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Programme de mathématiques pour le cycle 3
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Sommaire
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Principes
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Objectifs majeurs
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Organisation du travail des élèves
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La résolution de problèmes
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La mémorisation, la construction d’automatismes et l’acquisition de stratégies de résolution
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La place et le rôle de l’oral
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Les écrits en mathématiques
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L’évaluation des progrès et des acquis des élèves
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Les compétences psychosociales
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L’égalité entre tous les élèves, et particulièrement entre les filles et les garçons
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L’initiation à la pensée algébrique et à la pensée informatique
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Organisation du programme
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Nombres, calcul et résolution de problèmes
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Cours moyen première année
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Les nombres entiers
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Les fractions
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Les nombres décimaux
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Le calcul mental
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Les quatre opérations
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La résolution de problèmes
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Algèbre
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Cours moyen deuxième année
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Les nombres entiers
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Les fractions
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Les nombres décimaux
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Le calcul mental
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Les quatre opérations
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La résolution de problèmes
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Algèbre
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Sixième
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Les nombres entiers et décimaux
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Les fractions
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Algèbre
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Grandeurs et mesures
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Cours moyen première année
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Les longueurs
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Les masses
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Les contenances
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Les aires
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Les angles
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Le repérage dans le temps et les durées
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Cours moyen deuxième année
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Les aires
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Les angles
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Le repérage dans le temps et les durées
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Sixième
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Les longueurs
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Les aires
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Les volumes
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Le repérage dans le temps et les durées
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Espace et géométrie
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Cours moyen première année
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La géométrie plane
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Les solides
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Le repérage dans l’espace
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Cours moyen deuxième année
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La géométrie plane
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Les solides
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Déplacements dans l’espace
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Sixième
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Étude de configurations planes
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La vision dans l’espace
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Organisation et gestion de données et probabilités
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Cours moyen première année
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Organisation et gestion de données
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Les probabilités
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Cours moyen deuxième année
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Organisation et gestion de données
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Les probabilités
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Sixième
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Organisation et gestion de données
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Les probabilités
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La proportionnalité
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Cours moyen première année
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Cours moyen deuxième année
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Sixième
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Initiation à la pensée informatique
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Cours moyen première année
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Cours moyen deuxième année
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Sixième
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Principes
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Objectifs majeurs
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Le programme d’enseignement des mathématiques au cycle 3 fixe des objectifs de différentes natures :
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— la poursuite et le renforcement des apprentissages mathématiques des élèves de l’école et du collège ;
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— l’acquisition de savoirs et de savoir-faire indispensables à la réussite au cycle 4 en mathématiques et dans les autres
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disciplines scolaires ;
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— le développement et le renforcement de compétences d’analyse, de raisonnement, de logique, d’argumentation qui
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constituent le fondement de la formation scientifique et qui contribuent au développement de l’esprit critique nécessaire
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à l’exercice éclairé de la citoyenneté ;
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— le développement de compétences permettant à chaque élève de gagner en autonomie et de renforcer son estime de soi ;
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— la lutte contre les déterminismes sociaux qui freinent la réussite scolaire ;
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— la prévention et la réduction des inégalités entre filles et garçons.
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Par ailleurs, l’enseignement des mathématiques au cycle 3 s’inscrit dans une démarche éducative plus large en sensibilisant les
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élèves aux défis environnementaux du 21e siècle, notamment le changement climatique, la perte de la biodiversité et
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l’épuisement des ressources naturelles.
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Organisation du travail des élèves
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Pour atteindre ces objectifs, il est fondamental de proposer aux élèves des activités variées. Leur diversité concerne :
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— les contextes liés à la vie quotidienne ou à d’autres disciplines, mais aussi internes aux mathématiques ;
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— les types de tâches qui peuvent être des entrainements à la mémorisation ou à l’automatisation, des exercices
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d’application pour stabiliser et consolider les connaissances, des évaluations à visée formative, des résolutions de
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problèmes favorisant la recherche, des débats collectifs autour d’une solution proposée ;
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— les modalités d’organisation du travail qui peut être effectué individuellement, en binômes ou en groupes plus larges, à
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l’écrit et à l’oral.
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La résolution de problèmes
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Au cycle 3, la résolution de problèmes occupe une place centrale dans l’apprentissage des mathématiques, quel que soit le
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domaine du programme.
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Elle contribue à donner du sens aux notions étudiées en les inscrivant dans des situations concrètes, qu’elles soient issues
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d’autres disciplines ou intra-mathématiques. Elle joue un rôle majeur dans le développement de compétences mathématiques
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(chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner, communiquer) et constitue le critère principal pour évaluer la maîtrise des
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concepts enseignés et pour en garantir l’appropriation du sens.
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La mémorisation, la construction d’automatismes et l’acquisition de stratégies de résolution
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Pour être en capacité de résoudre des problèmes, l’élève doit pouvoir mobiliser des automatismes, c’est-à-dire d’un corpus de
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connaissances, de procédures et de stratégies diverses immédiatement disponibles. La maîtrise de ces automatismes allège la
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mémoire de travail de l’élève lors de la résolution de problèmes, lui permettant de se consacrer pleinement à des tâches
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cognitives de niveau supérieur comme la prise d’initiatives, la créativité ou le raisonnement. La construction d’automatismes et
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de stratégies de résolution est particulièrement valorisante car elle produit souvent des progrès rapides, ce qui engage les élèves
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dans un cercle vertueux et renforce leur confiance en leur capacité à réussir.
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Au cours moyen, les automatismes concernent principalement les faits numériques et les procédures de calcul que tout élève est
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tenu de maîtriser. Ils sont notamment explicités dans la rubrique « Calcul mental » du programme où ils sont accompagnés
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d’indicateurs précis de leur maîtrise. En effet, tout comme « savoir lire » ne signifie pas la même chose en CE1 et en CM2
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concernant le nombre de mots lus en une minute, « Connaître les tables de multiplication » ne correspond pas aux mêmes
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attentes en CE1 et en CM2 sur le nombre de résultats que les élèves sont capables de restituer en une minute.
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En 6e, les automatismes couvrent l’ensemble des domaines du programme, mais portent uniquement sur des connaissances, des
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procédures et des stratégies déjà étudiées au cours moyen.
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Afin de favoriser un apprentissage solide des habiletés en calcul, qu’il soit mental ou posé, les élèves du cycle 3 n’utilisent pas de
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calculatrice au quotidien. Au cours moyen, ils ne disposent pas de calculatrice personnelle. Cependant, à l’école comme au
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collège, l’enseignant peut en mettre à disposition lorsqu’il juge leur usage pertinent, soit pour aborder une tâche spécifique, soit
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pour répondre aux besoins de certains élèves. Par exemple, la calculatrice peut être utilisée pour résoudre des problèmes dont
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les données numériques dépassent le cadre des calculs mentaux ou posés fixé par le programme.
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La place et le rôle de l’oral
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La verbalisation est un maillon essentiel dans l’acquisition des notions mathématiques : elle éclaire souvent le sens et aide à la
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mémorisation. Offrant à l’élève la possibilité de développer sa pensée, puis de la structurer, elle contribue également à la
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compréhension, à la réflexion et au raisonnement. Au même titre que la représentation, qui est une mise en images, la
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verbalisation est une mise en mots qui facilite l’accès à l’abstraction.
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Les séances de mathématiques fournissent de nombreuses opportunités de renforcer l’expression orale des élèves et leur
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capacité d’argumentation.
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La présentation d’une réponse, d’une stratégie ou encore d’une solution d’un problème permet d’entraîner l’élève à s’exprimer
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face à un public et à produire un discours structuré et clair. Plutôt que de recopier au tableau sa solution, l’élève est encouragé à
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la décrire et à la commenter, éventuellement avec l’appui d’un outil comme le visualiseur.
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La confrontation de solutions variées d’un même problème incite les élèves à argumenter, à comparer des méthodes ou à
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critiquer de manière constructive les démarches retenues. Ces activités contribuent à développer des compétences d’expression
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orale, tout en favorisant la structuration et la clarté du discours.
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Les écrits en mathématiques
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En mathématiques, au cycle 3, les élèves sont amenés à produire plusieurs types d’écrits, chacun ayant une fonction spécifique.
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— Les écrits intermédiaires rédigés lors des temps de recherche permettent à l’élève de poser les premiers éléments
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nécessaires à l’analyse d’un énoncé, de structurer sa pensée lors de la résolution d’un problème ou de noter des résultats
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intermédiaires pour soulager sa mémoire de travail lors d’un calcul mental. Ces écrits ne sont pas destinés à être évalués,
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mais ils offrent à l’enseignant une précieuse opportunité de repérer et de comprendre les difficultés rencontrées par un
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élève et, ainsi, de l’aider à les surmonter. Ils peuvent être notés sur une ardoise, sur un cahier de recherche ou encore dans
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le cahier d’exercices.
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— Les travaux écrits sous la forme de résolution d’exercices d’application, d’entraînement ou de problèmes sont essentiels.
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Leur trace est consignée dans un cahier ou un classeur. L’enseignant encourage l’élève à renseigner ce cahier ou ce classeur
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avec soin, tout en autorisant les essais et les erreurs inhérents aux apprentissages mathématiques. La validation régulière de
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ces écrits par l’enseignant, lorsqu’il circule dans les rangs ou qu’il relève les cahiers, permet de maintenir un haut niveau
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d’exigence, tant sur la précision des réponses que sur la présentation.
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— L’institutionnalisation des notions étudiées en classe est consignée sous forme de traces écrites dans le cahier ou le
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classeur de l’élève : définitions et propriétés, vocabulaire spécifique, procédures de calcul à mémoriser, exercice résolu
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pouvant servir de modèle, etc. Ces traces servent de référence pour l’élève, notamment quand il rencontre des difficultés
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lors de la résolution d’un exercice ou d’un problème.
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L’évaluation des progrès et des acquis des élèves
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L’évaluation joue un rôle clé dans la régulation des apprentissages, tant pour l’enseignant que pour l’élève. Elle revêt différentes
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modalités dont l’observation mais conserve toujours une visée formative. Elle permet à l’élève de prendre conscience de ses
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réussites et de ses progrès, d’identifier et de comprendre ses erreurs, et de consolider ainsi ses acquis.
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L’élève doit être informé des critères de réussite, qui s’appuient sur ce qui a été travaillé en classe.
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Cela lui permet de s’engager dans une démarche active et positive face à l’évaluation.
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Un retour sur les réussites et les erreurs suite à l’évaluation permet à l’enseignant de proposer des remédiations adaptées aux
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difficultés rencontrées.
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Les compétences psychosociales
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L’enseignement des mathématiques au cycle 3 contribue au développement de compétences psychosociales
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La mémorisation de faits numériques ou de formules, l’automatisation de procédures de calcul mental ou posé et la lecture
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immédiate de graphiques développent et renforcent des aptitudes transférables à d’autres domaines.
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Au-delà du rôle majeur qu’elle joue dans le développement de compétences et savoirs mathématiques, la résolution de
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problèmes renforce l’aptitude des élèves à s’appuyer sur des savoirs, à analyser des données pour prendre des initiatives, pour
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élaborer des stratégies et pour faire des choix réfléchis.
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La résolution de problèmes est l’occasion pour l’élève de mobiliser ses connaissances et d’en acquérir de nouvelles. L’élève se
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confronte à l’inconnu, éprouve le plaisir de chercher, perçoit ce qu’il peut apprendre de ses erreurs et développe confiance et
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curiosité.
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Pour amener chaque élève à progresser et à réussir en mathématiques, il importe de lui donner l’occasion de s’exprimer, à l’écrit
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comme à l’oral, sans crainte de l’erreur ou du jugement porté par autrui, que ce soit l’un de ses pairs ou les professeurs. Les
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professeurs veillent à encourager chaque élève, à lui montrer ses réussites, à valoriser ses progrès et à le féliciter de ses efforts.
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Des modalités diverses (recherche en binômes ou en groupes plus larges, entraide entre élèves, exposé d’une réponse ou d’une
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solution, débat autour de celle-ci, etc.) favorisent et renforcent l’engagement de chaque élève, sa persévérance comme la
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capacité à écouter le point de vue d’autrui et la capacité à exprimer et argumenter le sien. Les professeurs instaurent dans leur
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classe un climat bienveillant favorable à l’écoute, à l’attention et au respect de toutes et tous.
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L’égalité entre tous les élèves, et particulièrement entre les filles et les garçons
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Les professeurs veillent à instaurer les conditions permettant à chaque élève de comprendre que les compétences en
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mathématiques ne sont ni innées ni liées à un genre ou à une situation sociale, mais qu’elles se construisent progressivement par
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le travail scolaire et la régularité des apprentissages.
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Cette démarche suppose une attention particulière des professeurs à plusieurs éléments :
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— au choix des situations proposées, afin qu’elles soient accessibles et stimulantes pour tous les élèves ;
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— au regard porté sur chacun d’eux, en valorisant la mise en œuvre de stratégies de recherche et les progrès de manière
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équitable ;
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— à la répartition des tâches et des responsabilités confiées à chacun ;
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— à la sollicitation équilibrée des filles et des garçons à l’oral ;
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— aux retours oraux et écrits qu’il fournit aux élèves, en insistant sur leurs réussites et en leur proposant des pistes
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d’amélioration ;
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— aux occasions offertes à chaque élève de s’exprimer individuellement ou d’interagir au sein d’un groupe.
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Afin de modifier les représentations sociales et d’encourager une identification positive, il est essentiel de veiller à proposer des
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situations évitant la reproduction, même implicite de stéréotypes de genres, et de mettre en avant le travail et les réalisations de
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mathématiciennes et de femmes scientifiques. En effet, la projection sur un « modèle » participe, dès le plus jeune âge, à modifier
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les représentations sociales et celles liées aux genres.
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L’initiation à la pensée algébrique et à la pensée informatique
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Jusqu’au CE2, les problèmes mathématiques proposés sont essentiellement de nature arithmétique, dans le sens où ils mettent
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en jeu des nombres ou des grandeurs. Dans les raisonnements que l’élève met en œuvre pour les résoudre, il progresse du connu
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vers l’inconnu. À partir du cycle 3, l’introduction de la pensée algébrique marque un changement de paradigme : il s’agit de
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raisonner sur des nombres inconnus, qui seront représentés au cycle 4 par des lettres. Le passage progressif de l’arithmétique à
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l’algèbre nécessite du temps et une approche adaptée. Pour accompagner cette transition, le programme du cycle 3 introduit
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quelques modèles pré-algébriques (schémas en barre, balances, motifs évolutifs). Ces outils permettent de manipuler des
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nombres inconnus représentés par des symboles ou par des mots, facilitant l’accès à ce nouveau mode de raisonnement.
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La locution « pensée informatique » englobe une attitude intellectuelle et un ensemble de compétences essentielles pour
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comprendre les enjeux contemporains tels que l’intelligence artificielle. Au cycle 3, les élèves découvrent ce mode de pensée à
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travers des activités en lien avec les mathématiques, pouvant être réalisées avec ou sans machine. Ces activités permettent de
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développer des compétences dans les domaines de l’algorithmique, de la logique ou encore de la résolution de problèmes
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complexes, tout en sensibilisant les élèves aux enjeux du numérique. Un lien peut être établi avec le cadre de référence des
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compétences numériques.
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Organisation du programme
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Les apprentissages figurant dans le programme recouvrent des domaines variés des mathématiques : nombres et calculs, algèbre,
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organisation et gestion des données, probabilités, géométrie, grandeurs et mesures, proportionnalité. L’initiation à la pensée
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informatique est intégrée à certains de ces domaines au cours moyen, tandis qu’elle constitue un domaine spécifique en 6e.
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Le programme est organisé selon ces domaines, avec quelques variantes de présentation entre le cours moyen et la 6e. Ainsi, le
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programme de 6e est scindé en deux rubriques : « Automatismes » et « Connaissances et capacités attendues ». Certains
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domaines incluent également une rubrique « Mises en perspective historiques ou culturelles » pour enrichir les enseignements et
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contribuer à la culture générale des élèves. Ces éléments permettent aux enseignants de donner du sens aux apprentissages,
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d’éveiller la curiosité des élèves et d’inscrire les notions mathématiques dans une dimension historique et culturelle.
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Des exemples de réussite pour éclairer les objectifs d’apprentissage sont mis à disposition des professeurs, à titre indicatif, sur le
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site pédagogique du ministère :
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— classe de CM1 ;
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— classe de CM2 ;
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— classe de 6e.
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Nombres, calcul et résolution de problèmes
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Au cycle 3, l'objectif est de poursuivre la compréhension de notre système de numération et de mobiliser ses propriétés lors de calculs.
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L’apprentissage des techniques opératoires et la compréhension des nombres se développent alors conjointement. En effet,
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l’enseignement des procédures utilisées pour effectuer des opérations ou des calculs dans toutes leurs modalités fournit des occasions
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aux élèves de faire évoluer leur compréhension du nombre. Il s’agit d’amener l’élève à adopter la procédure la plus efficace en fonction
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de ses connaissances ainsi que des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. De même, si la maîtrise des techniques
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opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés
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de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes. Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent
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d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles.
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Cours moyen première année
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Les nombres entiers
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Au CM1, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la
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numération, étudiés depuis le CP, se renforce et s’étend avec l’introduction de deux nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée :
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ceux des dizaines de milliers et des centaines de milliers. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM1
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concernent les nombres s’écrivant avec au plus six chiffres. Toutefois, afin de renforcer les connaissances sur la numération
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relevant du cycle 2 et de privilégier en début d’année l’approfondissement de l’étude des fractions et des nombres décimaux, on
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se limite, pendant les deux premières périodes de l’année, aux nombres entiers s’écrivant avec au plus quatre chiffres. Les
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nombres écrits avec cinq ou six chiffres ne sont abordés qu’à partir de la période 3 ou du début de la période 4.
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Les élèves utilisent, comme au cours des années précédentes, des représentations du matériel multibase lors des travaux menés
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sur les nombres. Les élèves qui en ont besoin peuvent être invités à manipuler des objets tangibles, comme des cubes de mille
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unités, des plaques de cent unités, des barres de dix unités, des cubes unités.
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La notion de multiple, introduite au cycle 2, est réactivée. Seuls les critères de divisibilité par 2, par 5 et par 10 figurent au
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programme. Dans les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions
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ou des multiplications.
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Objectifs d’apprentissage
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Comparer et dénombrer des collections en les organisant
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Construire des collections de cardinal donné
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Connaître et utiliser les relations entre les unités de numération
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Connaître la suite écrite et la suite orale des nombres jusqu’à 999 999
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Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre
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Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre
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Comprendre et savoir utiliser les expressions « égal à », « supérieur à », « inférieur à », « compris entre … et … »
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Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et >
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Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant
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Savoir placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée
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Savoir reconnaître les multiples de 2, de 5 et de 10 à partir de leur écriture chiffrée
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Savoir déterminer si un nombre entier donné est un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10
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Savoir déterminer si un nombre entier inférieur ou égal à 10 est un diviseur d’un nombre entier donné
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Les fractions
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Au CM1 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis au cycle 2 sur les fractions en étendant leur étude aux
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fractions supérieures à 1.
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Les fractions sont utilisées avec différents sens :
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— comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout en
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parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ;
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— dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs lorsque les nombres entiers ne sont pas
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suffisants ;
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— le travail sur la mesure de longueurs à l’aide de fractions permet d’introduire le repérage de points sur une demi-droite
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graduée par des fractions, et contribue ainsi à donner aux fractions le statut de nombres, qui s’intercalent entre les
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nombres entiers déjà connus ;
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— au CM1, les fractions acquièrent également le statut d’opérateur multiplicatif pour le cas particulier des fractions unitaires ;
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les élèves apprennent à calculer des fractions de quantités ou de grandeurs comme un tiers de 12 billes ou un quart de
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100 mètres.
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Dans la continuité du cycle 2, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année
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scolaire.
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Les fractions rencontrées au CM1 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 20, hormis les fractions décimales qui peuvent
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avoir un dénominateur égal à 100.
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Objectifs d’apprentissage
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Savoir interpréter, représenter, écrire et lire des fractions
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Savoir écrire une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1
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Savoir écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction
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Savoir encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs
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Savoir placer une fraction ou la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée
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Savoir repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction ou par la somme d’un nombre entier et d’une fraction
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Comparer des fractions
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Additionner et soustraire des fractions
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Déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur
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Les nombres décimaux
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Les nombres décimaux, abordés au cycle 2 par leurs écritures à virgule dans le cas particulier de la monnaie, sont réintroduits de
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manière plus générale au CM1 sous la forme de fractions décimales. L’écriture à virgule est réintroduite dans un second temps,
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comme un codage conventionnel de la décomposition canonique d’un nombre écrit sous la forme d’une somme de fractions
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7 8
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décimales : ainsi l’écriture décimale 35,78 est présentée comme un codage destiné à simplifier l’écriture du nombre 35 + + .
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10 100
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Cette section du programme entretient des liens forts avec :
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— la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ;
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— les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que
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doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ;
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— la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens.
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Au CM1, les nombres décimaux rencontrés ne vont pas au-delà des centièmes et s’écrivent donc avec au plus deux chiffres après
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la virgule.
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Des nombres décimaux exprimés avec une écriture à virgule sont rencontrés dès la période 1 dans le cadre de problèmes sur la
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monnaie prolongeant le travail mené au cycle 2. L’étude plus générale des nombres décimaux, introduits sous la forme de
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fractions décimales puis exprimés avec une écriture à virgule, est menée dès la période 2 du CM1.
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Objectifs d’apprentissage
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Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions décimales
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Connaître et utiliser les relations entre unités simples, dixièmes et centièmes
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Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction
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décimale
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Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1
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Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et de fractions décimales ayant un numérateur
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inférieur à 10
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Comparer, encadrer, intercaler des fractions décimales en utilisant les symboles =, < et >
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Ordonner des fractions décimales dans l’ordre croissant ou décroissant
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Passer d’une écriture sous forme d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales à une écriture à virgule et
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réciproquement
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Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux (écriture à virgule)
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Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par
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un nombre décimal
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Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal
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Comparer, encadrer, intercaler, ordonner, par ordre croissant ou décroissant, des nombres décimaux donnés par leur écriture à
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virgule en utilisant les symboles =, < et >
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Le calcul mental
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L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages :
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— mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;
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— utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant notamment sur la
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position des chiffres dans les nombres ;
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— maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.
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Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en mémoire, ce qui peut être
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difficile pour certains élèves. Ceux-ci sont alors encouragés, au début des apprentissages, à noter par écrit ces résultats
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intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin.
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Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se
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renforce tout au long de l’année scolaire.
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Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur automatisation.
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Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées ou
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simplement rencontrées et présentées.
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L’entraînement à une restitution rapide des résultats dans un climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la
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mémorisation et l’automatisation des procédures.
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Mémoriser des faits numériques
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître des faits numériques usuels relatifs aux nombres entiers
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Connaître quelques relations entre des fractions usuelles
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Connaître l’écriture décimale de fractions usuelles
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Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
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Objectifs d’apprentissage
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Ajouter ou soustraire un nombre entier inférieur à 10, d’unités, de dizaines, de centaines, de dixièmes ou de centièmes à un
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nombre décimal, lorsqu’il n’y a pas de retenue
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Multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1 000
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Multiplier un nombre décimal par 10
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Diviser un nombre décimal par 10
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Apprendre des procédures de calcul mental
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Objectifs d’apprentissage
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Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, 38 ou 39, à un nombre
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Multiplier un nombre entier inférieur à 10 par un nombre entier de dizaines ou de centaines
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Multiplier un nombre entier par 4 ou par 8
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Multiplier un nombre entier par 5
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Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples
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Les quatre opérations
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Les quatre opérations sont mobilisées au CM1 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations.
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Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres,
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aux grandeurs et au calcul mental.
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Des additions, des soustractions et des multiplications posées sont régulièrement utilisées dès le début de l’année, quand les
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nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à chaque fois que celui-ci est
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envisageable.
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La commutativité de la multiplication est à nouveau explicitée lorsqu’elle est mobilisée.
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||
Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent être distribuées par
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l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile.
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Objectifs d’apprentissage
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Estimer le résultat d’une opération
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Savoir effectuer un calcul contenant des parenthèses
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Poser en colonnes et effectuer des additions et des soustractions de nombres décimaux
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Poser et effectuer des multiplications de deux nombres entiers
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Poser et effectuer des multiplications d’un nombre décimal par un nombre entier inférieur à 10
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Poser et effectuer des divisions euclidiennes avec un diviseur à un chiffre
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La résolution de problèmes
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La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à
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résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de résolution de problèmes en quatre
|
||
phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les
|
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éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté :
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||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi
|
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finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation
|
||
de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves
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||
n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement
|
||
des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés
|
||
comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.
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||
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||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché.
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||
Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à
|
||
utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu.
|
||
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||
Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est
|
||
proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
|
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||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en
|
||
communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter
|
||
une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de
|
||
jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est
|
||
supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m
|
||
pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
|
||
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.
|
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||
Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM1, à savoir les nombres entiers
|
||
jusqu’à 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure
|
||
mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge
|
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cognitive et de permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème.
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Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires,
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à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise.
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||
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le
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programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.
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Objectifs d’apprentissage
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Résoudre des problèmes additifs en une étape des types « parties-tout » et « comparaison »
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Résoudre des problèmes additifs en deux ou trois étapes
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Résoudre des problèmes multiplicatifs de type « parties-tout » en une étape
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Résoudre des problèmes de comparaison multiplicative
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Résoudre des problèmes mixtes en deux ou trois étapes
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Résoudre des problèmes de dénombrement
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Résoudre des problèmes d’optimisation
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Algèbre
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L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à
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résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres
|
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par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi
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||
amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de
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symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée.
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Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par des symboles dans deux cas de figure. D’une part
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dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut écrire pour traduire que
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2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 euros. D’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et
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représente différentes valeurs que le nombre peut prendre ; par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la
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livraison est 5 € alors, quel que soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le
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nombre de tee-shirts achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des
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schémas en barre dans le cadre de la résolution de problèmes.
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Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son
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résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion
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d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 – … = 6 × 8 ».
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Objectifs d’apprentissage
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Trouver le nombre manquant dans une égalité à trous
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Déterminer la valeur d’un nombre inconnu en utilisant un symbole ou une lettre pour le représenter
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Résoudre des problèmes algébriques
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Exécuter un programme de calcul
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Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
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Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive
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Cours moyen deuxième année
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Les nombres entiers
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Au CM2, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la
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numération se renforce et s’étend avec l’introduction de trois nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée : ceux des millions, des
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dizaines de millions et des centaines de millions. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM2 concernent les
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nombres s’écrivant avec au plus neuf chiffres. Toutefois, afin de privilégier en début d’année le travail sur les fractions et les
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nombres décimaux, les nombres entiers rencontrés pendant les deux premières périodes de l’année seront ceux qui ont été
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étudiés au CM1 et qui s’écrivent avec au plus six chiffres.
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La connaissance des notions de diviseur et de multiple est renforcée en vue de leur utilisation lors de travaux sur les fractions
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(comparaison de fractions, additions et soustractions). Seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. Dans
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les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des
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multiplications.
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser les relations entre les unités de numération
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Connaître la suite écrite et la suite orale des nombres jusqu’à 999 999 999
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Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre
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Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre
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Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et >
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Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant
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Placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée
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Déterminer si un nombre entier inférieur ou égal à 10 est un diviseur d’un nombre entier donné ou si un nombre entier donné est
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un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10
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Déterminer des diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 100
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Déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 30
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Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30
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Déterminer des multiples communs à deux nombres entiers inférieurs à 15
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Les fractions
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Au CM2 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis les années précédentes.
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Les fractions sont utilisées avec différents sens :
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— comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout
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en parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ;
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— dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs, lorsque les nombres entiers ne sont
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pas suffisants ;
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— comme au CM1, le repérage de points sur une demi-droite graduée par des fractions contribue à donner aux fractions le
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statut de nombres qui s’intercalent entre les nombres entiers déjà connus ;
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— les fractions ont également le statut d’opérateur multiplicatif : au CM2, les élèves apprennent à calculer des fractions de
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quantités ou de grandeurs comme deux tiers de 12 € ou trois quarts de 100 mètres.
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Dans la continuité du CM1, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année scolaire.
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Les fractions rencontrées au CM2 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 60, hormis les fractions décimales qui peuvent
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avoir un dénominateur égal à 100 ou à 1 000.
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Objectifs d’apprentissage
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Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions
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Écrire une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1
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Écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction
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Encadrer une fraction entre deux nombres entiers consécutifs
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Placer une fraction ou la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée
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Repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction ou par la somme d’un nombre entier et d’une fraction
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Comparer des fractions
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Additionner et soustraire des fractions
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Calculer le produit d’un entier et d’une fraction
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Déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur
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Les nombres décimaux
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Au CM1, l’écriture à virgule a été présentée comme un codage conventionnel de la décomposition d’un nombre sous forme
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d’une somme de fractions décimales : l’écriture décimale 35,78 a été introduite comme un codage destiné à simplifier l’écriture
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7 8
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du nombre 35 + + . L’étude des nombres décimaux y est limitée aux dixièmes et aux centièmes.
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10 100
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Au CM2, des nombres décimaux sont rencontrés dès la période 1 dans la continuité du travail mené au CM1 aussi bien par des
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écritures fractionnaires que des écritures à virgule. L’étude des nombres décimaux s’étend aux millièmes.
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Cette section du programme entretient des liens forts avec :
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— la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ;
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— les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que
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doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ;
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— la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens.
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Objectifs d’apprentissage
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Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions décimales
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Connaître et utiliser les relations entre unités simples, dixièmes, centièmes et millièmes
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Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction
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décimale
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Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1
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Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et de fractions décimales ayant un numérateur
|
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inférieur à 10
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Comparer, encadrer, intercaler des fractions décimales en utilisant les symboles =, < et >
|
||
Ordonner des fractions décimales dans l’ordre croissant ou décroissant
|
||
Passer d’une écriture sous forme d’une fraction décimale ou de la somme de fractions décimales à une écriture à virgule et
|
||
réciproquement
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||
Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux (écriture à virgule)
|
||
Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par
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||
un nombre en écriture à virgule
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||
Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal
|
||
Comparer, encadrer, intercaler, ordonner par ordre croissant ou décroissant des nombres décimaux donnés par leur écriture à
|
||
virgule en utilisant les symboles =, < et >
|
||
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||
Le calcul mental
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|
||
L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages :
|
||
— mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;
|
||
— utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant notamment sur la
|
||
position des chiffres dans les nombres ;
|
||
— maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.
|
||
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||
Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se
|
||
renforce tout au long de l’année scolaire.
|
||
Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 et au CM1 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur
|
||
automatisation.
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||
|
||
Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. L’entraînement à une restitution rapide des résultats,
|
||
dans climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la mémorisation et l’automatisation des procédures.
|
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||
Il est par ailleurs préférable que cet entraînement soit détaché de toute pression évaluative.
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Mémoriser des faits numériques
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître des faits numériques usuels avec des entiers
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Connaître la moitié des nombres impairs jusqu’à 15
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Connaître quelques relations entre des fractions usuelles
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Connaître l’écriture décimale de fractions usuelles
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||
Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement
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Objectifs d’apprentissage
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Ajouter ou soustraire un nombre entier à un nombre décimal lorsqu’il n’y a pas de retenue
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Ajouter un nombre entier à un nombre décimal lorsqu’il y a une retenue
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Multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000
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Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000
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Apprendre des procédures de calcul mental
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Objectifs d’apprentissage
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Ajouter deux nombres décimaux inférieurs à 10, s’écrivant avec au plus un chiffre après la virgule
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Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, …, 98 ou 99 à un nombre
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||
Multiplier un nombre entier, inférieur à 10, de dizaines, de centaines ou de milliers par un nombre entier, inférieur à 10, de
|
||
dizaines, de centaines ou de milliers
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||
Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples
|
||
Calculer le double d’un nombre décimal dans des cas simples
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||
Calculer la moitié d’un nombre décimal dans des cas simples
|
||
Diviser un nombre entier par 4 ou par 8
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Multiplier un nombre décimal par 5
|
||
Multiplier un nombre décimal par 50
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||
|
||
Les quatre opérations
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||
|
||
Les quatre opérations sont mobilisées au CM2 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations.
|
||
Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres,
|
||
aux grandeurs et au calcul mental.
|
||
|
||
Des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions euclidiennes posées sont régulièrement utilisées dès le
|
||
début de l’année, quand les nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à
|
||
chaque fois que celui-ci est envisageable.
|
||
|
||
Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent cependant être distribuées par
|
||
l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile.
|
||
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||
Objectifs d’apprentissage
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||
Estimer le résultat d’une opération
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||
Savoir réaliser un calcul contenant une ou deux paires de parenthèses
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||
Poser et effectuer la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier
|
||
Poser et effectuer des divisions décimales avec un dividende entier et un diviseur à un chiffre
|
||
Poser et effectuer des divisions décimales avec un dividende décimal et un diviseur à un chiffre
|
||
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||
La résolution de problèmes
|
||
|
||
La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à
|
||
résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de la résolution de problèmes en
|
||
quatre phases, synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les
|
||
éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté :
|
||
La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi
|
||
finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation
|
||
de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves
|
||
n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement
|
||
des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés
|
||
comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction.
|
||
|
||
La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché.
|
||
Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à
|
||
utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu.
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||
Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est
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||
proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées.
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||
La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en
|
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communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter
|
||
une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de
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||
jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est
|
||
supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m
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pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble
|
||
possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions.
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Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM2, à savoir les nombres entiers
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jusqu’à 999 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure
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mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge
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cognitive et permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème.
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Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires,
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à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise.
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Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le
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programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.
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Objectifs d’apprentissage
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Résoudre des problèmes additifs en une ou plusieurs étapes
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Résoudre des problèmes multiplicatifs de type « parties-tout » en une étape
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Résoudre des problèmes mixtes en plusieurs étapes
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Résoudre des problèmes de comparaison multiplicative
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Résoudre des problèmes de dénombrement
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Résoudre des problèmes d’optimisation
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Résoudre des problèmes préparant à l’utilisation d’algorithmes
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Algèbre
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L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à
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résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres
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par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi
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amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de
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symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée.
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Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par un symbole dans deux cas de figure :
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— d’une part, dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut utiliser la représentation
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pour traduire que 2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 euros ;
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— d’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et représente différentes valeurs que le
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nombre peut prendre. Par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la livraison est 5 €, alors quel que
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soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le nombre de tee-shirts
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achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des schémas en
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barre dans le cadre de la résolution de problèmes.
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Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son
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résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion
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d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 – … = 6 × 8 ».
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Objectifs d’apprentissage
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Trouver le nombre manquant dans une égalité à trous
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Résoudre des problèmes algébriques
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Exécuter ou produire un programme de calcul
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Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres
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Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive
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Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive
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Sixième
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Les nombres entiers et décimaux
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En classe de 6e, l'étude des nombres et des opérations vise le double objectif d’élargir la compréhension de ces concepts et de
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développer des compétences en résolution de problèmes. Pour cela, les professeurs adoptent ainsi les stratégies pédagogiques
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qu’ils jugent les plus adaptées pour favoriser les progrès et la réussite des élèves.
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À l’école élémentaire, l’élève a étudié les principes de la numération décimale de position et les a appliqués aux nombres entiers
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jusqu’aux centaines de millions. En classe de 6e, le milliard est introduit, en lien avec les champs « Organisation et gestion de
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données » et « Grandeurs et mesures », où des activités peuvent mobiliser de très grands nombres, par exemple dans le cadre de
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la démographie ou de distances dans l’Univers.
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En classe de 6e, l’élève consolide sa compréhension des nombres décimaux et utilise leurs différentes écritures apprises au cours
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moyen. À celles-ci vient s’ajouter l’écriture sous forme de pourcentage.
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Par le biais d’activités rituelles de calcul et la verbalisation de procédures, l’élève mémorise des connaissances et des procédures
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en vue de leur automatisation.
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Le sens des opérations étudiées au cours moyen s’élargit avec l’introduction de la multiplication de deux nombres décimaux.
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Cette notion requiert de dépasser la conception de la multiplication comme une addition itérée. La compréhension du nouveau
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sens ainsi attribué à la multiplication gagne, dans un premier temps, à prendre appui sur le calcul de l’aire d’un rectangle et de
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conversions d’unités. Dans un deuxième temps, l’élève apprend à décomposer les nombres pour se ramener au produit de deux
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nombres entiers et à appliquer les propriétés de commutativité et d’associativité de la multiplication. Même si leur nom n’est pas
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||
mentionné par le professeur, celui-ci doit les expliciter au début de l’apprentissage, et au-delà si nécessaire. Dans un troisième
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temps, l’élève automatise le positionnement de la virgule dans le résultat de la multiplication. Le recours systématique à un ordre
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de grandeur lui permet de contrôler le résultat.
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Les différents sens de la division (division partition pour calculer la valeur d’une part et division quotition pour calculer le nombre
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de parts égales) sont mobilisés dans le cadre de la résolution de problèmes, en complément avec le travail de la technique de la
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||
division posée (division euclidienne et division décimale), dans des cas simples précisés dans le programme. Lors de la résolution
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d’un problème mettant en jeu des nombres dépassant ce cadre, l’élève peut utiliser une calculatrice.
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Automatismes
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1 1 1
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L’élève restitue de manière automatique les résultats suivants, relatifs aux relations entre ; ; et 1 :
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1 000 100 10
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10 100 1 000 1 10 100 1 10 1 1 1 1
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1= = = ; = = ; = ; 1 = 10 × = 100 × ; = 10 × .
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10 100 1 000 10 100 1 000 100 1 000 10 100 10 100
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1 1 1
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||
L’élève restitue de manière automatique les équivalences d’écriture suivantes : = 0,1 ; = 0,01 ; = 0,001.
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10 100 1 000
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L’élève passe de manière automatique d’une écriture sous forme de fraction décimale ou de somme de fractions décimales à
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une écriture décimale, et inversement.
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4 107 107 1 7
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||
Par exemple, il sait que les écritures ;4+ ;4+ + ; 4,107, représentent le même nombre.
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1 000 1 000 10 1 000
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L’élève applique de manière automatique la procédure de multiplication d’un nombre décimal par 1, par 10, par 100 ou par 1 000,
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||
en lien avec la numération.
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Il applique de manière automatique la procédure de division d’un nombre décimal par 1, par 10, par 100 ou par 1 000.
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||
Jusqu’à l’automatisation de ces connaissances et de ces procédures, et selon les besoins des élèves, la manipulation d’un outil du
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||
type « glisse-nombres » peut compléter la verbalisation en termes d’unités de numération.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser la valeur des chiffres selon leur rang dans l’écriture d’un nombre
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Connaître les liens entre les unités de numération unité, dizaine, centaine, millier, dixième, centième, millième
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Connaître des grands nombres entiers
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Reconnaître un nombre décimal
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Connaître la définition d’un pourcentage
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Associer et utiliser différentes écritures d’un nombre décimal : écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage
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Placer sur une demi-droite graduée un point dont l’abscisse est un nombre décimal
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Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
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Comparer deux nombres décimaux
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Ordonner une liste de nombres décimaux
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Donner la valeur arrondie à l’unité, au dixième ou au centième, d’un nombre décimal
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Déterminer ou connaître la valeur arrondie de certains nombres non décimaux
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Encadrer un nombre décimal par deux nombres décimaux, intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux
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Additionner et soustraire des nombres décimaux
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Multiplier un nombre entier ou un nombre décimal par 0,1, par 0,01, et par 0,001
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Connaître le lien avec la division par 10, 100 et par 1 000
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Comprendre le sens de la multiplication de deux nombres décimaux
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Calculer le produit de deux nombres décimaux
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Contrôler les résultats à l’aide d’ordres de grandeur
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Résoudre des problèmes mettant en jeu des multiplications entre des nombres décimaux
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Diviser un nombre décimal par un nombre entier non nul inférieur à 10
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Résoudre des problèmes mettant en jeu des divisions décimales
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Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier inférieur à 100
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Résoudre des problèmes mettant en jeu des divisions euclidiennes
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
|
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Des activités fondées sur l’histoire des mathématiques permettent à l’élève de renforcer sa culture générale et de prendre du
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recul sur ses connaissances des nombres entiers ou décimaux.
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Par exemple :
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— la découverte d’écritures des nombres à partir de lettres ou de dessins : numérations acrophoniques grecque, romaine,
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||
hiéroglyphique égyptienne ;
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— la découverte d’algorithmes opératoires, développés dans plusieurs traditions mathématiques, comme la multiplication
|
||
par jalousies ou en tableau ;
|
||
— la manipulation d’abaques à jetons ou de bouliers pour remobiliser le principe de la numération et la notion de « base
|
||
de numération » ;
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||
— la découverte de la numération sexagésimale paléo-babylonienne, qui repose sur les mêmes principes mathématiques
|
||
que le système utilisé pour exprimer des durées en heures, minutes et secondes. Le passage de ce système de
|
||
numération au système décimal (et vice versa) est un autre contexte que celui des durées pour travailler la division
|
||
euclidienne ;
|
||
— la découverte de l’écriture des nombres décimaux utilisée par Simon Stevin de Bruges pour illustrer le lien entre
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||
numération décimale et fractions décimales.
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Les fractions
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Tout au long de la classe de 6e, l'étude des fractions s'intègre à la résolution de problèmes, permettant ainsi de concrétiser le
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sens de quotient attribué à cette notion.
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L’étude des fractions à l’école élémentaire, débutant dès le CE1, s’est appuyée sur des manipulations et des représentations
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||
variées pour familiariser l’élève avec plusieurs des sens qui sont attribués à une fraction. Le premier sens, communément appelé
|
||
« partie d’un tout », consiste à prendre un « tout » de référence (une pizza fictive, une bande de papier, un morceau de ficelle,
|
||
etc.), à le partager en parts égales et à prendre un certain nombre de ces parts. Si cette conception est intuitive pour les élèves,
|
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elle présente des difficultés lorsqu’il s’agit d’aborder des fractions supérieures à 1.
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1
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Au CM1, les élèves ont appris que la fraction unitaire est considérée comme une nouvelle unité de mesure.
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4
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7 1 1 1 1 1 1 1
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Une fraction comme , est définie comme la somme + + + + + + , ce qui nécessite de considérer sept quarts alors que
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4 4 4 4 4 4 4 4
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l’unité de référence n’en contient que quatre. Si une bande de papier est graduée en quarts, toute fraction, inférieure ou
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||
3
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supérieure à 1, correspond alors à un certain nombre de graduations : 3 graduations pour la fraction et 7 graduations pour la
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4
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7
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fraction . Cette conception « mesure » de la fraction permet également de mieux appréhender le produit d’un entier par une
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4
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1
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fraction comme 7 × .
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4
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En classe de 6e, la fraction acquiert un nouveau sens : celui de quotient. L’objectif est de faire comprendre aux élèves qu’une
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||
3
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fraction, par exemple , ne représente pas seulement 3 quarts d’une unité de référence, mais aussi le quart de 3, considéré
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||
4
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||
comme « tout » à diviser en 4 parts égales. Ce sens de quotient, qui fait explicitement le lien avec la division, est introduit par des
|
||
manipulations comme le partage d’une bande de papier ou d’un morceau de ficelle. Si ces manipulations sont simples pour des
|
||
partages en 2, 3, 4, voire 6 ou 8 parties égales d’une bande de longueur 3 cm, elles deviennent plus complexes pour des divisions
|
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3 3 3
|
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en 5, 7 ou 11 parts pour illustrer le sens quotient des fractions , , . Les élèves peuvent alors utiliser un réseau de droites
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||
5 7 11
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parallèles équidistantes, communément appelé « guide-âne ».
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||
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Ces manipulations et le lien avec la division permettent à l’élève de comprendre la définition du quotient d’un entier a par un
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a
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entier b non nul et le nouveau sens de la fraction . Cette définition est mobilisée dans la résolution d’égalités à trous, qui
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b
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préfigurent celle de l’équation a × x = b, ouvrant ainsi la voie à la pensée algébrique.
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1 1
|
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Les élèves, déjà familiarisés à l’écriture multiplicative 7 × , comprennent qu’elle représente le même nombre que × 7, en
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4 4
|
||
1
|
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référence à l’aire d’un rectangle dont les mesures, dans une unité donnée, sont 7 et . Par ailleurs, une multiplication du type
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4
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1
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× 7 sert à exprimer le quart de 7, introduisant une autre conception de la fraction, celle d’opérateur multiplicatif. Cet autre
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||
4
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sens a déjà été abordé au cours moyen où la fraction opérait sur une quantité.
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||
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En classe de 6e, la fraction opère également sur un nombre, notamment quand elle est exprimée sous forme de pourcentage.
|
||
Parallèlement à l’approfondissement et à l’extension du sens attribué à une fraction, les techniques opératoires sont entretenues
|
||
et, comme déjà mentionné, s’élargissent avec la multiplication entre une fraction et un entier. Dans la continuité du cours
|
||
moyen, les élèves comparent des fractions, notamment en termes d’égalité.
|
||
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||
Pour favoriser ces apprentissages, l’explicitation des procédures par le professeur et leur verbalisation par les élèves, l’utilisation
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||
de représentations variées et la mise à disposition de matériel de manipulation pour les élèves qui en ont besoin sont
|
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indispensables.
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Automatismes
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L’élève sait reconnaître une fraction sur des représentations variées, par exemple :
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1 1 3 1 1
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L’élève connaît des relations entre , , et 1, et complète de manière automatique des « égalités à trous » du type : + = … ;
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4 2 4 2 2
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1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1
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+ = …;1– =…; + =…;1– =…; + =…; – =…; – =….
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4 4 4 2 4 2 4 4 2 4 4 4
|
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L’élève sait passer de manière automatique d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale, et inversement, dans les cas
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1 1 3 3 4 5
|
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suivants : = 0,25 ; = 0,5 ; = 0,75 ; = 1,5 ; = 2 ; = 2,5.
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||
4 2 4 2 2 2
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|
||
Les notions de diviseur et de multiple et les tables de multiplication sont réactivées en vue de leur utilisation dans le calcul sur les
|
||
fractions (simplification, addition et soustraction).
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2 3
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L’élève sait calculer de 12 œufs, de 10 m.
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3 4
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Connaissances et capacités attendues
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Le sens quotient d’une fraction
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Objectifs d’apprentissage
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Relier une fraction au résultat exact de la division de son numérateur par son dénominateur
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Comprendre et connaître la définition du quotient d’un entier a par un entier b non nul
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Compléter des égalités à trous multiplicatives
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Placer une fraction sur une demi-droite graduée dans des cas simples
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Graduer un segment de longueur donnée
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a
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Savoir que la fraction peut représenter un nombre entier, un nombre décimal non entier ou un nombre non décimal
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||
b
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La fraction comme opérateur multiplicatif
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En 6e, l’objectif est de faire opérer une fraction, non seulement sur une quantité ou sur une grandeur comme au cours moyen,
|
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mais également sur un nombre entier, ce qui constitue un niveau d’abstraction plus élevé.
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser une multiplication pour appliquer une fraction à un nombre entier
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Comparer des fractions
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Objectifs d’apprentissage
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Établir des égalités de fractions
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Comparer et encadrer des fractions
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Ordonner une liste de nombres écrits sous forme de fractions ou de nombres mixtes
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Effectuer des opérations sur les fractions
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Objectifs d’apprentissage
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Additionner et soustraire des fractions
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Multiplier une fraction par un nombre entier
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Résoudre des problèmes mettant en jeu des fractions
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Inventer des problèmes mettant en jeu des fractions
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Pourcentages
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Objectifs d’apprentissage
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Comprendre le sens d’un pourcentage
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Calculer une proportion (rapport entre une partie et le tout) et l’exprimer sous forme de pourcentage dans des cas simples
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Appliquer un pourcentage à une grandeur ou à un nombre
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Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles
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L’élève découvre les contextes historiques (impôt, héritage, cadastre) qui ont conduit à la notion de fraction ainsi que leurs
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||
différentes écritures avant l’utilisation de la barre de fraction.
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||
Il comprend pourquoi une fraction a été appelée nombre rompu, nombre cassé ou encore nombre coupé.
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Algèbre
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En classe de 6e, la pensée algébrique est une approche qui pose les bases d’un raisonnement à la fois logique et abstrait, et
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permet aux élèves de commencer à s’éloigner des calculs numériques pour explorer des concepts plus généraux. Cette
|
||
introduction reste ancrée dans des situations concrètes et visuelles, afin de rendre ces idées accessibles et progressives.
|
||
|
||
La pensée algébrique est une manière de réfléchir et de résoudre des problèmes mathématiques en utilisant des outils et des
|
||
concepts qui ne nécessitent pas toujours la connaissance exacte des nombres. Elle consiste à raisonner sur les relations entre des
|
||
quantités plutôt que sur les valeurs elles-mêmes.
|
||
|
||
Pour faciliter cette transition, les élèves utilisent des représentations visuelles et des outils qui rendent les concepts abstraits plus
|
||
concrets, tels que les motifs évolutifs et les schémas en barre. Progressivement, les élèves passent d’un raisonnement purement
|
||
concret à un raisonnement symbolique. Dans un premier temps, les quantités inconnues sont exprimées à l’aide de mots, de
|
||
dessins ou éventuellement de lettres. Ce n’est qu’au cycle 4 que les lettres seront introduites de manière formelle. Ce passage à
|
||
l’abstraction doit se faire avec soin, car il n’est pas un objectif prioritaire en 6e. La pensée algébrique ne se limite pas à un
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||
domaine spécifique : elle irrigue l’ensemble du programme de mathématiques. Elle est mobilisée dans des situations variées.
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Résoudre des problèmes mettant en jeu des nombres inconnus
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser des modèles pré-algébriques pour résoudre des problèmes algébriques
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Identifier la structure d’un motif évolutif en repérant une régularité et en identifiant une structure
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Grandeurs et mesures
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Cours moyen première année
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Le travail sur les grandeurs et les mesures est mené dans la continuité de ce qui a été fait au cycle 2.
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Les longueurs, les masses et les contenances permettent de nourrir le travail mené sur les fractions et les nombres décimaux. Ces
|
||
nombres permettent en effet de mesurer des grandeurs quand les entiers ne suffisent plus.
|
||
|
||
Les connaissances et les savoir-faire sur les mesures de longueur, de masse et de contenance sont réinvestis dans le cadre de
|
||
l’enseignement de la résolution de problèmes, notamment de ceux qui relèvent de la proportionnalité. L’estimation de
|
||
longueurs, de masses et de contenances contribue à développer un regard critique sur les résultats obtenus lors de la résolution
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||
de problèmes pour valider la vraisemblance des résultats trouvés.
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|
||
Les connaissances et les savoir-faire sur les longueurs sont également mobilisés en géométrie plane lors de constructions.
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|
||
Un tableau peut être utilisé pour présenter les différentes unités multiples et sous-multiples du mètre, du gramme ou du litre et
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||
leurs relations, par exemple, les unités de masse allant du milligramme à la tonne. Cependant, au cours moyen, les élèves
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||
n’utilisent pas de tableaux pour effectuer des conversions ; ils s’appuient sur les relations connues entre les unités en jeu, comme
|
||
par exemple : « 3,5 mètres est égal à 350 centimètres, car 1 mètre est égal à 100 centimètres. ». Les tâches de conversion
|
||
contribuent ainsi à renforcer la compréhension et la maîtrise de la numération décimale.
|
||
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||
L’aire est introduite au CM1, en suivant la même progressivité que pour les autres grandeurs au cycle 2 : les élèves abordent cette
|
||
notion en comparant des surfaces selon leur aire sans utiliser de mesures, puis ils apprennent à déterminer des aires en utilisant
|
||
une unité et un quadrillage.
|
||
|
||
Il n’est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres ou d’aires de figures planes au CM1, l’enseignement privilégiant
|
||
l’acquisition de leur sens et la détermination de mesures s’appuyant sur des pavages. Cependant, les élèves peuvent établir eux-
|
||
mêmes des règles de calcul et les utiliser, comme par exemple le fait que le périmètre d’un carré est le quadruple de la longueur
|
||
de l’un de ses côtés.
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||
|
||
Au cycle 2, les élèves ont commencé à évoquer les angles dans le cadre de travaux sur les polygones en parlant d’angle droit. Au
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||
CM1, le travail sur la grandeur « angle » se généralise en comparant des angles. Au cours moyen, les élèves ne travaillent qu’avec
|
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des angles saillants.
|
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||
Le travail sur le repérage dans le temps et sur les durées s’appuie sur ce qui a été mené au cycle 2 et vise une parfaite
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||
compréhension des unités que sont les heures et les minutes et des relations qui les lient. Des problèmes en une ou plusieurs
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||
étapes, utilisant des ressources variées, sont proposés régulièrement pour renforcer l’aptitude à effectuer des calculs avec les
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unités « heure » et « minute ».
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Les longueurs
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser les unités de longueur du millimètre au kilomètre et les symboles associés
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Connaître les relations entre les unités de longueur
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Choisir une unité adaptée pour exprimer une longueur
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Comparer des longueurs
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Disposer de quelques longueurs de référence
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Estimer la longueur d’un objet ou d’une distance
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Savoir ce qu’est le périmètre d’une figure plane
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Déterminer le périmètre d’un polygone en utilisant une règle graduée
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Résoudre des problèmes mettant en jeu les longueurs des côtés d’un polygone et son périmètre
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Les masses
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser les unités de masse du milligramme au kilogramme et la tonne, et les symboles associés
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Connaître les relations entre les unités de masse
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Choisir une unité adaptée pour exprimer une masse
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Comparer des masses
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Disposer de quelques masses de référence
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Estimer la masse d’un objet
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Les contenances
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser les unités de contenance du millilitre à l’hectolitre et les symboles associés
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Connaître les relations entre les unités de contenance
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Choisir une unité adaptée pour exprimer une contenance
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Comparer des contenances
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Les aires
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Objectifs d’apprentissage
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Comparer les aires de différentes figures planes
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Déterminer des aires
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Connaître et utiliser les centimètres carrés pour exprimer des aires
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Les angles
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser le lexique spécifique associé aux angles
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Comprendre et utiliser les notations des angles
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Comparer des angles
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Le repérage dans le temps et les durées
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Objectifs d’apprentissage
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Lire l’heure sur une horloge à aiguilles
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Positionner les aiguilles d’une horloge correspondant à une heure donnée en heure et minute
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Comparer et mesurer des durées écoulées entre deux instants affichés sur une horloge (instants et durées sont exprimés en
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heure et minute)
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Résoudre des problèmes à une ou deux étapes impliquant des durées
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Cours moyen deuxième année
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Au CM2, les connaissances des grandeurs rencontrées précédemment se renforcent progressivement. Cela s’opère
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principalement dans le cadre de la résolution de problèmes, mais également grâce à des exercices plus courts, qui peuvent être
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effectués à l’oral. Le travail mené contribue à donner du sens aux unités de mesure rencontrées, notamment à travers des
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estimations de mesures pour des objets manipulés, mais aussi pour des éléments non manipulables (distance entre deux villes,
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durée d’un film, volume d’eau d’une piscine, etc.).
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Le travail sur la proportionnalité est aussi une occasion de renforcer les connaissances des élèves sur les grandeurs et leurs
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mesures.
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Un tableau peut être utilisé pour présenter les différentes unités multiples et sous-multiples du mètre, du gramme ou du litre et
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leurs relations. Par exemple, les unités de masse allant du milligramme à la tonne. Cependant, au cours moyen, les élèves
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n’utilisent pas de tableaux pour effectuer des conversions ; ils s’appuient sur les relations connues entre les unités en jeu, comme
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par exemple : « 3,5 mètres est égal à 350 centimètres car 1 mètre est égal à 100 centimètres. ». Les tâches de conversion
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contribuent ainsi à renforcer la compréhension et la maîtrise de la numération décimale.
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Il n’est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres de figures planes au CM2, l’enseignement privilégiant
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l’acquisition du sens. Cependant, les élèves peuvent établir eux-mêmes des règles de calcul et les utiliser, comme par exemple le
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fait que le périmètre d’un carré est le quadruple de la longueur de l’un de ses côtés.
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Le travail sur les angles, amorcé au CM1, se poursuit au CM2. L’unité degré est introduite à partir de la mesure de l’angle droit.
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L’utilisation d’un instrument de mesure des angles (rapporteur) ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège. Au cours
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moyen, les élèves ne travaillent qu’avec des angles saillants.
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Au CM2, la compréhension du système sexagésimal (base soixante) utilisé pour les unités de durée s’étend avec l’introduction
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des secondes. Les unités de durée sont régulièrement utilisées dans divers cadres (EPS, travail sur la fluence en lecture ou en
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calcul, sciences, etc.). Des problèmes en une ou plusieurs étapes, utilisant des ressources variées, sont proposés régulièrement
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pour renforcer l’aptitude à effectuer des calculs avec les unités heure, minute et seconde.
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Les aires
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Objectifs d’apprentissage
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Comparer les aires de différentes figures planes
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Déterminer des aires
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Connaître et utiliser les unités centimètre carré, décimètre carré et mètre carré pour exprimer des aires
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Convertir des aires entre différentes unités
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Déterminer l’aire d’un carré ou d’un rectangle
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Les angles
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Objectifs d’apprentissage
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Utiliser le lexique spécifique associé aux angles
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Comprendre et utiliser les notations des angles
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Comparer des angles
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Construire un angle égal à la somme de deux angles donnés ou un angle multiple d’un angle donné
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Construire par pliage la moitié d’un angle donné
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Savoir qu’un angle droit mesure 90°
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Le repérage dans le temps et les durées
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Objectifs d’apprentissage
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Lire l’heure sur une horloge à aiguilles
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Positionner les aiguilles d’une horloge correspondant à une heure donnée en heure, minute et seconde
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Comparer et mesurer des durées écoulées entre deux instants affichés sur une horloge (instants et durées sont exprimés en
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heure, minute et seconde)
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Résoudre des problèmes à une ou plusieurs étapes impliquant des durées
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Sixième
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En classe de 6e, l’élève renforce ses connaissances du cours moyen sur les grandeurs et les mesures à travers l’automatisation de
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certains résultats et la résolution de problèmes. Ce domaine permet d’établir des liens avec les notions figurant dans les champs
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« Géométrie », « Nombres et calculs » et « Proportionnalité ».
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L’élève apprend à calculer le périmètre d’un disque (également désigné comme périmètre d’un cercle par abus de langage qui
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sera toléré pour l’élève) et à effectuer des conversions d’unités d’aire. Les formules du périmètre d’un carré, d’un rectangle, d’un
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disque et celles de l’aire d’un carré ou d’un rectangle s’installent progressivement. Ces formules constituent une première
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sensibilisation au calcul littéral. L’élève substitue une valeur numérique à une lettre pour calculer, en situation, un périmètre ou
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une aire.
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Il découvre l’unité de volume cm3. En lien avec les problèmes de dénombrement d’assemblages de cubes, il détermine des
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volumes.
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Le travail sur les mesures d’angle est intégré au champ « Géométrie », dans lequel on traite simultanément l’objet géométrique
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« angle » et la mesure de la grandeur « angle ».
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Concernant les durées, les élèves résolvent des problèmes mobilisant des conversions entre le système décimal et le système
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sexagésimal, consolidant leurs compétences en gestion des unités de temps.
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Les longueurs
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Automatismes
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L’élève connaît les significations des préfixes allant du kilo- au milli-, ainsi que les relations entre le mètre, ses multiples et ses
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sous-multiples, et fait le lien avec les unités de numération du système décimal.
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L’élève connaît les relations entre deux unités successives du système décimal, par exemple : 1 dm = 10 cm et
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1
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1 cm = dm = 0,1 dm.
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10
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L’élève sait convertir en mètre une longueur donnée dans une autre unité, multiple ou sous-multiple du mètre. Inversement,
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l’élève sait convertir dans une unité donnée une longueur exprimée en mètre.
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L’élève sait utiliser le compas comme outil de report de longueurs.
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Il sait que le périmètre d’une figure plane est la longueur de son contour. L’élève sait calculer le périmètre d’un carré et d’un
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rectangle.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Savoir que le périmètre du disque est proportionnel à son diamètre
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Connaître la formule du périmètre d’un disque
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Calculer le périmètre d’un disque
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Calculer des périmètres de figures composées
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Résoudre des problèmes impliquant des longueurs
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Les aires
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Automatismes
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L’élève sait comparer des aires sans avoir recours à la mesure, par superposition ou par découpage et recollement de surfaces.
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L’élève sait que 1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté, que 1 m² est l’aire d’un carré de 1 m de côté, que 1 dm² est l’aire d’un
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carré de 1 dm de côté.
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Dans des cas simples, l’élève sait déterminer l’aire d’une surface en s’appuyant sur un quadrillage composé de carreaux dont les
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côtés mesurent 1 cm.
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L’élève sait que : 1 m2 = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 10 × 10 dm2 = 100 dm2 ;
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1 dm2 = 1 dm × 1 dm = 10 cm × 10 cm = 10 × 10 cm2 = 100 cm2.
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1
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||
L’élève mémorise que 1 cm² est égal à un centième de 1 dm², qu’il écrit 1 cm² = dm2 ou 1 cm2 = 0,01 dm2.
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100
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||
1
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||
L’élève mémorise que 1 dm² est égal à un centième de 1 m², qu’il écrit 1 dm² = m2 ou 1 dm² = 0,01 m2.
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100
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Effectuer des conversions d’aire
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Connaître la formule de l’aire d’un carré ou d’un rectangle
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Calculer l’aire d’un carré ou d’un rectangle
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Les volumes
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître l’unité centimètre cube
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Comparer des volumes
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Déterminer un volume
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Le repérage dans le temps et les durées
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Automatismes
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— L’élève lit l’heure sur un cadran à aiguilles ou sur un affichage digital (heures, minutes et secondes).
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— L’élève place les aiguilles pour qu’une horloge indique une heure donnée.
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— L’élève connaît les unités de mesure de durées jour, heure, minute et seconde et les relations qui les lient.
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— L’élève sait combien de jours il y a dans une année (bissextile ou non), combien d’années il y a dans un siècle, et dans un
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millénaire.
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— L’élève sait qu’une demi-heure c’est 30 minutes, qu’un quart d’heure c’est 15 minutes, que trois quarts d’heure c’est
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45 minutes.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Effectuer des calculs sur des horaires et des durées
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Résoudre des problèmes impliquant des horaires et des durées
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Convertir des durées
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Mises en perspective historiques et culturelles
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L’élève découvre l’histoire et le fonctionnement de différents types de calendriers : solaires, lunaires ou luni-solaires. Il comprend
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||
le lien entre les calendriers julien et grégorien et les différentes approximations de la valeur de l’année tropique.
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||
Selon ses intérêts et ses besoins, l’élève peut également s’interroger sur les moyens de partager le temps, découvrir les
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clepsydres (horloges à eau) ou d’autres instruments historiques et interculturels (grecs, arabes, chinois).
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Espace et géométrie
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Cours moyen première année
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La géométrie plane
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Dans la continuité des apprentissages du cycle 2, l’acquisition des connaissances sur les figures de référence et sur les relations
|
||
géométriques se poursuit lors de descriptions, de constructions et de résolutions de problèmes.
|
||
|
||
Il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage précis utilisant le vocabulaire géométrique
|
||
approprié et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Ce vocabulaire prend son sens grâce aux
|
||
constructions et aux problèmes proposés.
|
||
|
||
Si l’enseignant utilise de manière rigoureuse les notations usuelles avec des parenthèses pour la droite (AB), des crochets pour le
|
||
segment [AB], une parenthèse et un crochet pour la demi-droite [AB), et aucune parenthèse pour la longueur AB, aucune
|
||
connaissance de ces conventions n’est exigible pour les élèves : les consignes explicitent donc systématiquement les symboles
|
||
utilisés. Par exemple, il ne sera pas demandé aux élèves de « tracer [AB] », mais de « tracer le segment [AB] ».
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage
|
||
Utiliser le vocabulaire géométrique approprié dans le contexte d’apprentissage des notions correspondantes
|
||
Utiliser les outils géométriques usuels : règle, règle graduée, équerre et compas
|
||
Connaître les codes usuels utilisés en géométrie
|
||
Décrire et reconnaître un cercle et un disque comme un ensemble de points caractérisés par leur distance à un point donné
|
||
Reconnaître et utiliser la notion de perpendicularité
|
||
Reconnaître et utiliser la notion de parallélisme
|
||
Reconnaître et nommer les figures suivantes en faisant référence à leur définition : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle,
|
||
triangle équilatéral, quadrilatère, carré, rectangle et losange
|
||
Connaître les propriétés de parallélisme des côtés opposés, des égalités de longueurs et d’angles pour les figures usuelles :
|
||
triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, carré, rectangle et losange.
|
||
Reproduire ou construire un carré, un rectangle, un triangle, un triangle rectangle ou un cercle ou des assemblages de ces figures
|
||
sur tout support (papier quadrillé, pointé ou uni), avec une règle graduée, une équerre ou un compas.
|
||
Construire une figure géométrique composée de segments, de droites, de polygones usuels et de cercles.
|
||
Reconnaître si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie
|
||
Compléter une figure pour la rendre symétrique par rapport à une droite donnée, horizontale ou verticale
|
||
Construire, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite horizontale ou verticale
|
||
|
||
Les solides
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||
|
||
Les connaissances et les savoir-faire attendus se construisent à partir de résolutions de problèmes associées à une verbalisation
|
||
mobilisant le vocabulaire géométrique : il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage précis
|
||
utilisant le vocabulaire géométrique approprié et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Les
|
||
élèves doivent pouvoir justifier la nature géométrique d’un polyèdre en ayant recours aux propriétés géométriques de ses faces.
|
||
|
||
Au CM1, la liste des solides connus des élèves s’enrichit avec l’introduction du prisme droit. La connaissance des solides continue
|
||
à se développer lors d’activités de construction, de description et de classements d’objets. Les élèves travaillent avec des solides
|
||
en trois dimensions, mais aussi avec leurs représentations en perspective. Ils comprennent que certaines faces, certaines arêtes
|
||
et certains sommets ne sont pas visibles dans de telles représentations et que les arêtes non visibles sont éventuellement tracées
|
||
en pointillés. S’ils ne construisent pas eux-mêmes de telles représentations, ils savent néanmoins identifier un solide à partir
|
||
d’une représentation en perspective.
|
||
|
||
Dans ce programme, le terme « pavé » est utilisé pour désigner le parallélépipède rectangle. En classe, les termes « pavé droit »
|
||
ou « pavé » peuvent être utilisés indifféremment.
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage
|
||
Nommer un cube, une boule, un pavé, un cône, une pyramide, un cylindre et un prisme droit
|
||
Décrire un cube, un pavé, une pyramide et un prisme droit en faisant référence à des propriétés et en utilisant le vocabulaire
|
||
approprié
|
||
Connaître le nombre et la nature des faces d’un cube ou d’un pavé
|
||
Connaître la nature des faces d’une pyramide
|
||
Connaître la nature des faces d’un prisme droit
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||
Construire un cube, un pavé, une pyramide ou un prisme droit
|
||
Reconnaître un patron d’un cube
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||
Construire un patron d’un cube
|
||
|
||
Le repérage dans l’espace
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||
Objectifs d’apprentissage
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||
Connaître et utiliser le vocabulaire lié aux déplacements
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||
Comprendre, utiliser et produire une suite d’instructions qui décrivent un déplacement en utilisant un vocabulaire spatial précis
|
||
Résoudre des problèmes portant sur des assemblages de cubes
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||
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||
|
||
Cours moyen deuxième année
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||
La géométrie plane
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||
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||
L’acquisition des connaissances sur les figures de référence et sur les relations géométriques se poursuit lors de descriptions, de
|
||
constructions et de résolutions de problèmes.
|
||
|
||
Il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage adéquat utilisant un vocabulaire géométrique
|
||
précis et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Ce vocabulaire prend son sens grâce aux
|
||
constructions et aux problèmes proposés.
|
||
|
||
Si l’enseignant utilise de manière rigoureuse les notations usuelles avec des parenthèses pour la droite (AB), des crochets pour le
|
||
segment [AB], une parenthèse et un crochet pour la demi-droite [AB) et aucune parenthèse pour la longueur AB, aucune
|
||
connaissance de ces conventions n’est exigible pour les élèves : les consignes expliciteront donc systématiquement les symboles
|
||
utilisés. Par exemple, il ne sera pas demandé aux élèves de « tracer [AB] », mais de « tracer le segment [AB] ».
|
||
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||
Objectifs d’apprentissage
|
||
Utiliser le vocabulaire géométrique approprié dans le contexte d’apprentissage des notions correspondantes
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||
Utiliser les outils géométriques usuels : règle, règle graduée, équerre et compas
|
||
Connaître les notations et les codes usuels utilisés en géométrie
|
||
Reconnaître et utiliser la notion de perpendicularité
|
||
Reconnaître et utiliser la notion de parallélisme
|
||
Décrire et reconnaître un cercle et un disque comme un ensemble de points caractérisés par leur distance à un point donné
|
||
Reconnaître et nommer les figures suivantes en s’appuyant sur leur définition : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle,
|
||
triangle équilatéral, quadrilatère, carré, rectangle, losange, trapèze, trapèze rectangle, pentagone et hexagone
|
||
Connaître les propriétés de parallélisme des côtés opposés, des égalités de longueurs et d’angles pour les figures usuelles :
|
||
triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, carré, rectangle, losange, trapèze et trapèze rectangle
|
||
Reproduire ou construire un carré, un rectangle, un triangle, un triangle rectangle ou un cercle ou des assemblages de ces figures
|
||
sur tout support (papier quadrillé, pointé ou uni), avec une règle graduée, une équerre ou un compas.
|
||
Construire une figure géométrique composée de segments, de droites, de polygones usuels et de cercles
|
||
Élaborer un programme de construction
|
||
Construire, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite verticale, horizontale ou une
|
||
diagonale du quadrillage
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||
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||
Les solides
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||
|
||
Les connaissances et les savoir-faire attendus se construisent à partir de résolutions de problèmes associées à une verbalisation
|
||
mobilisant le vocabulaire géométrique : il est particulièrement important que le professeur s’exprime dans un langage précis
|
||
utilisant le vocabulaire géométrique approprié et qu’il encourage les élèves à se l’approprier et, progressivement, à l’utiliser. Les
|
||
élèves doivent pouvoir justifier la nature géométrique d’un polyèdre en ayant recours aux propriétés géométriques de ses faces.
|
||
|
||
Au CM2, les élèves travaillent avec des solides en trois dimensions, mais aussi avec des représentations en perspective. La
|
||
connaissance des solides continue à se développer à travers des activités de construction, de description et de classements
|
||
d’objets. Ils comprennent que certaines faces, certaines arêtes et certains sommets ne sont pas visibles dans de telles
|
||
représentations et que les arêtes non visibles sont éventuellement tracées en pointillés. S’ils ne construisent pas eux-mêmes de
|
||
telles représentations, ils savent néanmoins identifier un solide à partir d’une représentation en perspective.
|
||
|
||
Dans ce programme, le terme « pavé » est utilisé pour désigner le parallélépipède rectangle. En classe, les termes « pavé droit »
|
||
ou « pavé » peuvent être utilisés indifféremment.
|
||
|
||
Objectifs d’apprentissage
|
||
Nommer un cube, une boule, un pavé, un cône, une pyramide, un cylindre ou un prisme droit
|
||
Décrire un cube, un pavé, une pyramide ou un prisme droit en faisant référence à des propriétés et en utilisant le vocabulaire
|
||
approprié
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||
Reconnaître un patron d’un cube
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||
Construire un patron d’un cube
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||
Reconnaître un patron d’un pavé
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||
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Déplacements dans l’espace
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||
Objectifs d’apprentissage
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||
Connaître et utiliser le vocabulaire lié aux déplacements
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||
Comprendre, utiliser et produire une suite d’instructions qui décrivent un déplacement en utilisant un vocabulaire spatial précis
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||
Résoudre des problèmes portant sur des assemblages de cubes
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Sixième
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Étude de configurations planes
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Au cours moyen, l’élève a acquis des connaissances sur les figures géométriques de référence et sur les positions relatives de
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droites lors de descriptions, de constructions et de la résolution de problèmes. Le vocabulaire géométrique et certaines
|
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notations ont été introduits progressivement.
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En classe de 6e, les travaux géométriques de reproduction, de description et de construction se poursuivent. L’éventail des
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définitions, qui s’élargit à de nouveaux objets, permet de dégager leur caractère abstrait et universel.
|
||
|
||
Les observations et les constructions s’appuient sur des définitions et des propriétés. Le professeur peut utiliser un logiciel de
|
||
géométrie dynamique pour la visualisation de certaines constructions. Cependant, le maniement par l’élève des instruments
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||
traditionnels de la géométrie, accompagné de la verbalisation de ses démarches, sont des facteurs essentiels pour que les
|
||
constructions dépassent le statut de simples activités pour déboucher sur de véritables apprentissages et faciliter le passage à
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||
l’abstraction.
|
||
|
||
Au-delà de ces activités de construction, la présentation par le professeur et la mise en place progressive par l’élève lui-même de
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||
preuves favorisent le développement du raisonnement logique et de la pensée déductive. L’élève accède ainsi à ces facultés
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||
essentielles dans de nombreuses autres disciplines scolaires, facultés qui seront également un atout majeur dans sa future vie
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||
personnelle et professionnelle.
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La feuille de papier n’est pas le seul support aux activités géométriques : les objets de la vie courante, mais aussi l’environnement
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||
ordinaire de l’élève (la salle de classe ou la cour de récréation), s’y prêtent également. Les deux principaux sujets d’étude sont les
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||
distances et les angles, qui sont abordés à travers la manipulation, l’observation, les constructions, l’initiation au raisonnement et
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||
la mise en place de preuves. La construction d’une preuve repose sur l’élaboration et la structuration de la pensée et de la parole
|
||
individuelle, orale ou écrite, mais également sur la confrontation de ses propres idées à celles d’autrui, dans des situations de
|
||
débat ou d’entraide. Les compétences mathématiques et langagières sont ainsi développées conjointement.
|
||
Automatismes
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||
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— L’élève connaît le lexique et le codage des objets de base de la géométrie plane : angle droit, égalité de longueurs,
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égalité d’angles.
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— Il reconnaît un carré, un rectangle, un triangle.
|
||
— Il reconnaît si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie.
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||
— Il sait coder des angles droits et des longueurs égales.
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|
||
Connaissances et capacités attendues
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Distances
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser la définition de la distance entre deux points
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Connaître et utiliser la définition du milieu d’un segment
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Cercles et disques
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître les définitions d’un cercle, d’un disque, d’un rayon, d’un diamètre, d’une corde
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||
Comprendre la définition d’un cercle et celle d’un disque sous la forme d’ensembles de points
|
||
Résoudre des problèmes mettant en jeu des distances à un point
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Médiatrice d’un segment
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître la définition de la médiatrice d’un segment
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Comprendre et utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
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Résoudre des problèmes en s’appuyant sur la propriété caractéristique de la médiatrice
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Angles
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître et utiliser les angles ainsi que le lexique et les notations qui s’y rapportent : angle droit, angle plat, angle plein, angle
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nul, angle aigu, angle obtus, angles opposés par le sommet, angles adjacents, angles supplémentaires
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Mesurer un angle
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Construire un angle de mesure donnée
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Bissectrice d’un angle saillant
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître la définition de la bissectrice d’un angle saillant
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Utiliser la définition de la bissectrice d’un angle pour effectuer des constructions et résoudre des problèmes
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||
Triangles
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||
Le triangle se prête à un travail portant conjointement sur les distances et sur les angles. Le positionnement d’un triangle sur la
|
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feuille doit être varié. À l’aide du compas, l’élève remarque que la donnée de trois longueurs ne permet pas toujours de
|
||
construire un triangle.
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||
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Objectifs d’apprentissage
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||
Construire des triangles
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Connaître et utiliser les propriétés angulaires des triangles particuliers : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral
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Connaître la valeur de la somme des mesures des angles d’un triangle
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L’utiliser pour calculer des angles, effectuer des constructions et résoudre des problèmes
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Savoir que les médiatrices d’un triangle sont concourantes
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Connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle
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Symétrie axiale
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Le travail de construction réalisé au cours moyen se poursuit. Différents supports peuvent être utilisés : papier quadrillé, papier
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pointé, auxquels on ajoute le papier uni.
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître la définition du symétrique d’un point par rapport à une droite
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Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie axiale pour effectuer des constructions
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La vision dans l’espace
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En classe de 6e, la connaissance des solides étudiés au cours moyen est entretenue sous la forme d’automatismes. En
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prolongement des apprentissages déjà installés, la vision dans l’espace est consolidée à travers des activités de différentes
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natures portant sur des assemblages de cubes : passage, dans les deux sens, entre l’objet à trois dimensions et ses diverses
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représentations à deux dimensions, dénombrements.
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Automatismes
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L’élève identifie dans un ensemble de solides lesquels sont des pyramides, des boules, des cubes, des cylindres, des pavés, des
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cônes ou des prismes droits.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Voir dans l’espace des assemblages de cubes
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Organisation et gestion de données et probabilités
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Cours moyen première année
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Organisation et gestion de données
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Au CM1, les caractères statistiques étudiés peuvent être aussi bien qualitatifs comme un moyen de transport, une couleur ou un
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sport pratiqué, que quantitatifs comme le nombre de frères et sœurs, l’âge exprimé en années entières, la hauteur d’une plante
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ou la masse d’un animal.
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Les élèves résolvent des problèmes dont les données peuvent être prélevées dans des tableaux, dans des diagrammes en barres
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ou sur des courbes.
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Cette partie du programme fournit l’occasion de confronter les élèves à des données réelles relatives à des sujets d’actualité,
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comme le changement climatique, la pollution ou la perte de biodiversité.
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Les connaissances et les compétences acquises sont renforcées lors de travaux réalisés dans les autres disciplines : EPS, histoire
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et géographie, sciences et technologie, etc. Ceci permet la confrontation à divers types de données et à des représentations
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graphiques variées.
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Objectifs d’apprentissage
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Recueillir des données et produire un tableau, un diagramme en barres ou un ensemble de points dans un repère pour les
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présenter
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Lire et interpréter les données d’un tableau à simple ou double entrée, d’un diagramme en barres ou d’une courbe
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Résoudre des problèmes en une ou plusieurs étapes en utilisant les données d’un tableau à simple ou double entrée, d’un
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diagramme en barres ou d’une courbe
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Les probabilités
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Au CM1, les élèves bénéficient d’une première familiarisation avec des expériences aléatoires. Un des objectifs de cet
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enseignement est de comprendre qu’il existe des évènements dont la réalisation est certaine, d’autres dont la réalisation est
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impossible, et d’autres encore dont on ne peut pas affirmer a priori s’ils se réaliseront ou pas.
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Un autre objectif porte sur la comparaison de probabilités d’évènements. Certains évènements, comme « obtenir pile » en
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lançant une pièce de monnaie, « obtenir un nombre pair » en lançant un dé ou « obtenir une carte rouge » en tirant une carte au
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hasard dans un jeu de 32 cartes ont une chance sur deux de se réaliser, ce qui signifie que la probabilité qu’ils se réalisent est la
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même que celle qu’ils ne se réalisent pas. D’autres évènements, comme « obtenir un 2 » en lançant un dé, ont plus de chances de
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ne pas se réaliser que de se réaliser. Les élèves apprennent à estimer les probabilités d’évènements sur une échelle allant de
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« impossible » à « certain », en distinguant les évènements « peu probables » qui ont moins d’une chance sur deux de se réaliser,
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des évènements « probables » qui ont plus d’une chance sur deux de se réaliser.
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Un autre objectif de l’enseignement des probabilités au CM1 est de familiariser les élèves avec quelques modèles classiques
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d’expériences aléatoires (jet d’une pièce de monnaie, lancer de dé, tirages dans une urne, tirage d’une carte dans un jeu de 52
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cartes, etc.).
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Dans des cas simples, les élèves apprennent à recenser toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Ils découvrent ainsi
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en particulier que, selon les cas, toutes les issues peuvent avoir, ou non, la même chance de se réaliser. Ils se familiarisent ainsi
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avec la notion d’équiprobabilité.
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Objectifs d’apprentissage
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Identifier des expériences aléatoires
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Identifier toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire simple
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Comprendre et utiliser le vocabulaire approprié : « impossible », « possible », « certain », « probable », « peu probable », « une
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chance sur deux »
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Comparer des issues d’expériences aléatoires ou des évènements selon leur probabilité de réalisation
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Comprendre que ce n’est pas parce qu’il y a deux issues possibles que chacune a une chance sur deux de se réaliser
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Reconnaître des situations d’équiprobabilité
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Cours moyen deuxième année
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Organisation et gestion de données
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Au CM2 comme au CM1, les caractères statistiques étudiés peuvent être aussi bien qualitatifs comme, un moyen de transport,
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une couleur ou un sport pratiqué, que quantitatifs comme, par exemple, le nombre de frères et sœurs, l’âge exprimé en années
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entières, la hauteur d’une plante ou la masse d’un animal.
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Les élèves résolvent des problèmes dont les données peuvent être prélevées dans un texte, dans des tableaux, dans des
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diagrammes en barres, dans des diagrammes circulaires ou sur des courbes.
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Cette partie du programme est l’occasion de confronter les élèves à des données réelles relatives à des sujets d’actualité, comme
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le changement climatique, la pollution ou la perte de biodiversité.
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Les connaissances et les compétences acquises sont renforcées lors de travaux réalisés dans les autres disciplines : EPS, histoire
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et géographie, sciences et technologie, etc. Ceci permet la confrontation à divers types de données et à des représentations
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graphiques variées.
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Objectifs d’apprentissage
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Recueillir des données et produire un tableau, un diagramme en barres ou un ensemble de points dans un repère pour présenter
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des données recueillies
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Lire et interpréter les données d’un tableau, d’un diagramme en barres, d’un diagramme circulaire ou d’une courbe
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Résoudre des problèmes en une ou deux étapes en utilisant les données d’un tableau, d’un diagramme en barres, d’un
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diagramme circulaire ou d’une courbe
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Les probabilités
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Au CM2, les élèves renforcent les apprentissages du CM1.
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Dans des situations où les issues d’une expérience aléatoire sont équiprobables, les élèves apprennent à identifier et à
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dénombrer les issues correspondant à un évènement. Ces dénombrements leur permettent de quantifier les probabilités
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d’évènements, sous la forme de « a chances sur b », où a est le nombre d’issues réalisant l’évènement dont on cherche la
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probabilité et b le nombre total d’issues de l’expérience aléatoire.
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La perception de la notion d’indépendance est initiée en reproduisant une même expérience aléatoire, par exemple celle d’un
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lancer de dé, et en faisant prendre conscience aux élèves que le dé « ne se souvient pas » du résultat sorti lors du lancer
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précédent. Dans le cas d’une expérience constituée de plusieurs épreuves indépendantes, les élèves apprennent à utiliser un
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tableau à double entrée ou un arbre pour recenser, d’une part, toutes les issues possibles et, d’autre part, celles qui réalisent
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l’évènement dont on recherche la probabilité.
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Au CM2, le travail sur les probabilités est amorcé au plus tard en période 2.
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Objectifs d’apprentissage
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Identifier toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire simple
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Identifier toutes les issues réalisant un évènement dans une expérience aléatoire simple
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Dans une situation d’équiprobabilité, lors d’une expérience aléatoire simple, exprimer la probabilité d’un évènement sous la
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forme « a chances sur b »
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Comparer des probabilités dans des cas simples
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Comprendre la notion d’indépendance lors de la répétition de la même expérience aléatoire
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Dans des situations d’équiprobabilité, recenser toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire en deux étapes dans un
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tableau ou dans un arbre afin de déterminer des probabilités
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Sixième
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Organisation et gestion de données
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À l’école élémentaire, les élèves ont recueilli des données et ont construit des tableaux à simple ou double entrée, des
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diagrammes en barres ou des courbes pour les présenter. Inversement, ils ont lu et interprété des informations contenues dans
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un tableau à double entrée, un diagramme en barres, un diagramme circulaire et d’une courbe. Ils ont résolu des problèmes en
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une ou deux étapes mobilisant ces différents types de représentation.
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En classe de 6e, l’élève consolide ces notions, en menant lui-même les différentes phases d’une enquête statistique, ce qui le
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conduit à prendre des initiatives et à organiser son travail. Il est confronté à des données objectives relatives à des sujets
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d’actualité comme le changement climatique, la pollution ou la perte de biodiversité. L’interprétation de ces données sollicite
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son esprit critique et sa capacité d’argumentation. L’enseignement de cette partie du programme contribue à l’acquisition de
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connaissances et de méthodes essentielles dans d’autres disciplines telles que, par exemple, la géographie, les sciences ou
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l’éducation physique et sportive.
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Automatismes
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L’élève sait lire un tableau, un diagramme en barres, un diagramme circulaire ou une courbe dans des cas adaptés à une lecture
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immédiate.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Planifier une enquête et recueillir des données
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Réaliser des mesures et les consigner dans un tableau
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Construire un tableau simple pour présenter des données (observations, caractères)
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Faire un choix en filtrant les données d’un tableau selon un critère
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Les probabilités
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Au CM2, dans le cadre d’une situation d’équiprobabilité, les élèves ont appris à dénombrer l’ensemble des issues possibles d’une
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expérience aléatoire, ainsi qu’à identifier et à compter celles qui correspondent à un évènement. Ces dénombrements leur ont
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permis de quantifier les probabilités d’évènements, sous la forme de « a chances sur b », où a est le nombre d’issues
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correspondant à l’évènement et b le nombre total d’issues possibles de l’expérience aléatoire.
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Ils ont également travaillé sur la répétition d’une même expérience aléatoire, comme par exemple celle du lancer d’une pièce de
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monnaie, et sur la notion d’indépendance. Ils ont pris conscience que le dé « ne se souvient pas » du résultat du lancer
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précédent. Dans le cadre d’une expérience constituée de deux épreuves indépendantes, les élèves ont appris à utiliser des
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tableaux à double entrée ou des arbres pour recenser toutes les issues possibles et celles qui réalisent l’évènement dont on
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cherche la probabilité.
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En classe de 6e, un objectif majeur est de passer de la traduction d’une probabilité en termes de chances (a chances sur b) à son
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a
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expression par le nombre égal au quotient (pouvant être lu « a sur b »), qui peut s’exprimer comme une fraction, un nombre
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b
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décimal ou un pourcentage.
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L’approche fréquentiste des probabilités est également introduite. Cela permet d’interpréter certains résultats abordés au cours
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moyen.
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Il n’est pas attendu que l’élève utilise le vocabulaire spécifique aux probabilités (expérience, issue, univers, évènement) de
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manière autonome, mais le professeur peut l’employer.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Savoir que la probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1
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Calculer des probabilités dans des situations simples d’équiprobabilité
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Comparer des résultats d’une expérience aléatoire répétée à une probabilité calculée
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La proportionnalité
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Cours moyen première année
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Le travail sur la proportionnalité conduit au CM1 s’inscrit dans la continuité du travail sur la résolution de problèmes
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multiplicatifs mené au cycle 2. En effet, les élèves ont déjà résolu des exemples simples de problèmes relevant de la
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proportionnalité comme « Des tee-shirts coûtent 13 € chacun. Quel est le prix de 6 tee-shirts ? ».
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Au CM1, la notion de proportionnalité entre deux grandeurs est explicitement introduite dans le cadre de la résolution de
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problèmes : les élèves apprennent à identifier des situations relevant de la proportionnalité et à mettre en œuvre dans ce cadre
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des raisonnements fondés sur la propriété de la linéarité pour la multiplication. Par exemple, pour le problème « 4 pains aux
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raisins coûtent 7 €. Quel est le prix de 12 pains aux raisins ? », les élèves comprennent qu’il est inutile de déterminer le prix
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unitaire pour répondre à la question posée.
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||
Afin d’éviter le risque de développement d’automatismes ne s’appuyant pas sur le sens, les élèves n’utilisent pas de tableaux de
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proportionnalité au cours moyen. La résolution de problèmes de proportionnalité s’appuie uniquement sur des raisonnements
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||
formulés en langage naturel, à l’oral comme à l’écrit : « Si j’achète 3 fois plus de pains aux raisins, alors je vais payer 3 fois plus. »,
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« Si je prends 4 fois moins de feuilles de papier, alors l’épaisseur de la pile de feuilles sera 4 fois plus petite. », etc.
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Au cours moyen, les problèmes posés le sont tous dans le cadre des grandeurs et ne portent pas sur des suites de nombres hors
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contexte.
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Objectifs d’apprentissage
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Identifier une situation de proportionnalité
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Savoir résoudre un problème de proportionnalité
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Cours moyen deuxième année
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Le travail sur la proportionnalité conduit au CM2 s’inscrit dans la continuité du travail mené au CM1 : les savoir-faire développés
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se consolident et s’enrichissent à travers la résolution de problèmes nécessitant plusieurs étapes.
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Afin d’éviter le risque de développement d’automatismes ne s’appuyant pas sur le sens, les élèves n’utilisent pas de tableaux de
|
||
proportionnalité au cours moyen. La résolution de problèmes de proportionnalité s’appuie uniquement sur des raisonnements
|
||
formulés en langage naturel, à l’oral comme à l’écrit : « Si j’achète 3 fois plus de pains aux raisins, alors je vais payer 3 fois plus. », « Si je
|
||
prends 4 fois moins de feuilles de papier, alors l’épaisseur de la pile de feuilles sera 4 fois plus petite. », etc.
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Les problèmes posés le sont tous dans le cadre des grandeurs et ne portent pas sur des suites de nombres hors contexte. Seuls
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des raisonnements fondés sur les propriétés de linéarité pour la multiplication et pour l’addition sont attendus ; ni l’utilisation du
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coefficient de proportionnalité, ni le recours au « produit en croix » ne sont enseignés au cours moyen.
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Objectifs d’apprentissage
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Identifier une situation de proportionnalité
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Savoir résoudre un problème de proportionnalité
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Sixième
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Au cours moyen, la proportionnalité était exclusivement abordée dans le cadre des grandeurs et elle était identifiée par l’effet
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sur la seconde grandeur de la multiplication de la première par un nombre donné. L’élève a ainsi appris à identifier des situations
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de proportionnalité et à utiliser des raisonnements fondés sur la propriété de linéarité pour la multiplication ou pour l’addition.
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En classe de 6e, la proportionnalité continue d’être étudiée exclusivement dans le cadre des grandeurs, et, ne concerne pas les
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suites de nombres. La définition de la proportionnalité entre deux grandeurs est formalisée et reliée à l’utilisation d’expression
|
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du type « prix au kilo ». Celles-ci anticipent la notion de grandeur quotient qui sera étudiée au cycle 4. L’élève est sensibilisé au
|
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« modèle » de la proportionnalité. Il résout des problèmes qui en relèvent en utilisant la procédure la mieux adaptée aux
|
||
nombres mis en jeu : linéarité multiplicative ou additive, retour à l’unité. Comme au cours moyen, il est encouragé à laisser
|
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apparaître à l’intérieur des calculs les unités des grandeurs manipulées.
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Plusieurs outils permettent de représenter une situation de proportionnalité : tableau, flèches, parenthèses (qui anticipent la
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notation fonctionnelle). Lorsqu’il s’agit d’un tableau, le nom de chaque grandeur, accompagné de son unité, y figure
|
||
explicitement. La recherche de données manquantes dans un tableau s’appuie sur le sens de la proportionnalité : l’élève
|
||
verbalise les relations entre les mesures d’une grandeur (2 fois plus, 3 fois moins, etc.) ou s’appuie sur la constance d’une
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grandeur telle que « prix au kilo » ou « nombre de battements du cœur par minute » relevant du langage courant. Dans cette
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optique de compréhension du sens de la proportionnalité, notion essentielle dans la vie quotidienne et dans de nombreuses
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autres disciplines, la technique du « produit en croix » n’est pas enseignée.
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Automatismes
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— L’élève sait repérer des relations multiplicatives simples entre des nombres (double, quadruple, moitié, tiers, quart).
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— Il associe de manière automatique les expressions du type : « 4 fois plus grand, 4 fois plus petit, 5 fois plus, 5 fois moins »
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à une multiplication ou à une division.
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Connaissances et capacités attendues
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Objectifs d’apprentissage
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Connaître la définition de la proportionnalité entre deux grandeurs et la mettre en lien avec des expressions de la vie courante
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Identifier si une situation relève du « modèle » de la proportionnalité
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Résoudre un problème de proportionnalité en choisissant une procédure adaptée : propriété de linéarité pour la multiplication
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ou l’addition, retour à l’unité
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Représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau ou de notations symboliques
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S’initier à la résolution de problèmes d’échelles
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Initiation à la pensée informatique
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Le mode de pensée informatique est une approche universelle permettant de résoudre des problèmes complexes en exploitant
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des processus de calcul, qu’ils soient réalisés par des humains ou par des machines. En s’initiant à la pensée informatique, l’élève
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||
développe des connaissances et des capacités qui sont transposables à d’autres disciplines et qui le préparent aux défis du
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monde contemporain.
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Au cycle 2, dans la continuité du cycle 1, l’élève a déjà développé des raisonnements qui relèvent de la pensée informatique. Dès
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||
le CP, l’élève a appris à réaliser un déplacement dans l’espace à partir d’un codage ou à coder de tels déplacements, notamment
|
||
pour programmer un robot se déplaçant sur un quadrillage ou un personnage se déplaçant dans un quadrillage sur un écran de
|
||
tablette ou d’ordinateur. L’apprentissage des algorithmes des opérations posées tout au long du cycle 2 contribue également à
|
||
l’initiation à la pensée informatique. À partir du CE1, l’élève a aussi appris à poursuivre des suites évolutives comme « 1, 2, 4, 7, 11,
|
||
16, etc. » ou « 1, 2, 4, 8, 16, etc. ».
|
||
Ces premiers apprentissages qui contribuent au développement de la pensée informatique se poursuivent au cours moyen :
|
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algorithmes des opérations posées, programmes de constructions géométriques, programmes de calcul, suites évolutives. Ces
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éléments, abordés dans les autres domaines de ce programme, sont résumés dans les paragraphes ci-après.
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Cours moyen première année
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Au CM1, l’élève continue d’utiliser et de produire des codages de déplacements en élargissant les environnements dans lesquels
|
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ces déplacements ont lieu (quartier, ville, etc.). La programmation de robot est également toujours envisagée lorsque l’école en
|
||
est équipée.
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Dans le cadre de l’initiation à la pensée algébrique, l’élève continue de travailler sur des suites évolutives qui s’appuient sur des
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||
algorithmes plus en plus complexes comme « 80 ; 85 ; 83 ; 88 ; 86 ; 91 ; 89 ; 94 ; 92, etc. » ou « 1 ; 2 ; 6 ; 7 ; 11 ; 12 ; 16 ; etc. » et il peut
|
||
utiliser des logiciels de programmation par blocs ou un tableur pour déterminer des termes éloignés. Il exécute également des
|
||
programmes de calcul comme le suivant :
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— choisir un nombre entier ;
|
||
— ajouter 2 au nombre choisi ;
|
||
— multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4 ;
|
||
— écrire le nombre obtenu.
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||
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||
Ces programmes peuvent aussi être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un
|
||
tableur en faisant apparaître les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus.
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||
La réalisation de figures géométriques s’appuyant sur des programmes de construction comme « Trace un rectangle ABCD tel
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||
que AB = 5 cm et BC = 3 cm. Trace le cercle de centre A qui passe par le milieu du côté [AB]. » contribue également au
|
||
développement de la pensée informatique.
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Cours moyen deuxième année
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Les activités menées au CM1 qui contribuent au développement de la pensée informatique se poursuivent au CM2 en se
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||
complexifiant.
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|
||
L’élève continue d’utiliser et de produire des codages de déplacements en élargissant les environnements dans lesquels ces
|
||
déplacements ont lieu (quartier, ville, etc.) et en augmentant le nombre d’instructions des programmes utilisés ou produits. La
|
||
programmation de robots est également toujours envisagée lorsque l’école en est équipée.
|
||
|
||
Dans le cadre de l’initiation à la pensée algébrique, l’élève continue de travailler sur des suites évolutives de nombres ou de
|
||
motifs qui s’appuient sur des algorithmes de plus en plus complexes comme « 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc. » ou
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étape 1 étape 2 étape 3 étape 4
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et il peut utiliser des logiciels de programmation par blocs ou un tableur pour déterminer des termes éloignés. Il exécute
|
||
également des programmes de calcul ayant jusqu’à trois instructions comme le suivant :
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||
— choisir un nombre entier ;
|
||
— ajouter 2 au nombre choisi ;
|
||
— multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4 ;
|
||
— retirer 3 au nombre obtenu à l’étape précédente ;
|
||
— écrire le nombre obtenu.
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||
|
||
Ces programmes peuvent aussi être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un
|
||
tableur en faisant apparaître les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus.
|
||
|
||
La réalisation de figures géométriques s’appuyant sur des programmes de construction contribue également au développement
|
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de la pensée informatique. Au CM2, l’élève apprend à produire des programmes de construction dans des cas simples.
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||
Sixième
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||
En plus de la consolidation des raisonnements précédents, le programme de 6e permet l’initiation progressive à la compréhension
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de notions plus spécifiques de l’informatique : instructions, séquences d’instructions, entrées, sorties, répétitions. Les activités
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||
proposées peuvent être réalisées avec ou sans machine (robot ou logiciel de programmation graphique par blocs comme Scratch).
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L’utilisation d’un tableur peut également être envisagée pour l’étude des suites évolutives de nombres.
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Objectifs d’apprentissage
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Identifier une instruction ou une séquence d’instructions
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Produire et exécuter une séquence d’instructions
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Répéter à la main une séquence d’instructions pour accomplir une tâche imposée
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Programmer la construction d’un chemin simple
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