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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
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MATHÉMATIQUES
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Compétences travaillées en mathématiques
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Communiquer à l’écrit et à l’oral
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Communiquer efficacement dans le cadre d’une activité mathématique est un objectif de
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formation essentiel, recouvrant plusieurs champs de compétences : comprendre des énoncés,
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produire des textes aux finalités diverses, s’exprimer oralement.
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C’est aussi par la médiation d’échanges que le professeur apprécie le niveau de maîtrise de
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l’élève. Cette double fonction de la communication, objet de formation et moyen d’apprécier la
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réussite de l’élève, a son importance. S’il convient que l’élève apprenne à s’exprimer avec un
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maximum de rigueur et de clarté, il ne faut pas pour autant considérer que celui qui s’exprime
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avec peine a nécessairement des difficultés mathématiques. Il s’agit avant tout d’ouvrir le
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champ de la résolution de problèmes au plus grand nombre d’élèves, y compris à ceux qui ont
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des difficultés à entrer dans les codes de la rédaction d’une démonstration.
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Prendre en compte les spécificités de la langue utilisée dans
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l’activité mathématique
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Toutes les difficultés des élèves ne sont pas imputables à des problèmes de langue et tous
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les problèmes de langue ne résultent pas d’un déficit lexical. Des malentendus peuvent naître
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d’énoncés ambigus, d’un déficit d’explications ou de la difficulté à gérer les interactions entre
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plusieurs registres de langue.
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Le domaine 1 du socle commun, les langages pour penser et communiquer, vise à prendre
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en compte, au-delà de la maîtrise de la langue française, la spécificité de certains langages.
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Ainsi, la communication mise en œuvre en mathématique se caractérise par la coexistence
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d’un langage précis et codifié pouvant faire intervenir des symboles, et d’une langue plus
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proche de la langue naturelle qui permet d’échanger des idées ou de donner des explications.
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L’utilisation simultanée de ces deux niveaux d’expression et d’une gamme de niveaux
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intermédiaires, avec leurs règles propres qui peuvent varier, mérite un accompagnement
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particulier. Cet accompagnement doit notamment éveiller l’élève à l’idée que le débat
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scientifique est soumis à des spécificités.
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En mathématiques, le sens d’une phrase est sensible à l’ordre des mots, ainsi qu’à la
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signification des connecteurs logiques ou de quantificateurs plus ou moins explicites.
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Le sens de la phrase « Tout multiple de 15 est multiple de 5 » est modifié si on intervertit les
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entiers mentionnés.
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La phrase « On sait que ABCDE est un pentagone régulier, donc 360/5 = 72 (…) » n’est pas correcte,
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bien que l’élève ait sans doute correctement analysé la figure.
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Dans la phrase « Un carré a quatre angles droits », il faut comprendre que ce qui est dit vaut
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pour n’importe quel carré. Si l’on donne comme définition : « Un rectangle est un quadrilatère
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qui a quatre angles droits », cette phrase apparemment proche de la précédente fournit une
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double information permettant de caractériser un rectangle.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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En mathématiques, la concision des énoncés peut être source de malentendus.
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La même phrase « Tout multiple de 15 est multiple de 5 » peut être comprise à tort comme une
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équivalence.
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La concision est par ailleurs un objectif, non pour sa dimension esthétique, mais pour la
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cohérence de la solution. Ainsi, la rédaction d’une démonstration relève d’une pratique très
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codifiée où par exemple il convient de ne pas multiplier les arguments si un seul peut suffire.
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Bien entendu, un tel objectif doit faire l’objet d’une réflexion pédagogique afin d’adapter
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les attentes aux possibilités des élèves de collège, pour lesquels l’appropriation de cette
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contrainte est en cours d’acquisition.
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En mathématiques, des tableaux, des graphiques ou d’autres modes de représentation,
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peuvent se substituer efficacement à des phrases qui seraient nettement plus difficiles à
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comprendre.
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Au même titre que l’on ne saurait remplacer les panneaux des gares affichant les horaires des
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trains par des phrases, la puissance des notations mathématiques permet de condenser un
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nombre important d’informations. Au lycée, un tableau de variation ou un arbre de probabilités
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sont porteurs de conventions que l’on peut mobiliser pour démontrer. De même au collège, un
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tableau de proportionnalité, le recours au calcul littéral, ou une figure codée permettent une
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économie de pensée.
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De nombreux termes utilisés en mathématiques proviennent de la langue courante, mais
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prennent un sens différent. Une liste de termes polysémiques rencontrés en mathématiques
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au collège peut être portée à la connaissance des élèves [liste de termes polysémiques
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rencontrés en mathématiques].
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En mathématiques, la structure d’une phrase ne renseigne pas toujours sur le statut de
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l’énoncé. On peut notamment distinguer : la donnée d’une information (énoncé d’un problème),
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l’institutionnalisation (définition, propriété), la démonstration, la consigne donnée par le
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professeur, les commentaires émis par l’élève (narration de recherche) ou par le professeur
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(annotations sur une copie).
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Par exemple, les phrases suivantes figurant dans un même cahier d’élève sont construites de la
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même façon, mais ont une fonction différente : « La somme des angles d’un triangle est égale à
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180°. », « La longueur totale du trajet est de 60 km », « I milieu de [AB] est équidistant des points
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A et B ».
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Plus généralement, la part importante d’implicite constitue un obstacle dont il faut prendre
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acte.
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L’accumulation de ces difficultés potentielles montre à quel point la compréhension d’un
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texte mathématique et, a fortiori, la production d’un texte tel qu’une démonstration recèlent
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de nombreux obstacles. En avoir conscience doit permettre au professeur d’adapter ses
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exigences pour mieux former les élèves.
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Il va de soi que la détection de telles difficultés ne peut s’opérer à partir d’un catalogue
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préétabli. Une démarche d’entretien avec l’élève concerné est indispensable.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 2
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Placer les élèves en situation de production écrite
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Garantir la compréhension des énoncés et des consignes est un préalable essentiel.
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Certaines habitudes de travail instaurées au cycle 3 peuvent être avantageusement prolongées
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au cycle 4, comme par exemple : ménager un temps de lecture silencieuse des énoncés,
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faire expliciter le vocabulaire spécifique, lui donner du sens en précisant éventuellement son
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étymologie, s’assurer de la compréhension des textes lus.
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En vue de renouveler l’activité de lecture pour solliciter l’attention et l’esprit critique, se sont
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développées certaines activités : construction par les élèves d’un énoncé de problème à partir
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de quelques données, ou présence dans un énoncé des données superflues. Cette dernière
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pratique peut présenter un intérêt dès l’instant où elle ne vise pas à tendre des pièges mais
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s’apparente au traitement de données réelles.
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Au-delà de ces considérations, en vue d’étendre leurs compétences dans le domaine de la
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lecture, il convient d’inciter les élèves à lire en dehors de la classe d’autres textes que ceux du
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cours ou des exercices (articles, revues, livres, etc.) et de réinvestir ces lectures en classe.
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Le passage au cycle 4 s’accompagne d’exigences plus importantes en matière de production
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écrite, avec à la fois un volume plus conséquent et un niveau de complexité plus élevé.
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Cette évolution doit être progressive sur la durée du cycle et s’accompagner d’un certain
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nombre de précautions d’ordre pédagogique.
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On peut distinguer plusieurs modalités :
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• les écrits de la classe avec le professeur ;
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• les écrits personnels ;
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• les écrits de groupe.
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Les écrits rédigés par la classe avec le professeur ont généralement pour objet
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d’institutionnaliser et de structurer ce qui est à retenir.
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Une organisation efficace des supports utilisés (cahier, ordinateur, tablette, etc.) doit contribuer
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à la qualité des traces écrites conservées. Il est important de :
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• définir l’organisation du cahier, en prenant appui sur un plan clairement affiché et sur
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d’autres éléments structurants ;
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• préciser à chaque séance la place de la trace écrite (cours, exercices, écrits personnels, etc.) ;
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• relever régulièrement les cahiers et si nécessaire les faire corriger par les élèves ;
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• prévoir durant la séance des moments où l’élève copie ce qui est écrit au tableau ;
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• s’assurer systématiquement de la compréhension du texte copié.
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Parallèlement, un entraînement à la prise de notes est à instaurer très progressivement en
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concertation avec les professeurs des différentes disciplines.
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Mais bien entendu, la pratique d’écriture en classe ne saurait se réduire à la copie de ce que
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le professeur écrit au tableau. L’enjeu majeur à ce niveau consiste à procurer aux élèves
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une marge d’initiative suffisante pour leur permettre de progresser dans l’écriture de textes
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mathématiques.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 3
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Il est donc primordial d’accorder très régulièrement un temps significatif à la production
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d’écrits personnels. Ce temps d’écriture doit être clairement identifié et bénéficier de
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conditions propices (silence, durée suffisante). Cette production peut consister à exposer des
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idées, à décrire une démarche, ou à exposer une solution.
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Ménager une certaine difficulté est nécessaire, mais on évitera de fractionner artificiellement
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les difficultés dans l’espoir que l’élève saura ensuite réunir des savoir-faire exercés
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séparément. Ainsi, l’usage de fiches à trous à compléter ne permet pas de le placer en
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situation d’expression écrite et ne présente donc pas d’intérêt pour sa formation dans ce
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domaine.
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Il faut accepter la production d’écrits intermédiaires, forcément imparfaits, par exemple au
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moyen d’un cahier de brouillon qui permet de « prôner l’imperfection pour exiger in fine la
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perfection »¹.
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Une activité intéressante peut consister à comparer les différentes versions d’un texte,
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par exemple les solutions données par plusieurs élèves ou par un même élève à différents
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moments.
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Ces recommandations correspondent parfaitement à la consigne donnée aux candidats lors
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des épreuves d’examen (DNB, baccalauréat) : « Toute trace de recherche sera prise en compte
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dans l’évaluation », invitant les élèves à s’engager dans une activité de recherche et à faire part
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de leur cheminement.
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Le travail d’écriture à l’initiative de l’élève doit lui permettre de prendre conscience des
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exigences particulières du discours mathématique. Plutôt habitué à raconter qu’à expliquer, le
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plus souvent selon une logique d’exposition chronologique, l’élève doit passer de la narration à
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un mode d’exposé scientifique où l’auteur ne s’implique pas de la même façon.
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Par exemple, une démonstration est rédigée selon un mode neutre, en mettant en évidence les
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enchaînements logiques.
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De ce point de vue, la pratique dite des « figures téléphonées » où l’élève doit décrire à
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un camarade, qui ne la voit pas, une figure donnée dans le but qu’il la reproduise, est
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particulièrement formatrice. Cet exercice, qui peut également se concevoir à l’oral, demande
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à l’élève prise de recul et rigueur d’expression, tout en l’obligeant à apprécier correctement le
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degré d’explicite attendu.
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S’inscrivant dans le cadre de travaux collectifs, les écrits de groupe peuvent déboucher sur la
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synthèse de propositions individuelles. Ils sont un moyen d’apprendre à travailler ensemble à
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travers la mise en commun des idées ou la confrontation des démarches.
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Quelle que soit la modalité adoptée, la place de la production écrite dans la séance gagne à
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être méthodiquement programmée. L’un des enjeux est d’éviter de superposer les difficultés.
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Ainsi il vaut mieux ne pas confondre le temps de la réflexion, où émergent les idées, celui de
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la mise en forme des idées, où l’on tend vers une formalisation de la solution, et celui de la
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rédaction de celle-ci sous une forme aboutie. Accepter de différer le moment de la production
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écrite plutôt que de demander immédiatement un texte irréprochable, peut également libérer
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la recherche. Dans le même esprit, l’évaluation ne peut reposer uniquement sur la production
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du produit fini.
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1. D’après La maîtrise de la langue au collège, page 92 – voir bibliographie.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 4
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Développer les compétences d’expression orale
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Si l’enseignement est devenu moins magistral, la répartition du temps de parole entre le
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professeur et les élèves demeure parfois déséquilibrée. Plus que la durée des interventions,
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c’est la nature des prises de parole qui doit être examinée. Il arrive que la participation de
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l’élève se limite à répondre à des questions fermées appelant des réponses très brèves. Le
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professeur, soucieux d’aboutir rapidement, ne donne pas toujours l’occasion ni le temps
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d’élaborer une réponse construite. L’échange peut alors consister en la succession de
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séquences : question du professeur - réponses d’élèves - commentaires du professeur.
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Cette pratique résulte d’un double malentendu à propos de la participation orale :
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• penser que son seul objectif est d’entretenir une « classe vivante », pour créer une ambiance
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qui devrait être favorable à l’apprentissage ;
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• considérer qu’elle doit conduire à tout prix à « la » bonne réponse pour ensuite ne conserver
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qu’elle.
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Or, la maîtrise de l’expression orale, au même titre que celle de l’écrit, constitue un objectif de
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formation à part entière.
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Cette maîtrise ne s’acquiert pas spontanément. Elle a ses spécificités et ne se limite pas à une
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transposition des compétences relevant de l’écrit.
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Pour atteindre ces objectifs, il peut être utile de veiller à :
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• réunir de bonnes conditions d’écoute ;
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• privilégier des questions appelant une réponse structurée ;
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• exiger des réponses par phrases complètes ;
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• solliciter tous les élèves ;
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• enrichir le lexique ;
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• faire mémoriser des écrits de référence (définitions, théorèmes, etc.).
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Mais au-delà des aspects linguistiques, qui sont essentiels, la maîtrise de l’oral gagnera à
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s’intégrer dans une perspective de communication. Aussi s’acquiert-elle par une pratique
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régulière dans des situations pertinentes.
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En effet, la pratique de l’oral n’est formatrice que si elle répond à un véritable besoin
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de s’exprimer. En d’autres termes, une pédagogie de l’oral passe par des situations de
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communication offrant de vrais enjeux pour les interlocuteurs : s’expliquer, décrire,
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argumenter, convaincre, décider, etc.
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Par conséquent, il est souhaitable de diversifier les situations de communication :
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• échanges pour s’assurer de la compréhension d’un énoncé ;
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• organisation d’un débat entre élèves ou groupes d’élèves pour confronter des pistes de
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résolution d’un problème ;
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• présentation d’une solution ;
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• compte rendu de l’avancée d’un travail réalisé en petits groupes ;
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• exposé d’un travail de recherche sur un thème donné, pouvant être à dimension historique
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ou culturelle, ou concerner une notion non encore étudiée ;
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• aide à d’autres élèves dans le cadre d’un tutorat.
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Compétences travaillées en mathématiques
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Par ailleurs, si l’une et l’autre recouvrent des compétences spécifiques, la maîtrise de l’oral et
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celle de l’écrit sont liées entre elles et le travail réalisé en faveur de l’une peut être réinvesti au
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service de l’autre.
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Une organisation structurée des séances doit permettre de bien articuler le temps consacré
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à l’oral et celui de l’écrit, en les identifiant clairement. De plus, on sait que l’élève en difficulté
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a souvent du mal à se situer entre les différentes phases d’une séance. Il ne perçoit pas
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forcément à quel moment on passe de l’exploration à l’institutionnalisation, ou de la conjecture
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à la démonstration. Des transitions explicites doivent le guider dans le suivi du cours et
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faciliter sa participation.
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Enfin, dans le registre de la maîtrise de la langue, une concertation étroite entre les
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professeurs des différentes disciplines est nécessaire pour la mise en place d’actions
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cohérentes et complémentaires.
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Bibliographie
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• La maîtrise de la langue au collège (direction des lycées et collège, CNDP, 1997 – ouvrage
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diffusé dans tous les CDI en 1997-1998)
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• Site de l’académie d’Aix-Marseille : « Maîtrise de la langue dans toutes les disciplines »
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• Site de l’académie de Bordeaux : « Maîtrise de la langue »
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||
• Site de l’académie de Créteil : « Enseignement des mathématiques et maîtrise de la langue »
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||
• IREM de Rennes : « L’enseignement de la démonstration »
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||
• Les dimensions linguistiques de toutes les matières scolaires, un guide pour l’élaboration
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||
des curriculums et pour la formation des enseignants (Conseil de l’Europe, 2015)
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 6
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