + 20b = 390 où a
|
||
représente le nombre de personnes du groupe A et b le nombre de personnes du
|
||
groupe B. Au collège, une stratégie basée sur les critères de divisibilité peut éven-
|
||
tuellement permettre de trouver toutes les solutions possibles.
|
||
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Pour la première question, en 5e, l’introduction d’une expression littérale est possible,
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la lettre65 employée ayant le statut de variable. L’usage du tableur (comme ci-dessous),
|
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de la calculatrice ou d’un algorithme permettra de déterminer la valeur recherchée.
|
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Les démarches envisageables par les élèves sont le principe d’itération ou d’essai/
|
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erreur, la manipulation d’expressions algébriques
|
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voire la modélisation.
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En fin de cycle 4 et en 2de, l’introduction d’équations
|
||
sera attendue, ce qui permet le passage de la
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variable à l’inconnue. L’utilisation des propriétés de
|
||
divisibilité dans l’équation diophantienne 3a + b = 55
|
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est un attendu du lycée.
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Pour la seconde question, en fin de cycle 4 et en
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||
2de , après simplification de l’équation obtenue,
|
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les critères de divisibilité et la notion de nombres
|
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premiers entre eux permettent d’aller plus vite dans
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la résolution de ce problème.
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En terminale (option mathématiques expertes),
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Figure 9. L’usage du tableur, pour ce problème consiste à résoudre une équation
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déterminer la valeur recherchée.
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diophantienne avec discussion sur les couples
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solutions à retenir.
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65 — La lettre rencontrée dans la scolarité d’un élève peut être
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une abréviation, une unité de mesure, le nom d’un point en géométrie,
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une indéterminée, une inconnue, une variable ou un paramètre.
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75 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Stratégies d’enseignement
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Le professeur peut inciter les élèves à essayer les différentes valeurs proposées
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pour le nombre de matchs perdus (0, 5, 3 ou 2) pour amener les élèves à penser que
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le nombre de matchs nuls ou gagnés est alors 25, 20, 22 ou 23.
|
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L’utilisation d’un tableur (ci-dessous, le cas où l’équipe a perdu 5 matchs), permet
|
||
d’identifier une variable de travail et d’explorer toutes les possibilités, ce qui constitue
|
||
une preuve (par disjonction de cas).
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Pour la modélisation algébrique dans le cas présent, en notant x le nombre de matchs
|
||
gagnés, le nombre de matchs nuls vaut alors 20 – x. Le nombre de points marqués
|
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est 3x + (20 – x) = 2 x + 20. Cette expression algébrique vaut 55, ce qui permet de
|
||
conclure x = 17,5.
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Le retour au problème posé – qui constitue le cœur de la démarche de modélisation
|
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(partir du réel, modéliser, revenir au réel) – permet d’écarter cette solution trouvée,
|
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car 17,5 n’est pas un nombre entier.
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||
Pour la seconde question, en fin de cycle 3 et début de cycle 4, on peut demander
|
||
aux élèves de tester des couples solutions. Ces calculs élémentaires permettent de
|
||
réinvestir les priorités opératoires, la manipulation d’une expression littérale où
|
||
apparaissent deux variables. Il est possible également de fixer une variable (par
|
||
exemple le nombre de personnes dans le groupe A) et de déterminer alors lorsque
|
||
cela est possible, l’autre variable (qui prend alors le statut d’inconnue). Les critères
|
||
de divisibilité peuvent être mobilisés pour répondre à des questions du type : « Est-il
|
||
possible qu’il y ait 6 personnes dans le groupe A ? »
|
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Tout comme pour la première question, l’usage du tableur permet de déterminer
|
||
l’ensemble des couples solutions recherchés.
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76 — Nombres et problèmes arithmétiques
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Problème 6. Ça texte beaucoup !
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Énoncé
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Lors d’un concours de rapidité d’envoi de SMS, quatre élèves sont en compétition.
|
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— Le premier peut en envoyer 3 pendant que le deuxième en envoie 2.
|
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— Le deuxième peut en envoyer 5 pendant que le troisième en envoie 6.
|
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— Le troisième peut en envoyer 7 pendant que le quatrième en envoie 8.
|
||
Pendant la durée du concours, le deuxième a envoyé 70 SMS.
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Quel est le vainqueur du concours ?
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Mots-clés
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Défi mathématique, fraction et comparaison, ratio, grandeur sans dimension.
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème, qui permet de fréquenter des grandeurs sans dimension, met en jeu
|
||
plus de deux protagonistes. Cette situation s’apparente à un problème avec prise
|
||
d’initiative et permet à l’élève de mobiliser en particulier les compétences « chercher »,
|
||
« calculer ».
|
||
|
||
Le problème permet d’avoir recours à différentes stratégies et de réinvestir la notion
|
||
de ratio, performante ici, pour trouver une relation en termes de proportions entre
|
||
les participants.
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||
Stratégies d’enseignement
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||
Même si le bon sens invite l’élève à comparer le premier et le quatrième scripteur,
|
||
la comparaison entre le deuxième et le troisième est nécessaire au raisonnement.
|
||
|
||
EN EXPLORANT LA PROPORTIONNALITÉ ET EN PROCÉDANT PAR ÉTAPE
|
||
|
||
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||
Premier Deuxième Deuxième Troisième Troisième Quatrième
|
||
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3 2 5 6 7 8
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105 70 70 84 84 96
|
||
77 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
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|
||
EN UTILISANT LES RATIOS ÉQUIVALENTS
|
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||
Premier Deuxième Troisième Quatrième
|
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||
3 2
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3x5 2x5 2x6
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||
3x5x7 2x5x7 2x6x7 2x6x8
|
||
105 70 84 96
|
||
78 — Nombres et problèmes arithmétiques
|
||
|
||
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||
En résumé
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||
Les problèmes de ce chapitre proposent des énoncés
|
||
numériques variés qui peuvent permettre des
|
||
changements de cadre. Ils mobilisent de nombreuses
|
||
notions mathématiques (fractions, proportionnalité, ratios,
|
||
géométrie, pourcentages, équations). Ils présentent aux
|
||
élèves des mathématiques concrètes, propices à la mise
|
||
en œuvre d’une démarche expérimentale.
|
||
|
||
|
||
Le travail proposé met en avant des outils (de manipulation,
|
||
numériques, de modélisation) facilitant l’entrée des élèves
|
||
dans la résolution de problèmes et permettant d’aborder
|
||
des problèmes qui leur sont jusqu’ici résistants.
|
||
|
||
Les élèves sont amenés à se créer des représentations
|
||
mentales des nombres qui facilitent la compréhension
|
||
et la résolution des problèmes. Ils apprennent également
|
||
à mettre en œuvre une démarche scientifique allant
|
||
des représentations à l’abstraction.
|
||
III
|
||
Problèmes
|
||
algébriques
|
||
80 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
Le passage de l’arithmétique à l’algèbre constitue un point
|
||
de rupture didactique pour l’élève qui doit être en capacité
|
||
de généraliser des expressions, reconnaître des structures,
|
||
modéliser une situation par une expression algébrique
|
||
ou une équation pour résoudre un problème. Les problèmes
|
||
de ce chapitre permettent de créer des représentations
|
||
mentales aidant à une meilleure compréhension de ces
|
||
concepts et pour lesquels l’utilisation du matériel
|
||
contribue à la mise en œuvre du triptyque « manipuler,
|
||
verbaliser, abstraire ». Les ressources d’accompagnement66
|
||
relatives au calcul littéral, parues sur Éduscol,
|
||
constituent des références pour ce chapitre.
|
||
|
||
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||
Entrée historique
|
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|
||
Créer, explorer, prouver ou apprendre
|
||
des mathématiques avec des séries
|
||
de problèmes67
|
||
|
||
Les mathématiques anciennes se présentent souvent sous la forme de séries de
|
||
problèmes68 . Ces successions de problèmes sont parfois de simples compilations
|
||
d’exemples provenant de diverses sources, et, dans ce cas, ne présentent pas de
|
||
cohérence particulière. Mais le plus souvent, elles sont pensées pour permettre au
|
||
lecteur de comprendre, mettre en œuvre et contrôler des procédures mathématiques.
|
||
Les séries de problèmes peuvent aussi avoir un but heuristique d’exploration, ou
|
||
permettre une classification des méthodes mathématiques, ou bien avoir un rôle
|
||
didactique69. Dans certains cas, une série de problèmes peut constituer une véritable
|
||
théorie mathématique. On peut citer plusieurs exemples célèbres. Un des premiers
|
||
|
||
66 — https://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/3/
|
||
du_numerique_au_litteral_109173.pdf ; https://cache.media.eduscol.
|
||
education.fr/file/Calcul_litteral/35/8/RA16_C4_MATH_nombres_
|
||
calcul_calcul_litteral_doc_maitre_548358.pdf
|
||
67 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
|
||
Tournès, Éric Vandendriessche.
|
||
68 — Alain Bernard, « Les séries de problèmes, un genre au carrefour
|
||
des cultures », éd. 2015, vol. 22, SHS Web of Conferences, EDP Sciences,
|
||
Les Ulis : http://dx.doi.org/10.1051/shsconf/20152200001
|
||
69 — Voir la thèse de Charlotte de Varent qui porte sur ce dernier rôle.
|
||
81 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
traités d’algèbre en arabe, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison
|
||
de Al-Kwârizmî, propose une série de problèmes qui permettent l’exposition de la
|
||
théorie générale de la résolution des équations quadratiques. Le Liber Abaci de
|
||
Fibonacci contient des séries de problèmes permettant d’explorer diverses méthodes
|
||
algébriques ou arithmétiques, en particulier la méthode de fausse position.
|
||
|
||
En Mésopotamie, les textes mathématiques étaient inscrits en écriture cunéiforme
|
||
sur des tablettes d’argile70. Ces textes mathématiques, qui, pour la plupart, ont été
|
||
écrits il y environ quatre mille ans, se présentent le plus souvent sous la forme de
|
||
séries de problèmes plus ou moins longues (on connaît des cas de séries comprenant
|
||
plusieurs centaines de problèmes !). Par exemple, la tablette conservée à l’université
|
||
Yale sous le numéro YBC 4663 (figure 10) contient une série de problèmes résolus
|
||
qui était probablement destinée à la formation mathématique des futurs érudits.
|
||
|
||
Cette tablette, ainsi que d’autres similaires, exposent de façon progressive et sys-
|
||
tématique les méthodes de résolution des problèmes linéaires et quadratiques au
|
||
travers d’une situation concrète, ici, le coût du creusement d’un canal, présentée
|
||
sous différents angles71 .
|
||
|
||
|
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|
||
|
||
Figure 10. Tablette contenant Figure 11. Transcription d’une tablette
|
||
une série de problèmes résolus. concernant le partage du trapèze
|
||
Université Yale, New Haven72. en sous-trapèzes de même aire. Musée
|
||
de l’Hermitage, Saint-Pétersbourg.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
70 — Christine Proust, « Mathématiques en Mésopotamie », Images des
|
||
Mathématiques, 2014 : http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-en-
|
||
Mesopotamie.html
|
||
71 — Christine Proust, “How did Mathematics Masters Work Four
|
||
Thousand Years Ago? Curricula and Progressions in Mesopotamia”,
|
||
in The ‘Resources’ Approach to Mathematics Education, edited by Luc
|
||
Trouche, Gislaine Gueudet, Birgit Pepin, in Advances in Mathematics
|
||
Education, p. 61-88, Springer, Berlin, 2019.
|
||
72 — Photo : C. Proust, crédit : Yale Babylonian Collection.
|
||
82 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
On connaît plusieurs tablettes qui contiennent des séries de problèmes posés sous
|
||
la forme de figures géométriques. Par exemple, la figure 11 (voir p. 81) 73 montre la
|
||
transcription d’une tablette conservée au Musée de l’Hermitage à Saint-Pétersbourg
|
||
sous le numéro ERM 15189 ; elle concerne le partage de trapèzes en sous-trapèzes
|
||
de même aire. Un autre exemple similaire concerne le partage de triangles en sous-
|
||
triangles et trapèzes de même aire74 .
|
||
|
||
Bien que d’apparence géométrique, ces deux séries de problèmes relèvent plutôt
|
||
de la théorie des nombres : la série des triangles fait appel à la recherche de triplets
|
||
pythagoriciens (a² + b² = c²) ; la série des trapèzes fait appel à celle de triplets dits
|
||
« babyloniens » (a² – b² = c²)75.
|
||
|
||
Largeur supérieure La tablette des trapèzes conservée au Musée de
|
||
l’Hermitage propose une série de variantes autour
|
||
d’un problème classique des mathématiques
|
||
cunéiformes que l’on pourrait formuler ainsi :
|
||
Transversale un trapèze a pour bases 17 et 7 (« largeur
|
||
supérieure » et « largeur inférieure » selon la
|
||
terminologie du texte cunéiforme). Une ligne
|
||
transversale est tracée parallèlement aux deux
|
||
Largeur inférieure bases de façon à diviser le trapèze initial en
|
||
deux petits trapèzes de même aire. Quelle est la
|
||
transversale ?
|
||
|
||
|
||
|
||
L’algèbre pour résoudre des problèmes76
|
||
|
||
Le traité d’algèbre considéré comme étant le plus ancien qui nous soit parvenu est
|
||
celui d’Al-Khwârizmî, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, dont le
|
||
titre arabe est à l’origine du mot « algèbre ». Mais si on considère que l’algèbre est plus
|
||
largement l’art de résoudre des équations, que ce soit par des méthodes de calcul sur
|
||
des inconnues comme celles qu’on trouve dans les traités en langue arabe, ou par
|
||
des procédés algorithmiques ou géométriques, cette branche des mathématiques
|
||
est aussi ancienne que les mathématiques elles-mêmes et remonte à la très haute
|
||
Antiquité. L’algèbre est ainsi constitutive des mathématiques qui furent élaborées
|
||
non seulement en pays d’Islam et plus tard en Europe, mais aussi en Chine, en Inde,
|
||
au Proche-Orient ancien ou en Grèce dans les périodes antiques et médiévales.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
73 — Transcription par l’historien russe A. A. Vaiman (1961,
|
||
Shumero-vavivonskaya matematika III-I tysyacheletiya do
|
||
n.e., « Les mathématiques suméro-akkadiennes du troisième
|
||
au premier millénaire avant notre ère »).
|
||
74 — Voir la photo sur le site https://cdli.ucla.edu/P254721
|
||
75 — Christine Proust, Problèmes de partage : des cadastres
|
||
à l’arithmétique, CultureMath (ENS Ulm), 2012 : http://culturemath.ens.fr/
|
||
76 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
|
||
Tournès, Éric Vandendriessche.
|
||
83 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
La résolution des équations linéaires et quadratiques est au cœur des mathématiques
|
||
qui furent écrites sur des tablettes d’argile en Mésopotamie (sud de l’Irak actuel) et
|
||
en Elam (ouest de l’Iran actuel) à l’époque paléo-babylonienne (début du deuxième
|
||
millénaire avant l’ère commune). Il est du reste possible que la tradition mathématique
|
||
créée à l’époque paléo-babylonienne se soit perpétuée dans la région de Bagdad jusqu’à
|
||
l’époque d’Al-Khwârizmî, et que ce dernier en ait été un lointain héritier.
|
||
|
||
Résoudre des équations linéaires et quadratiques était un des buts de la formation
|
||
mathématique avancée dans les écoles de scribes, notamment celles du sud de la
|
||
Mésopotamie, qui nous ont laissé des dizaines de tablettes d’argile contenant les
|
||
traces d’exercices de résolution de petits problèmes linéaires.
|
||
|
||
Voici ci-dessous la transcription d’une tablette d’écolier (figure 12). On y voit les traces
|
||
d’un algorithme consistant en une suite de multiplications et de divisions. Les facteurs
|
||
sont écrits dans la colonne de gauche, les produits et quotients dans la colonne de droite ;
|
||
ainsi le produit de 5 et 2 est 10 ; ce résultat multiplié par 3 est 30 ; ce résultat divisé par
|
||
10 est 377 ; ce résultat multiplié par 2 est 6. Le but de ce calcul est de déterminer le coût
|
||
du creusement d’un canal connaissant ses dimensions (5, 2 et 3), le volume extrait chaque
|
||
jour par chaque ouvrier (10) et le salaire journalier des ouvriers (2). On trouve le même
|
||
problème, avec des données légèrement différentes, dans d’autres tablettes, par exemple
|
||
YBC 4663 déjà citée dans la notice historique précédente.
|
||
|
||
La partie la plus célèbre des mathématiques
|
||
de Mésopotamie est celle qui porte sur la réso-
|
||
5 lution des équations quadratiques. L’historien
|
||
10 des mathématiques Jens Høyrup a montré
|
||
2 qu’en Mésopotamie, les méthodes de réso-
|
||
30 lution étaient basées sur des manipulations
|
||
3 géométriques telles que des découpages et
|
||
10 6
|
||
des recollements de rectangles. La tablette
|
||
3
|
||
conservée au British Museum sous le numéro
|
||
2
|
||
BM 13901 contient une collection de problèmes
|
||
6
|
||
quadratiques qui constituent un véritable
|
||
« manuel du second degré », pour reprendre
|
||
Figure 12. Transcription d’une tablette : un exercice l’expression du philosophe des mathématiques
|
||
d’écolier provenant de la ville d’Ur, en Mésopotamie Maurice Caveing. Les méthodes de résolution
|
||
du sud (numéro de publication UET 6, 233).
|
||
consistaient à se ramener à quelques pro-
|
||
blèmes de base, essentiellement par des procédés d’agrandissement/réduction des
|
||
longueurs, des surfaces ou des volumes, parfois selon une seule direction linéaire,
|
||
ou même planaire pour les problèmes en trois dimensions, ce qui revient en langage
|
||
moderne à un procédé de changement de variable. Un des problèmes de base qui
|
||
servait à la résolution de toute une classe de problèmes, est en substance le suivant :
|
||
trouver les dimensions d’un rectangle connaissant sa surface et son périmètre.
|
||
Ces problèmes de base et certaines de leurs versions sophistiquées ont circulé en
|
||
pays d’Islam et en Europe latine, inspirant de nouvelles méthodes algébriques et de
|
||
nouveaux développements tels que la théorie des polynômes.
|
||
|
||
77 — À côté du 10, il est inscrit un 6 parce que dans la culture scribale
|
||
savante, diviser par 10, c’est multiplier par 6. En effet, l’inverse de 10 est
|
||
6/60, c’est-à-dire 0;6 en système sexagésimal positionnel, qui s’écrit 6
|
||
dans la notation flottante des scribes.
|
||
84 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
|
||
Point sur la recherche 78
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Depuis plusieurs dizaines d’années, les recherches en didactique de l’algèbre sont
|
||
nombreuses et ont conduit à délimiter les types de problèmes et les objets qui sont
|
||
propres à l’algèbre élémentaire à enseigner au collège, ses spécificités du point de
|
||
vue de l’activité mathématique qu’elle engendre, et ses relations avec l’arithmétique.
|
||
|
||
Gérard Vergnaud, Anibal Cortès et Pierre Favre-Artigue 79 ont montré que le
|
||
passage entre arithmétique et algèbre dans le traitement des problèmes était
|
||
difficile pour les élèves : ils spécifient une double rupture d’ordre épistémologique,
|
||
l’importance de travailler dans la durée et de proposer des problèmes qui motivent
|
||
ce passage. Si Carolyn Kieran80 note des continuités entre l’arithmétique et l’algèbre
|
||
(portant notamment sur les problèmes et les symboles employés), elle pointe aussi
|
||
des ruptures potentielles tant du point de vue de la construction de la rationalité
|
||
mathématique attendue pour résoudre différents types de problèmes, que du point
|
||
de vue de la fonction d’adaptabilité dans l’interprétation des notions (égalité, lettres,
|
||
expressions) selon les usages visés.
|
||
|
||
En effet, pour structurer l’enseignement de l’algèbre, au cours du cycle 4, on peut
|
||
distinguer deux dimensions, outil et objet81 , non indépendantes et partiellement
|
||
hiérarchisées, qui vont engendrer différents types d’activités mathématiques82 qui sont
|
||
aussi précisés dans les programmes actuels et les documents d’accompagnement.
|
||
|
||
Dans sa dimension outil, l’algèbre est mobilisée :
|
||
— comme outil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique notamment
|
||
pour résoudre des problèmes dits « de pattern » ou des programmes de calcul83,
|
||
la lettre ayant le statut de variable ;
|
||
|
||
|
||
|
||
78 — Contributions de Brigitte Grugeon-Allys, Julia Pilet et Sylvie Coppé.
|
||
79 — Gérard Vergnaud, Anibal Cortès, Pierre Favre-Artigue,
|
||
« Introduction de l’algèbre auprès de débutants faibles. Problèmes
|
||
épistémologiques et didactiques », in Gérard Vergnaud, Guy Brousseau,
|
||
Michel Hulin (dir.), Didactique et acquisition des connaissances
|
||
scientifiques, Actes du colloque de Sèvres, p. 259-288, Éditions
|
||
La pensée sauvage, Grenoble, 1987.
|
||
80 — Carolyn Kieran, “Learning and Teaching Algebra at the middle
|
||
School through College Levels: Building Meaning for Symbols
|
||
and their Manipulation”, in Frank K. Lester (ed.), Second Handbook
|
||
of Research on Mathematics Teaching and Learning, p. 707‑762,
|
||
Greenwich, CT: Information Age Publishing, 2007.
|
||
81 — Régine Douady, « Jeux de cadres et dialectique outil/objet »,
|
||
Recherches en didactique des mathématiques, 7(2), p. 5-32, 1986.
|
||
82 — Brigitte Grugeon-Allys, Julia Pilet, Françoise Chenevotot-
|
||
Quentin, Élisabeth Delozanne, « Diagnostic et parcours différenciés
|
||
d’enseignement en algèbre élémentaire », in Lalina Coulange,
|
||
Jean‑Philippe Drouhard, Jean-Luc Dorier, Aline Robert (dir.),
|
||
Enseignement de l’algèbre élémentaire : Bilan et perspectives,
|
||
p. 137‑162, Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 2012.
|
||
83 — Christophe Alves, Sylvie Coppé, Vincent Duval, Alexandra
|
||
Goislard, Hélène Kuhman, Sylvie Martin Dametto, Sophie Roubin,
|
||
Utilisation des programmes de calcul pour introduire l’algèbre
|
||
au collège, Repères Irem, 92, p. 9-30, 2013.
|
||
85 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
— comme outil de résolution via la modélisation pour résoudre sous forme
|
||
d’équations des problèmes « arithmétiques » formulés en langue naturelle,
|
||
la lettre ayant le statut d’inconnue et, au-delà, pour résoudre sous forme de
|
||
relations fonctionnelles entre données et variables des problèmes intra ou extra
|
||
mathématiques ;
|
||
— comme outil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel84.
|
||
|
||
Dans sa dimension objet, l’algèbre est un ensemble structuré d’objets – les expressions
|
||
algébriques, les formules, les équations, les inéquations – avec des propriétés
|
||
spécifiques, des représentations sémiotiques associées à différents registres85 et
|
||
des modes de traitement. Le registre des écritures algébriques est en articulation
|
||
avec d’autres registres sémiotiques (registre des écritures numériques, registre des
|
||
représentations graphiques, registre des figures géométriques, registre de la langue
|
||
naturelle). Le traitement formel des objets met en jeu leur double aspect syntaxique
|
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et sémantique, ce qui donne une juste place aux aspects technique et théorique du
|
||
traitement algébrique. Sur ce dernier aspect, certaines recherches ont montré qu’il
|
||
était important de redonner une place centrale à la distributivité de la multiplication
|
||
sur l’addition comme élément de justification des calculs86 alors qu’elle est souvent
|
||
remplacée par des arguments de bon sens qui ne permettent pas un contrôle efficace
|
||
des calculs fondé sur l’équivalence des expressions et favorisent des erreurs
|
||
classiques et résistantes comme celle, bien connue, de concaténation « 3x + 5 = 8x »87.
|
||
Enfin, dans la détermination et le traitement des expressions algébriques, il est
|
||
nécessaire de distinguer l’aspect procédural (2x + 1 peut être vu comme un programme
|
||
de calcul qui multiplie par 2 et ensuite ajoute 1), mais également l’aspect structural
|
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(comme l’expression algébrique qui désigne un nombre impair, somme du double d’un
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entier et de 1)88.
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84 — Yves Chevallard, « Le passage de l’arithmétique à l’algèbre
|
||
dans l’enseignement des mathématiques au collège, première partie.
|
||
L’évolution de la transposition didactique », Petit x, 5, p. 51‑94, 1985 ;
|
||
« Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement
|
||
des mathématiques au collège, deuxième partie. Perspectives
|
||
curriculaires : la notion de modélisation », Petit x, 19, p. 43‑75, 1989 ;
|
||
« Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement
|
||
des mathématiques au collège, troisième partie. Voies d’attaque
|
||
et problèmes didactiques », Petit x, 23, p. 5-38, 1990.
|
||
85 — Raymond Duval, « Quel cognitif retenir en didactique
|
||
des mathématiques ? », Recherches en didactique des mathématiques, vol
|
||
16(3), p. 349-382, Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 1995.
|
||
86 — Teresa Assude, Sylvie Coppé, André Pressiat, « Tendances
|
||
de l’enseignement de l’algèbre élémentaire au collège : atomisation
|
||
et réduction », in Lalina Coulange, Jean-Philippe Drouhard, Jean‑Luc Dorier,
|
||
Aline Robert (dir.), « Enseignement de l’algèbre élémentaire : bilan
|
||
et perspectives », p. 41-62, Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 2012.
|
||
87 — Lesley Booth, « Erreurs et incompréhensions en algèbre
|
||
élémentaire », Petit x, n° 5, p. 5-17, 1985 ; Dina Tirosh, Ruhama Even,
|
||
Naomi Robinson, “Simplifying Algebraic Expressions: Teacher
|
||
Awareness and Teaching Approaches”, Educational Studies
|
||
in Mathematics, 35, p. 51‐64, 1998.
|
||
88 — Anna Sfard, “On the Dual Nature of Mathematics Conceptions:
|
||
Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the same
|
||
Coin”, Educational Studies in Mathematics, 22, p. 1‐36, 1991.
|
||
86 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
Les recherches actuelles89 tendent à proposer d’entrer dans la pensée algébrique
|
||
plus tôt dans la scolarité (sans introduire les lettres) notamment avec des activités
|
||
de généralisation ou un travail sur l’équivalence des expressions numériques et
|
||
l’égalité vue comme une relation d’équivalence (courant de l’Early Algebra) 90.
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Problème 1. Un pattern de jetons 91
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Énoncé
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Avec des jetons identiques, je construis
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des motifs 92 selon le modèle évolutif
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ci-contre.
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a. En expliquant votre règle, calculer le
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nombre de jetons des motifs aux rangs
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4, 5 puis 10.
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b. Calculer le nombre de jetons du motif
|
||
au rang 100.
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||
c. Trouver un moyen de calculer le
|
||
nombre de jetons du motif à n’importe
|
||
quel rang.
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||
89 — Un ouvrage de référence reste la référence, N.D.L.R. Romulo Lins,
|
||
Teresa Rojano, Alan Bell, Rosamund Sutherland, Approaches to Algebra,
|
||
in Rosamund Sutherland, Teresa Rojano, Alan Bell, Romulo Lins (eds),
|
||
Perspectives on School Algebra. Mathematics Education Library, vol 22,
|
||
Springer, Dordrecht, 2001. Le développement des ordinateurs ne fut pas
|
||
sans impact sur le développement de la pensée algébrique. Un nombre
|
||
important de recherches sur les Computer Algebra Systems (CAS) ont été
|
||
faites tant aux États-Unis (James T. Fey) qu’en Europe (Michèle Artigue
|
||
en France). Ces travaux ont eu un grand impact à la fois sur ce que devait
|
||
être l’enseignement de l’algèbre dans le secondaire que sa didactique.
|
||
90 — Luis Radford, “Algebraic Thinking from a Cultural Semiotic
|
||
Perspective”, Research in Mathematics Education, 12, p. 1‐19, 2010;
|
||
“The Progressive Development of Early Embodied Algebraic Thinking”,
|
||
Mathematics Education Research Group of Australasia, 26, p. 257‐277,
|
||
2014; Carolyn Kieran, Teaching and Learning Algebraic Thinking with 5-
|
||
to 12- Year-Olds: The Global Evolution of an Emerging Field of Research
|
||
and Practice, Springer, New York, 2018. Notons aussi les travaux
|
||
importants de David Carraher ou James Kaput (USA), Romulo Lins
|
||
(Brazil), Toshiakira Fujii (Japan) ou Lesley Lee (Canada), N.D.L.R.
|
||
91 — Voir les définitions du chapitre 4. Pattern : anglicisme signifiant
|
||
« motif » (structure), « modèle à reproduire ». C’est une suite d’objets dont
|
||
tous les éléments sont reliés les uns aux autres par une règle spécifique.
|
||
92 — Motif de base (« core » en anglais) : chaîne d’éléments la plus courte
|
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qui se répète dans le pattern répétitif ou qui évolue dans le pattern évolutif.
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87 — Problèmes algébriques
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Mots-clés
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Langage naturel, pattern, pensée algébrique, généralisation, structure.
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Pourquoi ce problème ?
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Dans ce problème, les élèves sont amenés à chercher, identifier une structure (ici
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l’écriture générale d’un nombre impair) en repérant une régularité et en argumentant.
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Ce genre de problème de généralisation introduit naturellement l’algèbre et invite
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au recours à la lettre.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Ce genre de problèmes peut être proposé dès le cycle 3. Il peut se gérer sans le
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||
recours à la lettre, en exprimant la régularité en langage naturel : « on ajoute deux
|
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jetons à chaque rang ».
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L’expression sous forme littérale de nombre de jetons au rang n conduit à l’expression
|
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2n – 1 (et de manière équivalente 2n + 1) pour un nombre impair.
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Stratégies d’enseignement
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Tous les élèves ne parviendront pas à l’écriture littérale, cependant, ils sauront
|
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verbaliser une règle en langage naturel (« on ajoute 2 à chaque étape »). Les élèves
|
||
devront argumenter pour convaincre leurs camarades de la cohérence de la règle
|
||
qu’ils proposent en lien avec les premières étapes du pattern.
|
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||
Les premiers rangs peuvent être dessinés ou construits avec du matériel, les élèves
|
||
peuvent alors dénombrer les jetons. Le choix d’un rang éloigné pour lequel le matériel
|
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ne serait pas suffisant pousse à la généralisation.
|
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|
||
L’utilisation de jetons de couleurs
|
||
différentes permet de différencier
|
||
l’invariant (le motif de base, en rouge
|
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sur la figure ci-contre) et les variables
|
||
(les ajouts) et de mettre en valeur les
|
||
aspects structuraux et procéduraux.
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Figure 13. Aspect structural.
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88 — Problèmes algébriques
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On pourra aussi poser les questions sui-
|
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vantes : « Existe-t-il un rang où le motif
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contient 258 jetons ? Et un rang où le motif
|
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contient 321 jetons ? » Cette question fait
|
||
le lien entre généralisation et équations.
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Figure 14. Aspect procédural.
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TRANSFERT
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La réorganisation des jetons fait apparaître la suite des cardinaux des motifs
|
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successifs « 1 ; 3 ; 5 ; … ». Les nombres introduits correspondent à la liste des nombres
|
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impairs (positifs). La structure des motifs amène à la construction de l’expression
|
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algébrique.
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Problème 2. Un calcul surprenant
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Énoncé
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Sans calculatrice
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a. Calculer 1 x 3 – 22.
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b. Calculer 2 x 4 – 32.
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c. Calculer 3 x 5 – 42.
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||
d. Conjecturer le résultat de 317 x 319 – 3182.
|
||
e. Proposer une expression sur ce même modèle mettant en jeu trois autres nombres
|
||
entiers.
|
||
f. QCM : Le professeur généralise ces calculs en proposant l’expression
|
||
(n – 1) (n + 1) – n2 mettant en jeu les trois nombres (n – 1), (n + 1) et n. Que représente n ?
|
||
— le plus petit des nombres ?
|
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— le nombre du milieu ?
|
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— le plus grand des nombres ?
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||
89 — Problèmes algébriques
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Mots-clés
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Développement, généralisation, traduction de propriétés générales, identifier la
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structure d’une expression littérale, reconnaître des invariants, identités remar-
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quables, produire une expression littérale.
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème, qui prend appui sur le champ numérique, vise à préparer les élèves
|
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aux exercices de démonstration d’une propriété générale qui seront proposés dans
|
||
la suite de la scolarité.
|
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|
||
Il s’agit d’entraîner les élèves à identifier des structures, reconnaître des relations
|
||
entre les nombres, des invariants sur des expressions numériques et les nommer
|
||
avant de chercher à généraliser. Le travail qui porte sur la structure (régularité)
|
||
d’une expression est préparatoire au calcul littéral et à la compétence « modéliser ».
|
||
L’objectif de formation poursuivi ici se rapproche de celui développé dans le c
|
||
hapitre 4
|
||
sur les patterns.
|
||
|
||
Ce problème permet également d’initier les élèves à la production d’expressions
|
||
littérales en appréhendant le sens de ces expressions. Il est aussi une initiation à
|
||
énoncer des conjectures.
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||
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Ressorts de continuité ou éléments
|
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de progressivité
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Ce type de problème peut être proposé assez tôt dans le cycle 4 (en 5e) puisqu’il
|
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mobilise essentiellement des expressions numériques. Il vient en anticipation du cha-
|
||
pitre relatif au calcul littéral. En prolongement, dès la 4e, la démonstration du résultat
|
||
sera proposée. En 3e, il peut donner lieu à recourir aux identités remarquables.
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Stratégies d’enseignement
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La verbalisation est à encourager avant le passage à l’utilisation de la lettre.
|
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Dans certains cas, comme dans ce problème, la difficulté à verbaliser permet de
|
||
motiver le recours à la lettre. Il est par exemple plus facile de dire n(n + 2) que de
|
||
dire « le produit d’un entier par l’entier consécutif de son consécutif ».
|
||
|
||
Laisser à l’élève l’initiative du choix de la variable conduit à différentes expressions
|
||
littérales qui seront l’objet des prolongements.
|
||
90 — Problèmes algébriques
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||
DES RITUELS POUR ALLER JUSQU’À LA LETTRE
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Les élèves doivent prendre l’habitude d’analyser la nature d’un calcul avant de
|
||
l’effectuer. Pour cela, il convient de les entraîner très régulièrement, par des ques-
|
||
tions flash tout au long du cycle, à cette reconnaissance de relations entre les
|
||
nombres, de structures communes à plusieurs calculs93.
|
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QUESTION 1
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a. Comparer le résultat de 1 + 2 + 3 avec celui de 3 x 4.
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2
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b. Comparer le résultat de 1 + 2 + 3 + 4 avec celui de 4 x 5.
|
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2
|
||
c. Comparer le résultat de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 avec celui de 5 x 6.
|
||
2
|
||
d. Conjecturer au moins trois autres égalités du même modèle.
|
||
|
||
QUESTION 2
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a. Comparer le résultat de 1 + 2 + 22 avec celui de 23 – 1.
|
||
b. Comparer le résultat de 1 + 2 + 22 + 23 avec celui de 24 – 1.
|
||
c. Comparer le résultat de 1 + 2 + 22 + 23 + 24 avec celui de 25 – 1.
|
||
d. Conjecturer au moins trois autres égalités du même modèle.
|
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|
||
QUESTION 3
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a. Trouver l’intrus :
|
||
8x9 24 x 32 11 x 12 63 x 64 58 x 59
|
||
b. Proposer un autre exemple de calcul relevant de la même famille.
|
||
c. Observer l’image suivante. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B2
|
||
pour obtenir par recopie vers le bas le second facteur ?
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93 — Voir https://pisa2022-maths.oecd.org/fr/, et les six concepts clés
|
||
qui structurent et soutiennent le raisonnement.
|
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91 — Problèmes algébriques
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Problème 3. Une course
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cycliste
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Énoncé
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Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime totale de 320 €
|
||
sera répartie entre les trois premiers coureurs. Le premier touchera la prime or, le
|
||
second, la prime argent et le troisième la prime bronze. La prime or s’élève à 70 € de
|
||
plus que la prime argent et la prime bronze s’élève à 80 € de moins que la prime argent.
|
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Déterminer la prime de chacun des trois premiers coureurs94.
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Mots-clés
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Rechercher la « brique unité », décomposer un problème en sous-problèmes, équa-
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tions du type ax + b = c, modéliser, calculer.
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Pourquoi ce problème ?
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On propose ici d’illustrer comment la modélisation (ici le modèle en barres) permet
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d’initier les élèves à la structure algébrique et de favoriser une représentation
|
||
mentale du sens du signe égal grâce aux égalités de longueur des barres.
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|
||
Le problème permet de traduire des relations entre deux grandeurs et de travailler
|
||
le passage du langage naturel à des calculs (congruence entre grandeur prix et
|
||
grandeur longueur). Il s’agira de ne pas sous-estimer la difficulté que cela peut
|
||
représenter pour certains élèves.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Dès la 6e (voire CM2), ce problème peut être proposé même si plusieurs inconnues
|
||
sont en jeu, si on s’engage dans une démarche de modélisation.
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Au cycle 4, il est le support pour introduire la lettre x pour la prime argent ou encore
|
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pour la prime bronze.
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94 — D’après un brevet blanc, collège Django Reinhardt, Toulon.
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92 — Problèmes algébriques
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Stratégies d’enseignement
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Le recours au modèle en barres suppose de rechercher une « brique unité ». Selon
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le choix de celle-ci (l’inconnue), les équations obtenues seront différentes. Il est
|
||
intéressant de montrer aux élèves qu’on obtient la même solution au problème, quel
|
||
que soit le choix de l’inconnue.
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« Brique unité » : prime argent « Brique unité » : prime bronze
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Premier argent 70 Premier bronze 80 70
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Deuxième argent Deuxième bronze 80
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Troisième bronze 80 Troisième bronze
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argent argent argent 70 320
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320 80 bronze bronze bronze 230
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(en ajoutant une brique de 80)
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Au cycle 4, le passage du registre de représentation graphique (modèle
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||
en barres) au registre des équations amène aux équations suivantes :
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Si x représente le prix argent : Si x représente le prix bronze :
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(x + 70) + x + (x – 80) = 320 x + (x + 80) + (x + 150) = 320
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x + x + x + 70 = 400 3x + 230 = 320
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Problème 4. Dessine-moi
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une expression algébrique
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Énoncé
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a. Représenter géométriquement l’expression a2 + 2(a + 1) où a désigne un nombre
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||
positif.
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b. Montrer que, quelle que soit la valeur du nombre a positif, les quatre expressions
|
||
suivantes sont égales :
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a2 + 2(a + 1) (a + 2)2 – 2(a + 1) a(a + 2) + 2 a2 + 2a + 2
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93 — Problèmes algébriques
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Mots-clés
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Développement, généralisation, identités remarquables, transformer une expression
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littérale, aire de rectangles.
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Pourquoi ce problème ?
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||
Ce problème convoque l’aspect structural d’une expression. Le choix est de travailler
|
||
le calcul littéral à partir de représentations géométriques. Cette approche favorise la
|
||
construction ou le réinvestissement des représentations mentales de la distributivité
|
||
et du produit. L’approche géométrique proposée ici présente l’avantage de réduire
|
||
les erreurs types a(a + 2) = a2 + 2.
|
||
|
||
Ce genre de problèmes, que l’on retrouve fréquemment dans les évaluations inter-
|
||
nationales, permet également de travailler le sens d’une identité.
|
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||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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||
Dès la 5e, ce problème permet aux élèves de se créer des représentations mentales
|
||
des opérations. La fréquentation régulière de ce type de représentation, éven
|
||
tuellement en questions flash, contribue à la mémorisation de faits algébriques
|
||
(développements, factorisations), dans l’esprit de ce qui est fait à l’école dans le
|
||
champ numérique (nombres rectangles).
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||
|
||
À partir de la 4e, il peut se traiter par calcul et donner l’occasion de mobiliser la dis-
|
||
tributivité (et les identités remarquables).
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Stratégies d’enseignement
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Pour la question a., en fonction du niveau de classe ou dans le cadre d’une diffé
|
||
renciation, il est possible de proposer une figure à compléter, comme ci-dessous.
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a
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a
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Figure 15. Figure donnée. Figure 16. Exemple de figure attendue.
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||
94 — Problèmes algébriques
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||
Pour la question b., le sens de chaque expression littérale se construit à l’aide de
|
||
représentations d’aires de rectangles (nombres rectangles, représentation de la
|
||
multiplication). Il est intéressant de confier aux élèves la responsabilité de produire
|
||
en autonomie certaines représentations.
|
||
|
||
Des considérations géométriques permettent ensuite de prouver l’égalité entre
|
||
toutes les expressions. Certains élèves auront du mal à se détacher de l’idée que
|
||
les représentations sont réalisées pour une valeur particulière de a. Il importe donc
|
||
d’expliciter que la valeur de a est arbitraire et que le raisonnement est valable quelle
|
||
que soit la valeur positive de a (sens de l’identité).
|
||
|
||
Ici, encore, le recours au matériel de manipulation reste pertinent, dans le cadre
|
||
d’une différenciation ou pour la construction de représentations mentales.
|
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||
a2 + 2(a + 1) (a + 2)2 – 2(a + 1)
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1 1
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1 1
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a(a + 2) + 2 a2 + 2a + 2
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Problème 5. La devinette
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Énoncé
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Léa et Ali ont choisi un nombre (entier positif). Léa le multiplie par 5 et ajoute 35.
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Ali le multiplie par 2 et ajoute 146. Ils trouvent le même nombre à la fin.
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Quel nombre ont-ils choisi ?
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95 — Problèmes algébriques
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Mots-clés
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Équations du premier degré, modéliser, calculer.
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème permet de rentrer dans l’algèbre en proposant une situation qui ne
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conduit pas à une équation du premier degré du type ax + b = d pour laquelle il est
|
||
possible de remonter les calculs par des opérations réciproques en utilisant l’arith-
|
||
métique. Les problèmes qui mènent à des équations du type ax + b = cx + d montrent
|
||
la nécessité d’avoir recours aux propriétés des égalités.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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||
Faire vivre en parallèle la modélisation par les grandeurs et l’écriture algébrique qui
|
||
lui correspond (dans les deux sens) permet une meilleure appréhension du calcul
|
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algébrique. Ici, le parallèle entre les manipulations sur le modèle en barres et leur
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||
traduction algébrique donne du sens aux propriétés mobilisées à chaque étape de
|
||
la résolution.
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x x x x x 35 5x + 35 = 2x + 146
|
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x x 146 5x + 35 – 2x = 2x + 146 – 2x
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x x x 35 3x + 35 = 111 + 35
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111 35 3x + 35 – 35 = 111 + 35 – 35
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x x x 3x = 111
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111 x = 37
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96 — Problèmes algébriques
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DES RITUELS POUR ALLER JUSQU’À LA DÉMONSTRATION
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QUESTION 1
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Je pense à un nombre, je lui ajoute 3. Je multiplie le tout par 2, puis je soustrais
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2 fois le nombre de départ.
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a. Faire quelques essais. Que constate-t-on ?
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b. Est-ce vrai pour n’importe quel nombre ? Si oui, le prouver.
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QUESTION 2 (mise en équation)
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a. Anton dit que le nombre 45 est la somme de 3 entiers consécutifs. Trouver ces
|
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nombres.
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b. Jean dit que 61 est aussi la somme de 3 entiers consécutifs. Trouver ces nombres.
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QUESTION 3 (équivalence de programmes de calcul)
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Voici 3 programmes de calcul.
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— Je pense à un nombre, j’ajoute 6. Je multiplie le tout par 5.
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— Je pense à un nombre, je le multiplie par 5. J’ajoute 30.
|
||
— Je pense à un nombre, je le multiplie par 5. J’ajoute 6.
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||
a. Sans faire d’essais, indiquer si certains de ces trois programmes de calcul
|
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donnent en sortie un résultat identique.
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b. Faire quelques essais pour vérifier.
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c. Prouver sa conjecture.
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Problème 6. Ranger les côtés
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Énoncé B
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2x + 5
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C
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x
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Le périmètre de ce quadrilatère est de
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117 cm.
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Ranger par ordre croissant les longueurs A
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de ses côtés.
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x + 15
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4x + 7
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Mots-clés
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Ordre de grandeur, décimaux, résolution D
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d’équations, domaine de validité, raisonner,
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modéliser, calculer.
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97 — Problèmes algébriques
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Pourquoi ce problème ?
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Les élèves français ne sont pas à l’aise avec ce type de problèmes dans les éva
|
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luations internationales.
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Le support visuel conduit à un hiatus didactique entre représenter et modéliser :
|
||
la figure n’est certainement pas à l’échelle et même incorrecte, ce qui peut troubler
|
||
l’élève qui voudrait reporter/mesurer « x » dans « x + 15 » ou « 2x + 5 » et déterminer
|
||
la valeur de « x ».
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||
La notion de périmètre est ici réinvestie et pourrait conduire à déplier le bord pour
|
||
le ramener à une modélisation en barres95 :
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117
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x x x 5 x 15 x x x x 7
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117
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x x x x x x x x 27
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||
Ce problème offre la possibilité de raisonner sur les longueurs (les mesures des
|
||
longueurs) sans calculer au préalable la valeur de x. En effet, le travail de l’élève
|
||
peut être engagé facilement – suite à la première observation que x représente un
|
||
nombre positif ; la longueur [AB] est donc la plus petite.
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Ressorts de continuité ou éléments
|
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de progressivité
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Ce genre d’énoncé peut être proposé dès la 5e et même en 6e (sur des triangles) en
|
||
adaptant les variables, par exemple : « La longueur de [BC] est le double de la longueur
|
||
de [AB], celle de [CA] vaut la longueur de [AB] augmentée de 5 cm. »
|
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Stratégies d’enseignement
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On peut faire vivre ce genre de problèmes tout le long du cycle 4 en jouant sur le
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nombre de côtés et la complexité des expressions algébriques utilisées.
|
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||
En fonction des choix, on pourra montrer qu’il est moins coûteux, dans certains cas,
|
||
de recourir à l’algèbre.
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95 — L’utilisation de réglettes © Cuisenaire est appropriée
|
||
pour montrer par la manipulation que l’on obtient l’expression
|
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algébrique du périmètre : 8x + 27.
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98 — Problèmes algébriques
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Notions et
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Stratégies Pertinence et commentaires
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outils mobilisés
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Calculs Démarche expérimentale qui permet
|
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numériques de conjecturer le domaine de validité de x.
|
||
On peut mettre en évidence, par exemple,
|
||
Procédure
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Recours que x doit être supérieur à 10.
|
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essais/
|
||
au tableur Le recours au tableur conduit à un travail
|
||
ajustements
|
||
sur l’aspect procédural des expressions
|
||
Comparaison algébriques. Il permet d’affiner
|
||
de nombres l’encadrement de la valeur de x.
|
||
Mise
|
||
en équation
|
||
et résolution Le recours à cette stratégie conduit
|
||
d’une équation à un calcul algébrique qui nécessite
|
||
Le calcul littéral du type une bonne compréhension de la notion
|
||
(expression ax + b = c de périmètre.
|
||
algébrique Point de vigilance : l’obtention de la valeur
|
||
du périmètre) de x n’est qu’une étape dans la résolution
|
||
Substitution
|
||
du problème, ce qui peut représenter
|
||
un obstacle pour certains élèves.
|
||
Comparaison
|
||
de nombres
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||
On travaille ici l’aspect structural de chaque
|
||
Comparaisons expression et la nature du nombre x.
|
||
raisonnées
|
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Certaines comparaisons sont aisées :
|
||
Raisonnement x < x + 15
|
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à partir des Transitivité
|
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expressions de la relation La comparaison de 4x + 7 avec 2x + 5 conduit
|
||
algébriques d’ordre à mettre en avant la décomposition :
|
||
en jeu 4x + 7 = (2x + 5) + (2x + 2)
|
||
Calcul Les décompositions 2x + 5 = x + x + 5
|
||
numérique et x + 15 = x + 10 + 5 permettent de comparer
|
||
ces longueurs dès que x > 10.
|
||
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Variante96
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Dans l’énoncé qui suit, l’évocation du périmètre – grandeur géométrique travaillée
|
||
dans différentes situations – et son utilisation ramènent le problème à une expression
|
||
de degré 1 en fonction de la variable a.
|
||
|
||
2a a+2 a. Calculer le périmètre de ce dessin
|
||
1,5 (un poisson) pour les valeurs de a sui-
|
||
vantes, l’unité choisie étant le centimètre.
|
||
a 3
|
||
1 1
|
||
a+1 a = 2 a = 3 a = 2 a = 10 a = 8 a = 10
|
||
1,5
|
||
b. Trouver une méthode qui permet d’aller
|
||
le plus vite possible pour faire tous ces
|
||
2a 3a
|
||
calculs.
|
||
|
||
96 — http://pegame.ens-lyon.fr/activite.php?rubrique=1&id_
|
||
theme=54&code_niveau=N07&id_activite=19 ; http://pegame.ens-lyon.fr/
|
||
99 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
|
||
Problème 7. Les nombres
|
||
manquants
|
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Énoncé +2
|
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x3
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||
Trouver les nombres qui manquent97 dans les bulles.
|
||
|
||
|
||
|
||
Mots-clés x7
|
||
– 9
|
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||
Équation, priorités opératoires, choix de l’inconnue,
|
||
égalité, développement.
|
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|
||
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||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
|
||
Même si l’énoncé est simple en apparence, il porte un implicite fort (il faut retrouver
|
||
le même nombre après un cycle complet). D’autre part, une procédure par essais/
|
||
ajustements s’avère peu efficace, car le nombre recherché est un décimal et il n’y a
|
||
pas de stratégie de réajustement claire pour les élèves.
|
||
|
||
Ce problème motive donc l’introduction de l’inconnue sous forme littérale, car le
|
||
suivi des opérations est trop complexe. En fonction du choix effectué pour la bulle
|
||
de départ, les priorités opératoires nécessitent le recours à plus ou moins de
|
||
parenthèses.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
97 — D’après Repère Irem (Guichard).
|
||
100 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
Il offre l’occasion de questionner le sens et la symétrie du signe égal et de conduire
|
||
du calcul littéral. Il permet de travailler l’aspect procédural98 d’une expression
|
||
puisqu’il s’agit de produire une expression qui traduit l’enchaînement des opérations.
|
||
|
||
Plusieurs choix sont possibles pour l’inconnue de départ, ce qui conduit à différentes
|
||
mises en équation, mais menant à la même solution ; ce point est important en réso-
|
||
lution de problèmes où des modélisations (ici des mises en équations) différentes
|
||
peuvent être menées, mais qui aboutissent en général aux mêmes conclusions99.
|
||
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
Ce problème peut être proposé en 4e. Il permet de réinvestir plusieurs notions :
|
||
la mise en équation, le respect des priorités opératoires, le développement, le calcul
|
||
avec des fractions, etc.
|
||
|
||
Le nombre de bulles est une variable didactique sur laquelle il est possible d’agir pour
|
||
proposer ce problème de la 5e à la 3e (certains d’entre eux n’auront pas de solution).
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
On peut commencer par faire exécuter l’algorithme par les élèves avec des nombres
|
||
bien choisis afin qu’ils comprennent la nature du problème. En effet, imaginer
|
||
qu’après avoir effectué les quatre opérations successives, on retrouve le nombre
|
||
du départ n’est pas naturel pour eux, puisque c’est un implicite du codage utilisé.
|
||
Cela permet de travailler le sens du signe égal et fait un pont avec l’algorithmique
|
||
et les programmes de calcul.
|
||
|
||
Substituer une lettre au nombre de départ est une démarche complexe en résolution
|
||
de problèmes et se construit dans la durée, et surtout par nécessité à travers des
|
||
problèmes idoines.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
98 — Une même expression peut être considérée de deux points de vue :
|
||
– soit elle exprime un programme de calcul : elle indique une suite
|
||
d’opérations qu’il faut effectuer afin d’obtenir le nombre que renvoie
|
||
le programme de calcul quand on donne des valeurs numériques
|
||
aux lettres qui y figurent ; on évoque alors le caractère « procédural »
|
||
de l’expression ;
|
||
– soit elle est considérée comme un objet dont on peut décrire la forme
|
||
et avec lequel on va pouvoir faire de nouveaux calculs (réduction,
|
||
factorisation, développement, substitution dans une autre
|
||
expression, etc.) ; on évoque alors le caractère « structural »
|
||
de l’expression.
|
||
99 — Pour les problèmes plus complexes, des modélisations différentes
|
||
peuvent aboutirent à des solutions différentes.
|
||
101 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
Le matériel mis à disposition des élèves constitue une variable didactique : on pourra,
|
||
par exemple, prévoir des reproductions du schéma de l’énoncé de manière à
|
||
permettre aux élèves d’écrire dans les bulles les résultats intermédiaires qu’ils
|
||
pourront réduire à chaque étape de manière à obtenir une équation plus simple qui
|
||
ne mobilise pas de parenthèses imbriquées.
|
||
|
||
En fonction des opérateurs proposés, on pourra jouer sur la nature des nombres :
|
||
en remplaçant la multiplication par 7 par une multiplication par 6, on obtient des
|
||
solutions rationnelles non décimales.
|
||
|
||
On pourra aussi imaginer des prolongements de ce problème en proposant de faire
|
||
deux fois (ou plus) le cycle avant de retrouver le même nombre de départ.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Didactique. Les variables
|
||
en algèbre
|
||
|
||
La notion de variable en algèbre est proche de la notion de variable déclarée en
|
||
programmation qui revient à réserver un « espace » dans la mémoire de l’ordinateur
|
||
en lui donnant un nom et en lui affectant des valeurs qui peuvent évoluer au cours
|
||
du programme. Le modèle en barres est un exemple concret permettant une
|
||
représentation mentale de ce concept, avec l’utilisation de briques qui, comme les
|
||
variables, peuvent porter une étiquette et contenir une donnée.
|
||
|
||
Les logiciels de géométrie dynamique sont des outils pour créer des représentations
|
||
mentales de la lettre qui dépassent le statut d’inconnue (par exemple, faire varier
|
||
une aire en fonction d’une longueur).
|
||
|
||
L’utilisation d’un tableur est une autre occasion de donner du sens à la notion de
|
||
variable parce que dans l’édition d’une formule, ce sont les adresses des cellules
|
||
qui sont prises en compte et non leurs contenus du moment.
|
||
|
||
Le travail de pré-algèbre, qui peut être mené grâce à l’utilisation de matériel adapté
|
||
(cubes emboîtables, réglettes © Cuisenaire) ou la modélisation en barres, assure
|
||
dès le primaire une rencontre précoce avec le concept de l’objet (l’unité, la lettre)
|
||
comme variable et comme inconnue. Cette démarche permet de développer la
|
||
pensée algébrique attendue à partir du cycle 4 où la notion de variable est travaillée
|
||
à travers les fonctions.
|
||
102 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
|
||
Didactique. Du matériel
|
||
de manipulation pour introduire
|
||
la lettre
|
||
|
||
L’introduction du matériel de manipulation (réglettes © Cuisenaire, cubes emboî-
|
||
tables, etc.) favorise la verbalisation entre élèves et conduit à l’introduction de la pré-
|
||
algèbre100 via la modélisation. Les allers-retours entre l’énoncé, l’usage du matériel
|
||
et le modèle permettent de vérifier la pertinence des stratégies mises en œuvre par
|
||
les élèves tout en développant leur autonomie.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Figures 17 et 18. Exemples de matériel de manipulation : cubes emboîtables et réglettes © Cuisenaire.
|
||
|
||
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||
|
||
L’introduction de la pré-algèbre permet de construire des représentations mentales
|
||
associées aux écritures algébriques et d’éviter les erreurs du type « x + 3 = 3x »
|
||
ou encore « x + x = x2 », les représentations, à l’aide du matériel, de x + 3 et de 3x
|
||
ou de x + x et x2 se distinguant nettement :
|
||
|
||
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|
||
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||
100 — Pré-algèbre : ce terme désigne une étape intermédiaire (ou une
|
||
écriture symbolique) entre l’arithmétique et l’algèbre (opérations
|
||
à trous, exemples génériques, « 3 stylos + 2 cahiers = 8,5 euros »).
|
||
104 — Problèmes algébriques
|
||
|
||
|
||
En résumé
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||
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||
Les problèmes de ce chapitre invitent à travailler la pré-
|
||
algèbre. Le modèle en barres est un outil efficace pour
|
||
appréhender la notion de variable, le sens du signe égal,
|
||
la technique opératoire et les propriétés des égalités.
|
||
Il permet de travailler sur des équations (ou des systèmes
|
||
d’équations) et de les résoudre sans les formaliser.
|
||
|
||
Pour faciliter la compréhension des expressions littérales,
|
||
les élèves sont entraînés à identifier des structures,
|
||
à repérer des invariants.
|
||
|
||
|
||
Les élèves travaillent également les changements
|
||
de registre, en appréhendant des expressions littérales
|
||
à l’aide des nombres rectangles, se construisant ainsi
|
||
des représentations mentales géométriques.
|
||
|
||
Un enjeu de formation essentiel est de mettre en avant
|
||
la force du calcul littéral pour la généralisation et pour
|
||
la modélisation d’un problème, justifiant ainsi l’introduction
|
||
de la lettre (variable ou inconnue).
|
||
IV
|
||
Patterns.
|
||
Des problèmes
|
||
pour travailler
|
||
les pensées
|
||
algorithmique
|
||
et algébrique
|
||
106 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
||
|
||
En France, les patterns sont surtout synonymes de jeux
|
||
de logique et ils sont peu présents dans les programmes,
|
||
bien qu’apparaissant à l’école primaire sous le vocable
|
||
« suites organisées ». La mise en œuvre des problèmes
|
||
de ce chapitre illustre la manière dont les patterns
|
||
développent les pensées algorithmique et algébrique.
|
||
La stratégie de résolution de problèmes, fondée sur
|
||
l’observation, le questionnement ou l’expérimentation,
|
||
consiste à chercher des invariants, des régularités,
|
||
des relations entre les motifs. Une fois la structure
|
||
du pattern comprise, il faut expliquer, décrire la règle
|
||
en langage naturel ou mathématique. Ces problèmes
|
||
favorisent le développement des compétences « chercher »,
|
||
« représenter » et « raisonner » autour de problèmes
|
||
atypiques, dans la continuité du cycle 3.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Entrée historique 101
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Dans les classes de cycle 1, les élèves organisent des suites d’objets en fonction
|
||
de critères102 . Au collège, on trouve quelques activités d’introduction de la lettre
|
||
en algèbre utilisant des patterns figuratifs, comme les situations du carré bordé
|
||
ou des triangles en allumettes pour faire produire des formules.
|
||
|
||
Les patterns sont pourtant classiques dans de nombreux curriculums étrangers
|
||
depuis que le National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), association d’en-
|
||
seignants de mathématiques en Amérique du Nord, a proposé, en 2000, d’intégrer
|
||
un nouveau domaine de contenu, Patterns, Functions and Algebra, valable de la
|
||
maternelle à la 12e année.
|
||
|
||
Plusieurs pays ont intégré dans leurs curriculums dès les premières années
|
||
de l’école primaire l’utilisation des patterns pour développer la pensée algébrique :
|
||
les États-Unis, les provinces anglophones du Canada, l’Australie, le Brésil, etc.
|
||
|
||
|
||
101 — Contribution de Sophie Roubin.
|
||
102 — Extrait des programmes de 2015 de l’école maternelle à propos
|
||
des formes, grandeurs et suites organisées : « dès la petite section, les
|
||
enfants sont invités à organiser des suites d’objets en fonction de critères
|
||
de formes et de couleurs ; les premiers algorithmes qui leur sont proposés
|
||
sont constitués d’alternances simples. Dans les années suivantes,
|
||
progressivement, ils sont amenés à reconnaître un rythme dans une suite
|
||
organisée et à continuer cette suite, à inventer des “rythmes” de plus en
|
||
plus compliqués, à compléter des manques dans une suite organisée ».
|
||
107 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
||
|
||
Depuis 2013, il existe un Observatoire international de la pensée algébrique103 qui
|
||
rassemble des chercheurs intéressés par son développement dès l’école primaire104 .
|
||
|
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|
||
|
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|
||
Algorithmes et motifs/
|
||
patterns dans des pratiques
|
||
ethnomathématiques 105
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
L’ethnomathématique désigne aujourd’hui un champ de recherche consacré à l’étude
|
||
des pratiques et des savoirs mathématiques impliqués dans diverses activités, menées
|
||
en dehors des institutions académiques ou scolaires, dans des sociétés non occiden-
|
||
tales notamment. Il s’agit donc d’élargir notre point de vue sur les mathématiques en
|
||
y incluant l’ensemble des activités pour lesquelles on peut mettre en évidence une
|
||
dimension mathématique. Dans ce cadre, certains ethnomathématiciens étudient les
|
||
aspects mathématiques d’activités techniques (ou artistiques) pratiquées dans des
|
||
sociétés autochtones où prédomine souvent l’oralité. À titre d’exemple, les pratiques
|
||
d’entrelacement de fils (vannerie, tressage de nattes ou de paniers, jeu de ficelle, par
|
||
exemple) ou de tracés de ligne continue contrainte par une grille composée de lignes
|
||
ou de points (sona des Chokwe de l’Angola, dessin sur le sable de Vanuatu dans le
|
||
Pacifique sud, kōlam du Tamil Nadu en Inde, par exemple) peuvent être appréhendées
|
||
comme de véritables activités à caractère algorithmique et géométrique.
|
||
|
||
Ces diverses activités impliquent la
|
||
mise en œuvre d’opérations spatiales,
|
||
organisées en séquences ordonnées
|
||
assimilables à des algorithmes.
|
||
Ces derniers sont dits « géométriques »
|
||
dans le sens où leur exécution a pour
|
||
finalité la réalisation d’une « figure »
|
||
© Éric Vandendriessche
|
||
composée de différents motifs de base.
|
||
|
||
|
||
103 — https://www.oipa.education/pour-en-savoir-voir-plus
|
||
104 — Hassane Squalli, Izabella Oliveira, Alain Bronner, Mirène Larguier,
|
||
Le Développement de la pensée algébrique à l’école primaire et au début
|
||
du secondaire. Recherches et perspectives curriculaires, Québec,
|
||
2020. Livres en ligne du Centre de recherche et d’intervention sur
|
||
la réussite scolaire (Crires) : https://lel.crires.ulaval.ca/sites/lel/files/
|
||
le_developpement_de_la_pensee_algebrique_a_lecole_primaire_
|
||
et_au_debut_du_secondaire.pdf ; Le Développement de la pensée
|
||
algébrique avant l’introduction du langage algébrique conventionnel,
|
||
vol. 1, sous la direction de Hassane Squalli et Alain Bronner. Volume 20,
|
||
numéro 3, 2017 : https://www.erudit.org/fr/revues/ncre/2017-v20-
|
||
n3-ncre04255/
|
||
105 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
|
||
Tournès, Éric Vandendriessche.
|
||
108 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
||
|
||
Ces algorithmes géométriques, sous-tendus
|
||
par quelques règles opératoires, ont été les
|
||
outils de travail qui ont permis aux praticiens
|
||
(dessinateurs, vanniers, tisserands, etc.)
|
||
de mener des investigations dans des
|
||
configurations spatiales parfois d’une grande
|
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complexité.
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© Éric Vandendriessche
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Ces investigations impliquent par ailleurs
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l’usage de certains concepts mathématiques : les « transformations » de procédures
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ou de figures finales, les « itérations » de séquences d’opérations ou de motifs, ainsi
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que les « symétries » de figures, sont des concepts omniprésents dans ces diverses
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pratiques (ethno)mathématiques.
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Exemples
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1. Dessin sur le sable dénommé nimbingge
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(une variété d’igname – voir l’image ci-contre)
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de l’île de Malekula (Vanuatu, Pacifique sud)
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analysé par la mathématicienne américaine
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Marcia Ascher (1935-2013) comme le résultat
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de l’itération d’un même motif106 .
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© Éric Vandendriessche
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a. b.
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c. d.
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© Alban Da Silva.
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106 — Marcia Ascher, Mathématiques d’ailleurs. Nombres, formes
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et jeux dans les sociétés traditionnelles, 1998, traduction de l’anglais
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(États-Unis) et postface de Karine Chemla et Serge Pahaut (traduit
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et publié avec le concours du Centre national des lettres), p. 281,
|
||
Le Seuil, Paris, 1998 (éd. orig. : Ethnomathematics, A Multicultural
|
||
View of Mathematical Ideas. Pacific Grove, California, Brooks
|
||
and Cole Publishing Compagny).
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||
109 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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2. La pratique communément appelée « jeu de ficelle » consiste à exécuter, avec les
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doigts, une succession de « gestes simples » assimilables à des « opérations
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élémentaires » (voir les images ci-dessous), engendrant l’obtention d’une figure à
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partir d’une boucle de fil. Tout jeu de ficelle peut ainsi être analysé comme une
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procédure (ou algorithme) composée d’une succession ordonnée d’opérations
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élémentaires.
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© Éric Vandendriessche
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Le concept de « transformation » est omniprésent dans la pratique du jeu de ficelle.
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Ci-dessous, transformation de la figure « salibu » (miroir) des îles Trobriand
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(Papouasie-Nouvelle-Guinée) en une figure à quatre « losanges » 107.
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© Éric Vandendriessche
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107 — https://www.ethnographiques.org/IMG/html/pw16-mwaya-
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tomdawaya.html
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110 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Point sur la recherche 108
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Traditionnellement, l’algèbre n’est pas enseignée avant le niveau secondaire (cycle 4
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en France). Cependant, dans les années 1990, l’idée de développer la pensée
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algébrique109 dès l’école primaire émerge et donne lieu au courant de recherche
|
||
étiqueté Early Algebra110 ou pré-algèbre. Cette perspective amène à définir la pensée
|
||
algébrique autrement que par le recours au symbolisme algébrique. La pensée
|
||
algébrique, selon Luis Radford111 , est caractérisée par :
|
||
— l’indéterminée, c’est-à-dire que le problème met en jeu des quantités ou nombres
|
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non connus ;
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||
— la dénotation, qui consiste à désigner cette indéterminée de différentes manières
|
||
possibles (langage naturel, geste, etc.) ;
|
||
— l’analyticité, qui suppose de pouvoir traiter les quantités indéterminées comme
|
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si elles étaient connues.
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||
Les activités de généralisation basées sur des patterns, qui visent à faire identifier
|
||
et exprimer des régularités, sont particulièrement adaptées au développement
|
||
de la pensée algébrique. Comme le précisent Joëlle Vlassis, Isabelle Demonty et
|
||
Hassane Squalli112 , « ces activités répondent aux critères d’une pensée algébrique
|
||
dans la mesure où leur objectif consiste à formuler un moyen général au départ
|
||
d’une indéterminée, en l’occurrence d’une variable. Ces activités invitent à exprimer
|
||
les généralités produites et leurs justifications dans un langage tout d’abord non
|
||
conventionnel et qui tend à devenir de plus en plus conventionnel au fil des nécessités
|
||
de l’activité » (p. 135). Cette expression de généralité permet d’anticiper, de prédire
|
||
ce qui se passe pour chaque élément, quel que soit son rang dans le pattern,
|
||
même éloigné et non atteignable directement. C’est précisément cette anticipation
|
||
qui différencie le mode de pensée algébrique du mode de pensée algorithmique.
|
||
Cette dernière, aussi appelée pensée informatique ou computationnelle, est définie
|
||
par Margarida Romero (2016) 113 comme « un ensemble de stratégies de pensée
|
||
cognitive et métacognitive liées à la modélisation de connaissances et de processus,
|
||
à l’abstraction, à l’algorithmique et à l’identification, la décomposition et l’organisation
|
||
de structures complexes et de suites logiques ». La première étape dans la résolution
|
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||
108 — Contribution de Jana Trgalova.
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||
109 — Volume 22, numéro 1, 2020, Le Développement de la pensée
|
||
algébrique avant l’introduction du langage algébrique conventionnel,
|
||
vol. 2, sous la direction de Hassane Squalli et Alain Bronner : https://
|
||
www.erudit.org/fr/revues/ncre/2020-v22-n1-ncre05349/
|
||
110 — Carolyn Kieran, JeongSuk Pang, Deborah Schifter, Swee Fong
|
||
Ng, Early Algebra. Research into its Nature, its Learning, its Teaching,
|
||
ICME‑13, Topical Surveys, Springer, 2016.
|
||
111 — Luis Radford, “The Progressive Development of Early Embodied
|
||
Algebraic Thinking”, Mathematics Education Research Journal, 26,
|
||
p. 257-277, 2014.
|
||
112 — Joëlle Vlassis , Isabelle Demonty, Hassane Squalli, « Développer
|
||
la pensée algébrique à travers une activité de généralisation basée sur
|
||
des motifs (patterns) figuratifs », Nouveaux Cahiers de la recherche en
|
||
éducation, 20(3), p. 131-155, 2017.
|
||
113 — https://margaridaromero.me/2016/05/05/la-pensee-
|
||
informatique/
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||
111 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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d’un problème basé sur un pattern consiste à identifier et à décrire la structure
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du pattern de manière à pouvoir le prolonger au-delà des éléments présents dans
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l’énoncé. Le mode de pensée algorithmique est ainsi mis en jeu.
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Mathématiques. Définition
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d’un pattern
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Le pattern est un anglicisme signifiant « motif », « règle de structure », « modèle à
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reproduire ». C’est une suite d’objets appelés éléments, reliés les uns aux autres
|
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par une règle spécifique. Il existe deux types de patterns utilisés en résolution de
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problèmes :
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— les patterns répétitifs (repeating patterns) ;
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— les patterns évolutifs (increasing/growing patterns) en passant d’un rang
|
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à un autre.
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Le motif de base (« core » en anglais) correspond à la chaîne d’éléments la plus courte
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qui se répète dans le pattern répétitif ou qui évolue dans le pattern évolutif.
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Exemple
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Sur le pattern suivant, si on regarde les figures (triangles et carrés) sur les cubes,
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sans prendre en compte leur couleur, on reconnaît un pattern répétitif dont le motif
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de base est :
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Si, en revanche, on regarde la couleur des cubes, sans prendre en compte les figures,
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on reconnaît un pattern évolutif dont le motif de base est le même, mais qui évolue
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au niveau du nombre de cubes roses.
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Éléments du pattern
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Motif de base
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Figure 19. Pattern répétitif et pattern évolutif.
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112 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Focus | Une séquence
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d’enseignement autour
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d’un pattern
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Énoncé
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Avec des petits carrés tous identiques, on construit un pattern selon le modèle évo-
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lutif ci-dessous :
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Rang 1 Rang 2 Rang 3
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a. Dessiner l’élément du rang suivant et expliquer la règle.
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b. Déterminer le nombre de petits carrés des éléments du rang 5, du rang 10,
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du rang 17.
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c. Déterminer le nombre de petits carrés de l’élément du rang 100.
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d. Trouver un moyen de calculer rapidement le nombre de petits carrés d’un élément
|
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à n’importe quel rang.
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e. Existe-t-il un élément qui contient 532 petits carrés ? Un élément qui contient
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813 petits carrés ?
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Mots-clés
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Patterns figuratif et évolutif, chercher, exprimer une règle, relation de récurrence,
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généraliser, raisonner, pensée algébrique.
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113 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Pourquoi ce problème ?
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Les élèves sont amenés à étudier les liens constitutifs entre les étapes d’un pattern
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figuratif (c’est-à-dire représenté par une figure) pour d’une part comprendre
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et décrire la structure (ce qui contribue au développement de la pensée
|
||
algorithmique) et d’autre part arriver à prédire, à généraliser le motif à une étape
|
||
éloignée (ce qui développe le mode de pensée algébrique) ; le passage du langage
|
||
naturel au langage mathématique pour « décrire, comprendre et prévoir cette
|
||
évolution du phénomène » contribue ainsi à la compétence « modéliser ».
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Dans ce focus sont développées toutes les phases du questionnement usuel dans
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||
ce type de problèmes :
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— dessiner le rang suivant et chercher une relation, comprendre la construction
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du motif (seul ou en groupe) et la verbaliser (en classe) ;
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— faire calculer le nombre d’éléments en étape proche ;
|
||
— calculer le nombre d’éléments en étape lointaine (rang 100) ;
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||
— trouver un moyen de calculer les éléments constitutifs du pattern à n’importe
|
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quel rang.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Ce problème peut être donné dans toutes les classes du collège et dès le cycle 3.
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Selon l’âge des élèves et en tenant compte de leurs difficultés, l’attendu se
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formalise ; il s’agit de passer de l’expression en langage naturel, en début de cycle 3,
|
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à l’expression littérale en fin de cycle 4.
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Stratégies d’enseignement
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Lors des premières rencontres, il importe de définir et d’institutionnaliser le voca-
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bulaire : patterns répétitifs et patterns évolutifs.
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Les élèves sont encouragés à étudier la structure du pattern et à exprimer la règle
|
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qui permet de les construire. Il importe de ménager des temps de mise en commun
|
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où les élèves seront amenés à verbaliser leurs stratégies.
|
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ÉTAPE 1. DESSINER L’ÉLÉMENT SUIVANT ET EXPLIQUER LA RÈGLE
|
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DE CONSTRUCTION
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Cette première phase de questionnement engage l’élève dans l’action. Il s’agit pour
|
||
l’enseignant de vérifier que les élèves se sont bien représenté le problème et ont
|
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compris la construction du pattern. Une description de la construction de l’élément
|
||
de rang 4 est attendue, elle peut être donnée sous forme d’indices sur le dessin,
|
||
de phrases utilisant des termes spatiaux (en haut, en bas, etc.).
|
||
114 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Selon le niveau des élèves, l’enseignant choisira de simplement circuler – pour véri-
|
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fier la bonne compréhension du problème – ou de faire une rapide mise en commun,
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mais en restant vigilant, à ce stade, à ne pas exprimer ou faire exprimer la relation
|
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en fonction du rang (ici une relation de récurrence).
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Figure 20. Production d’élève.
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ÉTAPE 2. FAIRE CALCULER LE NOMBRE D’ÉLÉMENTS EN ÉTAPE PROCHE
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Les éléments étudiés sont de rangs proches, ce qui laisse la possibilité aux élèves
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de dessiner et de dénombrer sur le dessin. L’augmentation du rang a pour but
|
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d’amener les élèves vers une procédure de calcul. Si ce n’est pas le cas, les mises
|
||
en commun et les partages de procédures devraient encourager les élèves à faire
|
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des calculs.
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Imaginer reconnaître une situation de proportionnalité est une erreur fréquente à
|
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cette étape.
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Figure 21 et 22. Productions d’un élève. L’élève réussit l’étape 4 et l’étape 10,
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mais pour l’étape 17, il utilise la linéarité.
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Pour aider à la résolution, l’utilisation d’un tableau pour organiser les données
|
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permet de passer du registre figuratif au registre numérique. Avoir recours à
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cette représentation ordonnée est une stratégie de résolution à favoriser chez les
|
||
élèves, facilitant l’observation des régularités.
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Rang de l’élément 1 2 3 4 …
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Nombre de petits carrés 5 9 13 17
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+4 +4 +4
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115 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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ÉTAPE 3. CALCULER LE NOMBRE D’ÉLÉMENTS EN ÉTAPE LOINTAINE (RANG 100)
|
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L’augmentation du rang est telle qu’il n’est plus possible de dessiner. Le nombre 100
|
||
est également choisi en lien avec le nombre 10 pour invalider l’hypothèse de
|
||
proportionnalité ; c’est souvent à cette étape que les élèves sont tentés par une
|
||
procédure linéaire, comme l’élève ci-dessous qui n’avait pourtant pas utilisé la
|
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proportionnalité jusqu’alors.
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Figure 23. Production d’un élève qui utilise une procédure linéaire.
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L’utilisation du tableur est une stratégie de résolution efficace dans les problèmes
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utilisant les patterns. Manipulé souvent par l’enseignant au cycle 3 et début de
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cycle 4 (pour accompagner la découverte de son fonctionnement avec lignes,
|
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colonnes, cellules et formules simples), il est attendu en cycle 4 une aisance
|
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suffisante pour motiver les élèves dans la recherche d’une formule.
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En étirant la formule, il est possible de trouver le nombre de petits carrés au rang
|
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souhaité, sans avoir recours à une expression littérale ou l’utilisation du code
|
||
(Scratch par exemple).
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Pour des rangs plus éloignés, une formule pourra être insérée dans une autre
|
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colonne pour permettre la comparaison avec les nombres obtenus dans la colonne B.
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ÉTAPE 4. TROUVER UN MOYEN DE CALCULER LES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS
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DU PATTERN À N’IMPORTE QUEL RANG
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Il s’agit dans cette phase de généralisation d’être capable de s’éloigner de la relation
|
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de récurrence afin de trouver une relation directe (« closed formula ») qui permettra
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d’obtenir le nombre de petits carrés au rang n sans utiliser de rang intermédiaire.
|
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C’est une phase d’abstraction qui incite à utiliser la lettre n comme variable.
|
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L’enseignant demandera aux élèves d’expliciter leur procédure. Au cycle 3, la géné-
|
||
ralisation du processus peut s’exprimer en langue naturelle, puis à partir du cycle 4,
|
||
l’introduction d’expressions algébriques par les élèves et le questionnement de leur
|
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équivalence par le professeur, sont des attendus.
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Figures 24 et 25. Traces écrites d’élèves de fin de cycle 3 (6e).
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116 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Problème 1. Des énoncés
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pour des rituels
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Énoncés
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Rituel 1. Voici le début d’un pattern.
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Dessiner les trois éléments suivants en expliquant la règle utilisée.
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Rituel 2. Voici le début d’un pattern.
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Inventer d’autres patterns qui suivent la même règle.
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Rituel 3. Avec des petits carrés tous identiques, je construis des motifs selon le modèle
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évolutif ci-dessous.
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En expliquant, calculer le nombre de petits carrés nécessaires pour construire
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le 10e motif.
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Rituel 4. Voici une liste de nombres.
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Si l’on poursuit la liste avec la même règle, les nombres 62 et 693 sont-ils des élé-
|
||
ments de cette liste ?
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2 5 8 11 14 17 …
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117 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Rituel 5. Voici un pattern.
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Quelle est la couleur du 23e cube ?
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Mots-clés
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Patterns figuratif et évolutif, chercher, exprimer une règle, relation de récurrence,
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raisonner, pensée algébrique, pensée algorithmique, créativité.
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Pourquoi ce problème ?
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Ces rituels permettent d’exposer régulièrement les élèves à différents types de
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patterns et de régularités et aux professeurs de travailler certaines phases du
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questionnement indiquées dans le focus.
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Il s’agit de chercher, dans les premiers rituels, différentes régularités permettant
|
||
de générer les éléments suivants d’un pattern et d’apprendre à les verbaliser.
|
||
Cette tâche encourage les élèves à être créatifs lorsqu’ils décrivent les règles
|
||
possibles, à développer leurs pensées algorithmique (reconnaissance de la structure)
|
||
et algébrique (anticipation, généralisation).
|
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|
||
Dans un second temps, les rituels s’enrichissent des étapes permettant de calculer ou
|
||
de déterminer les éléments en étapes proche ou lointaine, puis à n’importe quel rang.
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Stratégies d’enseignement
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Ce type de problèmes peut être vu comme un défi mathématique. Le matériel de
|
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manipulation peut aider à la compréhension de la structure, à faire des essais, à
|
||
vérifier une anticipation.
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||
118 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
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||
Ces énoncés sont à utiliser en rituels espacés114 , mettant en jeu patterns évolutifs,
|
||
répétitifs, sous forme figurative ou de nombres115 . Il est conseillé d’être attentif à
|
||
alterner les types de patterns lors de l’utilisation dans les classes, pour varier les
|
||
régularités et éviter que les élèves utilisent toujours la même stratégie. Cependant, un
|
||
même pattern peut être aussi décliné de façon progressive et constituer le fil rouge
|
||
dans la programmation des rituels sur une période donnée (une question par séance).
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||
L’objectif du premier rituel est de développer la pensée algorithmique. Les élèves
|
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doivent comprendre la structure du pattern, c’est-à-dire expliquer une règle qui décrit
|
||
comment le pattern évolue, et la verbaliser ; expliciter les régularités possibles pour
|
||
des problèmes de généralisation développe l’oralité et l’argumentation. Cette tâche
|
||
les encourage à être créatifs en décrivant les règles possibles, et développe leurs
|
||
pensées algorithmiques (reconnaissance de la structure).
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Figure 26. Pattern répétitif. Figure 27. Pattern évolutif.
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Le changement de registre est travaillé à travers le rituel 2. Le professeur pourra
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||
expliciter ce qui est attendu lorsque l’élève est confronté à ce genre de problèmes
|
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pour la première fois. Ici, tout pattern répétitif a un motif de base formé de quatre
|
||
éléments. Les trois premiers sont différents et le quatrième est le même que le
|
||
deuxième ; par exemple 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1 ou . L’élève pourra
|
||
choisir une suite de nombres, des notes de musique, des pas de danse, etc., avec la
|
||
possibilité d’y ajouter un challenge type « battle » pour motiver la classe et la créativité.
|
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||
Le rituel 3 aborde la pensée algébrique et entraîne les élèves à visualiser la
|
||
structure d’un nombre carré parfait en lui associant la disposition géométrique
|
||
correspondante. La confrontation de différents patterns, comme ci-dessous, permet
|
||
d’expliquer des égalités algébriques116.
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+5
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+3 Pour passer de l’étape n à l’étape n + 1,
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on ajoute 2n + 1 carrés.
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Étape 1 Étape 2 Étape 3
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3x3
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2x2
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L’étape n contient n2 carrés.
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Étape 2 Étape 3
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||
114 — La « mise en Train » (Train : travail de recherche ou
|
||
d’approfondissement avec prise d’initiatives) : https://www.apmep.fr/
|
||
IMG/pdf/05-Train-C.pdf
|
||
115 — Une bibliothèque de motifs : http://www.visualpatterns.org/, et
|
||
pour créer des patterns : http://www.dudamath.com
|
||
116 — L’étape n + 1 contient (n + 1)2 carrés, donc (n + 1)2 = n2 + 2n + 1.
|
||
119 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
||
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||
La liste de nombres du rituel 4 définit un pattern évolutif numérique (il est important
|
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d’alterner les patterns figuratif et numérique).
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||
Un nombre est dans cette liste si et seulement si il est la somme de 2 et d’un multiple
|
||
de 3. Lorsqu’on lui ajoute 1 (ou enlève 2), alors il est dans la table de 3. Ce pattern de
|
||
nombres fait travailler les critères de divisibilité et donne du sens au reste dans la
|
||
division euclidienne.
|
||
|
||
Le rituel 5 reprend le pattern du rituel 2. Cette reprise impose à l’élève de bien lire
|
||
l’énoncé pour repérer les indices sur la structure et la question associée. La question
|
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posée permet de travailler division euclidienne et division quotition. La résolution
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experte convoque la division euclidienne et amène à voir le reste comme la couleur
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du cube dans le motif de base (les élèves pourront remarquer que le cube est rouge
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pour les places paires)117.
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Problème 2. Des petits carrés
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Énoncé
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Avec des petits carrés tous identiques, on construit un pattern selon le modèle
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évolutif ci-dessous.
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Trouver un moyen de calculer le nombre de petits carrés d’un élément à n’importe
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quel rang.
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Rang 1 Rang 2 Rang 3
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Mots-clés
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Patterns figuratif et évolutif, exprimer une règle, relation de récurrence, généraliser,
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chercher, raisonner.
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117 — Variante : « On a construit un collier de cent perles selon ce
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modèle. Combien a-t-on enfilé de perles bleues ? »
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120 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Pourquoi ce problème ?
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Dans ce pattern figuratif, la reconnaissance des régularités et son explicitation est
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d’un niveau d’expertise plus élevé, car la relation n’est pas linéaire. La généralisation
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et le recours à la lettre ne seront attendus qu’en milieu de cycle 4.
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Ce problème donne lieu à un travail sur le calcul littéral afin de justifier l’équivalence
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des expressions proposées par les élèves.
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Stratégies d’enseignement
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Stratégies Régularités Commentaires
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Dénombrer Les nombres à ajouter, pour passer d’un rang Avec un tableur,
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les petits au suivant, sont les entiers impairs plus grands par exemple,
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carrés à que 5. obtenir
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chaque étape. le nombre
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Rang de de petits carrés
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1 2 3 4 …
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l’élément pour un rang
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donné.
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Nombre
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5 10 17 26
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de carrés
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+5 +7 +9
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Repérer Prouver
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une structure l’égalité entre
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faisant les différentes
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intervenir un expressions
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arrangement algébriques
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en grand rendra
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carré ou nécessaire
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en rectangle. l’utilisation
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de propriétés
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a2 + 2(a + 1) (a + 2)2 – 2(a + 1)
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de calcul
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littéral pour
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1 1 1 1
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transformer
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les expressions
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(factorisation et
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développement).
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1 1 1 1
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a(a + 2) + 2 a2 + 2a + 2
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121 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Problème 3. Le flocon de Koch
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Énoncé
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Le flocon de Koch est une courbe fractale118 dont les premières étapes sont illustrées
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ci-dessous à partir d’un triangle équilatéral.
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Rang 0 : un triangle Rang 1 : tous les segments Rang 2 : tous les segments
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équilatéral. bleus sont de la même bleus sont de la même
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longeur. longeur.
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a. Combien de segments bleus composent chacune de ces figures aux rangs 0, 1, 2 ?
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b. Combien y a-t-il de segments bleus sur la figure de rang 3 ?
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c. Déterminer, en expliquant votre méthode de calcul, le nombre de segments bleus
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qui composent la figure de rang 5, puis celle de rang 20.
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d. Trouver une façon de calculer le nombre de segments à n’importe quel rang.
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e. Expliquer une règle de construction pour passer d’une figure d’un rang quelconque
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au suivant.
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Mots-clés
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Fractale, pattern, algorithmique, algèbre.
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118 — Pour aller plus loin : les patterns peuvent également intervenir
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dans des domaines variés comme le jeu vidéo ou les films d’animation.
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Un exemple, les arbres : https://mathcurve.com/fractals/arbre/arbre.
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shtml
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122 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Pourquoi ce problème ?
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Une figure fractale119 – figure qui présente à toutes les échelles une structure iden-
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tique – peut être rapprochée d’un pattern évolutif. Un travail sur d’autres fractales,
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avec un questionnement analogue, peut constituer un dossier « Mathématiques
|
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et arts » pour l’oral du diplôme national du brevet.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Ce problème peut être traité dès la 4e, en lien avec la notion de puissances. En 3e,
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les dernières questions permettent de mettre en évidence une expression littérale.
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Ce problème, se modélisant par une suite géométrique, peut être utilisé dans le cadre
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d’une liaison collège-lycée.
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Stratégies d’enseignement
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Le recours à un logiciel de programmation pour visualiser les figures des premiers
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rangs peut être une aide à la reconnaissance des régularités et à la mise en évidence
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d’une structure de boucle120.
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Un temps long d’investigation sur les deux premières questions est nécessaire à
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||
une bonne compréhension de la procédure et permet d’entrer dans la résolution
|
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des questions suivantes.
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Pour les rangs proches, la progression étant géométrique, le nombre de segments
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calculé au rang 3 est souvent correct. Au-delà, les itérations multiples peuvent créer
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des erreurs, comme en témoigne cette retranscription de trace écrite d’un élève de 3e.
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Figure 28. Trace écrite d’un élève de 3e.
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Cette erreur est à rapprocher du constat que la multiplication itérée est peu tra-
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vaillée, contrairement à l’addition itérée, ce qui rend les situations numériques
|
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purement multiplicatives plus difficiles.
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119 — Notion travaillée dans l’option mathématiques expertes en terminale.
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120 — Transfert (voir l’introduction de ce guide) : à partir d’une autre
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figure (segment, carré, etc.), on peut faire appliquer la même règle.
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123 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Problème 4. Des carrés
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et une spirale
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Énoncé
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On considère les scripts Scratch ci-dessous121 .
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1. Associer chacun des scripts A, B et C ci-dessous à l’une des représentations 1, 2,
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3 et 4 (voir p. suivante).
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Scripts :
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Bloc d’initialisation Script A
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Script B Script C
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121 — Les fichiers Scratch sont disponibles en téléchargement.
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124 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Représentations :
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B
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B
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V R V
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R
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O
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O
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Représentation 1 Représentation 2
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||
B
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B
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V R
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V R
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||
O O
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Représentation 3 Représentation 4
|
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2. Dans cette question, on s’intéresse au pattern dont le début correspond à
|
||
la représentation 3, et plus particulièrement à la couleur des segments, dont
|
||
l’enchaînement est bleu, rose, orange, vert.
|
||
a. Quelle est la couleur du 10e segment ?
|
||
b. Quelle est la couleur du 20e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
|
||
s’en assurer ?
|
||
c. Quelle est la couleur du 125e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
|
||
s’en assurer ?
|
||
d. Trouver une méthode pour déterminer la couleur de n’importe quel segment de
|
||
ce pattern.
|
||
|
||
3. On s’intéresse, dans cette question, plus particulièrement au script A et à la
|
||
longueur des segments en pixels (px).
|
||
a. Quelle est la longueur du 10e segment ?
|
||
b. Quelle est la longueur du 20e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
|
||
s’en assurer ?
|
||
c. Quelle est la longueur du 125e segment ? Que faut-il modifier dans le script pour
|
||
s’en assurer ?
|
||
d. Trouver un moyen de calculer le nombre d’éléments constitutifs du pattern
|
||
à n’importe quel rang.
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Mots-clés
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Pattern, programmation par blocs.
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème d’algorithmique amène à découvrir la structure et le motif d’un pattern
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répétitif (question 2) puis d’un pattern évolutif (question 3).
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125 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
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||
Les patterns conduisent à utiliser des blocs d’instruction identiques. Leurs repré
|
||
sentations facilitent la compréhension de l’effet de l’ordre dans lequel ces instructions
|
||
s’enchaînent.
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||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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||
Ce problème peut être proposé dès la classe de 5e pour travailler l’algorithmique
|
||
et la programmation (variables, boucles imbriquées, blocs utilisateurs) ainsi que la
|
||
construction d’expressions littérales, en fin du cycle 4.
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||
Stratégies d’enseignement
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||
Les élèves travaillent la première question en tant qu’activité débranchée. Après un
|
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débat en classe, une validation des différentes réponses peut alors se faire via la
|
||
construction et l’exécution des scripts sur un logiciel de programmation par blocs.
|
||
La bonne compréhension des scripts est nécessaire pour accéder correctement aux
|
||
questions suivantes.
|
||
|
||
Pour les rangs proches, les élèves peuvent aussi recourir à une stratégie d’essais/
|
||
ajustements à l’aide d’un logiciel pour se rendre compte de la difficulté du « comptage ».
|
||
Dans ce cas, une solution à transmettre aux élèves est l’utilisation d’un compteur.
|
||
|
||
Pour les rangs lointains, l’expérimentation par le logiciel atteint une limite : la figure
|
||
sort de la fenêtre graphique, ce qui pousse à anticiper et généraliser.
|
||
|
||
Dans le cas où on étudie le pattern répétitif, l’anticipation sur la couleur d’un segment
|
||
met en œuvre la division quotition et donne du sens au reste de la division euclidienne.
|
||
Chaque segment prend alternativement une des quatre couleurs : bleu (reste 1) ;
|
||
rose (reste 2) ; orange (reste 3) ; vert (reste 0). La couleur du 125e segment est bleu,
|
||
car 125 = 4 x 31 + 1.
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Pour aller plus loin
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On peut ajouter une question au problème : « On souhaite faire parcourir au lutin au
|
||
moins 5 000 px. Combien faut-il de segments au minimum et quelle est la longueur
|
||
du dernier segment ? »
|
||
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||
Cette question est l’occasion de découvrir la boucle « répéter jusqu’à ce que » avant
|
||
le lycée par l’utilisation de tests, d’un tableur ou par la programmation.
|
||
126 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
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Problème 5. Tel père, tel fils 122
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Énoncé
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C’est l’histoire d’un petit rectangle de dimensions
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2 mm x 3 mm.
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Chaque jour, il s’agrandit pour devenir un rectangle
|
||
plus grand : sa nouvelle largeur est égale à son
|
||
ancienne longueur ; sa nouvelle longueur est égale à
|
||
la somme de ses deux anciennes dimensions.
|
||
Au bout de combien de jours son aire dépasse-t-elle
|
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1,5 m2 ?
|
||
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||
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Mots-clés
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||
Patterns figuratif et évolutif, relation de récurrence, problème atypique, prendre
|
||
des initiatives, expérimenter, chercher, représenter, raisonner.
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||
|
||
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||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
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||
D’un point de vue mathématique, ce problème permet aux élèves de rencontrer un
|
||
pattern évolutif non conventionnel, de valider ou d’invalider un modèle et de donner
|
||
du sens à la nécessité de convertir des unités de mesure (sous-multiples du m²), d’in-
|
||
troduire le modèle d’agrandissement mathématique.
|
||
|
||
Ces problèmes atypiques permettent la mise en œuvre de différentes stratégies
|
||
mathématiques pour l’élève ; il peut :
|
||
— soit être persévérant dans sa recherche lorsqu’il calcule les quatorze aires ;
|
||
— soit faire preuve d’initiative en utilisant un tableur (avec ou sans la fonctionnalité
|
||
test) ou en programmant ;
|
||
— soit être original s’il a la capacité de produire une idée peu fréquente. Cela a été
|
||
le cas pour des élèves qui ont exprimé une relation entre les grandeurs en jeu.
|
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||
122 — Problème issu de la compétition Mathématiques sans frontières,
|
||
académie de Strasbourg, niveaux 3e, 2de, décembre 2011 : http://maths-
|
||
msf.site.ac-strasbourg.fr/spip/spip.php?article628
|
||
127 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
||
|
||
Ce type de pattern utilisé par des artistes123 peut s’intégrer dans le parcours PEAC124
|
||
et encourager ainsi les élèves à créer leur propre pattern artistique.
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Figure 29. Traces écrites d’élèves de 4e.
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Ressorts de continuité
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ou éléments de progressivité
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Il peut être envisagé dès la fin du cycle 3, à tous les niveaux du cycle 4 ainsi qu’en
|
||
classe de 2de, ce qui en fait un candidat intéressant pour les liaisons interdegrés
|
||
et peut faire l’objet d’une lesson study et/ou de temps d’observations croisées.
|
||
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||
Stratégies d’enseignement
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||
Pour mettre en œuvre de la différenciation, durant les phases de recherche ou de
|
||
dévolution, l’enseignant sera amené à « aider » les élèves qui ne parviennent pas
|
||
à débuter leur recherche, qui ne respectent pas les consignes de l’énoncé, qui se
|
||
découragent ou qui font des erreurs de conversions ou de calculs. Il pourra réguler
|
||
cette recherche en favorisant les échanges, en proposant des aides qui engagent
|
||
l’élève dans une réflexion (« son aire a-t-elle dépassé 1,5 m² le deuxième jour ? »).
|
||
|
||
L’objectif est que chaque élève puisse progresser dans ses stratégies de recherche
|
||
et de représentation ainsi que dans son questionnement tout en permettant sa
|
||
progression grâce à l’explicitation des stratégies, leur mise en commun et leur
|
||
hiérarchisation progressive débouchant sur une trace écrite claire.
|
||
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||
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||
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||
123 — Voir Norman Dilworth ou Ellsworth Kelly.
|
||
124 — Le parcours d’éducation artistique et culturelle : https://www.
|
||
education.gouv.fr/le-parcours-d-education-artistique-et-culturelle-
|
||
peac-4283
|
||
128 — Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique
|
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En résumé
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||
Un pattern est un motif, une règle de structure.
|
||
Les problèmes de ce chapitre proposent d’étudier
|
||
des patterns répétitif ou évolutif. Le travail sur les patterns
|
||
permet de développer à la fois les pensées algorithmique
|
||
(comment trouver un élément du pattern à partir
|
||
des précédents ?) et algébrique (comment trouver l’élément
|
||
de rang n du pattern ?). On commence ainsi à installer
|
||
une représentation mentale de la récurrence, préparant
|
||
le travail sur les suites au lycée. La recherche d’un élément
|
||
lointain du pattern motive l’introduction du calcul littéral.
|
||
|
||
|
||
L’étude des patterns fournit également des situations
|
||
privilégiées pour développer les compétences orales
|
||
(explicitation de la règle) et pour travailler le passage
|
||
du langage naturel à un langage mathématique plus formel,
|
||
et enfin pour illustrer des situations d’interdisciplinarité,
|
||
notamment dans le domaine artistique.
|
||
|
||
|
||
Les patterns amènent à exprimer en langage naturel
|
||
de premiers algorithmes.
|
||
V
|
||
Géométrie
|
||
130 — Géométrie
|
||
|
||
Au cycle 3, les élèves commencent à dépasser l’approche
|
||
perceptive, descriptive et instrumentée des figures planes
|
||
pour passer à la géométrie du raisonnement. Tout au long
|
||
du cycle 4, les élèves sont très progressivement amenés
|
||
à formaliser leurs raisonnements jusqu’à percevoir
|
||
la notion de démonstration. Les outils numériques
|
||
constituent un appui précieux à l’expérimentation
|
||
et l’élaboration des raisonnements. Les problèmes de
|
||
ce chapitre illustrent des situations où ce qui est visible
|
||
n’est pas suffisant pour raisonner juste ; il faut donc aussi
|
||
imaginer et abstraire. Ces problèmes montrent également
|
||
comment la construction étaye le raisonnement,
|
||
et comment le raisonnement est parfois un préalable
|
||
à la construction d’une figure.
|
||
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||
Entrée historique 125
|
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||
Problèmes de division des figures
|
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Nous savons qu’Euclide d’Alexandrie a rédigé un Livre sur la division des figures dont
|
||
nous avons une version arabe due au mathématicien persan al-Sijzi (xe s. ap. J.-C.).
|
||
Il s’agit de couper une figure ou de la partager selon des contraintes géométriques
|
||
fixées a priori sur les grandeurs (longueurs et aires) ou sur les figures à obtenir
|
||
après découpage (figure 30, ci-contre).
|
||
|
||
Ces problèmes sont présents, avec d’autres formes de résolution, dans les mathé-
|
||
matiques paléo-babyloniennes (voir l’entrée historique du chapitre 3 , p. 80). Ils sont
|
||
encore traités par divers auteurs comme Héron d’Alexandrie dans ses Metrica, ou en
|
||
pays d’Islam et peuvent correspondre aussi à des demandes juridiques et cultuelles
|
||
de répartitions d’héritages, ou encore socio-culturelles liées à la décoration de
|
||
monuments (figure 31). L’Europe continue cette longue tradition de problèmes avec,
|
||
par exemple, Fibonacci et sa Practica geometriae (1220), ou encore, plus tard, Simon
|
||
Stevin et ses Problèmes géométriques (1583) ou le jésuite Clavius avec sa Géométrie
|
||
pratique (1604).
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||
125 — Contributions de Christine Proust, Marc Moyon, Dominique
|
||
Tournès, Éric Vandendriessche.
|
||
131 — Géométrie
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||
Figure 30. Extraits du De Superficierum Divisionibus Liber (Livre sur la division des figures) de Muhammad
|
||
al-Baghdâdî (version latine, version arabe perdue). Proposition 1 : « Diviser selon un rapport donné un triangle par
|
||
une droite menée d’un angle du triangle. » Proposition 11 : « Diviser selon un rapport donné un quadrilatère à côtés
|
||
parallèles par une droite parallèle à l’un de ses côtés parallèles. »
|
||
|
||
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|
||
Figure 31. Diagramme du manuscrit persan Aya Figure 32. Diagramme réalisé par un élève de 6e
|
||
Sofia 2753 (Istanbul) montrant le découpage reproduisant la construction d’Abu l-Wafa.
|
||
exact du mathématicien Abu l-Wafa pour former
|
||
un seul carré à partir de trois carrés.
|
||
|
||
Figure 33. « Si on te dit, tu as un quadrilatère
|
||
de longueur 20 bāb [unité de mesure orientale]
|
||
Tiers et de largeur 10 bāb, divise-le entre trois
|
||
personnes : la moitié pour l’un d’eux, le tiers
|
||
pour un autre et le quart pour un autre
|
||
de sorte qu’il y ait, en son centre, une route
|
||
de largeur 2 bāb à laquelle aboutissent,
|
||
Moitié Quart par la longueur, les entrées des trois quote-
|
||
parts, l’une par le devant, l’autre par la droite
|
||
et l’autre par la gauche, de sorte que la quote-
|
||
part du propriétaire du tiers soit à l’avant,
|
||
selon cette figure. »
|
||
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|
||
Chez Euclide, les problèmes sont purement géométriques ; ils sont résolus à l’aide
|
||
des propositions des Éléments (notamment le livre V sur les rapports de grandeurs).
|
||
Lorsque l’algèbre va commencer à s’imposer comme art pour résoudre des
|
||
problèmes, certains auteurs comme al-Karajî (mort vers 1029) vont proposer
|
||
des résolutions algébriques aux partages de figures, faisant ainsi un lien entre
|
||
grandeurs géométriques et nombres (figure 33).
|
||
132 — Géométrie
|
||
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||
|
||
Point sur la recherche 126
|
||
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||
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|
||
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||
Lieu d’éducation associé (LÉA), réseau
|
||
de circonscriptions de l’académie de Lille127
|
||
|
||
Mes recherches visent à questionner les conditions de diffusion, dans l’ensei
|
||
gnement ordinaire, d’une approche de la géométrie 128 qui a été développée au
|
||
début des années 2000 dans le Nord-Pas-de-Calais et qui se caractérise par des
|
||
hypothèses relatives à la possibilité de penser une certaine continuité tout au long
|
||
de la scolarité obligatoire, d’éviter autant que possible la rupture pointée par de
|
||
nombreuses recherches entre la géométrie de l’école primaire et celle du collège129.
|
||
Responsable scientifique d’un LÉA (lieu d’éducation associé à l’Institut français de
|
||
l’éducation - IFÉ) regroupant chercheurs, inspecteurs, conseillers pédagogiques,
|
||
maîtres-formateurs et enseignants, j’ai travaillé à l’élaboration d’une ressource
|
||
en ligne pour l’enseignement de la géométrie du CE2 à la 6e130 et d’un parcours
|
||
M@gistère. La résolution de problèmes occupe une place importante dans la
|
||
démarche développée puisqu’il s’agit de proposer aux élèves des situations de
|
||
restauration de figures, c’est-à-dire des activités de reproduction respectant cer-
|
||
taines conditions particulières (une figure modèle est donnée – en vraie grandeur
|
||
ou non – ainsi qu’éventuellement une partie de la figure à obtenir – amorce ; des
|
||
instruments variés permettant de reporter certaines informations de dimension 2
|
||
de la figure initiale sont mis à disposition des élèves). Les résultats obtenus, suite
|
||
aux observations menées dans les classes de six circonscriptions, confirment
|
||
l’intérêt de proposer aux élèves ces situations de restauration de figures les
|
||
amenant à passer d’une appréhension naturelle et perceptive à une appréhension
|
||
opératoire des figures. Ces résultats mettent aussi au jour certaines conditions
|
||
d’appropriation par les enseignants de ces situations 131 .
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126 — Contribution de Christine Mangiante.
|
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127 — http://ife.ens-lyon.fr/lea/le-reseau/anciens-lea/reseau-de-
|
||
circonscriptions-de-l2019academie-de-lille
|
||
128 — Ont participé au développement de cette approche :
|
||
Jean‑Robert Delplace, Raymond Duval, Claire Godeuil, Marc Godin,
|
||
Bachir Keskessa, Régis Leclercq, Christine Mangiante-Orsola,
|
||
Anne-Céline Mathé, Marie-Jeanne Perrin et Odile Verbaere.
|
||
129 — Christine Mangiante-Orsola, Marie-Jeanne Perrin-Glorian,
|
||
Ingénierie didactique de développement en géométrie au cycle 3
|
||
dans le cadre du LÉA Valenciennes-Denain, 2017, séminaire national
|
||
de didactique des mathématiques, Arras, 22-23 janvier 2016 : https://
|
||
ardm.eu/wp-content/uploads/2017/02/pre_actes_seminaire_
|
||
ARDM_janvier_2016.pdf
|
||
130 — https://lea-geometrie.etab.ac-lille.fr/
|
||
131 — Christine Mangiante-Orsola, Marie-Jeanne Perrin-Glorian,
|
||
Heidi Strømskag, “Theory of Didactical Situations as a Tool to
|
||
Understand and Develop Mathematics Teaching Practices”, in Annales
|
||
de didactiques et de sciences cognitives, Irem de Strasbourg, 2018.
|
||
133 — Géométrie
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||
Didactique. Les outils numériques
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en géométrie
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Les outils numériques – logiciels de géométrie dynamique et de programmation – sont
|
||
étroitement liés à la résolution de problèmes, non seulement car ils sont efficaces
|
||
pour réaliser des constructions géométriques précises et complexes, mais aussi et
|
||
surtout parce qu’ils permettent d’enrichir la démarche d’investigation, les capacités
|
||
d’analyse et d’observation, ainsi que la pratique du raisonnement inductif, notamment
|
||
grâce aux figures « dynamiques », c’est-à-dire qui contiennent des objets variables.
|
||
En cycle 3 et en début de cycle 4, les activités avec logiciel de géométrie dynamique
|
||
seront surtout centrées sur des constructions simples qui utilisent les définitions ou
|
||
propriétés des figures usuelles, en amenant les élèves à comprendre par exemple
|
||
qu’une figure n’est bien construite que lorsqu’elle ne se déforme pas lorsqu’on
|
||
déplace ses sommets.
|
||
|
||
Ces outils sont notamment précieux pour observer rapidement un grand nombre
|
||
de configurations, ainsi que pour étudier les effets des transformations du plan sur
|
||
les figures, notamment pour les translations, les rotations et les homothéties dont
|
||
les définitions ponctuelles ne sont pas données au collège, et de mettre en évidence
|
||
les invariants liés à ces transformations.
|
||
|
||
De façon générale, l’utilisation d’outils numériques doit amener une plus-value par
|
||
rapport à l’usage du papier-crayon. L’objectif n’est pas de rendre les élèves experts
|
||
sur un logiciel de programmation ou de géométrie dynamique, mais bien que ces
|
||
outils soient des supports pertinents au raisonnement mathématique.
|
||
|
||
L’utilisation régulière en classe des outils numériques permettra de travailler les
|
||
six compétences mathématiques. Plusieurs modalités sont possibles : soit une
|
||
utilisation faite par les élèves en salle informatique, soit une utilisation montrée par
|
||
le professeur grâce à l’ordinateur de la classe sur des fichiers préparés en amont
|
||
qui permettent (sur un temps assez court) de présenter les fonctionnalités du logiciel.
|
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||
Les outils numériques et les transformations
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Comme l’indiquent les repères annuels de progression pour le cycle 4, les élèves sont
|
||
amenés à transformer, à l’aide d’outils numériques, une figure. Ils doivent également
|
||
identifier ces mêmes transformations dans des frises, des pavages et des rosaces.
|
||
Un logiciel de programmation permet notamment d’appliquer des transformations
|
||
et d’en identifier ses caractéristiques.
|
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||
Exemple : à l’aide du script et de la capture de la scène ci-après132 (p. 134), identifier
|
||
la transformation appliquée à la première étoile et en donner les caractéristiques.
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132 — Captures issues du site https://scratch.mit.edu/
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134 — Géométrie
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La capture de la scène permet
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||
d’identifier la transformation uti-
|
||
lisée, mais au-delà, l’exécution du
|
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script permet aux élèves de voir
|
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la transformation (translation) en
|
||
action. Certains éléments du script
|
||
permettent de calculer la longueur
|
||
du déplacement grâce au repère de
|
||
la scène de Scratch : on se déplace
|
||
de 100 pas (ou pixels) vers la droite
|
||
et on descend de 50 pas, et on peut faire apparaître un triangle rectangle pour utiliser
|
||
le théorème de Pythagore.
|
||
|
||
Un logiciel de géométrie dynamique permet également de décrire plus facilement les
|
||
effets des transformations dans des frises, des pavages et des rosaces.
|
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|
||
Exemple : reproduire la frise suivante dans un logiciel de géométrie dynamique.
|
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||
La frise est donnée sous forme
|
||
d’image par le professeur dans
|
||
un fichier de logiciel de géométrie
|
||
dynamique. Ses éléments n’en
|
||
seront alors pas déformables par
|
||
l’élève qui pourra construire par-
|
||
dessus. Le professeur pourra apporter des aides pour que tous les élèves se lancent
|
||
dans la construction. Il pourra les pousser à choisir un élément géométrique de
|
||
départ le plus petit possible afin d’utiliser le plus de transformations différentes
|
||
possible. Dans tous les cas, le logiciel de géométrie apporte une souplesse et
|
||
une instantanéité qui permettent de faire des essais, de corriger ses erreurs
|
||
et d’améliorer rapidement son analyse. De plus, les outils de transformation du
|
||
logiciel imposent d’en donner les caractéristiques complètes et précises.
|
||
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||
|
||
Les outils numériques et le raisonnement
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||
|
||
Les outils numériques se prêtent à la mise en œuvre de la compétence « raisonner »
|
||
et en développent facilement certains aspects. Ils permettent tout d’abord
|
||
d’analyser et d’exploiter ses erreurs. Dans l’exemple précédent de la frise, les
|
||
élèves font des essais et analysent leurs erreurs afin de proposer de nouveaux
|
||
essais jusqu’à trouver les transformations utilisées.
|
||
135 — Géométrie
|
||
|
||
Par ailleurs, grâce à un logiciel de géométrie dynamique, on peut agir sur une figure
|
||
construite tout en conservant ses propriétés. Par exemple, on peut demander
|
||
aux élèves de construire un rectangle dont les dimensions peuvent varier, puis de
|
||
déplacer ses sommets pour émettre une conjecture sur ses diagonales. Ce logiciel
|
||
permet ainsi de découvrir les propriétés caractéristiques des quadrilatères par
|
||
raisonnement inductif, sans pour autant chercher à faire un catalogue exhaustif
|
||
de toutes leurs propriétés.
|
||
|
||
Les outils numériques favorisent également le développement du raisonnement
|
||
inductif. Ils permettent de faire une hypothèse et sont un appui pour la confirmer.
|
||
S’ils n’ont pas valeur de démonstration, ils peuvent en revanche constituer un
|
||
support très efficace pour raisonner. Par exemple, ils permettent d’observer sur un
|
||
très grand nombre de triangles que la somme de ses angles est égale à 180°, mais
|
||
pour le prouver, il faut passer par un raisonnement déductif en lien avec les angles
|
||
alternes internes ou les symétriques des angles par rapport aux milieux des côtés,
|
||
de préférence sur support papier.
|
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||
Les outils numériques et les autres
|
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compétences
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Les outils numériques permettent de développer les autres compétences
|
||
mathématiques.
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La compétence « chercher » est l’une des compétences les plus exploitées à l’aide
|
||
des outils numériques. En effet, ceux-ci permettent de :
|
||
— tester : par exemple, chercher l’emplacement d’un point pour que deux aires
|
||
soient égales ;
|
||
— décomposer un problème en sous-problèmes : par exemple, trouver le
|
||
motif élémentaire dans une frise, ce qui nécessite de décomposer toutes les
|
||
transformations appliquées afin de réaliser soi-même la figure. On notera ici la
|
||
nécessité de raisonner avant de construire ;
|
||
— émettre une conjecture : par exemple, construire les médiatrices d’un triangle pour
|
||
conjecturer que, quel que soit le triangle, celles-ci sont concourantes en un point.
|
||
|
||
Un logiciel de géométrie dynamique permet également de travailler la compétence
|
||
« représenter ». Des problèmes de lieux peuvent être proposés afin d’observer des
|
||
faits remarquables. Il favorise aussi les changements de cadres : passer du langage
|
||
informatique au langage mathématique et inversement. Par exemple, à partir d’un
|
||
programme, l’élève est amené à comprendre et identifier les caractéristiques d’une
|
||
transformation. Dans l’exemple précédent de l’étoile, on passe d’un cadre numérique
|
||
à un cadre géométrique en identifiant les déplacements dans le programme pour
|
||
déterminer la longueur du déplacement de la translation.
|
||
|
||
Enfin, à partir d’une situation réelle, les élèves peuvent faire appel aux outils numé-
|
||
riques afin d’en identifier un modèle mathématique. Dans ce cas, la compétence
|
||
« modéliser » sera mobilisée.
|
||
136 — Géométrie
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Problème 1. On me voit !
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On ne me voit plus !
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Énoncés
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1. On me voit bien !
|
||
Ma petite sœur empile des cubes les
|
||
uns sur les autres, tous de même forme.
|
||
Voici sa construction.
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||
Combien a-t-elle empilé de cubes ?
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2. On me voit un peu moins !
|
||
Martin veut construire la même jar
|
||
dinière que sur la photo133 ci-contre.
|
||
De combien de briques aura-t-il besoin ?
|
||
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|
||
|
||
3. On ne me voit plus !
|
||
L’entreprise Sucromania fabrique du sucre en morceaux. Elle souhaite conditionner
|
||
ses morceaux dans un emballage parallélépipédique de 280 mm de long, 140 mm de
|
||
large et 70 mm de hauteur.
|
||
Sachant qu’un sucre a la forme d’un pavé droit de 14 mm de long, 14 mm de large et
|
||
10 mm de hauteur, combien de sucres peut-elle mettre au maximum afin d’optimiser
|
||
son emballage ?
|
||
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||
|
||
133 — Photo : http://www.terrealdeco.com/realisation/jardiniere-en-
|
||
brique-pleine-jasmin/
|
||
137 — Géométrie
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||
Mots-clés
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||
Vision dans l’espace, représenter, raisonner.
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
En géométrie dans l’espace, les évaluations internationales montrent que les élèves
|
||
rencontrent des difficultés à penser ce qui n’est pas visible. Ces problèmes ont pour
|
||
objectif de travailler la vision dans l’espace qui pose des soucis à de nombreux
|
||
élèves, tout en ancrant les mathématiques dans un contexte réaliste. Ils permettent
|
||
également de manipuler des solides puis d’en faire une représentation.
|
||
|
||
Ce travail se réalise en trois temps :
|
||
— d’abord sur des cubes bien visibles : même si une partie d’entre eux ne se voient
|
||
pas, le fait que l’énoncé précise qu’ils sont empilés rend facile la compréhension
|
||
de la figure ;
|
||
— ensuite sur un solide dont une partie est cachée ;
|
||
— enfin sur une situation sans support visuel.
|
||
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||
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||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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|
||
Un élève sait dès le primaire représenter des cubes et pavés droits. Au niveau 6e,
|
||
on attend de l’élève qu’il dénombre sur la première figure les cubes visibles et non
|
||
visibles, puis qu’il se construise une représentation de l’objet auquel il n’accède que
|
||
partiellement sur la deuxième figure. Enfin dans la dernière situation, on attend qu’il
|
||
se représente lui-même les objets mathématiques.
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
On pourra encourager la manipulation quel que soit le type d’exercice, le niveau de
|
||
difficulté, ou le niveau envisagé.
|
||
138 — Géométrie
|
||
|
||
Pour la première question (énoncé 1), la manipulation peut s’avérer particulièrement
|
||
efficace, sachant qu’une construction partielle du solide peut suffire (on peut par
|
||
exemple se contenter de construire les 3 étages supérieurs à l’aide de petits cubes).
|
||
En construisant les premiers étages, les élèves doivent comprendre que les cubes
|
||
qui ne se voient pas existent bien pour permettre aux autres cubes de tenir sur les
|
||
niveaux supérieurs par gravité. Ils doivent comprendre que les cubes ne sont ni
|
||
aimantés, ni reliés entre eux. Ce que l’on ne voit pas est en réalité rempli de petits
|
||
cubes qui composent la structure même du solide. Pour cette même question, on
|
||
peut envisager de faire varier la complexité de la figure proposée dans le cadre d’un
|
||
travail différencié, en proposant par exemple les figures suivantes (dans cet ordre).
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
On peut également proposer des questions différentes. Par exemple, pour la série
|
||
de figures ci-dessus, il est possible de demander combien il manque de cubes pour
|
||
compléter le pavé. On peut également, en prolongement, proposer de représenter
|
||
différentes vues, voire d’enlever ou d’ajouter un ou plusieurs cubes pour que deux
|
||
vues deviennent identiques (en veillant cependant à conserver une longueur raison-
|
||
nable pour l’ensemble du problème).
|
||
|
||
Concernant la question 2, il sera utile de se mettre d’accord sur la modélisation de
|
||
la jardinière avant d’élaborer une stratégie de résolution. On pourra par exemple
|
||
convenir que la jardinière est composée de quatre murs perpendiculaires (le mur
|
||
du fond est peu visible mais présent) et qu’elle n’a pas de fond (la présence d’un fond
|
||
complexifie singulièrement la situation, elle peut éventuellement être envisagée
|
||
dans le cadre d’un travail différencié). Pour aider les élèves qui n’accèdent pas à la
|
||
modélisation, il est intéressant d’avoir des buchettes de bois en forme de pavés droits
|
||
pour construire la jardinière. Elles peuvent permettre de visualiser ce qu’on ne voit
|
||
pas ou de comprendre comment sont reliés les « coins » de la jardinière, ou encore
|
||
de comprendre la disposition en quinconce des briquettes.
|
||
|
||
La question 3 comporte un saut non négligeable en termes mathématiques
|
||
(représentation et justification). Cette justification de l’optimisation peut faire appel
|
||
au volume, qui permet de déterminer le nombre maximal de sucres que peut contenir
|
||
le carton, puis à une des configurations possibles qui montre que ce maximum est
|
||
atteint. Dans le cadre d’un travail différencié, on pourra éventuellement envisager
|
||
de faire varier les dimensions du carton pour qu’il ne soit pas entièrement rempli,
|
||
la justification de l’obtention d’une configuration optimale devenant alors nettement
|
||
plus ardue. Afin d’aider les élèves, il est utile d’avoir une boîte de sucres, par exemple
|
||
pour permettre aux élèves de comprendre comment il est possible de ranger les
|
||
sucres dans le contenant.
|
||
139 — Géométrie
|
||
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|
||
Problème 2. Figure trompeuse
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||
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||
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||
Énoncé B
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||
C
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||
Ce problème peut être proposé dans une
|
||
A
|
||
classe de 5e.
|
||
Le professeur montre la figure ci-contre,
|
||
qu’il a réalisée sur une grande feuille,
|
||
en expliquant « naïvement » qu’il a voulu
|
||
construire les trois médiatrices des côtés
|
||
d’un triangle ABC et qu’il a obtenu un petit
|
||
triangle JKL qui lui paraît étrange.
|
||
|
||
À chaque élève, il propose trois autres
|
||
triangles ABC et leur demande pour
|
||
K
|
||
laquelle de ces trois configurations on
|
||
J
|
||
obtiendra le triangle JKL le plus petit.
|
||
L
|
||
|
||
|
||
Mots-clés
|
||
|
||
Géométrie plane, construire, précision,
|
||
médiatrice d’un segment (définition
|
||
et propriété caractéristique).
|
||
|
||
|
||
|
||
Pourquoi ce problème ?
|
||
|
||
Ce problème peut servir d’activité de découverte de la propriété de concours
|
||
des médiatrices des côtés d’un triangle, mais il a un autre objectif, plus général,
|
||
dans la formation des élèves à la géométrie du raisonnement. En provoquant un
|
||
« choc didactique », il amène les élèves à comprendre et retenir qu’il ne faut pas
|
||
faire confiance à une figure dessinée « à la main », et ainsi à percevoir la différence
|
||
entre la géométrie dessinée (ou des instruments) et la géométrie abstraite (ou du
|
||
raisonnement). On pourra même expliquer que les objets mathématiques, même
|
||
géométriques, sont des modèles « impalpables » et que l’on doit savoir raisonner
|
||
juste sur une figure fausse (en général effectuée à main levée). De plus, il peut être
|
||
intéressant, pour apprendre aux élèves à porter un regard critique sur leur propre
|
||
travail, de vérifier une construction qu’ils effectuent.
|
||
140 — Géométrie
|
||
|
||
Ce problème est largement inspiré d’une situation décrite par Guy Brousseau 134
|
||
et analysée par Catherine Houdement et Jean-Philippe Rouquès135.
|
||
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||
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||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
Les premiers raisonnements simples et sans formalisme de CM2 sont enrichis en
|
||
fin de cycle 3 en s’appuyant sur les propriétés des droites parallèles et perpen
|
||
diculaires, celles des côtés, des diagonales et des angles des figures usuelles
|
||
(triangles et quadrilatères particuliers). Ces raisonnements permettent d’effectuer
|
||
des constructions ou de découvrir de nouvelles propriétés des figures. Même si
|
||
certains objets mathématiques ne sont pas mathématiquement définis (comme les
|
||
droites), les définitions des figures usuelles se font plus précises. Par exemple, un
|
||
rectangle est défini comme un quadrilatère qui a trois angles droits alors que les
|
||
leçons d’école primaire le décrivent plus longuement, sans distinguer définition et
|
||
propriétés.
|
||
|
||
Au cycle 4, le travail sur les codages est consolidé par des tâches régulières d’inter-
|
||
prétation et de réalisation de figures avec les instruments à partir de figures codées.
|
||
Peu à peu, les raisonnements menés sur des figures tracées en vraie grandeur
|
||
laissent place à des raisonnements élaborés à partir de figures à main levée.
|
||
|
||
La posture de doute, la démarche indispensable de recherche de la preuve et la
|
||
constatation qu’une figure en vraie grandeur doit être très précise sont parti
|
||
culièrement importantes dès le début du cycle 4. Par la suite, il faudra rappeler cette
|
||
situation-problème lorsque les élèves feront une erreur de construction et surtout
|
||
lorsque l’on attendra une preuve.
|
||
|
||
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|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
Il faut bien garder à l’esprit qu’un professeur qui appuie sa démarche sur une figure
|
||
fausse doit indiquer très clairement, après la résolution du problème, que la figure pro-
|
||
posée initialement était fausse car mal construite (notamment lors de la trace écrite).
|
||
|
||
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||
|
||
|
||
134 — Guy Brousseau, « Les propriétés didactiques de la géométrie
|
||
élémentaire », Séminaire de didactique des mathématiques, Crète,
|
||
Rethymon, 2000 : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00515110/fr/
|
||
135 — Catherine Houdement, Jean-Philippe Rouquès, « Deux géométries
|
||
en jeu dans la géométrie plane : une qu’on appellera “dessinée”
|
||
et une qu’on appellera “abstraite” », 2016 : https://hal.archives-
|
||
ouvertes.fr/hal-03214099v2/document
|
||
141 — Géométrie
|
||
|
||
Lors de la résolution, le professeur propose des triangles assez grands, de formes
|
||
variées, ayant un angle obtus ou non – il peut aussi laisser les élèves construire
|
||
leurs propres triangles. Plus les élèves s’appliquent, plus le triangle JKL est petit,
|
||
jusqu’à n’être plus visible. C’est ce que le professeur doit parvenir à faire constater :
|
||
il pourra projeter au tableau (par exemple grâce à un visualiseur) un grand nombre
|
||
de constructions en interrogeant leurs auteurs sur le soin apporté. Il pourra aussi
|
||
reconnaître que lui-même ne s’est pas beaucoup appliqué pour construire la figure
|
||
montrée avec la consigne. La classe peut alors établir la conjecture que les points
|
||
J, K et L sont confondus. Elle peut être appuyée par la construction, avec un logiciel
|
||
de géométrie dynamique, sur l’ordinateur du professeur dont l’écran est projeté, ou
|
||
faite par les élèves. Il est particulièrement important d’en apporter la preuve pour
|
||
que les élèves comprennent la différence entre voir et démontrer, mais aussi pour
|
||
qu’ils soient persuadés que c’est un seul point qu’il faut obtenir et non un triangle.
|
||
|
||
La démonstration que les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes (puis
|
||
que leur point de concours est le centre d’un cercle, qui est circonscrit au triangle)
|
||
peut être dirigée par le professeur, étape par étape, sans attendre de formalisme
|
||
particulier de la part des élèves en début de cycle 4.
|
||
|
||
Une variante de la consigne, plus ouverte et plus proche de la situation présentée par
|
||
Guy Brousseau, peut être : « Construire un triangle ABC qui aura le triangle JKL le plus
|
||
grand possible. » Elle nécessite plus de temps de travail, mais permet l’élaboration
|
||
d’une démarche d’investigation par les élèves et ainsi davantage de constructions,
|
||
avec, le plus souvent, une recherche de précision dans les tracés.
|
||
142 — Géométrie
|
||
|
||
|
||
Focus | Une séquence
|
||
d’enseignement autour
|
||
des triangles et des aires
|
||
|
||
|
||
Énoncé
|
||
|
||
PARTIE I C M B
|
||
a. À l’aide d’un logiciel de géométrie dyna- 9,19
|
||
9,19
|
||
mique, tracer un triangle ABC. Placer le
|
||
milieu M du segment [BC] et afficher les aires
|
||
des triangles ABM et ACM.
|
||
b. Déplacer les points A, B et C. Que peut-on
|
||
conjecturer ?
|
||
A
|
||
c. Démontrer la conjecture énoncée.
|
||
|
||
PARTIE II
|
||
C
|
||
Soit ABC un triangle. Les points E, F et D sont
|
||
les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] H F
|
||
et [AC]. D
|
||
On admet que les droites (AF), (BD) et (CE) sont G
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I B
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concourantes en un point qu’on nomme G.
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Les points H, I et J sont les milieux respectifs J
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A E
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des côtés [CG], [BG] et [AG].
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Montrer que l’aire de l’hexagone FIEJDH
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obtenu est égale à la moitié de l’aire du
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triangle ABC.
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Mots-clés
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Conjecture, démonstration, GeoGebra136, triangles, aires, hexagone, raisonner,
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chercher, communiquer.
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136 — GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique.
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143 — Géométrie
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème permet de conjecturer puis de démontrer une propriété générale pour
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ensuite l’appliquer à un exemple. Il permet d’initier les élèves à la démonstration
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en utilisant les propriétés des figures usuelles (ici, principalement le triangle), et le
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raisonnement occupe une place centrale.
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Les prérequis sont peu nombreux (hauteurs et aire d’un triangle). Une résolution
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dès la classe de 5e peut être envisagée. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dyna-
|
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mique permet de multiplier les essais et d’émettre une conjecture.
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Dans ce problème, on retrouve les trois étapes fondatrices du raisonnement
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mathématique :
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Conjecturer Démontrer Appliquer
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La conjecture va être émise après l’observation et l’analyse des figures produites
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avec le logiciel de géométrie. La démonstration va permettre de rendre universelle
|
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cette propriété.
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La troisième étape permet de mener un raisonnement en s’appuyant sur la pro-
|
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priété démontrée.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Le passage de la géométrie des tracés à la géométrie théorique est un objectif
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central du cycle 4. Cette géométrie théorique repose sur les raisonnements et la
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démonstration. Ce problème permet de proposer plusieurs démonstrations (par-
|
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ties I et II) s’appuyant sur très peu de prérequis.
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Stratégies d’enseignement
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Ce problème gagne à être proposé en groupe ou en binôme afin de multiplier les
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points de vue – l’apprentissage entre pairs étant un élément d’efficacité.
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PARTIE I
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L’objectif de cette partie est de démontrer la propriété : « Une médiane d’un triangle
|
||
partage ce triangle en deux triangles de même aire. » La notion de médiane d’un
|
||
triangle n’est plus présente dans les textes officiels, cependant ce problème peut
|
||
être fait sans utiliser le mot « médiane », la propriété étant alors énoncée de la façon
|
||
suivante : « Si, dans un triangle ABC, on nomme M le milieu du côté [BC], alors la
|
||
droite (AM) partage le triangle ABC en deux triangles de même aire. »
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144 — Géométrie
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La mise en œuvre de cette partie peut nécessiter une explication préalable de
|
||
vocabulaire, notamment le terme de conjecture. Les élèves vont assez vite trouver
|
||
que, quelles que soient les longueurs et la forme du triangle, les aires sont égales.
|
||
Cependant, la formulation de la conjecture risque d’être maladroite dans un premier
|
||
temps. Il est important de laisser vivre ces formulations intermédiaires afin de
|
||
centrer le débat sur la propriété obtenue et sur le raisonnement pour la démontrer.
|
||
Un temps de mise en commun sera nécessaire pour formuler correctement et
|
||
rigoureusement la conjecture établie par l’ensemble de la classe.
|
||
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||
En début de cycle 4, la démonstration sera certainement confuse et peu argu
|
||
mentée. Le professeur veillera à faire évoluer les démonstrations de chaque groupe
|
||
sans imposer une trame, mais en aidant à organiser les idées de tous. La précision
|
||
du vocabulaire utilisé est primordiale, les notations géométriques prennent ici tout
|
||
leur sens.
|
||
|
||
Enfin, il serait intéressant de présenter plusieurs démonstrations (à l’aide d’un
|
||
visualiseur par exemple) et de tirer les points positifs et négatifs de chacune.
|
||
Avec l’aide de la classe, une démonstration regroupant tous les critères dégagés
|
||
précédemment pourra être rédigée et utilisée comme modèle pour les élèves. Il est
|
||
important qu’une trace écrite validée par l’enseignant et la classe soit laissée dans
|
||
le cahier.
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||
|
||
Remarques :
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||
— la démonstration de la conjecture (question b) peut être guidée ou non : on peut
|
||
introduire un point H tel que H soit le pied de la hauteur issue de A ;
|
||
— il semble incontournable de rappeler la formule de l’aire d’un triangle en amont
|
||
de la résolution du problème ;
|
||
— les triangles AMC et AMB ne sont pas égaux (sauf cas particuliers), mais ils ont
|
||
la même aire, ce qui permet de rappeler que deux figures de même aire ne sont
|
||
pas forcément superposables ;
|
||
— la verbalisation de la conjecture obtenue est primordiale. Il faudra s’accorder
|
||
sur la formulation de la propriété trouvée avant d’essayer de prouver quoi que
|
||
ce soit ;
|
||
— on retrouve ici le triptyque manipuler (avec GeoGebra) – verbaliser (avec le
|
||
groupe et l’enseignant) – abstraire (démontrer et être convaincu que cette
|
||
propriété est toujours vraie) ;
|
||
— il n’y a pas de longueurs données, et il est important de ne pas en donner
|
||
pour pouvoir mener un raisonnement général et ainsi favoriser la phase
|
||
d’abstraction sans rester « accroché » à un cas particulier.
|
||
|
||
PARTIE II
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||
L’application de la propriété (démontrée dans la partie I) à un cas plus complexe
|
||
permet de valider son utilité auprès des élèves. Les prolongements proposés
|
||
peuvent constituer une réactivation du raisonnement mis en œuvre précédemment.
|
||
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||
Le schéma de démonstration est plus simple dans cette partie que dans la partie
|
||
précédente puisqu’il suit une trame classique :
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||
145 — Géométrie
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On vérifie
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les hypothèses On applique
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On conclut.
|
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(toutes les conditions la propriété.
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sont remplies).
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||
Cependant, même s’il est important de remarquer ce cheminement, il ne saurait
|
||
être question de le rédiger en suivant une trame imposée du type « je sais que, or,
|
||
donc ». Les élèves pourront cependant être encouragés à utiliser le « donc » plu-
|
||
tôt que le « car » (par exemple, « ce quadrilatère a quatre angles droits donc c’est
|
||
un rectangle » plutôt que « ce quadrilatère est un rectangle car il a quatre angles
|
||
droits »), ce qui deviendra indispensable lors de la rédaction de raisonnements
|
||
déductifs complexes.
|
||
|
||
Remarques :
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||
— point de vigilance : les médianes sont concourantes en G ; on pourra utiliser
|
||
GeoGebra pour le faire constater aux élèves et l’admettre ;
|
||
— la difficulté principale réside dans la décomposition de la figure. L’élève doit
|
||
observer que cette figure est un assemblage de six triangles (ayant G comme
|
||
sommet commun) et appliquer six fois la propriété vue en partie I ;
|
||
— observation de la figure : le point G est le point d’intersection des diagonales [DI],
|
||
[EH] et [FJ] ;
|
||
— on pourra donner une figure déjà faite ou bien une figure à main levée puis
|
||
demander aux élèves de la faire en vraie grandeur ; ou bien ne pas du tout la
|
||
donner et la faire tracer aux élèves.
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Pour aller plus loin
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Soit ABC un triangle. On place un point G à l’inté-
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rieur du triangle ABC. B
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A E
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La droite (AG) coupe le côté [BC] en F, la droite I
|
||
J
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||
(BG) coupe le côté [AC] en D et la droite (CG) G
|
||
coupe le côté [AB] en E.
|
||
D
|
||
Les points H, I et J sont les milieux respectifs H
|
||
des côtés [CG], [BG] et [AG]. F
|
||
Montrer que l’aire de l’hexagone FIEJDH obtenu
|
||
est égale à la moitié de l’aire du triangle ABC. C
|
||
|
||
Remarques :
|
||
— le point G est placé à l’intérieur du triangle : il sera intéressant de déplacer le
|
||
point G et de constater que l’hexagone change de forme, mais qu’il a toujours la
|
||
même aire ;
|
||
— la figure est moins « régulière » que celle obtenue à la partie II du précédent énoncé ;
|
||
— on enlève la contrainte des médianes concourantes en G ;
|
||
— les scénarios envisagés à la partie II peuvent être envisagés ici ;
|
||
— les droites utilisées ne sont pas remarquables.
|
||
146 — Géométrie
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||
Problème 3. Le triangle mystère
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(raisonner pour construire)
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Énoncé
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Construire le plus précisément possible un triangle qui comporte un angle de 60°
|
||
et un autre de 80° et dont le périmètre est égal à 15 cm137.
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60°
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||
80°
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Mots-clés
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||
Géométrie plane, construction, triangles semblables, représenter, raisonner.
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
Au premier abord, ce problème peut sembler simple puisqu’il s’agit de construire un
|
||
triangle, tâche familière pour des collégiens. Mais cette construction nécessite de faire
|
||
au préalable un raisonnement assez atypique. Pour le résoudre, il faudra s’appuyer
|
||
sur deux triangles semblables : le premier qui va respecter les mesures d’angles
|
||
données, que l’on va tracer avec les outils de géométrie et sur lequel on effectuera des
|
||
mesures de longueur, et le second qui répondra aux critères demandés (périmètre
|
||
compris), que l’on ne peut qu’imaginer, et éventuellement représenter à main levée,
|
||
au départ. Il s’agit non seulement de saisir la proportionnalité existante entre les
|
||
longueurs des côtés qui se correspondent, mais également la proportionnalité entre
|
||
les périmètres des deux triangles.
|
||
|
||
Ce problème permet d’utiliser les triangles semblables dans un autre contexte que
|
||
le calcul d’angle ou d’une longueur de segment à segment correspondant.
|
||
|
||
|
||
137 — Problème issu de la compétition Mathématiques sans frontières
|
||
3e-2de, académie de Strasbourg, décembre 1997, « Dessine-moi
|
||
un triangle » : http://maths-msf.site.ac-strasbourg.fr/spip/spip.
|
||
php?article573
|
||
147 — Géométrie
|
||
|
||
Ce problème sera notamment difficile à résoudre si l’on commence par procéder en
|
||
tâtonnant à partir des mesures des côtés. Pourtant, beaucoup d’élèves s’interrogent
|
||
d’abord sur la mesure du premier côté à tracer, puis choisissent comme mesures
|
||
des côtés en centimètres un triplet de nombres dont la somme est égale à 15 et sont
|
||
alors amenés à ajuster ces mesures en surveillant l’évolution des angles, en pure
|
||
perte. Même les petits raisonnements qui mènent à constater que le triangle n’est
|
||
ni isocèle ni rectangle, qu’aucun de ses angles n’est obtus et que la longueur de son
|
||
plus grand côté est strictement inférieure à 7,5 cm ne permettent pas de progresser.
|
||
|
||
En revanche, en construisant un triangle tenant compte seulement des deux pre-
|
||
mières contraintes données dans l’énoncé, c’est-à-dire les mesures des deux angles,
|
||
on peut ensuite facilement construire un autre triangle semblable à celui-ci (donc
|
||
avec les mêmes angles), mais de périmètre 15 cm, avec un raisonnement sur les
|
||
triangles semblables et un calcul de proportionnalité sur les longueurs des côtés.
|
||
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||
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||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
Se résolvant grâce à un raisonnement basé sur les triangles semblables, ce pro-
|
||
blème trouve sa place en classe de 3e, plutôt en fin de séquence sur ce sujet, car
|
||
il est assez difficile.
|
||
|
||
Dès la classe de 6e, des problèmes de construction nécessitant des raisonnements
|
||
et s’appuyant sur la définition du cercle, la distance entre deux points et les relations
|
||
entre des droites en particulier, sont proposés. Ils ont pour objectifs de former à
|
||
représenter une figure par un dessin à main levée et codée, à acquérir le langage
|
||
géométrique en rendant compte, le plus souvent oralement, de petits raisonnements.
|
||
Ces raisonnements s’enrichissent au cycle 4 avec de nouvelles propriétés des
|
||
quadrilatères et les théorèmes enseignés.
|
||
|
||
Au lycée, la recherche des valeurs exactes des longueurs peut invoquer la loi des sinus.
|
||
148 — Géométrie
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
Aucun mot de l’énoncé ne présente de difficulté particulière (même s’il faut toujours
|
||
s’assurer que les élèves ne confondent pas périmètre et aire). Pour résoudre ce
|
||
problème, on commence par fixer arbitrairement (mais raisonnablement) la mesure
|
||
d’un premier côté et on trace un triangle dont deux angles mesurent 60° et 80°.
|
||
On recommence cette étape en calculant le périmètre des triangles obtenus en
|
||
essayant de les faire évoluer vers un périmètre de 15 cm. Cela peut être indiqué à
|
||
des élèves qui ne démarrent pas ou s’égarent trop longtemps dans une stratégie dont
|
||
on leur montre qu’elle n’aboutira pas. Après un petit temps de recherche individuelle,
|
||
on peut proposer à des binômes d’élèves de comparer leurs premières construc-
|
||
tions. En constatant que les triangles ont la même allure si on tourne (ou même si
|
||
on retourne) les feuilles, il s’agit de réussir à faire émerger la notion de triangles
|
||
semblables à partir de deux angles égaux deux à deux puis d’inciter à revenir à la
|
||
définition ou à la propriété caractéristique sur les côtés dont les longueurs sont
|
||
proportionnelles. Ayant à leur disposition plusieurs exemples de triangles, il reste à
|
||
choisir celui dont le périmètre permettra le calcul de proportionnalité le plus simple
|
||
avant de construire le triangle demandé.
|
||
|
||
La mise en commun des résultats des élèves peut s’avérer délicate si le professeur
|
||
n’explicite pas assez tôt le statut des mesures utilisées. Il est indispensable d’utiliser
|
||
les mesures des deux côtés du triangle obtenu après construction des deux angles.
|
||
Or ces mesures sont nécessairement très imparfaites, ce qui entraînera des diffé-
|
||
rences, éventuellement assez nettes dans les résultats. Les élèves obtiendront des
|
||
triangles assez proches, mais pas rigoureusement identiques. Il faudra bien, malgré
|
||
tout, choisir des mesures pour développer le raisonnement et le professeur veillera
|
||
à bien mettre en avant la démarche et à aider à prendre du recul sur les résultats.
|
||
|
||
Le raisonnement à faire ensuite permet de comprendre que, puisque les triangles
|
||
qui répondent aux premières contraintes de l’énoncé sont semblables, alors le
|
||
triangle recherché est celui qui a, en outre, un périmètre précis. On incite alors les
|
||
élèves à revenir à la définition ou à la propriété caractéristique sur les côtés dont
|
||
les longueurs sont proportionnelles. Ils sont encouragés à relire leur leçon en com-
|
||
parant les énoncés de ses propriétés avec les éléments connus dans l’exercice, puis
|
||
incités à utiliser les mesures des deux autres côtés de leurs triangles. À cette étape,
|
||
on peut leur proposer d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique (par groupes ou
|
||
seulement avec l’ordinateur du professeur dont l’écran est projeté pour la classe)
|
||
qui donnera des mesures un peu plus fiables, même si elles ne seront pas parfaites,
|
||
grâce à une construction plus précise. Il est utile que le professeur explique que la
|
||
démarche de cet exercice est particulière car elle associe mesures empiriques et
|
||
raisonnement déductif.
|
||
149 — Géométrie
|
||
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||
Ayant à leur disposition plusieurs exemples de triangles, ils peuvent calculer leur
|
||
périmètre et, en ajustant peu à peu la mesure du premier côté choisi ou en comparant
|
||
les résultats obtenus dans la classe, constater que le triangle cherché a un premier
|
||
côté (celui qui est adjacent aux angles de 60° et 80°) dont la longueur est comprise
|
||
entre 3,5 cm et 4 cm. En effet, voici ce que l’on obtient en utilisant le logiciel GeoGebra :
|
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C
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CB = 5,39
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AC = 6,13
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60° 80°
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A B
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BA = 4
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Pour utiliser la notion de proportionnalité des côtés des triangles semblables, il leur
|
||
reste à en choisir un pour effectuer le calcul de proportionnalité. Par exemple, on
|
||
pourra leur demander de produire un tableau de proportionnalité qui reprend la
|
||
mesure d’un côté et le périmètre d’un triangle déjà construit et de l’utiliser pour
|
||
calculer la valeur approchée de la mesure du premier côté dans le triangle cherché.
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Périmètre Périmètre
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Longueur Longueur Longueur
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du triangle du triangle 19,4 15
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AB en cm AC en cm BC en cm
|
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en cm en cm
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3 4,6 4,04 11,64 Longueur
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||
5 ?
|
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3,5 5,36 4,76 13,62 AB en cm
|
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||
4 6,13 5,39 15,52
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5 7,66 6,74 19,4
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||
Il convient d’être vigilant sur le fait que cette démarche s’oppose à ce que l’on
|
||
attend souvent des élèves en géométrie, à savoir une démarche qui repose sur un
|
||
raisonnement et non sur la mesure sur une figure. Les démarches expérimentales
|
||
qui font appel à des mesures sur une figure ont toute leur place dans la résolution
|
||
de problèmes (par exemple lorsque l’élève construit une représentation à l’échelle
|
||
d’une situation réelle et mesure sur sa figure), mais, pour éviter les confusions,
|
||
on veillera à bien expliciter les différentes démarches et à sensibiliser les élèves
|
||
à leurs différences, et ce tout au long du collège.
|
||
150 — Géométrie
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||
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||
Problème 4. Le grand défi
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||
(construire pour raisonner)
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Énoncé
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Chacune des figures suivantes est constituée de deux points A et B. Chacune d’elles
|
||
doit être complétée par un point J qui respecte les conditions suivantes :
|
||
— I, C et D sont trois points tels que I est le milieu des segments [AC] et [BD] ;
|
||
— E est le point tel que A est le milieu du segment [DE] ;
|
||
— J est le milieu du segment [CE].
|
||
Soyez le premier groupe à placer très précisément le point J sur toutes les figures
|
||
pour remporter le défi. Vous devrez ensuite être capables de convaincre les autres
|
||
groupes que toutes vos figures sont correctes !
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A B
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B
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A
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A
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B
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Mots-clés
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Géométrie plane, construction, parallélogramme, conjecture, géométrie dynamique,
|
||
représenter, raisonner.
|
||
151 — Géométrie
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
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||
Ce problème nécessite dès le début de sa résolution une prise d’initiative originale
|
||
de la part de l’élève. En effet, la construction va reposer sur un point C (ou un point
|
||
D) qui n’est pas donné et pour lequel on n’a aucune indication. L’élève doit donc faire
|
||
preuve d’imagination et, en quelque sorte, de confiance en lui pour placer ce point
|
||
où il le souhaite et continuer la construction qui s’avère ensuite assez facile.
|
||
|
||
L’observation de plusieurs figures précises (faites à la main et/ou avec un logiciel de
|
||
géométrie dynamique) amène un raisonnement inductif. Les multiples représentations
|
||
obtenues par le groupe, la classe ou grâce à un logiciel semblent très variées de
|
||
prime abord puisque les points A, B et même C sont placés sans aucune contrainte.
|
||
Mais leur comparaison amène à constater que les positions des premiers points
|
||
n’ont pas d’influence sur la position du point J cherché : il est toujours le milieu du
|
||
segment [AB]. On passe donc de cas particuliers à un cas général. L’étonnement qui
|
||
résulte de ce premier raisonnement est une stimulation pour nombre d’élèves, car
|
||
cela ne se réduit pas, pour eux, à une vérification d’un résultat annoncé.
|
||
|
||
Un autre moyen de motiver les élèves est la présentation de la consigne sous forme
|
||
de défi : cela donne une dimension ludique, avec un enjeu de vitesse et de précision
|
||
d’exécution entre les groupes où chacun a à cœur de s’investir.
|
||
|
||
Ce problème contient aussi un élément intéressant pour la gestion de l’activité par
|
||
le professeur lui-même : le point J cherché étant le milieu du segment [AB] donné
|
||
initialement, le professeur peut vérifier d’un seul coup d’œil la construction de chaque
|
||
élève. Il pourra d’ailleurs expliquer aux élèves que cette figure a une propriété qui
|
||
lui permet de le faire, sans pour autant dévoiler ce qu’elle est pendant la phase de
|
||
recherche. Cet aspect intrigue facilement les élèves qui, là encore, peuvent être
|
||
stimulés.
|
||
|
||
Enfin, comme d’autres problèmes de géométrie classique, la construction demandée
|
||
est complexe sans être difficile à exécuter, et les élèves y apprennent à coder au fur
|
||
et à mesure, à prouver ce qui est établi par un raisonnement inductif puis, dans la
|
||
phase de raisonnement déductif, à décomposer la figure en sous-figures, extraites
|
||
les unes après les autres, mais dans l’ordre de la construction.
|
||
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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||
|
||
Ce problème pourra être proposé à partir de la classe de 5e, lorsque les propriétés
|
||
du parallélogramme sont connues. Il fait travailler la compétence « représenter »,
|
||
mais aussi plusieurs aspects de la compétence « raisonner » : le raisonnement inductif
|
||
basé sur l’observation de plusieurs constructions complètes et le raisonnement
|
||
déductif à plusieurs étapes qui devra être davantage accompagné par le professeur
|
||
en début de cycle. La communication de la preuve, bien organisée à l’écrit, n’est qu’un
|
||
attendu de fin de cycle 4.
|
||
152 — Géométrie
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||
|
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||
Stratégies d’enseignement
|
||
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||
La consigne s’adresse à des groupes d’élèves, car un travail individuel serait long et
|
||
assez fastidieux, ce qui ferait courir le risque de les désintéresser de la situation étudiée.
|
||
|
||
Les figures données à chaque groupe permettent une différenciation : les figures
|
||
avec quadrillage sont plus faciles à exécuter et à vérifier entre élèves. La dernière
|
||
figure proposée est importante d’un point de vue didactique, car la construction pas
|
||
à pas oblige à sortir du cadre ; pour placer le point J, il sera nécessaire de conjec-
|
||
turer sa position. Cela rend le raisonnement nécessaire : les élèves ne peuvent pas
|
||
se contenter d’exécuter une construction.
|
||
|
||
Une ou deux autres figures peuvent être ajoutées pour assurer un bon raisonnement
|
||
inductif avec des constructions sur papier, mais elles peuvent être remplacées avan-
|
||
tageusement par une deuxième partie de construction avec un logiciel de géométrie
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dynamique. Aucun fichier préparé par le professeur n’est utile : les points A et B de
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départ sont quelconques.
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Si chaque étape de la construction ne comporte aucune difficulté technique parti-
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culière après l’étude des parallélogrammes en classe de 5e, la première requiert
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une prise d’initiative : le point C (ou le point D) peut être placé où l’on veut sans que
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cela change la position du point J. Cela va souvent déstabiliser les élèves qui ne
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connaissent initialement pas le résultat et il sera nécessaire de différencier l’aide
|
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apportée. Le professeur doit donc les inciter à se lancer dans la démarche sans
|
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plus d’indication, en les rassurant, ou même proposer explicitement de placer le
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point C où ils veulent.
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La conjecture sera plus facile à établir dans certains groupes que dans d’autres.
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Pour faire un temps de régulation, il est nécessaire d’attendre que tous les élèves
|
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aient chacun une figure bien réalisée. Si la construction avec un logiciel de géométrie
|
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dynamique vient ensuite, il est important de rappeler qu’elle ne permettra que de
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consolider la conjecture, pas de la prouver.
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L’étonnement devant la conjecture, mieux que les petites imperfections dues aux
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erreurs de tracé sur certaines figures, amène la nécessité de la preuve : comment
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est-ce possible que le point J soit toujours le milieu de [AB] ? En début de 5e, le pro-
|
||
fesseur pourra aider à déterminer les étapes de démonstration, en guidant plus
|
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ou moins les groupes selon leurs besoins. Il sera souvent amené à rappeler aux
|
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élèves de bien coder la figure au fur et à mesure et à leur demander d’extraire des
|
||
parties de figure, car il n’est pas naturel pour eux de faire abstraction de certains
|
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éléments, de redessiner à main levée une partie de la figure. La dernière étape de
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démonstration nécessite l’utilisation de la propriété suivante dans le quadrilatère
|
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AEBC : « Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur,
|
||
alors c’est un parallélogramme. » Si cette propriété n’a pas été donnée dans le cours,
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le professeur pourra la donner à l’occasion de ce problème.
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153 — Géométrie
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Didactique. Raisonner
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pour construire et construire
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pour raisonner
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Les problèmes de constructions occupent une place privilégiée dans le programme
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de cycle 4. L’objectif n’est cependant pas de rendre les élèves experts en construction
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avec les instruments ou avec un logiciel de géométrie dynamique, mais plutôt de leur
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apprendre à observer, analyser, modéliser et représenter des figures complexes
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afin de les faire raisonner. Le lien entre construction et raisonnement est à double
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sens et peut être développé via différents types de problèmes.
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Raisonner pour construire
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Il s’agit de problèmes dans lesquels un raisonnement est un préalable nécessaire
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à la construction d’une figure. Les compétences « chercher » et « représenter »
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y sont particulièrement développées, et le raisonnement est l’objectif principal.
|
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La construction en vraie grandeur peut y être secondaire et ne représenter qu’une
|
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application finale, l’aboutissement d’un raisonnement. Ainsi, ces problèmes doivent
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||
inciter à tracer des figures à main levée et à les coder, les codages étant des tra-
|
||
ductions des propriétés données dans le texte de l’énoncé. La figure à main levée
|
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et codée permet d’analyser les liens entre les différents éléments ou d’éviter des
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représentations erronées.
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Ces problèmes peuvent être très simples ou beaucoup plus complexes. Envisageons
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par exemple le problème suivant : « Construire un rectangle EFGH tel que EF = 6 cm et
|
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EG = 8 cm. » Sans schéma codé, beaucoup d’élèves se font une mauvaise idée de ce
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qui est demandé et produisent un rectangle ayant pour dimensions 6 et 8 cm, alors
|
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que c’est la diagonale qui mesure 8 cm. De plus, la construction nécessite de faire
|
||
appel à des propriétés, ce qui permet de montrer leur utilité sans les réduire à un
|
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catalogue de connaissances. L’objectif premier est bien de raisonner, puis d’aboutir
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à une construction.
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Dans ce type de problème, on peut souvent différencier assez facilement la commu-
|
||
nication du raisonnement, et ce dès la classe de 6e. Certains élèves donneront leur
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raisonnement plutôt à l’oral de manière maladroite, quand d’autres le feront à l’écrit
|
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et plus rigoureusement, mais tous feront une figure.
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Les élèves seront souvent décontenancés par certains sujets qui ne donnent pas
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toutes les informations pour réaliser immédiatement la figure demandée. Ils suivront
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alors leur intuition et feront des essais dont certains pourront ne pas aboutir (cela
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pourra notamment être le cas du problème « Le triangle mystère », présenté p. 146),
|
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mais ces problèmes permettront souvent de développer les capacités d’analyse et
|
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de prise d’initiative des élèves.
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154 — Géométrie
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Construire pour raisonner
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À l’inverse, de nombreux problèmes nécessitent la réalisation d’une figure pour
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pouvoir élaborer un raisonnement. Les compétences « chercher », « modéliser » et
|
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« représenter » y sont les plus travaillées. La figure peut parfois amener à produire
|
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un raisonnement inductif (voir problème « Le grand défi », p. 150). Ces problèmes
|
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peuvent faire appel à une modélisation ou être purement mathématiques.
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Les problèmes de modélisation, vécus ou issus d’une photo ou d’une vidéo, néces-
|
||
sitent le passage d’une situation réelle à un modèle mathématique (par exemple une
|
||
figure géométrique), ce qui peut être un véritable obstacle pour les élèves. S’ils ne
|
||
maîtrisent pas cette compétence, ils ne peuvent pas accéder au raisonnement. Il est
|
||
donc essentiel de former les élèves à modéliser puis à représenter le modèle choisi,
|
||
notamment pour les rendre plus autonomes dans l’utilisation d’outils mathématiques
|
||
au-delà du strict champ mathématique.
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L’exemple suivant138 est présenté de façon à ce que l’élève ait besoin de s’imaginer
|
||
la situation, de comprendre dans quel plan se placer pour effectuer ensuite la
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modélisation sous forme d’une figure géométrique plane, comportant toutes les
|
||
informations nécessaires à la mise en œuvre du raisonnement déductif menant à
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la réponse :
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« Lors d’une intervention, les pompiers
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doivent atteindre une fenêtre située à
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||
18 mètres au-dessus du sol en utilisant
|
||
une échelle télescopique qui pivote
|
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autour de son pied. Le pied de l’échelle
|
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est situé sur le camion à 1,5 mètre
|
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du sol et à 10 mètres de l’immeuble,
|
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en face de la fenêtre à atteindre.
|
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Une fois l’échelle positionnée, quel
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||
angle fera-t-elle avec l’horizontale et
|
||
quelle longueur aura-t-elle ? »
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||
Par ailleurs, certains problèmes purement mathématiques réclament un véritable
|
||
travail de construction avant la phase de raisonnement. C’est notamment le cas des
|
||
problèmes qui nécessitent d’énoncer une conjecture, par exemple en s’appuyant
|
||
sur un raisonnement inductif à partir de l’observation de plusieurs figures (ou d’une
|
||
figure dynamique). Dans ces problèmes, la construction d’une figure peut aider à la
|
||
compréhension de la situation, mais peut aussi servir à décomposer un problème
|
||
en sous-problèmes (voir par exemple le problème « Le grand défi », p. 150).
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138 — Photo : Pixabay
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156 — Géométrie
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En résumé
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Le passage de la géométrie perceptive à la géométrie
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du raisonnement est délicat et doit être accompagné
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de situations-problèmes qui illustrent la force
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du raisonnement.
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En géométrie, les élèves peuvent rencontrer deux types
|
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de difficultés liées à la perception : penser ce qui n’est pas
|
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visible (en particulier en géométrie dans l’espace), et penser
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juste même lorsque le visible induit en erreur (figures
|
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à main levée erronées en géométrie plane par exemple).
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Les logiciels de géométrie dynamique sont un appui
|
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essentiel et permettent la mise en œuvre d’une démarche
|
||
scientifique : après le test sur de nombreux cas, les élèves
|
||
conjecturent, puis peuvent s’engager dans la preuve.
|
||
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||
En géométrie, construction et raisonnement sont étroitement
|
||
liés. La construction est un point d’appui à l’élaboration
|
||
du raisonnement, et parallèlement, la réalisation de certaines
|
||
constructions nécessite un raisonnement préalable.
|
||
VI
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Grandeurs
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158 — Grandeurs
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Depuis 2002, la partie sur les grandeurs et mesures
|
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est clairement identifiée dans les programmes de l’école
|
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et du collège139. Le document d’accompagnement140
|
||
de 2008 – outil toujours pertinent pour la formation
|
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des enseignants – et le nouveau document ressource141
|
||
insistent sur la place de ce thème dans la résolution
|
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de problèmes. Les problèmes de ce chapitre visent
|
||
à travailler d’une part les grandeurs indépendamment
|
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de leurs mesures, et d’autre part les grandeurs
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quotients dans le contexte linéaire ou non linéaire.
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Entrée historique
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Au xviiie siècle, les systèmes de mesure (longueurs, poids, capacités, monnaies, temps)
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sont complexes. De plus, ils varient d’un pays à l’autre, d’une région à l’autre, d’une
|
||
ville à l’autre, d’une corporation à l’autre. Cela entraîne des calculs compliqués dans
|
||
la vie quotidienne, des erreurs fréquentes et de multiples possibilités de fraude. Pour
|
||
remédier à cette situation, la Convention nationale, par son décret du 1er août 1793,
|
||
institue un nouveau système général des poids et mesures reposant notamment sur
|
||
la division décimale de toutes les unités de grandeur.
|
||
|
||
Pour faciliter la transition, on constitue des tables numériques de conversion,
|
||
mais celles-ci se révélant d’un usage difficile pour la population, on essaie aussi de
|
||
recourir à des tables graphiques. C’est ainsi qu’après diverses tentatives, Louis-
|
||
Ézéchiel Pouchet (1748-1809), un manufacturier de coton de Rouen, propose en
|
||
1797 un tableau graphique universel pour toutes les multiplications et divisions
|
||
nécessitées par les problèmes de conversion (voir figure 34, ci-contre). Cet abaque
|
||
est formé d’un réseau d’hyperboles d’équations xy = z pour les valeurs entières de
|
||
z de 1 à 100. Une relation ab = c entre trois nombres est représentée par le point
|
||
de concours de trois lignes : la droite d’équation x = a, la droite d’équation y = b et
|
||
l’hyperbole d’équation xy = c. Deux des nombres a, b, c étant donnés, on peut ainsi
|
||
déterminer le troisième par simple lecture.
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||
139 — https://www.education.gouv.fr/bo/BoAnnexes/2004/
|
||
hs4/maths_sixieme.pdf ; https://www.education.gouv.fr/bo/
|
||
BoAnnexes/2005/hs5/annexe2_1.pdf
|
||
140 — https://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/16/9/
|
||
doc_acc_clg_grandeurs_109169.pdf
|
||
141 — https://cache.media.eduscol.education.fr/file/
|
||
Mathematiques/16/8/RA16_C3_MATH_grand_mesur_N.D_609168.pdf
|
||
159 — Grandeurs
|
||
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||
Voici un exemple de problème donné par Pouchet : « À 25 carlins la canne de Naples,
|
||
combien le mètre ? » Sachant qu’une canne vaut 1,965 mètre et qu’un carlin vaut 0,44
|
||
franc, le résultat cherché est 25 x 0,44 ÷ 1,965 franc par mètre. Pouchet décrit ainsi
|
||
le calcul graphique à effectuer (figure 34) : « À l’intersection du multiplicande 25 &
|
||
du multiplicateur 0,44, prenez le produit 11 & à l’intersection du dividende 11 avec
|
||
le diviseur 1,965, prenez le quotient 5,6, qui est la réponse à la demande. »
|
||
|
||
À la suite de Pouchet, des tables graphiques de calcul ont été utilisées dans de nom-
|
||
breux domaines jusque dans les années 1970, où elles ont été en grande partie
|
||
supplantées par les calculatrices électroniques et les ordinateurs.
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Figure 34. Tableau graphique universel proposé par Louis-Ézéchiel Pouchet. Calcul de 25 x 0,44 ÷ 1,965 sur cet
|
||
abaque : en multipliant 25 par 0,44, on arrive sur l’hyperbole cotée 11, puis, en divisant 11 par 1,965, on obtient 5,6.
|
||
L’approximation est suffisante pour les besoins courants. Noter qu’à chaque étape, le placement de la virgule se fait
|
||
par une estimation mentale de l’ordre de grandeur : il s’agit donc d’un calcul en virgule flottante.
|
||
160 — Grandeurs
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Point sur la recherche 142
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Les élèves sont facilement convaincus qu’on obtient des douzièmes en pliant en douze
|
||
parts égales une feuille A4. Plusieurs pliages sont cependant possibles, qui donnent
|
||
des « douzièmes » de formes différentes (voir figures 35 et 36). S’agit-il du même
|
||
douzième ? « Puisque 12 douzièmes c’est 1, c’est le même douzième » constitue une
|
||
justification courante, d’ordre algébrique, qui repose sur « puisque 12a = 1 et 12b = 1,
|
||
alors a = b ». Est-ce aussi élémentaire qu’il n’y paraît ?
|
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||
Figures 35 et 36. Deux pliages en 12 parts égales qui forment des rectangles trapus ou allongés.
|
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||
Les nombres sont enseignés et donc pensés par les élèves comme mesures de
|
||
grandeurs et les pliages en « douzièmes » mettent en jeu la grandeur aire. Considérant
|
||
les pliages des figures ci-dessus, pour trancher sur l’identité des douzièmes, une
|
||
justification, d’ordre pragmatique, consiste à tester la recomposition d’un rectangle
|
||
trapu, par découpages et recollements, en un rectangle allongé. Dans une classe,
|
||
la conclusion sera affirmative ou négative selon l’habileté les élèves. L’enseignant
|
||
peut forcer la conclusion en affirmant qu’en théorie, la recomposition est possible.
|
||
Il peut aussi engager les élèves dans une justification complémentaire. Une étape
|
||
préliminaire est nécessaire : si le pliage est idéal, tous les rectangles trapus sont
|
||
identiques, de même pour les rectangles allongés. Imaginons alors que les aires
|
||
des rectangles trapus et allongés soient différentes. Deux aires étant toujours
|
||
comparables (1), supposons, par exemple, que l’aire d’un rectangle allongé est
|
||
plus grande. L’aire du petit peut alors être complétée pour former la grande (2).
|
||
Une expérience de pensée permet d’affirmer que la juxtaposition de 12 rectangles
|
||
trapus reconstitue la feuille et que celle des 12 rectangles allongés est plus grande,
|
||
ce qui est impossible. Ce raisonnement élémentaire – mais par l’absurde – établit la
|
||
régularité de la multiplication d’une grandeur par entier et assure qu’il s’agit bien du
|
||
même douzième. Il est généralisable à la multiplication par un rationnel et est aussi
|
||
valable pour la grandeur nombre.
|
||
|
||
Cet exemple illustre que les grandeurs et leurs propriétés (ici, notamment 1 et 2)
|
||
fournissent des opportunités pour l’apprentissage du raisonnement, apportent
|
||
des justifications de natures variées utiles pour l’apprentissage des propriétés
|
||
des nombres et des opérations, et suggère que leur absence pourrait induire des
|
||
failles logiques dans cet enseignement, questions explorées par la recherche en
|
||
didactique143 .
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||
142 — Contribution de Christine Chambris.
|
||
143 — Cf. références bibliographiques du chapitre 6. Voir p. 212.
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||
161 — Grandeurs
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Mathématiques. Notions
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de grandeurs , mesures et unités 144
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Grandeur (divisible)
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Les grandeurs physiques ou mathématiques dépendent des objets d’étude qui peuvent
|
||
porter plusieurs espèces de grandeurs (masse, longueur, durée, prix). Une grandeur
|
||
met en relation des objets différents au sens des « relations d’équivalence » (tous
|
||
les objets de même masse portent la même grandeur). Les grandeurs (d’une même
|
||
espèce, par exemple, la masse) vérifient une relation d’ordre total (on peut comparer
|
||
des masses), possèdent une addition (on peut additionner des masses) et par itération
|
||
une multiplication par un entier (une masse trois fois plus lourde qu’une autre), une
|
||
soustraction (si une masse est plus petite qu’une autre, on peut trouver une masse
|
||
différente), et généralement la division par un entier non nul (on parle alors de grandeur
|
||
divisible). Certaines notions discrètes (habitant, voyageur, véhicule) sont traitées
|
||
comme des grandeurs (discrètes) et en pratique comme des grandeurs (divisibles)
|
||
dès que les cardinaux sont grands (le tiers d’une population de 3 500 habitants).
|
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Mesure
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Mesurer une grandeur, c’est chercher combien de fois elle contient une grandeur
|
||
de même espèce, appelée unité. Cette mesure dépend donc de l’unité, contrairement
|
||
à la grandeur qui est intrinsèque. Le résultat de la mesure est donc un nombre.
|
||
La mesure permet de comparer deux grandeurs (divisibles) de même nature en
|
||
ramenant la comparaison à celle de deux nombres.
|
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||
« Grandeur repérable »
|
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||
Certaines grandeurs physiques ne sont pas mesurables, car l’échelle numérique
|
||
associée, pour les caractériser, dépend du choix d’une origine (comme la température
|
||
thermométrique Celsius, la date calendaire). Dans ce cas, ces grandeurs sont dites
|
||
repérables, et on devrait dire au quotidien « repérer une température » plutôt que
|
||
« mesurer une température ». Point de vigilance : passer de 10 °C à 20 °C, ce n’est
|
||
pas doubler la température, car dans l’échelle Fahrenheit on passe de 50 °F à 68 °F
|
||
qui n’est pas un doublement.
|
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|
||
144 — Le document d’accompagnement d’octobre 2007 définit
|
||
de manière claire et précise la notion de grandeur : http://cache.
|
||
media.education.gouv.fr/file/Programmes/16/9/doc_acc_clg_
|
||
grandeurs_109169.pdf
|
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162 — Grandeurs
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||
Grandeurs et dimension
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||
La dimension caractérise la nature de la grandeur et définit les unités utilisables.
|
||
On peut ramener la dimension de grandeurs physiques à une combinaison parmi
|
||
les sept grandeurs fondamentales (masse, longueur, durée145 , etc.). Ainsi, l’aire est
|
||
une grandeur produit, tandis que l’angle est une grandeur sans dimension.
|
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Problème 1. Le Curvica
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Curvica est un puzzle pédagogique de 24 pièces inventé par Jean Fromentin en 1982
|
||
et publié par l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement
|
||
public (Apmep)146. Les pièces, toutes différentes, sont constituées de 4 côtés bombés,
|
||
rectilignes ou creusés à partir d’un même carré.
|
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||
147
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Figure 37. Les 24 pièces de ce puzzle Curvica forment un rectangle de 4 pièces sur 6 .
|
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Énoncé
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||
On s’intéresse uniquement aux pièces A, B, C, D, E et F.
|
||
a. Classer ces 6 pièces du plus petit au plus grand périmètre.
|
||
b. Classer ces 6 pièces de la plus petite à la plus grande aire. Que remarque-t-on ?
|
||
c. Quelles sont les deux pièces qui ont la même aire et le même périmètre ?
|
||
d. Trouver deux pièces qui ont le même périmètre, mais des aires différentes.
|
||
|
||
145 — Source : https://ics.utc.fr/PS90/chapitre1/co/definition-
|
||
grandeur
|
||
146 — https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Curvica_Touss_From_-2.pdf
|
||
ou https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Defis_curvica.pdf
|
||
147 — Ces images sont issues du site de l’Institut de recherche sur
|
||
l’enseignement des mathématiques de La Réunion : https://irem.univ-
|
||
reunion.fr/spip.php?article802
|
||
163 — Grandeurs
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Mots-clés
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Distinction aire/périmètre, chercher, raisonner.
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Pourquoi ce problème ?
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Ce problème a pour enjeu, d’une part, de distinguer aire et périmètre et d’autre
|
||
part, de ne pas utiliser la mesure pour comparer les différentes grandeurs. Il sera
|
||
l’occasion de montrer aux élèves que des figures de même périmètre peuvent avoir
|
||
des aires différentes (et réciproquement).
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Ressorts de continuité ou éléments
|
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de progressivité
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||
Ce problème peut être traité dès le début du cycle 3 et se prolonger en fin de cycle 4
|
||
ou en classe de 2de.
|
||
|
||
Au cycle 3, on pourra effectuer les comparaisons sans mesure par superposition
|
||
des aires, et pour les périmètres utiliser le principe du plus court chemin (en géo-
|
||
métrie euclidienne le chemin le plus court entre deux points est le segment reliant
|
||
ces deux points).
|
||
|
||
En fin de cycle 4 et en 2de, le travail pourra s’orienter vers l’expression des périmètres
|
||
et des aires. Il est envisageable de s’affranchir de calculs numériques en posant,
|
||
par exemple, p la longueur de cet arc de cercle et a l’aire de la portion de disque
|
||
ainsi générée. Ainsi, il sera possible d’exprimer, en fonction de p, le périmètre, et en
|
||
fonction de a, l’aire de chacune des 24 pièces et de comparer ces périmètres et ces
|
||
aires. La propriété d’additivité de l’aire prend ici tout son sens.
|
||
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
En fin de cycle 3, il convient de mettre à disposition les pièces afin de permettre aux
|
||
élèves de manipuler et ainsi de comparer aires et périmètres. Il est possible, dans
|
||
le cadre de la différenciation, de varier l’énoncé en modifiant le choix des pièces au
|
||
départ et en modulant le questionnement.
|
||
164 — Grandeurs
|
||
|
||
|
||
Énoncé alternatif
|
||
|
||
On s’intéresse uniquement aux pièces E, I, K, Q et S.
|
||
a. Classer ces 6 pièces du plus petit au plus grand périmètre.
|
||
b. Classer ces 6 pièces de la plus petite à la plus grande aire. Que remarque-t-on ?
|
||
c. Quelles sont les deux pièces qui ont la même aire et le même périmètre ?
|
||
d. Trouver deux pièces qui ont le même périmètre, mais des aires différentes.
|
||
|
||
|
||
|
||
Pour aller plus loin
|
||
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||
La comparaison, en général, pour un périmètre donné L, des aires et des surfaces
|
||
possibles A n’a guère de sens puisqu’il s’agit de grandeurs différentes. Un débat
|
||
dans la classe devrait conduire à comparer plutôt l’aire A à L2, le carré du périmètre.
|
||
En manipulant une ficelle fermée de longueur donnée, les élèves arrivent facilement
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à constater que l’aire A est dominée par l’aire du disque, que l’on peut exprimer par
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L2 , ce qui nous amène à l’inégalité isopérimétrique : 4πA ≤ L2.
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4π
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TRANSFERT
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Le Curvica triangulaire (construction des pièces non plus sur la base d’un carré,
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mais d’un triangle équilatéral).
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Problème 2. Des robinets
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qui coulent
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Énoncé
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On dispose de deux robinets. Le premier est capable de remplir un réservoir d’eau
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de 24 L en 1 minute, le second peut remplir ce même réservoir en 2 minutes.
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En ouvrant les deux robinets au même moment, combien de temps faudrait-il pour
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remplir un jacuzzi avec 1 080 L d’eau ?
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a. 15 min
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b. 67,5 min
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c. 135 min
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d. 30 min
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165 — Grandeurs
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Mots-clés
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Notion de débit, 1 dm3 = 1 L, contenance, durée, proportionnalité, ratio.
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Pourquoi ce problème ?
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Les problèmes de robinet ont laissé quelques mauvais souvenirs dans l’enseignement
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et ont souvent été décriés. Comme rappelé dans l’entrée historique du chapitre 2,
|
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ces problèmes relèvent de la proportionnalité et de la méthode de la fausse position
|
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comme dans l’exemple traité par Fibonacci : « Un lion mange un mouton en 4 heures,
|
||
un léopard en 5 heures et un ours en 6 heures. On demande en combien d’heures
|
||
ils auront dévoré un mouton si on leur en jette un entre eux. »
|
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Plus généralement, selon la grandeur de référence prise (temps, volume, débit) ou
|
||
la notion en appui pour les calculs (proportionnalité directe, fraction, ratio, etc.), les
|
||
démarches de modélisation, en lien avec la proportionnalité, présentent une variété
|
||
d’approches montrant qu’il existe plusieurs façons de résoudre des problèmes mathé-
|
||
matiques. Ainsi, les mathématiques contribuent à la pluralité des approches, au débat
|
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contradictoire, mais reposant sur le raisonnement, et à l’argumentation partagée.
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Ressorts de continuité ou éléments
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de progressivité
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Les élèves peuvent rencontrer des difficultés à se représenter correctement la
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situation, notamment pour faire le lien entre débits, volume d’eau et temps. Le fait
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que le deuxième robinet mette « deux fois plus de temps » peut être confondu avec
|
||
« deux fois plus de volume », car fonctionnant deux fois plus longtemps.
|
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Au milieu du cycle 4, après un travail sur les grandeurs quotients, ce problème peut
|
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être proposé pour mobiliser la notion de débit en parallèle avec la notion de vitesse
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rencontrée dès le cycle 3148 .
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Stratégies d’enseignement
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Différentes démarches (on en présente trois ici) sont envisageables, mais elles
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mettent toutes en jeu un raisonnement autour d’une unité permettant un rai
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sonnement qui s’appuie sur la proportionnalité. L’utilisation d’une modélisation
|
||
permet aux élèves d’entrer plus facilement dans le problème en se représentant de
|
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manière concrète la situation.
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148 — « […] l’élève utilise la proportionnalité pour résoudre
|
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des problèmes simples mettant en jeu des échelles, des pourcentages,
|
||
des déplacements à vitesse constante », extrait de programme.
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166 — Grandeurs
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L’énoncé présente une difficulté pour comparer les débits des deux robinets.
|
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Ce point n’est pas anodin et résulte d’une analyse précise de l’énoncé par l’élève qui
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doit se poser la question : « Que se passe-t-il en une minute [l’unité de temps du rai
|
||
sonnement], si je sais ce qui se passe en deux minutes ? » ou, de manière équivalente,
|
||
« Que se passe-t-il en deux minutes ? »
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DÉMARCHE 1
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On raisonne autour de l’unité de temps.
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Par minute, R1 (le premier robinet) remplit 24 L et R2 remplit 12 L : à eux deux, ils rem-
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||
plissent 36 L en une minute. Il faut 30 (= 1 080 ÷ 36) minutes pour remplir le jacuzzi.
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Dans d’autres pays comme en Allemagne, le symbole est dédié à la corres
|
||
pondance entre deux grandeurs ; on écrirait en Allemagne 1 min 36 L.
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DÉMARCHE 2
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On raisonne sur les volumes.
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En un temps donné, le robinet R1 délivre un volume deux fois plus important que le
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||
robinet R2, ce qui explique que, pendant le temps total, R1 remplit les deux « unités
|
||
de volume » tandis que R2 ne remplit qu’une « unité de volume ». La modélisation en
|
||
barres, ou un raisonnement élémentaire, indique qu’il y a donc 3 volumes à
|
||
considérer. Par conséquent, R1 remplit les deux tiers du volume total du jacuzzi
|
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tandis que R2 en remplit un tiers. On en déduit que R1 remplit 720 L, tandis que R2
|
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remplit 360 L.
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1 080 L
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R1 R1 R2
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720 L 360 L
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Or 720 ÷ 24 = 30 ; il faut 30 minutes pour remplir le réservoir.
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DÉMARCHE 3
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On raisonne en appui sur le débit de l’un des robinets, comme dans la méthode de
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la fausse position.
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Supposons que R2 fonctionne seul pour remplir 1 080 L. Si on note D le
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||
débit de R2, V le volume rempli par R2 pendant la durée T, on a par definition
|
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V 24 L V 1 080 L
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D = T = 2 min = 12 L/min. D’où T = D = 12 L/min = 90 min, le temps qu’il faudrait si
|
||
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||
R2 fonctionnait seul. Or, le volume rempli par R1 et R2 ensemble est égal à 3 fois le
|
||
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||
volume rempli par R2. On en déduit que le temps nécessaire pour remplir le jacuzzi
|
||
est égal à 90 min ÷ 3 = 30 min.
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167 — Grandeurs
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ANALYSE DES RÉPONSES ET CHOIX DES DISTRACTEURS
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a. L’élève considère qu’en une minute on verse 24 L + 2 × 24 L = 72 L, alors
|
||
1 080 ÷ 72 = 15.
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||
b. L’élève ajoute les volumes obtenus en une minute pour l’un et en deux minutes pour
|
||
l’autre (ajoute les durées plutôt que de considérer que les robinets fonctionnent en
|
||
même temps). Il obtient 1 080 ÷ 48 = 22,5 puis 22,53 x 3 = 67,5.
|
||
c. Tout se passe comme si chaque robinet remplit seul la piscine ; puis ajout des deux
|
||
1 080 1 080
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durées : 24 + 12 = 135.
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d. C’est la bonne réponse.
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Problème 3. Coût carbone
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Énoncé
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Une famille composée de 4 personnes envisage de faire le trajet Lille - Marseille et
|
||
souhaite limiter au maximum l’empreinte carbone de leur voyage (voir le tableau
|
||
ci-dessous). Cette famille hésite entre le train, l’avion, le bus ou utiliser leur voiture
|
||
familiale qui est un véhicule hybride. On sait que :
|
||
— la distance Lille - Marseille par routes et autoroutes est de 990 km ;
|
||
— la distance Lille - Marseille en avion est de 834 km ;
|
||
— la distance Lille - Marseille en train est de 965 km.
|
||
Quel mode de transport va privilégier cette famille éco-responsable ?
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Mode de transport Coût carbone
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Avion 25 gCO2e/km par passager
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Voiture hybride
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86 gCO2e pour 1 km
|
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transportant 4 personnes
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Bus transportant
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||
65 kgCO2e pour 100 km
|
||
50 passagers
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||
Train grande vitesse 13 gCO2e/km par passager
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Doc. Coût carbone (gCO2e : gramme de CO2 émis).
|
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168 — Grandeurs
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Mots-clés
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||
Grandeurs composées, proportionnalité, prise d’initiative, développement durable
|
||
et formation du citoyen.
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
Le problème s’attache à travailler les grandeurs produits ainsi que les grandeurs
|
||
quotients. Son originalité réside dans l’utilisation de grandeurs, que l’on voit rarement
|
||
en collège, mais davantage dans des sujets au baccalauréat ou dans les évaluations
|
||
internationales où les questions environnementales sont souvent interrogées.
|
||
|
||
Par ailleurs, le questionnement sur le calcul du coût carbone émis dans les divers
|
||
scénarios de transport ouvre, au sein de la classe, un débat scientifique dans un
|
||
cadre pluridisciplinaire sur les paramètres complexes qu’il convient de prendre en
|
||
compte pour une telle estimation des données inscrites dans le tableau (consom-
|
||
mation énergétique, amortissement du matériel, usure de l’infrastructure, taux de
|
||
remplissage pour le transport en commun, etc.).
|
||
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||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
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||
|
||
Cette situation s’apparente à un problème avec prise d’initiative et permet à l’élève de
|
||
mobiliser en particulier les compétences « chercher », « calculer » et « communiquer ».
|
||
|
||
Les méthodes que l’élève peut mettre en œuvre sont plurielles et nécessitent une
|
||
vigilance particulière dans le traitement des informations concernant l’unité, pour
|
||
pouvoir mener des raisonnements comparatifs. La précipitation est ici à éviter,
|
||
comme le signalait déjà Descartes dans sa première règle de la Méthode149, tandis
|
||
que la troisième règle suggère de commencer à raisonner sur les objets les plus
|
||
simples150. L’élève pourra par exemple raisonner par passager à l’échelle de la famille.
|
||
|
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|
||
149 — « Le premier [principe] était de ne recevoir jamais aucune chose pour
|
||
vraie que je ne la connusse évidemment être telle : c’est-à-dire d’éviter
|
||
soigneusement la précipitation et la prévention ; et de ne comprendre rien
|
||
de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si
|
||
distinctement à mon esprit que je n’eusse aucune occasion de la mettre en
|
||
doute », Discours de la méthode, Descartes, 1637.
|
||
150 — « Le troisième [principe] de conduire avec ordre mes pensées, en
|
||
commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître,
|
||
pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu’à la connaissance
|
||
des plus composés ; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se
|
||
précèdent point naturellement les uns les autres », ibid.
|
||
169 — Grandeurs
|
||
|
||
En classe de 5e, le problème est essentiellement centré sur la proportionnalité et
|
||
on veillera à un accompagnement de l’élève quant à sa compréhension des unités
|
||
utilisées et la manipulation de ces dernières. À ce titre, il conviendra que l’enseignant
|
||
explicite correctement chacune des unités employées ; par exemple pour 60 km/h,
|
||
dire « 60 kilomètres par heure » et non pas « 60 kilomètres-heure ».
|
||
|
||
En milieu de cycle 4, l’enjeu porte sur la compréhension des grandeurs et de leurs
|
||
unités respectives ; le professeur laissera une autonomie plus importante à l’élève
|
||
dans la résolution de ce problème, notamment pour le traitement des informations
|
||
concernant le transport en bus (quel coût est imputable à la famille ?).
|
||
|
||
Il convient toutefois d’avoir travaillé de manière suffisamment approfondie la pro-
|
||
portionnalité pour ne pas entraver la priorité de ce problème sur les différentes
|
||
grandeurs mises en jeu.
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||
Stratégies d’enseignement
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||
Ce genre d’exercice se prête facilement au travail de groupe. Les différents coups
|
||
de pouce qui peuvent être donnés relèvent essentiellement de la compréhension
|
||
des unités.
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||
Le tableau peut être décliné de plusieurs manières afin de mettre en œuvre la diffé-
|
||
renciation au sein de la classe. Par exemple, pour faciliter la manipulation des unités,
|
||
on peut proposer à certains élèves le tableau simplifié suivant (ce qui n’exclut pas
|
||
un accompagnement renforcé pour les élèves les plus fragiles avec l’énoncé initial) :
|
||
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||
Mode de transport Coût carbone
|
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||
Avion 25 gCO2e/km par passager
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||
Voiture hybride
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||
86 gCO2e/km
|
||
transportant 4 personnes
|
||
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||
Bus 13 gCO2e/km par passager
|
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||
Train grande vitesse 13 gCO2e/km par passager
|
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170 — Grandeurs
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||
Problème 4. Excès de vitesse
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||
ou pas ?
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Énoncé
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Un automobiliste, au volant d’une voiture de sport, a effectué le trajet Lille-Caen
|
||
d’une distance de 400 km, uniquement en empruntant les autoroutes A1 et A29.
|
||
Au péage de Dozulé, à l’entrée de Caen, les gendarmes arrêtent l’automobiliste et le
|
||
verbalise pour vitesse excessive en lui rappelant que la vitesse maximale autorisée
|
||
sur une autoroute est de 130 km/h. À l’appui de son ticket de péage (document 3),
|
||
il conteste en précisant qu’il a parcouru 400 km et qu’il est parti de Lille à 12 h 30.
|
||
Qui a raison ?
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400 Distance parcourue
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en km
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350
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300
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250
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200
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150
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||
100
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||
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|
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|
||
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||
50
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||
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||
|
||
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||
Temps écoulé en h
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0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
|
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||
Doc. 1
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||
171 — Grandeurs
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Société des autoroutes
|
||
normandes
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||
REÇU À CONSERVER
|
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||
Sortie : DOZULÉ
|
||
TARIF H.T. 3,08 €
|
||
T.V.A. 20 % 0,62 €
|
||
TARIF T.T.C. 3,70 €
|
||
|
||
Paiement : CARTE BANCAIRE
|
||
|
||
Date : 26/03/2021 16 h 32
|
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||
Doc. 2
|
||
151 Doc. 3
|
||
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||
Mots-clés
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||
Grandeurs composées, proportionnalité, prise d’initiative, formation du citoyen,
|
||
vitesse moyenne, lectures graphiques, chercher, calculer, raisonner, communiquer.
|
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
Cette situation s’apparente à un problème avec prise d’initiative et permet à l’élève de
|
||
mobiliser de multiples compétences. Il faut être en capacité d’extraire et d’analyser
|
||
de l’information utile à partir de documents complexes : une compétence majeure
|
||
travaillée depuis l’école primaire et dans toutes les disciplines.
|
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||
Ressorts de continuité
|
||
ou éléments de progressivité
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|
||
Le problème s’attache à travailler les grandeurs quotients. Il convient d’avoir abordé
|
||
de manière suffisamment approfondie la notion de vitesse moyenne, et d’avoir une
|
||
maîtrise des lectures graphiques.
|
||
|
||
Le courbe utilisée dans le document 1 est une fonction affine par morceaux construite
|
||
à partir d’un parcours réel dont on a modifié la vitesse sur des segments auto
|
||
routiers : il permettra aux élèves de calculer les vitesses instantanées soit par calcul
|
||
exact, soit par estimation.
|
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|
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|
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||
151 — Cette capture d’image est issue du site Mappy.com
|
||
172 — Grandeurs
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||
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||
Les différents coups de pouce qui peuvent être donnés relèvent essentiellement
|
||
de la bonne interprétation de la courbe et des choix des intervalles de temps pour
|
||
estimer les vitesses moyennes (glissantes). Des gabarits illustrant les vitesses
|
||
excessives pourront être utiles pour repérer les pentes correspondantes (compte
|
||
tenu des marges d’erreurs et de la précision du tracé, on peut tracer des segments
|
||
représentant des vitesses de 150 km/h ou 160 km/h).
|
||
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||
Problème 5. Comparer des formes
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Énoncé
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||
On considère la forme géométrique ci-dessous dont on cherche à mesurer l’aire en
|
||
fonction des aires de 4 unités différentes (un disque, un carré, un triangle équilatéral
|
||
et une forme quelconque).
|
||
Estimer dans chacun des cas la mesure de l’aire.
|
||
|
||
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||
Mots-clés
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||
|
||
Aire, mesure, calculer, chercher, raisonner.
|
||
173 — Grandeurs
|
||
|
||
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||
Pourquoi ce problème ?
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||
|
||
Les problèmes d’estimation sont fréquents dans les évaluations internationales et
|
||
constituent un point d’appui dans les continuums d’enseignement de l’école primaire
|
||
à l’enseignement supérieur. Pour l’élève, sans données numériques disponibles, les
|
||
enjeux sont de différents ordres : mise en place de stratégies efficaces, prise d’ini-
|
||
tiative, essai-erreur, etc. Pour l’enseignant, c’est l’occasion de revenir sur la notion
|
||
même de grandeur et de mesure dans un contexte non normé. Or dans la vie cou-
|
||
rante, les comparaisons de grandeurs ne sont pas aisées et dépendent largement
|
||
des modélisations sous-jacentes.
|
||
|
||
Cet exercice renvoie, d’une part, aux fondements de la notion de grandeurs divisibles,
|
||
et d’autre part, à des stratégies d’encadrement déjà présentes chez Archimède
|
||
(méthode d’exhaustion-compression) et annonçant le calcul intégral.
|
||
|
||
|
||
|
||
Ressorts de continuité ou éléments
|
||
de progressivité
|
||
|
||
Dès l’école primaire, les élèves sont amenés à estimer l’aire d’une surface par une
|
||
unité, soit dans le cadre des loisirs (recouvrir une forme à l’aide de gommettes), soit
|
||
dans un cadre plus structuré lorsque l’on dispose d’un quadrillage, par exemple.
|
||
|
||
Dans un premier temps, on peut faire travailler les élèves sur l’exemple ci-dessous,
|
||
où l’on souhaite estimer l’aire d’une partie du Mont-Saint-Michel en s’aidant d’un
|
||
plan quadrillé152 . On peut aussi, dans le cadre de la différenciation, proposer un
|
||
quadrillage équilatéral.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
152 — Source : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:MtStMichel-
|
||
PlanNiveau02-Promenoir.png
|
||
174 — Grandeurs
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
|
||
La mesure d’une aire réinterroge les stratégies de comptage qui mettent en jeu
|
||
soit des variables d’échelle (compter dans un premier temps des grands carrés,
|
||
par exemple, avant de compter des petits carrés), soit l’introduction de formes
|
||
connues (de grands rectangles dont on connaît l’aire, en utilisant le produit longueur
|
||
fois largeur). La bonne gestion des données et leur disposition ordonnée sont
|
||
indispensables pour permettre un comptage final aisé et correct, comme le précise
|
||
le troisième principe de la Méthode de Descartes (voir la note de bas de page 150
|
||
du problème 3, p. 168).
|
||
|
||
Cependant, la mesure de l’aire renvoie à l’existence d’une unité dans laquelle il sera
|
||
aisé de raisonner.
|
||
|
||
Une question qui peut être débattue en amont est la désignation ou construction de
|
||
cette unité. Si une unité de longueur est proposée (par exemple, une échelle), alors
|
||
il conviendra de construire l’unité de surface correspondante, puis d’aller vers la
|
||
construction du quadrillage idoine (adapté en fonction de la précision souhaitée).
|
||
On peut aussi, à des fins de manipulation – notamment en début de cycle –, procéder
|
||
au découpage de l’unité de référence du nombre de fois nécessaire pour assurer
|
||
réellement le recouvrement de la surface.
|
||
|
||
Lorsque les unités sont imposées, un débat avec les élèves conduira à différencier
|
||
au moins deux cas :
|
||
— 1er cas : on peut construire un pavage (par exemple, un quadrillage carré, hexa-
|
||
gonal, triangulaire), à partir de l’unité proposée, qui nous ramène à la situation
|
||
classique de comptage. Cela permet aux élèves de rentrer rapidement dans le
|
||
problème et ainsi de donner un encadrement de l’aire de la surface ;
|
||
— 2e cas : l’unité n’est pas adaptée pour construire un pavage. Dans ce cas, on peut
|
||
construire une unité auxiliaire (par exemple, un carré) qui nous permettra de
|
||
mesurer l’aire de l’objet. En fonction des situations, on pourra mesurer précisément
|
||
l’aire de l’unité avec l’unité auxiliaire (par exemple, disque par rapport au carré), ou
|
||
on essaiera de l’approximer via des estimations par excès et par défaut.
|
||
|
||
|
||
|
||
Pour aller plus loin
|
||
|
||
En dessinant sur la carte un polygone convexe à coordonnées entières, on
|
||
peut approcher la surface de manière satisfaisante et introduire la formule
|
||
b
|
||
de Pick (S = i + 2 – 1, avec i le nombre de points intérieurs, b le nombre de points
|
||
du bord).
|
||
176 — Grandeurs
|
||
|
||
|
||
En résumé
|
||
|
||
Les grandeurs doivent être travaillées régulièrement
|
||
au cours du cursus de l’élève avant d’introduire les unités.
|
||
Une fois les unités introduites, le travail de l’élève se centre
|
||
sur la notion de proportionnalité, la prise d’initiative,
|
||
le développement de l’esprit critique.
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||
Les situations proposées, ancrées dans le réel, sont aussi
|
||
l’occasion d’évoquer des sujets relatifs aux questions
|
||
de société.
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Les périmètres et les aires, d’abord rencontrés séparément,
|
||
sont ensuite travaillés simultanément, en particulier
|
||
pour déconstruire des représentations erronées du type
|
||
« si le périmètre augmente, l’aire augmente ».
|
||
|
||
Les problèmes proposés doivent également permettre
|
||
de donner du sens aux grandeurs produits (mètre carré)
|
||
et aux grandeurs quotients (gramme par kilomètre
|
||
par passager).
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||
VII
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||
Quelles démarches
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||
pour enseigner
|
||
la résolution
|
||
de problèmes ?
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178 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
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||
Ce chapitre a une vocation transversale. Son objectif
|
||
est de donner aux enseignants un certain nombre
|
||
de pistes destinées à mettre en œuvre des activités
|
||
de résolution de problèmes. Il s’agit de créer les contextes
|
||
les plus favorables aux apprentissages. Pour cela,
|
||
il semble nécessaire que les élèves soient dans
|
||
une démarche active de recherche de solutions et que
|
||
l’enseignant favorise de diverses manières des processus
|
||
de prise de conscience des caractéristiques pertinentes.
|
||
Les élèves pourront s’appuyer sur celles-ci lorsqu’ils
|
||
rencontreront de nouvelles situations.
|
||
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|
||
Contexte
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||
La résolution de problèmes n’est pas uniquement applicative, car elle contribue au
|
||
développement des notions mathématiques elles-mêmes.
|
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||
Le programme de cycle 4153 précise que la maîtrise par les élèves des notions mathé-
|
||
matiques (savoirs et savoir-faire) mobilisées dans un problème ne saurait suffire
|
||
pour leur permettre de résoudre, en autonomie, ce problème. En effet, il existe une
|
||
distinction bien établie entre connaissances déclaratives et possibilité de mise en
|
||
œuvre de ces connaissances en contexte. La seule maîtrise d’une définition est par
|
||
exemple bien insuffisante pour garantir sa mobilisation à bon escient. Il faut donc que
|
||
l’élève soit en mesure d’identifier des contextes favorables à cette mise en œuvre et
|
||
que les situations-problèmes qu’il rencontre lui évoquent les notions mathématiques
|
||
appropriées et les stratégies adéquates à déployer pour y faire face.
|
||
|
||
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||
153 — « Une place importante doit être accordée à la résolution de
|
||
problèmes. Pour être en capacité de résoudre des problèmes, il faut
|
||
à la fois prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y
|
||
engager sans s’égarer, en procédant par analogie, en rattachant une
|
||
situation particulière à une classe plus générale de problèmes, en
|
||
identifiant une configuration géométrique ou la forme d’un nombre
|
||
ou d’une expression algébrique adaptée. Ceci suppose de disposer
|
||
d’automatismes (corpus de connaissances et de procédures
|
||
automatisées immédiatement disponibles en mémoire) », préambule du
|
||
programme de cycle 4, extrait.
|
||
179 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
La seule confrontation des élèves à la résolution de problèmes, même régulière, en
|
||
classe ou hors de la classe ne saurait suffire non plus à garantir leur réussite. Comme
|
||
le précise Sylvie Cèbe dans un cadre pourtant bien différent, celui de la lecture,
|
||
mais qui vaut tout autant pour les apprentissages mathématiques 154 , un temps
|
||
d’apprentissage pris en charge par l’enseignant est nécessaire : « Il y a très souvent
|
||
des exercices dont on postule qu’à force d’en faire, ils [les élèves] vont extraire les
|
||
procédures [...]. Ce dont on s’est aperçu, c’est que c’est vrai pour le littéral (pour
|
||
restituer des connaissances littérales), mais dès lors qu’il y a de l’inférentiel, alors
|
||
tous les élèves n’arrivent pas à extraire la procédure qui permet de le faire […]. On
|
||
les [les élèves] laisse tâtonner, explorer, découvrir les meilleures manières de faire,
|
||
sans, parfois, leur expliquer comment on fait pour bien faire. »
|
||
|
||
Les propositions de ce chapitre constituent des pistes de mise en œuvre visant
|
||
à permettre aux élèves de gagner en autonomie dans la démarche de résolution
|
||
de problèmes. Elles reposent sur l’idée qu’en travaillant sur la mobilisation et la
|
||
reconnaissance des structures et des procédures, les enseignants favorisent le
|
||
développement chez les élèves d’une capacité à résoudre un problème lorsque toute
|
||
autonomie leur est laissée, ainsi qu’une aptitude à identifier des classes de problèmes,
|
||
à transférer des procédures à d’autres situations relevant de la même typologie.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Point sur la recherche
|
||
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||
|
||
Favoriser le transfert d’apprentissage
|
||
en résolution de problèmes155
|
||
|
||
La suggestion d’utiliser une situation déjà travaillée en classe peut accroître consi-
|
||
dérablement la performance des élèves. En effet, les facteurs d’accès aux connais-
|
||
sances sont des facteurs au moins aussi importants de la réussite du transfert
|
||
d’apprentissage que la possession des connaissances elles-mêmes : lorsque l’élève
|
||
ne fait pas le lien entre une situation connue et une situation nouvelle, il ne peut uti-
|
||
liser ses connaissances de la situation connue.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
154 — http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/education-
|
||
prioritaire/ressources/theme-1-perspectives-pedagogiques-et-
|
||
educatives/realiser-un-enseignement-plus-explicite/enseigner-
|
||
explicitement-pour-quoi-qui-quand-quoi-comment
|
||
155 — Contribution d’Emmanuel Sander.
|
||
180 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Des travaux montrent que des similitudes superficielles telles que le thème général
|
||
de l’histoire ou les rôles des personnages favorisent l’évocation d’une situation pré-
|
||
cédente, pour donner lieu à un transfert positif, et conduire à la résolution, lorsque
|
||
les problèmes partagent effectivement la même structure mathématique, et négatif,
|
||
en appliquant une stratégie inappropriée, dans le cas contraire. Dans une étude de
|
||
Laura R. Novick 156 , les élèves étudient les solutions à un problème partageant des
|
||
traits superficiels (il s’agit de répartir des objets en un certain nombre de lignes et
|
||
de colonnes), mais relevant d’une autre classe de problèmes que le problème cible,
|
||
ainsi qu’à un problème n’ayant pas de traits superficiels en commun, mais étant de
|
||
la même classe de problèmes que le problème cible. Les élèves font majoritairement
|
||
un transfert négatif, c’est-à-dire qu’ils mettent en œuvre en priorité la stratégie
|
||
de résolution étudiée pour le problème ayant des similitudes superficielles avec le
|
||
problème cible, bien que le principe de solution diffère.
|
||
|
||
Concernant la mise en œuvre de stratégies de résolution d’un problème déjà tra-
|
||
vaillé en classe, différentes dimensions du contexte limitent la réussite du transfert.
|
||
Prenons l’exemple d’une série de problèmes posés par Stephen Reed 157 : pour
|
||
chaque thème, il y a un problème source que les élèves apprennent à résoudre et
|
||
deux problèmes de transfert.
|
||
|
||
PROBLÈME SOURCE
|
||
Une infirmière mélange une solution de 6 % d’acide borique avec une solution de
|
||
12 % d’acide borique.
|
||
Combien lui faut-il de chaque solution pour avoir 4,5 litres de mélange à 8 % ?
|
||
|
||
PROBLÈME 1 DE TRANSFERT ISOMORPHE (ÉPICIER)
|
||
Un épicier mélange des cacahuètes valant 6,50 euros le kilo et des amandes valant
|
||
21 euros le kilo.
|
||
Combien de kilos de chaque sont nécessaires pour avoir 30 kilos d’un mélange qui
|
||
vaut 15,30 euros le kilo ?
|
||
|
||
PROBLÈME 2 DE TRANSFERT ISOMORPHE (INTÉRÊTS)
|
||
M. Roberts reçoit 7 % d’intérêts comme revenu de ses actions et 11 % d’intérêts de
|
||
ses bons du Trésor.
|
||
Combien a-t-il sur chaque compte sachant qu’il a au total 8 000 euros et qu’il a eu
|
||
en moyenne 8 % d’intérêts ?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
156 — Laura R. Novick, “Analogical Transfer, Problem Similarity,
|
||
and Expertise”, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory,
|
||
and Cognition, 14(3), 510, 1988.
|
||
157 — Stephen K. Reed, “A Structure Mapping Model for Word Problems”,
|
||
Journal of Experimental Psychology: Learning Memory and Cognition,
|
||
13, 124-139, 1987.
|
||
181 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Les résultats du transfert sont faibles, de l’ordre d’un tiers de réussite, tant pour
|
||
l’isomorphe épicier que pour l’isomorphe intérêts. Cela peut s’expliquer par le fait que
|
||
dans le problème initial, le problème de mélanges entre acides, une fois le mélange
|
||
réalisé, il n’y a plus qu’une substance, celle qui résulte du mélange, et les composants
|
||
du mélange sont perdus. L’objet auquel s’applique la concentration moyenne est
|
||
le résultat du mélange. Ce n’est pas le cas des deux autres énoncés. Par exemple,
|
||
pour le problème d’intérêt moyen entre deux comptes, les deux comptes continuent
|
||
d’exister, et l’objet auquel s’applique l’intérêt moyen est l’ensemble des deux comptes
|
||
constituant le capital de la personne. Comme le problème appris a été codé comme
|
||
un problème de mélange avec dissolution des composants, la solution du problème
|
||
appris n’est pas reconnue pertinente pour résoudre les deux autres problèmes.
|
||
|
||
En règle générale, on peut considérer que la raison majeure des faibles perfor-
|
||
mances de transfert tient à la représentation que les élèves se sont construite
|
||
du problème étudié en classe et à leur représentation du problème à résoudre.
|
||
Des études ont montré que la catégorisation du problème, c’est-à-dire le choix des
|
||
propriétés qui font apparaître des ressemblances et des différences par rapport à
|
||
d’autres problèmes, et les dimensions sur lesquelles se fondent les élèves, ne sont
|
||
souvent pas celles qui sont pertinentes sur le plan mathématique158. Un enjeu crucial
|
||
est donc que le codage que l’élève a réalisé de la situation-problème soit pertinent sur
|
||
le plan mathématique et ne tienne pas principalement à des traits superficiels de la
|
||
situation. En effet, dans le cas contraire, l’élève ne sera pas en mesure de transférer
|
||
à une nouvelle situation la stratégie travaillée en classe, car il ne reconnaîtra pas la
|
||
possibilité de la mettre en œuvre, comme dans cet exemple précédent où ce qui est
|
||
travaillé dans le cas d’un mélange de solution chimique n’est réinvesti que par un tiers
|
||
des élèves dans le contexte de mélange de fruits secs ou de calcul de taux d’intérêt.
|
||
|
||
Une activité explicite de comparaison entre problèmes peut favoriser le traitement
|
||
en profondeur des deux situations et l’extraction de caractéristiques communes
|
||
pertinentes sur le plan mathématique159. Dans les recherches qui s’inscrivent dans ce
|
||
paradigme, il est demandé à l’élève de comparer des situations ou des stratégies afin
|
||
d’identifier les similitudes ou dissemblances entre elles et ainsi acquérir un codage
|
||
commun et utiliser une stratégie efficace. Il a été montré que plus l’élève est guidé
|
||
durant le processus de comparaison, plus il sera attentif aux relations partagées
|
||
entre les situations. Ainsi, il est bénéfique de demander explicitement aux élèves
|
||
une comparaison des cas pendant la phase d’enseignement, car les comparaisons
|
||
utiles sont faciles à manquer, même lorsqu’elles peuvent conduire à un meilleur
|
||
apprentissage et transfert160. Les études ont aussi mis en évidence une efficacité
|
||
plus grande lorsque les situations comparées sont présentées simultanément plutôt
|
||
que séquentiellement.
|
||
|
||
|
||
158 — Hippolyte Gros, Jean-Pierre Thibaut, Emmanuel Sander, “What
|
||
We Count Dictates How We Count: A Tale of Two Encodings”, Cognition
|
||
(online first), 2021: https://doi.org/10.1016/j.cognition.2021.104665
|
||
159 — Bethany Rittle-Johnson, Jon R. Star, “The Power of Comparison
|
||
in Learning and Instruction: Learning Outcomes Supported by Different
|
||
Types of Comparisons”, in Psychology of Learning and Motivation,
|
||
vol. 55, p. 199-225, Academic Press, 2011.
|
||
160 — Lindsey E. Richland, Ian M. McDonough, “Learning by Analogy:
|
||
Discriminating between Potential Analogs”, Contemporary Educational
|
||
Psychology, 35, p. 28-43, 2010.
|
||
182 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Autrement dit, il y a un bénéfice à reprendre à nouveau le problème d’apprentissage
|
||
et à le remettre côte à côte avec le nouvel énoncé 161 . Des travaux ont étudié
|
||
l’impact de la distance sémantique dans les tâches de transfert et ont montré que
|
||
l’augmentation de la distance sémantique entre deux situations analogues favorisait
|
||
la perception des similarités structurelles. Cela indique que moins les situations ont
|
||
de traits superficiels en commun, plus la perception des propriétés mathématiques
|
||
pertinentes sera favorisée162 .
|
||
|
||
Un enjeu fort est donc de rendre perceptibles les similitudes et les différences entre
|
||
énoncés relevant d’une même classe de problèmes. Une telle activité de comparaison
|
||
entre problèmes favorise la prise de conscience chez l’élève des caractéristiques
|
||
structurelles du problème par opposition à ses caractéristiques superficielles, ce
|
||
qui est crucial dans la perspective du transfert d’apprentissage à de nouveaux
|
||
problèmes. Cette forme d’approche s’est avérée un mode particulièrement efficace
|
||
pour que les élèves réussissent à situer ce en quoi deux énoncés partagent une
|
||
structure mathématique commune au-delà d’habillages différents. Elle permet
|
||
également de montrer en quoi des énoncés, qui ont en commun un certain habillage,
|
||
peuvent incarner des structures mathématiques différentes et comment une
|
||
procédure de résolution applicable pour l’un des énoncés cesse de l’être pour
|
||
l’autre. Cette démarche est exemplifiée à travers les études de cas présentées dans
|
||
la suite de ce chapitre.
|
||
|
||
|
||
|
||
Des situations et des dispositifs de recherche
|
||
de problèmes en classe163
|
||
|
||
Les programmes de ces vingt dernières années, tout comme les évaluations inter-
|
||
nationales, renforcent la dimension « résolution de problèmes » dans l’enseignement,
|
||
à tous les niveaux de la scolarité. Ce champ est considéré comme difficile par les
|
||
enseignants. La recherche en didactique des mathématiques a défini et exploré
|
||
différents types de problèmes et de situations qui ont diffusé plus ou moins dans
|
||
l’enseignement et qui ont été étudiés régulièrement dans les Irem : situations-pro-
|
||
blèmes, problèmes ouverts, problèmes longs, situations ou ateliers de recherche,
|
||
activités de recherche et de preuve entre pairs, activités d’étude et de recherche,
|
||
parcours d’étude et de recherche, etc.
|
||
|
||
La plupart de ces problèmes et situations nécessitent certes un temps long en
|
||
classe, mais favorisent à la fois l’acquisition de connaissances et le développement
|
||
des compétences transversales de l’activité mathématique (chercher, modéliser,
|
||
représenter, raisonner, communiquer) chez les élèves.
|
||
|
||
|
||
161 — Bethany Rittle-Johnson, Jon R. Star, “Does Comparing
|
||
Solution Methods Facilitate Conceptual and Procedural Knowledge?
|
||
An Experimental Study on Learning to Solve Equations”, Journal
|
||
of Educational Psychology, 99(3), p. 561-574, 2007.
|
||
162 — Michael Vendetti, Bryan J. Matlen, Lindsey Engle Richland,
|
||
Silvia Bunge, “Analogical Reasoning in the Classroom: Insights from
|
||
Cognitive Science”, Mind, Brain, and Education, 9(2), p. 100-106, 2015.
|
||
163 — Contributions de Cécile Ouvrier-Buffet et Marie-Line Gardes.
|
||
183 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Les situations-problèmes sont conçues dans le cadre de la théorie des situations
|
||
didactiques164 . L’objectif est l’acquisition d’une connaissance nouvelle : il y a des obs-
|
||
tacles à l’acquisition de cette connaissance, ou celle-ci est plus appropriée que celles
|
||
dont disposent les élèves pour résoudre le problème, ou encore les connaissances
|
||
des élèves sont insuffisantes pour résoudre immédiatement le problème. En tra-
|
||
vaillant sur des situations-problèmes, les élèves peuvent facilement s’approprier
|
||
la situation (imaginer ce qu’est une solution, s’engager dans la résolution, etc.), ont
|
||
les moyens de valider leurs productions mais aussi de construire (une partie de) la
|
||
connaissance nouvelle165.
|
||
|
||
Les problèmes ouverts permettent de développer des compétences transversales
|
||
chez les élèves, les concepts mathématiques en jeu peuvent être de complexité
|
||
variable. L’énoncé d’un problème ouvert est court, n’induit ni la méthode ni la solution.
|
||
Il est facile pour les élèves de prendre possession du problème et de s’engager dans
|
||
des essais, conjectures, projets de résolution, contre-exemples166 .
|
||
|
||
Les situations de recherche pour la classe (Sirc) sont des situations issues de la
|
||
recherche mathématique actuelle. Cette proximité avec des questions encore par-
|
||
tiellement non résolues est déterminante pour le rapport que les élèves vont avoir
|
||
avec la situation. Le problème initial est facile d’accès. Il se situe, pour l’élève, hors
|
||
des mathématiques formalisées. De plus, la question est facilement identifiable.
|
||
Des stratégies initiales existent. Mais les connaissances requises ne sont pas sco-
|
||
laires, c’est-à-dire qu’elles ne sont pas notionnelles. Ainsi, il n’y a pas d’obstacles
|
||
constitués par des contenus notionnels. Il n’y a pas de « fin de la situation », il n’y a que
|
||
des critères de fin locaux. Une question résolue renvoie à une nouvelle question167.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
164 — Guy Brousseau, Théorie des situations didactiques,
|
||
Éditions La pensée sauvage, Grenoble, 1998.
|
||
165 — Guy Brousseau, op. cit. ; Régine Douady, « Jeux de
|
||
cadres et dialectique outil-objet », Recherches en didactique
|
||
des mathématiques, 7(2), p. 5-31, 1986.
|
||
166 — Gilbert Arsac, Michel Mante, Les Pratiques du problème ouvert,
|
||
Sceren-CRDP, académie de Lyon, France, 2007 ; Fabrice Vandebrouck,
|
||
Dominique Baroux-Raymond, Géraldine Bonal, Charlotte Derouet,
|
||
Ruis Dos Santos, Francoise Hérault, Cécile Prouteau, Gaëlle Temam,
|
||
Autour des problèmes ouverts en classe de mathématiques, Irem
|
||
de Paris, 2015 : https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/PS/
|
||
IPS15002/IPS15002.pdf
|
||
167 — Denise Grenier, Roland Bacher, Hervé Barbe, Emmanuel
|
||
Beffara, Yvan Bicaïs, Grégoire Charlot, Monique Decauwert, Martin
|
||
Deraux, Tarkan Gezer, Jean-Baptiste Meilhan, Frédéric Mouton,
|
||
Situations de recherche pour la classe, pour le collège et le lycée…
|
||
et au-delà, Irem de Grenoble, 2017 : https://irem.univ-grenoble-alpes.
|
||
fr/recherche-action/themes/raisonnement-logique-situations-
|
||
de-recherche-pour-la-classe/situations-de-recherche-pour-la-
|
||
classe-498450.kjsp?RH=413148517470877
|
||
184 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Les situations didactiques de recherche de problèmes (SDRP) sont des situations
|
||
didactiques qui visent l’acquisition de connaissances notionnelles et le développement
|
||
de compétences transversales via la résolution d’un problème mathématique. Le pro-
|
||
blème est souvent issu de la recherche, il est robuste et se trouve dans un domaine
|
||
conceptuel familier des élèves. Il comporte une forte dimension expérimentale,
|
||
c’est-à-dire qu’il permet aux élèves de s’engager dans une démarche de type expé
|
||
rimental par des allers et retours entre la manipulation des objets mathématiques en
|
||
jeu (tangibles ou non) et l’élaboration de nouveaux objets et éléments théoriques168 .
|
||
|
||
Notons que le rôle de l’enseignant dans ces dispositifs est très important. Il adopte
|
||
une posture d’observateur, de médiateur et d’animateur du travail des élèves. Ainsi,
|
||
il va s’assurer de l’engagement de tous les élèves, les relancer et les aider si besoin,
|
||
en veillant toutefois à ne pas fermer le problème ou (in)valider leurs propositions.
|
||
Il est également important de les encourager et de favoriser l’autocritique de leurs
|
||
propositions. Pendant le débat, il doit dynamiser, orienter et cadrer les échanges,
|
||
sans trop les influencer. En effet, on cherche à ce que les conjectures, preuves et
|
||
résultats soient produits et formulés par les élèves. Enfin, dans le temps de synthèse,
|
||
l’enseignant est de nouveau acteur et meneur. C’est lui qui (re)met en évidence les
|
||
savoirs et les compétences développés pendant la recherche du problème. Il fait
|
||
alors des choix d’institutionnalisation en fonction de ses objectifs d’apprentissage
|
||
et de sa progression.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Faire de l’explicitation un levier
|
||
|
||
Dans la suite de ce chapitre, le choix a été fait de présenter une stratégie d’ap
|
||
prentissage fondée sur l’explicitation ; d’autres stratégies pourraient compléter ces
|
||
propositions. Cette démarche est bien à différencier d’un enseignement magistral
|
||
(ex cathedra) et doit se comprendre comme intégrée à l’activité de cette même
|
||
résolution de problème. Elle est également destinée à potentialiser les bénéfices de
|
||
l’engagement des élèves dans une démarche de recherche de solution propice à
|
||
faire évoluer favorablement leurs conceptions.
|
||
|
||
Cette approche de l’explicitation requiert un changement de pratique relativement
|
||
minime par rapport aux usages courants. Une explicitation des notions et compé-
|
||
tences mathématiques mobilisées, des procédures suivies, etc., peut en effet per-
|
||
mettre au professeur de mettre en évidence dans un premier temps les invariants,
|
||
les structures communes à une classe de problèmes, des méthodes transférables
|
||
à d’autres situations, et ainsi de permettre à l’élève de mieux structurer sa pensée
|
||
et gagner en autonomie.
|
||
|
||
|
||
|
||
168 — Marie-Line Gardes, « Démarches d’investigation et recherche
|
||
de problèmes », in Gilles Aldon, Le Rallye mathématique, un jeu très
|
||
sérieux !, p. 73-96, Canopé Éditions, 2018 ; http://dreamaths.univ-lyon1.fr
|
||
185 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Qu’est-il utile d’expliciter ?
|
||
|
||
Au-delà des étapes nécessaires pour résoudre un problème particulier, au-delà des
|
||
questions qu’on se pose, des stratégies utilisées lors de cette résolution, il convient
|
||
d’expliciter les compétences mobilisées transposables à d’autres situations ainsi que
|
||
le cadre que l’élève pourra réinvestir. L’élève doit avoir conscience des compétences
|
||
qu’il mobilise. Patrick Rayou 169 indique : « La pédagogie explicite ne va pas de soi et
|
||
conduit à s’interroger sur ce qui est explicitable, ce qui est explicité dans les pratiques
|
||
et ce qu’il faudrait expliciter pour une plus grande efficience des apprentissages.
|
||
D’une manière générale, les enseignants savent plutôt bien expliciter :
|
||
— l’objet de savoir en fin de séance ; c’est l’institutionnalisation (qui ne rencontre
|
||
pas toujours les attentes des élèves des milieux populaires) ;
|
||
— les supports de l’étude, c’est-à-dire le sens de la consigne.
|
||
|
||
Le constat qui est fait, c’est que même lorsque les enseignants tiennent explicitement
|
||
ces deux bouts, ce qui semble manquer, c’est l’explicitation de la forme scolaire, ce
|
||
que signifie “apprendre à l’école”. »
|
||
|
||
|
||
|
||
Quand faut-il expliciter ?
|
||
|
||
Jacques Bernardin170 pointe quatre moments propices dans la séance et/ou dans
|
||
la séquence pour expliciter et faire expliciter :
|
||
« — Les cinq premières minutes de cours, pour la présentation des enjeux de l’activité
|
||
et l’appropriation commune de la consigne (éclaircir le but).
|
||
— Au cours de la tâche, quand cela s’avère nécessaire, suspendre l’activité [d’un
|
||
élève ou d’un groupe] pour faire expliciter les procédures amorcées et, si besoin
|
||
réorienter la tâche pour faire évoluer l’activité de l’élève. Dévoilement et inven-
|
||
taire critique des moyens mis en œuvre qui peuvent aussi se faire au terme de
|
||
la réalisation.
|
||
— Le temps d’institutionnalisation. C’est le passage du réussir au comprendre, trop
|
||
souvent éludé (ou pris en main de manière unilatérale par l’enseignant), pour
|
||
dégager le noyau dur de l’activité et en faire un objet de savoir générique que les
|
||
élèves pourront transférer dans une situation de même nature.
|
||
— La transition, le tissage entre une séance et la suivante qui permet parfois de faire
|
||
saisir à certains ce qui ne l’avait pas été lors de l’institutionnalisation. »
|
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169 — http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/education-
|
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prioritaire/ressources/theme-1-perspectives-pedagogiques-et-
|
||
educatives/realiser-un-enseignement-plus-explicite/enseigner-
|
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explicitement-pour-quoi-qui-quand-quoi-comment
|
||
170 — Ibid.
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186 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
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Disposer de procédures
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automatisées
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Une première modalité présentée ici conduit, tout au long de l’année, à développer
|
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des réflexes intellectuels chez les élèves et à les inciter à développer une posture
|
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réflexive. Il s’agit de les outiller pour leur permettre de s’engager dans une résolution
|
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de problèmes quel que soit le type de problème (problème pour chercher, problème
|
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basique ou atypique, etc.).
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|
||
Pour rendre les élèves capables de résoudre des problèmes en autonomie, il est
|
||
nécessaire de développer certains automatismes. En complément d’un travail sur
|
||
le développement de savoirs et savoir-faire, certaines questions flash peuvent
|
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permettre d’entraîner les élèves à développer les six compétences mathématiques.
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Par exemple, les questions flash proposées ci-dessous visent à entraîner les élèves
|
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du collège à développer trois des six compétences mathématiques.
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EXEMPLE DE QUESTION FLASH : ENTRAÎNER LES ÉLÈVES À DÉVELOPPER
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LA COMPÉTENCE « MODÉLISER »
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Pour résoudre un problème, les élèves ont à reconnaître un modèle mathématique
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et à raisonner dans le cadre de ce modèle.
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Dans les trois situations suivantes, malgré un habillage commun, des structures
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mathématiques différentes sont à mobiliser : respectivement le théorème de Tha-
|
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lès, le théorème de Pythagore et des relations trigonométriques. On ne cherchera
|
||
pas à résoudre les exercices, mais à identifier les théorèmes à mobiliser grâce aux
|
||
données présentes sur les figures.
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ÉNONCÉ
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Dans chaque situation suivante, indiquer le théorème ou la définition à utiliser pour
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calculer la longueur AB.
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A A A
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K K 53° K
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6,3 cm
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7,2 cm
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6
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6 cm
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cm
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3,6 cm
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C J B C J B C J B
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9,6 cm
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Situation 1 Situation 2 Situation 3
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187 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
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EXEMPLE DE QUESTION FLASH : ENTRAÎNER LES ÉLÈVES À DÉVELOPPER
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LA COMPÉTENCE « CALCULER »
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Une aisance en calcul permet de décharger l’élève de processus cognitifs couteux.
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Ici, l’élève ne doit pas calculer mais identifier les règles qui permettent de déterminer
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le signe des expressions proposées (cas 1 et 2) ou de transformer les équations.
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ÉNONCÉS
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1. Soit y un nombre négatif différent de 0.
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Indiquer la règle à utiliser pour déterminer le signe de chacune de ces expressions.
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A=yxy B=y+y+y C = (+7) x y D = y3
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E = y10 F = –3 x y G = –3 + y
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2. [On rappelle la règle] Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
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Dans chacun des cas suivants, y est un nombre négatif différent de 0.
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Indiquer si on peut appliquer cette règle pour connaître le signe de l’expression.
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Expliquer.
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A = y x (– 7) B = –4 – y C = y2 D = –y x (+4)
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3. Voici une égalité : 3x – 7 = 5x + 2.
|
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Comment transformer cette égalité pour obtenir chacune des égalités suivantes ?
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3x = 5x + 9 –7 = 2x + 2 3x – 9 = 5x 5x + 2 = 3x – 7
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EXEMPLE DE QUESTION FLASH : ENTRAÎNER LES ÉLÈVES À DÉVELOPPER
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LA COMPÉTENCE « REPRÉSENTER »
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||
Les expressions algébriques sont souvent associées à des processus calculatoires,
|
||
alors qu’elles peuvent aussi générer des représentations géométriques qui
|
||
donnent du sens aux expressions. Souvent travaillées dans le cadre de l’addition,
|
||
ces représentations le sont plus rarement dans le cadre de la multiplication.
|
||
Dans l’exemple ci-après, tiré d’une évaluation Timss, les nombres 3 et 4 représentent
|
||
des grandeurs et il faut interpréter 3x comme 3 multiplié par x.
|
||
188 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
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ÉNONCÉ
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Quelle situation représente l’expression 3x + 4x ?
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a. La longueur de ce segment : c. L’aire de cette figure :
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3 4
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x 7
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x
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b. La longueur de ce segment : d. L’aire de cette figure :
|
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x x
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||
3 4 x
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7
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Installer des temps dédiés
|
||
à la résolution de « classes
|
||
de problèmes »
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|
||
On propose, comme seconde modalité, une mise en œuvre pour apprendre à
|
||
résoudre une « classe de problèmes classiques » 171 ou pour apprendre une
|
||
stratégie de résolution classique (par exemple, décomposer un problème en sous-
|
||
problèmes). Il s’agit d’un apprentissage groupé sur quelques séances qui pourra
|
||
être répété à chaque rencontre d’une nouvelle classe de problèmes, tout au long
|
||
du cursus de l’élève.
|
||
|
||
Beaucoup d’enseignants sont démunis face aux difficultés éprouvées par certains
|
||
élèves qui peinent à s’engager dans la tâche lorsqu’il s’agit de résoudre un problème,
|
||
et sont découragés par l’impression que les élèves ne retirent pas suffisamment de
|
||
bénéfice de ces séances de résolution de problèmes.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
171 — Problèmes se ramenant à des équations du premier degré,
|
||
problèmes mettant en jeu la divisibilité, problèmes de proportionnalité,
|
||
problèmes arithmétiques mettant en jeu des fractions et décimaux,
|
||
problèmes modélisés par des fonctions, problèmes abordant des
|
||
questions relatives au hasard, problèmes de géométrie.
|
||
189 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
La confrontation des élèves à la résolution de problèmes est évidemment nécessaire
|
||
et doit être régulière, en classe ou hors de la classe, mais elle ne saurait effectivement
|
||
suffire à garantir leur réussite. Il convient d’installer des temps d’apprentissage
|
||
centrés sur la résolution des différentes classes de problèmes inventoriées dans les
|
||
programmes. Ce choix n’implique pas en général de dénommer auprès des élèves
|
||
les classifications concernées, qui relèvent souvent d’approches didactiques et per-
|
||
mettent de s’assurer qu’une notion a été travaillée dans la diversité de ses contextes
|
||
(par exemple, la classification de Vergnaud pour les cycles 2 et 3). En revanche,
|
||
lorsque la classification concerne des notions mathématiques, elle est utile à formuler
|
||
auprès des élèves (par exemple, les problèmes de proportionnalité).
|
||
|
||
Il convient de consacrer à cet enseignement un temps d’apprentissage suffisamment
|
||
long, sur quelques séances consécutives, de manière à montrer aux élèves qu’ils
|
||
comprennent, qu’ils sont en capacité de reproduire, qu’ils progressent.
|
||
|
||
Ce temps d’enseignement de la résolution de problèmes doit être clairement identifié
|
||
comme tel par l’enseignant et annoncé aux élèves. Il vise à rendre explicite avec les
|
||
élèves les ressemblances et les différences entre plusieurs situations afin d’iden-
|
||
tifier avec eux les dimensions pertinentes sur le plan mathématique. Pour cela,
|
||
il s’agit d’associer les élèves, lors d’une résolution de problèmes, à la verbalisation
|
||
de chacune des étapes, des questions qui se posent, en explicitant à voix haute le
|
||
raisonnement suivi, ainsi que les stratégies qu’on utilise. Les opérations mentales
|
||
effectuées sont rendues explicites par l’enseignant et/ou par les élèves à l’occasion
|
||
d’échanges avec la classe. Régulièrement, l’enseignant s’assure de la compréhension
|
||
des élèves en les faisant reformuler.
|
||
|
||
Au-delà du dire, les élèves doivent pouvoir garder une trace écrite de cette expli
|
||
citation. Ils pourront ainsi se référer à quelques problèmes ayant valeur de modèle
|
||
à l’occasion de nouvelles résolutions. Sur ce point, on pourra s’appuyer sur ce qui
|
||
est inscrit dans le préambule des programmes de cycle 4172 .
|
||
|
||
Le focus suivant détaille une séquence de mise en œuvre en classe d’un tel appren-
|
||
tissage, dans le cadre d’une résolution de problème relevant de la classe « problèmes
|
||
se modélisant par une équation ».
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
172 — « Une trace écrite récapitulant de façon organisée les
|
||
connaissances, les procédures et les stratégies mises en œuvre. L’élève
|
||
pourra ainsi se référer à quelques exercices ayant valeur de modèle.
|
||
Leur consultation régulière (notamment au moment de la recherche de
|
||
problèmes, sous la conduite du professeur ou en autonomie) favorise à
|
||
la fois la mise en mémoire et le développement de compétences. »
|
||
190 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Focus | Une étude de cas
|
||
en classe de 3e autour
|
||
des problèmes se modélisant
|
||
par une équation
|
||
|
||
Cette séquence prévoit trois phases de longueurs différentes : un temps d’appren-
|
||
tissage, une évaluation formative, une remédiation. Le travail conduit en séances
|
||
1 à 3 vise à rendre l’élève en mesure d’identifier les dimensions pertinentes sur
|
||
le plan mathématique pour les situations relevant de cette famille de problèmes.
|
||
Dans un second temps (séance 4), la résolution d’un problème partageant la même
|
||
structure mathématique est confiée aux élèves en pleine autonomie. Enfin, en cas
|
||
de besoin, une cinquième séance a fonction de remédiation. Les énoncés présentés
|
||
dans ce focus sont donnés à titre d’exemples pour illustrer ces trois phases.
|
||
|
||
L’enjeu de cette séquence est donc de permettre aux élèves de reconnaître une
|
||
situation et de la rattacher à une classe plus générale de problèmes, d’être en capa-
|
||
cité de prendre des initiatives dans des situations similaires et de résoudre des
|
||
problèmes relevant de la même classe sans indications du professeur ou d’un pair,
|
||
sans questions intermédiaires ni aides. Il s’agit d’outiller l’élève pour qu’il dispose
|
||
d’un codage des énoncés qui concorde avec leur structure mathématique.
|
||
|
||
Le scénario de classe proposé repose sur une explicitation des compétences et des
|
||
connaissances mobilisées, des procédures transposables à d’autres situations,
|
||
des invariants entre plusieurs problèmes, et donc pas uniquement des étapes de
|
||
résolution du problème en cours.
|
||
|
||
Cette proposition de séquence est pleinement modulable en fonction des besoins des
|
||
élèves, de leur degré d’autonomie, une différenciation pouvant être à prévoir. Elle a
|
||
également vocation à pouvoir être transposée à d’autres classes de problèmes.
|
||
|
||
|
||
|
||
Séance n° 1. Durée estimée : 45 min
|
||
|
||
Un premier problème est proposé. L’enseignant met en œuvre une phase d’explicitation
|
||
des dimensions pertinentes sur le plan mathématique à relever dans ce problème.
|
||
|
||
PROBLÈME 1
|
||
|
||
Le point C appartient au segment [AB].
|
||
La longueur du segment [AB] vaut 4 cm.
|
||
Le carré ACMN et le triangle équilatéral BDC sont dessinés du même côté du
|
||
segment [AB].
|
||
Où placer le point C pour que le périmètre du carré soit égal à celui du triangle ?
|
||
191 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
D
|
||
|
||
N M
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
A C B
|
||
4 cm
|
||
|
||
|
||
Étape 1 : recherche individuelle (environ 5 min). Il s’agit, pour l’élève, de disposer
|
||
d’un temps suffisant pour l’appropriation et la réflexion et, pour le professeur, de
|
||
disposer d’un temps suffisant pour prendre des informations sur les productions
|
||
des élèves : recenser les élèves qui ne démarrent pas ou se trouvent en impasse, les
|
||
stratégies de résolution mises en œuvre par certains, etc.
|
||
|
||
Ce temps de recherche individuelle conduit en général les élèves à exprimer leur
|
||
incapacité à calculer les périmètres, ne connaissant pas certaines longueurs. Les
|
||
étapes 2 et 3 sont prévues ensuite pour prendre en charge collectivement la réso-
|
||
lution du problème.
|
||
|
||
Étape 2 : première mise en commun. L’objectif est d’amener les élèves, en suscitant
|
||
des prises de parole pour impliquer le plus grand nombre, à introduire une incon-
|
||
nue et à identifier les étapes du travail. On ne cherchera pas à les résoudre, à ce
|
||
stade. Le recours à un logiciel de géométrie dynamique est susceptible de faciliter
|
||
la compréhension du problème.
|
||
|
||
Interroger en premier les élèves qui n’ont pas démarré et rebondir sur leurs
|
||
difficultés :
|
||
— faire expliquer où est le problème ;
|
||
— comment y répondre (stratégies envisagées par certains) ?
|
||
|
||
À ce stade, il s’agit de faire comprendre aux élèves que trouver la position du point C
|
||
demandée revient à trouver une longueur : AC ou CB, ce qui n’est pas immédiat pour
|
||
les élèves. Il doit émerger la nécessité de choisir une inconnue pour remplacer une
|
||
donnée manquante puis de calculer les deux périmètres et de traduire la contrainte
|
||
du problème. Ces étapes de résolution seront inscrites au tableau : s’assurer
|
||
qu’elles sont comprises par tous les élèves.
|
||
|
||
Point de vigilance : l’objectif n’est pas de dire à l’élève ce qu’il doit faire, mais com-
|
||
ment y arriver. Il convient de ne pas devancer sa réflexion, par exemple, il serait
|
||
contre-productif d’évoquer à ce stade la notion d’équation alors que l’élève ne l’a
|
||
pas encore mise en place.
|
||
|
||
Étape 3. On poursuit la résolution du problème, soit en relançant une phase de tra-
|
||
vail individuel, soit en la relançant sur un mode collectif.
|
||
192 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Étape 4 : deuxième mise en commun. Cette synthèse poursuit deux objectifs :
|
||
— Terminer la résolution du problème. Les élèves n’ont pas forcément choisi la
|
||
même inconnue. Les deux solutions seront proposées. Mettre en évidence le fait
|
||
que le choix de l’inconnue, qu’il s’agisse de AC ou de CB, n’influe pas sur le résultat.
|
||
— Expliciter les compétences et connaissances mobilisées dans ce problème de
|
||
façon à ce que les élèves les identifient, pour guider leur démarche lors d’une
|
||
prochaine résolution d’un problème du même type. Ces éléments seront notés
|
||
pour que les élèves en conservent une trace écrite. On nommera les notions et
|
||
savoir-faire mobilisés : les formules du périmètre, le recours à des expressions
|
||
littérales, la reconnaissance d’une équation du premier degré comme traduc-
|
||
tion de la contrainte, la résolution de l’équation, et on fera le lien avec les com-
|
||
pétences mathématiques :
|
||
• représenter : représenter une longueur par une inconnue ;
|
||
• modéliser : recours à une inconnue pour désigner une donnée manquante ;
|
||
recours au calcul littéral ; modélisation de la situation par une équation.
|
||
Il s’agit de faire comprendre aux élèves qu’on a recours au cadre algébrique
|
||
pour résoudre un problème géométrique ;
|
||
• raisonner : mise en évidence des différentes étapes (la position de C peut être
|
||
indiquée par la longueur AC par exemple, calculs des périmètres, traduction
|
||
de l’égalité des périmètres) ;
|
||
• calculer : on est amené à résoudre une équation. On explicite les étapes de
|
||
résolution de l’équation du premier degré ;
|
||
• communiquer : la communication concerne l’ensemble de ce qui est au
|
||
tableau, elle prend autant la forme de phrases que de calculs, de schémas, etc. :
|
||
tout ce qui se comprend de sa trace. On précisera aux élèves l’objectif de la
|
||
communication : être compris. Les étapes de raisonnement doivent apparaître
|
||
autant que la réponse au problème initial. Elle peut prendre la forme
|
||
présentée sur la photo ci-dessous. Ces éléments viendront compléter la trace
|
||
écrite de résolution.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Figure 38. Un exemple de trace écrite au tableau exposant les étapes du raisonnement.
|
||
193 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Étape 5 : travail d’entraînement à faire hors la classe pour la prochaine séance.
|
||
Le problème donné est similaire à celui travaillé en classe afin d’ancrer la méthode
|
||
de résolution chez les élèves, de leur permettre de prendre confiance en eux.
|
||
On l’indiquera aux élèves. Pour l’enseignant, ce sera l’occasion de mesurer l’efficacité
|
||
du travail de la séance 1. Sur le plan du codage des propriétés mathématiquement
|
||
pertinentes de la situation, ce sera l’occasion de mettre en évidence que le fait que
|
||
les figures soient d’un même côté ou d’un côté et de l’autre du segment est sans inci-
|
||
dence sur la stratégie qui peut mener à la solution.
|
||
|
||
PROBLÈME À RÉSOUDRE POUR LE COURS SUIVANT
|
||
Le point C appartient au segment [AB].
|
||
La longueur du segment [AB] vaut 6 cm.
|
||
Le carré CBEF et le triangle équilatéral ADC sont dessinés de part et d’autre
|
||
du segment [AB].
|
||
Où placer le point C pour que le périmètre du carré soit égal à celui du triangle ?
|
||
F E
|
||
|
||
|
||
|
||
6 cm
|
||
|
||
|
||
A C B
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
D
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Séance n° 2. Durée estimée : 1 h
|
||
|
||
Cette seconde séance commence par une phase de correction du travail donné lors
|
||
de la dernière séance. Puis une question flash est posée aux élèves, pour les prépa-
|
||
rer au problème du jour.
|
||
|
||
Ce second problème, de la même classe que le premier, est traité collectivement.
|
||
L’objectif est de poursuivre la phase d’apprentissage pour les élèves ayant besoin
|
||
d’un temps plus long d’appropriation. En fin de séance, il s’agira de montrer aux
|
||
élèves les invariants aux trois problèmes déjà rencontrés dans la séquence, et
|
||
d’identifier les notions qui diffèrent.
|
||
|
||
QUESTION FLASH
|
||
L’objectif de cette question est de permettre aux élèves de comprendre que E est un
|
||
point mobile et que le résultat de la comparaison des aires varie en fonction de la
|
||
position de E, l’aire la plus grande pouvant être selon les cas celle du carré ou celle
|
||
du rectangle.
|
||
194 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
ABCD est un rectangle. E est un point du segment [AD] et B un point du segment [AG].
|
||
AEFG est un carré.
|
||
Comparer l’aire du rectangle ABCD et celle du carré AEFG.
|
||
G F
|
||
|
||
15
|
||
G F C
|
||
B
|
||
15
|
||
25
|
||
B C
|
||
5
|
||
|
||
A E D A E D
|
||
20 25 40 25
|
||
|
||
Cas 1 Cas 2
|
||
|
||
|
||
|
||
Cette question s’avère utile pour réactiver les formules de calculs d’aire et pour
|
||
entraîner les élèves à reconnaître le carré et le rectangle concernés en dépit des
|
||
segments distracteurs.
|
||
|
||
Le recours à un logiciel de géométrie dynamique permet de compléter ce travail
|
||
préparatoire. Les élèves observent notamment que l’aire du carré peut être supé-
|
||
rieure ou inférieure à celle du rectangle et suggèrent même parfois la question de
|
||
l’égalité proposée dans le problème suivant.
|
||
|
||
PROBLÈME 2 (TRANSFERT DANS UN CONTEXTE SÉMANTIQUEMENT PROCHE)
|
||
ABCD est un rectangle.
|
||
E est un point du segment [AD], B est un point du segment [AG].
|
||
AEFG est un carré.
|
||
ED = 25 et BG = 15.
|
||
Déterminer les dimensions du carré AEFG et du rectangle ABCD afin qu’ils aient
|
||
la même aire.
|
||
|
||
G F
|
||
|
||
15
|
||
|
||
C
|
||
B
|
||
|
||
|
||
|
||
A E D
|
||
25
|
||
|
||
|
||
Étape 1 : recherche individuelle (environ 5 min). Cette phase permet d’observer si
|
||
les élèves s’investissent plus facilement que lors de la première séance, s’ils y font
|
||
référence. Le professeur recense les élèves qui ont progressé depuis la première
|
||
séance, et ceux qui sont en impasse. Si les élèves parviennent tous à résoudre le
|
||
problème, on passera directement à l’étape 3.
|
||
195 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
Étape 2 : première mise en commun. L’objectif reste celui de mettre en évidence les
|
||
étapes du travail :
|
||
— interroger à nouveau en premier les élèves qui n’ont pas démarré, et rebondir
|
||
sur leurs difficultés en les questionnant, en prenant appui sur les stratégies
|
||
mises en œuvre par d’autres et sur le travail conduit en séance 1 (quelles sont
|
||
les données qui manquent ? Comment peut-on s’y prendre pour compenser
|
||
l’absence de la donnée de telle longueur ?). Là encore, on fera émerger la néces-
|
||
sité de choisir une inconnue pour désigner une longueur manquante (plusieurs
|
||
choix possibles pour cette inconnue), de calculer les aires en fonction de cette
|
||
inconnue, de traduire la contrainte imposée par le problème, en l’occurrence
|
||
l’égalité des aires. Les étapes de résolution seront inscrites au tableau ;
|
||
— relancer la recherche individuelle ;
|
||
— recenser les élèves qui éprouvent encore des difficultés.
|
||
|
||
Étape 3 : synthèse. Deux objectifs sont poursuivis ici.
|
||
— Résoudre le problème. Mettre en évidence le fait que le choix de l’inconnue n’in-
|
||
flue pas sur le résultat.
|
||
— Expliciter les connaissances et compétences mobilisées dans ce problème en
|
||
insistant sur les points communs avec le problème 1, malgré un contexte qui est
|
||
différent : recours à une lettre pour désigner une inconnue, calculs d’aires en
|
||
fonction de l’inconnue, traduction de la situation faisant apparaître une équa-
|
||
tion. Nommer cette classe de problèmes : problèmes se modélisant par une
|
||
équation. Il s’agit également d’expliciter ce qui diffère : obtention d’une équa-
|
||
tion du second degré pouvant se ramener au premier degré. On nommera les
|
||
calculs mis en œuvre : développement, identités remarquables, et on nommera,
|
||
à côté de la trace écrite de résolution, les compétences :
|
||
• modéliser : choix de l’inconnue, du calcul littéral qui conduit à une mise en
|
||
équation ;
|
||
• raisonner. Élaboration des étapes du travail : expression de chaque lon-
|
||
gueur en fonction de x puis calcul des aires en fonction de x et traduction
|
||
de la contrainte ;
|
||
• calculer : résolution d’une équation se ramenant au premier degré173.
|
||
Les calculs littéraux sont plus complexes que ceux du problème 1, mais
|
||
aboutissent à une résolution de même nature (même classe de problèmes) ;
|
||
• communiquer.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Figure 39. Un exemple de trace écrite au tableau exposant les étapes du raisonnement.
|
||
|
||
173 — On peut aussi se ramener directement à une équation du premier
|
||
degré, si on a compris qu’il faut et qu’il suffit que les deux rectangles
|
||
légèrement bleutés (BGFH et EDCH) aient la même aire.
|
||
196 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Séance n° 3. Durée estimée : 40 min
|
||
|
||
On poursuit la phase d’appropriation à partir de deux autres problèmes du même
|
||
type afin de s’assurer que le transfert est bien mis en œuvre dans des contextes
|
||
plus éloignés que ceux des problèmes initiaux. La séance peut aussi nécessiter
|
||
une différenciation en fonction du degré d’autonomie déjà construit par les élèves.
|
||
L’enseignant questionne les élèves, leur donne des indices et diminue graduellement
|
||
l’aide apportée. La correction collective permet de s’assurer de la compréhension
|
||
de tous.
|
||
|
||
PROBLÈME 3
|
||
|
||
Voici trois carrés.
|
||
Quelles doivent être les longueurs des côtés des carrés vert et blanc pour que l’aire
|
||
du carré blanc soit égale à la somme des aires des carrés bleu et vert ?
|
||
|
||
|
||
3 cm
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
7 cm
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
La séance commence là encore par une phase de recherche individuelle : appro-
|
||
priation du problème, engagement dans la tâche pour les élèves, prise d’infor
|
||
mations par le professeur.
|
||
|
||
Les élèves travaillent en autonomie. L’enseignant s’assure de la compréhension
|
||
des élèves.
|
||
|
||
Il pourra être utile de regrouper les élèves ayant éprouvé des difficultés lors de la
|
||
résolution du problème 2 pour simplifier la gestion de classe, par exemple, dans un
|
||
îlot en fond de classe.
|
||
|
||
La correction est organisée lorsque les élèves ont terminé, ou si plusieurs d’entre
|
||
eux sont bloqués.
|
||
|
||
On mettra en évidence les invariants avec les problèmes déjà résolus. Cette séance
|
||
est, comme les précédentes, complétée d’une explicitation des connaissances et
|
||
compétences mobilisées :
|
||
— raisonner. Durant les différentes étapes du travail : recours à l’inconnue,
|
||
expressions des aires des carrés, traduction de la contrainte imposée par
|
||
l’énoncé ;
|
||
— modéliser. Travail dans un cadre algébrique : expression littérale des aires,
|
||
mise en équation ;
|
||
— calculer : résolution d’une équation se ramenant à une équation du premier degré.
|
||
197 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
À l’issue de ces trois séances, on pourra faire observer aux élèves que la structure
|
||
des trois problèmes est la même, mais qu’en fonction des choix effectués, une dif-
|
||
férence peut apparaître dans le traitement de telle ou telle étape. En particulier, les
|
||
calculs algébriques à mener peuvent être plus ou moins complexes.
|
||
|
||
PROBLÈME 4
|
||
Si tous les élèves inscrits étaient venus, la sortie en autocar aurait coûté 25 € par
|
||
personne. Mais il y a eu 3 absents et chaque participant a dû payer un supplément
|
||
de 1,50 €.
|
||
Combien y avait-il d’inscrits ?
|
||
|
||
|
||
|
||
On fera remarquer aux élèves que les procédures mises en œuvre dans les pro-
|
||
blèmes précédents sont transférables à ce problème : le nombre d’élèves présents
|
||
est une donnée manquante. On peut donc avoir recours à une inconnue pour la
|
||
représenter (deux choix d’inconnue possibles). Les étapes du raisonnement sont
|
||
ensuite dégagées : nécessité d’exprimer le nombre d’élèves inscrits en fonction de
|
||
cette inconnue, de calculer le prix payé par les élèves présents puis de traduire
|
||
l’égalité des coûts, que les élèves soient tous présents ou non. On reconnaît alors
|
||
une équation du premier degré qu’il convient de résoudre.
|
||
|
||
La modélisation de la situation est la suivante : l’aire du grand rectangle vert repré-
|
||
sente le coût initial (l’unité « élève » étant sans dimension, la grandeur produit asso-
|
||
ciée au rectangle est bien exprimée en euros). L’aire du rectangle jaune vertical
|
||
représente la perte due à l’absence des 3 élèves. Le rectangle orange représente le
|
||
coût supplémentaire supporté par les élèves participants. Les rectangles jaune et
|
||
orange doivent être de même « aire ». Ce qui permet de conclure que x = 50, et donc
|
||
qu’il y avait 53 élèves inscrits au départ.
|
||
|
||
x
|
||
|
||
1,5 €
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
25 €
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Élèves présents 3
|
||
|
||
|
||
|
||
L’objectif du problème 4 est de créer les meilleures conditions de transfert, y
|
||
compris pour des problèmes superficiellement éloignés des problèmes d’appren-
|
||
tissage. Il s’agira de travailler avec les élèves à un codage du problème 4 qui soit
|
||
compatible avec les stratégies de résolution élaborées lors de la résolution des
|
||
problèmes précédents. En soi, le problème est difficile, mais utile, et il est possible
|
||
de s’appuyer sur les démarches expliquées dans les points sur la recherche pour
|
||
conduire à une bonne compréhension de la part de l’élève qui permette de mettre en
|
||
œuvre les stratégies travaillées dans une classe diversifiée de problèmes.
|
||
198 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Séance n° 4. Durée estimée : 30 min
|
||
|
||
À l’issue de ces séances d’enseignement, un problème de la même classe est pro-
|
||
posé aux élèves, en autonomie, pour une évaluation formative.
|
||
|
||
Il s’agit pour l’élève de réinvestir seul le travail collectif précédent. À ce stade,
|
||
l’enseignant n’intervient pas durant la résolution afin d’évaluer les acquisitions des
|
||
élèves et leur degré d’autonomie. Toutefois, pour préparer les élèves au problème
|
||
du jour, une question flash est introduite, et corrigée, avant de passer à la résolution
|
||
du problème proprement dite.
|
||
|
||
QUESTION FLASH
|
||
L’objectif de cette question est de réactiver le calcul de l’aire d’un triangle rec-
|
||
tangle, afin d’éviter des difficultés de résolution liées à la non-disponibilité de cette
|
||
connaissance.
|
||
|
||
Parmi les formules suivantes, lesquelles permettent de calculer l’aire du triangle
|
||
ABC ?
|
||
|
||
A B
|
||
|
||
AB
|
||
a. 15 AB d. 2 x 30
|
||
30
|
||
45 x 30 30 x AB
|
||
45 b. 2 e. 2
|
||
30 x AB
|
||
c. 2
|
||
C
|
||
|
||
|
||
PROBLÈME CIBLE
|
||
Le trapèze ABCD ci-dessous est un trapèze rectangle tel que AB = 60 cm, AD = 100 cm
|
||
et DC = 80 cm.
|
||
S est un point du segment [AD].
|
||
Où placer le point S pour que les aires des triangles ABS et DSC soient égales ?
|
||
|
||
A B
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
S
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
D C
|
||
199 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
Séance n° 5
|
||
|
||
Si des élèves éprouvent encore des difficultés, un travail de remédiation pourra s’en-
|
||
gager sur les séances suivantes. Pour ces élèves, la poursuite de l’apprentissage
|
||
pourra se faire également lors de séances différenciées ou d’aide personnalisée.
|
||
|
||
Par exemple, on pourra donner aux élèves des problèmes à résoudre en autonomie
|
||
pendant que l’enseignant travaillera, avec les élèves en difficulté, le problème « piste
|
||
verte », dans un îlot « coup de pouce ». Il s’agira de reprendre en petit groupe les
|
||
étapes précédentes.
|
||
|
||
PROBLÈME : PISTE VERTE
|
||
ABCD est un rectangle tel que AB = 100 cm et BC = 60 cm.
|
||
E est un point du segment [AB] et F est un point du segment [AD] tel que AE = FD.
|
||
Où placer les points E et F pour que les aires des triangles FCD et EBC soient égales ?
|
||
|
||
A E B
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
F
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
D C
|
||
|
||
|
||
AUTRE PROBLÈME POSSIBLE : PISTE NOIRE
|
||
|
||
ABCD est un rectangle tel que AB = 10 cm et BC = 6 cm.
|
||
E est le point du segment [AB] tel que AE = 4 cm.
|
||
F est un point du segment [AD].
|
||
Où placer le point F pour que l’aire du triangle FEC soit égale à 28 cm² ?
|
||
|
||
A E B
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
F
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
D C
|
||
200 — Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ?
|
||
|
||
|
||
En résumé
|
||
|
||
La résolution de problèmes n’est pas uniquement applicative,
|
||
elle contribue au développement des notions mathématiques
|
||
elles-mêmes. Certaines stratégies d’enseignement
|
||
permettent de soutenir la réussite des élèves en résolution
|
||
de problèmes.
|
||
|
||
|
||
Il importe que l’enseignant favorise de diverses manières
|
||
des processus de prise de conscience des caractéristiques
|
||
mathématiquement pertinentes d’un problème. En particulier,
|
||
des activités de comparaison de problèmes, destinées
|
||
à rendre perceptibles les similitudes et les différences
|
||
entre énoncés appartenant à une même classe de problèmes,
|
||
s’avèrent un mode particulièrement efficace pour permettre
|
||
aux élèves de résoudre d’autres problèmes relevant
|
||
de la même structure mathématique.
|
||
|
||
Deux stratégies d’enseignement pour la résolution
|
||
de problèmes peuvent concourir à ces objectifs. La première
|
||
met l’accent sur la reconnaissance de compétences
|
||
qui sont mobilisées en résolution de problèmes. La seconde
|
||
repose sur une démarche d’explicitation visant à favoriser
|
||
le transfert d’apprentissage dans le cadre d’une classe
|
||
de problèmes.
|
||
Bibliographie
|
||
et outils de référence
|
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202 — Bibliographie et outils de référence
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204 — Bibliographie et outils de référence
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Suivi de fabrication
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Décembre 2021 Service de l’action administrative et des moyens
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ISBN 978-2-11-162849-6 Impression
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ISSN 2647-4786 DEJA LINK
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