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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
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MATHÉMATIQUES
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Compétences travaillées en mathématiques
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Chercher
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Chercher est peut-être la première des compétences à laquelle on pense lorsqu’on tente de
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décrire l’activité mathématique. Elle en constitue sans doute la part la plus exaltante pour
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celles et ceux qui aiment les mathématiques. Mais aussi la part la plus difficile pour d’autres.
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Il faut reconnaitre qu’il s’agit de l’une des compétences qui se laissent le moins facilement
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circonscrire. Amener les élèves à savoir quoi chercher et comment chercher est donc un
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objectif ambitieux, mais nécessaire au développement de toutes les autres compétences au
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cycle 4.
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Deux activités pour un même terme
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La compétence « Chercher » recouvre dans le travail quotidien de l’élève comme du
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mathématicien deux activités qu’il convient de distinguer. On peut illustrer cette dualité, qui
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tient simplement à la polysémie du verbe chercher, par les deux consignes suivantes, toutes
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deux relatives à une série de représentations d’angles :
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• Première consigne : « Chercher quels sont les angles droits »
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• Deuxième consigne : « Chercher comment classer les angles »
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Il s’agit de deux activités mettant en œuvre une recherche, mais alors que dans le premier cas,
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l’élève met en œuvre des processus éprouvés, repère et utilise les attitudes expertes qui lui
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auront explicitement été indiquées comme telles, dans l’autre, il s’agit de donner un sens à la
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question, voire de définir la question.
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Le préambule du programme de mathématiques du cycle 4 illustre bien le premier sens de la
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compétence « Chercher » dans la mesure où il précise qu’on attend de l’élève qu’il sache
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« extraire d’un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à
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ses connaissances ».
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Au cycle 4, on laisse à l’élève plus d’autonomie. Les situations proposées nécessitent en effet
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une part plus importante d’initiative : compléter un tableau, voire construire un tableau qui
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n’est pas présent, effectuer des calculs qui ne sont pas explicitement demandés.
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Quant au deuxième sens, il est également présent dans le volet « Compétences travaillées »
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du programme: il s’agit d’« émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-
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exemples », mais aussi de « tester, essayer plusieurs pistes de résolution ».
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Dans ce second sens, il est cependant moins évident de décrire de quoi il s’agit et ce qu’on
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attend véritablement de l’élève. Il ne s’agit pas, en tout cas, de deviner une question fermée
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que l’enseignant aurait en tête et il convient d’explorer plus avant ce qui constitue cette part
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essentielle de la compétence « Chercher ».
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Que se passe-t-il lorsque l’on cherche ?
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Chercher peut être vu en première analyse comme une activité transitoire pour l’élève, un
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échafaudage que l’on oublie une fois le bâtiment achevé. Pour aboutir au résultat d’un calcul,
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pour établir un raisonnement, pour construire une modélisation, on sait qu’il a fallu une phase
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de recherche, mais qui ne laisse pas de trace sur le résultat final : on recopie au propre et on
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note la synthèse dans le cahier.
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Cette phase de recherche et de tâtonnement (« je cherche… », dit l’élève en cachant son cahier)
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est pourtant essentielle en mathématiques et la réussite de tous les élèves passe par le fait
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d’expliciter au mieux ce qui s’y joue.
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On peut dégager au moins deux grands axes dans cette réflexion sur l’activité de recherche.
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La dimension temporelle est essentielle : il faut du temps, et c’est dans le temps que
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les choses vont se transformer. Ne pas donner immédiatement l’idée, ou une amorce de
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solution, mais laisser un temps d’indétermination où puissent s’élaborer des représentations
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personnelles et variées.
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La place de l’erreur constitue également un élément capital : si transformation il y a, c’est
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qu’à un moment, les choses n’étaient pas justes. Comme le dit le mathématicien Alexandre
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Grothendieck1 : « Craindre l’erreur et craindre la vérité est une seule et même chose. Celui qui
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craint de se tromper est impuissant à découvrir. C’est quand nous craignons de nous tromper que
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l’erreur qui est en nous se fait immuable comme un roc. »
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Cette peur dont parle le mathématicien (peur de se tromper, peur de ne pas bien faire, de ne
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pas savoir quoi faire) une phrase aussi anodine que « Voilà, maintenant, vous pouvez chercher »
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peut la déclencher chez les élèves : chercher quoi, chercher comment, chercher jusqu’où ? Si
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cette phrase est prononcée, il faut donc qu’elle ait été précédée d’expériences plus balisées.
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Il faut également laisser un temps suffisant pour prendre le risque d’essayer, de se tromper,
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d’identifier son erreur, mais un temps explicitement limité pour ne pas tomber dans une
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activité sans limite et sans consistance. Il faut enfin donner aux élèves les outils permettant de
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dépasser la peur de se tromper.
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1. Récoltes et Semailles : Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien, Université Paris 6, Grothendieck
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Circle, 1986, Première partie, § 5.2.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 2
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Un chemin qui laisse des traces
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Ces outils peuvent être définis comme ce qui reste lorsque la recherche est terminée, en
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dehors du résultat lui-même. Ils peuvent être pour une part identifiés par les élèves, par le
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biais d’un carnet de recherche ou de phrases notées sur le cahier : « j’ai essayé avec trois et
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quatre », « j’ai fait des figures et j’ai mesuré ». Mais ils doivent aussi être explicitement isolés et
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identifiés par l’enseignant : « vous avez essayé plusieurs choses très intéressantes… », « en fait,
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ce que tu as fait, c’est ce qu’on appelle… », « lorsque l’on rencontre un problème de ce type, on fait
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souvent plusieurs figures… »
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Cette manière d’associer des problèmes et des méthodes permet ensuite de construire des
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situations références : « et si tu essayais les mêmes idées que pour le problème de la somme
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de trois nombres ? ». Les élèves peuvent ainsi peu à peu donner de l’épaisseur à l’activité de
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recherche : chercher, c’est tester avec des nombres, c’est émettre des hypothèses, c’est
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parfois proposer une question. Le passage à la démonstration, qui constitue un des objectifs
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du cycle 4, ne peut être réussi pour les élèves les plus fragiles que s’ils en perçoivent les
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moyens et les buts au travers de situations diverses et explicitement désignées comme
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représentatives de l’activité de recherche.
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On notera à ce stade qu’au travers de l’apparition du thème E, « Algorithmique et
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programmation », ces questions trouvent un cadre nouveau et particulièrement propice. Tout
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d’abord, les outils de la recherche y sont explicitement désignés comme des objets de savoir
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à part entière : « décomposer un problème en sous-problèmes », « reconnaitre des schémas »,
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outils et méthodes qui seront évidemment réinvestis avec profit dans d’autres champs du
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programme.
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Ce thème offre également un cadre rassurant aux élèves quant à la place de l’erreur, qui fait
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en effet partie intégrante de la démarche de programmation : « Écrire, mettre au point (tester,
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corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné ». De plus, la validation
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n’y est pas celle de l’enseignant, mais celle, plus neutre, de l’exécution du programme qui
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marche ou ne marche pas.
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Une activité extraordinaire ?
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La mention du carnet de recherche amène naturellement à évoquer la pratique des problèmes
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ouverts, et plus largement des défis, dans la classe, mais aussi en dehors de la classe sous
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la forme de clubs, ateliers, concours (MATh.en.JEANS, stages MathC2+, etc.). L’apport de tels
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dispositifs est indéniable, dans leur dimension collective et collaborative, comme dans leur
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aspect ludique. Mais ce serait une erreur de réduire la compétence « Chercher » à une activité
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extraordinaire, rare et sans effet sur l’ordinaire de la classe constitué quant à lui de questions
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fermées et balisées. Il importe de repenser les activités les plus quotidiennes, les plus
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simples, sous l’angle de ce qu’elles peuvent apporter, même modestement, à l’élaboration de
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la compétence « Chercher ».
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Cela peut être à l’occasion d’une activité de calcul mental, sous forme de petits défis : trouver
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l’opération et non pas le résultat, trouver le résultat le plus grand possible, ou travailler sur la
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multiplication, comme sur cet exemple2 :
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2. Exemple issu de Le calcul mental au collège, sous la direction de Bernard Anselmo et Hélène Zuchetta, 2013.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 3
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Nombre de départ → ×5
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↓
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×3
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↓
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Nombre d’arrivée ← ×2
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Une série de nombres de départ étant donnés, la consigne est de calculer le plus vite possible,
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ce qui peut constituer une première approche de certaines propriétés du produit, avant de les
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institutionnaliser peu à peu.
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L’arithmétique est un terreau particulièrement riche pour entretenir au quotidien la
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compétence « Chercher ». La familiarité des élèves avec les nombres entiers leur permet en
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effet de s’engager plus facilement dans une démarche d’essais et hypothèses. L’élaboration
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d’une conjecture utilisant le langage symbolique peut constituer alors l’un des buts de la
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phase de recherche3.
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En algèbre, un travail sur les variables didactiques peut souvent permettre de transformer
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une question fermée en une activité mettant en œuvre une véritable recherche. Ainsi, lors
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d’un travail sur l’utilisation du calcul algébrique pour montrer que deux programmes de
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calcul donnent le même résultat, on peut remplacer la consigne « Montrer que les programmes
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suivants aboutissent tous les deux au même résultat » par la consigne « Voici deux programmes de
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calcul, que peut-on en dire ? ». L’élève est ainsi amené à expérimenter, à déterminer peu à peu
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une question, ainsi que les moyens d’y répondre.
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En géométrie, les problèmes de construction forment
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un grand répertoire d’activités de recherche où la
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découverte progressive des configurations et des
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transformations outille peu à peu l’élève. L’utilisation
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d’un même support peut par ailleurs amener des
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questions qui mettent en jeu une recherche autour des
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transformations, en variant les niveaux de difficulté.
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Considérons par exemple le pavage ci-contre
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(Mozaïque de l’Alhambra)
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• Comment ce pavage est-il construit ? »
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• Cette figure étant donnée, comment peut-on
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construire le pavage ? »
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• Quelles transformations reconnait-on ? »
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• Comment peut-on construire le pavage à partir de la
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figure la plus simple possible ? »
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• Peut-on construire le même pavage, avec des motifs
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différents ? »
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Source : FreeImages.com /Eric Weijers
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Conclusion
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Remettre du doute, remettre du jeu pour conserver ce plaisir de l’activité mathématique
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quotidienne que connaissent les enfants au cycle 3, tout en poursuivant le développement des
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autres compétences, tels sont les enjeux de l’attention portée au cycle 4 au développement de
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la compétence « Chercher ».
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3. Et ce même si la démonstration de la conjecture n’est pas à la portée des élèves.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 4
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Bibliographie
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• ASTOLFI,J.-F.(1997). L’erreur, un outil pour enseigner. Paris : ESF.
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• PERRIN D. (2007), En mathématiques, que cherche-t-on ? comment cherche-t-on ?
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||
conférence donnée au collège de Boussy Saint-Antoine.
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||
• Ressources d’accompagnement des programmes de mathématiques de 2008 :
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||
--Géométrie au collège
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||
--Raisonnement et démonstration
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||
• ANSELMO B. & ZUCHETTA H.(dir.) (2013). Le calcul mental au collège. Paris : SCEREN.
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||
• MANTE M.& ARSAC B.(2007). Les pratiques du problème ouvert. Paris : SCEREN.
|
||
• BAUDART F.(2011). Monde de l’oral et monde de l’écrit en mathématiques, Le Français
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||
aujourd’hui174,107-118 .
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||
• Document préparatoire à la 16° étude de la CIEM4 : Challenging Mathematics in and beyond
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the Classroom (le document est en français).
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||
4. Commission internationale de l’enseignement mathématique.
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