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Informer et accompagner
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les professionnels de l’éducation Cycles 2 3 4
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Mathématiques
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Compétences travaillées en mathématiques
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Représenter
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Donner à voir les objets mathématiques
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« Représenter », c’est donner à voir, ou au moins rendre perceptible à la vue et à l’esprit.
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Cette définition relativement simple recouvre cependant des réalités bien distinctes.
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« Représenter » des objets, des visages ou en tout cas des formes ou des solides est un
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premier niveau de représentation commun entre autres aux mathématiques, à la géographie,
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aux sciences et aux arts. Mais on peut aussi « Représenter » des relations entre les objets,
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que ce soit par un croquis de géographie, un codage en géométrie ou un schéma en électricité.
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Et il arrive enfin qu’on doive « représenter » des entités abstraites, qui n’ont pas d’autre mode
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d’existence que cette représentation : des nombres décimaux, des fractions, des fonctions,
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en un mot des objets mathématiques. Leur point commun est de ne pas être accessible par
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la vue, l’ouïe ou quelque autre sens : on ne peut pas montrer dans le monde extérieur une
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fonction, pas plus qu’on ne peut en fait montrer un cube, ou un cercle. Pour autant, l’existence
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de ces objets ne fait de doute pour aucun utilisateur des mathématiques, même occasionnel.
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Ces objets ne sont pas accessibles en eux-mêmes, seulement par leurs représentations,
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qui sont comme des chemins vers un objet auquel on ne pourrait pas avoir directement
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accès. Ces représentations diverses peuvent alors appartenir à différents registres : registre
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graphique, registre du langage naturel (« un parallélépipède à 6 faces »), registre numérique,
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registre de l’écriture symbolique, etc.
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Le développement de la compétence « Représenter » au cycle 4 doit à la fois permettre à
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l’élève de progresser dans la vision du réel et dans l’appréhension des objets mathématiques
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abstraits. Comprendre ce qu’est un triangle, ce qu’est une fonction, ce qu’est une fraction,
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c’est savoir « représenter » ces objets, c’est-à-dire trouver un registre de représentation
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adéquat, mais aussi savoir varier les représentations et les registres de représentation.
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Un élève capable de convoquer dans un exercice mettant en jeu une fonction un graphique,
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un tableau de nombres, une écriture symbolique, est en train de s’approprier la notion
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de fonction. Dans cet exercice, on voit que la représentation est aussi pensée de manière
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dynamique, dans sa capacité à engendrer d’autres représentations, à l’intérieur d’un même
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registre ou dans un autre registre.
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« Mais surtout, l’activité mathématique de recherche et de preuve consiste à transformer des
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représentations […], données dans le contexte d’un problème posé, en d’autres représenta-
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tions sémiotiques. Et, de ce point de vue, une représentation […] n’est intéressante que dans la
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mesure où elle peut se transformer en une autre représentation, et non pas en fonction de l’objet
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qu’elle représente ».1
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1. Idées directrices pour analyser les problèmes de compréhension dans l’apprentissage des mathématiques –
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Retrouvez Éduscol sur Raymond Duval - 2011.
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eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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Si on poursuit l’analyse, on peut remarquer que les différentes représentations de la fonction
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traitée dans cet exercice ne la concernent pas en tant qu’objet spécifique (la fonction f de
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l’exercice), mais s’appliquent à une catégorie plus vaste à laquelle elle est rattachée (ici la
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catégorie des fonctions)2.
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Par ailleurs, si pour cerner un objet mathématique, il est nécessaire de varier les registres,
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pour résoudre un problème, il est souvent pertinent de se placer dans un domaine
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mathématique qui n’est pas nécessairement celui de l’énoncé : on parlera alors de
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changement de cadre. Ainsi, le problème du maximum de l’aire d’un triangle isocèle de
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côté 6, posé dans le cadre géométrique à partir d’une figure, pourra être traité dans ce cadre
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géométrique (en considérant un cercle bien choisi), ou dans un cadre fonctionnel, lui-même
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pouvant être associé à un registre numérique (des valeurs approchées de l’aire étant obtenues
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à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou d’un tableur) ou plus tard, au lycée au registre
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des écritures symboliques.
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Le signe et la pensée
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Le premier des modes de représentation, avant même la figure est le signe : lettre,
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symbole, chiffre, cette mise en forme des idées mathématiques est aussi essentielle aux
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mathématiques que les pièces du jeu le sont aux échecs. Mais ces formes, ces lettres qui
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constituent la langue des idées ont elles-mêmes une forme, parfois un sens comme le
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rappelle le logicien Frege3 :
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« En offrant au regard le signe d’une représentation, elle-même appelée à la conscience par une
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perception, on crée un foyer stable autour duquel s’assemblent d’autres représentations. Parmi
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celles-ci, on en pourra de nouveau choisir une et offrir au regard son signe. Ainsi pénétrons-
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nous pas à pas dans le monde intérieur des représentations, et y évoluons nous à notre gré,
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usant du sensible nous-mêmes pour nous libérer de sa contrainte ».
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Le philosophe pointe ici la force et le risque du signe : il est utile par les images qu’il convoque
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et les actions qu’il permet, mais il peut engendrer aussi de fausses images : le nombre a qui
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2. Parmi les grandes catégories d’objets mathématiques utilisés au cycle 4, on peut citer les nombres rationnels, les
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fonctions, les figures géométriques du plan ou de l’espace, les symboles littéraux. Ces grandes catégories sont reliées
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aux classes de problèmes qu’elles permettent de résoudre (proportionnalité, dépendance d’une grandeur en fonction
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d’une autre, modélisation géométrique, résolution d’équations, etc.).
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Retrouvez Éduscol sur 3. Que la science justifie un recours à l’idéographie, 1882, in Ecrits logiques et philosophiques, trad. C. Imbert, Seuil, 1971.
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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ne peut être que positif, le nombre n qui ne peut être qu’entier, la bande numérique où un
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nombre est toujours plus petit que celui qui est à sa droite. Une représentation peut posséder
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pour l’élève une logique qui diffère de celle que l’enseignant lui associe. Que l’on pense à ce
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dialogue imaginaire de L. Wittgenstein4 :
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« Il me suffit simplement de regarder la figure pour voir que 2+2=4 »
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« Alors il me suffit simplement de regarder la figure pour voir que 2+2+2=4 »
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Un autre problème apparait ici, plus large que celui de la nécessaire variation des
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représentations, c’est la question de la bonne compréhension de la représentation par l’élève :
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comment savoir que l’élève a bien compris l’usage de la représentation, par exemple qu’il
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distingue bien les objets visés par les deux représentations 1,4 et ¼. Une réponse possible
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consiste à faire verbaliser par l’élève sa perception de la représentation, en passant donc
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dans le registre du langage naturel : la verbalisation peut alors se faire sous la forme :
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« 1,4 représente une unité et quatre dixièmes, ou quatorze dixièmes ; on peut également la
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représenter par 1+ 4/10, ou 14/10 ; ¼ représente le quart de l’unité ». La stabilisation de la
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compréhension de l’objet mathématique sous-jacent passe par l’utilisation de ses différentes
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représentations dans des contextes différents, pour résoudre des problèmes variés, et le
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passage d’un registre de représentation à un autre en précisant l’intérêt de chacun dans la
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situation proposée (représenter le nombre 1,4 sur une droite graduée, partager un segment
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en quatre, poser l’équation à trou … x 4 = 1).
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Changements de registre : l’apport des outils numériques
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L’usage des outils numériques facilite la mise en œuvre concrète des changements de registre
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de représentation, que ce soit grâce aux tableurs ou aux logiciels de géométrie dynamique :
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définir une fonction par une formule déclenche aussitôt le tracé des graphiques, ou l’apparition
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d’un tableau de valeurs. À l’inverse, un tableau de valeurs permet de placer des points, de
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proposer une interpolation, une ou plusieurs formules.
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4. Remarques sur les fondements des mathématiques, Paris, Gallimard, coll. Bibliothèque de philosophie.
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Retrouvez Éduscol sur
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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Ce changement de registre se trouve d’autant facilité qu’il s’effectue immédiatement et sans
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effort. Mais cette simultanéité ne doit pas conduire à penser que la conversion est limpide pour
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les élèves. Si les outils numériques permettent d’automatiser des processus mentaux, ceux-ci
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doivent avoir été auparavant compris et d’une certaine manière éprouvés par les élèves (par le
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calcul mental ou posé, par le dessin à l’aide d’instruments de géométrie, etc.).
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Nombres
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Les nombres constituent un des points les plus délicats et les moins immédiatement visibles
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de l’application des changements de registre. C’est au cycle 4 que ce qui était représenté
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par des parts de gâteau, un point sur la demi-droite graduée, le résultat d’une opération de
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division doit pouvoir pour l’élève renvoyer à un même objet : un nombre. Cette possibilité de
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changement de registre doit être mise en œuvre régulièrement car elle ne revêt pas la même
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facilité selon qu’il s’agit de 2, de 0,5, de 3/4, de 2/3, de 5/3 (la représentation des parts de
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gâteau peut être un obstacle à la conception d’une fraction supérieure à 1). La compréhension
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d’un nombre décimal, plus tard d’un nombre rationnel positif ou négatif ne peut s’envisager
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sans changement de registre, d’autant que tous les registres ne seront pas aussi pertinents
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pour un élève : envisager 2/3 comme représentation de deux parts d’un tout partagé en trois
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est une chose naturelle pour l’élève depuis le cycle 3, mais le cycle 4 va fournir de nouveaux
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outils permettant de le voir comme un point de la droite graduée. Des calculs de rapports et
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de proportions, la résolution de l’opération à trou 2 x … = 3, puis celle de l’équation 2x = 3, le
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théorème de Thalès viendront progressivement conforter cette réalité. Les activités de calcul
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mental, les activités de calcul dans un contexte géométrique ou dans un contexte arithmétique
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constituent autant d’occasions de rappeler et de consolider la variété de ces représentations
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du nombre. Comprendre que la notion de nombre rationnel étend celle de nombre décimal,
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qui elle-même étend celle de nombre entier fait partie des objectifs du cycle 4. Les écritures
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et les représentations des nombres doivent être revues et mises en jeu tout au long du cycle.
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Organisation et gestion de données et fonction
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La représentation joue dans l’organisation et la gestion de données un rôle particulier.
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Il s’agit de représenter des séries de nombres, objets abstraits pour lesquels toutes les
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représentations sont mathématiquement équivalentes. Mais du fait que ces séries de
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nombres ont un lien fort avec le monde réel, ces représentations ne sont pas du tout
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équivalentes dans l’effet qu’elles produisent. Le choix d’une représentation (diagramme
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en barres ou camembert), comme celui d’une échelle peuvent majorer un minorer un
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phénomène, exagérer ou minorer un écart, éclairer une décision ou tromper un lecteur.
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Le nécessaire travail sur les registres prend ici un relief particulier, en ce qu’il rencontre la
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formation du citoyen et accompagne le développement de l’esprit critique. Dans cet esprit,
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tout travail engagé sur des données réelles, notamment dans le cadre d’un EPI, permet de
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mettre en lumière les enjeux des choix de représentation. La notion de fonction, qui nait
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véritablement pour les élèves au cycle 4, continuera à se mettre en place au lycée et même
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au-delà. Les fonctions font en effet partie de ces objets mathématiques que les élèves vont
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être amenés à manier pendant longtemps sans en avoir une définition formelle rigoureuse.
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Le changement de registre de représentations est donc ici nécessaire pour cerner l’objet
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fonction. On ne peut pas dire ce qu’est une fonction, mais on peut dire, grâce à cette formule,
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j’ai défini une fonction, que je pourrais aussi définir par une courbe.
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Retrouvez Éduscol sur
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CYCLE 4 I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques
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Représenter en géométrie
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La compétence « Représenter » reste bien entendu centrale dans l’étude de la géométrie.
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Le thème « Espace et géométrie » propose sous le titre Représenter l’espace une série
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de contenus dont la maitrise permet à l’élève de collège de continuer à progresser dans
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la compréhension des objets qu’il a sous les yeux, au travers de la perspective, mais aussi
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d’objets qu’il ne peut embrasser du regard : c’est tout l’enjeu de la représentation de la Terre,
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du repérage sur la sphère, dans l’espace ou dans le plan. La circulation entre les différents
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registres (maquettes, vues de dessus et de profil, croquis, patrons, modélisations 3D issues
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de logiciels de géométrie, objets conçus à l’aide d’une imprimante 3D) doit être travaillée tout
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au long du cycle.
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La représentation en géométrie ne se cantonne pas à ce lien avec le réel, mais accompagne
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la maitrise de l’abstraction et les débuts de la démonstration au travers des figures et de
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leurs codages, et des transformations. On retrouve cet « Art de raisonner juste sur des figures
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fausses » pour reprendre la formule de Descartes. Un triangle isocèle peut être représenté
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par une figure représentant un triangle isocèle ou un triangle quelconque bien codé, par
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l’expression Soit ABC un triangle isocèle. Cette possibilité peut être source de difficulté pour
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des élèves à qui parallèlement on demande de travailler sur la vérité et la justesse des
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représentations au travers de représentations en perspectives ou à l’échelle. La notion de
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schéma constitue pour les élèves un pas important à bien marquer, où on s’attache à montrer
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que la force du schéma réside dans sa capacité à condenser les éléments nécessaires à la
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démonstration.
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Bibliographie
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• Idées directrices pour analyser les problèmes de compréhension dans l’apprentissage des
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mathématiques - DUVAL R. (2011).
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• Rationnels et proportionnalité, complexité et enseignement au début du collège - ADJIAGE
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||
R. (2007). Revue Petit x 74 IREM Grenoble
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||
• Le rôle d’un processus de visualisation géométrique complémentaire du registre numérique
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||
- BARRERA R. (2011). Revue Petit x 85 IREM Grenoble
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||
• Représentation des fractions et des nombres décimaux chez les élèves de CM2 et du collège
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- PERRIN-GLORIAN (1986). Revue Petit x 10 IREM Grenoble
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