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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation Cycles 2 3 4
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mathématiques
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Compétences travaillées en mathématiques
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Raisonner
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Le programme de mathématiques du cycle 4 offre une place de choix à la compétence
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« raisonner » dans laquelle il regroupe les démarches suivantes :
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• résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, écono-
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miques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre
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à l’essai plusieurs solutions ;
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• mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui ;
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• démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes,
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formules) pour parvenir à une conclusion ;
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• fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise
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de l’argumentation.
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Chacune des étapes de résolution d’un problème (compréhension de l’énoncé et de la
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consigne, recherche, production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement,
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processus mental permettant d’effectuer des inférences. Rappelons qu’une inférence est une
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opération mentale par laquelle on accepte qu’une proposition soit vraie en vertu de sa liaison
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avec d’autres propositions. Les phases de recherche, de production et de rédaction de preuve
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font appel à des raisonnements de différentes natures.
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Les raisonnements inductifs et abductifs, essentiellement mis en œuvre dans la phase de
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recherche, permettent d’aboutir à l’émission de conjectures qu’il s’agira ensuite de valider ou
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d’invalider. Si la production d’un contre-exemple suffit à invalider une conjecture, sa validation
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repose sur une démonstration, moyen mathématique d’accès à la vérité. On rappelle que
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« démontrer », c’est « donner à voir » les différentes étapes d’une preuve par la présentation,
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rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent.
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Le raisonnement inductif consiste à généraliser une propriété observée sur des cas
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particuliers. Il fonctionne selon le schéma suivant : constatant sur des exemples que, lorsque
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A est vraie, alors B est vraie, on émet la conjecture que (A implique B) est vraie.
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Le raisonnement abductif consiste à présumer une cause plausible d’un résultat observé. Il
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fonctionne selon le schéma suivant : pour démontrer que B est vraie, sachant que (A implique
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B) est vraie, on va démontrer que A est vraie. Le raisonnement abductif est notamment utilisé
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sous forme d’une analyse remontante, encore appelé chaînage arrière, qui consiste, à partir du
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résultat que l’on veut démontrer, à repérer une ou plusieurs propriétés (conditions suffisantes)
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qui, si elle(s) étaient établie(s), permettrai(en)t d’atteindre le résultat par application d’un
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théorème identifié. On substitue alors momentanément au problème de départ un (ou
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plusieurs) nouveau(x) problème(s) consistant à établir ces conditions intermédiaires.
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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Exemple : ABC est un triangle rectangle en C. On veut démontrer que C appartient au cercle de
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diamètre [AB].
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On note O le milieu de [AB] et on remplace la proposition à démontrer par l’égalité OA=OB=OC ;
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pour atteindre ce résultat, on construit le symétrique C’ de C par rapport à O. Selon le principe
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du chaînage arrière, il suffit alors de montrer que AC’BC est un rectangle.
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Par la diversité et la multiplicité des situations particulières qu’elle permet d’observer,
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l’utilisation d’outils logiciels (de géométrie, de calcul, de simulation, de programmation) est
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un support aux raisonnements inductifs et abductifs et favorise la formulation de conjectures.
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Il est important de faire comprendre aux élèves le caractère incertain de toute conjecture et la
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nécessité, soit de l’invalider par la production d’un contre-exemple, soit de prouver sa vérité
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par une démonstration.
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Celle-ci fait appel au raisonnement déductif qui (entre autres) s’appuie sur :
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• la déduction proprement dite (ou règle de détachement ou modus ponens), qui fonctionne
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selon le schéma suivant : sachant que (A implique B) est vraie et que A est vraie, on conclut
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que B est vraie. Le premier pas d’une déduction consiste à reconnaître une situation de réfé-
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rence A (une configuration géométrique, une situation de proportionnalité, une propriété de
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nombres, etc.) ; le second consiste à appliquer le théorème qui stipule que (A implique B) ;
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• la disjonction de cas, qui fonctionne selon le schéma suivant : pour montrer que (A implique
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B), on sépare l’hypothèse A de départ en différents cas recouvrant toutes les possibilités et
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on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas ;
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• Le raisonnement par l’absurde (reductio ad absurbum) qui fonctionne selon le schéma sui-
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vant : pour montrer que A est vraie, on suppose qu’elle est fausse et par déduction on aboutit
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à une absurdité.
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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Afin de convaincre les élèves du rôle de la démonstration en mathématiques comme moyen
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d’accès à la vérité, il importe de leur apprendre à distinguer une propriété conjecturée
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ou vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. Pour ce faire, le terme de
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« démonstration » ne doit pas être galvaudé et la seule illustration d’un raisonnement
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ne saurait être désignée comme telle. Par exemple, si l’illustration présentée ci-dessous
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constitue une image mentale pertinente de l’égalité entre l’aire du carré construit sur
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l’hypoténuse et la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, elle ne
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saurait être présentée comme une démonstration du théorème de Pythagore.
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En revanche, certains théorèmes, énoncés de manière générale peuvent être démontrés
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uniquement sur des exemples choisis parce qu’ils donnent une bonne idée du cas général (on
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dit alors qu’ils sont « génériques »). Cela peut être par exemple le cas pour la démonstration
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des propriétés des opérations sur les fractions.
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De même, il convient de systématiquement qualifier les énoncés mathématiques selon leur
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statut, en distinguant définitions, théorèmes admis et théorèmes démontrés. Les théorèmes
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traduisant une propriété caractéristique pourront être formulés en distinguant dans leur
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énoncé le sens direct et le sens réciproque.
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Les notions mathématiques qui figurent au programme du cycle 4 offrent toutes des
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possibilités de raisonnement, soit dans l’accès à la preuve d’un énoncé, soit dans son
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utilisation. Il n’est pas question de démontrer tous les théorèmes ou propriétés figurant
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au programme, mais de déterminer en équipe pédagogique les démonstrations qui
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seront retenues sur toute la durée du cycle en raison de leur caractère formateur, de leur
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accessibilité aux élèves et de l’intérêt qu’elles présentent pour faciliter l’accès au sens des
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notions mises en jeu.
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L’apprentissage du raisonnement et de la démonstration est un processus long et délicat
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qui doit se faire de manière progressive, dans la durée, et tenir compte des deux contraintes
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suivantes :
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• tout d’abord, la nécessité de séparer les tâches de résolution du problème (recherche et
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obtention de la preuve) de celle de la rédaction d’un texte qui traduit l’organisation de la
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démonstration ;
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• ensuite, l’apprentissage de la rédaction se fait notamment lorsque l’élève est confronté à
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l’expérience de la communication de sa solution. L’envie de se faire comprendre associée à
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la critique de ses pairs est, pour un élève, un levier de progrès certainement plus puissant
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que la fourniture, par le professeur, d’un modèle de rédaction. Si, pour être communicable et
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compréhensible, une démonstration mathématique doit respecter des règles syntaxiques, il
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Retrouvez Éduscol sur faut reconnaître que celles-ci ne sont pas naturelles pour les élèves. Des exigences exces-
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sives et prématurées d’un modèle de rédaction standardisée peuvent induire de leur part
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des comportements relevant de l’imitation plus que de la compréhension. En accordant une
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place disproportionnée aux activités purement formelles de nature rhétorique (« je sais
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que… or… donc »), on risque d’éloigner les élèves du raisonnement lui-même et du plaisir
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de chercher. Afin de ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des
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difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser
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les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expé-
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rimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan
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de preuve, etc.). Souvent imparfaites et inabouties, elles constituent de véritables objets
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d’étude pour la classe au cours d’un débat permettant de faire émerger progressivement
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les critères d’une rédaction performante, sans pour autant modéliser le travail. Progres-
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sivement, la phase de rédaction, entamée ou non en classe, sera dévolue aux élèves, en
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classe ou en dehors de la classe, en veillant à différencier les exigences de formalisme selon
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l’objectif d’apprentissage (le raisonnement ou la communication) et la capacité des élèves à
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entrer dans les codes de la démonstration. En particulier, il est tout à fait possible d’expri-
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mer dans le langage naturel un raisonnement mathématique tout en respectant parfaite-
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ment les règles logiques d’inférence. De même, si l’on peut faire apparaître, dans certains
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cas, l’intérêt d’une mise en forme de la démonstration sous forme déductive (en mettant la
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conclusion à la fin de la démonstration), il est cependant admis de la placer au début, suivie
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de « car…, parce que… et que… ».
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Il importe également de ne pas cantonner la démarche de raisonnement à sa seule
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forme déductive et de ne pas la limiter à un thème particulier des mathématiques
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(traditionnellement celui de géométrie), mais bien de la placer au cœur de toute activité
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mathématique.
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Les situations proposées doivent donc ménager à la fois des temps de recherche et
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d’expérimentation permettant de formuler des conjectures, des temps de mise en commun
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et d’argumentation permettant de produire une preuve et des temps de mise en forme
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(démonstrations rédigées). Pour solliciter la curiosité de l’élève, susciter chez lui l’envie
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de relever un défi intellectuel et motiver sa recherche, il est souhaitable que l’énoncé du
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problème soit assez bref et facile à comprendre et qu’il n’induise ni une solution ni même
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une méthode de résolution ; un moyen de laisser à chaque élève l’initiative de sa démarche
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consiste à limiter les questions intermédiaires ou celles dont l’énoncé mentionne ce qu’il s’agit
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de trouver (« démontrer que… »). Cette attention particulière devrait permettre à chaque élève
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de démarrer sa recherche par des tâtonnements, des dessins, des essais numériques, avec ou
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sans l’aide de logiciels. Les problèmes dont la solution est accessible par plusieurs modes de
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raisonnement (algébrique, géométrique, etc.) sont particulièrement intéressants.
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Exemples de problèmes
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Ci-dessous quelques exemples de problèmes sont proposés, rattachés à différents thèmes du
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programme, et mettant en œuvre des raisonnements de types varié
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Ecriture décimale [5e]
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Exemple de problème
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Dans les écritures décimales de deux nombres entiers, le chiffre des dizaines est 7 et celui des
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unités est 6. Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de leur produit ?
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Commentaire
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Retrouvez Éduscol sur Raisonnement déductif à travers l’utilisation de l’écriture décimale.
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Multiples et diviseurs
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Exemple de problème
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La somme des chiffres de 42 est un multiple de 6 et 42 est un multiple de 6 (idem pour 84).
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Peut-on affirmer que, si la somme des chiffres d’un nombre entier est un multiple de 6, alors
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ce nombre est un multiple de 6 ?
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Commentaire
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Infirmation par production d’un contre-exemple.
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Proportionnalité
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Exemple de problème
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On augmente la longueur d’un rectangle de 10 % et on diminue sa largeur de 10 %. Comment
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varie son aire ?
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Commentaire
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L’élève peut raisonner de manière inductive en fixant des valeurs numériques pour la longueur
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et la largeur et faire varier ces valeurs
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Raisonnement déductif par application d’un pourcentage.
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Nombres décimaux
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Exemple de problème
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Existe-t-il un nombre décimal dont le carré est égal à 2 ?
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Commentaire
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Une démarche inductive basée sur des essais (à la main puis à la calculatrice) permet
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d’émettre la conjecture qu’il n’existe pas de nombre décimal dont le carré est égal à 2.
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Cette conjecture est ensuite démontrée à l’aide d’un raisonnement par l’absurde et
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disjonction de cas.
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On montre d’abord qu’il n’existe aucun nombre entier dont le carré est égal à 2.
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Puis, en distinguant les différentes valeurs qu’aurait sa dernière décimale, on montre qu’il
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n’existe aucun nombre décimal non entier dont le carré est égal à 2.
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Utilisation des aires
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Exemple de problème
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Où positionner le point M à l’intérieur du triangle ABC pour que les triangles AMB et AMC aient
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la même aire ?
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Commentaire
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L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer une condition
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suffisante : l’appartenance de M à la médiane [AA’].
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Démonstration par les aires (lemme du chevron).
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Démonstration de la condition nécessaire par un raisonnement par l’absurde : on suppose que
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N n’appartient pas à la médiane [AA’] (en étant par exemple à l’intérieur du triangle ABA’), on
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note M le point d’intersection de (BN) et (AA’) et on compare les aires des triangles ANB, AMB,
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AMC, ANC.
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Fractions, aire du disque
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Exemple de problème
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A quelle fraction du grand disque correspondent les six petits disques ? A quelle fraction du
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grand disque correspond la surface hachurée ?
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Commentaire
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Analyse de figure.
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Vitesse
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Exemple de problème
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Un funiculaire monte du pied d’une colline à son sommet à la vitesse moyenne de 14 km/h.
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Le conducteur peut-il régler la vitesse lors de la descente pour que la vitesse moyenne sur
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l’ensemble du parcours soit de 28 km/h ?
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Géométrie dans l’espace
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Exemple de problème
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Sur un cube, on a tracé deux diagonales, comme indiqué sur le dessin ci-dessous. Quelle est
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la mesure de l’angle formé par ces deux diagonales ?
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Commentaire
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Identification d’une figure plane à l’intérieur d’une configuration de l’espace.
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Géométrie, Équations
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Exemple de problème
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Deux tours, hautes de 30 et 40 mètres sont distantes l’une de l’autre de 50 mètres. Un puits
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est situé entre les deux tours. Deux oiseaux s’envolent en même temps du sommet de chaque
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tour et volent à la même vitesse en ligne droite avant de se rejoindre au sol. En quel point se
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rejoignent-ils ?
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Commentaire
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Modélisation de la situation.
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Raisonnement déductif à travers l’utilisation du théorème de Pythagore.
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Résolution d’une équation.
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Géométrie plane
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Exemple de problème
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A, B, C sont trois points non alignés, I est le milieu de [BC] et D est le point tel que ABID est un
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parallélogramme. Pourquoi le milieu M de [ID] est-il également le milieu de [AC] ?
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Commentaire
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Raisonnement déductif utilisant des propriétés du parallélogramme.
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Approche de la notion de fonction
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Exemple de problème
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Un maître-nageur dispose d’une corde de 160 m de long pour délimiter une zone de baignade
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surveillée rectangulaire. Où doit-il placer les bouées A et B pour que l’aire de la zone de
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baignade soit maximale ?
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Commentaire
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Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour une approche numérique.
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Modélisation algébrique.
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Calcul littéral
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Exemple de problème
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Peut-on écrire 2016 comme somme de quatre entiers consécutifs ? Et 2018 ? Et ton année de
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naissance ?
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Quels sont les nombres qui peuvent s’écrire comme somme de quatre entiers consécutifs ?
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Commentaire
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Raisonnement inductif basé sur des essais. Emission de conjectures.
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Retrouvez Éduscol sur Utilisation du calcul littéral comme outil de démonstration.
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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Bibliographie
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• Raisonnement et démonstration
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• Site de l’académie de Bordeaux : Initiation au raisonnement
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• IREM de Rennes : L’enseignement de la démonstration
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• « Initiation au raisonnement déductif au collège » Gilbert Arsac, Gisèle Chapiron,
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||
Alain Colonna, Gilles Germain, Yves Guichard, Michel Mante - Presses universitaires de Lyon,
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||
IREM de Lyon
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||
• « Des mathématiques ensemble et pour chacun, 5ème » Jean-Philippe Rouquès, Hélène
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Staïner - CRDP Pays de la Loire
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||
• « Des mathématiques ensemble et pour chacun, 4ème » Jean-Philippe Rouquès, Hélène
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Staïner - CRDP Pays de la Loire
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