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Utiliser les nombres pour comparer,
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calculer et résoudre des problèmes :
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les fractions
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Objectifs
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Au cycle 3, l’élève a découvert la notion de fraction en explorant progressivement différentes
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conceptions possibles et différents contextes : partage de l’unité, partage de grandeurs, repérage sur
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une demi-droite graduée, encadrement entre deux entiers consécutifs, expression d’une part d’une
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quantité, mesures (longueurs, aires). Il a été amené à donner du sens aux nombres décimaux à partir
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de leur désignation sous forme de fractions décimales ou de somme de fractions décimales. Il a perçu
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la fraction comme le quotient de deux nombres entiers. Il a utilisé la fraction pour résoudre des
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problèmes.
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𝑎
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Au cycle 4, on s'intéresse au quotient de deux nombres 𝑎 et 𝑏, 𝑏 ≠ 0, quelconques, défini comme le
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𝑏
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nombre dont le produit par 𝑏 vaut 𝑎. Le professeur prendra conscience que cette définition n’est pas
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d’accès facile, et pourra proposer aux élèves de chercher comment la reformuler.
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La « vision-partage » de la fraction continue à être mobilisée. Le terme « vision-partage » est à
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7
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comprendre au sens où, par exemple, la fraction évoque ce qui est obtenu en partageant l’unité en 4
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4
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7
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parts égales et en reportant 7 de ces parts, ce qui correspond d'ailleurs à la lecture sept quarts ( c’est
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4
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7 fois le quart de l’unité).
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L’articulation entre nombres décimaux et fractions est renforcée afin d’assurer la maîtrise de l’écriture
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de position et des différentes désignations d’un nombre. Progressivement, l’élève est amené à
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mobiliser la « vision-nombre » de la fraction pour résoudre des problèmes, en lien notamment avec la
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proportionnalité, pour effectuer des calculs et des comparaisons sur les fractions et les quotients, pour
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exprimer une fréquence ou une probabilité, pour donner un ordre de grandeur d’un résultat.
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7
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Le terme « vision-nombre » est donc à comprendre au sens où, par exemple, le quotient est le
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4
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7 1
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nombre dont le produit par 4 vaut 7 et peut être mobilisé, par exemple, pour prouver que = 7 × .
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4 4
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Le document « Le calcul numérique au collège » proposait, pages 11 et 12, de démontrer, dans le cas
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général, la propriété relative à la somme de deux quotients de même dénominateur, à savoir
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a b a+b
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+ = , pour tous nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑐 ≠ 0. Une telle démonstration ne peut être travaillée dans sa
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c c c
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forme générale qu’avec certaines classes ou certains groupes d’élèves, dans une perspective
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d’approfondissement. Mais l’élaboration d’un raisonnement utilisant des exemples génériques peut
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venir en appui d’une remédiation.
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La mise en place de techniques de calcul s’appuie en permanence sur le sens et la résolution de
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problèmes, notamment en liaison avec les autres disciplines scientifiques.
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La définition d’un nombre rationnel comme nombre pouvant s’écrire comme quotient d'entiers permet
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de travailler simultanément sur des entiers, des décimaux, des relatifs et des fractions, sans ordre
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particulier entre eux, en construisant ainsi les attendus de fin de cycle 4 relatifs à la notion de
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divisibilité et aux nombres rationnels.
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Liens avec les domaines du socle
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La production et l’utilisation de différentes représentations d’une fraction (décompositions additives,
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multiplicatives, cas des fractions décimales, repérage sur une droite graduée) permettent de conduire
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intelligemment un calcul mental, posé ou instrumenté (domaine 1). L’explication d’un tel calcul, à l’oral
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ou à l’écrit, pour valider la démarche qui lui correspond ou montrer son efficacité conduit à argumenter
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pour convaincre (domaine 3).
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La résolution de problèmes issus des sciences et techniques mettant en jeu des fractions
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(reconnaissance d’une situation de proportionnalité, évaluation d’une proportion, d’un pourcentage,
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traitement de données statistiques, contrôle de la vraisemblance de résultats) favorisent la
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compréhension du monde (domaines 4 et 5).
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Progressivité des apprentissages
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Tout au long du cycle 4, on entretient la « vision-partage » de la fraction. La « vision-nombre » de la
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fraction est progressivement construite et mobilisée :
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dès le début du cycle, l’élève calcule et compare des proportions, des fréquences ;
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dès le début du cycle, l’élève est entraîné à reconnaître des fractions égales, à raisonner pour
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justifier que des quotients sont égaux, qu’un quotient est un nombre rationnel ou non, qu’une
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fraction est décimale ou non ;
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dès le début du cycle, l’élève est conduit à additionner, soustraire et multiplier par un entier
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des fractions de signe quelconque ;
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progressivement, l’élève est conduit à additionner, soustraire, multiplier et diviser des
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quotients ; à identifier, exprimer sous différentes formes et/ou justifier qu’un nombre est
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l’inverse d’un autre ; la progressivité repose principalement sur la nature des nombres mis en
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jeu ;
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en classe de troisième, l’élève aborde la notion de fraction irréductible.
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Stratégies d'enseignement
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Les « activités mentales » (calcul mental, autres types de questions flash) contribuent à la
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construction du sens (« vision-partage » et « vision-nombre » de la fraction) et des automatismes sur
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les opérations et les comparaisons. Ainsi, il convient, tout au long du cycle 4, de :
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développer la capacité à comparer des nombres sans recourir à une technique chaque fois
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qu’une comparaison raisonnée peut être réalisée : positionnement des fractions par rapport à
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des entiers, ordre de grandeur, simplification des fractions pour les rendre facilement
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comparables ;
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mettre en place la technique de comparaison liée à la réduction au même dénominateur ;
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faire prendre conscience du fait qu’il est possible d’intercaler une infinité de nombres
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rationnels entre deux nombres rationnels donnés.
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Sur la durée du cycle, les activités mentales permettent aussi de réactiver des savoirs et savoir-faire ;
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elles peuvent concourir à une évaluation diagnostique.
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Ainsi, par exemple, dès le début du cycle, avant la première séquence sur les fractions, un « Vrai ou
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Faux » du type suivant permet de réactiver les attendus de fin de cycle 3 :
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3 8
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+ =1;
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11 11
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2 8
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+ <1;
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9 9
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il existe plus de 100 quotients, compris entre 1 et 2, ayant 6 comme dénominateur ;
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1 2 7
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sept segments de longueurs respectives ; ; ... ; alignés bout à bout forment un
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7 7 7
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segment de longueur 4.
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Un tel exercice, à vocation diagnostique, peut utilement être intégré dans une « stratégie »
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d’évaluation et exploité au service de la formation de tous les élèves, par exemple selon le
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« schéma » suivant :
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1. passation du « vrai ou faux » ;
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2. collecte des réponses des élèves (en classe ou « hors du temps de classe » au collège via
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l’ENT en utilisant un l’outil « formulaire », par exemple) ;
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3. traitement statistique des réponses et identification des erreurs ;
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4. remédiation différenciée ;
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5. nouveau temps d’évaluation diagnostique (on répète les étapes1. à 3., le 1. pouvant prendre
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une forme différente : calcul mental, autre type de question flash) ;
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6. test dans le devoir bilan suivant, entre autres, de ce qui a fait l’objet de l’évaluation
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diagnostique puis d’une remédiation ;
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7. réactivation, au long de l’année, en fonction des besoins des élèves.
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Le travail sur l'erreur s'appuie sur un retour au sens, en lien avec la définition du quotient, les ordres
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de grandeur, la production d’exemples et de contre-exemples et l’apprentissage du raisonnement.
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L’oral constitue une aide à la compréhension et participe du traitement de l'erreur (verbalisation de
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décompositions additives ; mise en œuvre de la définition du quotient ; identification, explication puis
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rectification d’une erreur).
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Ainsi, par exemple, à l’occasion de la résolution d’un problème de partage, quelques élèves ont écrit :
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1 2 3
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« + = ». Un travail sur l’erreur doit alors être conduit et porter sur le sens. Il peut consister en :
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2 5 7
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un contrôle du résultat
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modalité pédagogique : question/relance (doute, usage de la calculatrice) du professeur lors
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de la production écrite ;
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1 3
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un questionnement sur la vraisemblance du résultat (comparaison de et puis question :
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2 7
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1 3
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« en ajoutant un nombre positif à , est-il raisonnable de trouver ? »)
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2 7
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modalité pédagogique : débat en classe ;
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1 2 3
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l’élaboration de la preuve du fait que + ≠ (mise en œuvre de la définition du quotient de
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2 5 7
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deux nombres, par exemple en faisant calculer le produit de l’un et l’autre des deux membres
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de l’égalité par 70 – lien avec l’arithmétique)
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modalité pédagogique : production écrite individuelle hors du temps de classe ;
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a 1 a 1+a
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un approfondissement : « peut-on trouver une fraction telle que + = ? » (production
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b 2 b 2+b
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d’exemples)
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modalité pédagogique : en classe, réflexion individuelle, travail en groupes, à l’oral :
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présentation des résultats du groupe par un rapporteur.
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Différenciation
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Dans ce thème, la différenciation peut notamment consister en :
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un accompagnement spécifique que ce soit pour des travaux en classe ou hors la classe ;
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une action sur les variables didactiques dans le cadre de la résolution de problèmes
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(exemple : s’il s’agit de calculer le complément à 1 de la somme de deux fractions, selon que
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1 1 1 1 1 2
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l’on choisisse + ou + ou encore + , le degré de technicité varie ce qui peut conduire à
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3 3 3 6 3 7
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proposer tel ou tel cas à différents élèves en fonction de leurs besoins) ;
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l’élaboration de la preuve d’un résultat général, propriété (somme, produit ou quotient de deux
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fractions, par exemple) ou solution d’un problème (voir la tâche intermédiaire « Vitesse
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moyenne lors d’un aller-retour », par exemple), à l’aide d’un exemple générique ; la
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démonstration dans le cas général pouvant faire l’objet d’un prolongement proposé à certains
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élèves.
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Exemples de situations d’apprentissage
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Classes de problèmes
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Activités mentales
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Programmes de calcul
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Problèmes de partage, de repérage
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Calcul sur les mesures de grandeurs (longueurs, aires, volumes, angles, durée, vitesse,
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masse)
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Problèmes de construction
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Reconnaissance de situations de proportionnalité
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Exemples d’activités
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Exemples de questions flash :
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Exemple 1 : « Vision-partage » de la fraction
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Exemple 2 : Calcul avec les fractions
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Exemple 3 : sens du quotient
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Exemple 4 : travail sur l’erreur
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Exemple de tâche intermédiaire : Vitesse moyenne lors d’un aller-retour
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Exemple d’activité avec prise d’initiative : Âge moyen
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Interdisciplinarité
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L’interdisciplinarité donne du sens et constitue un levier pour l’apprentissage.
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L’emploi des fractions dans les modèles de proportionnalité, le traitement statistiques de données, le
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calcul de probabilités et le champ des grandeurs et mesures doit conduire à placer les élèves devant
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des problèmes relevant de ces champs et issus des disciplines scientifiques ainsi que du monde
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économique et de la vie quotidienne.
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Des EPI portant sur les thématiques « Monde économique et professionnel », « Transition écologique
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et développement durable », « Sciences, technologie et société » et « Corps, santé, bien-être et
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sécurité » seront l’occasion de construire l’attendu de fin de cycle « Utiliser les nombres pour
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comparer, calculer et résoudre des problèmes ».
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Ressources complémentaires
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Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
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pour aborder la notion de fraction avec les élèves. Certains de ces documents ont été produits dans le
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cadre de l'accompagnement de programmes de mathématiques antérieurs. À ce titre, ces ressources
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s'inscrivent dans un contexte pédagogique désormais ancien. Néanmoins, elles proposent des
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éléments toujours pertinents pour aborder le thème des fractions.
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||
Le calcul numérique au collège
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||
Les nombres au collège
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||
Raisonnement et démonstration
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||
Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée
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Quotients, proportionnalité, grandeurs , André Pressiat, (décembre 2002).
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