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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
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MATHÉMATIQUES
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Nombres et calculs
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Puissances
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Objectifs
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La notion de puissance n’intervient pas au cycle 3. Il revient donc au cycle 4 d’introduire cette
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cinquième opération. L’objectif est d’abord, à partir de situations numériques qui la motivent,
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d’amener la notation exponentielle comme un raccourci d’écriture, puis de familiariser l’élève
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à sa compréhension et à son usage. L’élève peut découvrir les opérations sur les puissances
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au gré des calculs, à partir des écritures développées qui en donnent une image mentale. Ces
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propriétés peuvent être mises en évidence par le professeur, sur des exemples génériques,
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mais leur formalisation n’est pas un attendu de fin de cycle. Exemple : pour le calcul de 38 × 32,
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il convient d’installer l’image mentale des facteurs (huit facteurs 3 d’une part, deux de l’autre)
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pour visualiser le résultat sous forme de dix facteurs 3. L’apprentissage sur les puissances
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se construit sur le sens, à partir de situations issues des mathématiques ou des domaines
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scientifiques et technologiques. La calculatrice et le tableur, ainsi que les algorithmes de
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calcul, enrichissent la compréhension tout en facilitant les calculs. Les activités mentales,
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fréquentes et régulières, permettent à l’élève de construire des automatismes.
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Liens avec les domaines du socle
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La notation d’une multiplication itérée sous forme de puissance permet d’effectuer de manière
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efficace certains calculs en utilisant un langage mathématique adapté (domaine 1). Il en est de
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même de la notation scientifique.
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Par ailleurs, les puissances constituent un outil de modélisation permettant de résoudre
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des problèmes qui relèvent notamment des systèmes naturels et des systèmes techniques
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(domaine 4). Les puissances de dix fournissent une interprétation commode des ordres de
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grandeur.
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Progressivité des apprentissages
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Le cas des puissances de dix d’exposant entier naturel, prenant appui sur l’écriture décimale
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déjà envisagée au cycle 3, fait l’objet d’une étude en soi dès la classe de 4e, en liaison avec les
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problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs d’une puissance de dix
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sont introduits avec progressivité, en fin de 4e ou en début de 3e. La définition des exposants
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1 et 0, ainsi que celle des exposants négatifs, sont amenées avec précaution, par exemple en
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examinant pour le nombre 10n (n ≥ 2) l’effet sur l’exposant de divisions successives par 10.
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Pour une base quelconque, les exposants positifs sont envisagés en classe de 4e ou de 3e,
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en fonction de la progression retenue. La notation an peut être introduite avec les exposants
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2 et 3 comme un raccourci d’écriture exprimant par exemple l’aire d’un carré ou le volume
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d’un cube ; pour n entier relatif quelconque, on peut l’amener si elle prend sens à travers une
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situation donnée, mais sa maîtrise n’est pas un objectif du collège.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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Stratégies d’enseignement
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Du cas particulier des puissances de dix au cas général
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Le programme du cycle 4 autorise soit d’initier un travail spécifique sur les puissances de dix,
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et de le prolonger aux puissances de base quelconque, soit d’adopter la démarche inverse,
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qui consiste à passer du cas général au cas particulier. La première démarche est toutefois
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recommandée, car elle respecte davantage la possibilité d’instaurer une progression de cycle
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différenciée. Avec cette démarche la notation an, pour un nombre a quelconque et n entier
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naturel, peut être amenée soit en fin de 4e soit en 3e. D’autre part, il est important que l’élève
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soit familiarisé au plus tôt avec les puissances de dix afin d’être mieux préparé à leur usage
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dans les sciences appliquées et la technologie.
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Introduire les puissances de dix
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La notation 10… n’est à aucun moment mentionnée dans le programme du cycle 3. Il est
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cependant possible que des élèves l’aient côtoyée avant le cycle 4, avec l’idée reçue selon
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laquelle l’exposant, qu’il soit positif ou négatif, est lié au nombre de zéros dans l’écriture
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décimale. Cette conception peut s’avérer utile dans la manipulation des puissances de dix en
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écriture décimale, mais elle présente deux inconvénients :
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• l’un est d’ordre mathématique, car le nombre « dix puissance n » doit être défini de façon
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intrinsèque, c’est-à-dire sans référence à une base d’écriture ;
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• l’autre est didactique, car le fait de définir une puissance de dix en fonction du nombre de
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zéros peut occasionner un obstacle important dans la compréhension des puissances d’un
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autre nombre.
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Il est donc préférable de définir une puissance de dix d’exposant supérieur ou égal à deux
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à partir du produit itéré, quitte à remarquer par la suite le lien avec le nombre de zéros de
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l’écriture décimale.
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Construire l’apprentissage sur le sens des notions
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L’apprentissage sur les puissances doit profitablement se fonder sur des situations qui la
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motivent. Celui des puissances de dix peut prendre appui sur des grands nombres issus de
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domaines scientifiques ou technologiques tels que l’astronomie, les sciences physiques,
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l’informatique, le traitement de l’information, pour ce qui est des exposants positifs.
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Les sciences de l’atome, la microbiologie, les sciences chimiques, les nanotechnologies
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fournissent des situations propices à côtoyer les exposants négatifs. Le thème « Organisation
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et transformations de la matière » du programme de physique-chimie se prête bien à une
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articulation avec les mathématiques. L’apprentissage des puissances de base quelconque peut
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être motivé par des situations mathématiques mettant en œuvre un produit itéré, comme le
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comptage de situations répétitives, ou l’observation de situations fractales dans la nature, les
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arts visuels, etc. Ces situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en
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permanence à travers des problèmes porteurs de sens.
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Notation scientifique, ordre de grandeur
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• Tout nombre décimal non nul peut se noter sous la forme A × 10n, où A est un nombre déci-
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mal vérifiant 1 ≤ A < 10 et n est un entier relatif. Cette écriture est la notation scientifique du
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décimal, qu’il convient d’introduire sur des exemples numériques. Elle peut être rattachée à
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ses nombreuses utilisations en physique-chimie, dans le domaine du calcul de grandeurs et
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celui des conversions d’unités.
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• L’élève doit apprendre à utiliser la syntaxe de sa calculatrice relativement à la notation
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scientifique, pour la lecture et pour l’écriture.
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• La notion d’ordre de grandeur peut être rattachée à la valeur de l’exposant n dans la nota-
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 2
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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tion scientifique. S’agissant de certaines grandeurs, cette notion donne l’occasion d’établir
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un lien avec les préfixes des unités multiples mentionnées dans le programme (kilo = 103,
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méga, giga, ou milli, micro, nano), ou peut-être d’autres (téra, pico …) s’ils interviennent
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dans une situation donnée.
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Introduction des exposants 0 et 1, des puissances négatives
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La définition des exposants 0 et 1, de même que celle des exposants négatifs, demandent
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certaines précautions car il ne s’agit plus de produits itérés. Pour en faire accepter les
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définitions, une possibilité consiste à faire observer sur un exemple numérique le fait que,
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pour une puissance d’exposant positif, une division par la base revient à diminuer l’exposant
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d’une unité :
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NOMBRE ÉCRITURE DÉVELOPPÉE EXPOSANT
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104 10×10×10×10 4
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÷10
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103 10×10×10 3
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÷10
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102 10×10 2
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En s’affranchissant de l’écriture développée, il est acceptable – et même intéressant – de
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poursuivre la décrémentation de l’exposant par des divisions successives. Cela permet de
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définir successivement :
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; etc.
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Le développement précédent est un exemple générique au sens suivant : le procédé conduit
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avec le nombre 10 serait analogue en substituant au nombre 10 une base a quelconque (a ≠ 0).
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On pourra établir le lien entre la notation des puissances et les unités utilisées en physique-
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chimie ou dans le thème grandeurs et mesures, telles que vitesse, volume, concentration,
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masse volumique, débit, etc. : m.s-1, m3, kg.m-3, l.s-1, etc.
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Utilisation des outils numériques et de l’algorithmique
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Les calculatrices et logiciels ont une syntaxe permettant le calcul des puissances. L’élève doit
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dans un premier temps se familiariser avec celle-ci. Un algorithme itératif de calcul peut être
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intéressant à mettre en œuvre :
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• avec un tableur, pour dresser la liste de puissances successives d’un même nombre ;
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• avec le logiciel Scratch, qui ne possède pas la touche d’exposant.
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Par ailleurs, certaines situations font intervenir des multiplications itérées et, de ce fait,
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se prêtent bien à une activité algorithmique.
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Exemple : la croissance d’une population de bactéries (voir dans les exemples de tâche
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intermédiaire).
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Différenciation
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Sur le thème des puissances, la différenciation peut s’exercer à travers plusieurs pistes.
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Elle relève d’abord de l’écriture exponentielle, qui peut demeurer au stade numérique pour
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les élèves n’ayant pas la maturité suffisante pour comprendre une définition littérale. Cela
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n’empêche pas de leur proposer des situations qui se modélisent par des itérations de
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multiplications. La différenciation peut également s’exercer dans la formalisation de certaines
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propriétés calculatoires, telle que 34 × 35 = 34+5, qu’il n’est pas interdit de souligner dès lors
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que l’élève a lui-même remarqué ces propriétés à partir d’une pratique visuelle des produits
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développés, et sans pour autant que ces propriétés soient exigibles.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 3
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CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
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Exemples de situations d’apprentissage
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Classes de problèmes
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• problèmes de nature scientifique et technologique ;
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• calculs d’ordres de grandeur ;
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• infiniment grand et infiniment petit ;
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• multiples et sous-multiples de grandeurs usuelles ;
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• situations multiplicatives simples de dénombrement ;
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• situations fractales en géométrie.
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Exemples d’activités
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• Exemples de questions flash
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• Exemples de tâches intermédiaires :
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--Curiosités numériques
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--Nombres de Mersenne et nombres parfaits
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--Croissance d’une population de bactéries
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--Multiples de l’octet
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--Dilution en homéopathie
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• Exemples d’activités avec prise d’initiative :
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--Tous cousins
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--L’arbre fractal
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Interdisciplinarité
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La notion de puissance se prête bien à des activités interdisciplinaires et trouve toute sa place
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dans le cadre des EPI (enseignements pratiques interdisciplinaire). Par exemple :
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• Dans la thématique « Corps, santé, bien-être et sécurité » : les unités CH en homéopathie ;
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• Dans la thématique « Culture et création artistiques » : les fractales ;
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• Dans la thématique « Information, communication et citoyenneté » : le stockage de données
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numériques sur un support (disque dur, clé USB, …), la transmission d’information ;
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• Dans la thématique « Sciences, technologie et société » : l’infiniment grand et l’infiniment
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petit, la rapidité des processeurs ;
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• Dans l’enseignement « Monde économique et professionnel » : la modélisation plane pour
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traiter certains problèmes liés au monde économique et professionnel.
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Ressources complémentaires
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La ressource proposée ci-après constitue un complément et un approfondissement utiles pour
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aborder la notion de puissance avec les élèves :
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• Laure Guérin, La démarche d’investigation à travers un parcours d’étude et de recherche,
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exemple des puissances en classe de 4e, IREM de Clermont-Ferrand.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 4
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