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Utiliser le calcul littéral
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Objectifs
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Au cycle 3, l’élève a fait fonctionner de manière implicite les propriétés des opérations dans le champ
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des nombres, mais sans les avoir formalisées en tant que propriétés générales. Il a rencontré des
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formules littérales dans le cadre des apprentissages liés aux mesures de grandeurs ; la lettre y avait
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essentiellement valeur d’abréviation ; ainsi, la formule 𝐴 = 𝐿 × 𝑙, est une abréviation de l’expression
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« aire du rectangle = longueur fois largeur » utilisée par l’élève pour effectuer directement le produit
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des nombres donnés pour la longueur et la largeur, sans identification explicite du processus de
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substitution des lettres par des valeurs numériques. L’élève a aussi appris à compléter des égalités à
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trou, notamment à l’occasion du travail sur les notions de différence et de quotient. Il a résolu des
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problèmes du premier degré sans avoir recours à la résolution d’équations, mais en agissant par
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tâtonnements, en ayant recours à des étapes intermédiaires avec ou sans l’aide d’outils numériques
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(tableur, calculatrice).
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Au titre de l’entrée dans l’algèbre, l’enseignement du calcul littéral au cycle 4 vise les objectifs
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suivants:
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traduire le résultat de la suite des opérations d’un programme de calcul sous la forme
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d’une expression littérale et établir le lien entre l’aspect « procédural » et l’aspect
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« structural » de cette expression : ainsi, le résultat du programme de calcul
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« multiplier un nombre par 2 et ajouter 3 au résultat » se traduit par l’expression
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2𝑥 + 3 dont la structure est celle de la somme de 3 et du double de 𝑥 ;
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décrire une propriété générale de nombres (par exemple « être la somme de deux
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entiers consécutifs » ou « être un multiple de 3 ») ;
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démontrer qu’une propriété est vraie dans un cadre général (par exemple les règles
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du calcul fractionnaire) ;
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modéliser et résoudre des problèmes à l’aide d’équations ou d’inéquations du premier
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degré ;
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introduire les concepts de variable et de fonction.
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Liens avec les domaines du socle
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Le langage algébrique permet de formuler des propriétés mathématiques et de résoudre des
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problèmes. À travers la pratique du calcul littéral, son apprentissage contribue donc de façon
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essentielle à l’objectif « comprendre, s’exprimer en utilisant les langages mathématiques, scientifiques
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et informatiques » du domaine 1 du socle.
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Les outils algébriques (lettres, fonctions) sont également utilisés pour représenter des systèmes
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naturels et techniques et fournir des preuves aux problèmes qu’ils engagent. Leur utilisation participe
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à la mise en œuvre de la démarche scientifique, en complément de l’observation, la manipulation et
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l’expérimentation. Le calcul littéral contribue donc fortement à l’atteinte des objectifs du domaine 4 du
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socle.
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Progressivité des apprentissages
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Ces repères de progressivité sont explicités ci-dessous selon les principaux enjeux d’apprentissage
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du calcul littéral au cycle 4.
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Formules et expressions littérales pour généraliser, modéliser ou
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démontrer
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e
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Le travail initié au cycle 3 sur la production et l’utilisation de formules devient, en classe de 5 , un
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objectif de formation. Une formule (expression d’une relation entre des variables) ou une expression
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littérale (résultat d’un programme de calcul) permettent de décrire une situation générale, le recours à
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la lettre étant un moyen de s’abstraire de valeurs numériques particulières.
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La résolution de problèmes issus de contextes variés permet de motiver la production de formules. On
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pourra se référer avec profit aux exemples figurant dans le document « Du numérique au
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littéral » publié sur Éduscol : carrés bordés, somme de multiples de 7, etc. Parallèlement à la
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production et à l’utilisation de formules, la familiarisation précoce avec la notion de fonction (sans faire
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appel à son formalisme) permet de modéliser la dépendance d’une grandeur en fonction d’une autre.
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e
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La notation symbolique d’une fonction n’est introduite qu’en 3 . Elle est accompagnée de la
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présentation des différents registres de représentation (symbolique, numérique, graphique) et des
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passages de l’un à l’autre.
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Transformation d’expressions littérales
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Dès le début du cycle 4, la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition est implicitement
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mobilisée lors de calculs sur des nombres, en particulier en calcul mental, par exemple pour calculer
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29 × 21.
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L’intérêt, apparu à travers la résolution de problèmes, de transformer une expression numérique pour
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la simplifier ou l’écrire sous une forme adaptée motive d’institutionnaliser la distributivité simple sous
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forme littérale. Celle-ci peut s’appuyer sur l’image mentale de l’aire d’un rectangle de longueur 𝑎 + 𝑏
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et de largeur 𝑘 décomposé en deux rectangles de largeur 𝑘 et de longueurs respectives 𝑎 et 𝑏.
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Le recours à la distributivité permet ensuite de valider la réduction d’une expression littérale.
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Avant d’être automatisées, les stratégies de transformation sont explicitées (par exemple 𝑥 = 1 × 𝑥 ;
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−𝑥 = (−1) × 𝑥), pour aboutir progressivement à des calculs du type :
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𝑥 − 2,7 𝑥 = 1 × 𝑥 + (−2,7) × 𝑥 = (1 + (−2,7)) × 𝑥 = (−1,7) × 𝑥 = −1,7𝑥.
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La transformation d’expressions littérales (d’une somme en produit ou vice versa) s’effectue dans le
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même esprit, à partir de la distributivité simple de la multiplication par rapport à l’addition.
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Le travail technique de développement ou de factorisation est accompagné d’une réflexion sur le
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choix de la forme de l’expression (somme ou produit) la mieux appropriée au problème à résoudre.
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De manière générale, les tâches d’exécution (développement, factorisation, réduction) sont articulées
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avec des activités qui développent l’intelligence des stratégies de calcul comme l’anticipation,
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l’organisation, le contrôle. Les stratégies de contrôle peuvent s’appuyer sur des arguments de signe,
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d’homogénéité, des tests sur des valeurs numériques adéquates, etc.
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Résolution d’un problème du premier degré
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Pour anticiper la notion d’équation, l’élève apprend, dès le début du cycle 4, à tester une égalité à la
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main ou à l’aide d’un outil numérique (tableur, calculatrice), en attribuant des valeurs numériques au
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nombre désigné par une lettre qui figure dans l’égalité. Il apprend à compléter des opérations à trou. Il
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est initié aux programmes de calcul à partir de programmes dont les opérations sont réversibles et
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permettent de « remonter » le programme en commençant par la dernière opération. C’est le cas dans
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l’exemple suivant, extrait du document Du numérique au littéral publié sur Éduscol :
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Je pense à un nombre, je le multiplie par 3. Si je retranche 12 au résultat obtenu, j’obtiens 7,5.
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A quel nombre ai-je pensé ?
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Progressivement, la recherche d’efficacité face à des problèmes plus résistants (correspondant par
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exemple à des programmes de calcul non réversibles), l’insuffisance de la démarche numérique face
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à des problèmes du type 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, avec 𝑎 − 𝑐 non nul et des valeurs des paramètres 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
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conduisant à des solutions non entières, ou encore la nécessité d’obtenir les valeurs exactes des
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solutions de certaines équations motivent l’introduction de la lettre et la modélisation d’une situation
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par une équation ou une inéquation.
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On pourra se référer à la situation « Alice et Bertrand » empruntée à Gérard Combier, Jean-Claude
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Guillaume et André Pressiat, (« Les débuts de l’algèbre au collège » publication de l’INRP) et
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proposée comme tâche intermédiaire.
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La méthode algébrique de résolution des équations et inéquations du premier degré est explicitée en
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e
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classe de 3 , en s’appuyant sur les propriétés de l’égalité ou de l’inégalité, par exemple l’invariance
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des solutions d’une équation par l’ajout d’une même expression à chacun de ses membres.
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L’utilisation du tableur et la programmation d’algorithmes permettent la résolution, au moins
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approchée, d’équations d’autres types.
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Calcul littéral pour démontrer
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Dès le début du cycle, le travail mené sur les nombres conduit à émettre des conjectures, notamment
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sur les propriétés des opérations entre nombres rationnels. Celles-ci peuvent être démontrées dès la
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e
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classe de 5 à partir d’exemples génériques, dans des situations simples. On rappelle qu’un exemple
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est dit « générique » lorsqu’une propriété qu’il permet de mettre en évidence peut être étendue au cas
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général ; ainsi, on passe de l’exemple générique + = traité dès le cycle 3 à sa généralisation
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𝑎 𝑐 𝑎+𝑐
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littérale + = qui consiste à substituer une lettre à une valeur numérique.
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𝑏 𝑏 𝑏
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𝑎 𝑐 𝑎+𝑐
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Dans le cadre de la différenciation, la démonstration de l’identité + = , qui mobilise la notion de
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𝑏 𝑏 𝑏
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quotient, pourra être présentée aux élèves les plus à l’aise (ou en demande de justification).
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Pour l’approche et la démonstration d’autres propriétés des opérations, on consultera avec profit les
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pages 10 à 20 du document Le calcul numérique au collège publié sur Éduscol.
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Progressivement, l’élève perçoit les limites du calcul numérique et la nécessité de passer au calcul
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littéral pour prouver qu’une propriété est vraie pour toutes les valeurs de la variable (par exemple, que
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la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3).
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Stratégies d’enseignement
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Le passage du numérique au littéral constitue pour l’élève une rupture importante : d’une part les
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symboles du calcul littéral (lettres, signe égal et ses différents statuts, signes opératoires, etc.)
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diffèrent de ceux du langage des nombres ; d’autre part, les types de problèmes que l’algèbre permet
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de résoudre sont différents de ceux résolus jusque-là. Pour résoudre un problème de ce type, l’élève
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avait l’habitude de progresser pas à pas depuis les données connues jusqu’à la quantité à trouver. En
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algèbre, il s’agit au contraire d’établir des relations entre des données connues et un résultat à trouver
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(l’inconnue), puis de traiter ces relations jusqu’à obtenir le résultat cherché. Il y a là un véritable
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renversement de pensée qui, pour être compris et assimilé par l’élève, suppose de la part de
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l’enseignant une vigilance particulière. Celle-ci peut notamment s’exercer à travers la vérification que
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la solution trouvée convient bien.
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Pour motiver le recours au calcul littéral et aider les élèves à accepter une approche autre que
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numérique, il est essentiel qu’ils soient confrontés à des situations révélant les limites des procédures
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dont ils disposent déjà, basées sur des tâtonnements, des essais-erreurs ou l’utilisation d’un tableur.
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Ils doivent aussi prendre conscience de l’intérêt de désigner des quantités ou des grandeurs par les
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lettres qui leur sont traditionnellement attribuées (n pour une quantité discrète, x pour une longueur, V
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pour un volume) plutôt que par leur nom complet.
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Les programmes de calcul constituent à la fois un moyen pertinent pour introduire la notion
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d’expression littérale puis d’équation, et un intermédiaire entre le volet procédural et le volet structural
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du calcul littéral.
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Le tableur, qui permet le passage du nombre à la cellule, peut constituer un intermédiaire pertinent
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pour introduire la lettre et pour appréhender les notions de variable et de fonction, tout en précisant
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que les usages sont différents. L’algorithmique et la programmation offrent également des
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opportunités didactiques intéressantes.
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La seule application de « règles » techniques ne permet pas de comprendre l’origine des propriétés
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qui les sous-tendent. La compréhension d’une formule littérale s’acquiert d’autant plus facilement
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qu’elle aura été anticipée sur des exemples numériques ou prendra appui sur des images mentales,
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par exemple celle de l’aire de deux rectangles accolés ayant une dimension en commun pour illustrer
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la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Le nombre de « règles » calculatoires
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formalisées exigibles des élèves doit rester limité. Parmi elles, la distributivité simple de la
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multiplication par rapport à l’addition est utilisée dans les deux sens de lecture et invoquée aussi bien
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pour le développement que la factorisation d’expressions algébriques. La double distributivité, qui
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permet par exemple de développer une expression du type (2𝑥 + 3) × (4𝑥 − 7), est abordée dans des
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situations simples en mobilisant deux fois la distributivité, et les résultats sur les puissances ; cette
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initiation ne vise pas le développement d’automatismes.
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Si certaines stratégies peuvent se révéler opérantes, il convient d’être conscient des obstacles
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qu’elles peuvent provoquer. Il en est ainsi de la règle des signes « moins par moins donne plus » qui
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confond le sens opérationnel de la soustraction et la notion d’opposé. Elle peut aussi engendrer des
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conceptions erronées (par exemple que −(−𝑥) est toujours un nombre positif). A contrario, la
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formulation explicite des propriétés utilisées (par exemple « soustraire un nombre revient à ajouter son
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opposé ») permet aux élèves de comprendre les manipulations qu’ils effectuent sur des expressions
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littérales.
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Il ne suffit pas qu’une stratégie calculatoire ait été comprise pour qu’elle soit installée et mobilisable.
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Pour passer de la compréhension d’une propriété à la construction d’un automatisme, il est
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indispensable que la stratégie ait été régulièrement entretenue, par petites touches, à travers un rite
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d’activités rapides (questions flash, activités mentales) menées en classe dans la durée, en respectant
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une gradation progressive de la difficulté (qui pourra être arrêtée collectivement au sein d’un collège),
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et en développant des démarches de contrôle (arguments de signe, d’homogénéité, recherche de
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contre-exemples, etc.).
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Les exerciseurs et banques d’exercices en ligne peuvent être utilisés par les élèves en classe ou hors
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de la classe, de manière différenciée. Favorisant le réinvestissement et l’automatisation, ces outils
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peuvent aider les élèves à élaborer des stratégies mentales efficaces, à condition qu’ils permettent un
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traitement intelligent des erreurs, et que leur utilisation entre dans le cadre d’une planification et d’un
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suivi régulier par le professeur. Si des activités à prise d’initiative sont essentielles pour aider l’élève à
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comprendre la puissance du langage algébrique et les opportunités qu’il offre pour résoudre des
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problèmes d’un type nouveau, elles ne permettent pas à elles seules de construire l’habileté
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calculatoire attendue en fin de cycle 4. On veillera donc à maintenir un équilibre entre la construction
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d’automatismes (à travers un entraînement fréquent et régulier en classe ou hors de la classe) et la
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résolution de problèmes conduisant à mobiliser des stratégies et des techniques de calcul littéral.
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Retour sur quelques obstacles
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Le passage à l’algèbre correspond à un accès à l’abstraction dont on ne doit pas minimiser la
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difficulté. L’apprentissage du calcul littéral se heurte de façon naturelle à un certain nombre
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d’obstacles. Les professeurs aideront d’autant mieux leurs élèves à les surmonter qu’ils en auront une
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connaissance fine.
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Les différentes significations du signe « égal »
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Les élèves rencontrent le signe « = » très tôt dans leur scolarité, mais à l’école élémentaire le signe
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« = » est l’annonce d’un résultat. Ainsi, dans l’égalité 8 + 5 = 13, le signe « = » est lu comme « cela
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donne » ou « cela fait ». Il est alors orienté de la gauche vers la droite et n’est pas perçu comme le
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symbole d’une relation symétrique et transitive. Cette signification correspond à celle de la touche
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« ENTER » des calculatrices. Dès le cycle 2, à travers des activités de calcul mental ou en ligne, les
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élèves sont amenés à utiliser le signe « = » dans l’autre sens, par exemple 5 × 36 = 5 × 2 × 18 ou
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21 = 4 × 5 + 1. Les décompositions additives ou multiplicatives sont choisies en fonction de leur
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intérêt pour résoudre une classe spécifique de problèmes. Ainsi, la décomposition additive du nombre
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42 sous la forme 42 = 30 + 12 facilite le calcul de 42 − 12 + 3, alors que sa décomposition
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multiplicative 42 = 3 × 2 × 7 permet de factoriser l’expression littérale 3𝑎 + 42. L’incapacité de certains
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élèves à factoriser cette dernière expression peut provenir, non pas d’une méconnaissance du
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processus de la factorisation, mais d’un manque d’habitude à écrire des décompositions numériques.
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À travers la pratique du calcul littéral, le signe « = » acquiert trois autres significations :
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il est utilisé pour rendre compte de l’universalité d’une égalité, traduisant que, quelles
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que soient les valeurs attribuées aux lettres, les valeurs retournées par les
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expressions figurant de part et d’autre du signe « = » sont égales. On parle alors
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d’identité ;
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il est utilisé comme symbole d’affectation, comme en informatique, lorsqu’on se
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propose de calculer l’expression (𝑎 + 2𝑏)2 pour 𝑎 = 1 et 𝑏 = −0,5 ;
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en rupture avec chacune de ces significations qui sous-entendent qu’une certaine
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propriété est vraie (même si c’est dans des conditions différentes), le signe « = »
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acquiert un statut tout autre dans l’écriture d’une équation. Au lieu d’être utilisé pour
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écrire des égalités vraies, le signe « = » apparaît alors dans des énoncés dans
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lesquels, en remplaçant la lettre par un nombre, on obtient une égalité qui, selon la
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valeur de ce nombre, est soit vraie, soit fausse. Le but de la résolution est de trouver
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toutes les valeurs (et rien qu’elles) qui, substituées à l’inconnue, rendent l’égalité
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vraie.
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Les différents statuts de la lettre
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Au cycle 3, la lettre est utilisée pour différentes finalités :
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symboliser une unité (m, g, h, s, etc.) ;
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désigner un objet mathématique (le point A, le nombre 𝜋) ;
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désigner dans une formule la mesure d’une grandeur (𝐴 = 𝐿 × 𝑙 ; 𝑃 = 2𝜋 𝑅).
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Au cycle 4, la lettre acquiert de nouveaux statuts qu’il convient de bien différencier :
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le statut de variable, qui apparaît à la fois dans les formules (ainsi, dans l’égalité
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𝑃 = 2𝜋 𝑅, la valeur du périmètre 𝑃 dépend des valeurs attribuées à la variable 𝑅) et
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dans l’expression symbolique 𝑥 → 𝑓(𝑥) d’une fonction. L’utilisation du tableur peut
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faciliter la compréhension de la notion de variable dans la mesure où, dans l’édition
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d’une formule, ce sont les adresses des cellules (et non leur contenu) qui sont prises
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en compte. La modification du contenu d’une cellule désignée dans une formule
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modifie le contenu de la cellule où est implantée la formule, ce qui permet
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d’appréhender les notions de variable et de fonction ;
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le statut d’indéterminée, qui apparaît dans des identités où la lettre représente des
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nombres quelconques. Il importe que la valeur d’universalité de ces identités
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apparaisse dans l’environnement de l’égalité, sous une forme accessible aux élèves,
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par exemple, en écrivant : « Pour toutes valeurs des nombres 𝑘, 𝑎, 𝑏 l’égalité
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𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 est vraie » ;
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le statut d’inconnue, qui heurte l’habitude de penser qu’une égalité est « toujours »
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vraie. La compréhension de ce qu’est une solution d’une équation nécessite de
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recourir à des tests de la valeur de vérité de l’égalité en affectant à l’inconnue
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différente valeur numériques. Dès le début du cycle, le recours à une démarche par
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essais et ajustements et l’utilisation d’un tableur pour tester des valeurs permettent
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d’introduire progressivement la notion de solution d’une équation. Les limites des
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méthodes par tâtonnement ou par « remontée » des programmes de calcul
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permettent de justifier l’étude des techniques de résolution des équations du premier
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degré ;
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le statut de paramètre, qui conserve une valeur fixe, mais de portée générale. C’est
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par exemple le rôle de la lettre a lorsqu’elle représente le coefficient de la fonction
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linéaire x ↦ ax. De même en physique, pour exprimer à partir de la formule P = UI la
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puissance P en fonction de l’intensité I pour une tension U donnée, la lettre U a le
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statut de paramètre alors que la lettre I a celui de variable.
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Il convient donc d’attirer régulièrement l’attention des élèves sur le statut du signe « = » ou des lettres
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utilisées, selon la situation considérée.
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Les parenthèses
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Les parenthèses sont des séparateurs de blocs de calcul qui jouent un rôle essentiel dans la
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construction d’expressions numériques ou littérales. Des parenthèses redondantes, par exemple dans
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une expression du type (2x + 1) + (3 × (−x)), peuvent aider l’élève à comprendre la structure de
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l’expression et l’ordre dans lequel les opérations sont à effectuer. La maîtrise des règles de priorité
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e
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des opérations lui permettra progressivement de s’en affranchir. En 3 s’ajoute un nouveau rôle des
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parenthèses, dans l’écriture symbolique d’une fonction.
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Rôle des logiciels
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L’utilisation de logiciels, dans le cadre de la résolution de problèmes, favorise la construction
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progressive des notions de variable et de paramètre. Ainsi, la référence absolue ou non à une cellule
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dans l’écriture d’une formule sur le tableur permet de distinguer ce qui varie de ce qui est fixé ; les
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variables utilisées dans les algorithmes, en particulier dans les boucles, participent du même objectif,
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de même que l’utilisation d’un curseur en géométrie dynamique.
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L’utilisation raisonnée d’un logiciel de calcul formel peut aider à mettre en évidence le rôle des
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parenthèses dans l’expression d’une fonction.
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Enfin, l’utilisation de logiciels, en classe ou en dehors de la classe, est un levier majeur pour la
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recherche et l’émission de conjectures que le calcul littéral permettra ensuite de démontrer.
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La résolution algébrique d’un problème est souvent articulée selon trois phases : une phase de
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recherche et de modélisation de la situation, une phase de traitement formel (transformation,
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résolution) sans lien avec le contexte initial, une phase de communication pour restituer la solution et
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la vérifier. Assumer successivement les deux premières phases constitue une charge de travail
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importante pour un débutant. L’utilisation d’un logiciel de calcul formel par les élèves n’ayant pas une
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habileté technique suffisante, peut leur permettre de différer le travail technique, si l’objectif est de
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mettre l’accent sur l’usage de l’algèbre comme outil de mathématisation de l’énoncé.
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Rôle de l’oral
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L’écriture mathématique est très condensée et contient souvent des procédures implicites que seule la
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formulation orale, véritable « dépliement de la pensée », permet de mettre en évidence.
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Illustrons cette affirmation sur l’exercice suivant, qui consiste à développer et réduire l’expression
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3𝑥(2𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 7).
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Le traitement, qui pourrait être écrit dans un cahier d’élève, tient en quelques lignes :
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3𝑥(2𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 7) = 6𝑥 2 − 3𝑥 − (𝑥 2 − 7) = 6𝑥 2 − 3𝑥 − 𝑥 2 + 7 = 5𝑥 2 − 3𝑥 + 7.
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Or, pour aboutir au résultat, il est nécessaire :
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- de comprendre la structure de l’expression initiale ;
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- de savoir que 3𝑥(2𝑥 − 1) = 3𝑥 × (2𝑥 − 1) ;
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- de reconnaître les blocs de calcul intermédiaires ;
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- d’appliquer la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction ;
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- de savoir que 3𝑥 × 2𝑥 = 3 × 𝑥 × 2 × 𝑥 = 3 × 2 × 𝑥 × 𝑥 ;
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- que 𝑥 × 𝑥 = 𝑥 2 ;
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- de connaître la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction ;
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- la priorité des opérations
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- de comprendre pourquoi on ne peut pas réduire davantage 5x 2 − 3𝑥 + 7 , etc.
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On mesure sur cet exemple tout le profit qu’il pourrait y avoir à compléter la trace écrite par une trace
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orale, par exemple sous forme d’enregistrements audio mis à la disposition des élèves.
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De même, la résolution d’une équation du type 2𝑥 = 6 sera plus accessible pour un élève fragile si
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elle est formulée en langage naturel (« trouver une quantité dont le double vaut 6 »).
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Différenciation
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Permettre à tous les élèves d’accéder à la fin du cycle 4 aux connaissances et aux compétences
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fixées par le programme est une exigence du socle commun. Les apprentissages liés au calcul littéral
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requièrent de ce point de vue une attention particulière. En effet, l’accès au formalisme et à
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l’abstraction constitue une marche particulièrement élevée pour les élèves fragiles. Cependant, leur
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activité algébrique ne saurait se résumer à l’acquisition de techniques calculatoires. Il importe qu’ils
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soient confrontés à la résolution de problèmes, même s’ils ne maîtrisent pas toutes les techniques
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intervenant dans leur résolution. La différenciation pourra alors reposer sur des choix particuliers de
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variables didactiques (solutions entières, décimales ou fractionnaires, programmes de calcul
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réversibles ou pas, attribution de valeurs numériques à certains paramètres, etc.). L’acquisition des
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techniques calculatoires et leur automatisation seront d’autant plus efficaces qu’elles seront adossées
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à des représentations porteuses de sens, souvent issues de la résolution de problèmes.
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Il convient aussi de laisser vivre, de façon différenciée et aussi longtemps que nécessaire pour
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certains élèves, des procédures de tâtonnement ou faisant appel à la manipulation, l’expérimentation,
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la schématisation ainsi que les formulations intermédiaires, même maladroites ou peu rigoureuses,
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tout en indiquant les limites de ces formulations.
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Pour permettre l’accès de tous les élèves à l’abstraction de la démarche algébrique, il est essentiel de
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les amener à exprimer ce qu’ils ont compris et de repérer ce qui les met en difficulté. La déstabilisation
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des conceptions erronées se fait en cherchant des contre-exemples. La reconstruction des
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connaissances visées passe ensuite par l’explicitation orale des procédures mises en œuvre, leur
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comparaison, l’analyse des erreurs, etc.).
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Symétriquement, et toujours dans le cadre d’une différenciation pédagogique, les élèves les plus
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habiles peuvent être confrontés à des problèmes qui ne sont pas du premier degré, mais qui s’y
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ramènent, par exemple en factorisant des équations produits à l’aide d’identités remarquables.
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Exemples de situations d’apprentissage
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Classes de problèmes
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modélisation de situations d’origine arithmétique ou géométrique ;
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modélisation de situations faisant intervenir des grandeurs physiques ;
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résolution de problèmes se ramenant à des équations ou des inéquations du premier
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degré ;
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généralisation de propriétés des nombres rationnels ;
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démonstration de propriétés générales portant sur les nombres rationnels ;
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programmes de calcul.
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Exemples d’activités
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Exemples de questions flash : Activités mentales
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Exemples de tâches intermédiaires :
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— Le nombre d'Alice et Bertrand
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— Le magicien
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Exemples d’activités avec prise d’initiative
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— Les carrés bordés
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— Le calendrier
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Ressources complémentaires
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Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
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pour aborder le calcul littéral avec les élèves. Certains de ces documents ont été produits dans le
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cadre de l'accompagnement de programmes de mathématiques antérieurs. À ce titre, ces ressources
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s'inscrivent dans un contexte pédagogique désormais ancien. Néanmoins, elles proposent des
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éléments toujours pertinents sur le calcul littéral.
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Rapport d’étape sur le calcul - commission de réflexion sur l’enseignement des
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mathématiques
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Du numérique au littéral
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Le calcul numérique au collège
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Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée
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Les débuts de l’algèbre au collège, par Gérard Combier, Jean-Claude Guillaume et
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André Pressiat, publication de l’INRP
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Sur la place de l’oral en mathématiques
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