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Utiliser les nombres pour comparer,
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calculer et résoudre des problèmes :
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les nombres relatifs
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Le statut et l’usage des nombres évoluent au cours de la scolarité. Au cours du cycle 3, les nombres
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positifs (entiers, décimaux ou rationnels) ont été principalement utilisés pour :
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compter des objets ;
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mesurer des grandeurs ;
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graduer une demi-droite ;
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jouer le rôle d’opérateur (par exemple prendre le quart de, ou calculer 75 % de) ;
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effectuer des calculs et en donner les résultats sous forme exacte ou approchée.
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L’élève a effectué sur ces nombres des opérations dont il a perçu implicitement certaines propriétés
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(associativité, commutativité, élément neutre, distributivité).
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Objectifs
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L’introduction au cycle 4 des nombres décimaux relatifs vise plusieurs objectifs :
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étendre l’ensemble des décimaux positifs à un ensemble plus vaste (celui des
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décimaux positifs et négatifs), dans lequel toutes les soustractions sont possibles.
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Cette extension est réalisée de manière à maintenir les propriétés des opérations
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valables entre nombres décimaux positifs (principe de permanence) ;
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accorder le statut de nombres (en tant qu’objets mathématiques sur lesquels on peut
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effectuer des opérations et des comparaisons) à des réalités de la vie quotidienne
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situées « au-dessous de zéro » (températures, profondeurs, dettes, etc.) ;
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disposer de ces nouveaux outils pour modéliser et résoudre des problèmes de la vie
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courante ;
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étendre à la droite entière la graduation déjà connue de la demi-droite, repérer
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et se repérer sur une droite.
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Liens avec les domaines du socle
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La compréhension des nombres négatifs en tant qu’objets mathématiques sur lesquels on peut
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effectuer des opérations et des comparaisons, la perception de l’extension de l’ensemble des
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décimaux positifs à celui des décimaux relatifs, la compréhension de l’écriture des nombres négatifs
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et de leur représentation sur la droite graduée contribuent à l’acquisition du langage mathématique
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pour penser et communiquer (domaine 1).
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L’utilisation des nombres relatifs pour modéliser des grandeurs physiques (température, profondeur,
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altitude) ou sociales (dates, gains et pertes) susceptibles de prendre des valeurs en dessous de zéro
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contribue à l’étude des systèmes naturels et techniques (domaine 4) ainsi qu’aux représentations
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du monde et de l’activité humaine (domaine 5).
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PROGRESSIVITÉ DES APPRENTISSAGES
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Anticipation
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Quel que soit le procédé retenu pour l’introduction des nombres négatifs, celle-ci gagne à être
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préparée en amont par une réactivation des propriétés des opérations sur les nombres décimaux
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positifs et de la notion de différence, qui ont été étudiées au cycle 3.
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De nombreux exemples de calcul mental permettront dans un premier temps de simplifier des
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programmes de calcul du type « ajouter 𝑏 puis soustraire 𝑎 » en « ajouter 𝑏 − 𝑎 »lorsque 𝑏 > 𝑎 puis,
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dans un deuxième temps d’aborder la même question lorsque 𝑏 < 𝑎.
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e
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De nombreux exemples de ce type sont présentés dans le document « Les nombres relatifs en 5 »,
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Parcours d’Étude et de Recherche du groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille.
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Un exemple d’introduction des nombres négatifs dans
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un cadre mathématique
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Une introduction des nombres négatifs (d’abord entiers puis décimaux non entiers) sans référence
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à des contextes concrets peut se faire à partir de l’équivalence de programmes de calcul.
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L’équivalence des programmes de calcul « ajouter 3 puis soustraire 5 », « ajouter 2 puis
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soustraire 4 », « ajouter 1 puis soustraire +3 », « ajouter 0 puis soustraire 2 » permet d’écrire :
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3 − 5 = 2 − 4 = 1 − 3 = 0 − 2. On convient alors de coder par (−2) le résultat commun à toutes ces
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soustractions (et à beaucoup d’autres encore…).
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En début d’apprentissage, l’utilisation de parenthèses englobant à la fois le signe « moins » et la
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valeur absolue permet d’éviter la confusion du signe « moins » intervenant dans le codage d’un
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nombre négatif avec le signe opératoire de la soustraction.
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Pour bien faire comprendre le plongement de l’ensemble des décimaux positifs dans celui des
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décimaux relatifs et le fait que seuls les nombres négatifs sont nouveaux dans la construction, on
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évitera les écritures du type (+3) pour coder les décimaux positifs déjà connus. Cela permet de
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garder au signe + son seul statut opératoire et d’éviter des exercices de simplification d’écriture au
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terme desquels les élèves ne savent plus reconnaître que (+2) + (+3), c’est tout simplement 2 + 3.
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Les élèves pourront ensuite être entraînés à résoudre des additions à trous (reformulées en : « quel
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nombre faut-il ajouter à … pour obtenir … ? ») mettant en jeu d’abord des nombres entiers, puis des
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nombres décimaux non entiers. Les nombres négatifs apparaissent alors comme des outils permettant
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de résoudre des équations à trou du type 𝑏 + ⋯ = 𝑎 lorsque 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 , ce qui revient à rendre
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possibles des soustractions du type 𝑎 − 𝑏 avec 0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑎 et 𝑏 étant des décimaux.
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Le repérage des nombres relatifs
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Le lien peut ensuite être fait avec le repérage sur la droite graduée. La référence au placement des
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nombres négatifs sur la droite graduée peut être basée sur un modèle concret (par exemple celui des
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températures) ou sur l’interprétation de la soustraction d’un décimal positif comme un déplacement
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vers la gauche.
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Ainsi le nombre (−2,7) = 0 − 2,7 repère le point situé à la distance 2,7 de l’origine, symétriquement
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par rapport à l’origine au point repéré par le nombre 2,7. Il est défini comme étant son opposé.
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Le nombre positif 2,7 est désigné comme étant la valeur absolue du nombre négatif (−2,7).
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0 − 2,7 = (−2,7)
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0 + 2,7 = 2,7
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La définition de l’opposé d’un nombre permet de compléter le corpus d’égalités à trous par des
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égalités du type 7,1 + ⋯ = 0 ou (−7,1) + ⋯ = 0.
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Pour éviter les confusions, on peut convenir, en début d’apprentissage, de noter op (7,1) l’opposé
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du nombre 7,1.
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Cette notation sera, un peu plus tard, remplacée d’abord par la notation (−7,1), puis par −7,1 sans
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négliger d’aborder avec les élèves les différentes significations que prend alors le signe « moins » :
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marqueur d’un nombre négatif dans (−7,1) ;
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signe de soustraction dans 0 − 7,1 ou dans 20 − 27,1 ;
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marqueur de l’opposé, par exemple dans l’écriture −(−7,1).
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Le repérage des décimaux relatifs sur la droite graduée est un bon point d’appui pour aborder la
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question de leur classement. Un travail systématique de changement de registre (de l’écriture du
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nombre à sa représentation sur la droite et vice versa) permet de construire l’image mentale de
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l’opposé, d’éviter les erreurs de classement et facilitera l’introduction ultérieure du repérage dans le
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plan.
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Si le classement des nombres relatifs ne pose pas de difficulté particulière lorsqu’ils sont exprimés
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sous forme chiffrée, la difficulté apparaît lorsqu’ils sont désignés sous forme littérale, les élèves ayant
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du mal à concevoir que – 𝑎 puisse, sous certaines conditions, désigner un nombre positif.
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Les opérations
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L’addition et la soustraction sont introduites dès le début de cycle 4 ; il est nécessaire d’entretenir leur
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assimilation tout au long du cycle, tant par des exercices d’entraînement technique (calcul mental ou
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écrit) que par la résolution de problèmes les mettant en jeu. La multiplication est abordée une fois que
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ces deux opérations sont bien en place, et après avoir réactivé la distributivité de la multiplication par
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rapport à l’addition dans le cadre des nombres positifs. Il est nécessaire que le sens et les propriétés
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de la multiplication soient bien stabilisés avant d’aborder la division.
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L’addition et la soustraction
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Beaucoup de situations en lien avec la vie courante peuvent illustrer l’addition de deux nombres
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relatifs. Celle-ci permet en effet de modéliser soit le bilan de deux variations (gains et pertes, montées
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et descentes d’un ascenseur, déplacements vers la droite ou vers la gauche le long de la droite
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graduée), soit l’application d’une variation (augmentation, diminution) à un état (température, altitude,
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solde d’un compte financier, score d’un joueur). La variété des contextes utilisés évitera que la
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prégnance d’un modèle empêche la construction du statut de nombre.
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Une pratique routinière, notamment sous forme de calcul mental, d’additions entre nombres relatifs
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permettra l’automatisation progressive de la règle d’addition, sans qu’il soit nécessaire de la
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formaliser. L’élève pourra alors s’affranchir du recours à un modèle concret ou à la droite graduée.
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L’introduction de la soustraction suppose que soient bien installées l’addition et la notion d’opposé,
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𝑎 − 𝑏 étant défini comme égal à 𝑎 + op(𝑏). Il est alors possible d’interpréter le résultat d’une addition
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à trou comme la différence de deux nombres relatifs.
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La simplification des calculs
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L’élève dispose alors de tous les éléments permettant de justifier la simplification de calculs
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enchaînant des additions et des soustractions sur des nombres relatifs, du type 2 + (−5) + 4.
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La simplification des expressions repose sur la définition de la soustraction dans D, puisque, sur
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l’exemple précédent, 2 + (−5) = 2 − 5. Dans les expressions simplifiées, les seuls signes restants
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sont des signes d’opérations (additions et soustractions), sauf dans le cas où le premier terme de la
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somme est un nombre négatif comme dans (−2) + 3 − 5. Progressivement, l’élève dégage des
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méthodes efficaces pour effectuer une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs,
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notamment la neutralisation des opposés et le regroupement des nombres de même signe.
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Beaucoup de situations concrètes se prêtent à ce type de calculs : moyennes de températures,
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mouvements dans les deux sens, bilans financiers de gains et de pertes, scores de jeu.
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Le choix des nombres décimaux mis en jeu et le nombre d’opérations à enchaîner constituent des
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éléments de différenciation.
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La multiplication
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La multiplication des décimaux relatifs pourra être approchée en plusieurs étapes, conduites par le
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professeur, sur des exemples génériques simples, une fois que la compréhension et l’utilisation de
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l’addition et de la soustraction aura été stabilisée :
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1. la multiplication d’un entier naturel par un entier négatif sollicite le sens premier de la
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multiplication comme addition itérée ∶ 2 × (−3) = (−3) + (−3) = (−6) (verbalisée en « deux
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fois (−3) ») ;
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2. le principe de permanence permet d’étendre aux nombres relatifs une égalité du type
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2 × 3 = 3 × 2 et de définir(−3) × 2 comme étant égal à 2 × (−3) ;
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3. la justification de l’égalité (−2) × (−3) = 6 repose sur le fait que (−2) × (−3) + 2 × (−3) =
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((−2) + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0, à condition d’admettre l’extension aux nombres relatifs
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de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, connue chez les décimaux
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positifs, et le résultat de la multiplication par 0.
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La règle permettant de calculer le produit de deux nombres relatifs pourra alors être institutionnalisée,
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notamment au niveau du signe du produit.
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Si la métaphore des amis et des ennemis est une aide à la mémorisation de la règle des signes,
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il importe d’insister sur le fait qu’elle n’en constitue en aucune manière une justification.
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Une pratique routinière (mentale et écrite) de multiplications sur les nombres relatifs permet de
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découvrir, puis d’utiliser, des propriétés mathématiques essentielles comme l’effet de la multiplication
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par (−1), le signe d’un produit de plusieurs facteurs, l’associativité de la multiplication, etc.
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Enfin, on veillera à ne pas se limiter trop longtemps à des multiplications entre entiers relatifs car cela
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risquerait de renforcer l’obstacle dû à la seule conception de la multiplication comme addition itérée.
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Le choix des nombres décimaux mis en jeu est encore un élément de différenciation
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La division
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Le quotient de deux nombres relatifs est introduit à partir d’exemples de multiplications à trous et du
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prolongement de la définition du quotient de a par b (le nombre par lequel il faut multiplier 𝑏 pour
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obtenir𝑎), dans une démarche similaire à celle utilisée pour l’introduction de la soustraction.
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La règle des signes pour un quotient est démontrée à partir de celle qui régit le signe d’un produit.
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−4 4
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À ce stade, on distingue , solution de la multiplication à trous 3 × … = −4 et , solution
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3 −3
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de l’équation à trous (−3) × … = 4.
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−4 (−3)×(−4)
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En admettant que (−3) × = (extension de la propriété connue du produit d’un entier positif
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3 3
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−4 12
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par une fraction), il vient (−3) × = = 4 ; donc le nombre par lequel on multiplie (−3) pour obtenir
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3 3
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4 −4 4 −4
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4 est à la fois et , donc =
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−3 3 −3 3
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Enfin, en étendant la règle d’addition de deux fractions de même dénominateur, il vient
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−4 4 (−4 + 4) 0
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+ = = =0
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3 3 3 3
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−4 4 4
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Ce qui permet de justifier que = = − .
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3 −3 3
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L’acquisition de ces notions délicates se fera dans la durée, et permettra d’aborder la distinction entre
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opposé et inverse.
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Les nombres rationnels négatifs
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En cours de cycle, et parallèlement à la consolidation du calcul fractionnaire, les propriétés des
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opérations entre décimaux relatifs seront étendues, toujours selon le principe de permanence, aux
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nombres rationnels, positifs ou négatifs.
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Stratégies d’enseignement
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L’histoire nous apprend qu’il a fallu du temps pour que les nombres négatifs s’imposent véritablement
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en tant que nombres. Utilisés pour des besoins comptables (créances, dettes), ils ont longtemps servi
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en mathématiques comme outils de calcul, voire comme intermédiaires de calcul dans la résolution
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d’équations. Il a fallu attendre les mathématiques modernes et la théorie des structures pour les définir
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comme des classes d’équivalence de couples d’entiers naturels. La transposition didactique de cette
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notion est délicate et explique les difficultés à appréhender en tant que nombres des objets définis
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« en-dessous de 0 », alors même qu’ils sont utilisés dans la vie courante où l’on parle aussi bien d’une
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température de −7 °C ou d’une profondeur de −35 m que d’un bilan financier de −400 €.
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Des grandeurs comme la température, la date ou l’altitude peuvent être ordonnées et comparées ;
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ce sont des grandeurs dites « repérables » ; elles peuvent servir de modèles pour introduire, comparer
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et ordonner des nombres relatifs. En revanche, quand on mélange 100 g d’eau à la température de
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50 °C et 100 g d’eau à la température de 10 °C, on obtient 200 g d’eau dont la température n’est pas
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60 °C (mais plutôt de l’ordre de 30 °C). On dit que la température est une grandeur non mesurable.
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L’interprétation de l’addition des relatifs dans des contextes concrets de grandeurs repérables mais
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non mesurables (température, altitude, date) nécessite d’attribuer aux deux nombres en jeu des
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significations différentes. Ainsi, si on souhaite s’appuyer sur le contexte des températures pour
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introduire ou interpréter l’égalité 3 + (−4) = (−1), on peut, par exemple, attribuer aux nombres 3 et
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(−1) un statut d’état (température initiale de 3 °C et température finale de −1 °C, alors que le nombre
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(−4) a le statut d’une variation (diminution de 4 °C).
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S’ils constituent une aide indéniable pour la compréhension de l’addition, le modèle « gain-perte »,
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ou le modèle « montée-descente » peuvent constituer un réel obstacle à la compréhension de la
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multiplication de deux nombres, notamment s’ils sont tous deux négatifs.
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Les références à l’environnement familier des élèves et leur place dans la progression des
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apprentissages méritent donc d’être interrogées. Le professeur doit être conscient qu’une approche
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concrète, en référence à des grandeurs, peut engendrer des obstacles à plus ou moins long terme,
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notamment parce qu’il n’est pas possible de trouver un modèle concret permettant d’illustrer la
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multiplication. Par ailleurs, il faut savoir que certains élèves éprouvent des difficultés à s’affranchir du
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contexte d’introduction des nombres. Ceux-ci imposent en effet une image mentale dont il peut être
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difficile de se départir, empêchant in fine d’attribuer aux négatifs leur statut de nombre. Il importe donc
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de ne pas recourir à un unique modèle, par exemple celui des températures. Seule une pratique
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routinière de calculs additifs et soustractifs permet aux élèves de s’émanciper progressivement des
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contextes familiers, ce qui est un préalable à une bonne compréhension de la multiplication et de la
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division, dont les définitions ne peuvent être justifiées qu’à l’intérieur d’un cadre interne aux
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mathématiques.
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Aucun mode d’introduction des nombres négatifs ne peut, à lui seul, permettre l’atteinte de tous les
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objectifs visés et il y aura nécessairement des obstacles à franchir (par exemple les différents statuts
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du signe « moins »). Il importe toutefois que l’élève soit capable, en fin de cycle, d’appréhender un
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nombre négatif comme élément d’un nouvel ensemble de nombres, structuré par des opérations qui
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prolongent celles des décimaux positifs.
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Enfin, l’apprentissage du calcul sur ces nombres ne saurait se confiner à l’application de règles
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formelles imposées d’emblée à l’élève sans aucune justification.
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Différenciation
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Pour certains élèves, la compréhension des nombres négatifs demande du temps et nécessite le
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recours à des outils de représentation (contextes concrets, droite graduée) alors que d’autres les
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utilisent déjà de façon automatisée. Comme cela a déjà dit, ce sont les activités routinières de calcul
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qui permettent à tous les élèves de s’affranchir progressivement de ces contextes concrets pour
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appréhender les relatifs comme des nombres. En termes de calcul, la différenciation s’effectue au
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niveau de l’écriture et de la nature des nombres (entiers, décimaux non entiers, fractions) et du
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nombre d’étapes. L’utilisation de parenthèses englobant les deux symboles d’écriture d’un nombre
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négatif et la représentation de l’opposé sous la forme op() peuvent être maintenues plus longtemps
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pour certains élèves que pour d’autres.
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Dans le cadre d’un approfondissement, on peut proposer à certains élèves des activités de repérage
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pour lesquelles le nombre 0 n’est pas visible sur la partie proposée de la droite graduée, comme dans
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les deux exemples suivants :
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Trouver les nombres qui correspondent aux flèches, sachant qu’une graduation correspond à une
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unité
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– 20
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Sur la droite graduée ci-dessous, une graduation correspond à une unité.
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Placer les nombres – 105, – 81 et – 78
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– 100
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Exemples de situations d’apprentissage
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Classes de problème
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repérage de dates, calcul de durées sur une frise chronologique ;
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repérage de distances sur une droite graduée ;
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comparaison de températures, calcul de moyennes de températures ;
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bilans financiers ;
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lecture, interprétation et production de diagrammes et de graphiques faisant intervenir
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des nombres relatifs ;
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repérage dans le plan et dans l’espace.
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Exemples d’activité
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Exemples de questions flash
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Exemples de tâches intermédiaires :
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Le jeu de Jungle math speed
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Le labyrinthe
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Exemple d’activité avec prise d’initiative : le jeu-concours
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Ressources complémentaires
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Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
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pour aborder la notion de nombre relatif avec les élèves :
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Les nombres au collège
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||
Le calcul numérique au collège
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||
Enseigner les nombres relatifs au collège – REPÈRES IREM.n°73 –
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||
octobre 2008 (IREM d’Aquitaine)
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e
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||
Des maths ensemble et pour chacun 5 – Jean-Philippe Rouquès et Hélène Staïner
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||
– Sceren CRDP Pays de Loire
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||
e
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||
Les nombres relatifs en 5 – proposition de Parcours d’Étude et de Recherche.
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||
Groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille.
|
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