170 lines
12 KiB
Plaintext
170 lines
12 KiB
Plaintext
Informer et accompagner
|
||
les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
|
||
MATHÉMATIQUES
|
||
Nombres et calculs
|
||
|
||
|
||
|
||
Comprendre et utiliser les notions
|
||
de divisibilité et de nombres premiers
|
||
|
||
Objectifs
|
||
Au cycle 3, l’élève a découvert la notion de multiple et diviseur d’un entier naturel d’usage
|
||
courant et les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10. Il a résolu des problèmes en
|
||
mobilisant la division euclidienne selon deux approches :
|
||
|
||
LA DIVISION – GROUPEMENT LA DIVISION – PARTAGE
|
||
Exemple Exemple
|
||
La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves.
|
||
d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de
|
||
d’élèves ? jetons a chaque élève ?
|
||
|
||
Résoudre un problème de division-groupement revient Résoudre un problème de division-partage revient à
|
||
à calculer le nombre de paquets identiques que l’on calculer la valeur d’un paquet connaissant le nombre
|
||
peut faire dans une collection connaissant la valeur d’un de paquets identiques que l’on peut faire dans une
|
||
paquet. collection.
|
||
|
||
|
||
Au cycle 4, la division euclidienne continue à être mobilisée ; les notions de multiple et de
|
||
diviseur sont étendues à l’ensemble des entiers naturels. Progressivement, l’élève découvre
|
||
les notions de diviseur commun et de nombre premier. Il mobilise ces connaissances pour
|
||
résoudre des problèmes.
|
||
L’apprentissage du raisonnement est un objectif central auquel contribue de façon spécifique
|
||
le travail en arithmétique. L’activité mathématique proposée aux élèves doit prendre appui sur
|
||
des situations variées.
|
||
Il s’agit d’amener les élèves à élaborer des raisonnements de divers types :
|
||
• par disjonction de cas : « Si deux entiers naturels ne sont pas multiples de 3, alors leur pro-
|
||
duit n’est pas multiple de 3 » (disjonction de cas suivant les restes de la division euclidienne
|
||
par 3).
|
||
• par l’absurde : « n désigne un entier qui n’est pas premier. Montrer que n a un diviseur plus
|
||
petit que √n. » ; « Irrationalité de √2. »
|
||
• à l’aide d’un contre-exemple : « Vrai-Faux : quel que soit l’entier naturel n,
|
||
le nombre n² - n + 11 a exactement 2 diviseurs. (n = 11 fournit un contre-exemple.)
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Retrouvez Éduscol sur
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1
|
||
CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Liens avec les domaines du socle
|
||
La recherche de diviseurs ou de multiples d’un entier naturel ou communs à deux entiers
|
||
naturels, la simplification de fractions, la décomposition d’un entier naturel en produit de
|
||
facteurs premiers conduisent à effectuer avec discernement des calculs mentaux, posés ou
|
||
instrumentés (domaine 1).
|
||
De façon générale, l’analyse des erreurs, le travail par « essais/ajustements » et le travail
|
||
collaboratif, en groupe ou en équipe et, plus spécifiquement, la reconnaissance du caractère
|
||
irréductible d’une fraction, l’identification ou la production de nombres premiers conduisent
|
||
à s’engager dans des démarches de recherche, y compris algorithmiques, à produire des
|
||
exemples ou des contre-exemples (domaine 2).
|
||
La résolution de problèmes mettant en jeu des entiers naturels (comme les problèmes de
|
||
conjonction, voir par exemple l’activité « Ça roule »), qui conduit à observer, manipuler et
|
||
argumenter, et le travail de la preuve (critères de divisibilité, par exemple) permettent de
|
||
rencontrer et de produire des raisonnements spécifiques (par l’absurde, par disjonction de
|
||
cas, à l’aide de contre-exemples notamment), ce qui favorise l’apprentissage du raisonnement
|
||
(domaines 3 et 4).
|
||
|
||
|
||
Progressivité des apprentissages
|
||
La division euclidienne est travaillée sur toute la durée du cycle. Les critères de divisibilité,
|
||
les notions de diviseur et de multiple d’un entier naturel sont à réinvestir dès le début du
|
||
cycle. Dans la perspective de l’apprentissage du raisonnement, les nombres premiers peuvent
|
||
être introduits dès le début du cycle et travaillés tout au long du cycle. La notion de fraction
|
||
irréductible est introduite en classe de 3e, donnant une occasion d’aborder la notion de
|
||
diviseur commun à deux entiers naturels. Dans la mesure où cette approche met en jeu des
|
||
entiers de taille raisonnable, la fraction irréductible s’obtient par simplifications successives et
|
||
ne nécessite pas le calcul du PGCD.
|
||
|
||
|
||
Stratégies d’enseignement
|
||
Les questions flash (Multiples, diviseurs et critères de divisibilité et Nombres premiers)
|
||
contribuent à la construction du sens « multiple/diviseur » et à l’appropriation des critères de
|
||
divisibilité. Proposées régulièrement sur la durée du cycle, elles permettent de réactiver ces
|
||
savoirs et savoir-faire ; elles peuvent concourir à une évaluation diagnostique.
|
||
|
||
Le travail sur l’erreur s’appuie sur un retour au sens, en lien avec la définition de diviseur et
|
||
de multiple ainsi que la production d’exemples et de contre-exemples. L’arithmétique est un
|
||
domaine dans lequel l’élève est amené à mettre en œuvre différents types de raisonnement.
|
||
|
||
L’oral constitue une aide à la compréhension et participe du traitement de l’erreur.
|
||
|
||
|
||
Différenciation
|
||
Dans ce thème, la différenciation peut notamment consister en :
|
||
|
||
• un accompagnement spécifique que ce soit pour des travaux en classe ou hors la classe ;
|
||
• l’élaboration de la preuve d’un résultat général, d’une propriété (critère de divisibilité par 3
|
||
par exemple) ou la résolution d’un problème (voir par exemple le prolongement proposé dans
|
||
la tâche intermédiaire « Un petit nombre ») à l’aide d’un exemple générique ; la démonstration
|
||
dans le cas général pouvant faire l’objet d’un approfondissement proposé à certains élèves.
|
||
|
||
Retrouvez Éduscol sur
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 2
|
||
CYCLE 4 I MATHÉMATIQUES I Nombres et calculs
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Exemples de situations d’apprentissage
|
||
Les tâches proposées peuvent notamment consister en des activités mentales, conduire à
|
||
l’élaboration d’algorithmes et de programmes et exiger la mise en œuvre de raisonnements.
|
||
|
||
Exemples d’activités
|
||
Exemples de questions flash
|
||
• Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
|
||
• Nombres premiers
|
||
Exemples de tâches intermédiaires
|
||
• Qui suis-je ?
|
||
• Un habile partage
|
||
• Un petit nombre
|
||
• Une grande lectrice
|
||
Exemples d’activités avec prise d’initiative
|
||
• Ça roule
|
||
• Système monétaire
|
||
• Conjecture de Syracuse
|
||
|
||
|
||
Interdisciplinarité
|
||
Les entiers naturels interviennent principalement dans la résolution de problèmes internes
|
||
aux mathématiques relevant de la divisibilité et de la primalité. L’étude de tels problèmes
|
||
permet aux élèves de s’approprier des connaissances et d’acquérir des compétences qui
|
||
favorisent tout particulièrement l’apprentissage du raisonnement.
|
||
|
||
De façon complémentaire, l’étude de problèmes d’engrenages, de conjonction de phénomènes
|
||
périodiques, issus de la physique et de la technologie, participent de la formation des élèves.
|
||
|
||
Des EPI portant sur les thématiques « Information, communication, citoyenneté » (stockage
|
||
de l’information, cryptage) ou « Langues et cultures de l’Antiquité » (prédiction des éclipses
|
||
solaires et lunaires, nombres parfaits) seront l’occasion de construire l’attendu de fin de cycle
|
||
« Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ».
|
||
|
||
|
||
Ressources complémentaires
|
||
Les ressources proposées ci-après constituent des compléments et des approfondissements
|
||
utiles pour aborder les notions de divisibilité et de nombres premiers avec les élèves :
|
||
|
||
• Du numérique au littéral
|
||
• Raisonnement et démonstration
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Retrouvez Éduscol sur
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 3
|
||
|