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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation Cycles 2 3 4
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Mathématiques
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Compétences travaillées en mathématiques
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Modéliser
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La compétence « Modéliser », si on la prend dans son acception la plus large, renvoie pour
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le mathématicien au fait d’utiliser un ensemble de concepts, de méthodes, de théories
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mathématiques qui vont permettre de décrire, comprendre et prévoir l’évolution de
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phénomènes externes aux mathématiques.
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Les mathématiques et le monde réel, une longue histoire
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La compétence « Modéliser » est, parmi les compétences travaillées, celle qui aborde de
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front le lien des mathématiques avec un extérieur à la discipline. Définir précisément cet
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extérieur n’est pas chose aisée, car il n’est pas certain qu’on puisse simplement l’envisager ou
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le nommer sans disposer déjà d’un minimum de concepts, de théories, de modèles déjà plus
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ou moins liés aux mathématiques. Ceci étant, quel que soit le terme utilisé (monde naturel,
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monde empirique, réalité extérieure, monde réel, référence, contexte), la modélisation fait
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intervenir un élément non mathématique au début et à la fin du processus. On peut en effet
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décrire de manière schématique le processus de modélisation en distinguant trois temps : la
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mise au point d’un modèle à partir du réel, le fonctionnement du modèle lui-même à l’intérieur
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des mathématiques, et la confrontation des résultats du modèle au réel1.
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Ainsi décrite, on peut remarquer que cette compétence de modélisation n’est pas développée
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qu’à partir du cycle 4. Dès le cycle 2, la simple reconnaissance des formes géométriques dans
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les objets réels ressortit à la première étape de la modélisation (« le rectangle modélise le
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terrain sur lequel on veut construire une maison »). Reproduire et transformer les figures
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obtenues relève alors de la deuxième étape. Quant à la troisième étape, elle est également
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présente, même si les situations modélisées restent modestes. C’est véritablement aux
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cycles 3 et 4 que les trois phases de la modélisation vont pouvoir progressivement gagner
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en ampleur. La première phase devient l’objet d’un véritable choix pour l’élève, qui dispose
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de différents modèles parmi lesquels il lui revient de déterminer quel est le plus pertinent
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(« s’agit-il ou non d’une situation où le modèle proportionnel s’applique ? »). Ce qui change
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est donc en premier lieu la diversité des modèles disponibles que l’élève peut convoquer pour
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décrire une situation, au travers par exemple de l’apparition des modèles probabilistes et
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fonctionnels. Mais c’est aussi et surtout la complexification de ces modèles qui va permettre
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à la deuxième phase de gagner en ampleur. Le rectangle qui modélise le terrain est toujours
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aussi pertinent, mais le modèle dans lequel il s’insère s’est profondément transformé entre le
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cycle 2 et le cycle 4. Ce rectangle est à présent lié à des propriétés de figures, à de nouvelles
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possibilités de calculs (par exemple la longueur de la diagonale par le théorème de Pythagore),
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à des concepts comme l’aire ou le périmètre qui ouvrent de nouveaux champs de questions,
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1. Dans une version plus élaborée, cette dernière phase boucle sur la première, en construisant une version améliorée
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Retrouvez Éduscol sur du modèle.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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à une possibilité de faire évoluer le modèle suivant des contraintes par le biais de l’algèbre,
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puis du langage fonctionnel (« un côté doit être le double de l’autre, l’aire doit être fixée… »).
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Cette complexification des modèles utilisés rend nécessaire de faire travailler les élèves,
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dans un premier temps, sur des exercices internes au modèle en tant que tel (exercices de
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probabilités, exercices sur les fonctions) pour en comprendre la logique interne et en maitriser
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l’usage avant de l’utiliser comme outil de traitement d’un problème externe.
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L’apparent paradoxe du cycle 4 est ainsi que le développement de la compétence
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« Modéliser » fait passer une compréhension plus fine du réel par un progrès dans les
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capacités d’abstraction des élèves. Ainsi, c’est par une conceptualisation et une formalisation
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de la notion naturelle de « chance » en termes de probabilités que l’on parvient à modéliser
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les situations dépendant du hasard. Paradoxe apparent qui est au cœur du progrès du savoir
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mathématique, la plus grande abstraction allant de pair avec la plus grande capacité de
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rendre compte de la complexité du réel. Pour des élèves à qui on demande un effort
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d’abstraction et de manipulation de concepts, il est important de connaitre et d’éprouver
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régulièrement l’efficacité des outils qu’ils apprennent à maitriser, au travers en particulier
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de cette troisième phase de confrontation des résultats du modèle avec la réalité empirique.
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Entretenir la compétence « Modéliser », c’est aussi entretenir la confiance que les élèves
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ont dans l’enseignement qui leur est proposé : découvrir qu’un modèle géométrique permet
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de donner une bonne approximation du rayon de la Terre fait partie de ces expériences
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qui contribuent à façonner auprès de l’élève de collège une image positive et utile des
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mathématiques.
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Lire le grand livre de l’Univers : mathématiques
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et sciences
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Parce qu’elle a trait au réel, la compétence « Modéliser » rencontre naturellement les
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disciplines dont le principe même est la compréhension du monde naturel : les sciences,
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qu’elles soient physiques, technologiques ou sciences du vivant. Mais qu’ont à dire de
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spécifique les mathématiques dans une affaire où elles peuvent n’apparaitre que comme
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un outil ? Il faut ici relire la phrase célèbre de Galilée2 :
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La philosophie est écrite dans ce livre gigantesque qui est continuellement ouvert à nos yeux
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(je parle de l’Univers), mais on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas à comprendre
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la langue et à connaître les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langage mathé-
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matique, et les caractères sont des triangles, des cercles, et d’autres figures géométriques, sans
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lesquelles il est impossible d’y comprendre un mot. Dépourvu de ces moyens, on erre vainement
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dans un labyrinthe obscur.
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Amener les élèves à comprendre et parler ce langage, voilà l’une des contributions des
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mathématiques au développement de la pensée scientifique des élèves de collège. Ce langage
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est d’abord composé de nombres et de figures, présents dès le cycle 2 : « comprendre le
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système de numération », « reconnaitre des formes dans les objets réels » sont des objectifs
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du programme de mathématiques. Mais il s’enrichit au cycle 4 des symboles et de la syntaxe
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algébriques. C’est bien par la part prise par le calcul littéral que le cycle 4 marque une
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nouvelle étape dans l’apprentissage de la lecture de l’univers. Et avant le calcul lui-même,
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l’utilisation de l’écriture littérale constitue l’un des enjeux, « Comprendre l’intérêt d’une
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écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables »
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indique le programme, qui invite à multiplier les références aux sciences. Quant au calcul
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2. Galileo Galilei (1623). Il Saggiatore traduction française de Christiane Chauviré, L’Essayeur, Les Belles-Lettres,
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Retrouvez Éduscol sur Paris, 1980.
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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algébrique, c’est l’un des objectifs du cycle 4 que de permettre aux élèves d’en découvrir
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progressivement la puissance en termes d’abstraction, de généralisation et d’automatisation
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des calculs, en particulier au travers de problèmes du premier degré.
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De la quatrième proportionnelle aux fonctions linéaires
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Le modèle proportionnel, déjà présent au cycle 3, évolue au cycle 4 dans le sens d’une
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plus grande abstraction. Les situations à modéliser diffèrent peu, mais c’est le traitement
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mathématique de la modélisation qui évolue. Au travers d’un plus grand nombre de registres
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(graphiques, tableaux, coefficient multiplicateur, formule) et au travers d’une utilisation plus
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fine des propriétés de linéarité sous-jacentes à la situation de proportionnalité, pour aboutir
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enfin à la notion complètement décontextualisée de fonction linéaire où dans la formule
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f(x) = ax, ni a ni x ne renvoient nécessairement à un élément du monde réel. Dans ce parcours,
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c’est véritablement l’activité intra mathématique de création de concepts qui est à l’œuvre,
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permettant de faire naitre un objet, la fonction linéaire, dont le caractère dégagé de tout
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lien avec un contexte donné multiplie la puissance de modélisation (ne serait-ce que par la
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capacité d’automatiser les calculs). Faire percevoir aux élèves le gain réalisé au prix de l’effort
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d’abstraction doit être là encore une préoccupation de l’enseignant face à l’élève qui peut
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demander pourquoi on ne se contente pas des tableaux qui ont fait leurs preuves.
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Probabilités
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« Aborder les questions relatives au hasard à l’aide de problèmes simples » est un des
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objectifs du programme de cycle 4. Pour autant, la simplicité des problèmes ne doit pas
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cacher la complexité du modèle proposé. Il convient de ne pas précipiter le passage au
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modèle probabiliste et aux calculs à l’intérieur de ce modèle, et il convient surtout de ne pas
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prendre les calculs menés à l’intérieur du modèle pour des preuves ou des démonstrations
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de phénomènes réels. On ne prouve pas que « le dé est truqué », ou qu’ « il vaut mieux miser
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sur l’obtention d’un 7 comme somme de deux dés que sur l’obtention d’un 2 », mais on
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effectue des calculs à l’intérieur du modèle mathématique qui aboutissent à une conclusion
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mathématique rigoureuse. Les conclusions que l’on peut en tirer quant aux dés réels ou
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aux paris réels ne relèvent pas des mathématiques et doivent être considérées avec recul et
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prudence. Pour reprendre la phrase radicale d’Einstein, « Pour autant que les propositions de
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la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont
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certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité ». L’utilisation du modèle probabiliste est une
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grille de lecture de la réalité, et son rapport avec le réel n’est pas le même que celui d’une
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théorie physique. L’affirmation « une pièce équilibrée a autant de chances de tomber sur
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pile ou sur face » n’est pas de même nature que « l’eau bout à 100 degrés » ou « il se forme
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un précipité rouge en présence de cuivre ». Une conséquence pratique de cette distinction
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tient dans la nécessité pour les enseignants de bien marquer la différence entre ce qui tient
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de l’observation (statistique) et ce qui tient de la modélisation théorique en privilégiant un
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vocabulaire du type « on décide que », « on modélise par » plutôt que « on voit que ». Parce
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qu’il rend compte de l’activité humaine, parce qu’il peut appuyer des décisions collectives
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ou des choix politiques, le modèle probabiliste doit plus que d’autres faire l’objet d’une
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sensibilisation des élèves à la prudence méthodologique.
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Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre !
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La géométrie des figures, déjà évoquée, gagne elle aussi en abstraction au cycle 4 en
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s’éloignant de l’expérience sensible. Ce sont des triangles qu’on tenait auparavant dans la
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main après les avoir découpés et qui tiennent à présent tout entier dans les trois lettres ABC.
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Ce sont des solides qu’on va pouvoir décrire par des vues de coupes, des représentations en
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perspective sans les avoir matériellement sous les yeux. Ce travail progressif d’abstraction,
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Retrouvez Éduscol sur
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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qui ne peut s’envisager au cycle 4 sans aller-retour avec la matérialité des solides concrets,
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ouvre non seulement la voie vers le raisonnement déductif, mais aussi vers la modélisation
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géométrique de l’espace. Cette modélisation de l’espace se manifeste au cycle 4 en particulier
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dans le repérage sur la sphère terrestre mais aussi au travers des calculs que cette
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modélisation permet (estimation du rayon de la terre et de la distance de la terre à la lune).
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Mais cette géométrie de l’espace marque également profondément l’art, depuis les proportions
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des temples grecs jusqu’aux architectures contemporaines en passant par la révolution
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cézanienne : « Permettez-moi de vous répéter ce que je vous disais ici : traitez la nature par le
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cylindre, la sphère, le cône […] »3 et au-delà. C’est peut-être au cœur du plaisir esthétique, des
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notions d’harmonie et de symétrie, que le passage progressif à une géométrie des propriétés
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et des rapports trouve une de ses récompenses les plus précieuses : au travers de quelques
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tracés sur une toile de Leonard de Vinci, ou par l’imposition de transformations bien choisies
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sur une frise du palais de l’Alhambra, les mathématiques apportent leur concours à la
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compréhension des règles de l’art.
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La modélisation au risque du projet
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La modélisation, si on souhaite permettre aux élèves d’en comprendre les enjeux, nécessite
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dans l’idéal de partir d’un problème extra-mathématique, de construire un modèle, de le
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faire fonctionner et de pouvoir confronter ses résultats à la situation modélisée. Deux écueils
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apparaissent immédiatement :
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• le temps nécessaire pour laisser les élèves réfléchir, émettre et confronter des hypothèses
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peut dépasser le cadre de la séance ;
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• les modèles mathématiques permettant de rendre compte de situations réelles peuvent
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apparaitre comme hors de portée des élèves de collège.
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Face à ces deux difficultés, deux possibilités s’offrent, qu’il convient de combiner car elles ont
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chacune leurs avantages et leurs inconvénients.
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La première piste consiste pour l’enseignant à prendre en charge une partie de la modélisation
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en présentant une situation déjà simplifiée, voire en partie modélisée. Cette possibilité a
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l’avantage de diminuer fortement le temps nécessaire pour appréhender la situation et de
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proposer un cadre où l’on sait que l’élève a les moyens d’effectuer un travail de modélisation.
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Elle peut toutefois conduire à des situations tellement artificielles et caricaturales qu’elles
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finissent par ne plus rien modéliser. Il est donc important de présenter aux élèves les raisons
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qui ont présidé au choix du modèle, de les amener à le critiquer de manière argumentée, et
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d’évoquer lorsque cela est possible des outils et des concepts qu’ils rencontreront plus tard
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et qui permettront d’améliorer le modèle.
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La deuxième piste consiste à garder l’idée de la confrontation à la complexité du réel en
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pariant sur le temps long du projet, que ce soit au sein du cours de mathématiques ou dans
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le cadre d’un EPI. Si cette modalité constitue pour le développement de la compétence
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« modéliser » un terrain a priori idéal, il faut cependant garder à l’esprit les risques inhérents
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à la conduite des projets, que nous rappelle un chercheur comme Jean-Yves Rochex4 :
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3. Paul Cézanne, Lettre à Émile Bernard, 15 avril 1904.
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4. Extrait de l’audition au CSE du 6 janvier 2015, reprise dans le rapport de l’Inspection générale Grande pauvreté
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Retrouvez Éduscol sur et réussite éducative (J.P. Delahaye, mai 2015)
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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[…] la question n’est pas simplement de savoir si nous sommes en mesure de proposer des
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projets et des activités attractives pour les élèves, mais aussi de savoir si ces activités sont
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productrices d’apprentissages et de dispositions durables, qui restent une fois le projet accom-
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pli, une fois le spectacle donné […].Comment veiller à ce que la réalisation d’un projet collectif
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ne se concrétise pas par une division sociale du travail entre élèves, qui spécialise les élèves les
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plus faibles dans les tâches les moins intéressantes sur le plan intellectuel, les élèves les plus
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performants dans les tâches les plus intéressantes ?
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Ces points de vigilance étant posés, il apparait indispensable de demander aux élèves un
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retour réflexif régulier sur les mathématiques rencontrées (quelles notions mathématiques,
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connues ou inconnues ai-je rencontrées ?) et au moins en fin de projet, de garder un temps
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de reprise et d’institutionnalisation par l’enseignant des concepts mathématiques à l’œuvre,
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afin que, pour tous les élèves, les éléments de savoir mathématique qui sous-tendent la
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modélisation apparaissent clairement, dégagés de la multiplicité d’expériences, de souvenirs,
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de sensations qui constituent pour eux la trace sensible du projet.
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Décrire le monde : un enjeu au carrefour des domaines
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du socle
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La compétence « Modéliser » constitue pour l’élève de cycle 4 un enjeu qui rencontre les 5
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domaines du socle : elle illustre la puissance du langage mathématique dans sa capacité de
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mise en ordre et de description du monde, elle constitue une mise en œuvre des méthodes
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mathématiques de raisonnement hypothético-déductif, elle participe à la formation d’un
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citoyen éclairé, elle constitue le langage des grands systèmes scientifiques, et elle représente,
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notamment au travers de la géométrie et des probabilités, un outil indispensable de
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compréhension de l’activité humaine.
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Cette omniprésence ne rend pas pour autant facile pour les élèves la maitrise de cette
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compétence, qui peut être cachée dans la diversité des activités mathématiques. Il revient
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à l’enseignant, au-delà des projets, des EPI, des exercices quotidiens, de mettre au jour les
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modalités, la puissance et les limites de la modélisation mathématique.
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Bibliographie et sitographie
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• De la modélisation du monde au monde des modèles (1) et (2) : Le délicat rapport
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« mathématique-réalité » et Des statistiques aux probabilités - DUPERRET,J.-C. (2012).
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Bulletins verts de l’AMPEP 484 et 486.
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• Site du Projet européen Lema (Learning and Education in and through Modelling and
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Applications).
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• Interdisciplinarité et modélisation, un atout et un défi pour l’enseignement des mathéma-
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tiques - ARTIGUE, M. (2016), séminaire de l’IREM Paris 7.
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