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Utiliser les nombres pour comparer,
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calculer et résoudre des problèmes:
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les nombres décimaux
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Objectifs
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Au cycle 3, les nombres décimaux sont introduits à partir des fractions décimales. L’écriture à virgule
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est ensuite présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de
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fractions décimales. Cette notation permet la mise en place des règles de comparaison et de calcul.
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Les quatre opérations sur les décimaux sont étudiées, mais la division est limitée au cas où le diviseur
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est un entier.
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Même si les décimaux ont été introduits à partir des fractions décimales, beaucoup d’élèves, à l’entrée
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du cycle 4, associent encore la nature d’un nombre à son écriture. Pour eux, un nombre s’exprime
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toujours par une suite de chiffres et les nombres décimaux se différencient des nombres entiers par la
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5
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présence de la virgule. Ils ne perçoivent pas, par exemple, 17 ou comme des nombres décimaux.
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2
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La poursuite, au cycle 4, du travail sur les nombres décimaux vise plusieurs objectifs :
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Amener tous les élèves à différencier la nature d’un nombre (notamment décimal)
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de son écriture et à passer de l’une de ses désignations à une autre. Concevoir, par
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35 7 1
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exemple, 3,5 ; 3,50 ; ; ; 3 + comme des désignations différentes d’un même
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10 2 2
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nombre ;
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Poursuivre le travail sur la comparaison des nombres décimaux. Il permet notamment
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de faire prendre conscience aux élèves de la possibilité d’intercaler un nombre
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décimal entre deux nombres qui pourraient être perçus à tort comme des nombres
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consécutifs (par exemple 7,24 et 7,25) ;
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Consolider les techniques opératoires étudiées au cycle 3 sur les nombres décimaux,
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notamment la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ;
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Introduire la division par un nombre décimal ;
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Utiliser les nombres décimaux pour exprimer des mesures de grandeurs et repérer
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des points autres qu’entiers sur la droite graduée.
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Le travail mené tout au long du cycle sur les nombres relatifs concerne non seulement les entiers,
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mais aussi les décimaux et plus généralement les rationnels ; il viendra à ce titre compléter l’étude
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des décimaux dont l’introduction au cycle 3 porte uniquement sur les décimaux positifs.
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Liens avec les domaines du socle
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La compréhension et l’utilisation de différentes écritures d’un nombre décimal, sa représentation sur la
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droite graduée, les passages entre ses différents modes de représentation contribuent à l’acquisition
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du langage mathématique pour penser et communiquer (domaine 1).
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La pratique du calcul (mental et écrit, exact et approché) engageant des nombres décimaux,
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l’utilisation de valeurs approchées décimales pour modéliser et résoudre des problèmes scientifiques
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et d’ordres de grandeurs pour contrôler des résultats contribuent à l’étude des systèmes naturels et
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des systèmes techniques (domaine 4).
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Progressivité des apprentissages
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e
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La division par un nombre décimal est introduite dès la classe de 5 , parallèlement à la consolidation
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des techniques opératoires déjà étudiées au cycle 3. La maîtrise de ces techniques, en lien avec la
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compréhension des nombres et des opérations, est entretenue tout au long du cycle 4.
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Le travail sur l’écriture décimale, initié au cycle 3 et poursuivi tout au long du cycle 4, est un point
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e
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d’appui pour l’étude des puissances de 10 qui est formalisée dès la classe de 4 .
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Parallèlement à la maîtrise des techniques calculatoires sur les nombres décimaux, les élèves sont
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amenés, tout au long du cycle, à résoudre des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux.
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Stratégies d’enseignement
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e
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Pour beaucoup d’élèves, à l’entrée en 5 , la conception d’un nombre décimal comme un objet
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mathématique et non comme une écriture est encore en cours de construction, le sens des opérations
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et les techniques opératoires sur les nombres décimaux sont encore en cours d’acquisition. De plus,
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certains élèves se sont forgé des représentations fausses qui, si elles peuvent s’avérer performantes
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dans des situations particulières, constituent des obstacles pour la suite des apprentissages. Il est
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donc indispensable que le professeur identifie les conceptions erronées afin de développer les
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stratégies d’enseignement qui permettront de les déstabiliser.
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Quelques conceptions erronées
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Assimilation de la virgule à un trait de fraction ; c’est ainsi que, pour certains
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14
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élèves = 14,10.
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10
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Difficulté à concevoir qu’un même nombre puisse avoir plusieurs désignations ;
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4
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ainsi, 1+ ; 1,4 ; 1,40 ne sont pas perçus comme différentes écritures d’un même
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10
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nombre .
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Le « nombre à virgule » vu comme un « entier déguisé », comme si la virgule
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n’existait pas. Ce rôle « fantôme» de la virgule conduit certains élèves à écrire
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4,3 < 4,06 < 4,249 en le justifiant par le fait que 43 < 406 < 4249, ou à percevoir 2,47
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comme « le » successeur de 2,46, au même titre que 247 est celui de 246 .
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Le « nombre à virgule » vu comme l’accolement de deux entiers, la virgule
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jouant le rôle de « frontière » entre les deux. Cela conduit par exemple à écrire :
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4,3 < 4,06 < 4,249 (avec comme justification : « 3 est plus petit que 6, lui-même plus
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petit que 249 ») ;ou encore : 2,6 × 3,4 = 6,24 ; 15,7 + 12,6 = 27,13 ou encore à
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percevoir 5,100comme « le » successeur de 5,99.
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Une connaissance mal installée du système décimal peut conduire un élève, dans
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le nombre 234,678, à percevoir le chiffre 7 comme le chiffre des dixièmes en raison de
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la position supposée des dixièmes comme symétrique de celle des dizaines,
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ou encore à écrire 4,249 < 4,16 < 4,1en justifiant que les millièmes sont « forcément»
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plus petits que les centièmes, eux-mêmes plus petits que les dixièmes.
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Des techniques mal automatisées et non contrôlées peuvent aboutir à une
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confusion sur la position de la virgule dans le résultat d’une addition posée ou d’une
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multiplication posée comme dans la multiplication ci-dessous :
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2,3
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× 5,5
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115
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115
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1 2 6,5
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L’application de règles au-delà de leur domaine de validité ; c’est ainsi que
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l’extension aux décimaux de la règle du déplacement de la virgule ou de l’ajout de
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zéros pour la multiplication des entiers par des puissances de 10 contribue à des
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erreurs du type :
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- 1,4×10 = 1,40 ; 1,4 : 0,1 = 0,14
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12
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- 12×0,5 > 12; < 12 (car « multiplier augmente un nombre et diviser
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0,5
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le diminue »).
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L’usage social des nombres décimaux à l’oral peut être à l’origine de
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confusions, comme dans les exemples suivants : « un kilo cinq » s’écrit en fait 1,5 kg
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alors que « un euro cinq » s’écrit en fait 1,05 €.
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La pratique régulière du calcul réfléchi doit permettre de « déconstruire » ces représentations
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erronées et parfois résistantes.
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La construction d’automatismes
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S’il permet d’aller plus vite une fois qu’on a compris, un automatisme ne permet pas de comprendre
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plus vite ; avant d’être institutionnalisée puis automatisée, une « règle » (comme celle, déjà citée, du
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déplacement de la virgule vers la droite ou vers la gauche) doit avoir été justifiée par le professeur et
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comprise par les élèves pour ne pas être employée en dehors de son cadre de validité.
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La pratique régulière du calcul réfléchi permet à la fois de comprendre l’origine des règles et d’ancrer
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dans la durée la construction des mécanismes opératoires. Pratiqué en amont de la formalisation de
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ces mécanismes, le calcul réfléchi peut être mis en œuvre sur des exemples génériques. Pratiqué
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juste après l’institutionnalisation, sur des exemples assez proches de la situation d’introduction,
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il permet l’appropriation de la notion en cours d’étude. En aval, une pratique régulière, sur le long
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terme, permet d’automatiser les procédures et les propriétés des nombres engagés dans le calcul et
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s’avère nécessaire pour garantir la pérennité des acquisitions. L’analyse collective, sous la conduite
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du professeur, des différentes stratégies mises en œuvre et des éventuelles erreurs commises
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contribue à donner du sens aux objets mathématiques mis en jeu et aux techniques à automatiser.
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Dans le cadre de l’apprentissage des nombres décimaux, on entretiendra de façon régulière les
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automatismes liés à la somme, à la différence, au produit de nombres décimaux, au quotient d’un
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nombre décimal par un entier, notions abordées au cycle 3, sur des exemples présentant de véritables
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enjeux. L’un de ces enjeux est de permettre d’identifier une erreur liée à l’incompréhension de
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l’écriture à virgule ; par exemple, un calcul du type 1,4 + 0,15 permet d’identifier l’erreur liée à la
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conception de la virgule frontière par les élèves qui fournissent 1,19 comme réponse, alors que le
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même calcul, posé sous la forme 1,40 + 0,15 ne permet pas de débusquer l’erreur.
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La compréhension de l’erreur peut s’appuyer sur différents registres d’expression : celui de la langue
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naturelle (on ajoute 1 dixième plus 5 centièmes à 1 unité plus 4 dixièmes), mais aussi celui des
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fractions décimales.
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L’introduction de la division d’un décimal par un décimal pourra se faire dans le cadre de cette
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pratique, sur une durée suffisamment longue, à petites doses et de manière progressive.
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La consolidation des priorités opératoires
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La consolidation des priorités opératoires introduites au cycle 3 est indispensable car ces priorités
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sont à la base de la compréhension et de la production d’expressions, qu’elles soient numériques ou
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littérales. L’écriture en ligne d'une succession de calculs simples engageant des nombres décimaux,
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notamment prescrits par des programmes de calcul, est une stratégie d’enseignement possible.
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EXEMPLE :
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Prendre un nombre ;
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lui ajouter 1,8 ;
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multiplier le résultat par 3,2.
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Écrire l’expression numérique traduisant ce programme en prenant 10 comme nombre de départ.
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Il pourra s’avérer fructueux de comparer les résultats obtenus avec une calculatrice scientifique et
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avec une calculette, ces deux outils ne respectant les mêmes règles de priorité entre opérations.
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Le choix du nombre d’instructions d’un programme de calcul et des nombres auquel il s’applique
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permet une différenciation au sein de la classe.
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Parallèlement au travail sur les programmes de calcul qui concernent l’aspect procédural d’un calcul,
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les élèves seront amenés à travailler sur sa forme structurale (somme, différence, produit, quotient).
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Par exemple identifier 12,3 + 2,5 × 7,1 comme une somme: celle de 12,3 et du produit de 2,5 par 7,1.
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L’utilisation de la droite graduée
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Le recours à la droite graduée permet de travailler la compétence « représenter » décrite dans les
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programmes des cycles 3 et 4 par les passages dans les deux sens qu’elle permet de réaliser entre
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le registre symbolique de l’écriture du nombre et le registre graphique de sa représentation.
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Plusieurs situations d’enseignement se prêtent à l’utilisation de la droite graduée.
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Mesurer des grandeurs et encadrer des mesures, notamment en variant les
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unités. Effectuer des mesures « qui ne s’expriment pas en un nombre entier d’unité »
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permet de revenir à l’utilité première des décimaux (résoudre des problèmes pour
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lesquels les entiers sont défaillants) et de travailler l’intercalation des décimaux.
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Repérer des points sur une droite graduée. Les activités de repérage peuvent être
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très variées au niveau des situations et des questionnements proposés, mais aussi
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des types de graduation et des outils utilisés (droite graduée, papier millimétré, sous
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unités partiellement ou non représentées, présentation « en zoom ») et de la nature
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de l’écriture des nombres à repérer (désignation orale, écritures fractionnaires,
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décimales, décompositions diverses, etc.). On pourra se reporter à l’activité
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développée au paragraphe VI.
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Intercaler des décimaux. « Donner dix nombres entre 4,67 et 4,68 » est une situation
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classique qui peut être enrichie par la question de savoir s’il peut y en avoir 100,
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1000, 10 000, etc.
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Dans le cadre d’une différenciation pédagogique, on pourra remplacer 4,67 et 4,68
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par 4 et 4,01.
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L’utilisation de valeurs approchées et le contrôle des résultats
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La résolution de problèmes permet aux élèves de prendre conscience que les nombres décimaux ne
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permettent souvent que d’y apporter des réponses approchées.
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Conformément à l’écriture du domaine 4 du socle (paragraphe « démarches scientifiques »),
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les ordres de grandeurs sont utilisés pour estimer et contrôler les résultats.
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Points de vigilance
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La rigueur et la précision de la dénomination orale des nombres décimaux contribuent à leur bonne
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compréhension. Le professeur doit avoir conscience du caractère modélisant de sa propre pratique
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et du fait que la dénomination d’usage social du type « 3 virgule 08 » peut renforcer les fausses
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représentations, notamment celle de la « virgule frontière ». Les échanges en classe offrent l’occasion
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de manipuler mentalement les changements de registres, ce que facilitent les formulations du type
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« 308 centièmes » ou « 3 unités plus 8 centièmes ». Attendre cette rigueur de la part des élèves les
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aide à établir les liens entre les différentes désignations et contribue à la compréhension des nombres
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décimaux. La maîtrise, par tous les élèves, des techniques opératoires sur les nombres décimaux est
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un objectif de fin de cycle. Un travail spiralé, mené sur toute la durée du cycle, sous forme de calcul
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mental ou réfléchi doit permettre de l’atteindre. Mais la technique s’acquiert aussi à travers la
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résolution de problèmes et nombreux sont ceux qui sollicitent les nombres décimaux; leur résolution
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contribue à consolider la compréhension de ces nombres. Ces problèmes peuvent relever de la vie
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courante, d’autres disciplines ou d’autres champs des mathématiques : calculs de coûts, coefficients
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de proportionnalité ou de linéarité, d’échelles ou de moyennes, mesures de grandeurs, conversions
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d’unités, etc.
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Différenciation
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Pour les élèves qui n’ont pas encore acquis une compréhension automatisée des décimaux, il est
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nécessaire de recourir à des outils de manipulation permettant de visualiser les rapports entre unité,
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dixième, centième pour asseoir le sens des désignations. Parmi ces outils on peut citer la droite
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graduée, mais aussi le carré ou le cube unité partagés en sous-unités, les tangrams, etc. On pourra
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se reporter à l’activité développée au paragraphe VI.
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Une bonne connaissance de faits numériques comme les multiples de 25 et leur relation avec 100, les
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divisions par 10, 100, 1000, etc. est indispensable à la bonne compréhension des nombres décimaux.
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Un travail routinier sur ces prérequis permet de dépasser certaines difficultés.
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Pour certains élèves, un manque d’assurance dans le calcul écrit constitue un véritable handicap
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et une source de blocage. Or, de même qu’une orthographe incertaine ne saurait interdire l’écriture,
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le manque de dextérité calculatoire ne doit pas constituer un blocage à toute activité mathématique.
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Il est donc indispensable de ne pas limiter l’activité des élèves les plus fragiles à des tâches purement
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techniques et il est déconseillé d’attendre systématiquement leur maîtrise avant de leur proposer des
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problèmes à résoudre, ce qui peut d’ailleurs constituer un puissant levier pour motiver l’acquisition des
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techniques.
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Dans le cadre d’un approfondissement, l’étude de quelques cas de non décimalité pourra être traitée.
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Exemples de situations d’apprentissage
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Contrôle de la vraisemblance du résultat d’un calcul sur les nombres décimaux
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Exemple de la division par un nombre décimal
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0,6
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On propose aux élèves de calculer . On peut s’attendre à ce que certains proposent comme
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0,2
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résultat 0,3 ou 0,03. Ils effectuent en effet la division de 6 par 2 et mettent soit un chiffre après la
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virgule en appliquant l’algorithme de l’addition, soit deux chiffres après la virgule en appliquant
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l’algorithme de la multiplication.
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0,6
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La référence au quotient permet d’identifier comme étant le nombre par lequel il faut multiplier 0,2
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0,2
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pour obtenir 0,6. L’invalidation des résultats 0,3 et 0,03 repose alors sur les opérations 0,3 × 0,2 =
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0,06 et 0,03 × 0,2 = 0,006.
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Pour certains élèves, la compréhension de l’erreur passe par la verbalisation de la notion de partage
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en « Combien de fois 0,2 entre-t-il dans 0,6 ? » ou en sa formulation équivalente « Combien de fois 2
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dixièmes entrent-ils dans 6 dixièmes ? ». Ces formulations permettent d’amener les élèves à prendre
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0,6
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conscience «qu’il y a plus d’une fois 0,2 dans 0,6 », et donc que ne peut valoir ni 0,3 ni 0,03.
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0,2
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Il convient également d’insister sur le fait que le résultat de la division par un nombre décimal inférieur
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à 1 est plus grand que ce nombre. Cela doit faire partie des automatismes de contrôle.
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Utilisation de la droite graduée
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L’activité ci-dessous utilise des zooms à différentes échelles.
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Source : académie de Rennes
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1. Quel est le nombre indiqué par la flèche sur la droite graduée ci-dessous ?
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2. On a représenté un agrandissement d’une partie de la droite graduée.
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Quel est le nombre indiqué par la flèche sur l'agrandissement ?
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3. On a représenté des agrandissements successifs d’une partie de la droite graduée.
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Quel est le nombre indiqué par la flèche sur le dernier agrandissement ?
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Cette activité peut être complétée par l’exercice inverse, qui consiste par exemple à représenter
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2,472 sur la droite graduée.
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Mesure de grandeurs
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La mesure de la surface des pièces d’un Tangram permet de
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faire le lien entre écritures décimales, fractions décimales et
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fractions non décimales puisqu’on peut utiliser comme unité
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d’aire soit le plus petit des triangles, dont l’aire est égale à un
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seizième de l’aire totale, soit le centimètre carré, en utilisant le
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quadrillage.
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Autres exemples d'activités
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Des exemples de questions flash
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Un exemple de tâche intermédiaire : un problème de coûts
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Un exemple de tâche avec prise d’initiative : Épaisseur d’une feuille de papier
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Ressources complémentaires
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Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements utiles
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pour aborder la notion de nombre décimal avec les élèves :
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||
Le nombre au cycle 3 SCEREN - CRDP, septembre 2012
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||
Les nombres au collège
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||
Le calcul numérique au collège
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||
Découvrir de nouveaux nombres au collège - brochure IREM de Strasbourg 2012
|
||
Des maths ensemble et pour chacun - Rouquès, J.-P. & Staïner, H.(2010) - Cinquième.
|
||
Nantes : CRDP des Pays de la Loire
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||
Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des
|
||
mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière école-collège
|
||
BLOLON J. 1996, Identifiant BU : 96PA05H050
|
||
Banque des exercices de Mathématiques sans Frontières Junior
|
||
Enseigner et apprendre les nombres décimaux : dispositif d’évaluation diagnostique Decival
|
||
sur le site du Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de Louvain
|
||
(Belgique)
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||
La sixième entre fractions et décimaux - Brochure de l’IREM de Lyon
|
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